log10为底的公式怎么换成2

好，今天我们来讲一下换底公式的用法，大家来看这两道题。首先呢，我们来复习一下换底公式是一个什么公式。 哎，这就是换底公式了，大家看它的公式呢，很简单啊，就是原本的底数是 a， 帧数是 b， 现在换成以 c 为底的对数形式。那么这个规律就是上面的在上面，下面的在下面。你就这么看就可以了。那么这个公式呢？很简单，我们来应用一下。 那么一般我们换底呢，都换成以十为底的常用对数，这样算起来比较方便。那常用对数呢？连底都可以省着，直接捞根机就行了。按 a 或者绕口 b 直接写成常用对数来换。那么这两道题呢，我们来看一下。用换底公式来做是和其的治愈 好看。这道题我们全部换成以十为底的常用对数 log 八。九，那就把它写成 log 九，除以 log 八，再除以 log 二，三，那就再除以 老三老二。好。做到这了，以后该怎么办呢？我们知道九可以写成三的平方来把它换一下，换成三的平方。 八呢，可以写成二的三次方啊，把它换掉二的三次方。好，这个时候上面的指数呢，扔到前面。这个公式很简单，我 大家随便去翻一下公式手册就能看到。把上面的指数，帧数的指数扔到对手的前面就可以了。 log 三的平方可以写成二倍的 log 三， 那 log 以十为底的二的三次方的对数，把三次方扔到前面，那就是三倍的 log 二。下面呢，已经没有是都是最简单了，直接抄上就行了。注意主分数线啊，主分数线是这一根。好，接下来照抄。 那么以主分竖线为轴心，相同位置的东西呢，都可以约掉。这个其实你理解很简单，除以一个数等于乘以一个数的倒数，翻过去不就可以约了。所以 log 三和 log 三约掉， log 二和 log 二约掉，分母变成了一。所以最后是三分之二。 怎么样，很简单吧。好，我们再来看这道题呢，也是用换底公式来求，非常的简单。我们来做一下 log 三四乘以 log 四，八乘以 log 八， m 等于 log 四十六求 m。 好，我们依然用刚才的办法，全部换成常用对数。 log 三四可以写成 log 四，除以 log 三。 log 四八写成 log 八除以 log 四。 这个呢，换成 l m 除以二八等于这个。你不用算他啊，不用算他，直接写成 l 十六除以二四。 好，该约的就可以约了。闹个四，闹个四约掉，闹个八，闹个八约掉。于是变成了闹个 m 除 三。这个时候，十六可以写成二的四次方啊，那就写成 log 二的四次方。四呢，可以写成 二的平方，所以说二的平方。刚才我们讲了，真数的指数呢，可以扔到对数的前面。所以把这个四呀，放在这，把这个二呢，放在这。这样呢，他们俩就约了。也就说他除以他呀，等于二。 就说 log m 除以 log 三等于二，等于二。那现在求 log m 就很简单了。 就还差一步啊。我们写到这边， log m 就应该等于二，乘以 log 三，这里是二倍的。 log 三到了，这又该怎么办呢？哎呀，太简单了。其实这个二呢，又可以给他扔回去。你想呀，刚才我们把上面的那个指数呀，给他扔到旁边，现在他反着扔。所以 log m 就应该等于 log 三个平方，三个平方当然等于九了，所以它就是老九。好把对数全部去掉，所以 m 就等于九。大家看换题公式用起来是不是非常的舒服呀？您学会了吗？

听说你同学的朋友想成为学霸，那就让他来瞧瞧吧。你知道下面这两个数字的差异会导致有人游泳后眼睛变红吗？要回答之前，我们先要有个方法 来处理很小或很大的数字，这就引出了对数的概念。那么对数是什么呢？把我们把 b 当做是底数，然后其他的 p 次方就像二的三次方那样，结果等于数字就得到一个指数方程。十 b 的 p 次方等于。在这个例子里呢，二的三次方就等于吧。 所以说，指数屁，就算那对数同学有点意思都没，那咱继续。通常我们会写坐漏各一笔，未抵数的能等于聘。这堆东西要变得令人头大了，我们还是用例子来解释吧。 如果以十作为底数的一个万岛鱼，这个问题也能用指数的方式来问，使的几次方式一个万呢？ 使得四次方式一个弯，因此，以时作为底一个弯的顿数就是四啊。这个例子也可以很简单的用板砖的计算器来算呀。以时为底的顿数在科学里面透的太常用了，所以大多数计算机都会有这个按钮哦， 有同学就说了，计算器都可以帮我算对数了，那我还学个锤子啊哈，这就要提醒一下，对数按钮就只能算以时为敌的对数，嘿嘿，失策了吧，同学，那我们继续了。如果你想进入电脑科学的世界，用道 以二为底的对数怎么办？比如说，以二为底六十四的对数是多少？还没吸收是吧？那我们继续吧。我们换句话说吧，二的起次方是六十四，嗯，用手指说一下， 四，八十六，三十二，六十四压为底，六十四的队数就是六呀！这个游泳后只在某些泳池，我的眼睛会变红，有几 跟毛线关系吗？你别急啊，听我说，这就关系到对输在化学里的妙用了。计算溶液的 ph 值只会告诉我们溶液的酸碱性公式是 ph 等于减楼更是埃及加。其中括号内的 h 加是氢离子浓度， 我们可以轻易用计算出氢离子浓度。还记得上面这两个数字吗？他们偏爱去吃。 按下去这两个数据对数，再加上符号，你会得到值是七点四和八点四。因为眼泪的 ph 值大约是七点四，所以氢离子浓度是七个零及三九八的溶液 对我们眼睛刚刚好，但 ph 值八点四就会让你的眼睛又红又痒。看吧，对数是不是很好记？以 b 为敌人的对数视频，相当于在小 b 的几次方会深远， b 的几次方会示恩呢，嘿嘿。所以现在你了解到对手的威力了吗？他的用处就是在御处里很大或很小的数字哦。本期专用眼泪，比眼药水好用，如果感觉自己快下了，那你就哭出来吧！关注本派某，每天学习一个小知识哦！

同学们好，我是董老师，今天我们继续来讲对数的换底公式。我们昨天已经讲了对数的三个运算性质，若 a 大于零，且 a 不等于 m， n 大于零的情况下，那么对数会将 乘法运算变为两个同底的加法运算，除法运算就变回变成两个同底的减法运算，乘法运算就变成一个乘法运算。注意，那这里面只有同底的对数相加减 才可以合并起来，否则的话，不同底的必须先变为同底才可以合并起来。那我们继续回顾对数的概念。我们在对数的概念里面，我们知道，若 a 的 x 方等于 b， 其中 a 大于零， a 不等于一， b 大于零，那根据对数的概念，我们可以得到 x 是等于 log ab。 对于等式， a 的 x 方等于 b。 我们假如在等号的两边取以 c 为底的对数，那么我们会有什么呢？我们这边看一下 两边求与 c 为底的对数，左边是 lock c a 的 x 方，右边是 lock c b。 根据我们昨天的一个运算性质，左边 指数 x， 它是可以提出来的，因此正面会变成 x。 log c a 等于 log c b， 这里面我们可以将 x 解出来，就会得到 x 是等于 log c b 除以 log c a。 又因为前面是等于 log a b， 因此我们可以得到一个 横等式，那这个式子就叫做换点公式。换点公式 log a， b 等于 log c b 除以 log c a。 其中 a， c 都是大于零， a， c 都是大于零，而且 a c 不为一。为什么呢？因为我们这里面底数要大于零且不为一，帧数， b 是要大于零的啊。特别的，当令上数的式子中的 c 等于 b 的时候，那我们就会有什么呢？ 左边 log a b 不动分子式 log c， 分子式 log b b， 因此分子是一， 而分母是 log b a， 因此我们就可以得到 log a， b 是等于一除以 log b a。 当然也得保证底数 b 是大于零且不为一的。类比下列 分数的变形，我们发现左边是一个分数变分母，而右边是一个对数换底。这两者之间他们都有相同的逻辑啊，是有一个欲取同工之妙。 那换底公式它的作用是什么呢？一般的科学计算器，我们通常只能用常用对数或自然对数进行计算，若是要计算 log 二三，我们该如何计算呢？这里面我们就可以利用到换底公式。 对于 log 二三，我们可以把它改成以十为底的常用对数，所以它是等于 log 三除以 log 二，而 log 三利用计算器算出来是约等于零点四七七一。 log 二是零点三零一零，因此相足会约等于一点五 五八五零。我们知道，一般的或者说以前数学家他并不会将所有的对数表列出来，一般只会选取一些常用的对数或自然对数进行列表。 可能一些以二为底的对数或以三为底或以五为底的对数，他可能列表列不出来，或者有很多。那此时利用换底公式，就可以将之化为我们很常见的一个或者以十为底或以自然底数一为底的一个常用对数 方法。我们正面是以十为底，也可以将之化化为以一为底的自然对数。 log 二三，它可以等于是 roin 三除以 roin 二， roin 三约等于一点零九八六， roin 二约等于零点六九三一，因此这个还是约等于一点五八五零。 那换底公式就是涉及到这里面的一个这样的用处。好，我们来计算下面三个题，我们来先来看第一个， 这里面是哪里计算？ log 九八乘以 log 三十二二十七。那这种计算该如何处理呢？我们可以这么来处理， 正面，我们将里面的底数，因为正面有底是九，还有三煞，我们将将其通通化为以十为底的，或者说以一为底的。我们这里面以十为底的对数运算。 所以第一个圆式，它是等于是 log 八除以 log 九乘以 log 二十七 除以 log 三十二。然后利用我们昨天所学的一个运算的性质， log 八是等于三倍的 log 二， log 二是七是等于三倍的 log 三分母， log 九是等于两倍的 log 三， log 三十二是等于五倍的 log 二。 这是利用到我们昨天所学的性质，将乘方变为一个乘法运算啊。那你现在就会发现，落个二，落个三正好全部消掉，分子是九，分母是十，因此此题是等于十分之九，这是第一个， 第二个我们也是同理的，我们可以将之全部化为以十为底的常用对数，那么我们可以得到，这是 log 二十五除以 log 二乘以 log 四除以 log 三乘以 log 九除以 log 五进行变形。 log 二十五可以改写成是等于两倍的 log 五 拿来， log 四是等于两倍的 log 四， log 九是等于两倍的 log 三除以 log 二， 所以 log 三，所以 log 五。你会发现 log 二， log 三， log 五正好跟分母相消，所以这个圆式是等二乘以二乘以二是等于八的， 这是前面两个换底公式的运算，我们就是第三个。这里面我们也可以通通化成以十为底的常用倍数，那么元数就等于 log 二十五，我们前面写了 log 二十五是等于两倍的 log 五除以 log 高。第二个是指是 log 二根号二除以 log 三，后面一个 log 五九就是等于 log 九除以 log 五。 好，我们整理一下，分子是等于两倍的 log 五乘以 log 二根号二啊，这里面是 log 二根号二，根号是二的二分之三次方，所以是二分之三。 log 二。 log 九是等于二乘以 log 三， 然后跟分母相消，是 log 二。 log 三。 log 五正好只留下了一个二乘以二分之三乘以二，因此得到的结果是为六。 这是第一个计算问题，可以先把它画成同底的对数，再进行运算。我们再来看一个 变式，第一个圆式正面是两倍的 log 根号二， log 根号在里面是相当于 二分之一的意思，因此咱们稍微可以改一下，就是两倍的正面是二分之一。 vlog 二 括号的平方加上后面 log 根号，又有 log 根号，所以是二分之一。 log 二乘以 log 五， 后面是一个根号，后面这个正好是一个完全平方公式，他是正好等于根号 log 根号二减去一括号的平方， 这个根式里面不大好，不大好。注意到那同学们可以稍微验证一下我这 logo 根号二减一或者平方是不是正好等于正面的啊？或者你把这 logo 根号二的平方拆开来， 你会发现它是等于四分之一。 log 二括号的平方减去 log 二加一，所以它正好是等于二分之一。 log 减一括号的平方跟里面的式的是一样的， 那后面我们整理一下，前面是二乘以四分之一，那就是二分之一 log 二括号的平方加上二分之一 log 二 乘以 log 五加上正面是一个完全平方，那此时我们可以开根号开出来啊，正好就是一减二分之一 log 二啊。那么咱们进行整理一下， 这里面我们全部对这几个式子，我们全部可以提个二分之一 log 二出来，因此它会等于二分之一。 log 二括号正面 是 log 二，加上 log 五减去一，剩下一个一是单独写在旁边这个括号里面。 log 二加 log 五正好是 log 十是等一，一减一正好是等于零，因此正面是零加一正好是等于一。这是第一个变试题， 我们继续看第二个。第二个 log 五百 log 五百加上 log 五分之八，减去二分之一 log 六十四，这里面都是同底的对数的运算，因此咱们可以先利用性质把它写成 log 括号五百 加就变成乘乘以五分之八，好，减就变成除除以。这里面二分之一是不能单独提出来的，二分之一应该先放到里面去，六十四的二分之一是方，那正好是 八，因此要除以八加上五十，后面是一个平方，而 log 二加 log 五，其实正好是等一，直接加五十即可，因此它是等于 log 正面五百乘以五分之一，正好是 log 一百加上五十，而 log 一百是等于二，因此它是等于五十二。第二个比较简单，前面是一个计算问题，我们继续看这里面的求职问题， 他说已经知道 log 七三等于 a， log 七四等于 b， 用 ab 来表示 log 四十九四十八， 前面是给出以七为底的对数，后面居然是以四十九为底的对数，因此咱们也可以把这个 log 四十九四十八改成以七为底的对数运算。所以点 log 四十九四十八改成以七为例，那就是等于 log 七四十八除以 log 七四十九。 对于分母来说，四十九正好是七的平方，因此是等于二分之一。 log 七四十八，那 log 七四十八我们又可以怎么办呢？这里面四十八其实是可以写成四的平方乘以三的，因此它又会等于二分之一。 log 七四的平方乘以三，因此它是等于二分之一 log 七四的平方加上 log 七三。整理一下，正面就是相当于二分之一括号两倍的 log 七四加上 log 七三啊，因此它是等于二分之一括号 log 七四是等于 b， 因此是二 b 加上后面是 a 啊，这里面就是二分之 a 加二 b， 因此 not 四十九四十八，它是二分之 a 加二 b。 我们可以利用 a 来 a 和 b 来表示这个数值。 第三，用换底公式证明以下两个很等式，一个 log a 的 m 次方， b 的 n 次方是等于 m 分之 n log a b。 那此时我们可以将这个通通化成以 a 为底的对数，将左边划就行了，左边推到右边，因此左边是等于 log a b 的 m 字， b 的 n 次方除以 log a a 的 m 次方。因此证明，对于分子来说，利用我们昨天的学的性质，三可以得到是 n log a b， 而分母正好是 m， 因此它是等于 m 分之 n log a b 即为所求 是第一个换题公式。第一个公式其实以后我们在解题里面也是可以使用的，而且使用的频率还比较高。 第二个我们也可以正面是证明很等式，三个正好都是不同底的，我们可以把它先变为同底。所以第二个左边就等于 log b， 所以 log a 乘以 log b， c 呢，就是 log c， 所以 log b。 然后呢， log c， a 呢，就是 log a 除以 log c。 而发现 log a 正好，分子也有，分母也有，也抵消了 b， log b 也是一样的， log c 也是一样的，因此全部相销正好是的一，因此第三个用换底公式来证明这两个式子是特别方便的。 那第三个其实在几个对数相乘底数之间是可以相互转化位置，帧数之间也可以互换位置的，同学们可以记住这个定理，以后在解题里面也是可以直接使用的。四个求职与证明， 已知 x y z 为正数，且三的 x 方等于四的 y 方等于六的 z 方等于 m。 第一问，求 on x 除以 y 的值， 我们使用它的时候，我们无非就是将 x 解出来，可即可。好，正面将 x 解出来，我们相当于指数或对数，因此 写 x 可以写成是多少呢？ x 是等于 log 三 m， 同理 y 是等于 log 四 m， 这个呢，是等于 log 六 m。 好，那正面要求二 x 除以 y， 二 x 除以外，带路过去就是两倍的 vlog 三 m 除以 vlog 四 m。 啊，那这里面我们通通化成以十为例，定常用对数，那这里面就是两倍的 vlog m 除以 vlog 三， 三除以 log m 除以 log 四。而这里面你会发现 log m 正好是相消，转化一下，它就是等于两倍的 log 四除以 log 三。 整理一下，它是等于多少呢？ log 四又可以写成是两倍的 log 二，因此它是四倍的 log 二，所以 log 三， 然后再进行化解，这里面可以写成是 log 三二，四倍的 log 三二，因此这里面它的答案就是等于四倍的 log 三二。 这个是需要注意的，换底之后还得换回来，我们继续看第二个，第二个他让你求证这个横等式，其实证明这个横等式也是比较简 简单的，我们可以利用前面的解除 s y z 带入过去就行了。那一除以二万，我们就可以得到。是等于一除以两倍的 log 四 m 一岁， z 是等于一岁。 log 六 m 一除以 x 是等于一除以 logo 三 m， 其实正面通通可以转化一下， 对，一除以二 y， 我们可以知道它是等于两倍的 log 四 m， 那等于多少呢？正好是等于二分之一。 log m 四， 这里面无二 y 分之一还可以稍微化解，它是等于 nog m 二，因为四是可以写成二的平方，平方 二放到前面去，跟二分之一正好抵消。好，这是二 y 分之一，那这一分之一，那我们就可以改写成是 log m 六。 x 分之一，它就是等于 log m 三， 此时你带路过去，所以 log m 二正好是等于一，所以 z， 那就是 log m 六。减去 log m 三， 正好符合我们昨天学的一个同底的对数相减，底数不变，增数相除， 因此它正好是等于 log m 二。那圆不等式，那圆等式我们就可以得正，所以二 y 分之一是等于 z 分之一，减去 x 分之一。那第二个它的证明是 思想，我这里面是相当于把 y z x 先求出来，然后利用换底公式，我们可以得到二 y 分之一，它是等于 log m 二 z 分之一是 log m 六， x 分之一是 log m 三，此时就化为同底，我们就很好判断他们之间是否相等了。 好，那么我们进行一个课堂小结。本节课学的是一个换底公式，正面 log ab 等于 log cb 除以 log ca， 特别的时候，当 c 等于 b 的时候， log ab 是等于一，除以 logba， 正好跟分数换分母是他们的原理是一致的。 当然这里面还有一个变式，你们说这两个式子，同学们以后大家也是可以记住的。对于第一个来说，这 a m 次方，如果他的次数占 底数上，那么我们就应该放在分母，如果这个指数指数密是在帧数的上面，那么我们就放在分子。 第二个式子，我们前面说过几个对数相乘，不管是同底还是不同底，他们的底数之间是可以互换位置，帧数之间也是可以互换位置的，这个需要同学们记住。好，本节课学习的就是一个换底公式，希望对大家有所帮助。

换体公司的第二个应用就是以 ledb 的对数乘以 bvda 的对数一。这个证明过程特别简单， 我们换底，把它写成 logb， 除以 log， a 乘以 log， a 再乘以 logb， 你发现不绝了正好， 我们怎么去用它呢？很简单，如果你令 s 等于以 a 为 d， b 等于数折，你发现 s 一等于什么，就等于 b 为 d， a 等于。 也就是说，如果两个数，一个是 s， 另外一个是 f 第一，那么他俩什么关系呢？他俩的底数和真数见到一下位置，像这道题，我们令这个位置等于 k， 那么 x 就等于以三为 dk 的对数，这个 y 就等于以四位 d k， 这个 z 就等于以六位 d k， 那么所以 id 一等于谁啊？ 底数和帧数点到以下位置外分的一等于谁啊？ a 以 k 为底次的对数内分的一等于谁啊？以 k 为底，留的。 然后咱的左边就等于这份第一，减完第一正好等于一 k 位第六的数减去一 k 位，第三就等于一 k 位。第六比三正好等于一 k 位第二， 右边啊，等于二分之一乘以 y 分之一，就等于二分。第一辈子以 k 为第一四，然后把这二分第一扔到这个位置， 就变成了 k 的四的二十一正好。等级以 k 为 d 二十一，左边和右边相等，这个正好。

换底公式运算秒了。 ok， 咱们继续来讲单招数学常考的换底公式例题。那么考试的时候会遇到这种底数，不同的对数函数怎么来计算呢？这个时候就要用到咱们的换底公式了。首先这个辨析一下，这个是底数，这个是真数，真数跑到这上面来了，底数跑到这下面来了，他们两个又形成了一个新的底数，这个底数可以任意去取， 咱默认呢，取十，这样的好计算 log 以十为底的 x 对数等于 lag x 嘛。啊，这个就好计算了，那咱们这道题开始做，等于 lag 十七，除以 lag 二，这个二跑下面来了，再乘以 lag 八，除以 lag 三，然后二十七呢？是不是可以变成三的三次方案？这个 lag 二乘以 lag 八呢？是变成二的三次方呀？累个三。然后之前跟大家讲过，这个真数部分的次密呢，可以放在前面当系数。那这样等于三倍的累个三除以累个二，再乘以三倍的累个二除以累个三，这个一销这个一销这个一销这个一销等于三乘以三。这道题等于九，你学会了吗？

这节课我们一起来学习对数的换底公式及推论。首先来看一下换底公式， log 以 a 为底 b 的对数等于 lg 以 c 为底 b 的对数， 比上绕个以 c 为底 a 的对数，其中 a 和 c 作为底数要大于零，且不等于一真数 b 要大于零。我们把以 a 为底的对数换成了以 c 为的对数， 那么在这里真数 b 作为分子的真数 b， 底数 a 化成了分母的真数 a。 这个换底公式怎么来的？我们一起来推导一下。假设 love you 以 a 为底 b 的对数，它的值等于 x。 把对数式化成指数式，得到 a 的二个字，方等于 b。 我们在学指数函数的时候有 学到，假设 fx 它是等于 gx， 那么会有 a 的 fx 方，它是等于 a 的 gx 方。这个式子可以推倒成下边，下边也可以推出上边这样的一个公式， 那么在后期我们要学的对数函数里边也有。假设 fx 等于 gx， 那么我们可以得到那个 底数。假如为 c 的话，那个以 c 为底的 fx 的对数，他是等于那个以 c 为底的 gx 的对数，他 也是成立的。那么在这里我们同样画成以 c 为底的对数，两边都加上对数符号，那个以 c 为底的 a 的 x 方的对数， 他是等于那个以 c 为例的 b 的对数，那么这里他作为指数 a 的 x 方，把 x 移到前面来，我们把这个 x 移到前面来，会得到 的 x 被 log 以 c 为底 a 的对数，它是等于 log 以 c 为底 b 的对数的，我们把它移到右边，得到 x 等于 第二个以 c 为底 b 的对数，比上那个以 c 为底 a 的对数。最开始我们说 x 是等于那个以 a 为底 b 的对数， 在这里我们得到了换底公式，他是这么来的，假设当 c 是等于 b 的时候，我们看一下这个式子，当 c 等于 b， 那么我们这个式子来换一下。 二个以 a 为底 b 的对数，化成了那个以 b 为底 b 的对数，比上那个以 b 为底 a 的对数，上面这个值等于一，也就是那个以 a 为底 b 的对数是等于 那个以 b 为底 a 的对数分之一，他们俩是互为倒数，他们俩互为倒数，也就是他们的乘积是等于一。得到了第一个评论，那个以 a 为底 b 的对数乘上那个以 b 为底 a 的对数，他们俩互为倒数，乘积为一，这样他们俩成绩为一， 我们在这里也是可以得到他的值等于一的。假设我们把它换底一下，是以十为底，对数是 note， b 以上 love you a， 然后 乘上落个 c， 以上落个 b， 乘上落个 a， 以上落个 c， 我们把这三个式子都化成一 十为底的对数。用换底公式来画一下，那么我们把那个 a 与那个 a 约去，那个 b， 那个 b 约去，分子与分母约去。最后答案是等于一，三个可以，四个也可以，五个也可以，这里两个也是可以。这是我们得到的第二条评论， 有关换底公式和两个常用的推论我们已经讲了，那么接下来我们做几个练习题来看一下。第一个落个以二为底五的对数，乘上落个以五为底七的对数，再乘上落个以七为底八的对数，那么我们用换底公式来做一下， 因为他们的底数不同，那么换成同样以 e 为底的对数烙印五，笔上烙印二，乘上，全部画成以 e 为止的对数烙印七，笔上烙印五， 再乘上任意八，比上任意七，任意五和他约去，分子分母约去，最后剩下一个任意八比上任意二，任意八。八是等于二 二的三次方，我们把三移到前面，是三倍的任意二比上任意二，那么他们俩约去，最后答案是等于三， 这是第一题。第二题 log 以二为底二十五分之一的对数，乘上 log 以三为底八分之一的对数，再乘上 log 以五为底九分之一的对数。这个题又该怎么做？ 我们看一下二十五分之一，二十五分之一是不是五的负二次方，五分之一的平方，那么是等于五的负二次方，这里呢？八分之一是等于二的负三次方，九分之一呢是等于三的负二次方，那么这里 真数我们都画成了这样的形式，那我们把上边的指数移到前面，使负二乘上负三，再乘上负二，把他们指数移到前面，那么这个式子就化成了那个以二为敌五 的对数，乘上那个以三为底二的对数，再乘上那个以五为底三的对数，这里是二五，这里三二，这一五三相乘是等于一的。我们刚才讲的第二条推论，那么我们 只要算出他们的值就行了。负二乘负三乘负二是等于负十二的，这是第二个题， 这里为什么能移到前面呢？因为之前我们在讲的课中有讲过，那个以 a 为底 b 的 n 次方的对数，他是等于 n 分贝的那个以 a 为底 b 的对数，这个指数 n 是可以移到前面的，而这里我们用的是第二条评论。刚才有讲，那个以 a 为底 b 的对数乘上那个以 b 为底 c 的对数，乘上那个以 c 为底 a 的对数，它的乘积是等于一的。 这是练习题一。接下来我们看一下练习题二，那个以 a 为底 x 的对数等于 m， 那个以 a 为底 y 的对数是等于 n。 现在问那个 x 为底 y 的对数，他的值是等于多少？我们这里前面都是以 a 为底，所以我们把这里用换底公式画一下，也化成以 a 为底，他是等于那个以 a 为底 y 的对数，比上那个以 a 为底 x 的对数， 以 a 为底 y 的对数，他的值是等于多少？等于 n 的。而下边的分母呢？提不出，给出是等于 m， 所以他的值就是等于 n 比上 m。 第二题 log 以 a 为底 x 对数，它是等于二，而 log 以 b 为底， x 对数等于一 log 以 c 为底， x 对数等于四。底数 abc 以及真数 x 要大于零，且不等于一。现在问的是 log 以 x 为底 abc， 他们三个 相乘的对数是等于多少？这个题该怎么算？我们把前面三个式子都化成 yx 为底的对数，这里 的真数，这里的真数，这里的真数，都是 x。 刚才讲过推论的第一个式子有讲到，那个以 a 为底 b 的对数，他是等于那个以 b 为底 a 的对数分之一，他们俩是互为倒数的，那么我们把它化成以 x 为底的对数，这里就是等于那个 s 为底 a 的对数，他是等于二分之一，因为他们俩互为倒数，所以他的值等于二分之一。而 那个以 x 为底 b 的对数呢？他依然等于一。那个以 c 为底啊，以 x 为底， c 的对数呢，是等于四分之一，他们俩 为倒数。现在他们的针数相乘，可以化成他们的同底对数相加的情况是，等于那个 x 为底 a 的对数加上那个 x 为底 b 的对数加上那个 s 的底， c 的对数 是等于二分之一，加上一加上四分之一。最后答案是等于二加上四加上一四分之七的。这是第二题第二题用用换点公式的第一个推论这个式子，然后 利用呢，针数相乘等于同底对数相加的情况。第三题已知 blog 以七为底二的对数是等于 plug 以七为底五的对数是等于 q。 现在问那个五，他的值是等于多少？他的底数是等于十。而前面我们给出的是底数都是等于七，我们用换底公式把这里底数也化为七的情况。那么换底公式是等于六个七 五的对数，下边呢？他的底数是十，所以那个七十的对数，他们俩相处的情况，那个七五的对数，他是等于 q 的，那个七十的对数呢？是不是等于十？是不是等于 二乘上五啊？针数相乘，我们化成同底对数相加的情况，那个以七为底二的对数加上那个以七为底五的对数，以七为底二的对数是等于 p 的，然后呢，以 g 为第五的对数呢，是 q， 所以最后答案是 p 加上 q 分之 q。 这是我们要求的第三题的答案。

好的，我们继续看一下对数运算，对数运算的公式有很多啊，大家一定要把这些公式一一的，对手公式怎么来的一定要会我。首先我们来看一下这个对数的加法运算，加法运算如果同底数的对数相加，那底数不变，他们真数相乘， 减法的话就是第十五遍，然后它的帧数相除，那数乘的时候就是说一个数乘以一个对数，那这个数作为系数的这个数就可以放在我们的帧数的指数里面。第四个 a 的 logo， 它就会等于 n， 下面讲的时候，这个公式的话，我们作为基础，然后去推到其他公式就容易理解一点。第五个，呃，烙 a 的 b 字方为底，然后 m， n 为真的，这个数可以画成一分之 n 的烙 a m， 这个相对比较复杂啊，待会我们讲的时候一定要认真的把它理解 写清楚，然后就是换底公式，换底公式的话就是说就是以 a 为底， n 为帧数的话，我们将底跟帧数可以分开，用另外的一个底，随便任意一个，我们可以用烙 b 或者烙 n 或者乱都可以， 然后就变成 l b n 以上 l b a 这个办理公式的话也比较常用啊，大家一定要知道怎么来的 都会细讲到啊，大家一定要把这些公式都弄懂，如果公式你都不熟悉的话，对数的这些题目你就没有办法驾驭好，所以一定要把公式背熟，而且要弄懂这些公式是怎么来的。好的，大家往下认真听。

好，接下来两种重要的对数来接，接着看。接下来两种重要的对数 叫做常用对数，以十为底的对数， 以时为底的对数称为常用对数，这个常用对数比就是 log 以时为底的 n。 注意，这个对数因为非常的常用 啊，非常的常用，所以每次都是以鞋以时为底，就很麻烦，所以我就既做注意。 log n， 你看，由于他用的 很多很多，对吧。用的非常的多，这两个对数用的非常的多，那么我就每次都写底数，是不是很麻烦，所以我干脆就把底数省略了，但是底数一省略，那么我怎么表示他和原来的对数不一样呢？我就把这个欧也省略了，就是 l g。 嗯， log n 就代表的什么以时为敌的对数啊？能看到啊。 log n 就代表的以时为敌的对数啊。好，再看一遍。这个 l g 怎么写？ log in l g log n n 是正数， 明白 l 级是什么？ l 级是前面的符号，他就代表的是哪个表达？是啊，他就代表的是谁啊？ 我拉长一点，哎，这个拉不长，只能放大。他就代表的是什么？他叫代表是 log 那个以实为底的。嗯，是吧，他就代表的是那个以实为底的。注意一下， 写在这啊， 他就就是那个。这两个，这两个表达是是什么一样的， 是吧，以实为底的。你就是老根啊，就为了我们的方便呢。书写啊，为了方便书写好，这是一个 啊，老根好。还有一个叫做自然对数，自然对数呢，我们要引入一个五里数，这个五里数叫做一 一跟派一样啊，很重要的一个物理书，这个物理书至于怎么出来的。呃，我们待会就今天，估计来不及了，我们明天我们看个视频啊， 这个五里数怎么出来的？二点七一八二八，你就记住这个数啊，是一个无限不循环小数一约等于二点七一八二八，二点七 啊，二点七八二八，这是一个自然对数，这个，这个数，这个数也叫做欧拉数，欧拉，知道吧？ 欧拉是一个大数学家，非常厉害的数学家，晚年双目失明，他还能算数学，对吧？他全是心算，对吧？那眼睛都看不见，就凭脑子心算啊，对吧？欧拉，那么这个数也叫做欧拉数啊，二点七八二八， 那么这个数是我们在现实生活当中，就是在自然界当中，也不是现实生活，在自然界当中我们出现非常多这个数，好，那么比如可以说是， 所以我，我们要最好要看个视频的，就更更好一点，对吧？看个视频算今天时间关系，今天时间关系， 然后，然后呢？比如我们的那个螺线，就是大家知道吧？海螺的那个 那个螺线啊，这样那个螺线，那么他就其实生成这个里边就有欧拉数，还有就是一个利率，利息， 利息的问题，不断的去利息，去无限循环，那么他最后也是无限，毕竟有拉数，等等等等，有很多很多，所以这里边我们现在我讲可能没有没有那个视频讲的清楚啊，所以 我们反正大家先记住，这是一个非常重要的一个五里数，叫做二点七一八二八啊，好，然后如果以一为底的对数， 就是 log， 以一为底的对数，好，那么我们也用的非常多，那么我， 我不能再写成罗印恩，嗯，那个恩了，所以我们写成罗印，罗印恩，罗印恩， l n l n， 看到没有？ l n 啊，所以， 所以大家看一下啊，就是相当于这样的一个，就是 log log 以一，这个一是二点七八，二八是一个五里数。 log 以一为底的 n 等于什么？ 我们可以写成什么？ loying ln 啊，这个 l， 我，我习惯了 loying， 就有个这个，其实应该是这样的 ln， 对不对？ ln 啊，注意啊， ln 啊， 呃，我，我很多很多次啊，我教那么多年，就是很多同学都一开始就 ln， 他喜欢型， 这是什么？这印对吧？不是 in 啊， ln， 而且这个 l 是小写的啊，明白， ln， 那么，呃，基本上很多老师都都喜欢这个 l， 就这样，我也，我也喜欢这样 ln， 对吧？这个字没问题，但是你不能写成硬啊，注意啊，不能写成硬，是 l 是小写的 l。 独坐罗隐恩啊，明白，独坐罗隐恩，好，所以前面的独坐什么？ log in， log in， 对吧？哎，那么 log 和 log 也有为底的什么？我读的都，如果我把那个 a 省略，我直接说 log n， 那么就相当于是 l 级 n 就相当于。默认底数是几啊？ 默认底数是几？默认底数是十，如果我不说底数，我就说 log 二十五， log 二十五就说明是 log 以十为底的二十五，明白吗？如果我说 log 以二为底的二十五，那么就是底数是二，对不对是吧？好，如果我说罗因，嗯，那么你就默认底数是一，这个一约等于多少？二点七，一八，二八， 对吧？二点七左右啊，这个数好，那么这是两个重要的对数啊，这两个重要重要的对数好。

以八为底九的对数乘以以三为底二的对数的值为多少？但这两个是不同底的对数相乘。那通过换底故事来原是咱们保留以三为底的 第一个以八为第九的对付。你换了什么？以三为第 九的对数除以三位，第八的对数大乘。以 以三为底二的对数。这八这个数和九这个数会变 分子变成么？以三为底三的平方分母变成么？以三为底 二的三次乘以以三为底二的对数等于 那分子就是二，分母就是米的对数值提前等于三百。以三位的二的对数乘以多少？ 第三问题啊，这是约分，最后得到了 身高。所以答案选什么？ a 选项。

前面的视频我跟你讲过单个对数的计算，这个视频咱们来看看对数的加减法运算。比如这个题， low 个二加 low 个五，这俩对数都没法算，那咋算合呢？别急，接下来我就给你介绍几个对数运算公式。 先看第一个对住求和， log a m 加 log a n 等于 log a m 成 n， 为啥是 m 成 n 呢？我下面就来告诉你原因。 先求以 a 为底，他为指数的乘方，拆开得 a 的 log a m 次方，乘 a 的 log a n 次方。还记得这个横等式吗？他就等于 m， 而他就等于 n， 所以 a 的 log a m 加 log a n 次方，就等于 m 乘 n。 看到了吗？出现 m 乘 n 了吧，接下来继续化解。左边是底数为 a 的乘方， 那就把右边也改成以 a 为底的乘方。还是利用横等式， m 乘 n 就等于 a 的 log a m 乘 n 次方，那干掉底数之后，就有了对数求和公式。 log a m 加 log a n 等于 log a m 乘 n。 这个公式的意思就是同底的俩对数求和，底数不变，针数相乘。 比如刚才的例子，唠个二加唠个五，就等于唠个二乘五，也就是唠个十得一。再比如唠个七八，再唠个七八分之七，他俩不能算，那就用公式等于唠个七八乘八分之七，也就是唠个七七得一。 以上就是对数的加法运算，相信你已经会了。那对数的减法运算又是咋算的呢？其实和加法差不多，只要把这个乘改成除就行了。简单的说就是底数不变，针数相除。比如 log 三三十六 点 log 三四，他俩不能算，那就用公式等于 log 三三十六除以四，也就是 log 三九九十三的二次方，那答案就是二。怎么样？简单吧， 计算对数加减法时，除了这俩公式，还有一个也特别常用，比如这里的 n 如果也换成 m， 也就是二乘 log a m 就等于 log a m 方。 类似的，如果是三个 log a m 相加，那就是三乘 log a m 等于 log a m 的三次方。把三换成四，换成五，换成六，换成任意数，道理都是一样的， 这就是对数倍数的计算公式。要算一个对数的 n 倍，你把 n 从这挪到这，结果是不变的。比如五倍的 log 三二，你可以把五挪上去，就等于 log 三三十二。当然，刚才的一段过程反过来也一样，比如 log 三十六，也就是 log 三二的四四方， 你可以把四挪到前面，就等于四倍的老哥，三二。好了，对数加减法的三个积木公式都交给你了， 接下来给你俩 boss 练练手吧。先看这个两倍的唠个五十加唠个五零点二五等于几。先看这俩对数，他们都没法算，那就得用公式试试呗。 要算二倍的他，你就把二挪到这，变成烙个五十的平方，再加烙个五零点二五，也就是烙个五一百，加烙个五零点二五，底数一样，那就把他俩相成，等于烙个五二十五，二十五是五的二次方，答案就是二。搞定。 用同样的想法，再看一个落个二的平方，加落个四乘落个五十，再加落个五十的平方。咦，这根本不是对数的加减法呀，咋办呢？好好瞧瞧发现没，这个算是长得特别像完全平方展开式， 不过中间没有二啊，这好办，四十二平方，而烙个二平方，就等于二乘烙个二，这样算是就变成了烙个二平方加二乘，烙个二乘，烙个五十，再加烙个五十的平方。根据完全平方公式，他就等于烙个二加烙个五十的和的平方。 括号里是加法，那就把二跟五十相乘，而一把又是十的二次方，所以就等于二十平方次。这样问题就解决了。 看来在进行对数计算时，往往还需要用到一些常用公式，对算式进行适当的变形再计算。 前面的这些题目都是正着用公式计算对数的和或者差，其实反过来也一样。比如这个题目已知 log a x 等于零点七， log a y 等于二，求他俩 log a x y 应用公式就等于 log a x 加 加 log a y， 算一算得二点七。 log a a x 除以 y 方，应用这个公式，就等于 log a a x 减 log a y 方。 log a a x 就等于 log a a。 加了个 a x l a y 方，则等于两倍的 log a y， 也就是一加零点七减二乘二，得负的二点三。 好了，讲了这么多，总结一下吧。这个视频我就给你讲了三个基本公司，对数求和，就是底数不变，真数相乘。对数求差，就是底数不变，真数相除。而求对数倍数，你就把它挪到这再计算。怎么样，明白了吗？明白了就赶紧刷题去吧！