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同学们大家好,今天我们一起来学习二十七点二、反比例函数的图像与性质。首先我们来看本节课的学习目标, 一、进一步熟悉画函数图像的主要步骤,能利用描点法正确画出百比零函数的图像。 二、练习画出反比例函数的图像。三、逐步提高从函数图像中获取信息的能力,探索并掌握反比例函数图像的主要性质。 本节课的重点理解反比例函数的图像,掌握反比例函数的性质。 难点是对反比例函数性质的理解。首先我们来复习一下以前画函数图像的步骤。 第一步,列表列出各组对应值。二、描点仪表中各组对应值作为我们点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点。 第三步,点线用平滑的曲线顺次连接个点。 在上一节课中,我们学习了反比例函数的概念,当两个变量 x, y 之间满足 y 等于 x 分之 k, k 为常数且 k 不等于零的时候,我们称 y 是 x 的反比例函数。我们知道了反比例函数的表达是,那么反比例函数的图像是怎样的呢?我们怎样画出它的图像?这就是我们这节课要学习的内容。 首先,我们先利用我们的画函数图像的方法来解决 y 等于 x 分之六的图像。我们首先列表, 当 x 取一时, y 等于六, x 取二时, y 等于三, x 取三时, y 等于二, x 取四的时候, y 等于一点五, x 取六的时候, y 比一。我们在取点的时候,一般取整点也是取一些方便 计算出来的点,你比如这里边 x 得五, x 等于五,你就舍去了,那么我们在取点的时候还要注意,哎,坐标的对称性,要取正半轴,还要取负半轴, 当我们取好点以后,我们在坐标系中我们找出相应的点。 那么第三步,连线,在连线的时候,我们要用平滑的曲线顺势连接个点, 那这样我们 y 等于 x 分之六的图像就画出来了。 那么通过我们画函数图像,我们知道了 y 等于 x 分之六的图像,它是两只曲线组成的, 也就是反比例函数 y d, x 分之 k 的图像是由两条曲线组成,我们把这样的曲线叫做双曲线。 在画反比例函数图样的时候,我们应该注意哪几个问题呢? 首先第一个问题,在列表的时候,我们自变量取值,要选取一些互为相反数的值,这样既可以简化计算,又便于研究我们这个对称性。 二、在列表描点的时候,我们要尽量的多取一些数值,这样呢,你画出来的才比较准确, 我们在连线的时候也方便。第三步,连线时,我们要养成按自变量从小到大的顺序, 依次用平滑的曲线连接,在连接的过程中,我们要体会函数的增减性。 在上面画出反比例函数图片的时候,同学们发现这个图像与坐标轴 有焦点吗?对,是没有焦点的,那么为什么呢?因为 x 和 y 都不能取零,所以它不可能与坐标轴相交。 第二个问题,在画反比例函数图像 y 点 x 分之六的时候,如果我们仅取两个点,能画出它的图像吗? 对,是不能的,我们在以前学依次函数还有我们的正比例函数的时候,我们说零点去给一条直线, 但是我们的反比例图像它是两只双曲线,所以说呢,我们仅仅取两个点是不能够准确的画出 它的图像呢。 那么我们再研究一下 y 等于 x 分之负六的图形,我们还是通过描点 啊,我们去取值描点连线的方法可以做出 y、 d, x 分之负六的图像。我们观察所画的两个函数图像有什么异同呢? 我们 x 分之六的图像 是双曲线,它的两支分别位于一三象线, 而 x y 等于 x 分之负六,我们画完图像,发现它的两只曲线位于二四相写, 那么从而我们得出了他们的相同和不同之处。相同都是两只曲线, 不同的地方就是所占的象限不同。 y 的 x 分之六,它是一三象限, 而 y 的以 x 分之数六的图像呢,是二四相写,也就是它们的比例系数 k 决定了图像位于一三还是二四。 好,我们来看这个练习,在下图中哪个是反比例函数的图像呢? 都是两条曲线,那么哪只是反比例函数的图像呢?对,是第二只。 我们反比例函数的图像呢,他是两只曲线,而且他的两只曲线要么在一三象限,要么在二四象限, 不可能出现第一和第二消息的情况。 我们再来看反比 e 函数 y 等于 x 分之负的图像,大致是哪个呢?我们观察到 k 是小于零的,所以函数的两只曲线应该分别位于二四象限, 那么我们找应该是选择四 d。 那么我们来看第三个问题,小华他画了一个反比例函数 y、 d, x 分之四的图像,那你认为他画的对吗? 我们看图像发现小华画的反比例函数图像与 x 轴和 y 轴都相交了,那么这个图像是错误的, 我们说因为我们的自变量取值 x 不可能为零,那么 y 也不可能是零,所以我们的函数图像不可能与坐标轴有交点。 下面我们再来研究新的问题,反比喊出的图像是中心对称图形了。 什么是对称中中心对称图形呢?就是如果图像绕着某一个点旋转一百八十度,能够完全重合,那么这个图像就是中心对称的。比如我们的 直线啊,比如我们的正方形, 比如我们的圆,他照着某一个点旋转一百八十度,和原来图形重合 啊,正方形绕着他这个对角线的交点旋转一百八十度,也是能够完全重合的。那么我们的反比例函数图像是否是中心对称图形呢?我们以 k 大于零来看一下, 我们绕着某一个点旋转一百八十度,如果能够完全重合,那么就是主体对称都行。对,我们绕着原点 旋转一百八十度,发现第一只和第三只重合,而第三只就和第一只重合,所以反比例函数图像是中心对准图形,而且它的对称图形对称中心就是我们的原点。 那么我们再来研究第二个性质,反 p d 函数的图像是轴对称图形吗? 轴对准图形是指的是如果这个图形沿着某一条线对折,能够完全重合,就是轴对准图形,比如我们的线段 啊,我们的直线,比如我们这个直线,还有我们的正方形, 沿着啊,这样的线对折都能够完全融合,还有我们的圆,他们都是轴对准图形,那么我们的双曲线是不是呢?也是轴对准图形, 我们可以沿 y 等于负 x 进行翻折,我们还可以沿 y 等于 x 进行翻折,那么这图像都是完全重合的,所以它都是对准图形, 而且它的最低轴是 y 等于 x, 直线 y 等于 x, 或者是直线 y 等于呀负 x, 这是他们的 对称中。 好了,我们来看, 我们刚才已经知道了,当 k 大于零的时候,我们的函数图像是位于一三象限,那么我们再取 a、 b 两点,我们在第一之上取 a、 b 两点, 我们 a 点的坐标记为 x 一, y 一, b 点的坐标记做 x 二, y 二。那么我们看一下,当 x 二大于 x 一的时候, 我们的外值是越来越小, y 是小一点的,那么也就是能够判断出它是一个 y, c, x 的增大, r 减小。 我们再看第三只 c、 d 两点,我们取 c 点的坐标是 x 三, y 三, d 点的坐标是 x y 四,当 x 在增大的时候, 我们发现这个外值也是随着 x 增大而减小。所 所以我们就总结出,当 k 大于零的时候,在它的第一和第三象限内, y, c, x 的增大而减小。 那么我们再看第二种情况,当 k 小于零的时候,我们的图像是位于二四象限,我们同样取两个点, a 和 b, 我们发现当 x 在增大的时候, y 随 x 的增大而增大。 再看第四项线内,我们取两点, 也是 y, c, x 的增大而增大。所以我们就会得到这样的结论,当 k 小于零的时候,在它的每一个象限内, y, c, x 的增大而增大, 那这是我们反比例函数的增减性,当 k 大于零的时候,它在每一个象限 都是减的,而当 k 小一点的时候,那么它在每个象限里它的趋势都是增加的。 现在我们一起来总结一下双曲线的性质。首先双曲 线的,首先我们反比例函数的图像是两条啊,两只曲线我们称作双曲线。当 k 大于零的时候,这两只曲线分别位于一、三象限,那么 当 k 小一点的时候,则被于二十四小写对称性,两个分支都是关于圆点呈中心对称的,而且他们都是轴对称的。 再就是增减性,当 k 大于零的时候,它们在每一个象限内都是随着 y, c, s 收纳而减小。当 k 小于零的时候,在它的 每一个象限内都是 y, c, s 增大而增大。 好,我们现在来看一个例题,已知点 p 负六八。在反比例函数的图像上求这个反比例函数的表达式。 我们求表达式的方法一般都是用带定系数法,我们可以先设这个反比例函数的表达式是外的 x 分之 k, 然后我们把这个 p 点带入,就可以求出 k 是负的四十八,所以这个反比例函数就是 y 的 x 分之负的四十八。 我们再来看第二个,判断这两个点是否在这个 函数图像上,那么我们怎么判断呢?对,我们可以这样判断,我们把 m 的横坐标 x 等于四,带入 计算一下, y 此时是负十二等不等于 m 的纵坐标啊,如果相等则 m 在,如果不相等则不在。好,我们来看一下具体的解题过程, 我们发现当 x 等于二的时候,我们求解的外值是负二十四,而 n 的纵坐标是二十四,说明 n 不在这个范围内。函数相上,刚才我们学 学了一个重要的方法,就是判断一个点,是否在这个函数图像上,只需要看啊他的横空坐标是否满足我们的函数关系式,如果成立则在,不成则不在。 下面我们来看提升练习已知函数, y 等于 m 减二, x 的 m 方减二, m 减九次方是反比函数,且图像过一三相线求 m 的值。 首先我们先注意到是反比例函数,那么则它的指数应该等于几呢?对, 我们能知道 m 方减二, m 减九,应该等于负一, 那么我们解这个方程,我们可以解出来 m 一等于四, m 二等于负二。那么是否这两个值都符合提议呢?我们还要看进一步的要求。说图像经过一三象限, 什么时候图像过一三相像,对我们的比例系数,也就是 k 大于零的时候才行呢?那么 k 大于零,也就是要 求我们的 m 减二大于零,那么要求我们的 m 必须是大于二的,那么通过这个限制条件,我们就啊去掉了 负二这个值,也就说 m 的值只能是几呢?只能是四。 我们再来看第二个问题,说 u 与 t 乘反比,乘反比,那么我们就可以设 u 等于 t 分之 k, 然后我们再把 u 等于六, t 等于八分之一带入, 则 k 求出来是多少呢?对,是四分之三。所以此函数关于式,我们就可以写成 y 等于什么呢?四 x 分之三, 它的比例系数 k 是多少呢?对, k 是四分之三。 我们来看第三个题,当 x 小于零的时候,下列图像中有可能表示 y 等于负的 x 分之二的图像是哪一个呢? 我们观察到,首先 k 是小于零的,所以应该是位于二四小线 a 或者是 d 就不对了,那么又 注意 x 取值范围是小于零的,所以 b 舍去,我们此题答案选 c。 我们来看这个问题, 这是一个反比例函数的图像,此值 h 大于零的,我们拿这个来举例啊。 问题是 x 一和 x 二有什么关系呢?我们看一下, s 一指的是这个矩形的面积, s 二是这个 蓝色矩形的面积,那么这两个面积有什么关系呢?我们来看一下,如果我们设 p 点的坐标是 a, go 号 b, 那么 s e 面积就是 a 与 b 的乘积, 也就是我们的 a b c 数 k, 再看 q q 点 kill 所在的这个矩形是 s 二,如果我们设 kill 的横纵坐标是 c d, 那么它就应该等于 c d 的成绩, 那么也等于我们的比例修 k, 所以 s 一和 s 二的面积是啊,相等的, 那么我们看和 s 三的面积相等不相等呢?对,也是相等的。 那么我们再来思考,通过刚才我们的举例,我们看这个问题, 说反比例函数 y 等于 x 分之 k 上有一点 p, 它的坐标是 x 零, y 零过点 p 分别做 p, a 垂直于 y 轴, p、 b 垂直于 x, 四轴垂足分别为 a、 b, 则四边形 a、 o、 b, p 的面积是多少呢?对, 这是 k 大于零的时候,那么这个矩形的面积 是多少呢?对,也就是等于 k, 这是 k 大于零的时候,那如果 k 小于零呢? 对,那么矩形的面积就不可能是 k 了,因为 k 是小于了,那么是等于什么呢?对,等于 k 的绝对值 啊,因为此时它的横幅坐标一正一负,所以说呢,为了表达它的面积,我们写成 k 的绝对值。 那么我们再看 三角形, a o、 p 的面积,也就是矩形面积的一半儿,以及 p o、 p 的面积啊,它就应该都等于这个矩形面积的一半儿,也就是二分之 k 的绝对值。 同学们做这个练习,如图点, p 是反比例,还 函数, y 等于 x 分之二图像上的一点,且 b d 垂直于 x, 轴于 d。 问这个 p、 o、 d 的面积是多少呢? 我们通过刚才我们总结的规律,知道 p、 o、 d 的面积应该等于二分之 k 的绝对值。那么又因为此时的 k 是大于零的,所以面积是几呢?对,是一 本节课,我们学习了哪些内容呢?本节课我们首先通过描点, 我们取直描点连线,知道了反比例函数的图像是由两只曲线组成的,我们称之为双曲线。 我们还知道了反比例函数的图像是由 k 决定,当 k 大于零的时候,双曲线位于一、三象限, k 小于零的时候位于二四象限。我们还知道了反比例函数的图像具有中心对称性和轴对称性。 我们还研究了反比例函数它的增减性,当 k 大于零的时候,那么它在每一个象限里边都是减函数。 当 k 小于零的时候,它在它的每一个象限里都是增函数。 我们还知道了一个 k 的几何意义,就是 如果在反比例图像上取一点做 x 轴和 y 轴的垂线,所构成的这个矩形的面积应该等于 k 的绝对值。 同学们,这些知识你都掌握了吗? 我们看本节课的作业布置,课本一百三十三页 a 组的一天 二题以及 b 组的一题二题。一百三十六页 a 字段一题,二题,三题。选错题一百三十七页 b 组的一题、二题。好,同学们,谢谢你的收看,再见!
