张宇差分方程的特解公式表

大家好，这个上上上个视频我们讲到这个，这个就是对于一个啊非其次方程来说，我们要把它的解求出来，先要求他的那个对应的其次方程的解，然后再求他的这个非其次方程的特解，把两个加起来。 现在呢，我们要看一下这个零输入响应和零状态响应。呃，怎么求解？就是在差分方程里面哈，我们知道在微分方程里面，他也他要把它分为零输入和零状态两种，两两个解哈，这个也是一样的， 我们看到这个零输入响应，首先是把他的几率变为零，然后把这两个系，把这个系数求出来，零状态响应，注意零状态响应，这是一个非几次方程，他又要分成七次方程的结 和非骑士方程的两部分。也就是说其实这个非骑士方程呐，因为这个零输入里面求了一次，在零状态里面呢，他还要求一次。这个前面我们也也也说过了哈，在那个， 呃，在那个微风方程里面，所以他他他他这个零状态响应就分成这两部分，一个是啊通解，一个是特解。然后呢我们知道这个这个对于一个 非骑车方针来说啊，它又分为自由响应和强迫响，强迫响应其实就是那个，那个啊， 就是那个施施加了激励的时候叫做强迫响应，自由响应其实就是零输入响应，对吧？零输入响应，这个这个我们看到零输入响应，这是零状态响应，这里始终要记住哈，零输入响应 有一个这个非其次，相当于非其次方程的解，您状态响应呢？他有一个，还他同时有一个零输入响应的解，再加上一个特解，这等于这个求了两次，我们看到哈， 好，那么他要现在要确定出示条件，对吧？开开小于零的时候，没有，没有没有输入，没有激励的时候， fk 是等于零的。那么对于零输入， 零输入来说啊，他这个零输入的来说，他他就是我们看到这个这个这个都都会就是负一， 他就等于您输入状态下的负一歪，负一哈，因为因为我们知道这个他没有激励，也就是没有改变他以前的状态嘛，对吧？没有改变他以前的状态，但是对于您状态响应来说，您您状态响应 来说，他先前的小于零的时候啊，他小于零的时候，零状态嘛，就是一个电路里面他没有没有其他的主能，就是，所以他这当当那个跟小于零就相当于时间小于零的时候啊，几率加上去之前的那那些状态， 他是零状态，所以他他都是零啊，都是零，其相当于踢小了零的时候，这这个状态都是零。但是踢等于零的时候，我们不能说他等于零， 因为踢等于零的时候有可能产生那个突变，我们看到这是零减哈，这个要注意分清楚，零减相当于这个小于零的时候才才是零，注意这个还是那个哈。对于零状态小于来说， 就是说电路里面没有处人的情况，也就是说对于这样一个电路来说，他当如果是零状态的话， 那就说当时间小于零的时候，他这个无论是电容啊、电管的杆啊，都没有任何处的，也就说电容上没有电子电杆，电杆里面的也没有电子什么东西，电压这些东西都没有， 所以对于零状态来说，当时间小于零的时候，因为这个几率是在踢等于零的时刻加上去的，那么当踢小于零的时候，那么他这个所有的状态都是零。注意哈，是对于零状态来说，零输入，那就不一定了，零输入 他就有可能这个这个这个这个电脑和电杆上面有有处人的啊，有处人的有初始状态， 所以这个初次条件我们就要就要这样去理解他好了。我们来看一个例子，这个这这样的一个例子，那么他现在要我们求什么？求系统的，您输入想赢，输入想赢，那就 这个这个这这这个是零呢？对不对？那这个是比较好办的，就把特征方针求的来求出来，这个这个就是就是他的特那个那个零输入相应，那么再把那个初始条件带进去。那么现在我们要要的是什么？我们要求的是 零输，零输入响应，那我们就不能简单的认为啊， y 负一呀，等于零， y 负二等于零，这个不行的哈，只有零状态响应的时候才可以这样，那么我们来来来，求出来，怎么求来？ n 等于我们看到这个这个要求外负一，我们就这样这样求，所以题目里面虽然告诉我们这个条件，但是这个呢？这个是我们是求的是零输入，零输入，他并没有告诉我们这个是零状态啊，零状态，所以要要 求要对这个方程来求把 k， 比如要求外负一的话，就把 k 等于一带进来，带进来，带着，这，这是外一了，外零了，外负一了，对吧？这个 f 呢？那就算就就就就按照题目给出给出的条件，就把这个激励 加进来，就这样算，算出来就歪负一就等于这个，同样的也可以算成歪负二等于这个，所以这个带进来就可以确定十一跟十二啊， 从这里我们看到一分钟一是等于一的，对不对？一分钟零啊，我们知道这个，这个就是这个节约节约函数啊，他是在零时刻有的跳变，所以这个呢也是按一来算， 所以从题目里面我们就要体会到这个意思， y 零， y 一等于零，但是呢，这个这个这个阶段函数是可以等于 零的时候就加上去了，也就说这个歪零跟歪一啊，他是激励加上去以后的歪零和歪一，所以我们要算歪负一的话，也要按照这个激励加上去以后来算，这里说明了，对吧？ 所以呢，这个最后得出来的解就是这个，我们再看一下那个零输入和零状态响应怎么来求，这个是系统方针在激励 这个初始条件告诉我们啊，然后求零输入，零状态和全全响应，首先求零输入啊，然后把把这个带进来，然后求求出他的特征方程来，对吧？就这得出这个来，然后呢零输入响应，我们现在要来求他的 零输入，在零一时刻的那个零输入下，那这个把把这个按照这个方程哈，把 k 等于零带进来， 他就得出这个，这个这个，对吧？等于复议这个，然后这个解出来啊，他就是解的形式是这个样子，是吧？然后要求初试值，我们看到初试值， 从这里来，我们也明显可以看到这个不是零状态响应的条件，而是零输入状态的零输入响应的那个初始条件，为什么呢？因为这个 提小于零之前呢？他他的这个状态是非零的，也就证明前面那个电路啊、电容电杆电路啊，他是有储能的。所以我们这个初始条件，他其实就是这个把这个带着呢。这个 yzi 负一 其实就是这个外负一，这个 yzf 二就是其实就是外负二，把它带进来就 ok 了，就可以把把把这两个系数定出来啊，就可以定出来，这里是由 歪负一歪负二定出了歪零，然后由歪零又定出了歪一，然后再把这个这个这个带进去，你你看歪零等于等于这个，这个是吧？把 k 等于零带进来，就歪零， 这不是负一吗？对不对？然后十一十二就可以算出一个来，对吧？然后再把歪一等于三带进来，歪一，把 k 等于一带进来算，然后就就就可以就得出两个方针来，然后就可以把把这两个系数求出来，就就得出来了，这这个就是明书录响应。 当然这个也可以直接把负一 k 等于负一带进来，得出一个方程，歪负一等于零嘛，对吧？再把负二带进来，歪负二等于二分之一，把 k 等于负二带进来，也可又得出一个方程解出来也是一样的， 也是一样。然后我们再看一下您状态响应是怎么求您状态响应，这个同样的我们还是要先求出其次方程的结，然后再求他的特点，把两者加起来，这里出事条件就是这个了，这个要分清楚来，您状态响应来说 所有的那个题小于零，那个那个所有的状态都是零，所以这个按照这个方法，这这这样求求出出手值哈，这样求出来，然后再把出手条件带进去，就可以求把这个这个系数，这样这个系数求出来， 这个是因为这个零状态响应，这个告诉他，告诉我们这个方程，对不对？他告诉了我们这个方程，所以这这个就可以地推地推出来啊，就这个这个由这个负一负二，就这样地推出来，那么得出这个方程 啊，这然后把这个这个系数一个个求出来，就就可以求出来了。这里可能会有一些疑惑，为什么这个方程就是零状态方程？这里其实很简单，因为零状态方程， 因为这个方程他是要满足，反正这个方程是要满足的条件，对不对？零状态方程，这什么叫做零状态方程？这里已经解释了，就是所有这个踢时刻，踢小于零的时刻，这个歪，这个歪的值啊，记那个响应的值都小于零， 我们就可以认为他是零状态吗？只要我们把初始条件规定为这个就行了，这个这个方程是必须满足的呀，对不对？所以一步一步这样地推就行了，就可以把这个系数求出来。 我们再看一下这这这个方，这个初始条件是 y 零， y 零跟 y 一，那跟这个跟前面的这个 初始条件就不一样了，初始条件这是负一负啊，对吧？这是激励加上去之前的这个状态告诉我们的。但是现在他告诉我们的这个这个初始条件呢？是激励，这个激励已经加上去了以后的初始条件， 因为这个几率当开大一等于零的时候，他就加上去了，那这个怎么求呢？这个零状态响应还是跟前面的一样，那零输入响应他就要满足这个这个条件了，对不对？好，然后把特征放在球上去 得出这个来，那么现在要求他的这个系数就要用到他的初始条件，那那么他的初始条件的 这个零输入的零等于几？一等于几呢？那由这个可以得出来，因为对于啊限信时不变系统来说，限信系统啊，它是可以分解为零输入和零状态响应的。那么 y 零已经告诉我们了，歪零，这个歪零呢，那就是既包括零输入，又包括零状态，所以这个这个这按照这个这个这个规则来求出来，以后啊，就可以把这个，把这个系数定出来，就这样求的哈。

同学们大家好，我是你们的小崔老师，那么经常有数学三的同学跟我发私信说，老师能不能出一期差分方程的视频，那么本期视频啊，我们就来聊一聊这个数学三的专属考点，差分方程。 好，我们首先介绍一下什么是差分方程。先说一个结论啊，差分方程是微分方程的一种延展形式， 是自变量离散化之后的结果。接下去呢，我们来解释一下这两句话。我们知道啊，这个微分方程里面是含有倒数的，而这个倒数呢，是这么定义的，倒数 y 撇啊，是定义为 d y 比上 d x 对不对？而这个 d y 呢，就是 y 的增量， d x 呢，就是 x 的增量。 所以实际上啊，导数啊，就是在研究 y， 关于 x 的一个变化率，这个大家应该耳熟能详了，那么一般情况下啊， 它的研究对象 y 等于 f x 这么一个函数啊，基本上都是连续的函数，也就是 x 是连续变化的，或者说 x 变化的这个间隔是非常非常非常小的。但是啊，在这个现实生活中，我们并不可能时刻关注着 呃，自变量的一个变化。比如打比方，在经济学里面啊，很多价格不是说每时每刻都在发生着变化， 可能是一天一个报价，一天一个报价，对吧？再比如说像股市，股市里面那些股票的价格，并不是说细微到无穷小的时间里面，他都在发生变化吧，啊，可能他就是间隔零点几 秒刷星期四，零点几秒刷星期四，这样子对不对？所以经常就要求我们对自变量啊进行一个离散化的处理。这个所谓离散化的处理是这样的，就是，呃，对于一般的函数来说，这种连续的函数啊， 它这个 x 之间，它是最小间隔，是无穷小，或者说它是连续的，那所谓进行了离散化，什么意思呢？就是啊，这个 x 的最小间隔啊，是一一个单位啊，所以 x 的定义域可能就是 x， 然后 x 加一， x 加二， x 加三这样子，以此类推啊，它的最小间隔为一。所以当你做了这样的一件事情之后啊，我们的 d y 比 d x 啊，它就可以经过离散化啊，变成什么呢？那 d x 次就是 x 的一个增量，在一般的这个连续的函数里面啊，这个 x 的间距可以无限的缩短，但是啊，离散化之后呢， 这个 x 的增量是不是只能一个一个的变化了，所以就是从 x 增到了 x 加一， 而同样的啊，当这个 x 变到了 x 加一之后，它的音变量变成什么了？是不是就是 f x 加一，减掉一个 f x， 对不对？所以实际上它就会变成 f x 加一，减掉 f x 啊， 所以啊，我们的导数离散化之后，就变成这么样一个形式了，对不对？那么这个形式啊，其实就叫差分，但是啊，在差分方程里面啊，它的形式可能有些许的不同，那么我们知道啊，一个数列的第 n 项，我们经常 写成 an， 对不对？那我们仿照啊，这个数列的写法，我们可以将 y 等于 f x 啊，写成什么呢？写成 y x， 那么定义了这个形式之后啊，我们就可以写出这个差分的定义了，差分啊， 定义为啊， y x 加一，减掉 y x， 说白了，其实就是 d x 加一项的值，减掉 d x 项的值啊，就这么简单。然后呢，这个形式我给他一个符号啊，第二，它 y x， 那么这个形式啊，就是 y x 的一节差分，然后呢，它实际上就等于 y x 加一，减掉 y x。 好，介绍完了这个一节差分啊，我们来介绍一下二节差分啊， 那就考研的要求来讲啊，我们对二阶的差分方程是没有要求的，但是需要各位知道二阶差分是什么，当然他们俩之间有什么区别啊，待会我们细讲差分方程的时候再给你去叙述。 那么二阶差分说白了就是差分的差分，我们经常啊，就写成一阶差分的 差分啊，然后呢，我们经常写成 deta 平方 y x 啊，那实际上这个 deta 方 y x 就等于啊，一阶差分的差分，而一阶差分等于多少？是不是 y x 加一，减掉 y x 啊，对不对？而这个整体的差分是不是又是他的后项在减前项呀？他的后项是 y x 加二，减 y x x 加一，然后括号减去一个，他自己 y x 加一，减掉 y x 啊，一个整体对不对？那么化减一下就等于 y x 加二，减去两倍的 y x 加一，再加上 y x 喽，那么二节差分啊，大家还是要知道的 好，接下去呢，我们来聊一聊差分方程啊，那么差分方程其实就是由 x y x y x 加一啊，一直到 y x 加 n 组成的这个方程， 那么我们把它称为 n 阶的查分方程。那么这个阶数是如何定义的？其实考研的考纲非常明确的指出来了，我只对一阶的查分方程去做考察，二阶也好，三阶也好，这个我是不做考察的，但是啊，在这个一八年的时候，出了这么一道题啊， 他是这样的，第二大方， y x 减 y x 等于五，然后很多的这个同学啊，当时考出来的时候啊，觉得这个超纲了啊，包括很多老师也觉得超纲了，其实不是啊，这个大家要注意一下啊， 二阶差分和二阶差分方程是有本质上的不一样的。所谓啊差分方程的阶啊，其实是这么定义的啊，就是 看到下标没有啊，最高阶的这个下标和最低阶下标啊，它的一个叉等于几啊，就是几阶，所以我们现在知道 y x 加 n 和 y x， 它下标之差是不是 n 啊，所以这个 n 是这么来的， 并不像我们的微分方程啊，出现了五阶岛，就说它是一个五阶的微分方程啊，出现了一百阶岛，就说它 是一个一百节的违分方程，不是的啊，所以我们来看一下这道题啊，他到底怎么化解，当然解法后面再说。那根据刚才的运算啊，第二个方可以写成 y x 加二，减去两倍的 y x 加一，加上 y x， 这就是第二个 f y x 再减掉一个 y x 等于几啊？等于五啊，然后你会发现啊，这里是消掉的 y x 加二，减去两倍的 y x 加一，等于五啊， 那么你再次记好了，差分方程的接数啊，是由下标之差决定的，我们知道 y x 加二和 y x 加一，它下标之差是不是一啊，所以它依然是一个一阶的差分方程，所以一阶差分方程，它的形式有可能展现为两阶的差分啊， 或者三阶或者四阶的差分，这个都不好说的，当然我们也可以来做一个小小的化解啊，说为什么他是一阶的。同学们啊，我们来看一下，这个式子是不是可以变成 f x 加二减去两倍的 f x 加一等于五啊，这样的式子大家可能比较熟悉一点， 朋友们，你告诉我这个式子和 f x 加一减去两倍的 f x 等于五有什么区别了？没有任何区别吧，对不对？ 所以其实它就等价于 y x 加一减去两倍的 y x 等于五啊，说白了它还是一个一解的查分方程啊。 好，那接下去我们就来看一下啊，这个一阶的差分方程到底怎么去解好？关于一阶差分方程啊，我们要考察的点一般是两个，第一个啊， 上面呢叫其次的一节查分方程，第二个呢叫非其次的查分方程。这个其实和微分方程是非常近似的，然后呢，他也只会考这种常识艺术的形式啊，这个各位不用担心。 好，那接下去呢，我们就分成两个方面啊，先讲其四，再讲非其四啊，分别来告诉大家这个怎么去结 好，我们先来看这个其次的解法。当然细心的同学啊，你可能会发现啊，这里这个正符号出现了变化，刚才是 y x 加一加上啊 a y x 现在变成了减号，为什么这么写呢？因为刚才展示的是一个一般形式啊， 但是各位啊，真正做题的时候，其实采取这个减号啊，你的记忆量是要更小的，待会我们就会发现了。好，我们来看一下这个题 怎么做啊，那这个题目呢，我一点一点的帮各位去推导一下啊，希望看完我的推导之后，你们也自己去推一下好不好？那么解这个方程啊，采取的方法叫做地推法，怎么个地推法呢啊？其实非常简单，各位， 这个式子是不是可以变成 y x 加一，等于 a 乘上 y x 呀？而 y x 又等于什么？ y x 是不是又等于 a 乘上一个 y x 减一啊，对不对？所以它就变成 a 方乘上 y x 减一喽，对不对？ 所以以此类推啊，是不等于 a 的三次方 y x 减二，最终它会变到几啊啊？最终啊，它会变到 a 的 x 加一， 第四方乘上崴零喽，对不对？因为假如你做离菜化的话，一般情况下，这个自变量 x 一般来说都是时间啊，都是第一天，第二天，第三天啊，那么崴零就是第零天啊的这个崴的值。而所谓的崴零啊，是个什么东西啊？ y 零说白了就是 f 零呗，啊，等于几我也不知道，但是呢，你同不同意？它一定是个数字吧，所以它是个数字啊，然后呢， y x 啊，最终等于多少啊？看一下， y x 加一，等于 a 的 x 加一，四方乘 y 零啊，那 y x 呢？那不就是 a 的 x 四方乘上 y 零吗，对不对？当然这是一个特解，各位你想一想，这个其次方程的通解是什么？是不是特解的线性组合呀？而现在这个是一个一阶的方程，所以我只需要找到 一个特结就可以了，找到没有？找到了呀，就写在这嘛，所以特结写在这啊，然后将其做线印组合，所谓线印组合，就是乘上一个任意长数 k 嘛，对不对？而本身崴龄也是一个特定的数啊，所以我们就把这两个 数字啊给吸收在一起啊，最终可以变成 c 乘上 a 的 x 四方，是不是非常容易啊？所以其次方程特别简单啊， 那当然，这里你也可以看出来我用减法的一个好处了，我把这里看成减法，这里就是 a 的 x 四方，假如看成加法呢，就变成负 a 的 x 四方了啊，这个负 a 的 x 四方就比较烦了，对不对？ 好，那我们趁热打铁啊，来做一道题。好，看到这道题，首先它是一个其次的差分方程，对不对？ 然后告诉我， a 等于几啊？ a 是不是等于负三啊，对不对？所以这个 y x 就等于多少？ y x 就等于 c 乘上 a 的 x 四方，那么就是负三的 x 四方喽，非常简单啊，非常简单。 好，所以其次方程。我们就说到这里，那我们接下去来聊聊非其次。好，那么非其次方程是写成这个样子的啊，那现在 f x 不是很等于零了啊，右边是个函数了，那么就跟微分方程里面一样啊，微分方程里面那个非其次啊，是不是 f x 会有几种特殊的形式啊？ 那查分方程啊，里面也有几种特殊的形式啊，主要是针对 f x 的。那么第一种形式啊，就是 f x 等于一个长数的时候啊，这个时候比较简单一点。好老规矩啊，我一点一点给 会去推啊，希望各位自己看完之后推一遍。好，上面那个式子啊，我给他做一个小小的变形啊。那么 y x 加一就等于 a， y x 加上 b 了，对不对？好，慢慢来啊，那么 y 一等于多少？ y 一是不是就等于 a 乘上 y 零加上 b 啊，对不对？ y 二呢？ y 二是不是 a 乘上 y 一加 b， 对不对？好，把 y 换掉， a 乘上 a， y 零加 b， 再加上一个 b 吧，就等于 a 平方， y 零加上 a， b 加 b， 当然，推到这的时候，我们还看不太出来什么规律啊。再来一个， y 三等于 a， y 二 加 b， 对不对？而 y 二算在这了，那就等于 a 乘上 a 平方， y 零加上 a， b 加 b， 再加上一个 b， 那么就等于 a 的三次方， y 零加上 a 平方， b 加上 ab 加上 b， 有没有规则呢？ 有规则吧，有没有发现 b a b a 平方 b， 这是 y 三，对不对？那么 y x 呢，是不是就会等于 b 啊，加 a b 啊，加 a 平方 b 啊，一直加到多少次方？应该是 a 的 x 减一次方 b 喽，对不对？好，这是后面这一项，那前面呢？前面 很简单啊， y 一等于 a 的一次方乘 y 零， y 二等于 a 的二次方乘 y 零， y 三等于 a 的三次方乘 y 零，所以它就等于 a 的 x 四方乘 y 零喽，对不对？所以 y x 就等于这个式子，而这个式子啊，我们可以做一个化解啊。首先我们把它写成 a 的 x 四方乘 y 零加上啊，把 b 给拿出来，拿出来之后就变成一加上 a 加上 a 平方，一直加到 a 的 x 减一次方。那么后面啊，其实是一个等比的数列， 那么这个等比数列啊，可以用等比数列的求和公式。当然等比数列求和公式啊，需要去分类吧。第一个 a 角等于一的时候啊，你就不能用那个求和公式了。当然， a 等于一特别简单啊，要是 a 等于一， 一 y x 就等于多少 a 的 x 四方没了啊，那就是 y 零加上 b 乘上几啊？几个 a 啊，是不是 x 个 a 啊，或者说 x 个一啊？那就是 b 乘上 x 喽，对不对？特别简单？好，此时 y x 啊，它还是一个特解啊。那么这种非其次的通解如何去写？非其次的通解很简单，非其次的通解等于非其次的特解， y 零加 b x 啊，再加上什么其次的通解喽。而其次的通解刚才有没有啊？有的呀，不就是 c 乘上 a 的 x 四方啊，而此时这个 h 等于一的，对不对？所以说白了就是 c 啊， y 零和 c 能不能合并到一起啊？当然可以了，那么就是 b x 加 c 啊，就可以了。好，当 a 不等于一的时候啊，我们的 y x 就需要用到等比数列的求和公式了。 那么首先 a 的 x 四方， y 零加上 b 乘上多少？一减公比分之首项，首项是一乘上一个一减公比的项四方。那么这个式子啊，看着好像挺复杂的，但是不要急，我们来化解一下， 它是不是可以变成 y 零乘上 a 的 x 四方，再加上啊，后面可以拆成两项的，拆成一减 a 分之 b， 再减掉一个一减 a， 分 知 b 乘上一个 a 的 x 四方，对不对？好，这就是一个特解，那么它的通解形式写成什么样？是不是就是上面这个破东西啊，加上 c 乘上 a 的 x 四方，对不对？而上面那个式子写成什么 y 零加上啊，加上 a 减一分之 b 啊，然后 a 的 x 四方加上一减 a 分之 b， 对不对？再加上 c 乘上 a 的 x 四方。好，同学们，你观察一下，这里是不是可以合向啊， 这个任意长数 c 和这个特定的长数啊，前面这个婉琳什么的特定长数能不能合到一起，就变成一个任意长数？ c r 当然是可以的了，所以实际上它就可以简单的写成 c 乘上 a 的 x 四方，再加上一减 a 分之 b 了。好，你们听明白了吗？好，总结一下啊，非其次啊，差分方程的第一种情况啊，右边等于 b 的时候，他的这个解的形式是写成这样的，那比如说，我们来做两道题， 好，第一个题 y x 加一，减掉 y x 等于三，那么 y x 等于多少？第一步啊，先判断 a 等于几，显然啊， a 等于一，对吧，记好了啊，是减 a 啊，减 a， a 显然是等于一的，所以我们就要用上面的那个 狮子啊， b 等于几啊？ b 等于三吧，就等于三 x 加 c 吧。啊，你看，特别简单。好，来看第二个题啊，第二个题，我按 x 加一，加 上两倍的 y x 等于四啊，此时 a 是等于负二的啊，不等于一了，所以就要用这个了，对不对？那么慢慢来套公式， y x 等于多少？ b 等于四， a 等于负二，对吧，那就是一减负二 加上 c 乘上一个负二的 x 四方啊，那这个式子还是相当简单的，等于三分之四，加上 c 乘上负二的 x 四方。 好，那以上呢，就是第一种情况啊，右边等于 b 的这个稍微简单一点的情况。 好，我们来看第二种啊，这个第二种呢，稍微复杂一点，它是一个 b 的 x 四方乘上一个多项式啊， n j 多项式的情况，那么这里它的推导过程 我们不细讲了，直接告诉你答案。那么我们需要求出一个特解，对不对？比如说我们把特解就写成 y x 星，那 y x 星分成三块啊，第一块 x 的 k 四方， k 等于什么？待会再说。第二个是一个 n 阶的待定多项式啊， a 零加上 a， e x 一直加到 a n x 的 n 次方，那么还有一块是照超的， b 的 x 次方是照超的。 那么我相信，假如你对二阶的长系数微分方程熟悉的话，你会记得它的特解形式也是分成三步走的，然后和这个特别像。好，那么这里我们啊，还有一个问题没解决， k 等于多少 啊？ k 呢？等于零或者一啊，零或者一，当 a 不等于 b 的时候啊，就等于零，当 a 等于 b 的时候啊，就等于一， 所以他和微分方程特别像啊，那比如同样的，我们也来直接啊，做两个题试试看啊。好，我们来看这道题啊，这道题要求 yx 加一，加上 yx 等于二的 x 四方。那不管怎么样啊，先写出来 a 等于负一啊，那么显然是不等于二的。 好，那么第一步，先求出谁的结， y x 加一，加上 y x 等于零这么一个。其次，方程的结，它的通解特别简单，比如说我们写作 y x 波浪线啊，是不是等于 c 乘上负一的 x 四方呀？ 好，第二个，第二个圆方程的解啊，圆方程的解，圆方程的特解，我们写作什么呢？ y x 星，那根据刚才的规则啊，第一个 照超二的 x 四方，第二个几阶带定度像式啊，它乘上的是一个一，对不对？所以就是零阶的带定度像式，就是乘上一个 a， 那么 x 的几次方啊，你看 a 等于 b 吗？ a 不等于 b 啊，对不对？负一不等于二嘛，所以 x 的等于四方，那么它的特解就是 a 乘上二的 x 四方， 那么 a 等于几呢？直接代入圆方程啊，代入啊，我们可以知道就可以得到， a 乘上二的 x 加一次方，加上 a 乘上一个二的 x 次方， 等于二的 x 四方啊，很好算啊，这里 a 就等于三分之一啊，所以现在我们的这个特解和通解都有了啊，特别简单。那么最终的 通减等于多少？等于三分之一乘上二的 x 四方，加上 c 乘上负一的 x 四方即可。 好，我们来看这道题目啊， y 的 x 加一减掉二， yx 等于三乘上二的 x 四方。 好，首先，不管怎么样， a 和 b 相等吗？ a 等于二等于 b 吗？ b 在这儿对不对？ b 等于二确实等于 b， 不错，那么同样的两步走第一步。其次的，减 y， x 加一减去二， y， x 等于零，它的通解等于多少？它的通解写作 y x 波浪线等于 c 乘上二的 x 四方喽，对不对？而 圆方程的这个特结， y x 星等于多少？好，三步走，第一个，照超二的 x 四方，第二个啊，几阶的待定度像是，是不是零阶啊？因为它乘上的是一个三楼 乘上一个 a 在 x 的几次方， a 等不等于 b 等于 b 啊，等于 b， 所以就是 x 的一次方， 然后啊，然后他就等于多少 a 乘上 x 乘上二的 x 次方喽，对不对？同样的，带入圆式，带入圆式，得到什么？ a 乘上 x 加一， 二的 x 加一，四方，减去两倍的啊， a 乘上 x 乘上二的 x 四方，它应该要等于三乘上二的 x 四方。那这里计算过程很简单啊，最后得到 a 等于 二分之三啊，所以特解也有了，通解也有了，最终的 y x 等于多少呀？是不是等于二分之三， x 乘上二的 x 四方，加上 c 乘上二的 x 四方呀，这就是啊，这个方程的结好，以上呢，就是我关于叉分方程的一个讲解，你听懂了吗？好，以上呢，就是我关于叉分方程的一个讲解，各位同学你听懂了吗？那么关于叉分方程 的学习啊，我觉得我可以给大家一些建议。那么这个建议很简单，就是你一定要把我上面呃，视频里面讲的那么一些方程，他的推导的过程一个一个的推过去。 记好了，一定要自己推，否则呀，要是只是记公式，那这个是非常容易忘掉的。好，那么我们本期的视频啊，就讲到这里，我是小崔老师，我们下期再见。