2026宁波三月联考数学几何大题

玩的浙江省北斗星联盟的高二联考的单选压轴题啊，这个北斗星联盟昨天刚考完，很多同学反馈试卷非常难啊，很多 重点高中顶尖名校的平均分只有七八十分不到，因为他的那个卷子的中档题非常多。那今天我们来看一下小题中最难的一道就是这个单选压轴，很多同学也根本没从下手啊。我们来看一下，他说已知点 ab 在 这个双曲线上， 以点 ab 为切点，以点 ab 为切点。关于 c 的 切线啊，交于点 p， 相当于这里我做两条切线啊，什么交于点 p， 然后 p 在 第一象限，然后做 p h 垂直 ab 做 p h 垂直 ab， 对 吧？然后它说垂足为 h， 告诉我，如果说这个 p a h 啊， p a h 是 四十五度， 然后他满足这个 b h 等于三倍的 a h， 问我这个直线 o p 的 斜率，那很多同学想，本来正常考这种圆锥曲线，不管是椭圆还是抛物线还是双曲线，嗯，个人很多同学就觉得可能是会跟定义有关，但是这个题呢？第一， 他没有交点，没有没有说让你跟交点的关系，完全就是在这里构建一个几何构图，所以这个题呢，跟这个双曲线的定义是一点关系都没有。那这个题怎么去想呢？还是一个圆锥形，多想少算，我们要善于利用几何关系去突破他，他这个，这个不是公两条切线的交点吗？那我们不妨设切点啊， 我们设点 p 是 x 零 y 零，那我们由切点弦方程，我们可以写出 l a b 这条，这条直线就切点弦方程，只要带一半就行了，就是 x x 零减 y y 零等于一， 对吧？那这个时候我们发现呢，这个 k a b ab 的 这个斜率呢？是 x 零除以 y 零， 哎，哎， kab 是 x 的 除以 y， 所以 说这个时候啊，他让我，本来让我求这个 kop， 这个 kop 比较难，想这个，这个 op 怎么算？我不可能强解除这个点 p 的 坐标的，因为 ab 点我也不知道，所以我自然的想到把 op 延长啊， 做这么一条辅助线，我将 op 延长出去，交 ab 与点 e， 相当于我们书写一下就延长 op 交 a b 与 e， 那 我们知道，那我们我们来看一下这个 k a b 乘以这个 k o p， 我 们会发现啊，这样就相当于等于 k a b 乘以 k o e， 对 吧？那 k a b 乘以 k o p 是 什么？就是 x 零除以 y 零乘以这个 k o p 就是 y 零除以 x 零， 哎，我们会发现它是等于一，相当于这东西等于一，等于一的话，我们惊奇的发现，它就是等于一方减一，因为这个 双曲线的离心率是根号二，那一方减一，刚刚就是一，哎，所以说这里就隐藏了它的一个几何关系，我给它挖掘出来，所以这个东西是什么？这个东西是点差法来的，哎，一刚刚好等于一方减一，就意味着什么呢？ e 是 ab 终点，所以这个题目它其实有点难度非常大啊，非常考验同学们的一个几何直观，你能不能擅长从这里发现几何关系。所以 e 是 ab 终点， e 是 ab 终点。之后，这个就非常简单了，我记这个斜率记作西塔， 那这个是四十五度的话，我们知道我设这段为 x， 这段是 x， 对 吧？然后呢？因为这一个就是三 x， 对 吧？然后 e 是 终点的话，就意味着它上面这段是二 x， 那意味着这一段也是 x。 哎，那我们会惊奇地发现，这个角也是四十五度，对吧？所以我们就可以知道啊，这个 k a b 的 这个斜率呢？ k a b 这个斜率是不是就是等于 tanet sita 加上四分之派， 对吧？因为 k a b 这个斜率是这个角嘛？是不是外角就四，大家四分之派？那我们又知道 k a b 就是 k o p 分 之一啊，那我们记啊，我们记 tanet c t 就是 等于 k 的 话，这样我要求的斜率是 k， 那 么 k a b 就是 k 分 之一啊。因为我刚才讲了，它们两个相等等于一，所以 k 分 之一等于一加 k 一 减 k， 所以这样子我们就整理一下，快速得到一减 k 等于 k 加 k 方，所以就是 k 方加二， k 减一等于零，所以我们可以快速的推出 这个 k 呢，就是等于根号二减一，所以这个题答案就是 c 啊。所以这个题目的难度呢，是相当的大的，他要善于去发现几何关系，然后要知道七点型的结论，你要善于把这个不完整的构图给他延长出去，挖掘这个点，意是中点，然后去构建一个方程。 所以这个题当然也是一道非常漂亮的圆润曲线小题，充分体现了多想少算，你方法合理，它其实非常简单啊。好，本题我们就讲解到这里。

同学们注意，镇海中学二零二六届高三数学模拟预测卷来了！单选聚焦集合立体几何圆锥曲线，难点集中在函数与离心率、多选统计向量、新定义数列全是高频考点，填空复述最值概率。一题一技巧， 解答题覆盖解三角形立体几何数列解析几何导数压轴题型，全难度贴合高考每道题都藏着得分关键，刷透这套卷，吃透思路与易错点，高考数学稳提分，赶紧练起来，冲刺高分不迷茫！

亲爱的同学们大家好，今天我们一起来看一道小升初必考的题型，十字分割，掌握这种方法的，那这一类的题型我们直接口算就可以了。我们先来看题， 求大正方形中小正方形的面积，我想要求小正方形的面积，那没有边长，我们是不能直接计算的，那我们就要运用十字分割来找一找图形面积之间的关系。 什么是十字分割呢？那其实也就是在一个长方形或者是正方形中，我横着切一刀，竖着切一刀，把它分成了一二三四四部分，那这个就叫做十字分割。回到题目中呢，我们可以做一个延长线，把正方形分成了四部分，我可以标记为 一二三四。那接下来我们要判断一号四边形，它是一个什么图形？在这里一号的边长其实就等于大的正方形，减去小正方形， 那同样竖着它的边长也是大正方形，减去小正方形的边长，那我们就能判断出来，一号它其实是一个正方形，而三号也是一个正方形。 这里二号和四号长是一样的，宽也是一样的，那所以二号和四号的面积就是相等的，四号为九平方厘米的，二号也为九平方厘米，那知道了二号，那一号我们就可以求得它为三平方厘米， 在这里我们就可以把十二给盖着，先不看，那接下来第二步我们就要运用对角定律，那什么是对角定律呢？那其实是一号的面积乘以三号的面积，其实就等于二号的面积乘以四号的面积。那这个是怎么来的呢？那其实证明起来也不难，我们可以先来标记一下。 我可以把一号的边长记作 a 和 b， 把三号的边长记作 c 和 d。 那 在这里，一号的面积乘以三号的面积，那其实就是 a 乘以 b， 再乘以 c 乘以 d。 在 这里， a 乘以 b 是 一号的面积， c 乘以 d 是 三号的面积，那它其实就等于二号的面积为 b 乘以 c， 四号的面积为 a 乘以 d， 那 两者其实是相等的。为什么呢？在这左边 a、 b、 c、 d 相乘，右边同样也是 a、 b、 c、 d 相乘，那我们就可以得到这个结论。 阴影部分这个小正方形就不难求了。那小正方形的面积其实就是二号的面积乘以四号的面积其实就可以了。那二号、 四号九乘以九，我再除以一号的三，那就可以算出阴影部分这个小正方形的面积其实就是二十七平方厘米。

二零二六年宁波中考强基考试的最后一道大题的最后一问。当当当当，今天陈老师一定给你讲明白！来看啊，我们回顾一下这道题目呢， 第一个信息呢，就是这个共边相似， a、 b、 d 和 c、 b、 a 是 不是相似啊？于是得到这个阿尔法等于这个阿尔法，那这是第一个相似，然后呢？ 还有什么相似呢？还有 a、 f、 e 和 a、 b、 c 相似，为什么？因为外角等于什么？内对角这个是什么？是不是也是割线定律啊？对，这个是一个斜 a 相似，也叫割线定律。好， 还有什么相似呢？还有这个因为题目条件，这个角等于这个角，这个角等于这个角，这个角呢？又等于这个角，是因为第一个条件得来的，对不对？于是这两个是一个正常的蓝色区域的相似，这在这道题都要用到啊，非常恐怖，对吧？ 还有一个信息，什么呢？就是由第一问的时候可以，第二问的时候倒角可以得到 e、 f 平行于 ab， 于是这里面还有一个什么相似啊？八字相似。在第三问里又多了一个相似，用到了八字相似。好，现在陈老师把它串起来来看啊，他说什么呢？他说这个 b、 d 和 ab 之比是 k， 那 这个是什么呢？ b、 d 和 ab 之比是 k， 是 不是就是这两个蓝色三角形的相似比是 k 啊？那于是我假设什么呢？我假设你是一， a b 是 一，那么 b、 d 是 不是就是 k？ 这非常的好理解，也是我们常规的假设方式，对不对？那于是可以得到什么？因为我们两个是相似的，相似比是 k， 那 于是 bet 的 对边和 bet 的 对边，是不是假设 a f 是 a 的 话，那这个 e d 是 不是可以用 a 表示啊？没错，这个 e d 啊，就用 a 表示了，我们要证明的是你除以你，然后这个用 a 表示了，非常的 ok， 我 用一个颜色把它圈出来啊，解决的问题我们都圈出来。 ok， 这个是搞定了。好，那接着我们再看，有 第一个信息可以得到，可以得到什么？你的平方等于你乘以你，你有了，你有了，那你是不是就有了，对不对？你就有了啊，然后呢，那你呢？是不是 b c 减去 b d 就 等于 c d 啊？有的人说你算 c d 干什么呢？不要着急， 这个也搞定了啊，两个搞定了，接着我们由第一问的结论。我经常说了啊，第一问和第二问的结论是第二问和第三问的必用条件。这是一个合格的压轴题必须遵守的套路，陈老师多次说过了，好，他就要用到第一问的结论。哎，那可以得到什么呢？ 可以得到 a e 就 等于你除以你，对不对？ a e 呢？是干嘛的？ a e 是 这条最终我们要求的 a g 的 重要的载体， a e 是 不是然后和 d e 呢？ d e 在 这里。好，那我们看一看，那这个 a e 怎么求？ a e 就 等于 af 的 平方除以 d e 就是 我们的第一题的结论，直接拿来用，由已知。好， 那这个 af 知道了， d e 呢？刚才蓝色相似，知道了这个对不对？代入就可以得到什么 a e 的 长， a e 的 长。知道了，我们还可以求出什么 a d 的 长，对不对？ a d 的 长是什么？ a e 加上 d e d e 刚才已经求出来了，那最终就得到 a d 的 长好，又一个 a d 的 长求出来，我们的目的是求谁啊？我们的目的是求，看好了，是求 e f， 为什么呢？你接着往下看啊，要求的是 a g 和 d e 之比，那于是呢，这两个之比呢？这条边并不知道 a g 很 难求， 但是我们知道 a e 已经求出来了，那于是在这个平行线的八字相似里边，是不是对应边乘比例就能求出 ag 了？而对应边求比例求出 ag 的 话，那就要知道，相似比，而相似比藏在谁肚子里？没错，藏在 e f 和 a 的 肚子里， 那这个 e f 怎么求呢？哎，那就转回来了，那这个 e f 比上谁呢？当然是比上 c d 了。 公共角的对边比上对边对不对？ e f 比上 c d 等于什么呢？等于 af， af 是 不是小三角形的？呃，一条边啊，比上谁啊？比上大三角形的这条边对不对？而 a d 是 知道的， af 是 知道的，我们是不是就可以求出谁啊？ c d 也是知道的，我们是不是就可以求出 e f 啊？好， e f 也搞定了。既然 e f 搞定了，我也知道，那这个八字相似的相似比，是不是就是你比你啊？那也搞定了，八字相似 之比，是你比你，那是不是就是 a g 比上 g e 也是相似比，那 a g 比上 a e 呢？是不是分子比分母，然后呢？ a g 比上 g e， 那 a g 比上 a e， 是 不是分子比上分子加分母啊？哎，就是你，然后这里就可以得到什么了？终于得到 a g 了， a g 算出来，嘿，然后再比上 d e d e， 刚才是不是就已经算出来了？比一下，哎，最终的答案就 出现了， ok， 这道题在这么短的时间里，三问每一问是不是就已经算出来了？ ok， 这道题要想在考场上做出来，真的是太难了，太难了啊！ 但是呢，我们希望后来的同学能把它深刻的学明白，把每一个细节搞清楚，未来的考试就看你们的了。关注匠人城，更多重磅好题，谢谢大家！

hello， 同学们，大家好，今天我们来看二零二六宁波市营州中学的科创自招专题。已知这么一个数，它由二零二六个幺八零和最后的九十九所构成。那么问我们该数能被三七九十一十三中的几个数所整除， 那我们观察这个数，它有 n 个幺八零，那就是各个数位上和就是九乘以 n， 再加上九乘以二， 不难发现其实就是九乘以 n 加二，那它是三的倍数，所以三是可以的，那么九也是可以的，那我们剩下就是七十一十三的判定， 那么七十一十三的判定，其实我们是要将一个数从右往左每三个数一组来划分，比如一二三、四、五、六七八，这么一个数，他能否被七十一十三所整除呢？我们就要将其从右往左三个数为一组来划分， 那么就是六百七十八为一组，三百四十五为一组，然后将其从左往右标号，第一组是十二，第二组是三百四十五，第三组是六百七十八。那我们就要用奇数组的和减去偶数组的和 就是六百七十八，加上十二，减去三百四十五，算出来的数值， 观察能否被七十一十三所整除。我们发现三百四十五其实并不能被七十一十三所整除。我们将我们所知道的这么一个数去划分，最右边的这一组就是零九九，就九十九， 右边的第二组就是零幺八，第三组也是零幺八。那么发现了规律，其实前面每一组都是零幺八，一直到第一组为止， 那么我们写过去左边的第二组也是零幺八，但是做第一组就是幺八，我不难发现从左往右一直到九十九之前都是十八，那我们有多少组十八呢？我们将其标号有一二，还有 二零二六个幺八零，那么到这边就是二零二六个十八，然后再是二零二七，那么发现零九九九十九是奇数组的，那么奇数组之合减去偶数组之合，前面的每一个十八都能相互减掉，最后留下了九十九、 九十九。我们发现他不能被七整除，但他可以被十一整除，所以十一是可以的，他也不能被十三所整除， 那么说明原数只能被三九十一三个数所整除。那么就是三，同学们，你们学会了吗？

二零二六年宁波中考抢级选拔考试压轴题的第二问，最后一道大题。第二问啊，我们接着看 三角形，哎， abc 啊，刚才已经说过了，因为你的存在是这个三角形，和这个三角形怎么样？是不是共边谐音相似啊？ 于是找到了对应角，我把这个对应角继续标出来，就是这个角等于这个角。 ok 啊，就是你得到的。然后这个呢？还在的啊，这是 bet 等于 bet， 没问题吧？然后呢？第二问，看好了。 第二问啊，这个小条件看到你根本就不用想别的，太常规了。什么东西啊，是不是三线合一啊？什么三线合一？看好了，这里啊， c e 和 df 是 垂直， 再加上一个角平分线是不是有角平分线有高线，是不是三线合一之二退二啊？是不是三线加等腰之二退二？现在是角平分线和高线，那就会得到等腰和什么 中线，对不对？于是这个辅助线，不做也得做，我们延长啊，延长这条边交于 m 点。好，那根据刚才的信息，我们补全一些数据哦，补全一些数据， 因为这个角啊，阿尔法等于这个角，阿尔法尼尼尼，对吧？共边斜 a 相似啊，得来的。然后呢？还有一个重要的性质，你看，嘿， 这个角也是阿尔法，为什么？因为什么？因为内接四边形， c， d， e、 f 的 外角是不等于内对角，于是这里了不得得到一个重磅的信息，什么信息呢？是不是这条边和这条边怎么样？平行啊？同位角相等。我把这个重要的结论写下来， f m 平行于 a b。 然后呢？还没有结束。看好了啊，因为 c f 等于 c m 三线合一嘛，对不对？我这里也写上也是个重要的结论，三线合一的合的是哪一个一啊？ c e 三线合一，等腰三角形。那于是这个角多少度？ 这个角是不是也是阿尔法度啊？这个角是阿尔法度，又因为你和你是平行的，我和你平行，是不是又一个什么角相等？同位角相等，是不是？我也是阿尔法度啊？于是几个阿尔法我们看一看，一个，两个，三个四个五个 五个阿尔法相等，然后可以得到什么？你看啊，可以得到这个 e m 和 e d 是 不是等腰三角形？因为两底角都是阿尔法。还有一个等腰三角形呢？ a b 和 a d 是 不是等腰三角形？两底角都是阿尔法，于是 阿尔法等于阿尔法。我这样写非常的不规范，但是方便你观看，是吧？然后呢，可以得到两个等腰，一个是 ab 等于 ad， ab 等于 ad， 还有谁呢？ em 等于 ed， 这对我们解决这个问题，也就是这个右下角的 b 啊，这就是 cosine alpha 等于几，有什么帮助呢？且看这个角落 最后一个重磅的信息，他就要产生了，因为是三线合一，那于是这个边叫 t， 这个边也叫 t， 对 不对？然后又因为平行，我再写一个重要的倒角，这个角是不是和这个角相等？这是什么角？ 内错角相等对不对？内错角。然后又发现在这个地方有一个惊人的发现，你惊人了没有啊，这是什么？ 又又又又一次出现了？共边斜 a 母子相似，对吧？公共角 bet， 公共角 bet， 是 不是母子斜 a， 共边相似？好，那共边相似我就不再证明。然后可以得到什么？可以得到 mb 的 平方 等于什么呢？等于 m e 乘以 m f 对 不对？然后可以得到什么呢？ t 乘以二 t， 那 就是二 t 方啊。 那于是可以得到 mb 等于多少？根号二 t 有 没有问题？ mb 等于根号二 t 对 我们解决这个 cosine alpha 有 什么关系呢？看最后一步，它来了，好看，这里啊， mb 比上 m e 就 等于根号二比一对不对？根号二 t 比一 t 就是 根号二，这个根号二有什么用？看在这个母子共边相似里边。这是？这是谁？ 这是大三角形的公共角的短邻边比上小三角形的公共角的短邻边，是不是就是它俩的相似比？那它可以写成什么？可以写成大三角形的公共角的对边 b f 比上小三角形的公共角的对边 b e 有 没有问题？那这又有什么用呢？我和你之比是根号二倍，又有什么用呢？第一问里边，我把它写出来啊， 这个等于这个 beta 等于 beta， alpha 等于 alpha， 我 们可以得到什么呀？这个三角形 和这个三角形什么关系啊？是不是相似的？相似的，这里得到了一个重要的就是，哎，我和你之笔是 根号二倍，并且这个呢是阿尔法角的对边，这个也是阿尔法角的对边，是不是就是这两个三角形的相似比啊？好，这两个三角形的相似比和 cosine 这个角落的阿尔法什么关系呢？哇，快出来了，那你和你之笔是不是就是阿尔法和 bet 的 夹边？这个也是 alpha 和 beta 的 夹边，是不是之比啊？于是这两个三角形的相似比又可以导为 a b 比上 b d， a b 比上 b d， 这就更清晰了。 a、 b、 d 这个三角形我就写在这了啊。 a、 b、 d 这个三角形，人家是一个什么三角形？ bet bet， 人家是不是一个等腰三角形啊？等腰三角形的腰和底之比是根号二比一，那又一个三线合一，是不是这就是二分之一啊，那这是二分之一 cosine 角 b 啊，就是你了啊，我写的写在这里，这样好看一点，是不是就邻边比斜边二分之一比上根号二，是不是四分之根号二？哎，这个题就搞定了，你 考场上想明白确实需要花一点时间。好，关注程老师，更多重磅好题，一会来讲！第三问，请看下一个视频。

二零二六百校联考五十五题二十三题金奖。今年的考试比较多，往年一般到百校联考四就结束了，今年也是第一次出现了百校联考第五次考试。接下来我们一起来看一下这两道压轴题。 先看十五题，条件其实非常简单，就是将一个平行四边形下半部分的 b、 e、 c 翻折上去，让 b 点落在 f 处 就结束了。然后给的信息 f 点呢？很特殊，因为 d、 f 是 两倍的 af， 这种条件给出来就是一种比例的传递，我们设 af 是 af 就是 二， a 还给了个具体的值， ab 是 五，那我得到这边 cd 也是五。最后求的是 e、 g 的 长 条件比较少，他的好处就是我们思考的时候可以更加精力集中一点，就从仅有的两个条件去入手就行了。一个是二比一的比例，一个是折叠， 那比例其实它的指向就是相似，是 a 字和八字的构造相似。但有一个问题是题中只给了一个比例，我们相似问题往往是已知两个比例再去求别的比例，所以这里很明显条件是有欠缺的。 那另一个比例怎么出呢？就寄希望于另一个条件折叠，折叠最大的特征就是一定会出角平分线，所以这个题的大致思路我们就有了。先处理这个角平分线， 看看能否通过角平分线得到一些比例信息，然后结合角平分线求出的比例以及其中现成的比例，得到了两个比例，那么已知比例求比例也就是用相似就可以了， 这就这个题的大的思考方向。所以第一步我们先来处理一下这个角平分线。角平分线的四个基本思路，第一是对称，第二是平行出等腰，第三是二倍角模型，第四个是角平分线定力， 这里的话由于是在平行四边形中的折叠，所以没有直角，那对于二倍角模型，它主要以三角函数为主，包括这个对称是靠垂两边，这两种思路可能不太好走，那么我们可以从剩下的两种里面去思考。 角平分线加平行出等腰，我们先把角平分线带来两个相等的角标出来，把这个等腰三角形找到。从图中看，其实看不到，主要原因就是线段不够长，所以我们需要去延长，将 e f 延长 和 c d 的 延长线交于一点，假设这个焦点是 m 点 好延出去以后，我们观察这个阿尔法内错角过去以后就是这个角阿尔法，所以等腰三角形就是 m、 e、 c。 接下来我们就围绕这个等腰三角形来做处理。 首先由于折叠，所以 b e 和 e f 的 长是一样的，假设 b e 是 x， e f 也是 x， a e 这边就是五减 x。 再根据这里出现的一个八字形相似， a f 比 f d 是 一比二，所以这里是 x 的 话，说明这个地方应该是二 x， 也就是等腰三角形的腰，它一共就是三 x， 到到这一边，这条变的长也是三 x， 下半部分是五，上半部分 m d 就 等于三 x 减五。 最后还是集中在这个相似里面去写比例，五减 x 和三 x 减五，他也应该满足一比二的比例，所以就可以得到三 x 减五等于二倍的五减 x。 那 我们就可以解出来 x 等于三， 算出了一个具体的值，而这个 x 等于三， b e 就 已知了，那五减 x 等于二，相当于我们就求出了 a e b e b， 所以 角平分线这个条件就转化成了一个比例的信息，那我们就把有 x 的 地方全部都用具体的值来做替换， b e 长是三， a e 长是二， af 不知道还是 a 折过去的 ef， 它还是三。 这里你可以发现，一方面是已知了两个比例了，另一方面求的是 e g， 而 ef 已知，我只要知道这个地方的比例，就能求最好的答案了。 所以接下来下一步操作就是已知比例，求比例。通过做平行线构造 a 字和八字的相似， 这里构造 a 字八字相似的思路其实很多，只要你过比例的端点或者比例的分割点去做另一个比例的平行线，这样的话基本都是能做的。比如说我们可以过 b 点做 a d 的 平行线，那不够的话就将 f e 延长，这样可以 再比如说我可以过 f 点去做 ab 的 平行线啊，类似这样子的都能去处理啊，我们随便选一个吧。比如还能怎么做呢？过 e 点去做 bc 的 平行线，这里交于点 n， 接下来我们来导比例， 由于题中做完以后会出现一个 a 字模型，那这个比例应该是二比五， 所以这个 e n 比上 bc 也是二比五，这里是 a， 这里是二， abc 就 应该是三 a， 所以 二比五的情况下， e n 的 长就是五分之六 a， 然后再在这样的一个八字模型里面就可以看到比例，这是一比五分之六，所以 g f 比 g e 也是一比五分之六，本质上就是一个 五比六，所以 g f 比 g e 是 五比六，那就说明 g e 占整个 e f 长的十一分之六。所以最后直接解答案就可以了， g e 就 等于总长度是折前三，折后三，总长度是三，乘上十一分之六，最后就是十一分之十八。 这就是第一个方法，两个大的解析步骤，一个是把角平分线转化成一个现成的比例，另一个就是以这两个比例通过做平行构造。 a 字八四求解，那角平分线还可以怎么处理呢？法二，角平分线定力也能解决这个问题。 为了让角平分线 c e 出现在一个完整的三角形中，这里我们需要做一点延长，把 f e 延长和 c b 的 延长线交于一点，那我们假设这个焦点是 m 点， 好，这个时候你盯着这个三角形 m f c 盯着它来看， c e 就是 一条角平分线， 那么在三角形中，角平分线分开的这两边之比就等于三角形的两条边之比，这就是角平分线定律。所以我们写出来 e f 比上 m e 就 等于 c f 比上 c m， 然后再把现成的数据用一用， af 是 a 的 话， d f 就是 二 a， 那 bc 就是 三 a 了。折叠过去以后， c f 也是三 a， 然后这个位置它还有一个八字模型，上面这个 a 我 们标出来了，下面这个边不知道，那我标一个吧。假设它是 b， 好的，接下来往这个等式里面去代 e f 比 m e， 我 们可以看到正好就是这个三角形的一组对应边之比，所以它应该正好等于 a f 比 b m， 也就是 a 比 b， c， f 比 c m 是 三 a 比上三 a 加 b， 接下来我们用一个相对来说有点冷门的性质，叫等比性质，分子作差，比上分母作差，也是这个结果。也就是说这个比值等于三， a 减 a 比上一个三， a 加 b 再减 b， 合起来就是二， a 比三， a 也就等于二比三，这样我们就可以得到了。其实这个地方 a 比 b， 包括 e f 比 e m， a， e 比 e b， 它都等于二比三， 这样我们就把角平分线转化成了一个具体的比值，总长度是五，那这里就是二，这里就是三。折叠以后， e f 的 长也是三， 由于这是二比三，所以 a 比 b 也是二比三，这里的 b 我 们擦掉改成二分之三 a， 同时 e f 比 e m 也是二比三，所以这里是三的话，那这里也可以求它就应该是二分之。 接下来在另一个八字里面去写比例， a f 比 c m， 这是 a 比上二分之九 a， 也就是二比九，所以 g f 比上 g m 也是二比九， 说明 g f， 它就占整个 g m 的 十一分之二， 而整个 fm 的 长是等于三，加上二分之九，也就是二分之十五，所以这个结果就等于十一分之十五。 g f 已知求 g e 用整体一减 g e 就 等于三，减去十一分之十五，就等于十一分之十八，所以这样做也可以。这就是十五题。 整个题目分成两个大的环节，一个是角平分线的处理，一个是 a 字八字相似的构造，靠做平行线。 接下来看二三题给了一对全等的三角形纸片， b 和 b 处是直角，然后摆放的时候呢，让 a f 和 bc 平行平行，就有内错角相等， 而加上全等的三角形纸片，所以这个角和它一样也是阿尔法。接下来他说过 c 点做了一个 a e 的 平行线，与 e f 延长线交于点 g， 让我们判断一下这个四边形的形状， 很明显是一个矩形，对吧？那找找条件，首先你做的就是 c g 平行于 a e， 另外就是摆放位置要求 a f 等于 b c 带来了内错角，同时这个阿尔法就等于这个地方的角，那形成的是另一对内错角，证明了 a c 平行 e g， 所以 两组这边分平行，它就是一个平行四边形，然后再加上这里有个直角，所以它是矩形。 第一问难度不大，第二问，将三角形 aef 顺时针旋转，然后当 caf 等于 abc 时，标注 caf 是 这个角等于 abc 时，现在过 c 点做了一个 c h 垂直于 af。 问你 h f， e f 和 ac 之间的数量关系，说明也有单条线的数量关系，往往就是一种和差关系，你看看谁最长，他一般是等于两个短线段之和的。看一下 h f 是 这一段， e f 是 这一段， ac 是 这一段， ac 就是 三角形的斜边嘛。那两个三角形纸片是全等的，所以 ac 可以 换成 af， 换成以后他就和 e f 共线了。所以这个题要想证明他们之间存在核差关系，只要证明 e f 和这里的 a h 相等就可以了， 这样就实现了问题的转化。而证明两个线段相等最好用的话就是全等 a h 和 e f 所在三角形，你看能不能全等。其实 e f 就是 最开始的那一对全等三角形， 那 e f 应该等于 b c 的， 那可以证明 b c 和 a h 相等，这里就看到了一个共边形全等， 看看条件够不够啊。第一个条件有公共边， a、 c 等于 a c。 第二个都有直角角， b 等于角， a h c。 那 最后题中专门给了个这个阿尔法等于这里的阿尔法角，所以这就是一对角角。边形全等。 全等以后，那就有 b、 c 等于 a h， 而 b、 c 就是 e、 f 嘛，所以 e、 f 等于 a h 这个题就可以被证明了。最后一问，接着第二问来看，它说在旋转过程中，当 b、 a、 e 等于两倍的 a、 c、 b 时， 那我们假设 a、 c、 b 如果是阿尔法的话，这个 b、 a、 e 就 应该等于二阿尔法。然后你就想这个问题，这是分类讨论的关键信息，因为 b、 a、 e 等于定值的情况下，再往过旋转，还有一种可能，转到这边会产生二阿尔法。 所以这个题的图它其实并不难画，你主要关注 a、 e 的 旋转就可以了。因此第二幅图是在这边位置产生了一个阿尔法好，然后他说过， c 点做 c m 垂直 e f， 这样做一下，这是 m。 另一幅图里面一样的过 c 点做 c， m 垂直 e f， 那 这里 e、 f 不 够了，你就给它延长，延出来，这是 m 好 了，它求的是线段 c m 的 长， 这两个特征都能看到，就是这个二倍角，而且 ab 是 三， bc 是 四，最开始的三角形是三四五的三角形，这个角是三四五的小角，所以我们可以直接根据二倍角模型去到结论， 阿尔法是三四五的小角，那二阿尔法一定是七二四二十五的大角。 这里再把二倍角模型做个简单的复习，我们画一个直角三角形，然后做一条斜边的垂直平分线，就可以得到你想要的结论。 你看假设这个是阿尔法，这个也是阿尔法，这个就是二阿尔法了嘛。因为垂直平分线现在情况是已知了三比四比五，这个是三，这个是四， 对吧？然后想求一求二阿尔法，它对应的这三角形三边比例，我可以假设设它是 x， 这个就是四减 x， 那 这里也是 x， 所以 在这个三角形中用勾股方程就可以了。三平方加上四减 x 的 平方，就等于 x 的 平方，解得 x 等于八分之二十五， 而这里的三是八分之二十四，四减 x 是 八分之七，所以七二十四、二十五、 三四五，小锐角翻倍以后就是七二十四、二十五的大锐角。好到这个信息以后，我们把这个阿尔法往我们想要的地方去推。我不是想求这个 c m 吗？ 这里可以看到这存在一个两边都是直角的四边形，对角互补的四边形，说明阿尔法和这个角也互补， 那自然而然外边这个角就是阿尔法了。你不就是要求 c m 吗？所以这个三角形七二十四、二十五三角形，只要知道任意一边就可以求解了。 最后一边怎么求呢？这里可以看到，其实这幅图形不论怎么旋转，他都是具有对称这样一个特征的，你只需要把这两个位置连起来，他就是一个对称型全的。 你看这个是三，这里也是三，这里是直角，这里也是直角，这个边就可以作为公共边出现。所以不论怎么转，这两个三角形永远是全等三角形。 所以你这里的所谓二阿尔法劈开以后还是阿尔法和阿尔法，因此这个三角形它是一个三四五的三角形，只不过这个边对应的是那个三比四比五的四，所以它是三三除以四乘三，就是这个长，也就是四分之九， 然后总长度是四四，减去四分之九，所以这个三角形就有一边一只了。 那 c m 怎么求呢？用四分之七，它对的是七二十四，二十五的那个二十五，用它除以二十五乘二十四就可以了，答案就是二十五分之四十二。 算出来第一种情况以后，第二种情况也是同理的，我们只需要把这个 c b 延长，就模仿第一种情况，延长 c b， 这里也会出现一个对角式直角，也就是对角互补的四边形， 所以这里的二阿尔法通过倒角就可以转到这个位置。你要求 c m 的 长，现在它是一个七二十四、二十五的三角形，这是三，这是四，只要求这一小段就可以了。 这小段怎么求呢？依然具有对称性，只需要把它们两个连起来，三和三，直角和直角公共边，两个三角形必相等，所以两个阿尔法就可以被切成阿尔法和阿尔法。这还是一个三四三角形， 它除以四乘三等于四分之九，所以这条边的长度就是四分之九，加上一个四，也就是四分之二十五。那最后要求 cmcm 就 等于四分之二十五，除以二十五乘上二十四 六，这就是二三题。其实这个二三题难度不是很大，主要是你利用好这个二 r 法。角一方面是用对角互补的四边形倒角，另一方面你得知道二倍角模型这样做起来才快一点，今天讲解就到此结束。

二六年宁波强奇真题压轴大题接第二问，在第一问的证明过程当中，我们找到了三个相似，并且说了这三个相似一定能帮助我们解决第二问和 第三问，我们把它写下来，看它怎么用到第二问当中。先看题，当 e f 垂直于 c， e， c e 平分角 a， c b 的 时候， 求 cos 角 abc 的 值， e f 垂直于 c， e， c e 又是角平分线，那这不就是等腰三线合一吗？ 很明显，你要延长 f e 交 b c 于点 m 构造这个等腰三角形，并且这个题还真就是从这个等腰入手解决它。那怎么做呢？求这个 cosine 角 abc 的 值，这个角呢，不在直角三角形当中，那怎么求它的三角函数值？两种方法，要么倒角， 那么构造，那怎么做呢？从这个等腰入手，等腰三角形，两底角相等，我们假设这个角是阿尔法，那这个角也是阿尔法。然后呢，在第一问当中，我们提到了圆内接四边形， 外角等于内对角倒角，哎，这个阿尔法也是圆内接四边形的一个内角，它等于这个角也是阿尔法，那这个角就很重要，它是和 a、 b、 f 相似的，这 这个角我们证明过啊，这个角是等于这个角的，那他也是阿尔法，那这个角是阿尔法的话，你就会发现阿尔法阿尔法，这不就平行了吗？ ab 是 平行于 f m 的， 平行之后呢，这个角也等于这个角等于阿尔法，那你就会发现阿尔法，阿尔法，阿尔法，阿尔法。这么多角相等的话， 他们都是相似的等腰三角形。除此之外呢，这里还有一个非常重要的导角，他得到了一个新的相似，和我们 已经证明的相似有联系，在哪里呢？这确实不容易想。这个角和这个角是内错角，这个角是 bet， 那 这个角也是 bet， 这个 bet 是 相似。三角形当中的角也等于 e、 b、 d， 再加上公共角，那这里就会有一个新的相似三角形 e、 b、 m 相似于三角形 b、 f、 m。 我 们写到右边 三角形 e、 b、 m 相似于三角形 b、 f、 m， 这也是一个拇指共边相似。那要怎么做呢？这个等腰三角形和这个拇指共边相似，对我们求三角函数值有什么帮助呢？有， 你会发现这个题目当中没有已知边让你求比值，那这个题很明显就是设参，求参，包括第三问也是一样的。那设谁为边长呢？还是重新回到了等幺三线和一上等幺三线合一，那那这个点就是终点， 那 f e 就 等于 e m， 我 们假设都是 a， 然后呢，通过这个拇指共边相似，这个 b m 的 平方就等于 m， e 乘以 m f 的 话， 这个 b m 方不就是 a 乘以二 a 吗？那这个 b m 就 等于根号二 a， 那 这个共边相似的比值就有了。就是这个 e m 比上 b m 就 等于 a 比上根号二 a 就 等于二分之根号二。那这个相似比有什么用呢？有用 e m 比上 b f， e b 比 b f， 你 会发现它存在于这个 a a 相似，也就是 a b f 和 d b e 当中， 所以这个 e b 比上 f， b 就 等于这个 b d 比上 ab， 也是根号二比二。 e b 比上 b， f 等于 b， d 比上 ab 等于 根号二。比二的话， b、 d 和 ab， 它不就存在于以我们要求的这个角 abc 为底， 底角的等腰三角形当中吗？那要求这个 cos 值的话，不就做三线合一就可以了吗？我们做垂直取一点 n， 所以 cos 角 abc 就 等于 b， n 比上 ab 就 等于 b， d 比上 ab 的 一半等于四分之根号二吗？那这个题的答案也就找到了。

这是宁波银州中学刚考的自找题，题目区分度大，计算量大，没有学过相关系统内容，不建议尝试。

明天大家都要上抢鸡考试的战场了，殷老师在今天晚上最后给大家预测一下明天考试的一个考点 啊，那几何方面就不预测了，因为大家基本上中考压轴，现在已经训练的很多了，主要讲讲袋鼠方面的三大考点方向，大家今天晚上还可以去训练一下。第一个叫一元二次方程整数解问题， 特别是那种和韦达定律结合的，殷老师有预感今年会考到这个点。第二个点呢，叫做二次函数，二次函数的最值问题，特别是那种含餐分类讨论的问题， 也是一个超级大热门考点。最后一个是叫做代数式的恒等变形，特别是那种分式的代数式的恒等变形。如果你需要有这三个代数考点的相关的练习，你可以私信殷老师，评论区留下。

大家好，我是数学徐老师，昨天讲了初二的这次月考的压轴题，今天接着讲初一的。这次初一的最后一道压轴题是一道几何题，很多孩子看到几何就发出，但其实第一小问我在寒假班，但他们练过类似的分类讨论。第三小问是关于旋转度点的轨迹，也是我们春季拓展过的类型。今天我们把这道题拆解开，看看几何压轴到底从哪入手。首先我们一起来审 题，如图， a， 三角形 a、 b、 c 和 d、 e、 f 到底从哪入手？首先我们一起来审题，如图， a、 c、 b 等于角， f 等于三十度，这边是九十度。 注意，这里审题你需要圈一个重点，就是沿射线 bc 的 方向去平移，因为只要出现到射线，我们就会分类，一个是都在线段 bc 上，一个是在线段的延长线上。当然，如果一开始你碰到这种几何题，你脑子里没有任何想象的话，你可以自己拿个三角板在上面验一验。那一种情况就是题目中给我画的这种。还有一种是不是两个可以都跑到 bc 的 延长线上了？ 这个就是你要在脑子当中分的两大类。那所以一开始我就要画两幅图，哪两幅图先画一个三角形 a、 b、 c， 然后沿着 b、 c 方向，当两个都跑到它外面的时候，是不是有个这样的画的一个平移， 那我们标一标 a、 b、 c、 d， e、 f。 好， 那下面他说，若在平移过程中，角 a、 e、 d 和 c， a、 e、 e 这两个角存在两倍关系，让我求出 a、 e、 d 的 度数。 这句话也很微妙了，它又出现了一个分类，它只是说存在两倍，并没有说谁是谁的两倍，那是不是有可能咱们 a、 e、 d 是 c a e 的 两倍，也可能 c a， e 是 a、 e、 d 的 两倍，所以在这里我还是要分两类去讨论的。目标对象 a、 e、 d 和这个 c a、 e， 那 我们就可以在同样的这幅图里面，它可以分两个， 分两个，一个是这个它，它现在让我去求的是 a、 e、 d， 那 这个角设为 alpha， 那 这个角是不是就是阿尔法？或者我是不可以设这个角是 alpha， 这个角是阿尔法，体现出它两倍的关系嘛？那我们在这个题目中怎么去解呢？这个是 alpha 本身是平移得到的平行，我们要抓住平行的性质，会有对应的边是平行，那我们对应的边是平行，这个角是不就等于咱们的六十度， 那这个角是六十度。两条线是平行就可以得到，这个角是六十度。那我们初一的学生已经学过外角了。在这个式子里面，阿尔法加阿尔法就等于六十度，那阿尔法等于二十度， 那这个角 a、 e、 d 在 这一题里面就等于阿尔法就等于二十度。那同样的，在右边一样的，这是六十度，那这个就六十度。所以我们也会有三阿尔法等于六十，阿尔法等于四十度。这个分类是自然而然的啊，我们继续找到 a、 e、 d 的 角度，应该是等于二阿尔法就等于四十度，这个角 和 c a、 e 是 这个角，那这题里面它要不要分两类去讨论呢？实际上是不用的。为什么我们平行还是抓住这两条线之间是互相平行的，那我们这个阿尔法怎么去找它的一个等量关系呢？ 这这个角是不就是根据这两条线，它是不是也是互相平行的？那我们的 a、 c、 e 自然就等于这个角，这个角是不一定是比咱们的 c、 a、 e 大 了，所以肯定是它是阿尔法，它是阿尔法，对不对？那我们根据这个平移，这个角是六十度，所以我们就会有六十度，加上阿尔法就等于阿尔法，所以阿尔法就等于六十度，阿 尔法等于六十度，它让我去求角 a、 e、 d 的 度数，那所以角 a、 e、 d 的 度数，它是不是应该是等于一百二十度啊？那其实你要画这个图的话，它是怎么画的呀？这个要想画出阿尔法 这个角是六十度，那这个角有没有可能是一个钝角呢？在这个题目里面，这个数据它是不可以的，因为我们会得到角 a、 b、 e 的 度数是不是始终都应该小于九十度？ 所以角当我这个阿法等于六十度的时候，角 a、 b、 e 求出来等于一百二十度，它是大于九十度，所以是舍去的。之前我们寒假班拓展的时候，这个角是四十五度，那整个求出来的这两个角还是可以做的啊。那这里要注意它舍归舍，但是你得考虑到因为它是沿射线方向平行的这种情况。好，下面我们来看第二问。 第二问这是一个折叠题，其实他，呃本身这个考的是我们三大变化里面的平移轴、对称 和旋转这三个题目，所以这题考的还是非常全面的。第一个他说点 p 为上面的一个定点，将这个三角形沿着它折叠，如图 b， 当 pe 平行，那平行肯定是抓住两个直线平行，同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补。那，那我去求 pdc 的 度数，这里面我都标好了，这个地方是平行的，那肯定是 这条线是我延长下来的。为什么我会想到这条辅助线？因为两直线平行，我要被一条线所截才可以。那把它延长下来，这条线自然是所截的，所以自然就会有。咱们角 e、 d、 c 是 不是就等于九十度，减三十度等于六十度，所以角 p、 d、 c 折叠两个角是相等，就等于二分之一角， e、 d、 c 就 等于三十度，这是第一种情况。第二个， pe 平行于 ab， 对 于这种题目没有想象力的，你完全可以拿一个三角形把它折叠一下，自己折。我要想 pe 跟 ab 平行，一个是朝上翻，一个是不是就是朝下翻啊？朝下翻这题考察的是尺规作图，尺规作图这里面考察垂直怎么做？垂直，如果说过一个点做已知线的垂直点在外面，我们利用的是垂直平分线的做法。 第一步，以 p 为圆心，任意长为半径画一个弧， 以 d 为圆心，同样二分之一为半径画一个弧，那他会交这条线，这个依据就是垂直平分线上点到线段，两个端点的距离相等。这里面我画的不太像啊，你去用圆规画一画，那我们考试的得分点在什么？他不需要把这个圆都画出来，我紫色描的这一块就是我们得分点，他会看你有没有去画这个弧， 有没有去画这个弧，画他的垂直平分线。所以我们这个过点 p 画一个垂直平分线，首先他和 c、 b 会有两个交点在，其次这边去画一个弧， 这个点就是和它垂直的线，然后 p c 要等于 p c 撇，那所以这个点就是我们的点 e。 当然他让我说此刻 p、 d、 c 有 多少度，这两条线平行，所以九十度依旧是已知条件，所以我们就可以得到角 e， p、 c 是 不是还是等于九十度？减三十度就等于六十度， 所以角 d、 p、 c 是 不是就等于二分之一乘以六十度就等于三十度，所以角 p、 d、 c 的 大小就等于一百八十度，减去三十度乘以二，那就等于一百二十度，所以这里面角度大小是一百二十度。 好，这个是我们折叠啊，其实这个题目呢，我们刚开始学几何，不熟悉，你完全可以用一个三角板去平移了，看一看，用一个这个纸去折叠了看看，包括这个旋转，这个旋转题我们一起来看一下。首先这是一个直角三角形 a、 c 是 等于八， ab 等于六， bc 等于十，将三角形绕着它旋转。点 b 跟 c 的 对应点是 b 撇和 c 撇， 然后他们发现都是在圆上运动，点 d 为它的中点，所以你在读读这个题目的时候，你要判断出谁是定点，点 d 是 定点，因为三角形 a、 b、 c 是 固定的，自然 a、 b 边上的中点 d 也是固定的，那下面点 e 为线段， b 撇 c 撇，因为 b 撇、 c 撇在动，所以我这题的核心让我去求 e、 d 的 长度。点 e 是 一个动点， 点 d 是 一个定点，所以这题的核心是点 e 到底是如何动的？这是我们的核心，那点 e 是 如何动的？我们来先从简单的来联系，如果说点 a 绕着点 o 转一圈，那点 a 的 轨迹， 点 a 的 轨迹是不是应该是以 o 为圆心， o a 为半径的弧，应该是这样子画的好，那如果是线段 a b 绕着 o 转一圈， a b 绕着 o 转一圈， 它的轨迹应该是什么？这个其实大家在学校里的时候，老师会用粉笔，你自己拿一个笔把这个斜着去画，或者马克笔粗一点的，你把它绕着它转一圈，是不是你自然会得到一个圆环啊？是不会得到一个圆环， 那我核心就是这个圆环最内部是什么样的圆和最外部是什么样的圆？其实这里面最内部应该就是我 a b 上离 o 最近的那个点，这个点会形成一个最内部的圆环，这个最内部的圆环最外部是什么？应该是 a b 上离 o 最远的那个圆，所以我们在这个题目里面看，应该是 o b， 那 我要画出来的圆环是个这样子的， 所以我整个 a b 扫过的这个面积，这个画出来应该是同心圆啊，同心圆，那我整个圆环应该是这样子的一个情况， 那这一题就是类似的了，我们这个三角形 e， 它是在这个线段 bc 上的动点，就他说 b 撇 c 撇，那 e 整个的轨迹是不是应该是 bc 上离 a 最近的那个点？ bc 上离 a 最近的那个点是不是垂直啊？这里还有一个要补充的，我们在初中阶段，垂线段的长度用的是等面积，这个 a h 的 长度应该是用面积法六乘以八除以十等于五分之二十四。最外部应该是用面积法六乘以八除以十等于五分之二，所以我们最内部的圆应该是这样去画的， 这个距离是五分之二十四，最外部的圆是不是这样子？而我点 e， 他 既然在 b 撇、 c 撇上运动，那这个 b、 c 形成的轨迹又是这样的一个圆环，所以我只要在这个圆环内部找一个点，距离点 e 最小和最大就可以了。那我们最小是多少？你可以画画一个干净的图，最小是不是这一块是不是 当点 e 在 这里的时候，这一段是最小的？那这个最小值是怎么求？那我们这个整个的长度是等于五分之二十四的，那我们这是 e 一， 这块的长度是三， 所以 e、 e、 d 的 最小值，那就等于五分之二十四，减去三就等于五分之二十四，减五分之十五等于五分之九，这是第一个。那最远的呢？最远是不是点 d 跟他在一个依旧是绕着圆心，是不是这个时候是不是就是最最长的？那这个的长度是三，这块的长度是不就等于八？ 所以我们 e 这是 e 二的位置， e 二 d， 它就它的一个最大值，是不是就等于三？加上八就等于十一。这个要注意点动成线，然后它是这块线形成的轨迹， o、 a 的 长度是固定值，然后线动成面，那最小值就是这一块最大的，就这个它形成了圆环。好，给大家留一个思考题，如果我有一个三角形 a、 b、 c， 它绕着这个 o 转一圈，形成的三角形 a、 b、 c 绕 o 转一圈，它的轨迹又是什么呢？这个大家可以自己去思考一下。好，今天这一道题就先讲到这里。

二六年宁波强七分题，压轴大题，压轴小问，来吧，我们继续，还是一样的，前两问一定能帮助我们解决第三问。我们把前两问的结论写下来，看他怎么辅助我们解决第三问。先看题，设 b、 d 和 ab 的 比值是 k， 求 a、 g 和 d， e 的 比值，用 k 的 代数式表示。那这个题已经很明显了，就是我们初中几何常考的相似综合题型，多相似的转化色参求比值，通过相似找到参数之间的等量关系， 再通过相似求出比值。然后怎么做？我们来一起看一下。 a g 和 d e， a g 在 这里， d e 在 这里，那 d、 e 存在于这个相似三角形当中， a、 g 它不存在于相似三角形当中，但是呢，你会发现 e、 d 和 a、 g 同一条直线上，然后呢， a、 d 存在于我们的相似三角形当中，那这里就有一个线段的和差等量的转化。那一起来做一下。设 b、 d 和 ab 的 比值是 k， b、 d 和 ab 的 比值是 k， 那 这个相似三角形的相似比就是 k， 我 们假设 b、 d 是 k 的 话，那 ab 是 一，然后呢， 你把 ab 和 b、 d 放到这个拇指共边。相似三角形当中， ab 的 平方等于 b、 d 乘以 bc， 那 你就会发现，你也能求出 bc 的 长度。截到右边， ab 的 平方等于 b、 d 去乘以 bc， 也就是一等于 k 去乘以 b、 c， 那 这个 b、 c 呢，就等于 k 分 之一， b， c 呢是 k 分 之一，那 cd 不是 也能求出来吗？就是 k 分 之一减 k， cd 等于 k 分 之一减 k， 标到图上， k 分 之一减 k， 接着呢，一组参数肯定是不够的，这里有多个相似，肯定要多参数，我们继续设参数，怎么设呢？还是通过我们已知的比值这个相似比 k 来设参数？设 af 是 a 的 话，那这个 e、 d 就是 k a， 然后呢，你会发现这两个边除了在这组相似当中好像没什么用啊，哎，不要忘了我们的结论， af 的 平方等于 a， e 乘以 d e， a f 的 平方等于 a， e 乘以 d e， 那 你就会发现 a、 e 的 长度就可以求出来， a， f 的 平方等于 a， e 乘以 d e， 也就是 a 方等于 a， e 乘以 k a， 那 这个 a、 e 就 可以表示出来，就等于 k 分 之 a， a， e 是 k 分 之 a 的 话，那 ad 也有了， ad 就是 k， a 加上 k 分 之 a， 那 a、 d 有 了， a， e 有 了， e、 d 有 了，但是我们要找的是 a、 g 和 e、 d 的 比值，那其实就相当于把 a， g 或者 g、 e 求出来，然后呢，相加减就可以分别求出 a， g， g， e 和 e、 d， 那 比值就可以求出来，那怎么做呢？第二问当中，我们证明了一个非常重要的结论， 就是 a、 b 和 e f 是 平行的，那平行线就会有 a 字和八字相似，这里有一个八字相似，找到这个相似比 a、 e 的 长度，知道，相似比知道，那这个 a、 g 和 e、 g 就 可以求出来。也就是由二我们知道 a、 b 是 平行于 e、 f 的， 得到了八字相似，谁呢？三角形 e、 g、 f 相似于三角形 b， a、 g， 这是八字相似，那我们只需要找这个八字相似的相似比就可以了，在哪里呢？你看啊，这个相似又来了， a f a d c d， e f 是 不是可以求出来？也就是 e f 比上 c， d 就 等于 a， f 比上 k 分 之一减 k 等于 a 比上 k 分 之 a 加 a k， 那 这个可以得出 ef 的 长度，它是等于一加 k 方分之一减 k 方，这个下去自己算一下，那 ef 有 了，是一加 k 方分之一减 k 方，那这个相似 比是不是就有了？相似比有了，然后 a e 的 长度有了，那这两个的比值也可以求出来， 那 a g 和 g e 的 长度就可以表示出来，算出来 a g 呢，它是等于二 k 分 之 a 倍的一加 k 方，那我们的 a g 有 了， e， d 也有了， 那笔直就可以求出来。那最后的答案呢？写在上边就是二 k 方分之一加 k 方，那这个压轴题就讲完了。这个真题还是非常具有选拔性的，那有的同学会说了，出这么难有什么用呢？有用，他并没有抄纲，考的就是初中几何的解析和 新思想，考的就是你的识图能力，色餐的策略，还有多组相似的串联几何与代数能力的转化。但是呢，在考试时间限制下的临场发挥，还是很难做出这道亚洲题的，可以收藏起来。

ok， 各位初三同学们啊，今天呢，我们站在命题人这个视角，来拆解一下浙江中考数学呢压轴题，它到底怎么出，怎么考？那么我们就拿这道二零二六年宁波一模题二十四题为例，跟大家讲透出题逻辑跟解析套路。 那么先来看一下题干啊，命题人呢，它埋了三个核心信息啊，没有一句废话的。那么第一个就是 a b 等于四分之三，就给了定边和定角，然后呢第二个就是 d c b 等于角 b 啊，这个呢，也是给了我们一组等角呢，就是为了后面的这个等腰跟相似做了一个铺路，那也是我们后面母子相似需要用到的这么一个伏笔。 第三个呢，就是 a c 垂直平分线 l 跟 c d 交于点 e， 那 么在这里呢，是不是给到了我们垂直平分线，它其实就是等腰吧，对吧？等腰三角形 a e c 啊，那么后面呢，也是靠它来给我们来倒角的。好，我们先来看第一问，第一问命题人思路呢，非常清晰啊，就是 也非常纯粹了，就是说他就给我们送分用的，对吧？他说 a c 是 等于九度的时候去求 bc， 那 么很简单嘛，对吧？直接说 a c 是 三 k， a b 是 四 k， bc 是 五 k， 那 bc 是 不是直接求出来是二十五呀？ 那么这个这一问呢，基本上百分之八十学生都是拿能拿到手的吧，对吧？命题人呢，就是让你开局不慌啊，那么把这个 t 的 这个用法呢，给到你我后面去铺路用了。那么再来看第二题的第一小问呢，他说 b c 变化所三角形 a、 d、 e 的 周长是否发生变化， 那这也是我们浙江人非常爱考的一个东西啊，就是考你条件变化跟不变形的这么一个思维，命题人就是在筛选你会不会把这个条件串起来用啊？ l 是 这个 a、 c 的 垂直平分线嘛，那就是 a、 c 等于 c， 然后呢 去求 a、 d、 e 的 这个周长时候呢，我们就转化一下对不对？把 a、 d、 e 周长呢，我们转换到了这个 a、 d 加上 c、 d， 对 吧？再结合这个 d， c、 b 等于角 b 啊，转换到了我们这个 a、 b 就 等于我们的二十就搞定了，对吧？好。然后第二题的第二小问，他开始他说 a e 垂直 bc， 叫我们去求 a、 e 的 这么一个长度，那么这一问呢，就是开始是我们中等深的这么一个分水岭出来了啊，核心呢，它就是等腰加相似加勾股，那么你先想啊，他说 a e 等于 c， 然后呢，它垂直呢？我们是不是给它延长角点 k， 那 我们在这里是不是用好这个 d c、 b 等于角 b 啊？天呐，一个是三 k， 一个是四 k， 然后呢， a、 e 是 不是也是四 k， 对 吧？然后呢，再勾一勾啊，就可以出结果了啊。那么最后 第三小题啊，那么也是命题人用来拉分的这么一个压轴题，把所有的伏笔全部都揉在一块啊，都揉在一块，他说 a l 跟 b c 交于点 f， a， f 跟 c， d 交于点 g， f g 等于 f b 的 时候，那么这个条件里面呢， f g 等于 f b 的 时候呢，是很多学生没有想明白的点，那么这个呢，也是这道题的突破口之一啊。 然后呢，他又说了垂直平分线对吧？前面垂直平分线我们该用起来吧，垂直平分线，那我们是不是要想到对称啊？然后呢， 第二题的第二小问呢，是不是又给我们延长对不对？那么我们在这里是不是可以通过倒角出一个拇指相似啊？那拇指相似呢，也是我们找到的关键的口子，这口子一旦打开了以后，我们再利用一下 f b 等于 f g 延长 啊，也就是我们这个 f k 一 延长的话呢，那通过倒角一倒啊，角一，角二，角三，这三个角均相等了，母子相似就出来了，三角形 a k f 是 不是就相似于我们的三角形 b k a 了啊？对吧？就刚刚说了，相似完了以后，我们 b f f g 啊 啊， f g 啊， f k 啊这个条件呢，我们知道是怎么用了的吧？然后呢，从而我们是不是可以得到把这个 a k 呢，给它算出来对不对？ a k 算出来了以后，那我们接下来只要 勾股定律，那么把三角形是不是给它构造出来了，对吧？这样的话呢，我们这个题呢，是不是就能够把这个 b a e 呢给它表示出来，在这里啊就能够求出来。所以呢，你看一下我们浙江中考数学压轴题呢，它都是不是凭空来出题的，对吧？那么它是 根据我们整个初步逻辑的话，就是第一个我们的体干呢，会给一个伏笔啊，就是我们的等角啊，垂直平分线啊，定角定边啊，等等的啊，然后第一小问的话就是送分的啊，基本上肯定都送分的，然后第二小问的话，会适当的让你难点，然后就是让你去吃透这个核心啊，然后第三小问的话呢， 你可以想想前面第二，小问有时候会给到你这个条件。呃，让你怎么去用它啊？会让你去用一下。所以呢，你要去像命题人一样能看到条件就能想到他后面藏的这个考点的话，压轴题其实就并没有这么难了。