分一下龙柱、直三龙柱、正三龙柱、正三龙锥、正四面体这些特别易混的集合体吧。嗯,就是在做题的时候总结出来的经验,就是大家在做题的时候经常会搞混这几个概念,今天我们给他区分的清清楚楚,明明白白的。来,咱们先说龙柱, 咱们以三龙柱为粒子,然后咱们先看正三龙柱,大家可以在我写的功夫,咱们想一想,正三龙柱他到底是什么?是什么样的 直三龙柱,他到底又是什么样的呢?他有什么的定理定义呢?好,正三龙柱,看看跟你想的一不一样。正三龙柱的话,我们这个正指的是上下底面,是 听到你的回答是正三角形,对不对啊?然后侧棱呢?满足什么条件?侧棱是 互相平行且相等,而且垂直于底面,也就说咱们这是一个正三角形,上下底面都是正三角形, 侧棱呢?还垂直于底面的一个棱柱,而且侧面是什么型?是平行四边形吗?各个侧面,各个侧面是全等的矩形。 对,这是正三龙柱。那好,有同学说,老师我知道了,只是三龙柱就是底面是直角三角形的三龙柱。 no, 这一点是特别易错的。这个直说的不是上下底面了,这个直说的是 我们的侧棱是直的,侧棱是垂直于底面的,但是上下底面呢,不一定是直角三角形,他是任意三角形,但是上下底面是全等的, 绝对是全等的,反正你三角形没错,但是他绝对是全等的,但不一定是直角三角形。 哎,所以咱们有的条件是侧轮还是平行且相等,而且垂直于底面, 但是呢,他的底面不是直角三角形是任意三角形,上下底面是全等的任意三角形。这个直说的是什么?是咱们是站直了的龙柱站直了,直直的站在那的。好,这样的话咱们三龙柱就好说了。 三棱柱是不一定他站直了,有可能他站站直了,有也有可能我累了,我斜着站, 相信大家,嗯,现实中也有很多这样的建筑吧,我不知道大家那有没有啊我因为我现在是回县城躺平了吗?我们这县县城啊是有的,他是。嗯,在政府大楼前面有 那种大柱子这种建筑他是这样很斜很斜的插入天空的那种感觉的。冷柱他是斜斜的啊,他不是站直了的他不是站直了的,但是呢,他的侧棱仍然是平行且相等的好,现在不一定有垂直了。所以咱们的侧面变成什么了 还是句型吗?侧面是哎,听到大家声音啦是我假装听到大家的声音。 平行四边形你看当老师真的是太太会演了。必须得会演戏啊,咱也得是集十八般武艺于一身啊。好,三龙柱 侧棱平行且相等侧面是平行四边形,并且上下底面呢,也一定得是全等且平行的,他们的上下底面全都是全等且平行全等且平行的,只不过他的要求高一些。就是你的三龙柱,你给我站直了,给我直溜的站的 哎。然后正三龙柱呢,你直溜的站着还不算,就是你的上下里面必须得给我是正三角形。 ok, 给大家留一个小作业。那你会区分正三棱锥和正四面体吗?他俩 又是谁包含谁谁包含于谁的关系呢?是体大还是追大?还是追小?还是体还是体小?哎,我们下一个视频揭晓吧。
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大家知道正四面体和正三能锥的差异吗?正四面体要求他四个面都是正三角形,而正三能锥只要求底面是正三角形, 并且顶点在底面的摄影是底面正三角形的中心就可以。你这正三角形的边长是 a, 让球,他的高是多少?我们看他在底面的摄影一定是底面正三角形的中心,所以说中心有二比一的性质, 我们来求一下,现在我们知道啊,这个 bcd 肯定是一个正三角形,他边长是 a 的话, 那么这个 bm 呢?一定等于二分之二三 a, 如果他是二比一的话,所以说 bh 应该等于三分之二的 bm, 也就等于三分之二三 a, 那这一定是直角。我们有 ab 的平方, 应该等于 ah 的平方加上 bh 的平方,而这就是我们要求的这个 h, 这是他的高, 随着你有 a 方应该等于 h 的平方,再加上三分之根号三 a 的平方,所以说我们能得出 h 应该等于三分之根号六 a, 同学们,他的高就是三分之根号六 a, 我希望大家把它当成一个已知知识点来快速出结果,同学们你掌握了吧?


今天呢,我们接着来学习啊,来学习这个呢是基本几何体的啊,根据两个仕途呢来补化第三个仕途,这个呢是一个正三龙锥的啊,根据他的主仕途和浮仕途来补化他的左仕途啊左仕途。 所以这种呢是相对来说啊,比较简单的啊,我们按投影规律来画就可以了。好,首先呢,我们先来啊,高频题 好来给他画上啊,最高的点也是啊,给他画出来,因为三龙锥的话呢,我们都比较熟悉啊,不是很陌生的啊,所以大家要知道他的样子啊,是长什么样的,所以接下来呢,我们来 来看高音旗,画好了之后呢我们啊主视图啊,主视图是一个等摇三角形啊,就是这两边是相同的啊,这两边是相同的。好,接下来呢,我们宽相等对过去啊, 好,第一条线, 第二条线,不管画哪个图啊,一定是符合投影规律的啊,符合投影规律的。 好了,把这个地方呢给他倒过来 之后呢,接下来啊,我们一个一个的啊往上边画啊,先来画最顶的位置,要注意啊,中间这个丁点呢是我们最顶的位置啊,长对正啊,你会发现他是最高的地方啊,我们先把中间那个最顶的位置呢给他倒上去。 好之后呢,轻轻的画啊,对齐了之后咱们不要啊,不往上面画了啊,知道就是长宽江,等倒上来之后呢,找见这个点就好了啊, 知道这个点在这里,从这呢是对齐了上来的啊,就好了,好,这是咱们的顶点有了,接下来呢就看底边啊,底边呢,从这个点倒上来之后呢是后边的点啊, 好了啊,这个点呢给他倒上去啊,好,对应着把前边啊这个点呢这个啊这个尖的这个地方也给他倒上去 好了,画的时候呢,让他啊,一定要正好过我们的四十五度角度线啊,要不的话画的宽度就不等了啊, 好了,画一下啊, 好了,大家画的时候啊,一定要让它正好过四十五度线啊,要不画出来就不太精确了啊,好,现在有了之后呢,我们对应着大家 看啊,这个呢就是倒过来时前边的底边这个点这个呢?是啊,后边的啊,底边这个点我们从左往右看的话呢,就是能看到的是一个三角形啊,我们把它连上就可以了啊, 好,这个位置呢给他连上好了,前面呢也给他连上 这条斜线,也给他连接起来好,完了之后把这个底边呢也加粗一下啊,因为咱们画完了之后没有问题了啊,一定要是把这个图形加成粗实线的啊,加成粗实线的好, 把,下边呢咱们把做的辅助线啊,不需要的给他擦掉了,他 好了,画完了再来给大家说一下啊,大家需要注意的是什么呀?这个里边呢啊,里边它是一个不规则的三角形啊,这个左视图是个不规则的这个边啊斜边长,这个斜边短,一定要注意啊,你得会看, 要能看出来他为什么是不规则的啊,是因为 是因为你会发现啊,这个距离啊,他比较短啊,就是他这呢比较窄,而前边呢更长一些,所以你画出来的时候呢,这个边啊,就是这条斜线和这条斜线呢,他是个不等的啊,这是个不规则的三角形,不是等于 三角形,而且还要注意大家画的时候这条线倒过来的时候啊,中间这条辅助线就不要往上画了,画的话你要画成粗实线,你就相当于这个图里边多了一条线,所以这个呢是咱们的啊,三龙锥啊,他的三十图的画法啊,这个视频呢,咱们就录到这, 希望呢对大家有帮助。

有的同学说,老师,我一看就会做题,可是呢,考试分数总是不高。还有的同学说呀,老师,其实这个题我会做,但是算着算着总是迷糊了。下面我们来找一个题目为例,来说一说这种问题产生的原因和解决办法。 我们来看来看,这是一个正三能锥,有的同学还不会画图,那我和你一起把图再巩固一下。 正三能追的底面是一个正三角形,那么我们要画出正三角形的这一个直观图。 刚开始要求没那么严格,我们画的时候呢,你看,在地面上随便画一个三角形。有同学说,怎么能是随便画呢?因为我们的是立体 题集合,他放在平面上的样子跟平时的图是不一样的,所以等边三角形,你画在平面上这样画,那样画都可以当做是等边三角形。所以做立体集合的时候一定要, 嗯,准确的看题目条件,不能受自己直觉的干扰,你不能觉得他想想等就想等,他想垂直就垂直。那可不一定,因为呀,立体的画成直观的平面图,他还是有一定角度的改变的。所以呢,这个等边三角形,我们就这样画吧。 然后我们最好搓出他的膏,正三能锥的膏,那就是在他的底面上取一点,哎,大约就是他的中心的位置,然后 做一个高。嗯,至于这个高的高度调整一下,不要恰好让线段重在一起,我们连接三个侧棱观察一下。哎,图画的很好,什么叫很好?就是每一个面都看的清清楚楚的。呃,观察线段的时候更方便。 有同学说,万一画的不好怎么办?两个办法。第一个办法,把字母换换位置标,你看 a、 b, c, 你可以 a 送这里标,也可以啊, a 送后面标,这样你就把你需要的面暴露了出来。第二个办法呢,当然是调整 这个三棱锥的高度,高度,然后改变他的观察角度。好,我们来看一下,他说体面边长是八哦,每一条边都知道了,侧棱长是二倍跟六, 他的高,我们说立体集合的原理是把它转化成平面图形,那么我们看一看他的高和哪些线段能够组成一个三角形,不能孤立的看线段,一定要把它放到三角形或者四边形中去。 尾欧,尾欧和谁呢?当然是和侧棱了,因为侧棱的长度都有呀,我们选择一个侧棱吧。好,我选的是尾 a, 他们两个要想构成三角形,需要连接,连接谁呢? oa, 那好的,我连接 oa, 那在这一个三角形中,根据题意可知,他是一个直角三角形,要想求出尾哦,我们一定有尾哎,那么我们需要求的是 ao, 就这个 ao, 同学们往往 容易算错,有的同学算了很久,结果把脑子算糊涂了,这就是你做题一看就会一算就错,或者是做着做着迷糊的原因。怎么办呢?两个破解办法,第一个办法,画出他的小图,平面图,我们把底面 是一个等边三角形,就真的画一个等边三角图形画出来之后,把对应的字母标在对应的位置上, 我们观察可以发现,等边三角形这个 ao, 他其实是在这个高 ad 上面的 等边三角形,我们设边长为 a 吧,这样我们可以得出一个小规律,设边长为 a, 在三角形 a d b 中,这是一个直角三角形角 b 还是六十度呢?根据 c 六十度对边比上斜边,我们可以取出 a 和呃 ad 之间的关系,那就得到了 ad 等于二分之跟三 a, 这一步有问题吗? 没有。那好,我们知道欧式等边三角形的中心,那么也是他的重心,那么 a o 的长是欧迪长的二倍,也就是说 a o 的长是 a d 的长的三分之二,那所以呢, a o 的长就是三分之二跟三个 a, 那同理, od 的长,那就是 a d 长的三分之一,所以呢,他就等于这么多。当然了,你会发现这个 a o, 因为 o 是中型 o a o b o c, 他们的长度是一样的, 也就是说他是这个三角形外结缘的圆心,那 ao 就是外结缘的半径呀。根据正 定理,可值二二二二,等于 a 除以 c a, 那所以呢,就等于 a 除以 c a 六十度,这样是不是也很轻松的可以算出外结员的半径 r, 那就是 a o 的长呀。 好,那第二条捷径就是一些常用的结论,如果你记忆能力比较好的话,把它记下来,我们现在默念一遍,那就是等边三角形边长为 a, 那么它外结缘的半径,那就是三分者跟三个 a。 这样一来,做题的时候呀,就可以简化很久,多运算了。好,我们把数值带入进来,我们可以知道 a o 等于三分之跟三乘以边长八,于是得到 a o 在直角三角形尾 o a 中为 a 一只,那所以为 o 勾固定理, 你算出来了吗?所以呢,找到原因了,我们用办法破解它,立即结合,或者说数学问题就变得清晰起来, 然后呢,他还想求出他的斜高,那我们找到他的斜高,过尾向 cd 做垂线,那因为他是正三棱锥呀,尾 a 跟尾 d 是相等的, 那所以为 cd 是一个等幺三角形,那为 d 三线合一,所以 d 就是 cb 的终点,所以我们当初也可以直接取 c 杯的终点,得到点 d, 那根据刚 刚才的道理,要把尾 d 也放在某一个三角形中进行研究,尾 d 本身就在三角形 vcd 中, vcd 中。哎,这个三角形条件已经够了呀,因为他的三边长都有了 v b, 二百跟六,而 b d 呢,等于四,那勾勾定理 v d 就求出来了呀,原来写勾高直接就求出来了。当然呢,我们也可以 放在里面,让 v d 和 v o 组成一个三角形,我们只需要呀,得到 o d, 这样也是可以求出来的。所以呢,不要听老师讲的那个题目的具体解法,也不要看 标准答案,因为你考虑到哪里并不一定每一次都是一样的。学数学只要记住那一个原则,就是通用的方法,那就是 立体集合,求线段的长,一定要找着到这个线段所在的三角形或者四边形也行。找到了之后呢,观察这个三角形的形状,如果你有多个选择的时候,找一个比较特殊的,比如说垂直呀,等腰呀,呃,等边呀这样的三角形,把它放进去, 剩下的办法基本上就是根据高估定理算出来的。所以呢,高中的立体集合真的没有你想象的那那么难,我们一起通过题目来把这些方法呀,形成一个稳定,每一个有志于学习的同学都能得到最好的教育,关注我,一起走!

回来我们今天看一下正三棱锥和正四面体有什么区别?首先大家可以猜一猜啊,正三棱锥的范围大还是正四面体的范围大?正三棱锥。 正三棱锥指的是什么呢?是底面为等边三角形, 也就是正三角形。那侧面呢?他是主要是侧面啊,侧面是全凳的等腰三角形。 那正四面体呢?要求就更高了, 他得是是什么?是四个面对四个面都是等边三角形,而且都是全等的等边三角形,我就写全等的正三角形喽, 所以谁的要求更高?应该是正四面体的要求更好更高一些才对。所以咱们正三棱锥和正四面体,谁是更大的圈呢? 谁包含于谁呢?应该是正三棱锥是更大的圈,正四面体是更小的圈,正四面体是特殊的 正三棱锥。对,那你有没有想对呢?所以正三棱锥我们画的时候,底面是一个正 三角形,比如说,我这么画吧,那他的侧面是全等的等腰三角形。嗯,我先画一个正面四面体,咱们然后咱们再画正三轮锥,你会有特别清晰的一个一个一个观点。 ok, 这比如说是 p, 这底下是 abc, 那一定有的是 pa 等于 pb 等于 pc 等于 a, b 等于 a, c 等于 b, c, 个个棱都相等,要求非常严格,四个面都是全等的正三角形。而我们的正三棱锥呢?我们的 p, 我可以很矮很矮,也可以很高很高, 没关系呀,只要我保证我侧棱是全等的等于腰三角形就行了,也就是侧棱相等就可以了,不一定非得等于咱们的底面变长。所以他满足的是 p, a 等于 pb 等于 p c, a b 等于 a, c 等于 b c。 但是他们这两个量一定相等吗?不,这两个量如果也相等的话,那就变成了四正四面体喽, 是吧?我们的正三龙锥只需要侧棱是相等的,底面的边长是相等的就行了,因为他的侧面是全等的。等腰三角形你又分清楚了吗?

什么叫正三轮?首先底面是什么口型,什么等边造型?还有没了?就这一个条件,对,顶点不是歪的,而是正的。正三棱锥 有两个条件,第一,底面是等于三,第二,顶点在底面的摄影必须是底面的中心。对,这样的三轮锥才叫做正三轮,要用 sabc 代表。那么这个正三轮锥的外接球的半径怎么求? 是不?先找球心的位置?球心是一定在正中间这个高上,随便找个点啊,但是你找点的时候必须保证欧点到哪个点的距离都相等, s abc 距离都相等。 你好,我是不是两个 oaoa 啥 os 什么颜色?那么这个 r 怎么求?是应该在这个直角上升的, 这是欧一。好了,这个底边底面三角形的边长给你了,破棱长也给你,让你求这个啊,怎么求?看这个啊方等于谁啊?这是谁?哎,这不是跟三呀, 三分之跟三 a 说啥?他说跟三分之一啊,那行,没问题。是不是三分之跟三 a 的什么?这段是什么?这段就是高 高减,减谁啊?减 r 的,这里边 a 是已知的, r 是未知的,还缺个谁? h 等于谁啊? h 等于 b, 方再减去谁, 是不是三分之跟三 a 呢?好,根据这两个式子,是不是就可以求出这个外接球的半径?这个没有公式,如果给三正三分之一,只能这样求,那么他的内切球他的半径怎么求?我再喊个, 请问这个正桑锥的内切球的球心和外接球球心是不是一个位置?除了正四边体之外啊?就不是了,有这个点是可以无限高也无限矮,所以这个内切球的球心 大概在这个位置有内切球的球形应该到什么的距离相等呢?到各个面。那么这个题怎么来求这个内切球的半径呢?我们有两种方法,第一种方法用体积来组成,叫等体积, 昨天我们就写过一个等体积,昨天咱们讲的等体积主要是求谁呢?是不是求点子面积去?今天又说了一个等体积,其实也是求点子面积去,你发现没, 那么这个体积是啥呢?是整个的体积 v 就等于三分之一 s 表 再乘以内切球的排位。知道为啥吗?因为我们把这个三轮锥分成了四个小三轮锥,这个零点谁 oabc 为底面, sbc 是每个面为底面,是不是 切割成的时候四个小三倍往里一填,是不就成了一个大的三倍?他的高度是这个小小龙龟的高,都是内切成的,所以三分之一 s 表称啊,就是整个的体,这个整体一般 需要用到是不是底 a d 高除多久?三分之一 ss 来求,写完体积之后往这一带再除以,是不是乘三除以 s 表是不是就是彻底解决这第一种方法,第二种方法我需要用到相似三角形连接 aoe, 这个点是 b c 的长点,重点再连接 s l, 我将来过欧点向 s m 做垂线。垂足神,请问 on 是不是他的内切球的半径来证明一下? 就是我证明 on 是要垂直 sbc 的就可以了。你看那一些球,球心是不是向面做垂线,是不是这个垂线,但是一定是内心的半径。那我现在是 on 垂直谁呢? sm, 那我再插一个 on 又垂直于这个面内的哪条直线? 行 bc 就可以来 bc, 为啥恒温垂直呢? bc 垂直于 sm 就和 am 垂直线, bc 就垂直于 sam, 高温在不在里边?在是不是用在前面?垂直 所以 on, 七垂直, sm 又垂直 bc 所以 on 是垂直于 sbc 正面所以 on。 就是谁小。好了,这个相似出来了,小儿比上这儿呢。 这是三分之根塞,这是这不是后面三分之根塞吗?这是谁?六分之根塞。走等于看哪个边要这个边吧。 s o 多长? h 减 r, 这不整个的高高,这有吗?这俩都一样,这都高数还用 b a 来表示?好了,高有了是不减 减去。小儿是不是就等 s o s o 比谁对阿三,阿三不对吗?对啊,这不是小 b 啊。对,根号下 b 方减去是二分之一的方式,这不二分之一吗?好了,写上这俩方法拿走都好,一必须选一个,一对选择第一个。