八下一次函数与方程组不等式的看图

好，再来看一次函数与方程组和不等式的关系，那么这个知识点呢，理解起来是稍微有点难的，不过呢，你一旦理解之后，做很多题目，你可以直接看图，甚至都不需要计算啊。我们先来看这个一次函数和一元一次方程的联系， 那你要知道一次函数呢，它的一般式是 y 等于 k， x 加 b， 如果你知道了它的解析式，那么这个 k 值和 b 值咱们都是知道的啊。你比如说这里给了一个一次函数 y 等于二， x 减一，它对应的 k 值和 b 值分别就是二和负一，对吧？好， 那么他说这个一次函数 y 等于二， x 减一的图像与 x 轴的交点的横坐标是零点五，当自变量 x 的 值为零点五的时候，那么它的函数值是多少？ 你可以直接看图就可以看出这条直线和 x 轴的交点是零点五零，我这里写一下，它这个点的 就是零点五零。那你要知道依次函数上的任何一个点的横纵坐标，横坐标 对应的是 x， 纵坐标对应的是 y， 你 把这个横纵坐标对应 x 和 y 带回解析式当中，那么这个零呢？ 就在这里，零点五呢，就写在乘二的二乘的后面，就零等于二乘上零点五再减一，对吧，这个等式是仍然成立的，任何一个点带回解析式都可以让等式成立， 那么他这里说，当自变量 x 的 值为零点五的时候，函数值是多少，那就是零嘛，对不对啊？你把这个带进去算嘛， x 等于零点五， x 等于零点五的时候， 这个 y 就 等于二，乘上零点五减一，它就等于一减一等于零，它的函数值对应的就是零， 那么由此可以得出一元一次方程二，这个二 x 减一等于零的解吗？是可以的，那你看这个二 x 减一等于零的时候， 和这个前面部分，这个后面部分和这个前面部分是不是一样的，对吧？好，只不过一个是 y， 一个是零，而我们前面可以得到，当自变量 x 等于零点五的时候，它的 y 值就这个函数值，它就是零的。 那当这个 y 值等于零了之后，那和这个式子有什么区别吗？它没有什么区别，计算上是一样的，对不对？所以我们就可以得到啊，当这个 y 等于零的时候， 这个式子它就会变成了这个 y 等于二， x 减一，就会变成零。等于二， x 减一，你再反过来写，就变成了二 x 减一等于零和这个一元一次方程， 它的形式上是不是一样的？那么计算上也是一样的，你把这个一移过去，二 x 等于一，那么 x 就 等于一，除以二，它就等于零点五，发现了吗？哎，你看 这个一次函数，当你的 y 值知道了是几之后，你就可以直接把它当做一元一次方程来做，对不对？好，所以我们可以直接通过图上的点去观察 这个点的坐标，它的重坐标是零，那么也就说当 y 等于零的时候，它的横坐标就是多少啊，它的横坐标 x 就是 零点五，那么如果说他给出来了一个方程，他告诉你 这个二 x 减一，它就等于零，叫你求 x 等于几，你不需要算，你可以直接看与 x 轴的交点，那就是零点五，就这个意思，看到了吗？啊？你看这个横坐标， 依次函数 y 等于二， x 减一的图像，与 x 轴的交点的横坐标为零点五，它的重坐标是零，那因为这个点的坐标就是零点五，零嘛，对不对？ 这表明自变量 x 的 值为零点五的时候，函数值为 y， 由此我们可以得出，一元一次方程二 x 减一等于零的解，就是 x 等于零点五。 那么任何，因为任何一个以 x 为未知数的一元一次方程，都是可以变形成 a， x 加 b 等于零， a 不 等于零的形式。所以解一元一次方程的时候，从函数值去考虑的话，就相当于什么呢？就相当于某一个函数值 y 等于 a， x 加 b 的函数值为零的时候，求这个自变量 x 的 值，从函数图像的角度去思考的话，相当于已知直线 y 等于 x 加 b， 求它与 x 轴交点的横坐标。 啊，就是这个意思。那么这一段话呢？它解释起来的话啊，还是比较长的，那我这里给你转换成这个计算语言，就是说函数图像上的点可以作为这个 y 等于依次函数这种形式方程的动态解啊，我这里写一下啊， 依次函数图像上的点可以作为依次函数解析式，作为方程的动态解。什么意思呢？我把这个放大一点，你看这条图像上这条直线，这个图像上它肯定不止一个点吧，对不对？好，那么它除了这个 零点五零以外，他还有哪些点呢？他还有这个点，假如说这个点的坐标，我把它标出来，零负一，对不对？这里也有点，这个点的坐标呢，就是二分之一，那这个点对应的就是四分之一，也就零点二五， 负零点五，这个点对应呢啊，然后呢，往前走，如果他的横坐标对应的是一的话，那么这个点的坐标他是一一 啊，你可以自己算的，你把 x 等于一带进去，二乘一再减一等于一，所以它会经过这三个点，我就拿这三个点来举例，好吧，好，这里是我把它反过来写，把它变成二。 x 减一等于 y， 对 吧？当这个 y 等于 y 等于负一的时候啊，也就是当 y 等于负一的时候，那么这个二 x 减一等于负一的减，它的这个 x 就 等于零，它的减就是零啊。然后呢，当这个 y 等于负零点五的时候， 当 y 等于负零点五的时候，那么这个二 x 减一等于负零点五，那么它的横坐标 x 啊，也就它的减 x 就 等于二点五，你不需要算的，你只要确定点没错，你就可以直接出结果啊。然后再看， 当这个 y 等于一的时候，这个函数就会变成二。 x 减一等于一，那么这个 x 就 直接等于一，你不需要算了啊，当然你说这么简单，我自己口算就看得算出来了，但是如果这个式子这个解析式它特别复杂呢， 对不对？那么有有些题目条件，他会直接告诉你经过某个点，那么你就不需要算了呀，对吧？你就可以直接通过这种方法求出当前 y 等于特定值的时候， x 等于几。 所以依次函数解析式当中，你知道 y 值的时候，你就可以直接把它当做一元一次方程去算就可以了，知道吗？就这就是这个这个知识点的意思啊，这个就是一次函数和一元一次方程的关系。 好，再来研究一次函数与一元一次不等式的关系。先看这个思考，如图，这个图呢，就是上面这个图，我把上面这个图呢挪下来了，画在这里啊。 利用一次函数 y 等于二 x 减一的这个图像，你能得到函数值大于零时， x 的 取值范围吗？函数值小于零的时候， 他的 x 取值范围又是多少？那么由此你能分别得出一次函数不等式这个二 x 减一大于零和二 x 减一小于零的解吗？那么就不等式的计算而言，我们这两个都是可以直接算出来的，你我可以算给你看啊， 你把这个移过去，减一移过去，那就变成了二 x 大 于一，那么 x 就 大于一，除以二，一除以二就等于零点五，对不对？然后这里呢，就小于二， x 小 于一， x 就 小于零点五， 你是可以直接算出来的，那为什么它还要结合一次函数呢？因为我们可以直接通过一次函数的图像看出它的取值范围，不需要算，知道吗？你说，哎，我可以算啊，那万一它这里是 k x 加 b 呢？它如何大于零呢？ 你能算吗？你肯定算不了啊，对不对？这里是因为你知道这个 k 值和 b 值具体是多少你才能算，如果你不知道，你就算不了，那我们以后很多的情况他都是不知道的，那你只能看图像，知道吗？他就是逼着你去看图像，所以你必须要学会看图像，来看 我们如何去判。这个函数值大于零的时候， x 的 取值范围是什么？函数值大于零，这个函数值对应的是不是就是 y 的 值？你要知道函数值对应的就是 y 值， 而 y 值对应的是什么？ y 值它对应的又是重坐标一个点的重坐标的值， 而函数值要大于零，那么也就是说重坐标要大于零，而重坐标大于零的点在哪里呢？重坐标大于零的点全在 x 轴上方，我们就可以知道在 x 轴上方， 你来看一下这个图像当中，这个图像当中重坐标大于零的是不是就在 x 轴上方的这个图像上方？这个图像上的所有点的重坐标 是不是都大于零，对不对？这个点的重坐标，那对应正数，这个点的重坐标对应正数，这个点的重坐标对应正数，它在 x 轴上方这条直线上的所有的点， 它的重坐标都大于零，也就意味着什么呢？也就意味着它的这个 y 值是大于零的，也就意味着它的函数值大于零， 那所以我们就可以知道在 x 轴上方的点，它重坐标大于零，对吧？那么也就是函数 y 值大于零，也就意味着它函数值大于零。那么你看一下这个直线在 x 轴上方的时候，你看看到没有， 它这个上面的图像，所有的点的横坐标对应什么范围？那我放大一点 这个图像，它的横坐标它这里有很多个点，你看一下我这多画几个点，它的横坐标对应的是在这里对应在这里对应，在这里对应，在这里，它的横坐标的所有的值是不是都会大于这个焦点？也就是大于零点五， 和我们刚才算出来的这个大于零点五是不是一样的？看到了吗？那么也就是说不等式的计算，我们可以直接通过函数图像去看出来啊。所以你看他说当这个图像上的点的横坐标 重坐标大于零的时候，这个点是在 x 轴上方的，跟我这里讲的是一样的，并且它的横坐标大于零点五，在 x 轴上方这条直线上所有点的横坐标，它对应下去 都是在零点五的右边，那么也就是说大于零点五吧，也就是说函数值大于零的时候， x 的 取之范围是 x 大 于零点五，那么你就可以直接通过函数图像求出了不等式的解， 就这个意思，明白了吗？你再看当函数图像上点的纵坐标小于零的时候，那在哪里啊？ 重坐标小于零，那么在 x 轴上方的重坐标都是大于零的，在 x 轴下方这个图像上所有的点的重坐标都是对应负数的，也就对应小于零， 所以它是在这个点是在 x 轴下方的，那么它的横坐标小于零点五，为什么呢？你看这个上面所有的点，我们描出几个点来， 它这些点对应的横坐标是不是都在这个零点五的左边？在零点五左边是不是小于零点五？所以这个函数值小于零的时候， x 的 曲子范围就怎么样， 就是小于零点五的。由此我们可以得出，不等式的这个二 x 减一大于零的解集是 x 大 于零点五，二 x 减一小于零的解集是 x 小 于零点五，这个我们都是可以直接通过图像判断出来的， 知道吧？那么以后我们怎么去判断呢？你看一下我这里呢，换一个普通一点的图啊， 那实际上它可以，它不仅仅只是算 x 大 于零的，它还可以算 x 大 于一大于二大于三的，知道吧？你只需要知道它的什么，你只需要知道它对应的重横坐标是多少就可以了。比如说我这里它这个焦点， 假如说这个焦点对应的是 m， 这条直线是 y 等于 k x 加 b， 那 么我就可以通过这个图像得到 k x 加 b 啊。这个 k x 加 b 如果是大于零的话，那么它就在 x 轴的上方取点，而这些点的横坐标都是在 m 的 右边的，所以我们就可以得到这个 x 是 大于 m 的。 然后呢，如果你要让这个 k x 加 b 小 于零的话，你要让这个 k x 加 b 小 于零的话， 那么这个小于零，也就是 y 小 于零，明白吗？你看这个 k x 加 b 是 等于 y 的， 那么 k x 加 b 大 于零就是 y 大 于零， y 大 于零就是重坐标大于零，这个点的重坐标大于零，那就在 x 的 上方， 这是一连串起来的啊，要连串起来。然后呢，这个 k x 加 b 小 于零， k x 加 b 是 等于 y 的， 所以意味着就是 y 小 于零， y 小 于零就是它的重坐标小于零，而点的重坐标小于零，必须在 x 轴的下方，而下方这些图像上的所有点的 横坐标对应下来都是比 m 小 的，它对应的就是 x 小 于 m， 这就它的解 明白了吗？我们很多时候他算题目的时候，他不会很准确的告诉你这个 k b 值是多少呢？他甚至会隐藏起来，知道吧？所以你一定要会看图。那当然了，你刚我刚刚说它不仅仅只限于大于零和小于零，那如果说具是具体的一个数字呢？我这里再举个例子， 我这里再举一个例子，我画一个反方向的，好吧？我画一个反方向的，比如说这个图像长这样啊？我这里不告诉你与 x 轴的交点，我告诉你的是它这里有一个点， 它这里有个点，它的这个这个点的坐标明确告诉你，就是多少呢？就是 负二五，好吧？这个点的坐标就是负二五，这条直线还是 y 等于 k x 加 b， 那 这个时候它不比较，它不跟零做比较，它不跟零做比较，因为我这里根本就没有画出 y 值来，对不对？好，我这里也没有画出 y 的 这个 y 轴来 好。跟零做比较的话，其实就是看是在 x 轴上方还是在 x 轴下方，因为在 x 轴上的点，它的纵坐标都是零。那么现在我要比较的是这个 k x 加 b 大 于五和 k x 加 b 小 于五的时候，它的解是多少？ 那 kb 值都没告诉你了，对不对？好，那么这个时候它大于五，这个点，它的重坐标就是五，那要比五还要大，它的重坐标比五还要大，那在哪里？就是在这个点的上方， 那什么上方？你这里做一条水平线，在这条水平线的上方，那是不是这一段，而这一段上面所有点的什么 横坐标对应下来，那他这个这个点对应下来的坐标就是负二，而上面这一段所有点的横坐标对应下来都是比负二小的，所以我们这里可以推出这个 x 小 于负二， 当这个 k x 加 b 大 于五的时候，这个 x 小 于负二，因为在图像上看到的是在这个点的上方，这里所有的图像的横坐标对应下来都比这个负二要小， 明白了吗？那这个 k x 加 b 要小于五的话，那小于五，这个是五，对不对？比五还要小，就在这个水平线的下面，而下面的图像上所有的点， 它的横坐标对应的怎么样都比这个负二还要大，所以它对应的就是 x 大 于负二。 好了，那么这个呢，就是给大家拓展出来的内容，不要只盯着和 x 轴的比较啊，就是和零的比较，因为它不仅仅只考零，它还可能考其他的数字，你要灵活变通，你再来看下下它下面这段话，他说 对于可以化成 ax 加 b 大 于零或 ax 加 b 小 于零的一元一次不等式，在求它的解集的时候，从函数只考虑，当 相当于在某个一次函数 y 等于 a， x 加 b 的 值大于零或小于零的时候，求自变量 x 的 取的范围，从函数的图像考虑，那么相当于已知直线 y 等于 a， x 加 b 啊，相当于就是这条直线。确定这条直线上的点的横坐标大于零或小于零的时候， 他的重坐标大于零或小于零的时候，他的横坐标的取值范围他的重坐标大于零，那就在 x 轴的上方，在这个 x 轴的上方，小于零的时候就在 x 轴的下方，对吧？重坐标大于零嘛，那就说明在对应的是 y 轴的正半轴， 对吧？小于零的时候，对应的就是 y 轴的负半轴，就这个意思，那么再看他的横坐标的取值范围就 ok 了，那这个就是呢，依次函数和一元一次不等式的关系， 最后再来研究一次函数与二元一次方程和二元一次方程组的关系。先看二元一次方程， 这里给我们举了一个具体的例子，还是刚才那个 y 等于二， x 减一这个函数，它说方程二 x 减 y 等于一，是可以转换为 y 等于二， x 减一的， 怎么转换呢？就是移项嘛，把这个减 y 移过来，一移到右左边去，它就变成了二 x 减一等于 y， 然后左右交换位置，就可以写成函数形式啊。这里呢，他也说了，这种形式是可以对应依次函数 y 等于二， x 减一的，对不对？ 这个方程和这个方程它是有相同的解的，所以这就是为什么二元一次方程可以转换成一次函数的形式，而一次函数的计算也可以看作是二元一次方程的计算，明白吗？好，那么由于一次函数 y 等于二， x 减一，它的图像 是一条直线，这条直线上的每一个点的坐标 x， y 都是这个方程的解啊。以这个方程的解的 x， y 的 值作为一个坐标的点的话，那么这个点都一定会在这条直线上，都会在这个 依次函数的图像上。那你拿这个来看，刚才那个是二 x 减 y 是 等于一的，对不对？好，我们把它转换成 y 等于二， x 减一，那么你从图像上至少可以看出有两个点， 这个点它坐标是零点五零，这个点坐标是零负一，那么这个东西它就可以看出有两个减，一个减是 x 等于零点五， y 等于零。然后另外一个解就是 x 等于零， y 等于负一，看到没有这个点，这个直线上任意一个点的横中坐标都可以当做这个方程的解，因为这个是二元一次方程，所以它是有无数个解的， 那么也就对应了这条直线上有无数个点都可以作为他的解，就这个意思，所以以后你再看到这种二元一次方程，你就可以把它转换成一次函数，对吧？或者通过一次函数的图像去求二元一次方程的解，对不对？好， 继续来看，由于每个函数 x 和 y 的 二元一次方程都可以转换成依次函数的形式，所以每一个这样的方程都对应一个依次函数，于是也对应一条直线。而这条直线上的每一个点的坐标 x、 y， 它的值都可以作为这个方程的解，以这个方程的解， x、 y 的 值为坐标的点也都在这条直线上，所以它们是相互的， 知道吧？好，这里再来思考，他对于二元一次方程组的话，你能从函数的角度去解这个 方程组进行解释吗？啊？对这个解这个方程组进行解释吗？你看这里给了两个二元一次方程，他把它放在一起就是二元一次方程组，对不对？而前面这个我们是可以直接通过书的这个图看出结果的， 而这个呢？啊，他这里也画了，看到没有？他这里直接给我们画出来了，他把下面这个方程也转换成了一次函数的形式，我们转一下，好吧。啊，你先把这个三 x 移到右边去，变成五 y 等于负三 x 加八， 一开始呢是八减三 x， 对 吧？两边同时除以五 y 等于五分之八，减去五分之三 x， 再交换位置等于负的五分之三 x 加上五分之八，你看就转换成了一次函数的形式吧。 这个图呢啊，我们自己做题的话，肯定要自己画，但是书上已经给我们画好了，我们就不用画了，对不对？他把这两个函数的图像画在一起了，看到没有？这两个函数图像它有焦点，这个焦点就是这个 p 点， p 点的横中坐标都是一，那什么意思啊？ 你看这个方程的解，在这条直线上，这条直线上的任意一个点都是这个方程的解，而这个方程的解 在这条直线上，这个直线上的任意一点都可以作为这个方程的解。那么那哪个点可以同时满足这两个方程呢？哎，那就找他们的焦点，对不对？这个焦点就是他们的公共点。什么叫公共点？ 既在 y 等于二， x 减一这个函数图像上，也在 y 等于五分之三， x 加五分之八这个函数图像上，它满足它同时在这两条直线上，对不对？那就可以满足这个方程， 这个焦点既是这个方程的解，又是这个方程的解。好了，那么这个 p 点的很重要，就是这两个方程共同的解，那既然是它的共同解，那就这个方程组的解，就这个意思。所以你要解二元一次方程组， 那么你就把这两个画成图像，找他们的焦点就可以了，知道吗？所以呢， 这两条直线的焦点坐标为一，一，由此可以得到，这个方程组的解就是 x 等于 y 等于一，这个就是一次函数和二元一次方程组的关系。 这里书上也做了总结，它是一般的由含有未知数 x 和 y 的 两个二元一次方程组组成的，每个二元一次方程组都对应两个一次函数呐， 方程组里面有两个方程，这两个方程对应两个一次函数，把它图像画出来对不对？好， 于是也对应两条直线，从数的角度来看，解这个样的一个方程组相当于求自变量，也就是 x 为和值的时候对应的两个函数值，函数的值啊，这个自变量对应的就是 x 这个函数的值，两个函数的值就是 y， 就是 说什么时候 x 相等，而 y 也相等，那不就是它们的解吗？对不对？ 以及这个函数值是和值，从形的角度来看，就是从图形的角度来看，解这样的一个方程组，相当于确定两条直线焦点的坐标是多少，哎，就可以了。 再来看书上的立体，同时释放两个探测气球，一号气球从距离地面五米的高处出发，以每秒一米的速度上升。二号气球从距离地面十五米的高处出发， 以每秒零点五米的速度上升。两个气球都上升了一分钟。第一问，叫我们求出 这个两个气球所在位置高度 y， 关于上升时间 x 的 函数解析式，那这个还是比较好写的，对不对啊？那么这里的话呢，先看第一号气球， 它距离地面一开始是五米，然后一米每秒的速度上升，那么一开始就是五米，一米每秒，那就是一乘 x， 因为它的时间是 x， 单位是秒，对不对？所以是一 x 就是 x， 所以 它就可以写成 y， 一 等于 x 加五， 而这个 x 的 曲值范围呢，是小于等于六，是大于等于零的，因为它只说了上升一分钟，对吧？好。第二个 y 二， 他是从距离地面十五米的高处出发的，所以一开始就有十五米的高度，然后每秒上升零点五米，那就零点五 x， 所以 这个 y 二就等于零点五 x 加上十五，然后他的曲子范围 也是零到六十秒之间，对吧？第一位就搞定了。那第二个，他说两个气球在某一个时刻 是能否位于同一个高度？如果能，这两个气球上升了多长时间，位于什么样的高度？那这个东西呢？你就可以把它列成一个方程组了，因为因为你看对应的 y 等于 x 加五和 y 等于零点五， x 加十五，对不对？好， 那什么意思呢？他既然说了位于同一个高度，那么对应的就是什么意思啊？对应就是 y 相等，他的高度就是 y 嘛，对不对？他说了高度用字母 y 表示，那同一高度，那不就是 y 相等吗？那 y 相等的时候 对不对？他说这个时上在同一时间，注意某一个时刻，在某一时刻，也就是说 x 相等时间，他不会。因为什么这个两个物体不同的情况下，他就不一样嘛，对不对？因为他这里说的是 同时释放，所以他的时间经过是一样的啊，所以 x 相等， 他既然是同时释放，那就不可能说，哎，他飞了五秒，而他只飞了三秒，不可能吧？时间都是一样的，对不对？你不可能，你的时间比别人过得快， 对吧？大家过的时间都是一样的啊，你过了一天，他也过了一天，就这个意思。所以在某一个时刻能否位于同一高度？但位于同一高度就是 y 相等，在某个时刻就是 x 相等，那那么过的时间是一样的，它同时啊， 是不是所以 x 相等， y 相等嘛？那不就是把这两个一次函数列在一起，当做 二元一次方程组去算吗？对不对？好，那么怎么去算呢？你看 y 相等，那既然这两个式子的 y 是 相等的，你就可以直接把这个 y 替换掉，把下面这个 y 替换成 x 加五，对吧？好， 你就直接把将 y 等于 x 加五带入到二十当中，这一十，这是二十，那就是 x 加五等于零点五， x 加上十五，一项， x 减零点五， x 等于十五减五， 那么零点五 x 就 等于十， x 就 等于零十除以零点五十除以零点五， x 就 等于二十，那么 y 是 等于二十加上五的，所以 y 就 等于二十五，这里算出来就是 x 等于二十， y 等于二十五，也就是说当时间 过了几秒啊，二十秒的时候 啊，两个气球位于同一高度，两个气球位于同一高度， 并且高度为 二十五米， 这就是第二本啊，当然了，书上呢，它也有完整的答案啊，并且呢，书上还把图画出来了，大家可以看一下它这个图可能会更好理解一点，我这里就是把它计算过程写得详细了一点，大家可以看一下， 好，你看对吧？在某一个时刻，两个气球在某时刻位于同一高度，就对应 x 的 某一个值， 这两个函数有相同的 y 值，那就可以列一个方程组了，他把图像画出来，一个从五米开始 放，一个是十五米开始放，对吧？他们的焦点呢，就这个 p 点，这个 p 点的横中坐标呢，就是二十和二十五，对应的就是 x 和 y， 值对应的就是二十和二十五，明白了吗？啊，所以你想要求这两个啊， 依次函数具有相同解的时候，其实就是求这两，就是看这两个依次函数的图像焦点在哪里就 ok 了。 好，再看。练习第一个画出依次函数 y 等于负二 x 加八的图像，利用这个图像去解方程和不等式 啊，我们先把它的图像画出来，我们一般画的呢，都是与 x 轴和 y 轴的交点，我们先画与 x 轴，那么如果你要求与 x 轴的交点，那么你就让 y 等于零， 因为与 x 轴上的与 x 轴的交点，它的重坐标都是零，当 y 等于零的时候，那么零就等于负二 x 加上八，那么二 x 就 等于八， x 就 等于四，所以它会过四零这个点。然后你要求与 y 轴的交点， 那你就让 x 等于零，因为在 y 轴上的点横坐标都等于零，那么你就当 x 等于零的时候， 那么 y 就 等于负二乘零再加八，那么 y 就 等于八，所以它就会 y 就 等于八，所以它就会过零八。这个点的话，画图一个是四零，一个是零八，这是 x 轴， 这个是 y 轴，那我这里就不画的那么细了，我们就画个大概。好吧，假如是这个就是四，这个就是八。好，我把这两个点一连， 这个点的坐标呢是零八，这个点的坐标是四零。 好，你要通过图像去看它的解，负二 x 加上八等于零，对不对？那对应的是不是就是它的 y 等于零呢？负二 x 加八等于零，那对应的 对应负二 x 加八啊，不对，是 y 等于负二 x 加八中 y 等于零的时候， 你把 y 换成了零，那不就是这个四字了吗？对不对？好，那么它对应的就是 x 是 等于四的，因为当 y 等于零的时候，它的横坐标是四，所以 x 等于四，这是由图可知啊。 由图可知好，然后呢？求这个。那么负二 x 加八大于零，那也就是对应的就是函数图像的重坐标大于零，对应的就是 y 大 于对应 y 等于负二， x 加八当中， y 大 于零的时候， 这个图像上的点的重坐标大于零，那不就在 x 轴的上方吗？在 x 轴上方，它这个上方的图像上的点横坐标对应的是不是都比四小啊？所以我们这里对应的就是 x 小 于四 啊， x 小 于四，然后再看负二 x 加八小于零的时候， 它对应的呢，就是 y 等于负二， x 加八当中的 y 小 于零的时候， y 小 于零，就是这个图像上点的重坐标小于零。重坐标小于零，说明在 x 轴的下方，因为下方的 图像上点对应的就是 y 轴上的负数，对吧？就是小于零的时候，那么对应横坐标呢？对应横坐标的话，就在这个四的右边，看到没有，所以 x 就 大于四就可以了。当然了，你说老师 我这个都能直接算出来，我为什么搞得这么麻烦啊？因为后面的题目它可能不会告诉你它的 k 值和 b 值是多少，知道吧？ 第二题，依次函数 y 等于二， x 减三与 y 等于 a， x 加二的图像，它的焦点坐标为二一，请确定方程组它的解和 x 的 值， 那么这两个函数它的焦点坐标是二一的话，那么你把这两个函数的解析式连立成一个方程组啊，那么这个二和一对应的就是 x 和 y 的 解，知道吧？我们用文字表示一下， 因为 y 等于二， x 减三与 y 等于 a， x 加二的焦点 为二一啊，焦点为二一，说明这个点既在前面这个函数解析式上，又在后面这个函数解析式上，对不对？函数图像上啊，所以把它们两个列成方程组，这个就是它的结。所以 y 等于二， x 减三和 y 等于 a， x 加二，它们的解就是， x 等于一， x 等于二， y 等于一。用文字描述一下，所以方程组 这个方程组的解 为， y 等于二， x 等于二， y 等于一，就这个意思。那么既然这个解是 x 等于二， y 等于一，那么也就是说，把这个解带进去算，就可以算出 a 值，对不对？满足这两个式子，所以将 x 等于二， y 等于一， 带入二十当中， 那么 y 换成一就是一， x 换成二就是二， a 加上二，一减二等于二， a 负一等于二， a 二， a 等于负一， a 就 等于负一，除以二等于负二分之一，所以 a 就 等于负二分之一，这个也算出来了。 好，再看第三题。刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游， 在假公司租车，那需要收取固定租金八十元，在此基础之上，再按每小时十四元去计费。如果你在乙公司租车的话，就不需要这个固定租金，只需要直接按每小时三十元收费就可以了。 那么当他将租车为多长时间的时候，租用假乙的这个算法，函数解析式表示出来。好吧， 好，首先是假公司，那假公司呢？他上来就要八十块钱，对不对？然后慢按每小时十四元去收费，那么加十四 x， 好， 这里我们写一下，设设一下啊，不能无中生有，设租用时间 为 x 小 时，租用费用， 租用总费用嘛，啊， 为 y 元，这样去表示就可以了。好，那么这个假的这个解析式就可以写成十四 x 加上八十，对吧？那么乙呢？ 它就是按什么？它就是按三十块钱一个小时算的，那么你经过了 x 小 时，那就是三十 x， 对 不对？就三十 x， 那 你 在什么时候，经过多长时间，他们的费用相同，那也就是说甲和乙相等吧，对不对？那你把它列成一个方程组求解就可以了。 y 等于十四 x 加八十，另外一个就是 y 等于三十 x， 对 不对？好，我把它算一下，因为这个 y 值是相等的，费用相同， 那么左边的 y 相等，那右边是不是也相等呢？当然你直接把这个 y 等于十四 x 加八十带入下面这个式子也是一个意思，对不对？好， 那么 y 相等的话，那么这个右边就相等，十四 x 加上八十等于三十 x 到一项十四 x 减三十， x 等于负八十，那么就等于负十六， x 等于负八十 x 就 等于负八十，除以负十六， 然后算出来 x 就 等于五，对吧？所以经过五小时之后啊，如果他租用的时间为五小时，那么你选择假公司和乙公司都是一样的，对吧？所以我们就答 这里也没有叫我们求出这个 y 值啊，你想要求出这个 y 的 费用也很简单，你拿三十乘上五就可以了， y 就 等于一百五十六，对不对？你如果要用这个式子去算的话，那就是 y 等于十四乘上五加八十，十四乘五等于七十，七十加八十也是等于一百五的，当然了，这里不需要我们求 y 值，知道吧？答，租车时间 为五小时的时候， 五小时租用甲乙两个公司 汽车费用相同。

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依次函数与不等式的结合，这样的题型是我们期末每年必考的题型，记住啊，是必考的题型， 那到目前为止，我还看到相当一部分同学啊，对这种题啊，还进行大量的进行计算才得出结果，那实际上这样的题型只需要看图就可以得出答案。今天我们通过去年的两道期末的真题，给大家讲一讲这种单求函数怎么来求范围。 我来看一下第一道题啊，他说这里有一个函数的结式， y 等于 x 加 b， 图像给到了，还有两个交点，我们把这个坐标标一下，二斗零和零斗三 啊，然后他要求这个 x 加 b 大 于等于零的时候， x 的 这个取的范围啊。第一步呢，我们通常来讲啊，会对它进行一个转化，把这个 x 加 b 呢变成 y， 因为 y 本身就等于它嘛，大于等于零。 好，那么知道这个之后呢，第一步要干什么呢？就是无论你是大于还是小于，我们都找到等于的时候，那这地方呢，我们就找到 y 等于零的地方， 那找到 y 等于零的地方，我们看这条函数图像上，哪一个点的 y 是 等于零的呢？很明显就是二这个位置好。找到它之后呢，我们从这个地方画一条竖线，画这条竖线呢，就相当于把我们这个图形啊分成了两个部分，左边部分和右边部分。好，那接下来我们来找一找啊， 第二步啊，就去找他的这个符合条件的啊，这个图像在哪里？那这里有个口诀，就是大鱼的时候，我们就往上面走，小鱼的时候呢，就往下面走，那你看这里是大鱼啊， 大鱼呢，因为这地方 y 等于零吗？大于零我们就往上面跑，那符合要求呢，就是这一段，这一段呢，在我们这条线的左边，我们来看一下，图象，找到了之后呢，就看 x 在 哪个范围， 这条竖线对应的是二，也就是说一开始是二，而往左边走的话，那我这个图像往左边走啊，我这 x 呢，也是越来越向左的，那就是越来越小了。 好，那这个时候呢，我们的 x 呢，就是小于二的啊，当然这个时候呢，原本啊，我们是有等号的，要保持一致，所以 x 呢，也是要等于二的，所以这种结果呢，我们就选择 c， 答案 x 小 于二。 好，第二种呢，它就是不与零进行比较了，与另外的一个数比较，这个地方呢，它就与四进行比较。我们看一下啊，这也是它的图像，而且给出了一个点的坐标， a 是 负二负四， 然后呢，他要求 k x 加 b 大 于四，那我们转换一下，就是 y 大 于四的时候，我们说了，无论大于还是小于，先找到等于的时候，那我们看 y 等于四在哪个点呢？很明显在 a 点，因为 a 点的 y 是 等于四的，依然是通过一点做一条竖直的线， 整个平面呢，分成了左边和右边部分。那么现在要找这个符合要求的图像在哪里呢？ 上大下小哈，既然又是大于，我们就往上面跑，哎，就是这段符合要求，那对应的 x 在 哪里呢？这条竖线一开始对应的是负二， 既然是右边的图像，就是往右边是越走越远的，那我的 x 也会往右边移动，那就说比负二越来越大，那所以我们 x 呢，是大于负二的，因为它没有等号，所以我这里也没有等号， x 大 于负二就可以了。

又开始了，这，这没完了吗这， 哈喽，大家好，今天是二零二零年五月十三日星期三，我们来看今天的四道题目，今天的内容是一次函数以及一元四不等式和一元四方程之间的关系。 我们先看第五题，老样子，先读题目，说如图啊，下面有图 说一次函数 y 等于 k， x 加 b 啊，它的图像与 x o 的 焦点坐标负二零。说下列说法一共有这么四个，我们一定要来看。 第一个 y 随 x 的 增大减小，那如何去观察呢？我们通过发现这条直线啊，从左往右，随着 x 的 增加，那他的这个 y 值是啊，逐渐减小的， 所以说应该是这个五 y c x 增大， r 减小。所以说第一个是错误的啊。第二个说关于 x 的 方程， k x 加 b 等于零，它的解释 x 等于 four， 结合咱 y 是 等于个 k x 加 b 的， 那现在它和方程什么关系呢？那咱让这个 y 取零的话，就能得到 k x 加 b 等于零这个方程，那此时你对应的求出来 x 的 这个解 等于 four， 就是 我们与 x 轴的交点坐标，因为你当 y 等于零的时候，就是与 y 轴相交嘛，此时它的 x 是负二零，我们通过图像观察得到的，所以说他此时对应的这个 x 的 解就等于个负二啊，所以说第二个是正确的。第三个说 k x 加 b 大 于零，那么这个是结合不等式， 那其实我们这条直线被这个 x 轴给它一分为二啊，在与 x 轴相交的这个位置， 你 x 等于个负二， y 是 等于个零的，而这个上半段 啊，在 x 轴上方，他此时对应的 y 是 全部都是大于零的，也就是 y 大 于零，而此时我们对应的 x 呢？我们来观察，他都是在我们这个与 x 轴交点的左侧，是对应的， x 的 平方应该是小于负二的，而下半段 在这 x 中下方的这部分之线啊，它的这个 y 值都是小于零啊， y 值全部小于零， 而此时对于 x 的 范围呢，它是在负二的右侧，虽说是 x 大 于负二，那这里他说啊， k x 加 b， 那 不就 y 吗？ y 大 于零，那 y 代理的时候， x 零呢，是小于负二，而它是 大于负，这三是错误的啊。那再看最后一个 b 小 于零呀，这个 b 的 正负和谁有关系呢？就看它和我们这个 y 轴，它的焦点 的位置，我们通过它和 y 轴相交于这个 y 轴的负半轴，那就说明 b 是 小于零的哈，那一共是对了三个，所以说选 c， 这是第五题， 我们来看第六题，说直线啊， y 等于 k 的 加倍啊，图片在上面呢，说经过了 a b 两个点，说不等式，他他他这么一大串，它的这个解集是什么？那我们正常的思路啊，就说怎么去求呢？ 我们不知道，这 k s 加 b， 我 们把它结合这个直线百拉式啊，有两个点，然后我们把它带点，利用带点系数法啊，二 k 加 b 等于个一啊，负 k 加 b 等于个负二，那咱连立一下口，算一下，把这相加啊，三 k 一 座叉，三 k 等于个三啊， k 就 等于个一，那咱把 k 等于一代入，那 b 就 能求出来了啊， b 就是 个负一， 虽说这个直线它的表达式 y 就 等于个 x 减一，那再求这个不等式，就转化成了 二分之一 x 啊，大于这个我们 x 减一，再大于一个负二，那像这种连不等式给它拆分成两个，一个是左边的， 那一个是右边的，形成一个不等式组。那咱来求一求 一个是二分之一 x 大 于 x 减一，另一个是 x 减一大于负二。 那么解一下第一个啊，一个项咱们二分之一 x 减 x 大 于负一，左边是负二分之一 x 大 于负一， 那么咱给它系数差一，同时除以负二分之一，那就小于个二了。那这是第一个解， x 小 于二，第二个呢？一个项负一，移到右边去，负二加一大于负一， x 大 于负一，那根据咱们这个 同大吉他同大取大同小，取小，大小小在取中间，那么大大小小无区间。这个话，负一和二二是大的，然后负一是小的，大于小的，小于大的，所以说取中间 x 就 大于负一小于二，那这是他的这个答案。 好，这题还有个更简单的方法，不用去列这么多式子，我们直接通过观察图片啊，观察图像就可以得出来答案。怎么去观察呢？他说两个点啊，咱把它一标 a 点，横坐标是二，动作标是一 b 点， 把上面擦一擦 b 点，他的这个横坐标是负一啊，动作标是负二。 他说了这个不能是二分之 x 大 于 k， s 加 b 大 于负二的这个解集，咱们可以把这个左右两侧的这个转化成直线的表达式。二分之一 x， 这个可以看成一条直线， y 一 等于二分之一 x， 中间这个就是 y 等于 k， x 加 b 这条直线啊。后边这个负二的呢？我们也可以找一张 y 二等于负二，是一条平行于 x 轴的水平直线，那么我们也可以把这三条直线给它在图中画出来。 那第一条的话，二分之一 x 这个，那他证明函数过圆点，那带入一个点坐标，咱就带入这个 x 等于二的时候，哎，刚好是一，所以说他刚好过 a 点，而逗号一，那么再经过圆点，咱们就可以把这条直线给他画出来。好， 那么这条直线就是 y 等于二分之一 x， 而图像给的这个是 y 等于的啊，这是 y 等于 k s 加 b 的。 然后还有一条，我们 y 等于负二这个，那它是过零负二这个点，所以说它也经过这个 b 啊，负一负二， 稍微加粗一下。 哦， 那么此时三条直线都出来了，我们看如何去通过这个图去解出这个答案呢？那他说了 k x 加 b 和二分之一 x 这样直线， 他是这个二分之一 x 这样直线他是要大于 k s 加 b 的， 那么就结合图像你这个直线，呃，高的他就大于直线，低的啊，那我们来看，你二分之一 x 要高， 那这个 k s 加 b 要低，那应该是在这一段啊，我标红一下 这一段，然后这是 k s 加 b。 好， 那在这里它的这个负一， 其实你这个再往下，它也是大的哈，爷说在你这个焦点的这个 a 点啊，在 x 这个小于二的， 爷说在二的左侧，我的这个二分之一，这和直线，它始终是高于我的这个 y 点 k s 加倍的直线，进而它的这个 y 值就一直大 大于 k x 加 b， 那 这时候如果只有这两个线的条件，那直接 s 小 于二就可以。但是像现在又限制一个条件，说这个 k f 加 b 呢，它还要大于我们这 y 等于负二这条直线， 那么咱来看 y 等于负二这条直线和我们 k s 加 b 这条直线相交于 b 点，那么什么时候它才会大于负二呢？也就是说在负二的上边，那下面是取不到的，那么就把下边这一点擦掉。 所以说此时你的这个 b 点的横坐标，焦点的横坐标是负一，那么符合要求的就是这一段 x 从负一到二这一段它就符合啊，这个谁最大呢？我们的这个红色的这条 在下面这个标个 y 二啊，他等于负二红色这条是最高的啊，他在最上面。那其次啊，是我们这个绿色这一条，他是在中间，然后最下面这个黑色这一个他是最小的，那他在最下面，此时我们 x 阶梯就是在负一到二之间啊。 那既然这么繁琐，就是为了以后你再去分析上停的时候，借助这个图像，你就可以快速得到答案了，就可以不用再去求了哈，这是第二个方法。好，这是这一题， 下一题说 y 点开始加倍啊，还是如图，上面有图 说经过 b 点二都或零，所以还是 y 点二， x 的 图像交于点 a。 下列结论让咱填正确的序号，我们一个一个的看。第一个 a 点的横坐标是二，我们来看一下图像， 此时我们观察这两条直线相交于点 a， 但是它对应的是我们的纵坐标等于二，而不是横坐标，写出一是错误的。 第二个说关于 x 不 等式， k s 加 b 小 于零，它的解集是 x 大 于二，我们来看 k s 加 b 是 这条直线啊，我给它加粗一下 这个红线啊，红色的是 k f 加 b， 他 说要然让呢，咱们找这个 k f 加 b 小 于零呢？我们先找到它和 y 轴的交点，因为你和 y 轴相交的时候，就是 y 等于零的时候。那既然是小于零，我们只取它的下半部分 啊，也就是下半部分，而下半部分对应的这个 x 取值还应该是在这个 b 点 啊，横坐标也就是二多或零在二的右侧，言说 x 大 于二的时候，它的所有的 y 值全部都是小于零，所以此时它的解集不是 x 大 于二，应该是 x 小 于二。谁说 哦，是 x 大 于二，刚才老师口误了， 在 x 这个大于二啊，所以说二是对的啊。第三个 说关于这个 x 方程， k x 加 b 等于二 x 说它的解释 x 等于二，那 左边这是 k x 加 b 这条直线，右边是二 x 这条直线，那它俩相交的焦点应该是 a 点，而此时它的对应的这个解 f x， 它这个取值应该是几呢？我们应该是把 y 零二代入， 那就二等于个二 x 解出来， x 就 等于个一了。爷说他的解对应的应该是 x 等于一，而不是 x 等于二啊，所以说三是错的。那再来看最后一个， 说不能是左啊， k x 加 b 大 于零小于二 x， 那 这个还是通过观察图像更简单一些啊。 这个如何去分析呢？ k x 加标大于零，爷说我们再去取它的时候，要取它的上半部分啊，这是 x 轴上半部分， k x 加倍是大于零的， 然后能一直搭上去吗？他还要找小于二 x 的。 那么焦点的处，这个是刚好等于二 x， 那 在焦点的左侧，我们会发现这个 红色的，也就是我们的 k f 加 b 要高于我们绿色的这个二 x 也说在 x 等于一，他这个焦点啊， x 为一，它的左侧应该是红色的，这 k s 加 b 要大于二 x。 但是咱现在需要的是我们这个 k x 加 b 小 于二 x， 那 也就是在它焦点的右边，绿色的在上， 红色在下 h， 二 x 要大于我们的 k x 加 b f 和要求。所以说，那它的这个解 介级就是在这里啊， x 大 于一，但是能一直大吗？这个对点焦点都表示二零，那么你不能超过二啊，你超过二之后，我们这个 k i 加 b 就 小于零了，咱就不符合大于零了。所以说只有这一段 啊，是符合要求的啊，这段符合要求的对，那 x 的 范围呢？是在一到二之间，那左右一和二是取不到的，因为是大于号和小于号啊，在最终 x 的 g g 是 大于一，小于二，所以说四是对的啊，所以说正确的题目序号是 二和四。那再看最后一个，说在平面直角坐标系内啊，依次函数 y 点 k 和 y 点 x 加 b 的 图像，如图。第八题都在最上方，我们来看说法正确的 好，再一个一个来看，把旁边这些擦一擦。 先来看第一个，说 x 小 于零的时候， y 是 大于负二小于零， 我们看 x 小 于零。哈，那 x 取的时候就是取这个 y 轴的左侧这一段，那我们看对应的 y 值，哎，全部都是在负二的 什么下方，也说它应该是小于负二的，而不是大于负二小于零，应该是 y 小 于负二，是 a 是 错的， 那 b 选项说 x 加 b 等于零的时候， x 等于负二，当出现等于零的时候，就是与 x 轴的交点，那我们通过观察与 x 轴的交点坐标是一多少零， 那此时 y 等于零，而 x 应该求得解是一，所以说不是 x 等于负二，应该是 x 等于个一，所以说 b 选项也是错的。 猜看 c 选 c 选项，说 y 大 于负二的时候， x 是 大于零了。那我们来看一下图片啊， y 大 于负二的时候，那么等于负二的时候零，负二说这是在这啊，那大于负二了。 c y 大 于一块，大于一块，大于一块，大一块。好，此时对应的这个 x， 他的这个，你看对应的 x 的 取值啊，对于 x 的 取值全部都是大于零的，所以说他的这个 c 选项是对的啊。 其实就是你观察图像啊，在这个零对 for 的 右侧这一段，它对应的 x 的 取值，你看 对应 x 的 取值啊，全部都是在零的右侧，那所以说是 x 大 于零没问题。那再看最后一个，说 a x 加 b 小 于零的时候，即即是 x 小 于零， 那这要直线啊，小于零，那你就看 x 轴的下半部分，那我们通过观察他的下半部分，您是在这，在这个焦点一逗号零的左侧，您那是 x 小 于一，而不是 x 小 于零啊，而在一的右侧， 然后使面弦在一的右侧，也说 x 大 于一的时候，它的这个 a 加 b， 它的对应的 y 值全部是大于零了，哈，其实你看这一个焦点就能把掉这些一分二，上面的是大于零，下面的是小于零了，中间那个焦点刚好是等于零了，哈， 这时候就把一次函数以及我们的一元一次方程以及一元一次不等式组就都能联系在一起了哈。今天分享就到这，感谢大家聆听，再见哦哦哦哦哦哦。

好，再来看依次函数与方程组和不等式的复习巩固。先看第一个利用函数的图像去解方程，二分之三， x 减六等于零，对吧？那么这里既然要求了让我们用函数图像，那我们就先把图像画出来，好吧， 来看一下，那么我们想要画出来的话呢，就先把它写成函数形式，令 y 等于二分之三， x 减六，对吧？那么你现在当 x 等于零的时候，求出 y 值， 当 x 等于零， y 就 等于二分之三，乘上零减六， y 就 等于负六，所以它就会过零负六这个点，对吧？那么这个点在哪里呢？就在 y 轴上，然后你想求在 x 轴上的点，就当 y 等于零， 那么零就等于二分之三， x 减六，移项六就等于二分之三 x， 那 么这个六除以 二分之三等于 x， 六就乘上三分之二等于 x， 所以 四等于 x， x 等于四，所以它就会过四零这个点，那么咱们再把图像画出来， x， y 与这里的交点是四，零与 y 轴负半轴的交点是零负六，把这两个点画出来 连起来就是依次函数的图像，这个就是 y 等于二分之三， x 减六啊，那我们要通过这个图像看出它的减，就是让 y 等于零的时候，那么 y 等于零的时候，那就是这个点 啊，就是这个点啊，就这个点，所以 x 就 等于四，对吧？所以我们就可以通过图像看出来， 在这个点的时候，它的 y 值等于零，它的 x 值等于四，正好对应了这个 y 换成零，那么这个 x 对 应的呢？就是四，所以我们由图 由这个点四零得出 啊。二分之三， x 减六等于零的减 为 x 减四啊， x 减四，那么有些人可能会说，我在这里都已经算出 x 等于四了，我为什么还要通过画图呢？对不对啊？是不是多此一举啊？那么这个题目它其实是为了让你更好地去理解这个图的意思， 然后这个图像呢，他也可能觉得你自己手里有这个画函数的这个软件，你直接可以通过软件去画，因为前面他也讲了如何用碗软件画图像，对吧？啊？像我们自己这样直接手搓一个图像出来，那肯定是要算出这个 x 等于四的，对不对？好， 再看第二个，利用函数图像解不等式，五 x 减十大于零和负二， x 减四小于零，那么咱们这里呢，也要把它当做函数的形式，那我们就令 y 一 等于五， x 减十， y 二就等于负二 x 减四，那我们要画图吗？画图的话，你就令 x 和 y 等于零，对吧？当 x 等于零的时候，这个 y 一 就等于五乘零减去十等于负十，说明它过零负十这个点。好，这个呢，我们等会再算，不然弄混了。然后当 y 一 等于零的时候， 就零等于五， x 减十啊，把五 x 移过来，负五 x 等于负十， x 就 等于负十，除以负五， x 就 等于二，所以它就会过二零这个点。好，再算这个，再算 y 二， 这里也写个零，好算。当 x 等于零的时候， y 二等于负二乘上零减四，负二乘零就是零，零减四等于负四，所以就是负四，那么就过零负四这个点。然后当 y 二等于零的时候， 这个零就等于这个负二 x 减四，把负二 x 移过来，二 x 等于负四， x 就 等于负二，对吧？所以它就会过这个负二零这个点。好，我们在图像上把它画出来，先画这个图，先画这上面的图， 一个过零复十，一个过二零二零的话大概就在这个位置，零复十，我们就画在这个位置，两个点一连 就是函数解析式，就是函数解析式的图像了，这个直线就是 y 一 等于五 x 减十，好了，他说要这个五 x 减十大于零，对不对？大于零在哪里啊？ 大于零在上方看到没有？大于零，零在这个位置，零在这个点上，那比零大，那么就在他的上方，所以上面这段图像就是 五 x 减十大于零的地方，对吧？啊？五 x 减十大于零，那么又意味着 y 一 大于零，而 y 一 大于零就是在 x 轴上方的图像，而这个图像上对应的所有的横坐标都比这个点的横坐标要大吧，对不对？它继续往后延， 它这里的横坐标往下一一对应，都是比二大的啊，所以这个 x 怎么样就大于二，当然了，你说，哎，我不能直接算吗？我直接算就可以了，对吧？ 好， x 大 于二就可以了，那这里呢？是为了让你理解这个不等式和图像的关系，知道吧？咱们再画第二个图， 一个是零负四，一个是负二零零负四，我们就画在这个位置， 负二零，咱们画这个位置连一下。 好，这条直线的话，就是 y 二等于负二 x 减四，知道吧？那么你看一下它要它小于零，对不对？小于零， 那么零就是在这个位置，这个点的纵坐标就是零，对吧？比零要小，那就在它的下方， 那么就在它的下方，在下方上面的点对应的横坐标是不是都比这个负二要大呀？所以 x 就 大于负二，知道吧？好，所以我们写一下，因为 负二 x 减四要小于零，那意味着 y 二小于零，而 y 二小于零的话，就是对应的是这一段图像，这段图像对应的所有横坐标都是比负二大的，所以 x 大 于负二，就是这个不等式的。解了。 再看第三题，也是叫我们利用函数的图像去解这个方程组，那这里有两个方程对不对？都是带 y 的， 所以我们要先把这两个转换成什么？转换成函数形式。怎么转换呢？第一个是三， x 加上二， y 等于五， 那么角先把 x 移过去，二， y 就 等于负三， x 加五，然后两边同时除以二， y 就 等于负二分之三， x 加上二分之五，这是第一个。 那么第二个函数呢？就是二 x 减 y 等于八，移过去啊，就把二 x 移过去，负 y 就 等于负二， x 加八，两边同时除以一个负一，那么 y 就 等于二 x 减八，对吧？那么现在呢，我们就要画图了， 我们画图的话，一般都是令 x 等于零和 y 等于零嘛，对不对？这是 y 一， 这是 y 二，当 x 等于零的时候， 这个 y 一 就会等于负二分之三，乘上零加上二分之五等于二分之五，所以它就会过零二分之五这个点。然后当 y 一 等于零的时候， 那么零就等于负二分之三， x 加上二分之五。好，移项二分之三， x 等于二分之五，同时乘上二三， x 等于五， x 就 等于五，除以三等于三分之五。啊，是三分之五了。好，那么我们就可以通过 这个 x 等于三分之五，判断出它过三分之五零这个点，这个时候 y 是 等于零的，所以重坐标是零，对吧？好，这里也是一样的，当 x 等于零的时候， y 二等于二乘零减八，就等于负八，所以它就会过零负八这个点。然后当 y 二等于零的时候， 就变成了零等于二， x 减八，移向负二， x 等于负八， x 就 等于负八，除以负二，它就等于这个四，所以它就会过四零这个点。 好，再把这两个点画在图像当中，我们来画一下， 这个是零二分之五，那我们在这里就画二分之五零二分之五，然后呢这个点呢？是三分之五零，那我们就画这个位置，三分之五，大概在这个位置， 这条直线的话呢，连起来这条直线就是 y 一 等于负二分之三， x 加上二分之五，有点写不下了。 y 一 等于负二分之三， x 加上二分之五，就是 y 一 这条直线。 y 二这条直线的话呢，四零，然后另外一个零负八，那么零负八的话，我们就画下面一点， 这可能就比较远了，假设这个点就是零负八吧，这个是零负八，然后这个点的话，就当做是四零，然后把这两个点连起来 延长过来，好，这条直线就是 y 二等于二， x 减八。 好，图像画好了，那么你会发现，你把这两个当做方程组的时候，它的解就是它的焦点， 而这个焦点呢？说实话啊，我没画出来，对不对？我们不知道它的焦点是多少，所以呢，我们要试一下，对吧？因为你不能去算，你不能把它当做去算，所以你要去试一下，你看这个是几啊？这个是 这个三分之五，这个是四，那么比三分之五大一点是几啊？就是二，三对不对？二肯定对不上，二肯定对不上，那么你就找三，所以我们就分别试一下，当他们俩都等于三的时候好不好？好，当这个等于三的时候，当这 y 一， 当 x 等于三的时候，这个 y 一 就会等于负二分之三乘上三加上二分之五，它就等于负二分之九 加上二分之五等于负的二分之四等于负二，所以它就会过三负二这个点。 然后呢，你在当 x 等于三的时候，你再算这个 y 二 y 二就等于二乘三减八等于六减八也等于负二，它也过三负二这个点，发现没有，它们经过同一个点，所以 三负二就是它们的焦点啊。所以我们就看得出来， y 一 与 y 二的焦点 为三负二，所以 x 等于三， y 等于负二，就是这个方程的解，为这个方程 三 x 加二， y 等于五和二， x 减 y 等于八的解就可以了。 如果呢，有些题目呢，他直接画了图，并且告诉我们焦点，那我们这些画图的过程就都可以省略。 再看综合运用第四题，甲乙两个工程队分别同时开挖两段合渠，所挖合渠的长度为 y 单位是米与挖掘的时间， x 单位是小时之间的关系。如图所示，那 红色这一段是假的，然后绿色这一段是乙的，叫我们分别求出假。对在零到六，就是 x 大 于等于六大于等于零小于等于六的时间之内和乙对在 x 大 于等于二小于等于六的这个时间内， y 关于 x 的 函数解析式，那么求解析式的话呢？你可以看得出来，假的话经过哪两个点？ 第一个是圆点，对不对？第二个就是六六十，经过这两个点，我们就可以带入一次函数当中，对吧？好，那么乙呢？他只教我们求二到六这段时间之内，那么你看二到六这段时间，他也经过两个点，一个点是二三十， 另外一个是六五十，对不对？好，我们就把这两对点带入一次函数当中，我们这里就写一下，好吧，先求 设假对，在 x 大 于等于小于等于六大于等于零的时段内，解析式，函数解析式 为 y 假，对吧？等于 k 一， x 加上 b 一， 为什么要这样去写呢？因为你乙对也要去设呀，对不对？它们俩的 k 值和 b 值不一定相等啊， 对吧？所以我们就复制一个出来，改一下数据设，再设一下乙，对，不过可以等会来算，我们把里面改一下，甲对换掉， 然后时间段换掉解析式，这个换掉。好，那我们就写设乙对，在 x 小 于等于六大于等于零的时间内，函数解析式为 y 甲 y 乙 等于 k 二， x 加上 b 二，对吧？好，设一下。那么现在呢，我们就知道甲经过零零，甲经过的点是零零这个点以及六六十这个点。好，我们就将 零零这个点与六六十带入到 y 角当中，那么你就可以得到方程组，对吧？这个方程组呢？等一下啊， 这个方程组呢，就是把这个解析式里面的零和 y 都换成零，那么就是零等于 k 一 乘上零，再加上 b 一。 然后第二个呢，就是六十等于 k 一 乘上六，再加上 b， 那 么这里的话，我们化简一下，就可以得到 b 一 是等于零的，对吧？这个是零，这里也是零， b 一 就等于零，然后你再把零带进去， 对吧？好，那么就是六十等于六， k 一 加上零啊，因为 b 一 等于零，写一下吧，还是写 b 一 吧。好，这两个式子，这是一式，这是二式，你将第一个式子带入到第二个式当中，将 b 一 等于零 带入到二式当中，那么零六十就等于六 k 一， k 一 就等于十，那么我们就可以得到 k 一 等于十， b 一 等于零，所以这个假的解析式就等于十 x 啊，就等于十 x， 同时你再把它的取值范围写上 x 小 于等于六，大于等于零的时候，是这样的。 好，再来求第二个一样的操作啊，也是将这两个点，这两个点我们直接在图上写出来，一个是二三十，一个是六五十，对吧？我们将这两个点带进去， 将二三十与六五十带入到 y e 当中，好，那么我们算一下， 把三十带进去，二三十带进去，是三十等于 k 二乘上二，加上 b 二，把六五十带进去，就是五十等于 k 二乘上六，加上 b 二。两个式子，你拿两个式子一减啊，拿二四减一四，那这里五十减三十等于二十， 这里是六 k 减二， k 减掉了啊，所以我们这里就是负四， k 二 等于负二十， k 二就等于负二十除以负四，那么 k 二它就等于五，然后你再把五带入到其中一个解析式当中，将 k 二等于五 带入到一式当中，那么就三十等于 k 二， k 二已经知道了，就是五乘二，再加上 b 二，那么三十就等于十加 b 二，那 b 二呢？就等于 三十减十， b 二就等于二十，那我们就可以得到这里的 k 二等于五， b 二等于二十这个解析式， 你就会等于五 x 加二十，并且取之范围是 x 大 于等于二，小于等于六，对不对？好，那么这个就算完了。再来看， 那这里说当 x 为和值的时候，甲乙两个对在施工过程当中所挖合取的长度是相等的，那么你就看它们的焦点，这里是有一个焦点的对不对？那这个焦点是多少呢？哎，我们不知道，我们就可以把这两个 函数当做一个方程组啊，去算 x 等于几就可以了，知道吧，因为它们在这里有焦点的时候，意味着在同一时间内，它们挖的长度也相等，所以就是找焦点。 第二问就是找焦点，所以我们列方程组， y 等于十， x 和 y 等于五 x 加二十那两个式子， 那么呢，我们就把一次当中的 y 等于十 x 带入到第二个式子当中去，那你就可以得到十 x 等于五 x 加二十一项，十 x 减五 x 等于二十， 五 x 就 等于二十， x 就 等于二十，除以五 x 就 等于四，所以那么当 x 等于四的时候，他们所挖的渠道是相同的，知道吗？好，那么这里我们同时也把 y 算出来， 那么 y 就 等于十，除乘上四， y 就 等于四十，所以这里算出来的是 x 等于四， y 等于四十，对吧？好，我们最后再答一下啊，当 x 等于四的时候，加以两对。 施工 的时候，施工过程中，施工中挖的和渠长度 相等都为四十，单位是米就可以了。 再来看拓广探索第五题，在同一平面直角坐标系当中，画出函数 y 一 等于负二分之一， x 加上二与 y 二等于三， x 加九的图像，并且结合图像比较这两个函数值大小的关系。 那咱们就先画图，先看 y 一， 这个 y 一 呢，等于负二分之一， x 加二还是一样的令， x 等于零和 y 等于零，对吧？好，当 x 等于零的时候， 这个 y 一 就会等于负二分之一乘上零加二就等于二，所以我们就知道它会过零二这个点，对吧？你其实算多了，你就知道，当 x 等于零的时候，它就一定会等于二，对吧？等于它这个 b 值。然后当 y 等于零的时候， 那么零就会等于负二分之一， x 加上二一项二分之一， x 加上等于二， 那么 x 呢，就等于四，所以它就会过四零这个点。好。再看 y 二， y 二等于三， x 加九一样的，当 x 等于零的时候， 这个 y 就 等于三，乘零加九就等于九，所以它就会过零九这个点。然后再当 y 等于零的时候， 那么这就会得到零等于三， x 加九，一下负三， x 等于九， x 就 等于九，除以负三， x 就 等于负三，所以它就会过负三零这个点。好，咱们再把这两个图像画到什么？画到同一个坐标系当中， 我们这里就画大概啊，就不画那么精确了，因为画太精确了，我会画 y。 然后呢，找到，先画这个 y 一， 找到零二和四零，那零二 大概在这个位置零二四零呢？咱们就画这个位置四零两个点一连 这条直线呢，就是 y 一， 再画这个，这个是零九和负三零，那负三零的话，大概就画这个位置负三零，然后呢？还有一个画九零九的话，九应该很高了吧， 对吧？往上挪一点， 我就在这里画九零九，那实际上可能不止这么高啊，我们这里画个大概 好，这条直线就是 y 二，对不对？好了，那么现在你会发现它会有焦点吗？而这个焦点是多少呢？我们不知道，那我们就把它列成一个方程组，把它的焦点算出来， 因为你要比较大小嘛，对不对？你看在这个焦点的左边是不是 y 一 大， y 二小，而在这个焦点的右边，是不是 y 二大， y 一 小啊？对不对？好，所以呢，我们就把它列成一个方程组， y 一 等于负二分之一， x 加上二， y 二等于三， x 加上九，列一个方程组，那么因为他们的 y 都是相等的，所以就是得到三， x 加九等于负二， x 加二移项，三 x 加上二分之一， x 等于二减九，那么这里算出来的话， 就可以得到是二分之七， x 等于负七， x 就 等于负七。除以二分之七就等于七。乘上七分之二， x 就 等于负二，所以它的横坐标是负二，再把这个负二带进去， y 就 等于三乘负二再加九， y 就 等于负六加九，所以 y 就 等于三。所以他们的这个解就是， x 等于负二， y 等于三，所以我们就可以知道他们的焦点是负二三。好，这个焦点是负二三， 我们写上来负二三，这里对照的横坐标就是负二，这里对照的重坐标就是三。好了，图像画完了，那怎么去做比较呢？其实这个图的话，它画标准了，反而不好比较，我们这里画一个缩略图，好比较一点，那这里 我画一个缩略图，那就简单画一下，看到没有？就这样简单画一下。 好，这个是 y 一， 然后这里有一个焦点是二，它的横坐标是不是二，看到没有？好，我们就以二为分界点，在这个二的左边，你看这个二的左边，负二的左边，是不是？ y 一 在上面， y 二在下面，对不对？好，在它的左边， y 一 在上面， y 二在下面，所以左边对应的就是什么？ y 一 大于 y 二， 而这个左边对应的是 y 一 大于 y 二的时候，你看它们的横坐标对应的是不是都比负二小，对不对？好，所以就可以得到，当 y 一 大于 y 二的时候，它的 x 是 小于负二的，这是第一种情况，看到了吗？好，现在我们再看，在它的右边的时候，你把它延伸过去，这个 y 一 延伸过来，哎，反过来了，现在 y 一 在下面， y 二延伸过去，反而变成了 y 二在上面，这个对应的是它的右边，它的右边对应的是 y 二在上面， y 一 在下面。这个表示的就是当 y 第二种情况，就是当 y 一 小于 y 二的时候，看到没有？ y 一 在 y 二的下面，表示 y 一 小于 y 二，而这个时候，你看这个图像所对的横坐标是不是都比负二大，对不对？它都比负二大，所以这个时候 x 就 大于负二，看到了吗？这是第二种情况，那什么时候呢？它们会相等呢？就是在焦点的时候，所以这个时候我们就写第三种情况， 当它们相等的时候，当 y 一 等于 y 二的时候，这个 x 就 等于负二，那么它们的大小关系三种情况都写出来了。 他们的大小关系一个是大于他，一个是 y 一， 大于 y 二，一个是 y 一， 小于小于 y 二，一个是 y 一 等于 y 二。这三种情况的结果我们都写出来了，都是通过图像去看的，知道吧？这个图像是标准图像啊，标准一点啊，因为我画的也不是特别标准，这个是他的缩略图， 我们通过缩略图就好比较，因为这样的话，这个这个 y 一 在上面， y 二在下面，这个是不对，看过去不是很好比较，这里是 y 二在上面， y 一 在下面啊，其实是一样的，只是这样看的话会比较好看一点，那么我们就是分左右就可以了。

大家好，我们这个视频来讲一下一次函数与方程而方程组不等式之间的联系。现在我们给 这个一次函数 y 等于二， x 减一， 现在我们知道它与 x 轴的交点坐标是零点五，还有零啊， 假设我把这个 y 变成零啊， y 变成零啊，也就是说它就变成了这样一个方程啊，本来是 y x 减一，现在我把 y 变成零，它就变成 x 减一等于零。 好，我把这个方程方程解出来，那 x 就 等于二分之一，你会发现当这个 y 等于零的时候，这个一元一次方程的解刚好是 这个一次函数和 x 轴交点的横坐标。我们再举个例子看一下， 我们再给一个啊，看这个啊，这个已知数是 y 等于 负二的实减四，现在它与 x 轴的交点坐标是负二零。 同样的，我们当我们把 y 变为零的时候，它就会变成负二， x 减四等于零，我们把这个一元一次方程解出来看一下， 那 x 刚好等于负二，你发现这个一元一次方程这个的解，刚好是这个一次函数 和 x 轴的交点横坐标。所以这样我们就得到一个结论啊， 什么结论呢？一次函数 y 等于 k， x 加 b 与 x 轴的交点横坐标 是一，是一元一次方程 k x 加 b 等于零的解啊，刚好是啊，对吧？ 你你你，这个，你这个的焦点横坐标是零点五，那刚好是二 x 减一等于零这个方程的的解。这个也是啊， 这条线与横坐标交点是负二零，这个横坐标刚好是负二个时间，是等于零的结。啊，有这样的规律啊。 啊，这个是一人一次方程与呃，一一次函数与方程的关系啊。不等式有什么关系呢？我们先把这个隐藏起来啊。 啊？不懂事，看看有什么样的关系啊？ 留这个啊。 呃，现在呢，我仍然把这个一次函数的解释改造一下啊。我把等于 y 改为 我把等于 y 我 改为二 x 减一大于零，看这个不等式它的解是什么？而 x 就 大于二分之一， 或者我改为二 x 减一小于零，我把这个一元一次不等式解出来啊， 移过来 x 就 小于二分之一，你会发现这两个不等式那个端点的值，这个解集的端点的值，它的端点就二分之一嘛。这个解集的端点二分之一，这个端点的值刚好和这个 奇函数和 x 轴交点横坐标是一样的。 也就是说我们其实根本就不用解这个不用解这个不等式就可以可以得到这个 这个不等式的解，那就是那就是。呃，这个不等式的解，这个不等式的解就是 x 大 于二分之一呀。 在右边这部分的图像，它它它都是大于零的。从这里开始，从这里开始，这一部分这一部分图像啊， 这一部分图像往右全部是 y 大 于零的啊，对吧？那往右其实就是 x 大 于二分之一，相反， 从 x 小 于 m g， 往左全部是这部分图像，全部是 y 是 小于零的，也就是这个解的解集啊。所以就可以通过函数图像 相应的函数图像可以得到这个不等式组的解集。 原来我们通过实际解得出结局，现在可以通过一次函数图像得出它的结局，这是另一种思考方式， 是吧？就相当刚才我们那个第一个一样，也是可以根据一元一次函数的， 以 x 轴的焦点横坐标得出一人一次方程的解啊，通过图像得出解。 好，那我们就可以得到第二个，刚才是第一个啊，得到第二个小结就一次函数 y 等于 k x 加 b 与 x 轴的交点横坐标 是一元一次不等式， k x 加 b 大 于零，或者 k x 加 b 小 于零解集的单点值，对吧？从这两个方面我们就可以 你通过一元一次呃，一次函数的图像直接得到相应一元一次方程的解，还有一元一次不等式的解集啊，是吧？ 啊，我们继续讨论它跟方程组又有什么样的关系？我们把先把隐藏起来方程组啊，现在我把另一个这两大家关注这两条，这两条直线有个交点啊， 这两条直线有个交点啊， 这个焦点的红坐标是负的零点七五，重坐标是负的二点二点五，那么这个点的坐标既符合第一个解析式，也符合第二个解析式。 大家再观察这个解析式，它是不是一个二元一次方程， 再观察另一个解析式，它也是一个二元一次方程，如果我把这两个解析式组合成 一个方程组行不行？如果行，它的解是不是刚好就是这个焦点的坐标，我们可以试一试啊，现在我们可以试一下啊。 呃， 一个是 y 等于二 x 减一，一个是 y 等于 负，二 x 减四啊，我们回忆一下啊，二元一次方程组的解是怎么样解的？用代入吧， 把一带入二是最容易的，会加减也可以啊，带入也也可以啊，我用带入吧。那那那就用 x 减一代替第二个方程的 y 了吧。然后得 二 x 减一等于二， x 减四，而负的移过来，二 x 加二， x 等于负四加一， 四 x 就 等于负三， x 就是 负的四分之三，那不是 负的零点七五吗？哎，对的了，你看 y 对 不对啊？谁带进一个方程，求 y 出来，二乘以负的零点七五减一，这个是负的一点五 减一就是负的二点五了。哎，刚好是， 那也就是说把两条直线的解析式啊， 组成一个二元一次方程组，对吧？你会发现这两条直线的焦点坐标刚好是两条直线解析式组成方程组，二元一次方程组的解。 那这个是另另一个发现啊，另一个发现啊， 另一个发现，对吧？两条直线的焦点坐标是由两条直线解析式组成二元一次方的角啊， 好，我们把这节课的小结展示出来，一共有三个方面啊， 第一个是一元一次函数 y 等于 k， x 加 b， 与 x 轴的交点坐标是一元一次方程 k x 加 b 等于零的解啊，也说 可以根据一次函数的图像得出相应一元一次方程的解。第二个一元一次函数 y 等于 x 加 b， 与 x 轴的交点作横坐标， 也是一元一次不等式， x 加 b 大 于零或者 x 加 b 小 于零，介级的断点值 也可以根据一次函数图像直接得出，得出相应不等式组的解。集 三是两条直线的焦点坐标是由两条直线解析式组成二元一次方程组的解。 也说可以根据两条直线的焦点坐标得出两条直线解。一次组成的二元一次方程的解。他们之间有这样的联系啊，谢谢大家。

这是我们去年期末新考的一次函数与不等式组的结合，它和以往有点不一样，以往呢，就是给到两条函数，求的是两个函数之间的代数关系，而这一次呢，它是两条函数，求两个不等式的关系。 那这样的题目呢，实际上啊，也是换汤不换药，我们来看一下啊，今天通过两步轻松解决它，它都给到了两个焦点，一个 a 是 负三六零， b 呢是一六零，而且呢，两条函数， y 等于 x 加 b， y 等于 mx 加上 n， 要求这个一个大于零，一个大于零的剪辑就是 x 的 范围。那怎么办啊？很简单，我们首先第一步啊，这种题呢，就分别的去看图，求范围可怎么办呢？我们先看第一个 a， x 加 b 大 于零，也就是说我这个 y 啊，比如说我这 y 一 吧， y 一 大于零的时候，那么说 y 大 于零，小于零的时候，我们先找到 y 等于零的时候在哪里啊啊？ y 等于 x 加 b， 是 这一条，那么找到这个地方，这个地方 y 等于零嘛，大于就往上面走嘛，对吧，上大下小嘛。哎，符合要求的就是这一段啊，我们可以画条竖线在 a 点这个地方啊， 那我们这一条函数上，这个不等式啊，对应的 x 在 哪个范围呢？一开始是负三，那右边符合要求就是往右边走的，所以 x 要怎么样呢？大于负三，这个是我们第一个不等式的解集，我们再看第二个，而第二个我们把它划掉啊，第二个呢，这里是一到零， 他说这个 mx 加大于等于零，那就是 y 二啊，也就是说 y 二大于等于零，这我们是 y 二。标记一下啊，先找到等于零的地方，就是 b 点这个位置画一条竖线， 那么大于就往上走，上大下小。哎，左边相对于说我这条线的左边符合要求，那么 x 呢？是从一出发也要往左边走，那这个时候我们的范围就是多少呢？ x 小 于等于一，因为有等号，保持一致。 好，那这个时候我们再来看啊，把这两个解集啊，再来取公共解就可以了。那这个地方口诀啊，大小小大中间找啊啊，大小小大中间找 啊，就是比小的这个要大，比大的数要小，取中间，那就是 x 大 于负三，小于等于一就可以了。

oh， my god！ wow！ 又开始了，这没完了吗？每天学一点，成绩高一点。 hello， 大家好，我是教数学的张老师。今天是二零二六年五月十五日星期五，我们来看今天的几道题目。 先来看第一题，说方程 y 零 k x 加 b 等于零，它的解释， x a 二说求函数 y 零 k x 加 b 的 图像，可能是，那么结合前面这个方程啊， 他的左边是 k x 加 b， 右边等于零，而我们知道 y 是 等于个 k x 加 b 的， 爷爷说现在 k x 加 b 等于零了，爷爷说 y 等于零的时候减的 x 等于二，说明这条直线过二逗号零这个点。 那么来观察一下他的这四个图像，第一个是负二，零排除掉，第二个是 y 轴零负二，我们要发现他应该是交 x 轴啊， x 轴的焦点， 所以说 b 也排除掉，那 c 是 二度号，零可以，然后 d 选项是零度号，负二了，交于 y 轴了，也不对，所以说选 c 啊，这是第一个， 他可能还会可能出一线啊，在头像给你一个点，假如说在这里啊，出现一个 啊，一等号一啊，说 k x 加 b 等于一的时候解的 x 等于一， 那么你就找这个点是一逗号一的就可以了。人说他不会直接告诉你这个点，而是以这种他和方程以及函数间关系啊，转化成点的坐标的形式去告诉你去找图像。在第一题第二题 说这个一次函数啊， y 等于 k e x 加 b， e y 二 k 二 x 加 b 二，它这个图像交于 p 点一逗号三说关于这个 x 的 不等式， k 一 x 加 b 一 大于 k 二， x 加 b， 二大于零啊， 那么 y 一 y 二，我们把后边这个不等式转化成我们这个直线之间的这个关系啊，表示间隔期。那前面的 y 一， x 加 b 一， 就转化成了 y 一 大于 k 二， x 加 b 二就转化成了 y 二，然后最后再大于零。人家说 y 一 要大于 y 二要大于零，那首先 零的话，其实就是我们的 x 轴嘛，它就是 y 等于零嘛，其实就相当于转化成了 y 一 大于 y 二大于我们的 y 等于个零，而 y 点的就 x 轴，那人说大于零就得在这个 x 轴的上半部分， 那我涂个颜色啊，爷说他的这个符合要求的区域在上面部分，那上面部分里边哪些才是呢？再结合他的这个 y 一 要大于 y 二，那爷说 y 一 所在的直线要高于 y 二所在的直线，那找这种直线，先找他们的焦点， 焦点是 p 啊， x 一 y 等于三，那么在焦点的左侧，我们会发现是这个 y 二要高，然后 y 一 呢要低，不符合我们的要求。那么再看它的右侧， 它右侧 y 一， 哎，跑到上面去了，而 y 二呢，跑到下面去了，那么 y 二能一直往下吗？它这里有一个要求，你得大于零，别说在这个上半部分， 那我们找出来其实就是符合要求的，就是这里， 从这个焦点 x 等于一开始， 那么在一的右侧一直到哪呢？一直到这个四，这里 超过四就不行了，因为超过四它的这个 y 就 小于零，虽然说它还符合我们的这个 y 一 大于二，但是它不符合大于零了哈，所以说最终 x 的 取值范围就是 大于一小于四啊，在这个一到四之间，这个 y 一 大于百二，然后大于 y， 零啊，大于零，这是第二题，随着这题选我们的到啊。 再看第三题，说下列结论正确的是，函数 y 等于负二， x 加三，说 x 取值范围是负一到三，说图像是一条线段， 这个的话，我们结合图像，我们这个一次函数，它是一条直线，那如果你规定了 x 的 范围了，假如说这个样子啊，啊，这个 for x 应该是从左往右划啊，往下一个下降趋势，然后他的这个 x 啊， 画一个剪图啊，就不画出来了啊， 好，对的， 左边这条直线啊，是 x 等于负一的时候，右边这条直线是 x 等于三的时候，那 x 取负一到三，也就是说截取这一段，还有包含这两个端点处的哈，所以说它是构成了一条线段， 然后把它加粗一些，也说这啊一条线段没问题，所以说 a 是 对的哈。那么 b 说一次函数，这个我们的 x 减一，它的图像与 x 轴的交点，那与 x 轴的交点就让谁等于零，让 y 等于零，让 y 等于零的时候，解出来 x 应该是等于个一，也说它应该是一逗号的，所以说 b 选项错在这， c 呢，说在 y 轴上的截距是负二，我们这个截距怎么去看呢？把这一次函数转化成我们的这个一般式。怎么转化成一般式呢？啊，我们来看一下 挠一挠什么去了？四， y 等于个四， x 减四，再减二就等于四， x 减六， 而我们知道 y 等于 k， x 加 b 是 它的一般式，这个截距就是比 y 轴的焦点的动作标。那么您说当我们的 x a 零的时候， 那对应的这个动作标球赛就是 y 等于个 b， 要看 b 就 能看成截距了，那这里的这个 b 是 我们的负六，进而就推导出来这个截距 就是我们的负六，而不是负二啊。这是 c 选项错在这，那么 d 选项 说他他他他这个图像一定经过二次相线，如果一定经过二次相线，就翻译成来他的这个 x 前面系数 k 应该是小于零了，那么来看这个到底是大 a 零还是小于零？我们先把它进行化简合并一下啊， 它应该是 y 等于负的， m 方减一，咱提个符号，负的 m 方加一，括起来 x 再加三， x 再加 n， 那 合并了同类项，那就是三减去 这个 m 方加一，扩起来这个 x 再加 n， 那 么爷爷说你的这个经过定义上也是由这个 m 方加一，然后三减 m 方加一来决定。我们知道 m 方 是大于等于零的， m 方加一呢，它就大于一大于等于一， ok， 那 么你三减去一个大于等于一的数，那么它可能如果是刚好是三的话， 那你三减三，那就是个零啊，那我们可能我们不能等于零，那你如果是比三大，那么你就是负的，如果你比三小，那就是正的。其实他会有三种情况，别说你这个 m 方 加一，他可能大于三，也有可能 m 方加一小于三，还有可能 m 方加一等于个三， 如果 m 方加一大于三的话，那三减一个大于三的，那这时候他的这个 k， 这个整体是小于零的，那这时候是二四。如 m 方加一小于三的，那这时候你的 k 是 大于零，那过的就会过一三。你如果等于零呢？ 你如果等于三呢？你用 k 等于零，而 k 等于零，他就不符合要求了，所以说这里他说一定过啊， k 绝对了。所以说第一是抄在这啊，得位题。第四个 说 y 等于 k， x 加 k 啊， k 不 等零，与三 x 减六交于第四象限，说则 k 的 曲的范围。这题我们需要画个土啊， 咱先把已知的这个三 x 加减六的这个画一个草图，那他结合 k 是 三，那应该是过一三再减六呢？向下平移六个单位，那画一个草图，大概长的就是这个样子啊。好，那这个焦点坐标就是零，逗号负六 啊， x 轴， y 轴圆点。这里要注意另外一条直线，它是 y 等于 k， x 加 k， 我 发现这里的这个 k 和后边这个 b 也等于个 k， 它们是啊，相同的，也就是说你 k 要大于零，你的这个 b 也就后边这个 k， 他也要大于零，所以说你开如果大于零，那你是过一三，你这个 b 也要大于零的话，那向上平，那还过个二，那此时他 好，我们再来看第二种情况啊，你如果 k 小 于零，那 k 又等于个 b 也小于零的话，你 k 小 于零，是过二四，那你 b 也小于零。次，再往下平，过二三四。那如果是第一种情况，过一二三象限的话，那咱画的图大概长这个样子啊，那可能是这个样子， 它即使有焦点，我们会发现它这个焦点会出现在第几项线，可能会出现第三项线，它永远不会出现在第四项线，所以第一种情况就排除掉。 好，那么我们把它擦掉，那第二种情况，那就开小矮陵的时候，那过的是二三四，那可能是这个样子啊， 可能这个样子，这是一种情况，也有可能是这个样子，那要想他们的焦点比赛第四象限如果是蓝色的这条直线这种情况，那他你又发现 他的这个 k 因为是过二三四弦影， k 等于小于零，这时候我们发现，呃，好像都符合 k 小 于零了，那 都能选吗？我们再来接着往下看，是，如果是紫色这条线，那又发现他这个笑点 就跑到第三项线去了，就和我们第四项线焦点不符合了来说，他可以怎么办呢？别说他有个临界点，就是在这个 y 等于三 x 减六这条直线与 y 轴的交点这个零负六这儿，它的这个 b， 也就是说这条直线啊，它抵在这个零到负六的上方，你不能跑到它的下方，你 而且也不能取到这个负六。如果你刚好是到零，这个过零到负六的话，你就发现他这个焦点在这个 y 轴上了，而 y 轴既不属于他，不属于任何象限，所以说 y 轴的点不属于任何象限，那他也不符合要求，那他这个点 焦点的位置就要向上平移，别说他与 y 轴的这个焦点啊，那大概就是什么要比我们的这个 负六要高，那高的话，那就是大于负六，但是你的 k 和 b 是 一样的， 你 k 还得小于零，谁说你光大于负六还不行，还得小于零，所以进而我们这个 k 的 取数范围又是大于负六小于零，那最终这题就选 a 了啊，这是结合图像来去确定它的范围。 好，今天的分享就到这，感谢各位大家聆听，我们下期再见。

一次函数与不等式是我们期末必考的题型，而上一条视频，我们讲了单条函数的不等关系，这一条视频呢，我们来讲两条函数的不等关系，求范围。今天我们也找了两道去年的期末的真题，特别是第二道题，是一个难点。我们先来看一下第一个题， 哎，他说这里有两条函数，一个是 l 一 啊，一个是 l 二，那么对应的解析式呢，也给到了，现在呢，焦点也给到了，我们是 m 得四，要求这个不等式的一个解析。 那我们首先第一步呢，依然是转换，但这个地方呢，因为有两个 y， 所以 对 y 呢，要进行标号， ok， 标为 y 一 和 y 二，那这里我们就转换成 y 一 小于等于 y 二。 好，然后呢，我们看啊，无论大还是小，我们第一步依然是找到相等的位置啊， y 一 等于 y 二，什么时候 y 一 等于 y 二呢？肯定是两条函数的交点，就是 a 点， 那从 a 点画一条竖线，这是我们的传统。接下来呢，这个竖线把整个图形分成了左边部分和右边部分，接下来我们要去找一找，哎，哪个图像是符合要求的？这里有个口诀，就是谁大， 随着图像就在上方，就随着 y 大， 随着图像就在上方。我们来看一下啊，先从左边这部分开始，左边这个部分呢，图像这里有一条，这是谁的呢？ l 二，也就是 y 二 的图像，很明显， y 二的图像呢，是在 y 一 的上方，那所以 y 二呢，是大于 y 一 的， 那和我们题目要求的 y 二大于 y 一 是一样的，所以左边符合要求。那因为这里等号吗？也可以取上等号啊， 好，知道了图像所在的位置，那接下来我们就要看 x 在 哪个范围啊，依然是从这个 a 这个地方， m 开始往左边走，就是越来越小，所以 x 应该是小于 m 的， 但是这不是我们的答案， m 要求出来，怎么求呢？这个地方就是 a 点啊， 它既在这个，也在这个里面，所以我们可以带进任何一个函数里面，但肯定要带入 y 一 里面，因为它是已知的，所以这地方可以带进去啊，就是看到我们的 y 呢，就变成四，看到 x 呢，就变成 m， m 加上三， 所以我们可以到 m 等于一，那所以这个时候呢，我们就小于等于啊，要等号保持一致，小于等于一。这个题我们就选择怎么样呢？选择 d 答案 好。第二个题呢，就是我们的一个难点了啊，他这个地方难在哪里呢？就是他不像第一个左右两边都是完整的给出来的函数，这个呢，他把它融合在一起了 啊，我们来看一下啊，依然是有两个函数， y 等于负二， x 和 y 等于 k 加四。而当这个地方图形上啊，他并没有标注谁是呃，谁是谁的表达式，但我们可以很清晰的判断啊， 这个呢，很明显是怎么样呢？是这个正比例，所以过远点一定是这一条，我们可以标记一下自己， y 等于 four x， 我 们可以把它标为 y 一， 这是 y 二啊， y 一 好，剩余的这条肯定是 y 二的了啊， k， x 加上四，接下来呢， a 点，我们也标记一下这是 m， 这都三，好。 哎，这个时候呢，我们就要注意了，我们一定要先把它移一下向，把它变成像上面这个题一样，两个左右分别为一个 y 的 形式。那这个地方我们观察可以看到啊，这是 k 加四，这里面呢，也有一个 k 加四是完整的， 那另外一个呢？本来是负二 x， 这是加二 x， 我 们怎么办呢？可以移一下向就可以了，就可以把我们的 二 x 移到右边去，就变成负二 x 啦。你看，此时呢，左边就是我们的 y 二，右边呢就是我们的 y 一， 好，依然是转换之后，我们要去找相等的位置啊，就是 y 二等于 y 一 的时候，在交点这个位置画一条竖线。 好，接下来我们去判断左边部分和右边部分哪个符合要求，左边部分看齐，这一个呢，是 y 一 的，这个呢是 y 二的，那很明显， y 一 在上方，那也就意味着 y 一 是大于 y 二的，那和我们题目要求的 y 二大于 y 一 不符合要求。 我们看右边这一条呢，是 y 二的，这一条呢是 y 一 的啊，很明显 y 二在上方，那所以 y 二大， y 二大于 y 一 啊，因为有等号嘛，我们也保持一致，大于等于。 那所以我们发现啊，右边这个部分符合要求，那么对应的 x 呢，他是从这里的 m 往右边跑的，就是越来越大，那 x 呢，肯定是大于 m 的 啊，求 m 呢，和上面一样可以带入啊，我们带到这里面来啊， 那就是三等于负的二 m， m 等于多少呢？负的二分之三，所以我们这个结论啊，但这要保持一致啊，有等号就要保持一致， x 大 于等于负的二分之三。哎，所以这个结果呢，哈，这个解集我们就写上了。

二， x 减七等于 x 加一， x 减三，可以转化成 x 减八等于零的形式。那一元一次方程它的一般形式是什么样的？就任意的一个一元一次方程，我都可以转化成什么样的形式呢？等于什么？什么等于零的形式？ 是不是 ax 加 b 等于零的形式？ ax 加 b 等于零的形式？有没有要求那个 a？ 有 没有要求 a 可以 为零吗？不可以。不， a 要是为零了，那 ax 那 项就等于零了。 所以是不是同样也要求 a 不 等于零？那咱们既然要研究它们之间的关系，我不用 ax 加 b 了，我同样把字母换成 b， 换成这个 k， 那 变成 k， x 加 b 等于零的形式，其中我也得要求 k 不 等于零。那一元一次不等式呢？ 不等式就是什么样的？那就是 k x 加 b 不 得零，不得零，再继续转换。应该是，就是等于零不等于零，可以变成什么样的？大于零或小于零， k x 加 b 小 于零的形式。其中我也要求 k 是 不等于零的。然后你观察一下这三种形式有没有什么共同特点呢？ 那三个就叫一般形式，都有什么表示啊？陈奕明，其中 k 都不能等于零哦。 k 都不能等于零，很好。还有没有都包含了什么？ 我姐包含了加 b 吧。都有加 b， 赛季是还有什么都？嗯，韩杰奇都有一个未知数都有一个未知数。嗯，未知数怎么知道？ 好，请坐。是不是都有 k x 加 b 的 形式？对，而且 k 不 等于零，都含有 k x 加 b 的 形式。那既然都有 k x 加 b， 看他们的范围，这个等于的是 y， k x 加 b 是 不等于 y， 这个是开 x 加 b 等于零，他是开 x 加 b 大 于零，不小于零，那这个 y 一 旦我让这个一次函数当中这个 y 他 要是零了，让他等于零了，那是不是就变成了一元二次方，一元一次方程啊？是，那如果我让这个 y 大 于零，他就变成了一元一次不等式，是让这个 y 小 于零，也可以相互转化， 让 y 等于零，把这个一次函数就变成了一元一次方程。如果这个 y 大 于零或者小于零，那么这个一次函数就变成了一元一次不等式，这是我们从形式上发现的这个关系，对吧？然后咱们看两个小练习来，第一个口算，哈哈哈，复式，这是解方程 x 等于负十来。第二个， 当自变量 x 为和值时，函数 y 等于二， x 加二十，它的值为零，是也是负十。那这两个问法不一样，实质呢？ 结果呀，从数上看，它应该是一样的，对不对？你看这两个问题是不是类似于同样的一个问题？你第二个问题能不能转化到第一个问题，能把什么变成零？变成零了， 对应的就是函数值为零的时候，我求那个自变量的值，是不是就转化到那个问题一当中的解方程了？对，也就是说一元一次方程，它的解可不可以用函数的方式来解决呢？可以，从形式上，从本质上来说，对于任意的一个一元一次方程，任意的一元一次方程 a x 加 b 等于零这个形式，它和求自变量 x 为和值时，求这个它的值为零的时候，问题是不是一回事？是，是有什么关系呢？是互逆的吗？ 如果那个 y 等于零了，一旦那个 y 为零了，那这个求函数的变量的问题是不是就转化到解方程的问题了？所以它们俩应该是互逆的。我求一元一次方程的解，从数上来看，其实就是求 x 为和值时，那个函数的值为零吗？啊，就这个意思，这是从数上来说。那函数既然是函数，是肯定有函数图像了。对，我从数上看啊，它是等价的一回事。那在函数图像当中看看那个函数图像与一元一次方程有什么联系？现在动笔画一下， y 等于二 x 加十个图像， 你一面画的时候，一面观察这个函数图像与他对应的那个方程的解。 爸爸别忘了观察有什么关系？ 那个二 x 加二十等于零，那个方程的解是多少？不是，这个 x 等于负十，这个 x 等于负十，和你画成那个图像当中的什么？ 那个方程的解和你画那个图像当中的。 完事了吗？完了，差多了。好的，发没发现问题？发现，哎，咱们先看一下，看一下你画的那个图像 和这个图像是不是一样。是是，要是和它一样的，说明你画的对了。然后现在找规律有什么特点有什么关系？陈一鸣， 嗯，一元一次方程，二 x 加二十的解数等于负十，负十就是这个函数图像与 x 轴的交点，你们发现了吗？发现了， 他说这个图像与 x 轴的交点复始对，就是那个对应的，你们发现也是这个规律吗？是，但是说的稍微有那么一点点小问题。 先请坐意思，我懂了，确实是这么回事来，是与 x 轴交点的那个横坐标，听没听见他和陈奕明说的那个区别？ 可以，比如说函数图像与 x 轴的交点点应该是什么？负十，逗号零，对不对？那这个坐标的什么？ 它这个与 x 轴交点那个坐标的是不应该是它那个焦点坐标的横坐标才是对应方程的解？方程的解，咱们是不是应该说是 x 等于十，但是它与 x 中的交点呢？ 那交点却是负十，逗号零，所以这句话应该怎么去说？再来一遍啊，那个函数函数，那个 y 等于二， x 加二十等于零的减， x 等于负十，是函数图像与 x 轴交点的横坐标与 x 轴交点的横坐标，同意吗？同意啊，请做。那 y 等于二， x 加二十，它是一个函数，对吧？这个函数对应的有一个一元一次方程，这个方程是什么？ 它对应的方程 x 就 像与 x 轴那个交点的横坐标是不就是负十？这个解就是对应方程的那个解，对不对？那解不像是它那方程的解呢？它横坐标交点那个负十就是方程的解， 那个横坐标的纵坐标是多少？与 x 轴交点的纵坐标是不是零啊？就是 y 的 零的时候，它对应的 x 的 值吗？不就是负十吗？所以对于任意的这样的，这是我们从图形上来看， 直线与 x 轴交点的坐标是负十的号零，那么它对应的方程的解就是 x 等于负十。那我从形上来看，开始我们从数上来看的，这回我们从形式上来看，一元一次方程的解，其实就是对应的。那函数图像怎么样？ 与 x 轴交点的横坐标，我们看图直接就能得出它对应的一元一次方程的解了，所以我们现在得出了一个结论，函数图像 焦点作横作表，就是对应方程的。 那我们如果给你个函数图像，让你求它对应的函数，呃，那个一元次方程的解可不可以不用解，我直接看图就能看出来，就找这个图像与 s 轴交点，对不？做标就可以了。来，咱们做两练习，看看你看没看懂啊？ 这个是咱们刚才说的那两句话。解一次方程，它可以转化为从竖上来看，就是让那个函数值为零，对应的 x 的 那个值。要是从图形上来看，从图像上来看，那么它相当于这个直线与 x 轴交点的横坐标的那个值，就是方程的解。来看一下小练习， 下面三个方程有什么共同点啊？都含有二 x 加一，都是二 x 加一，这三个方程所对应的那个函数是什么？是什么？ y 等于二， x 加一，那对于第一个方程属于是 y 等于多少零，求那个自变量 x 的 值， 对吧？那第二个呢？当 y 等于三十，求变量 x， 而第三个呢？ y 等于 c 时，求出变量 x 的 值。这是从树上，我们这么去理解，那从图形上，你能不能通过图形直接求出它的解呢？ 这是 y 等于二 x 加一的函数图像。那我找第一个的解需要找哪？ x 需要找什么？我找二 x 加一等于零，它对应方程这个解需要找什么？ 圆的笔都要点到红坐标，那我把这个红坐标给你。第一个解释，超越父爱的意义来观察第二个。第二个是不是 y 等于三的时候。嗯，它的解释多少？ x 加一等于三等于一。回头来 x 等于一， x 等于一，同意吗？其实就是 y 等于三十，对应的横次标是多少？是不是 x 等于一？然后第三个，第三个 好夫妻朋多少？ x 等于负一，没有问题啊。没有没有，这个是咱们刚才学的一一次函数与一元一次方程之间的关系。 一次函数与 x 轴交点的横坐标就是对应一元一次方程的解解。那一次函数与一元一次不等式又有什么关系呢？与一元一次不等式又有什么关系呢？你现在观察刚才那个图像看 y 轴，它被 x 轴分成了几部分？ y 轴被 x 轴分成了几部分？两部分。两部分。哪两部分？正半轴和负半轴、正半轴和负半轴。那 y 轴只有正半轴和负半轴吗？ 还有谁？还有原点那个？所以这个 y 轴被 x 轴分成了几部分？三部分，哪三部分？哪三部分？正半轴、 负半轴。在 x 轴的恰好，还有一个恰好在 x 轴上。

体育老师高老师给了我一个问题，他说他不知道怎么利用数学思想和方法让那个问题更好的得以解决。我们一起来看一下他的问题是什么？他想选择身高和体重更标准的运动员去参加世运动会， 请你们思考一下，你怎么帮他更快速的确定合适的人选？有没有同学有思路的？好，来请尤敏来讲一下。觉得首先因为他要选择更标准的运动员。首先我们要确定那个标准是什么？ 同学们觉得他讲的有没有道理？有，我需要找一个标准来说明身高和体重更符合要求吧。那这个标准怎么确定？ 因为我们是要通过数学思想和解决实际问题，所以我觉得要用一定的数学知识。好，其实啊，在我国，我们的身高与标准体重他们中间是有确定的数量关系的， 这个数量关系，我们徐子豪利用这个数量关系编写了一个程序代码，我们一起请他来展示一下。那我就请一个组吧，请第二组，从左边开始，先报自己的身高。好吧， 六六六，你可以得到他的正常体重应该是到正常的标准体重应该是五十九点四千克，正常的范围范围应该是五十三点四六到六十五点三四， 体重都可以自己看。哎，所以请问肖子荣，你的现在的体重是多少？九十九十四，四十六。那你先来看一下你属于哪个范围 是不偏瘦的范围。好，如果是我们高老师要选择运动员，那肖子荣就被淘汰掉了啊，与他的标准体重相比，那他属于偏瘦的体型。好，再来 请他后面一位同学，好，一米六，我这里他的标准体重是五十四千克，正常和偏重和肥胖的范围都在这里，不好，我换一组好不好？请第三列最后一组的李宇翔同学来报一下自己的身高。 一米七三，这里的正常体重应该是显示为六十五点七千克。李宇翔同学，你的体重是多少？ 你的体重是多少？一百三十七，一百三十七刚好处于这个正常到这个正常的范围内，所以你想代表我们学校可以去参加运动会，恭喜你啊， 好，来，辛苦你，感谢你。我们看到啊，徐子豪编写的这个程序能够输入你的身高，从而得到你的标准体重，并且计算出正常偏胖偏瘦范围内的体重， 所以这就很好的帮助体育老师解决了问题吧。那现在我们用数学的眼光来看一下这个问题，我们来看一下徐子豪这个编程的背后他应用的是什么数学的数量关系。 首先请你们回答我，身高与标准体重是不是函数关系，是哪一类函数？他想是一次函数是吧？对，好，下来我们将他得到的这些数据 放到平面直角坐标系中，来观察一下这些点的变化趋势。是不是一次函数啊？我们把刚刚徐子豪编程的数据，我们现在来把它放到平面直角坐标系中，观察一下这几个散点的变化趋势。是一次函数吗？ 是，好，我们现在来用光滑的曲线把它连起来，是一条直线，所以他是一次函数。那请问你能够求出这个一次函数的解析式吗？ 可以用什么方法？待定系数法，那同学动笔用待定系数法求出这个一次函数的解。 好来，请所有同学看黑板，我们看一下全形全写的，看一下，用代定系数把将两个点代入求出来，最后是 y 等于零点九， x 减九十，是不是？这个答案是，我们现在来揭开现象，看本质， 看一下徐子豪同学代码中的解析式，是不是他在这里是不是总能算出来的解析式，对，很好，那现在有了一次函数的解析式，我们要再来解决问题就很简单了， 来，我们将这个一次函数解析式的图像把它画出来，那就是这一条直线。 但是在实际问题中，我们是不是要考虑自变量的实际范围？对，在实际问题中，体重能够为负数吗？不能，所以 x 轴以下的图像我们要舍掉， 最终的图像如图。那现在我要帮体育老师寻找标准体重为四十五千克的同学， 请你求一下他对应的身高， y 等于零点九 x， y 等于四十五，所以零点九 x 减九十等于四十五干什么呢？解方程来，快速解出来 x 等于多少？ 一百五十，一百五解出来 x 等于一百五十， 那这是我们利用解方程从数的角度来解决问题，请你们进一步思考一下，既然函数的图像在这里，我能不能够从图像中间直接找到它对应的身高，可以，打算怎么做？ 看现在看 y， 来，刘文忠，你说一下，我们可以先在 y 的 上面找到四十五升体重为四十五 的那个点，在对应到图像上面，再在 x 轴上面找到相应的身高。 对，思路很清晰，讲的非常好，坐下来，好，来，我们来把它的思路梳理一下。首先解方程里面的 y 等于四十五，在图像中间我要体现是不是就是 y 等于四十五这条直线？对，好，那这条直线上面的所有的点 都满足 y 等于四十五，但是能够满足零点九 x 减九十等于四十五的点是哪个点？对，那就是直线 y 等于四十五与依次函数的交点，我们找到它的交点， 现在来交点找到了，那最后解方程解出来的这个 x 等于一百五，在图像中间是怎么体现呢？看这个点的 x 就是 这个交点的横坐标。好，你们对应来看一下这个交点的横坐标是不刚好是一百五。 好，所以对于刚刚的题目，我们可以从竖的角度解方程，也可以结合图形从形的角度直接观察得到答案吧。对，那现在来， 我还想继续寻找一位体重为六十三千克的同学，请你们从形的角度直观的找到他对应的身高，一起来回答我。怎么做？先找直线 y 等于六十三，那我需要的是哪个点呢？ 与一个函数的交点，这个交点是不是就满足零点九 x 减九十等于六十三，那所以对应的身高即是谁 这个点的横坐标，这个点对应的横坐标，我们一起来看一下他的横坐标是多少，看到了吗？一百七，是不是一百七？所以来从今天开始，我们寻找到了一种新的解方程的思路， 也就是我要寻找四十五或者六十三千克的标准体重，那我们就是在图像中找到直线 y 等于四十五， 需要的是这条直线与这条依次函数图像交点的很重要，非常好。那现在老师有一个难题要教给你们了，我要寻找的是标准体重为 c 一 千克的同学， 请你们竖形结合思考一下他对应的身高是多少？来学案上面尝试一下，好来做的差不多啊，请陈玉文同学来讲一下，你竖形结合是怎么做的？因为他告诉我们标准体重为 a 一 千克， 他们要给我们 c 在 哪里，所以我们把这个设为 c， 然后他对应到函数解析式上，就与函数解析式有个交点，我们要求的身高呢，就是这个交点的横坐标及点 o 到 h 的 距离，所以最后的身高是 h。 很好， 他讲的非常的清晰啊，表达的很顺畅。那我们需要找的是不是直线 y 等于 c 后，要的是哪个点？第一次函数的交点， 那最后要解方程求得的身高即是交点的很重要。所以来我们总结一下， 对于一元一次方程 a x 加 b 等于 c 的 解，我联系它对应的一次函数 从数的角度而言代表了什么呢？那就是一次函数里面的 y 等于零，是不是解方程对好，从形的角度而言呢， 就是直线 y 等于一次函数焦点的坐标。那现在我们帮体育老师解决了部分的人选的确定， 但是他还是有一个问题没有解决，由于每个体育项目需要的身高和体重不同，所以他又犯难了，我该怎么快速的确定符合某一范围要求内的运动员？比如我们的铅球运动员， 他需要的标准体重要超过六十三千克。那请你想办法解决一下他身高范围应该是多少？来跟我一起分享一下，你打算如何解决？标准体重要超过六十三， 在数学里面用数学符号语言怎么表示小于六十三？那即使这个解析是零点九 x 减九十大于六十三， 我们在干什么？解不等式？解不等式。好，来快速解一下解出来是多少？ x 大 于一百七十， x 等于一百七十，我们这是不是从数的角度来解决不等式？那类比刚刚函数与方程的数形结合， 这个不等式的解集能不能够也竖形结合解决它？那怎么竖形结合？ 我们尝试先取几个点啊？先取几个符合要求的点，比如 y 等于七十的时候， 所对应的这个 x 一 是不是就是符合要求的身高？对，那我们再往下取一点点， y 等于六十四的时候，所对应的 x 也是符合要求的吧？对，那请问 y 最小能够取到多少？ 六十三？而满足零点九 x 减九十等于六十三的是不就是这个焦点？对，由于题目要求的是 y 大 于六十三，所以这个点我们取空心圈，那这个点所对应的横坐标是一百七。 最终题目所需要的 y 大 于六十三的点在哪里？直线 y 等于六十三的上方。非常好，那就是上方图像上的所有点 都满足零点九 x 减九十大于六十三。那最后我们要求的的剪辑在图像中间怎么体现？那就是这一段图像呢？ 上上方的点的横坐标是不就是他的横坐标？对，所以找到这一段点所对应的横坐标的范围。所以最终的答案， 那你们来看一下不等式，我要求他的解析是不也能从函数的角度来解决？对，好，现在第二个队伍是我们的花样跳绳队， 他所需要的标准体重在四十五到六十三千克之间。请你在选项上自己尝试，动笔选择你所喜欢的方法，来帮体育老师解决这个问题。 我们一起来看一下。这是杨紫曦同学的答案，他是从哪个角度来解决这个问题的？数的角度，那 y 的 范围是四十五到六十三，所以那是不是解两个不等式？ 对，这个不等式组的解集就是 x 大 于一百五，小于一百七。好，这是一个方法， 我是不是还可以从形的角度来解决问题？对，好，刚刚看到刘国周同学从形的角度已经出来了，我们请他上来讲解一下。首先看到这个标准体重是要在四十五到三六十三之间，我们可以在 y 轴上面找到这两个点， 如果大家不确定的话，可以先在 y 轴上面取在这个之间中的一个点， 然后再把它对应到这个图像上面来与它的焦点的横坐标，我们可以看到这个 x 一 点，它是在这个范围之内的，然后看到四十五、四十五，他说 体重在四十五到六十三之间，我们取一个最小的值，体重的值就是四十五，放到图像上来，对应下来就是一百五、 六十三，再看六十三，他与图像的交点，在这个交点的横坐标就是一百七，所以在这个六十三与四十五之间，他的图像范围就是这这一部分，再对应到很很 x 轴上面就是 x 小 于一百七，大于一百五， 讲的对不对？对，我来再一次梳理一下啊，在这个范围里面，我的 y 最小能取多少？ 但是这个与一次还说焦点能取吗？不能，不能取，因为是 y 大 于四十五，那最大取多少？六十六十三， 同时这个焦点也不能取吧？那现在哪一段图像是符合零点九 x 减九十大于四十五小于六十三的呢？哪一段图像是这两条直线中间的图像？ 他上面的点都符合这个不等式吧。所以最终不等式组的解集就是谁 x， 也就是这一段图像上点所对应的 x 的 范围吧。对，好，非常好啊，那看来同学们掌握的不错。 所以最后我要给你们一个问题，如果标准体重小于 c， 千克身高范围是多少？这里 y 要小于 c， 那 我是不是先取到直线 y 等于 c？ 对， 好，请你们来告诉我， 满足 y 小 于 c 的 图像在哪里？在哪里？谁的下方？ c？ c， c 吗？讲 c 吗？ x， y 等于下方的图像 是一直想下来吗？不是，到哪里要到直线 y 等于零，因为要符合实际意义， 所以符合范围要求的图像是不就是这两条直线中间的？对，好，中间的图像上的点满足我们的不等式，所以来直接看图告诉我答案， x 的 范围大于一百小于零。 那现在我们可以总结函数与不等式的关系了吗？对于一个一元一次不等式 x 加 b 小 于 c 的 剪辑，来我们联系他对应的一次函数，请问从数的角度而言代表了什么东西？ 当 y， 当 y 小 于 c 时，那是不是就解不等式了？对，所以我们的不等式也可以转变为函数二。

大家好，我是数学陈老师，今天我们一起来学习一下一次函数与方程组以及它的相关不等式。好的是例题 一，直线和直线的焦点在 x 轴上，则 k 一 比 k 二等于多少？那么我们首先看到这个题目的意思呢？我们就可以知道啊，首先说明这两条直线，第一个他们有焦点，并且这个焦点都在 x 轴上， 那么同学们可以知道啊，所谓的焦点，那同学们必然而然就知道有一个意思，说明这个点，比方说我画一个视域图大家看，比方说这里是 l 一， 这里是 l 二，那么 l 一 和 l 二的焦点就在此说明这里的焦点也就是这两条直线的公共点。 那么我们不难发现一次，函数与 x 轴的一个交点，实质上是令它的 y 等于零，所以这个题呢，我们可以先令 y 等于零，同学们可以先求出第一个解， 那么我们会有 x 一 啊， k 一 被 x 加上一个一是等于零的，因此呢，我们可以算出，这时候的 x 是 等于负一，比上一个 k 一 好。这样一来呢，我们就算出这条直线在 x 轴上的一个交点，那么同样道理，第二条直线，它的交点也在 x 轴上，我们同样的令它的 y 为零，那么 k 二倍的 x 减三也会等于零，这时候的 x 呢，就等于三，除以一个 k 二。 那么同学们可以发现，既然是焦点，说明这两个点的 x 应该是同一个焦点，就是说既在 l 一 上，又在 l 二上，所以这两个的焦点其实就会合成了一个点，因此我们会有这两个 x， 应该是相等的 好，那么同学们可以根据比的性质我们来看啊，这里我们交叉相乘，会有三倍的 k 一 等于负一倍的 k 二，那么我们自然而然可以把这两个利用这个乘法的交换率换一个位置。所以本题我们可以算出 k 一 比 k 二应该等于 a 负三分之一。 好，那么这个题最关键就是理解这一条直线和这条直线的交点在 x 轴上，它的图例就是老师所画的这个示意图，说明这个 l 二与 x 轴有一个交点，我们可以另外等于零，求出这个交点 l 一 与 x 轴也有一个交点，这两个点是同一个点。 好，这就是咱们的例题一，应该来说难度不算很大。好，接下来我们再来看一下例题二。 例题二呢，是一个常考的题型，大家注意，这个题我们要打上一个重点符号，考的频率太大了。好，我们来看，无论 m 为何值，直线一定经过一个定点，则这个定点的坐标为多少？ 那么做这类题的技巧是什么呢？说明无论 m 为何值，说明最终这个取值它是与 m 无关的， 那么与 m 无关。我们想到加其上，我们就给大家讲过，哎，比方说我是给大家写个式子，比方说 y 等于三，加 n 倍的 x 加一，然后他说与 x 无关，这个式子与 x 无关，说明 x 前面的系数就应该等于零。大家还有印象吗？ 那么这类题呢，我们的思路就是把这个式子重新整理成一个与 m 相关联的式子，所以我们来看啊，把这个式子先化简， y 等于 m 减一倍的 x 加 m， 我 们把这个括号拆一拆，得到 m， x 减 x， 再加一个 m， 注意要合并成含 m 的 式子，所以我把有 m 的 项提取一个 m， 那 么就会剩下 x 加一，减去一个 x。 既然这个 y 值，大家注意，它永远和 m 无关，所以我们可以推出 x 加一， b 为零， 那么与谁无关，谁前面系数就为零，那么 x 就 等于负一。把负一往这个式子里面带，你可以算出 y 等于正一，因此它横过一个定点，横坐标为负一，纵坐标为正一。好，这就是我们的例题二。 例题二最关键的就是啊，与谁无关啊？与谁无关怎么办？先把它整理成含他的一个式子，令他前面的这个系数为零就 ok 了。