复合函数单调性经典例题

如何判断复合函数的单调性？复合函数单调性判断和剥洋葱一样，只需要从字变量开始，一层层向外判断每部分的单调性，最终得到整体的单调性。 我们先看看这题，我们从 x 看起， x 分之一是反比例函数，在定义域内它是单调递减的，那么前面加上符号二减， x 分之一就是单调递增了，在外面加上根号，它还是单调递增的。最后，因为它在分母上， 分母越大，函数值越小，所以这个函数整体是单调递减呢？怎么样，是不是很简单？我们再看看这题，求这个函数的增区间。我们注意到这个函数的分母是二次函数，所以 fx 函数的增加 区间就是这个分母的单调递减区间。分母图像长这样，跟加此函数的之时，由于艾克斯平方的系数小于零，所以再定点，也就是艾克斯等于二分之三的时候取得最大值，那么他的单调递减区间就是二分之三，闹成无穷。所以这道题的答案就是他吗？ 不对，我们还需要注意到，分母不能为零，我们让分母为零解出来， x 等于四和负一，负一不在我们刚解出来的区间可以忽略，而四在这个区间里面，所以要排除掉。因此这道题目的答案长这样。

复合函数增减性同增一减来确定。今天我们讲一下在高考题目中出现的复合函数的单调性问题。首先，对于一个函数，如果它的结构能够写为 y 等于 f， 括号 gx 的形式，那么我们就称它为复合函数。如果我们把 gx 换圆成 t， 此时 y 等于 ft， 就称之为外层函数， t 等于 gx 就称之为内层函数。而处理复合函数单调性问题，我们一般使用同增异减的方法。如果在定义域内，外层函数 ft 与内层函数 gx 单调性相同，那么复合函数为增函数。 如果外层函数与内层函数单调性相反，那么复合函数为减函数，简称同增异减。下面我们一起看一下今年新高考 卷的第四题。已知函数 fx 在零到一上单调递减求 a 的取值范围。函数 fx 可以看成复合函数，其中外层函数为二的 t 次方，内层函数 t 等于 x 乘 x 减 a， 因为 fx 在零到一上单调立减，而外层函数二的 t 次方在 r 上单调递增。利用同增一减就可以确定内层函数 t 等于 x 乘 x 减 a， 在零到一上单调立减。又由于内层函数为二次函数， 图像在对称轴二分之 a 的左侧单调递减，那么区间零到一就应该在对称轴的左侧，所以一小于等于二分之 aa 的值大于等于二。我们再做一下二零年新高考二卷第七题。已知函数 fx 在 a 到正无穷 上单调递增求 a 的范围 fx 依然为复合函数，其中外层为对数函数 log t， 内层函数 t 等于 x 方减四， x 减五，其中外层函数在 t 属于零到正无穷上单调递增。 因为这道题目出现对数函数，我们要考虑定义域的问题，所以内层函数 t 的函数值要大于零，解得 x 范围小于负一或大于五。 再利用二次函数的图像，我们可以确定内层函数在负无穷到负一上单调立减，五到正无穷上单调立增。利用同增一减的方法可以判定 fx 在负无穷到负一上单调立减，在五到正无穷上单调立增。 所以条件中 a 到正无穷就为 f x 增区间的子级，解得 a 的范围大于等于五。