椭圆上任意一点与焦点连线都垂直吗

椭圆相关结论总结，基本结论加二级结论几何性质分析相关结论的辅助包解各类小题。 今天我们来分享一下椭圆中的一些相关结论。首先我们来看一下椭圆的定义，大家都知道椭圆的第一定义是 p f 一，加上 p f 二等于二 a f e f 二是焦点， p 是椭圆上任意一个点， 那椭圆的第二定义是什么？椭圆的第二定义是椭圆上的一个点到焦点的距离，他到准线的距离比是一个定值，这个定值是离心率 e。 椭圆的第三定义是 k p a 乘以 k， p b 等于一方减一 a b。 要关于圆点对称， p 是椭圆上任意一个点。第一定义在各类小题里面非常常见，大家要熟记。然后第三定义也是比较好用的一个结论，我们再来看一下椭圆里面的一些基本量。那第一个我们来说一下椭圆的话我们最基本要掌握的， 但是他的焦点在哪个轴上，应该如何判断？还有 a 方 b 方 c 方分别是多少，以及这个勾股关系， a 方等于 b 方，加上 c 方，还有这个长轴，短轴，长半轴，短半轴，这些东西要区分清楚。那么离心率的基本公式是 c b a， 那再进行一个拓展的话是二 c 比二 a 还有离心率 e 进行平方之后是 e 方，等于一减去 a 方分之 b 方。 再来看这个通径，通径的话注意一下，必须要有这个过焦点且垂直这个条件，那么它是 a 分之二 b 方，还有准线分 x 轴和 y 轴上都是 c 分之 a 方正负 c 分之 a 方。减长公式， 弦长公式 a b 就等于根号底下一加 k 方乘以 x 一减 x 二的绝对值，那如果用 y 表示的话，就是根号底下一加 k 方分之一 y 一减 y 二的绝对值。 后面的这个公式的话，我们说得他是连力之后的，得他 a 是这个连力之后二次项系数。接着我们再来分享一个椭圆中比较重要的地方是焦点三角形。结论，第一个焦点三角形呢，自然会跟咱们的解三角形有关系，他常用到这个余弦定理， 那周长的话是二 a 加二， c 面积的话可以用二分之一底层高也可以用这个 b 方乘以泰吉塔二分之 c 塔。下面的这两个结论之后我们分享这个离心率取值范围的时候跟大家再细说。椭圆中含有一个比较重要的东西是交半径，那么交半径的话，我们说它是左加右减，范围是 a 减 c 都和 a 加 c 分别是这个椭圆的 左顶点和右顶点处取到最后我们再来分享一下果园中的点插法，也就是松点弦，当出现一个弦，然后中点的情况， 我们说这个斜率 k l 乘以 k o m 就等于负的 a 方分之 b 方。这个结论非常好用， k l 指这个弦的斜率， m 指的是这个终点， kom 指的是这个终点与圆点连线的斜率。之后我们用四讲的时间来分享一下这个拖延理性率的各类常见题。

椭圆焦点三角形内心坐标要记清，今天我们讲一下与椭圆焦点三角形的内心有关的问题。如图所示，椭圆焦点三角形 p、 f、 e、 f 二的内心为 i， 并且内切圆与三条边的切点分别为 m、 n 和 q。 我们先假设 p 点坐标 x 零 y 零，内心爱的坐标 m， 逗号 n。 那么三角形 p f 一、 f 二的面积就可以利用底乘高除以二，再通过化解得到四亿乘上 y 零的绝对值。 右眼为内心 i。 还可以将三角形 p f 一、 f 二的面积分解为 i、 f 一、 f 二、 i、 p f 一、 i、 p f 二三个三角形面积之和。而这三个小三角形的高均为内切圆半径。 经过整理，焦点三角形的面积还可以表示为二分之一倍的 f e、 f 二，加上 p f 一加 p f 二，再乘 上内切圆，半径小啊。又因为 p f 一加 p f 二等于二 a 小啊。恰好为内心纵坐标的绝对值。代入化解就得到 a 加 c 乘上 n 的绝对值。利用面积的两个表达形式，我们就能建立外龄与 n 之间的等式关系。 又因为外零与 n 的符号一定相同，所以拆掉绝对值，就得到 n 等于 a 加 c 分之 c 倍的外零。再对分式上下同除 a， 转化成含有离心率的式子，那么最终 n 就等于一加一分之一倍的外零。 接下来，我们在研究内心爱的横坐标，利用期限长性质，可以得到 p m 与 p n、 f 一， m 与 f 一 q f 二， n 与 f 二 q 彼此相等。下一步，将 p f 一减 p f 二转化为 p m 加 f 一 m 减去 p n 加 f 二 n。 此时 利用线段相等关系，就能得到 p f 一减 p f 二等于 f 一 q 减 f 二 q。 因为点 p 一定不为椭圆左右顶点，那么 p f 一减 p f 二就不等于正负 f 一 f 二。 又因为点 q 与 f 一、 f 二两点共线，并且此时 f 一 q 减 f 二 q 不等于正负 f 一 f 二，那么点 q 就一定落在线段 f 一 f 二的内部。 再利用内心爱的坐标，就能得到 q 点坐标 m 逗号零。所以 f e q 减 f 二 q 等于 m 加 c 减去 c 减 m 化减等于二 m。 下面我们需要引入椭圆交半径的二级结论。如果 p 在椭圆上，那么 p 到左交点距离为 a 加 ex 零， p 到右交点距离为 a 减一 x 零。其中 e 为椭圆离心率。利用交半径公式，就 能得到 p f 一减 p f 二等于二亿倍的 x 零。再结合刚才的结果，所以 m 等于 e 乘 x 零。那么最终焦点三角形内心爱的坐标为 e 乘 x 零，逗号一加一分之 e 倍的 y 零。 最后我们做一道练习，巩固一下内心坐标。公式。已知椭圆左右焦点分别为 f、 e、 f 二点。 p 为椭圆上一点 i 为三角形 p f、 e、 f 二的内心，即直线 o、 p、 o、 i 的斜率分别为 k 一、 k 二。若 k 一等于二分之三倍的 k 二，求椭圆的离心率。 我们先设 p 点坐标 x 零、 y 零，根据结论得到内心爱的坐标，再利用斜律公式，就能得到 k 二等于一加一分之一倍的 y 零，比 x 零恰好等于一加一分之一倍的 k 一。 结合条件，所以一加一分之一等于二分之三。最终 e 的值等于二分之一，答案选 b。

好朋友们，我们以这个 f 一 f 二这两个点在 x 轴上这样的椭圆为例，我们来观察一下这个椭圆具有哪些细致。那么首先啊， 椭圆它是一个什么图形啊？它既是一个轴对称图形，还是一个中心对称图形，所以它具有对称性。那么它的对称轴是什么呢？对称轴恰好是 x 轴外轴，除此之外呢， 他还有一个对称中心。那么咱们一般的椭圆对称中心恰好是圆点，这是椭圆的第一个形式对称型。我们再来看一下这里面比较特殊的这些点。 首先呢，我们在画椭圆的时候呢，我们要先定下来这么两个定点， f 一、 f 二，我们把 f 一 f 二就称之为椭圆的焦点 a bcd 这么几个点，我们把这些点称之为是椭圆的顶点。那么 ab 两个点所在的线段， 这条线段我们把它叫做是椭圆的长轴，这个 cd 所在的线段呢，恰好我们把它叫做椭圆的短轴。至于这个长轴长，还有短轴长多长呢？我们来观察一下， 屁点是椭圆上的点，那么他到 f 一和 f 二的距离合应该等于二 a， 这是椭圆的定义。那么我们假定屁点跑到了 b 点的位置，那么 b f 一和 b f 和恰好不就是，你看一下，把 b f 挪到这来，恰好不就是 ab 的长度吗？那么距离和等于二 a， 所以此时 ab 的长度就等于啊二 a， 所以椭圆的这个长轴长啊等于二 a， 我们来看一下 cd 有多长，我们假定这个屁点又跑到了 dd 的位置，所以呢， d f 一加上个 d f 二又等于二 a， 又根据椭圆的这个对称性啊，这点长是相等的，所以他们各自为 a， 所以这点长也是 a 的长度。 那么椭圆定义里面这点长是 c 的长度，这是 a 的长，是 c 的长。根据咱们刚才那个练的， b 方等于 a 方减 c 方，那么 a 方就等于 b 方加 c 方，他们三者呀，称一个勾股数，那么 a、 d 的长恰好就是 b 的长，那么 o d 是 b 的话， dccd 的长恰好是二 b， 所以短轴长恰好是二 b 长，所以我们在这看一下，你看椭圆里面这个长是 b 的长度， 这点长是 a 的长度，这点长是 c 的长度。还有这点长是 a 的长，也就是说你看 c、 f 二的长也是 a 的长，所以这个 a 的长短要多记那么一条短， 本周的这个端点到焦点距离也等于 a， 这是 abc 在椭圆里面所体现的。这些 啊，亮，那么还有概念叫做离心率，这个所谓的离心率啊，他其实是描述的是一个椭圆的扁平的程度，那么他的计算呢，是与 ac 有关，他等于 a 分之 c， 因为这个 c 比 a 小，并且呢他 a 和 c 都是正值，所以他比圆有个范围，他应该是大于零，小于一，这是椭圆离心率的一个范围。我们再来看一下椭圆里面经常用的一些结论，里面有一个概念叫做 通径。什么是通径呢？通径啊，它属于一个焦点些 比较特殊的焦点线，他是什么样焦点线呢？过焦点，并且垂直与这条焦点所在轴的线。 m 垂直与焦点所在的轴，并且呢与椭圆相交于矮门两点，那么矮门的长就称之为是椭圆的通径。通径长有多长呢？ 通径长，咱们可以总结一个小小的公式，那么怎么计算出一个公式啊？我们看一下 m 点的坐标，如果说知道的话，那么 m 的长度恰好不就是 m 点的纵坐标的两倍吗？这个长的两倍，那么 m 点的纵坐标怎么算呢？ 我们知道 m 点和 f 二点，他的横坐标是一致的，所以 m 点的横坐标是 c， 那么纵坐标外怎么求呢？ 因为 m 点恰好在椭圆上，所以我们可以把这个坐标带到椭圆的方程里面，解出这个外的值恰好等于 a 分之 b 方，那么 m 的长呢？恰好就等于 a 分之 b 方的两倍，也就是 a 分之二 b 方，这是椭圆的一个通径的一个知识点， 那么还有个东西叫做交半径。椭圆里面还有个东西叫做交半径，那么什么是交半径啊？交半径指的是椭圆上的任何一点加数点 p 在这，他到焦点的距离叫做交半径。 哎，同学们也想到了这个焦点啊，有两个 f 一 f f 有两个，那么哪个是焦板镜啊？两个都是焦板镜，那么 往左边的这个交点的距离就是左交半径，那往右边的就是右交半径，我们把它系成 r 一 r 二，那么这个 r 二一和这个二二二分别是多少呢？在图页里面，交半径咱们是有计算的公式的，怎么算呢？是一个常数 a 加上个 e x 令， 这是交半径的计算公式。这个 a 啊，指的就是椭圆里边的这个 a， 那么这个 e 呢，指的是椭圆的离心率。 x 零呢，指的就是任何一点点 p 处的横坐标就是 x 零，那么左交半径的公式就是 a 加上个 ex 零，右交半径呢是 a 减去一个 e x 零，这是椭圆的交半径的 一个公式。那么第三点同意呢？咱们还需要注意一个东西，叫做焦点三角形的东西。 那么什么是焦点三角形呢？这概念很好理解，就是三角形的两个顶点恰好是椭圆的两个焦点，另外一个顶点呢，恰好在椭圆上，比如说 p f 一 f 二，他就是一个焦点三角形， 那么在这里我把这个角，我把它记成是 c 塔角，我们把它先展示叫做焦点角。那么这个焦点角什么范围？看一下 c 塔是个 什么范围呢？我们发现这个 c 塔是随着这个屁点的移动而进行一些变化，那么到哪的时候最小到哪是最大最大多少，最小多少呢？我们观察一下，屁点到 a 点处的时候， f 一 t f 二，这个焦点的这个焦点角啊，恰好等于零，因为他们都在同一角直线上，所以此时这个角是最小的，所以这个 c 塔在哪最小呢？当 p 点在 a b 处时， p 在 a c 或 b 处时，这个 c 他是最小的，等于多少呢？ 他的值是零，恰好是零，那么什么时候最大呢？这个屁点跑到 c 点或者 d 点处， 那么这个四大角最大最大多少呢？这个呢？在每个椭圆里面，他的值是不一样的，我们需要在每个椭圆里面进行单独的运算， 那么这种题呢，我们把这个角算出来就可以，这是 c 踏角的一个范围， 那么根据这个 c 塔，咱们有一个椭圆的一个焦点三角形的面积公式等于短轴一半平方乘以一个摊前的二分之 c 塔，那么这个 c 塔恰好就是指的是这个焦点角 b 方乘以一个摊 二分之 c 塔，我们也可以拿这个公式让我们来验证一下，你看 c 塔在哪最大呢？你就看这个面积什么时候最大， c 塔也就对应的恰好就是最大面积什么时候最大呢？ p f 一 f 二，当 p 点跑的离 f 一 f 二最远的时候，也就是在 c 点和 d 点处时，他的距离是最高的，所以他的面积也是最大，那么此时这个 c 他也是 最大的。这是椭圆里边有个焦点三角形的面积公式。那么还有一个焦点三角形的周长公式，这个周长啊，比这面积好算一些，周长恰好不就等于这俩的 和加上个 f 一 f 二吗？ p f 一 p f 的和恰好是二 a f 一 f 二呢，是二 c， 所以他的面积，哎，这个周长恰好就是二 a 加二 c， 这是焦点三角形的一个周长的公式。

这个题啊，它是有直接结论的啊，我们椭圆焦点三角形的内心坐标呢，它是这么写，就是当 p 是 x 零 y 零的时候，内心的红坐标是 e x 零，纵坐标呢，是这个 e y 零，比上一加一。 那么来看这个题啊，核心的条件就是这个，他说 i g 是内心和重心，然后问这个 i g 倾斜角不随着 p 的运动而变化的时候，椭圆的离心率是多少？ 那这个题在分析的时候啊，我们首先把这个 p 放在外轴的位置，这是哪个点？ p， 那这个时候 i 和 j 是不是都在这个外轴上面？假如说它是一个普通的等腰三角形，那 i 和 j 肯定是 一上一下，也就是说是垂直于 x 轴的。人家条件说的是 i j 的倾斜角不随 p 的运动而变化，所以当这个点屁在移动的时候，这个 i j 肯定还是有垂直的这种情况。所以第一种情况呢，就是 i j 垂直于 x 轴式， 那你想它们两个垂直于 x 轴，是不是横坐标都一样？那也就是 e x 零等于三分之 x 零，直接得出来 e 是三分之一。那第二种情况是什么呢？就是如果它是一个等边三角形的话， i 和 j 它是重合的，那此时的离心率是多少啊？你看这段长度是 a， 这段长度是 c 嘛，这个角又是六十度，那这个时候离心率是不二分之一啊。所以第二 这种答案呢，就是 e 等于二分之一。那这个情况是什么呢？就是 i j 平行，当它是等边三角形的时候，这样 p 在移动的时候， i j 是平行的， 所以第二种情况， i j 平行于 x 轴的时候， e 就直接等于二分之一啊。 这个地方我们可以验证一下，当这个 i j 平行于 x 轴的时候，说明纵坐标一样，也就是 e y 零比上一加一等于三分之 y 零，这样三 e 等于一加 e， e 就等于二分之一啊， 所以一共是有这两种情况。那这个题呢？就是有两个答案。

很多数学公式我们都能记住，但是你真的懂他们是如何推导的吗？学好数学，会用公式固然重要，但是自己独立推导公式的过程才是我们提升数学核心素养的关键步骤。 今天我们来讲椭圆上的点， m 到焦点的距离合适最大，合适最小。我们以其中一个焦点为例， 我们去求 mfe 审核最小，可以用两点间的距离公式把它表示出来，那就是 x 减去负 c 的平方，就是 x 加 c 空间的平方，再加上外减零的平方，就是外放。这样我们表示出 mfe 的长度。很显然他现在是一个二元的问题。但是根据我们的椭圆的标准，方正 x 方比， a 方 加外放比比放，他是等于一的。那很显然 m 点是有从总坐标之间的关系。那我们可以把二十解除外放，并代入一式。这样的话我们就可以写成 mfe。 就等于 根号下 x 加 c 的平方加上外放。外放。我们把第二式的结算啊，那就外放应该等于 b 方乘以一减去 a 方分之 x。 能带到一式当中，那就应该是 b 方再乘以一减 a 方分值来测评哎。再去把尺子展开，就是 x 平方再加上二 xc， 再加 c 方， 再加 b 方，再减去 a 方分值 b 方倍的 x。 那这里面又可以化解。首先我们把二次相合到一起，也就是一减去 a 方分值 b 方 b 的 xb， 一次加二 c 乘以 x。 常数讲，因为椭圆 a 方等于 b 方加 c 方，所以 b 方加 c 方等于 a 方。可以把换掉。然后我们再进行一个整理啊，然后把 二次项的细数通分，会发现的是 a 方分之 a 方，减 b 方就变成 a 方分之 c 方， v x 方，再加上 rcb x 再加上 a 方。这样我们就把根号底下的内容整理成了一个关于 x 的一元二次函数的形式。那根据一元二次函数求最值的方法，我们只需要找到对称轴位置啊，我们来去判断单调区间就可以了。很显然，对于这个函数，如果我们连 fx 等于 a 方分之 c 方倍的 x， 再加上 rcx 再加 a 方，那他的对称容应该是 x 等于负的二 a 分之 b， 二 a 是 a 方分之 c 方， b 是 r c。 这样我们一整理的话，他应该是等于负的 c 分之 a 方。哎，你会发现，这个就是我们椭圆第二定义中的准线的位置。那很显然负的 c 分之 a 方，他是小 于辅 a 的。那我们知道椭圆的范围 x 上点的范围 x 应该是属于辅 a 导 a。 那说明我椭圆上面的点所对应的横坐标在我指定的扶 a 到 a 这个区间里面，他应该是单调递增了 x 单脚底层，因为它是开口向上的啊，这时候位置是在我指定区间的左边，所以我是单脚底层的。那很显然，最小值应该是在 x 等于负 a 十 取得 mfe 的最小值。当 x 等于 a， 是 mfe 取到最大值。这也就是我们所说的椭圆 中的左顶点 a 和右顶点 b。 相对于左焦点来说，左顶点 a 就是这个椭圆的，可以理解成是今日点， b， 可以理解成是相对于左焦点的原日点。 那根据对称性，那如果是让你求 m f 二的最小值和最大值呢？你会思考吗？

啊，这个视频啊，我来带你研究一下椭圆当中的一的平方减一啊，就是这个东西啊，它有什么神奇的这个地方。 嗯，这个数据他会出现在很多斜率相乘的场景当中，而且这些场景呢，他在很多题目啊，都是出题的一个依据。所以你了解这些场景啊，对于你做题的时候呢，就是方向性的一个把握，是非常有帮助的。好，那我们就来实际看一看啊，具体的这些题目。 好，我们来看一下。探索。一椭圆呢，长成这个样子。嗯，然后呢，任意一点屁。嗯，这是只要他不是常州的端地，就可以与常州的两个端地联系呢，是 k 一和 k 二的斜率。当然这个呢，我相信大家都非常的熟悉啊， 这个其实就是我们的所谓的椭圆的。嗯，第三定义对吧？我们这个情况呢，只需要把 p 点设为 x 零到五百零。然后呢， a 我 我们知道啊，是负二动力。 b 呢，我们知道是二动力，然后你把这个斜率表达出来就好了啊。实际上我们呃，大体这类问题的做法都是这样子的好。 x 零呢，加二分至外零，然后下面 k 二呢，是 x 零减二分至外零， 两者相乘， k 一乘以 k 二等于什么呢？等于外零的平方除以 x 零的平方减四，对吧？这里呢，你始终要注意， x 零方和外零平方是有关系的， x 零方除以四加上外零平方除以三，会等于一 对不对。好，那这个时候呢，我们就可以干嘛？我们可以把这个外零给分离出来对吧？四分之三倍的 x 零平方加上外零平方，会等于这个三。所以呢，我们会发现，嗯嗯，其实也可以这样子。嗯，我们把一移过来对吧？就是三分之外零平方等于一 减去，这个也就是呃，四分之这个一减 x 四减 x 零平方，对吧？所以呢，我们就可以推你推你出外零平方除以 x 零平方减四啊，这个会等于负的三除以四啊，所以这个就是负的四分之三 啊。这个数其实是谁呢啊？其实就是负的 a 平方分之 b 平方，对吧？而这个数呢，刚好也会是一的平方减一， 刚好会是一的平方减一啊，你可以自己算一下是不是对吧啊你呃，你自己呢，可以拿这个通用的 a 平方 b 平方来推理一下这个结论，方法是一样的。不过呢，我跟你讲的时候呢，还是用具体的题来讲，这样子啊，你的记忆会深刻一些。好，这是我们的探索一。第一种情况， 我们上一个题呢，其实，嗯，这个 ab 啊，你可以理解为是这根轴对吧？ p 呢，和长轴做这么一个 呃，类似做这么一个操作哈。然后呢，我们其实会发现啊，这根轴不一定是长轴啊，他可以是过圆点的，任何一根轴都可以啊。比如说我们 嗯，探索二呢，就是这样说的哈，过圆点欧做一条直线， l 交椭圆与 ab 两点。然后呢，你 p 为另外一点啊，这样一点是吧？斜率这个 k 一乘以 k 二呢，也是一个定制。 而这个定制呢，还是一平方减一好，我们同样的啊，用嗯，刚刚的之前的方法来证一下啊。这个时候呢，你的 p 呢，设为 x 零斗外零，对不对？ a 呢，你不知道是多少了，我们设为 x 一斗外一， b 呢，是 x 二斗外二可以吗？ 这没问题吧？而事实上呢，利用这个中心对称特性，我们可以把币直接写成负的， x 一都负的外意，可以不？这没问题吧？那接下来呢，我们就可以建立这个表达式。 k 一等于什么呢？ x 零减 x 一分之外零减外一可以吧？然后呢， k k 二呢？就是 x 零加 x 一，外零加外一。好，我们两者相乘啊。 k 一乘以 k 二会等于多少呢？会是 x 零平方减 x 一的平方分之外零平方减外一的平方。 好。这个时候你就要这样想，对吧，我们的 x 零平方会满足 x 零会满足这样的一个柿子 s 零外零，然后 x 一外一也会满足这样的一个柿子。 所以这两个式子很明显，用点叉法就能得到我们希望的这个效果，对吧？所以呢，一减二就是四分之 x 零平方减 x 一平方，加上三分之外零平方减外一平方，将会等于零，对吧？然后呢，我们把这个 x 零平方减 x 一平方，除过去就 四分之一，加上三分之一倍的 x 零平方减 x 一平方分之外，零平方减外一平方就会等于零。所以，我们得数的结论是一样的， k 乘以 k 二，仍然是负的。这个四分之三，其实就是我们的一平方减一对吧？就是这个数。 好，这里相当于是我们对这个问题有了更深刻的一个理解哈，只要是过远点的轴，他都有这个特性。当然呢，如果你再继续往前看哈，其实呢，这个是咱们所谓的 之前我们说过的内接三角形啊，它是一个非常特殊的内接三角形，对吧？是一个过定点。这个定点在哪呢？这条线的定点在哪呢？实际上是在我们的嗯， 圆点对吧？相当于是一个非常特殊的一个特例，我们的内结三角形。我们说内结三角形呢，当其中一个点是定点的时候，比如说当这个点是定点的时候， 如果这两个线斜律满足什么要求，那么这条线就会过定点。或者是啊，某一组平行线对吧？同样的，当这个线是平行的，或者说这个线是那个什么的时候，我们往往会得到什么呢？会得到这两条线的斜率啊。啊，有点关系对吧？好，这里呢， 当然没有办法去展开一个通用性证明。我们讲这个二级结论啊，也不是希望你把它记得准准确确，而是什么你知道有这么一回事哎，在你分析问题的时候，你知道分析方向就可以了。这个探索三呢，是大家比较熟悉的这个呃，一个二级结论哈。嗯，也就是说我们 嗯这种终点弦的这个关键是啊，就是我们的 ab 呢，是一条弦，然后呢，我们的 p 呢，是 ab 的终点，这个时候 op 的斜率和 ab 的斜率啊，他去相乘呢，呃，也是我们的之前的那个值。那这个东西呃，咱们当然知道，用点他法是非要非常好证明的。不过呢，待会我 会告诉你呢，他跟我们前一个问题啊，他是有联系的。好，我们把这个先用点叉法来证明一下，大家都是比较熟的对吧。 啊，就是 a 这边呢，是 x 一平方除以四加上外一平方除以三等于一。然后呢，下面是 x 二平方除以四加上外二平方除以三，会等于一。 好两者呢？做一个差一减二，我们会得到四分之 x 一减 x 二， x 一加 x 二，加上三分之外一减外二，以及外一加外二会等于零，对吧？好，我把 x 一减 x 二， x 一加 x 二都图过去啊，就是四分之一加上。 呃，外一减外二除以 x 一减 x 二乘以外一加外二除以 x 一加 x 二，再乘以三分之一，会等于零。这一坨啊，它其实就是 k a b 这一坨啊，它其实就是 kop 啊。为什么说它 kob 啊？因为 p 是中比二分之 x 一 加 x 二，二分之外一加外二，对不对？你看， kop 是不是就是这个表达式啊？所以呢，哎，一样道理，你会得出 kab 乘以 kop 啊。他呢，其实就是我们的负的四分之三，也就是我们的一平方减一对吧。又是这个数。哎，那怎么跟我们之前的那个问题，他早点联系起来了？哎，其实很简单，你可以做这样一个操作，他就联系起来了。我过必点啊，把这个欧点一联延长过去。 哎，是不是中心对称，那么 o 点就会成型为中点？那这个时候你看哈，假如说这是 h， 是不是由我们探索二，我们是知道的。 k a h 哈，乘以这个 k a b 实际上是等于什么的？哎，实际上是等于一平方减一的，对不对？是不是？ 是这样子吧。哎，那这个时候中卫线一下哈，是不是我们的 kop 乘以这个 kab， 它就等于上面这一坨，对不对嘛？所以呢，它是一个连续的一个体系， ok？ 嗯。 而探索二和探索一呢，其实他俩的共同点呢，可以用反射来给出，而他都是圆，你如果这个椭圆刚好就是圆的话，你看是不是怎么着都是哎，这个这个都是九十度吗？对不对？是这样子的吧。 而这个呢，其实就是对应员当中的垂经病里的那个效果。这些都可以用仿社来给出证明。但是呢，我们就不去说这个东西了哈。因为呃，仿社呢，也不是咱们高中课本类要求的一个东西是吧？ 啊。我们第四个结论呢，就是最难的一个。当然了，我可以很快的告诉你这个题的答案，你也可以根据我们前面的一些探索结果啊，很快的猜出他的答案啊。但是说，如果作为大题的证明呢，是比较麻烦的啊，待会我会给出证明啊。我先来告诉你这个答案是多少，怎么去猜他。 他让我们求这条啊，就是 p 做了两条互呃，斜率角互补的，也就是这两条的斜率呢，加钱为零对吧？加钱为零。 然后呢，形成的这条线形成的一个 k 二啊，这边呢，连接原点一个 k 一，问 k 一乘以 k 二是什么效果对吧？那首先呢，我们记得啊，之前我们在讲像这种情况啊，斜律互补的这种这种情况，这条线的斜率，它是跟这个点直接相关的， 那而且是不变的，是一种平行线。他会最后会到一个什么效果呢？就是这个效果，你把 p 点直接做下来，做一个对称对吧？ pp。 然后呢，你相当于是嗯，这条线和这条线不断的往中间靠拢 哎，直到极限情况下，是不是 ab 就会变成过这个 pep 的这个什么切线对不对？是这个意思吧。好，所以实际上呢，就是这个意思了。就是啊，咱们的 kabk 二，其实就等于这条切线啊。而这条切线和上面这条切线是什么关系呢？和这条切线是什么关系呢？过 p 点的，这 这叫切 pp 吗？或者叫 pp 切线可以吗？好，这个叫 pp 切线。那么是不是等于负的 kp 切线，对不对？哎，所以呢，你只要搞清楚 op 和 kp 切线的成绩是什么就好了。而这个东西呢，就是一平方减一。 所以呢，这两个相乘，那其实就是乘的一个负的可以批切，对吧？所以这个答案呢，其实很简单，就应该是负的一平方减一， ok， 那为什么这会是一平方减一呢？我再给你做一个类推，你就明白了 是吧？这个屁点就相对是这切线切点连接哦，对吧。啊，那我们可以怎么理解这个东西呢？你可以理解为它是一个极限的过程。什么叫极限的过程？我画一个啊， 就说如果啊，咱们用前面的一个结论，就是说这有一条弦，这有一个终点，是不是我们的 op 和这个 ab？ 比如说，这个时候啊，我们知道 kop 乘以 kab 之前的结论是一平方减一，对不对？这没问题吧？那我问你，随着 ab 不断的靠近对方，直到 ab 重合的时候，是不是效果就变成了刚刚这个效果了？ kab 是不是变成了 p 点的这个器械，而 op 是不是仍然不变？ 所以呢，根据这个极限的过程啊，他也是成立的。所以这道题呢，推答案是非常容易的啊，就是这个数，对吧？就是这个数，也就是最后我们算出来这个值会是多少呢，对吧？就会是一个四分之三啊，会是一个四分之三。当然呢，具体如果是大题啊，你肯定就不能这样做啊，你肯定要去证明。如果做填空题，当然就非常快了。怎么证明呢？ 证明啊，我们就只能动用之前我给你讲的那个方法啊。那个方法呢，是实践下来啊，最容易的啊，就是爆蒜。那我再把咱们这个就是内切，叫什么来着呢？内接三角形的这个做法 给大家讲一讲。好，我再来演示一遍啊。之前的那个前面有一个视频就是专门讲这个情况的，你可以再翻出来看一看哈。我们设这个 xp 呢，是 x 零都外离，可以吧。然后呢，其实本质是这样子的，我就是希望找到这个 k 二和 x 零外离的表达是因为 k 一 他其实已经是外零除以 x 零了。所以说白了，我是要去挣这个 k 二等于什么？等于四分之三倍的 x 零除以外零。是不是我要去挣这件事情，他俩存起来就会是四分之三， 对不对？那我怎么去证明这件事情呢？啊，那很简单是吧？我只需要去这样想，我考虑这么一件事。这我把这个想象成为一个定点。想象成为一个定点。然后呢，我设这条直线，对吧？这条直线，这条直线的话，它会交出两个点。然后呢，这两个点与这 定点所形成的斜率啊，加起来为零，是不是就可以得到关于这条线的 k 和 m 的一个哎表达式。这个关系式呢？一日分解出来，一定会得到一个 k 等于这么多的一个式子。 好。呃，这就是我们的一个分析。那接下来呢，就使劲的操作一下好吗？啊，爆蒜的方法，我强调过啊，是非常容易记住，永远不会忘的一个方法。其他的技巧呢，他都会比较的，这个， 对吧？都会。其他的技巧啊，他都会比较容易忘。所以呢，我们在实际做题的时候报算为主，技巧为辅好吗？我们设 ab 啊，它是 y 等于 kx 加 m。 好，我们把带进去三 x 平方加上四倍的 kx 加上 m 的平方，减去十二，会得零。 也就是说，三加上四 k 方倍的 x 平方，加上八 kmx 加上四 m 方，减去十二等于 啊。因为我做过太多次了，所以我这个结论几乎都备注了。那么接下来我们就写 x 一加 x 二，是不是等于负八 km 除以三加上四 k 方啊？接下来我们就把那个式子写一下， x 一乘以 x 二也写一下吧，等于四 m 方减去十二除以三，加上四 k 方，对吧？ 好，接下来呢，我们就把那个写绿写一下哈。就是 kbp 呢，实际上是 x 二键 x 零分之外二减外零。然后呢， kap 呢，实际上是 x 一减 x 零分之外一减外零。可以吧，那这两东西相加呀，它是等于零的。 化减之后呢？我去分五化减之后呢，就是 y 二减 y 零，乘以这个 x 一减 x 零，加上 y 一减， y 零，乘以这个 x 二减 x 零。是不要等于零，对不对？这个式子啊，最终一定 会变成一个 k 和 m 的表达式。然后仪式分解呢，你就能得出 k 等于 k 等于这个数了。好吧，没问题吧。嗯，剧本就是这样子的啊，我们只是去按着这个剧本走一遍啊。 y 二 x 一加 y 一 x 二啊，减去 y 零倍的 x 一加 x 二， 减去外 x 零倍的啊，外一加外二啊，再加上二倍的 x 零，外零会等于零啊。非常对称的一个狮子。 接下来我要表解决的就是这一坨和这一坨。好，我们就一个一个来洗，我洗到这边可以吗？ y 一加 y 二会定什么呢？ k 倍的 x 一加 x 二加二 m 对吧？也就是三加四 k 方分之啊。负八 k 方 m 加上二 m。 提取就是把它给合并进来，六 m 加八 k 方 m。 所以结果呢？就 就是三加四可以方分之六 m。 好，这就是我们的外一加外二。 ok， 然后我们的外二 x 一加外一 x 二呢？一样的，我们带入一下就会是 k 倍的二。 k 倍的 x 一加 x 二 x e x 二。 这中间的计算过程我就没有去写了哈。然后再加上这个 m 倍的 x 一加 x 二。好。那么就是三加上四，可以分成多少呢？ 嗯，二 k 乘以四 m 方啊，减十二啊，减去八 km 方啊。你会发现呢，抵消了之后是负的。二十四 k 除以三加四 k 方对吧？好了，有了这一坨之后呢，我们带入就好了。带到这边来， 带到这边来。三加二四 k 方。约掉啊，直接乘掉负到二十四，减去外零乘以 x 一加 x 二的是负八 km 对吧？减去 x 零，外衣加 y 二，是六 m 加上二倍 x 零外离。这不要忘了，他要乘一个三加上四 k 方啊，他要乘一个三加上四 k 方对吧？ 好了，这个式子呢，我们给他整理一下啊，这漏了一个 k， 这漏了一个 k， 就是负的。二十四 k 加上八 kmy 零，减去六 mx 零，加上六倍的 x 零， y 零 加上八倍的 x 零， y 零， k 方等于零。 ok， 约掉一个二负的十二 k， 加上四 k 倍的 m y 零，减去三 m x 零加上三 x 零， y 零加上四倍的 x 零， y 零， k 方等于零。好，这个东西呢？呃， 最后啊，你要注意，他是要阴湿分解的。而且呢，我跟你讲过啊，他阴湿分解出来，一定会有这么一个东西。什么东西呢？就是这条线，你假设他过这个点的时候， 过屁脸的时候，哎，他们他会有什么效果呢？是这个效果啊，就是外汇等于 k 倍的 x， jx 零加外领，对不对？ 也就是 kxd 减 kx 零加外零是吧？所以呢，本上就是 m 以设的， y 等于 kx 加 mm， 等于负的 kx 零加外零。也就是说 kx 零，对吧？这个嗯， kx 零 加 m 减外零等于零。就是这一坨啊，是一定可以被音水分解出来的。这个东西呢，是一个得到的一个规律和一个结论。就是只要是这类啊，这类什么呢？内接三角形，然后其中一个是定点另外一条线的这个。求这个什么斜率啊？ 求这个什么，他一定可以应声分解出这个。这个是你要记住的好吗？所以呢，你就直接写一个啊，写一个叫什么呢？叫做啊， k 倍的 x 零，对吧？嗯，这个减去外领加上 m 啊，再乘以什么呢？另外一边啊，另外一边。我都知道结论，他肯定就是这个。 就是这个数，就是 k 减四分之三万零分至 x 零，对吧？当然了，五倍的方便。期间我把四万零给他乘过来，就是四万零倍的 k 减去这个就是把它换成整数哈，不要分数减去三倍的 x 零。好， ok， 等于零。呃，也就是说，这个式子一定是这个式子呈上一个系数得到的。因为你任意称系数都是零吗？对吧？我们现在验算一下就可以了。呃，一一的成开好吗？我们在草稿纸上一一的成开。这就写过程啊，写过程。这个过程就是没有任何问题的。一 一的成开。我们来看一下这一项乘以。这一项是四呃 x 零 y 零 k 方。你看一下有没有。哎，有了对吧？ 这一项乘以这一项是负的三 kx 零平方。哎，没有是吧？这就是奇怪啊。没关系，这一项乘以，这一项是负的四万零平方 k。 你看这两项可以合并。嘿，可以合并。你提取一个 k， 合并完了之后，刚好就是负的十二 k。 哎，所以这两项合并成了一项，对吧？嗯，然后呢？再来。嗯，这个乘以他负三 x 零 y 零啊，正的哈。那是不是除了他了？嗯，所以这一项这项都没了。然后呢，这个乘以他是正的四万零 km， 这个对吧？然后这个乘以他这个，所以刚好成立。刚好成立。你只需要多说一句，多说一句就好了。把这个负的十二 k 给他变成另外两个，那么就好办了，对吧？所以呢，你这可以写一下，就是负的 k 乘 乘以什么呢？乘以呃三 x 零平方加上四万零平方啊。就是把这个这个东西变成他就可以了。因为十二是等于三 x 零平方加四万零平方吗？然后呢，你再写后面的这一坨，他就可以一时分解成对于这个。 显然呢，这条线是不可能过这个的。所以这个等于零呢，就舍去了。那么就这个等于零对吧。那么第一种情况， kx 零减外里加 m 等于零，这个呢，是过屁脸啊，舍去。 第二个情况呢，就是四万零 k 减三 x 零等于零，说明 k 等于多少呢？哎，对吧，就是我们要求的那个三 x 零除以四万零，明白了吗？所以我的 kab 就是这个数。 好，所以我的 kab 乘以这个 kop， 他会等于多少呢？对吧？就是 x 零外零除以 x 零乘以四分之三倍的 x 零除以外零，就会是四分之三。但是这个数呢，我们知道 其实就是负的。一平方减一。 ok， 那关于一平方减一啊，他所涉及到了常见结论。好，我就都给你介绍到这了。那呃，你可以自己再多练习一下啊。最关键的呢，还是有报算证明的过程啊，你需要掌握的非常熟练这类题呢，尤其是内接三角形这类题呢，你才能够把它做好。

同学们大家好，这个视频跟同学们来讲一下椭圆标准方程的求法。那在讲这一个标准方程求法之前，先跟同学们来复习一下椭圆的基本知识。 我们先来看一下椭圆的定义，平面内与两个定点 f 一 f 二的距离之和等于长数， 那么这一些点的运动轨迹我们就叫做椭圆。也就是说在平面内我们有取三个点，分别是两个定点，这两个定点我们命名为 f 一 f 二，然后呢， 第三个点就是一个动点，这个动点 p 在运动过程当中始终保持着 pf 一， p 点 到 f 一的距离和 p f 二 p 点到 f 二的距离始终都是等于一个长数，那么这个 p 点的运动轨迹就是一个椭圆。其中这两个定点我们叫做椭圆的焦点， 然后两点之间他的距离我们叫做椭圆的焦距，也就是说 f 一 f 二这两点之间的距离，我们就称为椭圆的焦距。那么焦距我们通常用二 c 来表示 好，然后 p f 一加上 p f 二等于长数，那么这个长数我们就用二 a 来表示，所以的话呢， p f 一加上 p f 二，我们是用这一个 奥 a 来表示，它是等于奥 a 的。我们再来看一下椭圆的标准方向和一些基本的性质。 为了方便我们去研究这个椭圆，那么我们经常把这一个定点就是平面内的两个定点放在直角坐标系当中去研究。那椭圆的标准方程有两个，一个呢是 a 平方分至 s 平方，加上 b 方分至 y 平方是等于一的。第二个的话呢，如果他的焦点是在 y 轴上， 那么他的标准方程就是 a 方分之 y 方加上 b 方分之 s 方是等于一的。我们看一下这个椭圆的一个 图像，当他的焦点是在 s 轴上的时候，我们发现我们发现他的这一个最长的斜，什么叫做椭圆的斜呢？就是一个椭圆上，我认去两个点，那么连接连接椭圆上 两个点这条线段，我们就叫做椭圆上的弦，那么椭圆上他是有无数个弦的无数条弦，那我们通过观察可以发现， 当他的这一个椭圆，他的焦点在 x 轴上的时候，椭圆跟 x 轴的焦点，比如说这里的是 a 一 a 二，这两个点之间的线段就是整一个椭圆当中 最长的弦，那么在这里 a 一 a 二，我们就称为是长轴长，也就是长长轴，那么这个长轴也是等于二 a 的。然后呢他这个椭圆跟这个歪轴 他也有有两个焦点上上面一个，下面一个，那么 b 一 b 二，那么我们叫做短轴，他们两点之间的距离，我们叫做短轴，抢用二 b 来表示， 那如果他的焦点是在外轴上，就是反过来他焦点在外轴上，通过观察我们发现他的长轴长，他的长轴长，这时候呢就是 b 一 b 二，短轴长就是 ael， 而且我们还可以发现一个规律， 那他的这一个标准方程我们怎么样去？就是我们有时候在求呃椭圆的标准方程的时候，我们如何去确定他是教练，是在 x 轴上还是在 y 轴上呢？在这里的话呢， 我们就要根据这一个 a， 我们经常说焦点跟着大的走，焦点跟着大的走，如果他的焦点是在 x 轴上，那么 s 平方下面的 就是 a 平方，在这里的话涉及到三个元素， a、 b、 c。 那在椭圆当中 a 是最大的，他们之间有一个关系，就是 a 方加 a 方等于 b 方加上 西方，焦点跟着大的走。如果焦点是在 x 轴上， s 平方下面的就是 a 平方， y 平方 下面呢就是 b 平方。那如果焦点是在 y 轴上，那么就是 y 平方下面呢就是 a 平方。所以大家根据这一个可以判断出焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上， 那在这里的话呢，我们要记一下基本的东西，比如说刚刚说到的同源的长轴场是二 a， 短轴场是二 b， 焦距是二 cabc， 三个之间的数量关系就是 a 平方是等于 b 平方加上 c 平方， 那焦点的话呢，如果他的焦点是在 x 轴上，那他的焦点就分别是负 c 零和这一个 c 零，然后的话呢，这一个他的焦点如果是在 x 轴上，那么他这一个 x 取值范围就是说最左边是到达 a a 一这个点，最右边是到达 b a 二，这个点最上方就是到达 b 二，最下方就是到达 b 一，那么这个在歪轴上的话，焦点是在歪轴上，那就刚好是反过来 好。我们通过一些具体的例子，具体的例子跟大家讲一下这些 abc 的一个应用。 还有一个就是说在题目当中最常见的就是这一个离心率，离心率一是等于 a 分之 c， 无论他的焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上，那么他的这一个离心率都是等于 a 分之 c。 这些知识点大家在复习过程当中都是需要去记住的， 那么椭圆在我们广东高职高考当中的话呢，他，呃主要出现在最后一道题，最后一道题， 但是他无论怎么出，我们第一问求椭圆的这个标准方程，一定要把他的分数拿下来，我们先来看一下，通过这一道立体来看一下这一个 椭圆的，那那些最基本的东西怎么求？我们观察一下这一道题，他给出了一个椭圆的标准方程，那么这个椭圆的标准方程，我们通过观察发现， s 平方下面的是二十五， y 平方下面的是十六，很明显 二十五是大于十六，那我们根据刚才说的焦点跟着大的走，那因此我们就可以发现他的这一个焦点呢，他的位置是在 x 轴上，焦点是在 x 轴上。好，然后我们再来看一下他的长轴长，怎么去 长轴的长和短轴的长，在这里的话呢， a 的平方是等于二十五，那我们就可以求出 a 是等于五的，然后 b 的平方是等于十六，那么 b 是等于 四。再根据 a、 b、 c 的数量关系， a 方是等于 b 方，加上 c 方，那因此我们就可以知道 c 方是等于二十五，减去十六是等于九，因此 c 也可以求出来是等于三， 那因此的话呢，我们就可以除出相应的东西了。首先我们看一下这一个长轴，长轴长是等于二， a 长轴抢二， a 是等于二乘以五是等于十的，然后这一个短轴抢，短轴抢的话呢，它是等于 二， b， 那就是二乘以四是等于十六。离心率这个公式我们也要记一下，离心率一是等于 a 分之 c， 把它相应的之带进去就可以了， a 是五， c 是三，所以呢它的离心率是等于五分之三。 焦点，那他的焦点刚刚我们根据他的这个标准方程可以知道他的焦点是在 x 轴上，所以呢他的焦点分别就是负三零，还有这一个三零。 好，再来看一下顶点，那么顶点的话，我们回去刚刚的那个表格里面看一下什么是顶点呢？我们可以发现，不管他是焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上，椭圆呢跟 x 轴和歪轴都会分别交于两个点， 总共就有四个点，那么这个 a 一 a 二 b 一 b 二就是椭圆的顶点。 好，那他这个椭圆的顶点怎么求呢？首先的话，我们看一下他的顶点是有四个，那分别，首先如果是在 x 轴上的话，我们可以把它涂画一下， x 手上有两个， y 轴上有两个，那么 x 轴上的其实就是跟 a 的只有关，所以的话，他的顶点的话呢，我们分别把它写出来，一个 个是负五零，一个呢是五零，他的焦点在哪里，长轴就是在哪里。好，还有就是在歪轴上的顶点就是在歪轴上的点， x 是为零，一个呢是零负四，一个呢是零 四。那么这一个通过这一个椭圆方程作为一致条件，我们可以把相应的一些元素他的纸给取出来。 好，我们再来看一下这一道题，这一道题的话呢，跟刚刚的那一道例题其实是同一种题型，但是呢他是有点不一样， 我们都清楚椭圆的标准方程呢，是有两个的，一个呢是 s 平方除以 a 平方加上 y 平方除以 b 平方是等于一。一个人的话呢，就是 y 平方除以 y 平方除以 a 平方，再加上 s 平方除以 b 平方是等于一的。 看这一个标准方程的这一个模型，我们都清楚他是有就是 b 分之 a 的那种形式，但是呢这里的话，他给出来的这一个方程呢，是一个整式方程，所以的话，我们再求这一个 圆的这一个焦距啊，顶点呢，长轴长的时候呢，我们首先先观察一下这个标准方程是不是属于那种 b 分之 a 的那种形式，如果不是的话，那我们就要先进行一个化解，一个变形，那他给出来的那两个标 方程的话呢，他的右边都是唯一，因此的话呢，我们需要把这一个立体当中这一个椭圆的方程进行一个变形，可以两边同时除以四百，因为他原来方程里面是四百，那我们就会有十六。 s 的平方除以 四百，加上二十五， y 的平方除以四百，那右边就是等于一了。通过化解我们就可以知道这一个式子就变成了 s 平方除以 二十五，再加上 y 平方除以十六是等于一的。 然后我们就可以知道 a 的平方是等于二十五，所以 a 是等于 五， b 的平方呢是等于十六，因此 b 呢是等于四。他现在让我们求焦距，焦距它是等于二 c， 所以的话呢，我们需要把这一个 c 先取出来，那么通过这两个我们就可以推出 c， c 平方是等于 a 方，减去 b 方，也就是二十五，减去十六是等于九，所以的话 c 在这里是等于三， 因此他的焦距二 c 就是二乘以三是等于六的，所以这道题是选比选项， 那通过这一道例题再跟同学们啰嗦一下，就是说如果他呃求椭圆的这些 元素的话，如果他不是给出的是标准方程，那我们需要把原来的这个方程转换成标准方程来做。 好，我们再来看一下这一道立体让我们去求投源的标准方程。 首先我们要知道的就是我们要确定同源的标准方程，定一点我们要清楚他的焦点是在哪里。 第二点我们需要把这一个 a 方和 b 方给出出来，那在这一道题当中我们观察，通过读题可以发现他的焦点是在歪轴上，那既然在歪轴上的话，那我们等一下就要去列一个准确的标准方程出来， 在整一道题当中是没有给出任何方程，没有给出标准方程，所以呢，我们要 角射射这一个椭圆的标准方程，根据这一个他的椭圆，他的焦点是在外轴上，我们去射他的标准方程出来，那么他的标准方程就应该是 s 平方， s 平方除以 a 平。 好，我们再来看一下这道例题，让我们去求这一个椭圆的标准方程， 那这一道题当中他是没有给出椭圆的标准方程给我们的，所以呢，我们第一步应该要去射射这个椭圆标准方程是什么？在射之前的话呢，我们先要确定一下 他这一个椭圆的焦点在哪里，他很很明确的说了，椭圆的焦点是在外轴上，所以呢，我们在射椭圆标准方程的时候，就应该是射 s 平方除以 b 平方，再加上 y 平方除以 a 平方是等于一的，其中 a 是大于 b 大于零，这个呢是根据焦点跟着大的走，那既然焦点是在 y 轴上，那么 y 平方下面呢，就是 a 平方， 那我现在的话，接着我们已经明确他的标准方程为这一个的时候，接着我们的任务就是要把 a 平方和 b 平方求出来，怎么求呢？看一下 他下一个条件。离心率一是等于三分之一，离心率一等于三分之一，我们可以得到什么呢？我们可以得到 a 分之， c 是等于三分之一，那可以得到 a 和 c 之间的一个数量关系，我们通过交叉相乘可以知道这一个 a 是等于三 c 的。好，接着我们再来看一下短轴长， 因为短轴强的话呢，是八倍根号二，所以的话我们就可以知道，因为 y 二 b 是等于八根号二，因此我们就可以求求 b 是等于四根号二。 那在这里的话，我们肯定要用到 a、 b、 c 三个之间的一个数量关系去把这一个 a 和 b 啊 a， b 已经确认了，那去把这一个 a 确定下来，我们可以有因为这个 a 方 等于 b 方加上 c 方，所以的话我们就可以把它求出来了。这里的话 a 我们用这一个 c 的式子来替换掉，因为 a 是等于三 c， 所以的话这里就是三 c 的平方，等于 四根号二的平方，再等于再加上 c 的平方，那么经过运算之后，我们就可以知道 c 在这里是等于二的， 所以的话呢，这个 a 我们就可以求出来了，是等于三乘以二是等于六，因此的话这个标准方程我们也可以把它确认下来，是 s 平方，除以这里 s 平方下面是 b 平方是等于三十 二，再加上 y 的平方是等于三十六，等于一，那么这个标准方程就可以把它取出来了。

八七八七八九 temple just suck up i keep you get your time i can't find how about they don't you get your truck and take it i can't wait how about you yeah get the ball。 我们要一起。