一个点尺规作图直角怎么画初一

好，第一个视频我一定要非常认真的给大家解释一下，啥子叫尺规作图，括号七项。 你别看我这只放六个字啊，它分为三个部分，第一，什么叫尺规？第二，做图是做什么图？在哪做图？第三， 七下要做什么？先介绍尺规，在七下这个阶段，我们就用了一个工具，叫 无刻度尺尺。这个规是啥？是圆规，等到八年级和九年级会用到啊，所以七下就是一个东西。那无刻度尺尺，这是我们第一次碰到这个说法啊，你一定要明白 无刻度是啥意思，直尺是啥意思啊？他们都有潜台词的，无刻度的潜台词是无长度， 你再也不能像小学的时候一样，你画一个长五厘米的线段了，没有了，你也不能用你的尺子去量一根线，然后告诉别人他有多长。不行，我们是借助网格的数量来去算他的长度了啊，所以尺子 画不出来长度，也量不出来长度了啊。第二个，直尺，明明我们买了一套，里面除了有直尺，还有三角板呢，为什么只让你用直尺？他的潜台词是 无角度，你不能再用三角板做出一个三十度，六十度或者是四十五度了啊，当然你更不能画九十度了啊，因为有些同学很激贼啊！老师，直尺我太擅长了呀，虽然无刻度，但是我自己买的尺子上面有刻度啊， 我拿那刻度一对齐，这边一竖，不就是画了垂直吗？不行，你画的那个是你假想的，我们不认可。 那这无刻度尺尺又量不了长度，又给不了角度，那它到底能干什么呢？ 他就干一件事，画直线。有人心里肯定笑了，画直线还用你来说？不是的，画直线也分两种，你有没有注意到这个事情？你去查你的题目里边，他会有两种线，实线和虚线。那什么时候画实线，什么时候画虚线？我们只有一个原则， 对于结果用实线表示，所有你辅助得到结果的过程，用虚线表示啊。 当然，实际做的过程中我已经发现了啊，由于大家刚开始接触尺规，做图东西又很杂，往往很多老师在过程中并没有严格要求说必须画实线，必须画虚线啊。 所以稍后我们在具体讲题的过程中在解释啊，怎么去判断画哪种线啊？好，我们知道了无刻度支持，不能干什么，能干什么。但这些话并不能劝服大家，因为实际答题过程中出现了大量的伪证， 这是在其他类型知识里边很少出现的，计算题也没法伪证。当然选择题会有人会猜了，几何证明题大家限阶段要么算不出来，要么也做不出辅助线啊。简单题也不需要你伪证了。但是在此规作图里边大量存在， 我称他为马良派神笔。马良嘛，你画什么就成什么啊。这其实都叫伪正，伪正就两个特点，第一，无作图痕迹。举个例子，这是一个边长为一的最小的正方形方格。 哎，真的会有人突然点一个点，他说，老师，这就是我找的终点，上面是零点五，下面也是零点五，请问 你都没有刻度，量不出长度来了，你凭啥说这就是终点啊，所以没有做出痕迹。第二，无几何逻辑。举一个例子，以这一条线段让你过 p 做 ab 的 垂线，哎呀，你偷偷的拿出你的那个有刻度直尺， 非常像模像样的，感觉上是个垂直，而且你还非常贴心的标了一个直角符号，告诉老师，你可一定要相信我哦，这是个垂直。 不行，你没有证明你这个垂直是怎么得到的呀，所以这些 伪证都会导致你的分全扣了。刚才第一个关键词是尺规，第二个关键词叫做图，我有把它分为两部分，第一，在哪做图？ 第二，做什么图？我给了一个典型的图啊，这种图我们称它叫网格图啊，当然你会发现我这里边没有给什么 坐标系，当然加一个坐标系很简单， x y 轴一画就变成坐标系了。网格图里边有两个重要的词汇，你得明白啊。第一， 这些虚线叫什么呢？它叫隔线，网格里边的线叫隔线，然后两条隔线的这些焦点，它的名称叫隔点啊。 而且绝大部分时候它是用单位长度为一的小正方形组合起来的，所以我能够自带它的横竖方向的长度，你只用去数格子就 ok 了。 同时由于它是正方形，你确实能得到这里边的九十度啊。这是隔线和隔点的介绍等等。差点忘了，一种天才型，马良选手，他嫌题目给的网格图不够大， 自己手动人工扩大了，真是个天才。第二个， 做什么图？这我们就主要说七下了啊，因为尺规做图会从七下开始，伴随你到八上八下，九上九下一直到中考，所以它是一个非常庞杂的一个知识体系啊， 在这我会把知识结构做个介绍啊。第一种最简单的能做平移，它也是我们在坐标系里边学了点和线段的平移的知识过来的。 而平移是有两个考察方式，第一，平移扫过的面积，不管是线段扫过还是很容易错的一个三角形扫过的面积啊，还有一个小小的坑。平移的线段之间到底是什么样的关系啊？这是第一个，第二个， 有平移就能够做平行啊，因为平移就能产生平行，而平行又分为两种难度，最简单的大家最擅长就是做格点线段的平移，比如说 我的线段 ab， 两个点都在格点上过， c 做 ab 的 平行线就非常简单。但是还有一种很怪的叫非格点线段，比如说 图中给了我 a 和 b 这条线段过这一个 p 做 ab 的 平行线，此时你会感觉到很麻烦，因为这个 p 不 在隔点上，它在隔线上。 如果说平行和平行是比较基础的东西，那么到垂直这块就有一点超纲了啊，严格来说，它属于八年级上学期的一个东西，因为它用到了全等三角形的背后逻辑啊。 但是在期下确实有些题目超纲让你去做某一条线段的垂线啊，我稍后会详细解释这背后的逻辑啊。 还有做角度，做角度其实是从平行延伸出来的，因为我们说过，你的指尺你画不出来度数，你只能靠什么？靠平行能得到那三线八角的关系啊？ 所以一看到角度，我们就要想到利用平行关系。同时麻烦的是，很多同学看到刚才的网格图之后，他把平行里边两个最重要的东西忘了啥呢？ 拐点和射参就是单独让你去正平行或做平行的推理的时候，你都会一旦放到尺规做图里边，这两个东西你就感觉失忆了一样。 最后的最后是尺规作图里边最难的一类做面积，它又分为两类，第一类叫平行等积，让你去找一个特殊的点，满足 s 一 等于我的已知三角形的面积到底有多少个这样的点，你应该见过这样的题。第二类 是让你补一个点，满足特定的值，比如 s 三角形等于四点五啊，这里边的花样非常多， 好简单做个总结。后面的视频我会用各种经典题型把这五种知识讲透，同时在讲题过程中把各种马良派的风格错误案例做一个展示， 来解释为什么会扣掉你的分啊。关注梳理黑板，现在下课！

中考不想失去指挥作图的三到五分，一分钟帮你搞定全部指挥作图！我们第一类是做一条线段等于已知线段。第一步，我们是做一条直线，在上面取一个点 a， 以点 a 为圆心， a 为半径，画圆交于一个点 b， 那 么 ab 就是 我们的所做的等线段。 第二类，做已知角的角平分线。我们第一步是以顶点 a 为圆心，任意长为半径，画圆交角的两边与 p、 q 两点。第二步，我们分别以 p、 q 为圆心，大于二分之一， p、 q 长为半径，做圆交于点 m。 那 么第三步，我们连起来， an 就是 射线， an 就是 我们的角 b、 a、 c 的 角平分线。第三类，我们是做已知线段的垂直平分线。 第一步，分别以 a、 b 为圆心，大于二分之一的 a、 b 长为半径，作圆交于 p、 q 两点。第二步，我们连接 p q， 那 么 p q 就是 线段 a、 b 的 垂直平分线。第四类，我们是做一个角等于已知角。 第一步，我们是做一条直线，在线上取一个点 o 撇。第二步，分别以已知角的顶点和 o 撇为圆心相同的半径，画一个圆，以已知角交于 n、 n 两点，以直线交于 n 撇点。 第三步，我们就以 n 撇点为圆心， n、 n 的 长为半径，画圆交于 n 撇，连接 o 撇， n 撇构成的角就是我们的已知角相等的角。 第五类，过直线外一点，做已知直线的垂线。我们第一步以点 c 为圆心做弧交， a、 b 于点 e、 f。 第二步，分别以 e、 f 为圆心，以 e、 f 的 长为半径，做弧交于点 g。 第三步，连接 c、 g， 那 么就是 ab 的 垂线。 第六类，已知三边做三角形。我们第一步做一条直线，在上面取一个点 a 撇，以它为圆心， a 的 长度为半径，做弧交直线于点 c 撇。 第二步分别以点 a 撇和 c 撇为圆心，剩下的 b 和 c 的 长为半径，做弧交于点 b 撇。第三步连接这三个点，那么就是我们所要求做的三角形。

同学们好，利用这个视频我给大家讲解一下青年下册涉及到的一些取规作图的方法，希望大家看了这个视频之后，在期中考试期间取规作图能够不失分。好，咱们先看第一个角平分线。 首先题目里面会给一个角，那咱们第一步该干嘛呢？第一步，先把这个针尖放在这个角的这个位置，然后呢以任意的这个半径来画弧，这个弧呢，不要距离这个圆形位置太近，也不要太远。好， 他会和这个角的两个边有两个交点。好，这就来到了第二步。第二步该怎么办呢？选中其中的一个交点， 同样的再选一个不要太长也不要太短的这样的一个半径画弧，同样的半径，在这个地方还是画一个弧，这个时候呢，你会发现这两个弧会有一个交点，那这个交点和这个角这个位置所构成的这个连线 就是我们要画的这个角平分线。好，这是我们画的第一个第二个垂线，垂线。这里面的话，我给大家总结了三种垂线，第一个是告诉了明确的线段 ab， 我们做这个 ab 这条线段的垂直平分线好。第二个是什么呢？告诉一条直线 l， 同时这条 l 上面有一个 o 点，要过 o 点来做一条垂线垂直于 l。 第三个这个 o 点呢？在外面了， 还是做一条垂线垂直于 l 好。 怎么画呢？首先第一个，如果是给的是线段，我们分别以 a 和 b 作为圆心，长度要大于 ab 长度的一半画弧， 上面画一个弧，下面画一个弧。同样的如法炮制，以 b 为圆心画弧，那么这四个弧所交的这两个交点连线就是我们要画的这个垂直平分线， 好，这是第一个。第二个，如果说这个 o 点是在这个 l 上面的话，怎么办呢？以这个 o 点作为圆心半径呢？不要太长，也不要太短，交这条直线 l 又有两个交点好，确定这两个交点之后， 就找到了我们要画的 a 和 b， 那 这个 a 和 b 其实可以类似于我们刚才画的第一幅图里面的 a 和 b， 那 下面该怎么办呢？和第一个图画法一样，分别 a 和 b 为圆心画弧， 这里面的话你可以画两个焦点，可以画一个焦点，为什么可以画一个呢？因为这里面已经给了一个 o 点，两点确定一条直线，所以说你只只需要画一个焦点就 ok 了。当然了，我可以画两个 好连接，这个时候我们就画到了过 o 点，切垂直于 l， 好。 第三个，如果这个 o 点是在这个直线外面怎么办呢？一样的 o 为圆心，画两个弧好，这个弧交直线 l， 这个时候呢，又确定了我们要画的这个 a 和笔画法还是一样的， 以 b 圆心画弧，以 a 圆心画弧，这个时候你可以画两个弧，也可以画一个弧， 这个焦点和这个 o 点所连接的这条线就是我们要画的这个垂线 啊。刚才我说了，因为已经告诉你个 o 点了，第二幅图和第三幅图都已经告诉一个 o 点了，所以说这个时候你其实只要画两个弧的交点就 ok。 当然了，你要非要画四个弧所交的两个点也一样可以。 跑到这里面的话，会有同学问，为什么要这样画呢？其实咱们目前来说还没学到这部分呢，这部分内容是属于咱们初二的全等三角形相关的内容原理咱们学完之后就能够知道是为什么了，所以说限阶段的话，咱们只要记住究竟应该怎么来画就可以。

尺规作图作一个角等于已知角的原理，我们首先来看一看大家最喜欢用的一种方法。 已知角 a、 o、 b 求作的角 a 撇 o 撇、 b 撇。 我们通过作图痕迹来复原一下尺规作图的过程。我们首先是以 o 为顶点，以任意长为半径，在已知角上画一条弧，和角的两边分别有两个焦点 c、 d， 点 c 和点 d 都在这个弧上，所以啊， c、 o 和 d、 o 是 相等的，而且都是半径。 我们首先做射线 o 撇、 b 撇，以 o 撇为圆心，同样长半径来画弧，与 o 撇、 d 撇、 b 撇交于点 d 撇，所以 o 撇、 d 撇和 o、 d 相等等于 r、 c 撇是如何来的呢？ 是以 d 撇为圆心， c、 d 的 长度为半径，我们来画弧，这个弧和刚刚的弧啊交于点 c 撇， 所以这个 c 撇到 d 撇的距离就和 c、 d 的 长度是一样的。 同时这个 c 撇也在以 o 撇为圆心， r 为半径的圆弧上，所以 o 撇、 c 撇的长度也是 r。 我们为了证明角 a 撇 o 撇、 b 撇等于角 a、 o、 b， 我 们准备连接 c、 d、 c、 d 是 原来作图过程当中没有出现的线，我们叫辅助线，所以用虚线来表示，也连接 c 撇、 d 撇。 根据尺规作图的过程，我们可以推出 o、 c 等于 o 撇 c 撇 o、 d 等于 o 撇 d 撇 c、 d 等于 c 撇 d 撇。 那么三角形 c、 o、 d 就 全等于三角形 c 撇、 o 撇 d 撇了，我们的根据是边边边，再根据全等三角形对应 角相等，所以这个角 a、 o、 b 了。 我们的生物就是根据尺规作图的过程，先证明三角形 o、 c、 d 全等于三角形， o 撇、 c 撇 d， 再根据全等三角形对应角相等，所以角 a、 o、 b 就 等于角 a 撇、 o 撇、 b 撇。我们再看第二种方法， 已知角 a、 o、 b 求作的角 a 撇、 o 撇、 b 撇。 我们根据作图的痕迹来复原一下耻归作图的过程。 我们首先是以已知角的顶点为圆心，某个长度为半径来画个弧，在 o、 b 上有个交点 d。 我 们假设这个半径为小写的 r， 以 o 为圆心， 再长一点的半径，或者说另一个半径来画弧，与角的另一边交于点 c， 这个半径我们称之为大写的 r。 然后连接了 c、 d。 我们首先做射线， o 撇、 b 撇，以 o 撇为圆心，以小耳为半径来画弧，和 o 撇、 b 撇交于 d 撇，所以 o 撇、 d 撇 就等于 o、 d 就 等于这个小写的耳。 我们看一看， c 撇是两个弧的焦点，哪两个弧呢？一个是以 o 撇为圆心，以大写的 r 为半径来做的这个弧。 另一个弧是以 d 撇为圆心，以 c、 d 的 长度为半径来画的弧。 所以 c 撇、 d 撇就等于 c、 d。 那 么 o 撇、 c 撇就是大写的 r。 同样呢，在三角形 c、 o、 d 和三角形 c 撇、 o 撇、 d 撇中，我们找到了三条边分别相等， 所以三角形 c、 o、 d 就 全等于三角形 c 撇、 o 撇、 d 撇。 再根据全等三角形对应角相等，所以我们的角 a 撇、 o 撇、 b 撇就等于角 a、 o、 b。

那么很多同学呢，跟老师说，老师我不会尺规做图，好，今天老师就带大家来做尺规做图，我们看，让我们画一个三角形， a b c 使 b c 等于 a， a b 等于 c 使角 a， b， c 等于角一。那这个题我们怎么做呢？我们就上道具了啊，首先呢，我们 画一条射线啊，第一步，画一条射线啊，射线啊， b m 啊，射线 b m。 然后呢，我们在线段 b m 上，在线段 b m 上来截取 b c， 使它等于我们的小 a。 好，他这边呢，就标上我们的 c， 那 朋友们这个 b c 是 我们的角 a。 第二步呢，我们就要做一个角 abc 十二点角一，那然后呢，我们来以这个角一这边这个点为顶点， 然后任意半径啊，以这边 b 为圆心，我们一样的画弧，那呢，我们再截取 这两个弧与线段它的一个交点的距离，那我们一样在这边。 好，那然后呢，我们再连接这个 b 点，和我们刚刚所做的这个弧的交点。 好，那朋友们，我们就把射线 b n 做出来了，那么呢，下一步我们再截取 b a 是 b a 等于这个线段 c 的 长度。 好，在这里啊，在这里，当然了，这是我们的这个 a 点啊，那最后呢，我们再连接 a c， 好，这边呢，也就我们的角一啊，角一，那同学们这样的话呢，我们就把这个三角形给它画好了，请为作图，你会了吗？

现在我们讲尺规作图的一个知识点，这道题目呢，它是要求我们在这个三角形 a、 b、 c 当中过 a 点做 b、 c 的 垂线，交 b、 c 于点的。 因为题目它是要求过 a 点做垂线，所以我们就拿上圆规，以 a 为圆心，然后它要求在 b、 c 上面做垂线，那么就在 b、 c 上面任意找一个点好，以这个长度为半径画弧 好，我们就会交 b、 c 这条边有两个交点，好在以这两个交点分别为圆心大于它这两个交点距离的一半为半径画弧好， 这两个弧呢，会交于一个交点， 再把这个交点呢去跟我们的 a 点连接起来。 好，那我们就把过 a 点做 b、 c 的 垂线这个画出来了。

好的，我们来看一下旗下最基础的尺规作图之一，作一线段，等于已知线段，已知如图，线段 a b 作线段， a 撇 b 撇，使 a 撇 b 撇等于 a b。 这个时候呢，这个时候呢，我们可以先用直尺作一射线， a 撇 p。 然后再拿出圆规，以 a 为圆心， 截取 ab 的 长度，再以 a 撇为圆心，以 ab 的 长为半径，做一个小圆弧，这个时候与 a 撇 b 交于一点，就是 b 撇， 这个时候，我们就做出了 a 撇 b， 使它等于 ab。 已知如图，角 aob 做角 a 撇， o 撇 b 撇，使角 a 撇 o 撇 b 撇等于角 aob。 首先我们要知道，两个角的相等并不是它们射线的长度，而是角度的大小。那么我们做这道题的时候，可以先做一条射线， a 撇， o 撇、 b 撇。 然后呢，我们再拿出圆规，以 o 为圆心，任意长度为半径，做一条弧， 得到的这个点为 m 点，这个点为 n 点。然后我们再拿出圆规，以相同的 o 撇为圆心， 相同的长度就是 m o n o m 的 长度做一条弧， 做完这条弧之后，再用圆规截取，截取出 m n 的 长度， 在这里以 m 为圆心，嗯， m n 为半径做一条弧，这个点就是 n， 这个点就是 m。 连接 o 撇， 连接 o 撇 m 就 可以得到射线 o a。 那 么我们就做出了 a 撇 o 撇， b 撇等于角 a o b。 做完相等角之后，我们再来做平分线，已知角 aob， 求角 aob 的 平分线 o p。 我 们这个时候呢，拿出圆规， 以 o 为圆心，任意长度为半径画弧。这时相交于 o， a 和 o， b 于 m 和 n。 这个时候呢，再以 m 为圆心，任意长度为半径，做一个小弧， 再以 n 为圆心相等的长度做一个弧。 这个时候呢，我们就可以得到一点 p 连接 o p 就是 这个角 a o b 的 平分线。 我们再来看一下这种题型做已知线段的垂直平分线。首先要懂得垂直平分线的概念，就是一就是过这个线段 的垂直线，二这个垂直线把 ab 分 为两个完全相，长度完全相等的部分。好，我们来看一下这道题目 还要做 ab 的 垂直平分线，那么我们可以先以 b 为圆，以 b 为圆心 任意半径，注意这里的半径千万不能小于小于这个 ab 的 一半，要稍微大一点，在这里差不多。然后下面也来画一条， 再以 a 为圆心与刚相等的半径，则再画一条小圆弧，下面也是，这时就会出现两个点连接两个点， 这个就是 m n， 就 做出了 ab 的 垂直平分线， m n 已知直线 l， 直线 y 一 点 p 做过点 p 做做 l 的 垂线。首先我们以 p 为圆心，任意长度 为半径，做两个圆。还有这里注意，这里的半径一定要稍微大一点，确保他能在与 l 有 两个相交点，这样我们才能做出来接下来的这过 p 的 l 的 垂线。 我们设这两个与 l 相交的点为 m 和 n 的 点为圆心， 随机的半长度为半径，做做两个圆弧。注意这两个圆弧的半径要是相等的。然后呢，又可以得到一点 q， 设它为 q， 这时连接 p q， 就 做出了过点 p l 的 垂线。 我们再来看下这道题啊，这道题目跟刚不同的地方在于，这个点 p 位于直线 l 内，我们这个时候就可以直接拿出圆规，以 p 为圆心，任意 任意本长度为半径，做两个小圆弧交于 l， 这时就可以出出出现两个点 m n， 再以这两个点 m 和 n 为圆心，任任意长度为半径，做两个小圆弧交于一点，设这个点为 q， 连接 p q， 我 们就可以得到过 p l 的 垂线， 记得关注再走哦！

同学们好，利用这个视频我给大家讲解一下七年级下册涉及到的一些取规作图的方法，希望大家看了这个视频之后，在期中考试期间取规作图能够不失分。 好，第三个是画相等角，这种呢一般都会给你一个角，比如说这个给你一个角移，同时呢在这个角的外面又给你一条直线， 好，我需要在这条直线上做一个角，让这个角呢等于角一，比如说我们要做的就是角二，好，怎么办呢？这种叫做照葫芦画瓢，照猫画虎，先以这个为圆心好画个弧， 交两个点，那怎么办呢？在这个地方也画一个弧，这个时候我可以先确定一个点，比如说这个点是我们要画的这个 a 点啊，这个角就是我们要画的角 a 好， 还是画一个弧好？第二步怎么办呢？ 以这个交点为圆心好，这个交点呢，和这两个交点之间的这个距离作为半径， 好画一个弧，这个时候呢，如法炮制，在这边还是画一个弧焦点，那这个时候我们连接 a 点和这个点，就能够确定 我们要画的这个角二了。好，这个就是我们要画的角二，角一和角二大小是一样的，你看是不是左边画一下，右边画一下，左边画一下，就是如法炮制，照葫芦画瓢就可以。 好，第三个呢是画平行线，平行线的话一般会给你一条直线，比如这条直线 l， 那 你要在这个直线外一点，比如说这个点，我们设为这个 b 点 好，要过 b 点画一条直线平行于 l， 那 怎么办呢？我们连接圆这个 b 点和这条直线上某一个点，这个点你可以任意的一个点啊，然后连接之后 把这条直线画的稍微长一点。这个时候咱们想一下，假如咱们需要画一条平行线，画出来大概是长这个样子， 这个时候这个角和这个角有什么关系啊？因为这两个是平行线，所以说他们这个同位角是相等的，所以说我们这个时候就转换成什么了。 这里边比如说这个角是角一，我们画一个角二，让角二等于角一不就行了吗？所以说怎么画呢？跟咱们刚才画的这个相同角是一样的一个道理。还是照葫芦画瓢，先以 这个地方作为圆心画一个弧 好，再以这个 b 作为圆心，还是画一个弧，画弧画大一点好，然后再以这个焦点作为圆心，另外一个焦点和这两这个焦点之间的这个距离作为半径， 同样呢，在这个地方以它为焦点为圆心，再画一个弧， 那这个时候我们连接这个 b 点，和刚才咱们这个圆弧的焦点一连，哎，你会发现这个角它是等于这个角一的， 这两个角相等，角 b 是 等于角一的，所以说我们画的这个直线 l 一 就平行于我们已知的这条直线 l 好。 以上的话，这四种线就是我们期中考试，一般期中考试要考到的这四种画法， 考前的时候再稍微回顾一下这个视频，不要把这个画法给忘掉了。

中考里面有这样一个题，这个题很简单，但是呢这个错误率很高，就是这个耻归做头，而且呢有很多学生的话，这个其实小瞧这个题了 啊，觉得这个题很简单，不放在心上，但是恰恰这个题的话错误率非常高啊。那么我给大家说下这个题怎么做这个题呢？我们可以反着来推， 比方说你拿到这个题之后，那么你可以先用铅笔，你大概去标一标，去画一画，那么你最终比如说你要求一个线段大概在什么位置啊？那么你先把这个先去画出来， 然后的话这个时候你反着去推啊，看一下，如果说你要达到这个位置，或者你要去做这个线段，大概你要去做什么条件，比如说我要做一个等角，或者我要做个垂线等等 啊，你就很容易能得到，或者很容易能弄出来，你到底需要去画什么东西？其实无非呢就这几个情况，对吧？坐等角、做角，平衡线做垂线、做中垂线， 就这几个东西，有的时候如果说你正着去想，没有什么思路啊，你可以反着去推啊，你可以试试这个方法，那么这样的话这个题就很容易做出来。我们很多学生千万不要小瞧这个题的，十分非常多的。

大家好，今天我们就来讲中考数学最后十讲这样一个系列课程的收官之作。最后一讲尺规作图精讲尺规作图可以说是中考数学必考的内容了，还是老规矩，我呢已经把全套的资料给大家备齐了， 大家只需要先获得资料以后再来学习，这样的话学习效率才是最高的。本讲内容啊，分成两部分，第一部分就是尺规作图的基本方法，这个我说一下，一共是讲多少种呢？讲七种基本的方法， 那么中考考到的都是这七种的排列组合。那么第二部分就是尺规作图在中考中的考察了，就是去年的中考原题。 好了，我们先来看第一部分，那么接下来我们看这个基础篇啊，基础篇的话，第一个就是做一条线段，等于已知的线段 a b， 那 么怎么做呢？你要注意的是尺规作图里边这把尺子呢，你要当成没有刻度的尺子，它只能用来连线。 那么画完之后的话，咱们可以点一个点，比如说左边这个点叫点 c， 当然你做的时候一定要用铅笔啊，我找不到铅笔了，那么我们只需要怎么办呢？你截取长度的话，用的是谁？用的是圆规啊？看好了， 圆规是吧，那么就这么长。然后呢到 c 点这保留作图痕迹。好了，这个点 d 啊，就是刚刚画的这条直线上的交点，这样的话不就保证了 c d 等于 ab 吗？好了，做完了， 那么来看另外一个，另外一个的话就是做一个角，等于已知的这个角我先告诉你原理，原理是什么呢？原理事实上就是边边边的三角形全等怎么画？我画到右边吧，右边呢，先画一条边， 没问题。那么画完这条边以后的话，咱们还是比如说这是 abc， 这就写成 c 吧，然后继续哈，现在注意了，我用圆规它这个半径，它是不变的哈，我没有动过它， 这来一下，这来一下，然后焦点分别是多少呢？那左边的焦点你就写成 a m、 a n 呗。那么显然你可以截取这个 a n 的 长度，是不是 a n 的 长度等于接下来的 谁的长度？等于接下来的 cd 的 长度？好，此时 c d 和谁一样长？和我们的 a n 是 一样长的。然后接下来干嘛呀？然后你首先你把这个弧给做出来不就可以了吗？你可以把完整的弧给做出来的，你画长一些没关系的。 那做完这一条之后，咱们再比比长度 m n 吧，左边这个长度看好了啊，这个是 m， 这个是 n， 咱们比一下。哎，长度正好是这么长，哎，稍微有点手抖了，那行吧，点到这不要动，然后呢，它呀， 稍微长一点点， ok 了。那么接下来咱们以点 d 为圆心，以刚才 m n 的 长度为半径，做一条弧，跟原来的弧 是交于哪的？是交于点点 e 的。 那么现在我们就只需要做什么了，只需要 延长 c e 就 可以了。那么在刚才做图的过程中，其实咱们都是保证了什么呢？当然了，这个给他显眼一点，刚才在做图的过程中，我们已经保证了 a n 等于 cd。 然后呢，你再顺便连接一下 d e， d e 的 长度和左边这个图里头 他这个 m n 的 长度其实是怎么样的？是一样长的，然后他也一样长， 是不是？然后根据边边边的三角形全懂，你说此时的角 a 是 否等于角 c？ 当然等于了，好了，做完了，那么再来看，一定要把基础的先学好。那么接下来就是第三个， 你能不能做出来 ab 的 中垂线啊？能呀，其实你找中点和做中垂线，它的方法是完完全全一模一样的，你只需要以点 a 为圆心，以点 b 为圆心，然后以大于二分之一的 ab 的 长度为半径 做弧，或者说你把完整的圆做出来也行，咱们就做弧就行了，然后你看半径是没有变的。 好，上面这个焦点，咱们比如说就写成 m 点，然后下边这个焦点呢，就写成 n 点，因为刚才半径没有变，所以 m a 等于 mb， 然后 na 等于 nb， 所以 点 m 点 n 都在 ab 的 重垂线上，两个不同点，当然就把这个唯一的重垂线给做出来了，你看这不就结束了吗？这就是保留做错痕迹。那么我们继续来看哪一个呢？ 第四个，第四个的话是谁是做出已知角的角平分线？他的道理我也告诉你，是边边边的全等，来吧，做出已知角的角平分线需要怎么处理啊？看好了，看好了，我们只需要这样 来，半径始终都是没有变的啊，继续好，半径也是始终没有变，从始至终都是一个半径， 长度是没有改变过的，当然了，这一边咱们再画的长一些。好，那么刚才的过程中啊，咱们标一下点，比如说这是 a， 这是 b， 这是 c， 然后呢，这个焦点咱们写成点 p 吧。那么连接 ap 之后，其实你要想拿满分，你这个时候只用做出 ap 这条射线来，你告诉他，如图， ap 就是 角平分线了，但原因的话，咱们也大概说一下，为什么呀？ 原因很简单呀，因为刚才你半径都没有变的，半径没有变不就代表 a c 还有 a， b 还有 b， p 还有 c， p 的 长度都一样，中间还是个公边，你说边边边上下 a， c， p 和 ab p 是 不是全等？所以角一都就等于角二了，清楚了吧。好，这就没什么问题了。那么继续再来看接下来的哪个图呢？ 好，看到了吧，这个图他说的是过已知直线上的一个点，做出垂线。来吧，来吧，看好了，咱们以点 a 为圆心做一个圆， 其实你只用做圆的一部分，左边有个交点，右边根直线也有一个交点，然后左边这个交点，比如说咱们既为点 b， 右边这个交点既为点 c， 那 接下来做中垂线不就够了吗？是吧？你做出 bc 的 中垂线，那剩下应该就不用多说什么了吧？我直接把这个作图痕迹给大家 表示出来看好了。这这然后呢？以点 b 为圆心，半径不变的啊。 那么此时，比如说上边这个焦点是 m 点，然后下面这个焦点是点 n， 那 么你的直尺没有刻度的直尺就有用了。那只需要干嘛了？只需要连接 m n。 好 了，这不就是过点 a 把这条垂线做出来了吗？那么还有，如果点 a 在 哪？ 如果点 a 在 外部呢？看第六个，如果点 a 在 外部的话，就会形成这样一个情况。呃，哦，现在是点屁啊，过直线 l y 的 点屁做他的垂线怎么做？来吧，我就先不提示了，我直接告诉你，这样， 你以点 p 为圆心做弧，左边跟直线 l 交于一点，右边跟直线 l 呢？也交于一点，是不是？那继续保持不变啊？左边这个焦点继续了，搬进我从始至终其实都没有变过的， 然后左边这个焦点以它为圆来，刚才一不小心啊，我把这个做出来有点好，对，现在可以了。 好，然后呢，半径千万不要变，手不要抖，那不就做完了吗？因为刚才在做的过程中，你半径始终不变，你可以保证 p a 是 等于 p b 的， 然后并且都等于 a q 和 b q， 那 么此时 p q 是 不是就是 ab 的 中垂线？实际上 p q 就是 垂直于直线 l 的？ 那最后一步的话，你只需要保留做错痕迹，连接 p q 这条直线，告诉他 p q 这条垂线就做出来了。那当然了，还是跟垂直有关的，还是用了一下小小的中垂线的这样一个性质。那么最后一个的话，就跟平行有关了，咱们不要光会做这样一个垂线，还得会做平行线。 那么平行线怎么去做呢？考虑一下最后一个，我们可以这么来处理，方法很多啊，因为什么呢？平行线它可以内错角相等，所以平行互补不好做啊。那就用相等也可以同位角是吧？要么同位角，要么内错角。 来吧，咱们随便寻找一个点 n 在 原来的直线 l 上，比如说寻找完这个点 n 之后的话，此时我们这个角一， 它是不是一个固定的呀？那肯定是一个固定的，值嘛？那于是呢，我们只需要过点屁哎，把它另外一个方向上的内错角给画出来就行了，这个套路是固定的，所以我就给大家说了，好，这是有的，没问题吧？ 好，这也是有的，那我们过点屁，半径不变做出来， 那么做完之后还有一条，你还是利用边边边吧。其实刚才我写到这的话，大家应该都清楚了，比如说这是 a， 这是 b， 然后你还得怎么样，你还得让，哎，我知道了，所以我接下来我量一下这个 a b 的 长度，这不就是圆规的作用了吗？ 对，就是这么长了，那么接下来我就做好了。刚才在画的过程中啊， 我们已经能够保证什么 ab 是 等于 qm 了。对啊，你连接一下 qm， 其实连不连 qm 都行，你要是想得满分的话，这个时候你直接保留作图痕迹，然后 做出直线 pm 来就行。因为刚才的话，你根据边边边已经能够保证谁了，已经能够保证角一等于角二了，角一等等于角二啊，你说图中的 pm 是 不是平行于 l 的？ 好了，这不就把平行线做出来了吗？ 那么接下来咱们做一个中考原题吧，是关于作图的啊，这个尺规作图真的很重要，做一下哪道题呢？看一下这道题，这是去年的哪的青岛的原题，他怎么说的？他说如图， 点 d 他 是在哪的？看清楚了，点 d 是 在角 a o b 的 内部，他挺有意思，他是做一个等腰三角形， o c 等于 o e， 但是啊，你还得怎么样？点 c 是 在射线 o e 上， 然后点 e 呢？是在射线 o b 上，你还必须保证谁点 d 在 什么上面，点 d 必须正好在这个 c e 上面，这就有难度了，你要只做等腰三角形，特别简单，但是怎样能够保证这个点 d 在 c e 上面呢？ 这个时候它的综合性就很强了。这道题我相信去年应该有不少同学丢了分，我告诉你怎么做，我们这么来处理，首先，反正是个等腰三角形， o c 等于 o e 嘛，我做不出来。等腰三角形，我做不出来这个 o c 等于 o e。 但是呢，我可以做一个 o m 等于 o n 啊， 这个还是相当轻松的，对吧？那么这种情况下，我就直接连接了，看好了，连接这个 m n， 好， 这个是 m， 这个是 n， 反正这个 o m 是 等于 o n 的， o m 等于 o n， o c 等于 o e。 嗨，你应该知道我的意思了吧？事实上，我想说的是，这个 c e 你 做完之后是平行于 m n 的， 因为都是等腰三角形嘛， 所以它俩是平行的啊，它的底角相等，对不对？你比如说这个地方，你把 c e 做出来，是吧？那平行怎么做？平行的话我跟你说呀，来吧，我们只需要连接一下 m d， 当然你要非要连接这个 n d 也行，没问题。 那么接下来我们只需要构造这个角一等于另外一个内错角，角二就行了。过点地向上做一个角二，跟角一相等，那样的话，平行线不就做出来了吗？所以，于是呢，怎么做？来吧，就是做相等的角这样一个固定的套路了， 这个就不多说了，直接来，咱们是以 m 点为圆心， 做了这一段弧，是吧？然后我以点 d 为圆心呢，我也把这段弧给做出来。那么做完之后的话，行了，那么接下来的话，咱们就需要让这个 p q 的 长度正好等于图中的这个 h i 的 长度了，是吧？你看啊，这个 i 点怎么确定下来？就是这样确定下来的呀， 来，继续做弧，做完了，这就是我们要的这样一个点 i， 是 不是那么点 i 有 了？哎，那么我们只需要连接做出这个直线 d i 来就可以了吧？ 好了，上边就是点 e， 下边呢就是点 f。 刚才你看咱们第一步是什么？先做出等腰三角形 o m 等于 o n 来， 然后再做出 m n 平行于 e f 来。哎，连接 m d， 通过角一角二内错角相等，做完平行就够了。所以你看，你不仅要会做垂直，还得会做平行才可以啊， 这是利益行。刚刚讲的题呢，都是告诉你怎么去保留作图痕迹，用尺规作图的方法把这个具体的图形给画出来。 那么现在变了，就是先告诉你尺规作图的过程，然后问一些问题，比如说这道题它是怎么回事的呢？首先告诉你图中这个 b a c 这样一个角度是三十度， b a c 这三个点都在同一个圆圆 o 上， o 点是圆心。 然后又怎么说？他说分别以点 a 点 b 为圆心，以大于二分之一的 a b。 呃，它的长度为半径作弧，两弧交于 m n， 那 么此时直线 m n 是 谁呀？ 直线 m n 实际上它就是 ab 的 垂直平分线，或者叫中垂线，这是一个意思。那既然做完这个的话，接下来他问什么？他说的是让你求一下图中谁的角度啊？让你求一下图中 a o e 的 角度， 那 a o e 的 话，也许不太好求，但是 a b e 很好求，为什么？因为 a o e 他是圆心角啊，同弧所对的圆周角，那你说是不是存在这样一个二倍的关系？所以我们只需要求出来 a、 b、 e 就 行了。 a、 b、 e 请你告诉我是等于多长的？这个太好算了啊，我们只需要怎么算？你看，因为 d、 a 是 等于什么的？是等于 谁的等于 d、 b 的 吗？为什么 d、 a 等于 d、 b 啊？因为你点 d 是 在中垂线上的，所以中垂线上的点到两个端点距离相等，它俩相等的话，所以就可以得出来角 b、 a、 d 是 等于角 d、 b、 a 的， 它都是等于多少度啊？ 它都是等于三十度的。哎，原来最终答案等于二乘三十度啊，是不是 a、 b、 e 和谁呢？ a、 b， e 和 d b a 这不同一个角吗？所以最终答案是六十度，选 c 就 可以了。 那么再来看一道题，济南去年的中考卷题也是吃亏作图，你先看第一部分是干嘛呢？第一部分是在 c、 a、 c、 b 上分别截取 c、 m， 它，然后 c m 等于 c n 啊，好，然后呢，以 m 和 n 为圆心，大于二分之一的 m， n 为半径作弧，这不就是做角盆盆线吗？然后延长 co 之后啊，跟 ab 交于点 d， 所以 图中我们的角一和角二是相等的，所以它是告诉你什么圈一，这个步骤就是告诉你 cd 平分角 a、 c、 b。 行了，我们看圈二，圈二的话，它是分别以点 c 和点 d 为圆心，以大于二分之一的 c、 d 为半径。这不就是哦，交于 p、 q 两点，那此时 p、 q 不 就是中垂线吗？咱们说清楚谁是中垂线啊？ p、 q 它就是 c、 d 这条线段的中垂线。然后呢，这个中垂线分别交于什么点啊？这个中垂线跟 c、 b 交于 f， 然后呢？跟 c a 交于点 e， 那 么现在好了，既然有中垂线，你说中垂线最重要的是什么？中垂线最重要的特点就是中垂线上的点到 线段，两段点距离相等啊，所以当我连接这个 d e 之后的话，它只需要连接 d e 啊。对于这道题，那么此时根据中垂线的点到线段，两段点距离相等， 那么做完这些之后够了吗？还不够，角一等于角二吧？对啊，然后那继续了，角一等于角三吧。所以为什么角一等于角三啊？因为等边对等角啊，然后继续， 又因为角一等于角二，这是圈一做图的过程得出来的，所以传递一下我们图中角谁，这个角二是等于角三的？角二等于角三，角二，角三是什么角？它是内错角相等吧，内错角相等， 两直线平行吧，所以图中就得出来了， d e 是 平行于 bc 的， 平行不就是得相似吗？三角形 a d e， 它是相似于三角形 abc 的， 那么接下来就肯定可以出答案了。那行吧，我们先来看什么？ 先来看一下此时咱们的 a d 比上 ab， 一个是四，一个是六啊， 因为这个题目中是告诉你的嘛，这个长度，那么继续了，它还等，这其实就是相似比啊，四比六，它还等于 d e 再比上 bc 吧。那 bc 的 长度知道吗？知道的啊，实际上就是四比六等于 bc。 bc 是 谁？ bc 是 三倍根号二。那太好了，所以我们可以很快算出来 d e 的 长度，它是等于多少的？它是等于二倍根号二的。行，把 d e 算出来了。 那么算完 d e 之后的话，我想告诉你的是，你这个 c e 和 d e 不是 相等啊，他就都等于二倍根号二倍。那于是最终结果已经出来了，谁还是等于四比六啊？其实还有什么？还有 a e 比上 a c， 它也是等于四比六的。二比三嘛，其实也就相当于 a e。 再来一个 a e 加上 c e 吧。但是 c e 长度咱们已经知道了，咱们直接把这个 c e 写成二倍根号二，它等于 四比六，所以最终咱们 a e 可以 算出来 a e 等于多少，它是等于四倍根号二的。所以这道题的答案就是四倍根号二。那么应该学会了啊，一定要记得领取资料之后，然后再来学习，这样效率最高。分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见！