四面体怎么建立空间直角坐标系

这也是一道四棱锥建立空间直角坐标系的问题。那跟上一个题它是不同的，我们来看一下， pa 垂直于底面， abcdpa 垂直于底面， abcd。 好，那我就。其实这轴比较好找，可能是 pa， 也有可能是和 pa 平行的直线，是吧？好，这个这轴先放一放啊。我们先在底面寻找一下 s 轴和 y 轴来看， ad 平行于 bcad 平行于 bc 啊，这个四边形，这两个边是平行的啊，目前看不出来他有什么作用。然后再看 ab 等于 ad 等于 ac 等于三好， ab 等于 ab 等于 ac 等 ab 好， ab 等于 ac， 说明这个三角形 abc 是一个等腰三角形，在等腰三角形中， bc 边上的中点，中线就是高线啊，中线就是高线。 等腰三角形也有中线，即是高线。一会我们就用它好，其他给我们的条件是什么呢？ 嗯，就是长度嘛，哎，给了一些长度，给了点 m 是它的三等分点， n 是 pc 的终点。如何间隙呢？ 我看到等腰三角形，或者是看到等边三角形，我就要找终点啊，找谁的终点？找 bc 的终点。我设这个终点为 q 啊。那我连接 连接 aq， 连接 aq， 连接 aq 之后，你会发现 aq 是垂直于 bc 的，因为什么来这里写 ab 等于 ac， 因为它是等腰三角形，而 q 呢？ 是 bc 的终点。所以我们能够推出 aq 其实是和 bc 垂直的啊， aq 和 bc 垂直的，然后再写，因为 bc 呀，和 ad 是，老师写错了。 bc 和 ad 是平行的， aq 垂直于 bc， 而 bc 又和 ad 是平行的，那么我们就可以推出 aq 其实是和 ad 垂直的， aq 和 ad 垂直的来，这个 角也是直角，这不是两直线平行，这叫同旁内角互补，是吧？他是九十度，他也是九十度。好，那我就找到了。其实在这个底面当中， a q 和 a d 是垂直的，那我以 a 点为圆点，哎， a q 为 x 轴， a q 为 x 轴， a d 为歪轴，那这个 j 轴就比较好说了，就是 pa 为 z 轴，建立直角坐标系。 所以我们看这种问题啊，底面是四边形的时候，如果里边出现了等腰三角形，或者是等边三角形，那我们就用中线，即使高线来做，就能找到垂直的问题，就能找到垂直的问题。

嗨，同学们好，我是思盖老师啊，那么下面我们来看空间直角坐标系，当然平面值有坐标系大家都比较熟悉了，如何去进系，如何去求坐标，那么空间又是怎么来操作呢？ 首先现在看一下他的概念哈，那么第一个要做的就是我们先会见空间直角坐标系， 当然我们空间只有坐位，通常什么呢？一般来说，这个地方有个 xo， 有个我们的 y 轴，有个我们的这个 z 轴， 那这几个哈，通常情况下我们画的时候哈，那么以这个，呃，四十五度，四十五度表示的是九十度，那这是我们的 x， 这是我们的 y， 这是我们的 z， 好吧，啊，这个地方通常是四十五度，表示的是多少？表示的是九十度，大家一定要去体会，好吧，啊，就是这个地方 啊，然后这个地方你看一下，那么我们这个地方他的这个概念是这样的，分别以什么呢？分别以这个首先选一个圆点 啊，以单位正交基底。什么是单位正交基底啊？就是第一个长度是一，就是单位长度嘛，正交基底是互相垂直啊，那么三个互相垂直的一个这个单位项量，那么 ijk 啊，那么分别以它为正方向，那么建立三条轴，那么后面我们给它命名叫 x， y， z， 是不是？好吧， x， y， z， 那么此时，那么这三条轴叫什么呢？叫我们的坐标轴，记住这三条轴叫坐标轴啊，那么这个地方空间直角坐标系就出来了好不好，那么这是我们的原点 o， 原点 o， 其中这个地方啊，欧式原点， 这个就没有问题，大家能理解，好吧，啊，那么这个叫 ijk， 什么？那么 ijk 是我们的这个坐标限量，因为我们这个叫必须要取一个单位长度，那所以说好来，我们这个叫，这有个单位长度，单位长度，单位长度，那么取了单位长度，我们后面才会好表示，是不是， 好吧，才会好表示啊，在这个地方，同时啊，那么你每两个坐标轴的平面叫坐标平面，来看着哈，来， oxy 平面， oxy 啊，啊， o y z o z x， 那么你会发现这三个平面，这三个平面把它分成了，分成了八个部分啊，那么同学们，你们可以拿把刀去用一个豆腐豆腐来切一下，但是你们实在无聊，你可以把你的橡皮擦拿来切一下，看是不是八块就 ok 了好不好？ 在这个地方啊，同时我们这个在我们的教材里面哈，或者我们大部分的辅导资料都间隙的时候用的。什么叫右手法则，右手法则啊，呃， 也就是你们可以伸出你们的右手啊，有拇指、食指、中指这三个指，那么我们的这个食指指向 x 啊，这个拇指指向 x， 食指指向这个歪走，中指指向 z 走啊，好吧，是这么一个情况，这么一个情况好不好？朝上 z， 好吧，看得清吗？啊，那么这样你们会发现来，比如这个人，我截了几个图哈， 那么都是我们平时所用到的这个右手法轴，右手法轴，好吧，那么其中一定要注意，这个是三个互相垂直的啊，三个互相垂直的，这个作为了解，那， 那考试的时候你说老师，我不想用右手法则，比如我就想以这个为 x， 这个为 y， 这个为 z， 可不可以？可以没有任何问题啊，我们的答案也不会有任何问题，那么只是我们的这个 答案啊，他基本上是以右手法则为为准好不好，但是这个最终的那个答案哈，这个是没有什么任何问题的，没不会有任何出路啊，好吧，不会有任何出入的好吧， 啊，那么下面就是求空间中一点的坐标，空间中任意一点的坐标啊，那么什么呢？它存在唯一的有序时速组 xyz， 那么 oa 项量就等于 x 倍的 i 加 y 倍的 j 加 z 倍的 k， 那么这组这个呃， x y z 这组有序数组就是我们的这个 个呃，点的坐标就是我们的点的坐标，其中 x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖坐标，横坐标，纵坐标，竖坐标啊，因为我们平面知道坐标西只有 x y 就是横坐标跟纵坐标 啊，但我们这个呢，多了一个叫竖坐标，竖坐标啊，大家有印象就行啊，那么这是我们的点用 x y， z， 那么同时哈 空间中任意一个向量，任意一个向量，你看啊，我们这个 o a 向量等于 a 向量， 那么其中啊，记住我们的这个 a 限量啊，它是可以平移的哦，限量都是可以平移的啊，如果他以前的原点不，这个以前的起点不在原点，那么我们可以把它起点移到原点的位置啊，平移，那么此时我们就可以得到一组有序 数组 x y z 使 a 限量等于这个东西，那么这个有序数字 x， y， z 啊，也叫做我们空间直角坐标系的这个坐标，那么记住 a 等于它 啊，这是这个地方，当我们一会这个就通过我们的棋让大家直观的来感受一下吧。第一个如何去求点的坐标？第二个如何去求向量的坐标，好不好？来展示一下， 现在看，现在看第一个哈，他说画出一个正方体， a， b， c， d， a， b， c， d， 好，来画一个正方体啊， 来，这是一个正方体啊，呃，我们来看这是 a， b， c， d， a 一 b 一 c 一，第一好，标出来了啊，那么这个时候哈，我们正方体发出来了，首先第一个，我们要先先找什么呢？来找我们的对应的这个 ijk 三个正交 限量是不是？那么这个地方怎么，是不是要三个互相垂直的地方？那正方体它自带三个互相垂直的，你看，那么比如我们以 a 为原点， a 为原点，那么这个地方垂直 啊，来这个地方也是的，那么所以说我们可以以 x， y， z 建立我们的对应的字的坐标线啊，好吧， 那么其中他说什么呢？以这个 abadaaeabadaa， 刚好就是这个地方哈，分别为这个，呃， xyz 啊，好吧， 那 x， y， z 建立坐标系，那么同时取正方体能长为单位长度。什么是单位长度？那也就是长度是等于一，长度是等于一的，这叫单位长度啊，建立空间直角坐标系啊，折 点点， ac 的坐标分别为多少啊？那首先来说 a 点的坐标， a 是圆点啊，就本题来说， a 是圆点呢，那圆点的坐标那是零零零，这是第一个 啊，那么 c 点的坐标，那么我们接着标嘛哈，比如我们这个 b 点的坐标，那应该是一零零，第一点 坐标是零一零，大家一定要记住 x 走上的所有的点，那么我们的这个横坐标都是这个为具体的值，其他两个都是零啊，那么 y 走上点，除了这个撞坐标 之外，其他的两个都是零，那么 z 则上的点，你看啊，那么除了这个什么，这应该是零零一，除了这个竖坐标 啊，那前两个都是零啊，这是这个地方一个细节哈，来，十一点，怎么表示？你看啊，十一点，那么你们可以把它画成一个平面，字要做变细，他其实是这个一一零 啊，你也可以理解成写从原点先向这个 x 走移动一个单位，再向 y 走，移动到一个单位啊，来向这移动一个单位，再 像这样移动一个单位，那么就是我们的一零。好吧，啊，那么所以说哈，这是一一零。来 c c e c 的终点， c e c 的终点在这个位置，在终点位置啊，那同学们可以怎么想到？你看，那就是 c 点的坐标， 再向 z 走移动二分之一个档位啊，所以说他的坐标应该是多少？应该是一一来，这是 c 的坐标，然后向这个 z 移动二分之一，而且是他的正方向，所以说就是我们的这个一一二分之一就没有问题了， 好吧，然后最后再切一个，他说这个 a a e b e b a a e b b i a a e b b， 那就是左侧面他的这个对角线的焦点，就是这个地方来看，连接对角线， 那这是我们的这个焦点坐标，这是我们的焦点坐标。好吧，那同学们可以怎么去思考了，当然你们可以 去怎么办呢？就是第一个可以说是这个，这个点为 ab 的这个终点， ab 的终点 啊，可以用终点坐标来求，好吧，你也可以直接去平移啊，都是可以得到的。那么怎么办呢？你看一下，来，我们把 be 的坐标求出来， be 的坐标应该是 一零一啊，同学们一定要去看明白哈，就是先去从 a 点，从 a 点先向 b 点移动一个单位，再向上移动一个单位啊，在 y 轴上面是没有移动的，所以说 y 轴这个地方是零。 好吧，好，那么此时 a 点就是原点，零零零，是不是？那就是这两个的终点。记住，终点坐标怎么求？就是相加除二，记住，终点坐标就是相加除二，那就是 a 跟 b 一相加除二，那所以说就是二分之一，零二分之一 啊，就是这个地方啊，就很顺利成章就出来了，这是第一个啊，同学们去看一下，要会求坐标，坐标必须要会求， 来，再来一个哈，他这有个正四能锥。什么是正四能锥啊？同学们啊，底面为正多边形底面为正多边形啊， 来，先画一个，这个正式能追出来哈。 来， p， 这个，这是 a、 b、 c、 d。 好，底面边长，他题目说了，他说是四侧能长是十， 那么建立空间之后，作为系，写出各点点的坐标，那通常怎么建哈，来，同学们说一下，方法也是有几种呀，每，当然我们每个同学可能建系的方式不一样，你可能得到的答案就不一样， 但是我们更多的方法跟大家强调一个东西，就是你尽量使更多的顶点落在我们的直角坐这个坐标轴上，使更多的顶点落在我们的坐标轴上啊，因为底面，你看底面 a、 b、 c、 d 肯定是个正方形， 那么这样怎么间隙更好了？我个人建议这么来见，其实是不错的啊。这个地方来连接 bd， 这是一条连接 ac， 这是一条，那这是一个垂直的，好吧？那么我们可以以这个为，哎开始这个为 y。

空间项亮与地铁机合结合的关键点就是空间直交坐标系的简历如果遇见正方体，长方体，那没的说，右手发则简历如果遇见的体面是三角形呢？该怎么建立比较合适？我们来看一下， 是能追踪 ab 垂直与平面 bce， 那么我们就知道 ab 是合适的， z 轴的人选， cd 也垂直于平面 bce， 哦，这个呀，也与平面是垂直的，那么我们就知道了， bce 平面肯定是我们选择的 xoy 平面。然后再来观察， ab 等于比喜等于 c， e 等于二倍的 cd 等于二哦，这些线段的长都给了，也告诉我们底面的三角形 bce 是一个等幺三角形， 我们知道等幺三角形，他还说了叫 b， c 一等于一百二十度，那么两个小角都等于三十度。要想建立 xoy 平面，那必须需要一个垂直关系， 等腰三角形中最最重要的位置关系是什么呢？对，三线合一。所以呢，遇见等腰三角形的时候，坐标系就这么近区必意的终点。 然后呢，以 ocbe 分别为 x 轴和外轴，这样一来的话， xo 外平面确定了，那 z、 a 轴怎么办呢？那只能过欧做 ab 的平行线，这条直线就是 z 轴。这样做的好处是八 bce 尽可能多的点 都在坐标轴上，坐标比较方便。而空间中的点是不用担心的，因为 ab 垂直于这个平面，所以 a 的坐标垂直的落下来就在点 b 的身上，所以点 a 的 x 坐标外坐标与点 b 的 s 坐标外坐标是一样的， 点 b 的坐标方便了，那么点 a 的坐标也方便了。所以呢，这就是建立空间指标坐标系的一个小技巧，那就是照顾尽可能多的点在坐标轴上，当 xoy 平面中不是正方形，长方形或者 使其他的特殊图形的话，尽量的找图，其中自带的垂直关系，等压三角形最最重要的性质，那就是三线合一，那这样一来，我们就可以写出我们需要的那些点的坐标。根据题 要证明的是两个平面垂直，我们都知道需要找到这两个平面的发项量，一观察发现平面 ade， 我们写出两个项链， 我们写的是 a， e 和 da， 那是平面 ade 的法相量 vn， 那它的坐标就可以设为 xyz， 也可以设为 abc， 这个地方要注意，因为呀， 我们这上面的人家是一刷起，所以说呢，写的是项链，恩，在我们写的时候，脾气图上要扛上小箭头，他在表示是项链 啊。根据啊法相量的定义可知，相量 a 与 ae 垂直与 da 垂直，然后把他们的坐标带入进来， 就得到这么一个方程，我们一观察就发现了这个方程还可以化解一化解发现负二与负二约掉了， 于是就变成跟三 b 加 c， 跟三 b 加 c， 两个狮子一合并就可以得到 a 等于零， a 等于零，二跟三 b 加 c 等于零。在这种情况下， bc 是不确定的，我们只需要给 bc 中的一个扶一个值，另一个就确定下来了，所以呢，法项量不为一，我们取一个我们方便的就可以了， 我取 b 等于一，那这样一来的话， c 就等于负根三，于是就得到了平面 ade 的一个法响亮。 我们再来观察另一个平面 abe。 在我们做题的过程中有这么一个小经验，那就是两个平面往往只需要求一个平面的发项量就可以了，另一个平面一般都是一个特殊的位置，我们来观察要平面 abe， 我们会发现 ab 恰好在 yoz 平面上，既然他在 yoz 平面上， 那这样一来的话呢，我们就知道了，他的一个发箱量与 x 这贡献，那与 x 这贡献的发香量，最最简单的就是一零零。所以呢，我们做题的时候注意观察，往往两个发香量只需要求一个，另一个呢是特殊位置。 好，这样一来的话，我们就得到了另一个发小量。有同学说呀，我观察不出来，观察不出来怎么办呢？你观察 beboe， 他就是歪轴呀，都在歪轴上， boe 都在歪轴上，而 ab 他垂直的 是 xoy 平面，那所以呢， ab 当然垂直于 x 轴了，所以呢，刚才做 z 轴的时候，又做的是 ab 的平行线，于是我们就知道了 abe 一定在 yoz 平面上，那于是我们就得到了 两个平面的发项量，然后要求证明两个平面垂直啊，就是证明两个发项量垂直啊，我们来看看两个发项量的数量几，嗯，等于零，那所以两个发项量垂直了，就得到两个平面垂直， 怎么样，你学会了吗？更多的空间项链与立体机合问题，请看下笔。

同学们大家好，我是北京市第二十五中学的数学教师刘薇，今天很高兴与大家一起探究学习。 在前面的课程中，我们学习了空间项链基本定理，建立了空间基底的概念，进而可以用基底来表示空间中任一个项量，把空间项链的运算转化为基项量的运算。 所以基底概念的陨入为几何问题代数化奠定了基础。在平面相量中， 我们以平面直角坐标系中的与 x 轴外轴方向相同的两个单位项链 ig 为基地，建立了项量的坐标与点的坐标的一一对应关系， 进而把平面限量的运算划归为数的运算。类似的，为了把空间限量的运算也划归为数的运算，我们能否利用空间限量基本定理和空间单位正交基底建立空间直角坐标系， 进而建立空间项链坐标与空间点的坐标的一对应关系呢？今天我们就来研究这个问题。首先，我们来看问题一，类比平面直角坐标系，你能猜想如何构建空间直角坐标系吗？ 同学们先回忆一下，平面直角坐标系包含哪些要素呢？类比到空间直角坐标系，它包含 那些要素？这些要素又需要满足什么条件呢？同学们知道，坐标系包含三要素，在平面直角坐标系中，他们分别是坐标原点欧、 互相垂直的两条坐标轴、 x 轴和外轴以及单位长度。那么类比到空间直角坐标系，哪些变了，哪些又不变呢？ 是的，同样的有坐标原点欧和单位长度，但是由平面到空间，由二维到三维， 现在我们需要几条做标轴了呢？他们的位置关系又如何呢？对，我们现在需 要三条两两互相垂直的坐标轴，你能否给出空间直角坐标系的定义呢？ 我们利用单位正交基底的概念，可以这样理解平面直角坐标性， 在平面内选定一点欧和一个单位正交基底，项链 ij， 以欧为圆点，分别以项链 ig 的方向为正方向，以它的长为单位长度建立两条竖轴， x 轴，外轴。 这样我们就建立了平面直角坐标系 oxy。 那么内比到空间直角坐标系呢？对，我们现在在 空间选定一点欧和三个级响亮，怎么给他们命名呢？可以叫做项亮 ijk。 那么他们的位置关系和长度又有什么要求呢？ 是两两互相垂直的单位项链。同样的，以欧为原点，分别以项链 ijk 的方向为正方向， 以他们的长为单位长度建立三条竖轴， x 轴、外轴和这轴。 这样我们就可以得到空间直角坐标系的完整定义了。在空间选定一点欧和一个 单位正交基底，项链 ijk， 以欧为原点，分别以项链 ijk 的方向为正方向，以他们的长为单位长度，建立三条数轴， x 轴，外轴， z 轴， 他们都叫做坐标轴。这时我们就建立了一个空间直角坐标系 oxyz， 其中 o 叫做圆点， ijk 都叫做坐标项链。通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，他们分别是 xoy 平面、 yoz 平面和 zox 平面， 他们把空间分成八个部分。那么空间直角坐标系我们该如何画呢？ 我们在平面直角坐标器画法中，是让在平面内画两条与单位正交基底向量方向相同的竖轴， s 轴外轴，他们互相垂直，远点重合 画空间直角做标记，就是在 x 轴外轴基础上再画一个与他们都垂直的这一轴。 所以我们不妨借鉴立体几何当中学习的斜二策划法。让 x 轴与 y 轴所乘的角为一百三十五度或四十五度，即 角 xoy 等于一百三十五度或四十五度，让这周垂直于外周，即角外 oz 等于九十度。 现在请同学们举起你的右手掌心向上，像我的图上这样，让右手的拇指指向 x 轴的正方向，食指指向外轴的正方向， 中指指向这一轴的正方向。这个时候我们就称这个坐标系为右手直角坐标系。今后我们建立的坐标系大多为右手直角坐标系。问题二，在平面直角坐标系中， 每一个点和项链都可以用一对有序实数，即他的坐标表示。对空间直角坐标系中的每一个点和项量是否也有类似的表示呢？ 同学们先思考一下，空间中任意点 a 与哪个项链的坐标相同。 在平面直角坐标系中，点 a 的位置由项量 oa 唯一确定， 类比到空间直角坐标，其中我们可知点 a 的坐标与从原点出发的项链 oa 的坐标相同。 由此确定空间直角坐标系中点的位置，可以从确定以之对应的以圆点为起点，该点为终点的向量坐标 入手。那么，在空间直角坐标系中如何定义向量 oa 的坐标呢？我们不妨依然从熟悉的平面向量的坐标表示来进行类比。 在平面直角坐标系中，取与 x 轴、外轴方向相同的两个单位项量 i j 为基底，由平面向量基本定理，由且只有一对实数 x y， 使得项量 a 等于 x 倍的项量 i， 加上外背的项量 g。 我们把有序数对 xy 叫做项链 a 的坐标记做项量 a 等于 xy。 那么类比到空间直角坐标系呢？取与 x 轴、外轴、 z 轴方向相同的单位项链 ijk 为基地，由空间项量基本定理，存在唯一的有序实数 xyz， 使得项链 oa 等于 x 倍的项链 i， 加上 y 倍的项链 j， 再加上这一倍的项链 k。 所以在单位正交基底项链 ijk 下，与项链 oa 对应的有序实数 xyz 就叫做点 a， 在空间直角坐标系中的坐标 记做 xyz， 其中 x 叫做点 a 的横坐标， y 叫做点 a 的纵坐标，这叫做点 a 的竖坐标。那么对于给定的项量 a， 又该如何定义他的坐标呢？ 由于空间项量是自由的，我们在空间直角做标系中可以做项链 oa 等于项量 a。 由空间项量基本定理，存在唯一的有序实数组 xyz， 使得项量 a 等于 x 倍的项量。二，加上 y 倍的项量 j， 再加上 z 倍的项量 k， 有序实数组 xyz 叫做的项链 a 在空间直角坐标系中的坐标。这个式子 我们可以简介为项链 a 等于 xyz。 这样在空间直角坐标系中，空间中的点和项量都可以用三个有序实数进行表示了。 问题三，在空间直角坐标系 oxyz 中，对空间任意点 a 或任意的项量 oa， 你能借助几何直观确定他们的坐标 xyz 吗？ 同学们看这个图莫点 a 分别做垂直于 x 轴、外轴和 z 轴的平面，依次交 x 轴、外轴、 z 轴与点 b、 c 和 d。 我们可以证明项链 oa 在 x 轴、外轴、 z 轴上的投影项链分别是项链 ob、 项链 oc 和项链 od。 有图可知，项链 oe 等于项链 ob 加项链 oc， 而蓝色的项链 oa 等于项链 oe 加上项链 ea， 这样我们就可以把项链 oe 替换成项链 ob 加项链 oc， 再用途观察项链 ea 又等于项链 od， 这样我们就可以把项链 oa 用他的三个投影项链表示出来了。 下面我们就可以很容易地得到设点 bcd， 在坐标轴上的坐标为 xyz， 项链 oa 就等于 x 倍的项量 i 加上 y 倍的项量 j， 再加上 z 倍的项量 k， 即点 a 或者项量 oa 的坐标就是 xyz。 我们来总结一下思路，目前我们有哪些方法可以用于确定空间中一个点 a 或者任一个项量 a 的左标呢？ 我们发现，无论是求点 a 的坐标还是给定的项链 a 的坐标，都可以划归为求项量 oa 的坐标。而球项量 oa 的坐标我们有两种基本的解题思路，一种是应用空间项量基本定理确定坐标，另外一种是根据几何直观确定 项链 oa 在各个坐标轴上的投影项链，从而得到坐标。下面我们应用知识解决问题， 如图，在长方体 oabcd 撇 a 撇 b 撇 c 撇中， oa 等于三， oc 等于四， od 撇等于二。 以三分之一项量 oa， 四分之一限了 oc， 二分之一限了 odpr 为单位，正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 oxyz， 请同学们写出点第 b 撇 c， a 撇、 b 撇四个点坐标，再写出项链 a 撇、 b 撇、 b 撇 bapcp 和 acp 的坐标。同学们有没有疑问？ 题目条件中的三分之一限量欧 a、 四分之一限量欧 c 和二分之一限量欧 d 品为什么是单位证交基底呢？ 有图可知，相量 oa 在 x 轴上，并且 oa 的长等于三，所以三分之一相量 oa 的膜就等于那。同理，四分之一线的 oc 和二分之一线的 od 撇的膜也是一， 当然我们就得到三分之一项 oa 和四分之一项 oc， 二分之一项链 od 撇确实是单位正交基地。下面我们来解决第一问，同学们 先回忆一下求空间点的坐标，我们有哪些基本的解题思路，基本上是两种思路，一种是根据空间限量基本定理，另外一种是根据几何直观。 那我们观察图形，我们看一下这小球的四个点，它的位置又有什么不同呢？我们可以看到点地撇和 c 是在做标轴上， 用单位正交基底分解更简单，而点 a 撇和 b 撇是在空间，所以我们考虑用企和直观的方法会更便捷。 我们来看点地皮，因为它在这轴上，并且欧地皮的长等于二。我们根据空间项量基本定理就可以得到项链欧地皮等于零倍的项量 i 加上零倍的向阳 g， 再加上两倍的向， 所以点地痞的坐标就是零零二。同理点 c， 他的坐标就应该是零四零。 我们看一下这两个点的位置以及他们相应的坐标。同学们有没有发现，当点在坐标轴上的时候，他在其他两个坐标轴上的坐标就是零，掌握这个规律会帮助我们比较容易的确定一些点的坐标。 下面我们再来看点 a 撇，它在 x 轴外轴这轴上的摄影点是谁呢？我们分别过 a 撇点做 x 轴 外轴和这轴的锤面，可以得到他在坐标轴上的摄影，分别是 ao 和地平。这三个点的做 标是三零二，所以点 a 撇的坐标就是三零二红里点 b 撇做 它垂直于 x 轴外轴和这轴的垂面，可以得到它在坐标轴上的摄影点是 a、 c、 d 撇。根据这三个点坐标是三四二，就可以得到点 b 撇的坐标是三四二。 我们来总结一下思路，由几何直观可知确定空间中一个点坐标，我们需要先找出该点在各个坐标轴上的摄影， 在根据空间下量基本定理得到点坐标，所以可以总结步骤如下，第一步，过点分别做各个坐标轴的锤面。第二步， 确定各点在坐标轴上的摄影的坐标。第三步，得到空间点坐标。我们再来看怎么求解空间给定向量的坐标呢？ 我们观察一下几何题，有没有过远点的项链与索求的项链相等呢？由长方体我们可以得到项链 a 撇 b 撇就等于项链 oc， 项链 b 撇 b 就等于副的项链 od 撇。所以项链 a 撇 b 撇的坐标就等于项链 oc， 坐标等于零四零， 而项链 b 撇 b 的坐标就等于项链 o、 d 撇的坐标等于零零负二。我们再来看一下项链 a 撇、 c 撇和项链 acp， 没有棱所在的项链与他们相等，那么又该怎么办呢？我们由图可以得到项链 app cpr 就等于项链 app dp 加上项量 dpcp， 而相量 appt dp 又可以把它替换成负的项量 oa。 项链 d 撇 c 撇可以替换成项链 oc， 这样我们可以计算出坐标是负三四零。 我们再来看项链 acp， 它可以写成项量 ac 加上项量 ccp， 而项量 ac 又可以写成副的项量 oa 加上项量 oc， 而项量 ccp 又可以替换成项量 odp， 这样我 我们就用投影项链来表示他了，计算出他的坐标就是负三四二。我们再来总结一下思路，通过分析几何体的结构特征，将所求的项量写成七项量的核，从而得到空间项量的坐标。问题五， 回顾本节课的学习过程，我们是如何得到空间点 a 和空间向量的坐标表示的 类比平面直角坐标系。我们建立了空间直角坐标系，根据空间销量基本定理， 在单位正交基底下得到空间直角坐标系中的每一个点和项链都存在唯一的有序实数组，与之对应，从而得出空间点和空间项量的坐标表示。问题 六，如何求空间点或项链的坐标呢？我们有两种基本的解题思路，一种是根据空间项量基本定理，将点或项量用单位正交基底项链 ijk 来表示， 他们的系数就是点或者项链的坐标。另外一种我们可以根据几何直观确定点对应的项链。在各个坐标轴上的投影项链，根据投影项链的坐标得到点或项链的坐标。 通过本节课的探究学习，我们体会到类比思想在数学研究中的重要作用，它引领我们从二维的平面直角坐标系拓展到三维的空间直角坐标系，将空间点和空间限量与有需数 组建立一一对应的关系，实现了形象术的转化，提供了解决几何问题的新思路。希望同学们在今后的学习中也能勇于猜想，大胆尝试，成为推动科学发展、社会进步的一份子。 最后给大家布置两道课后作业题， 谢谢观看，祝同学们学习生活愉快！

大鹏老师不讲秒杀，只讲实战，最有效的方法从这节课开始啊，我直接呢讲一下如何间隙，如何用间隙的方法来解决一切问题。那咱们先来看这个实体， 第一问呢，他想要正 cd 垂直于这个平面，第二问呢，求二面角于先知。第三问呢，验证直线 aj 是否在平面内 现。现在呢，我来给大家说一下啊，都用什么方法？他有一些固固定的步骤。第一个，第一步就是说你想研究这个空间项链啊，咱们务必要间隙，所谓的间隙就是找三条两两互相垂直的直线， 按照逆时针的顺序定义为 xyz 轴，然后呢，求出各点的坐标 啊，各点的坐标又分为底面点坐标和空间点坐标，分别都怎么求？一会咱们会介绍。第三步呢，就是用定义来解决问题啊，里边还会掺杂一些发现量。咱们现在呢，先来看一下这个题的第一问， 想要正一个线和一个面垂直，那咱们就得马上能知道他的定义是什么。我有两个方向可以去正。第一步， cd 要想垂直这个面，我可以用 cd 项链乘以 pa 项链等于零， cd 项量乘以 pd 项量等于零， 或者是乘以 ad 下的，这都行，只要相乘得零了，他就垂直两条线，再强调他俩相交一点 p， 这样就整完了。这是第一招。第二招呢，我可以去研究一下这个平面 phd 的 法项链啊，法项链就是垂直皮底的这个面的一个项链，那么 cd 他能做到垂直于 这个平面，那他就一定和法限量是平行的关系。我可以先去求法限量，然后呢再去上 cd 限量等于法限量的一个倍数，那这样的话，咱们也可以说明线和面垂直。 知道这个定义了，咱们开始啊，动手去研究一下这么几个点坐标，这个里边呢，一共就有这么四个点坐标，那我现在我就开始间隙啊，来求一下点坐标。第一步， 这个题间隙比较简单，他说呢，这个 ad 和 cd 是垂直的，然后 ad 还平行于 bc， 说明比 里面是一个直角梯形，然后呢还给咱们 pa 能垂直这个面，那我就定义为 pa 啊，他就是这周， 他俩能垂直，这个就相当于是一个直角梯形，我可以把这个 adad 在这块呢，咱们再做个辅助线，他有一个关系啊，这个 bcbc 是四， cd 是三， ad 也是三， 那咱们就在这块啊，找到一个和 ad 相等的点，取个 h 让底下这些啊，他都是散，这就是个正方形，这个 b h 就是一，所以这个细就出来了，我直接拿 a h 当 x 轴，拿 a d 当 y 轴往上去 a p， 到这周这个戏啊，咱就见完了。剩下的就是求点路标的问题。求点路标，我建议大家啊，尤其是不是那么特别熟练的同学，一定要善于把底面图形给他抠出来画，他是个直角梯形，咱们给他画出来就是这个效果， 他是斜二侧画法，咱们就正常画。然后在这个地方咱们也见一个细，哎，看着更清晰。 x 轴、 y 轴我都找到了，现在想要求任何一个点坐标啊，都易如反掌了。比如说在 x 轴上的这个 h 点坐标呢，他 应该就是三零零啊，在哪个轴上哪个轴有数，剩下的两个轴都是零，西点坐标三三零，地点零三零， b 点坐标，他是在这个位置啊，咱们看 b 点的球法，应该是向 x 轴引垂线，垂到 h 处， a h 的长度，他就叫做 x 坐标。嗯，在 x 轴的结距，他是三同里过 b 点向歪轴引垂线， 他垂到了歪轴的屁股后边，所以他应该是个负数，这个长度是一，这边是一，所以他应该是三负一零。一定要注意啊，他垂到哪，哪个点到远点的距离，这个东 才是他的歪轴的坐标，所以他是三负一零。那这样的话，这个坐标啊，我就还差个点劈点劈提了，也给了这个 ap 的三，所以劈点在这轴上，他就是零零三。 嗯，这题基本上结束，我就可以把这个题啊，所有的东西都可以算出来了。我，咱们用哪招都行啊，我就这样吧，我现在用这个题给大家顺便讲一下法限量的啊。球法，咱们用刚才我讲的第二招来算一下， 想要求 pad 的发现量 p 点坐标知道零零三， a 点是零六零， 地点的坐标零三零。正常的反应上的球法呢，可以写成 叫 pa 项量，他等于末减出零零负三， pd 项量零三负三，咱们去设法限量，等于 xyz 法限量，可以做到垂直这个面，那他就能垂直这面里的两条线分别得零，这块一算就是 x 乘零啊。咱这就直接说吧，负三 z 的零，下边这个就是三 y 减三 z 的零。

那么我们就去看第三组题型，就是一个什么呢？面面垂直，然后也是需要做辅助线的。 看一下第三种题型，有一个面垂直于底面，也需要做辅助线来见细如图，四能追 pabcd 三角形， pab 是边长为四的正三角形啊，边长为四，你说这个是 四四四四，并且 p a b 垂直 abcd， 这个平面 ef 分别是终点，让你间隙求点坐标，那这个间隙啊，没有哪个点 可以作为圆点，我问他，我们啊可以找出一个点来，在正面，其实找点非常好好找，我们 可以取 ab 的终点，取 ab 的终点，我们以他为坐标原点建立直角坐标啊，空间直角坐标系， 那为什么取欧点呢？因为你取他的欧点的时候，连接 po 说 po 垂直这个里面啊，垂直 abcd 啊，那这样的话，我们又回到前面的一个考点二了，所以我们取他的终点为 o 点，连接 op， 以他为 axle， 然后呢，以 o b 为歪走。当然我们正面还是需要过 o 点做 b c 的一条平行线， 或者说连接 cd 的终点，我们设为点 q， 然后呢，以 oq 为数轴， j 轴 建立空间直角坐标系，那这样建立的话，我们点坐标就非常好写了，来写一下啊，当然为了好好写一点，你可以把底面继续画出来，底面是一个什么呢？正三角形 里面是一个正三角线，正面是 a、 b、 p， 我们现在是以 ab 的终点为圆点建立空间，只有坐标系这边是 x， 这边是 y， 所以我们就写出来 o 是为圆点， a 点坐标，他是落在 y 着上中立，正面是边长为四，所以他是零发零 必点坐标是零二零屁点坐标，我们还是要算一下根号三零二十二，根号三 零零啊，因为这个这边是二，这边是二，刚好三 好，那其他点都就非常好写了。比如啊， c 点坐标， c 点坐标是 b 的上面四个单位，所以是零二四，地点坐标也是零发四 一点坐标，一点坐标是 ac 的终点，你可以利用 ac 的终点坐标公式去处理，当然你也可以直接因为他正好是落在 c 轴上，所以是零零二， 还有个 f 点坐标， f 点坐标，我们可以用 bp 的一个终点坐标公式，所以是根号三 一零，因此我们就把这所有的点都可以写出来。他的坐标那稍微减 验一下，比如检验一下这个 ac 的长度等不等于四倍跟二，你可以带过去算一下，是正好等四倍跟二等好，这是第一个。

哎，各位同学，在高二数学立体集合里面，我们经常用嗯坐标法来解决，嗯，那个线线的线，线线的角问题，线面角问题和二面角问题，这样我们经常建立坐标系， 简直做游戏呢，它是一个重点内容，我们经常呢会遇到不同的类型和不同的图形， 这我们呢今天做一个小总结，一个是就墙角的模型，就里面有三线两两垂直的情况，常见的集合体也是长方体， 或者有线面垂直，且底面有两线垂直这样的结合体。你比方说一个长方体，如图，我们经常以 da 为 x， 以这个 dc 为外中，以这个 dd 一呢为这中建立呢，都要写。那第二个是一个三棱锥， 那 pb 呢？垂直底面鼻音呢和鼻涕垂直，我们呢就以 ba 为 x 柱， bcvy 中 bp 的 vig 中建立呢，空间制造作比较细， 那这个呢？什么也是皮垂直底面底面是个什么呢？是一个直角梯形， 那么 bad 呢？是直角，那么就以 ab 为 x 中，以 ad 为外中，以 ap 呢为这种建立呢？空间直角 就比较细，那这个情况呢，就是这个梯里面没有墙角，我们需要做出墙角的，这时候呢，我们呢里面往往有面面垂直，嗯，地面呢没有线线垂直情况， 你比方这个几何题 p a 呢？嗯，吹这把，吹这这个，嗯，里面，那么 abcd 是个等腰梯形，那这种情况我们怎么减细呢？我们会就这样这样减细过点 a 做这个 ad 的垂线，以 ad 呢为外轴，以 ap 所在直线呢？为啊这轴建立直，要做学习，那有些时候呢，我们也可能呢，呃，用什么用其他的方式，这是 常见的，那这个是呢，就是正三棱柱，这个时候呢，我们呢你看这里面，我们就是看怎么间隙更好呢？ 咱要建有一个原则，就是点尽可能的落到坐标轴上，或者说坐标平面上，这样的我就起码就起 这个 a 字中点 o 位，坐标远点，然后呢过欧呢，做这个 做侧楞的平线 美颜，记住，让底面是一个底面，是一个灯边三角形，我们呢就什么给他个高， 你 x 轴以那个 ac 难为啊，歪轴按这样间隙，是的，所有点要么在嗯面上，要么在左边轴上， 这呢，这是一个躺着的一个正三能，嗯，正三能住，这怎么办呢？我们来看这个 abc 和这个顶和这个面 aaeb 一 b 是垂直的，咱呢又去试一下，去 ab 的终点看，知道这个 ceo 是垂直于地面的，所以呢，以 ceo 呢为这种， 然后呢以 ab 呢为矮的轴以过欧平行于侧等的，现在为啊外轴建立呢，空间直角啊，随着细， 那再用这个，是呢这个结合体，这个四棱锥，嗯， pad 垂直面 abcd， 且 pd 呢为等比较正三样形， 嗯，四边形呢？ abc 呢为菱形，切角呢？六十度，这么一个结合体，这样出现面面垂直，出现面面垂直呢，咱知道，但这个区他是终点 o， 这个皮欧 就垂直于 ad， 根据面面垂直，所以呢 po 就垂直于这个地面，再呢以 po 所在直线为这个，记住，那么只要有六十度的话，那么 abd 是一个灯吗？是一个 东边三个行，所以呢，这个 ob 呢又垂直于 ad， 正好呢，现在吹两个吹直，以 oa 呢和 ob 呢吹直， 咱以 ov 呢为 x 轴，以 ob 呢为外轴来建立呢？嗯，直角最要细，这是这个。呃，常见的。那最后一个呢？是一个，这是一个 正三正锥。这怎么建呢？咱知道正三正锥呢，顶点在地面的摄影。哦，是等边线的中心，所以呢，咱以哦 a 呢 为这种。那下面怎么取呢？你要这样取，那知道那个，这就是那个这个 oc 垂坠的 bd。 好，然后呢，过偶呢再做 bd 的平行线， 你说以 oc 为 x 中以这个过欧且平衡于嗯比例的线，因为这是吹 直吗？他要垂直为外轴，这里呢空间直角做比较细。好，这是我们对这个常见的一些立体图形的直角做一些建法。希望同学们呢可以让自己复习一下。好，今天我们说到这里。

同学们好，我是董老师。那有部分同学已经进入空间立体集合， 在学到空间项链的时候，这里面会有一个重要的题型，或者说有一个重要非常重要的环节，就是怎么建立空间直角坐标系以及找点坐标。那咱们这节课就是来建立， 对于一般不常见的一些图形，如何建立空间直角坐标系，以及如何找点坐标，特别是找点坐标，这是非常重要的一个东西。 对于一些协助题，他的点坐标可能不会直接看出来，因此我们是需要通过一些计算把它找出来的。 好，我们先来看正面，我们总共分为三种题型，第一种就是直接间隙，在题目图形在图形中有三条两两垂直的直线，是可以直接间隙的， 或者有一条线面垂直，这是第二种题型，等会会讲。以及第三种题型，就是有面面垂直啊，有面面垂直，那么这三种题型我们会 基本上会讲个两一到两题。那我们现在看第一个，如图，在直三人住，那说了是直三人住 底面， a， b， c， c， a 是等于 c， b， 正面是一，这边实际等于叫 biz， c， a 是等于九十度 a， a 一是等于二 m， n 分别是终点啊， 那嗯嗯，我们其实等会不用管，直接等会利用终点坐标公式就行了。那你建立适当的空间直角坐标系，将他所有的点写出来，那这个题是非常好建立的， 我们直接以点 c， 为什么呢？以点 c 为三条的能 c a， c， b， c， c 都是两两垂直的，因此我们只需要以 c 点为坐标原点，建立空间直角坐标系就行了。那正面咱们写一下，我们以 c a 为 x 轴，注意我们间隙的时候尽量是什么呢？建立我们的右手系，这边是歪轴，这边是 cc， 是为 这一种啊，我们在如果在试卷上写的时候，我们还是要注意一下啊，看得见的线还是用实线，看不见的线用虚线。 那建文系，我们现在可以直接写出点坐标就行了，那正面点坐标是非常好写的，那我们写一下第一个点坐标，圆点零零零 a 点坐标，因为我们刚刚说了，这是长度为一，那就是幺零零， 地点坐标就是零幺零。 c 点坐标写了啊， c 一坐标， c 坐标在 c 点的上方， 那因此我们直接写零零二，这是长度为二，好。 a 一坐标， a 一坐标是在 a 点的上方，所以是幺零二。 b 一坐标是 b 的上方，所以是零幺二。好，那 m 点和 n 点，我们就可以利用终点坐标公式， m 点是为 a b 一的终点， 因此我们可以用 aeb 来写啊， aeb 找出这两个点来，这两个点他的终点，利用两点间，他的啊终点坐标公式，所以是二分之一，二分之一二。那中正面写一下终点坐标公式， 重点坐标， 如果 ab 两点的 终点为 m， 则 m， 我直接利用 他是等于二分之 a 加 b 就可以啊，直接这样来写，那这样来写的好处是非常方便的。 m 点是二分之 a 加 b， 也说他的横坐标就是二分之 xa 加 xb， 重坐标就是二分之外 a 加外 b， 竖坐标就是二分之 za 加 zb 啊，都是一样的道理。好，最后写一个 n 点的坐标， n 点的坐标啊，我们当然也可以直接看出来他是在 a 的上方一个位置，那我们可以得出是幺零幺。当然你也可以利用终点坐标公式，他是 这两个点，他的终点啊，两个加起来主要就行了。这是第一个题，就是有三条线，两两垂直，直接间隙就可以了。再来看第二种题型，就是有一 一条人是垂直一个面的，那做这种题我们需要做辅助线，那我们看这里面的题， 在四能追 pabc 中 pa 垂直底面啊，由于这条轮是垂直底面的，那么我们等会可以 a 点为坐标圆点，当然你以其他点为坐标圆点也是可以的。 并且告诉你， a， d 是平行于 b， c， a， b 等于 a， d 等于 a， c 等于三，那我们标一下，这边是三三三好。 p， a 等于 b， c 是等于四，这边是四， m 是他的一个三等分点，他说 a， m 是等两倍 m， d 那就是三等分点啊， n 为终点，那等会又可以用终点坐标公式了，请建立适当的坐标系。求各 个点的坐标，那最底面，我们以我们这个底面 abcd 是一个不太规则的四边形，他应该说是一个梯形，但是这个梯形呢，又不是等腰梯形，也不是直角梯形，因此我们可以先试着把底面这个梯形画出来， 我们先画下里面这个梯形， 他说 a、 d 是等于三，那我们再画 a， b 也等于三， 然后呢， a c 是也等于三， 好，我们就可以把它画出来，这是 b c， 然后呢， m 是在这里面， m 是在这里面，正面是等于三，这边也是等于三三四。 那我们做需还是需要做一条辅助线的，我们可以怎么办呢？因为 p a 已经垂直底面了，我们可以过 a 点做 a、 d 的垂线，那此时我们可以直接找 b、 c 的终点 o 点，我们直接连你就行了。 好，那正面注意，我们建立右手系， 那这边是当 y 轴，这边是当 x。 好，我们把底面画出来，这有一个非常的好的一个优点，就是等会坐标底面 abcd 坐标可以直接看出来 好，因此我们可以这样来写，取 bc 的终点 o 点，然后呢，连立 a， 连接 ao 并延长，将它当成一个 x 走，把 a d 当成一个什么呢？歪走，把 a p 当成一个， 这一种建立如图所示的空间直角坐标系。啊，至于这个字纹我就不写啊，在具体写大题的时候啊，我们需要找点，然后找出一些线来， 比如这里面就我们应该怎么说呢？啊，取 bc 的终点 o 点连接 ao， 那以 ao 为 xoadap， 分别为 y 轴、 z 轴，建立如图所示的一个空间直角坐标系，那直接写点坐标就行了， 所以我们可以得出点坐标我们其实很容易写，正面 a 点是圆点，而零零零 地点，地点直接落在 y 轴上，他是零三零好，欧点其实也很好写，他是落在啊，他的一个 x 轴上，但是呢，欧点这是我们还要把 ao 长度算一下，这边是三，这边是二，这边是根号五， 所以 o 点是等于根号五斗零斗零。那 c 点我们很容易清楚，是等于根号五二零， b 点也是根号五，只不过是负二斗零 好，那 p 点坐标因为正好在 a 点的上方，所以是零零，说了 p a 是等于四零零四 好，其他的 m 点坐标其实非常明显，他也是落在 y 左上，是零二零 n 点坐标是 p c 的终点，我们找出 p c， 利用两点间的距离公式，啊啊，终点坐标公式，我们可以得出他的一个坐标是为二分之根号，斗一斗二， 因此我们就把所有的点坐标都写出来了，那所以我们写出来，我们还是需要稍微的检验一下，因为做空间项链这种题型，如果你点坐标写错了，后面一切都是错的， 那么可以稍微减一下，这里面比，比如你可以验证一下长度啊，可以验证一下这里面 ab 的长度啊， ab 长度看一下是不是等于三，比如 bc 的长度是不是等于四，以及 pc 的长度，你可以算一下 pc 的长度应该是等于五。我们算一下 pc 的长度， 看一下利用两点前的距离公式， pc 的长度是等于五，加上四加上十六是等于根号，二十五是等于五。哎，可以说明这个点坐标是正确的。 好，那这里面就是第二种题型，侧能垂直于底面，这种题型还是啊，难度也不算很大。