直三棱锥和正三棱锥的区别

大家知道正四面体和正三能锥的差异吗？正四面体要求他四个面都是正三角形，而正三能锥只要求底面是正三角形， 并且顶点在底面的摄影是底面正三角形的中心就可以。你这正三角形的边长是 a， 让球，他的高是多少？我们看他在底面的摄影一定是底面正三角形的中心，所以说中心有二比一的性质， 我们来求一下，现在我们知道啊，这个 bcd 肯定是一个正三角形，他边长是 a 的话， 那么这个 bm 呢？一定等于二分之二三 a， 如果他是二比一的话，所以说 bh 应该等于三分之二的 bm， 也就等于三分之二三 a， 那这一定是直角。我们有 ab 的平方， 应该等于 ah 的平方加上 bh 的平方，而这就是我们要求的这个 h， 这是他的高， 随着你有 a 方应该等于 h 的平方，再加上三分之根号三 a 的平方，所以说我们能得出 h 应该等于三分之根号六 a， 同学们，他的高就是三分之根号六 a， 我希望大家把它当成一个已知知识点来快速出结果，同学们你掌握了吧？

今天呢，我们接着来学习啊，来学习这个呢是基本几何体的啊，根据两个仕途呢来补化第三个仕途，这个呢是一个正三龙锥的啊，根据他的主仕途和浮仕途来补化他的左仕途啊左仕途。 所以这种呢是相对来说啊，比较简单的啊，我们按投影规律来画就可以了。好，首先呢，我们先来啊，高频题 好来给他画上啊，最高的点也是啊，给他画出来，因为三龙锥的话呢，我们都比较熟悉啊，不是很陌生的啊，所以大家要知道他的样子啊，是长什么样的，所以接下来呢，我们来 来看高音旗，画好了之后呢我们啊主视图啊，主视图是一个等摇三角形啊，就是这两边是相同的啊，这两边是相同的。好，接下来呢，我们宽相等对过去啊， 好，第一条线， 第二条线，不管画哪个图啊，一定是符合投影规律的啊，符合投影规律的。 好了，把这个地方呢给他倒过来 之后呢，接下来啊，我们一个一个的啊往上边画啊，先来画最顶的位置，要注意啊，中间这个丁点呢是我们最顶的位置啊，长对正啊，你会发现他是最高的地方啊，我们先把中间那个最顶的位置呢给他倒上去。 好之后呢，轻轻的画啊，对齐了之后咱们不要啊，不往上面画了啊，知道就是长宽江，等倒上来之后呢，找见这个点就好了啊， 知道这个点在这里，从这呢是对齐了上来的啊，就好了，好，这是咱们的顶点有了，接下来呢就看底边啊，底边呢，从这个点倒上来之后呢是后边的点啊， 好了啊，这个点呢给他倒上去啊，好，对应着把前边啊这个点呢这个啊这个尖的这个地方也给他倒上去 好了，画的时候呢，让他啊，一定要正好过我们的四十五度角度线啊，要不的话画的宽度就不等了啊， 好了，画一下啊， 好了，大家画的时候啊，一定要让它正好过四十五度线啊，要不画出来就不太精确了啊，好，现在有了之后呢，我们对应着大家 看啊，这个呢就是倒过来时前边的底边这个点这个呢？是啊，后边的啊，底边这个点我们从左往右看的话呢，就是能看到的是一个三角形啊，我们把它连上就可以了啊， 好，这个位置呢给他连上好了，前面呢也给他连上 这条斜线，也给他连接起来好，完了之后把这个底边呢也加粗一下啊，因为咱们画完了之后没有问题了啊，一定要是把这个图形加成粗实线的啊，加成粗实线的好， 把，下边呢咱们把做的辅助线啊，不需要的给他擦掉了，他 好了，画完了再来给大家说一下啊，大家需要注意的是什么呀？这个里边呢啊，里边它是一个不规则的三角形啊，这个左视图是个不规则的这个边啊斜边长，这个斜边短，一定要注意啊，你得会看， 要能看出来他为什么是不规则的啊，是因为 是因为你会发现啊，这个距离啊，他比较短啊，就是他这呢比较窄，而前边呢更长一些，所以你画出来的时候呢，这个边啊，就是这条斜线和这条斜线呢，他是个不等的啊，这是个不规则的三角形，不是等于 三角形，而且还要注意大家画的时候这条线倒过来的时候啊，中间这条辅助线就不要往上画了，画的话你要画成粗实线，你就相当于这个图里边多了一条线，所以这个呢是咱们的啊，三龙锥啊，他的三十图的画法啊，这个视频呢，咱们就录到这， 希望呢对大家有帮助。

有的同学说，老师，我一看就会做题，可是呢，考试分数总是不高。还有的同学说呀，老师，其实这个题我会做，但是算着算着总是迷糊了。下面我们来找一个题目为例，来说一说这种问题产生的原因和解决办法。 我们来看来看，这是一个正三能锥，有的同学还不会画图，那我和你一起把图再巩固一下。 正三能追的底面是一个正三角形，那么我们要画出正三角形的这一个直观图。 刚开始要求没那么严格，我们画的时候呢，你看，在地面上随便画一个三角形。有同学说，怎么能是随便画呢？因为我们的是立体 题集合，他放在平面上的样子跟平时的图是不一样的，所以等边三角形，你画在平面上这样画，那样画都可以当做是等边三角形。所以做立体集合的时候一定要， 嗯，准确的看题目条件，不能受自己直觉的干扰，你不能觉得他想想等就想等，他想垂直就垂直。那可不一定，因为呀，立体的画成直观的平面图，他还是有一定角度的改变的。所以呢，这个等边三角形，我们就这样画吧。 然后我们最好搓出他的膏，正三能锥的膏，那就是在他的底面上取一点，哎，大约就是他的中心的位置，然后 做一个高。嗯，至于这个高的高度调整一下，不要恰好让线段重在一起，我们连接三个侧棱观察一下。哎，图画的很好，什么叫很好？就是每一个面都看的清清楚楚的。呃，观察线段的时候更方便。 有同学说，万一画的不好怎么办？两个办法。第一个办法，把字母换换位置标，你看 a、 b， c， 你可以 a 送这里标，也可以啊， a 送后面标，这样你就把你需要的面暴露了出来。第二个办法呢，当然是调整 这个三棱锥的高度，高度，然后改变他的观察角度。好，我们来看一下，他说体面边长是八哦，每一条边都知道了，侧棱长是二倍跟六， 他的高，我们说立体集合的原理是把它转化成平面图形，那么我们看一看他的高和哪些线段能够组成一个三角形，不能孤立的看线段，一定要把它放到三角形或者四边形中去。 尾欧，尾欧和谁呢？当然是和侧棱了，因为侧棱的长度都有呀，我们选择一个侧棱吧。好，我选的是尾 a， 他们两个要想构成三角形，需要连接，连接谁呢？ oa， 那好的，我连接 oa， 那在这一个三角形中，根据题意可知，他是一个直角三角形，要想求出尾哦，我们一定有尾哎，那么我们需要求的是 ao， 就这个 ao， 同学们往往 容易算错，有的同学算了很久，结果把脑子算糊涂了，这就是你做题一看就会一算就错，或者是做着做着迷糊的原因。怎么办呢？两个破解办法，第一个办法，画出他的小图，平面图，我们把底面 是一个等边三角形，就真的画一个等边三角图形画出来之后，把对应的字母标在对应的位置上， 我们观察可以发现，等边三角形这个 ao， 他其实是在这个高 ad 上面的 等边三角形，我们设边长为 a 吧，这样我们可以得出一个小规律，设边长为 a， 在三角形 a d b 中，这是一个直角三角形角 b 还是六十度呢？根据 c 六十度对边比上斜边，我们可以取出 a 和呃 ad 之间的关系，那就得到了 ad 等于二分之跟三 a， 这一步有问题吗？ 没有。那好，我们知道欧式等边三角形的中心，那么也是他的重心，那么 a o 的长是欧迪长的二倍，也就是说 a o 的长是 a d 的长的三分之二，那所以呢， a o 的长就是三分之二跟三个 a， 那同理， od 的长，那就是 a d 长的三分之一，所以呢，他就等于这么多。当然了，你会发现这个 a o， 因为 o 是中型 o a o b o c， 他们的长度是一样的， 也就是说他是这个三角形外结缘的圆心，那 ao 就是外结缘的半径呀。根据正 定理，可值二二二二，等于 a 除以 c a， 那所以呢，就等于 a 除以 c a 六十度，这样是不是也很轻松的可以算出外结员的半径 r， 那就是 a o 的长呀。 好，那第二条捷径就是一些常用的结论，如果你记忆能力比较好的话，把它记下来，我们现在默念一遍，那就是等边三角形边长为 a， 那么它外结缘的半径，那就是三分者跟三个 a。 这样一来，做题的时候呀，就可以简化很久，多运算了。好，我们把数值带入进来，我们可以知道 a o 等于三分之跟三乘以边长八，于是得到 a o 在直角三角形尾 o a 中为 a 一只，那所以为 o 勾固定理， 你算出来了吗？所以呢，找到原因了，我们用办法破解它，立即结合，或者说数学问题就变得清晰起来， 然后呢，他还想求出他的斜高，那我们找到他的斜高，过尾向 cd 做垂线，那因为他是正三棱锥呀，尾 a 跟尾 d 是相等的， 那所以为 cd 是一个等幺三角形，那为 d 三线合一，所以 d 就是 cb 的终点，所以我们当初也可以直接取 c 杯的终点，得到点 d， 那根据刚 刚才的道理，要把尾 d 也放在某一个三角形中进行研究，尾 d 本身就在三角形 vcd 中， vcd 中。哎，这个三角形条件已经够了呀，因为他的三边长都有了 v b， 二百跟六，而 b d 呢，等于四，那勾勾定理 v d 就求出来了呀，原来写勾高直接就求出来了。当然呢，我们也可以 放在里面，让 v d 和 v o 组成一个三角形，我们只需要呀，得到 o d， 这样也是可以求出来的。所以呢，不要听老师讲的那个题目的具体解法，也不要看 标准答案，因为你考虑到哪里并不一定每一次都是一样的。学数学只要记住那一个原则，就是通用的方法，那就是 立体集合，求线段的长，一定要找着到这个线段所在的三角形或者四边形也行。找到了之后呢，观察这个三角形的形状，如果你有多个选择的时候，找一个比较特殊的，比如说垂直呀，等腰呀，呃，等边呀这样的三角形，把它放进去， 剩下的办法基本上就是根据高估定理算出来的。所以呢，高中的立体集合真的没有你想象的那那么难，我们一起通过题目来把这些方法呀，形成一个稳定，每一个有志于学习的同学都能得到最好的教育，关注我，一起走！

回来我们今天看一下正三棱锥和正四面体有什么区别？首先大家可以猜一猜啊，正三棱锥的范围大还是正四面体的范围大？正三棱锥。 正三棱锥指的是什么呢？是底面为等边三角形， 也就是正三角形。那侧面呢？他是主要是侧面啊，侧面是全凳的等腰三角形。 那正四面体呢？要求就更高了， 他得是是什么？是四个面对四个面都是等边三角形，而且都是全等的等边三角形，我就写全等的正三角形喽， 所以谁的要求更高？应该是正四面体的要求更好更高一些才对。所以咱们正三棱锥和正四面体，谁是更大的圈呢？ 谁包含于谁呢？应该是正三棱锥是更大的圈，正四面体是更小的圈，正四面体是特殊的 正三棱锥。对，那你有没有想对呢？所以正三棱锥我们画的时候，底面是一个正 三角形，比如说，我这么画吧，那他的侧面是全等的等腰三角形。嗯，我先画一个正面四面体，咱们然后咱们再画正三轮锥，你会有特别清晰的一个一个一个观点。 ok， 这比如说是 p， 这底下是 abc， 那一定有的是 pa 等于 pb 等于 pc 等于 a， b 等于 a， c 等于 b， c， 个个棱都相等，要求非常严格，四个面都是全等的正三角形。而我们的正三棱锥呢？我们的 p， 我可以很矮很矮，也可以很高很高， 没关系呀，只要我保证我侧棱是全等的等于腰三角形就行了，也就是侧棱相等就可以了，不一定非得等于咱们的底面变长。所以他满足的是 p， a 等于 pb 等于 p c， a b 等于 a， c 等于 b c。 但是他们这两个量一定相等吗？不，这两个量如果也相等的话，那就变成了四正四面体喽， 是吧？我们的正三龙锥只需要侧棱是相等的，底面的边长是相等的就行了，因为他的侧面是全等的。等腰三角形你又分清楚了吗？

什么叫正三轮？首先底面是什么口型，什么等边造型？还有没了？就这一个条件，对，顶点不是歪的，而是正的。正三棱锥 有两个条件，第一，底面是等于三，第二，顶点在底面的摄影必须是底面的中心。对，这样的三轮锥才叫做正三轮，要用 sabc 代表。那么这个正三轮锥的外接球的半径怎么求？ 是不？先找球心的位置？球心是一定在正中间这个高上，随便找个点啊，但是你找点的时候必须保证欧点到哪个点的距离都相等， s abc 距离都相等。 你好，我是不是两个 oaoa 啥 os 什么颜色？那么这个 r 怎么求？是应该在这个直角上升的， 这是欧一。好了，这个底边底面三角形的边长给你了，破棱长也给你，让你求这个啊，怎么求？看这个啊方等于谁啊？这是谁？哎，这不是跟三呀， 三分之跟三 a 说啥？他说跟三分之一啊，那行，没问题。是不是三分之跟三 a 的什么？这段是什么？这段就是高 高减，减谁啊？减 r 的，这里边 a 是已知的， r 是未知的，还缺个谁？ h 等于谁啊？ h 等于 b， 方再减去谁， 是不是三分之跟三 a 呢？好，根据这两个式子，是不是就可以求出这个外接球的半径？这个没有公式，如果给三正三分之一，只能这样求，那么他的内切球他的半径怎么求？我再喊个， 请问这个正桑锥的内切球的球心和外接球球心是不是一个位置？除了正四边体之外啊？就不是了，有这个点是可以无限高也无限矮，所以这个内切球的球心 大概在这个位置有内切球的球形应该到什么的距离相等呢？到各个面。那么这个题怎么来求这个内切球的半径呢？我们有两种方法，第一种方法用体积来组成，叫等体积， 昨天我们就写过一个等体积，昨天咱们讲的等体积主要是求谁呢？是不是求点子面积去？今天又说了一个等体积，其实也是求点子面积去，你发现没， 那么这个体积是啥呢？是整个的体积 v 就等于三分之一 s 表 再乘以内切球的排位。知道为啥吗？因为我们把这个三轮锥分成了四个小三轮锥，这个零点谁 oabc 为底面， sbc 是每个面为底面，是不是 切割成的时候四个小三倍往里一填，是不就成了一个大的三倍？他的高度是这个小小龙龟的高，都是内切成的，所以三分之一 s 表称啊，就是整个的体，这个整体一般 需要用到是不是底 a d 高除多久？三分之一 ss 来求，写完体积之后往这一带再除以，是不是乘三除以 s 表是不是就是彻底解决这第一种方法，第二种方法我需要用到相似三角形连接 aoe， 这个点是 b c 的长点，重点再连接 s l， 我将来过欧点向 s m 做垂线。垂足神，请问 on 是不是他的内切球的半径来证明一下？ 就是我证明 on 是要垂直 sbc 的就可以了。你看那一些球，球心是不是向面做垂线，是不是这个垂线，但是一定是内心的半径。那我现在是 on 垂直谁呢？ sm， 那我再插一个 on 又垂直于这个面内的哪条直线？ 行 bc 就可以来 bc， 为啥恒温垂直呢？ bc 垂直于 sm 就和 am 垂直线， bc 就垂直于 sam， 高温在不在里边？在是不是用在前面？垂直 所以 on， 七垂直， sm 又垂直 bc 所以 on 是垂直于 sbc 正面所以 on。 就是谁小。好了，这个相似出来了，小儿比上这儿呢。 这是三分之根塞，这是这不是后面三分之根塞吗？这是谁？六分之根塞。走等于看哪个边要这个边吧。 s o 多长？ h 减 r， 这不整个的高高，这有吗？这俩都一样，这都高数还用 b a 来表示？好了，高有了是不减 减去。小儿是不是就等 s o s o 比谁对阿三，阿三不对吗？对啊，这不是小 b 啊。对，根号下 b 方减去是二分之一的方式，这不二分之一吗？好了，写上这俩方法拿走都好，一必须选一个，一对选择第一个。