极值点说明存在极值吗

我们来看题型。九点二证明极值存在问题啊。先看例一。这是二零一九年全国二的二十一题的第一个问，他说已知函数 fx 等于 x 减一倍的 love x 减 x 减一，证明 fx 存在唯一的极致点。 那也就是让咱们证明岛数在定义域内存在唯一的变号零点。是这意思吧。那我就先求导，求导之前得怎么办？写个定域对吧。因为有一个浪，所以 x 大于零吗？ 好，求答。等于浪 x 加上 x 分之， x 减一，再减一，是不就等于浪 x 减去 x 分之一？哎，很多学生说了，哎，我这个东西 我不会解呀。但是咱们以前做题的时候已出现过类似的哈，是不会解，但是你会发现这个函数啊，有什么特点？ 这个愣是不是一个增函数，再减去 x 分之一，是不是一个减函数？所以整体是不就是一个增函数啊？那一个增函数也就是一个单调函数，最多有几个解啊？是不是最多有一个解啊？ 那咱们的思路应该就差不多了。但是这个导数是一个单调递增的，你可不能直接用，这是咱们看出来的，是不是人家有过程啊。所以怎么办？对他再求导，也就是构造一个新函数哈。零 gx 等于 浪 x 减去 x 分之一。这里的是 x 大于零啊。然后 g x 撇啊，是不等于 x 分之一， 加上 x 的平方分之一，是不是也是大于零的？所以 gx 在 零到正无穷大上是增的。计 fx p 二在 零到正无穷大上是增的。那我就正完了，这个倒数是增的。那接下来我就得证明他得有一个解啊，有一个零点呢，倒数有一个零点，对不对？那怎么证明函数存在零点？唯一的方法零点存在性定理去复值啊。 当然了，在咱们不会解的情况下，咱们就复制，如果会解，咱们就直接解出来了，对不对？好了，那接下来我们就复制吧。呃，这里有一个浪，所以我们先复谁啊？肯定负一嘛，对吧？因为浪一是零嘛。负一 小于零啊。哎，你注意现在 fx 的撇的草图大概是这样的哈。这是一个几 x 零，但是我希望呢。嗯，然后咱们找到了一个一 一 f 一撇是等于负一小于零，是不是在左边。那接下来我需要在右边再负一个。我负一个谁呢？得负一个比一大的了吧。我就先负个二，看看行不行。 浪二，嗯，减去二分之一对吧。这个东西是正正的负担，我通过分吧。 呃，二分之二倍的浪儿就是浪四呗。减一浪四明显比一大了，所以大于零。所以这有个二，对吧。根据右边的图，那肯定存在一个 x 零了。所以 存在唯一的 x 零，属于一斗二，使得 f x 零铁 等于零。这存在唯一的零点了，对不对？但是他说的是存在唯一的极致点。那咱们还得有点过程哈。那也就是当 x 属于零的我 x 零的时候， fx 撇是个小于零， 然后 x 属于 x 零，斗重无穷大的时候， fx p 啊，是把大于零，所以 fx 在 零豆 x 零上是减的，在 x 零豆正无穷大上是增的。所以 fx 存在 唯一的极致点 x 零啊。说白了，这个极致点是什么？极小指点吧，对吧？但是他没问，咱们就直接这么说了就行了啊。可以了，这道题就解完了啊。

导数的极值我们要看这四个点，第一点是极值和极致点是两个概念，极致点指的是 x 的值，极值呢，指的是 y 的值。第二点，极致点只能是区间，中间的点一定不能在两端。 第三点，倒数的根不一定是几指，只有什么两边一号的情况下才是几指。第四点呢，几指点的倒数值不一定是零，可倒的情况下倒数值才是零。

同学你好，我们来看这道题，已知函数 f x 等于 e 的 s 方，减掉 a s 方，再加上二 a s 有两个机制点，问 a 的取值范围是多少？首先来看一下这道题相关的知识点， 这是一个连续函数，那这里有一个定理叫做连续函数， 在极致点处 导数值为零， 导数值为零。 那么什么是连续函数呢？同学们啊，这个不用特别记忆，你在中学阶段见到的所有 函数，那么都会是连续函数，也就是说所有的函数在及时点出，他都有导数有等于零，那么这道题他说有两个及时点，说明有两个导数值等于零，我们对他进行求导，那么这个导数会有两个根，就是说的这个意思。 那我们由此入手，来求解一下这道题。首先对他进行求导， es 求导就是 e 的 s a s 方求找就是二 a x 后面二 a s 求导，那么是加上二 a 说他等于零，有两个根， 这样呢，也就是 e x 方等于 啊。我们当然是啊，想通过分离变量，也是说把这个分离参数，把这个 a 给分离到一边，这样呢才能取出来他的啊取值范围， 所以他就等于二 ax 移过来，我们移过来之后呢，再提一个二离出来，然后呢 x 减一。 到这一步，要想分离变量啊，有两种方法，一种方法是我们把 x 减一除过来， 那这样呢？分母就是 x 减一，他是一个多项式，我们知道多项式做分母头很麻烦，不好处理。除此之外呢，这个 x 减一还有可能会等于零，因为 x 等一啊， x 等一的时候，这不就等于零了吗？也就是说 把 x 减一除过来，我们虽然分离出来这个参数二而已了，但是呢，这个时候我们去求这个左边这个函数，他的直域不是很好求，所以呢，我们这里用一的一的 x 密 做饭， 也就是二一分之一，他就等于 e x m 分之 x 减一 啊，这样呢，我们求右边这个函数的直域，就可以求出二分之一的范围，然后呢，我们再取，到时候再来处理它就可以了啊，这是一个小技巧。 另， gs 现在就求这个右边这个函数，他的直域就可以了， gs 等于 e x 分之 x 减一。当然呢，这 要进行求导了， gx 导就等于 分式还是求导分母呢？平方 啊， e 的 s 方， e 的 s 面外在平方不就是 e 的二 s 方吗？ 分子上倒下不倒，上倒是 s 减一的倒数就是一下不倒一的 x 密减掉，上不倒下倒下面倒一的 s 密球倒还是一的 s， 这样呢，上下可以同时约掉一个 e 的 sm 啊。处理完之后就是一减负，一就是一加一，二减 x 分之一的 x 方。我们发现这个含这个导数啊，分母肯定 e 的 s 密大于零，所以呢，这个导数的正负完全取决于分子是正还是负， 那二应该是这个分界点，也就是当 x 属于负无穷到二时，这个时候呢，记 x 倒二属于负无穷到二，那么二减 s 应该是大于零的减少，此时大于零， 导数大连，说明原暗数单量递增， g x 递增。 当 x 属于二到正无穷的时候， 这个时候呢，二减 x 小一零，说明导数小一零， g x 递减。 现在我们知道啊，他从服务群到二开始增，然后呢，从二到正物群开始减，我们知道他的最大值是二了，对不对？在二头取客，所以 g x 他的最大值也就是二，这个点 我们不带进来，这就是一方分之二减一，一方分之一最大值值到了，那么他从什么啊？从什么位置开始增？从服务穷开始增，我们得知道他接近服务穷的时候，这个值大概是多少。那么 当 x 接近于负无情的时候，同学们要有一定的极限思想。在做导数题的时候，你看接近负无情，那么 e 的一个负无情是零，对吧？非常接近零，但是呢，仍然是正数。同学们考虑这个 e 的 s 密的图像 啊，可以在这里简单的画一下一百分别图，图像， 这大概是 e 的 s 密的图像， 你发现他的接近一点四米接近复活穷的时候，他是个非常小的正数，那么 x 上面分， 这是分母，是非常小的证书。分子呢？是一个负无情，然后再减一，还是负无情？负无情处于上一个小正数，还是负无情， 此时 gx 就接近于负五情，他从负五情开始增，增到二啊，二就是一方分支一，然后呢，又从二开始减，那减到多少呢？当 x 接近正物情的时候， g s 接近多少呢？当 s 接近正无情的时候，那你看分模 e 的 s 方式，一个正无情的数， 那么分子呢？ x 减一， x 是正无穷，减一当然也是正无穷，那么这两个正无穷谁大呢？很显然，这个指数爆炸指数增长是非常非常大的，所以说下面这个真无穷比上面这个真无穷多太多了，那上面 正物球可以就可以看到是一了，一出一个正物球，所以呢，一出一个非常非常大的数能接近于零啊，但是呢，仍然是保证是正直，因为上下都是正数，不可能相处之后是负数 啊，所以他是接近零，我们可以在这里用个零证来表示，这样呢，我们就得到了 gs 的图像，所以 gs 他的图像就是这样式的。 这是一，这是二啊，为什么要贪图标一下一呢？同学们啊，可以 代入一，你看记忆不是得零吗？一减一得零，所以呢，这是一个特殊点。但是这道题其实啊，无关紧要， 总之他从腹部穷开始增，然后呢，增加到二，这对应的是一方分之一，然后开始减，但是减永远是个正数， 哎，所以这是他的图像。 现在我们画出来他的图像有什么用呢？ 我们说这个二 a 分之一不是要等于这个东西吗？他有两个根，这个方程有两个根，我们经过转化，说明这个方程他也是有两个根。那左边这个函数的图像，我们知道右边这 是个直线长函数，长函数要求他与他有两个根，那么很显然，他应该是比零要大，但是呢，比这个一方分之一要小，所以我们求出来二亿分之一的范围， 二，一分之一要求大于零，小于一方分之一， 这样我们解这个不能试就可以了。这个不能试，可以啊，可以看错，是两个不能试啊，求左边，再求分别，求右边就可以了。首先两边同时乘以，可以同时乘以二啊，这个无所谓， 那就是零小于 a 方分之一，小于 e 方分之二，然后呢，再同时取倒数。 这边渠道， 渠道时当然要啊，不等号方案改变了啊，乘二，这里要乘二 啊，所以这边就是大于二分之一方，取到什么， 这边呢？零怎么学到数啊？那就是一除以一个非常接近零的数啊，同学们要有这种思想，就是真无穷， 非常接近零的正数。首先除正数是个正数，那么非常接近零，就零点几，零点零一，零点零零零一，那么就是一出去，到时候就是正无穷， 所以这就是他的取值范围，我们写在这里就是从 二分之一方到正不清，那么这道题就处理完毕了。总结一下考察的知识点，入手点是连续函数，在及时点数倒数为零哈，首先你要知道这一点， 那么这样呢，他说他有两个极致点，也就是求导之后，这个方程有两个根，当然我们经过转化啊，转化呢，这样叫做分离参数，把参数分离到一边，然后我们求这个啊，单纯还有 x 的这个函数的图像，这样竖行结合 啊，有两根，说明能画一条直线啊，要有两个焦点，这里是二一分之一， 那么这个时候他显然应该大于零，小于一方分之一啊，这个球导， 然后呢，判断正负，这应该是导数的常规做题步骤，这个毋庸置疑，那么从哪里增，增到哪里，又减到哪里， 这是一定的极限思想，同学们在做导数题的时候，必须要具有这种思想，你才能把他的草头大致给他画出来。那么好，这个题就讲到这里，再见。

那么注点和接着点有什么关系呢？首先第一个我们要知道什么叫做注点，什么叫做注点呢？就是导数，一接导数等于零的点，我们就称为函数的注点啊，就是一接导数等于零 的点，那么我们就可以把这个 aj 导数等于零，把这个方程解出来吗？解出来一开始的值，我们就称为重点。那么第二个知识点，那么集之点的话，它的导数一定是零吗？ 也就是说极致点的话一定是注点吗？啊？这两个意思是一样的对不对？极致点的话，他一定是注点吗？或者说极致点的导数一定就是等于零吗？ 那我们先来看如果这个机子点像，比如说看这个图像，这个机子点他都是可导的，对不对？那么可导的话，他的切线都是平行，你 x 轴码，那么一接导数肯定都是等于零的，那么所以这些点肯定是注点 啊，这些点肯定是注意，但是，但是我们看这个图，那么这是 ydx 的绝对值的函数的图像，我们可以知道 x 等于零这个地方他 是一个极致点对不对？而且还是极小之点，这是我们很明显可以看出来的，但是的话呢，他这个 x 等于零是注点吗？不对，为什么？因为在这个地方的话，他是不可导的，不可导的话他导数都没有，那么在这个 x 等于零的话，他会一接导数等于零吗？因为只有一接导数等于零，这个点才是注点吗？ 所以 x 等于零就不是住店，对不对？所以一定要注意哈，但是他是集子点， x 等于零，但是集子点，但是他就不是住店， 所以一定要注意。集子点什么时候才是注点？就是可导的时候，那么就是注点，那也有可能不是注点，就是他这边呢？不可导的时候，集子点这个地方，他是不可导的时候，他就不是注点，但是他还是集子点 好，所以的话集之点一定是注点吗？不一定好。第三，如果一个函数它的导数等于零，那么一定是集之点吗？也就是说如果这个点是注点的话，那么他一定是集之点吗？也不一定 什么，比如说我们看这个函数，如果是看这个函数，如果是这个函数的话，那我们的我们的话呢，就可以找显蓝四，对不对？因为在这些地方的话，呃，机制点这些地方导数都是可以求导的，而且它的导数都是等于零的，所以的话呢，这些点记是注点，呃，而且肯定是机制点， 但是并不是所有的注。嗯，所有的这个注点都是机子点。比如说看这个图啊，看这个图，这个图的话呢，在 x 等于零这个地方他是注点，为什么？因为在这个地方的话，他的一阶倒数是等于零的啊，一阶倒数是等于零的，所以 x 等于零，他是一个注点， 但是的话他不是集资点，因为这显然的对不对？他在小范围里面，他是不是最大，或者什么是不是最小？不是，对吧？所以的话一定要注意哈，就是注点他有可能是集资点，什么时候这些集资点都是可倒的时候，那以注点的话呢？有时候不一定是集置点，比如说像 这个时候，这个 x 等于零，就不是机子点啊？就不是，但是他是重点，为什么？因为在这个地方他的一键倒数等于零，所以一定要注意哈，重点他有可能是机子点，也有可能不是机子点啊，所以的话呢， 从这边我们就可以知道哈这个第三个指点。那么从这边的话呢，我们看第四个结论，我们就会这边可以知道了。函数的集值只可能是在驻点和不可导点出去的，也就是说函数的集值点在什么地方？哎，在两个地方一 注点，第二不可导点，一接导航就不可导点，那么这两个地方只能说是有可能是不一定就是哈，不一定就是他是有可能是机子点啊。然后第二注点和不可导点不一定就是机子点啊，所以这个结论一定要注意一下。

大家好，今天我们来讲一下什么叫极值。首先我们来看两个函数图像，第一个是我导函数的图像，第二个是我根据这个导函数画出的大致的函数的图像。 我们先来看一下导函数，我们知道导函数的正负决定的原函数的单调性，如果导函数是正的，那么原函数是单调递增的，所以你看在这个 x 一的左侧， 我的导函数都是正的，所以我的原函数都在单到递增，那么在 x 一到 x 二这个区间上，我的导函数都是负的，此时我的原函数在单到递减， 那么从 x 二到 x 三这个位置呢？我的导函数是正的，所以我的原函数在单到递增，从 x 三到正无穷这边我的导函数也是正的，我的原函数也在单到递增。 我们首先来观察一下，首先我们要知道什么叫做极值，那么在这样的位置这个位置，也就说我的函数先增再减，或者是这个位置，我的函数先减再增，我们把这样的位置就叫做极值点。所以首先第一个我们知道什么叫做极值点， 也就是我的 x 一或者是 x 二，就叫极致点。那么首先你要清楚的一点是极致点，他不是一个点啊，他是一个很坐标，也就和我们那个零点很像，零点也不是一个点，对吧？ 好，这是第一个。然后呢我们要知道一点，在这个位置，我们把它叫做极大指， 也就是说先增后减的位置就叫吉大志，那么在这里呢，先减后增的位置， 我们就把它叫做极小值。所以第二个我们需要知道的就是什么是极值， 也就是 fx 一或者是 fx 二，那么这个 fx 一的话，我们叫做极大值， fx 呢？我们叫做吉祥指。 那么首先我们要知道，就是一个函数，他不一定都有极大这个极小值，对吧？他可以两个都没有，他也可以只有其中的一个，他也可以两个都有，对吧？这个要理解。然后我们主要来看一下， 在极致点处，我们的倒数，也就是在这一点处的切线的斜率会是什么样子。我们来看一下，在这一点处的话，你画一个切线，那么就是一条横线，在这个几小时这个位置，你画一条横线， 也就是他的切线，那么此时你会发现这两个直线啊，他的斜率都为零，对吧？所以说你会发现在极致点处，你的导数都是零，对吧？这就是我们需要知道的第三个东西， f e p x 一，它会等于零， f e p x 二，它也等于零， 那也就是说如果这是一个极致点，那么在这一点除了导数他就等于零了，对吧？那现在我就要问一个问题，如果把它反过来，这句话对不对呢？也就是说导函数等于零的地方一定是极致点吗？一定要注意，导函数等于零的地方不一定是极致点。我们就来看一下我们这个 x 三， 我会发现在 x 二右侧啊，虽然我导函数有零点，也就是这个 x 三，对吧？但是你看我这个函数图像呢，他始终在单调第三，那这是为什么呢？ 因为这个 x 三这个位置啊，不是我的导航数的穿越零点，或者说是不是我的导航数的变号零点，那么也就是说我们需要注意一点， 极致点 一定是导函数的穿越零点， 那么如果像这个 x 三一样，你没有穿越这个 x 轴的话，那他就不是机智的，所以要分清这几个关系。 好下来的话，我们来看两个比较简单的练习题。第一个要我们去求他的极致点，也就是说你求出来应该是个 x 等于什么东西，对吧？不是一个点啊，记住，不是一个点好， 那么我们要去找极致点，核心的东西就是什么呢？就是他的单调性， 所以我现在应该给他求导，去判断一下导函数的正负，从而确定原函数的单调性，对吧？我们来求个导看一下， f、 e p x 等于 二， x 在减去 x 分之一，我们给它通分，就是 x 平方分之二， x 平方再减一。注意啊，一定要把定律写在后边， x 是大于零的，下来我们令我的导函数 等于零，因为我的分母这一部分啊，是很大于零的，所以我只用看分子这个二残数就可以了。 那么我练他等于零的时候， x 等于多少呢？很容易能看出来，他等于正负的二分之根号二。此时我们就可以画出 导函数的图像了，大致画一下是一个开口朝上的二残数，左边是负的二分之根号二，右边是正的二分之根号二。注意你的定律是大于零，所以你要把零找到，就是就在他的中间，那么在零到二分之根号二这个位置呢？你的倒数是负的， 然后在二分之根号到正无穷，你的导数是正的，所以在这个位置啊，是你一个先减后增的这样一个单调性发生变化的地方，也就是我的 x 等于二分之，根号二，对吧？所以此时先减后增，那么这里是一个极小值，对吧？ 那么你的极小值应该是 f 二分之跟二，而你的极致点是 x 等于二分之跟二，所以这里是二分之跟二。好，我们来看一下第二个题，他说 给了一个函数，然后在 x 等于三分之派处有极值，他这里就要用到我们刚才说的，如果你在某个地方是你的极值，那你在这里点出的导数一定会等于零，对吧？所以我们只需要求导，然后把三分之派带进去，让他等于零就 ok 了。那我们来给他求个导，看一下 f 一撇 x 等于 a， 倍考三页 x， 然后再加上后边是一个符合函数求导啊，自己去看一下那个求导的法则，这里的话我们就不细说了，然后再加上 考三印三 x， 我们现在把三分之派带进去，因为 x 等于三分之派 处有极值， 那么他就说明 f 一撇三分之派 应该等于零，对吧？那么我们把它带入看一下，就等于 a， 然后考生三分之派是二分之一，所以就是二分之一，然后把三分之派带进去，考生派就是减一，他要等于零，所以 a 等于二， 我们就把它做出来了。所以这一块的话，一定要分清楚什么是极值点，什么是极值，然后极值点出了导数一定等于零，但是导数等于零不一定是极致点，一定要分清楚。

第二题主要是一个判断题，写了以下三种情况，让我们判断他的对错。我们来看第一个哈，极致点一定是注点，换一种说法，也就相当于是 s 零为极致点的话， f s 零撇是等于零的，那么这个说法是错误的。 为什么错误哈？因为刚才我们讲了极致点可能存在于两处，第一个就是注点这一处，第二个还有一个一阶倒不存在点， 他没有说第二种情况，下面我们看下第二个注点一定是机制点。换一种表达是，如果 fs 零撇是等于零的， 说 s 零一定是极致点，那这种说法是错误的。因为刚才已经说了，极致点可能存在于注点，但是注点并不一定是极致点， 因为你除了验证这一点的导数是等于零的话，而且你要保证左右一号，你比如说 f s 等于 s 三四方，我们换一下它图像， 你对他求导他等于三倍的 s 的平方，让他等于零，可以得到重点是 s 等于零这一处， 那么我们来看一下 s 等于零这一处，他并不是极致点，因为在这个 s 等于零这一处，左边是 f 撇大于零，右边也是 f 撇大于零，都是单调递增的，所以说尽管他为注点，但是他并不是急止点。 好，下面我们看下第三种说法哈，可导的函数机制点一定是注点，那么这句话就是对的，因为他一共存在于两处，然后这句话他把这个 不可导点已经排除在外了，那么只剩下第一种情况，那就是注点，所以说他只可能是注点。 好，这三个经常会考选择题啊，大家自己记一下啊。

各位同学大家好，我是研发国老师。今天呢我们给大家分享一道比较哦有特点的易错的导数题目啊。他说 fx 呢，等于农业 x 加上二分之一 x 方减 ax 在二分之一到三上呢，有且仅有一个极致点。问我们实数 a 的取值范围，那大家要知道有且仅有一一个极致点呢，说明导函数在这个区间上有且仅有一个编号零点。好，那我们给大家这个提示啊，就分析 就是 fepx 等于零呢，在二分之一到三上呢， 有且仅有一个便号零点。 这个呢是我们将这句话转变的意思对吧？好，接下来呢，我们对这个函数呢进行秋道解。 f e p x 呢是等于啊， x 分之一加 x 减 a。 好，那我们让这个式子呢，等于零，那也就是即 a 等于什么呢？ x 分之一加 x， 大家注意转化啊，不是说明 a 等于他。在这个上面呢，有一个几啊，他是有一个变号零点。而我们大家知道端点值呢，不可能是零点，那应该就改，改成什么，在 二分之一到三上有为一解 啊，直接呢把端点直就给他划掉了。大家要知道 x 分之一加 x 的图像呢，这个应该是能画出来的对吧？你看画一个横轴，画一个纵轴，这是 y， 这个呢是 x， 这个是坐标原点。 好。在一的时候呢，发生了转折，一的时候对应的是几，对应的是二，可对。那在二分之一的时候呢，对应的是二分之五， 那可能是在这。在三的时候呢，对应的是三分之十， 这是多少二分之五。好，端点值圆圈给他打上可对，那也就是说这个 y 等于 a， a 呢，与这个图像呢，得有唯一的焦点，那大家想这个可就在这了，可对这个 a 应该就在这了。那大家会发现这样子的，如图， a 呢，应该取值是什么？是二分之五，这个点的时候呢是可以的，因为端点值取不到对吧？好，二分之五是可以的。然后到上面呢，三分之十呢是不行的。所以呢，我们知道这道题选什么？选 b 选项啊，选 b 选项。 题目做做这类题目的时候呢，他的难度呢，不是很大，但是呢是属于一种常规的易错题，并且也考察了对极致点的把握，是导函数的变号零点啊。 好，那么这道题呢，就给大家分享到这里，感谢大家的点赞和关注，谢谢大家。

这节课我们一起来学习函数的集值与导数，主要包含一个知识要点，以及两种题型。我们首先过来学习函数集值与导数的关系。接下来我们学习两种题型，第一种题型利用图像来求函数集值。第二种题型利用导数求函数集值。的四个步骤是什么？我们逐一来看一下。 我们首先来学习函数及值与导数的关系。这里呢，给出一条函数曲线外等于 fs。 这条曲线呢，相对比较复杂。看一下，既有高点又有低点。我们把高点呢叫做拨锋，而低点呢，叫做拨鼓。把这一点呢标出来看一下。 以这个点来为例，他的横坐标呢，我们用 x 零来表示，而他的正坐标呢，我们用 f x 零来表示。 x 零，我们在这里称为即值点。注意有一个点，而 f x 零呢，我们就称为即值。那么这就 就是我们这节课要学习的一个重点。好，我们得出第一条结论区分即指点。即指点呢，是这一个拨锋或者拨鼓的横坐标。而即指呢，我们用 fs 连表示，是他的重坐标的一个指。这样有拨锋 又有波股。那么这些点对应的动作标，我们用一个专用名词把它表示出来。波波呢，我们称为极大值，而波股呢，我们称为极小值。 解方程 fepx 的值等于零。之前有讲过 fepx 值等于零，那么解得的 x 值呢，我们称为零戒值。之前是有讲过这样的一个概念， 当 fepx 零的值等于零的时候，如果在 x 零附近，他的左侧有 fepx 值大于零，说明他的左侧呢是单调。真的右侧有 fepx 值小于零， 右侧呢，图像是单调减的，那么 f x 零是极大值。注意哦，这里 f s 零是他的重坐标，是极大值。左边是单调增，右边是单调减。所以呢，这个 f s 零呢，是极大值。 好。左边单调针，右边单调减，这也是几大指。这里呢，左边单调针，右边单调减，这个也是几大指。这里呢，有三个几大指。好，再来看一下几小指。 如果在 x 零附近，他的左侧 f e p x 呢是小于零，左侧是单调减，而右侧呢是单调增。那么 f x 零呢？是极小值。 左边是单调减，右边单调增。极小值。左边单量减，右边单调增，而左边单调减，右边单调增。这三个黄色的呢，是极小值。那么左边是正，右边是负，那么是极大值。 左边是负，右边是正呢，是极小值。这样的一个概念。好，这是有关极值与导数之间的一个关系。好，接下来我们再来看一下第三个极值之间没有确定的大小关系。一定会有极大值。会大于极小值吗？我们不妨呢在上边取两点。 这个是集大值，集大值他的一个值在这里，而这里集小值他的值呢是在这里。注意哦，集值他表示的是重坐标的一个值， 他们明显这个极大值是要小于这个极小值。所以我们说极值之间呢，是没有确定的大小关系。这是我们要注意的几点。了解了这些干净以后，我们再来看一下练习题。若含是外，等于 fx 是可导的，那么 fepx 等于零，有十根是 fx， 有极值的什么条件？刚才有奖。 如果函数可导，而且 f 一 px 等于零，他是有十根，那么在 x 零，如果这个十根为 x 零的话，在 x 零的左侧，他有 f 一 px 值呢，是为正。而在右侧呢， f 一 p x 值呢，是为负的。这样的一个情况下，那么取到极大值， 如果在 x 零，他的左侧 fepx 值是为负。另外右侧呢， fepx 值呢，他是为证。那么取到几小值， 要保证有十根，同时这个也是满足左右两侧他的一跌倒，正负是不一样的。 还有极大值极小值这样的一个情况。现在呢，他只给出了一个条件，所以肯定不是春风条件，看是不是必要条件。好。 fx 是有极值的， fx 有极值，说明 f epa x 呢，它是有十根，同时左右两侧一接倒呢，它是一号的一个情况，所以它是必要条件，但不是成分条件。那么是必要不充分条件这样的一个情况。这是有关函数及之与导数的关系。要注意这三点。 好，接下来我们继续来学习。接下来我们继续来学习利用图像来求函数及时。这是重庆高考题。是函数 fx 在二上呢，是可导的， 即导函数为 fepx， 而且函数外等于一，减去 x 再呈上 fepx 的图像呢。如这个图所示，那么下列结论中 一定成立的是 abcd 中的哪一个 abcd 呢？都是说的是 fs 的极大值和极小值的一个问题。那么我们只要把他的极大值 点以及几小只点求出来就可以了。接下来我们看一下这个函数图像，它是外等于一，减去 x 再呈上 fepx 的函数图像。这个函数图像在富无穷。注意哦，它的低于十二这样的一个指数范围，全体时速都可以选 到二这样的一个区间里边呢，在这个区间里边，他是为正的。而在二到一这个区间里边呢，他是为负的。在一到二这个区间里边呢，他是为正的。在二到正无穷呢，也是为负的。我们先来看一下负无穷到二这个区间里边， 负无穷到二这个其实里边呢，一减去 x 的值是为正还是为负。一减去 x 的值呢，它是为一个正的情况。既然要保证一减去 x， 再呈上 f epx， 它的值是为证的。所以呢，这个时候 fepx 值呢，也是为证的。再来看一下负二到一这个区间里边负。二到一这个区间里边，一减去 x 的值呢，依旧为证的。要保证 一减去 x 乘上 f 一 px 的纸呢，它是为负的。那么只有 f 一 px 纸是为负的啊。再来看一下这个区间一到二这个区间 一减去 x 值明显是为负的。那么这个时候 fepx 值也要为负，才能保证他们的成绩呢，是为证。 最后一个区间一减去 x 是为负的。要保证成绩是为负的话，那么这里呢，要为正的。好。我们由此得出 fepx 是正负负正这样的一个情况。那么原函数图 图像呢，是真减真这样的一个情况，什么时候是真的？从富无穷到富二这个区间呢，是真的。而富二到一以及一到二这个区间呢，它是减的。那么最终呢，是到二这个区间呢，是减的。 二到真无穷呢，他又是真的一个情形。好，依次我们看一下左边他是一个单调真，右边是单调减， 左边是单调减，右边是单调增。那么这里呢是取到极大值，这里呢取到极小值， f 二是取到极大值， f 二呢，是取到极小值。最终呢，我们选 d 选项就可以了。当然也可以根据一阶倒呢，我们判断极大值左正右负，它是极大值，而左 左负右正，他是极小值。注意哦，这里是负，这里是负。所以呢，这里一他不能取到极值。这样的一个情况。那么根据刚才我们的分析呢，我们得出这样的结论，如果 x 您。

我们来看导数中的双极致点问题。这是咱们导数合计中的题型。二十九点三来看这个题，这是二零一八年全国一卷的二十一题。第一个问是单调性，咱不说了，直接看第二个问。 他说 fx 有两个极致点 x、 e、 x 二，证明这个不能是。那咱首先先看能不能把极致点解出来。那就先写定义，然后再求导 导数等于负的 x 方分之一减一，加上 x 分 j， 然后通过分 x 平方分至负一减 x 的平方加上 ax。 然后把符号提到前面去。 然后说有两个极致点，就说明这个岛数有两个变 零点对吧？那就说明什么分子是一个二次的，这个二次的得有两个不相等的正根对吧？那咱们就考虑根的分布了。首先有两个正根得特大于零， x 一加 x 二得大于零， x 一乘 x 二 大于零，对吧？那得特大于零， a 方减四大于零， x 一加 x 二，就是 a 大于零， x 一乘 x 二，就是一大于零。那这个解出来就是 a 大于二或 a 小于负二，还要 a 还得大于零。所以我就直接 解出来 a 是大于二的对吧？我过程就解写了。好了，那两个其实点咱们不好解，为什么呢？因为得用求根公式吧。那咱们可以用个伟大定理先表示出来，一会咱们看能不能整体 代换。是不是一般来讲两个极致点都是解不出来的，因为能解出来太简单了。好了，那接下来我就整理这个不能试。 比上 x 一减去 x 二，就等于上面应该是一比上 x 一减 x 一 加上 a 倍的浪， x 一减去一，比上 x 二加上 x 二，减去 a 倍的浪 x 二比上 x 一减 x 二，等于。我先把分子整理一下， x 一减 x 二分之一，他是把 x 一 x 二， x 二减 x 一， x 一减 x 一乘 x 二又是一，所以他就是 x 二减 x 一，对不对？所以呢， 上面我就可以变成什么呀？二倍的 x 二减 x 一，加上 a 倍的 long x 一，减去 long x 二， 比上 x 一减 x 二。哎，简单点了是不是？然后还可以变？它等于什么？ 我可以约一下。呃，前面是不是就变成了一个负二了？加上后面是不就是 a 倍的 l x 一减去 lox 二， b 上 x 一减 x 二。但是这个形式还是有点麻烦。为什么呢？因为这是一个双变量呀。咱们双变量的根本思想是双变量变单变量。 那也就是说，这里的 x 一 x 二能不能消一个？当然能哈，怎么消呀？通过 x 一乘 x 二等于一，因为它俩相乘是长数嘛。所以我就可以得出 x 一 等于 x 二分之一。那我就是不可以写成负二加上 a 倍的浪 x 二分之一，那上面就是负二浪 x 二比上 x 二分之一减 x 二，对不对？那我就可以整理出来，变成负二，加上 a 乘以负号余掉一个， 跟下面减去 x 二分之一对吧？好了， 而且你会发现，根据刚才的 x 一乘 x 二等于一，我还能我还，我可以令一下他俩谁大谁小。令 零小于 x 一，小于一，小于 x 二。这可以吧，先放那啊。好了，那我预证 fx 一减去 fx 二，比上 x 一减 x 二，小于 a 减二。那我就只需证明负二加上 a 乘以二倍的烙 x 二比上 x 二，减去 x 二分之一，小于 a 减二， 挺好吧，因为这里的负二负二是不消掉了。 a 和 a， 因为现在 a 是大于二的对吧？ a 是大于二，在这哈， a 是不是也消掉了？所以我就相当于证明 二倍的浪 x 二比上 x 二减去 x 二分之一小于一，我只需要证明。我可以把分母传过去， 这里的 x 二是比一大的，所以分母是正的。所以我只需要证明这个， 对吧？然后再 都拿到右边去，也就是我只需要证明这个 是不就行了。然后我是不就构造一个新函数 lin。 gx 等于 x 减去 x 分之一减去二倍的浪 x。 这里 x 是大于一的，我只需要证明他大于零，就他求导 等于一，加上 x 方分之一减去 x 分之二，是不就等于 x 的平方？上面是 x 平方减二， x 加一，上面是完全平方，是大于零横成率对吧？所以 gx 在定义域内是不单调递增的。所以 gx 是不大于 g 一 就等于一减一等于零，所以这 x 就大于零了。所以 x 二减去 x 四，二分之一减去二倍的浪 x 二是不是就大于零了？所以最后的结果就出来了。好吧，这就是咱们今天要讲的双极致眼问题哈。好了，呃，想系统学习这块知识的话，可以看咱们合集中的题型。二十九点三。然后今天这道题到这。

各位朋友大家好，欢迎来到柠檬数学微课堂，今天我们开始学习极值。首先来看一下极值的定义是什么，它和最值的区别在哪里？ 好，第一点，什么是即值呢？首先对一个函数在 x 零给定点的某领域内啊，如果有定律定义， 如果满足在这个去腥淋浴内的所有点的函数值，第一点 fx 都小于 fx 零，那么 x 零就称为是函数的极大之点， 那么 fx 零这个函数值就称为函数的极大值，那如果这个不等是反号的话，那我们就称 x 零为 fx 的极小之点，那么函数值 f x 零就为函数的极小之点。那我们来看一下这个极致的定义，首先呢，他要求在某一个 x 零的领域内有定义，所以这个定义考察的呢，是 x 零的一个局部范围内一个领域。 好，那么如何判断它是极大和极小呢？那就按照定义啊，就是说，如果在这一点啊 的一个去腥淋浴内，假如说这一点是 x 零啊，不考虑这一点的其他啊，淋浴内的其他点函数值，如果都比这一点的函数值大，比如说我画一种， 那么此时这个点呢，就是我们的啊，极小之点，这个大家画一下图就可以理解，那么 fx 零就是极小之，那反过来呢， 如果这一点的函数值啊，其他点的函数值，在这个 x 零的领域内的函数值都比他小， 那这一点就是极大值点，那么这个函数值呢，就是一个极大值。好，这是极值的定义。那么再来看一下什么是最值呢？ 好，第一个啊，假设我们考虑的函数在某个区间内有定义啊，那这个首先考虑的范围和刚才是不一样的， 刚才考虑的是某一点的领域内，他是一个局部的范围，那现在我们所要考察的呢，是一个区间，可以理解成是一个，呃，全局的范围， 如果存在某一个 x 零属于这个区间，使得对任意的 x 属于癌啊。都有啊，还是两条 类似的 fx 小于等于 fx 零，那换句话说呢，这个 x 零处的函数值比其他点的函数值都大，那我们 x 零就称为是函数的最大指点，然后呢，函数值 fx 零就称为是函数的最大值。 好，如果不等式反号的话，那也就是说其他点的函数值呢，都比这一点的函数值要大，那我们就称 x 零呢为 fx 的最小值点。然后呢，函数值 fx 零为函数的最小值。 那么回想一下，极值和最值呢，他这个不等式这块是比较类似的，那唯一的区别在哪呢？唯一的区别就是说我们现在的 x 呢，不是在 x 的领域，而是呢在某一个区间上。 哎，这是两个定义的一个，呃，最本质的一个区别啊。好，接下来呢，我们来再看啊，通过一个图像来再来把这个极值这个定义和最值这个定义呢， 深入理解一下啊。好，我们给了这样一幅图啊，这里面呢，标注了一些点。好，那我们从这个图上我们来观察这样一些事实啊。好，第一个呢，他说函数的极致呢，是函数的一个局部性质。回忆我们的 定义，我们要考察的是 x 零的区这个领域内的啊，函数的性质，那比如说我们拿 x e 来看， 在这个领域内啊，就是离他不远的范围内呢，我们观察其他曲线上啊，其他点的函数值都比 x 一处的 函数只要大，所以 x 一呢，他就是个极小之点。那么看 x 二呢？ 看图像，那其他点的函数值呢？都比他的函数值要小，所以这就是个极大值点。 好，再看一个吧，那我们看这个啊， x 五对应的这个点，那其他点的函数值呢？都比他大，所以这是个极小指点。好，再来看一个 x 八这一点吧，在 x 八这个领域内的点，我们观察啊，在他的右领域的点的函数值比他大， 做淋浴的点的函数值比他小，那所以这就不满足极致点的定义，所以 x 八呢，不是我们的极致点。好，那我们看啊，函数的极致是一个局部的性质，那我们刚才考察， 都是每一个点他的领域内的一个性质啊，离一个函数值的不等关系啊，所以他是他的一个局部性质。第二个 函数的极值可能有多个。从这个图上啊，我们只分析了 x 一、 x 二， x 五、 x 八，那么大家还可以分析 x x 四， x 六、 x 七等等啊，它的极值是有多个的啊，有很多个极大值，也有很多个极小值， 函数的极大值可能比极小值小啊，这个，那我们从图上来看看这个 x 二所对应的这个极值，我们刚才分析了，那 x 二是个极大值点，那么 fx 二就是极大值，那么 x 五是极小值点，那么 fx 四五就是极小值。那从图像上很很显然，这个极小值的值呢，要比极大值的值要大，也就说对于极极值而言的话啊，不一定极大值就比极小值要大啊，从这个图像上我们就可以看出来。 好。第四点，函数的极值不在端点处取得，为什么呢？我们要求我们谈到极致的话啊，我们的 x 一定是在 x 零的一个淋浴，那就是既有左淋浴，又有又淋浴，那么端点处，我们看图， 左端点他只有右淋浴，没有左淋浴，那么右端点只有左淋浴，没有右淋浴 啊，这是关于即止，通过这幅图呢，我们再来了解一下，那么再来看一下，如果这 个函数，我们让你来考察他在 ab 上的最值呢 啊，注意，什么叫最直呢？那对于最大来最大值来说，那就是说在哪一点的值取得最大？从图上我们可以看到，给定的这个点的话，在衣物端点处取得最大值，并且这个最大值是唯一的。 好，那最小值呢？那我们再涂上看啊，最小值的话我们看啊，那看起来这一点，这一点和这一点呢？他的值都是最小的 啊，最小的，那最小值呢？一定是这个函数取值里面的最小，比其他点的函数值呢？一定是最小的，但是最小值点不一定为一啊，同理，最 最大指点也不一定为一，只不过我们这个图形来说，最大指点就是我们的右端点， 最小指点。大家看图啊，那这一点，这一点，这一点都可以取得我们的最小值，所以 x 一， x 三， x 七都是我们的最小指点，但最小值和最大值是唯一的。 好，那么通过这个图呢，我们又把这个极致啊的一个定义，以及极致与最直的区别呢，了解一下啊。 最后我们来总结一下，那对于举止和最止来说，这两个概念啊，非常相似的两个概念，从范围上来说的话，举止考虑的是一个局部某一个点考察的点淋浴内的一个性质， 那么最直的话，我们可以说我们考察的是一个相对而言是一个全局的一个区间爱上的 函数值的一个不等关系。好，那对于个数来的话，个数来说，级值可以有多个，有很多个级大值，很多个级小值啊，最值的话最大值有一个，最小值也有一个唯一的啊。 好，最后一个大小关系不一定，对于举止来说，那么对于最直来说是确定的。这个具体指什么呢？我们再做一下说明。 这里的不一定指的就是我们刚才看到的图啊，极小值不一定小于极大值啊，但是对于最最值来说，最小值一定是小于最大值的。好，那么这就是什么是 极致，什么是最值，一直以及他们两者之间的一个关系。好，这就是我们今天的内容，感谢大家的聆听，再见！

大家好，今天我们来讲一下倒中切。所谓倒中切，其实就是倒函数中进行英式分解的一个逻辑。他的题目通常情况下会告诉你我有一个函数 fx， 而 x 等于 x 零呢？是这个函数的唯一极致点。这个时候我们对函数进行求导，他的导函数一定可以因时分解，然后拆成 x， 减去 x 零乘以一个 gx 的形式。 而这个 g x 通常情况下就是我们比较熟悉的切线放松不等式。也就是说这个 g x 呢，是很大于等于零，或者很小于等于零。这个时候我们就可以说明 x 零是导航数的唯一穿越零点。也就是说 x 零是原函数的唯一机制点。 那么这一类题型我们常见的函数模型有三个。第一个 fx 等于 e 的 x 分除以 x n 次方，再加上一个函数的形式。第二个 fx 等于 x 的 n 次方，乘以 e 的 x 次方，加上 gx 的形式。第三个 fx 等于 x， 加上 n 乘以 ex 方，加上 gx 的形式。 那当一个题目中出现了这样的函数模型，而且又告诉你他只有一个极致点的时候，我们就可以考虑使用倒中切这种方法。我们来看一个题目，这里给了一个函数，他只有一个极致点，而且函数中出现了我们刚才说过的一个模型，我们如果对他求导的话，就可以写成 x 减三乘以 e 的 x 四方，对吧？ 那我们可以猜测， x 等于三，就是整个函数的唯一级之点，那也就意味着导函数一定可以写成 x 减三乘以一个函数的形式。下来，我们来把它验证一下就可以了。我们对他进行求导， fepx 就等于 x 减三乘以 e 的 x 四方，然后再减， 减去 k x 平方，再加上三 k x。 提个供应式，就是 x 减三乘以 e 的 x 四方，减去 k x。 ok， 那就符合我们刚说的这种逻辑对吧？那下来呢？第一种情况，我们可以先假设这个 x 等于三， 是 fx 的唯一极致点， 那这个时候就意味着后边的一部分需要横大于等于零，因为他不可能横小于等于零嘛，对吧？这个时候我们就可以解出来一个 k 的范围。这个还是比较好解的啊， 小于等于一，大于等于零。那接下来我们来看一下，那有没有可能 x 等于三不是整个函数的唯一机制点呢？也就是说 x 等于三，不 是导函数的穿越零点。那这个时候就意味着后面这个函数等于零的时候， x 一定等于三，对吧。而且他有两个零点。也就意味着我们把三带进去 e 的三四方，减去 三 k， 他要等于零， k 就等于三分之一的三方。这个时候我们可以把后面这部分的两个图像给他画出来，我们画一个 指数函数，然后再画一个依次函数，而这个地方呢，一定是三，对吧？这个地方呢，还有一个根，我不知道，反正他是 x 零，对吧。那现在呢，我们把整个导函数的图像画出来，我们画两部分啊，前边和后边。那画一下的话，就是 一个是指数和依次的，那么他是先正后负再正对吧？先正 和负载正，然后这个地方呢，是 x， 零，这个地方呢，是三，然后另外一个呢，是一个一次函数， x 等于三，是他的一个根，大概长这样对吧？好，下来我们来分析一下。在这个三的左侧， 在这个 x 零的左侧， x 零的左侧的话是一正一负对吧？也就是说整体是负的， 整个导航数是负的啊，也就是说导航数小于零。而在这个中间的话，两个都是负的，那意味着你的导航数是不是大于零。在这个右边的话，两个都是正的，是不是又是大于零？ 所以你会发现这个 x 零才是整个函数的穿越零点对吧？也就是说他有唯一的极致点，而这个极致点不是三，而是这个 x 零。 我不用算出来他等于多少对吧，我只需要证明他有就可以了。此时 k 等于三分之一的三次方的时候，也是满足提议的。所以整个 k 的范围就是 零到一方，零到一，然后并以上三分之一的三分才是完整的答案。

同学们大家好，我是裴老师，我们都知道啊，数学中啊，有许许多多神奇的点，今天呢，我们就来研究其中的一个函数的注点，这条视频的最后啊，我会提出一个问题，希望同学们能认真看完，然后呢跟我私信交流。我们先来看这个图像， 这个函数图像呢，在 x 零处，他的导数值为零，这样他的切线呢，就平行于了 x 轴，就叫做函数的注点。 那知道什么是注点之后呢？同学们可能会有这样的疑问，我发现注点的定义啊，和我们之前学过的极致点非常相似， 那注点和急支点有什么关系吗？如果一个点是注点，那他是不是急支点呢？答案是否定的。我们来看这个例子，函数 y 等于 x 的三次方， 在零零处，一阶倒为零，所以这个点呢， x 等于零就是他的注点，但很明显，这不是他的极致点，要满足是极致，极致点的话，在这个点的左右两侧，他的导数一定要一号才可以， 那反过来，如果一个点是极致点的话，那么他是不是注点呢？答案也是否定的。我们来看这个例子， y 等于 x 的绝对值，对应起来的话， x 等于零处，他是极致点，但在这个点处，他不可导，所以这个点自然而然一定也不是注点， 所以说注点就是倒数为零的点，注点不一定是极致点，极致点也不一定是注点。那么我有一个问题想问一下大家，注点有没有可能是曲径的端点呢？希望大家在评论区告诉我。

极致点偏移解题方法实际就是构造，常要的有三种。第一种，构造对称函数。以这个题为例， fx 有两个零点，也意味着 fx 呢，等于 ex 方减 x， 等于零。有两个根，我把它写成 a 分之一，等于多少呢？ ex 分之 x， 我令它为 jx。 大家对这个函数应该比较熟悉，它的导函数在这里，图像在这里。 好，所以呢，我们说 x 一呢，应该是零，小 x 一要小于一，再小于 x 二，对吧。当然，二减 x 二，肯定也是明，肯定也是小于一的。所以也就是证明 x 一大于二，减 x 二。 好。我构造对称函数，也就是用 gx 变成 gx 二，要等多少？ gx 一，因为是在这里单量递增，所以是大于 g 二减 x 二。这边这个函数他大于他就行了。我另 hx 等于很端记 x 减，记二减 x x， 他是 x 呢，他是要大于一的。所以啊，求个到。好吧，我只要对面大大于零就行了。等于多少呢？ gx 一撇，加上 g 二减于 x 一撇，好，往这里面带。也就是 ex 方一减 x， 加上 e 减 x， 那就是 x 减一，把它通向分，等于 e 的平方。 x 减一， ex 减去 e 的二减 x。 好，继续等于 x 减一， e 的 x 减二，减上 e 的负 x 方。我们知道这函数是单调递增函数。 把一往里面带，他应该是什么呀？应该是零。所以呢，他一定是大于零。而这个呢，肯定是大于零。所以结果他大于零呢？也就是 h， x 是单调递增的。所以我们的 h x 一定要大于几啊。 n 至一记一，减记一，所以等于零。好，这张我们就正面完了。