高中数学概率与统计公式

原始的公式啊，老师和我想的值不一样呢。老师你说错没啊？没说错啊， 你初中是 n 分 之一吧。嗯，初中是 n 分 之一。 n 分 之一吧，高中是 p 一 p 二 啊，这个原始公式 ok 吗？这里有没有啊？这里还没有。这里有，我们等会直接整二十一啊。来，先别着急啊，跳，先跳着讲。先讲完这个第七题啊， 第八题讲二十一题啊，把这个做啊。你就来吧。来来一节。下节课就有什么 啊。数列你们学了吗？没有，你们学了圆锥，圆锥曲线都学了。哦，好，来方差，然后还有一个分成抽样的方差。 呃，这个子线来个记分。能能能，记得吗？什么意思呢？第一组数据 m 个，那平均数呢？是 x 一 八，方差呢是 x 一 方， 第二种数据呢？在思哲的时候我讲过。同学们啊，思哲的时候我讲过这个。什么这个 b q 三这个啊， x 二八，你别扯啊，我讲一都打印过啊，你别扯啊，这个分什么样啊？就是两种数据，能懂吧？ 两种数据给他，哎，合一起了，现在问你这个数据的分差多少，懂这意思吗？就是有一种数据 给你了，比如说男生身，呃，一百一百个男生啊，平均身高也比如说一米一米八，放一米九啊， 不到两米吧，哈哈。放方叉，比如说是十，懂那个意思吗？女同学身高一米七五，有点有点高啊，然后比如说平均啊，不是，比如也是一百个女生平均数身高一米七五，然后那有方叉， 这两个数据放在一起，问这组数放在一起之后的峰值是多少？首先呢，我们要求平均数啊，放在一起之后的平均数是不？ m x 一 八加 n x 二八比上 m 加 n， ok 吗？ 这是平均数，会求吧，这样的你们上大学就知道了，叫加权平均数。比如我举例啊，比如中中学，现在大一了，我只我，你选什么大学？有，有高数有数学啊。哎呀，数学，咱四学文学分啊，四学分， 假设那个英语口语啊，易学分。我是举例啊，数学呢，这是自忠实，自己有实力，正好雷老师也教过，哎，就一百分吧。哎呦，英语口语呢，这个可能就是六十一分吧，刚过就行，可以了。 那你那你的平均分怎么算？一百乘四，六十一乘一除五。有问题？没 大学这么算学分，所以大学的时候你们必修课学分都是四学分呀，三学分呀，分数高一点。什么体育呀，英语文学呀，英语口语呀，或者选修第二语，什么德语法语啊，都是一学分 啊。你要比如说想拿奖学金，必修课，你这这是老师六十一分。我的天呐，分这差不少呢。同学们啊， 所以我们现在说的什么意思呢？把平均数求完，然后公式啊，就是 s 方等于 m 加 n 分 之 m， 推导过程就不讲了，这个课就没必要讲这个啊， 然后再加上 ok， 这样的。

恭喜你，终于发现了概率统计上分的超强外挂！如果你现在不知道概率统计考什么，想在考前尽可能多学一点，这条视频一定要看完！概率统计高考超高频考点，公式加模型，一次性梳理清楚！概率统 计超级热门的考点，高考必考，超级重要啊！概率统计要想学好，第一个就是公式，你必须得掌握，很多同学呢，公式也会被，但是根本不离， 只是浮于表面，它是需要你经过思考，经过分析来的，不会直来直去的。那么概率统计当中的公式有什么呢？我帮助大家做了一个梳理，比如加法公式， a 并 b 等 于 a 的 概率，加 b 的 概率减去 a 加 b 的 概率，这是高医学的啊，条件概率也是高医学的。独立的定义，什么叫互斥啊，什么叫对立啊，什么叫独立啊，这三个概念的区别，你明白还是不明白？再就是乘法公式有条件概率推出来的，包括乘法原理推出来的， 那么有多个乘法原理结合在一起叫什么呢？就叫全概率公式，超级热门的考点，务必重视啊。那么被约束公式呢？它叫全概率公式的逆公式，全概率公式就是有原因到结果， 被约束公式呢，知道结果了找原因，包括高级的古典概型，这是我们整个高中的公式。第二呢，就是他有这么几个模型，当然模型问题是常考的，你是不是需要总结，一次性摸还是一个一个的摸，一个一个摸，是放回还是不放回，他们有什么区别啊？等等。 后面呢，就是超级和分布呀，他们的期望公式呀，方差公式呀，还有二项分布超级重要啊，然后期望方差，这没什么可说的。正态分布呢，考法比较固定，就是面积表示概率，或者是考三 c 个码法则，左右各一个 c 个码，左右各两个 c 个码，左右各三个 c 个码所占的概率是多少？ 这个数据呢，不需要记忆，高考的时候是告诉你的，但是这个东西务必要重视，就是把一个正态分布标准化，这是我们大体特别喜欢考的一个考点， 那么统计就没什么可说的了，就是死记硬背的常识性的问题。这一章的计算极其复杂的，他没有高大上的计算，就是加减乘除，混合匀算，一定要多做多算，虽然有难度，但是反来覆去就考那几个知识点，他还是比较容易学会的。

全概率公式特别不好理解哈，你看我用底层逻辑怎么给你讲明白。咱们先做一个场景的简化哈，假如上半年哈，手机市场就只有两种手机，第一种手机呢，他迈出了八十步， 然后有八步退费。第二个手机呢，迈出了二十步哈，有四步退费简化哈。那我问一下你手机市场的退货运是多少？ 你想都不用想，我估计小学也会解吧。很简单呀，怎么算呀？总共退费手机数量是八部加上一个四部，总的手机售出是八十，加上一个二十等于百分之十二， 你敢信吗？这就是全概率公式。好，咱们拉回到咱们的正常的概率哈。有时候他不可能给你具体数字，比如说 a 部手机啊，两手 a 部手机啊，我知道他的市场占有率啊，占百分之八十， 然后 b 部手机呢，占百分之二十，只知道一个比例。而且每种手机内部啊，他会有退货运的统计，他发现这种手机呢，退货运大概是个零点一， b 手机呢，是个零点二，比如说你目前没有八，没有四，没有八十，没有二十这些数据，而且两种手机之间内部不互通， 我就希望你用目前的数据你来算一下手机行业的退货运。怎么算呀？没有变这些数是吧？还是刚才的，你刚刚怎么算的？我给你做个变形你看看啊，刚才是八，加上一个四， 除以个一百。看好了哦，我做个变形不就是百分之十二吗？是吧？这样来写，写成八十除以一百乘以八除以八十，加上二十除以一百 乘以四除以二十。来，你做个约分八十，八十没了不就百分百分之八吗？二十二十没了不就百分之四吗？跟这个一样吧， 这个式子里面就蕴藏着全概率公式。来看一下这个八十除以一百是谁啊？ 总共有一百步，它占了八十，不就八十除以 除以一百嘛。那这个八十，这个八除以八十是谁啊？是在这部手机内部前提下，知道是第一部手机前提下，它的退货率，不就用八除以八十吗？同样道理，这个是，这个也是， 这就是全概率公式。好，咱们用正常的语言来描述一下哈。这个市场呢，有两种手机，第一种呢，我称作 a 一， 那么它的市场占有率是不就 p a 一 啊？ p a 一 占有率，这个呢，就是 p a 二。你也知道这里面 a 一 手机它的退货率不是总体退货率，是在 a 一 发生的前提下你退货的概率。这，这是一个内部统计的这么一个条件概率。同样呢，这个呢，是在 a 二的前提下 除以啊，前提下这个 b 发生的概率 b 就是 退货。所以把这个式子往前找一找，你看，我要求的是退货率，不就 p b 退货率吗？第一个，如果你是 a 的 占有率是 a 一 的前提下， 占有率乘上在 a 一 条件下退货的概率，再加上你是 a 二的市场占有率，然后乘以 a 二的前提下。哎，它退货率，这不就是手机总体的退货率吗？ 就全概率公式，就这么简单是吧？好，咱把这个稍微再扩展一下，如果这个手机啊，有很多很多的种，是吧？分成了 a 一、 a 二一直到 a n 这么多种， 我呢，只知道每一种内部它的一个概率，我希望你算总体这个 p b 你 不就会算了吗？ 每一个乘在一起，加在一起，最后不就出现咱的全概率公式了吗？这个嘛，是吧？ i 从一到 n， 当你是 a 一 的时候，占有率乘以你在 a 一 条件下的条件，概率就是总的 概率，明白了吧？这就是全概率公式，就是我要研究一个东西发生的概率，这个东西会在不同的场景下发生，那么我的概率就等于每一种场景他的占有率乘上他的调减概率作核，这就是 全概率公式，你听懂了吗？关注吕数数学，少走弯路！

咱们在学这个概率或者是统计学的时候，大家是不是学过一个缩写，还记得吗？这个符号还有印象吗？哎，这符号还有印象吗？西个马，哎，叫啥？西个马，对不对？哎，他可以把公式进行缩写往前面写啊，这公式缩写是啥呢？哎，先写一个符号叫西个马， 对吧？就是由我们工厂的第二 a、 三 a， 四 a n 啊，某一个工厂 ai 乘上这个工厂条件下，对吧？ b 次品的概率， 把它们乘完之后的所有结果求和，对吧？哎，那求和它的角标 i 就是 从第一个工厂一直到第 n 个工厂。好，这样算完就可以把这个 p、 b 这个次品的总概率算出来。所以我们在教材上所写的公式是这个 啊，等号右边实际上是它的展开式，大家要把这个公式记一下啊，大家听好，不要生硬的背你，你就今天背完吃完饭，吃完饭你就得忘。大家应该记啥呢？记这个例题懂吗？通过这个例题来记这个公式。

我猜你现在就需要概率模块的核心方法，高考概率每道题都像是一篇小作文，读题三分钟也是一脸懵，事情关系，看不懂条件概率直接放弃。今天主 播就将开启概率篇章讲解，带你从基础到精通，一口气拿下所有核心考点。什么是概率？就某件事情发生 到底占总体的百分之多少，这个东西其实就叫做概率。在这里给大家去讲两个最基本的方法。第一个，我们最常见的方法叫做媒举，我们如果能够把所有的情况都列出来，那我直接用事情发生的情况除以所有的情况，得到的就是我们要找的 概率。那么在我们去求每举的情况之下，这也是在考试当中各位同学知道的，是不是这两个知识点都可以用排列组合去求解，可以吧？第二个，分布概率相乘啊，我举个简单的例子，什么叫分布概率相乘呢？很简单，比如说，哎，我要考一个好的大学，那考的好的大学分几个步骤啊？就是你要与 语文考得好，数学考得好，英语考得好。然后呢，你的三科都考得很好，把他所有的都撑起来，就等于我好上一节好的大学的概率。那语文考得好对于各位同学概率是多少啊？ 比如说是十分之九。数学考得好概率是多少啊？是等于一百分之九十九。英语考得好的概率是多少啊？十分之九。 所以三科都考得好的概率是多少啊？是不是只需要把前面的这部分，把它给撑起来就可以了，明白吧？ ok， 所以 也就意味着你看 概率，我们说永远就分成这两种情况，第一个就是所有的列出来，列的过程当中，我可以用排列组合去求中间的某一个固定的项。好，那接下来当我把所有的情况都列出来之后，那我们只需要找到发生的情况就可以了。来我举个简单的例子啊，比如说我们来看一下这道奖卷的问题， 他说将三个一和两个零随机排成一行，两个零不相邻的概率是多少？好，当年这道题的得分率是偏低的，很多同学看到这道题就蒙了，实际上来君总跟大家去讲所有的这种问题，能每一举你就把所有的东西都列出来， 那接下来我们只需要找到我们想要的那种情况就可以了，明白吧？这就叫方法一啊。这个方法一你们可以自己去算一下，其实我们核心想讲的还是方法二，就是排列组合吧， 排列组合是不是解决这种排列问题最常见的方法？这是我们相同元素的排序，怎么去排啊？这里有五个数字，是不是我们只需要五个当中选三个，也就说 c 五三，我放的是一， 剩下的两个放的是零 c r r， 所以 也就是说这个我们总共列出来是不是一定是有十种的情况，接下来我们想要的是什么呢？两个零不相邻，那么对于这种问题的话，我们用到的是不是一定是插空？我们可以先排一 把，一都排起来就只有一种情况，那接下来所谓的插空，就是我们要在四个位置当中是不是选两个当中去插入零，所以是 c 四二，所以也就是说可以得到是一乘以 c 四二，我们可以得到是多少呢？应该是等于六。好，当这些都有之后，那接下来我们所有的概率实际上就应该是多少啊？ p 是 不等于六，除以十，我们可以得到应该是等于零点六，那零点六的话，我们可以知道答案选的应该是四。 学会了的话，大家来看一下这道题，打出你的答案。苦练十年，不如名师指点。每周我都会在抖音粉丝群分享独家的大招资料，需要的话大家可以进群领取。

应广大网友的要求呢，今天静瑶老师就给你一张鸡蛋饼，把全概率公式和贝叶斯公式一次性的给大家讲清楚。 想象一下，你面前呢，有一张鸡蛋饼，百分之六十是面粉，百分之三十是鸡蛋，百分之十呢是青菜。这三种原料里啊，都有一部分是营养成分，其中面粉里呢，有百分之二十是营养， 鸡蛋里呢有百分之八十是营养，青菜里呢有百分之五十是营养。现在呢，我们就以这个问题情境来解决两个核心的问题。首先第一个问题，那就是随机的咬一口，那么吃到营养的概率是多少呢？ 首先呢，我们将整个样本空间做一下划分，很显然，有三个事件组成了样本空间，那分别就是面粉、鸡蛋和青菜。那我们不妨设三个事件，分别记作 a 一、 a 二和 a 三。很显然，三个事件发生的概率分别是吃到面粉的概率是零点六，吃到鸡蛋的概率 是零点三，而吃到青菜的概率就应该是零点一。我们要研究的问题是吃到营养的概率是多大，那我们就设一下这个结果，事件为事件 b， 那 我们获取营养来源于三个部分，面粉、鸡蛋和青菜。 所以这时呢，我们应该利用条件概率，在已经吃到面粉的条件下获取营养，应该是 p b 杠 a 一， 那很显然，这个概率应该等于零点二。同理， 我们在已经吃到鸡蛋的条件下获取营养应该是 p b 杠 a 二，那这个条件概率应该等于零点八，同理，我们在已经吃到青菜的条件下获取营养，应该是条件概率 p b 杠 a 三，这个概率应该等于零点五， 所以我们最终获取营养，也就是事件 b 发生的概率，他应该由三种不同的情况 相加得到，所以这里我们应该采用分类加法原理，把三个部分给他相加。第一个类别，我们如果吃到了面粉，那么获取营养， 也就说你这两个事要分布完成，所以这里我们要运用的是分布乘法原理，等于，哎 p a 一， 也就说吃到了面粉，并且呢我们获取了营养，所以应该乘以 p b 杠 a 一， 其他两部分同理，分别就是吃到了鸡蛋，并且获取营养的概率。第三个部分呢，就是吃到了青菜，并且获取营养， 经过计算，它应该等于零点四一，我们提炼一下这个核心思想，也就是我们所要说的全概率公式， 实际上这个全概率公式它就应该等于从第一个部分一直加到第 n 个部分，而每个部分呢，首先我们要选择这个部分发生的概率，所以我们用 pai 来表示。 然后呢，这个部分当中我们得到了结果事件的概率，那就是条件概率 p b 杠 ai， 那 就是我们所谓的全概率公式，大家记住口诀，那就是由因 去导果看第二个问题，已知啊，你已经吃到了营养，问你这口营养来自于面粉的概率是多少？ 也就说我们现在的目标呢，是要已经获得了营养，然后呢，这份营养来自于面粉的概率，所以很显然是条件概率 p a 一， 杠 b， 那 么我们根据条件概率的公式，它应该等于 p a e b 二者同时发生的概率，再比上 p b。 我 们先来看一下这个分子，这时候这个分子我们可以采用乘法公式替换一下 pa 一 和 p b 杠 a 一 分母呢，就是刚刚我们算出来的全概率公式，将二者依次代入到条件概率公式， 所以可以获得 pa 一 乘上 pb， 杠 a 一 再比上 pb， 结果为零点二九二七。那由第二个问题啊，我们可以提炼出这样一个公式， pai 杠 b， 在 b 发生的条件下， ai 这件事发生的概率。那么分子为乘法公式 p a i 乘上 p b 杠 ai 分母呢，就是全概率公式，我们分成 n 个部分，从第一项一直加到 n 项，每一个部分呢是 p a j 再乘上 p b 杠 a j， 而它呢，就是我们所谓的贝叶斯公式。 大家要记住口诀，贝叶斯公式呢和全概率公式刚好是互逆的两个过程，它呢是有果导音。 那今天呢，老师就讲解了在概率统计当中最难理解的全概率公式和贝叶斯公式，你们听懂了吗？还有什么问题？评论区里留言，关注金瑶老师，我们明天见！

what the dog do？ 统计概率反来覆去就考那几个知识点嘛，考怕也是非常固定的呀，高考还是比较友好的， 你只要付出努力，我觉得还是比较容易拿下的。所以今天我们给大家说一下统计概率到底怎么去复习，到底有什么知识点。一个就是公式呗，加法公式，加法公式是不是相当于 p a 加 b 就 相当于 a 并 b， 它就应该顶个 p a， 再加上一个 p b， 然后再减去个 p a b， 这是在高一下学期学 的，那么这个公式也特别的好理解，你画个温图，当你不明白的时候，通过温图一切搞定。所以大家可以看一下，这个量是集合， a， 它代表四件 a， 它代表四件 b， 所以 a 并 b， 它所对应的概率就应该是拿着 a 的 概率，再加上一个 b 的 概率，中间公共的部分算了两遍，所以减去一遍就可以 了。特别的啊，就是当 a b 互斥的时候，当 a 交 b 等于空隙，那就相当于 a b 互斥，当 a b 是 互斥的时候，当然就应该是 pa 加 b， 它就应该等于个 pa 加 pb， 因为互斥的时候说明 pa b 等于零。所以这个公式也是常考的， 如果 a b 互斥，这个上面这个式子就变成它。当然我们需要知道这些互斥的概念，什么叫互斥，什么叫独立，这是我们事件的三个关系，大家要知道啊，那么这是加法公式，当然你要知道减法公式，其实这个考的也是挺多的，减法公式就是 a 减 b， a 发生了，同时 b 不 发生， 所以这个四件你完全可以看文图，大家可以看一下四件 a 发生，但是四件 b 不 发生，是不是只有这一部分？这一部分是不是拿着四件 a 减去一个这个空白的部分？这个空白的部分是不是 p a b？ 所以 减法公式它就应该等于个四件 a 的 概率减去一个 a b 同时发生的概率，这就是减法公式， 那么这是加法公式、减法公式还有乘法公式。乘法公式它是通过什么来定义的呢？就是四件 b 在 四件 a 发生的前提下的概率，我们把这个公式叫做乘法概率， 那么这个条件概率它就应该等一个 p a b 同时发生的概率比上一个 p a 的 概率。我觉得这个公式你可以自己去推 导一下，这是条件概率给大家写出来。那么条件概率我们能够推出两个来。第一，什么叫 a b 独立？如果 a b 是 独立的话， a b 独立，就是相互不影响。什么叫相互不影响？就是事件 a 发生不发生，对我事件 b 没有影响。所以如果 a b 独立的话，我 我们就能够推出在 a 发生的前提下，事件 b 的 概率，它就是 p b， 它就是 p b 的 话，我们把它移过来，那是不是相当于 p a b， 它就是 p a 乘 p b， 这就是事件的独立性，这个独立的概要知道，当然我们课本上是有这个概念的，就是如果 a b 是 独立的，我们就能够推出 a 的 对立 b， 然后呢， a b 的 对立， a 的 对立， b 的 对立都独。 当然这个地方我不讲证明过程了，如果想听证明过程的话，我们的深挖教材都有，如果想要深挖教材，大家可以看置顶评论就可以了， a、 b 独立，那么他们的对立事件都是独立的。这个地方需要用到一个减法公式，你只要会减法公式，这个就能推导出来。我印象很深，我们当地高一下学期期末考试，他就让你证明这个结论。课本上课后原题， 这就是我一直给大家说的一个问题，一定要重视推导，推导能力强，数学能力才强，一定是这样的。那么还有一个公式，就是条件概率，它紧接着推出来乘法公式，那乘法公式是什么呢？就是这就是乘法，我们把它乘过来，也就说 p a b， 它就应该等于个 p a 乘一个 p b， 在 a 发生的条件下，我们就说它是一个乘法公式。 需要注意，这个乘法公式我们课本上也是有的，它可以推广到 n 个事件。哎呦我靠，那公式太复杂了，我记不住啊。你不要想那么多嘛，你先想三个事件，比如 p a、 b c， 这不是 a b、 c 同时发生，只是高考考得很少，它就是 p a 乘以 p b， 在 a 发生的条件下 乘以 p c， 在 a b 同时发生的条件下，其这个公式的证明非常的简单，受认可。首先我们套一个条件概率公式，这个地方呢，就应该是 p a b， 比上一个 p a， 这个地方就应该是 它们同时发生的概率 p a b c， 这张是 p a b， 这一步套的条件概率，所以这条约调，这条约调，所以最终答案是它这叫乘法公式。第五个叫全概率公式，那这肯定是必考的了，什么叫全概率公式呢？就是多个乘法公式合在一起呗。比如我们事件 b 的 概率，它可能这个事件 b 的 发生， 它可能是有很多原因引起的。我经常给大家举个例子，比如你的数学成绩提升啊，有三个方面的原因啊。第一个原因就是跟着宪哥学了，跟着宪哥学的概率是百 百分之一，但是跟着显哥学习，成绩提升的概率是百分之九十九，你在学校努力的提升成绩的概率呢？是百分之零点九，你靠自己百分之零点一，哈哈，你太菜了啊，你没听懂是吧？啥意思呢？就是比如你成绩提升了，有可能是你跟着显哥去学习了，这是跟着显哥学习的概率， 然后呢，跟着显哥学习的前提下，你的成绩提升了，然后呢，再加上你在学校啊，在学校学习的概率乘以你在学校 学习的前提下，你的成绩提升了，然后呢，再加上你自己雄起了，奋发图强了，自己学习的概率，诚意在自己学习的前提下，成绩提升了。 所以全概率公式实际上就是一个乘法公式，是乘法公式加在一起的，大家可以看一下这个公式，一定要知道怎么来的这个公式，但是呢，你的成绩提升还有好多原因，你就加个省略号呗。所以我们课本上公式是这么来的，就是 c 个码 i 乘一到 n pi 乘一个 pi， 在 a i 发生的前提下， 这叫全概率公式，要理解概念。第六个是 yes 公式，又叫全概率公式的逆公式，被 yes 公式。还是那句话，高考有没有可能考到 第一？他考不超纲，说白了不一定考，因为我们课本上标了个星，他说不作为考试要求，只是出模拟题的人不要脸，全国各地的模拟题都考，所以我希望大家掌握。那高考考到了超不超纲呢？答案是不超纲，因为他的推导过程就是条件概率， 根本不超纲。明白了，所以需要会啊。什么叫贝耶斯公式呢？我们大学概率论里边，我们把贝耶斯公式叫做全概率公式的逆公式。什么意思呢？你的数学成绩已经提升了，我已经知道你的数学成绩提升了，就是在事件 b 发生的前提下，你看看显格的功劳有多大。我算一算，在数学成绩提升的前提下，跟着显格学习提升成绩的概率是多少？ 它就应该等于 p b， 然后呢， p a e b， 那 p b 是 什么呢？ p b， 它正好是我们刚才讲的这个 a， 这不就是全概率公式吗？所以这个被耶式公式，它肯定分母就是那个全概率公式，大家可以看一下，分母就是我刚才给你复制的这个全概率公式。那么分子是什么呢？分子它不是一个乘法公式吗？这不是 p a e b， 这不就是 p a e b 吗？对吧？这就是 p a e b， 所以 它就应该等于个 p a e 乘一个 p b， 在 a e 发生的前提下。明白了，这就是被约束公式，我们常见的公式就这几个。第七个，什么叫二项分布呀？ x 服从二项分布。二项分布是 b 啊，被奴隶分布嘛？ n p n 是 实验次数， p 一 次实验发生的概率，那么 n 是 独立重复实验，做了 n 次实验发生了 k 次，这时候发生的次数所服从的分布叫做二项分布。 二项分布呢，你需要知道他的期望，期望的话是 n p， 你 需要知道他方差方差的话是 n p 乘以一减 p， 需要注意是屏幕前的你，我估计你是不会推倒他的。期望和方差怎么来的，我是猜的，我猜准了吗？如果猜准了，你可以在弹幕上打上六六六。 如果你想知道他怎么推导呢？第一，我们教材呢，有详细的推导过程，万一你太傻不天真，你看不懂推导过程怎么办？你可以去听我的森娃教材，我都给大家讲推导过程了，包括数学计算，包括这个这个这个方差，常见的一些结论性的东西，我全都给大家总结了，这都是需要掌握的。还是那句话，课本上出现的东西是必须得掌握的啊， 这是二项分布，比如我再给大家说一下二项分布，当 k 取和值的时候，它所对应的概率是最大，这是全国各地模拟题特别喜欢考的 全无条件考户需要知道的。下一个就是超级核分布。超级核分布这些东西你要理解就是从一批产品当中有正品，有次品， 取出几件产品，问几件正品，几件次品，当容量比较大的时候，超级核分布就近似于二项分布，所以这个地方我就不太说了，需要注意超级核分布的期望，大家要知道期望是什么呢？就应该等于个 n 乘以个大 n 分 之大 m 就是 次品的个数，或者是正品的个数， 需要研究明白我研究对象是什么。我抽的是正弦次品，它和这个公式本身是一样的。再下一个是正态分布，正态分布目前来说，高考是考的比较简单的，你只要知道三十根码法则，你只要知道面积表示概率，那就 ok 了嘛。那至于这个密度曲线是什么， 可背可不背，不高考的我肯定是会背根号下二派 c 个码，然后 e 的 负两倍的 c 个码方 x 减去 miu 的 平方， 这是这个正态分布的密度曲线。需要注意的正态分布， x 服从 n， 就是 miu 是 一个方方，你要会把它标准正态化，就说白了你怎么把它变成标准正态分布？就是随机变量，减去它的期望，比上一个标准差， 它就服从标准正态分布了。你要理解这些概念。剩下的话就是统计，包括限性回归，包括独立性检验，独立性检验你只要会零假设就可以了。 这些都是实证被的啊，尤其是限性回归。为什么需要记忆？因为二 二零二二年已卷，二零一六年全国三卷。他告诉你的数据和告诉你的公式是不一致的，因为他有两套公式，所以需要记忆。这个电话我就不再一一详解了。各位同学好好去研究统计，好好的研究概率，你只要付出努力，我觉得还是比较容易拿下的。各位同学，拜拜。

数学有捷径，就找王晓明，独立构建三阶段提升体系，帮助上万名艺考生突破文化课，一个专注艺考生文化课的宝藏，老师分享美好传递方法，点赞加关注，升学不迷路！ 同学们大家好，我是你们的小明老师，咱们今天继续讲解统计相关的毕业公式，来看一下 这道题哈。他说小周选择了动感单车、瑜伽和普拉奇三种项目，那么选择动感单车 概率是零点二，然后瑜伽嘞 是零点五，而普拉提 是零点三， ok， 如果能够达到标准训练标准依次是零点六，这是零点八，这是零点四， 那么小数某次未达标，未达标多少？零点四，这是零点几？零点二至零点六，所以咱们算出来，它俩相乘 等于零点零八，它俩相乘等于零点几啊！一，它的相乘等于零点一八， 那么总共是多少嘞？是零点零八加零点一加零点一八，瑜伽是零点一，所以咱们可以下面写，上 乘一百八加十加十八，上面十等于，这是三十六分之十，等于十八分之五， ok， 这时候他选的瑜伽的概率就是几了，十八分之五， 好吧，需要把每个时间说清楚， ok， 那 么这就是被同事跟着小明学水，所以变得很简单。欢迎点赞加关注，朋友们，咱们下期再见！

条件概率与全概率最让人烦了，许多同学表达事件总是一头雾水。今天叶老师就截取我一 v 一 上课片段，好好让大家搞清楚条件概率与被夜思公式，并不是很难的一个题啊。那就说我们设 a 和 b 嘛，才能很快做出来。 我说这个时候我先设 a， a 就是 什么，就买了挨个盲盒，是幸运顾客对不对？能不能理解？可以可以，可以吧，这样子好理解吗？这样子，我们首先一开始没有买盲盒，他只要他没买，是不是直接就零蛋了？能不能理解？买一个对不对？ 买一个盲盒，然后他成为幸运顾客？先别急，他这个是条件概率对不对？没错，把它拆开来洗，你发现他的概率其实会抵消。能不能理解？ 可以，就相当于说，比如说他在买了一个盲盒的情况下，盲盒又是三分之一，对不对？来说吧，先买一个盲盒的概率是不是 k？ 有 没有问题？这样讲能不能理解？可以可以嘛，你要这样子写哦，直接三分之一，准确来讲，而且他买两个盲盒对不对？这题真不难，真会错， 你这徒手做我也不懂对不对？我没答案。这个时候买两个盲盒，然后他要成为幸运顾客，那你也就先这样子为一个 pa 二吧。这个情况下，正常来讲还是要把它写出来，然后要，那就是相当于说 我买了两个，那就是九分之一，对不对？ a a 的， 所以 k 有 没有问题？这两个是这个吧？再除以一个 k 有 没有问题？没有。那你们买三个盲盒成为幸运顾客，有吧？有有，刚买，买两个盲盒，两个必须都得是封面款，那如果买三个的分情况能不能理解？ 可以，也就是相当于我，我想想两个分情况能不能理解？可以，也就是等于 p 二分一负一，对不对？有没有问题？没有。加上 p 三分，对不对？知道我什么意思吧？可以，可以了，是吧？这样子的话，要如果说买到了，首先两个封面，这个时候我想想两个，那他首先是要买三个盲盒，开始的话就是相当于 如果两个非封面，一个封面，他他是按顺序买的吗？还抽出来的，那就是 c 三二，再去两个封面盲盒二分之一，三分之一，哦，三分之一的平方乘三分之二，对吧？没问题，再乘以。他是买了三个，也就是 k 乘以一减 a， 你 再除以 k 乘以一减 a， 嗯，这个时候都加上三个都是，那那就是直接三分之一的三次方，有没有问题？有， a 乘以减 a， 对 不对？能不能理解？这样算一下，我看一下这边全部咔嚓掉这边，那就是九分之一乘三分之二乘三加上二十七分之一， 九分之二加上二十七分之一，是不是等于二十七分之七？有没有问题？没有，没有。那这样子呢？会吸引顾客？ f a a 就 等于 pb 呗，这个时候是不是就在这个数乘以条件概率对不对？ 没错哦，这个 pb 呢，是一个全概率，要怎么乘它就相当于 pa， pa 零就没有掉了，对不对？很简单，就是 pa 一 乘以 p b a， 能不能理解？两个约调是不是就是他们同时发生的概率，对吧？那你甚至就相当于是 p a b， 对 不对？能不能理解？可以吧，照片上这个叫什么？他买两个盲盒对不对？并且买两个盲盒中奖了是吧？买三个盲盒中奖了，有没有问题？ 没有吧，不出了吗？结束了吗？接下去的话，他所购买的盲盒全部是封面款的概率不超过二分之一。 求 a 的 话，那就很简单，那你先设一个 g， 就是 全是封面款，对不对？能不能理解？ 可以，你要知道他也只能买三至最多也是买三个，不是像你这样子那么有钱，这个很贵的。你不是说那么有钱可以买很多个， 那这个时候呢？说 pc 啊这样的方法，说他是买一个的幸运顾客，对不对？没错吧？你买了一个，我应该是去买了一个，然后在买了一个的条件下，然后封面款这边买了两个的这个封面款，两个全是封面款，我一定是幸运顾客不买封面款了吧？是这个意思。 对，你如果算到这里的，就相当于这个非常简单了，此时就是多少直接出了吧。先给我买了一个的概率是 k， 对 不对？然后全是封面款，那前面算了是三分之一，有没有问题？成为了幸运顾客，对不对？没错吧，这个的概率其实就是三分之一。懂还是不懂？ 懂？买有两个，两个都是封面款，那是不是在这里能不能理解？你要小心，要是他买三个的情况，他买三个的只有前面的这个三分乘进去，他才是，这个能不能理解？ 可以，因为他买了三个成为幸运顾客，是不是有两种情况，对还是不对？我们只能取后面的这一种，懂还是不懂？就是二十七分之一吗？这个咱们算一下问题 没有？没有吧？去结束了呀，你把 p b 算出来就好了，对不对？对， p b 刚刚是不是算过了？其实 p b 是 不是就他算的那个东西？有没有问题？没有没有吧，二十七分之二倍的 k 加上二十七分之十 k， p b 已经算完了。然后接下去的话，他是说他是已经是幸运顾客的情况下，对不对？没错吧？他又是全是封面款，那就相当于 p c b， 有 没有问题？ 有，那就是 p， 就 这两个除一下对不对？有没有问题啊？嗯，那这样子的话，我们说 p b c 他本身就是多少就是 p c， 对 不对？没错吧？能不能理解？可以，因为为什么？因为他这边已经说了，他 p b c 就是 相当于他既是幸运顾客，又全是封面款，换句话说，他全部买了封面款，他一定是幸运顾客，对不对？对，除一下就是 五加 a， 分 之两倍的一加二 a， 能不能理解？可以，那结束了。最后答案应该是我算一下吧，四倍的一加二 a， 你感觉我这样算会不会对？那你应该是对的。嗯，四加八 a 小 于等于五加 a 小 于等于七分一，有答案吗？好像就是这个答案对了。

hello， everybody 今天我们来讲概率统计当中的两个重要公式，全概率公式和贝叶斯公式。这全概率公式一旦你学完了，考试题就可以出的比较难。那有的宝贝一看这公式长这样，呃，就不想学了。可以，我们今天就不学任何的新知识， 照样能做题。先举几个小例子帮大家梳理一下我们之前学过了什么。我们算概率呢，有的时候用加法来算，有的时候用乘法来算。那么请听题，案发现场凶手只有一人，但是今天柯南拉稀了，无法锁定嫌疑人，只好随便断案。 已知他认为毛利小五郎是这个凶手的概率为零点一，只认小兰的概率是零点三，只认真正凶手怪盗基德的概率，那零点六呗。问柯南身败名裂的概率。什么叫身败名裂？ 你只认错了呗。你如果只认了小五郎，或者是只认了小兰两种情况，每一种情况都能使得柯南身败名裂。能把这两种情况的概率相加，我们分类讨论用加法。 那再来，现在柯南出去玩了，由两起案件，由呢？这个毛利小五郎独立断案。已知小五郎对两起案件断案的正确率不一样啊，分别是一个是零点一，一个是零点二。 问他两件案子都办砸的概率，你想办砸分两步是不是？你第一步给我办砸喽，第二步你第二件事情也给我办砸喽。那你办对的概率分别是零点一和零点二，那办错的概率那就是，呃，一是零点九，另外零点八呗。 现在我分两步进行，我得在他发生的前提下再让他发生。是不是乘法公式啊，用乘法来做，我们叫分布用乘法。那么以上就是我们之前学过的内容，就用这两句话能解决今天所有题目。人难题咋出啊？刚才分别是一个用加法，一个用乘法，难题就是一道题目里面既用加法又用乘法呗。 请听题，今天星期天柯南原计划带一个人出去玩，带谁呢？已知他有可能选小兰，有可能选霍元 i， 这概率呢是相等的，那就都是零点五呗。 但是柯南每天呃有零点三的概率变大，变成工藤新一，那大家都知道那工藤新一跟这个呃小兰之前谈恋爱是不是？那你一旦变大之后，那你和小兰出去这个约会的概率就比较高了，就零点九了，和霍元 i 出去玩的概率变成零点一了。现在问小兰能成功和柯南或者说新一出去玩的概率 就整个情境呢？稍显复杂。你小兰今天出不出去玩跟什么有关？跟你柯南今天变大或者不变大有关。因为变大之前我出去玩的概率跟变大之后我小兰出去玩的概率是不一样的，对不对？所以你第一步先开始，你就得先给我分类讨论。 那我画个图帮大家理解一下。本来好好的柯南，题目说有可能有零点三的这个概率，他变大成工藤新一，那说白了就有零点七的概率不变大呗，就还是他自己是吧？好。然后题目说没变大之前，这俩人跟这俩人出去玩的概率是一样的，那就这种情况下再分两份，分别都是零点五的概率跟俩女孩出去玩是吧？ 但是在这种情况下，这这概率变了，零点九的概率和小蓝玩，那剩余的，哦，往下移点啊，那一减零点九，零点一的概率，又找着会员 i 了， 现在问小兰能出去玩，在我我分了两种情况之后，又分了两种情况，像树状图一样，一共分了四种情况，在这四种情况当中，哪些是我要的？是不？这是小兰出去玩的，这也是小兰出去玩的，我要这两种情况，对吧？ 那就这两种情况想发生怎么样说？每一种情况你都要分两步来进行，我既有分布又有分类。那我第一步零点三，第二步零点九呢？这条路径它的这个概率应该是零点三分布，用乘法乘以零点九。 然后第二种情况，这条路径上我也分两步，第一步零点七，第二步零点五分布，还用乘法，哎，这每一种情况你都算完了，那情况和情况之间分类了，用加法连接 这数算完就是最后答案。这种既分类又分布的做题过程，我们所用的就是全概率公式，所以发现没公式你还没选呢。但是题目其实你已经会做了，关键是理解，而不是在于记忆。什么公式？ 那我稍微给大家讲一下啊，什么是全概率？之前有个事啊，是 b， 这个事呢，想发生它可以有很多种情况发生，它有可能是 a 一 发生了，它发生， a 二发生了，它发生， a 三发生，它发生，或者 a n 发生，它发生。一共分 n 种情况啊，那每种情况呢？你看你分是不分了两步啊，你想发生 b， 好， 你 a 一 要先发生，所以我称一个 p， a e， 然后第二步，你在 a 一 发生的前提条件下， b 也想发生，那这一个概率怎么写来着？是不是用条件概率公式？在 a 一 的条件下， b 发生了，然后这俩概率因为我分布了，所以你要用乘法那类似的， a 二发生， b 发生，写成 p， a 二乘以 a 二发生的条件下， b 发生，那我一个一个一个，最后写到 a n， a n 发生，然后在 a n 发生的条件下， b 发生，每一个我都算好了，最后把他们一个个加起来， n 种情况加起来。那不，那不就这式子嘛，这就叫全概率公式。所以做这种题，咱就画个数状图结束。 举两个例子啊，二零二四年上海高考啊，创办科技比赛，有 abc 三种题目， a 题目五千道， b 题目四千道， c 题目三千道，那一共多少道啊？呃，五加四加三，那一共是一万两千道 现在，呃，小申啊，这是个人是吧？起这名，他说他 a 题库的正确率是零点九二， b 题库正确率，呃，不一样，是吧？ c 题库也不一样。然后他这所有题目当中随机选一道，问正确的概率，哎，你想啊，你随机抽一道题，你这题是 a 题库的还是 b 题库的，还是 c 题库的，是不是不一样？ 所以你抽出来这道题，第一步，你得先给我分类讨论，有可能你是 a 题库，也有可能是 b 题库，还有可能是 c 题库。哎，那你就这一道题，你是 a 是 b、 是 c， 都有可能，但是这没种可能，它它它它，它是有概率的，概率多少啊？ 你在一万两千道题里面想精准选到 a， a 有 五千道，那是不是就用一万二分之五千就好了？这会算吧，就十二分之五呗，然后选到 b 题库，一万两千道里面选到四千道，那就是概率三分之一。选到 c 题库一万二分之三千四分之一， 这概率加起来肯定是一啊。然后你抽是抽完了，那，那他问什么？他问你正确率多少？你 a 题库你选出来不一定对，是吧？你想对的概率说了 零点九二， b 对 的概率零点八六， c 是 零点七二。最后我想对我分了三种情况，每种情况都可以呀。那第一种情况他乘，他分步用乘法，第二种情况他乘他，第三种情况分两步，他乘他分完步了，然后，呃，我分类，最后用加法连接，最后答案是零点八五， 前两道题都没给他选太难的哈，让你开心开心的。那我们再来一题喽，说一个人从甲地到乙地能乘火车、轮船、飞机啊，分别有的。这概率让每种交通工具他都有可能迟到，乘火车迟到乘轮船迟到乘飞机啊，说不会迟到，问这个人最后迟到概率，你迟不迟到是不是跟你做什么有关系？ 所以那我就直接分类讨论呗。一个人啊，坐火车、轮船、飞机有概率的是吧？零点二、零点四、零点四，然后三种交通工具有可能迟到，这也有对应概率，迟到概率分别是零点五、零点二，然后零，所以最后你想迟到。三种情况，他乘他家，他乘他家，他乘他。 你第一条线路，它俩乘完应该是零点一，这俩乘完应该是零点零八，这俩乘完是零，所以加起来零点一八。这种题出的真的很弱智啊。你学过加法，学过乘法就能做题。那么接下来我们稍微加一点点难度 来看看，高考题当中如果出的稍微难一点，怎么出？现在假罐有五个红的，两个白的，三个黑的哦，呃，太复杂了，那我赶紧先画个图吧，这是假啊，五红两白三黑一罐。呃，也有这么多球，是四红三白三黑， ok， 看情形，他说把假罐当中随机取出一个放入乙罐，哎，那你取的是哪个颜色呀？不知道是不是，所以他就跟人说了，分别以 a 一、 a 二、 a 三表示假罐取出的是红球，白球还是黑球，肯定设好时间了，那抽出来不是放完乙罐了吗？然后再从乙罐再抽一个， 最第一，开始目前乙罐现在是几个球啊？现在是十个球，对不对？但是呢，你如果放进来一个乙罐，就变成十一个球里面抽喽，然后设事件， b 表示乙罐取出红球的事件。哈，问这个 p b 是 多少？ 哎，你乙罐最后想抽出来这个红球，跟你乙罐现在目前那十一个球里面，你甲罐抽出来谁是不是有关系的呀？如果甲抽的是红球， a 一 事件发生， 那我来算了啊。首先你 a 一 想发生，你想在甲这个十个球里面取出红的，红的一共是五个，是吧？你在十个里面取五个，那不十分之五吗？ 这是我第一步他的概率。然后紧接着你现在红球来了，我现在以罐变成五红三白三黑了，你想精准的取出，哎，红球十一个球里面现在目前是五个红的十一分之五， 这是我，哎。这个分类讨论的情况下，以罐取出红球这样的概率，那我们也知道，你有可能第一开始白的过来， a 二发生，也有可能黑的过来和 a 三发生。 如果你一开始白的来了，那他想发生是有概率发生的呀。那假想取出白球的概率十分之二，然后现在十一个球里面取出红球，四个红球十一分之四。最后一种情况，如果是黑的过来，第一步你先得出来黑的，它有概率的 概率是十分之三，取出回四。第二步加上这黑的一共十一个球里面取出这个红的四个，还是十一分之四。三种情况，既分类又分步，最后加起来就行了，一共是一百一十分之二，十五加八加十二是四十五，五九四除以五的话，上面是九，下面是二十二，所以第一个他没说。对啊， 大家看第二个。第二个让我算的是，这啥玩意？这是个条件概率对不对？那条件概率我怎么算呢？我用公式来算喽，在这是条件呃，这是结果， 它等于 p a 一 分之 p， 呃， a 一 和 b 同时发生啊，你说这这俩谁好算啊？我看你分母好算。 a 一 事件发生。 a 一 什么来着？ a 一 叫假罐当中取出红球，假罐里面取红的就这不十个里面取五个，这不就十分之五吗？不要太简单啊，最关键的就是这个 a e b 同时发生， a e b 同时发生， a e 叫 假罐当中取出那个红的。大哥，谁呀？说你刚算完这个吗？这表示的是 假罐当中取出红的十分之五，然后这这这红的过来之后，不是这这边就五个红的了吗？你在这十一个里面取，取出五个红的就是他，所以这就是你要的这个分子， 十分之五乘以十一分之五，所以答案十一分之五。第二个说的没错，我们用公式法是这样做的。那我们也有什么来着？咱是先从假罐里面抽，然后再从一罐里面抽，他是不是有一个时间顺序？有时间前后四序的？那我是不是可以用一刀两断法？ 你说你以 a 一 为前提条件啊？以它为条件，好，那我就默认 a 一， 现在已经发生了 a 一。 什么？ a 一 叫从假罐已经取出红球了，哎，你假罐已经取出红球了，那你本来乙罐有四个红球，你再加一个，现在乙罐变成五个红球， 那一切的一切你之前怎么样？不管了啊，一切一切就以五红三白三黑来考虑。我现在再从乙罐里面取出，取出一个 b， 发生 b 什么来着？取出的是红球的概率， 你一共多少个球？一共才十一个球，十一个球里面你想取出红的，那就是十一分之五嘛，那不一回事嘛。所以你直接就以 a 一 事件发生的前提条件下来分析。哎，这个第二个也能算？ 接下来我们来看三和四。哎，这挺有意思的。三，考察的是你两两互斥不互斥？互斥跟独立是两个完全不一样的概念。什么叫互斥？互斥意味着不能同时发生，叫互斥。比如说，呃，这是所有情况，这是事件 s， 这个是事件 t， 就你这俩事件没有公共的部分，无法同时发生，这就叫互斥。那你 a 一 a 二 a 三互斥不呢？现在我们在甲里面是不是取一个球？你取这个球，你要么是红的， 要么是白的，要么是黑的，你不可能取出一个球，既是红球又是黑球，是不可能，所以确实 a 二 a 三没法同时发生，我就取一个球啊， 所以他说他互斥，他说的是对的，但是独立不独立，我们只有一个方法来判断啊，你不是通过任何语言来理解，我们只有那个公式，判断 a b 是 否独立，你就看 p a b 是 否等于 p a 乘 p b， 如果等于，你就独立，如果不等于，你就不独立。 独立跟互斥指指，我们判断方法完全不一样啊，那我们就独立不独立。我算 b 和 a e 独立不好，那我呃看一下 p a b 是 谁，我再算一下 p a e 一， 我再算一下 p b， 那又来了， p a 一 b， 你 是不是刚才算过了呀？就这第一种情况吧，这应该应该多少啊？他俩约掉一个二，应该是二十二分之五是吧？来看 p a 一 a 一 事件，想发生 a 一 事件抽出来红的，就这个是吧，二分之一没办法啊，你就给我算，然后呢？ p b， 什么 p b？ 哎， p b 你 算过了啊， p b 多少来着？二十二分之九， 那我姥姥也能判的出来，这个二十二分之不等于他俩相乘吗？是不是不等于你不等于就不独立，就这么简单啊。所以三不对来看一下这个，这个五说 pb 的 值呢？不能确定，因为它跟 a 一 二 a 三哪个发生有关。那么放屁呢， pb 我 都算出来了， 这不是二十二分之九吗？你确实你不知道 a 一 二 a 三哪一个发生，但是它发生是有概率的，所以你觉得我的概率是可求的，而并非不能确定。 ok， 这是一道曲求的啊，稍微复杂的一个情形。那么接下来我们继续深入，大家在这个考试的时候呢，经常会遇见字很多的这样的题，很多同学害怕， 所以从这节课开始我们就要像高考题一样时不时的来一点字多的让你不害怕，你就抽丝剥茧的。你读懂题目最关键跟我一起啊，一点一点读 在信道内。什么叫信道？不知道啊，反正就是一个通道，反正传输零一信号啊，要么零要么一啊，很简单。然后传输的信号呢？相互独立。你是零还是一？呃是不混着的，你上一个传一还是零跟我下一个不发生关系是吧？好，那往后看 发送零的时候我收到一的概率表。啥意思？你就想象啊，就是就是你跟另外一个人说话呢，你说的是你说的是零，然后那边人听的是一啊，就就就这个意思 就传输错了呗，是吧。啊？发零收一，那这个概率是二发，那你发零收零的概率呢？就一减二发，你收的要么是零要么是一嘛，所以二发和一减二发相加起来这个概率是一，这个也很合理。好，那目前为止呢我就都读懂了。画个图吧，别一会你忘了是吧。发零收一概率是二发，发零收零概率是一减二发。 好的，后面他不说我也知道了。你现在刚才是讨论了发零的是这个情况，那如果发一呢？就发送一时，收到零的概率是 beta， 收到一的概率是一减派也有可能发错是吧？那很好理解，发一收零 beta， 发一收一，一减 beta， 然后往后看，他说现在考虑呢两种不同的传输方案怎么传呢？呃，叫单次传输和多次啊。三次传输 什么意思？给你解释，单次传输指的是每个信号我只发送一回啊，你是谁？就发这么一次？三次传输呢？指的是每个信号我重复发三回。这个也蛮好理解的，因为因为你有可能发错，是不是？所以呢？呃，是不三次传输，你发三回，这不是更保险一点吗？是吧？ 然后说了收到信号呢，需要需要翻译，怎么翻译呢？规则是这样的，如果你是单次传输的，那你收到的信号记为一码，就是你收到谁就是谁，你收的是一，那你就翻译成一，收一成，这个收到是零，你就翻译成零，你不管，不管你发的是啥，反正我收到啥我算啥。但如果是三次传输的时候，我收到信号呢，我出现次数多的记为一 这码。意思，哎，就比如说你现在发送的是零，但是呢，你收到的一定是零吗？不一定，你有可能收到零，你也可能收到一，因为你发了三回，所以这三回当中你也可能是收到的是零零零啊，全都正确，你也可能收到全都错误。一一一，也有可能一零一，也有可能零一一。好多好多种情况呢，是不是？好，那现在呢？呃，一共三回，这三回当中你至少两回是一样的吧， 比如一零一的时候。哎呦，那你这个出现次数多的就是我的这个一码。很简单来看 abcd， 如果用单次传输，我依次发送一零一，啥意思？哎，你单次传输，你想发送一零一，那意味着呢？我一发一回零，发一回，一也发一回，那我依次收到一零一的概率你想啊，是不？一共分三步，第一步你发一，我收一。第二步你发零，我收零。 第三步你发一，我又收一，相当于呢？呃，每一次传输都是正确的，所以发一收一的概率是不在这呢，一减贝塔。第二步，发零，收零的概率是不在这呢。一减二法。第三步发一收一，概率啊，还是一减贝塔。所以一减贝塔平方乘以一减二法。 a 选项说的对 来看， b 说采用三次传输，我发送一，那三次传输发送一，你发是发三个一是多少呢？第一次发一收一，这概率呢？写好了， 第二次你还发一，我收到零，发一收零，概率是贝塔。第三步发一收一啊，概率还是一减贝塔？哎呦，所以 b 选项他说的也是对的，这是一个多选择题来看， c 选项还是三次传输，我还发送一，那目前呢，跟我 b 选项都是一样的。他问我，一码是一的概率是 多少？大家想啊，你立马想是一几种情况，你不是发三回吗？你有可能三回全是一，很理想是吧？也有可能，怎么样？你有可能这个收到那三回是俩一，一个零，那具体怎么排布呢？那，那就不一定了，你有可能是零一一 是不？也有可能是一零一是不？还有可能是一一零啊，所以一共来说应该是一二三四四种情况才对啊。你收到一一一的概率，你收一发一，那你这个一减倍，它出现三回，那是一减倍的立方，那一零一你刚才算过了啊，不用再算了，是它 接下来你再算这两个，这两个你发现其实就是在它的基础上顺序调换了，对吧？你顺序调换影不影响概率呢？你试一下，发一收零，发一收零，背他，然后发一收一，发一收一，呃，进行两回发，一收一的概率是一减背他出现两回，一减背他平方 如何呢？是跟刚才一样的，其实就是 beta 和 e 减 beta 两个，就是这个出现的次序不一样而已。那你乘法具有交换率，你怎么惩罚？结果是一样的，是吧？所以最后我即便不算，我也知道你也是 beta， e 减 beta， 所以 答案应该是这四个相加。呃，你前面这个应该乘个三才对。 最后一个，这个 d 选项，图尔发在零到零点五的时候，呃，发送零采用三次传输方案，立马也为零的概率大于采用单次传输方案一码为零的概率。其实他在比较，呃，就是我发零这个过程当中呢？我是用三次传输这个概率高还是用单次传输？呃，传输正确的概率高？就这个问题。 好，那我既然要做两种概率的一个大小关系比较，那我就把两种概率我就直接都算出来呗，是吧？来，先算第一个。我三次传输传成零啊，就是你发到零，我一码完也是零，哎。你刚才算的是 啥？刚才算的是你发一一码为一啊，三次传输的时候。现在我要算的是你还是三次传输我发零，哎，你也一码为零，就是把一改成零 而已。那其实我只要把刚才这个过程当中我发零，哎，你也一码为零，就是把一改成零而已嘛。 计算过程中一模一样啊，你能力也是最好的，你直接把这里面的被它都变成 r 法，所以这个概率将是一减二发立方加上三倍的 r 发一减二发平方。如果实在理解不了，对不起，你就得像刚才一样，你也分四种情况来看，是吧？发零，你想收零，那么呢，他有零零零，或者呢零零一零一零 一零零这四种情况，算完就差接下来单次传输一码为零，你单次传输你就传一回，一码显示零，那你肯定是走零零这条路啊，零零这条路是一减二发的概率， 那最后人家问这个和这个谁大谁小，那我就把它俩一减是不行了，所以它减它呢？我整体我都能提出来一个一减二法，是吧？前面设成 p 一， 后面设成 p 二， p 一 减 p 二， 提出共音式一减二法变成平方加三，二发乘以它。然后你减的话呢，就直接提出来就再减个一呗。一减二发全都展开完全平方式加三，二发减三，二发，平方减一，好舒服。一约掉了，里面每项都有二发，我把二发也提出来， 看看剩什么啊？剩的是这样，原本是负二 r 平方提出来一个 r 就 负二 r， 一 次想他俩加完是 r 法，那你就提出来一个 r 法，提 r 法就剩个一呗。 那这玩意三项是正是负呢？ r 法是零到零点五之间，这是正的，这也是正的。一减二 r 法。嗯，你 r 法是零点零点三，零点四，一减去二倍的，它是不是也是正的呀？所以它大于零，那么呢，它说它大于没有问题。 好了，这就是全概率公式加上复杂情境。所谓全概率公式，你在这里面怎么体现的？是不就是你先把人家问你这什么这个情况分好了，然后每种情况呢，你再分几步？用乘法，既有加法又有乘法，最后加起来，那不行了。 ok， 这道高考小题大家做完了想告诉大家，就是你字多啊，其实并不一定难，有得时候字少反而更难。我们呢，就以这道二零二五年江苏的月考题，作为今天全概率公式的最后一道题，目标分数一百一十分以上的同学，仔细听 这目标分数，你如果就是想及格的这道题，你可以先跳过，直接来看后面的部分的内容。我们先来读题。说袋中呢，有七个小球，其中的两个白球，两个红球和三个黄球啊，每次不放回的，从袋中随机取一个就 不放回哦，因为这你每取一次球就少一个，每取一次球就少一个。继续好看说，当三种颜色的球都取到的时候，我总共一算发现是五个球的概率是多少啊？一共取来五个， 这个情形啊，算是比较复杂的啊，你想他的这个有一个截止的一个条件，什么条件呢？三种颜色你都取到，都取出来，那么你就停止。 所以非常理想的情况，我第一次取白球，第二次取红球，第三次取到黄球的时候，咣当结束了啊，我就取出来三个球。那这道题问什么呢？这道题问你取出的是五个球的概率，你如何理解这件事情？有两种不同理解，一个是比较浅层的理解。有人说，哦，你取出来的这五个球中有三种颜色。 大哥，那你不废话吗？是不是你再往深层次想一想，他是有一个停止动作的，你为什么会停？或者说，你为什么在取出第五个球的时候就停了？你只有在取到那第五次的时候才凑够三种颜色，这才是深刻的理解。 所以整个这样的问题当中，最关键的一二三四五次是第几回？最关键是第五回最关键。那我画五个杠啊，第一次取球，第三次取球，第四次取球，第五次取球。 那第五次呢？你取出来的是什么颜色呀？我先从他入手，你不是他关键吗？那我那我就看呗。那第五次你有可能取到白球，有可能取到红球，是不是也有可能取到黄球啊？所以你说分几种情况，那我肯定分三种喽，最后一次取出白球，最后一次取到红球。 在这或者最后一次你取的是黄球啊，那这个七个小球，呃，那颜色不一样，那我尽量把七个球啊，我都给它标个号哈，以免乱了白球。我记为这个， white， white 一， white 二，红球 red one， red two， 黄球 yellow 一， 有三个 yellow 二， yellow 三， 接下来呢，这个解法就有可能不一样了啊，就有很多种解法。这道题普通的思考路径，你这样想，呃，你这不是取了五回球吗？那你每次取球不是有概率的吗？所以我分一步，两步，三步，四步，五步，我分五步，把五个概率呢乘起来，然后呢，这算出来一个后面也是分五步，后面也分五步，最后呢，加起来按理来说是这样，对吧？ 但是呢，我仔细来分析一下，你看你这每个概率都怎么算？你最后一个是白的，你前面是什么情况？你前面肯定不能是白的，因为你你是第五次才凑够三种颜色，就意味着第五次这白球才能出现，你前面不能有白的，是吧？ 那你前面不是白的是谁？那你只能是红的或者黄的。哎呦，那你现在是，呃，两红三黄了，那这一共就四个位置，那有几种情况？也有可能是俩红球俩黄球在四个位置里面分位置，是吧？ 所以由此呢，你可能还要分两类情况。那你在分两类情况的时候，你即便是两红两黄，那哪俩是红，哪俩是黄，你你也得给人选，是吧？那你这分类讨论的情况可就忒多了，你这么多种情况，然后你每一个还都给我算一个概率，然后最后五个概率乘起来，这题根本没法做了。 所以当在取求问题当中，这个过程步骤特别多，而且情况数都数不过来的时候，你一定要转换思维，用整体法来做， 你要有大局观。什么意思？就是我现在不一次一次的想象成在这取球，我其实呢，呃，我一次、二次，三次，四次、五次。这个取球的过程其实就是把这五个球呢，在这个一二三四五次的上进行一个排列，是吧？ 这不是第一次呢，第一次我就放在最左边，最后一次我就放在最右边，然后呢，依次排起来，排成一排，这就是第一次取的第二次取的第三局。所以我把这个取球问题理解成站牌问题， 做一单，不从一次一次取球的角度来思考的时候，我就不用算五个概率相乘了，我直接整体来算概率。你想啊，一共七个球，这七个球当中选出来五个站一排，然后呢？算概率是吧？那么整个它的概率分母就是所有情况呗。所有情况是什么呀？ 现在 y 一 y 二， y 一 y 二， yellow 一 二三七个球里面是选出来五个，所有情况啊，选出来五个放在不同的位置，是 c 七五还是 a 七五？ c 意味着只选就行， a 意味着选完你还得排列，那这道题因为是人家是有次序的，你占排嘞，是吧？所以你光选是起不到效果的，你选出来五个之后，你还得在这排，所以 a 七五是它的分母， 那接下来分子是谁？分子是我的目标情况，我的目标情况是第五次白球才出现，那它有多少情况呢？首先我来看第五次，第五次白球出现俩白球，谁来呀？是不？两种情况啊？ 写上啊，是吧？好，那最后一次排完了，那前面四个是谁？那很简单，你其实不需要讨论到底这四个是两黄两红还是一红三黄，我其实这四个只要因为你，你就整体观了，你就大局观了， 这四个肯定肯定不是白球，是吧？那你是谁？那不就剩余五个选四个排在这，那不直接是 a 五四吗？听懂掌声，我不跟你搁这讨论到底几红几黄，反正呢，你前四次其实就是在剩余的这五个球当中选出来四个一四排列，五个里面选四个排列，那不就是 a 五四吗？那接下来，那如果是这个呢？ 一样的呀，所有情况七个不同里面选五个，在这站排 a 七五，目标情况我最后一次才出现红球，那红球有两个红球，到底是谁来？两种情况，然后那你最后一次出现红球，那前，意味着前四次不是红球，不是红球是谁？是剩余五个球当中选四个排在这，还是 a 五四。 最后分母七个里面选五个排列 a 七五。那第五次采取到黄球，黄球一共三个啊，是外一来这了还是外二来这还是外三来？这其实是三种情况吧。 三乘以来看前面啊，前面呢？那不能有黄球喽？不能有黄球是谁呀？就是这四个呗。那这四一共四个球，放在四个不同位置，那我直接全排列 a 四四楼，这就是我们的最后答案，他算出来，他算出来，他算出来，三种情况都可以最后再相加，答案是一百零五分之二十三。 所以这道题呢，跟我们呃前面的题目都有所不同。前面的题目我们都是在讲全概率公式，对吧？全概率公式强调的其实就是既有乘法又有加法。那我们这里面的乘法和加法连接的是什么？连接的是概率概率概率概率概率概率是吧？是概率之间的加法和乘法。但是有的题目 你如果进行整体观的时候，你不需要把它分五步，把五个概率相乘，然后最后再相加，而是整体计算情况数。我这里面其实也蕴涵着加法和乘法，只不过呢，我这个乘法前后乘的什么？乘的是情况数？ 大家做题，你千万不能太死板，这也就是为什么我们全概率公式我没有特别的详细的去让大家背那个公式。因为有的时候你像这道题，这有啥公式没？没有，关键是理解分类，最后用加法分布。我在这怎么分布的？最后一次，我先讨论一下他有几种情况，然后呢，再讨论前四类分布。用乘法 相当于我并没有分五步，而是分了两步，第一步我先确定最后这个是谁，第二步我前四个一起确定是谁，你要是太细的分反而就麻烦了。那么以上就是有关全概率公式的全部内容。

今天我们来看一看条件概率与全概率公式以及被耶次公式这一部分的练习题。我们看第一题说某地中学生有百分之六十的同学爱好滑冰，百分之五十的同学爱好滑雪，有百分之七十的同学爱好滑冰或者爱好滑雪。 那么我在该地随地的随机调查一名学生，该同学爱好滑雪，这个同时也爱好滑冰的概率也是多少。如果该同学爱好滑雪，那么该同学爱好滑冰的概率，那么在这种情况之下，他指的就是在这个同学爱好滑雪的条件下， 那么这个同学也爱好滑冰的概率。我们可以假设滑雪为 a， 滑雪为 b， 那 么这个时候他让我们求的其实就是在 a 已经知道发生的条件下， b 发生的概率等于多少。我们首先要认清楚这样一道题， 那么根据题目中给的条件说百分之六十的同学喜欢滑冰，百分之五十的同学爱好滑雪， 我们根据我们所假设的滑雪的同学，他的概率是多大呢？是百分之五十，而滑冰的同学呢，滑冰的话，我们叫做 b， 是 百分之六十， 那么有百，那么这个时候有百分之七十的同学爱好滑雪，也爱好滑冰，也就是 a 加 b 或者 a 并 b， 他的概率是百分之七十。那么于是既爱好滑雪又爱好滑冰的同学，是不是就应该是百分之六十加上百分之五十，再减去百分之七十呀，也就是百分之四十， 那么这个时候只爱好滑冰的同学，其实你就可以得出来是百分之十，然后呢，这个只爱好滑冰的同学就只剩下了百分之二十， 现在那么这个时候他让我们求的是什么？在 a 已经发生的条件下， b 发生的概率，你可以用公式，也可以不用公式，如果说你用公式的话，那么这个时候你就是这样写，哎，就等于 a， b 同时发生的概率除上 a 发生的概率， a b 同时发生的概率是多少呢？那么这个时候，那也就是说同时发生的话，就是百分之四十除以 a 发生的概率是多少呢？是 a 的 概率是百分之五十，所以就等于五分之四啊，五分之四的话，也就是等于什么？零点八， 答案就选 a。 其实我们在课堂上也讲过条件概率的本质，它就是缩小了那么样本空间，那也就是在 a 发生的条件下 b 发生的概率，其实我们就是只需要考虑 这一部分，在 a 已经发生条件下，那么 b 发生的概率 b 发生只能是这么多。其实从直观上来看，你也知道是拿这个百分之四十就除以 a 整个的，这这 a 整个的这一块的概率除以百分之五十，其实你直接去看也能看得出来啊。这是第一道题， 那么第二道题说将四个不同的小球装入四个不同的盒子中，则在至少有一个盒子为空的条件下， 那么这个数恰好有两个盒子为空的概率是多少，那么这道题他把概率和技术原理结合在一起了， 那么这个数至少有一个盒子为空。如果叫 a 的 话，那么恰好有两个盒子为空，叫 b 的 话，其实我们计算的是什么？就应该是那么在 a 已经发生的条件下， b 发生的概率等于多少？ 那么这个时候我们说将四个不同的小球装入四个不同的盒子，那么这个时候他要求盒子可以是空的，也可以允许有空，盒子有多少种？这个方法呢？其实我们可以借着这道题顺便讲一下技术原理。我们说将四个不同的小球装入四个不同的盒子， 那么这个时候一共有多少种方法？如果说四个四个小球装入四个不同的盒子 没有任何要求的话，那么这个时候其实还是比较好算的，这个相当于是什么一个油心问题，将四封信投入四个邮箱中， 然后有多少种头发？那么这个时候其实就是第一个球有四种头发，第二个球有四种头发，第三个球有四种头发，对不对？那么这个时候一共是多少？四乘四乘四，再乘上一个四，也就是四的四次方，那么应该是多少？二百五十六吧， 那么这个数一共应该是四的四方，是不是应该是二百五十六度啊？那么这个数注意我们现在把这样一个情况啊，给他分开，一共是二百五十六度，说至少有一个空盒子的情况之下，他得有他这个值多少？ 那么这个时候我们想，哎，那这个时候我们可以其实可以把它分为四种情况，把它彻底理解透，那么这个时候我们可以把它这个盒子，然后这个分为没有空盒子、一个空盒子，两个空盒子，三个空盒子这四种情况来去分析。那么第一种的话，我们就说零个空盒子，零个空盒子， 也就是说四个盒子如果都不空的话，这个变成什么情况了？四个盒子如果说都不空的话，那么大家想一下，这个时候是不是就应该是一个，然后排列问题，现在相当于是一个什么？ 相当于他是一个分配问题，将四个人分配到四个地方，那我们只需要让这四个人和四个地方做一个全排列就可以了。那么这个时候其实就应该是 a 四，四出来之后就是四乘三乘二，再乘上一个一，那么这个时候出来之后二三六四六二十四， 那么这个时候一共是多少？一共是这个二十这么多。好，那么这个时候我们说，然后这个如果说是一个空盒子， 这个其实也是一个分割问题啊。当然你首先你得从这四个盒子里边拿出来一个盒子，它作为一个空盒子，那这个时候就应该是 c 四一。然后呢我现在将四个球投入三个盒子，这个时候应该怎么投？应该是一个，这个什么只能是把它分分做一个空盒子啊？只能是一 一二这种投法。因为四个球投出三个盒子嘛，只能是两个，有两个盒子放的是一个，一个盒子放的是两个。然后这个是我们说这样一个分配问题，我们先分堆再分配，根据我们上课所讲的这个数应该是什么？ c 四一乘以 c 三一乘以 c 二二， 因为有两堆个数是相同的，我们除以 a 二二，然后再乘上一个 a 三三等于多少呢？这里是四乘以四哦，四乘三除以二，再乘以 a 三三是六， 那么我们去约分一下的话，这个地方是三三三九四四十六乘上一个九，呃，六九五十四，然后一九一百四十四，应该是一百四十四种啊，那么这也就是说我们如果说这个时候他是一个空盒子的话，一共有一百四十四种方法。 好，那我们继续来分析，如果说是有两个空盒子 那一样的道理，两个空盒子的话，那么这个时候大家想一下，那么这个时候你首先你肯定要从四个盒子里边挑出两个盒子作为空盒子吧？ 然后呢这个时候四个球放入两个盒子，它就有两种方法了，要么是一加三，一个盒子里放放一种，一个盒子里边放一种啊，放三个，还有一种是什么呢？二加二。 那么这个时候注意，我们现在去做的时候就是一个分配问题了，那这个时候我应该是怎么办？先分堆再分配，这个时候先分堆的时候应该是 c 四一乘以 c 三三 除，然后这个这个时候又因为这两堆个数不一样，我们就没必要再去乘以什么了，再去这个除以 a r 二了啊，这就是 c 四一乘上一个 c 三三，然后呢这两堆和两个盒子之间行政权排列乘以 a r 二，然后呢再加上 这个时候呢还，然后如果是二加二，这种情况应该是什么？ c 四二乘上一个 c 二二，然后呢？因为有两个个数相同，我们除以 a r， 然后再乘以 a r， 那 么在这种情况之下，好了，我们看它有多少种方法。在这的时候，大家看这里是 c 四，一是四，呃，这是二，四得八，八加上一个 c 四，二是六， 六除以二是三，三，二三得，呃，三的话，咱们这个时候啊，这四啊就是六了。八六十四十四乘上一个 c 四二 c 四二十六，四六二十四，呃，一六八十四，一共有八十四种方法啊。好，那么这是两个空盒子的数，如果是三个空盒子， 那这个时候就简单了，你三个空盒子就相当于是什么只有一个盒子，你把相当于把这四个小球放入一个盒子中去了，那这个时候我们只需要从四个盒子里边挑三个盒子出来， 这三个盒子是作为空盒子出出现的，然后呢，你把所有的球一股脑放到这一个盒子里边去就可以了，所以它只有这个什么再乘上一个一啊，那这个时候就应该是四有四，一共有四种方法 好了，那么总共是二百五十六种方法，因为我这个就数算错了啊，十六乘以十六六六三十六等于九一六一，二百五十六啊，没问题啊，别算错。好，那现在的时候，这个时候我们看一下啊，那么我们在 a 发生条件下， b 发生的概率至少有一个盒子为空，有多少种方法？或者他的概率是多大？ 至少一个盒子为空，其实就是二加三加，呃，就是二，我这里分析的二加三加四，对不对？那么他的概率啊，至少 pa 等于什么？ p a 就 应该等于，然后总共是二百五十六，分母是二百五十六分子呢，应该是一百四十四，再加上这个一百四十四，再加上一个什么，这个八十四，再加上一个四。当然我们用用这个， 如果说我们用这个什么间接法的话，我可以简单一些，用减法啊。好，那么这个时候这里是二百五十六分之多少，呃，一百四十四，一百四十八，八十四，这样的话是二八四十二十三，二百三十二， 好，这是至少。然后这个时候我们再看，恰好有两个盒子为空的概率是多大？恰好有两个盒子为空的概率，那这个时候 p b 就应该等于，那这个数就是八十四除以二百五十六了。啊。好，我们现在要算的是在 a 发生的条件下， b 发生的概率其实就应该是什么？就应该是。然后如果说我们用公式计算的话，就应该是 a b 同时发生的概率除以 a 发生的概率， a b 同时发生，什么意思？至少有一个空盒子，然后呢？恰好和两个盒子为空，这两个同时发生，那肯定就是两个盒子为空了，所以它其实就应该是 p b 除以。什么除以 pa、 pa 呢？那么这个数我们说来分母都是分母都是二百五十六，那这个数 p b 除上一个 pa 的 话，其实就应该是八十四除以二百三十二。 我们约掉一个四的话，这里是二十一，约掉一个四的话，四五、二十四、八三十二，所以是五十八分之二十一就出来了。那么我们是借着这道题，顺便把我们之前讲的技术原理给帮大家复习了一下。其实我们还说过，就是说在这个条件概率里边，尽可能的， 然后这个什么去理解的时候，然后这个不要去用公式去计算，尽可能的用这个什么这个古典概念去算，他只是缩小了样本空间，你看在至少有一个盒子为空的条件下，就是二三四这个条件下，把样本空间缩小到这么多，问，恰好有两个盒子为空，其实是不就是拿这个 八十四直接除以这三个相加就可以了，能想通吗？那其实就是八十四直接除以这三个相加的话，就应该是什么二百三十二，然后也可以去做出来啊。好，这是第二题， 我们看第三题说将三颗头子各置一次，事件 a 是 三个点数都不同，事件 b 呢是至少出现一个六点，那么问条件概率，然后以这个什么这两个条件概率分别是多少？ 那么这个是我们平常经常做的题，是什么值两颗？一颗投资，两颗投资，那么这个是我们要清楚值两颗投资的话，它有先后的顺序。一般情况下两颗投资的时候，第一颗投资和第二个投资，我们如果去一一列举，往往是一一一二，然后一三一到一六，然后再是二一二二三，一直到二零。 那么这三个投资的时候呀，其实我们可以用坐标来表示， x、 y、 z 用坐标来表示的话，那么这个时候注意 x 代表的是第一个投资的点数， y 代表的是第二个点数的投资，呃，点数 z 呢？表示第三颗投资的点数，那么这个数我们想一下， 然后这个事件 a 它的概率是多大？我们可以计算一下啊，那么这个时候这个什么这三颗点数都不同，那么这个时候大家想总共这个 pa 总共会出出现多少种情形呢？ 那么这个数其实就是一个绕排列问题，相当于我们这三个点的坐标，它三个点的坐标都可以是一到六中间任何一个数，所以第一个数，第一个横到，这个横到 x 又有六种可能性， y 呢？有六种可能性， z 也是六种可能性，对不对？那三个点数都不同呢？ 那这个是我们先去看第一个，呃， x 如它有六个六种可能性， y 呢？这个时候剩下五种可能性， z 就 只剩下四种可能性。所以它出来之后呀，我们化解一下之后，然后把六约掉一个，呃，再把这个四分离掉，一个二的话是九分之五，这是 p a 说至少出现一个六点，我们先看一下概率 b 是 多少？至少出现一个六点，那这个数如果说啊，你要是用 呃直接去分类的话，相对来说比较麻烦。分母还是六乘六乘六分子呢？至少出现一个六点，他的反面是什么？他的反面是不出现六点，对不对？不出现六点，那这个时候我们其实可以怎么去算了？就是可以去这样去算啊，一减去这个概率就可以了。或者说，呃，我们拿这个一 这样写吧，一减去至少出现一个六点，那就是不出现六点呗。不出现六点，那这个时候大家想一下第一个情况，然后第一种他有多少种可能性？五种吧，因为这个时候他的点数是可以重复的啊，然后五乘五，再乘上一个五，对不对？ 好，那么这个时候他就应该是一减去三十六，乘上一个六多少？六六三十六，三六十八，二百一十六。啊， 那二十五乘一个五呢？七十五是吧？嗯，不对，五二十五，一百二十五啊，一百二十五。所以这个时候他就应该是二百一十六，分之二百一十六，减去一个一百二十五一，这里应该是九九十一啊。 好了，那现在的时候我们来看在 a 发生的条件下， b 发生的概率，那么这个第一先看第一个在 b 发生的条件下 a 发生的概率，这是什么意思？ 那么这个时候大家想在这种情况之下，也就是说，呃，这个我们首先要求什么啊？如果说我们要求这个用公式计算的话，就应该是 ab 同时发生的概率，然后这个什么再去除上一个 b 发生的概率，那我们我们看如果，那要不就先计算一下 ab 同时发生概率吧啊？ a 要求三个点数都不同， 那么 b 呢？要求至少出现一个六点，也就是说在出现一个六点的可能下，那么这个数怎么的？这个数还需要这个三个点都不一样，那好了，那这个它的概率就应该是六乘六乘六， 然后要出现一个六点，那么出现一个六点，那这个时候哪个位置出现一个六点呢？不知道对不对？那么这个时候还要点出都不同，那这个时候我们先挑一个位置让他出现六点，从两个位置里边挑一个位置，让他出现六点，来三个位置里边挑一个位置，让他出现六点啊。 c 三一， 这个点数放六，你肯定得有六点吧？然后呢在剩下的剩下这个两个位置，一个位置有五种选择，剩下一个位置只能有四种选择，所以出现了之后，那么这个数出来之后就是多少，呃，那么二三得六，这就剩下十了， 给他一个二，二三得六啊，不遇到一个六，这里也是三十六，那么这个时候我们说他就应该是遇到一个二的话，这里是五，这里就应该是十八，所以那么这道题我们看这道题应该是一个什么啊？这个题应该单选啊，我还以为多选呢。那么这个时候就应该等于 p a b 除以 哦， p b， a b 同时发生的概率。好，那这个时候 a、 b 同时发生的概率就等于十八分钟 十八分之五乘以，然后除以 p b， p b 是 多少？九十一分之二百一十六。 哎，那十八和二百一十六可能约一下不？那这个时候十八分之二百一十六，那就应该等于什么？应该等于这个约到一个三的话，三六十八，三七二十一，二三得六，然后再约一个六，就等于十二了。十二，哦，那就是应该是五乘以十二， 五乘以十二，那就是九十一分之六十九，十一分之六十了啊，所以那么这个在 b 发生条件下， a 发生的概率，那这个数就不用再算了， 是吧？因为第一个选项已经是，然后这个在 b 发生条件下， a 发生的概率已经是九十一分之六十了，这个时候直接选 a 就 走人了。在考场上，当然我们平时的话还是要把这道题给它算结束 好。那这个数的，这个是我们说在 a 发生的条件下， b 发生的概率呢？那就应该等于 a， b 同时发生的概率，除上一个 a 发生的概率，那这个数就等于什么？ 十八分之五乘上一个 a 发生的概率，那就应该是五分之九，哎，刚好等于什么？二分之一，所以答案就正确，答案就应该是选 a 把，这个千万不要选中 b 了啊，这一不小心选 b 就 非常可惜了。我们看例四说一份新高考数学试卷中有八道单选择题， 然后这个小胡对其中五道题是有思路的，估计是前五道吧，三道题完全没有思路，哎，这个小胡的水平也勾刺了，是不是吧？正常情况之下，新高号的题，呃，一到五算简单题，然后这个 六七算中档题，第八题才算是中档偏难题啊，不算特别的。那三道题完全没有思路，有思路的题做对的概率是零点九，还算还算不错。 然后没有思路的题只能猜一个答案，当然四个选项猜一个，那这个时候你猜对答案的概率肯定就是四分之一了。说小胡从这八道题目中随机抽取一道去做对的概率是多大？那么这是一个什么问题？能分辨出来吗？ 因为你从八道题目中随机抽取一道，那么这个时候你抽的有可能是钱，有可能是你有把握的，也有可能是你完全不会的，对不对？那么这个时候我们就把题分成两类， a 一， 叫什么？一、我们抽取的是一到五道题，就说五道题有四个题 有思路的啊，叫做有思路的，我抽取的是有思路的题 a 二，我们把它叫做没有思路的， 我抽取的是没有思路的题，那么这个时候现在说做对的概率 b 呢？这个叫做做对。 这个时候其实到这的时候大家能反应过来了吗？其实它就是一个全概率的事件，那么这个时候它应该是这样一种感觉啊， 是两个，两种情况， a 一、 a 二，我们尽可能的把它往我们这个已经学过的这方面去转这个数，这里是 b， 所以 p b 发生的概率啊，就等于。然后这个什么 p a e b， 什么 a e b 代表什么意思？你选的是有思路的题，而且还做对了， 加上一个 pa 二 b， 也就是我们把 b 分 成两个彼此互斥的事件， a 一 b 和 a 二 b， 那 么 a 一 b 怎么算呢？那这个数就是 pa 一， 再乘上一个在 a 一 发生的条件下， b 发生的概率，加上 pa 二， 然后再乘上一个 p， 在 a 二发生的条件下， b 发生的概率。好了，那么这个时候，那我们说它就等于什么？它就等于 p a 一， 你选择的是，这个时候你要选择有思路的题，它的概率是八分之五，再乘上一个零点九啊，零点九啊，也就是十分之九了， 再加上一个 p a 二，就是八分之三了，再乘上一个在 a 二发生的条件下， d 发生的概率，那这个时候就应该是什么？四分之一，好，那么这个时候就出来之后就应该是多少呀？这是八十，我们约一下的话。哎，这个好像没办法约，是吧？呃，八 乘上一个十，乘一个四，四四十二，只能是八乘一个四，十乘十乘四，就这样，然后这个的话就乘一个四五乘九，五五五乘九，再乘四， 加上一个，然后这个八乘十，再乘四，那么这个再乘三，乘一个十，所以它就等于四八三百二，这里是多少？呃，二五一十二，就是一百八，一百八，再加上一个三十二百一， 那么遇到一个时，三十二分之二十一，还能约吗？约不了了吧，这个时候我们答案就选 c。 好， 这是前四道题好了，呃，我希望我的讲解能够对大家有所帮助，好，下课。

今天我们来学习条件概率。在学习条件概率之前，我们先明确什么是古典概型，这是我们在高一的时候学习的问题。首先古典概型要满足两个特点，第一个特点是它的样本点是有限的， 有限的样本点。第二个特点是它的每个样本点是等可能的，这个是古典概型。然后古典概型的概率的计算公式， p 是 等于 n 分 之 k 的， n 指的是样本空间中的样门店， k 指的是某件事情所发生对应的样门店的个数，也就是这个事发生的样门店的个数比上样本空间中的所有样门店，就是古典概型发生的概率。那么我们来看三个红包中有一个红包有奖， 现由三名同学进行选择，则第一名同学没有中奖的概率。现在有三个红包，三个红包里有一个是有奖的，那就有两个是无奖的， 那这就是一个古典概型。总共有三个样门点，三个样门点每取出每个红包的概率都是相等，都是三分之一，那我要求没中奖的概率， 那没中奖的概率就等于样本空间中的样本点分之。这件事发生没中奖。这件事发生的话，对应的是两个样本点，两个红包都对应没中奖，所以没中奖的概率是三分之二。 那这就是一个古典概型的问题。我们还没开始研究什么是条件呢？看第二问，在已知第一名同学没有中奖的条件下，好， 那么我们的第一个关键词就来了，我们怎么判断一个题，他考你的是条件概率还是古典概型呢？ 第一个典型的特征就是你看他有没有触发关键词，如果有关键词在谁谁谁的条件下，那说明他就是一个条件概率。然后我们接着往下读，已知第一名同学没有中奖，也就是他三个红包，他拿出了一个没有奖的红包， 然后第二名同学中奖的概率，三个里拿出一个没有奖的，那剩下两个红包，一个有奖，一个没奖，那第二名同学中奖的概率就是样本空间中现在两个样本点有一个是中奖的，所以概率是二分之一。那么 这个方法就对应我们学习第一个条件概率的方法。第一个方法叫做缩小样本空间法，也就是 我们最开始样本空间中是有三个红包的，我们最开始样本空间中是有三个红包的， 所以我们做第一名同学抽红包的时候，概率是三分之二，而第一名同学抽完了，抽完拿走了一个样本店，那在这种条件下，第二名同学再去抽他的样本空间实际上是 缩小了。所以说实际上我们可以根据这个语境去分析是否有样本空间样本点的改变，如果有改变了，我们可以不备用公式，直接通过这个语境去分析缩小后的样本空间对应多少个样本点，然后把它当做一个新的古典概型的问题去解决就可以了。 所以这道题第一个提示我们什么是条件概率，有条件下这样的关键词。第二个提示我们做条件概率问题的第一类方法叫做缩小样本空间法。好，我们再看这个 某班有四十五名学生，其中男女和团员的人数如下表所示，在班级中随机选一人做代表， 现在班级总共有四十五个人，那么样本空间中是有四十五个样本点的，且每个人被选到概率是相等的，这也是一个古典概型问题。括号一选到男生的概率是多少？ 那很明显这是古典概型吗？样本空间中四十五个样本点，男生总共有二十五个，所以取男生对应的是二十五个样本点，所以概率就是四十五分之二十五，依然没有涉及到条件没有关条件下没有条件的这个关键词。然后接着我们看括号二， 如果已知选到的是团员，那么选到男生的概率是多少？这个括号二虽然他没有明确的给条件下这几个字， 但是我们发现他说如果已知选到的是团员，我给他翻译过来就是在选到团员的条件下， 然后选到男生的概率是多少。那么在没有给明确条件下的这种情况下，你还有一个第二个方法去判断怎么是条件概率， 就是一句话里出现了几件事，如果一句话里出现了两件事，那么他很有可能就是一个条件概率的问题。比如说我们看对括号一 选到的男生的概率是多少？选到男生就选到男生这一件事，一件事不可能产生条件呢？所以说他就是一个普通的古典概性。然后括号二如果已知选到的是团圆， 团圆选到团圆是一个事，选到男生又是一个事，这一句话里出现两个事了，所以他就是一个条件概率。那根据语境结合语境再分析下，这就是个条件概率的问题。然后接着我们采用刚才的方法，就缩小要某空间的方法， 那么如果已知选到的是团员，那么样本空间就缩小到团员上了，所以样本空间中的样本点分支是团员，且是男生的样本点，等于样本空间中的样本点。是 啊，三十个团员，然后现在选到的是男生，选到是男生，那就选到了男团员里的男生十六。所以说通过缩小样本空间，咱们又把这个条件概率求出来了。然后我们考虑这样的一个问题啊，假如我射 取出团圆为事件 a， 取出男生为事件 b， 那 我这个题它是个解答题啊，在解答题的条件下，我是需要把 符号和事件相对应的，所以说我现在要把这个事件全都设出来，那已知团员为 a， 男生为事件 b， 我 应该怎么去书写？在选到团员的条件下是男生的概率呢？我们的输选方法就是这样的，在 团员的条件下选到的是男生的概率，我们用这样一个符号去书写。怎么记？大家可以用分数的这个思想去记， 咱们写分数，比如说三分之二，我会写成三分之二，我也可以写成三分之二，这样去写。那我读的时候怎么读的？我从右往左读的，我读三分之二，我读三分之二。同理，条件概率你怎么去记？谁是条件就和分数是一个思想，是从右往左读 的，在 a 的 条件下发生 b 的 概率，然后大家把这个条件和事件给他写反了啊。然后接着刚才我的公式是， 下面我是取到的是团员的样门店，然后上面取的什么呢？上面取的是男团员的样门店，我可不是取的是男生啊，是取的是男团员，在团员的条件下取男生，所以是个男团员。男团员用这俩事件去写的话，那就是 既是团圆，又是男生，也就是 a 和 b 的 交界。那现在我用样本点能够把在 a 的 条件下， b 发生的概率求出来。如果我对这个概率进一步往下推倒上下，同时除以这个样本空间中的样本点，那就得到了 n a b 比上 n omega 比上 n a 比上样本空间中的样本点，它就等于 p a b。 下面 a 发生的样本点比上空间中的样本点就等于 p a。 所以 我们在这就得到了条件概率的计算公式。条件概率的计算公式就是 p a 的 条件下， b 发生等于 p a， b 比上 pa， 这就是条件概率的计算公式。那接着我们进一步给他往下推导一下，我可以把这个 pa 移到左边，那就得到了 p， 那就得到了 p a b 等于 p a 乘上 p b 杠 a。 那 有的同学发现了这个东西，我在高一的时候学过，我高一的时候学的时候我是 p a b 等于 p a 乘 p b。 呀， 为什么到这又多出了个这样的东西呢？那实际上他的话是有限制的，我们说相互独立事件可以用这个式子去做，但如果两个事情他不是相互独立的，那么我们就得到了第二个乘法公式，也就是条件概率的乘法。

同学们好，又来到小吕的数学课，今天我们学习的是第七章随机变量及其分布列七点一点二全概率公式 一、结合古典概型了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程。 二、理解全概率公式的形式，并会利用全概率公式计算概率重点和难点。三、了解贝叶斯公式以及公式的简单应用。 抽奖游戏，掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上去一号箱抽奖，反面朝向去二号箱抽奖。 一号抽奖箱里面是有三张一等奖和七张无奖，而二号抽奖箱的话呢，有一张一等奖，九张无奖。 思考，随机一位同学参与游戏，最终抽到一等奖的概率是多少呢？ 追问一，抽到一等奖只和一个箱子有关吗？ 追问二，去一号箱、二号箱的概率分别是多少？ 追问三，在一号箱、二号箱中抽到一等奖的概率又分别是多少？ 追问四，能不能把抽到一等奖猜成是至正面且在一号箱中奖，加至反面且在二号箱中奖， 这就是本节课要学习的全概率全概率公式。 问题提出，再看一个与导入中类似的问题， 探讨从有 a 个红球和 b 个篮球中的带子中，每次随机摸出一个球，摸出的球不再放回，所以不放回摸球。 显然第一次摸到红球的概率为 a 加 b 分 子 a。 那 么第二次摸到的红球的概率是多大呢？如何计算这个概率呢？ 我们可以知道，第二次摸到红球的他是受到我们第一次摸到球的影响。 比如，如果第一次摸到红球，那就影响我们第二次也摸到红球的概率，同样，如果我第一次摸到是篮球呢？他也会影响我们第二次摸到红球，那么接下来我们怎么去计算这个概率呢？ 首先我们来看一下怎么去射，我们这个世界第一次摸到红球，第二次摸到红球，那么这里可以射我们红的话，用红色大写 r， 我 们射这个 r i 是 等于第 i 次摸到红球， 第 i 次摸到红球， 好，我们这个篮球的话用 b， 那 么 bi， 它是指第二次摸到篮球， 那么所以很明显我们球的是第二次摸到红球的概率，那么此时 p r 二 第二次摸到红球的话，它受到的是第一次可能是摸到的是红球， 或者是什么呢？或者是并上，并上的是我们第一次可能是摸到的是篮球，篮球的是 b 一 乘 r， 那 首先的话呢，第一次摸到红球以及第一次摸到篮球，这两件事情是两两互斥的，它们不可能同时发生 啊。并且呢，第一次摸到红球和第一次摸到篮球这两个事件并并集啊，并集刚好是等于 omega 啊，这个 p r e 啊，并上 pi， 因为它们两两互斥，然后呢，它有 a 个红球， b 个红球，那它概率加起来就是我们等于 omega 整一个样本空间。 好，那么由这个并结的话呢，那我们就可以得到是，呃， p r 一 r 二加上 p b 一 r 二 啊，这个不就是我们乘法公式吗？这个是加法啊，所以这里是由啊概率的加法和概率的乘法公式。那么这边就等于什么呢？这个是什么呢？这个它是等于啊 p r e 乘以 p， 它在啊 r 一 第一次是红球前提下，第二次摸到红球的前提下发生的概率，再加上 p b 一 乘以 p 啊， r 二杠 b 一， 那就等于 p r 一， 就是指第一次摸到红球，第一次摸到红球的概率为 a 分 a 加 b 分 子 a， 在第一次摸到红球的前提下，那么第二次摸到红球概率是多少呢？那因为你第一次已经摸到了红球的话呢？犹犹豫不放回说的话呢？现在是啊，还有 a 加 b 减一个球， 只是样本空间，还有 a 加 b 减一个，那那只是第二次摸到红球的话呢，因为你已经摸了一个红球了，那留下来还有 a 减一个红球， 再加上 b b 是 什么？第一次摸到篮球的概率，那总共是 a 加 b 个样本点，那有 b 个篮球啊，再乘以 已经摸了一个球员不放回的话呢，此时样本空间为 a 加 b 减一个，然后呢？啊，第一次摸到篮球的前提下，第二次摸到红球的概率是多少？那么第二个红球的话呢，说明还有 a 个红球就分子 a 了，那把它带进来我们看一下 啊，这个是分子，是 a 乘以 a 减一，再加上 a 乘 b， 好 分母的话是 a 加 b 乘以 a 加 b 减 e， 那 分子的话，提个 a 出来，得到的是 a 乘以 a 加 b 减 e， 那 跟五啊，跟我们看一下啊， 发现这两个字可以约掉的，那得到的就是 a 加 b 分 子 a， 那 我们发现第二次摸到红球的概率，就是求出这一个跟我们第一次摸到红球概率，它们这两个概率是一样的 结论，因为我们这里的抽签是具有公平性，所以第二次摸到红球的概率也应该是 a 加 b 分 子 a， 那 如何证明这个结论呢？刚才我已经证明了啊 啊，证明射，我们用 r i 来表示的是第 i 次摸到红球， b， i 表示的是第 i 次摸到篮球，其中 i 次等于一二。 首先的话呢，啊，事件 r 二为第一次可能摸球的结果，红球或蓝球表示为两个互斥事件的并事件。 我们可以利用我们概率的加法公式和乘法公式得到 总结。上述过程采用的方法是，我们按照某种标准将一个复杂事件表示为两个互斥事件的，并再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件 a。 一 般的设 a 一 a 二 a n 是 一种两两互斥的事件， a 一 并上 a 二并上 a， n 等于 omega， 并且 pai 代领 i 等于一二到 n， 则对任意的事件 b 包含于欧米伽有 p b 等于四个码 i 从 e 到 n， pai p b 杠 a i。 我 们将上面的公式为全概率公式，这个全概率公式是概率论中最基本的公式之一。 第一，全概率公式使用条件，那全概率使用条件的话呢？什么情况下会使用全概率公式呢？那满足以下三点。那么第一点的话呢，就是它是从样本空间来说的， 就说使用全概率公式，首先它应该满足一个完备事件组， 那这个完备事件组是怎样呢？它满足前面两个， 第一个就是我们啊四键两两之间的，四键是两两互斥的，就说它们是没有交集的，交集是为零的，那说明四键之间是不重叠的， 并且它们四键的并集是等于 omega， 并集是等于样本空间，那么就是全覆盖， 那么还加上一个点，就是我们的这个非凝性 归零式是什么呢？就是我们这个事件，每一件事件的发生的概率一定是要带领这件事情都可能发生， 并且呢，这些事件发生的概率之和要等于一，且 sigma i 从 e 到 n p a i 的 和等于一的概率之和等于一。 那么满足以上四个特点，那我们就可以利用全概率公式。 全概率公式的一个特殊情况， 并且对全概率公式的一个理解。 一、事件 b 发生可能有多种原因，如果事件 b 是 由原因 ai i 是 等于一二 n， ai 是 两两互斥，构成了一个完败事件所引起。 你看完备事件，首先是啊，事件两两之间是两两互斥互斥，并且它们的并集式等于 omega 就是 全覆盖，则事件 b 发生的概率是 pai 等于 pai 乘以 p b 杠 a i 二、每一个原因都可能导致 b 发生，所以故 b 发生的概率是由各原因 ai 引起的 啊。 b a i i 等于一二 n 发生的概率总和，即全概率公式三。由此可以形象地把全概率公式看成为由原因求结果，每个原因对结果的发生有一定的一个作用， 即结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关。 一、判断正误，正确的写正确，错误的写错误。一。前概率公式为概率论中的重要公式， 他将对一个复杂事件 a 的 概率求解决问题转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题。求和问题是对的，不同情况下就是不同原因呗。那我们也是刚才是由原因引出的一个结果，那这个是对的。 二、所研究的世界事业前提或前移步骤有多种可能，多种原因，在这多种可能中均有所研究事件发生，这时要求所研究事件概率就可以用全概率公式是对的。 三、全概率公式用于求复杂事件的概率是求最后结果的概率是对的，最终是求结果。 四、乾卦列公式样本空间欧米伽中的四件 ai 需满足的条件是，它应该是，呃，样本空间当中的四件 ai， a 一 并算 a， 二并算 a n， 它们的并集是等于欧米伽，并集等于欧米伽 啊，这里四个码，四个码是求额，不是求和，所以这也是错的。 五、 pa 带领 pa 把带领事件 a 和事件 a 把，这两个事件首先是互斥事件的，而且它们的并集是等于一的，满足我们呃，全概率公式的条件，可以用概率公式，那就可以，这个是可以利用概率公式，这个是对的。 应用新知，例四、某学校有 a、 b 两家餐厅，王同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去 a 餐厅，那么第二天去 a 餐厅的概率为零点六。 如果第一天去 b 餐厅，那么第二天去 a 餐厅的概率为零点八。计算完同学第二天去 a 餐厅用餐的概率，所以从这里话呢，啊，这个完同学第二天去 a 餐厅用餐的这个结果，他受到了第一天 去 a 餐厅或者是第一天去 b 餐厅的一个影响。那第一步的话，我们就设事件第一天去 a 餐厅，还有第二天去 a 餐厅，那么这里的话，我们设这个 ai 为第二天去 a 餐厅 啊，这个省内不选。那么第一天去 b 餐厅以及第二天也去 b 餐厅的话呢？那我们记为 b i， 这里的 b i 是 指第 i 天去 b 餐厅 啊，这个设置事件已经设好的，我们看一下我们要求哪一些结果的概率。第二天去 a 餐厅的话就是指 p a 二， 那么 p a 二等于什么呢？它首先它是等于，呃，有可能是第一天去 a 餐厅就 p a 一， 再乘以在第一天是去 a 餐厅的前提下，第二天去 a 餐厅的概率再加上啊，第一天去 b 餐厅就 b 一 乘以，而且是 a 二杠 b 好 带进来好。第一天去 a 餐厅以及第一天去 b 餐厅，它们的概率是一半的，就零点五 啊，那么啊，他说第一天去 a 餐厅，第二天去 a 餐厅概率为零点六，那就乘零点六，加上零点五乘零点八，那就等于这个是零点三，加上零点四等于零点七。 分析第二天去哪家餐厅用餐的概率受第一天在哪家餐厅用餐的一个影响， 可根据第一天可能去的餐厅，将样本空间表示为第一天去 a 餐厅和第一天去 b 餐厅这两个互斥事件的并集，利用全概率公式求件， 令事件再求概率，就是待公式即可。 总结前概率公式求概率的方法步骤一，设事件，把事件 b 就是 结果，事件看作某一过程的结果，把 a 一 a 二 a n 看作导致结果的若干个原因。 求概率，由已知写出每一个原因发生的概率 ppai， 且每一个原因对结果的影响程度，记 pb 杠 ai 三代公式，用全概率公式计算结果发生的概率记 pb。 第二，假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示，在该市场中，任意买一部智能手机，求买到的是优制品的概率， 我买到这台智能手机的话呢，如果它是优制品，优制品这一个结果， 它可能来源于以三个品牌，要么是假品牌，要么是以品牌，要么是其他品牌受到这三个品牌的一个影响。 那这样的话呢，那我们就可以设事件了，假品牌，这个是记为事件 a a 一， 这个以品牌记为 a 二，其他品牌的话呢，我们记为 a 三 a， 那 么优质品的话呢，记为我们事件 b， 买啊，买到优质品的这个事件即为事件 b， 那 就 p b 呗。 那 p b 的 话，它受到了我们三个因素的一个影响，那么得到是，首先是 p， 可以 是来到是啊，假品牌的好，在假品牌前提下的一个优质，那就是 p b 杠 a 一， 再加上 p a 二，来自于品牌的，再乘以 p b 杠 a 二，再加上 p a 三，乘以 p b 杠 a 三。 好，我们看一下啊，这个假的话，市场占有率的是，呃，百分之五十就零点五 好。如果我的这台手机是来源于假品牌的话，那它的优质率是零点九五，那就乘以零点九五 啊，再加上啊，那乙的占有率是零点三，加上零点三，那如果来自于乙的话，它的优质率是乘零点九 好，加上零点二乘零点七，那最终将这个结果算出来，就是买到优这台智能手机是优质品的概率 解析，用 a 一、 a 二、 a 三分别表示，买到智能手机为假品牌，以品牌其他品牌的事件， 因为我这个智能手机买到假品牌，我只买一台吧，那这假品牌一亿品牌其他品牌。这三个事件是属于两两互斥的，不能同时发生的， 而且市场上呢，只有这三个品牌，所以它们的并级干扰是等于欧米伽，那么所以你看并级等于欧米伽，两两互斥，那这个是符合我们晚辈事件组 设四件 b 表示买到的是优质品的四件，那根据那个表格，我们把 pa 一、 pa 二、 pa 三以及在 a 一 条件下 p b 的 影响的概率， 因此由全概率公式有，那求下来是百分之八十八点五。

呃，同学之间呢，相互讲讲题啊，答答疑，这这个交流的比较多是吧？然后家长和老师督促的比较比较严格，这学同这同学学习成绩进步了，他有好多种原因， 我把这些原因发生的概率都计算出来之后呢，我就能算出来他学习进步的概率。好了啊，下面呢，我们再说第三个全概率公式。 全概率公式啊，全概率公式是我们在这个古典概型里边讲的加法原则啊， 想一下当时我们讲加法原则是怎么讲的啊？说一个事件 a 发生呢，它可以看作是若干种互斥的情况，可能是 a 一 发生了，可能是 a 二发生了，可能是 a 三发生了， 那么 a 发生的概率呢？就可以看作是这些互斥情况发生概率的加和 p， a 一 加 p， a 二一直加加到 p 啊，就是加法原则。那么这个原则呢，它本身也有一些问题啊，现在呢，我们这个全概率公式呢，就给了一种更为规范的计算，它的问题是什么呢？ 我把这个事件 a 发生化分为若干种互斥的情况，这个划分的时候呢，你得保证它是不重不漏的 啊，也不能有一种情况我没算到，也不能情况，我算了两次，这个都不行啊，我怎么把它划分重化分成这个不重不漏的若干个事件，这就是一个比较难的问题了啊。现在为了解决这个问题呢， 我们先给出一个定义啊， 这个定义呢叫划分，它也叫完贝事件组， 也叫完贝事件组啊，现在我们看什么叫划分啊？说我现在呢有 n 个事件， a 一， a 二到 a n， 它们满足下面的两个条件啊， 这 n 个事件呢，满足下面的两个条件，第一个条件 叫两两互斥啊，也就是任意两个事件彼此之间都是没有交集的啊，叫两两互斥。 第二个条件呢，是我把这 n 个事件并在一起，恰好可以并这个样本空间 omega， 也就是 a 一 并 a 二，一直并并到 a n， 恰好是整个的样本空间 omega 啊。如果这 n 个事件满足下面的两个条件，则称 a 一、 a 二 a n 为一个划分啊，它就是样本空间 omega 的 一个画。 这个划分呢，理解起来是很好理解的啊，我们来看 这呢，有一个样本空间 omega 啊，你就想呢，它是一张 a 四的纸，然后你呢，把剪子啊，随便给它剪几刀，随便剪啊，愿剪成多少碎片，剪成多少碎片， 比如说我们给它剪成这样啊，这样写着剪两刀啊。这就出现了三个事件， a 一、 a 二和 a 三。 这个 a 一、 a 二、 a 三呢，就是欧米伽的一个划分了啊，你看他们之间呢，是没有交集的，你拿剪子都给剪开了，哪有交集啊，没有交集你把它拼在一起呢，哎，还能拼成原来这个完整的 a 四纸 啊，还能拼成整个的欧米伽，这就是样本空间的一个划分了。有了这个划分之后呢，我们就很容易把一个事件分割为若干个互斥的事件啊。 现在我们来看啊，我们呢，随意的写一个事件 b， 这就是这个事件 b 了，这个事件 b 呢，天然的就被分割成了几个互斥的部分吧，对不对？它就被分割成了 b a e 同时发生，这是一块 b 和 a 二同时发生，这是一块 b 和 a 三同时发生，这是一块，它天然就被分割成三部分了。你要这个事件 b 发生的概，那 就是 b 和 a 一 同时发生， b 和 a 二同时发生， b a 三同时发生啊，就是这样，现在呢，我们看这个全概率公式啊， 首先呢，我们设这个 a a 二 a n， 它是 omega 的 一个划分 啊。然后呢，对任意的事件 b 都有下面的结论， 这个事件 b 发生，我就把它划分成了若干种互斥的情况啊，它可以看作是 a 一 和 b 同时发生， 或者是 a 二和 b 同时发生，点点点，一直到 a n 和 b 同时发生 啊， b 发生，就可以被划分成 a 和 b 同时发生， a 二和 b 同时发生， a n 和 b 同时发生。那么根据古典概型里我们刚才讲的这个加法原，是吧， p b 呢，就可以写成 pa 一， b 加 pa 二， b 一 直加到 pa 啊，你这下边还得再算呢，是吧？还算完呢啊啊，那这 p a b 咋算呢？咱们讲乘法定义了吗？拿乘法定义算，它就是 p a 一 乘以 p b 杠， 再加 p 二乘 p b 杠 a 二，以此类推啊，一直加到 p n 乘以 p b 杠 a n， 这样呢，我们就给它一个更简洁的表达啊，用大 c 码连加式来表示，这就 c 个码， i 从 e 到 n， pi 乘以 p b 杠 ai， p ai 乘以 p b 杠 ai 啊，这就是全概率公式呢，最定义里边给的这个公式就最后一个，就最后一个啊， 这个式子啊，写的比较长啊，你说要背呢，他也不太好背是吧，所以说我的建议啊，就是这个式子，大家不要死记硬背啊，说我给他背下来是吧，做题的时候直接套用的，千万不要这样啊， 你只要理解了这个算法的本质，这个式子天然是不需要背的啊，你看一个事件必发生，对吧？ 现在呢，这就是根据这个，它就是三种情况， a 一 和 b 同时发生， a 二和 b 同时发生， a 三和 b 同时发生，那 p b 自然就可以写成 pa 一， b 加 pa 二， b 加 pa 三 b 嘛。 啊，这个式子是不需要背的吧，对吧？它天然就是成立的，然后 pa 一 b 咋算呢？这两个事件同时发生，你得用乘法定义算呢，就是 pa 一 乘以 p b 杠 a 一 了吗？这不就展开了吗？展开以后你正常计算就可以 啊。所以说这个定律呢，只要你理解它计算的本质了，它是完全不需要背的。你要这样去理解 下面这个例子啊，说某一种产品呢，它可能是由三个分厂生产的啊， 这个产品呢，我一共有十箱啊，它们呢 分别来自于 假厂、一厂和饼厂啊。假厂呢，有五箱， 一厂呢有三箱，饼厂呢有两箱， 有两箱啊。呃，这个就是比如说同学们买那个呃，可乐呀，或者方便面呢，你看后边那个生产厂家，他都有分厂 啊，比如说你买可口可乐，可口可乐长春有分厂，沈阳也有分厂，他不一定买分厂生产的啊。这个意思是吧？某产品共十箱呢，来自于三个分厂啊。那么这三个分厂生产的产品呢，都是有合格率的啊， 三个厂子合格率呢，分别是十分之九十五，分之十四， 还有二十分之十九啊，现在我从这十箱里边随便抽一箱，再从里边随便取一个产品来检查，求取到正品的概率啊，现在呢，我任取一箱， 然后呢在这个箱任取一件，求这个产品呢，是正品的概率有多大啊？就是这个小问题， 还是按照咱们前面说的啊，我先设定事件，然后呢再写出已知的概率是多少，我先写出来，再写出所求啊，我们先写出这事件， 我用 a 一、 a 二、 a 三来表示呢，这个产品来自于 假厂，假厂或者是饼厂啊， 然后用 b 呢来表示我取得的产品是一件正品，这件事用这四个符号就够了，用这四个符号啊，这是先把事件设定了，然后呢再写出已知啊， 这十箱产品呢，厂呢是有五箱，所以说我抽到假厂的产品，这件事发生率就十分之五，以此类推。抽到一厂产品的概率就是十分之三， 抽到饼厂产品的概率就是十分之二啊，这三个概率是已知的， 还有就是十分之九，十五分之十四和二十分之十九，这三个概率啊，十分之九呢是假厂的合格率，那么它是什么呢？这块是啥？这块是 注意这个啊，这块应该是 p b 杠 a 一， 这个产品呢是假厂的，这事我已经知道了啊，你知道它是假厂的产品，那这个时候那合格就知道了，合格率就是十分之九， 就是十分之九啊，这是这个概率，下边以此类推。如果这个产品来自于异常，前提我知道它是异常了，那这个时候它的合格率呢？就是十五分之十四了 啊。第三个 p b 杠 a 三，这就是二十分之十九，就是二十分之十九啊，这三个概率呢，我们要特别说一下，就是有的同学写的时候呢，是把它写错了， 写成这个概率， p a、 e b 等于十分之九啊，有同学这么写的啊，这个比较容易犯的错误啊。啊，他说，老师，你看，这没错啊，来自于假厂的产品，它的正品率是十分之九吗？ 这不是来自于假厂的正品吗？对不对？这不十分之九吗？这么说好像也没问题啊，不对， 产品来自于假厂这件事呢，我是事先知道。那么假厂的正品率是十分 啊，应该这么解读，这个 a、 e、 b 是 a e 和 b 同时发生两个事件。同时发生是指我先去抽样，抽到了假厂，这是一件事， 又从里边出了个产品这正品，这是另一件事，这事同时发生了，这显然不是十分之九吗？ 因为你抽假厂这个事，概率那不十分之五吗？你在这摆着呢吗？对不对啊？这个是产品本身就是假厂的，我都知道了，那这个他的合格率。是啊，应该这么去写啊，这是我们需要特别说的一个地方。 然后呢来看啊，第三个就是写出求， 现在他求的呢，就是这个产品是正品的概率，所以 p b 啊，抽到了正品就有下面的几种可能，第一种可能它是来自于假厂的正品， 第二种可能它是来自于一场的正品。第三种可能它是来自于饼厂的正品 啊，就这三种可能。这个也不用你背那个全概率公式吧，对吧？它天然就是这样的。那 p a、 e、 b 怎么算呢？你用乘法定底算呢？ 他是先抽到了假厂的这个箱，打开箱之后呢，又从这个箱里抽了个正品 啊，先抽到了假厂的这个箱，在这个箱里边又抽了个正品，这就出来了，下边以此类推，抽到了已厂的箱， 又从一场的箱里边抽了个正品。第三种可能是抽到了饼厂的箱，又从饼厂的箱里抽到了正品 啊，这自然就打开了，也是不需要背那个公式的。最后呢，把这个概率全部都套用进去就可以啊，六个概率呢，都是已知的， 那就是十分之五乘以十分之九，加上十分之三乘以十五分之十四，再加上十分之二乘以二十分之十九， 这就算完了啊。最后这个概率算完是多少呢？ 是二十五分之二十三，是这么大，是二十五分之二十三啊，这就是抽到正品的概率，这题就算完啊。最后呢，我们要强调一下啊， 第一个啊，这个全概率公式啊，它比较常用的公式是下面这个， 一个事件 b 发生呢啊，常用的情况是把它分为两种啊，一种是 a 发生 b 发生， 一种是 a 不 发生， b 发生啊。 p b 呢，经常被写为 p a 加 p a 逆 b， 这个时候这个样本空间 omega 呢，相当于只被划分成了两部分，左边是 a， 右边是 a 逆嘛，对吧？所以 b 发生呢，天然就被分成两部分啊，这是一种比较常见的情况啊。第二个， 这个全概率公式啊，它是一种典型的叫值因锁果 啊，是这样的一个算法。值因锁果的算法啊，也就 某一个事件发生呢，他可能有很多种不同的原因啊，很多种不同的原因，我把他发生的每一种原因都计算出来，都分析出来，然后通过这些原因 去计算这个事件发生的概率。这么算的啊，比如说说某个同学呢， 学习成绩提高了，学习进步了，那我就得想这是什么原因导致的呢？是吧？他有好多种原因，可能是同学自己天天晚上上晚自习，是吧，天天学习努力了。 呃，同学之间呢，相互讲讲题啊，答答疑，这这个交流的比较多，是吧？然后家长和老师督促的比较比较严格，这学同这同学成绩进步了，他有好多种原因，我把这些原因发生的概率都计算出来之后呢，我就能算出来他学习进步的概率 啊，这种典型的执因索果的算法啊。下面我们要讲的司公式呢，就正好是倒过来的，它是一种典型的执果索因的算法啊。咱们呢先休息一会，回来再接着说啊。