九上数学北师版反比例函数的几何

嗨，同学，大家好，这节课呢，我们又要学习新一章的内容了，函数部分的内容，聪明的你和老师一起来研究吧。我们这节课呢，先开始翻反比例函数的，第一节的内容就是认识一下反比例函数，认识一下反比例函数。 我们到目前为止呀，学习了，在八年级的时候学习了一次函数的内容，对吧？我们总共三大函数，一次函数、反比例函数和二次函数啊， 在这里呢，我们吃的是函数的第二部分。其实对函数本身的这个问题呢，已经不是那么陌生了，这节课的内容大纲呢，第一，理解领会反比例函数的意义啊，理解并掌握反比例函数的这个概念，会判断一个函数是否是反比例函数，再一个呢，是 会求反比例函数的表达式啊，表达式好，你看，呃，下列问题当中，变量间具有函数关系吗？如果有写出他们的表达式，那么请问，请问什么是函数关系，什么是函数？ 这个大家还记得吗？我们在学习一次函数的时候呀，其实首先给出的呢，是函数的概念啊，首先给出的是函数的概念， 当时所说的呀，是一般的，如果在一个变化过程当中，有两个变量 x 和 y， 并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值好，它对应，那么乘 y 是 x 的函数， 其中 x 呢，是自变量，对不对啊？这是我们当时学这个依次函数的时候的内容哈， 如果你这个函数本身的概念你都记不得了，那你就要翻回去再复习复习哈，学习学习函数的概念啊，对于字面量 x 的值，呃，这个音变量 y 都有唯一确定的值，和它相对应，那么它就是函数。 我们来看看这个江湖铁路全程呢，是一千四百六十三千米，某列某次列车的平均速度随着全程运行时间 t 的变化而变化， 速度乘以时间是不是等于全程？那一个铁路建好了，他的这个里程能发生变化吗？就不能发生变化了，对吧？啊？一四六三 发生变化，那么他的平均速度和时间呢？却在可以变化，对不对？如果我时间短，那速度就快吗？如果我时时间长一点的，速度就可以慢一些，对不对？并且 对于你看平均速度 v 随着 t 发生变化，那么 t 就是自变量吗？对不对？ t 就是自变量，那么你给给一个不同的 t， 那么是不是都有不同的唯一确定的 v 和他相对应，是不是？那么他肯定就是函数关系了， 函数关系了，而且表示出来的话呢，肯定是 v 等于什么？什么 t， 对不对啊？路程除以时间等于速度嘛。所以说呢，这个很简单啊，我在这里呢给大家说一下这个情况，有的同学呢，学习到现在这个阶段呢，他对函数这一函数本身的这个理解呢？他他已经忘记了 啊，并不是说他当时理解的有问题，是说在这里呢，已经不熟悉了，时间有点长。好，那么我们接着往下看，某住宅小区要种植一块面积为一千平米的矩形草坪，一千平米是不是就定了，对不对？那么草坪的长和宽的 这个之间的关系对吧？那么长，如果长的话，宽是不是就短了？宽长的话，呃，长就短了，短一些，对不对？而面积一千平米，这个不能发生变化了是不是？那么它的道理和上一个一样，它也是函数关系，也是函数关系， 其中 y 呢，长长乘以宽等于矩形的面积嘛，是不是？那么就 y 等于一千除以 x 啊？那么第三个呢，也是一样的啊，人均占有面积，人均占地面积，对吧？啊？那你总呃城市的总面积不发生变化，总人口发生变化了以后，那么 你的人均占有面积肯定也就发生了变化，对不对？那么我们这些式子列出来之后，他和我们前面的依次函数一样吗？ 根本不一样，是不是啊？你看他首先呢，他是一个呃分数的这样一个形式，是吧？他有分子，有分母，而且分母里面呢，有字母，是吧？啊，这大概的说一下哈，有字母，然后呢，这个，呃就是我们前面所说的分式， 是不是啊？分式啊，分式的内容，那么你看分子上呢，都是一个具体的数值啊，都是一个具体的数数值， 那么像这种样子，他又满足函数关系，又有这种特殊的形式，那么他是什么呢？他就是我们今天所学习的反比例函数。好，我们进一步对他进行总结观察。以上三， 呃，以上三个表达式，你觉得他们有什么共同特点？刚才这个我们已经说过了，对不对啊？都具有分式的这样一个形式，其中分子呢，都是常数啊，前面所说他都具有分式的形式呢，就代表了啊，因分式的概念，你也可以去回啊，这个复习一下是吧？ 啊，分式的这个概念里面就包含了他的分母上是含有未知数的是吧？是含有变量的。好， 那么在这里呢，此时我们就可以进行总结，一般的啊，如果两个变零 x y 之间相的的这个的对应关系可以表示为 y 等于 x 分之 k， 其中要求 k 为长数且 k 不等于零啊，可以表示成这种形式的话，那么就称 y 是 x 的反比例函数， y 是 x 的反比例函数。千万别弄反了，千万别弄反了啊，这是有顺序要求的。那么，呃，说到这里呢，那么，呃，这个反比例函数自变量 x 的取值范围呢？ x 在分母上， x 首先它不能等于零，对不对？不能等于零，剩下的基本上都可以啊，那么我们再一次对自变量的范围做一个说明，既然 x 在分母上，你就说了它是非零的实数啊，是正是负，是小数时正数 啊，这个都无所谓对不对，但是在具体的问题当中，你就要具体的去讨论了啊。具体的问题当中必须具体的去讨论，你比如说我的速度能是负的吗？我的时间能是负的吗？我的宽能是负的吗？不能对吧？不能，不能是负的啊，所以说呢，在具体问题当中呢，他有 一些具体的限制，而这个特点呢，我们来看看。我们当时啊，其实学一次函数的时候呢，学过正比例函数也是吧， x 扩大外也扩大， x 缩小外也缩小，对吧？ 回想一下哈，回想一下啊，我们把依次函数的内容呢，稍微的在脑海里过一下它的图像一条直线是不是啊？啊？一条直线，正比例函数的话还要过原点，还要过原点， 是不是啊？还有个圆点啊，呃，然后呢，它的性质呢？也会呃，因为这个 x 的系数啊，是大于零还是小于零？它的增减性啊，这些 东西呢？还有对称性，这些都是我们需要考虑的哈，都是我们需要考虑的好。而这个反比例函数的它的特点呢，就是随着自变量的扩大，其实因变量会缩小，是不是啊？因为呃分子定了之后，你比如说我们都说正的哈，我们都说正的，呃，分子定了之后，你比如说上面的一千， 这，你比如说我上面的一签订了，那么 x 如果越来越大啊，我们都说正直哈，都说正直 x 越来越大的话，那么 y 是不是越来越小， 对不对啊？呃，这个分数嘛，呃，分子不变，分母大的反而小，分母小的反而大，是不是啊？所以说它成这种反比例反比的这样一个反反比的这样一个呃内容，是不是啊？一个变大，一个反而呢在缩小，一个反而在缩小。 好，好，同志们好，这是呢？我们对这个内容呢进行一个说明。再一个呢，就是表达方式方面， 既然它等于 y 等于 x 分之 k， x 在分母上，其实我们在前面学习这个呃密的时候，还有除法的时候，是不是也有这种形式，就是 x 分之一啊？ x 分之一，它等于什么呢？它等于 x 分的负一次方， 对不对啊？那么这个是不是就可以转化一个形式啊？既然 x 在分母上，那么我们运用除法的这种形式，是不是也可以转化成 x 乘以 y 等于 k， 随便 x 乘以 y 等于 k， 好，这个呢？这样的话，我们解释解释，研究研究，我们就把呃反比例函数它本身的这个概念和它概 概念所延伸出来的一些知识点呢，就讲到了自变量的范围，还有他的特点，还有他的表达式对不对？还有他的表达式啊，而他的这个特点呢，我们最后呢还会研究，还会进一步的去研究啊，进一步的给大家去明确一下到底是如何去变化好， 那么既然我们知道了他的概念是吧，理解了他的概念啊，明白了他的自变量的这些范围和他本身的一些特点之外呢？最后呢，我们再看一下啊，确定反比例函数的表达是， 其实在我们学习意思函数的时候表达是呃，他是怎么来解决的呢？当时的方法就是待定系数法对不对？既然他已经规定了他就是反比例函数，那么我们就可以假设他的一般形式，假设他的一般形式 y 零 k， x 分之 k， 是不是？然后呢，把你已知条件往往都是知道一些点的坐标对不对？ 然后呢把这个对应的坐标呢带进去，求出来我们所需要的那个系数啊，带定系数啊，带定系数，然后呢？呃，解出来这个系数之后呢，那么这个 函数表达式就有了，你比如说这个式子是吧？假设它是 y 等于一， x 分之 k 等于二， x 零二的时候， y 等于六，带进去就能求出来 k， 那么所以说这个式子呢，因为反比例函数，我只要知道 k， 那么我的这个函数就可以表达了。 y 等于 x 分之十二， 那么当 x 等于四的时候，求外的值，那么就更简单了，我们把啊 x 等于四带进去，那是不是解出来外就等于三，那么这个式子就有了啊，就有了。 在这里呢只是呃帮大家回忆一下待定系数法啊。待定系数法，因为我们在依次函数，呃当时所学习的时候呢都非常充分啊，都非常充分。好，那么待定系数法的这个步骤呢，就是先假设 含有待定系数的这个反比例函数的表达式经已知的条件往往就是自变量与函数的对应值也就是一点的坐标或者什么的，对吧？代入的表达式得到关于待定系数的方程。第三个呢是那么你得到方程了能解方程吗？求助。待定系数的值，然后最后一呢你写出反比例函数的表达式就可以了， 就可以了啊。所以说这节课在知识点上呢并不复杂，并不复杂。一个呢是我知道什么是，呃他的概念，我知道他的定义欲还有他的一些特点啊，还有他的一些特点。 呃然后呢那么这个呢？呃我们的这节课呢就可以了啊，你只要知道什么是反比例函数以及简单的反比例函数的这个表达式怎么去解就可以哈，就可以。好，我们看一看练一练，你看就是会判断是吧，我们刚才的大哥呢，要 第二条是不是就是会判断一个函数他是不是反比例函数对不对？那么我们来看看第一个，第一个是是吧，刚才也说了，呃， k 这就是 k 的值吗？ k 的，然后呢 x 分之一写成了 x 的负 e 次方是不是我们看这个 那么这个呢也就是他的系数成了负的十一分之一是吧负的十一分之一，然后呢再乘以 x 分之一，是不是再乘以 x 分之一啊？他也是，对不对？他满足我们呃反比例函数的那个概念的要求啊？那么这个就不行了，因为他是 平方，对不对？如果他是写开的话，他也是负二次方，我我们本身呢，是负一次方，所以他不是。那么这个呢？你看这个的话，你看他成了什么了？他成了负三分之一 x 了，这是什么函数？正比例函数吧啊，所以他不是反函数啊，反比例函数啊。然后呢， y 等于三， x 减一，这是标准的 依次函数，对不对啊？所以说它也不是啊，所以说它也不是， 是不是很简单很容易去判断哈，从他本身的概念出发就可以了，同学们要牢牢的记住他的概念的要求啊，理解透彻，把我们所呃延伸的那些需要理解的地方呢，都可以标记在你课本的呃这个附近那或者你的笔记本上拿出来多看一看，举一反三的去看 好第二题。已知函数 y 等于 x 分之， k 减二，乘以 k 减一是反比例函数，那么 k 必须满足什么？ 既然我们下面的这个 x 都已经满足了，那么就关键看上面了。如果把这个上面的看成一个大 k， 我们对上面的这个系数，他的要求是什么？他不等于零，那么这个式子不等于零，也就是 k 不等于二或 k 不等于负一，对不对 啊？且不等于负一，对吧啊？ k 不等于二，且 k 不等于负一，不能，你两个都不能等于是吧？啊？都不能等于， 因为等于的话，他等于零，而我们在这个呃定义概念里面就要求他的系数不为零，是吧？好，第二个，当 m 等于什么的时候，他是反比例函数，他是反比例函数，他是反比例函数的话，得要求这里是一个什么？ x 的次数是多少？是负一吧。 那是不是你就会减了？ m 是一的话，它是负一，那么 m 就带着绝对值， m 是不是正负一啊？很简单啊，都是对概念本身的理解啊。 反比例函数，它也是反比例函数。那你也喊了， m 的平方减去 m 减去一，它等于零，哦，不对，它等于零来着啊，它等于一对吧？它应该在这里呢，它等于一，而 上面的 m 减二，它作为一个。呃，这个系数是吧？它不等于零啊，然后你去解这个就行了。这个解出来之后呢，是 m 是负一啊， m 是负一。 好，这里是不是很简单？因为我们有前面学习过的这个基础啊，这些知识点都是学习过的啊。你比如说了，这个叫什么来着？呃，解方程解不懂事。呃，然后呢？解这种次数的是吧？呃，这个叫什么来着？ 单项式对不对啊？这些内容呢，都是学过的。所以说我们在初三这个阶段呢啊，在这一部分至少是这节课程上呢，你会只要你的计算过关啊，计算过关，对概念理解正确，对反比例函数的概念理解正确。那么你在做这些题呢？很简单，很轻松。好 好，我们再看一看第三题，生活中有许多反比例函数的例子，下面的十例当中外与 x 成反比关系的啊。反比例函数关系的是 x， 人共饮水十千克，共饮水十千克，那么平均每人的饮水量 y 就等于十除以 x 嘛， 对吧？那是不是它就是反比例函数了啊？底面半径 x 高为 y 的圆柱形水桶的体积使者，那么水桶的体积怎么求呢？是不是底面积乘以高，那么它就成了 p r 的平方， r 是 x， p r 的平方再乘以高等于十，是不是？那么 y 等于什么呢？ y 是不是等于十除以 p x 的平方，这能行吗？这当然不行了，对不对？用铁丝做一个圆， 铁丝的长，铁丝的长是 x， 那你做成了一个圆，那是不是周长就是 x， 周长是 x 的话，那么 x 就等于周长。二派 r， 二派 r r s y， 对不对啊？那么你，那么我们在这里 y 等于什么呢？ y 是不是等于 x 除以二判，这是反比例关。呃，函数关系吗？不是，对不对啊？这是正比例函数， 对不对啊？这不是，那么第四个在水龙头前呢，放满一桶水，放满一桶水，这个就固定了吧。放满一桶水啊，你比如说我们来看上一个一啊，出水的速度是 x， 出水的速度是 x， 你比如说来一分钟，或者是 啊，一秒钟他能够出来多少多少水？你比如说这么一大，呃，一大块，或者是你给他一个单位多少升或者多少毫升什么的，对不对？然后呢，放满一桶水的时间， y y 是不是等于一除以 x 就行了， 是不是啊？ y 等于一，一比上一个 x， 是不是啊？啊？我除以你，我总总体啊，或者是如果你这个值能够确定的话，那么我这个值一确定，上面的就不变了。 y x 根据 x 的速度变化，那么 y 的这个时间呢？也会发生一个变化， 对吧？外也会发生一个变化。所以说呢，这个题呢，是第一个和第四个，是两个，是两个好，第四题，人的视觉机能受运动速度的影响很大啊，运动速度的影响很大，这个呢，是生活的这个常识问题 啊。呃，大家平时如果在做训练的时候呢，也会发现发现这个，那么行驶中，司机在驾驶室内观察前方物体是动态的， 对吧？我们在开车的时候，呃，外面的物体是不是在动态的？车速增加，视野就会变窄啊，视野就会变窄。当车速为五十千米每小时的时候，视野为八十度，如果视野 f 啊，视野表成 f 哈，视野 f f， 然后呢，是车速 v 的反比例函数啊，那么求 f 关于 v 的表达式，那你们说求表达式的吗？那么我带定系数法吗？ f 就等于 k 除以 v， 是不是这样的？因为 v 是 v 的反比例函数，那么 v 是自变量嘛？ v 是自变量，然后呢，当呃，这个车速是五十的时候，你说 v 等于五十的时候， f 等于八十，这样的话，你带 带出去是不是求出来 k 的值了？求出来 k 的值，那么你这个式子就已经有了。他问我们，当车速是为一百千米每小时的时候，就速度呃，求他的视视野的度数，那么你就再把这个位带成一百，是不是就求出来 f 了？ 是不是很简单，都是对概念和我们待定系数法的一个直接运用啊，一个直接运用， 明白了吗？同学们啊，明白了就好啊，明白了就好，不明白的呢，可以啊，再联系我，可以再联系我哈。 好，我们把这节课呢进行一个总结。反比例函数，其实呢，第一，呃，这一小节呢，就是认识一下反比例函数啊，反比例函数的概念啊，反比例函数概概念，自变量，它的一些特点，它的三种表达形式， 表达方式。再一个呢，是求他的这个表达式啊，带点系数法。再一个呢是还有一个呢，是说建立反比例函数的模型啊，有的同学呢，说老师这个看起来好高大上的样子，一提到模型， 其实呢，不用不用担心哈，因为就是他的简单应运用，你比如在一些应用题里面有反比例函数的这种题，是吧啊，求出来表达式，然后呢，怎么怎么样啊，他也都是都属于他的应用哈，就是反比例函数的一个应用 啊，简单的应用，因为我们现在对反比例函数的认认识呢，还是停留在初步阶段，所以说呢，对他只有简单的运用。 好，同学们辛苦了，这节课呢，我们就上到这里，更多精彩课程请关注冯老师爱数学，谢谢大家！再见！

嗨，同学，大家好，今天呢，我们又要学习新的内容了，聪明的你和老师一起来研究吧。我们今天学习的是六点二，反比例函数的图性与性质的。第二个课时，反比例函数的性质。 首先呢，我们看一下内容大纲，理解并掌握反比例函数的图像的性质啊，能利用反比例函数的图像和性质呢，去解决实际的问题。 我们一般学习的时候都是这个东西是新的知识点是什么？然后新的知识点如何在实际当中呢，进行一个运用，对吧？都是这样，我们呢对上一节课的知识点呢进行一个复习。上节课我们学习了梵比利函数的图像啊，形状是吧，双曲线啊，无限接近坐标轴，但不相交。 有的同学呢问，无限接近坐标轴但不相交，这属于什么呢？这属于呀，有一个词呢，叫渐进性渐进。呃，这个近啊，远近的近渐进趋势啊，或者渐进性啊，渐进趋势， 这个呢，就属于这个意思，它其实呢，它也是性质的一部分啊，它是我们性质的这个一部分啊。再一个呢是这个图像呢的位置是由 k 决定的， k 大于零一三象限， k 小于零二四象限。 再一个呢是对称性，对称性呢，其实也属于性质的一部分哈，也属于性质的一部分，只不过是我们在前面呢，就给他研究过了。再一个呢是画图，画图的时候呢，注意自变量的互为相反数，然后呢，数量要稍微多一些，这样的话呢，我们画出来更标准一些。如果你平时呢，只简单的画一个草图，那么你至少也需要两点，对， 至少也需要两点，画一个草图。好，这是我们对上节课的知识点呢，进行一个复习，反比例函数的图像的特点， 那么这节课呢，我们继续去研究一下啊，继续去研究一下反比例函数图形的性质，它还有哪些？除了我们刚才所说的渐进趋势啊，还有这个对称性，那么我们在图像里面，其函数图像里面其实研究的更为 多的一个，使用的更多的一个就是他的增减性，对不对？依次函数我们也讨论的增减性，那么我们再补充一下，在第二个课时里面，我们在完整的啊看一下， 补充一下反比例函数图性的增减性质，好观察反比例函数 x 分之二啊， x 分之四， x 四分之六的图像，你能发现他们的什么共同特征在下面呢，你看，首先呢，我们能够知道这 k 呢，都是大于零的是吧？他说给的这几个函数 k 都是大于零的，那么他都在一三象限是吧？都与呃坐标轴不相交，但是无限的去接近，都是对称的 对不对？轴对称，中心对称啊，这是我们根据上一课时的学习的内容呢，就能就能总回答出来这些， 那么我们再进一步的去观察，进一步的去观察，来回答这些问题。每个函数图像分别在哪个？呃，分别在哪个象限都一样，都在一三象限对不对？都在一三象限，那么在每一个象限内，随着 x 的增大外如何变化？既然是一三象象，我们先看第一象限， 看随着 x 的增大是不是往右走，随着 x 的增大，你看 y 越来越接近 x 轴， y 是不是越来越小 小，也就 x 在增大的时候呢？ y 其实是减小的，我们看看这个，虽然 x 增大， y 是不是也是减小？ x 的增大， y 减小啊，这个也一样， x 的增大， y 减小，对不对？越来越靠近 x 轴啊， x 会越来越大，但是 y 会越来越小， 那么在第一象限都是这样，那么在第三象限是不是满足这样的要求呢？你看 x 越来越大的话，是不是就是往这边走了？ x 往右走是不是越来越大，但是 y 呢？你看 y 的值是不是越往下走，那么在 y 轴上越往下走，他是不是值越小？ 也就随着 x 增大， y 也是减小的，那这个也满足这样的规律，这个也满足这样的规律，那么也就是说在第一项线，在第三项线呢，同时满足 x 增大， y 减小， x 增大， y 减小，如果有表达式来说明的话， 因为它本身就是这样的吗？对不对？自变量在分母上，那么随着，呃，分母越大，分数越小，对不对啊？分母越大，分数越小，是不是啊？ 好，那么我们再来看看，对于反比例函数 k 大于零的时候，考虑问题一和二，你能得出同样的结论吗？什么结论？就是我们的 x 增大外减小是不是都是一样的？我们把 第一个问题和第二个问题一整理，是不是在 k 大于零的时候，他都满足这样的一个结论，也就 k 大于零的时候，函数图像就在一三象限，并且随着 x 的增大外在减小， 明白了吗？这就是我们得到的第一部分的结论啊。第一部分的结论，也就是说 k 大于零的时候啊，在这里呢，我们能够得出来， k 大于零的时候呢，其实这个 k 啊，在我们上节课学习的时候， k 它绝 决定了位置对不对？决定了图像的位置，在这里呢，我们也能够决定啊，也能决定他的增减性， 是不是？同学们啊，既决定位置，又能决定增减性啊，这就是我们这节课啊，研究内容的其中的一部分。这是 k 大于零的时候，那么 k 小于零的时候，也满足这样的条件吗？那么一起来看看哈，一起来看一看， 那 k 小于零的时候看，如果我把 k 换成负二负四负六，那么就是 x 分之负二， x 分之负四， x 分之负六，那么他们还有刚才的共同特征吗？ 是吧？那 k 小于零的时候，他都在二十四上线啊，与 x 与坐标都都不相交，但是无限接近，对吧？呃，对称性啊，满足周对称和中心对称的要求，对不对？还是这些？那么在他们个子的上限之内啊，随着 x 的增大， y 是怎么样的？你看，随着 x 的增大哎， y 是不是也在增大，也在往上走啊？ x 的增大， y 也在增大，是不是？这个也满足？这个也满足？我们看看第四象限，虽然 x 的增大往这边走，那你看 y， y 是不是也无限无限往上走了啊？往正半轴上走了，那是不是他也是越大，随着 x 增大， y 也在增大， 对不对啊？ y 也在增大，随着 x 的增大， y 也在增大啊，你说老师那 x， 呃，那用表达式来关系的话，你看 x 越来越大，那么这个分母增大，呃，这个数值就应该变小了嘛，但是别忘了，人家是相反数负的 负的，如果你的绝对值小，那么你这，呃，如果你的这个，呃绝对值小啊，你再加上一个负号，那么是不是他算负数的话，他是不是就越来越大了啊， 明白了吧？啊，很好，好，明白了，这个也比较容易理解哈，比较容易理解。这样的话呢，我们也可以得出结论啊，在 k 小于零的时候，分别位于二、四象限，他们与 x 轴、外轴呢，都不相交，并且在每个象限内外随 x 增大而增大 啊，这样的话， k 大于零的情况有啦， k 小于零的情况也有啦，因为反比例函数只讨论两种嘛， k 不等于零是吧？ k 大于零的时候， k 小于零的时候，我们现在都有了结论了，那么我们对它呢？对今天的这个性质呢，做一个总结。一般的反比例函数 y， d， x 是双曲线，它具有以下的性质 啊， k 大于零的时候，一三象限 y， x 的增大而减小。 k 小于零的时候，位于二、四象限，在每一象限内， y， x， x 的增大而增大。理解啊，呃，它具有以下性质，这个性质呢， 是我们今天所学习的哈。随后呢，我们还会进一步总结，把它的性质总结到一起哈。那么在这个方面呢，我们还能够延伸出来一个什么呢？就是 k 的正负也是 k 的大小，决定了反比例函数图像的位置和增减性。 位置和增减性，对吧，这个容易理解对不对？ k 大于零呢，在第一课的时候呢，我们学习了 k 的正负，他决定了函数的位置啊。这个课呢，我们学习的 k 的大小，他决定了这个 k 的正负，它决定了函数的增减性，对不对啊？ k 大于零的时候，一三象限啊，跟着我一起一起去记一下哈。 k 大于零的时候，一三象限， y x， x 增大而减小， k 小于零的时候为二四象限啊， y x， x 的增大而增大， ok， 好，那么这就是我们这节课的新内容了啊，新内容了，然后呢，我们看一看，练一练，已知反比例 函数， y 等于 a 减，一括起来 x a 方加上 a 减七次，是吧？再去向前内， y x x 的增大而增大， y x x 的增大而增大，那就说明 k 是啊，小于零的，他位于二四上线，对不对？ k 小于零的话，那么你看我们在这个反比例函数里面，是不是他就应该小于零？而同时呢，这个 x 的次数他是不是应该等于负一， 是不是啊？那么把这两个式子放在一起，你就能够解出来 a 的值啊，解出来 a 的值，好，第二题， 已知反比例函数，它也是反比例函数，你看它都没有写成分数的形式，那就说明 x 的次数必须保持啊，是负一，对不对？在这，现在的 y x 的增大而减小减小，那就说明 k 要大于零，也就是它大于零，对不对？把它和第一题一样，把它列成一个 式子，然后呢，同时满足这两个条件，解出来 m 就 ok 了，解出来 m 就 ok 了。在这里呢，我就不带着大家去解了哈，学习到现在，我们必须也一定啊，应该去解决了大家的计算问题 啊，不要出错，不要出错，尤其如果要是解一些方程问题的话，你就要代入求职一下啊，代入求职一下，如果是一个不等式，那么你取一个特殊的值去验证一下 啊，都很简单，大家呢，老师比较着急，比较着急，解出来就赶紧跑啊，别着急，别着急啊，磨刀不误砍柴工啊。我们的问题呢，不是做的有多快，我们的目标是要把题做对 好。第二题，已知反比例函数的图像经过这个点，那么这个函数呢，位于哪几个象限？ y、 c， x 增大如何变化？这个呢，就是说了，你看 a 点在哪里了， 是不是在第一象限，那么也就说这个函数图像经过第一象限，只要是经过第一象限，那么他就一定经过第三象限，对不对啊？因为我们对 x 的呃，自变令的范围并没有什么限制，对吧？并没有什么限制，根据他本身的性质去走就可以了啊，他在第一象限，那么另一只肯定就在第三象限了，对吧？ 那么啊，你在一三上线的话啊，那么你的 k 就应该是大于零的，对吧？ ycx 增大而减小，这是不是我们刚才所学习的性质啊？ 第二题呢，他问的点 b、 c、 d 是否在这个函数的图像上？我们第一课程的时候就学习过怎么判断一个点在不在这个函数的图像上，那么你要带入他的解析式，是吧？看看这个左右相等不相等，相等的话，满足这个点的坐标，那么他就在，而不满足这个点的横坐坐标，那么他就不会 在，是不是？那么就这这个点呢，就成了求解析式了。求解析式是待定系数法对不对？先假设它是 y 等于 x 分之 k， 是不是？然后你带入这一点的坐标，已知点的坐标，那你就能解出来 k 在这里呢， k 等于十二，对吧？一眼就能看出来 啊，一眼都能看出来。然后呢，你把这个 b、 c、 d 都带进去，看看满足不满足， 是不是啊，这都很简单哈。呃，我们的这个训练题呢，都是直接紧紧地扣题啊，扣住今天所学习的知识点，对大家呢有一个强化和认识 和了解啊。第三题，已知反比例函数 y 等于 x， 分就是 k 经过点 a， 二都三，那么这就更简单了，求这个表达是直接代进去是吧？ k 就等于六啊， k 等于六，那么判断 b、 c 是 不是在这个图像上，那是不是和刚才一样？和刚才的题一样哈，那么我们看一下第三题，求 x 的范围，给了你之后求外的范围，你看这个，我们做这个函数题啊，就是，呃，一定要尽可能的去画上一个草图哈啊，如果人家要求你画图的话，那肯定很标准，如果人家不要求你画图的话，你画一个草图便于你去理解。 k 既然是等于六， k 大于零的是吧，它也经过第一行线嘛。啊， k 大于零的，你看它就是这样的， 我们能够知道随着 x 的增大，外在减小，你看，而且这这个正好呢，你看人家没有跨这个零是吧，人家就就在低。呃，这个，呃， 按说图像呢，应该对应的是在第三象限内，对吧？第三象限内是负三到负一，是不是 x 在增大啊，是吧？负三到负一是不是 x 在增大，那么 y 就在减小，那也就是说我在负三的时候呢，去 到最大值，在负一的时候呢，取到最小值，对不对？这就是外的范围啊，根据定。呃，这个自变量的范围，求一个音变量的这个范围啊，这个题呢，在依次函数里面也多次见过， 所以说呢，他不难理解，不难理解哈，根据增减项确定他的最大值和最小值，并且他中间也没有断的，他都是连续的，那么你就让 y 就这个大于他的 最小值，小于他的最大值就 ok 了，对不对啊？对应起来，对应起来去解决就行了啊，对应起来去解决就行了。好， 我们看一下这个材料的结果啊，我主要是呢，担心有的同学在第三问上出问题，在第三问上出问题啊，要考虑他的增减性，要考虑自变量的范围，自变量的范围。 好，同学们，那我们对这节课呢进行一个总结，就是反比例函数的性质呢，包括这个渐进趋势啊，无限接近坐标轴，但与坐标轴不相交，对称性中心对称图形也是轴，对称图形增减性就是我们今天所学的， k 大于零的时候怎么样， k 小于零的时候怎么样 啊，都不难理解，大家一定呢牢牢的把这些东西呢，记住，记住，你比如说你考虑渐进性的时候，你就在你的脑海里快速的画一个，呃，这个，呃，草图就行了啊，对称性也画一个，增减性也画一个啊，这样的话呢，就是把你的图形和文字对起来啊，对起来啊，这样的话呢，因为他们的图形，你比如说他依次函数， 它是一条直线，而这个反比例函数呢，它是两条曲线。其实呢，呃，都不复杂，都不复杂啊，你再说说一些知识点的时候呢，就把这个图呢画在自己的脑子里，画在自己的脑子里，这样的话呢，呃，更印象 更加深刻，也不容易出错啊，也不容易出错，不要死记这些文字啊，死死的记住啊。然后呢，给你个图像吧。然后呢？又对应不起来啊，只是学的呃，零散了啊，只是没有串联起来。 好，同学们辛苦了，这节课呢，我们就上到这里，更多精彩课程请关注冯老师爱数学，谢谢，大家再见。

嗨，同学大家好，今天呢我们继续学习新的内容，反比例函数的应用，聪明的你和老师一起来研究吧。 我们在前面的课程当中，对反比例函数本身的式子，图像，图像的性质都做了一个比较充分的研究，那么我们所学习的数学知识必然是要和实际生活相连接， 对不对啊？所以说最后一章节的内容呢，就是要和实解决实际问题。本节课的内容大纲两个， 根据实际问题中的变量之间的关系建立反比例函数的模型。有的同学一听模型二字呢就已经吓坏了，别害怕，模型的意思呢，就是建立一个 反比例函数的关系式就可以了啊。第二个呢是能用，能利用啊，反比例函数来解决实际问题，本来就是来用它来解决实际问题的。好，那么我们先看反比例函数的应用案例。 我首先呢说一下本节课的这个反比例函数的应用呢，呃，就是经呃选择了啊，一些题，不同类型的题，让大家体验一下反比例函数在实际生活当中的一些具体的运用， 具体的运用啊。呃，本节课呢也比较简单，只是一些不同的题型运用不同的公式就能够进行解答啊，就能够进行解答好 某销科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式。那通过一篇烂泥泥湿地啊，烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？ 如果说一个同学的体重不变啊，那么他站在一块地上，是不是他本身这个地面的这个受力面积？受力是一定的对吧，但是根据你受力面积的不同，他的压强是不一样的，对不对啊？ 啊？如果你压强越小，然后呢，他的这个就能够更安全的去通过这一片湿地，对不对啊？就是这个样子哈， 然后呢，他告诉我们随着木板面积 s 的变化，人和木板对地面的压强将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计是六百牛，那么 怎么样？这实际上是我们一个学科穿插的内容，它是我们物理学上的知识，对不对啊？你看，用含 s 的代数式呢去表示 p 啊，也就是 p 等于等于 等于什么？什么 s， 是吧？然后呢，判断 p 是 s 的反比例函数吗？为什么？对吧？啊？那么我们看在这里呢，其实在我们物理上学习过啊，学习过这个 p 压强，是不是它等于压力比上受力面积，对吧？ s 就是受力面积， 对不对？那么你根据这个式子的话，我就可以写出来这个代数式，他就是这个样子，然后呢，在这里呢，有压力呢，统称是六百牛，那么我们把 f 换成六百，就得到了 p 等于六百比上 s， 其中要求 s 肯定是大于零的，对不对？实际生活当中，我们一定要注意自变量的范围 啊，自变量的范围，你在这里 s， 它木板的面积不可能小于零吧，对不对啊？在这里要注 哈。那么 pss 的反比例函数吗？那么反判断他是不是反比例函数，利用反比例函数的定义去判断就可以了，就可以了。好，那么当木板的面积为零点二平米的时候，压强是多少？ 那么也就是说 s 等于零点二吗？我们把 s 等于零点二带入到上面的这个反比例函数当中去解出来 p， 是不是这个压强就有了吗？对不对啊？压强就有了，注意回答问题啊，注意单位，注意单位！ 好，这个呢，你看我们做这类题简单吗？简单啊，也就是说你根据所学的知识找见他们之间的一个关系，然后呢，根据这个关系去列出来反比例函数是吧？再加上一些已知的条件，求出来 f 的值，你比如说求出来 k 的值是吧？使他成为一个能够进行运 运算的反比例函数。然后呢，下面的问题就是问你其中某一个值变化的时候，另一个值怎么样？ 好，我们再看。第三问，如果要求压强不超过，不超过是什么意思啊？小于等于六千吧 啊，注意，不等式的运算，那么木板的面积至少需要多大？我们经过这个运算之后呢，就可以直接得出来， s 是大于等于零点一平米，那么木板至少需要零点一平米，对吧？第四个，在直角坐标系当中呢，做出相应的函数图像，也就是画图了，列表秒点连线，列表秒点连线 啊，画图没有什么可说的，列表描点连线啊，列表描点连线啊，做出来就可以啦。好，那么我们看一下案例二， 这是个路程问题。一，司机驾驶汽车从假地去乙地啊，他以八十千米美食的平均速度用六小时到达乙地，那速度问题啊，路程问题，同学们一定要注意画图哈，一定要注意画图，你比如甲地，乙地啊，他从甲地出发往乙地跑 八十千米，每小时速度有啦，呃，总共用了六小时，时间有啦，速度乘以时间是不是就是路程？第一问啊，第一问是小学的内容啊，对不对啊？小学的内容我们就可以解答，在这里需要提醒大家的呢，是说了，你看人家用这个字母来表示了吗？ 没有吧，人家这里用的文字，那么你看人家下面也用的文字。所以说呢，大家在考呃，在这个自己练习的时候呢，也这样去操作啊，也这样去操作。第二题呢，是问他，呃，按原路匀速 返回时，汽车速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？那么速度，时间，路程，那么肯定就是啊，路程等于时间 和速度的成绩，对不对啊？然后呢，他现在问我速度 v 了， v 等于 s 除以 t 吗？肯定是这样的一个关系，对不对？那么 那么我是不是得确定一下这个 s s， 你看它按原路返回，原路是多长？四百八嘛？第一问，是不是有了，所以说你在这里把 s 换成四百八，由一得 s 等于四百八，把这个四百八十换上就可以了， 就可以了。有的同学说呢，第一问，既然题目已经告诉我了，他的速度是八十，呃呃，这个时间呢？是六，那么再问一个 时，速度和时间 t 之间的函数关系，这不是多此一举吗？不是这样的，你看，当他按原路匀速返回，按原路返回了，是吧你，人家说匀速返回，那么返回的时间返回的速度就一定和题干当中的八十一样吗？不一定， 对不对啊？不一定啊，再加上题干中的八十千米呢，是平均速度啊，它并不代表就是匀速八十，明白吗？啊，这里是稍微是有点区别的哈，稍微是有点区别的 啊，在这里呢，再次提示一下，在实际的生活当中呢，注意数据的恢复性啊，因为你的时间不可能是零，速度也不可能是零，路程也不能是零，对不对啊？不能是零，不能是小于零的， 或者说啊，好，第三题，我们看一下。案例三，小尾鱼撬动，用撬棍撬动一块大石头，也是阻力和阻力臂，分别是一千两百牛和零点五米。 动力 f 与动力 b l 啊，动力 b l 哈，这里是 l 这个大写打出来之后呢，它就是这样一个和 i 差不多的哈，是 l l 哈，有怎样的关系函数关系，动力 b 为一点五米时，撬动石头至少需要多大的力？ 我们在这里呢，这也是物理学生的知识是吧，在下面有提示点哈，更个杠杆平衡的条件是，阻力乘以阻力 b 等于动力乘以动力 b， 已知条件当中呢，阻力乘以阻力 b， 呃，阻力和阻力 b 的条呃，数值已经给我们了，那么动力和动力 b 啊，动力 b 之间的关系，那么就可以求了， f 乘以 l 就等于一千二乘以零点五，对不对啊？那么我们就可以表示出啊，表示出动力 f， 它等于什么呢？对吧？ 你看，关于 f， 关于 i 的函，呃，关于 f， 关于 l 的函数表达式就是 f 等于六百除以 l 啊，其中要求 l 是大于零的啊，那么等 l 等于一点五的时候，等于四百， 是吧，也就需要四百牛的力啊。那么第二位呢，若想使不动，若想使动力 f 不超过题意中所用力的一半，不超过，不超过是吧，是不是又该用这个不等式了啊，其实有的同学说呢，在这里用不等式 啊，也是可以的啊，也是可以的，但是人家在这个动力币呢，直接给出了一点五米，一点五米啊， 所以说呢，这样写也行，这样写也行啊，那么在第二文章中呢，我就建议大家，你看不超过题中用力的一半动力 b l 至少需要加长，需要加长多少？不是需要长多少哈，加长多少，因为现在已经有一点五米了哈，已经有一点五米了。 那么在这个时候呢，我们需要解答，那么 f 不超过一，其中一的一半，一的一半是两百吗？是吧？是两百牛，那么，呃，这个 f 等于 l 分之六百，就应该小于等于两百，对吧？不超过不超过一半，然后呢，你去解出来 l 就可以了， 对不对？小于等于两百解出来 l 呢，是大于等于三，大于等于三，也就是最小它是三，最短它是三米，对吧？三米减去前，呃，先前给你的一点五米是不是等 一点五米，也就是说啊，用力是两百牛，呃，不超不超过两百牛的时候呢，你动力臂至少要加长一点五米啊，至少要加长一点五米。 好，我们看一下第四题，第四题呢，也是物理学方面的哈啊，这个，呃，这个方面的比较多啊，比较多，呃，他是电阻，呃，用电方面的啊，在这里呢，提示一下，功率他等于电压的平方除以电阻除以电阻啊，相信学习过物理学习的同学你们都知道啊，都知道 一个用电器的电阻是可调节的啊，电器的电阻是可以调节的，其电阻的范围是一百一到两百二。 呃，这叫这这，这叫什么来着？这个叫电阻的这个呃单位，呃，单位是吧？ omega 是吧？应该这样念啊，已知电压为二百二十， 是吧？那么这个用电器的电路图呢？如图所示，功率 p 与电阻 r 之间有怎样的函函数关系？我们知道他们之间的公式呢，就是 p 等于呃电压的平方除以 r， 电阻，对不对？那么电压呢？告诉你来，电压是用 u 来表示，对吧？电压告诉你是二百二十伏，那么 这个是不是第一问就很简单了啊？ uni， 二百二十伏的 p 就等于二百二十的平方，比上 r 要求 r 大于零，大于零就行了，对不对？ r 大于零就行了啊，在这里补充一下啊， r 大于零， 然后呢？这个用电，呃，这个用电器功率的范围是多少？也就是功率的范围，因为电阻电阻已经给了你一个范围了，是吧？那么根据反比例函数来说，这 k t k 肯定是大于零的嘛，是吧？也是第一向下的内容。那么随着 r 的增大，是不是呃 p 再缩小， 对不对？那么在 r 取到最小值的时候， p u 最大值，在 r 取到最大值的时候， p u 最小值，是不是这样啊？然后你就取出来它范围了嘛，大于它的最小值，小于它的最大值，对不对 啊？很容易理解哈，很容易理解好，看了这几类问题之后呢，我们再继续看一些。呃，练习题， 面积为二的直角三角形，一直角边为 x， 另一直角边为 y 啊，那么它的呃，这个变化规律你看，那么 x 乘以 y 除以二， 是不是两条直角边嘛？两条直角边的乘积再除以二，那么是不是它就等于这个的面积了，也就是 x 乘以 y 等于四，是不是啊？那么 y 等于啊，四除以 x， 是不是啊？ 这样的话呢？就是啊，反比例函数啊，反比例函数，那么 a 肯定不行了，等于一的时候它应该等于四，是吧？那直线也不行，那么只能在 c d 里面去选择 c， d 里面有什么区别啊？有什么区别？是不是 d 给了你范围了，也就说我只有这么长啊， 对不对？我只有这么长，也就是我的 x 呢，是这个范围，大家想一下我这个直角三角形的话，我直角三角形的这个 x 能不能等于二分之一，能不能取到这边来， 能不能得三分之一，能不能有五分之一，他只要有长度就可以了，对不对啊？所以说选 c 啊，没有人规定，就是说了我这个 x 必须在一和四之间， 是吧？题中也没有规定啊，所以说他是用来迷惑大家的啊，迷惑大家的。好，我们再看看练一练的第二题，再看一个 速这个路程的问题，因为路程的问题啊，确实是比较常见，无论是在我们的这个方程题里面，还是在几何题啊，还是在这个函数题里面啊，都比较容易常见，我们再看一道，这也是最后一道哈。 呃，王某家离工作单位呢，他的距离是三千六百米啊。啊，三千六百米，已经知道了他每天平均上下班的速度，速度知道了，然后呢，所用的时间是 t 对不对啊？啊？ s 等于 vp， 是不是啊？我们先把这个大公式闹清楚，那么 v 和 t 之间有怎样的函数关系呢？ 是吧？那么，呃，假设他的话，那么他就是 s 等于 v 乘以 t 吗？对吧？或者是说了你 v 等于 s 比乘 t 对不对？其中呢，有条已知条件可等 s 等于三千六，是不是他就等于三千六除以 t 了，对不对？也要求是 t 是大于零的 啊，也是 t 等于零或小于零，没有研究的意义。若王某到单位用了十五分钟，那么他骑车的平均速度是多少啊？ t 知道了，求 v 就行了，对不对啊，是不是很简单很简单啊？如图，王某骑车，如果说啊，王某骑车的速度最快是 三百米每分钟，那么他至少需要几分钟，是不是又是不等关系了啊？速度最快是三百，最快是三百，那么是不是速度小于等于三百， 对不对？你就是这个式子，小于等于三百对不对？你解出来一个 t 就行了，小于三百的时候，我得到 t 大于等于十二，也就是至少需要十二分钟才能到达单位。 好，同学们，这节课呢，没有什么过多可以总结的，他只是对我们平时很多公式的一个运用，然后呢， 注意单位啊，注意他的非负性，注意解答，注意不等式的运算啊，这些呢，就可以了。另外一个呢，就是 看我们的这个题，在选择的时候呢，其实很多都是物理方面的，对吧？啊，物理方面的，那么你要注意其他学科公式的一个熟练啊，公式的一个熟练， 别说到一个公式了，电阻了，或者是物理力学方面的公式你不知道，那你就很难很很难解答，对吧？好，这节课呢，我们就上到这里，更多精彩课程请关注冯老师爱数学，谢谢，大家再见！

嗨，同学们大家好，现在呢，我们再继续研究啊，新的内容，聪明的你和老师一起来探索吧。 这节课呢，我们继续学习反比例函数的图像与性质，其实图像我们一节课时，性质我们一节课时，但是呢，在这里呢，还需要补充一节 啊，补充一节，反比例函数表达适中 k 的几何意义，这个呢，在我们平时的训练过程当中呢，经常的去出现啊，经常的去出现 k 的这个几何意义，所以说呢，我们在这里呢，再加一部分，再加一部分， 首先呢，我们看一下内容大纲，结合反比例函数的主要性质，提高从函数图像中获取信息的能力，研究表达式中 k 的几何意义啊，也就说我们主要是来看 k 啊，它是一个 如何在反比例函数当中呢，去考察。好，首先呢，我们对知识点进行一个复习，上节课呢，我们学习了反比例函数的性质，总共是三个方面，见金趋势，对成星。 再一个呢是增减性，可以大于零，可以小于零，是吧，从前面的这个函数图性函数性质上，我们能够发现 k 这个系数呀，他既决定了图像的什么位置型啊，位置对吧啊，位置他也决定了啊，他的增减型是不是，那么他还能决定什么啊，还跟什么有关系，那么这就是我们这节课所研究的内容 技术， k 的几何研究一研，呃，意义研究哈，几何意义研究一二，我们来看我们这节 啊，就是反比例还是图像当中啊，大部分都是 ytin x 分之四的，这样一个，这样一个例子，对不对啊，这样一个例子，在反比例函数 ytin x 分之四的图像上分别取 p、 q， 然后呢？像，呃，以这两个点呀，像 x 轴， y 轴做垂线做垂线，围成面积分别为 s 一、 s 二的矩形，请填写下面表格啊， s 一 s 二演员面积是多少？ s 一和 s 二是什么样的一个关系，对不对？ 那么根据我们所学习的知识呀，你看点屁竟然在这里，然后呢，他向下做垂线，向 呃左做垂线，是吧？你做完垂线之后，那么这一段线段代表的是什么？代表的是不是你横坐？点屁的横坐标的这个 绝对值是吧？点 p 的横坐标的绝对值。哎，为什么是绝对值呢？是因为你看它是线段的程度，线段的程度必须是 正的，对吧？你说老师在第一象限就是正的，对的了，第一象限就是正的，如果放在第二象限呢？如果放在第三象限呢？如果放在第四象限呢？是不是就不一定正了？所以说啊，我们在这里加个绝对值，他是不是横坐标的绝对值啊？然后呢，你想 x 轴做垂线的话，你这一段，这条线段是谁？ 这条线段是谁？是不是你 p 点的纵坐标的绝对值，对不对啊？然后呢， s e 是什么？ s e 是个矩形的，是不是长方形？长方形，乘乘以宽就是它的面积吗？而乘是谁？你看 是不是这一点的横坐标的绝对值，乘以这一点的纵坐标的绝对值，就是 s 一， 对不对？这个不难理解哈，这个不难理解啊，那么点 q 呢？点 q 也一样啊，你看它向 y 轴做垂线，向 x 轴做做垂线，那么你向 y 轴做垂线，你这个长的这个这一段 是吧？这一段是什么呢？这一段是不是你横坐标的绝对值啊？就是它的长度，那么你这一段呢？是你 q 这一点纵坐标的绝对值，是吧？就是这一段的这个宽的长度，然后呢，你用长乘以宽，也就是说用横坐标的绝对值乘以纵坐标的绝对值，就得到了它的面积， 对不对？好，那么我们来填写一下 s 一的值，当然二乘以二四四，对吧？ s 二的，呃，这个值呢？四乘以一四，那么 s 一和 s 二什么关系啊？ s 一等于 s 二呢？ s 一等于二十二，它等于四，对吧？四是谁？ k 吧，你看这里是不是 k 啊？ 既然你看我们取的这个点在图像上吗？在图像上了，那么你这个图像是不是就满足我这个 表达式，对吧？那么我变形一下，是不是 x 乘以 y 就等于四，也就说这一点的横坐标乘以这一点的纵坐标就等于四等于 k， 而这一点的横坐标的绝对值乘以纵坐标的绝对值，它是不是就是它所构成的这个矩形的面积？ 而这个矩形呢，只能往 x 轴上做和往 y 轴上画线，画垂线所构成的这和圆点之间所构成的这个矩形， 明白了吗？这样的话，我们去猜想的话， s 一等于 s 二等于 k 等于 k， 能理解吗？同学， 能不能理解啊？因为你在这里算这个面积的时候呢，你就是乘乘以宽吗？而乘呢，就是这一点的横坐标，而这个宽呢，就是这一点的纵坐标。那你横坐横坐的乘以纵坐标是不是就等于我的这个 k 横坐标乘以纵坐标就等于 k， 我在这里 p q 呢，就是这两点上任意取了两点，所以说它具有一般代表性，一般代表性，所以说呢，它就能够得到这个结论，能够得到这个结论啊。 ok， 好，那我们就先看到这哈，都是第一象限的，他本身就是正的，但是啊，但是因为我们还要在第三象限或者第二象限什么的去研究他们啊，为了保持他的这个 准确性，所以说呢，因为在这个只要是矩形的面积的面积一定是正的，对吧？那么它的长和宽一定是正的啊，所以说带成了 最值啊，在这里理解一下，如果它本身就是第一象限，你比如说都是正的，那就无所谓，不影响结果。好，那么再看一下，如果说 k 是小于零的啊， k 是小于零的，你看到了二四象限，到了二四象限，那么我们刚才所研究的内容还成立吗？我们来看看 s 一的值，刚才我们研究的内容是吧？ s 一的值呢？就是这一点，你比如说点 p 啊，点 p 的这个坐标，横坐标乘以纵坐标就行了吗？那么负一乘以四是负四， 也等于 k 吧，负四，可是你的面积能是负四吗？你的面积必须是四，对不对啊？这就是说的，你看，这就是说的，你的横坐标呢，要取绝对值，因为你的这个宽 不可能是负一样，你必须是一对不对，重的呢，正好是四，他正好是正的就可以了啊，一乘以四，在这里呢，只要记住，只要记住，一来呢是横坐标乘以纵坐标，二来呢是说 这个编程必须是正的，面积也是正的，就很好理解了啊，就很好去判断啊，这样的话，你看一乘以四是吧？四 s 二呢？负二二，那不是也是二乘以二也是四，那么 s 一和 s 二也是相等的， 对不对？也是相等的，那么它等于谁了呢？等于 k 负 k 了，因为在这里呢， k 等于负四，负 k 的话就等于四，是不是？这样的话，我们总结前一个和这一个啊，这个第二个，那么是不是就可以得到 s 一等于 s 二等于 k 的绝对值？ 是不是？这就是它的面积啊？面积不变，面积不变啊，在我们的这个系数 k 的几何意义里面，有一种就是说面积的不变性啊，因为你只要是从函数图像上取值，那么你就是 x 乘以 y 啊，矩形的话，矩形哈 就是 x 乘以 y， 而 x 乘以 y 呢，根据表达式你就知道它等于 k， 但是 k 有正负之分，所以说带上的绝对值 ok 啊，矩形啊，在这里呢，我们也能够看到，我们的矩形呢，都是像 x 轴或者是外轴做垂线，他都是和圆点 x 轴外轴之间呢，拼成的一个矩形啊。在这里呢，我需要 给大家再提醒一下，你比如说了，你看 q 点，我国 q 点连接这个 o 的话，那它是不是就是这个矩形的对角线？那么下面这个三角形，它的面积是什么？你看 q 点的 x 乘以 y 的话，它是不是这个矩形的面积啊？然后呢，它这个面，呃，它这个，呃 呃，三角形，我画的这个三角形，它是不是矩形面积的一半，对不对啊？那么它就是二分之一矩形了，那就是二分之一 k 嘛，对不对？因为它是第四线线啊，第二条线，所以说我带 绝对值，对不对？另外一个呢，就是你说老师，那我看出来他是他的一半了啊，呃，他的面积是绝对。呃，这个矩形的面积是绝对值的。 k 的绝对值吗？那么他的一半是二分之一 k， 这是第一种啊。第二种呢？你说老师，三角形的面积就是底乘高除以二吗？底乘以高，你看底 是不是他纵坐标高啊？不对，底是不是他横坐标高，是不是他的纵坐标？那你横坐标乘以纵坐标是不是也等于 k， 对不对？但是你啊，图形的面积你必须去正的啊， k 的绝对值，然后呢，再乘以二分之一，是不是也是二分之 k 的绝对值， 对不对？就是三角形的面积哈，三角形的面积在这里呢啊，总结一下。总结一下，三角形的面积比较常见啊。好，既然有了第一个研究和第二个研究， k 大于零的时候研 研究过了， k 小于零的时候也研究过了，那么我们就总结一下。总结一下，如果说点 p 是反比例函数， y 等于 x 分之 k 图像上的任意一点，那么做 p a 垂直于 x 轴， p b 垂直于垂直。 呃，与外轴与点 d 是吧？点 o 为坐标原点，那么这些点连起来的矩形的面积就是 k 的绝对值， 就是 k 的绝对值哈，一定是点 p， 一定是在图像上的，图像之外的口不一定了啊，一定是在图像上的啊，一定图像上的。 然后呢，你分别向两条坐标轴啊，分别向两条坐标轴分别做垂线，这样的话形成一个矩形啊，形成一个矩形和坐标原点形成一个矩形，那么你这个矩形的面积就是 k 的绝对值，就是 k 的绝对值，这就是它的几何意义？面积 啊，面积几何意义啊，那么由此呢，我们也能几呃，矩形有了，那么由此我们也可以推论出三角形，我画他的一条 对角线，那么是不是就把这个矩上面的这个矩形分成了两个三角形，而这两个三角形的面积呢，是相等的，并且呢，都等于矩形面积的二分之一，二分之 k 的距离值，刚才我们也演练过了，对不对？刚才我们演练过了，好，好，这个呢，就是我们 反比例函数系数 k 的几何意义，它就是所造成所组成的这个矩形面积啊，所组成的矩形面积， k 的绝对值就是矩形的这个面积，而这个矩形呢，必须是和坐标轴一起形成的，和坐标轴一起形成的。 ok， 那么在 此基础上，在此基础上呢，我们延伸出来一些常见的，常见的类型啊，常见的类型总共是三大类，总共是三大类，接下来呢，我们去一起去总结理解研究一下 与常见的这个关于系数 k 几何意义的常见模型。好， 我们先来看模型一，就是在同一象限内，为了便于啊，为了便于研究，我们都把它放在了第一象限啊，也就是 k 大于零的时候， k 大于零的时候，第一象限内，因为在第一象限内，你 x， y 都是正的，是吧？都是正的，便于便于书写。但是 你在写的时候呢，必须像这样一样哈，写上绝对值，因为你可能要研究第二象限，第三象限，第四象限的，对不对啊？好，同学们 看，这也是个矩形，这是我们刚才研究的， x 乘以 y 本身就等于 k， 是吧，带上绝对值就好了。呃，然后呢？这个是三角形，正好是它的一，它的一个三角形就行了嘛，我们中间画一个这样的一个，嗯， 对角线，那么是不是他有一半了？一半二分之 k， 对不对？那么你看，再看第三种，第三种你说老师这不是画一个对角线形成的一种啊，别着急，你看这个是垂直的吗？人家已经告诉你这个是垂直的，对吧？那么他就是，他就是一个外嘛，外有了，而这一条边上所对应的高，是不是过点 c 做垂线了， 是不是这个，那么这条线啊，这条线是谁？是不是 p 点的横坐标，对不对？因为你这是垂直的吗？这是矩形，是不是上下都相等啊？这你看，你要是做这个的话，这个也相等，也平行，对不对？所以说 p 点的横坐标也有了，那么你底乘以高，再除以二， 是不是就是它底乘以高， x 乘以外，是不是就是 k 啊？二分之 k 嘛，对不对啊，要注意变通啊，尤其遇到三角形的时候，找见底就找见底所对应的高，如果你找见高了，你就找这条高所对应的那个底边 啊，其中有必然有一条或者是两条啊，他都是容易起解答的，容易解答的，我们考试的时候关键考察的这种。呃，看图的能力啊，在图中我们刚才不是也说了吗？这个大纲啊，就是利用他的性质啊，在 训练我们在图中获取信息的能力。好，这是同一象限，模型一啊，我们来看看模型二，两个象限内，你看两个象限内，这是不是也是 k 大于零的时候啊？在一三象限，在一三象限，我们来看看他这个都是三角形，是吧？都是三角形，我刚才说了都是三角形，那你 就找高，找高，或者是说找高对应的底呀，找见底的话，你就找他所对应的高，找见高的话，你找高所对应的底，然后呢，乘以二分之一，用他的面积公式就行了，对不对？好，我们来看第一个和第二个，你看他的都是 k 啊，你看第一个，哎中有一个平行的，是吧？这是垂直的啊，这是垂直的哈， 垂直的话，你看它平行当中，那么 b 啊， b 点的这个呢，就是它的横坐标，是吧？横坐标，那么这条边上所对应的高是谁？是它 对不对？是它啊，我们延伸一下，是不是钝角三角形缩在外面了嘛？啊， 然后呢？你说老师，这个呢是底，这个呢是高高，你看对这两点， ab 两点什么关系啊？关于原点对称，是不是啊？关于原点对称，那么他的他们的坐标就是符号不一样数，呃，绝对值是一样的， 对不对？数值是一样的，那么你看这里是一个 y， 那么这里是不是也是 y， 对不对？所以说它是二 y 啊，然后呢，这里有个 x 乘以 x， x 乘以 y 是 k， 对不对？然后呢，这里是二 k， 二 k， 二 k 还没有乘以二分之一了呀，三角形的面积必须除以二，它就等于 k， ok 啊，自己理解一下哈，自己理解一下，没毛病的，没毛病的，那么这个呢，也一样，你看这个呢，是知道纵的了， 知道这条边，那么我要坐他边上的高，是不是坐过来，是这样的，对不对？那么你这个高是不是我两 a 点和 b 点的横坐标的？绝对值得和，是吧？或者说 a 点的横坐标的两倍， 对不对？也乘以二了啊，也乘以二了，所以说抵消了一个二分之一，所以它的面积是 k 啊，是 k， 我们来看这个，这个呢， 你看这两点关于原点对称是吧？啊，你坐标的数值都一样啊，这不是符号不一样，对吧？然后呢，你看 x x y y 二 x 乘以二 y 等于四 k， 再除以二是不等于二 k k 的绝对值，记得带上绝对值就行了。 ok， 不难理解哈，不难理解不难理解啊，抓住点的坐标啊，知道坐标的意义，知道点，知道坐标的意义，求出来， 求出来。呃，这阴影部分的线段的程度，线段的程度，然后呢，根据他们面积的公式去解答就可以了。 好，第三个模型三，双反比例函数，你看双反比例函数，我们以前都是。呃，一条线吧，你看这是两条，两条，你看第一个也好理解， 巨星的巨星的，你看 a， b， c， d 啊， a， b， c， d 中间这个阴影部分的看点， a x 乘以 y 是不是 k 一，是不是 k 一就有了？ k 一的话，你看 k 一是不是这样的，是不是这一大部分都是 k 一的，那么 k 二呢？ k 二 题二是这个哈，题二是这个啊，里面这个点 d 所在的，那么如果点 d x 乘以 y 而 y 的话，它是不是这一部阴呃，白色的部分，那么我们总体再减去白色的部分，是不是阴影的部分？所以说呢，它就是减的啊，减的。那么你看这个， 我先计算三角形 a、 o， c 啊，再计算三角形 b、 o， c 是不是二分之 k 一，减去二分之 k 二，对不对啊？啊，因为这是呃，第一象象有特殊性啊，所以说呢，带上绝对值就好了，带上绝对值就好了，就适用于其他象象了啊，那么第三个和第二个是一样的对不对？它只是， 呃，立起来了，立起来了，你看它的面积呢？也是 a c o 减去 b c o， 是不是啊？二分之 k 一，减去二分之 k 二， ok， 好，我们第四个，第四个呢，大家看准了哈，人家写的是三角形 a b c a b c 啊，和三角形 a b o， a b o， 他俩相等，不是说阴影部分整体的面积哈，是说这两个三角形分别的面积啊，那么你说了，有的同学说了，老师， 那我们来研究一下，你看 a 点，我先研究一下 a b c 这个面积哈， a b c 这个面，那么 a b c a 点 a b c， 你 a 点 a 点所对应的呃，横坐标，你比如说是 x 是吧？ x， 然后呢，你的这个纵坐表示 y 一，纵坐表示 y 一，是吧？但是你看 你的这个这条边， a c 所对应的底边是不是 a b a b 是不是就超过了 y 一了？是不是？你是不是还得加上一个 y 二？ y 二是谁？ y 二，你看他俩的横坐标一样吗？ ac 是不是等于 bo？ 这就说明他俩的横坐标是一样的，都是 x， x 带进去得到 y 一，是吧？是，是你这一段啊，带进去得到 y 二，是下面这一点点是 b 的这个对吧？他俩应该加起来是不是？那么我 x 乘以 y 一，加上 y 二，他就这个 x 是高，呃，是，是这个高吗？这是底边吗？对吧？乘以底边，然后呢，再除以二，你看你 x 乘以 y 一， 是不是得到 k 一？你 x 乘以 y 二的绝对值是不是得到 k 二的绝对值，是不是啊，这就是这个 公式过程的由来啊，公式过程的由来啊，关键是我们现在说的字母，如果你要是数字的话，你能很快的判断他是正负啊，判断他的正负。而在呃几何的计算过程当中啊，几何面积的计算过程当中，肯定都用正的，肯定都用正的啊，一般不会出错，不会出错，关键是你要找准谁是高，谁是底边。 好同学们，那么这个模型呢，这个我们就看到这里啊，那么这节课的重点呢，就是说我要掌握一下呃， k 的意义啊，就是我们总结的那个啊，然后呢，再看一看它常见的模型，熟悉熟悉，深化理解一下就 ok 了啊，那么我们来看 如图呢， y 一，呃， y 等于 x 分之一，三个点都是图像上的吧，三个点分别向 x 轴，外轴做垂线，是不是满足我们的要求啊，分别做垂线围成的矩 平的面积，矩形的面积 s a 是不是 x 乘以八， s b 是不是 x 乘以八？ s c 是不是 x 乘以八？所以说他三个人的面积是相等的啊，因为在这里 k 是一样的嘛，他们都是同一个 函数图形的点是吧，都等于 k 都等于一，所以是相等的啊，相等的。在这我们要提醒的，面积的不变形啊，面积的不变形就是这意思啊，就是在同一个函数图形上啊，同一条直线上，我们分别取不同的这个 呃点，然后呢，像 x 轴和外轴做垂线，那么得到的是一样的，如果你要是对称到第三象限里面来啊，那么你这个 a 的对称点所做过来的，那你可能做出来是立下来的，是吧，也是一样的 啊，也是一样的，同学们啊，面积的不变形啊，有这个，有这个特点，有这个特点。好，第二题，你看第二题成了什么了？第二题成了一个 三角形的，告诉我们， p o a， p o a 啊，等于六，那么 p o a 它是不是二分之 k 的绝对值啊，这应该等于六三角形的面积嘛，对吧？那么你 k 的绝对值是不是等于十二？又，因为你是二次象限， k 小于零的，所以说 k 只能等于负十二， 是不是啊，是不是很简单，很简单吧。啊，很简单哈，同学们，很简单的啊，通过言，通过我们前一面学习的，如果你要是理解的话，那么你在做后面的题的时候呢，是比较容易的啊，比较得心应应手。好，我们看第三题， 如图呢，点 a 是反比例函数， y 等于 x 分之二，图像上的任意点 x 分之二 x， 别告诉你大于零的话，那么它只能在第一象限了，是不是？然后呢，过 a、 b 做 x 轴的平行线，得到一个 y 等于负 的 x 分之三，它是小于零的，那么它指在第二项线，以 a、 b 为边做平行线， a、 b 为边做这个 x 轴的。呃，为平行线做平行四边形， a、 b、 c、 d 做平行四边形，其中 c、 d 呢？在 x 轴上求平行四边形 a、 b、 c、 d 的面积。 我们先前所看到的图形基本上都是规则的，是吧？啊，当然，这个也不能说不规则 abcd 也不能说不规则哈。啊，因为平行四边形也是一个规则的图形，也是一个规则的图形。好， 那么我们再来看看，你看老师，那么这样的话，平行四边形的面积，嗯，他就是底乘以高吗？他是底乘以高，你看这个底， a、 b 或者 c、 d， 他都是，嗯，这个一样长， 样长。如果你求 a、 b 的话，我求 c、 d 就行嘛，对不对？求 c、 d 的话，我求 a、 b 长，长度也也可以，对不对？那么我们就用这种常规的方法，长乘以高。我们来看看 乘乘以宽啊，底乘以高， a 点呢？你比如说我假设它的横坐标是 x， 那么它纵坐标就是 x 分之二了，因为 ab 是平行于 x 如的，所以说 ab 两点的纵坐标是一样的， 对不对？那么对 b 点来说，他的纵坐标也是 x 分之二，那么他的横坐标是多少呢？纵坐标是 x 分之二，我把这里换成 x 分之二，我是不是求 xb， 是不是求他啊？求他，求他的横坐标 也不是三 x， 然后呢？再除以，再除以二，当然是负的啊，负的你就可以得到这里是负二分之三 x， 这样的话， a、 b 两点的坐标就有了，那么 a、 b 的长是多少？横坐横坐标减一下就行了吧，那么减去一个负的弦内，加上那么二分之三 x， 那你就等于二分之五 x， 对不对啊？那么你说 a、 b 等于二分之五 x， 那么它的高是多少呢？高，高， 那么高，我 c、 d、 c、 d 是不是也等于二分之五 x 啊？那么 c、 d 上的高是不是点？ a 的纵坐标 x 分之二，那你再乘以 x 分之二，约掉，约掉是不是等于五？ 面积是不是等于五啊？这是第一种方法哈，就用乘乘乘底乘以高啊。另外一个呢，是有的同学呢是这样做的，他说，老师，那我做一下垂线吗？啊，既然我们前面的要求不是都是做垂线的，那我做一下垂线，后来我发现这个三角形和这个三角形全等的，为什么？因为你是 平行四边形，所以这两条边相等，对，边相等，那么这个角和这个角相等，又有一个直角，这两个三角形全等，那么我把这个三角形移到这边来，那么你看，这是不是就成了一个矩形了？ 矩形呢？就分为这个矩形和这个矩形，那不是点 a 的 x 乘以半，加上点 b 的 x 乘以半，是不是两个 k 的绝对值相加起来就行了啊？二加三 五， ok 啊，所以说有两种方式，两种方式啊，看，移过来，哎，正好这一边加上这一边正好啊，正好就等于五。好，我们看最后一题， 呃，如图所示，在平面直角坐标系当中呢，过点 m 的直线啊，过点 m 的一条直线 p q 啊，它是平行 x 轴的分别与反。呃，反比例函数呢？呃， y 等于 x 分之六啊， x 大于零，那么就说这边呢，是 y 等于 x 分之六，对吧？ 和 y 等于 x 分之 k， y 等于 x 分之 k， 因为它是 x 小于零，那么它在这边，对不对？这就是相交于点 p q 啊， p 在这里， q 在这里，这没问题，对吧？这就对上了，先把这个两个呢？呃，这个表达式和图上图 形的先对上，然后呢，他得到三角形 p o q， p o q 啊， p o q， 他使的面积是八，你说老师，三角形 p o q， 他的面积等于他的面积加上他的面积，对不对啊？分别进行计算就行了吗？啊，你看这个面积， 这个面积，它是不是应该等于二分之 k， 是吧？二分之 k 啊，那么在这里的二分之 k， 二分之六，它等于三， 他点三呢？总面积等于八，那么这里是不是等于五，这是不是等于五，而这个五是怎么来的？是不是也是二分之 k 的绝对值？根据我们前面所学习的公式，二分之 k 的绝对值应该等于五，那么 k 的绝对值呢？就应该等于十，而又因为他在第二项线 k 是小于零的，所以说 k 等于负十， 简单吧啊，简单哈啊，不熟悉的话可以把我们前面的课程呢再复习复习啊，再研究研究 好。呃，刚才说错了哈，还有一道题，还有一道题啊，这是最后一道了啊，如图所示， p 是反比例还是 y 等于开升值一点过点 p 做 p b 垂直于啊， p b 是垂直于 x 轴的啊，点 a 是在外轴上，然后呢，三角形 a， b， p 的面积是二，面积是二，然后呢去 k 的值， 他是不是还是我们模型里面的一种？模型里面的一种，对吧？应该是。嗯， 第一类模型里面的，对吧？第一类模型里面的，你看你垂直的了，垂直的嘞，你看垂直的话，那么你你他就是这个 p 点的，呃，纵坐标嘛，对吧？他是 p 点的纵坐标，那么你看。呃，我知道了他的成，知道了我就找他边上的高就行了嘛， 往过一坐，一坐垂直，你说老师，这个垂直呢，就是点 p 的横坐标是吧？你横坐坐标一乘是不是就等于 k， 对不对啊？再除以二，那么是二分之 k， 它就是它的面积了嘛，它的面积等于二，那么你 k 呢？就等于四，是不是啊啊，因为在第一象限都是正的，所以说我就没带绝对值哈，没带绝对值，同学们要注意区分，要注意区分哈，知道它是为什么 对不对啊，这样的话是不是就便于大家理解了啊，便于大家理解了做这个辅助线的意思呢？也是这样哈，也是这样，也就是帮助大家去理解。你看这条边是不是他边上的高，那么你和这条是不是相等的 啊？这个矩形是相等的啊，相等的啊，关键是三角形，你只要如果三角形的面积问题，你就找底和高就可以了啊，其他的就不用管，其他的不用管，找出这些本质问题哈，找出 这些本质问题就便于你去理解。好，同学们，这节课呢，我们需要总结的内容呢？并没有啥啊，在课程当中呢，已经已经总结过了，对吧？呃， k 的这个几何意义啊，就是那个小姑娘指个手出来的。 k 的几何意义啊，把那个记住。然后呢，下面的三类模型，三类模型多看几遍， 看熟练了，知道他是怎么来的啊，弄懂弄通，那么你在做题的时候呢，就会比较轻松。好，同学们辛苦了，这节课我们上到这里，更多精彩课程请关注冯老师爱数学，谢谢大家再见！