棱数计算公式大全

学数学不踏坑，并想考高分，请往这里奔。兄弟们好，我是周老师。今天我们通透立体图形顶点零和面。好，那我们一起来看看这个欧拉公司啊， 说到这个欧拉公司呢，欧拉他是一个人的名字，他是瑞士的啊，然后呢？他是著名的数学家、文学家、物理学家， 嗯，他是一位天才啊，十三岁就考上了大学，十五岁呢取得了这个硕士这个学位， 所以说他在这个发现的立体图形的顶点能和面这三者之间的什么关系？ 那么也就什么关系呢？就是顶点数，就是你立体图形的顶点数，就是说一个图形的顶点，比方说你正方体，来来为例，说说明这个公式啊，比方说正方体他是不是八个顶点， 那么正方体是不是六个面，那么八加六。我们比方说我们求他的零，那么那比方说他八加六是不是十四？十四的话，我们知道正方体是不是十二条零， 那么他一减就等于二，哎，那我们比方说长方体，他也是如此，对不对？所以说，嗯，那我们呢？比方说再举一个，这个叫做三， 嗯，锯吧，好，那么三菱锯，它的底面是不是三角形，对吧？那么三角形是不是有三个顶点， 那么他上面是这个，下面有三个顶点，那么上面有三个顶点，他们一共有六个顶点，对不对？好，那么他的这个面数，首先他是三菱距，三菱距，再有三条边，这个底面，那么三条边他立起来是不是有三个面， 三个面再加上上面一个面，下面一个面，是不是有五个面，对不对？好吗？那么他的这个呃，零， 那我们比方说我们要算这个人行不行？那我们跟着公司的话，那么就是说这个要等于二，那么十一减多少？等于二，十一减去什么九，那么为什么是九啊？因为 这个上底是不是有三条菱啊？三角形吧，那么下底是不是有三条菱？就六条，侧面他有三个面，相当于也有三条什么菱呗？所以说三加三加三等于九，同这个 一模一样，说明这个公司是正确的，对不对？好，那么呢，我们把这个兄弟们啊，把这个公司一定记牢，顶点数啊，顶点，首先顶点，然后加上面， 再减去它零数，那等于二，那么我们只要知道这个三者中其中任何两个，我们就能够算出第三个，兄弟们，你说对吗？对啊，好，然后呢我们看看第二个这个欧拉公司呢，他 有个局限性，它自适用于多面体，什么叫多面体啊？就是没有曲面的，你比方说曲面的这个圆柱啊，圆锥啊，球体啊，是不合适这个欧拉公式的， 对吧？好，兄弟们啊，这个我们把它搞清楚，然后我们再来看看这个他的易错点，那么圆柱圆锥曲面不算零， 零需要两个平面的交线，对不对？好，那么第二个长方体相对应的零是相等的，它分成三组，长有四个，框有四个，高也有四个，并且它所有的这个四条零呢？都是什么相等的？ 四条菱，对 𠲎， 四条菱相等的并不是所有的菱相等，对吧？那么总共的十二条，他是分成三组啊，每一组的菱都是相等的， 对吧？好，第三个欧拉公式呢？他只针对多面体，他不合适这个曲面体，对不对？好，这个我们就是很清楚，然后我们一起来看看这个题目， 他说啊，一个多面体有十个顶点，七个面，求他的零数来，我们刚才说了，根据欧拉公式，我们这两个，那我们就求出了第三个，那么也就是说根据欧拉公式，然后呢十加七减去零 等于二，对不对？好，那么相当于一个方程样的，那我们求这个零，那就是不零等于十七减去零等于二，那么该减多少？减十五呗，对吧？啊，那么这个很简单，第二个长方体长五厘米， 框四厘米，然后呢框三厘米，高两厘米，求所有的零长总和，那么零长总和的话，那么长方形长是不是有四条？框也有四条，高也有四条，那么每一个都乘以四，那就五。 这个，那我们可以把长加宽、加高加起来也可以啊，这个两种方法都是可以的，这样子是一种，还有一种就五乘以四，加上三乘以四，加上二乘以四，这也是可以的。 两个是不是都可以？兄弟们，好，那么这样的话就是说你看八十就等于四十 cm， 那 么同样，这个你看二十、十二八也是四十 cm， 对不对？ ok， 那 么第二题解决了，看看这个第三题，判断真物圆柱有两条菱，哎，圆柱属于曲面体，它有菱吗？没有菱对不对？啊？好，那么长方体，六个面全是长方形， 哎，那么比方说我两头，这个两头是正方形也可以的哦，是不是？那么我们说他这个面，那可以是四个长方形，两个正方形， 对啊，不对啊，那么这个又错了，好，球体有一个顶点，球体他是个曲面体，他是由一个曲面组成的，他有顶点吗？他没有零，也没有顶点，所以说错了，对不对？ 好嘛？第四个正三棱柱有六个顶点，九条棱球面，哎，我们根据欧拉公司有顶点有棱呢？那球面根据公司，那么顶点六加上面面不知道，我就写个面呗， 加上这个减是加减，减去九条零等于二，那么这样的话，一整理就说面减三等于二，那么面就等于 五百，那就是啊，周老师这段话是，我们这个是这样子写个面啊，只是我们呢要设一个什么未知数，那包括第一题也一样的，我们设个未知数，你如果不设，那么你就说在草稿纸上写好以后呢？比方说你十加 这个十加七，这个减去二，对吧？这样公式这样列，这个双式也可以的，那么这个也是一样，那么也就是说我们可以，可以什么呢？这个 比方说，呃，把这个列列成这个像 x 的， 那么这个这个题呢，我们就是说，嗯，最好是列设设这个面为 x 啊， x 这个勾面，对吧？然后把面呢用 x 代替啊，都是没关系啊，兄弟们知道吧？啊？ ok， 我 们下这个来， 这个二百七十七，判断是否存在有十个面，二十四条零和十八个顶点的零柱， 哎，那么这个它面也有，人也有，顶点也有，那我们看看它是不是能不能满足这个欧拉公司， 那么如果满足，那就说明这种能住是存在的，那么如果不满足，说明这个能住就不存在呗，是不是？好，那我们看看。那么首先根据的公式，顶点十八，十八加上面是不是十十，这个再减去零， 看了是不是等于二，对吧？那么你看看这个能不能等于多少呢？这个是八十八加十十，二十八，二十八减去二十四等于四，四不等于二，那就说明就是不存在 是不是？ ok， 这么轻松愉快的就搞定了好吗？那我们看看这个正四菱锥有八个，八条菱 五个顶点，用欧拉公式求求面，那么我们根据欧拉公式，那么五加上，那么我们那个面呢？我们先要解释， 面为 x 个，对吧？好，那么五加 x 减去八等于二，那么 x 减三等于二， x 就 等于五啊，就算出来它的面就是五， 是不是很轻松？ ok， 这个题呢，我们就说这就是最基础最基础的这个题目了，那么我们通过这些题来 给我们锻炼欧娜公司是不是？ ok， 那 么今天的课呢，就上到这里，喜欢周老师呢，到湘北书城去逛逛街吧，犒劳自己，打赏周老师，关注加多多点赞，下期见，拜拜！

欧拉公式，像正方体、长方体、三棱锥这样的图形是由一些平面图形围成的几何体称为多面体。简单，多面体中顶点数我们用 v 表示，面数我们用 f 表示，棱数用 e 表示，它们之间有何关系呢？首先我们来看一下下面的表格， 三棱柱，它的顶点数有六个，面数五个，棱数九个。四棱柱的顶点数是八个，面数是六个，棱数是十二个。五棱柱，它的顶点数是下面五个，上面五个，所以总共是十个。 它的面数侧面是五个，加上上下两个面是七个棱数。侧棱有五个棱，所以一共是十五条棱。 令楞柱的顶点数是十二，面数是八，棱数是十八。那么任意一个 n 楞柱，它的顶点数是可以用 n 来表示的。 一个 n 楞柱，它的底面下底面一般是有 n 个顶点，同样上上面也是有 n 个顶点，所以一共是二 n 个顶点，它的面数 下，底面中每一条棱会对应着一个侧面。 n 棱柱会有，底面上会有 n 条棱，所以它对应着 n 个侧面， 再加上上下两个底面，所以面数是 n 加二，而棱数侧棱。一条侧棱对应着一个 上下两个面的顶点，所以它会有 n 条色棱，而上面和下面又隔有 n 个 n 个棱，或者说是 n 条棱，所以它总共只有三 n 条棱。 那么二 n、 n 加二和三 a 之间有何关系啊？显然，二 n 加上 n 加二，减去三 a， 是 不是就等于二啊？ 答案是肯定的，这个结果是瑞士数学家欧拉证明的，它证明了简单多面体中顶点数 v、 面数 f、 棱数 e 之间的这个有趣的关系式， v 加 f 减 e 等于二，这个公式称为欧拉公式。 好，我们来看一下欧拉公式的应用。新年晚会上是我们最欢乐的时候，有时候会场上会悬挂着一些小装饰，其中呢有各种各样的立体图形， 这些图中是我们常见的一些多面体，这是他们的名称，我们了解一下就可以啊，把图中每一个多面体具有的顶点数 v， 面数 f， 棱数 e， 哎，我们都填好了啊，这个结果呢，我们记录了表中，回答一下下面的问题。 第一，观察分析表中数据，猜想多面体的顶点数、棱数、面数之间的关系式， 这个问题比较好解答了，我们看正四面体 v 加 f 减一是等于二，正方体、正八面体以及正十二面体和正二十面体它们都具备这个规律，也就是说 v 加 f 减一都等于二， 所以它们之间的关系式就是 v 加 f 减一等于二，这就是考我们考察我们的欧拉公式。 第二位，已知一个多面体的面数比顶点数大十，有三十六条棱，让我们来求一下这个多面体的面数。我们知道多面体的面数 f， 顶点位和棱数之间的关系是 v 加 f 减一等于二，在这里棱数三十六是知道的，可以直接把它带进去。而 v 和 f 之间的关系式是面数比顶点数大十，所以 零点数应当等于面数减去十，也就是说 v 应当等于 f 减十。这样我们根据 v 加 f 减一等于二，就可以列一个关于 f 的 一元一次方程， 解一下这个方程，就可以了解出 f 等于二十四，也就是说这个多媒体的面数是二十四，最后我们写上答案。

学数学不踏坑，并想考高分，请往这里问。兄弟们。好，我是周老师，今天我们通透立体图形的顶点菱和面。好，我们一起来看看这道事情的这个题目， 他说已知 m 能追，有十六个顶点，求 m 的 值和该能追的面数，还有菱数。 哎，兄弟们，这个题目又来了，这个题目呢？他呢？上次我们讲的是能助，那么现在是变成能追，那么他的突破点，兄弟们，你们找你想想突破点在哪里？对了，他只有，尤其只有一个突破点，就是十六个顶点， 那么自然十六个顶点是我们的突破口，我们得想一想，零锥，零锥，他一个共同的特点，什么特点？他最上面是一个顶点， 对吧？那么自然是一个顶点，最上面，那就说明这个下面的底面呢，有十五个顶点，兄弟们，你说对吗？那么自然有十五个顶点，他又是零锥，那就说明这个底面是十五边形呗， 是不是十五变形，那么十五变形底面的十五变形，我们就称为是十五边形菱锥，那么叫十五菱锥呗，是吧？那么这个 n 就 等于什么十五， 就这么轻松愉快的解决了。好，那么他的这个顶点知道了，然后呢？ 他的 n 字，这个碳零锥是什么呢？是十五零锥，是不是啊？那么我们在想啊，碳面， 那么他十五零零锥，他有什么特点？他的这个底边的边数和这个面是相 箱这个箱子吗？他底边的边数和这个面呢？他呢？就说底边不算的话，那么他也就说边数竖起来，这个是一个条边，就对应了一个一一条面，那也就是说我们的侧面， 那么菱锥的侧面就同这个底边的这个边是数量是相等的，也就是说你十五菱锥，那么他侧面就是十五个侧面，那么十五个侧面再加上底面，那就是十六个面， 对吧？那就说顶点和面我们都知道了，那么我们算这个零锥的这个零，那么就是说我们通过欧拉公司就搞定了呗，是还是不是？好， ok， 那 我们一起来算 结，因为这个这个 i 零锥 有十六个顶点，对吧？那么所以这个啊，底面是十五边形， 是不是十五边形？好，那么所以这个零锥 有十五个侧面， 对吧？所以 n 就 等于十五， 好，那么我们再来求这个面，那么就说侧面加这个，所以它的，嗯嗯，所有的这个面呢？为，为什么呢？为十六 个，对吧？所以他的面为十六个，因为底面是一个吧，加十五个就十六个，好，那么顶点我们就是那比方说我们这个顶点加上面，对吧？顶点加上面，顶点是十六面，也是十六顶点加上面， 然后呢我们这个减去二，那么就算这个能量，那就等于这个三十条内，对吧？就是三十条内，就这样子轻松愉快的搞定了， 对吧？那么还有一种方法，我们算这个零，你想呢？他侧面是不是十五个，那么侧面是不是就相当于十五条零，那么再加底面有十五个，十五加十五也是三十， 对吧？兄弟们，你说对吧？ ok， 那 我们再来看看下一道的题吧，他说若多面体各面均为四边形，哎，这个多面体他每一个面都有四边形，且有十二个顶点， 十二个顶点求面数和棱数的数量关系其具体的数值， 那么兄弟们这些突破口在哪里呢？兄弟们，我们想一想，那我们来来来开始分析，比方说，那这个题目呢？我们求面数和零的关系，那我比方说，我先设 这个面数啊，为 f， 为 f 个， 对 𠲎， 好， 那么呢我们来想一想，这个面数为 f 个，它们每一面是不是四边形？那么四边形的话，每一面，那么四边形 啊？四边形这个底对 𠲎， 那 么就相当于这个四边形的每一面的话，是不是有四条，四条呢？ 对吧？有四条零，那么四条零四边形，对吧？有四条零，那么我们就相当于他总共的一共的零数，是不是就是说这个总的零数 为四 f 个，这个能不能理解来？因为这四边形它都是四边形吧，包括它没有什么底和侧面，它都是四边形，那么是不是四边形？它有四条菱，那么我们设它的面数为 f 的 话，那么它所有的菱数是不是四 f？ 是不四 f？ 然后呢，你想一想，这个题目的话，是不是同我们有一道题很像？它是，反正是每条能 是不对应两个面，是不是每条能对应两个面？那也就是说这个四 f 的 这个面呢？ 又重复了，重复了这个二两次，对吧？那就四 f， 真正的他的这个四 f 除以二等于二 f， 有 这个就是真正的这个零数是二 f， 对吧？好，那我们算出了真正的这个多变性的零数是二 f 的 零是二 f， 那 么顶点是十二个，那我们就就能够能够算出，根据这个就能推出了什么呢？推出的这个什么面板，是不是能推出那面， 对吧？那么那个面是不是 f？ 好， 那我们可这样的话，一弄的话，那三个都可以表达出来了，那我们就可以通过欧拉公司建立方程，那么首先顶点十二 加上面是不是 f 在 这个零是不是二？ f 减掉等于二呗，你看看 这个就是我们的方程就出来了，兄弟们是还是不说好，那么呢，这样的话，我们就是二减去 f 等于二， 那么 f 就 等于十，哎， f 等于十就相当于十个面，那么零是不是二， f， 那 么零就不是，不是这二十个，那么零和面的数量关系是不是？这个零 是面的两倍， 这零数是面数的什么两倍？加个数字啊，零数是面，面数两倍，那么具体的数字来，刚才面是十，那零呢？是十乘以二等于二十条，好，最后我们做什么？做，大 兄弟们，你看这个题目是我们怎么个做出来的啊？你好好的去回一回刚才老师的分析的过程，对吧？那么通过我们的突破口来设 来分析啊，那么最关键的是每条人对应两个面，这个是重中之重。 ok， 那 么呢，今天啊，周老师呢心情比较好，来跟兄弟们来讲讲啊，你看周老师呢，为了自己的工作啊，为了自己能够活得更有意义，活得更精彩， 那么呢，就是说这个每天啊都非常的忙，对吧？呃，周老师，除了这个，嗯，现在呢，除了这个要， 嗯，给你们这个上网课还要背课，那么我们周老师还要准备这个直播，对吧？还要准备直播，并且周老师每天呢都要上这个，呃，线下的这个，呃学生上课，所以说呢，好多的工作嗯，都要做， 那么呢，我为什么这么工作？呃，这个要这么努力呢？那么我们是为了什么呢？为了我的这个妻子， 为勒儿女？对 𠲎， 为了我的这个父母亲，要是，要是，呃，让他们过得更加什么幸福，对不对？那我觉得呢，这样是一切我都值得，我觉得很有什么价值。 那么同理，兄弟们啊，那你们像周老师也是一样，为了自己进行学习，为了自己的梦想，对吧？那从大的方面来讲呢，是为了祖国，对吧？ 那么从小的方面来说呢，为了自己，然后为了这个父母亲，为了以后呢，能够这个出人头地，是吧？呃，那个这样的话呢，我们呢 就是说周老师和你啊，是这个一模一样，对吧？我们的目标呢，非常的什么明确，所以说我们没有理由不前进， 所以说兄弟们，我们一定要努力，对吧？然后呢，我们要把我们所有的压力 变成我们学习的什么动力，为自己加分，加油喝彩。 ok， 那 么今天的课呢，就上到这里，喜欢周老师的到下面橱窗去逛逛街吧，犒劳自己。打赏周老师，关注加多多点赞，下期见。拜拜。

学数学不踏坑，并想考高分，请往这里奔。兄弟们，好，我是周老师，今天我们通透立体图形的顶点能和面，好，我们一起来看看这道题， 这个是个四星的题啊，好，那么他说啊，这个已知 a 能住啊，他首先是个能住啊，那么我们在这个头脑里面要能住呢，要搞清楚， 菱数，它是，呃，底面两个，然后都是多边形，是吧？那么它有六个面啊，它有六个面，求 n 是 顶点数和菱数。兄弟们看了这个题目，它的突破点在哪里呢？兄弟们 想一想，它只有一个，有，且只有一个突破点， 就是六个面，兄弟们，他的这个突破口就是六个面，哎，六个面，我们想一想，灵住，刚才周老师说了，他上面一个底，下面一个底，是不两个面啊？ 好，那么两个面呢？他一共六个面，那就说明这个侧面呢？就是四个面，是不是四个面？好，那么我们来分析，他侧面有四个面，侧面有四个面，那就说明了这个底，这个多边形就是四边形哦， 因为你侧面有四个面，肯定这个底就是四边形，对吧？这一点兄弟们能不能推理，对吧？我们想象啊，我们这个一定要有空间的感，对吧？好，他的底是四个面啊，底是四边形，那么底是四边形，那么这个棱柱就是四棱柱， 是不是棱柱？好，那么顶点，那么顶点的话，我们看看顶点这个四边形下面是不是四个顶点， 那么上面四个，下面四个，一共加是是不是八个，对吧？那么也就是说面和顶点。知道了，那我们再根据欧拉公司，我们就能够把这个零就能够算出来了，兄弟们，你说对吗？ 只是啊，那我们不用欧拉公司也能算的出来，你四个侧面就是四条零呗， 是还是不是？哎，就这么回事，是吧？ ok， 那 么我们现在呢，就来算算这个，呃，人数 啊，就是四个侧面有四条呢，那么你下面有四条，下面有，再上面有这个四条，那么一共有十二条， 对吧？因为你底面有四个，这个上面有四个，再加这个侧能有四个，对吧？三四十啊，这样子我们也能够算得出来，好， ok， 通过这样分析呢，我们全部都搞定了，那么我们减， 因为，因为什么呢？这个 m 能住 有六个面来，要懂得这样做题啊，因为有六个面，所以这个什么呢？这个，呃，底面 四四边形，所以这个 n 能柱为四能 柱，对吧？好，它为四能柱了，那我们就能够搞定它的顶点，所以顶点 数为四乘以二等于八个，对吧？好，那么根据面， 那顶点八加这个面十六，是吧？好，那么呢，然后呢？再减去二，那么是不是十四，减去二就等于十二条零呢？就搞定了呗。好，这个 就这么轻松愉快的搞定了，通过分析以后，然后再打，千万别忘了作答啊，兄弟们啊。 ok， 那 么这样的话，我们的突破点，兄弟们，我回顾一下，突破，突破点就是六个面， 根据六个面，因为我们上面他是零柱，上面一个，下面一个，两个面去掉就搞清楚，他侧面就是四个，对吧？他的底就是四边形， 对吧？这就是突破口， ok， 这就是底层逻辑， ok， 那 我们现在来看看下一道题， 下一道题啊，是个五星的题，兄弟们啊，他的足球表面有这五边形黑皮和这六边形白皮组成， 共有三十二个面，其中黑皮与十二块就白皮的块数和人数。那我们这兄弟你想一想，这个足球他除了黑皮就是白皮呗， 那么一共有三十二个面，那么黑皮有十二块，哎，那这个这个第一位你是太简单了，对不对？那我们就说减对吧？减 三十二，减去十二等于二十块，那么这个白皮就搞定了，那么关键是这个人数，那么这个兄弟们想一想这个人数怎么办？我怎么去把这人数算出来， 是还是不是啊？那么这个人数我们从哪里入手呢？我们要从已知条件入手，我们兄弟们，我们分析分析，这个和皮是十二块，那么他是什么形？正五边形。 兄弟们，那么正五边形十二块，那么从他的人的角度来说的话，那么黑的这个 我们是个黑人，那么黑人这个这个角度来说的话，是不是你五块乘以十二，也就是说六十条， 对吧？我们分开来讲，好，你除了黑的，那就是同理，你这个白色的呢？ 那么白色人我们说了一共有二十块，对吧？那每一块是不是六啊？这六边形是不六，那么六乘以二十等于一百二十条， 那兄弟们，那有的兄弟们就讲，那老师是不是搞定了，那你黑人就六十加白人就是说一百二，是不是一百八十条？ 哎，兄弟们，你想过了没有？他黑人的话，你看他是黑白相间对不对？那么也就说一条人， 请问他是不是连接黑这个另一面和白这面一面是不是是不连接黑白？也就是说 他这个一条零连接的是两个面啊？ 是不是？一条零连接的是两个面，是不是？那也就是说你 这个我们黑的和白的，那么也就是说你这个肯定里面的什么又什么重复了， 也就是说你这个这个零，这个零的话，我们现在算是分开算的，那也就是说我们比方说这个是黑零的，这个是黑零，那么白的呢？我们再来一根， 那我们是这样子的，对不对？那么现在他是什么呢？他是一条零，要要这个合在一起，那么一条零，两个面 是不？两个面，那就相当于一分为二了，是不是？一分为二，那么也就是说我们的零呢？就说根本就是没有，没有这个 这个零呢？就根本没有这么多，是不是？就是没有这么多？因为有重复了，因为一条零，两个面，是不是？那就说六十加一百二十，一共要除以二，就等于九十条 好，那么兄弟们啊，这样的话你理解一下啊，理解一下，那是不是九十条好？那么一旦零，我们确定的是九十条，好，那它的这个面是三十二块，那我们这个球这个顶点， 那么是不是也就很容易啊？是不是？那么这个题是没有让我们求顶点，是吧？那么比方说他要我们求这个顶点，那我们也要学会去求兄弟们啊，那么就说什么呢？你看顶点，比方说举个例子，顶点 对吧？加上三十二面吗？减去九十等于二，那么这个一算的话，这个顶点呢？是六十， 对吧？六十个顶点啊，那么就是说这个足球啊，那么兄弟们啊，这个足球就是六十个，这个这六十个顶点啊，啊，明白了吗？ ok， 那 么我们这道题呢就讲到这里，那么这个题呢，他的难就难在什么呢？我们在推理过程当中啊，他是一条棱两个面，那么也就说我们分开算的时候呢，我们重复算了一次，所以说要除以二。 ok， 那 么今天的课呢，就上到这里，喜欢周老师呢，请到下面橱窗去逛逛街吧，犒劳自己。打赏周老师，关注加多多点赞，下期见。拜拜。

向量夹角的计算公式二零二一年角告知搞好整体已知到向量 a 与向量 b 的 坐标，求它们的夹角，那我们就是利用 向量 a 与向量 b 的 余弦值，夹角的余弦值 cosine， 我 们用希塔表示它们的夹角 公式等于向量 a 以向量 b 的 内积，下方是向量 a 的 模场。向量 b 的 模场，那我们这里要经过两步。第一步，先算向量 a， 以向量 b 的 内积 等于横中过坐标，分别相乘一乘以一等于一，加上呢？零乘以根号三等于零，结果等于一。 第二步算向量 a 与向量 b 的 摩擦，向量 a 的 摩擦等于根号 x 平方加 y 平方一的平方等于一，零的平方是零，结果等于一。 向量 b 的 模的平方等于根号 x 平方加 y 平方一的平方是一。根号三的平方的等于以三，根号四， 根号四等于二。再把所算出的结果代入 cos。 引于弦值的公式，向量 a， 向量 b 的 模场等于以一。好， a 的 模场等于以一，代入向量 b 的 模场是等于二， 结果等于二分之一。好，那我们知道向量 a 与向量 b 的 夹角时，零到一百八十度，也就零到派。 根据口三与弦值等于二分之一，那么可以推断它的度数应该等于六十度，也许就是三分之派。答案，选 d， 你 学会了吗？ d 木过三拽脚啦！

好，各位同学，大家早上好，欢迎来到粉笔直播课，这节呢，还是咱们的早课啊，速算基本公式的第二节，我是朱老师张磊， 现在呢，大家能够听清我的声音，红色啊，是紫色笑脸的同学打一波一 好啊，能把眼睛睁开就已经能进入这个教室就已经是非常棒的啊，你不用说你起床，你说老师我，我进入教室了，非常棒啊，你一只脚已经迈进了公考的大门了是吧，好，来 这节课呢，我们讲两个啊，上过我们之前基本速算基本公式一的同学知道， 像我们这两节课呢，会讲到数量关系当中一些公式的运用，有些题型呢，主要是以公式为主， 你其实只要把公式掌握之后呢，就能解决大部分题目啊，或者是起码能解决一部分大部分的题目就搞定了，只要把公式记住了。 这里呢，我们讲两类题啊，第一个呢就是容室原理问题。容室原理问题近些年呢，他怎么说啊，其实一直是个不温不火的角色，但是时不时呢又出现还有慢慢预热啊，变热这种现象啊，就这种趋势， 容室原理问题我们主要依靠的方法呢？公式法起码占了大半壁江山是吧，他的知识点主要内容呢，就围绕着公式展开。 而第二个几何问题，几何问题呢？那不用说，我们从小学到大，哎，什么周长呀，面积呀，体积呀，也又遇到很多的公式啊，那这些公式呢，没有说特别复杂的，我们重点是一个回忆的过程。好， 先来看容斥原理。那这里我们给大家简单说一说啊，容斥原理，而什么是个容斥原理啊， 容式原理，说白了就是一个去重，你就抓住他的核心啊，两个字，去重，去除，重复。 因为呢，我们在做题的过程中，你会发现主体的人数之间啊，哎，他有一些重叠的部分，也有一些交叉部分，那如果我在分别计算的过程中啊，他就会产生重复，所以呢，公式的目的就是要把重复部分去掉， 根据重复主体的不同，你像这里，我们两集合容式，这时候两个主体有交集，有重叠。 公式呢，就下面这个样子， a， b， 这就代表集合的个数吗？哎， a 集合， b 集合，放到具体题目当中呢，可能会说，比如 a， 哎，他是参加省考的同学啊， b 集合是参加国考的同学，那么 a 交 b 这个符号你不用记啊，就是大家自己写公式，背公式，你直接写个 ab 就 可以了。哎，这个教并并不会考，知道吧， ab 是 什么呢？大家思考，是不是既参加省考又参加国考的就是 ab 啊， 等于总的人数减去都不参加的人数，对吧？好，这个公式怎么来的？来，我们看一下右边这两个图啊， 比如说这里呢，我们想象，咱们一起啊，大早上运动运动，是不是头脑会更清晰啊？ 你就想象你来到了一片这个运动场上啊，操场上有一个蓝圈圈，有一个红圈圈，现在呢，老师让你把蓝色、红色这种带颜色圈圈的面积部分 给老师算一算是多少？你怎么算呀？你说老师，比如蓝色是代表 a 圈圈，红色呢，是代表 b 圈圈，这我直接 a 加 b， a 加 b， 可不可以啊？不可以，有了重叠，有了重复了是吧？哪里重叠哪里重复了呢？ 是不是就是中间这一块？中间这一块？中间这一块怎么重复的？它呢？是在 a 当中，你看你算蓝色圈圈的时候是不把它算了一次呀， 然后呢，红色圈圈又算了一次，相当于这部分就算了两次， 算两次，咱们要算面积只需要算几次，只需要算一次，哎，所以你算了两次，我们只要算一次，多算了一次，减一次，这就是去重，减去 ab 就 ok 了。 这里呢，你可以把它理解为是正面计算啊，正面计算我就直接 a 加 b， 完了之后呢，我正面去去重就可以了，就中间多算了一次， ok， 另一半呢，就你就理解为反面计算了。 哎，老师要去重太麻烦了啊，怎么算也可以啊，很简单，你用整个操场的面积减去，既不属于 a 又不属于 b， 那 不也是剩下带颜色的区域吗？也是可以的。好两几何公式呢，比较简单啊，我们来看，这里 就是大家看看，老师专门给大家写出来了啊，我们顺便这一块就把公式直接记住就可以了。两、集合比较简单，首先呢，蓝色框框区域啊，就是 a 加 b， 这就这部分呢，就是直接把集合加起来， 后面呢， a 交 b， 或者我们就直接说 ab 是 吧，减去 ab 重叠这里呢，就是前面我们在加和时啊， a 加了一次， b 加了一次，一共是算了两次把中间区域，所以多算一次，减一次，哎，减去一次 ab， 最后呢，总数减得步绿色框框就是反面计算好，这个公式记住了吧，同学们，哎，两级和如果只是单纯考公式的话，它其实比较简单的啊，来，我们看一看题目。 第一题，某社区为受灾地区捐款捐物，有百分之八十的人员参参加了此项活动，百分之三十的人员捐物品，百分之七十的人员捐款。 该社区既捐物品又捐款，占该社区人员的比例是多少呢？像那种容词原理问题怎么识别啊？很好看， 就是你看啊。哎，这里有捐物的人，有捐款的人，又出现了既捐物又捐款的人，那不就是捐款和捐物之间有重叠，有交叉，就刚才咱们讲的公式，中间区域是一样的吗？那至于我们就 直接带入两集合公式计算就可以了。来，咱们带入两集合公式啊，背一背，刚才刚讲过，怎么着，是不是先加和 a， 加 b， 再减去重叠的部分？这里就一块嘛，减去 a b 是 吧？ a b 都满足的，就等于反面计算总数，减去都不 公式， ok 不？ 那下面咱们往里标这里面呢？如果是百分之多少，百分之多少啊，大家可以直接去算，这个没问题的。但是如果你觉得老师百分之多少，我用起来不顺手怎么办呢？你也可以去赋值，或者假设一个值是不影响结果的，因为全都是比例关系嘛， 所以我就假设这个社区一共是一百个人，可不可以啊？哎，可以有百分之八十的人参加了，那个参加的人呢？有八十个人，百分之三十人捐了物，那就是三十个人捐物， 七十人捐款，问既捐物又捐款多少人？你算， a 集合就是捐物的三十人， b 集合就是捐款的七十人，加起来 a b 是 哪？ a b 就是 咱们这里要求的是吧？ a b 就是 既捐物捐款，等于这里总数减都部呢，说白了就是我们计算参加活动的人是不是总数减都部，就是参加活动的人就是八十个人。 哎，你直接写这里就行，相当于就是百分之百啊，减去百分之二十吧。哎，八十三加，二十不三加，其实你直接用这个就就一样，那这样就算出 ab 多少个人啊？三十加七十，一百人， 八十人，二十人，那最后问占多少既捐物捐款二十人，占总人数一百人，百分之二十选 b 就 可以了。 好，这就是一道简单的两集合容斥原理问题。那这个题当中啊，像两集合容斥，我们只需要去重一次，减去一次 ab 就 去重完不成了。哎，所以说这个公式呢，整体也比较简短啊。嗯，百分之三十加百分之七十，不就百分之百吗？是百分之百啊， 但是它们之间有重叠呀，哎，所以我们要去重呀，对不对？来这个题，没问题的话，打一个一 没问题，是吧？哎，好，那咱们下面难度升级了，同学们，两集合去就去一次虫啊，百分之三十，不，不是属于百分之八十吗？这里啊，同学们，你一定要记住啊， 就是这个地方，大家如果你不好理解的话，你就回到这个图里来理解，大家可以看看这个图，刚才这个图，比如这里是捐物的， 这里是捐款的，捐物的这一块区域占百分之三十，捐款的红色区域占百分之 七十，他们两个区域总体占了百分之八十，有毛病吗？没毛病吧，对不对？百分之三十，红的是百分之七十，中间区域刚才算了，占百分之二十，没有毛病啊 啊，所以说，如果当容尺原理问题这一块大家不明白的话，你就可以画图去标一标数据。好吧， 下面呢，咱们难度升级了，哎，直接上高度啊。来到了三集合， 刚才两集合是两个圈圈叠起嘛？这变成三个圈圈叠起，你看这个公式一下子是不变的啊。来，我们一起看一下啊， 比如说还是一样我们俯视的角度看咱们这个操场啊，操场上有三个颜色的圈圈，红色的，蓝色的，白色的，我们还是一样，要计算三个圈圈的面积的话，仍然第一步，先给它加起来， a 加 b 加 c 啊，比如说 a 圈圈， b 圈圈， c 圈来加起来了吧。好，下面是不是就该去重了呀？ 区域重，哪里重叠了呢？咱们还是沿着两集合的思路走啊，两集合咱两两看。首先是你看老师画这个红色区域的这一块， 这一块是不是就是 a b 重叠的区域？你看红色圈圈和蓝色圈圈重叠，是不是 a b 重叠的区域？那它多算了几次呀？多算了一次吧，这里 a 算了一次，这里 b 算了一次，重复多算了一次，去重是不是要减一次？ 同样的道理，你来看 bc 啊， bc 这一块我画蓝色阴影区，没毛病吧，它也要你光盯这个区域的话，它是不是在蓝色里算了一次，黑色里算了一次。 好，再来看还有个什么区域，还有对应的 a c 就 两两看，两两看啊， ab 看， bc 看， ac 看。那这句话，紫色是不是在 a 算了一次，在 c 算了一次，也是多算了一次，算了两次。只要算一次，多算一次，减一次嘛，所以就分别减了 a、 b， 减了 bc， 减了 ca。 这一块呢，和两极合一样啊，都是一个意思去重啊，算两次，多算一次减一次。 但是这里呢，大家有没有注意到，三集合相比两集合来说，他还多了一个重叠区域，什么区域？就是最中心老师这里用黑色线给它描出来黑色的区域，这块是三个集合 同时重叠的部分，这块区域大家告诉老师，一共算了几次呀？在最开始加和的过程中算了几次？是不是算了三次？ a 算了一次， b 算了一次， c 算了一次。 所以他呢，一共算了三次啊，就相当于刚开始 a 加 b 加 c 的 时候呢，加了三次，加了三次，咱们只要算几次？只要算一次就可以了吧。所以这里我们需要减几次， 剪几次。正常来说剪几次，正常来说是不是剪两次就可以了？因为它算了三次，咱们只要算一次，哎，你剪两次就可以。但是问题在哪呢？就是这个三个重叠黑色区域吧， 它还与刚才我标的红色的、蓝色的、紫色的都包含在其中了。所以刚才啊，你剪红色是不是顺便给它剪了一次？ 剪蓝色也把黑色的顺手就剪了一次，剪紫色也把黑色顺手剪了一次。所以你看嘛，就是咱们本来正常剪两次，但不用了，因为红色、蓝色、紫色剪的过程中已经把它剪了三次了， 所以这个地方你来看看，这个区域加了三次，后面剪的过程中就顺手把它剪了三次。我们没有刻意剪啊，就顺手就把它剪了三次。所以现在中间是什么情况？是不是 窟窿的情况，就你没算它吧，相当于老师给了你三个枣，又问，你手里又拿了三个枣，你手里有几个枣，你手里一个枣也没有。 所以最后呢，我们还要再补一次啊。这个加是什么加呀？老师重点强调啊，他这个加不是要算进去，而是补的意思，补进去了，因为你前面这里加了三次，后面这里减了三次，之后又顺便给他减没了，所以最后要补一次。对， 最后呢，也是反面计算啊，总数减都不。那这个公式怎么去记忆呢？来这里看，老师给大家分成了四个区域啊，四个区域，第一个区域就代表直接加和，我们快速记忆的话就记两个字，哪两个字加和 加和好。后面呢，还是按照两集合的思路，你看是不是 a， b 减一次， b， c 减一次， c， a 减一次。 这些区域呢？加和时啊，都算了两次是吧？ a b 就是 a 算一次， b 算一次算两次嘛，所以多算一次减一次，哎，减 ab， 减 bc， 减 ca， 这一步呢，哎，融精浓缩成两个字，叫做去重， 和两集合一样，去重减去最后紫色区域。大家来看这个 abc 三者交集区域呢，是不是加三次，减三次，补一次呀？哎，前面加和加了三次，哎，减减减，减了三次，窟窿了，补，最后叫补漏。 所以这个公式的左边部分啊，你就记六个字，加和去重， 补漏好，然后来到右边，右边还是一样反面计算，对吧？你不理解，回到刚才这个图，是不是我们可以怎么算红色、蓝色、黑色呢？我就用整个 这个框框的面积减去，不属于蓝黑啊，蓝色红色黑色就减去，现在我老师标紫色阴影部分区域，是不是只要总的减去紫色区域，就照样直接能算出它们三个的颜色了，明白了吗？好，这是我们 三集合当中的第一个公式啊，标准公式加和去重补漏。好，这里公式记住了吗？来，我们拿道题，小事扭到一下啊， 某单位一共有二百四十名员工，告诉你订阅 a 期刊的多少人，订阅 b 期刊的，订阅 c 期刊的，告诉你 abc 的 人数，然后告诉你订阅 ab， 订阅 ac， 订阅三种，三种就是 abc 的， 还有十七人，没有，就是都不订阅的，都不的人数。问，订阅 bc 刊有多少人？好，这个题呢，怎么说？老师怎么识别出是荣事原理问题？老师不是说了吗，就是有重叠呀， 这个你，你如果看不出来的话，你可能就是见的少吗？啊？我，你把咱们这三道题 这里放了，三三道题都见过，你基本上认出来有重叠，是不是有 a 七干， b 七干， c 七干，还有定 ab 的， 是不是 ab 之间有重叠，定 a c 的 ac 有 重叠，还有三种都定， abc 有 重叠有重叠，交集之间有重叠，就是融式原理的题。 那这个地方呢，咱们带入标准公式，大家和老师一起，哎，咱们就顺便回忆，顺便背下来了，不用单独去背了。这个标准型公式长什么样子来着？第一步是加和 a 加 b 加 c， 第二步是去重减 ab， 减 a， c 减 bc， 第三步就是补漏，加上 abc 没问题吧？加和去重补漏，最后呢，反面计算总数减去，不属于 abc 的 就都不啊，都不，既不属于 a 又不属于 b， 又不属于 c， 是 吧？好， 公式搞定之后，下面代入数据， a 幺二五啊，题目有啊，你直接抄就行。 b 幺二六， c 是 幺三五减去 abab 五十七 减去 ac， 七十三减去 bc。 bc 是 我们要求的，是吧？打个问号， abc 是 三十一， 等于总数，总数最开始二百四十人，这里二百四十人，减去都不都不是十七人。好，柿子列好了，来，柿子到这里跟上，没问题，打个一。同学们，柿子没问题，打个一。 那下面咱们是不是开始要算了？算的时候呢？你说老师两集合我口算还行，你这三集合这么长，怎么算呀？怎么算没问题，因为呢，它是一个加减计算嘛，所以可以使用什么法？使用尾数法，它本身就是个加减计算。尾数法， 看老师怎么用尾数的啊。你先把加法算出来，再把减法，比如加法五加五是不是一个零零，你不用管了嘛。 六，这换个加一啊，六加一是不是个七啊？七，好，这边减减七，减三，减七减三又是个零吧， 对吧？那就是七减去问号，等于这是零减七，零减七，你算尾数不能减出负数啊，他相当于你可以理解为是十减七，不够就借一位嘛。十减七是个三， 所以七减几，尾数为三呀。七减四，尾数为三，所以所求的尾数呢？应该是四啊，选择 b 就 可以了。好，这是第二道题， 我们就你看这道题，就是我们直接去使用这个标准公式，你只要能把三集合的公式记住，然后把对应的数据带进来，然后用尾数法，直接答案就出来了，明白了吗？同学们， ok 了吧。哎，下来大家把这个公式记记啊， 继续三集合呢，它比较复杂一些啊，复杂一些，除了刚才讲的标准公式之外呢，这里再来一个公式，叫做非标准公式，非标准公式，这个公式呢，比刚才看的要 简短一些，是吧？简洁一些，其实这个公式呢，由我教大家怎么记啊？这个比刚才还好记。怎么来的？简单推一推啊，你看还是三个集合， a、 b、 c 三个集合，对吧？这里呢，我们还是算面积，先用 a 加 b 加 c， 但是接下来去重的过程呢，我们换一个思路。为什么要换思路啊？刚才咱们去重的过程中发现了个什么问题，就是中间的区域啊， a 交 b 交 c 都满足的加了三次，减了三次，最后成一个窟窿了， 所以为了避免这样的情况发生呢？就是万一你真的把人家漏了，不就没算吗？没补上不就没算吗？所以我们换一种 去虫的方法，叫做精确去虫，精细化去虫。我们把整个这三个圈圈当中啊，咱们以最小区域来看，它重叠的只有四个区域。看好了，这里是第一个区域，我用红色阴影啊，这是重叠的第一个区域， 这里是重叠的第二个区域，这里是重叠的第三个区域， 这里是重叠的第四个区域。就是老师换一种思路，我们用精细化去重啊，就是找最小的这种小小范围，一二三四一共这四个范围有重复，因为剩下的这大留白都没重复嘛，是吧？和别人都不交集，所以只有这四个。那这四个分别来看一看。 首先一号区域，一号区域的话算了几次？一号区域是不是只有在 a 算了一次， b 算了一次，算了两次吧，多算了一次减一次嘛，这个应该大家很熟了。 二号区域呢？算了几次？是不是 a 算了一次， c 算了一次，算了两次吧。也是，所以说减去一次，减二号。同理。三号区域， b 算了一次， c 算了一次，多算一次，减一次， 然后剩下四号区域了。同学们，四号区域算了几次？四号区域是不是 a 一 次， b 一 次， c 一 次？一共算了三次，那我们需要减几次呀？这一次就可以光明正大的减两次了，对吧？因为 之前我们减一的时候，减二的时候，减三的时候都没有带上四，所以这个四号区域呢，他就是真正的算了三次啊。之前在 abc 加了三次， 所以我们只要算一次的话，这里我们需要减去几次，减去两次，哎，就可以了，所以减去二 啊，这四号区域乘以二就 ok 了。好，这里问大家，咱们还用不用补漏了，是不就不用补漏了，因为我们是精细化去重，是吧？哎，非常精确的去去重。好，那这里面呢，减一、减二、减三看得很麻烦啊，所以想办法来合并一下。 减一、减二减三，一二三号区域的话，它有共同特点，都是计算了两次， 是吧？一号二号都算一号，二号三号算两次，所以把它统称为呢，叫做满足两项的区域。看图看好了，满足两项区域，一二三啊，这三个，所以这里满足两项算两次，多算一次。只要减一次， 满足三项，算了三次，多算两次，减两次就可以了。同样公式的另一边就是反面计算总数，减都不。 那么这里我们看直接怎么记公式啊？怎么记公式？首先蓝色框框呢？还是你去加和？ a 加 b 加 c？ 后面红色框框呢，是针对于满足两项来说的，满足两项，满足两项加和的时候呢，算了两次，多算一次减一次。 然后紫色框框呢，是满足三项，其实就是刚才标准型中的 abc 嘛，这就是满足三项嘛。他呢，是算了三次，多算两次减两次，多算两次减两次。满足三项乘以二 等于总数减的部分计算。所以非标准公式啊，其实相对来说更好记。为什么更好记啊？它是一个精确化去重的过程，你满足两项好多算一次，直接减一次，和别人没关系。 满足三项呢？哎，算了三次，多算两次，直接减他的两次就行，和别人没有任何关系。这就是精细化去重 理解了吗？来这个公式，公式能理解的打一个一，就是刚才老师化学推导过程，大家一定要记住啊，你不管是资料分析还是数量关系，其实推导过程你是不用记的，你最终老师推导的目的是帮助你理解公式，你核心把公式记住了，这个推导会不会其实不重要啊？好， 来，同学们问的好啊，老师刚好要讲到说，老师这个公式和上一个公式怎么去区分呀？哎，问的非常好， 公式之间怎么去区分，其实就是根据公式本身的样子去决定的，大家来看，这里是非标准公式吧。标准公式什么样子？加和 a 加 b 加 c 去重减 a， b 减 a， c 减 b， c 补漏，加上 abc 等于反面计算总数减都不。 这是不是刚才讲的第一个公式叫做标准公式啊？那大家来帮老师找一找啊，哪里相同哪里不同，是不是这边的 abc， a 加 b 加 c 是 一模一样的， 没问题吧？这里面的 abc 和满足三项一不一样也是一样的， 总数减都布和总数减都布一比一样也是一样的，是吧？这个 abc 就是 相当于满足三项嘛，它俩一样嘛。所以区别在什么地方？ 区别就在这个地方，老师用方框给你框出来啊，方框给你框出来。所以大家知道什么时候用什么公式吧。如果你发现这个题目当中出现了什么 a、 b、 a、 c、 b、 c 好 用哪个公式？既又 b， c 又 c， 既又 c， 用标准型公式。如果出现了满足两项的， 用什么公式？用非标准公式啊，公式什么时候用，以及公式长什么样子， 明白了吗？下面看一道题啊，哎，下来之后，如果你说老师我还有点不明白，你就把老师选的这两道题认认真真的再做一遍，好好对比对比，相信你已经可以理解了。我们来看第三道题，这道题 说某机关开展红色教育活动三个时间段呢，安排了三场讲座，该机关共有一百三十九人，告诉你总的人数啊，说有四十二人报名，第一场给了你 a 集合， 五十一人报名第二场 b 集合，八十八人报名第三场 c 集合。说三场都报名的， 那就是 abc 嘛，三个都报名的，以及只报名两场的有三十人，问没有报名其中任何一场的，也就是都不的人数， 都不的人数。好，来看这道题。这道题首先能判定出来是三个集合，有交集吧， 一场，两场，三场。那么我们是用非标准公式还是用标准公式呢？那老师告诉你啊，这道题我们是用的非标准公式，为什么我用蓝色给大家框出，哪里看出来的？是不是这里出现了只报名两场？ 我们前面刚才讲了，如果出现了满足两项，有没有这个只都一样啊。只报名两场，满足两场都一样，这里就用非标准。 如果是用标准型公式，大家思考标准型公式这个题应该长什么样子呀？是不是他就会说，哎，我既参加第一场，又参加第二场，有多少个人既参加第二场，又参加第三场，多少个人既参加第三场，又参加第一场，多少？这种表述采用标准型公式 啊。所以这个直接给了满足两项的，用非标准就可以了。非标准公式怎么做来着？ a 加 b 加 c， 减去满足两项的，重复一次减一次， 然后再减去满足三项的，重复两次。减两次，是吧？哎，减两次等于反面总数减都不 下面呢。我们代入公式数据 abc 分 别是四十二，五十一，八十八，减去满足两项的三十， 减去三项的是十二乘以二啊，别忘了乘二总数是二百。呃，一百三十九，一百三十九，减去都不都不就是我们要求的。 同样呢，我们可以用这个尾数法去计算啊。二加八等于零啊，用尾数二加八等于零，不用管他了，这就是个一嘛。哎，这是个一，二乘以二，这是零，不用管啊。一，一二乘以二，是不是一个四点二的四 等于这边九减去？问号，一减四不够减。借位，你可以理解为十一减四，这里尾数是一个七，尾数七等于九减去二，九减二是七，所以尾数为二的话，选择 a 就 可以了。这第三道题啊，第三道题， 这道题呢，就是我们使用非标准公式去解决它的例二例三都是一个三集合，只不过例二呢，咱们用的是标准化公式，出现了既什么又什么，既什么又什么，而第三道题用的是非标准公式，他直接告诉你满足两项的人数是多少。好， 万一尾数是四咋办？尾数是四的话，那，那我没办法，尾数是四的话，我们就只能去代入公式，老老实实算呗，这些简单的加减计算，大家也会算嘛，对不对？嗯，来这个题大家跟上，没跟上的话打个一 尾数法。不懂最简单的尾数法，我举个例子啊，一百三十九减去一百一十一等于多少呀？如果你完整的算的话，是不是一个二十八呀？ 但是现在不用了，我就直接用尾数就是最后一位算，九减一是一个八。好，那如果选项是二十八，二十九，三十三十一，你通过最后一位是八，排除了这三个选择，二十八就可以了。好吧，嗯， 下面呢，我们来看几何，几何这一块我们只需要回顾一些咱们中学学过或者小学学过这种基础知识就可以了。你比如最简单的周长正方形，边长乘以四 四个边吗？长方形二倍的长加宽圆形二派 r， r 就是 半径的意思，它等于派 d， d 就是 直径，这个直径就是半径的两倍吗？ 面积正方形是边长平方长方形是长乘以宽。三角形呢？是二分之一底乘以高， 哎，底乘以高，哎，这里是底啊，你往下做一个高啊，垂线啊，底乘高，二分之一底乘高，圆形呢，面积派二方梯形，二分之一乘以上底加下底再乘以高，这就是上底 就下底啊，这是高啊，二分之一上底下底乘以高。好吧，这些呢，大家如果你不熟啊，这些很简单，你都会，就是你忘记了，下来之后呢，到我们这一页 ppt 呢，你多抄几遍就好。 下面表面积正方体呢，是六个面嘛，所以一个面是 a 方就是六 a 方。长方体呢，对应的就是它，都是两个对面面积相同啊，长乘宽，长乘高，宽乘高啊，对应都乘完之后，各自乘一个二，对面六个面就算出来了。 圆柱，圆柱是二派 r 的 平方加二派 r， h 派 r 的 平方其实代表的就是上下的两个圆啊，二派 r 派 r 方就是上下两个圆乘的二嘛，上面一个圆，下面一个圆，两个圆。 二 pi r h 是 什么呀？它是这个圆柱的这个侧面积，因为圆柱大家想展开之后的图形，是不是就是你比如说这个卷纸吧，把它拉出来，抽出来之后，是不是一个长方形啊，长方形的宽就是圆柱的这个高。 长方形的长是什么区域啊？是不是就是这个？刚才你抽卷纸抽一圈，周长呀，圆的周长就是二拍 r 嘛，所以二拍 r 乘以 h 算是圆柱的侧面积。 忘光了。没关系啊，咱们就回忆嘛，正方体是边长的立方，长方体是 abc 长成宽成高柱形，这的柱形呢，就是圆柱和棱柱啊，底面积乘以高就可以了， 锥形，圆锥、棱锥都一样，三分之一底面积乘以高。好，这些呢，都不用什么，就是没有必要去讲，记就完事了啊，你忘记的下面记啊， 求的考的很少啊，三分，三分之四 pi r 的 立方圆。这个，嗯，就是大家啊，有些公式啊，就是你慢慢来啊，不用一次性说。老师，老师我是不是要把所有我学过的几何公式全部都先背会？ 你先别啊你先别，你先把老师刚才这个 ppt 里面这个基础的先先搞熟了，我们后面你遇到了题，咱们再慢慢积累就可以了好吗？哈哈啊啊，就是没有劣举的， 考的都基本很少或者是不考的，你像什么棱台啊，不考啊，圆台棱台不考啊。好，来看这个题。 说街心公园呢，有一个正方形的花坛，如图所示啊，中间是个花坛，正方形花坛四周呢有一米宽的水泥路， 相当于周围这一圈路呢，它的宽度是一米，所以你看宽度一米的话，其实外面大的肯定也是个正方形吗？因为它两边宽度都是一样的，对吧？也是个正方形好，如果水泥路看好是水泥路，这周围这一圈呢是十六平方米的话，问中间花坛的面积 是多少平方米？这个题怎么考呢啊，这个这个题怎么去做呢？ 来，像我们知道水泥路啊，首先大家肯定没有办法直接去算它的长度吧，所以我们采用的方法就是割，不拼一，有的时候不会让你直接用公式的。首先你可以把它切割嘛，你把水泥路切割开 是吧？哎，这么切割你切割的怎么切割都可以啊，你自己找个习惯的就行，比如老师这么切吧，切的细一些是吧？首先呢，宽度是一，是不是这一块是一， 那这个正方形小的正方形这一块面积就是一吗？面积就是一。一乘一是一吗？还有几个？有四个是吧？我画阴影啊，一个，两个，三个四个 好，剩下是长方形的吧？哎，长方形，长方形，长方形的宽是一，这是一，长是多少呀？长这一条边就是花坛的边长吗？我们假设它是 a 的 话， 所以长方形这个面积，长方形的面积是不是就是 a 乘以一有几个，也是有一二三四四个，对吧？也是有四个就乘以四个， 这一下是不是又把水泥路拆分开了，加起来的面积等于十六，所以就解呗。那四四十六约掉是个四约掉四吗？四等于一加 a， a 不 就是三吗？ a 是 三的话，求花坛面积 正方形，怎么求三的平方九选择 b 就 可以了。这第一种思路啊，第一种思路，第一种思路就是把水泥路给拆开，拆成四个这种正方形，四个长方形，这样去算就可以了，对吧？然后下面呢，第二种思路，同学们，第二种思路呢？我也可以反过来去剪， 我用最外面的大正方形减去中间的花坛面积，是不是就是水泥路的面积，是吧？那假设花坛边长如果是 a 的 话，那花坛的面积就是 a 的 平方， 大正方形的面积呢？你看啊，水泥路这里是一，这里是一，是不是大正方形的边长就是 a 加二呀，对吧？ a 加二，所以大正方形的面积呢？ a 加二的平方，哎，一减就等于水泥路。题目给我的十六。 这个公式可能有同学忘记了啊，就是完全平方嘛， a 方加二的平方，四加二， a， b 就是 二乘 a 乘二就是四， a 再减 a 方等于十六，这里不用怕 a 方啊，因为你看这不就约掉了吗？ a 方减 a 方就没了，就是四加四， a 等于十六，和刚才是一样的，把四四十六约掉是个四，这是一，一加 a 等于四， a 等于三，所以同样啊，花坛面积三个平方就选 b 啊，解出来的嘛，四 a 怎么来的？四 a 是 打开就是我们公式， a 加 b 的 平方， a 方加 b 方加二， a b， 对吧？所以就是 a 加二的平方就等于 a 方加二的平方，四加上二乘 a 乘二，那不就是二乘 a 乘二 c， 对 吧？哎，你解就可以了。好吧，这第二种思路啊， 为什么不是十六开根号呢？你看老师刚才给你写公式了呀，人家告诉你水泥路就是十六呀，所以这就是大的面积，减去花坛的 等于水泥路，水泥路就是十六呀，你为啥要给他开方？就是大家你在说老师为什么不开方，老师为什么不平方？你核心是先有这个式子，你再去想怎么开是吧？所以这里是 a 加二的平方，大正方形的面积， 花坛是 a 的 平方，这样建立的等式去解的，知道了吗？嗯，好，这是第二种思路，同学们，下面第三种思路 就是猜题思路，只要你看到有人问啊，什么花坛呀，花坛是什么正方形对不对？只要有人问你正方形的面积猜什么， 猜平方数，平方数对吧？但是你看老师出题人特别坏，十六九四一，他全是平方数，那老师怎么猜呢？这道题其实有两个正方形对不对？里面的是正方形，是不是外面大的也是正方形啊？ 大正方形是不是等于花坛面积加上水泥路的十六？水泥路周围这一圈十六吧。所以你可以用花坛是选项吗？选项，选项加十六找平方数， 选项就是花坛用它加上十六，看是不是平方数，因为大的也是个乘法平方数嘛。十六加十六，三十二，九加十六，二十五，四加十六，二十一加十六。十七。是不是只有二十五个平方数？猜 b 就 可以了， 猜 b 就 可以，这是第三种思路啊，第三种思路。好，下面第四种思路。什么思路？就是你看同学们 花坛，花坛面水泥路是十六，同学们花坛你肉眼看 他能不能和水泥路一样大，你你扫一眼，他肯定不能是十六吧，花坛不能是十六吧，那花坛能不能是一呢？一的话就太小了吧，十六倍没有这么大关系，四行不行，四的话是四倍，关系 也有点小吧。就是，你看嘛，你看什么看，水泥路这个面积是十六，花坛四有点，他其实就小， 大概怎么说肯定不是十六，四一就完事了，猜 b 完事是吧？这第四种方法。好吧，这道题呢，我们一共讲了四种思路啊，同学们，四种思路啊。 第一种思路，同学们，第一种思路，是不是把水泥路拆开？水泥路用四个正方形加四个长方形拆开等于十六，把水泥路拆开。第二种思路，用大的正方形减去花坛的面积等于水泥路面积建立等式。 第三种思路就是大正方形等于花坛加十六，验证正方形平方数啊，只有 b 加十六平方数。第四种思路，拿眼睛瞪去猜 水泥路是十六了，花坛就不可能是十六，不可能四，不猜，差距太大啊，太离谱。图给的一般都是标准的选 就可以了。好吧，第四种就瞪啊，就是你你你你，凭你的这么多年学数学，你看看水泥路十六花坛能是一吗？能是四吗？能是十六吗？是吧？好，往后走了。同志们 看第五题了，第五题呢，这个题看起来复杂，其实就是在考咱们几何中的基础公式， 基础公式说某疫苗需要接种两剂次，可以达到最佳的效果， a 式接种人数占统计图如下图所示。 零表示谓语就是零次嘛，哎，去一表示一次，去二表示两次。好，这里面是个什么意思啊？它其实相当于是咱们学的几何概型。一听很复杂，哎，其实很简单，就是用我们图形的面积 代表了他对于整体的一个大小关系啊，大小关系是吧？哎，就是一号的面积是这个样子，零号的面积这么大，二号的面积，所以你能看出来谁的区域更大一些？一肯定比零和二大，对不对？ 说 abc 呢，是一个四分之一的圆， d 和 e 是 终点， d 是 终点，那 ad 就 等于 bd， e 是 终点， b， e 就 等于 ec。 又说 d、 b、 e、 f 是 正方形，就是邻号区域是正方形，正方形的话，那么 d、 b 是 不是就等于 b、 e？ 所以 说白了，这四个边其实都相同的，因为这两个边正方形相同，他们又指终点，所以连接的这四个边啊，全部都是相同的。问，只接种一记次的人数占比是多少？ 这里面呢？人数我们求不住具体的人数。那怎么表示人数的多少呢？是不是就说白了用面积去表示啊，用面积去表示一号区，那这个题占比我们就用一号区域。老师画阴影啊，一号区的面积 除以整个区的面积就可以了。人，这个题同学们能不能读懂呀？哎，他其实本质上还是考你几何啊，你就用一号区问你一号区占比，一号区的面积除以整个四分之一圆就 ok 了。好吧，那下面呢？咱们的核心就是求面积， 我们这个一号区域，大家来看，它长的是这么一个图形，你会不会直接求呀？你肯定不会，对不对？怎么办？割补平移啊，咱们就用四分之一圆，它就等于四分之一圆， 再减去下面这个 t 型嘛。啊，如果你合起来看，它就是个 t 型嘛， 这个思路能跟上吗？同学们啊，能跟上吧，好，分别来算啊。首先是四分之一圆，怎么算？由于这道题它没有一个具体的数值，比如边长是多少？没有，所以你仍然可以假设负值啊，我就假设 a、 d 是 一， b， e、 e、 c 都是一，对吧。那这样它的半径是几啊？同学们，这个圆的半径是几？半径是不就是二？ b、 d、 b、 a 就是 半径， bc 就是 半径，是二，所以它的面积就是圆的面积是 pi r 的 平方， pi 二的平方，但注意它只有四分之一个圆面，所以就是四分之一 pi r 的 平方，这就是总体的面积。 蓝色区域这块跟上了吧，咱们用了第一个公式啊，计算这个圆的面积 pi r 方， 再看后面这个梯形区域的面积。梯形，梯形的话，咱们公式是什么来着？二分之一乘以上底加下底再乘以高嘛， 那就是二分之一乘以上底是几？上底是一 d， f 等于 b， e 就是 一嘛，下底是整个 bc 是 二，一加二再乘以高，高到不到这 b d 就是 一 好，所以这一块就是二分之一，乘以一加二就是一点五呗，对吧？哎，就是一点五嘛， 四分之一 pi r 方就是四分之一，乘以 pi， 再乘以二的平方四约掉就是个 pi， pi 是 三点一四，一般用三点一四就够了。所以这样是不是咱们就算除了 这一块的区域，三点一四减去一点五，大概是个一点六四就搞定了啊？一点六四，好，然后接着呢，占比，占比的话咱们就用这个区域一点六四，看占总的面积是不是个三点一四呀。 一点六四除以三点一四的话，首位商一个五肯定没问题吧。三五一十五，五十五多嘛？五多不到六， 所以五十到六十之间选 c 就 搞定了。这就是第五题，同学们，第五题，这个题其实不难啊，你看题目，你说老师好复杂呀，哎，但其实你理解了，他不难，他就是说白了，用我们几何中的面积 去代表了人数的多少，是吧？人数多少，那就是根据他随便画的图，画成什么样都行，只要他的面积比例关系就是符合，一号区域最大，零号区域四肢，二号区域最小，就是大小关系符合就可以了， ok 吧。整体来说就是我们难点在于求这个阴影区域就是一号区域， 它是用胳膊平移的方式，用整个四分之一圆减去后面一个梯形， 后面一个梯形四分之一圆就是四分之一乘以 pi r 方如果都一的话，那就是半径是二二的平方减去梯形，一 上底是一，下底是二，高是一，二分之一乘以上底加下底是三，再乘以一高，那就是这里约掉之后，派是三点一四，减去一点五， 一点六四就有了。当你算出具体值之后，你直接除就完事了。用一号区域的面积占整个就是四分之一，半元四分之一元三点一四五十六十之间。选 c 来这里，答案能跟上吗？能跟上打个一。 咱们这个是电子讲义啊，同学们在课程，你出去课程有个下载讲义，你下载就可以了。 为什么是梯形啊？你下来之后好好看看这个图，这就是梯形啊，是吧？因为这是正方形，所以上下是平行的嘛，对吧？上下平行的嘛，这两边就是梯形。 来看第六题啊，说某兴趣小组进行科学实验，在一个长方体容器中注入了五厘米深的液体，已知这个长方体呢，长四十五，宽三十五，高十五， 长方体内的液体全部倒入圆柱体内。告诉你，圆柱体啊，圆柱体它的半径半径是一个二十，问高是多少？ 那这种题怎么去做呢？其实很简单，咱们中学能不能想起来啊，核心是什么呀？核心就是你这个液体微液体的体积是不变的 啊，液体的体积是不变的，他装到了长方体当中，他的液体的形状就是长方体，他装到一圆柱当中呢，他的形状就变成了圆柱体。 那你就用两个公式建立就行，他比如这个液体装到了长方体中，他的体积是多少呢？体积，长方体体积是不就是长乘宽乘高啊？乘乘高乘宽啊，就等于长是四十五， 宽是三十五，高是多少？注意啊，高是不是十五？不是高是五，对吧？五厘米深五，四十五乘五乘三十五就是长方体的体积，液体，然后再看圆柱 v 圆柱， 圆柱的体积怎么算啊？是不是底面积 pi r 方乘以高 h， 那 也就是等于我直接建个大等于号啊，就等于 pi r 方 r 方二十二十的平方， 二十乘二十就二十平方嘛，再乘以 h， 咱们求谁？是不是就求了这个 h 是 多少呀？ pi 的 话一般取三点一次就够啊，同学们。所以这里面我们直接求 h h 就 等于四十五乘五乘三十五，再除以这一块， 三点一四乘二十乘二十。好，先到这里停一手，同学们，这个题不难，就是液体体积不变，用长方体中液体的体积等于圆柱体中液体的体积，最后只有高，不知道你解高就行。 列式没问题吧，列式没问题的话打个一。为什么不是十五？因为这个十五是长方体的话打个一。为什么不是十五？是在这是五厘米，他没有装满吗？相当于 这是五，整个是十五，懂了吧。那下面是不是就差怎么去计算这个式子了？就差怎么去计算了吧。来看好啊，同学们，我清一下屏了， 长方体是四十五乘三十五，注意高是五，看好了再去除以刚才的 pi r 方 pi 是 三点一四。我直接写了啊， pi 是 三点一四乘以 r 方 r 是 二十吗？二十乘二十等于 h 能约先约三十五和二十约掉，这里约掉一个五是七，四五和二十约掉是一个四。 好，那下面怎么做呢？看好啊，四四是不是一十六，四四一十六，对吧？三点一四乘十六，大家想三乘十六是多少？三乘十六是不是四十八？ 三乘十六，四十八点一四乘十六，大概就是个二左右嘛，所以大概下面就是个五十， 所以这个式子呢，就可以看成四十五乘以七除以五十左右的一个数字，就先把下面给估出来，约完之后，下面估出来四四一十六乘以三点一四，大概是五十左右，所以约掉大概是个零点九，零点九乘七，六点三选 b 就 可以了。 好，这就是第六题啊，这个题呢，计算上就是能约先约，约完之后呢，你尽量凑点好算的接近的数字去估一下，把能约的数字去估。核心思路就是长方体，圆柱体体积 a， 咱们液体体积相同，注意是液体是五厘米啊，不是这个长方体的十五厘米。好吧，这个题没问题的话答个一， 这就数字敏感度啊，数字敏感度就是你算的多了就能看出来了， 因为你一五一五二二五嘛，十五乘十五是二二点多嘛，所以十四乘十六大概也是二点多左右。嗯， 尾数不行啊，尾数不行，因为三点一四，它它根本就没尾数，对吧？好，下面呢， 除了我们刚才补充的很多什么周长呀，面积呀，表面积，体积之外呢？最后一个几何中的重要的公式就是勾股定律了。这个公式勾股定律熟吧， 直角三角形中直角边的平方和等于斜边的平方， a 方加 b 方等于 c 方。勾三股四减五是吧？需要记的几组数 就是常见的勾股数，三四五五十二十三。那你说老师还有六八十呢，这位老师给大家的啊，是最简比 三比四比五，你六八十就是两个三，两个四，两个五嘛，对吧？两个三，两个四，两个五就是六八十， 所以只要满足最简比三四五就是直角三角形。勾股定律五十二十三也是一样啊，你可以十二十四，二十六都一样， 如果这两组数记得很熟的同学，可以多积累一组八十五十七啊，这个也偶尔会考，但是没有前面两组考的多一些，出现多一些，八十五十七也是一组勾股数啊。然后下面呢，是特殊角度的三边比例， 一个是三十度的直角三角形，所对直角边斜边一半，一根号三二， 另外是四十五度的等腰直角三角形一，一根号二。所以勾股定律这一块呢，来我简单说一说啊，你就知道了。勾股定律有两个用处， 第一个用处是通过公式计算长度，我们很多时候在几何当中怎么算长度呀？就是你要构造直角三角形，去用勾股定，你去算长度。第二个就是可以反推直角， 当你发现三边比例三四五，哎，三个边的比例三四五，那你就可以反推这个三角形直角上面考的多啊，上面考的多，下面用的少。 然后接着呢，就是你要记五组比例关系，你可以直接去套进去，三四五五十二十三，八十五十七，还有特殊角度的三十度的一根号三二 一，一根号二。好，这五组就是勾股定律，怎么用啊，有什么用？以及五组比例关系，记牢了，明白了吗？然后下面呢，来看题目， 某训练基地一块三角形场地的面积是一千九百二十平方米，三角形场地的三边长度是五比十二比十三，问周长是多少？ 看好同学们，当你看到五十二、十三，五十二、十三，是不是就能反推出这个三角形，它是一个直角三角形， 所以这里就是五，这就是十二，这就是十三，对吧？哎，当他们给的直角三角形之后呢，他问三角形的面积是多少，面积是多少，那我就去表示嘛，直角三角形的话，它的边长就是高和底嘛，直接算就可以了。所以面积 二分之一底乘高，那就是二分之一。我们就假设设未知数啊，就是五 a 十二 a， 十三 a 底就是五 a 乘以高十二 a 等于一九二零， 把这个拿下来，哎，面积好，你就可以把 a 解出来了。五乘十二呢是六十六，十乘二分之一是三十， 这就是三十乘以 a 的 平方等于一九二零， a 的 平方呢？一九二零除以三十零，约掉一百九十二除以三的话，三六一十八，十二六十四， a 的 平方六十四 a 就 等于八 出来了吧。那最后问你周长是多少，那我们就算呗，十二 a 加十三 a 加五 a 就是 三十 a， 三十 a， a 是 八的话，三十乘八二百四选择 b 就 ok 了。这是第七题，这个题呢，不难啊，就是首先我们先通过我清一下屏啊，首先我们先通过长度之比 推出这个三角形，是直角三角形，因为如果他不是直角三角形的话，他的边长啊，就不一定是高了，对不对？你看这不是这样，他边长不一定是高，所以你要先推出他这个直角三角形，然后呢，这时候就可以直接用他的边长作为底和高，设为五 a， 十二 a， 通过三角形面积公式解出 a 等于八，那整个周长就是三条边，之后二百四就出来，总共三十 a 嘛，所以就是二百四十选 b。 嗯， 好，来，大家，这道题能跟上吗？能跟上，我打个一。哎呦，同学们呀， 你们大早上来这里是为啥来了？为了什么？为上岸，为学习吗？你们说这么优秀的人应该什么？互相珍惜是吧。哎，大早上是吧，大家，好不容易，你看志同道合都能早起，这很不容易啊，缘分吗？ 这真是，多珍惜珍惜是不是啊？好，这个题没问题吧，同学们，没下一题了，没下一题了，哎，这个题呢，我们就简单梳理一下这节课了啊，同学们，差不多了啊，你该上班上班，该打卡打卡了。容吃原理问题，我们讲了三公式啊，两级和有一个公式， 三级和有两个公式，三级和公式比较长，标准公式是加和去虫补漏， 非标准公式是加和。满足两项多算一次减一次，满足三项多算两次减两次。哎，这就是公式三公式 几何问题当中呢？能用公式用公式什么？周长面积，表面积，体积，对吧？不能直接用咱们第一题，第二题，有的不能直接用，你就各补平移，就想办法用公式就完事了。最后呢，补充了这个勾股定律啊，好吧， 那这节课呢啊，我们就讲到这里了，哎，同学们注意你，你就是宰相，肚里能撑船， 你想要当宰相，你肚里是不是给能撑船啊？心中开阔一些，要把人民都装到心里，对不对？同学们啊，好希望大家以后都能够这个为更广大的人民去服务。好吧，那同学们 辛苦了啊，又是完美阳光的一天。哎，大家拜拜啊，继续加油。

大家好，我是英文徐老师，今天是十二月十八日，周四啊，心灵提高版，我们来看一下这个题型五的欧拉公式，欧拉公式就是把一个立体图形的顶点面棱数他们的关系给他研究一下。 那我们在研究之前我们数一下，呃，这上面显示的图形啊，说四面体，四面体这个题，这个题在高中会大量的有预算题，就在高中里面，这个题可能大家跟打交道的似乎特别多， 然后面数呢？四面体呢？顾名思义，四个面，那楞数呢？我们这个图我们可以数一下，侧边是三个，底边是三个，所以是六条了，然后六面体呢？六面体就是我们讲的长方体或者是正方体， 那今天都是八个，然后呢面数是六个，那楞数呢？楞数我发现上面 四个，侧边四个，下边四个啊，所以总共是十二个，然后下面是八面体， 八面体，我们看这个八面体只有六个顶点啊，这地方有个顶点，侧面四个，下面还有个顶点，所以只有六个顶点。十二面体，十二面体的面所呢？肯定是十二面， 今天说这张给了二十，然后三十，然后呢？这个满的什么关系呢？那这就是他们三个，就是这么，这个，这，这组数满的什么关系？那我发现， 呃，四加四减六，那应该等于二，然后八加六减十二，然后等于二，六加八减十二也等于二十加十，二减三十也等于十二， 所以我想了，他们的满的关系呢，就是顶点数加面数减去内数等于二，顶点数加面数减去内数等于二。 那有有同学就问我了，那你是怎么分析出来了？不是我分析出来的，而是这是找规律的。题目给了四组数据，那这地方是四组数据，那我就通过这四组数据来找到一个规律， 因为一个一组数据不具有普遍性，那四组数据都满足同样的规律，那我们就寻找了普遍规律，这个普遍规律经经过总结，那就形成我们能总结的数量关系 好，所以这个顶点数是 v， 面数是 f， 减去内数，内数是一等于多少等于二，所以这一题就这样填 啊。已知一个楞柱有七个面，楞柱有七个面，那他是几楞柱？那我想楞柱，哪个是楞柱？我一看这个六面体，他是楞柱，楞柱，楞柱。什么是楞柱？就是底面和顶面就有一个底面，还有个顶面， 他俩的，他俩的形状就是这个楞柱的形状。然后呢，除了顶面和底面，那旁边还有几个面，我们就称为几楞柱， 那现在有七个面，那七个面减去底面，减去底面，那他应该是五楞柱，所以这应该是五楞柱。以这一个多面体只有八个定点，并且过每一个定点有三条了， 每个顶点有三条了，那总共有多少条了？那我这样想，每个顶点有三条了，现在有多少顶点？八个顶点，所以八乘三。 但是呢，一个楞有两个定点，一个楞有两个定点，就一个楞需要消耗两个定点。那现在呢，八乘三，就是每个顶点含有多个楞， 那现在呢，两个顶点含有一条楞，所以这个八乘三要除二才等于它的楞数。 其实呢，这地方很好理解，为什么来呢？一个顶点三条楞，然后每两个顶点共用一条楞， 那一个顶点三条楞，这个顶点乘以三，那这地方是这个顶点含有的楞数， 但是呢，总的论数不一样，总的论重合了，因为什么呢？因为你这个顶点，还有他论在另外一个顶点也被算上了啊，所以就成合了一倍啊，所以这是要除以二啊。所以这三八二十四，二十四，除以二应该等于十二，所以论数是十二。那问这个多面体的面数， 那我们利用刚才总结的公式就可以求出了面数，面是 f， 然后顶点是八，所以八加 f， f 是 面，减去 e， e 是 棱数。棱数十等于多少等于二，那所以很容易算出这个 f 是 六，那所以是六面，所以这个多面体的面数是多少？六面体或是六面。 好，这个欧拉公式大家一定要有个印象啊。 好，接着我们再往下看。好，第二题比较简单，是一个立体图形，他说棱长为二的正方体毛坯挖去一个棱长为一的小正方形，得到如图的零件，那问这个零件的表表面， 你看这个面是不是缺一块啊？那缺一块，正好这个面补上了， 然后呢，从左边看也是缺一块，那缺一块呢？在这后面这条面补上了，从上面看也是缺一块， 从上面看这个形缺一块，那也是这个面补上了啊，所以我说呢，缺的都被补上了，那还是六个面，那每个面的面积呢？还是一样的啊，所以这个表面积 s 很好做啊，每个面嫩长是二，二乘二是一个面， 多少个面？六个面，所以乘以六啊，所以得到他的面是二十四啊。做到这个还不行 啊？不是做到，做到这个就行了，因为这道题没有给单位。没有给单位呢？我就不需要写单位。我以为这道题有单位写到这还不行，那这道题没给单位。他叫嫩长为一，那直接是二十四。他说这个零件体积，那体积我想了，那就是大的 正方体减去一个小的正方。挖走一块吗？挖去一块，把这个挖的减掉，所以体积就等于总的，总的那就是二乘二，再乘二 正。呃，正方体的体积嫩长乘嫩长，再乘嫩长，减去一个小的，小的是一乘一，再乘一好，所以算出来是七好。这道题还是比较简单的。

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农村之家记住搿六只公式，第一，面积乘以二点八，就是红砖的用量。第二，面积乘以零点零三五，就是钢筋的用量。第三，面积乘以零点四六，就是沙子的用量。第四，面积乘以零点一八，就是水泥的用量。第五， 面积乘以零点零三，就是混凝土的用量。如果实在记不住，那就一键三连，关注龙哥，龙哥帮你记别墅！

当工作与爱情相遇，马上跨年了， excel 给的浪漫你会吗？今天一个视频教会你，首先在 a 二单元格输入 x， 然后在 b 二单元格输入 y， 用来代表坐标轴，在 x 下方输入负一点八一，点击上方填充。选择系列，将行改成列不长值，输入零点零一，中指值输入一点八一点确定。 然后在 y 下面输入准备好的函数，右下角双击填充，再点击文件，打开选项，点击公式， 在计算选项里勾选迭代计算，将迭代次数改为一点，确定。在 c 二单元格输入等于 c 二加零点零五，再选中前两列数据，点击上方插入，选择，插入散点图，再把多余的内容删掉，调整一下大小， 将颜色改成自己想要的颜色。最后，我们按住 f 九新型曲线图就动起来了，你学会了吗？