范德蒙行列式计算方法

接着我们学习泛德蒙德行列式。本课非常简单，当你看到一个行列时，它的第一行全是一，且每一列都是等比竖列式，该行列式的只等于后列公比减去前列公比的所有情况的成 绩。具体点数就是用 a 减 x 乘 b 减 x 乘 c 减 a 乘 c 减 b。 当然实际的考题有可能变化一下，比如把这个行列式转制了，行列式的性质那一刻学过，转制不变，所以转制后的行列式还是等于这个式子。 再比如，这个行列式虽然看起来有点像范德蒙德行列式，但它的第一行元素不是一，我们得想办法把它们变成一。 非常简单，只需把第二行加到第一行，然后提出共因子就可以了， 这样第一行就全是 e 了，并且每一列都是等比数列， 那么行列式的值等于 b 减 a 乘 c 减 a 乘 c 减 b。

我们来看一点一点四节啊，这一节内容呢是地推法啊。地推法的话应该说是有两个比较主要的一个形式啊，就是一种是这样的啊，一种是这样，一种是主对角线上是一列元素，然后上面呢可能是另外一种元素啊，比如说这这边都是 a， 是 吧？这主对角线上都是 a， 然后主对角线上面呢？都是这一块都是 b， 下一块都是 c。 啊，这种东西或者说或者说还有一种常见的地推的东西，那就是什么呢？ 嗯，就三对角啊，三对角形就是数对角线，然后上面这一层对角线，还有下面这一层对角线， 这三层对角线上有元素，其他地方都是零，这样三对角形的这样东西也是地推的啊。嗯，大概就这么两种啊，我们来看一下具体的题目啊。呃，立一点一点二十三，让我们计算这个行列式，这个行列式你会发现有个特征是什么呢？ 呃，什么特能呢？你会发现如果我把这个 x 左上角这个 x， 你 给它写成什么？写成 x 减去 a 加上 a， 可不可以写成 x， a 减去加上 a， 减减上 a 加上 a， 然后后面呢？我给它写成 a 加上零， a 加上零，一直加上 a 加上零， a 加上零，那我就可以把它拆成两个乘法式。呃，拆成两个乘法式，这样有什么好处呢？呃，或者说这样啊，我给他写成零，加上 a 吧，给他写成零加上 a， 零加上 a， 零加上 a， 零加上 a。 因为我想让第二个元素啊，我把前面 x 减 a 看到一个元素，然后 a 看到第二个元素。啊，这里我把零看到第一个元素，然后 a 看到第二个元素啊，那这样我就可以把这个行列式等于拆成两个行列式之后，它就等于什么呢？它就等于 x 减 a， 后面都是零啊，后面都是零，我把我让这些 a 呢，跟着这个这样一个 a， 跟着这个 a， 这样的话我就可以把 a 给提出来，对吧？把 a 给提出来，然后抄一下，那就是负 a， 负 a， 这边是 x， 呃， x， 嗯，零，然后这边是 a， 这边都是 a， 这边是负 a， x 这边是 a， 下面的话就是负 a， 负 a， 负 a， 这边的话是 x， 接下来怎么办？接下来怎么办？接下来你发现只要按照第一行展开就可以了，按照第一行展开啊， 它形成这样两个行列式之合啊，然后再看第一个行列式，第一行列式你按照第一行展开就可以了，那就是 x 减去 a， 发现你 x 减 a， 然后剩下的部分就是什么？乘上代数与指示。代数与指示这个东西，代数与指示不就是上面这个东西的 相当于给他减掉一行减掉一列吗？那不就是相当于 d n 减一嘛，是吧？所以说就是 x 减 a 乘一个 d， n 减一，然后再加上 a 乘后面这个行列，是后面这个行列是怎么算呀？你第一行都是一了，那你可不可以用 e 把这些，用这个 e， 把第一列的这个 e， 把后面这些 e 全都给干掉啊？是吧？可以，是吧？嗯，有没有什么更好的做法呢？ 有没有什么更好的做法？呃，你如果这样我我想一下啊，有没有什么更好的做法？如果一乘 a 直接加上加到第二行上去，可不可以？ 哎，这样啊，我们可以这样。呃，你当然可以用一把这些一给消掉，是吧？把这些一给消掉，比如说一乘负一加到第二列上去，一乘负一加到第三列上去啊，这样或许可以啊，或许可以，应该也能算出来，但是我发现一个比较好的做法，就是什么呢？就是我可以用第一列第一行， 我们第一行乘以一个 a 加到第二行上去，这样的话就可以把这个 a 负 a 给干成零了，是吧？下面这些同理，我把这些十一块的尾全都干成零，这样的话我不就可以 这样的话不就变成一个化成一个上三角了吗？是吧？所以说我就这样操作啊，就是用第一行乘负 a 加到后面每一行上去就可以得到它就变成了一一一，然后这边是一，这一块全都变成零了，是吧？那我就只要看这个对角线上，对角线的话，那就变成了 x 加 a， 是 吧？ 呃，乘一个 a 加上去，那就变成 x 加一， x 加一，然后再乘一个 x 加一，这一块东西我不用管这一块东西，我不用管这一块东西全是零，所以说它就已经变成了一个上三角的东西了啊。 已经变成一个上三角的东西，它就等于什么？它就等于 x 减一，再乘一个 d， n 减一，再加上一个 a 倍的，这个的话已经是一个上三角了，那就再乘以什么？乘以 x 加 a 的 n 减一次方，是吧？乘以 x 加 a 的 n 减一次方。接下来呢？接下来呢？接下来的话， 接下来的话，由于你这个 a 和负 a 是 对称的，是吧？我们先写一下啊，现在我们得到的 d n， 它是等于 x 减去 a 倍的 d， n 减一，再加上 a 倍的 x 加上 a 的 n 减一次方，是吧？ a 倍的 x 加上 a 的 n 减一次方。然后由于你这个 a 和负 a 它是对称的，是吧？你是对称的， 你如果是对称的话，那我可以就把那个强对射啊。现在我把这个局，我把这个这个行列式，我给他再转制一下，再转制一下，然后再利用相同的操作进行，操作下来，我会发现就可以得到另外一种行列，就可以得到另外一个东西啊，那就是 d n， 它是等于，那就是把这个 a 全都换成负 a， 那 就变成 x 加上 a， 再乘一个 d， n 减 e， 再加上， 呃，那就是负 a 吧？那就是负 a 再乘一个负 a， 再乘一个 x 减去 a 的， 呃， n 减一次方，是吧？负 a 乘一个 x 减去 a 的 n 减一次方。 那有了这两个式子之后，我想求一下 d n， 那 我只需要把这个 d n 减一给消掉就可以了，是吧？怎么消掉？怎么消掉？那只需要我这个等，这对于第一个等式两面我同时乘一个。什么等式两，第一个等式两面我同时乘一个 x 加 a， 那就是 x 加 a 倍的 d， n， 它等于 x 减 a 乘 x 加 a 倍的 d， n 减一，再加上乘一个 x 加 e， 那 就是 a 倍的 x 加上 a 的 n 次方，是吧？ a 倍的 x 加上 a 的 n 次方。第二个是我给两边同时乘一个 x 减 a， 就 可以得到 x 减去 a 倍的 d， n， 它是等于，嗯，那就是 x 减 a， 再乘一个 x 加 a 倍的 d， n 减一，它是等于，呃，再减去一个，再减去一个 a 倍的 x 减去 a 的 n 次方，是吧？ x 减去 a 的 n 次方，接下来我让上面减去下面就可以得到了。上面减去下面就可以得到什么？那不就是， 嗯，那这个应该是什么？这就是二 a， 是 吧？二 a 倍的 d n 上面减去下面，是吧？嗯， 二一倍的 d n 是 吧？就等于这一项，这一项减倍了，然后后面这一项呢？就变成二一倍的 x 减去 a 的， 呃， x 加上二一倍的，不对啊，应该，应该，这，这个，这个，这个，不能，不能那个啊，应该是这样啊，那就是 a 倍的。提一下 a， 那 就变成，那就是 x 加上 a 的 n 次方，再减去减去这个，加上减去一个减号，变成加的，那加上 x 减去 a 的 n 次方， 然后把 a 给约掉，把 a 给约掉，就可以得到 d n 了啊。 d n 它就等于什么？ d n 它就等于二分之 x 加上 a 等于 s 方，再加上 x 减去 a 等于 s 方啊，这样的话就得到这个 d n 了啊，得到这个 d n 了。这是这道题啊， 然后，然后后面这几道题啊，其实和刚才那个都是差不多的啊，差不多的，差不多。嗯，这个例一点一点二十四啊，应该把这个结果给记住啊，这个结果应该记住， 结果也比较好记啊，比较好记，事实上就是什么。你看左对角线是 x， 上面这一层是 y， 下面这一层是 z， 是 吧？结果就是什么？结果就是上面这一层减去下面这一层做分母，就是外减去这一分子。呃， 不教什么记忆技巧，反正你就尝试自己记下来，是吧？那，那是外层一个 x 减去 z 的 n 次方，再减去，再减去 z 层 x 减去 y 的 n 次方，你自己看怎么记下来啊？我们看一下这个怎么证的啊？怎么证的？ 那，那显然还是我们采用考虑用一个拆分法吧。考虑用一个拆分法，嗯，这样吧，我可以把这个 x 给它写成什么呢？给它写成 x 减去 x 减去 y 加上 y。 可不可以 x 减去 y 加上 y， 然后后面呢？那你还是同样给它写成零加上 y， 零加上 y， 零加上 y， 然后把 x 减 y 看成第一个元素， y 看成第二个元素，相当于把这个函数再进行拆分一下啊， 那他就等于什么呢？这个行列就被我们拆成两个行列。是的，和第一题是一样的啊，就等于什么？就等于 x 减 y， 后面的话就是零，后面这些都是零，后面这些都是零，这边的话就是 z， 嗯，这边是 x， 我 直接写了，这边是 x， 上面就是 y， 下面就是 z， 然后再加上一个第一层啊，这个第一行都是 y， 第一行都是要把 y 给提出来，可不可以把 y 给提出来，这样的话就变成一一。这边是一，嗯，还是这条？这条线上是主对角线上的 x， 剩下的上面这一块是 y， 下面这一块是内啊。 我们分别看一下，这两行列式都应该等于多少啊？都应该等于多少？首先第一个还是同理啊，第一个还是同理。按照第一列进行展开，按照第一列进行展开， 然后按照第一行进行展开，是吧？按照第一行进行展开，就可以得到它就等于什么？它就等于 x 减去 y， 再乘一个，那就是剩下的是 d n 减一了，是吧？剩下一个 d n 减一，再加上第二个行列是第二行列，是怎么算？这边已经出现一对一了，出现了一堆的一。嗯，一堆的一，可以怎么操作？ 那你还是想法是不是可以把这个 z 给消掉啊？是吧？和上面那一题是一样的啊，我们可以用第一行乘以负 z 加到第二行上去，然后第一行复制加到第三行去，依次加到后面每一行上去，就可以把这一块的 z 给消成消没了，是吧？那就变成什么了？嗯，大体算一下啊，那就是外背的第一行是一，这些不动，然后， 嗯，下一边这一块 z 被我们相乘零了，对吧？ z 被我们相乘零了。这一块左对角线上面这一块不用管它的型号啊，不用管它说它是啥，然后主要看下对角线它变成啥了吧，是吧？那就是变成 x 减 z 了吧？ x 减 z， 后面这组对角线全都变成 x 减 z 了，对吧？所以说它最后结果就应该是什么？最后结果不就是 y 乘 x 减去 z 的 x 减去 z 的 n 减一次方，是吧？ x 减去 z 的 n 减一次方，是吧？那进而我们就可以得到什么？进而我们就得到了 这个 d n 呢？它就等于 x 减去 y 倍， x 减去外倍的 d， n 减一，再加上 y 乘 x 减去 z 倍的 n 减一次方，是吧？ x 减去 z 倍的 n 减一次方。 嗯，那接下来呢？接下来由于还是同理啊。 y 和 z 不是 对称的吗？是吧？ y 和 z 是 对称的，你把这个行列式进行转置一下，你把这个行列式转置一下，你会发现转置不改变行列式的值，是吧？那你再把它转置一下，然后再利用相同的操作。那所以说一件你会得到 y 换成 z， 把 z 换成 y 换成 y 啊，就等于 x 减去 z 乘一个 d n 减一，再加上 z 被的 x 减去 y 被的 n 减一上方啊，接下来还是通底啊？还是通底？我们接下来再去消啊，再去把这个 d n 减一给消掉啊，正常这个消的过程就很没意义啊，就很没意思啊， 这还是第一个是乘什么？第一个是两边同时乘 x 减去 z 啊，变成 x 减去 z， 乘一个 d n 等于 x 减 y 乘 x 减去 z 被的 d n 减一， 然后再加上 y 倍的，那这边就变成了什么？两边同时乘的 x 减 z， 那 变成 x 减去 z 的 n 次方了，是吧？然后下面这个是两边同时乘一个 x 加 y， 因为我想把这个 d n 减一给交掉给约掉啊。那变成 x 减去 y 乘一个 x 减去 z 减去 d n 加一，再加上，那就是 z 倍的 x x 减去 y 的 n 倍的 x 减去 y 的 n 次方，这边的话就是 x 减去 x 减去外倍的 d n 是 吧？ x 减去外倍的 d n。 呃，接下来上面上面这个式，减去下面这个式就可以得到。那就是。 呃，我，我用我最后想出来的结果是什么来的？想出来结果是 y 减去 z 啊，想出来结果是 y 减去 z 的 话，那就。呃，那就用上面四字减去下面这个四啊，上去下面四字减去下面四字，上面就会变成 y 减去 z 背的 d n 是 吧？外减去 z 背的 d n， 就 等于这两个东西相减没了，然后这边的话就变成什么了，就变成， 那就是 y 倍的 x 减去 z 的 n 次方，再减去 z 倍的 x 减去 y 的 n 次方，那 d 就 等于什么？ d 就 等于把这个东西除过来，是吧？ d 就 等于把这个东西除过来，这样就得到这个结果了。同时这个题目告诉我们， y 是 不等于 z 的 啊， y 是 不等于 z 的， 呃，那这个题结果就出来了，是吧？这个题结果出来了， 然后剩下几个，这个这个结果我们要记住啊，我们要记住，我们看剩下这三个啊，剩下这三个，首先这个，这个一点一点二十五和这个一点一点二十四有什么区别吗？没有任何区别是吧？无非就是上面把这个 y 换成 b 了，把这个 y 换成 b 了，把这下面这个 z 换成 a 了，是吧？所以说这个结果应该什么？ b 项公式？ b 项公式， 熟练一下啊，多背几遍，那就是 b 减去 a 分 之，然后 b 背的 x 减去 a 的 n 次方，再减去 a， 背的 x 减去 b 的 n 次方，对吧？嗯，当然啊，这个上面是说 y 不 等于 a 的 情况啊，这是 y 不 等于 a 的 情况，也就说这是 b 不 等于 a 的 情况啊。你接下来还要再说一下啊，还需要再说一下这个 b 等于 a 的 情况，也就说 a 等于 b 的 时候， 如果 a 等于 b 的 话，那就相当于什么？这个时候行列式不就变成了 x？ 嗯，这块都是 a， 主调线全是 x， 那 么主调线全是 x， 下面都是 a， 那 你这个时候就相当于什么？这个时候有什么特征？有什么特征，你可以， 你可以进行加编啊，你可以加编。这就回到我们第三节那个一点一点三里面的问题了，你可以给他加编，给他加一行一列，然后这边是零零零，然后给他这个行呢？给他加上 a， a a a a， 然后 操作啊，画成爪形行列式啊，画成爪形行列式。另外一方面啊，另外一方面，我们之前说了，在讲第三节的时候，我们说了， 在这个你如果能用你，你应该先观察一下什么？先观察他的行，每一行的和是不是一样的啊？或者说每一列的和是不是一样的？如果一样的话，我们直接用求和法会做比较好，你会发现这样的话，每一行的和都是一样的，都是 n 减一倍的 a 加上 x， 是 吧？你既然行和一样，我们直接用求和法就做了啊，用求和法， 也就是说我把每一后面每一列，后面每一列我全都给加到第一列上去就可以到，那就等于什么呢？全都加到第一列上去，第一列全都变成了，嗯，我把这第一列全变成什么了？第一列全都变成 x， 加上 n 减去一倍的 a， 是 吧？然后把这个东西给提出来啊？把这个东西给提出来 x 加上 n 减去一倍的 a， 然后后面这些行列式呢？第一列就变成一了啊，后面这第一列全变成一了，然后这个，这个上面这一块还是 a， 是 吧？上面这一块还是 a， 然后这一块还是 x， 这一块还是 x， 下面这一块依然是 a， 然后接下来怎么办？接下来的话， 接下来的话怎么办？接下来，呃，你可以用一乘负一，一乘负 a。 我 想一想啊，一乘负 a 加到一乘负 a， 加到后面每一列上去，可不可以 一乘负 a？ 嗯，第一列乘负 a 加上后面每一列上去，加到后面每一列上去的话，就得证了，是吧？就得证就等于，呃，第一列乘以负 a 加到后面每一列上去就可以得到。嗯 嗯，那就是 x 减去乘以负 a， 是 吧？那就是对角线全都变成 x 减去 a 了，其他这些 a 的 位置呢？全都变成零了，是吧？全都变成零了。这边是一，一，这一列是一，其他位置所有 a 的 地方全都变成零了，全都变成零了，是吧？所以说你就变成了一个， 变成了一个什么变成了一个？这个，这个，关于这样一个形式啊，这样一个形式，接下来你按到第一第一行进行展开，它就等于什么？它就等于一再乘一个一的代数表示式呢？就是 x 减去 a 的 n 减一次方，是吧？ x 减去 a 的 n 减一次方， 是吧？是吧？是是，是。这个吗？是 x 减去 a 的 n 减一次方吗？嗯，对这个节目没什么印象吧？这个 x 减去 a 的 n 减一次方吗？ 呃，应该是吧。啊，所以说就是当 b 等于 a 的 时候， b 等于 a 的 时候，我们有求和法就可以得到。最后的结果呢，就是 x 加三减一倍得 a 再乘一个 x 减去 a， 再减一次方啊。然后你要是化简一下也可以啊，好像，好像也不怎么能化简啊，也不能化简啊。这是一点一点二十五，然后我们来看一点一点二十六， 来看一点一点二十六。这个题的话技巧就比较强了啊，这个题技巧就比较强。因为什么呢？有没有发现它这个特征是什么呢？首先它有我们第一节的 特征。第一节的特征是什么？第一节特征就是这一层主调线是一层，然后上面这一层是另外一层元素，上面这一层又是另外一层元素， 这是第一节的一些题目的比较特征，下面的话就会发现下面这一块全都是 x 啊。那又有第一节那些节目那些题目特征，又有第四节这些题目特征， 那怎么办呢？我们先用第一节那些第一节的题目的操作方法，也就是说我后面怎么操作？第一节怎么操作的？是用倒数第二列 乘以负一，加到倒数第一列上去，然后再一次一次一次加，就会出现很多个一或者负一。呃，乘六行嘛？乘六行嘛，也就说我用倒数第二行乘以负一，加到倒数第一行上去，接下来，然后乘以负一，加到倒数第一行上去，然后倒数第三行乘以负一，加到倒数第二行上去，这样一次一次不断的加，不断的这样做下去啊，不断这样做下去， 然后倒数第一，然后就会发现第二行乘以负一，加到第三行上去，第一行乘以负一，加到第二行上去，我们看一下它这个就会得到什么样，就会变成什么样。呃，那就变成了第一行不动，第一行不动是 n 减一，然后 n 第二行变成啥了？第二行的话，因为你是从负一加上去的，变成 x 减一了，是吧？变成 x 减一了，呃，负一的话，这都变成负一了，负一了， 负一是吧？后面都是负一。负一，负一，嗯，然后那相当于是什么？相当于是 这个，这个主对角线上这一，这一块全都是负一，然后上面这一块也都是负一啊，这一块也都是负一，然后下面这一块，下面这一块全都变成 x 减一了，是吧？全都变成 x 减一了，是不是？ 呃，你这个是乘负一啊，不对，不对不对，不对，不是不是。嗯，这个是乘以负一，嗯，我们是乘负一加上去的乘负一加上去的，呃，下面这一块有一些， 哎，应该是应该应该怎么说啊？应该怎么说？补上啊补上。你看这一块从负一加到最后一行上去倒数第二行从负一加到最后一行上去，就会发现除了这个元素，除了倒数第二个元素，这个地方是一减去 x， 其他地方都是零了，是吧？也就是说相当于是什么呢？相当于什么？ 这个第一个元素是一，是吧？然后这一层对角线上的元素是负一，是吧？这层对角线上的元素是负一，然后下面这层下面这一层对角线上 这个次的角线上啊，也不是不能叫次的角线，是吧？下面这一层下面这一层它就变成一减去，这个 x 减去一了，是吧？这边是 x 减去一， x 减去一， x 减去一，下面这边是 x 减去一，是吧？ x 减去一，下面这一块都是零，下面这一块都是零，是吧？下面这一块都是零， 下面这一块都是零，然后上面的话就是第一行是一、二、三，然后到 n 减去一，再来一个 n， 下面这一块就是负一。所以说我们就画成这样一个函数啊， 然后的话我们可以可以这样啊，我们可以让 d n 减一列， d n 减一列乘以负一，加 d n 列上，然后 d n 减二列乘以负一，加到 d n 减一列上去，这样不断做下去，然后 d 一 列乘以， d 一 列乘以。 呃，负一，是吧？乘以负一，再加到第二列上去啊。呃，或者说，或者说，或者说这样啊，你第一列就不用了，我们一直从第二列啊，呃，一直从第 n 减一列一直到第二列啊？也就说一直做到第二列加到第二列乘以负一加到第三列上去啊，它会变成什么呢？它就变成，呃， 我去，然后呢就变成了一，呃，那么第一列也这样做一下吧，因为我想让它对称一下，那第一列再乘以负一加到第二列上去，这样一直这样做下去啊，就是先让 n 减一列乘以负一加到第 n 减一列上去，这样一直一直一直做到第一列乘以负一加到第二列上去，就它就会变成什么呢？ 就会变成一一一好像全都变成一了。另外还有一个好处就是什么？还有一个好处就是首先这个地方是 x 减一不动， 呃，你这边成一个负一加过去，那就变成了一减去 x， 是 吧？所以说这个相当于主对角线上全都变成了 负 x， 下面这一层全都变成 x 减一，是吧？下面这一层全都变成 x 减一了，上面这一层全都变成零了，是吧？上面这一层全都变成零了，呃，然后下面这边也，嗯，下面这边也是零，那接下来你就可以展开了，就可以展开了。你按照最后一页进行展开，它就等于，嗯， 它就等于一再乘一个这个的代数与值四。代数与值四的话，那就是 x 减去一的，呃， n 减一次方，是吧？ x 减去一的， n 减去一次方，然后再来一个什么再乘一个，它是在 d n 行第一列，那就是负一的 n 加一次方， d n 行第一列负一的 n 加一次方，是吧？嗯， 然后接下来呢？接下来这个东西的，接下来这个展开，好像直接展开不太好啊直接展开不太好，因为你这个时候 x 的 x 这个负 x 代数与值是不太好算啊，还得再接着操作一下啊。接着再操作一下，嗯， 因为这些地方，这一块，这些地方不是零啊，这些地方不是零，这些地方都是一很，我们就不太好算啊。不太好算，我们还需要接着再给它用，用到旁边画，给它画一下啊。嗯， 那这样吧，我发现。发现什么？发现你这个每一列的和都是一，每一列的和都是零啊？从第二列开始啊，后面的每一列的和都是 后面的每一列的和都是啥？从第二列一直开始，到第 n 减一列，是吧？到第 n 减一列，这每一列的和它都是零，是吧？所以说我们就让这样每一列的和都是零的话，我们就让 所有的后面每一点啊，第二点、第三点，直到直到 n 点，全都加到第一行上去啊，第第二行一直直到第 n 行，全都给他加到第一行上去啊， 全都给他加到第一行上去，他就变成什么了？他就变成第一个元素是一，是吧？第一个元素你加到第一行上去，那就变成 x 了。第一个元素是 x， 后面这一行全都变成零了，然后最后一个元素呢？最后一个元素就是一减去 x， 一 减去 x， 是 吧？一减去 x， 然后这一块就是零，然后这一块还是负 x， 读六千乘以负 x， 下面这一块呢？就是下面这一块就是 x 减一，对吧？这块是 x 减一， x 减一，然后一直到 x 减一啊，然后它就等于什么呢？这样你就可以展开了，这样就展开展开就比较好。算了啊，接下来你再按照最后一节展开，或者你按照第一行展开都可以。按照第一行展开也行啊，是吧？按照第一行展开吧，第一行展开的话，那就是 x 再乘一个， 它的代数意思是就是 g 啊，它代数意思是，那就还剩下这个负 x 再乘一个负 x 的 n 加一 n 减一次方，是吧？再乘一个负 x， n 减一次方，然后再加上一减去 x， n 减一次方，再加上一减去 x， 一减去 x， 再乘它的代数一次式，那就是它在它的第一行第 n 个位置，那就是负一的 n 加一次方，再乘它的代数一次式，它的代数一次式，那就是这样。这样划下来，那就变成一个什么左对角线是 x 减去一的这些对这一堆东西的，是吧？那就给他再乘一个 x 减去一的 n 减一次方，是吧？然后接下来你化简一下就行了啊，化简一下，最后得到最后结果就可以了，最后结果应该是负一的 n 减一次方，这一个负一的 n 一 次方，再乘一个 x 的 n 次方，再加上后面这一块的话， 后面这一块的话，这边你可以给它提一个负一变成负一的 n 加上二次方，是吧？变成负一的 n 加上二次方，负一的 n 加二次方，再乘一个 x 减一，然后这边的话就变成 x 减去一的 n 次方，对吧？ x 减去一的 n 减一次方， 呃，再乘一个负一的 n 加二次方，负一的 n 加二次方，是吧？嗯，这是最后结果啊，这是最后结果。 嗯，讲的好慢啊讲的好慢，讲的居然比数学分析还慢，因为这些都是计算啊， 都是这些计算很很麻烦，到后面可能就好一些，后面都是理论偏多了啊，一点一点二十七，那么计算这个 n 加乘法， 呃，这就是典型的三对角形，我们要用递推法啊。递推，怎么递推呢？首先你按照最后一列进行递推啊，你按照最后一列进行展开，或者说这个其实对称性比较高嘛，你可以第一行或者第一列，或者说第一最后一列，最后一列，你都可以展开就行。都可以啊，那我们这样吧，第一行展开，我们按照第一行展开， 这等于什么呢？它就等于，那就首先是 alpha 加上 beta， 是 吧？ alpha 加 beta， 然后这层它的代数一直就划到这行，这一列就变成啥了？划到这行，这一列变成 d n 减一了，是吧？然后再加上 alpha， beta 啊， alpha， beta 的 代数一直是。 嗯，这样我还按照第一列进行展开吧。第一列，因为这边是有个一啊，这有一个一，我按照第一列进行展开啊。 呃，第一列计算一块的话，那就是这个啊，然后乘它的代数与指示，乘它的代数与指示，你会发现这第二列这一块只有 r 号被打，下面都是零，是吧？然后它的代数与指示里面那就是这样写啊，先写加上一一这个元素是它的代数与指示，代数与指示它是在第二行第一，第二行第一列，是吧？负一到加一次方再乘， 再乘他的他的余指示啊，他的余指示就是，呃，他的余，对于他的余指示来说啊，他的第二列，他第一列只有阿尔法贝塔，下面都是零，所以说我再让他按照第一列进行展开，就会得到，那就是阿尔法贝塔再乘一个， 嗯，再乘一个阿尔法贝塔，是吧？再乘什么？再乘一个 d n 减二，再乘一个 d n 减二，换一下，他就等于阿尔法加上贝塔贝的 d n 减 e， 再减去阿尔法贝塔贝的 d n 减二， d n 减二，是吧？所以说你这样就得到了这样一个设置， d n， 它是等于阿尔法加上贝塔 贝的 d n 减一，减去阿尔法贝塔贝的 d n 减二。首先如果你学过特征方程这样一系列的知识的话，你会发现它实际上就是 x 方，等于阿尔法加上贝塔的贝的 x 减去阿尔法贝塔这样一个特征方程的一个类似的一个推广类似的一个推广。呃，有了这个特征方程，我们可以根据这个特征方程就可以得到 他的两个根，事实上就是一个个根是阿尔法，一个根是贝塔啊，一个根是阿尔法，一个根是贝塔，那进而我们就可以可以构造这样一个东西啊，可以构造这样一个东西，什么东西呢？那就是 d n 减去阿尔法倍的 d n 减 e， 它是等于这个贝塔倍的 d n 减 e， 再减去阿尔法倍的 d n 减二啊，这些你是总是可以操作的，你可以对比一下啊，你把这个，把这个尺子给拆开，你看是不是等于上面的这样一个东西，你就会发现它等于什么呢？ 那等于什么呢？嗯，那我们接着递推下去，可不可以接着递推下去？可不可以那 d n 减去？而，嗯， 那这个袋子两个一直递推不太好啊。我们给他这个记成一个竖列啊，给他记成一个 c n， 给他记成一个 c n， 所以 说就会 c n 等于贝塔，贝的 c n 减一，是吧？那就等于贝塔的方。贝的 c n 减二，一直下去，它就等于贝塔的。 呃，最高递推最多递推到哪？最多递推到 c 二，是吧？因为你这个 c n， 它是等于 d n 减去 d n 减一的，你最多也就是 递推到 c 二，是吧？那这个比特就应该是 n 减二次方啊？比特就应该是 n 减二次方。那我们算一下 c 二 c 二，它就等于什么 c 二，它就等于 d 二减去 r f b 的 d 一。 d 二等于啥呀？ d 二等于啥？ d 二不就等于 第二，不就等于这个 alpha 加 beta 的 平方减去 alpha beta 吗？ alpha 加上 beta 的 平方，减去 alpha 乘 beta， 这是第二再减去 alpha beta 的 第一。第一是多少？第一就是减去 alpha beta 的 alpha 加 beta， 是 吧？化简一下化简一下等于啥呀？这个等于啥呀？ 这个，这个可以怎么化解？这好像也化解不了啥啊。阿尔法加上贝塔。嗯，阿尔法加上贝塔的平方，减去阿尔法乘贝塔，然后再减去阿尔法贝塔，阿尔法加上贝塔。 呃，没错吧？阿尔第二，第二减去阿尔法贝塔，贝塔再加上一个贝塔的方， 然后减去阿尔法贝塔，减去阿尔法贝塔减阿尔法贝塔减阿尔法贝塔减阿尔法贝塔加上阿尔法贝塔，然后这边阿尔法方减去阿尔法方，还差一个贝塔方，对吧？还差一个贝塔方。所以说 d n 我 们就可以得到什么 d n， 我 们就可以得到 c n， 它是等于 贝塔的 n 次方，是吧？ c n 等于贝塔的 n 次方，也就是 d n 减去阿尔法贝的 d n 减 e， 它是等于贝塔的方的啊。有了这样一个对推式之后， 我们会发现，同样由于阿尔法和贝塔的对称性，你看阿尔法和贝塔它是对称出现的，你阿尔法贝塔的地位是等价的，我们就可以得到。由对称性又可以得到。一个是，那就是 d n 减去贝塔倍的 r， d n 减一，那等于阿尔法方的啊。接下来小球 d n 还是同理啊，那就是 第一个是两边乘贝塔，第二个是两边乘阿尔法，是吧？第二个是两边乘阿尔。变成啥了就变成 变成啥了，变成贝塔贝德。呃，这边应该是，这边应该 n 次方，是吧？这边应该是 n 次方啊，那是贝塔贝德 d n 贝塔贝德 d n 减去 alpha， 贝塔贝德 d n 减一，等于贝塔贝德 n 减一次， n 加一次方。然后下面的话呢，就是 alpha 贝德 d n 减去贝塔贝德 alpha， 贝塔贝德 d n 减一，那等于 alpha 的 n 加一次方，是吧？然后上面是减去下面这个是就可以得到。 他让我们证明的是啥来着？让我们证明哪个在前面来着啊？他只让我们计算啊，只让我们计算的话，那就算一下吧， 减上面，上面减下面就可以啊。上面减下面的话，那就变成下面也比较好啊。我比较喜欢算法在前面，我们下面减去上面，下面减去上面就变成了算法减去贝塔贝的点，他就等于什么他就等于算法的 n 加一次方。减去贝塔的 n 加一次方， 就说 d n 它就等于什么？ d n， 它就等于。当阿尔法不等于贝塔的时候啊，当阿尔法不等于贝塔时，它就等于阿尔法 n 加一次方。减去贝塔的加一次方。比上阿尔法减去贝塔啊，这就是 d n 啊，它就出来了。当然这个是阿尔法不等于贝塔的时候，我们接下来还需要看一下阿尔法等于贝塔的时候，阿尔法等于贝塔的时候 这样的情况。这是第一种情况。就是阿尔法不等于贝塔的时候呢？阿尔法等于贝塔的时候，我们看哪一步开始我们就用不了啊。 首先，上面这些步都可以用，因为我们没有用到阿尔法不等于贝塔，是吧？呃，主要是这边处过来的时候，我们用到的阿尔法不等于贝塔，所以说上面这些过程我们都还可以用， 那进而不就可以得到什么进而。嗯，想一想啊，进而的话，上面这些过程都对，那就是说 d n 减去阿尔法，贝的 d n 减 e， 它是等于阿尔法的方。阿尔法的 n 次方，这个是对的，是吧？这个是对的。嗯， 这个是对的。 d n 减去 alpha 倍的 d n 减一，等于 alpha 的 n 次方。嗯，那接下来怎么办？ d n 减去 alpha 倍的 n 减一， d n 减一，等于 alpha 的 n 次方。嗯， 嗯，想一下啊，想一下。 那那，那，这个怎么类似于构造向量这样的东西？用构造向量这么麻烦， 难道我要？那那，那就只能递推下去了啊，那就递推吧。啊，那就 d n 等于 alpha 倍的 d n 减一，加上一个 alpha 的 n 次方，是吧？加上一个 alpha 的 n 次方。嗯，你再递推下去，它就等于 alpha。 乘框里 d n 减一， d n 减一等于啥？ d n 减一等于 alpha 乘 d n 减二，再加上， 再加上一个什么？再加上 alpha 的 n 减一次方，是吧？然后再加上一个 alpha 的 n 次方，那就等于啥呀？ 那等于 alpha 方倍的 d n 减二一直加加到 alpha 的 次方变成二倍的 alpha 的 二二倍的 alpha 的 次方，是吧？你，你要是看不出来规律，你可以再递推一下，当然你现在应该也应该看出来规律。它就等于什么？它等于 alpha 的 n 减一次方，再加上再乘一个 r 的 减一次方。再乘一个什么？乘一个第一是吧？乘一个第一，然后再加上 n 减一倍的 r 的 n 次方啊，应该能看出来这个规律啊，但你要是看不出来，你再递推一下，再递推一下也可以啊。然后第一等于啥？第一等于 r 法，第一等于什么来着？ 第一是 r 法加上贝塔是吧？啊？你这个时候 r 就 等于贝的 r， 它就等于二倍的 r 法是吧？它就等于二倍的 r 法的 n 次方，是吧？然后再加上 n 减去一倍的阿尔法的 n 次方，它等于什么？等于 n 加上一倍的阿尔法的 n 次方啊。所以说当阿尔法等于贝塔的时候，结果是这个啊。 n 加上一倍的阿尔法的 n 次方， 阿尔法不等于贝塔的时候，就是阿尔法减去贝塔分之。阿尔法的 n 加一次方，减去贝塔的 n 加一次方。这个结果也最好记住。刚才那个结果我们记一下啊，这个结果记一下，然后下面这个结果你能记最后也记一下啊，你能记最后也记一下啊，然后剩下的就是对我们这些结论的运用啊， 剩下的就是对我们这些结论的运用。看一点一点二十八这个的话， 呃，我，我们刚才那个结论就默认你背下来的啊？默认你背下来的这个的话，怎么往刚才那个结果上去转？你会发现这个二，这个，这个不就相当于什么？这个不就是 a 加上 a 吗？这个不就是 a 乘上 a 吗？对吧？那进而这个相当于上面那一题的什么？相当于阿尔法等于贝塔等于 a， 是 吧？那当阿尔法等于贝塔 这时候，那你结果应该什么结果？应该是 n 加上一倍的 r 的 n 次方，是吧？应该是 n 加上一倍的 r 的 n 次方，而这个时候 r 又等于 a， 所以 说等于 a， n 加上一倍的 n 的 a 的 a 的 a 的 a 的 次方，是吧？所以说这样就解决了啊，这是一点一点二十八，有上面这个结果很容易啊有上面这个结果很容易，一点一点二十九。我们看 这个，这个你会发现有什么特征？首先你会发现下面这些都挺对称，下面这些都挺，都挺好的。你这第一行是什么元素？什么鬼？ 你会发现这一个 a 方加上 a， b 这边有一个 a 方 b， 那， 那我，那我干脆这样吧，我给你提出来一个 a 不 就好了吗？你第一行，你提出来一个 a， 第一行提出来一个 a， 不 就变成第一行变成 a 加上 b， 然后这边提出来一个 a 变成一个 a， b 的，是吧？这不就回到我们上面那一题的结果吗？对吧？那它就等于什么等于背下结果啊？背下结果，那就是阿法减去北塔分之，阿法的 n 加一次方，减去 b 的 n 加一次方， 但这个时候，这个时候你前面再乘一个 a， 是 吧？再乘一个 a， 然后这是阿法不等于被他的时候，然后阿法等于被他呢？阿法如果等于被他，他就等于这个。首先前面这是一个 a， 是 吧？前面这是一个 a， 那 就是 a， 再乘一个。 呃，这里的阿法就等于啊，这里就 a 啊， a 和 b 啊，这里应该用 a 和 b 啊，那就是 a 的 n 次方， n 加 a 的 n 加一次方，减去 b 的 a 等于加一次方，减去 b 的 加一次方啊。呃，这里的，那然后阿法等于倍数呢？那就是 a 乘 n 加一的 a 乘 a 的 n 加一次方，是吧？ a 乘 n 的 加一次方，那就等于 a 的 加二次方，是吧？所以说直接套上面结果就可以了啊。呃，一点一点三十 这个东西的话和上面也是差不多啊，也是差不多啊，只不过这里呢，我们会发现这里的它的特征方程呢就有点， 嗯，不太好写，不太好写啊，你的，你这个阿尔法贝塔不是向上面那么好找的，不是很像那么好找的，我们还是按照第一行给它展开按，按照第一行或者第一列给它展开啊，按照第一行展开，它就变成什么了？它这个 d n 呢？它就等于，呃，那就是 a 倍的 d n 减一，是吧？ a 倍的 d n 减一，再减去， 呃， bc 倍的 d n 减二， bc 倍的 d n 减二，你会发现这个时候它的特征方程就应该是 r x 方减去 a 倍的 d n 减二啊。 b c 倍的 d n 减二，你会发现这个时候它的特征方程就等于，呃，等于零的，是吧？ 这是他，这，这个是 x 啊，减去 a b 的 x 加上 bc 的 等于零。呃，那你这个时候我们刚才说了，我们前面说了你，那你对于上面那些题的阿尔法贝塔，他都是什么？阿尔法贝塔应该就是这个特征方程的根啊，应该是这个特征方程的根。所以说，所以说你这样啊， 我强行把这个阿尔法贝塔给给设出来啊。呃，我们就，我们就令阿尔法加上贝塔，它是等于什么？阿尔法加上贝塔等于 a 啊，然后阿尔法减去贝塔，它是等于什么？ 呃，不是算法乘贝塔啊。另，算法乘贝塔它是等于 bc 的 啊。那进而如果有，那接下来我就相当于把这个 a、 b， c 全都化成算法和贝塔啊，全都化成算法和贝塔，那进而我们就由上面的结果就可以知道它 d， n 最后的结果，它是等于被公设，那就是算法的算法减去贝塔分之算法的 n 加一层方，减去贝塔的 n 加一层方， 这是算法不等于贝塔的时候。然后另外一个方面就是，呃， n 加上一，不是不是，那就是什么来着？这个这个。 呃，什么什么什么结果来的？突然，突然，突然脑子荡了一下， n 加上一倍的 r 加上一倍的 a 的 n 次方，是吧？我刚才这个还地方还说错了啊，这已经是 n 加一，这地方应该成一个 n 加一啊。那变成 n 加上一倍的 a 的 a 的 n 加一次方，是吧？但是这个地方还说错了啊，被找公社。那就是 n 加上一倍的 呃， a， r 法的 n 次方是吧？ n 加上一倍的 r 法的 n 次方。但是你这个时候要把 r 和贝塔给换回来啊，一定要给它换回来啊。 嗯，这个阿法贝塔事实上就是上面这个特征方程的根，所以说你要解出来解一下这个阿法贝塔应该是什么？那阿法就应该等于用求根公式，只能用求根号下 b 方减 c a c， 那 就是 a 方减去四 b c 啊， a 方减去四 b c， 呃，所以说阿法等于这个东西 b， 它就等于什么？ b， 它等于二分之二法减去根号下 r 方减去四 b， c， 然后把 r 加上贝塔，这个结果再到下面去啊，就可以了，就出来了 啊，就说然后一点一点三十一，一点一点三十一，那么计算下面这个两个行列式，这第一个行列是不用说了吧？第一个行列式是什么？利用行列式的组合定义，它实际上就是 a 一 一直乘到乘到 a， n， 再乘一个什么？再乘一个负一的，它逆序，逆序数应该是什么？应该是从 n 减一，一直加，加到一 加到一，那就是二分之 n 乘 n 减一，对吧，那就是最后结果。就这个用组合定义也很很容易就出来了，它那是组合定义，然后这个开再看 b n b n 的 话，也是一个三对角，也是一个三对角。嗯，这个东西你可以呃， 你可以呃，这，这个是三对角啊，这个三对角的话怎么弄？你要是如果想递推啊，如果你想递推的话，你应该是从最后一行或者最后一列给他展开，因为的话，这样你才能递推出来 d n 减一这种东西啊。 你如果把按照第一行进或者第一列进行打开的话，你会发现不太好啊，你会发现出不来那个 d n 减一啊，出不来 d n 减一。当然这个题的话，你用三对角按最后一行或者最后一列展开也行啊。 嗯，不用三对角也可以不用三对角也可以，什么意思呢？你会发现这个结构特征比较好。什么呢？如果我把第一行乘以，呃，我把第一行加到第二行上去，然后再把第二行加到第三行上去，你会发现这些位置，这个次对角线上这一层啊， 这，哎，这一层，这一层全都变成零了，是吧？这一层全都变成零，它就变成上三角了它变成三角形了啊，它变成上三角了，就可以直接出结果了。也就说我让第一行乘以第一行，直接加到第二行上去，然后第二行，呃，然后再让第二行加到第三行上去，是吧？它就会变成 a 一 a 二下面这一块全是零，是吧？你因为你是先把第一行加到第二行上去，所以说这边的 b 一 也没了，负 b 一 也没了，然后 a 二加上 a 二，所以说这到最后就变成啥了，到最后就只剩下一个 a n 了，是吧？下面这一个这一块东西我不管，它最后结果就是 a 一 一直乘到 a n 啊， 就换成这样一个对角形了，上乘角就行了，所以说结果就是 a 一 乘 a 就 可以了。这是这道题啊 这是这道题啊。嗯， 然后看这个题啊，这个题刚才的差差不多吧刚才那道题是不是差不多啊？嗯。这个怎么操作这个怎么操作？ 呃，这个怎么操作呀？你如果第一行加到下面下面这一行上去第一行加到下面这一行上去不太好 第一行加到下面这行去，还会出来一个负 x 啊还会出来一个负 x， 嗯，还会出来一个负 x， 那 怎么办？ 嗯，哎，你会发现这样啊，你这地方不是负一吗？你会发现从第二列开始，第二列开始到第 n 点，一列 到底 n 减一列，你这个每一列的和它都是零啊，每一列的和都是零。你既然每一列的和都是零的话，我这样啊，我让你前面前 n 减一行，全都给它加到最后一行上去啊，全全给你加到最后一行上去，你就变成什么？你就变成一键 x， 然后这边是负一，这边是 x， 这边是一键 x， 嗯，那就相当于我，我只对最后一行操作一下吧，那实际上就变成啥了？呃，变成一了是吧？变成一了， 这一块变成啥了？变成一减去，一减去，这边还剩下一个负 x， 现在变成这样一个行列式了，是吧？变成这个这个行列式之后，你会怎么办？你可以直接最后一行或者最后一列展开了啊，我们按照最后一列展开，最后一列展开的话，那就是， 那就是一，再乘一个。什么？再乘一个？如果给它继承 d n， 如果给它继承 d n， 那 就是一再乘一个 d n 减一，是吧？再乘一个 d n 减一，再再加上这个这个元素，那就是负 x 再乘它的代数与指示，它就它是负一的 d n 行第一个元素 d n 行第一点，就是负一的 n 加一次方，再乘它的代数与指示，它的代数与指示的话，那就是 x 是 吧？ x 再乘一个 x 的， 嗯， n 减一次方，是吧？换一下之后，结果它就等于什么，之后结果它就等于 d n 减一再加上。嗯，这是负一。负一的 n 加二次方是吧？负一的 n 加二次方，负一的 n 加二，然后再乘一个 x 的， 乘一个 x 的 n 次方，对吧？乘一个 x 的 n 次方，我看下结果对不对？乘一个 x 的 n 次方， 负一的 n 加二次方，那负一的 n 加二次方，你，你这个二成不成的，无所谓，对吧？那就变成比你好看一点，变成负一的 n 次方，变成负一的 n 次方，乘以 x 的 n 次方，可以吧？所以说 d n 就 得到这个，那你接下来给他递推就行了。你看 d n 是 等于这个东西的， 那接下来它就等于什么？ d n 它就等于。嗯，那等于什么？等于 d n 减二，再加上一个负一的 n 减一次方， x 的 n 减一次方，然后再加上负一的 n 次方，再乘一个 x 的 n 次方，对吧？你这样不断递推下去，它就等于啥？它不就等于 d 一。 再加上， 加到最后。加到最后，那就是啥？那就是负一的 n 减一次方， x 的 n 减一次方。加到下一项啊，下一项给他写一下，那就是负一的 负一的平方，那就是。嗯，就是 x 方啊。加上 x 方，然后再加上负一的三次方，乘 x 三次方，一直加到最后，那就变成负一的 n 次方。乘一个 x 的 n 次方，是吧？第一等于啥？第一的话不就是一减去 x 吗？第一的话就是一减去 x 啊，这样的话结果，最后结果就是这个啊，最后结果就是这个。 嗯，然后看一点一点一点三三，看一点一点三三。这个和刚才那个是一样的吧？有什么区别吗？ 哦，有什么区别啊？这个是 x， 这个是 x， 这边是 a， 一 直到 a n 啊，操作方法和刚才都是一样的。和和上面是一样的啊。我们还是发现每一列的和， 每一列的和都是从第二列开始啊，到最后到第 n 减一列，你每一列的和都是零，你每一列的和都是零。我就干脆让你前面 n 减一行，全都加到 d n 行上去，它就等于什么呢？它就等于？ 我还是直接对这进行操作，直接对它原形进行操作。这相当于前面从第二行到 d n 减一，从第二列到 d n 减一列，它最后一行它都是零，是吧？最后一列变成啥了？变成负 a n 加上加上来，那就变成一了，是吧？正面加上来的话就变成 负一啊，这边的话就变成负一了，然后给它进行展开啊，展开的话直接按到你要么最后一列或者最后一行都可以啊。我们还是按到最后一行。那点什么呢？它就等于首先是 d n 减一，一乘 d n 减一，是吧？然后再加上负 a 一， 再乘一个不移的 不移的 n 加一次方是吧？ d n 行第一列，再乘它的代数，一直乘乘到 a n 啊，那它就等于什么？它就等于 d n 减一，加上 负一的 n 次方，再乘 a 一， 一直乘到 a n 是 吧？那你不断递推下去就行了。你 d n 是 等于这个的是吧？ d n 等于这个， 那你接着递推，它就等于什么？它就等于 d n 减二，加上负一的 n 减一次方，再乘 a 一， 一直乘到 a n 减一，然后再加上负一的 n 次方，一直乘 a 一， 一直乘到 a n 是 吧？你这样不断递推下去，它就等于啥？它就等于 d 一 d 一 等于一。减去 a 一 啊，一减去 a 一， 再加上。 呃呃，第一是吧？第一，嗯，然后再加上负一的平方，再乘 a 一 乘 a 二啊，然后再加上一直加，加到最后变成负一的 n 次方，再乘 a 一， 一直乘到 a， 这样这个题就得正啊，这个题就得正。 呃，下面就是一页一页物件啊，就是利用已知行列式。嗯，当然这个已知行列式我们知道哪一个？那肯定就是 find 蒙德嘛，是吧？我们只只在课本上学过一种特殊的行列式，就是 find 蒙德行列式啊。 然后这个题啊，那么接下来这个函数它等于什么？首先你这个暗示的很明显的，是吧？用拆分法它等于什么？它等于二的四次方。乘二的三次方，二的平方二，然后这边是三的四次方，三的三次方，三的平方三，然后四五。抄抄题都很累啊， 四的三次方，五的三次方，四的四次方，五的四次方，对吧？然后再加上加上这一列是一一一，然后 然后这样啊，我给你换个顺序，可不可以我给你换个顺序，我把这个二二的一次方提到。呃，我把你这个二的一次方和这个二的三次方换一下顺序，你换一下顺序的话，相当于给他要加一个符号啊，就变成二三四五。 因为我想利用范德摩的行列式的结果啊，我给他换一下啊，你每兑换一次，你这个行列式就会变出来一个符号，是吧？出现一个符号，然后这边是二的方，三的方，四的方，五的方，这边是， 哎，二的三次方，三的三次方，四的三次方，五的三次方。后面这个结构我们可以出来，前面这个东西的话，前面这个东西也能出来啊，你给你提最后一行提出来五，倒数第一行提出来四，这一行提出来三，第一行提出来二，相当于提出来一个五的阶乘。 嗯，提出来一个五的阶层之后就变成啥了？变成一二三四相当于这个东西。你相当于变成什么了？相当于变成第一。这，这一点是一，这一点是关于二的声次。呃，这一点是关于什么？这一点是关于二次方的，这一点是关于三次方的， 是吧？这一列是关于四次方的，所以说你再给他。呃。第一行第四行换一下，第二行第三行换一下。那你换两次相当于不变号啊。相当于不变号，它等于五的阶乘再减去一是吧？五的阶乘减去一，都换成这样，那就变成一二二方二的三次方。 不管了，直接就写结果了。我，我就不管了。所以说就变成后面这个行列式啊。后面这个行列式它就是一个范德蒙的行列式，它结果是什么？结果就是五。 呃，我再我再去洗了。五减去四是一是吧？五减去三十二，然后五减去三，五减去二是三，是吧？一乘二乘三，再乘四减去三，那就是一。四减去二是二，然后再乘三减去二是一，是吧？然后算下最后结果就可以了。结果不算啊，你可以算一下具体结果是多少。 后面几个都是差不多的啊，都是差不多的。 嗯，算这个乘法式。这个乘法式你会发现前面都比较好。这个地方突然出现一个诡异的二百五十六，因为什么呢？你看，这是二的三乘方，这是三的三乘方，这地方应该出现四的三乘方才对啊。你这这个二百五十六是什么鬼？ 所以说你这地方应该是六十四，本来应该是六十四的，那你这个相当于我们要把这个对，我们要对这个特殊的元素给他操作一下啊。它等于六十四加上一个， 加上一个啥？加上一个一百九张，是吧？然后接下来我给他拆分，给他拆分，给他拆分成，那就是一一一一，然后一二三四一四九十六，然后一八二十七，然后六十四，是吧？然后再加上，相当于后面这都是一加上零，然后八加上零，二十七加上零，是吧？然后我按到最后一行给他拆分，拆成两个行列式。啊， 那就变成我再写啊，然后再按到最后一行展开，那就变成一百九十二，再乘一个一一一，然后一二三一四九啊，然后两个 find 的 行列式算起就行啊。我不再多说啊，不再不再多说，不再多说，然后再看一点，一点三六， 嗯，让我们把这个 v 写成阶层的形式，这不就是 find 的 行列式吗？那就是什么？那就是十九的。呃， 那是十九的结成啊。十九的结成再乘一个十八的结成，再乘一个十七的结成，十七的结成一直乘乘乘到二的结成，或者说你再给他加上一个一的结成也可以啊，这就是范能不能行列式，对吧？ 呃。十九的结成就是二十减去十九，再乘上二十减去十八，再加一直乘乘到二十减去二，再乘到二十减去一，得到十九的结成，然后十八的结成。怎么来的？是十九减去十七，一直乘乘到十九，减去一，对吧？得到十八的结成，然后这样不断递退啊？ 他问你这个末尾多少个零？末尾多少个零？嗯，末尾多少个零？你想想这个东西什么意思啊？你末尾多少个零，相当于你有多少个十给它乘进去，是吧？相当于你有多少个十给它乘，乘到前面这个数里面，而你知道十的因子呢？是二和五， 十的因子是二和五，但是你知道二的二的个数，二的因子这个个数，我们发现这里面每一项都会有二的这个因子，是吧？你相当于二的因子的个数，肯定要比五的因子是多的，多的多的啊，是吧？所以说我们只需要找这个比较少的这样一个五的音式， 这样一个这样的五的音，五这个音式，这个个数啊，然后再去找什么，再找十这个音式这样一个数就可以了，然后把他们的个数加起来，就是一共多少个零啊？ 一共有多少个五呢？因为你每找到一个五，就会一定会有一个二给他对应，给他对应一乘，他不就变成十了吗？对吧？一变成十，就是我们要找含有五的个数，就是末位是五的，嗯， 末位是五的这样一个阶层的个数，还有末位是十，呃，还有末位是十的这样一个阶层的个数。末位是十的话，一共有多少个数啊？ 你看，十九、十八、十七、十六、十五、十四、十三、十二、十一、十，一共有十个，是吧？一共有，也就说有十个这样十的结成。这样一个东西啊，一共有十个数是十的结成，然后呢？一共有五个是十五的结成，一共有十五个是五的结成，是吧？ 那所以说怎么办？所以说你只需要把这三个数加起来，发现所以说一共一共拥有三十个点啊，相当于你配了，你配了二十组这个十，然后他本来还有十组十，然后加起来就变成三十了，加起来就变成三十了，这是这道题， 这是这道题，这个题的话，就这个题的话就很显然啊，是吧？你把这个行列式按照第一行进行展开，按照第一行展开，你会发现它得到一个 n x 的 n 减一四的多项式， 你会发现得到一个 n 减四， n 减一四的多项式，然后前面你就按照第一行展开嘛，然后它的前面的系数就是。啥前面的系数不就是，呃， a a， 呃， a n 一 是吧？ a n 一， 呃，不对， a n 啊，第一行 d n， 第一行 d n 点是吧？他就他的前面的就是第一行 d n d n 个元素的这个代数域指示啊，前面系数就是这个东西，呃，让我们证明它是一个 n 减一个 n 减一次的多项式。 呃，那你最高次项就是 x n 减一次方，是吧？ x n 减一次方，同时呢，同时你这个前面这个 a n， 它肯定不是，它肯定是分零的，为什么？因为你， 因为你这个 a 一 n 四上等于什么？ a 一 n 四上，就前面这个范德蒙的乘法式啊，下面这一块就是范德蒙的乘法式，而我们知道这些数是互不相同的，所以说你这个范德蒙的乘法式它不得不为零的啊，也就是说 x n 减一次方，前面的计数它是不为零的，所以说你这个 n 减一是多相似。同时呢，同时我们注意到你把这个 a 一 一直到 n 减一给带进去啊，也就说 p a i 它是等于零的，为什么等于零？你把 a 一 给带进去，你会发现第一行全都变成 a 一， 第一行和第二行相同，相同行列式，如果有两行相同，这个行列式等于零啊，行列式等于零，所以说每一个 a i 等于零，也就说你找到的 n 减一个根啊，就找到了啊，这道题， 看这道题啊，下面这些题的话就是就就，怎么办啊？我们慢慢说啊。 然后我发现第一行乘以负一加到第二行上去，就可以把这个一给干掉，是吧？然后第二行自第二行就相当于只剩下 x 一 x 二到 x n 了，是吧？然后你会发现第二行再乘一个 负一，再加到第三行上去，这不就把 x 一 也给干掉了吗？是吧？所以说你会发现他最后就结果就变成啥了，最后结果就变成一个范特曼的行列式了。我不，我不写啊，最后结果就变成一个范特曼的行列式了。 第一行乘负一加到第二行去，第二行再乘以负一加到第三行上去，你会发现后面这些东西全都被被你干掉啊，被你干掉，最后变成一个范德摩的行列式，然后结果出来了，这是一点一点三三八，结果我就不想啊，一点一点三九这个东西， 呃，它是出现了一个造成的一个东西啊，出现了一个造成的一个问题，同时你又发现 ai 它告诉你不等于零了。所以说你这个不等式，你对于这个行列式，你是不是可以同时乘以什么？你给它同时每一行每一列同时除以一个同时除以一个什么？嗯， 对，同除以一个啥呀？我想一下啊。 嗯， 因为你这道程嘛，我想给你配出来，我想给你配出来，四指相通。那你这样啊，呃呃呃，这样啊，我给你。 嗯，第一行第一行同时除以 a 一 的。啊，这样啊，我给你第一行同时除以 a 一 的 n 次方，可以吧？第一行同时除以 a a 一 的 n 次方，那你出来一个 a 一 的 n 次方，前面就会出来你除以一个 a 一 的 n 次方，第二行我再同时除以 a 二的 n 次方， 是吧？那你前面就会出来一个 a 二的小数，一直到最后它就变成 a 一 乘到 a n 的 小数号，好吧，然后里面就变成什么？里面不就变成一。一这面是一，第一列是一，第二，后面这一列呢，就是 b 一 比上 a 一 的 一次方，是吧？然后面到就是 b。 呃， b 一 比上 a 一 的 n 次方，是吧？你会发现变成一个 find 函数啊，就变成 b n 加一，比上 n 加一啊，到最后啊，那就是 b n 加一，比上 n 加一的 n 次方，接下来这就是个 find 函数，然后你写一下它的结果就可以了啊，写一下它的结果就行了， 然后一百四十一点一点四十。我们直接看这个第二文啊，直接看这第二文，你会发现这这个结果你应该都做完了。 d n 加一等于什么？ d n 加一可以给它拆成两个。呃，判断的行列式的和拆成什么呢？那就是 e e e， 然后这里的话就是 x 一 x 二一直到 x， 呃， x n 是 吧？ x n， 然后下面呢就是 x 一 的 n 次方， x 二的 n 次方到 x n 的 n 次方，然后再乘乘的话，这一列是一，这一列是第一列是一，然后第二列是 x 一 x 二到 x n 到后面的话就是，呃， x 一 的 n 次方， x 二的 n 次方，后面的话就是 x n 的 n 次方，是吧？你发现第 n 加一是可以生成两个和的，不信你可以看一下啊。第一行乘第一列就是 s 零，第二行乘第一列就是 s 二，是吧？第二行乘第一列就是 s s s r n 就是 s s r n 两个函数的函数，所以说结果是这个得证，得证 啊。这个题，这个题，这个题，很像，很像什么呢？ 很像我们前面第一列三节讲那个那个那个什么拆那个什么来的加密法的时候啊，很像很像。那那个地方的题啊，那等什么呢？你给他加上一列啊，给他加上一行一列啊，一零零，嗯，零。嗯。再给他加上什么呢？ 给他加上 x 一 吧。啊？ x 一， x， 不， 不，我想一想啊，给他加上一，可不可以我给你加上一吧，我给你加上一一一，我给你加上一，加到银行一加到银行一，一零零零啊。加变啊，给加上，加上银行营业额，加到银行营业额，然后接下来怎么办？ 接下来你第一行乘以负一加上去，第一行乘以负一加上去。嗯，第一行乘以负一，加到后面每一行上去它就变成什么了？它变成一一一，后面变成一，这边的话是负一负一，嗯，负一下面的话就变成什么，变成 x 一 x 一 的方。哎， x 一 的 n 减一次方。呃， x 一 的 n 减一次方， x n 的 零次方。这个，这个怎么操作啊？后面好像不是很好操作啊。后面最后一行就是 x n x n 的 方到 x n 的 n 次方。 嗯，到下面的话变成 x n 的 n 方，然后这边的话就变成 x n x n 的 方到 x n 的 n 方，对吧？嗯，那接下来该怎么办呢？接下来怎么办？接下来只能采用一个，只能用一下嘉宾了。呃，不是只能用一下拆分啊，我们可以考虑一下拆分，拆分的话 拆分怎么拆？那就变成二。嗯，我想和你这个负一，你可以写成。写成啥呢？讲一下啊。嗯，我想出来一列都是零的，然后我想用 find 函数列式，那就是二减去一， 嗯，二减去一，可不可以二？二减去一，然后这个地方边能写什么？二减去一的话，我这边的话就是负一。呃， 啊，这样啊，负一，然后零加上零，零，零加零减去一啊，零减去一，后面我全都给它拆成零减去一，然后这边的话一一一，然后这边是 x 一 x 一 的方到 x 一 的 n 次方啊，这边是 x 二 x 二的方 到 x 二的 n 次方，到最后那就变成 x n， x n 的 方，一直到 x n 的 n 次方。啊， x n 的 次方，这时候这个结果就等于啥呀？给它拆成两个行列式，按照第一列进行拆开，那等于一方面，一方面就是二再乘这个 x 一 到 x n， 这个到 x n 的 n 次方， x 一， 嗯，到 x 一 的 n 次方。然后接下来你每一列给它提出来 x 一 到 x n， 相当于提出来一个连乘二倍的，然后二从一到 n x， 哎，这提出来一个连成之后，它就变成 find 我 们的行列式了，然后接下来你就操作就可以了啊。然后看第二个拆分式啊，第二个拆分式它就变成什么了，它就变成负一，它就变成负一。负一， 那你们提一个负一出来，提一个负一出来，可不可以，是吧？提一个数据出来，变成负一，变成第一类都是一，第一类都是一，后面第一行都是一，第一行都是一，然后 x 一 一直到 x 一 的 n 次方，然后这边是 x 二一直到 x 一 的 n 次方， x n 的 整数方，是吧？这可以吧？这可以。然后接下来你把这个，这相当于又是一个 find 函数，又是一个 find 函数，是，是吧？然后接下来再表示一下就可以了。这个题就做完了， 剩下这些题和刚才题差不多啊，和刚才题都差不多，我们简单就说一下思路就可以了。 简单说一下思路，嗯，那这个和刚才同理啊，和刚才的同理还是一模一样，有什么区别吗？ 你无非就是把刚才这个一换成 a 的， 把这个一换成 a 的， 那操作和刚才是一样的操作，刚才一样的，怎么操作怎么操作就给他换成 a。 嗯， 呃呃，这边都是 a， 是 吧？你给他补的一行，补的一行是一 a， a， 这边都是 a， 然后第一列全都补成零，对吧？第一列全都补成零， 然后你这边的话乘，相当于乘一个负一，加下去，这边会出现负一，对吧？这边出现负一，这边出现负一，这边变成负一，这边变成负一了，是吧？然后接下来呢？接下来你还是同理啊你还是同理。把这个一写成什么？写成一个二点去一， 写成一，二点去一，然后得正了，然后就得正了。这是一点一点四十三，一点一点四十四。这个东西和刚才的有什么区别吗？嗯，有区别啊，有区别。我们看一下这个怎么做？ 这个东西的话这个东西怎么做？ 嗯， 这样啊，你还是给它加边，加边的话给它加成什么呢？这边是，呃，这边给它全加上一吧。啊？全加上一，然后这边是零，这边全都是零，然后的话你一乘，然后你第一行乘负 a 加上第二行上去，第二行乘负 a 方嘛？ 呃，第二行乘负一方啊？第二行乘负一方，加到这下面去，然后第三行乘以负一方，对吧？加到加到这边去，然后这边还是有一一，你还是可以把它拆成什么？可以把这个一拆成二，减去一，然后拆成两个乘法的乘法，得到两个范围的乘法的乘法就可以了。啊，这是这一题啊，然后一点一点四十五， 一点一点四十五，刚才不太一样啊，一点一点四十五的话，那就是， 嗯，一点一点四十五。怎么加呢？因为你这边是减二减三，减二零二三，你这样啊，你给他这样加一二三到二零二三，然后这一块全都给它变成零，全都给它加上一横，一点横给它加上零，这一块加，加上二三一直到二零二三。然后接下来怎么办？ 接下来你把这个第一列加到后面所有的列上去，它就变成，你会发现这个地方就变成，呃，全都变成一了，是吧？全都变成一，全都变成一了，然后后面这些全都变成后面这些减去，这些东西全都变成没了，全都没了，是吧？全都没了。然后接下来呢？ 接下来就解决了，接下来就解决了，是吧？这是二二的平方，一直到二到二零三次方，这个是二零二三，一直到二零二三的，呃，对吧？一直到二零二三的这个，呃，二零二三次方，是吧？然后接下来可以把这个二零二三的每一行每一行提出来一个数啊，把这最后这一列变成一啊，把这一列也变成一， 嗯，二点一层。嗯，好。然后你每一行第二行提出来一个二，第三行提出来一个三，一直到最后最后一行提出来一个二零二三，又变成二零二三的阶乘，然后剩下一个 find 函数，那就是 k 的 阶乘，然后这个 k 乘一到二零二三啊，又变成一个 find 函数，和刚才的操作都是一样的啊。

就这么简单，我们简单来看一个例子，大家看一下这个 十一题，第一个 这是做了变形了， 大家会发现十一题的第一个他这个的特点在于，首先这个等比好像有一点迹象，但是他的等比呢？你看他不是列等比， 说错，他是列等比的是，你看这个是二二的平方，二的三四方，对吧？他是列等比的话，是不是应该他的第一行元素全部是一才行啊？也就是说他有一行元素，这一行元素要全部为一，但是现在他就没有这个一，我们就需要出现这个一，对不对？ 那怎么才能出现这个一呢？有同学有想法吗？怎么才能出现这个一呢？ 怎么才能出现这个一呢？我们学了前边的那个，不用他转世，如果你现在的这个你去给他凑不出来，你转世完了之后也凑不出来的。 我们学过行和列和相等之后，你就会发现，你看这有一个违反常规的五四三二，他其实不在常规的行列里边，对吧？但是呢，我发现五四三二这个跟他去加的时候，一加五是等于六的， 二加四是等于六的，三加三是等于六的，四加二是等于六的，对不对？好，你看是不是看到了很多六，那我 是不是可以把这一行都变成六呢？就是第一行加到第四行，而一加二十四 现在有杂音吗？ r 一加 r 四，第一行加到按行展开，这个按行展开就太麻烦了，你可以试试，是做不了的。 第一行加到第四行，这是六六六六一二三四一二的平方，三的平方四的平方一二的三四方，三的三四方，四的三四方。 你看看这个 遇强，你先看看这个方法是不是合适啊？后边我们可以探讨你那个方法，我是不是可以把六这个提出来，那就变成了下面是一一 一一，然后是一二的三四方，二的三四方，四的三四方，一二的平方，三的平方，四的平方，一二三四。大家看是不是就出现了你想要的那个一， 对吧？但是呢，这个一他的位置不对，他应该在第一行就很好了，对不对？他应该在第一行就很好了，那怎么办呢？ 我写错了吗？ 对， 现在呢就是在最后一行，所以你要换上去，但是你换的时候，你千万不要直接跟第一行去换，因为你直接换的时候，你是满足不了那个等比数列的，所以那你需要 先跟他换一次，然后再跟上面第二行换一次，再跟第三行换一次，换三次，所以他会出来一个负六 三次是不会出来一个负一，那就变成了，哎。一一一一一二三四，一二的平方，三的平方，四的平方，一二的三四方，三的三四方，四的三四方。好，接下来是不是就公式 等于负六乘以什么呀？这行去给他大的下标减去小的下标，先是四减三，四减二，四减一，然后是三减二，三减一，然后是 二减一，完事了吧？四减去前面那个三个数，三减去前面两个数，二减去前面一个数。好，那么结果应该等于，这是一个一，这是一个二，这是一个三啊，这是一个一，这是个二，这是个一，那就是一个二三二， 这是十二，所以结果是等于负七十二。 这个题我目前还没有想到其他的方法，你有想到其他的方法的话，可以在微博上私信发我， 这是一个比较好的方法。然后再看一下第二题。第二题呢，我们来看一下他这个乘等比的话是这样，你看行式等比，我们刚才呢，这个是列式等比， 不会考证明，奋斗梦不会考证明，你考证明的话，你只能用定义去推。 好，我们来看一下这个啊，这是行式等比，行式等比怎么办？ 其实就是刚才那个转置一下就行了，其实他考的就是第二个式子，那就说如果我要想用翻工的行列式的话，那现在的话就是我需要把第一列了，这全部变成一就好了。第一列全部变成一就好了。 我们先把这个问题讲完，然后等一下统一回答学生同学们的问题，好吧，第一列怎么全部都变成一呢？第一列全部都变成一，怎么变成一呢？怎么变成一呢？ 刚才其实前面有个同学提了一个方法，很好，你想把它变成一，你第二行可以提出来个二，第三行可以提出来个三，第 n 行可以提出来个，嗯，对，提直好，所以那么其实 你提出来的是二乘三乘四，一乘了，恩，提出来的是恩的阶层。好，这样的话其实就变成了我们想要的结果， 这是一二二的平方，一直到二的 n 减一，然后我这就直接写了，这全部都是一，那这全部二三、四，一直到 n， 然后这下面的话就是 n 的平方，一直到后面就是 n 的 n 减一次方，就每行给他提出来一个，第二行提出来二，第三行提出来三，第四行提出来四，第二行提出来 n。 好，接下来其实就已经是了，但是我们这时候是不是要看这一列 用大的下标对应的那个数减去小的下标对应那个数，然后就等于 n 的接乘乘以。好，接下来就是 n 减一，乘以 n 减二，乘以 n 减三，一直乘到 n 减 n 减一， 是不是有一个 n 减一的阶层？然后还要减，是不是应该用这个数 n 减一去减前面的数，是不是会出现 n 减二的阶层？ 一直到最后应该乘到二减一，是不会出来一个一，所以他的结果是 n 的接成乘以 n 减一的接乘，乘以 n 减二的接乘一直乘到一， 是不是这个结果，对吧？当然答案这写到二的阶层也没毛病啊，你这乘个一不一样，对吧？就依次递减的去给他，从他的阶层就可以了。

首先你要认识什么样的式子是范德蒙行列式就长成这个样子的，首先第一行或者第一列全是一，然后一次往下分为是一次方、二次方、三次方。 那么对于这种行列式来讲的话，他有一个公式，就是首先你从这个行列式中间把这个元素给挑出来，那就是 abcd， 然后他的值就等于这个式子，就是首先用这个 d 减去 c， 然后再乘以个 d 减去 b， 然后再乘以个 d 减去 a， 写在这里，然后再乘以个 c 减去 b， 然后再乘以个 c 减去 a 写在这里， 然后最后再乘一个 b 减去 a 写在这里，就一次往下减相乘。你比如说这个题目，首先判定他是泛弹幕行业式， 然后再把它的元素就是一二三四给拉出来，那么这个行列式的值它就等于这个式子，就是四减三，再减二，再减一相乘， 然后三减二，三减一，再相乘，然后最后乘以二减一，就依次往下减相乘，把它算一下，它的结果应该是等于十二。

那这怎么解决方程组呢啊？这个首先来考察啊，这方程组的系数横的式啊，现在这个方程组啊，系数横的式，大家给我马上说答案， 对不对啊？这个方程组的系数横的式是不是一个反得蒙啊？就该怎么直接说它，是吧？负一减二乘上三，减去二乘上三，减去负一，那大家一整理，那是不等于负的十二， 把函数的值都归零，那换为什么也不一节了，那所以大家那怎么求 x 一 呢？分母是不是负的十二分之？那在求 x 一 的时候，记得把第一列是换成长数项，求 x 一 的分子是谁？ 那是把第一列一二四，那换成长数项，一负二四。好，现在这个函数我不算了啊，怎么仍然是一个反的蒙啊？那大家对公式马上把函数算出来，那那么这是个 x 的 分子， x 二的分子呢？是把其中的第二列一负一一是不是换成了常数项？那常数项是不是一负二四？那啊，这是不是这样子一个三根幂啊？大家呢，对照公式把横比式算出来，那通理，那再次再把 x 三的分子算出来，那把第三列换成常数项，大家把分子都算好了，父母呢？是负的十，所以这样子来，是不是把方程组的唯一解就求出来了？

放得蒙行列式的计算有一类行列式，它的个列都是密排列，就是某数从零到 n 减一次密形成的排列。 这种行列是有一个很好玩的名字，叫做放得蒙行列。是， 那这种行列是要怎么算呢？可以从第 n 减一行开始， 自下而上，每行乘以负 a 一加到下一行，目的是为了使第一列除了第一个数，其他 他的那都变成零，那么其余的元素呢，也发生了相应的变化，请仔细检验个元素的变化结果。那然后怎么办呢？ 啊，就可以应用相邻的代数移子式命令得到第一列第一个元素，以他的代数移子式的基啊，就是下面的这个行列式。 想一想，接下来又应该怎么做？那些可以提取供应式的元素，哎，都进行提取供应式，哎， 现在有什么发现呢？就可以应用阐述与行列式的基的性质，把各式中的工因子都提到行列式的前面啊，就得到这个结果，观察一下。 那么对比这个行列式与原行列式，你有什么发现呢？啊，不难发现，他真是一个放得蒙，而只是这是一个 n 减一阶的放得蒙。 观察 n 解放的蒙和 n 减一解放的蒙的关系，同理， n 减一阶和 n 减二阶也有相同的关系，以此类推，那么推到二 二阶放的蒙呢？这个二阶行列是是一球的，那么如果要推到一阶放的蒙的话，要注意一阶放的蒙呢，结果等于一， 因此 n 接放的蒙就等于 a 一 a 二，一直到 an 这个数列各项分别减去他前面所有的项啊的差。再求机 可以写成求知的形式如下，由于乘法交换率的关系，这个呃 乘法的个因式呢，并没有固定的排列顺序。不难发现，只有当 这个数列没有相等的相识，这个行列式才不等于零，否则呢，就会形成两个相等的列啊，从而呢，就等于零。

二，这是个相当于一个平方啊，二次方，这是一个立方，是个三次方，那一次方，二次方，三次方都有了，大家想想，如果第四行如果能够变成 e 呢？那这个行就是是不是就像咱们刚刚说的翻的门考中呢？那现在这道题大家能不能把第三变成 e 呢？ 那根据这个数据是不很容易，对不对？大家这道题可以怎么操作呀？把第一行加上到第四行啊， 行列式的值不变了，一加下来，一加下来什么十，十十啊，对不对啊？大家把第一行啊加到第四行，第四行就变成了十， 好，大家占用行列性质啊，把第四列的公式十，把它踢出去，一生就做好了。 但是大家注意啊，这个行列式它不叫樊登蒙啊，樊登蒙怎么规定的？ 一都在第一行，一个下面是一次方，一次方下面是二次方，二次方下面是三次方，所以大家呢，是继续用行列式的性质把一是吧，各到第一行去，要把一各到第一行去，大家又不能怎么的，是不能破坏一个，下面的是一次方， 一次方，下面二次方又不能破坏这个规矩，所以大家要怎么办呢？是不是三四两行先换， 大家把三次房先做为一到第二个吧，大家和二次房互换，那二次房是不是就变为了最后是不是再和第一行互换？ 大家把一换了个第一行，又保证了一个，下面是一次房，一次房、二次房，大家想一共换了几次啊？是不是有做个三次互换，既然三次互换成立室的性质就要变好， 好，大家一坐在这以后啊，这是一个标准的范德蒙了，所以呢，就是马上写答案，那是 x 二减 x 一， 那 x 三减 x 一， x 四减 x 一， 然后呢是 x x 三减 x 二， x 四减 x 二，然后是 x 减 x 三。那大家把字写好，那接下来再去整理什么就可以了。

运用 find 行列式调节数值行列式问题来这道题，大家发现前三行依次在每一列上成了等比、竖列，但是第四行很突兀，九八七六。 那么继续观察，如果把第四行加上第一行，第四行元素全都变成了十，所以 d 等于我们用第四行加第一行，并且把十提出来，等于十乘以一二三四，一二的平方， 三的平方四的平方一二的三次方，三的三次方，四的三次方，一一一一。 那这个是范德蒙吗？并不是，范德蒙行列是要求第一行元素全为一，所以在这里我们可以兑换第一行第四行兑换第二行，第四行兑换第三行、第四行。那么兑换了以后，兑换三次要发号等于负。十乘以 一一一一一二三四一二的平方，三的平方四的平方，一二的三次方，三的三次方，四的三次方。好了，同学们， 在这里这就成了范德蒙。范德蒙的结果与第二行的元素与他的公比有关。所以那么当确定范德蒙以后，那我们就直接是 下标，立下标，以大减小。因此二减一，三减一，乘四，减一，乘三，减二，四减二，再乘四减三，所以这个结果就等于负的一百二。同学们，这道题选 b。

哈哈，我不会做，没事没事，这种看起来简单，实际上算起来很容易出错的，我教你两种方法秒杀这个题。对于函数计算，我们可能有非常多种技巧，但是考研里面有一种技巧是必须要掌握的，就是这种函数相等类型的函数，它的这个特点跟他名字是完全一样的，就是所有函数，你把加起来或者是所有的列加起来，它只是一样的。比如说先这里面如果把它所有加起来，应该是 a 加二，那么我们处理方法就是把 第二行加到第三行，也加到第三行，因此我们就得到 a 加二。好了， a 加二，然后其他行就不动，因此我们会得到一个第一行呢，是一个倍数，有函数性质，我们可以把这个倍数给它提出来，得出一个 a 加二，剩下的就是一一一，然后一 a a e e， 那 么上到这步我们发现那么第一行呢，已经全部是一了。假如我们把第二行跟第三行去减去第一行的某个适当的倍数，就可以把一些元素给消成零。消成零目的是为了待会我们使用二行展开计算行列式，那比如说这里面我们就直接用这个第二行给减去第一，然后这个呢是零。 同理，如果我们把这个第三行减去第一行的 a 倍，我们就会得到这个零，然后这个是一减去 a， 然后这个是一减去 a， 这样子呢，我们可以发现这个第一行这里有两个零啊，第二行呢？第一列或者说第二行呢有两个零，如果我们选择第一列或者第二行，把它的排列式展开，那么我们就可以得到一个二乘二的排列式，就相对比较容易算，那这里面我们可以看一下，比如说如果按这个第列展开，就得到一个一乘以负一的一加一， 这个我们习惯性去把它写一下，因为这样子的话，保证这个正负号不会忘记。好，那剩下的就是这个 a 减去一零啊，一减去 a， 一 减去 a， 那 么这个二乘二的话，我们就直接按最先法则计算出来六 k， 所以 它是 a 加二乘上呢，这个前面是负一的，一加一是正的，所以它就变成了 a 减去一跨的平方，但是前面这是一减 a， 所以 它应该有个符号，我们把这个符号写到最前面去重新写下，它应该是负的 a 加二， 然后 a 减一的平方。如果细心的同学我们会发现，在这一步的时候，如果我们刚刚是处理的是用这个第二行去减去第一行，得到的结果呢是零， a 减去一，就是我们不减去 a 倍，而减去一倍，所以这里就是零零，因此这样子我们可以得到马上得到一个这个下三角， 所以这个时候我们直接放这个公式就 ok 了，就是把所有的元素对角线的乘起来，再乘以一个负一的二分之三，乘以二分之 n 减一，那么这个是我们具有特征的乘法，我们实际上可以怎么去做呢？啊？对于这个任意的函数计算，我们实际上是有些 基本的，或者说一般的一个方法，就是想办法多画一些零出来，然后再按行列展开，那我们可以看到这行列是他首行第一个元素的，已经是一了，所以假如我用第二行去直接减去第一行，就会得到零，然后 a 减一，或者是一减 a， 然后用第三行减去第一行的 a 倍，这就得到零，那一减去 a， 好， 这个是一减去 a 的 平方， 那么因此就可以得到跟刚刚差不多的第一列，有两个元素为零，所以直接给它展开，就可以得到一乘以负一的一加一，然后再乘以 a 减 a， 减 a， 一 减 a 的 平方。 细心的同学可以发现，实际上这边是有一个倍数，这里面比如说第一行，我们可以提取一个 a 减一出来，所以它就变成了一个一和负一。第二行呢，也有个一减 a 倍，因为后面这个一减 a， 我 们可以把它看成这个一减 a 乘以一加 a， 因此提出一个一减 a 除以，这就变成平方，再填一个括号，所以这就是一和呢，一加 a， 这 时候这个二阶函数就比较容易计算，直接呢用这个对角线法则，它就是这个一加上 a， 然后呢减去负一乘以，所以就变加一啊，因此就变成了这个负的 a 减一的平方，乘以 a 加二，跟刚刚呢是完全一点九，这种时候呢，我们就不在乎它具有和向量的性质，而是想办法消零，然后呢采用这个二行向量展开去做这个计算。听懂了。

四阶行列式一上来就硬算百分之九十的人，第一步就选错了方法，今天按照我这套思路来，直接秒懂。拿到四阶行列式，先想的一件事情就是确定方法。那么方法一呢？常见的对角线法则，那对于四乘四的直接 pass 掉吗？ 好。第二方法是不是我们已经平时积累过的特殊型行列式？那显然这个看上去并没有那么特殊，所以排除掉。那第三个方法就是我们最终级方法就是做行列式变换，划上三角和下三角，再结合行列式暗行暗列展开。那这个题的方法我们就可以确定了。 那确定了之后，接下来我们进行计算，计算的核心是什么？那不就是出现很多零吗？那第一列或者是我们可以选 d 列，也可以选第一行，我已经发现了，一和负一肯定会出现零嘛，那我就把第四行的 e 倍加到第三行，就变成了这样的一个形式。那么画出来之后，我发现第三行有很多个 a， 我 可以提公因式，那这是行列式的性质，提出 k 倍嘛， 所以提出来了之后就变成这样，接着怎么办？我就可以按行列展开了。按行列展开的时候，我发现一和 a 其实我还可以继续画，我可以省略一些计算量，我可以利用 e 把 a 也变成零，我就把第四行的负 a 倍加到第一行身上，我就把它变成零。 好，变成零了之后，我现在再去利用行列式按列展开，那是不是就方便很多？好，因此按列展开一定注意，它前面是第一项零，第二项零，第三项零，第四项是前面的数和代数与子式是第四行，第一列的位置一定小心，然后剩余的代与子式，那与子式之后，那就变成了一个三阶行列式计算了，我可以画上三角，也可以用对角线， 那么显然我最习惯的还是什么？两个 a 肯定我把一个变成零嘛，所以我就把第二个行变成零，因此就变成了这样的形式。现在再去按行列展开，是不是就方便多了？ 按行列展开，直接产生的数 a， 然后确定符号，然后剩余的余子式，那余子式写完了之后整理化简，那这个就是非常简单的对角线法则了嘛， 标线法则， ok。 那 么这个题呢，我们总结一下以后做题思路。第一步，先确定哪个方法，然后做变换的时候怎么办？一定要先造出很多零来，造出很多零了，我就可以按照零多的去展开，减少了很大的计算量， 带入鱼子式的符号的时候一定不要错掉。好，最后这是填空题，你看数一数二、数三都考了，你如果答案错了，那这个题就白白辛苦一遭，那么这个题你做对了吗？