克拉默法则证明过程

同学们大家好，今天我们来学习一种解现行方程组的方法，克拉莫法则 解。象新方程组相信大家并不陌生，在中学的时候我们就已经学习过了，当时学习的方法称为代入消元法。以这样一个二元一次方程组为例，首先要对两个方程进行编号， 解的第一步就是选择一个系数较为简单的方程进行变形，这里选择方程一，变换后的结果为， x 等于三减二， y， 将此命名为方程三， 然后将方程三带入下面这个方程二，得到这样一个新的方程，将其命名为方程四。 解，这个方程可以求得 y 等于二，再把 y 等于二带入方程三，最后求得 x 等于负一，这样就完成了方程组的求解。 这道题因为未知数较少，过程还不复杂，但随着未知数个数的增加，用代入向元法解方针组还是蛮痛苦的。 那有没有同学想过有一种方法，他不需要这些繁琐的中间过程，只需要给出方针组就能直接得到答案呢？ 哎，还真的有，这就是以瑞士数学家加百列克拉莫的名字命名的克拉莫法则。 举个例子，比如这个方程组的两个解，根据克拉莫法则就都能被表示为一个行列式，除以另外一个行列式的结果， 其中分母这个行列是都是相同的，他们都是由未知数的系数构成的，而分子都是在分母的基础上稍加改变形成的。 具体的来说，第一个未知数 x 一的解，就是将第一列用方程右边的长数 b 一、 b 二代替第二个未知数 x 二的解， 就是将第二列用方程右边的长数 b 一、 b 二代替。同样的，对于三元一次方程组而言，它有三个结，每个结都能被 被表示为一个行列式，除以另外一个行列式的结果，他们的分母都是由未知数系数组成的。分子还是在分母的基础上进行改变。 第一个未知数 x 一，就是将第一列替换为方程右边的长数 b 一、 b 二、 b 三。第二个未知数 x 二，就是将第二列替换为 b 一、 b 二、 b 三。第三个位置数 x 三，就是将第三列替换为 b 一、 b 二、 b 三。 将此推广到 n 元，那么 d 这个未知数 x j 的结，就是将 d j 列替换为常数 b 到 b n。 可以看到这里不需要经过那些繁琐的代入， 肖元给出方针组就能直接求出结。这个结论相当清爽简洁，但得到它并不容易，它的背后包含的是数学家们几百年的努力。 在十八世纪以前，未知数还固定用 x y 来表示，据此列出的方针组是这样。根据这个方针组，很容易可以解出 x y 均为两个数相除的结果。 不仅如此，而且他们的分母还是相同的，都是由未知数的系数组成的。 而对于分子来说，他们是不同的。不同就需要找 规律。大数学家莱布尼兹指出，这个规律也许与未知数的位置有关，为此他给未知数加上了锁引，这样两个结就变成了 x 一与 x 二。 他将这一改变写在了一七零零年出版的教师学报上，并建议可以继续往这个方向研究。后来，瑞士数学家克拉莫根据这一线索，对方程组的系数进行了进一步的修改， 这样修改的目的是让字母 a 表示第一个位置数的系数，字母 b 表示第二个位置数的系数，大写字母 m 表示等式右边的长数。 整理一下，两个解就表示为这两个式子。写成这样后，他发现分子分母的差别并不大。以第一个解为例，就是将分母中的 a e 替换为 m e， a 二替换为 m 二。而我们前面说过， a 代表第一个未知数的细数， m 代表等式右边的长数。 那么这里第一个未知数 x 一的解，就是将第一个未知数的细数替换为等式右边的长数。再来看第二个未知数 x 二的解， 它就是将分母中的 b 二、 b 一替换为 m 二、 m 一。而我们知道 b 代表第二个未知数的系数， m 代表等式右边的长数。那么这里第二个未知数 x 二的解，就是将第二个未知数的细数替换回等式右边的长数。除了二元， club 发现三、四、五元也是符合这个规律的。 以三元为例，它的第三个未知数 x 三的解，就是将分母中的 c 全部替换为 m， 而我们知道 c 为第三个位置数的细数， m 为等式右边的长数。 因此第三个未知数 x 三的结就是将第三个未知数的细数用等式右边的长数来代替。这 就是克拉莫本人给出的克拉莫法则，他将这个结论发表在了一七五零年出版的代数取弦分析上。此时规律虽然被总结出来了，但是由于书写太过冗长，因此并没有被推广。 后来又经过拉普拉斯等人的努力，行列式理论被发明了出来，将分子分母用行列式表示解的形式就被大大简化了， 这和我们现在看到的形式就已经很像了。但还有一点区别，这是因为后来大神柯西又引入了双下标的记号法，并将等式右边的长数固定用字母 b 表示。根据这个新的标记法，现行方针组就是这样， 结也相应的改变。这样经过两百年时间的演变，从莱普尼兹到柯西，从克拉莫到拉布拉斯，克拉莫法则经过一代又一代数学家的努力，终于成为了我们今天看到的样子。 在一七五零年克拉莫发表文章的时候，因为抗劣势技术还不成熟，所以当时只给出了结论而没有证明， 今天我们就来帮他完成一下。首先来看看二元的情况，对于这样一个方程组，我们习惯横着去看，他看成是由这两个方程组成的，这样在几何上他们就可以看成是两条直线。 解方针组就是求这两条直线的焦点，求出焦点后，它的横坐标就代表第一个未知数，纵坐标代表第二个未知数，它的代数求解形式就是我们最早提到的代入消原法， 而我们说过克拉木法则与代入校园法不同，所以需要换种思路。 下面将这个方程竖着来看，这个时候我们可以将每一列都用一个像量来表示， 把它们连接起来组成一个向量方程，它和上面那个方程组是等价的。接下来我们就是要用这个向量方程来求解出 x 一与 x 二。 该怎么做呢？现在还没什么思路，那这样的话就先把已知量先标出来， 首先标出第一个像量，用一条蓝色的有像线段表示。接着标出第二个像量，用一条红色的有像线段表示。最后是这第三个像量，将它用一条黄色的有像线段表示。 而根据上面这个等式，依照向量加法的几何意义，我们知道三者满足平行四边形法则。 走到这里，已知量其实还没有被表示完，我们还缺少了这样两个项量。首先来看这第一个项量，根据项量 数乘的几何意义，它应该在蓝色这条直线上。再来看这第二个项量，根据项量数乘的几何意义，它应该在红色这条直线上。 现在所有的已知量都标完了，下面该干什么呢？寻找等量关系。 这时可能有的同学会问，我们这里不就是根据上面这个等量关系画出的下面这幅图吗？ 那通过这幅图我们还能找到什么等量关系吗？有的用面积， 比如这两个项链，他们能构成这样一个平行四边形，另外两个项链能构成另外一个平行 四边形。在这些平行四边形中，有一些面积是相等的，比如这个蓝色的平行四边形和这个黄色的平行四边形，可以很容易地看到他们是同底等高的，因此他们的面积相等。 又因为蓝色这个平行四边形是由这两个向量构成的，根据行列式的几何意义可以知道它的面积，就能用这两个向量构成的行列式表示。 同样的道理，因为黄色这个平行四边形由这两个像量构成，根据行列式的几何意义可以知道它的面积，就能用这两个像量构成的行列式来表示。根据面积相等， 我们就得到了这样一个等式。将这个等式整理一下， 最终可以得到 x 一为这两个行列式相除的结果。 同样的方法，根据这两个面积相等，可以得到 x 二为这两个行列式相出的结果。 也就是说，将方程组竖着看，我们得到了下面这种解的形式。 二元的情况看完了，下面我们来看看恩元的情况。 n 个未知数的方程组是这样，按照 club 法则，它们的解是这些。由于我们知道超过三维 就没有几何意义了，所以要完成这个证明，我们不能再用前面的方法，下面我们就用行列式的性质来完成证明。这里为大家展示第一个未知数的求解。将这个式子进行变形， 我们就把问题转换成了证明这个等式成立。下面我们就从左边这个式子出发，首先将 x 一乘到第一列， 这样就得到了这个式子。这里用到的是行列式的数乘。 第二步，将第二到第 n 列都加到第一列上去，具体来说 就是加上第二列乘以 x 二，一直加到第 n 列，乘以 x n， 这里用到的就是倍加性质。在经过数乘和倍加两个操作后，我们最终得到了这样一个等式。 下面写出原始的方程组，根据方程组的第一行可以知道第一列的第一个元素，它的值为 b 一。 同样的，根据方程组的第 n 行，可以知道第一列的第 n 个元素，它的值为 b n。 整理一下就可以得到这个等式。再调整一下位置，就得到了 x e 的表达式， 也就是说 n 元方程组，它的第一个解为下面这个表达式。同样的方法，用在第二到第 n 个位置数就能得到方程组的其他解，下面给出它的严格定义。 需要注意的是，这里有一个不等于零的条件，它其实就是保证分母不为零。还有一个就是因为它里面的元素全部都是由未知数的系数构成的，因此也被称为系数矩阵的行列式 定义。介绍完了，下面来看例题， 下面我们就来用 club 法则解这样一个方程组，由于后面需要用到未知数的系数，为了好看，这里把系数都显示的表示出来。 根据定义，我们首先要判断由系数组成的行列式的值，可以计算出它等于三不等于零。根据克拉莫法则，第一个解的分母就是系数矩阵的行列式， 分子是在分母的基础上，将第一列用等式右边的长数进行替换。这个式子的分母在前面已经计算过了，结果为三， 而它的分子通过对这个三阶行列式的计算，可以得到结果为十五，那么整个分式的结果 九为五。同样的，根据克拉姆法则，第二个未知数的分子就是在分母的基础上，将第二列用等式右边的长数做替换，可以得到其结果为零。 最后是第三个未知数，就是在分母的基础上，将第三列用等式右边的长数做替换， 计算出结果为三。这样我们就用克拉姆法则完成了对这个方程组的求解。

八十，要学会克拉莫法则。接下来我们要讲最后一个问题，克拉莫法则求解一个线性方程走，这是别人研究的成果哈。我首先跟你讲公式是什么？首先写出 d， 我们把 ax 一的系数三二抄到第一列， x 二的系数负二一抄到第二列，然后得到这个行列是 d， 我们接着写行列式，第一第一表达的意思就是 x 一对应的行列式，也就是把 x 一的系数三二改写成后边的十二一， 写到这里我们就得到了第一，后边直接计算，然后我们写第二，也就是把变量 x 二的系数负二一改写成他后边的十二一，然后直接计算好。接下来我们就得到了 x 一的公式，等于第一比上的 x 二的公式等于第二比上 d。 这个东西你不需要去考虑他为什么是这样，因为这是克拉莫研究出来的规则。进行推广，我们就可以得到 xi 等于 d i 比上 d 好，我们把这个 d 以及 d i 的求解方式再看一次， 就是把所有变量的细首一次罗列，而 d i 就是把刚才罗列的结果中去掉 xi 所在的列，然后把等号右边的值写入到 xi 对应的细首位置，然后我们就得到了 d 跟 d i 的求解，最后用 d i 除以 d 就得到 a。

克拉姆法则 啊，这个定理什么意思？给了大家一个方程足， 几个方程一二， n 个方程，几个未知数，开个十二十二十，让 n 个方程 n 个未知数的一个方程组啊，这是科纳法则的前提条件啊，这方程组什么形状的 n 个方程 n 个未知数 啊，作为这样一个放生族，如果他的系数行业不得零啊，这是地理的条件， 如果这细算不得零，那么定理的结论，这个方程组呢，就有唯一结，而且这唯一结可以这么 球呢，大家可以这么球啊，怎么球 x 一啊， x 的分模就是系数行列式， xc 的分子呢？大家把细长的第一列啊，第一列换成长酥香 啊，大家怎么去挨个这样呢？分伯就是戏床烈士，分子呢，就把行程第二列，把行程第二列换成长坐下啊，所以啊， 大家求方程出解的时候，分子是谁？大家求 x 一的时候啊，就把性能第一列换成长属相， 大家学 x 二的时候，就把学生的第二列换成长足下啊，这个定理啊，就叫克拉莫法则啊，这定理的证明， 我想大家可以不管啊，音浪不会靠大家对不对？但是这结论必须得记住啊，要会用结论来做题 好，大家设想一下啊，设想一下，如果一道考题来了，大家用柯南法则来求助方正组队起， 大家看看，但如果用这个方法把方特姐给求出来，你想想看，这个计算量， 这不有点太大了，分母一个行列是分子呢？ n 个行列？是 啊，大家一个方程轴要算几个行列式是不要算 n 加一个按键行列式， 那所以大家如果用这个方法来叫方德杰，计算量恐怕有点太大，那所以大家 从这个角度你能想到的是什么？那这个地理啊，恐怕不是让大家真的用这方法来求放生组解的 课堂的法则呢，更多的地方用在哪？用在啊，这个地理更多用在做小的证明题 啊，怎么做小字证明题啊，我一会帮大家复习啊，我想我现在先要跟大家打什么招呼呢？啊，也考过大家什么呢？用科诺法则求防冻结， 让你比方说速算，考过啊，要同学来一个填空题啊，要速算，同学求求放纵的写啊，那道考题以后大家做一做啊，那道考题密集，老师怎么设计的呢？ 啊，给大家的放生族啊，这个系数行列是不是别的就是你们昨天讲到的樊德蒙， 大家樊德蒙是不是张嘴说答案的题？那所以啊，大家记住一个原则，特殊情况用柯南法则解放征途， 多数情况科照法则是做证明题的。那大家把这个复习的，把这总的原则把它搞清楚。好，大家来思考一个特殊的东西，大家看啊， 给大家一个骑士王争夺，长树上都是零啊，作为骑士王的大家想， x 得零， x 得零， x 得零，满足第一个王者， x 得零 s 二零 s 等于满足第二方程 x 一得零 s 二得零 s。 说满足每一个方程，就不管这系数等于几，小于等于几，是不是每一个。其次，方程组是不是有咱们刚刚讲到的那个零结 啊，就任何一个气势方程足啊，不管小一等于几，那系数等于几，任何一个气势方程足，是不都有 x 得零，二四得零，二四得零，这个零结 好，大家呢？以这个背景出发，大家思考一个特殊的东西，大家设想一下，如果我现在给大家这个起始方针读， 他的系数行列是是不得零的啊，如果这系数啊，这个方车主的系数行不得零。根据科通话法则 啊，行李时不得林是不是有唯一结？是不可能有法则行不得林是不是有唯一杰？因此这个起始王宗主，如果他的戏霜不得林是不是一定要有唯一杰啊？是不是一定要有唯一杰 啊？咱们刚刚怎么说的，每一个骑士王庄主是不是肯定，肯定一定会有那个玲姐吧。 那么这样一来呢，大家把五一节把这数的再准确一点，是变成了这样一句话啊，就一个棋子放中毒，如果形状不得灵， 看什么只有林杰 啊，记住这定律啊，记住这个定 定律，对吧？ n 个方折， n 个为主，这个七十方程组，如果他的信上不得零啊，那么七十万的是不只有零结 啊？制作克拉玛法则，在期望着一种描述，对吧？好，现在大家把他的等价说法分析出来， 那一个命题是我和他的逆否命题是等价的，要对全对，要错全错。所以大家把这个命题的逆否命题翻译出来，逆否命题是什么？是把结论否定当条件， 那把条件否定当结论对不对？所以在这现在结论其实只有理解一否定呢，是变成了， 其实我们有非定结，对不对，是不是真的就是有非定结？好，大家把原来的条件啊，说错的，把原来的结论否定当条件，然后失败，把原来的条件否定当结论，行列不得灵一否定是吧？行列是不得灵 啊，这是个科润化法则，在其实方面有一种描写。好，大家注意下这个推轮啊，注意下这个推轮， 其中有非礼节康帝斯的礼物啊，我把大家注意到没有啊，咱们昨天提到了一下，对不对 啊？咱们考研里面有一种小题啊，靠，在正行列得零啊。啊，怎么正行列得零呢？大家别忘着一个考点， 就是咱们现在复习的科罗法则啊，大家能不能整出其中有费婷杰的，如果能整出其其其中有费林杰，是不就是行李斯哲林 啊？所以这个啊，咱们一会给讲下面证明题的时候咱们来用啊。现在呢，咱们把啊科的话法则解方程足，还是要帮大家做一个小小的复习啊，因为也有题目靠，大家又看到这解方程读的。

满分的苗子们，咱们一起来看看这道题，若 abc 互不相等，让求非直线方组的解能不能注意到他的系数行列四是一个范德蒙行列四。那咱们来看一下范德蒙， 类似咱们以三阶范德蒙行列四为例，它有什么特点呢？它第一行元素都是一，之后呢？每一列是一个等比数列，这是 x 一 x 一的平方，这是 x 二 x 二的平方，这是 x 三 x 三的平方。我再说一遍范德蒙行列四的特点啊， 第一行元素都是一，每一列是个等比数列，那这个行列式的值呢？它就等于第二行公比大角标减小角标，也就等于 x 二 减 x 一， x 三减 x 一，再乘以 x 三减 x 二。满分的秒字一定要一眼盯出这是一个半的末行列式，那下面呢，我们来解这道题，解，我们由克拉莫法则，我们先来计算这个方龙组的系数行列式的值，比如说这个 d， 他就 等于这是一一一 a b c a 方 b 方 c 方，大家看他是不是一个范德蒙行列四啊？啊，不像，但是你给他转制一下，是不是就满足咱们范德蒙行列四的特点了？一定要记住，记住，行列四的行跟列是对称的，所以说他每一行都 是一个等比数列，第一列呢，它是都是一，那么这个含列式的值呢？就等于第二列公比大角标减小角标，你说它等于谁啊？ b 减 a 乘以 c 减 a， 再乘以谁啊？ c 减 b。 下面呢，我们再来计算第一啊，这个第一，他就等于 我们将非几个项来代替这个系数行列式的第一列。那这就是 a 的三指方， b 的三指方， c 的三指方，这是 a、 b c a 方 b 方 c 方。那我们根据行列式的性质，我们把第一行的公因子 a 给他提出来，第二行的公因子 b 提出来 d， 三行的过音指 c 提出来，他就等于 a、 b、 c， 这是 a 方一 a， 这是 b 方一 b， 这是 c 方一 c。 那之后呢，大家注意啊，这个不像范德萌，我们给他进行换一下列，比如说我们首先一二列互换，前面加个符号 之后呢，我们在二三列互换，那么就抵消掉了，他就等于 a、 b、 c， 这是幺幺幺 a b、 c， 这是 a 方 b 方 c 方，那么这又是一个范德摩行列式，所以说它就等于 abc 乘以谁啊？第二列，大角标减斜角标， b 减 a， 乘 以 c 减 a， 再乘以 c 减 b， 我们就把第一求出来了，我们再来看第二，第二呢，我们就将非形象来代替系数行列式的第二列，那这是一一一 a 的三次方， b 的三次方， c 的三次方，这是 a 的平 方， b 的平方， c 的平方。下面呢，我们将第一行的负一倍加到第二行，第一行的负一倍加到第三行，他就等于这是一 a 的三次方。 a 的平方，这是零 b 的三次方。减 a 的三次方， b 的平方减 a 的平方，这是零 c 的三次方减 a 的三次方，这是 c 的平方减 a 的平方。下面呢，我们将这个三级行列式啊，按照第一列进行展开， 他就等于 b 的三次方减 a 的三次方乘以 c 的平方，减 a 的平方，减去 b 的平方，减 a 的平方乘以 c 的三次方减 a 的三次方。第二我们就算完了，下面呢，我们再来计算第三，第三呢，就是非几只项来代替系数行列式的第三列。我们来写一下，这 是一一一 a、 b、 c， 这是 a 的三指方， b 的三指方， c 的三指方。下面呢，我们将第一行的负一倍加到第二行，第一行的负一倍加到第三行， 他就等于这是一 aa 的三次方，零 b 减 ab 的三次方，减 a 的三次方，这是零 c 减 a 七的三次方，减 a 的三次方。我们将它按照第一列进行展开， 它就等于 b 减 a 乘以 c 的三次方，减 a 的三次方，减去 b 的三次方，减 a 的三次方，再乘以 c 减 a， 这样的话，我们把第一、第二、第三就都求出来了。那么根据克莱莫法则那么固我们就知道 x 一，它就等于 b 一比 d， 那就等于谁啊？ d 一就是 a， b， c， 我们乘以谁呢？ b 减 a， c 减 a， 再乘以 c 减 b， d 呢就是 b 减 a， 乘以 c 减 a， 再乘以 c 减 b， 那么这就都约去了，它就等于谁啊？ x 一就等于 a， b、 c， 那么 x 二呢？ x 二就等于 d 二比 d， 你给它带进去啊，进行化解，我就不一一带入了啊。这里面化解呢，还是有点复杂度的，那么带进去之后，它就等于负的，这是 a， b 加 b， c 加 c， a， 那么 x 三呢？ x 三就等于 d 三比 d， 那么给他整理完之后，他就是 a 加 b 加 c， 这样的话，我们就利用 creme 法则，把这个比较有特点的非其次建议方能组呢给求出来了。 x 一等于第一比 d， x 二等于第二比 d， x 三等于第三比 d。 满分的苗子们，你们看出这是范德摩行列式的应用了吗？

哈喽，大家好，数学式思维体操，我是考研数学杰哥，非常幸运大家能够点开这个宝藏视频，跟杰哥一起学习用克拉姆法则去求矩阵的逆啊。那这个方法呢，是我自己 想到的，因为我们用初等函变换去求，咱们觉得逆呢，有一个非常大的缺陷，就是你算错之后呢，你不知道你哪一步变换做错了，你得重新推倒再来，那么这个实际上是非常浪费时间的， 对吧？啊，那么尤其是在考试的时候，我们时间要求非常紧张啊。那么今天呢，各位跟杰哥学习如何去用咱们克拉莫法则球举着逆。 好，我们有一个列向量列向了 a、 b、 c， 现在我们又列向了 a、 b、 c 去替换矩阵 d 的第一列，第二列和第三列，得到三个矩阵，然后我们分别去求这三个矩阵行列式啊， 比如说第一步，我们先用 a、 b、 c 替换矩阵 d 的第一列， 是不是得到这样一个矩阵啊？好，现在我们去求这个矩阵的行列式。 好，第二个，我们还是用这个列项量呢，去替换矩阵 d 的第二列啊，依然求他的行业是。 好。第三步，我们用下辆 a、 b、 c 呢去替换它的第三列，依然求它的行列式， 那求他的行列式呢？注意，我们这时候呢，按照我们的第一列，按照我们的第二列，按照我们第三列展开就可以了啊，这就是行列式展开定理嘛，那就是 a 乘 乘以一个，这边是一二负一负一，减去 b 乘以一个二负一负一负一，加一个 c 乘以一个，这边是二负一一二。那有些人说了，我们这时候呢时间就把 a、 b、 c 当做一个数就行了啊，当做一个数就行了。 那另外这里为啥会有负号呢啊？实际上是因为各位来看，我们这个 a 呢，实际上是 a 一一，我们这个 b 呢，实际上是一个 a 二一， 我们 c 呢，实际上是 a 三一，如果按照我们的第一列展开的话，它的行列是应该等于我们 a 一一乘以大一加 a 二一乘以大 a 二一加一个 a 三一乘以大 a 三一。注意，这个时候呢，我们把 a、 b、 c 可以带入嘛，对吧？ 好， a 一一注意，它是代数于子式，它是等于负一的一加一次方的 m 一，对吧？啊，那么 a 一就等于大 m 一一， 好，那 a 二一呢？是不是我们的负的一加二次方杯的 m 二一啊？负的一加二次方是负数，所以呢，我把这个负号拿出来， 对吧？好，那么再加一个 c b 的 m 三一，那这是 m 一一，这是 m 二一，这是 m 三一嘛，所以为什么有这个正负号，对吧？ 好，现在我们来计算一下啊，这个 a 前面的系数， a 前面的系数是一啊，接着看 b 前面的系数，负二减一，负三，二加一个三 b， 接着看 c 前面形加一个五 c， 啊，好，就得到它了啊。接着看第二个负 a 一二负一，负一加一个 b， 这是零负一，负一负一减去一个 c， 零负一一二就等于 a 前面系数是多少呢？这边是负一啊，负一加一个二等于一啊，那么一呢，就是负 a， b 前面是七数零减一啊，负 b， c 前面是七数 零加一负 c 啊，负 c 负 c， 好，接着看这个啊，还是按照第三列展开，就等于正负正啊， a 倍的 一一负一负一正负正负负，必备的零二负一负一，加一个 c 位的这边是零二一一。好，那它应该等于 啊， a 前面系数是零啊， b 前面系数零加二负二， b， c 前面系数减二 c。 好，得到这三个行列式之后，我们就取矩阵， 取一个矩阵，这个矩阵呢，它的第一行就是这个前面的 a、 b、 c 前面系数一、三、五，它的第二 行就是这个 a、 b、 c 前面系数负一负一负一，它的最后一行就是这个 a、 b、 c 前面系数就是零负二负二。 好，注意，我们这个行列式结果写出来呢，一定要以 a、 b、 c 的顺序按顺序去写啊。好，那这个矩阵是还不是我们矩阵地最终的逆，我们还需要拿它呢？和我们原矩阵去乘一下，做一个验算。 好，等于左边出行，右边出列，这是 four， 左边出行，右边出列零，左边出行，右边出列零，左边出行，右边出列零，左边出行，右边出列 负二，左边出黄，右边出列零，左边出黄，右边出列零零。 左边除号，右边出列，这边是负二啊，好，那就等于负二倍的一个亿嘛，对吧？所以这个矩阵和原矩阵相乘，等于负二倍的亿，我把负二除过来嘛， 哎，我把 for 除过来，那这个是不是就是原矩阵逆矩阵啊？所以 d 逆 就等于他，对吧？好，那么这个方法有什么好处呢？就是当你发现最后乘出来呢，不是单位正 啊，比如说啊，就是一个一零零零二三零零一，乘出来是这个结果的时候，你会发现啊，你第二行求错了，第二行求错之后，你只需要再去计算一下这一步就可以了啊，再 去计算一下这一步就可以了。那么其余两个地方是没错的啊，这跟我们这个出的行变换相比呢，还是有一定优势的啊，因为你能够发现自己哪个数字成错呢，去找哪边的一个错误啊。好，那这个就是我们求举针逆 快速求取任意的克拉姆法则的方法啊。如果视频对大家有帮助的话，希望大家能给杰哥多多三连，支持杰哥的创作。好，那我们下期节目再见。拜拜。

没有华丽的拍摄，只有慢慢的干货。同学们好，磊哥来了，这节课磊哥带大家来看 club 法则，如果非其次现行方程组啊，是他，他的细数矩阵，我们可以写成他啊，这个都很好理解，细数矩阵，由细数组成的矩阵，这叫 a 一 a 一二 a 一二啊，由细数组成的矩阵啊， 这个矩阵的行列式如果不等于零，如果这个系数矩阵的行列式不等于零，那么这个非其次先行方程组有解，而且解是唯一的 啊，解可以通过系数表为 x e 等于第一笔 d x 二等于第二笔 d x n 等于 d n b d 啊，这个东西磊哥在现那个现代刚开始的时候，第一节课大概提过一点啊，就这个克拉玛法则干啥用的啊，我们是非其次线性方程组求解用的啊，其 中这个 dj 是把矩阵 a 中的 dj 列换成方程组中的长竖向 b b 二边啊，磊哥一会举个例子啊，大家就明白啊，这个很简单啊，在这注意点，第一个就这个克拉姆法则啊，仅用于 未知数的，未知数与方程个数相同，未知数与方程个数相同。第二个，如果线性方程组的系数的行列是不等于零，则这个有解且为一，若系数的行列是为零，则解不为一啊，或者无解啊。磊哥在这的话给大家举个例子， 我们来呃，想一下，找个例子，你比如说这样翻格比，比如说就这样的，我们说如果是这样， x 一加 x 二等于一，嗯，二 x 一加三 x 二，嗯，比如说 等于二，那这个时候我们的解就是唯一的，这个时候我们的解就是唯一的。你再比如说，如果是 x 一加 x 二等于一， 二 x 一加二， x 二等于二，你给这个式子，给这个除了个二以后，你发现跟上面这个式子是一模一样，所以这个时候就无穷个减，无穷多个减，无穷多个减，那什么时候无减？你再比如说， x 一加 x 二，如果等于一， 那我来个二 x 一加 x 二，嗯，如果等于三啊，那这样的话，它就是五 无解的，你不能让 x 加 x 二等于一， x 加 x 二又等于这个二分之三啊，这不可能啊，所以这种情况是无解的。好啊，这是非其次。好，我们再来看这个其次啊，如果这个 其次，先行方程组啊，把原来的 b 一 b 二全部换成零了啊，他系数的行列是 d 不等于零，底部等于零，则方程组只有零解啊，再注意一点，其次，方程组肯定是有解的。第二个其次方程组啊，如果有非零解，则 d 等于零啊，在这个，这个是干什么用的 啊？他主要是做这种题的啊，就是磊哥给大家举了个例子， love， 他在什么条件下啊？这个方程组是有非零解的， 那我们来看一下啊，什么时候有非零减啊，我只要这个 d 等于零就可以了， d 等于零，它就有非零减啊，那我们第一步把它的这个 d 写出来 啊， lamt 方减一，让它等于零，我们算出了 lamt 等于正负一，那也就当 lamt 等于正负一的时候，这个方程组又非零解，在这一定要注意。其次，方程组是一定有解的，一定有解的，如果它系数行列是不等于零啊，那它方程 只有连接啊，在这一定要注意一下。好，那我们再来看一下克拉姆法则啊，在做题的时候怎么解 你比如我们要解这个方程组，要解这个方程组啊，第一步我们先写出他的这个行列式系数行列式啊，写出来了以后，我们发现啊，这个算出来，这咋算的？这个就不算了，他算出来等于二十七啊，不，二十七是不等于零的。然后我们去来算这个第一啊，我们说了第一啊，是用右边的这个， 这这四个数字啊， b 一、 b 二、 b 三、 b 四，把它的这个第一列换掉。第一列换掉啊，就是用这个八九负五零，八九负五零，把第一列换掉，剩下全部照抄。那如果去算第二的时候啊，我就是用它把第二列换掉， 如果去算第三的时候，那我们肯定是用它把第三列换掉，如果算第四的话，用它把第四列换掉啊，这样的 我们可以算出这个第一、第二、第三、第四。那这个方程组的唯一结啊就可以写出来了， x 一就是第一比 d x， 二就是第二比 d x， 三就是第三比 d， x 就就是第四比 d 啊，这样的话啊，这个方程组啊就算解完了。好了，这节课就跟大家分享到这里。

我们看一下一十五题，分别应用克拉木法则和逆矩针解下的线结方成组。我们说这里要两种方法，注意看题目， 两种方法好，第一种方法用这个克朗姆法则看第一小问，因为他的系数矩阵的这个行列是我们可以求出来， a 的行列是我们算出来这个三 g 行列是是等于一四五，他是不等于零的。所以我们跟 就这个靠栏目法则的话，我们说 x 一是等于什么？他的行列是分之一，他的行列是分之一，乘上这个替换，对吧？第一列替换啊， x 二是把这个第二列替换， x 三是把第三列替换， 那我们就得到了这个。第二，我们用逆举针的方法，用逆举针的方法的话，我们原来的是 ax 是等于 b 的，对吧？ a 跟 e， 那么 x 自然就等于 a 的逆程上 b， 对吧？我们要把 a 的逆求出来， 好， a 的逆乘上这个一二三是等于他的这个解， a 的逆是等于这个，用棒子举针求出来是等于这个，再乘上这个一二三，下面让我们得到这个解 是一零零一样的。好，我们看一下是第二小份，第二小份的话是输入是一样的，我们用各栏目法则，我们首先上这个 七指正这个行列四上下四等于二二的话就是不等于零，不等于零的话就有唯一的解，是吧？方案组有唯一的解，唯一的解的话就是行业分之一乘上这个， 嗯，这个逼限量把第一列带进去，算出来这个是二，然后这个行列四分之一，把这个第二列限量把它替换掉，是等于负二分之一。 x 三是等于二行列四分之一，把第三列替换掉等于二分之一，那么这个就是用扣栏目法则第二种方法，我们用逆举针的方法，因为我们说上算 a 的行列四十等于二，不等于零，所以他是格力的，格力的话我们就可以 写生 x 就写在 a 的逆程上。 b， 那我们先求这个，求这个 a 的逆，三阶矩阵的这个逆的话，我们用这个伴随矩阵的方法求，目前只能用这个方法求， 后面我们可以学了这个出的行变化，我们利用出的行变化可以把这个绝症的逆交出来，那么 x 是等于嗯，这个 a 的逆， a 的逆就是这个角色呈上这个 b 的这个列项量算出来是这个。

如何用克拉莫法则快速解不定式方程组？今天我们学习如何用克拉莫法则快速解不定方程组来主题。假三件以七件并一件，需三点一五元。假四件以十件并一件，需四点二零元。 我们列一下方程，发现三个未知数，两个方程他没法求出具体的解，是有无数解。根据科目法则，相应的线性方程组是有一个固定的解题，也就代表着他 它的 x、 y、 z 之间有具体的数量关系。我们可以使用特制代入法， x， y， z， y 的系数最大，我们将 y 复制为零， 可以得到。三、 x 加 c 等于三点一五四， x 加 c 等于四点二。我们可以解得 x 等于一点零五， c 等于零。我们求的是加乙、丙各一件需花多少钱，也就代表着我们求 x 加 y 加 z 等于多少，发现它等于一点零五元。

一加一等于二怎么证明？乾隆、欧拉都败了，数一天，在皮亚诺公理体系今天下，不管你问谁一加一等于几，哪怕 对方没上过学，他都能准确的回答你，一加一等于二。但是为什么一加一等于二呢？这个问题哪怕你去问身边最牛逼的数学天才，他们都无法给出一个像样的证明，甚至还有可能说你是吃饱了撑的， ok？ 就假如咱真就吃饱了撑的没事干，非要证明一加一等于二怎么证？ 数学鸿蒙之初，两千多年，无数天才都为之折戟沉沙，强如欧拉高斯等人都煞欲而归。当一个数学问题连欧拉都搞不定的时候，那么这个问题就可以被称作世纪难题了。是的，一加一等于二就是绝对的世纪难题， 世纪难题无人可解。直到一八八九年数月，天才皮亚诺横空出世，才搞定了一加一等于二的证明。这个证明很难，难的甚至要跟欧基里德一样，开创一个新的算术体系，建立五条公理和两个法则。皮亚洛的五条公理是用来定义 自然数的，分别如下，公里一，零是自然数，公里二，每一个确定的自然数 a 都有一个确定的后计数， aprapr 也是自然数。教你解释一下，后计数指的是紧接着某个自然数后面的一个数，如二的后计数是三四的后计数是五。公里三零不是任何自然数的后计数。公里四，不同的自然数有不同的后计数。公里五叫 pn， 是自然数的一个性质，如果批零是真的，且假定 pn 是真的，则偏偏也是真的，那么命题对所有自然数都 为真，这五条公里就是用来定义自然数的。自然数搞定的。皮亚诺还要定义加法，给出了两条规则，规则一，对于任意自然数 m， 零加 m 等于 m。 规则二，对于任意自然数 m 和 n， n 撇加 m 等于 n 加 m 撇。 ok， 一切就绪。接下来就是证明。一加一等于二，一加一等于零，撇加一等于零，加一撇等于一撇等于二。或者一加一等于零，撇加零撇等于零，两撇等于二。因为一加一 一的后计数是一的，后计数的后计数即三，又因为二的后计数也是三，根据皮压了公里四，所以一加一等于二搞定，收工完美到了极点。加一等于二绝对是数学中最简单的等式，但同时，一加一等于二又绝对是数学中最难的公式，最简单的永远是最难，这就是数学的魅力。