北师大版初一几何飞镖型讲解

这类题堪称初一下的几何填选压轴王，同时啊，也是高频考点，为什么呢？第一，他考察了飞镖模型这么一个几何模型， 第二，他考察了用方程思维解决几何问题。别急，好，今天就用最简单方法，不教大招，不教口诀，教你如何把不规则的飞镖模型转化成方程问题，学会以后不管怎么考，考场直接拿分。好，我们来看题目。 首先这个题呢，给了一个平分，平分来分享第一个观点啊，来请大家记笔记，见角分就射圆， 射未知数啊，就射圆的意思，所以说呢，我们可以把 md 这个角分线设它是 x x， 把 cd 这个角分线设它是 y 和 y 好 不好？然后给到的是我们的角 a 和角 n 的 度数，问你角 d 的 度数。好，这里面我们科普第二个知识点就是飞镖模型 啊，今年春节的贺岁党电影我还没看啊，但是听说也是跟这个标有关系。来，你今天把这个模型看会， 好，送大家免费去看。好，开玩笑，来看一下什么叫飞镖模型哈，飞镖模型的本质是一个凹进去的四边形，然后呢，我们的结论是什么？是一个角，两个角，三个角 等于三个角的和，哎，等于角一角二，角三 等于角一角二角三。好，为什么？给大家科普一下啊？首先我们这条辅助线延长，它 这里写个四，看仔细喽，请问角一加角二是不是外角等于角四？你看这里是不是有个外角的存在，是不等一加二就等于角四，对吧？然后呢，四加三角四加角三是不是等于这个外角是我们的这个屁股这个角， 你看四加三是不等于这个角，对吧？好，等于我们的屁股这个角。好吧，那你现在整体代换一下，你会发现一加二， 一加二是不是换成了角四？所以说答案就是角一加角二加角三等于屁股这个角。 ok， 这就是我们的飞镖模型，那你有了这个模型的帮忙，你看一下你怎么列方程来，先往大了去看，这里是不是个飞镖， 是不是个飞镖，对吧？屁股是不是在这儿呢？好，所以我们可以列一个方程是什么？请大家一起帮我列一下是什么？就是角 a 加这个角，角 n 再加二 x 等于这个屁股是不是二 y， 这是第一个方程，对不对？好，那我要跟 d 扯上关系啊，我再找一个飞镖， 我从来不鼓励大家每学一个题就记一个模型，记个口诀。那你记的口诀模型也太多了，是吧？这个绿色的飞镖你看是什么感觉？就是这个角加 d 就是 我们的再加 n 啊，就是我们的角，这个是 d， 再加这个 d 加这个 n， 角 n 再加我们的这个 x， 是 不等于这个屁股，是不就是个 y， 能理解吧？那现在我注意，我要求谁啊？各位，我求的是不是就是角 d 等于几，对不对？那怎么办？怎么办？ 我谁不要啊？我这个 x 和 y 不要啊，对不对？所以说我把它乘二倍，哎，换个颜色啊，它乘二倍，它乘二倍，它乘二倍，它乘二倍。等式两边同时乘二，可以吧？然后它减它 y 减 y， x 减 x 是 都没了，来，你看啊，它减它是什么？我写啊，二倍的角 d 减角 a， 然后他减他是两个 n， 一个 n， 是 不是再加上一个 n， 等于他减他，他减他就是零，对不对？所以说来二倍的角 d 等于角 a 挪过来减角 n， 也就是四十减十是三十，角 d 是 十五。结束， 各位，你看你学会了吗？就是用方程思想解决的是几何模型，但你不需要死记硬背。结论，你只要知道基本款就可以。然后在复杂途中找到基本款， 列出两个式子来，你是不要 x， 不要 y， 所以 你要想方设法利用消元的思想把它们消掉。各位，这么一个复杂的飞镖模型，方程思想结合的题，你学会了吗？

七年级下册几何里边有很多模型，那么这个飞镖模型是最常考的一种。好，我们来看一下，他说 m、 d， 平分角 a， m， n， 那 这个两个是平分线 c， d， 平分角 a， c， n， 这两个角呢？也相等，对吧？然后呢，角 a 等于这个是四十度，我给大家标一下，角一等于角二，角三等于角四，是不是？好，在这里我们还有一个角 n 等于十度， 是吧？角 n 等于十度，让我们求角 d 这个轨点的角 d 的 度数，其实你看这里边隐藏着两个飞镖，对不对？那么哪两个飞镖？我先跟你说一下，你看你能不能从复杂图形观察出来，就是这样的一个图形。好，比如说这样的 a、 b、 c， 这个是 d。 好， 那么这就像一个飞镖，那么飞镖模型的结论是什么呢？那么就是这里的角 d， 我 们这样说角 a、 d、 c， 它就等于谁呢？角 a 加角 b， 再加 角 c， 就是 这样的一个结论，那么这个结论想证明也非常简单，是吧？我们连接 b、 d 并延长就可以了。好，那么大家来看一下这个角是不是角一，是不是等于角二加角 a， 因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 这个角三，这个是角四，角三是不是等于角四加角 c， 那 所以角一加角三就是角 a， 加角二加角四，再加角 c， 那 也就是角 a、 d， c 等于 角 a 加角 b 加角 c， 是 吧？那么这就是飞镖模型。好，那么从复杂图形中剥离出来这个两个飞镖，我们看看能得到什么？就是 amc， 这是一个飞镖，大家你看一下啊， a、 m、 n、 c， 是 不是这个能看出来，我就给你擦掉了。那么这个飞镖，那么就是角三加角四， 是吧？那就是角这个谁 a、 c、 n 等于谁呢？等于这个呢？四十角一加角二，哎，就是加角 a、 m、 n 再加十度， 这是我们第一次得到的。好，这是第一个飞镖，好看第二个飞镖，那么第二个飞镖就是 d、 m、 n、 c， 能看出来吧？我给你画一下第二个飞镖，就是这个 能看出来，是吧？那这个飞镖，那就很明显，这里我们仍然是等于谁角四等于角 d， 出现角 d 了，加谁加角二， 再加谁再加一个十度。好，既然这两个都是角平分线，那么角一等于角二，角三等于角四，其实上面这个式子我们就可以给它变一变，那么它就是二倍的角四 等于四十度，加这个是二倍的角二，再加十度，是吧？那么你看我们这里通过这个式子我们就可以得到什么，就是二倍的角四减去二倍的角二等于五十度， 所以我们就得到角四减角二等于二十五度，是吧？那我们得到角四减角二有什么用呢？那你看我们要想求的这个角 d 跟咱们这个角四、角二是不是有着密切的联系？那么通过这个式子，我们就可以得到 角 d 等于什么？你看是不是等于角四减角二，然后再减去十度，那不就是用到了这个整体吗？所以它等于多少呢？二十五度减十度，最终结果是 十五度，那么你看两次飞标模型这道题轻松拿下数轴动点问题八大题型专题资料已经给大家准备好了啊，进主页粉丝群领取。

这是谁的那个啥作业，把二单元所有的题再抄一遍。好，我们一起来看一下这道题，你们会吗？会。大伟会吗？ 人家都会，就你不会。咱们之前讲过什么模型又忘了？飞镖模型，飞镖模型啊，飞镖模型是针对一个凹进去四边形，这是不是像一个飞镖？飞镖模型的结论是这三个角可以合成几个角？合成一个角，飞镖模型三合一，那对应的话，我们想要证明飞镖，怎么样去证明呢？辅助线， 所以一般情况下，如果一道题目中如果需要去倒角的时候，你要借助什么图形？三角形，所以你得出现三角形，我们可以延长一下，这时候是不是把一个飞镖变成了两个三角形？ 是不是？那这两个角就可以变成合成这一个角，对不对？外角等于不相邻的两个内角和，那这一个角和这一个角就可以合成最大的角，所以这不就是几合一？三合一， 所以你想一想，如果想要出现飞镖的话，那这个图形怎么样出，出现飞镖只需要连接谁呢？连接 a、 c 没有问题。 两个飞镖是不是左边是一个飞镖，右边是一个飞镖？那接下来飞镖模型，这个角加这个角加这个角合在一起是多少度？三个圈合在一起是一百度。好，那接下来这三个叉角合在一起是多少度？八、 八十度，所以最后 a、 b、 c、 d 合在一起是多少？一百八，一百八，这不就出来了吗？

这是一道七下期中考试的压轴，整体得分率不到百分之十，今天薇薇老师带你用飞镖模型了解出答案，一起来看。 b p。 平分角 a、 b、 d 这两个相等的小角，我们标记为 r 法 c p。 平分角 a、 c、 d 这两个相等的小角，我们标记为 b 塔。题目告诉我们，角 a 等于七十度， 角 d 等于二十度，让我们去求角 p 的 度数是多少。薇薇老师已经整理出了几何辅助线构造的核心方法，包括三角形与平行线的四大类型和十五种配套题型。孩子练完考试直接拿满分，需要的家长我发您一份。 这道题的核心考点呢，那就是飞镖模型和角平分线的综合运用，所以我们先来回顾一下三角形当中的飞镖模型。那什么是飞镖模型呢？ 简单的说，飞镖模型的实质就是一个凹似变形，因为它的形状酷似飞镖，所以我们把它称作飞镖模型，有的时候呢，也称作燕尾模型。 它有一个非常重要的结论，那就是凹进去的这个角等于另外三个角之合，所以我们把它表示为角 b、 o、 c 等于角 a， 加角 b， 再加角 c。 如何证明这个结论呢？很简单，利用转化的思想，把这个四边形转化为三角形，因此我们连接 a、 o 并延长， 这样我们就把这个四边形分割成了左右两个三角形。对于左边这个三角形 a、 o、 b 来说，这个角一呢，是它的一个外角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以角一 等于 r 加上角 b。 同样的道理，对于这个三角形 a、 o、 c 来说，角二也是它的外角，因此呢，角二也等于与它不相邻的两个内角之和，所以角二就等于 bit 加上角 c。 然后我们把这两个式子给它连立起来，直接把两个等式相加，这样角一加角二就等于 r 加 bit， 再加角 b， 再加角 c。 而角一加角二呢，刚好就是我们的角 b、 o、 c。 角 r 加 bit 呢，也就是我们的角 a， 所以角 b、 o、 c 就 等于角 a 加角 b， 再加角 c， 也就是凹进去的这个角等于另外三个角之合。有了这个飞镖模型的结论，我们回到刚才那道题当中，在这个图形中呢，有两条角分线 b、 p， 平分角 a、 c、 d， 所以 这两个角我们把它记为 b。 塔 角 a 等于七十度，角 d 等于二十度。让我们去求这两条角分线所形成的夹角角 p 的 度数是多少。 在这个图形中呢，很明显，我们能看出它有两个飞镖模型。第一个飞镖模型 a、 b、 d、 c， 我 们把它抽象出来，这里的凹进去的角角 a、 c、 d 就 对应着我们的二倍贝塔，这个角 a、 b、 d 呢，也就对应着我们的二倍 r 法。 那么凹进去的这个角等于另外三个角之合，所以我们可以把它表示为二倍倍，它大于二倍阿尔法加上角 a， 再加角 b， 我 们把它记为一式。那么这里边呢，还有一个飞镖模型，那就是 p、 b、 d、 c， 我 们仍然把它抽象出来，这里的角 p、 b、 d 呢，就对应着我们的阿尔法。 所以在这个飞镖模型当中，它也有一个等量关系，那就是 bet 等于 r 加上角屁，再加角 d。 哎，回到题目当中，题目中给出了我们角 a 和角 d 的 度数，要我们去求角屁的度数，那很明显就是要去寻找角 a、 角 d 和角屁这三个角之间的关系。因此呢，我们就要想办法 消掉这里的阿尔法和贝塔。要消掉阿尔法，贝塔，所以我们把二四等四的左右两边给它扩大两倍，这样就有二倍的贝塔等于二倍的阿尔法，加上二倍角屁， 再加上二倍的角 d， 我 们把它记为三四。要消掉阿尔法和贝塔，直接把一四和三四相减， 我们就可以得到等式的左边和左边相减，等于零等式的右边和右边相减 r 和 b， 它就被抵消掉了，那也就剩下角 a 加角 d， 再减去二倍的角 p， 减去二倍的角 d， 所以呢，一项就可以得到二倍的角 p 等于角 a 减角 d， 那 么角 p 呢，自然也就等于角 a 减角 d 的 一半。 所以我们来总结一下这两条角分线所形成的这个加角角 p， 它就等于角 a 和角 d 它们两个角之差的一半。 而题目中告诉我们，角 a 等于七十度，角 d 等于二十度，它们之间的差是五十度，五十度的一半，自然角 p 也就等于二十五度。同学们，你学会了吗？关注微微老师，学习如此简单！

还在为凹四边形的角度题拗来拗去步骤多，易出错，考试太费时间。别慌，静听三分钟教你吃透几何！超实用的飞镖型模型，学会这个解题大招，同类题直接秒出答案！ 飞镖形的已知条件只有一个，凹四边形 a、 b、 c、 d。 结论，永远都是角 b、 d、 c。 等于角 a、 加角 b、 加角 c。 形状类似于一个飞镖，所以叫飞镖形。证明思路有三种， 方法一，内角和定里。方法二，外角定里加外角的隐藏线。方法三，外角定里加外角的交叉线，我们来一起正一正 连接 b、 c。 在 三角形 a、 b、 c 中有角 a、 加角一、加角三、加角二、加角四，组成了三角形的内角和一百八十度， 所以移项把角三和角四整体往等式的右边移。 又因为在三角形 b、 d、 c 中，角 d 加角三加角四也等于一百八十度，同样的移向把角三角四移过去。 然后我们观察一下这个等式一和等式二，等式一和等式二的右边都是一百八十度，减去角三，减去角四，因此等式的左边也相等。 那方法一我们就做完了。接着我们来看一下方法二。方法二是根据外角定里和外角延长来做的，我们邻接 a、 d、 b 延长。 在三角形 a、 b、 d 中，角一刚好是三角形 a、 b、 d 的 外角，所以角一等于角四加角 b， 角二刚好是角三加角 c。 我 们把这两个式子命名为 三四和四四。我把三四和四四相加，左边加左边，那就是角一加角二等式的右边。角四加角三角 b、 加角 c。 角一加角二刚好合成的是角 b、 d、 c。 角四加角三刚好合成的是角 b、 a、 c。 所以第二指证明方法我们也证完了。接着我们来看第三种证明方法。 第三种证明方法是外角定里加外角的交叉线，我们连接 b、 d 交 a、 c 于顶一，我们看到这个角 b、 d、 c。 角 b、 d、 c 刚好是三角形 c、 d、 e 的 外角，因此角 b、 d、 c 等于角一加角 c， 而角一刚好是三角形 a、 b、 e 的 外角，因此角一就等于角 a 加角 b。 然后去括号， 就可出这个非标型的结论了。非标型是初中几何必考模型，掌握它，选择填空题，直接秒杀大题也可以照样套！ 关注我，每天三分钟解锁一个数学几何模型，让你提分！超简单，记得点赞关注哦！

我们接下来看这边的另一个模型，也是比较常遇到的飞镖模型，并且我们考试的时候，大体里面会经常遇到飞镖模型。第一种，已知四边形 a、 b、 c、 d。 角 c 等于角 a， 加角 b 加角 d。 那 么这个是结论，我来带你们看一下怎么去证。第一步我们应该是连接 a、 c 并延长， 延长以后我们会得到什么？角一， 角一是等于角二加角 b， 角三是等于角四加角 d， 然后角 c 的 话是等于角一加角三的，所以我们角 c 应该是等于角二加角 b 加角四加角 d。 然后我们再看角二和角四， 角二加角四是等于角 a， 所以 我们的角 c 是 等于角 a 加角 b 加角 d。 这是第一种方法，然后还有一种乘法，我们来看还有一种乘法的话，我们是延长 b、 c。 交这边于 e， 那 我们找 c、 e、 d 是 这个三角形 a、 b、 e 的 外角，所以找 c、 e、 d。 等于角 a 加角 b。 然后再看这边这三角形， 它的外角刚好是我们的角 b、 c、 d。 角 b、 c、 d。 应该是等于角 c、 e、 d。 加上角 d， 那 就等于角 a 加角 b 加角 d， 所以 也就是我们角 c 等于角 a、 加角 b 加角 d。 然后第二种就是一个升级版啊，在我们非交模型的基础上，又加了一个角平分线，两个角平分线的交点。我们来看已知四边形 a、 b、 c、 d。 线段 b、 o。 平分角 a、 b、 c。 线段 o， d。 平分角 a、 d、 c。 则角 o 等于什么？ 等于二分之一角一加角 c。 那 这时候我们来看前面一个飞镖模型的结论，我们依旧是可以用的。然后我们来看一下这道练习，在社会实践手工课上，小明同学设计了如上图这样一个零件，角 a 等于五十二度，角 b 等于二十五度，角 c。 等于三十度角 d 等于三十五度，角 e 等于七十二度。让我们求角 f 来，先把条件标一下， 这边五十二度角 b。 二十五度角 c。 三十度角 d。 三十五度。那我们来看我们的飞镖模型是怎么样的？这样的，那这边这样。但是我们可以试着把这样延长，把 b、 e 和 c、 f 延长以后会有一个飞镖模型，对吧？ 或者我们飞镖模型下面是这样的，现在有两个这样的箭头，我们可以试着连下 a、 d， 对 吧？好，那我们来先看连 a、 d 的 话， 把 a、 d 往这一连，那么还有个角 e 标，角 e 是 七十二度， 角 e 是 等于角 b 加上角 a、 d、 d。 加上角 b a、 d。 然后我们的角 f 是 等于我们的角 a、 d、 f。 加角 c。 加角 d a、 c。 如果我们把它们都加起来，角 e 加上角 f， 应该是等于角 b。 加角 c。 加角 b a、 d。 加角 d， a、 c。 再加角 a、 d、 e。 再加角 a、 d、 f。 那 么这时候我们来看啊，我们的角 e 是 七十二度，加上我们的角 f 应该是等于这边的角 b 是 有的，二十五度加上角 c， 三十度角 b a、 d。 加角 d a c d a d d a、 c 刚好就是角 a， 那这边也就是五十二度，再加我们的角 a、 d、 e 和角 a d f a d， e 和 a d、 f 加起来刚好是我们的角 d， 也就是说加上三十五度。那这时候的话，我们的角 f 是 不是就好求了？我们的角 f 应该是等于 二十五度，加上三十度加五十二度加三十五度，减去我们的七十二度，应该是刚好等于七十度啊。 那么这道题就是一个飞镖模型的应用，那么接下来又转化到我们上一次的一个四毫米， 依旧是留给大家去试一下。如图，若角 eoc 等于一百一十五角 a， 加角 b， 加角 c 加角 d， 加角 e 加角 f a b c d e f。 这六个角，它们的和应该是多少呢？ 既然前面一个结论依然可以用，那我们可以得到什么？角 o 应该是等于这个角加这个角加这个角，那这边和这边等，这边和这边等，我们可以简单标一下， 这边是阿尔法，这边阿尔法这边贝塔，这边贝塔，那他就应该是角二法加角 a 加角贝塔，那么角二法加角贝塔是不应该转化成角 o 减角 a， 对 吧？然后我们刚才是这个里面，接下来我们再看这个里面， 角 c 是 等于两倍的角阿尔法加上角 a 加上两倍的角贝塔，那么两倍的角阿尔法加贝塔是等于角 c 减角 a。 所以 我们角阿尔法加角贝塔应该是等于二分之一，括号角 c 减角 a。 然后这边是相等的， 所以角 o 减角 a 等于二分之一角 c 减二分之一角 a， 所以 我们的角 o 是 等于二分之一角 c 加二分之一角 a， 也就是我们对称的角 o 等于二分之一角 a 加角 c。

下三角形必考十大类模型，其中一个非常重要的角度计算模型，就是我们所说的飞镖模型，这道题他考的更复杂啊，飞镖加上角平分线出来飞镖双标了，今天啊，老师就带领大家用一个模型的结论，轻松的秒出这类题的答案。 那有关于三角形角速计算模型，老师都给大家总结出来了啊，十个模型对应的模型结合，大家一定要非常熟练，遇到这种题才能秒出答案，家长们可以帮孩子打印出来，咱们只做模型来进行练习。 下面呢，咱们来一起看一下这道题啊，有角平分线，立马条件，上图相互符号标记相等的讲，哎， 接下来问你讲 a 呢？多少？那这个题目呢，就涉及到我们飞镖模型基本型的结论了，这个飞镖模型有什么结论呢？哎，我们说这三个角之合等于什么呢？就等于这个大小，也就是角一加角二加角三就等于角 b o c。 那 有同学说怎么证明的呀？这个其实在老师之前的课程当中都已经给大家讲过很多遍了，我们可以做延长哎， 做截取哎，很多种证明方法，我特想给大家讲了五六种方法，用任意一种方法都行，我这里就延长了延长 b o 至这点假设到点 p 了对不对？好了，现在你会发现这里有一个角四，角四是这个三角形的一个外角， 三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角角，所以角四就等于角一，再加上角二，对不对？ 来，那这个角角 b o c 哎，角 b o c 正好是对应这个角 o p c 的 一个外角，所以它也等于与其不相邻的两个内角。角四加角三， 而角四是角一加上角二，所以我们角 b、 o、 c 就 可以得出来，它就等于角三加角二再加角一了，很容易去正哦，对不对？ 那飞镖型的结论咱知道了，在这道题里，直接利用两次飞镖和型的结论就行了。因为这道题啊，有两个飞镖，一个在这呢，大飞镖对不对？一个在里面呢，是这里的小飞镖。 所以在小飞镖当中，我们就有小叉加小圈，加一百一十度等于一百六十度。 同样在大的飞镖当中，我们就有二叉加上二圈，再加上角 a， 等于一百六十度。两个式子，我们用一式乘二再和二式相减，就可以求出角 a 的 值了。那角 a 求出来不就等于六十度吗？

同学们好，今天咱们来讲解一下三角形的十二个模型， 在这十二个模型中呢，有几个常考大体，而有一些呢，常考选择和填空，咱们挨个来看一下，咱们先看第一个飞镖模型，这个飞镖模型也叫燕尾模型，它里边包括了一个基本模型和两个扩展模型， 通常这个基本模型是第一位，然后第一个扩展模型是第二位，第三个扩展模型是第三位。所以说这个飞镖模型呢，常考大体它比较重要啊。咱们先看一下它的基本模型， 它基本模型的形状，哎像一个飞镖，哎是一个凹的四边形。 题目当中会给你条件如图，哎，一个凹四边形 a、 b、 c、 d。 它有两个结论，第一个结论是角 b、 c、 d 等于角 a 加角 b 加角 d。 第二个结论是 ab 加 ad 大 于 bc 加 cd。 如果说出现选择填空题的话，这两个结论咱们直接套就可以了，就是说这个角等于这个角加这个角加这个角。 那第二个结论就是说这个边加这个变，大于这个变加这个变。那如果说出大题呢？出大题的话，咱们就得把过程摆上了。那如何去证明圈一和圈二呢？ 咱们就要用构造三角形的方法，因为在这个四边形中呢，没有三角形，所以咱们要构造一个三角形，才能利用三角形的内角、外角以及边的关系去求证。 那咱们来复习一下，三角形的内角和是一百八十度，三角形的外角和呢是三百六十度，并且呢三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和 边的不等关系呢，三角形的两边之和大于第三边，而三角形的两边之差小于第三边。好，那咱们利用这几个知识点来证明一下。圈一， 咱们要勾到三角形的话，你看在这个四边形中，我可以连接 a、 c 并延长至点 p， 那 此时 a、 p 这条线就把这个四边形分成了两个三角形了。 那么在这两个三角形中，我就可以利用内角和或者外角或者三角形的不等关系去求证了。咱们先看最左边的这个三角形 a、 b、 c 吧。但你看，在三角形 a、 b、 c 中， 咱们要求证角 b、 c、 d 与角 a、 角 b、 角 d 的 关系，咱们应该怎么找呢？那你看一下 a、 p 把角 b、 c、 d 分 成了两个小角吧。哎，咱们可以挨个看这个小角，但你看这个小角正好是这个三角形 a、 b、 c 的 外角吧。咱们知道三角形的外角等于它不相邻的两个内角的和。 但所以我就能得出结论，角 b、 c、 p， 它就等于角 b、 a、 c 加上角 b。 那咱们紧接着看右边这个三角形 a、 c、 d。 那 在右边这个三角形中， 这个角 d、 c、 p 这个小角它等于什么呀？它是不是等于这个角加这个角啊？那所以说我能得出结论，角 d、 c、 p， 它应该等于角 d、 a、 c 加角 d 吧。 咱们最后要求角 b、 c、 d 与角 a、 角 b、 角 d 的 关系，那你看一下它俩相加刚好是角 b、 c、 d 呀，那这个时候我让它俩相加就可以了。角 b、 c、 p 加上角 d、 c、 p 加上角 d a、 c 加角 d 吧。 那这个时候我看一下这个角 b、 a、 c 和这个角 d、 a、 c 刚好得角 a 一 吧。这俩角相加刚好得角 a， 所以 说圈一我证明出来了，角 b、 c、 d 等于角 a 加角 b 加角 d 了，是吧？ 大家看一下啊，整整理一下思路， 圈一咱就证明完了，对吧？但是这个圈一还有别的证明方法，之前也考过，这是第一种证明方法，咱们叫法一。 好，咱们继续看一下证明圈一的第二个方法。法二， 这个时候咱们就不要这个 a、 p 了，咱们离延长 bc 交 a、 d， 余点 q， 哎，图我已经画好了， 那么在这个图中的 b、 q 把这个四边形分成了这两个三角形了，一个是三角形 a、 b、 q、 d。 咱们先看一下三角形 a、 p、 q。 在 这个三角形 a、 p、 q 中，咱们发现了这个 c、 q、 d 好 像是三角形 ab、 q 的 外角吧， 那此时我就可以写成角 c、 q、 d。 等于角 b， 加上角 b、 a、 q。 紧接着咱们看右边这个角，右边这个三角形 c、 q、 d。 在 这个三角形中，咱会发现角 b、 c、 d 是 一个外角吧，它等于谁加谁呀？它等于角 d， 加上角 c、 q、 d。 那此时这个角 b、 c、 d 我 就可以表示了，可以写成角 d 加上。咱们可以把这个 c、 q、 d 换成角 b， 加上角 b、 q 吧。 哎，那此时角 b、 c、 d 与角 a、 角 b、 角 d 的 关系咱们就证明出来了啊，这两种方法啊， 紧接着咱们看一下证明圈二，那如何证明圈二呢？圈二是边的关系，那边的关系咱们也得勾造在三角形，咱们就紧接着 按照这个法二来。这个法二呢，这个 bc， 这个 b、 q， 将这个三角，将这个四边形分成了两个三角形了，咱们还是先看左边这个三角形，在三角形 a、 b、 q 中， 三角形两边之长大于第三边吧。那我是在这个三角形中，我就可以说 a b 加上 a q 肯定大于这个 b q 吧。哎，所以我这么写，我写 a b 加上 a q， 它大于。你看这个 b q 是 由 bc 加 c q 组组成的。哎，那我就这么写。 紧接着咱们看右边这个三二三二形 c d q， 那 它的任意两边之长也应该大于第三边，所以我可以写 c q 加 q d 一定是大于 c d 的。 这个时候咱们将这两个式子相加，即 左边进加左边 a b 加 a q 加 c q 加 q d 应该是大于 bc 加 c q 加 cd 的。 那么此时我把这个式子我稍微化简一下， 这个 c q 和这个 c q 一 项就消没了。 并且你看这个 a q 加上这个 q d， 它不刚好是 a d 嘛。 所以说现在 ab 落下来， a q 加 q d 就是 a d 了，大于号落下来是不大于 bc 加 cd 啊。那所以说这个圈二咱也证明出来了啊。 所以说证明圈一有这两个方法可以选择，然后呢，证明圈二呢？咱们就按照这个方法，按照圈二的，按照法二的这个方法去做就可以了啊。

两分钟教你学会一个飞镖模型，下次遇到直接选答案，我们再来回顾一下这个飞镖模型的结论，也就是角 p 一定等于角 a， 加上角 b 和角 c。 我 在上个视频当中已经讲过了， 那么我们来看一下这个题目的话，已知这几个角的度数，然后让我们去求角 f 到底等于多少度， 我们仔细一看，他发现好像没有飞镖，对不对？这个时候呢，我们就需要去做什么辅助线，所以现在你们来看一下，要连接哪一条线才会出现飞镖呢？和这个图形相似的情况下，是不是显然要连接什么 a、 d？ 所以 我们来连接一下辅助线，把点 a 和点 f 怎么样连接起来？ ok， 两个飞镖挨在一起了，对不对？那这个时候就变得简单了呀，显然，角一加上角 f， 是 不是就等于里面的 这几个角的代数好了呀？所以角一加上角 f， 显然就等于这一堆角，角 a， 角 b， 角 c、 角 d 啊，这两个角，注意哈，这两个角是被分开了啊，角一，角二，角三，角四啊，是被分开了，但是我们把它加在一起，其实整体就是角 a 和什么角 d， 角这个 其实就是角 a 和角 e、 d、 f 这两个角的代数和，所以加起来呢，这几个角一加应该等于几？刚好等于一百四十二度。 显然啊，这个时候我们要求到角，角 f 刚好等于一百四十二度，减去角一，而角一呢，又是七十二度，所以他又得落到七十度， 你学会了吗？如果没有看明白，把视频收藏起来，反复观看，我们下期再见。

这题不会，初中全废，求 a、 b、 c、 d、 e、 f 这六个角相加等于多少度？这六个角我们一个都不知道，那么怎么来求它们的和呢？同学们，我们知道三角形的内角和等于一百八十度，四边形的内角和呢，等于三百六十度。 我们在求这些角度之和的时候，一定要想办法向三角形、四边形或多边形做转化。仔细观察一下这个图形，我们把 b、 f、 f、 c 和这两条线段都连起来看一下，这个图形有三个凸出去的尖角，一个凹进去的角， 这就是初中几何当中常用的飞镖模型。在这个飞镖模型中，凹进去的这个角 d 呢，就等于凸出来的这三个角相加。用到我们这个图形当中，这个角 b 加上这个角 c 加上这个角 f， 就 等于这个角一。角一和这边的这个角二呢，是对顶角，角一呢，又等于角二，所以我们这个角 b 加上角 c 加上角 f， 实际上就等于这个角二。 那我们要求的这些角度的核呢，最终就转化成了角 a 加上角 e 加上角 d， 再加上这个角二。观察一下，这几个角度相加，不就是我们这个四边形的内角核吗？很显然，四边形的内角核就是三百六十度。

一次性说清北师大版七年级下册全书的重点难点，那么新版北师大初一下册的全书重难点其实可以总结为十六个公式，二十个模型，一种变换，一个关系。 十六个公式在第一章，二十个模型分布在了二、四、五三个章节，一种变换指的是初中三大几何变换之一，折叠变换。那么也是我们二五年山西中考二十三题压轴题的出题考点。那一个关系指的是我们第六章变量型的关系，也就是函数关系的初步。 那么详细来说来，下册总共六个章节，期中考试考前三个章节，期末考试重点为后三个章节。 那么第一张整式乘除为三年计算的核心基础，这边的课本上给了我们九个公式，分别是密的预算六个公式、平方差公式和完全平方公式。三个公式再加上七个变形公式，总共是十六个公式， 那这些公式不光要背会，而且要做到灵活运用。这一张也是我们往年的期中考试填空压轴题十五题十六个公式，那这一张也是我们往年的期中考试填空压轴题二十二题的出题点。那 第二张相交和平形平行线为证明说理的一个起步，也是我们期中考试压轴题的一个必考考点。这部分呢，总共是两个基础模型，也就是猪蹄模型和铅笔模型， 还有它的四个变形模型。那么这部分知识也是培养几何证明基本逻辑和书写习惯的基础。这部分知识学扎实化，后续的几何大题就不容易扣步骤分和细节分，那么这一张涉及到的是六个模型， 来第三张，概率每一年中考必考一道选择填空。但是初三我们还要继续去学习，所以初一阶段难度不太大，关注教材上的课后题。去年的期中考试基本上都是教材的课后题原题，这张只要把课本例题和课后题吃透的话，考试的话就应该没有问题。 第四张，三角形及其全等是整个初中三年几何的核心重点，从初一下册到最后中考压轴题，每个学期都要用到这个知识点，也就是说后续一系列综合证明，它都是基础，所以重中之重。 但是同时这一张也是很多孩子们开始面对几何证明的难点和痛点，逻辑性增强，技巧性增强，开始讲究思路和方法。 这一张三角形有十大基础模型，全等三角形这块一定要学扎实，手拉手模型和一线三等角模型，还有它的一个变形三垂直模型为重中之重，一共是十三个模型。那么这张当然也是期末考试压轴题的必考考点。 第五张，轴对称是第四张，知识一个延伸和升级，其中折叠是中考几何三大变换之一，也是二五年山西省中考压轴题二十三题的考点。 这里有很多重要的几何定律，包括了等腰三角形的性质啦，中垂线角分线的性质啦，尤其是一个重要模型，叫做最值问题中的将军印码模型， 那它是我们三年里面遇到的所有最值模型里面最常见最常考的一种，是我们的新教材新增加的一个内容。 最后第六张，变量之间的关系是我们初中函数学习的开始，期中考试往往会在选择题的第十题，填空的十三、十四以及倒数第三道大题考这个知识点难度不太大，但是会比较抽象， 所以这一张特别需要孩子对于知识的深入理解，特别是函数与实际生活的关系，是我们近两年中考改革之后的重点方向。 这张学明白，你初二去学习一次函数就会很顺利。最后这张考题的话，其实不太难，把课本吃透，把基础题型练熟，考试得分就问题不大。最后咱们再说一次，总共是十六个公式，二十个模型，一种变换，一个关系，你记住了吗？

在很多几何题目当中呀，我们呢往往会见到一些比较复杂的图形，就比如说这道题这个图呢，其实很多同学看起来是无从下手的，但是这里面呢，其实它包含了一些比较基本的平面图形，就比如说这里面它包含了一个飞镖模型， 什么叫飞镖模型呢？其实呢，飞镖模型就是一个凹四边形。我们来看一下，假如说我们现在给你一个四边形，只不过这个四边形有一个角是凹进去的， 我们将它记作四边形 a、 b、 c、 d。 在 这个 o 四边形当中，你会发现我们呢，角 a、 角 b 跟角 c、 角 d 之间是有一些数量关系的，数量关系是什么呢？我先说结论， 角 c 啊，它应该是等于角 a 加上角 b 再加上角 d 的， 也就意味着 o 进去的角等于另外三个凸出去的角之和。怎么去证明呢？方法非常多，比如说我们去连接 ac 并延长， 延长完以后呢，我们可以将这角 a 啊标为角一、角二，这个呢，标为角三和角四。好，那你会发现，根据三角形的外角，在三角形 a、 b、 c 当中，对吧？你会发现，哎，角三应该是一个外角，所以呢，我们就得到了角三，它等于角一加上角 b， 那同理啊，在右边这个三角形 a、 c、 d 当中，对吧？那角四应该也是其中一个外角，那应该等于角二再加上角 d， 将这两个式子上下相加等号，左边相加等号，右边相加，角三跟角四合在一块，就是原本的角 c， 角一跟角二合在一块，就是原本的角 a， 那 么还剩一个角 b 加角 d， 这就是飞镖模型最基础的结论， 那么它在我们这道题目当中是怎么去应用的呢？直接看好像没有飞镖呀，没有凹四边形啊。那如果说我们去连接 f、 c 这条线， 你会发现整个的图形其实被拆分成了两个凹四边形，第一个凹四边形应该是 a、 f、 c、 d。 凹进去了，第二个凹四边形应该是 c、 f、 e、 d。 凹进去了， 那么我们就可以去分别写结论了呀。我们在这标上角一、角二、角三和角四，根据我们刚才的结论，在我们的凹四边形 a、 f、 c、 b 当中， 对吧？那我们的结论应该是什么呢？凹进去的角 b 等于凸出去的 a、 e、 三的和。 再来看一下我们的第二个凹四边形 f、 e、 d、 c。 在这个 o 四边形当中，我们 o 进去的角 d， 它应该是等于另外三个角角四、角二和角 e 的 和 好。接下来我们去把这两个式子左边相加，右边相加，左边加左边得到角 b 加上角 d， 那右边加右边，你会发现角 a 不 用动啊，这个角一和角二相结合，不就是原本的角 f 吗？ 这个角三和角四相结合，不就是原本的角 c 吗？ 最后呢，还剩一个什么？还剩一个角 e， 所以 你会发现这个图形的结论也很有特点，它应该是角 b 加角 d， 也就是凹进去的这两个角等于凸出去的 a、 f、 e、 c 这四个角的和 好了，那有了个结论以后呢，我们可以直接套到题目当中了呀，人家说的是呢，角 a 加角 c 加角 e 等于九十度，那也就意味着这三个角的和就是九十度了，对吧？还剩一个角 f， 然后呢，角 b 加角 d 是 一个一百五呀， 那角 f 不 就出来了吗？所以人家问的 a f、 e 就 应该是一百五，减去一个九十，那么就应该等于六十度。 所以我们需要在复杂图形当中，通过辅助线的构造变成我们常规比较基本的图形。

好同学们，今天我们一起来学习一个特别经典的几何模型，飞镖模型。好同学们，看这道题。我们有一个三角形 abc， 接下来会在这个三角形里做一些有趣的操作。 在三角形的三条边上各取一个点， bc 上有点 d， a、 c 上有点 e， ab 上有点 f， 把对边的点和对面顶点连起来，得到 a、 d、 b、 e、 c、 f 三条线。很神奇，这三条线居然交于同一个点，三线交点角 o， 这个图形就叫做飞镖模型，因为三条线从三个顶点射向靶心 o 像不像三只飞镖？ o 把三角形分成了三块，黄色的三角形 a、 o、 c， 橙色的三角形 b、 o、 c， 我 们要找它们的面积关系。 结论一、三角形 a、 o、 b 的 面积比，三角形 a、 o、 c 的 面积等于 b、 d 比 c、 d。 听起来神奇，我们来证明它。 先从大入手看三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 d， 它们共顶点， a、 底分别是 b、 d 和 c、 d。 从 a 到 b、 c 的 高是相同的， 所以三角形 a、 b、 d 比三角形 a、 c、 d 的 面积就等于 b、 d 比 c、 d 等于三比二，同高不同底，面积比等于底之比，对吧？ 再看小一点的三角形 obd 和 ocd， 它们也共顶点 o， 底还是 b、 d 和 c、 d 高，是从 o 到 bc 的 距离也相同， 所以三角形 obd 比三角形 ocd 也等于 bd 比 cd 还是三比二，两组比值相同，这是关键。重点来了，三角形 aob 的 面积等于大三角形 abd 减去小三角形 obd。 眼睛看图，对一对，是不是 同样三角形 acd 减去小三角形 ocd， 大三角形之比等于 b、 d 比 c、 d。 小 三角形之比也等于 b、 d 比 c、 d。 相减以后，三角形 a、 o、 b 比三角形 a、 o、 c 还是 b、 d 比 c、 d。 结论一，正 b。 结论二，用同样的方法换 b e 这条线，三角形 a、 o、 b 比三角形 b、 o、 c 等于 a、 e 比 c、 e， 也就是三比一。结论三，换 c、 f 这条线，三角形 b、 o、 c 比三角形 a、 o、 c 等于 b、 f 比 a、 f， 也就是一比二。三个结论，同一套路， 就是飞镖模型。三条塞瓦线汇聚于 o 切出来的面积比等于对边上的线段比。每一对都这样，记住它哦！

这道题堪称七下角度计算的压轴王，百分之九十九的孩子刚看到这道题，没有思路，无从下手。这是因为传统的方法去解这道题非常麻烦，但是如果你知道飞镖模型，那将会变得非常简单。好，我们来看题， 若 m d 平分角 a， c， n， 也就说这一条边平分了这两个角，我们把它叫做两个 x cd 平分角 a， 先我们把这两个角叫做 y， 角 a 等于四十度。好，这里是四十度，角 n 等于十度，小小的角是十度。然后要你求角 d， 我 们把它叫做 z， 最后让我们求 z。 这道题呢，用常规的方法是非常麻烦的，但是呢，如果你知道了飞镖模型，就可以秒杀它。首先我们认识一下什么叫做飞镖模型，如图，长成这个样子的图形呢，它就叫飞镖模型。飞镖模型有什么结论呢？它是指啊，这个角 a， 角 b， 角 d， 还有这个角 c， 它是有关系的， 具体是什么关系呢？来，我先卖个关子，我先画一条辅助线给你看，我们把这个 a、 c 连起来，并且把它穿出去。这个角呢，叫做角 e， 这个角呢叫角二。这个角呢，咱把它叫角三。角一，角二和这个内部的这个角是不是凑成了一百八十度啊？三角形内角和这个圆圈，这个角和角三呢，又是零补角，所以我们可以得到角一加角二是等于角三的。同样道理，这边我们来一个角四， 这里来个角五，外面这个来个角六，我们也可以得到四加五等于六。然后呢，我们把这个角一、角四、角二、角五加起来，它就等于角三角六。也就是说这个角 a 加角 b 加角 d， 这三个内部的角之合会等于角 c 这个外部的角。得到这个结论之后呢， 我们再回来看这道题，大家能不能看出这个飞镖长成什么样子呢？大家可以发现蓝色的部分，它就是一个飞镖的模型，我们就可以用刚刚的结论，角 a 加上这个角 a， m， n， 也就这个内部还有这个十度加起来就会等于外面的这个二 y， 我 们列一下式子， 然后化简，它两边同时除以二，会得到 x 加上二十五等于 y， 这就是 x 和 y 之间的关系。我们把这个结论写在这这个红色的三角形里面呢， 你会发现这里有个四十就有 x， 这里呢有一对对顶角，这边就是我们要求的目标 z 角以及这里有个 y 角，我们已经有了 x 和 y 的 关系了，是不是可以把左右这两个内角和一百八十度给它用起来列成方程呢？所以左边的这个三角形咱们可以列成什么呀？四十加上 x 加上 m 是 等于一百八的呀。再来看右边这个 z 角加上 y 角加上 m 角，它也是一百八。那么我们这两个式子呢，来个上减下一，这是二一减二，左边减下来 m， m 没了一百八，一百八也没了，就变成了四十加 x 减去括号内 z 加 y 等于零。我们再把这个 y 等于 x 加二十五带到这里面来，你就可以得到四十加 x 减去括号内 z 加上 x 加二十五，它等于零。终极就是这个方程了，我们把括号去掉， 这个时候你会发现这个 x 它就没了呀。 that 可以 移过来变成正的 that， 二十五和四十去减一下 that 角是等于十五。这也是这道题的最终答案。角低等于十五度。好的，搞定。