hermite矩阵一定正定吗

哈喽，大家好，我是马丁老师，今天继续聊聊现行代数哈，这次我们的主题是二次行，那询问二次行的小伙伴，同样面临我们现行代数的两个终极之问，这玩意到底是个啥？他到底有什么用？ 那学二字形这块呢，我们又再多出来第三个终极之问啊，就是我们线性代数不是研究的一次式吗？那为啥还整出来个二字式呢？哎，这个问题呢，我们留在视频结尾再回答哈。我们先来看第一个问题，就是二次形，他到底在研究啥？回忆一下哈，我们高中学的解析几何，我们学过椭圆、双曲线等等。到了 大学呢，要学空间解析几何，就是把二维图形啊，给你推广为三维图形，于是呢，就有了抛物面、双曲面等等。大家可以观察一下这些图形，它的方程有一个共同的特点，就是所有的相都是平方向，这个其实就是二次形，它最初的来源。 我们把这个图形啊，向更高为的空间里，比如 n 为空间里推广，于是呢，就需要使用 n 个坐标轴， n 个变亮。那为了方便呢，我们就记他为 x 一 x 二，一直到 x n。 那有些同学可能就问了哈，哎，不对呀，我们学的二字形里边，有的还包含交叉相啊，比如 x 一乘以 x 二这一项， 那有了这些交叉项之后，他还能表示类似于椭球面这样的图形吗？我告诉你啊，依然是。比如说给大家举两个例子，第一个是五倍的 x 一的平方减去四倍的 x 一， x 二加上五倍的 x 二的平方，等于四十八。他画出来的图形啊，就是一个旋转之后的椭圆，第二 第二个就是 x 一的平方，减掉八倍的 x 一， x 二再减掉五倍的 x 二的平方等于十六，他呢，就表示一个旋转之后的双曲线。那有些同学就会问了哈，那这是不是巧合呢？就是恰好这个柿子，他画出来就是长成歪着的椭 圆这样的形状。我告诉你啊，不是任何二次式，不管他有没有交叉项，不管他交叉项前面的细数是几，他最终画出来啊，都是椭圆啊，双曲线这一类的形状，只不过呢，有可能是歪一点或者斜一点，但肯定都是这一类的。那这又是为什么呢？ 一下我们学二字型的时候，最主要的工作是在干什么呀？就是利用一个非退化的现行替换，把一个看起来表面上乱七八糟的二字形，给你画成他的标准型，或者更进一步化成规范型，对吧？那 这个标准型或者规范型，他的方程不就相当于没有交叉线了吗？于是他对应的就是那种规则的妥球面啊，双曲面之类的。那这个非退化的线性替换所起的作用是什么呢？就是相当于把坐标轴给你变变型哈，比如拉伸一下，压缩一下，撑一撑，转一 转，扭一扭。比如举个例子啊， y 一等于二倍的 x 一，他就相当于把 x 一这条轴给你压缩为一半。再比如说啊， y 二等于 x 一加 x 二，他就相当于把这个轴给你斜着拉伸四十五度。而我们在二次行这一块哈，有一个最核心的结论，就是，任 任何一个二次型，都可以经过这种非退化的先行替换化成标准型或规范型，意思就是说哈，只要他是一个高维空间中的二次曲面，尽管可能长得很难看，歪歪扭扭的，但是呢，我们可以给他变变型哈，给他拉一拉，压一压，转一转， 就可以给他变成一个看起来很规范的抛物面或双曲面之类的图形。而二次形这一整张啊，就是在研究我们该怎么样进行这个变形哈，你怎么捏，怎么揉，怎么拉，怎么压，怎么转。好了，介绍到这里啊，相信大家对这个二次 词形已经有一个初步的认识了，但是呢，还有一些细节的问题，比如做线性替换的时候，我们强调一定做的是非退化的线性替换，那意思就是说还有退化的线性替换，那这个非退化和退化又表示什么意思呢？所谓退化的线性替换啊，用一个词概括就叫做降维打击，什么 意思呢？比如说哈，我们的平面直角坐标系，他这两个坐标轴是互相垂直的，那么我可以给你拉伸一下，比如说给你转转转转转转转转转，然后呢，最极端的情况是转九十度，这样的话呢，两个坐标轴就重合为一个坐标轴了，那相当于只剩下一位图形了， 原本是二维的图形，结果现在给你替换完之后，变成一为图形了，这不就相当于为数降低了吗？而非退化的限行替换，就是指你要保持为数的限行替换，你原来是三维，变完之后也是三维哈，你为数不降低，这个就叫非退化哈， 所以刘慈鑫的先行代数肯定学的特别好。那下一个问题哈，正定矩阵我们经常会遇到，那他又有什么内涵呢？我们都学过啊，正定二次行给他画成规范行之后，每 一个平方向前面的系数都是一，那你这些系数都是一，又意味着什么呢？意味着他就是一个标准的球面啊，大家想想是不是啊？比如最简单的二维平面里边， 四平方加外的平方等于一，他不就是表示的单位圆吗？那同样道理，在高维空间里边哈，他表示的就是标准的球面。当然，如果不是规范型，而是标准型的话，那他前面系数不一定是正一哈，那他就 有可能是妥求面。而如果不是正定二次行，那他有的平方向前面系数就有可能是负一吧，对吧？你一旦出现负一的话，那他这个图形就不是封闭的，而是有开口的。比如说 x 平方减 y 的平方，他等于一就是有开口的双曲线呢。所以啊，所谓的正 正定矩阵或者正定二次行，他对应的就是高维空间中没有开口的，更专业的讲，叫做封闭的妥囚面。那半正定矩阵又是怎么回事呢？他跟正定矩阵的区别就在于，化成标准型之后啊，有， 有的向前边是零了，剩下的是正一，那你这些零就相当于没有吗？对吧？就相当于你变量的个数减少了，变量的个数减少，就相当于为数降低了。 同样道理，比如说你还是原来三维图形的话，现在呢，就变成二维图形了，那他就不再是三维空间中的一个标准球面了，而是二维平面上的一个球。所以啊，所谓的半正定二次形，实际上表示的就是正定二次形他的一个截面，下 一个问题就是另一个让同学们很头疼的词，就是特征值，那这个特征值又表示的什么呢？还是回忆一下我们课本的内容哈，用一个十对称矩阵，我们可以利用合同变换把它化为对角， 而对角阵上对角线的元素正是他每一个特征值排列起来的，所以这些特征值就充当了所有平方向前面的系数。那 这些系数又有什么用呢？还是回想一下我们椭圆的方程哈，那你 x 平方和 y 平方底下对应的 a 和 b 表示的不就是这个椭圆的长轴和短轴吗？同样道理，在高尾椭球面中，你平方向前面的系数表示的就是这个高尾椭球面他不同轴的长度。 所以啊，特征值他表彰的就是画完之后标准椭圆他不同轴的长度，那这个就是特征值最为重要的几个用途之一哈。当然了， 他还有一些其他的用处会在其他的章节碰到，我们这块就不讲了，所以总结一下啊，整个二字形这一张就是在教你，给你一个歪歪扭扭的二字曲面，我们可以通过怎样的变形把它变成一个看起来很漂亮的规则 的二次曲面。那下面就来回答一下视频开头问的问题啊，就是我们线性代数明明研究在这依次是，那为什么要把一个二次的东西放在这呢？这是因为我们研究二次型所使用的核心工具矩阵，他就是线性代数里边的核心概念。同时呢，我们对坐标轴变形，他本质上就是在做线性变换， 那这个线性不就出来了吗？那有些同学又该问了。好吧，我终于知道了，二次行就是在研究二次曲面，但我为什么要研究二次曲面啊？这个二次曲面又有什么用呢？我在上次视频里边给大家举了一个手机的例子，这次呢，我还拿手机举例子，我们手机得需要电吧，对吧？电从哪来呢？发电厂，在我国目前啊，百 百分之七十的电力是来源于火力发电厂，而火力发电厂有一个最明显的标志，就是他高高大大的冷却塔，相信有些人已经见过哈，那这个冷却塔的形状我 可以告诉你，就是一个单叶双曲面，而这种曲面的设计就可以最大限度的节约水资源。所以啊，我们线性代数还是有着非常重要的应用的，由此可见一般。 那最后呢，我请大家来思考一个问题啊，就是我们什么妥求面啊，双曲面等等，为什么都是二次函数呢？为什么就不能是一次或者三次或者其他形式的函数呢？我可以先抛砖引玉一下哈，这里面与勾股定理有关。

关于矩阵阵地的性质，我们列举了以下八条，第一条实际上就是定义什么叫阵地一定是正的嘛，对吧？对于任意一个 非零的 n 为项链，这个二字心都是朕的，这叫朕的。那第二个说的是你变成标准型以后，那二字型对应的标准型，你的系数全为正，就是我们刚刚举的那个例子， 假如你把这个二字琴变成标准型了，你这个标准型前面的气势都是朕的，那你当然就是朕的。 我们先看四四说的是 a 的所有特征值都大于零，那如果我们用镇交变换法把一个矩阵 a 相 对角化了，那么那个对角镇的主对角线元素就是 a 的所有特征值。那么在二字形的标准化里， 把一个二字形最后变成标准二字形的时候呢，那个对角正上的系数就是聚阵而的所有特征值，所以二跟四是一回事 啊。或者是在我们用镇交变换方法来把二字型变成标准型的时候呢？他是一样的啊，因为你用二次镇交变换法把二字型变成标准型的系数就是矩阵 a 的所有特征值，所以二跟四是一致的。 第三实际上是我们做作业的时候呢，经常要用到的一个啊，他说这个 去震是不是镇定的呢？我们往往要用第三个啊，就用它的方法是它的。真解决的什么问题呢？解决的去起去震，比如啊，二三三 五啊，这个一三一三一百，好胡乱编了一个对称矩阵，那我看这个矩阵，哎，是不是一个 镇定居镇呢？那这个方法很多，比如可以用第四个方法，我求他的特征值，看四个特征值是不是啊？看三个特征值是不是都是朕的。那还有一个方法，就是第三个方法，看什么呢？各 顺序阻止四。顺序阻止四啥意思？就先看他的一节指示，一节指示我们就选一行，选一列，有九种方法，那我就选第一行，第一列，那就是二 二大一点。然后再看二阶姿势，选两行，选两列，选哪两行选哪两列，选前两行，选前两列，那就是这个行列式二五三三，他的行列式 等于十减九，等于一还是大于零，那最后最后就看整个 a 这个行列式。假如这个 a 的行列式还大于零的话， 那么我们就得到 a 是镇定的啊，就是 a 的各阶主顺序，主子是权大。 那我刚刚讲的这就是他的一阶、二阶和三阶组组训。 第五条，如果 a 镇定的话， a 一定于单位居正一合同， 与单位集成一合同的意思就是存在一个可逆矩阵啊，他的转至乘上一个亿，再乘上一个，这个矩阵 p 就等于 我这个 a， 这就叫 a 与 e 合同，因为 e 成任何矩阵还是任何矩阵。所以我就说啊， a 与 e 合同实际上就是 a 可以拆成两个相互转制的矩阵的沉积，当然这个 p 必须是可逆矩阵。第六条、第七条和第八条是单向的。 假如镇定的话，我的就是满志，那因为你镇定的话，你所有特征值都是朕的，没有零，所以你就是满志。 还有一个特点，如果你是镇定的话，主对角线元素全是镇，你的行列式一定是镇。 如果你是镇定的话，你的所有上标运算都是镇定的，因为 a 的转世还是 a 自己，所以他就没有写出来了。 a 的逆， a 的伴随和 a m 次方这样的去震，他还是镇定的。

好，同学们，大家好，我们来先把题目看一下我们题目。哎，所知二次行他的至为二，那很明显，二次行的至为二，是不是二次行举证的至也为二啊？好，第一个，那二次行举证的至为二，我们求小 a 的值。 好，那二字型，知道了咱们的二字型举证 a 可以不可以写出来？好，先写出举证 a 来， x 一方没有零二零 x 一 x 二， a 一二的位置和 a 二一的位置平分，我们的系数一跟一 x 一 x 三， a 一三和 a 三一的位置平分，我们的系数负一负一 s 二 x 三 a 二三跟 a 三二的系数是我平分我们的系数啊，哎，是个 a 和啊 a。 好，因为我们的这个二次性的质为二， 是不是很显然 a 的值就是个二了， a 的值是个二。所以这道题目我们是不是首先可以直接用行列式为零来判断？或者是你也可以啊，对他进行初等号和减，我们用制来判断。两种方法都可以啊，两种方法都可以。好， 我们直接用行列式吧。好吧，因为这为二，所以我就知道 a 的行列式啊，等于零。好， a 的行列式，你一求是个负，二减去个二， a 等于零，很显然我 a 的值他只能等于个负一。 好，第二个，用正交变换法来把这个正交变换一圈啊。用正交变换法将咱们的二字形化为标准型正交变换法，所以咱们画成的标准形，他的系数都是我们的特征， 对不对啊？用中交变换法放二次行为标准型，并且出我们所用的坐标变换。 好，第二个，那既然用中招变换法，所以我们必须求他的特征值和特征项链来。首先求特征，使用我们的特征方程法，拉姆的一减 a 的行列式，求说特征多项式，哎，拉姆的负一一负一，拉姆的减二一一一拉姆的 好，然后对他进行行列变换，求出来的是拉姆的乘上个拉姆的加一，乘上个拉姆的解散， 好，等于零。很显然，我们可以得到我们的三个特征值，分别为，拉姆的一等于个零，拉姆的二等于个负一，拉姆的三等于个三。好，接下来 就是求咱们的分别不同特征时所对应的特征项链。因为我们进行的正交变换是不是一个 q 啊？所以我们要对他进行 q， 要对他进行这种交换，跟你单位换，是不是啊？ q， 他得是一个什么样的举针，正交举针吗？ 哎，所以，那你要观察我们的每一个特征项链是不，首先得保证特征值的特征项量得相互正交啊。那很显然， a 是个十对称，举证我们不同特征值的特征项量已经正交了， 所以说这一步不需要做了，所以咱们只需要求出他们三个分别的特征值，将其进行单位化就可以了。好，所以来当我们的拉姆的一等于个零时，好，零一减 a 来拿下来啊，拉姆的 a 零是零，一减 a， 零负一，一负一负二，一一一零，这个我教过大家，两步就可以出来结果啊。因为拉姆的等于零，等于负一等于三的时候，我们的行列是是不都为零， 所以都不满志是不是？行列是为零，肯定不满志，是不是？所以你上来直接给我把最后一行写成零， 我教过大家吗？对不对？好，那第一行咋办呢？第一行你找最简单的一行给我放在第一行上，很显然，第三行简单，是不是？ 那第二行怎么办？找剩下两行当中跟咱们选中的这个第一行不成比例的一行，对他进行出等行花钱。很显然，第一行是不是直接来成个负一零一负一。好，接着第一行跟咱们第二行一花钱就 ok 了 啊，一零一零一，负一零零零， ok， 咱们的行最减刑出来了，所以咱们的二法是不就出来了？好，顾二法一，他就等于来 最后变量分别取一取取零啊，非最后变量分别取出的小缓数。 ok， 题目没有结束啊，咱们要求的是正交举证，所以咱们的每一列不光要相互正交，每一列的项链是不是还得进行单位化？所以阿花一知道了，好了，择我们的噶嘛一也就知道了。一比上根号三倍的负一一一 转至啊，别忘了列项链，明白了吧？好，那同理。我们求出拉姆的二等于个二负一和拉姆的三等于三的特征。项链好， 当栏目的二等于个负一时啊，负一一减 a 来把它拿出来。 负一负一，一负一负三，一一一负一。好，首先找最简单的一行放在第一行，很显然，咱们最后一行最简单，是不是好，直接扔在第一行一一负一 好，最后一行直接写成零零零，然后剩下第二行找一个与咱们选中的第一行不成比例的。 那很显然是吧，第二行跟第三行，第一行跟第三行其实是成比例的，所以第一行就是咱们的零零零，第二行跟他进行黄花结，咱们两个一加是不就可以了？一加完了之后这是个零，什么零？第二行跟我们的新的第一行，一加零，负二零啊， 零负二零，你直接给我变成零一零，第二行整体出负二，好，最后第一行再减第二行一零负一零一零零零零， 好。所以我们得到我们的特征销量，二放二，他就等于个一零一。很显然我们就知道了，单位换噶末二就等于一比根号二倍的一零一， 好。最后一种情况，当栏目的三等于个三的时候，我们解特征值为三所对应的特征项链，好，三一减 a 拿出来好，直接先写一下，对不对啊？三负一，一负一一 一一一一三，好，进行横画减，是不是找最简单的一行给我放到我们的第一行上？很显然，第二行是不是最简单的一负一负一， 好，最后一行直接写成零零零，然后你去找与我们选中的这个第一行不成比例的，很简单，第一行跟第三行都不成比例，那你就找简单的吗？是不？我们让我们的第三行减去咱们新的第一行，是不是啊？零二四， 所以一化减之后是零零零，第二行就是个零一二，是吧？第一行加上我们新的第二行啊，哎，一零一 好了，所以我们就可以解得咱们的这个特征 产量，顾二发三，他就等于自由变量分别起一，其余起零得到非自由变量的数值啊。负一负二一好了，顾，我们就知道噶嘛三对他停当的话，一比上根号六倍的负一负二一 好了，三个特征纸和特征材料都出来了，是不是啊？所以令我们的 q 他就等于 嘎嘛一嘎嘛二嘎嘛三好，它分别等于嘎嘛。一，是不是我们拉不到等于零所对应的啊？负的一比跟三，一比跟好三，一比跟好三好嘎嘛。二是我们的负一所对应的。是不是啊，一比跟好二零，一比跟好二 二嘎嘛。三是咱们的蓝的等于三所对应的，负的一比更好六，负的二比上更好六一比上更好六 好 q 另出来了，是不是？另，我们的 q 等于他对不对？所以经过 x 等于个 qy， 哎，我们就可以使 s 的转至 ax， 他就会变成 y 的转至 q 的转至 ab 的 q 乘个 y， 很明显他就是我们的对角矩阵。 那出来的结果是，来按照你的顺序啊，按照你的顺序，第一个是谁啊？第一个是蓝的等于零的，第二个是蓝的等于负一，第三个是蓝的等于三，他是不是就是零倍的 y， 一方减去一倍的 y， 二方 加上三倍的 y 啊？你一定要按照顺序啊，这个结果不为一。 你 q 令的这个噶嘛，一二三的顺序不同啊，那我们的这个最终的标准型的结果就不同的啊，这个标准型的结果就不同的。 好，来，再看咱们的第三问，若 a 加上 cap 的意识正定，举阵求开来。同学们，我们先简单回顾一下我们的正定要求是什么？好，回顾一下我们的正定要求是什么？ 那我们要正定，首先要我们的第一个是定义，对于任意的不等于零的一个 x 的项链是不？我要均使 x 的转至 ax 都是一个大于零的，你 x 任意不等于零，我是不是都得满足这个好？第二个，那如果我们求出特征之来呢？ 我们是不是要求所有的特征值均是个大于零的？好，第三个，我们要求正惯性指数是个，嗯，对不对？ 好。第四个，我们是否可以说我们的存在一个举证， c 是 c 的，转至 ac 等于个一，等于个单位举证一，其中 c 是个可逆的，那这句话是不是就是说 a 与我们的意是合同的，对不对？ 好，那第五个，我们是不是就可以用顺序主子是均大于零了，对不对？ 好，来，那你看这道题目用哪一个呢？很显然我们用的特征值，因为第一位已经求出特征值来了啊，第二位已经求出特征值来了呀。好，所以来，因为我们知道拉姆的 a 的特征值， a 的特征值，他分别都是来 刚才取出来是个零负一三，好，所以我们就知道 a 加上太逆的特征值，多项式他就是一个太负一加太三加上个太。 好，因为要满足正定，所以必须保证每一个特征值都是一个大于零的。好，因为 a 加上概意为正定举正， 正定举正，所以我们要求所有的 a 加上拉姆的 e、 k、 e 杯的这个特征值是不均是个大于零的。 好了，顾，很显然我们我们要满足 k 大于零起负一加 k 大于零起三，加上 k 是个大于零的，太固定了。很显然，我加个零，加个负一加个三，你要找里边最小的谁最小？ 复一下看吗？那你两个取交集之后，很明显我要满足看，一定要是个大约一的即可， 对不对？只要满足开大于我们的 a 加开一，这个举针，他就是一个正定举针 啊，一定要记住了，我们要判断正定，如果题目已经给你特征值了，那你就直接用特征值均大于零来判断 啊。哎，如果没有给你的话，那你可以用我们的定义法判断啊，抽象举证啊，你也可以用怎么的正惯性指数来判断啊，也可以用合同。那如果给了你一个是个三阶或者是四阶的数字型举证呢？那咱们就可以采用咱们最后的这个顺序啊，主子式来判断 啊。顺序主子是来判断，听明白了吧？好，没问题了啊，没问题。

哈喽，大家好，今天来看一道山东大学高等代数的考研题，如果 a 是半正定时矩阵，发下关键信息哈，求证。满足。 xt a x 等于零的 n 为十下量全体构成某。其次，限定方程组的解空间。 这句话很长啊，我们分析下他是在干什么？首先， a 是半正定实际阵，那么这个 x t a x， 这就是一个半正定二字形，对吧？那 半正定的意思就是说，你把这些所有的非零的 x 带进去，那有的带进去他就等于零，有的带进去就大于零，这就是半正定的意思哈，那这道题让你证明的就是 你把那些带进去等于零的那些所有的 x， 他正好构成某。其次，现证方程组的解空间，意思就是说你自己找一个。其次，现证方程 组哈，使得他所有的解正好就是带进去等于零的那些 x， 对吧？大于零的不是哈，就是正好等于零的那些是他的解，那就是说让我们自己来找这样一个陷阱方程组哈， 那做这道题呢，我们需要一个小小的定理哈，这个其实是是很常用的一个结论，在做其他题目的时候也用的到，所以我给大家总结一下哈， 就是若 a 是半正定时，对称矩阵，则存在某时矩阵 s 使得 a 等于 s， t 乘以 s， 就好比把这个 a 给你分解了一下哈，然后写成这种形式，就有点类似于开平方，当然他不是严格的开平方哈，他前面是 st， 然后乘以 s。 那么先来证明一下这个结论哈，这个还是不是很难的。首先， 间十对称矩阵对吧？我们知道一出现十对阵矩阵，就立马想他可以正焦相似于一个对角矩阵，所以就是说存在某正焦矩阵， 管他叫做 p 吧，使得什么呢？ a 就等于 p， 对吧？这块你写 p t 还是写 p n 一个意思哈，因为正焦句这么 p t 就是 p n 乘以对角，正蓝不打，然后再乘以 p 吧。 同时我要求你这个栏目的是什么呢？是他的所有特征值排列起来的对角阵，对吧？你就可以这样写吧，栏目的一，栏目的二，一直到栏目的 n 哈，然后乘以 p， 然后不要忘了，半正定矩阵就相当于你这些栏目的一到栏目的 n 所有的特征值都是非负数吧，对吧？而且里边还有零啊，如果没 没有零的话，他就成正定了的，但不管怎样都是非负数，非负数就可以开平方了吧，就相当于我这样的哈。 pt， 我给你把这个对角阵给你写成根号下栏目的一，根号下栏目的二， 然后根号下栏目的，嗯，然后啊，再乘以根号下栏目的一，根号下栏目的二，然后根号下栏目的，嗯，对吧？因为对角矩阵吧，你就可以这样 对角元素分别相乘吧，这就相当于把这个蓝莓的一，蓝莓的二全都给他拆成这样的形式啊。然后后边再乘一个 p， 那我中间这个新拆出来的这个东西我再给他，呃，用个新符号，比如说我就记他等于 d 吧， 等于 d 好了。然后 d 本身也是个对称矩阵吗？因为他是对角句吗？对角矩阵肯定是对称句号，所以说 d 他的转置和 d 是一回事。 所以我就想把前面这个东西我给你写成 d 的转置哈，然后那他不就相当于 pt， 然后 dt， 对吧？然后乘以 d， 然后再乘以 p， 在前面两个都在转置，那我就给你弄到括号里边呗，对吧？弄到括号里边扩起来之后，再来一个转置，然后 dp， 那这不是出来了吗？于是我就取，取什么呢？取这个 s 就等于 dp 就可以了哈。 这样一来，那我原来的 a 他不就等于 s t 乘以 s 吗？这就正完了。对，我这里边这个 s 哈，他应该是一个不可逆矩针，对吧？因为这些特征这里边我刚才说了，那至少都不包含零哈，你一旦包含零的话，他就是一个不可逆， 所以我们就可以推广一下哈，如果你这不是个半正定，而是个正定哈，就是前提条件，我要求是正定矩阵，那么这个 s 前面我就可以给你加上，结果他就是一个可逆的 s 了，对吧？就是这样一个简单的结论。行了，有个这个结论之后啊，我们再来证明这道题，那这就简单了哈，因为我先看一下 要构造一个陷阱发生组哈，我说了，首先他是一个十对称半正定的十对称，所以他就按照我们刚才的定理哈，他就存在一个 s t， s 吧，对吧？那我就构造这样一个东西哈， 我构造谁呢？我就构造 sx 就等于零，这就是一个线性发生组啊，对吧？那我接下来来论证一下我找到的这个线性发生组，他就是我们要正的这个线性发生组啊，就是说 sx 等于零，他所有的 解都满足 xtax 等于零，反过来满足 xtax 等于零的那些 x， 他也正是 sx 等于零，就是正视他的解，那么第一步哈，就是弱 你这个 xt a x 等于零，就说我这样这个 s 啊，满足这个式子，那么我就证明他是这个他的解哈，所以说我就继续往下推，那就 按照我们刚才写的，你把 a 写成 st， 然后乘以 s， 再乘 x 等于零吧，对吧？那这个东西呢，我们就给他转置一下好了，就是 xx， 然后他来个转置，然后 xxx 等于零，对吧？ 那 s 乘以 x 呢？他就是某个项链，比如说我们就记为 r 法好了，那 r 法 t 乘以 r 法等于零，说明什么呀？说明 r 法本身就 就是一个零项链啊，对吧？这个很好说哈，比如举个例子啊， r 发呢，你是 x 一 x 二一直到 x n， 然后呢，你给他转置一下，就变成 x 一，对吧？就是横着写哈，就变成他了，那他俩成在一起等于谁啊？那就是按照我们矩阵乘法，当然也可以给他看成是内积哈，就是 x 一的平方加上 x 二的平方，一直加加加，加到 x n 的平方吧， 然后如果这个等于零的话，那所有的平方加在一起等于零，那我就推出来，你 x 一到 x 二一直到 x n 都等于零吧，对吧？所以说上面就是这样来的哈，就是说 s x t 乘以 s x 如果等于零，那么就可以立马推出来哈，推出来你这个 s x， 他不就等于零吗？对吧？这相当于我们证明了。第一步哈，就是说你满足这 这个的 x， 他给你带到这个方程里边，他都是等于零的。第二步啊，我给他反过来就是入 s x 等于零，那我们来计算一下 x t 乘以 ax， 他是等于多少？那还是让 s t， 然后把它变成 s t， 然后乘以 x， 然后 x， 然后那就是 s x t， 然后乘以 s x。 那他本身就是零了吗？对吧？零像量，这是零像量哈。零像量转至成零，那零成零还是零呗？ 证明第二步啊，就是你满足这个方程组解的 x， 你给你带进来。哎，他最终结果是零，所以两边都走了一遍。我就可以说明你这个式子所有的 x 正好就是 ss， 等于零。他的解空间这个就是我们要构造的方程组哈。这就结束了。

我们来看这个题目，这里面包含三位，咱们呢先证明第一位啊，首先我把这个矩阵 a 射出来， 然后呢，把这个 h n 减一啊，这个顺序啊，主子式的所对应的矩阵和射出来。 其实这个矩阵呢就是嗯，矩阵 a 的前 n 减一行和 n 减一的。 然后呢，再领，嗯，再领。 很容易发现这个阿尔法呢是一个 n 减一尾的，嗯，裂项链。那这样一来，我呢就可以把橘子分成四个 扔四块。那这样一来，这个 a 的行业是啊，就等于是，那就等于 就等于。我跟他可以把这个好像是拆成两个，按照最后一行啊，拆成两个，好像是纸盒， 这个是零啊，这个是零。 那前面我们知道这个，因为这个 n 减一啊，是一个也是什么？一个镇定矩阵 也是一个镇定局的，那自然有这个结果啊，这个结果我们在前面已经正过 这个结果，他那是小于等于零，他小于等于零。那所以嗯，那个 a 的横列是就就是小于，嗯，这个横列式 哪个呢？小一 n 减一二发谁呢？零 an 还等于 an， 这是那乘以 这个就是 谁啊，这个谁就是 h n 减一，嗯， h n 减一。那这样一来，我们呢就证明了第一位。那利用这个第一位啊，我们呢很容易啊，得到这个第二个结论的结，第二个，第二个，第二个啊。提到证明， 那 a 把小于 a， h n 减一，那再利用啊，这个减龄。我们呢可以得到 a 小 jn n 减一，谁呢？ n 减一 h 谁 零减二，那一次下去啊，现在小于 n， n 减一等等。 哎，好，这是第二个第二个证明。那我们看第三个证明啊，因为这个 t 啊，因为 t。 什么是一个可能矩阵？是一个十可能矩阵， 石刻泥矩阵。那他既然是石刻泥矩阵，那我们知道啊，题的转至啊，乘 t 是吧？是一个镇定矩阵。这是前面啊。我们在第五章二次性里面我们经常提到的一个结论 是一个什么正定局的。那我们呢？把这个结果算一下哈。结果 a 的转至乘 a， 那就等于 a t 啊 t 啊。 t e t e r t en t 阿姨 t r 等等 t i t n e tn 二等等 tn。 这是第一个矩阵。第二个 t 就是 t 一 t 二等等 tn t 二一 t 二二 t 二 n 等等 tn 一 听啊听好。我们按照局任成绩的预算规则啊，算一下。那我们关心的什么？关心这个是对角线啊，其他位置我们可以不看啊。对角线。如果我写出来的话是第一个是谁呢？ 这个是 t 一一平方谁？ t 二一平方加上等等 tn 一平方是。那其他位置我不写。我呢，可以用星号来表示。 那第二行啊，第二位置啊，是谁呢？是 t t 一二平方加上谁呢？ t 二二平方加上等等 t a 二平方。前卫直播可以补鞋啊。那一直下去啊，我前卫。这就是星啊。 我就表示最后啊，最后这一个位置谁呢？是 t 一 n 平方加谁呢？ t 二 n 平方加上等等 t 嗯，加上 tnn 印花好，那利用前面啊。我们说就是利用这个。第二问 我们呢，很容易得到什么？就是 t 的。转至这个题的行业是他应该什么小于啊，这叫线原则成绩。那就是呢，就是啊，就是派二。从一这里连连成符号到几呢？到 n 啊，谁呢？是 t t t 这个 这个是 t。 好，是 t 什么呢？我们可以写一下啊。是 t。 嗯，一一二平方加谁呢？ t 二二平方加谁？等等。 t 是 n， 二平方就是我们啊， 就是我们，就是前面啊，前面这个 t 的结论啊。有因为啊，有因为。我们知道这个 t 的转至乘 t， 他等于什么呢？他等于 t 的转至乘 t 啊，等于 t 的平方。 嗯，那结合这两者，那我们呢？就可以什么得到第三位的证明？