山东济南二次函数中考数学

大家好，我是舞者老师，那么今天呢，我们来讲解一下二次函数的区间最值，那么首先呢，我们解释一下什么叫区间最值， 那么我们都知道二三数呢，自变量的取值范围决定了他的最值，那么区间呢，其实说白了就是限定了自变量的取值范围，也就说自变量给定一个范围之后，让你去确定他的最值， 那么这一块的重要性啊，首先我们介绍一下，那么下面呢，我也标记了，那么我们在九年级上学期的期末以及济南中考选择题的第十二题里面经常会出现， 那么之前呢，我们济南中考包括期末考试经常会出现十二题呢，会考察我们的 abc 系数关系，那么由于呢系数关系考察了很多年，所以呢在近些年啊，逐步转化 考察我们的二次函数的区间最值，而二次函数的区间最值也是难度稍微会比较偏大一些。那么今天呢，我们利用这节课的时间来详细的去讲解一下我们二次函数的区间最值。 那么首先呢，我们看到了四幅图，那这四幅图呢，其实非常形象的说明了我们二次函数的区间最值到底是一个怎么回事？那么我们首先来看一下这四幅图啊，那么第一幅图我们很明显会发现全部都是黑色，是不是因为他没有限定我们自变量的取值范围， 那么这个时候我们会发现我们的开口向上，所以他只能取到我们的什么最小值，没有最大值。那么这个时候我们再来看一下第二幅图啊，这是第一幅图，这是第二幅图，那么第二幅图我们会发现啊，看到我们黑色的这一块区域，也就是我们自面的取值范围，这 这块是在我们对称轴的左侧，那么这个时候我们很明显会发现啊，因为在对称轴的左侧，我们 y 岁是随着 x 的增大而减小的，那么这个时候我们会发现这个点就是我们的最大值，而这个点就是我们的最小值， 他不涉及我们的顶点坐标，那么这是我们曲直的范围，都在对称轴的左侧，那么这个时候呢，再看一下我们的第三幅图， 那么第三幅图呢，就是我们区间的这块的区域，就在我们对称轴的什么右侧，而我们知道在对称轴的右侧， y 是随着 x 的增大而增大，那么这个时候最大值是这个点，那么最小值呢？是这个点。好了，第二幅图和第三幅图，它非常形象的说明了 我们区间这一块，要么在对阵轴的左侧，要么在对阵轴的右侧，那么他是不涉及曲最直的时候我们的顶点，那么这个时候再来看一下我们第四幅图，那么第四幅图他是经过 我们的顶点的，那么这个时候同学们一定要得特别注意，那么这个时候一旦经过我们的顶点，他的最小值就是我们的顶点坐标， 是不是那么这个时候我们就明确了，也就是说区别于我们第二个和第三个，当经过我们顶点之后，我们的最直其实就是顶点坐标就挂钩了， 那么当 a 大于零的时候，那么我们的最小值就是我们顶点坐标的重坐标，那么这个时候我们就要区分我们的最大值了，那么最大值能值很明显， 我因为我们的开口是什么向上的，离对称轴越远，那么他的值是越大的，那么很明显是这个点是他的最大值。 那么我们稍微总结一下这四幅图啊，也就是说我们一定要去区分我们区间的范围是在我们对称轴的什么位置，分成三种情况，第一种情况是在我们对称轴的左侧， 那么第二种情况是在对称中的右侧，那么这种相对来说都比较好办，那么尤其是我们的第三种，当经过我们的顶点坐标时，一定注意了，他的最值取决于我们的什么最大值，最小值取决于我们的顶点坐标，那么这个时候我们尤其的注意， 那么我们这时候同学们就有种疑问了，老师，当我们在做题目的时候，我们具体怎么去操作呢？好了，那么这时候了啊，总结一下我们做题的一些技巧， 那么很多题目他并不是说一开始就把所有的图给你了，那也就是说我们会发现啊，做这种二次函数的区间最值，我们最最关键的一步是什么呢？是画草图， 当草图出来之后，我们标出他的区间范围，那么这个时候题目答案就显而易见了， 所以呢，在这里吴老师先啊给大家去总结一个做题的一个步骤，那么因为呢，很多同学在做这种题目的是他是不知道我们如何下笔的。好了，那么做题步骤，那么第一步一定注意呢，是画草图， 那么通过我们二次函数的解析式那来画草图，所以画草图的时候一定注意啊，我老师总结了一下画草图他具备的什么东西呢？第一个叫做开口方向，也就是说看我们 a 的大小，那么第二个就是我们对选轴，那么 对准轴应运而生的就是什么呢？顶点坐标，那么这个时候啊，非常关键，对准轴出来之后，那么顶点坐标相对呢就出来了，但是在这里我们并不是因为他几个我们草字句话出来，还有一定注意了与外轴的什么焦点， 那么以外如的焦点确定之后，我们基本上草图基本上出来了啊，也就说同学们画草图我们需要这四个东西，当你知道这四个东西之后，我们草图画的就非常准了。好了，那么第二步一定注意了，是确定我们自变量的 取值范围，那么确定资变量的取值范围干什么？那注意了，我们刚才也说的 这三种情况，一旦确定自变量的取值范围，我们区间函数图像就出来了， 那么这样的话我们题目也就相对来说比较好办一些。好了，那么再次总结一下啊，第一步呢画草图，第二步呢确定我们自变量的取值范围，那这就是我们二三十数区间最值的几种情况，那么接下来我们具体来看。

五分钟带你解决一道中考压轴题！今天我们一起来看到的是二零二一年济南中考第二十七题，那第一问呢？同样大家可以简单通过焦点式去求 抛物线表达式以及 c 点是一个顶点，坐标一斗四。我们来直接看第二问，如图，一，点 p 是抛物线上一点连接 c， p 延长交 x 轴语，点 d 意味着点 d 是横坐标上的一个点， x 轴上的一个点，弱点弱三角形 d， a、 c 是以 a、 c 为底边，意味着什么呢？意味着告诉我们顶点是 d， 点是确定的，求点 p 的坐标。好，那我们说点 p 在一开始告诉我们它是一个抛物线上的一个点，而同时它也是一条直线 c、 d 这条线上的点，所以 对于点屁来说，我们可以把它看成是一个焦点。好，我们正常求焦点的话，我们需要求到的是 cd 的抛呃解析式以及抛物线的解析式，而抛物线已知，所以接下来我们的任务就是求 cd， 而 c、 d 是个一次函数，它已经知道了一个点一到四。对于我们来说，接下来的任务就是求地点的坐标即可， 然后我们就可以连例，那地点坐标怎么求呢？我们来看一下这个三角形 a、 d， c 是一个等腰三角形，而腰是什么呢？腰是 c、 d 和 a、 d， 所以我们说等腰三角形中最常用的以及最常考的是哪个辅助线呢？三线合一，所以我们需要找到的其实是 a、 c 的终点， 然后连接啊，这个终点命名为点一。那接下来我们需要看一下 a 点坐标其实是负一的零，所以 如果你 a 点是负一斗零，你的 c 点是一斗四，那你是不其实就能够利用终点坐标去求出终点 e 的横坐标其实是零，纵坐标是二，所以对于我们来说，这个点 e 我们可以准确的给它画在 y 轴上 啊，准确的一定是在歪中，因为横坐标是零啊，所以这个点一定在这，那在这以后，接下来我们来看一下点地，此时此刻他就能够放在第一这条直线上， 如果我知道 d、 e 的表达是，那与 x 轴的交点点 d 坐标不就已知了吗？所以我们来看一下 d、 e 又该怎么求？第一，我们同样的道理，一次函数已经知道一个点，那第二个点，有些同学想，那这不还得求 d 吗？那我们说一线 这条线 d、 e 和 a、 c 是什么关系呢？垂直的关系。所以我们在前面的视频中多次给大家讲到，若 a c 垂直 d e， 那我们其实知道 a、 c 的 k 值乘以 d， e 的 k 值是等于负一的。两直线垂直 k 值相乘等于负一，而我们在题目中可以求出的是 a、 c 的 坐标啊， a、 c 的 k 值，这儿是四，这儿是二，所以它的 k 值是二，那所以我们就知道 d、 e 的 k 值其实就等于负二分之一。好， k 值有了，那你就可以设 d、 e 的表达式就是 y 等于负二分之一， x 加上 b， 而它又过哪个点呢？它又过零豆二啊，它又过零豆二，所以我们说 b 其实就是二，那这个时候我们就知道，第一的坐标表表达式就是负二分之一 加二，所以这个时候我们能求出点 d 的坐标就是四头零，那 c 点的坐标是一斗四，那所以 c、 d 的表达式就是负的三分之四， x 把地点带入，加上三分之十六。好，接下来我们连力，它和抛物线的表达是 y 等于负， x 方加上二 x 加三。好，解一下不等式，呃，解一下方程组就是二 x 加上三 等于负的三分之四， x 加上三分之十六左右。同时我们可以先乘个三负三 x 方加上六， x 加上九，加上四 x 减十六等于零，所以 x 三 x 方， 接下来这是加十 x， 那我们同时把这个符号，那就是减去十 x 减七，那就是加七等于零，所以 x 等于二， a 分之负， b 加减根号下 b 方减 c， a c 一百减去 八十四，所以是十六。开完根号就是正负四，所以 x 一就等于一，但是这个一重合了啊，这这个一我们需要舍掉 x， 二等于三分之七，因为它如果是一的话，它就和 c 点重合了。所 所以我们就知道点屁的坐标是三豆七带入抛物线九分之二十，这就是第二个。那紧接着我们说他要在第二问的条件下去求第三问，所以我们来看一下，在三的加二的条件下，点意是线段 ac 上的一个点， 点 e 是线段 a、 c 上的一个点，所以它就估规定了点 e 是在这段上都不能出去。 然后接下来说是连接 p e 做 p e、 f 这个角等于 c， a b 这个角好，在二的条件下。二是什么条件呢？ a c 为底边的等腰三角形，所以这俩角是相等的， 那它题目中要求的是做 p e、 f 等于 c a b 这个角，那也就是说 p e、 f 也这个角也是勾好。这个时候其实 我们就发现他在考我们什么考一线三等角，一条线上穿了三个相等的角，那一线三等角是什么意思呢？就说明这俩三角形是一线三等角下的相似，所以我们来看一下。 第三问，如果你知道知道他在考什么的时候，这个题其实已经很简单了。第三问，三角形 a f、 e 是会和三角形 c e p 是相似的，而且是一线三等角的相似，所以我们能够知道一个比值，就是 a f 比上 c e 等于 a e 比上 c p， 同时还等于 f e 比 e p， 三个等量关系。那接下来题 目中说设点， f 的坐标是 m 都零，而 a 点是负一都零， c 点是一到四，我们来求一下表示一下。 af 很好表示就是 m 加一， 而 c e 不好表示，我们就先写个 c e， 不要着急， a e 也不好表示写个 a e， 而 c p 是可求的，因为 p 点的坐标是三分之七到九分之二十， 所以接下来我们可以求一下什么呢？求一下 c p 的长度。 c p 长度怎么求呢？两点距离公式啊，两点距离公式，我们来看一下 c p 的长度就等于根号下三分之七减一的平方，加上九分之二十减四的平方，其实他不是很难算哈，他应该等于的是根号下三分之四的平 平方加上九分之负九分之十六的平方，也就意味着 c p 是怎么来的呢？三分之四为直角边，九分之十六为直角边，然后接下来 c p 是斜边，那怎么算呢？放缩法，所以我们可以把整个式子变成什么？变成 十二十六， c p 不知道，那十二十六如果很多同学熟悉的话，你其实知道 c p 就等于二十，你不熟，你可以继续再画 三、四五，所以往上走这是二十，再往上走这是九分之二十啊，所以我们其实就知道 c p 的长度就等于九分之二十， 那 c p 是九分之二十，这就是九分之二十。那我们就知道，如果我要求 c e 和 a e， 我们来看一下， c e 和 a e 恰好合到一块儿 a c 的长度，而 a c 的长度其实很好求，这是四，这是二，所以这是二倍根号五。如果我设 c e 的长度是 n 或者 a e 吧， a e 长度是 n 上方就是二倍，根号五减 n， 所以其实我们可以表示的，那整个式子就变成什么，整个式子就变成了设 a e 等于 n， c e 就等于二倍，根号五减 n， 所以就是 m 加一，比上二倍根号五减 n 等于 n， 除以九分之二十。好，那这个时候我们说交叉相乘就是九分之二十， m 加上九分之二十等于二倍根号五， n 减去 n 方要求的是什么？要 要求的是 m 的取值范围，所以接下来我们只要求出 m 就可以，因为 m 的取值范围它不是在求 m 的值，所以那我们来化解一下，那就是 把这个九分之二是需要哈，九分之二是 m 加一，这样好算一些，那就是 m 加一等于 二倍根号五， n 减去 n 方左右，我们减去 n 方左右，给他乘个二十分之九，对吧？ 二十分之九，所以我们来看一下，就是 m 加一等于负的二十分之九， n 方减去二位根号五 n。 其实做到这以后大家已经很熟了，这块我们是可以用来求最值的，所以我们来求完 就等于的是负二十分之九， n 方减二倍，根号五， n 需要加个五去凑完全平方公式，等于负二十分之九， n 加上 n 减五 的平方，再加上四分之九，把这个减五和负二十分之九乘到一起啊，乘到一起， 那所以我们其实就知道 m 是等于负的二十分之九， n 减五的平方，把这个减一给他挪过去，就是加上四分之五。 那这个时候我们其实就知道 n 等于五的时候， m 有最大值是等于四分之五的，所以 m 首先它要小于等于四分之五，同时它要大于几大于负一，因为 m， 我们来看一下 m 是什么？ m 是交 x 轴的这个点，那一点第一问就告你了，它是在一开始告诉我们它是在线段 a c 上，所以点 e 肯定 从这到这，这是它横坐标，所以意味着什么呢？你的 f 点的最小值就是负一，但是不能取到负一，哈，不能取到负一，所以我们说第三问，它是大于负一小于等于。

嗨，大家好，轻松学数学，我是小魏老师，今天我们一起来看一下。二零二三年济南中考数学时提到第二十五题，在往年的中考题中呢，二十五题一般是考察几何的压轴题，而二十六题呢，考察的是二次函数的综合题， 但是在二零二三年，把二次函数的综合题呢，放到了二十五题的位置来考察。那中考完之后呢，也是有很多学生反映这个问题，题目考察顺序的改变也给学生带来了一些不适应感。 那我们不多说，来具体看一下这个题目。在平面，只要坐标系 xoy 中正方形 a， b， c， d 的顶点 a， b 在 x 轴上，嗯， a， b 在 x 轴上， c 点的坐标呢，是二逗号三， d 点的坐标呢是负一逗号三，然后呢，相应的我们就可以得到 a 点的坐标负一，逗号零， b 点的坐标二逗号零，这是给我们的一个正方形，然后呢，抛物线 y 等于 a， x 方减二， a， x 加 c。 在这个抛物线的表达式里边，有两个带定系数，分别是 a 和 c， 嗯，与 x 轴交于点 e， e 点的坐标给我们的负二逗号零 和点 f， f 点坐标不知道。嗯，在主条件里边呢，一共给了我们两个信息，一个是正方形，四个顶点 a， b， c， d。 然后再一个呢，是抛物线与 x 轴和 呃的两个焦点，分别是点 e 坐标知道点 f。 其实观察一下这个抛物线来说的话啊，抛物线的二次项系数和一次项系数含有同一个字母，那我可以得到抛物线的对称轴啊，我们先不知道有用没用，先在边上先记一下，负的二 a 分之啊，负二 a 等于的是一对称轴呢，是直线 x 等于一啊，我们不知道用着用不着，先记下来， 然后呢，我们来具体看一下下边的选项，然后呢，他说，嗯，第一问，嗯，若抛物线过点 c， 在这个地方明确告诉我们是过点 c 的，从主条件中我们也是无法得 得到正方形的四个顶点 a， b， c， d 是否在抛物线上，但是第一位告诉我们了，呃，过点 c， 那抛物线的表达是是什么和点 f 坐标，让我们求一下，然后我们具体来看一下怎么去做解。一、 求抛物线的表达是，刚才说有两个带定系数，我们需要两个点坐标，那正好一个 e 点，嗯，负二多少零，还有一个是点 c 二多少三，那我们就把 e 点的坐标负二多少零， c 点的坐标二多少。三，带入 二次函数的表达是 y 等于 a， x 方减二， a x 加 c， 我们就可以得到一个关于 a 和 c 的二元一次方程组。那第一个我们把负二多少零带进去的话，得到的就是四， a 方加四， a 加 c 等于零， 把第二个二段三带进去的话，就是得到四，嗯，四 a 啊，四 a 减四， a 加呃，加 c 等于三。根据这个方程组的话，我们可以解得， 嗯，解得 a 和 c 的值。通过第二个的话，我们可以求出来 c 正好是等于三的，我们把三带入到第一个式子里边去，嗯，就可以得到的是八， a 加三等于零，那八 a 的话就等于负三， a 的话就等于负的八分之三，所以说 a 等于负的八分之三，那这样的话，我们就可以得到抛物线的表达式 为， y 等于代进去负的八分之三 x 方，然后是加上，嗯，四分之三， x 加三。好，这是抛物线的，本来是就有了。那接下来我们要求 f 点坐标的话，那就是当 y 等于零的时候， 嗯，负的八分之三 x 方加上四分之三， x 加三等于零。等号两边呢，同时乘，嗯，乘以负的三分之八，我们就可以得到 x 方乘 以负的三分之八减二， x 乘以负的三分之八减八等于零。十字相乘的话，就是 x 减四乘以 x 加二等于零，那 x 一在这个地方就等于四 x 二在这个地方等于负二，很明显，负二的话是一点的横坐标，那所以 f 点的坐标就是，呃，四多少零？好，这是第一问好。 然后我们来看一下第二文，他说，嗯，在一的条件下，一的条件下，就是刚才我们求到表达式呀，以及 f 点坐标呀，在这个情况下，嗯， 连接 c f， 把 c f 进行连接做直线 c e， 嗯，平移线段 c f， 使 c 点的对应点 p 落在 c e 上， 也就是说这个 c f 是沿着 c e 这条直线进行了平移，那我把这个 c e 啊延长一下，沿着 c e 进行一个平移，然后呢他说，嗯， f 点呢，对应点是 q， 是落在抛线上，让我们求的是点开 坐标是多少，我们要把这个 c f 这条线段啊，这条线段沿着它平移平移，然后平移之后呢？呃，这个 c 点依然是在直线上， c 点对应点依然是在直线上，而 p 点的对应点 q 是在抛物线上，很明显的往上平移啊， f 点对应点 q 是无法落在抛物线上的，只能是进行一个往下的平移， 往下平移，我们来一块看一下哈，就是说我把它进行往下平移，平移，平移，那大概来说的话，平移到这 画一下。根据平移的特点啊， c 点对应点是 p， 嗯， f 点对应点是 q， 根据平移的特点， c f 和 p q 这两条线段应该是平行且相等的，那它们坐标之间就能满足一定的关系。 c 点坐标二段三， f 点坐标，刚才求了四段儿零， 嗯，满足，嗯， p 和 q 之间，嗯，坐标之间满足的关系和 c、 f 满足的关系应该是一样的，但是我们需要表示 出屁来啊，先表示出屁来，那这样的话， f q 点坐标就相应的表示出来了，屁点是在直线上，所以说我需要先求 c e 的表达式啊。然后我们来看第二文，先求设直线 c e 表达式为 y 等于 k， x 加 b， 然后因为直线过 c 点坐标是二度三， e 点的坐标是负二度零， 那所以我们就可以得到二 k 加 b 等于三。负二 k 加 b 等于零，那我们把这两个式子相加，就得到的是二， b 等于三，那所以说 b 的话就等于二分之三，那带入第一个式子或者带入第二式都可以啊。 b 等于二分之三，那就说二 k 加上二分之三等于三，那二 k 的话就等于二分之三， k 就等于四分之三，所以说 k 等 等于四分之三，那这样的话，我们就得到 c e 的表达，视为 y 等于四分之三， x 加上二分之三，那设点 p 的坐标横坐标为 m， 纵坐标就是四分之三， m 加上二分之三，那因为 p q 是平行且等于 c f 的，那所以我们就可以得到 q 点的坐标，来观察一下 c f 坐标特点， c 点到 f 点，横坐标加二，纵坐标减三，那 p 点到 q 点同样的，嗯，横坐标加二，横坐标加二，纵坐标减三，四分之三 m 加二分之三。简单的话应该是我直接写，直接这样先写上吧， 然后这样的话，因为 k u 呢，它是在抛物线上，它就应该满足刚刚我们求过的抛物线的表达式带进去，也就是负的八分之三 m 加二的平方，嗯，加上四分之三乘以 m 加二， 然后再加三，就等于，嗯，四分之三 m 加二分之三减三。然后我们把这个式子求一下的话，就是负的八分之三乘以 m 方加上四 m 加四，然后加上四分之三 m 加上二分之三加三， 就等于四分之三 m 减二分之三，也就是负的八分之三 m 方，然后减二分之三 m 减二分之三加四分之三 m 加二分之三加三，就等于四分之三 m 减二分之三 四分之三 m 丢掉，然后减二分之三等于二。那最终结果呢？就是负的八分之三 m 方减去二分之三 m， 然后后边加二分之三加三，三的话是二分之六，那加起来的话就是二分之九等于零。等号两边同时乘以和刚才一样，乘以 负的八分之三，就变成了 m 方减去他乘以八分之八分，呃，乘以三分之八啊，乘以负的三分之八，负的三分之八的话就是四 m 乘以负的三分之八二分之九乘以负的三分之八四，三减十二等于零。 那我们把这个化解之后的写上， m 方加上四的 m 减十二等于零。很明显我们这个地方呢，是可以进行十字相乘的，就是 m 加六乘以 m 减二等于零，那 m 一呢，就等于，嗯，负六， m 二呢，是等于二的， m 二等于二的话，这个地方它是正的，正的，因为 p 点的横坐标肯定是一个负的，所以说这个二就舍掉了， 那我们就可以得到 q 点的横坐标， m 加二就等于负六，加二也就等于负四，然后还有一个是四分之三， m 加上二分之三减三的话，就等于四分之三乘以负六，然后减 二分之三，最终我们求出来正好等负六，所以说 q 点的坐标就是，哎，负四，逗号负六，结果就出来了。好，这是第二问， 没有，没有空了，我写在淘宝纸上名单了啊。然后我们一块来看一下第三问，他说，呃，抛物线 y 等于 a x 方减去二 ax 加 c 与正方形 a b c d 恰有两个交点，让求 a 的取值范围是什么？那在这个地方很重要的一件事啊，第三问和第一问第二问是没有关系的，他没有说带一的条件加二条以下什么的，所以说这个第三问和一二问完全没有关系，只有上边这一个主条件加上第三问就是，嗯，给你一个正方形 a b c d a b c d 坐标。我们都知道了，抛物线呢，是与 x 轴交于 e 的，嗯，还有点 f。 那抛物线呢，与正方形有两个交点，让我们求 a 的取值范围是什么？那我们先来考虑一下刚才提到的，呃，这个抛物线的对称轴呢，是直线 x 等于一，然后第三位，我们来想一下，嗯， 因为抛物线 y 等于 a x 方减二， a x 加 c 啊，所以说对称轴尾 直线 x 等于负的二 a 分之负二， a 等于一。那我求对称轴的目的是什么呢？因为点一的坐标是负二逗号零，那其实根据对称轴，根据点一的坐标，我是可以求出 f 点的坐标的， f 点的坐标在这个地方也是和刚才一样啊，也是四，逗号零。 这个题让我们求的是 a 的取值范围，而在这个地方，刚才我们也说了有两个带定系数，那怎么办呢？因为点 e 呢？或者说点 f 都在抛物线上，我们就可以把其中任意一个点带入 毫无线眼的表达式， 就可以得到。在这个地 方呢是，嗯，四 a 方啊，四 a 加四， a 加 c 等于零，那这样的话， c 呢，就可以用 a 来表示，也就是 c 等于负八 a， 那表达式呢，就可以变成 y 等于 a， x 方减二， ax 减八 a， 然后对线轴呢，是直线 x 等于一，那所以说我们就可以得到顶点坐标 e， 逗号把一带进去， a 减二， a 减八， a 就等于负九 a。 好，这是这个。然后我们继续来考虑一下，他说这个抛物线和正方形有两个焦点，那这个地方我们应该怎么去分析呢？这个地方有三种情况，首先第一种情况，我们来把图画一下， 首先呢，先把正方形画一下，那第一种情况是什么样的呢？是这样这样的，在这个地方呢，抛物线开口方向已经知道了， a 是小于零的。然后再一个呢，就是对称轴，对称轴我们已经明确 确了，然后再一个就是与 x 轴的焦点明确了，那这里唯一不确定的就是说，呃，与外轴的焦点不明确，所以他的一个，嗯，具体与外轴的焦点我们就不确定了啊，就是这个，然后我们可以把图画一下，第一种情况是这样的， 哎，当他是这样的时候，我们来看一下啊，重点研究这么几个点。首先第一个点是这个 图画的有点不太对，线轴在这，然后这个呢，这个点是 a 点， a 点的坐标是，嗯，刚说了是负一，这会零， 这个呢是对称中直线 x 等于一，这个呢是 b 点， b 点坐标是二等于零。我们现在重点研究的是三，三个地方，当 x 等于负一的时候，那很明显，这个点应该是在 a 点和这个的点之间的点，坐标是负一等于三，而这里的顶点坐标的 纵坐标，顶点坐标是在这个正方形的上边，也说顶点坐标纵坐标应该是大于三的。同样道理，这里很明显当 s 等于二， 动作标也是大于三的，所以说我只需要考虑两个就可以了。那当 x 等于一的时候啊，负一的时候，那 y 呢？是等于啊，把它带进去， 带到这个式子里边去，嗯，就是 a 加二， a 减八， a 等于负五 a， 那所以说，然后还有一个，当 x 等于二的时候， 只要 x 等于二的时候，他的纵坐标大于三，那顶点坐标纵坐标肯定大于三，那 y 就等于什么呢？也是四 a 减四， a 减八， a 等于负八 a， 那我们就可以得到两个式子，那首先第一个是负五， a 要大于负一， 嗯，大于零小于三的。再一个呢是负八， a 要大于三的，那这样的话我们就可以解得第一个，我们可以来解一下啊， 一下负五， a 大于零小于三，正好两边同时除以负五，那应该是大于负的五分之三，小于零的接第二个我们可以求出来， a 呢是，嗯，小于负的八分之三的， 这是这个根据，从小取小我们是可以得到，所以解得 x 或者 a 是大于负的五分之三，小于负的八分之三的，这是第一个。好，然后我们来看第二种情况，写在这个地方 换一下这个图对线轴呢？还是直线 x 等于一，然后这个时候呢，他可能是这个样子的。那通过这个我们来看呢，还是要研究当 x 等于负一和 x 等于二的时候的两种情况。通过研究第一个，当 x 等于负一的时候，我们其实是可以得到，嗯，负五， a 还是大于零小于三的。再一个呢，是这里的当 x 等于二的时候求出来的，这个，嗯，负八， a 大于零小于三的。还有就是我们这个最顶点坐标的纵坐标负九， a 也是要小于三的。 我们来一块解一下这个式子解第一个的话求出来还是 a 呢？是大于负的五分之三，小于 零的解。第二个我们来看一下，是不等号两边同时除以负八，那 a 的话应该是大于负的。呃，八分之三小于零的解第三个求出来， a 呢，是大于负的三分之一的。那根据这几个范围来看一下，同大大于 a 大于负八分之三， a 大于负的五分之三， a 大于负的三分之一，同大取大， 所以说这里边最大的很明显是这个，那所以 a 呢，应该是大于负的三分之一，小于零的。这第二种情况。然后我们来看还有第三种情况， 这个是 a， 这个是 b。 嗯嗯，第三种情况是这样的，嗯，这个是对称轴， 来想一下可不可能存在这种情况？因为我们对称轴上对称轴的特点的话，其实这种情况下应该是不存在的， 因为是这样的啊，就是说关于对称轴，对称对称轴是直线 f 等一嘛，然后这个必点的坐标呢？是二动二零，那与他对称的那个点呢？关于对称轴对称的点应该是在这，这个，这个点的坐标是零动二零。如果说这边会有两个焦点的话，那根据对称的特点的话，他的图像应该是这样画的，所以说这种情况应该是不存在的。不存在是， 那综合来看的话， a 的取值范围就是 a 大于负的三分之一小于零，或者是 a 大于负的五分之三，小于负的八分之三。好，这个题就这样。

看惯了山东中考大风大浪的样子，没想到山东中考也会考这么简单的压轴题，那我们今天就换完口味，来解一道比较简单的压轴题。当然了，我说的简单，只是用老师的方法可能解，解起来会比较简单，你用用你们的正常的逻辑的话，也不见得会有多简单，对不对？计算量会大到让你离谱。 来，我们一起来看一下。如图，在平面，只要坐标系中抛线外等于 x 方减二， x 减三，与 x 轴相交于点 a 和点 b， 那我们在读题的过程中，其上就能把 a 点和 b 点坐标直接写出来了， a 点坐标直接是负一，逗号零， b 点坐标是三，逗号零，对吧？我们这一知道 c 点坐标是零，逗号负三啊，也能看出来。所以这个帽帽是不是立马要出现四十五度啊？这个时候也是四十五度哎，你看这玩意是一比三哎，再配个一 比二，是不是刚好也是四十五度？当然了，这些题对这些东西对我们来说，现在来说没什么用，是吧？对这几天这道题可能没什么用，但是不妨碍我们知道它呀，多知道一点点东西，对你姐这样的题的综合性来说啊，就等于多了一张直升的法宝和王牌吗？是不是？那我们看第一 一问，他让我求现段 ac 的称，那这简直就是送分了吗？跟勾股定理， ac 等于根号下 oa 的平方加上 oc 的平方，所以等于一加九开根号根号。是啊，比较简单，或者你用点和点之间的距离公式，根号下 x 一减 x， 二括号的平方 加上 y 一减 y， 二括号的平方去计算都是一样的，所以第一问不减。不说了，太简单啊，来，我们看第二问，第二问呢？老师用两种不同的方法给大家解一下啊。嗯，你看看你喜欢哪一种吧，反正都挺简单的啊。都挺简单的，来 第一位更好使啊。若点 p 呢？为该抛物线上对称轴上的一个动点对称轴，我给他画出来对称轴是 x 等于一，对不对能看出来吧？负 ia 分之 b 啊， x 等于负的二， a 分之 b， 所以等于一。然后呢，当 pa 等于 pc 的时候，让我去 p 点做标， pa 等于 pc， 那我讲是 p 点，你再炸 pa 要等于 pc 啊，那我用点个点间距离公式就可以解决。第一种方法 是不是我直接用点个点间去公式吧。设吧， p 点坐标我给他射成横，坐标是一纵字标，我给他射成 a 好了，那我直接求纵字标求出来就可以了，对不对？那 a 点坐标我们知道他是负一多少零， c 点坐标我们知道他是 零。逗号负三。那请问 pa 的，不好意思啊，请问 pa 的长度怎么表示啊？点好点针 公式呗，对不对？ pa 的长度一什么一减一，对不对？一减一减负一，所以就是二，二的平方就是四，四加上一个 a 方，对不对？更好像四加 a 方，这就是 pa。 那请问 pc 呢？ pc 是不是根号下 p 点和 c 点这样的横路标的差一加上一个括号， a 加三括号的平方 是不是这样的，没问题吧？嗯，好，那 pa 等于 pc， 那就等于说是四加 a 方，应该等于一加上一个 a 加三的平方，那就是四加 a 方，等于一加 a 方，加九加上六 a， 对不对？那 a 方和 a 方就没有了，这边是十一，过来是负六，对不对？十四减十等于负六，负六等于六 a， 所以 a 应该等于负一啊，这就取出来了。所以我们这个屁点最多就是一，都好负一啊。这第一， 一种方法，我们点个点点距离公式，但这也是大部分同学用的一种方法，对不对？那我们看第二种方法呢？第二种方法我用什么方法？我换一个颜色吧。第二种方法我用一个。 呃呃，这个依次函数去解一下。怎么说呢，你看他说 pa 等于 pcpa 等于 pc 呢，说明 p 点已经在 ac 的垂直平分线上，所以我只要能求出 ac 的垂直平分线和对称轴交易一个点，是不就是我的 p 点，所以 ac 的垂直平分线该怎么求呢？ ac 的直线方程我们是不知道呀， acj 方式是 y 等于多少？对比零， y 等于负三分之一， x 减去一个三，有问题吗？对边比上的零边三比上一。本来是啊。 sorry， 是三，不是三分之一啊。 对边比上零边。这个，这个。哎，好，负三 x 减三啊，负三 x 减三 里边是三，零边是一啊。所以陛下他是减函数负三，所以他的垂直平着线。假如我给他设成 l 吧，那 l 的直线方程应该是 y 等于多少呢？ y 等于三分之一， x 加 b 吧，他俩相垂直，所以 k 一乘以 k 二应该等于负一才对，对不对？相互垂直吗？对不起。 好，那 k 出来是三分之一之后，那我们现在就差一个 b 对不对？那 b 该如果有求呢？ b 他肯定要过一个点才行吧。那过哪个点？过 ac 的终点嘛，对不对？那 a 点坐标是负一多少零？ c 点坐标零多少负三，那请问终点坐标是多少呢？ 重点坐标是二分之 x， 一加 x 二都好，二分之 y 一加 y 二，对不对？所以呢，就是二分之负一，什么呀？负一加零等于负二分之一对不对？或二分之零减三等于负二分之三，所以他的合同坐标就是负二分之一都好，负案 三带进去就是当 x 等于负二分之一的时候， y 等于负二分之三，所以负二分之三等于三分之一乘以负二分之一加一个 b， 我们接过来就是负二分之三，应该是加上一个六分之一等于 b， 所以这就是负的六分之九吧。 加上一个六分之一等于 b， 那就是 b 等于负的六分之八，那就等于负三分之四啊。负三分之四，所以直接解析室就出来了，解析室是 y 等于负啊， y 等于三分之一， x 减去一个三分之四，他和这个 y 等和，和这个 x 等于一，是不是要相交嘞？ 所以我们把挨着等一个带进去，它就是一逗号，把一带进去，三分之一减四分之三，减三分之四，负三分之三，这就是负一，也解出来是用一逗号负一，对吧？两种方法啊，一个是点和点间距离公式，一个就是，呃，这个垂直平跟线的这个概念 啊，都比较简单啊，看第三吻，第三吻才是重点好吧，呃，那我就把它都擦掉吧，因为都没有用了，对不对？那全擦掉了啊。好，我们看下第三吻。呃，他说若点 m 为该抛物线上的一个动点， 点 m 是这个抛物线上的一个东西，当三角形 bcm 为直角三角形的时候， bcm 为直角三角形的时候， 求 m 点的坐标。首先他会直角三角形，他有告诉我哪个角是直角？没有。所以这个题又要分三种情况去讨论，第一种，当角 b 等于九十六的时候。第二种， 当角 c 等于九十度的时候。第三种，当角 m 等于九十度的时候。我觉得都要去讨论一遍，对不对？每个角都要讨论一遍，那我们这个题目 用什么去减？你当然不能用点个点之间距离公式，但是如果你们用点个点之间距离公式，那个计算量真的让你达到大到怀疑人生，对不对？那我们没有什么技巧吗？当然是有技巧的了，来还是什么？ k 一乘以 k 二等于负一吗？对不对？他跟我们求举行是一个道理，所以我们来射 m 点坐标吧， m 点坐标直接给他射出来。 m 点坐标是， 呃，我讲句是小 m 吧，横坐标小 m 纵坐标是不是就是 m 方减二 m 再减去一个三呀？这是 m 点坐标， b 点坐标我们也知道是多少？三逗号零，那 c 点坐标我们知道是零逗号负三，对不对啊？零逗号负三， 好，那我们来看一下，如果他们是直角的话，那应该两条直线直接相互是垂直的关系，对不对？所以我们先把这几个直线的 k 分别给他求出来。请问 k b、 c 等于多少？ k b、 c 是不是等于一啊？为什么？因为这个角四十五度啊，这都是四十五度， 肯定是一了，那就不求了啊。那求 k 什么？ k b m 呢？是不是用 y 二减 y 一除以 x 二减 x 一就可以了是不是？那谁减谁啊？那我们当然就用这个，用这个 m 减 b 吧。好吧，那就是 m 方减二， m 减三，再减零， 除一个 m 减三，所以结果就是一个。什么 m 加一，就是个 m 加一啊，上面同一个 m 减 m 加一乘 m 减三， m 减三，是不是消掉， 对不对？ m 简单消掉，然后 kcm 是多少？ kcmkcm 也是一样， x 二分之， x 二减一， 五二减 y 一除以 x 二减 x 一，那还用谁减谁啊？那还是用 m 减 c 吧。 m 方减二， m 减三，再减负三，就是加三，除上一个，什么除上一个 m 减零，所以结果就是 m 减二。那我们上下通出了一个 m， 为什么要出 m 啊？因为它有攻心势，并且 m 等于零， m 等于零没有意义啊，对不对？ m 等于零的话，它应该是跑到 cm 零 m 点，就跑到 c 点来了，所以肯定不等于零。那做，上次是我们把三条直线的 k 分别都表露出来了那么一种一种讨论吧。第一种就是当角 b 等于九十的时候 倒闭，如果是九十度的话，说明谁？说明 bc 是垂直于 bm 的吧？是不是说明 bc 垂直于 bm， 那 bc 垂直于 bm， 那就说明 kbc 乘以 k， b， m 应该等于负一吧？应该等于负一。那我们就写吧， k b c 等于一，乘以 m 加一 等于几等于负一，所以 m 加一就应该等于负一，所以 m 一等于几？ m 等于负二。好，那这个时候我们解出来的这个 m 点坐标，所以就是 m 一 m 一的坐标，横坐标是负二，坐坐标多少带进去应该是四加四减三，五负二的后果。这第一个穿第二种。第二种，这角 b 是九十度，对吧？第二种角 c 是九十度，角 c 是九十度的话，就是 bc 垂直于 cm 啊， bc 吹这个 cm 呢，就是 kbc 乘以 kcm 等于负一， kbc 还是还是一啊？一乘以 cmcm 是 m 减二等于负一，所以我们得出 m 减二就等于负一，那 m 就等于一， 对吧？ m 等于一，那此时此刻我们解说呢， m 二就是一逗号减啊，带进去就是一减二再减三啊，负四，一逗号负四，对吧？第三种情况，那就剩下一个什么了，角角 m 九十度呢，就是 cm 垂直于 b 案，那就说明 kcm 乘以 kbm 应该等于负一。不好意思， kbm 多少？括号， m 加一乘以 m 减二，他俩相乘对不对？他俩相乘了，等于减等于负一，来吧，区括号吧， m 方 加上一个，呃， m 方减去一个二， m 再加一个 m 再减二，再加一等于零，所以完了以后就是 m 方减 m 减一等于零，那你用球跟公式， m 就等于 二， a 分之负， b 加减，根号下 b 方减四， a， c 一方减去四，那等于五，对吧？所以我们解除两个 m 值， m 值要么等于一加二分之一加根号五，要么等于二分之一减根号五都是成立的，因为他对 m 并没有其他特殊的要求，对不对？所以我们此时就有三个点，两个点 m 三， m 等于二分之一，加根号五的时候， m 等于二分之一，加根号五的时候，他的这个坐标总的标多少？ 直接来带给你算吗？直接带给你算，有点小复杂啊。那我们直接把这个粽子标给他去，怎么样呀？去给他因式分解一下所。所以应该是 这个 m 减三乘以 m 加一，对不对？ m 减三乘以 m 加一，那我们直接带进去吧。 m 减三，就是二分之一加根号五减去一个三乘以括号二分之一加根号五减去一个一，加上一个一啊，那就是二分之， 这是二分之六啊。二分之六，那就是二分之根号五减五，乘以一个二分之三加根号，算，结果就是四分之四分之三倍的根号五加上一个五， 我减去一个三倍减去一个十，五减去一个十五，再减去一个五倍的更好，所以结果就是四分之。呃，这个这个这个，这个十负十减去一个二倍的更好。上下通除以二，所以结果就是 二分之负五减跟后，二分之负五减跟后。那如果是 m 四呢？ m 四就是二分之一减更耗五，对吧？那就应该是二分之一个。嗯，负五减更耗五，那我们再带一次吧。没办法，只能再算一次了。 算一次的话，就是把二分之一减根号五再带进去，那就是二分之一减根号五减一个三乘以括号二分之一减根号五加一个一，所以就是二分之一减根号五，再减一个六，就是负根号五减五 乘以个二分之一加根号五，再加一个二，三减根号五，那就是四分之根号五加五乘一个四，根号五减三， 所以就是四分之五减三跟五加五跟五，再减十五，所以结果是出来了，就是四分之多。少四分之 二倍的跟五减去一个十，那上下通除以二，就是二分之跟五减五跟五减五就出来了。所以综上所述，我们这个点算出四个点啊。四个点，一个是 m 一啊，我们换一个颜色， m 一啊，这个，这个是 m 二， m 三， m 四啊，我们算出四个 m 点，所以这道题其实没有什么计算量，对吧？它还是比较简单的，但如果你相反啊，如果你用点个点，这些距离公式啊，就这几个坐标都能， 那你算呢？啊？不知道该怎么弄，对不对？机制呢？比较大，所以啊，我们还是要适当的学会一些技巧，对不对？这道题还是比较简单的，算是给大家开个位，好吧？

好，同学们好，这节课呢，我们来看这道中考数学二次函数的经典题型，那么这道题目呢，是关于角度的问题，主要呢是这个等角问题啊，这道二次函数题目呢，它里面呢，又涉及到这种几何模型，也就是一二三四五模型，那 那么这节课呢，我们就来重点讲解一下。如图一，抛物线 y 等于 ax 方，加上括号 a 减五， x 加三与 x 头正半轴分别交于 ab 与外轴正半轴交于点 c 连接 bc 摊间的角 bco 是三分之一， bco 这个角呢，他的正切值是三分之一，那么这个三分之一有什么用呢？第一就是我们可以得到这个 ob 和 oc 的关系，是吧？啊？ oc 呢，其实这个长度呢，我们知道了，他这个 c 点坐标就是零 三，所以可以根据词求出必点坐标是一零。然后呢，带入这个抛物线的解析式，就可以直接求出解析式，是吧？我们把一零带入，那么就是 a 加上一个 a 减五加三 等于零，所以应该是二 a 减二等于零， a 等于一。这个抛物线的解析式呢，我们就求出来了， y 等于 x 方，减去四， x 加三。 除此之外呢，对于这种正切值是三分之一的，我们还得要敏感什么呢？就是他后面可能会遇到一二三四五模型，我们刚才说了，那具体一二三四五模型呢？我们再讲一下，如果这两个角阿法加贝塔，他是四十五度， 这就是四五，又知道摊近了角一等于二分之一，那么摊近了角二就等于三分之一，这三个结论呢， 之二推三，就是知道其中任意两个就可以得到第三个，你看这里面他给一个三分之一，而我们知道这个 c 点的坐标是零三， a 点呢，也可以求出来现在是三零，所以如果连接 ac 的话，那么正好这是一个等腰直吊三零什么意思呢？就是他会出现四十五度角，所以呢，我们对于这些信息这些条件要敏锐。 那么重点来看第二个，如图二，这个图设抛物线的顶点是 q， 那这个抛物线的顶点呢？我们可以快速的给他配一下方，就是 x 减二的平方，是吧？这应该是减一，所以 q 点的坐标呢，也可以快速得到二负一。这些呢，我们都标一下三零，好，这个 b 呢是一零， c 是零三。 现在我们再来看这个角，如果我们标为阿法的话，这个是贝塔，那阿法加贝塔，他其实就是四十五度，而这个摊进了阿法呢，又等于三分之一，所以其实摊进了贝塔，我们可以得到他应该是等于 二分之一的，那其实这里面呢，一定隐含了这样一个一二三四五模型在里面。好，具体有没有用呢，我们 还不清楚，是吧？还有呢，这是一个大题目，其实也不能直接用，那我们还是先用常规的几何的方法去做一下这道题，然后再回头看看这个能不能用。屁是第一项，线上点，好在这连接 pq a q ac， 如果角 a q p 等于 acb， 这有个等角 a q p， 也就是这个角，它等于 acb a acb， 也就是他如果也等于背他的话，求点屁的坐标，那我们先去想一下，如果正常情况下我们求屁应该怎么求呢？ 那我们就是把这个 pq 这条直线解析是求出来，然后在于这个抛物线解析是连理成方能组，把他焦点坐标解出来就行，是吧？这里面呢，知道这个 q 点的坐标， 想要求出这个屁点或者这个解析式，那我们还得再找一点，或者呢，把他的斜率退球出来，是吧？这是常规的思路，那接下来就是关键了， 就是我们怎么找到这些条件呢？需要细致的去观察一下这些数据条件呢？就这么多，我们得认真看， a 点是三零，那这个 q 是二负一，那么他们这个横动坐标你看有什么关系呢？对这个数据要敏感，其实关系非常明显，就是都差一， 也就是说如果我们从 q 点向这个 x 的做一个垂线的话，我们如果做一个这个垂线的话，那这个点呢，我们可以标为 m， 那这个 q m a， 他就应该是一个等腰直角三角形，是吧？你看这个 m q 是一， a m 是三加也是一，所以这个角呢，是四十五度啊，这个呢也是四十五，那我们多标为一，得到这两个四十五度， 这个九十度有什么用呢？我们可以得到一对相似三角形，你看这是角一，这是贝塔，这是角一，这是贝塔，是吧？所以这个地方呢，我们给他标个 n， 这个就是 pq 与 x 的焦点。那么具体的就是哪两个三角形相似呢？就是三角形 a n q， 这个小的是 a n q， 然后呢相似于 a b c， 是吧？得到这两个三角形相似，我们就可以去利用相似比，然后去比一下，最终把 n 求出来来，那就是 a n， 他比上 ab， 应该是等于 a q 比上 ac， 这里面呢，其实 aq 和 ac 是可以求出来的，这个是三倍更好啊， 这个是根号二，所以这个 a q 比上 ac， 他应该是三分之一，那么所以我们看 a n 就是三分之一的 a， b， ab 是多少， ab 是二，所以其实这就是三分之二，那 n 点的坐标就可以求出来了。 n 我们可以设一下横坐标， xx 零，也就是三减， x 等于三分之二，所以 x 应该是等于三分之 三减，他应该是三分之七，所以 n 点呢，坐标呢，就是三分之七零， n 点的坐标求出来之后呢，我们就可以进而呢把这个 pk 的解析式给他求出来了，那 pk 的解析式呢？应该是，呃， y 等于 三， x 减七，好，我们带个进去二负一，带进去二三得六六点七负一，是吧？这个三分之七带进去好，减七零， 然后呢，我们再把这个三 x 减七和这个抛物线减去，是连例，就是 x 方减四， x 加三等于三， x 减七，是吧？那 x 平方减去一个七 x， 然后减一个十 啊，加一个十等于零，所以呢，应该是 x 减二乘以个 s 减五等于零，这个一个是二，二 就是 q 点的横坐标，一个是五，那么显然屁点呢，横坐标呢就是五，然后呢重坐标我们随便带一个就行，在这里十五减七等于八，那最终呢，屁点的坐标就是 五八，那这是正常的一种求法，就是我们通过几何这个相似三角形求出来了，那么如果我们这里面呢，就利用这个一二三四五模型，能不能利用呢？其实也是可以的，我们来看这个是贝塔，然后呢这个角，其实哎， m q n 他就是阿法，因为他俩接下来是四十五度，是吧？我们知道贪念的阿法呢，他应该是等于三分之一的在这里，所以这个 m n 就等于三分之一，为什么呢？因为 m q 的长度是几 三分的 m 点呢？横坐标是二二加三分，之所以直接得到 n 点是三分之七零，那这样呢，其实更快一点啊，后面的步骤呢，都一样了，所以这里面呢，他其实真的是可以运用一二三四五模型的，但是呢，他这是 大题，所以我们还是严格的按照步骤，如果改为填空的小题，那我们就可以直接去用好，省那么一些步骤。好，那么这是角度问题的处理策略，同学们自己呢再去做一下。这节课我们就讲到这里。

讲一下二四函数有关 abc 系数的一个判断，只要把这一题掌握了，这一类题型几乎是没问题的。我们来看一下二四函数图像如下图。首先开口向下， a 是小为零的， b 的话，根据对称轴的判断，左同右翼，对称左在右边， ab 一号，左同右翼哈，所以 a 小一点， b 是大一点的。那就继续看 cc 一外轴交易正班轴，所以 c 是大一点的， 所以两个大龄相乘之，大龄再成个小于零，所以他是小于零，所以易错了。 a 乘 b 乘 c 是小于零。 第二个单二 a 加 b， 看到二 a 跟 b 的关系，一般想到对称走，因为对称的负二 a 分之， b 对称等一，那么就可以求出来， b 是等于负二 a 的，那么一向过来， b 加二， a 是等于零的，也就二 a 加 b 是等于零的，是二是对的。 那二一减 b 呢？二一减 b 的话，他是不是代理？那我们先判断一下，第一个除可以用对称的除法，第二个我们直接用 a b 来判断就可以了。 那么从这里可以看出来，二 a a 是小于零，那么二 a 是小于零呢？二 a 是小零， b 是大于零，是不是 b 大于零呢？负 b 是小于零呢？二 a 小于零，小于零，加上一个小于零的数字，他肯定是小于零的，所以二 a 减 b 是小于零的，二 a 减 b 是小于零 啊，因为二 s 小一点，减掉一个正数更小了。好，第四个，这种三个字母的题型，四五六这三个可以一起来判断，这三个一般用呃复制法就可以了，就特殊字来验证就可以了。 这 a 减 b 加 c， 就是当二等于负一的时候，他的 y 的值，二等负一的时候，带到这里面外的值，是的， a 减 b 加 c 的， 是吧？啊，这个第二个是当二等于一的时候， y 的值，二等一的时候， y 的值是等 a 加 b 加 c 的，二等一带到这个二三数里面。好，那第三个是二等于三的时候， y 的值，二等于三的时候， y 的值是等于九 a 加三 b 加 c 的 啊，带到这里面，那从这里可以看出来，用图像就能看出来了。二等负一的时候，外的字，二等负一在哪里？这对称之后，一，那右边的一个交点在这里，三在这个位置 啊，那么负一肯定在这个位置，跟他跟三对称的这个点啊，跟三对称的这个点是负一，为什么呢？因为负一加三除以二刚好等于这个一的，所以这对称点是负一啊，是负一。好，那负一对下来，这个外外是小一点的，所以负一对应的这个外的值小一点，所以 a 减 b 加 c 小一点，那 那么这个 a 对应上去这二的一的时候，对应上去这个外的只是大一点的，在二左上方嘛。啊，二的一等于外大一点，所以二的一等于这个外是大一点的，那就 a 加 b 加 c 是大一点的，所以这个，呃，这个大一点。错了，这个小零也错了，因为他是大一点。好，这就 他二连三的时候，二连三对应下来这个外的字也是小一零的，所以二零三的时候，这个外的字是小一零的，所以他这大领也是错的 啊。这个四五六判断方法是一样的啊。好， d 七的 b 分点 c c， 这个大家肯定会想到这道塔，也就想到这个。呃，两个梗也有梗的问题，那在二十三速的这道塔，主要用来判断这条跑线与艾卓的交点个数 啊。这有两个教练那都要打，是大于零，所以他是对的。一个教练若是一个教练，那都要等于零，没有教练都要小于零。 好，那接下来我们看一下这个八九十，八九十啊，包括这个 c， 这个都会用同样的方法来判断这一面，其他只有只有两个参数啊，要不然就没有 b， 要不然就没有 c， 对吧？那没有 b 的我们先来， 你看这个没有 b 的，我们怎么判断没有 b 的？我们一般情况下用对称轴啊，用一个等式加一个不等式来判断。等式是什么？等式是这里的等式，是啊，对称轴嘛，这是负二一分之一，像在这里第二个负二一分之一等一，那 b 是等于负二 a， 这里有一个等式 b 四等于负二 a 了 啊，那么这个等式带到一个不等式里面就可以消掉了，那这个带到哪个不等式呢？一般情况下是带到这三个里面其中一个啊，那么看下带哪个合适啊？如果带到这个第四这个式子里面，带到第四这个式 里面，那 b 的负二 a 带进去啊，这个是 a 减 b 加 c， 等负一的时候他是小于零，是不是？那把他带进来这个把他带到这个 b 这里来，那就会得到什么？ 得到 a 减负二倍加上三 a 减负二，加上三 a 加上 c 啊，加 减负 a 加二 a 加是一次小于零，那么三 a 加是一次小于零呢，是吧？三 a 加是一次小于零呢？所以大龄错了。 然后那么这八一加四呢？八一加四，我们可以变成三 a 加四，再加上五 a， 是不是好？三一加四是小于零，这个判断过了。 那五 a 也是小林的吗？因为 a 是小林的，那五 a 也是小林的，小林加小林，他肯定是小林，所以八也错了。那第九个三 a 加 b 呢？三 a 加 b， 他就没有 c， 对不对？ 没有 c 的话，我们要怎么判断呀？我可以跟第八个一样判断方法，三 a 加 b， 我们可以变成二 a 加 b， 再加上 a， 对不对？那二 a 加 b 不是等于零的吗？啊，这个第二题一算二 a 加 b 等于零，所以它就能零加 a 了，所以它是等于 a 的，是吧？三 a 加 b 就能 a， 那 a 是小于零的吗？ 是吧？ a 是小零，所以三 a 加 b 就小一零了，所以第九个是对的。好。第十一个 a 减四小零。那首先从 abc 来判断， a 是小一零的数字， a 是小一零的，是吧？那 c 是大一零的，那想想，小一零的数字减去一个大一零的数字，那更小了，所以呢，小一零是对的。好。十二个十二题， 当爱大爱负一时外是爱的增大增大啊。那些肯定是我负一在这个位置，那图像是这一部分，是吧？这一部分有增大增大，也有增大减小在一这边是增大减小了，所以他 只跟对称轴有关系，其实负一没有关系，所以他肯定是错的。有增大有减小。好。这三题负一到二点五，二点五在哪？二点五在这个位置啊，这肯定错了。二点五，我们随便举几个例子，三在这个位置是吧？二点五，比如在这个位置吧， 是吧？那负一的二点五，你看有小一点的部分，有大一点的部分，他说外大一点肯定错了，因为外也有小一点的部分， 复议在这个位置吗？这边是小为零的啊。第四，这个，这个方程两个步枪的指数跟啊，那这个方程等于零就是外等于零，外等于零的话，这个方程其实上就相当于二次，还属于爱着焦点的横坐标以爱着焦点的横坐标是这两个， 对吧？他就两个，也有两个不同的交点，所以他有两个不同的指数跟对他是对的，当他前提到 a 不能领的时候，啊， 啊，四五零抛线的对称是二点负一，错了，对称是二点一嘛，就看出来了。好，第四六题，十六题，你跟两边同时加上一个 c， 两名同时加上一个 c， ai 平方加 b， a 加 c 等于 a， 二平方加 b， 二加 c， 对吧？两名同时加 c， 等号依然成立，所以这个就相当于呃， a 一代音序所对应的啊， y 的字就是 y 一了，那这里已知告诉你，写上这外一等于外二，那外一等于外二的时候啊，得到二一加二等于多少？ 外一等于外，我们知道，在抛物线里，外一等于外二的话，两个点的重坐标如果相等的话，那这两点肯定是关于对称的对称的，是吧？那么这个 a 一个 a 有什么关系啊？ 除了一种情况，外遇外向的，除了一种要重合，他这已经告诉你 a 不等 a 就不重合了。那所以说这两个，呃，这两个 a 一 a 只能是关于对称的对称，既然是关于 对称的对称的话，那二一加二除以二啊，自然就等于对称了一了，所以二一加二，二自然就等于二了，所以第四六个，对了，第四七个 m 不能意思这个带这个，这个也很容易判断，我们看一下这个四字， a 加 b 啊，两边图纸把它加上一个 c 构造一下，这构造完之后你会发现 a 加 b 加 c 又是什么？ a m 加 bm 加 c 又是什么？前面讲了就是其他，就是当二等一的时候， y 的字， 二等于一的时候， y 的字是不是大意？什么？二等于 m 的时候， y 的字 是这意思吧？这 a 加 b 加 c 讲了，意思就是说二等一的时候 y 的值啊。前面这 a m 非常加 b， m 加 c， 讲了，其实就是 a 等于 m 的时候 y 的值啊。那二点一的时候， y 的值肯定最大， 因为他顶点是吧。爱的 m 只能在这顶点的其他点上，因为他的 m 不等一了，所以顶点肯定是最大的，所以爱的一的时候他是顶点，他是最大的，所以 a 加 b 加 c 大 am 加 bm 加 c 是对的啊，但是没有等哈，因为 m 不等一。好，第十八个放成这个有十根 的时候， m 大一点一，这肯定错了， m 大一点一， mk 很大，这个子弹可以看作是啊，两个函数的一个交点 平方，加上比尔加 c， y 的 m 啊，这个方程呢？跟十跟可以看出是这两个函数焦点的个数 啊。两个交点，那么他有两个根，一个交点一个根啊，没有交点就没有根啊，他说有植入根的话，那我们看一下啊，抛物件已经画出来了，那外的 m 在哪里？外 m 有可能在这上面，因为 m 是大一大一点一的嘛， m 如果很大的话，超过这顶点的话，那这个外的 m 已经在跑，也没有焦点了，没有焦点就不可能有十根啊，所以十八个错了 啊，十九个落。呃，富二豆外跟二豆啊，这个外一外二在抛物线上，外一是带外二的。好，我们来看一下，这个是负二，这个是二。那首先这个啊，这这个数啊，这个图像在我们标一下，马上就知道了。这又 靠近对称轴，他是越大，因为开口向下的话，所有点越靠近对称轴，点他是越大，越远离对称轴的点越小，不管在哪一边啊，越远离对称轴越 越小，那二离对称轴是比较近的，是不是二离对称轴是比较近的？二离对称就一个单位嘛，负二离对称是三个单位， 负二更远啊，这个二更近，所以外二是带外一的啊，又靠近对手又大，所以外二靠近对的时候外二又大，所以十九个错了啊，这十九个会判断，那么这一类问题几乎是没问题了，学会了吗？学会的点个赞。

大家好，今天我们来讲一道关于二十元和二次函数结合的题目。二十元本来就已经是压轴题的难度了，然后二次函数的话，也常年是作为各省各市的中考压轴题最后一道题或者倒数第二道题。那 那么如果啊，十元和二次函数结合到一起来考的话，这样的题你会做吗？咱们直接来看题啊，这道题的话，大家还是看一下，其实原来这个题目中，它主要指的是第三问最难的这一问，他问了个这个东西，这个东西是什么呀？ 一 a 一撇，一加上三分之二，这样的话，这个跟点一撇的位置有关。如果说点一的位置是在什么上面？是在直线上运动，那这样一个问法的话，其实是虎龟问题，但是他 这道题，你会发现这个一撇呢，他的轨迹是什么？是一个圆，所以说他就是二十元的问题了，然而图中是没有这个圆的，对吧？他不是直接告诉你就是个圆的。那么究竟这道题长什么样子？咱们来看题，济南呢 啊，二零一六年中考原题，这个如图啊，终于给图了，如图啊，抛物线就这个样子，焦雨点，你看抛物线结实里头只有一个参数 a 需要你，求你把这样一个 a 点四个好零带入。 这个第一题的话，我感觉没有什么难度，咱就直接写了，对不对？你直接代入。好，那现在我们直接把 a 点代入啊，这个小 a 其实就算出来了，算出来这个小 a 等于多少呢？等于负的四分之三，这个大家知道就可以啊，等于负的四分之三。 那么与此同时的话， a 点是抛物线跟谁的焦点啊？跟右边 x 轴的交点，他还让你求 ab 的解释，那需要把 b 点求出来吧？ b 点是什么？ b 点已经告诉你了，这个抛物线跟外轴的焦点是点滴，这不相当于直接说的吗？所以说 b 点坐标其实就是零，都好三，对吧啊？ a 点知道了， b 点知道了，所以解决事业就知道了。那 a b 的解决式我也直接写 y 等于多少 外等于负的四分之三斜绿吗？然后再加三，这个就过了啊。第一题没啥可说的，对一下答案就行。然后咱们来看第二题，第二题的话就有的说，到了第二题是跟相似结合的。他这个题什么意思？ 他说 p m 的周长是 c 一，那我把这个 p m 呢给大家画出来，这个 p m。 注意啦， p m 是做 a b 的垂线，所以这个地方是个垂直的，你看这是一个 p m n， 那么再继续一个直角三角形，然后还有谁呢？ a e a e n， 这个 a e n 的话，因为他过这个点也是做了一条垂线啊，跟抛物线交于点 p， 跟 直线 a b 交易点 n， 所以说这个位置也是垂直。哎，当我标完这个垂直垂直以后的话，这个角差为什么相等？因为角差是对顶角必然相等，那角 小差相等，九十度相等，详细过程我就不中了。那这道题肯定有非常重要的一个相似，也就是三角形 pm， 这相似于水啊，咱们写好顶点顺序啊。那 pm 完了以后应该该谁了？该 a n 了吧。他既然说 说这两个三角形，他的周长之笔是六比五，周长之笔不就是相似笔吗？所以说这道题呢，相似笔也就出来了，周长之笔，实际上就是谁比上谁啊。咱们写就写斜边， 因为直角三角形的话，斜边和斜边只能是对影边了。如果这两个三角形相似，所以相当于 pn 比上 a n， 他也是这样的六比五。那 接下来我们用含有这样小 m 的式子，小 m 是什么东西呢？我跟大家说一下。题目中说了，在 x 轴上有一个动点，点一好告诉你了，点一呢，它这个横坐标是 m， 然后 m 的范围是 是零到四，也就是说点翼啊，他只能在这个 ov 这条线段中间去滑动了，其他位置是到不了的。那好，继续来看，然后当点翼做 x 处，其他就不多说了啊，你一读题就知道什么意思了。那好，现在咱们来看，现在的话，你说怎样用含有小 m 的式子分别把斜纹表出来呢？ 就好说，我先表示这个 p 多少 pn 了啊，大家看这个 pn 的话，应该这样来表示，点 p 肯定是在直线 ab 的上方的，这个不用多说，因为点 e 只能在 ok 之间。 那 pn 的话，应该等于 p 点的纵坐标。没问题，减去谁的纵坐标啊？减去这样的 n 点的纵坐标， p 点纵横标好说， p 点纵投标，其实 就是把横坐标 m 带到解释里头，我就直接带了啊，这个带完之后的话是多少？刚才咱们不是把这个小 a 求出来了吗？实际上解释也求出来了，我就直接写了啊，等于负四分之三 m 方， 然后再加四分之九 m， 再加三。好，这样的点 p 的动作标就表出来了，还有点 n 点 n 的纵作标，你说好说嘛，因为 ab 结是刚才不是说 y 等于负的四分之三 m 加上三啊，对吧？四分之三 x 加上三啊。然后你现在把这个 x 换成 m， 那此时不就变成了多少？变成了负四分之三 m 再加上三，这可以吧，你看点 p 的中左标减，去点 n 的中左标，画减之后的话，咱写一下结果就行了。等于负 四分之三 m 方，然后呢？再加上三倍？答， m 三减三等于零，咱们就不用写了，是吧？原来这就是 p n， 那么 p n 表示完了以后，是不是还有个 a n 啊？ a n 好表示吗？ a n 非常容易表示，大家看好了，实际上我想告 告诉大家的这个详细过程，我就不多不多说了啊，还有一组相思呢，还有谁和谁相似啊？实际上这俩三角形他还相似于谁和 a e、 n 为什么相似啊？ a u b 和 a， 因因为是平行，所以相似，对不对？所以其实我们后边还可以补一组相似 三角形 a、 e、 n 相似于三角形 a、 u b a、 u b 的话，它三条边的长度分别是三、四、五吗？那就不用多说了吧。所以说对于这样的右下角的 a、 e、 n 来说，它的三边比例也是三、四、五。然后你补充一下过程就行，我就把这思路告诉你。 那现在 a n 应该表示什么呀？ a e 是多少？这一段是 m， 然后 a e 的话，应该是等于四减 m， 那这个斜边 a n 的话，不就等于四分之五倍的，对吧？三米四比五这样一个特殊的笔直嘛。好，我就直接写了等于四分之五倍的四减 m， 然后现在呢，我们把这样的 p n 和 a n 带入圈一这样一个笔，这里头此时啊可以解出来，对吧？你解这个分式方程，这是一个分式方程啊。解分式方程，首先找到整个式方程，整式方程解完之后呢，有两个，一个是多少？ 一个呢是 m 等于二，这个是可以要的，另外一个呢是 m 等于四，这个是要舍掉的。为什么？因为 m 等于四是一个增根，你一定要说清楚啊，经检验， 把这个简单的话也写全了，经典呀。 m 等于四是原来这样一个分式方式的增根，所以说 m 等于四，不能要，你光写一个十个字不够啊，一定要写上经典这几个字。 那好，所以最终结果 m 呢，只能取二了。然后第二题呢，就写完了，其实第二题就有一定难度了，可是这个第一题跟二审没有关系，第二题也跟二审没有关系啊，这个题跟二审有什么关系？你看第三问就知道了吗？那现在来看第三问， 第三个也给图了，还挺良心的。如何在二的条件下？什么叫在二的条件下？二最终求出来这个小 m 是多少？二最终求出来这个小 m 是 等于正二的，也就是说点一坐标，他只能是二多号零了啊，是一个确定的位置，这就是在二的条件下。那好了，他说 将这个 o e 绕着点 o， 然后逆时针旋转一定角度，就这样去旋转一条固定的线段， o e 绕着 定点点欧逆时针旋转，这样的点翼所扫过的部分，其实不就是圆的定义吗？对不对？所以说咱们把这样一个圆画出来，其实完整的来说的话，这个圆咱们只用考虑第一象限的这一部分，为什么？因为他的旋转角是零到九十度之间呢？你其实知道就可以了，他让你求的是什么呀？他让你求的是一撇一加上三分之二一 点 b。 我的天呐，其实之前我已经讲过很多讲二十元的问题了，然后如果你还没有理解二十元，你一定要回过头去看一下我讲的二十元的那两讲教学视频。咱们现在来看一下啊，怎么做呢？构造共编共角形，或者说构造子母型的相似，怎么去构造呢？ 点 b 在外部，点 o 是圆心，我们现在啊，只需要让 o 一撇的平方等于 om 呈上 ob， 注意，这 这个 m 片是在圆内部的哎，这个外轴上的，一定要记住了啊， m 片是在外轴上圆内部的一个定点，那么为什么要让他等于他呢？平方等于达成呢？你看我找他的笔之关系， 欧一瓶比上欧 m 漂，哎呦，有意思，然后欧 b 比上欧一瓶，其实这俩呢，是等价的，对吧？那好了，再继续来看。 请告诉我，对于哪两个三角形来说，你再看中间这样一个角一，也就是说 b o e 片是不是等于 e 片， o m 片啊？也就是说哪两个三角形相似啊？角一等于角一，也就是说我们构造了一组共编共角形的相似三角形， om 撇一撇是相似于三角形钩一撇 b 的，然后他们的相似笔是多少？这道题呢，其实已经告诉你了，他相似笔不就是相似笔，我写成 k 了啊，相似笔等于 欧一撇的长，欧一撇就是半径二，比上欧币，其实他等于几呢？我就直接写了他这个值，其实是等于这样的，你看欧一撇是二吧，然后这个欧币是多少呢？欧币是三吗？你想一想啊，因为他已经告诉你 b 点做不到，其实就是三了。然后又等于谁？又等 鱼 m 片一片，再比上谁，再比上 b 一片？ 哎呦我的天呐，有意思啊，同学们，也就是说，我们得到谁的三分之二了？得到这样的 m 片一片，他永远等于三分之二倍的一片 b 了。你现在应该理解三分之二的 一撇 b 需要怎么去转换了吧？所以说，原来这样一个一撇 a 加上三分之二一撇 b， 我们就转换成了，到现在为止，我们已经成功转换成了一撇一加上 m 撇一撇啊，也就是你看前头两个系数都等于一了。多等于一的话，现在我们研究这三个点，一撇不用你说了，一撇 肯定是个动点，但是 a 片是个定点， a 牌坐标是四到零。现在我有一个问题，根据一个条件，根据刚才我这样一个处理过程， 这个 m 撇他是个重点还是个定点的？因为这样一个成绩关系相等是成立的，对吧？因为这样一个方程式成立的，我们一开始在处理的时候，所以说这个 m 撇点肯定是一个定点，这个 om 撇根据这样一个式子算出来等于几，你告诉我算出来当然是等于三分之四的 好，原来 m 片这个位置也是个定点啊，三分之四零都好，三分之四吗？懂了吧？ a 也是个定点，四个好零，那你说，虽然说你看定点，定点 中间是一个重点，那你说这两条线段什么时候加起来最短？拉直的时候最短了吧？那现在最短距离不就求出来了吗？最短距离是这样，就相当于 am 片的长度对吧？那化轴为直的时候肯定是最短的呀。两点 之间距离公式，或者说你用勾股定理也一样的，四的平方再加上三分之四，也就是 om 撇的平方，最终算出来是三分之四倍的根号时，这就是最终答案了。分享，看到这是答案，数学之美，我是范老师，下集课再见。

二次函数是平时期中、期末考试的必考内容，也是中考的必考内容。关于二次函数，里面有一个考点就是求解析式， 这可以说也是必考内容啊。来，关于二参数的解释的考法就这么三类最常考的啊，到底这三类怎么考？遇到什么样的已知条件，我们对应着设解释的时候应该怎么设呢？来哪三类？第一类叫一般，是 顶点式和双根式啊，一般式就是我们最熟悉的外等于什么呢？ ax 方加 bx 加 c。 那我什么时候让我们求解释，我设这个一般式呢？来，我告诉你啊，一般情况下都是告诉了这个图像上有三个已知点的时候， 那么你只需把这三个点往里带解放生组就行了。好，什么意思啊？比如说他啊，看好了啊，说 他经过什么呢？ a 点啊，一二 b 点三四，然后再经过个 c 点，什么五六啊，我随便写啊，重点是学方法，学思路好，如果他的图像经过这三个点，那这个三个点的横纵坐标是不是一定满足？解释，我是不是可以往里带？ 好的啊，来一二往里一带啊，一往里一带就是 a 加 b 加 c 就等于二，一往里带啊，一替换 x 的位置，哎，得到一个方程，三四往里带三的平方是九九 a 加三 b 啊，加 c 就应该等于四 来五六，往里带五的平方是二十五啊，二十五 a， 然后五再往第二个里带，加五 b 加五， b 加 c 就应该等于六啊，来，能跟上吗？是不是得到 abc 的这样的一个三元一次反正组，从而把 abc 求出来。哎，这叫待定系数法，已知三个点的时候一般都设待定系数法，好来第二个，什么时候考试？我要设顶点式呢？外等于 a 倍的 x 减 h 块的平方加 k， 这里的顶点坐标就是 hk， 当 x 等于 h 十 y 得 k， 这叫顶点式。什么时候考这个啊？什么时候考这个？注意告诉了顶点坐标，比如说有一道题，他告诉我们顶点坐标是什么呢？一二 好了，一二，然后再告诉还经过一个三四那个点，我随便举例子啊来，如果顶点坐标是一二，那我这个解释就变成什么了，说 y 等于 a 倍的 x， 顶点是一二减一，再什么减一的平方再加二 减一的评论在加二好了，那么这里边你看看是不是就差一个 a 了，再把这三四往里一带，是不就是求出 a 是不是就可以了？听懂第二种方法了吗？第二种啊，就是顶点式啊，知道顶点坐标是顶点式，还有知道最直的时候啊，比如说当 x 等于一的时候， 说外的最大值也好，最小值也好，随便加上最小值，他说他是等于什么呢？是二的。其实这句话就在告诉我们，顶点坐标对不对？ 因为一个抛线在顶点处取到最值对吧？要么是最小值，要么最大值。开口方向向上的时候，在顶点处取到最小值，开口方向向下的时候，在顶点处取到最大值，对不对？所以这和它是一个道理，都要设顶点时， 包括告诉对身轴的时候，都要想顶点事啊，想点事好了。那什么时候用双根式啊？外等于 a 倍的 x 减 x 一乘以 x 减 x 二。来来来，这是双根式啊，这是双根式。两个根指的什么呢？是抛物线啊，与 x 轴的两个焦点啊，与 x 轴的两个焦点， x， e， s。 二是抛物线与 s 有两个焦点。好，就是当已知条件告诉我们这两个焦点坐标的时候，我们常常设双根式。比如说一个抛物线与 s 的时候交于什么呢？三零，还交负一零， 来吧，然后再随便给你个点啊，来，我们设解释的时候就喜欢这么设了， y 等于 a 倍的 x 减三，主要一个根，还有 x 减负，一加一， 然后再找一个点往里带，从而求 a 就可以了。在抛物线上再找一个点往里一带就行了。好了，听懂了吗？这时候用双根式 最常考的是这三类，这三类啊，尤其第一个考的频率最多啊，像中考压轴题啊，二次函数一定和几何综合压轴题会考，那这道压轴题的第一问往往都是求解析式，就像这么简单，所以我们必须要拿分。 ok， 赶紧整理下去。