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哈喽,大家好,我是马丁老师,今天继续聊聊现行代数哈,这次我们的主题是二次行,那询问二次行的小伙伴,同样面临我们现行代数的两个终极之问,这玩意到底是个啥?他到底有什么用? 那学二字形这块呢,我们又再多出来第三个终极之问啊,就是我们线性代数不是研究的一次式吗?那为啥还整出来个二字式呢?哎,这个问题呢,我们留在视频结尾再回答哈。我们先来看第一个问题,就是二次形,他到底在研究啥?回忆一下哈,我们高中学的解析几何,我们学过椭圆、双曲线等等。到了 大学呢,要学空间解析几何,就是把二维图形啊,给你推广为三维图形,于是呢,就有了抛物面、双曲面等等。大家可以观察一下这些图形,它的方程有一个共同的特点,就是所有的相都是平方向,这个其实就是二次形,它最初的来源。 我们把这个图形啊,向更高为的空间里,比如 n 为空间里推广,于是呢,就需要使用 n 个坐标轴, n 个变亮。那为了方便呢,我们就记他为 x 一 x 二,一直到 x n。 那有些同学可能就问了哈,哎,不对呀,我们学的二字形里边,有的还包含交叉相啊,比如 x 一乘以 x 二这一项, 那有了这些交叉项之后,他还能表示类似于椭球面这样的图形吗?我告诉你啊,依然是。比如说给大家举两个例子,第一个是五倍的 x 一的平方减去四倍的 x 一, x 二加上五倍的 x 二的平方,等于四十八。他画出来的图形啊,就是一个旋转之后的椭圆,第二 第二个就是 x 一的平方,减掉八倍的 x 一, x 二再减掉五倍的 x 二的平方等于十六,他呢,就表示一个旋转之后的双曲线。那有些同学就会问了哈,那这是不是巧合呢?就是恰好这个柿子,他画出来就是长成歪着的椭 圆这样的形状。我告诉你啊,不是任何二次式,不管他有没有交叉项,不管他交叉项前面的细数是几,他最终画出来啊,都是椭圆啊,双曲线这一类的形状,只不过呢,有可能是歪一点或者斜一点,但肯定都是这一类的。那这又是为什么呢? 一下我们学二字型的时候,最主要的工作是在干什么呀?就是利用一个非退化的现行替换,把一个看起来表面上乱七八糟的二字形,给你画成他的标准型,或者更进一步化成规范型,对吧?那 这个标准型或者规范型,他的方程不就相当于没有交叉线了吗?于是他对应的就是那种规则的妥球面啊,双曲面之类的。那这个非退化的线性替换所起的作用是什么呢?就是相当于把坐标轴给你变变型哈,比如拉伸一下,压缩一下,撑一撑,转一 转,扭一扭。比如举个例子啊, y 一等于二倍的 x 一,他就相当于把 x 一这条轴给你压缩为一半。再比如说啊, y 二等于 x 一加 x 二,他就相当于把这个轴给你斜着拉伸四十五度。而我们在二次行这一块哈,有一个最核心的结论,就是,任 任何一个二次型,都可以经过这种非退化的先行替换化成标准型或规范型,意思就是说哈,只要他是一个高维空间中的二次曲面,尽管可能长得很难看,歪歪扭扭的,但是呢,我们可以给他变变型哈,给他拉一拉,压一压,转一转, 就可以给他变成一个看起来很规范的抛物面或双曲面之类的图形。而二次形这一整张啊,就是在研究我们该怎么样进行这个变形哈,你怎么捏,怎么揉,怎么拉,怎么压,怎么转。好了,介绍到这里啊,相信大家对这个二次 词形已经有一个初步的认识了,但是呢,还有一些细节的问题,比如做线性替换的时候,我们强调一定做的是非退化的线性替换,那意思就是说还有退化的线性替换,那这个非退化和退化又表示什么意思呢?所谓退化的线性替换啊,用一个词概括就叫做降维打击,什么 意思呢?比如说哈,我们的平面直角坐标系,他这两个坐标轴是互相垂直的,那么我可以给你拉伸一下,比如说给你转转转转转转转转转,然后呢,最极端的情况是转九十度,这样的话呢,两个坐标轴就重合为一个坐标轴了,那相当于只剩下一位图形了, 原本是二维的图形,结果现在给你替换完之后,变成一为图形了,这不就相当于为数降低了吗?而非退化的限行替换,就是指你要保持为数的限行替换,你原来是三维,变完之后也是三维哈,你为数不降低,这个就叫非退化哈, 所以刘慈鑫的先行代数肯定学的特别好。那下一个问题哈,正定矩阵我们经常会遇到,那他又有什么内涵呢?我们都学过啊,正定二次行给他画成规范行之后,每 一个平方向前面的系数都是一,那你这些系数都是一,又意味着什么呢?意味着他就是一个标准的球面啊,大家想想是不是啊?比如最简单的二维平面里边, 四平方加外的平方等于一,他不就是表示的单位圆吗?那同样道理,在高维空间里边哈,他表示的就是标准的球面。当然,如果不是规范型,而是标准型的话,那他前面系数不一定是正一哈,那他就 有可能是妥求面。而如果不是正定二次行,那他有的平方向前面系数就有可能是负一吧,对吧?你一旦出现负一的话,那他这个图形就不是封闭的,而是有开口的。比如说 x 平方减 y 的平方,他等于一就是有开口的双曲线呢。所以啊,所谓的正 正定矩阵或者正定二次行,他对应的就是高维空间中没有开口的,更专业的讲,叫做封闭的妥囚面。那半正定矩阵又是怎么回事呢?他跟正定矩阵的区别就在于,化成标准型之后啊,有, 有的向前边是零了,剩下的是正一,那你这些零就相当于没有吗?对吧?就相当于你变量的个数减少了,变量的个数减少,就相当于为数降低了。 同样道理,比如说你还是原来三维图形的话,现在呢,就变成二维图形了,那他就不再是三维空间中的一个标准球面了,而是二维平面上的一个球。所以啊,所谓的半正定二次形,实际上表示的就是正定二次形他的一个截面,下 一个问题就是另一个让同学们很头疼的词,就是特征值,那这个特征值又表示的什么呢?还是回忆一下我们课本的内容哈,用一个十对称矩阵,我们可以利用合同变换把它化为对角, 而对角阵上对角线的元素正是他每一个特征值排列起来的,所以这些特征值就充当了所有平方向前面的系数。那 这些系数又有什么用呢?还是回想一下我们椭圆的方程哈,那你 x 平方和 y 平方底下对应的 a 和 b 表示的不就是这个椭圆的长轴和短轴吗?同样道理,在高尾椭球面中,你平方向前面的系数表示的就是这个高尾椭球面他不同轴的长度。 所以啊,特征值他表彰的就是画完之后标准椭圆他不同轴的长度,那这个就是特征值最为重要的几个用途之一哈。当然了, 他还有一些其他的用处会在其他的章节碰到,我们这块就不讲了,所以总结一下啊,整个二字形这一张就是在教你,给你一个歪歪扭扭的二字曲面,我们可以通过怎样的变形把它变成一个看起来很漂亮的规则 的二次曲面。那下面就来回答一下视频开头问的问题啊,就是我们线性代数明明研究在这依次是,那为什么要把一个二次的东西放在这呢?这是因为我们研究二次型所使用的核心工具矩阵,他就是线性代数里边的核心概念。同时呢,我们对坐标轴变形,他本质上就是在做线性变换, 那这个线性不就出来了吗?那有些同学又该问了。好吧,我终于知道了,二次行就是在研究二次曲面,但我为什么要研究二次曲面啊?这个二次曲面又有什么用呢?我在上次视频里边给大家举了一个手机的例子,这次呢,我还拿手机举例子,我们手机得需要电吧,对吧?电从哪来呢?发电厂,在我国目前啊,百 百分之七十的电力是来源于火力发电厂,而火力发电厂有一个最明显的标志,就是他高高大大的冷却塔,相信有些人已经见过哈,那这个冷却塔的形状我 可以告诉你,就是一个单叶双曲面,而这种曲面的设计就可以最大限度的节约水资源。所以啊,我们线性代数还是有着非常重要的应用的,由此可见一般。 那最后呢,我请大家来思考一个问题啊,就是我们什么妥求面啊,双曲面等等,为什么都是二次函数呢?为什么就不能是一次或者三次或者其他形式的函数呢?我可以先抛砖引玉一下哈,这里面与勾股定理有关。

关于矩阵阵地的性质,我们列举了以下八条,第一条实际上就是定义什么叫阵地一定是正的嘛,对吧?对于任意一个 非零的 n 为项链,这个二字心都是朕的,这叫朕的。那第二个说的是你变成标准型以后,那二字型对应的标准型,你的系数全为正,就是我们刚刚举的那个例子, 假如你把这个二字琴变成标准型了,你这个标准型前面的气势都是朕的,那你当然就是朕的。 我们先看四四说的是 a 的所有特征值都大于零,那如果我们用镇交变换法把一个矩阵 a 相 对角化了,那么那个对角镇的主对角线元素就是 a 的所有特征值。那么在二字形的标准化里, 把一个二字形最后变成标准二字形的时候呢,那个对角正上的系数就是聚阵而的所有特征值,所以二跟四是一回事 啊。或者是在我们用镇交变换方法来把二字型变成标准型的时候呢?他是一样的啊,因为你用二次镇交变换法把二字型变成标准型的系数就是矩阵 a 的所有特征值,所以二跟四是一致的。 第三实际上是我们做作业的时候呢,经常要用到的一个啊,他说这个 去震是不是镇定的呢?我们往往要用第三个啊,就用它的方法是它的。真解决的什么问题呢?解决的去起去震,比如啊,二三三 五啊,这个一三一三一百,好胡乱编了一个对称矩阵,那我看这个矩阵,哎,是不是一个 镇定居镇呢?那这个方法很多,比如可以用第四个方法,我求他的特征值,看四个特征值是不是啊?看三个特征值是不是都是朕的。那还有一个方法,就是第三个方法,看什么呢?各 顺序阻止四。顺序阻止四啥意思?就先看他的一节指示,一节指示我们就选一行,选一列,有九种方法,那我就选第一行,第一列,那就是二 二大一点。然后再看二阶姿势,选两行,选两列,选哪两行选哪两列,选前两行,选前两列,那就是这个行列式二五三三,他的行列式 等于十减九,等于一还是大于零,那最后最后就看整个 a 这个行列式。假如这个 a 的行列式还大于零的话, 那么我们就得到 a 是镇定的啊,就是 a 的各阶主顺序,主子是权大。 那我刚刚讲的这就是他的一阶、二阶和三阶组组训。 第五条,如果 a 镇定的话, a 一定于单位居正一合同, 与单位集成一合同的意思就是存在一个可逆矩阵啊,他的转至乘上一个亿,再乘上一个,这个矩阵 p 就等于 我这个 a, 这就叫 a 与 e 合同,因为 e 成任何矩阵还是任何矩阵。所以我就说啊, a 与 e 合同实际上就是 a 可以拆成两个相互转制的矩阵的沉积,当然这个 p 必须是可逆矩阵。第六条、第七条和第八条是单向的。 假如镇定的话,我的就是满志,那因为你镇定的话,你所有特征值都是朕的,没有零,所以你就是满志。 还有一个特点,如果你是镇定的话,主对角线元素全是镇,你的行列式一定是镇。 如果你是镇定的话,你的所有上标运算都是镇定的,因为 a 的转世还是 a 自己,所以他就没有写出来了。 a 的逆, a 的伴随和 a m 次方这样的去震,他还是镇定的。

好,同学们,大家好,我们来先把题目看一下我们题目。哎,所知二次行他的至为二,那很明显,二次行的至为二,是不是二次行举证的至也为二啊?好,第一个,那二次行举证的至为二,我们求小 a 的值。 好,那二字型,知道了咱们的二字型举证 a 可以不可以写出来?好,先写出举证 a 来, x 一方没有零二零 x 一 x 二, a 一二的位置和 a 二一的位置平分,我们的系数一跟一 x 一 x 三, a 一三和 a 三一的位置平分,我们的系数负一负一 s 二 x 三 a 二三跟 a 三二的系数是我平分我们的系数啊,哎,是个 a 和啊 a。 好,因为我们的这个二次性的质为二, 是不是很显然 a 的值就是个二了, a 的值是个二。所以这道题目我们是不是首先可以直接用行列式为零来判断?或者是你也可以啊,对他进行初等号和减,我们用制来判断。两种方法都可以啊,两种方法都可以。好, 我们直接用行列式吧。好吧,因为这为二,所以我就知道 a 的行列式啊,等于零。好, a 的行列式,你一求是个负,二减去个二, a 等于零,很显然我 a 的值他只能等于个负一。 好,第二个,用正交变换法来把这个正交变换一圈啊。用正交变换法将咱们的二字形化为标准型正交变换法,所以咱们画成的标准形,他的系数都是我们的特征, 对不对啊?用中交变换法放二次行为标准型,并且出我们所用的坐标变换。 好,第二个,那既然用中招变换法,所以我们必须求他的特征值和特征项链来。首先求特征,使用我们的特征方程法,拉姆的一减 a 的行列式,求说特征多项式,哎,拉姆的负一一负一,拉姆的减二一一一拉姆的 好,然后对他进行行列变换,求出来的是拉姆的乘上个拉姆的加一,乘上个拉姆的解散, 好,等于零。很显然,我们可以得到我们的三个特征值,分别为,拉姆的一等于个零,拉姆的二等于个负一,拉姆的三等于个三。好,接下来 就是求咱们的分别不同特征时所对应的特征项链。因为我们进行的正交变换是不是一个 q 啊?所以我们要对他进行 q, 要对他进行这种交换,跟你单位换,是不是啊? q, 他得是一个什么样的举针,正交举针吗? 哎,所以,那你要观察我们的每一个特征项链是不,首先得保证特征值的特征项量得相互正交啊。那很显然, a 是个十对称,举证我们不同特征值的特征项量已经正交了, 所以说这一步不需要做了,所以咱们只需要求出他们三个分别的特征值,将其进行单位化就可以了。好,所以来当我们的拉姆的一等于个零时,好,零一减 a 来拿下来啊,拉姆的 a 零是零,一减 a, 零负一,一负一负二,一一一零,这个我教过大家,两步就可以出来结果啊。因为拉姆的等于零,等于负一等于三的时候,我们的行列是是不都为零, 所以都不满志是不是?行列是为零,肯定不满志,是不是?所以你上来直接给我把最后一行写成零, 我教过大家吗?对不对?好,那第一行咋办呢?第一行你找最简单的一行给我放在第一行上,很显然,第三行简单,是不是? 那第二行怎么办?找剩下两行当中跟咱们选中的这个第一行不成比例的一行,对他进行出等行花钱。很显然,第一行是不是直接来成个负一零一负一。好,接着第一行跟咱们第二行一花钱就 ok 了 啊,一零一零一,负一零零零, ok, 咱们的行最减刑出来了,所以咱们的二法是不就出来了?好,顾二法一,他就等于来 最后变量分别取一取取零啊,非最后变量分别取出的小缓数。 ok, 题目没有结束啊,咱们要求的是正交举证,所以咱们的每一列不光要相互正交,每一列的项链是不是还得进行单位化?所以阿花一知道了,好了,择我们的噶嘛一也就知道了。一比上根号三倍的负一一一 转至啊,别忘了列项链,明白了吧?好,那同理。我们求出拉姆的二等于个二负一和拉姆的三等于三的特征。项链好, 当栏目的二等于个负一时啊,负一一减 a 来把它拿出来。 负一负一,一负一负三,一一一负一。好,首先找最简单的一行放在第一行,很显然,咱们最后一行最简单,是不是好,直接扔在第一行一一负一 好,最后一行直接写成零零零,然后剩下第二行找一个与咱们选中的第一行不成比例的。 那很显然是吧,第二行跟第三行,第一行跟第三行其实是成比例的,所以第一行就是咱们的零零零,第二行跟他进行黄花结,咱们两个一加是不就可以了?一加完了之后这是个零,什么零?第二行跟我们的新的第一行,一加零,负二零啊, 零负二零,你直接给我变成零一零,第二行整体出负二,好,最后第一行再减第二行一零负一零一零零零零, 好。所以我们得到我们的特征销量,二放二,他就等于个一零一。很显然我们就知道了,单位换噶末二就等于一比根号二倍的一零一, 好。最后一种情况,当栏目的三等于个三的时候,我们解特征值为三所对应的特征项链,好,三一减 a 拿出来好,直接先写一下,对不对啊?三负一,一负一一 一一一一三,好,进行横画减,是不是找最简单的一行给我放到我们的第一行上?很显然,第二行是不是最简单的一负一负一, 好,最后一行直接写成零零零,然后你去找与我们选中的这个第一行不成比例的,很简单,第一行跟第三行都不成比例,那你就找简单的吗?是不?我们让我们的第三行减去咱们新的第一行,是不是啊?零二四, 所以一化减之后是零零零,第二行就是个零一二,是吧?第一行加上我们新的第二行啊,哎,一零一 好了,所以我们就可以解得咱们的这个特征 产量,顾二发三,他就等于自由变量分别起一,其余起零得到非自由变量的数值啊。负一负二一好了,顾,我们就知道噶嘛三对他停当的话,一比上根号六倍的负一负二一 好了,三个特征纸和特征材料都出来了,是不是啊?所以令我们的 q 他就等于 嘎嘛一嘎嘛二嘎嘛三好,它分别等于嘎嘛。一,是不是我们拉不到等于零所对应的啊?负的一比跟三,一比跟好三,一比跟好三好嘎嘛。二是我们的负一所对应的。是不是啊,一比跟好二零,一比跟好二 二嘎嘛。三是咱们的蓝的等于三所对应的,负的一比更好六,负的二比上更好六一比上更好六 好 q 另出来了,是不是?另,我们的 q 等于他对不对?所以经过 x 等于个 qy, 哎,我们就可以使 s 的转至 ax, 他就会变成 y 的转至 q 的转至 ab 的 q 乘个 y, 很明显他就是我们的对角矩阵。 那出来的结果是,来按照你的顺序啊,按照你的顺序,第一个是谁啊?第一个是蓝的等于零的,第二个是蓝的等于负一,第三个是蓝的等于三,他是不是就是零倍的 y, 一方减去一倍的 y, 二方 加上三倍的 y 啊?你一定要按照顺序啊,这个结果不为一。 你 q 令的这个噶嘛,一二三的顺序不同啊,那我们的这个最终的标准型的结果就不同的啊,这个标准型的结果就不同的。 好,来,再看咱们的第三问,若 a 加上 cap 的意识正定,举阵求开来。同学们,我们先简单回顾一下我们的正定要求是什么?好,回顾一下我们的正定要求是什么? 那我们要正定,首先要我们的第一个是定义,对于任意的不等于零的一个 x 的项链是不?我要均使 x 的转至 ax 都是一个大于零的,你 x 任意不等于零,我是不是都得满足这个好?第二个,那如果我们求出特征之来呢? 我们是不是要求所有的特征值均是个大于零的?好,第三个,我们要求正惯性指数是个,嗯,对不对? 好。第四个,我们是否可以说我们的存在一个举证, c 是 c 的,转至 ac 等于个一,等于个单位举证一,其中 c 是个可逆的,那这句话是不是就是说 a 与我们的意是合同的,对不对? 好,那第五个,我们是不是就可以用顺序主子是均大于零了,对不对? 好,来,那你看这道题目用哪一个呢?很显然我们用的特征值,因为第一位已经求出特征值来了啊,第二位已经求出特征值来了呀。好,所以来,因为我们知道拉姆的 a 的特征值, a 的特征值,他分别都是来 刚才取出来是个零负一三,好,所以我们就知道 a 加上太逆的特征值,多项式他就是一个太负一加太三加上个太。 好,因为要满足正定,所以必须保证每一个特征值都是一个大于零的。好,因为 a 加上概意为正定举正, 正定举正,所以我们要求所有的 a 加上拉姆的 e、 k、 e 杯的这个特征值是不均是个大于零的。 好了,顾,很显然我们我们要满足 k 大于零起负一加 k 大于零起三,加上 k 是个大于零的,太固定了。很显然,我加个零,加个负一加个三,你要找里边最小的谁最小? 复一下看吗?那你两个取交集之后,很明显我要满足看,一定要是个大约一的即可, 对不对?只要满足开大于我们的 a 加开一,这个举针,他就是一个正定举针 啊,一定要记住了,我们要判断正定,如果题目已经给你特征值了,那你就直接用特征值均大于零来判断 啊。哎,如果没有给你的话,那你可以用我们的定义法判断啊,抽象举证啊,你也可以用怎么的正惯性指数来判断啊,也可以用合同。那如果给了你一个是个三阶或者是四阶的数字型举证呢?那咱们就可以采用咱们最后的这个顺序啊,主子式来判断 啊。顺序主子是来判断,听明白了吧?好,没问题了啊,没问题。


哈喽,大家好,今天来看一道山东大学高等代数的考研题,如果 a 是半正定时矩阵,发下关键信息哈,求证。满足。 xt a x 等于零的 n 为十下量全体构成某。其次,限定方程组的解空间。 这句话很长啊,我们分析下他是在干什么?首先, a 是半正定实际阵,那么这个 x t a x, 这就是一个半正定二字形,对吧?那 半正定的意思就是说,你把这些所有的非零的 x 带进去,那有的带进去他就等于零,有的带进去就大于零,这就是半正定的意思哈,那这道题让你证明的就是 你把那些带进去等于零的那些所有的 x, 他正好构成某。其次,现证方程组的解空间,意思就是说你自己找一个。其次,现证方程 组哈,使得他所有的解正好就是带进去等于零的那些 x, 对吧?大于零的不是哈,就是正好等于零的那些是他的解,那就是说让我们自己来找这样一个陷阱方程组哈, 那做这道题呢,我们需要一个小小的定理哈,这个其实是是很常用的一个结论,在做其他题目的时候也用的到,所以我给大家总结一下哈, 就是若 a 是半正定时,对称矩阵,则存在某时矩阵 s 使得 a 等于 s, t 乘以 s, 就好比把这个 a 给你分解了一下哈,然后写成这种形式,就有点类似于开平方,当然他不是严格的开平方哈,他前面是 st, 然后乘以 s。 那么先来证明一下这个结论哈,这个还是不是很难的。首先, 间十对称矩阵对吧?我们知道一出现十对阵矩阵,就立马想他可以正焦相似于一个对角矩阵,所以就是说存在某正焦矩阵, 管他叫做 p 吧,使得什么呢? a 就等于 p, 对吧?这块你写 p t 还是写 p n 一个意思哈,因为正焦句这么 p t 就是 p n 乘以对角,正蓝不打,然后再乘以 p 吧。 同时我要求你这个栏目的是什么呢?是他的所有特征值排列起来的对角阵,对吧?你就可以这样写吧,栏目的一,栏目的二,一直到栏目的 n 哈,然后乘以 p, 然后不要忘了,半正定矩阵就相当于你这些栏目的一到栏目的 n 所有的特征值都是非负数吧,对吧?而且里边还有零啊,如果没 没有零的话,他就成正定了的,但不管怎样都是非负数,非负数就可以开平方了吧,就相当于我这样的哈。 pt, 我给你把这个对角阵给你写成根号下栏目的一,根号下栏目的二, 然后根号下栏目的,嗯,然后啊,再乘以根号下栏目的一,根号下栏目的二,然后根号下栏目的,嗯,对吧?因为对角矩阵吧,你就可以这样 对角元素分别相乘吧,这就相当于把这个蓝莓的一,蓝莓的二全都给他拆成这样的形式啊。然后后边再乘一个 p, 那我中间这个新拆出来的这个东西我再给他,呃,用个新符号,比如说我就记他等于 d 吧, 等于 d 好了。然后 d 本身也是个对称矩阵吗?因为他是对角句吗?对角矩阵肯定是对称句号,所以说 d 他的转置和 d 是一回事。 所以我就想把前面这个东西我给你写成 d 的转置哈,然后那他不就相当于 pt, 然后 dt, 对吧?然后乘以 d, 然后再乘以 p, 在前面两个都在转置,那我就给你弄到括号里边呗,对吧?弄到括号里边扩起来之后,再来一个转置,然后 dp, 那这不是出来了吗?于是我就取,取什么呢?取这个 s 就等于 dp 就可以了哈。 这样一来,那我原来的 a 他不就等于 s t 乘以 s 吗?这就正完了。对,我这里边这个 s 哈,他应该是一个不可逆矩针,对吧?因为这些特征这里边我刚才说了,那至少都不包含零哈,你一旦包含零的话,他就是一个不可逆, 所以我们就可以推广一下哈,如果你这不是个半正定,而是个正定哈,就是前提条件,我要求是正定矩阵,那么这个 s 前面我就可以给你加上,结果他就是一个可逆的 s 了,对吧?就是这样一个简单的结论。行了,有个这个结论之后啊,我们再来证明这道题,那这就简单了哈,因为我先看一下 要构造一个陷阱发生组哈,我说了,首先他是一个十对称半正定的十对称,所以他就按照我们刚才的定理哈,他就存在一个 s t, s 吧,对吧?那我就构造这样一个东西哈, 我构造谁呢?我就构造 sx 就等于零,这就是一个线性发生组啊,对吧?那我接下来来论证一下我找到的这个线性发生组,他就是我们要正的这个线性发生组啊,就是说 sx 等于零,他所有的 解都满足 xtax 等于零,反过来满足 xtax 等于零的那些 x, 他也正是 sx 等于零,就是正视他的解,那么第一步哈,就是弱 你这个 xt a x 等于零,就说我这样这个 s 啊,满足这个式子,那么我就证明他是这个他的解哈,所以说我就继续往下推,那就 按照我们刚才写的,你把 a 写成 st, 然后乘以 s, 再乘 x 等于零吧,对吧?那这个东西呢,我们就给他转置一下好了,就是 xx, 然后他来个转置,然后 xxx 等于零,对吧? 那 s 乘以 x 呢?他就是某个项链,比如说我们就记为 r 法好了,那 r 法 t 乘以 r 法等于零,说明什么呀?说明 r 法本身就 就是一个零项链啊,对吧?这个很好说哈,比如举个例子啊, r 发呢,你是 x 一 x 二一直到 x n, 然后呢,你给他转置一下,就变成 x 一,对吧?就是横着写哈,就变成他了,那他俩成在一起等于谁啊?那就是按照我们矩阵乘法,当然也可以给他看成是内积哈,就是 x 一的平方加上 x 二的平方,一直加加加,加到 x n 的平方吧, 然后如果这个等于零的话,那所有的平方加在一起等于零,那我就推出来,你 x 一到 x 二一直到 x n 都等于零吧,对吧?所以说上面就是这样来的哈,就是说 s x t 乘以 s x 如果等于零,那么就可以立马推出来哈,推出来你这个 s x, 他不就等于零吗?对吧?这相当于我们证明了。第一步哈,就是说你满足这 这个的 x, 他给你带到这个方程里边,他都是等于零的。第二步啊,我给他反过来就是入 s x 等于零,那我们来计算一下 x t 乘以 ax, 他是等于多少?那还是让 s t, 然后把它变成 s t, 然后乘以 x, 然后 x, 然后那就是 s x t, 然后乘以 s x。 那他本身就是零了吗?对吧?零像量,这是零像量哈。零像量转至成零,那零成零还是零呗? 证明第二步啊,就是你满足这个方程组解的 x, 你给你带进来。哎,他最终结果是零,所以两边都走了一遍。我就可以说明你这个式子所有的 x 正好就是 ss, 等于零。他的解空间这个就是我们要构造的方程组哈。这就结束了。

我们来看这个题目,这里面包含三位,咱们呢先证明第一位啊,首先我把这个矩阵 a 射出来, 然后呢,把这个 h n 减一啊,这个顺序啊,主子式的所对应的矩阵和射出来。 其实这个矩阵呢就是嗯,矩阵 a 的前 n 减一行和 n 减一的。 然后呢,再领,嗯,再领。 很容易发现这个阿尔法呢是一个 n 减一尾的,嗯,裂项链。那这样一来,我呢就可以把橘子分成四个 扔四块。那这样一来,这个 a 的行业是啊,就等于是,那就等于 就等于。我跟他可以把这个好像是拆成两个,按照最后一行啊,拆成两个,好像是纸盒, 这个是零啊,这个是零。 那前面我们知道这个,因为这个 n 减一啊,是一个也是什么?一个镇定矩阵 也是一个镇定局的,那自然有这个结果啊,这个结果我们在前面已经正过 这个结果,他那是小于等于零,他小于等于零。那所以嗯,那个 a 的横列是就就是小于,嗯,这个横列式 哪个呢?小一 n 减一二发谁呢?零 an 还等于 an, 这是那乘以 这个就是 谁啊,这个谁就是 h n 减一,嗯, h n 减一。那这样一来,我们呢就证明了第一位。那利用这个第一位啊,我们呢很容易啊,得到这个第二个结论的结,第二个,第二个,第二个啊。提到证明, 那 a 把小于 a, h n 减一,那再利用啊,这个减龄。我们呢可以得到 a 小 jn n 减一,谁呢? n 减一 h 谁 零减二,那一次下去啊,现在小于 n, n 减一等等。 哎,好,这是第二个第二个证明。那我们看第三个证明啊,因为这个 t 啊,因为 t。 什么是一个可能矩阵?是一个十可能矩阵, 石刻泥矩阵。那他既然是石刻泥矩阵,那我们知道啊,题的转至啊,乘 t 是吧?是一个镇定矩阵。这是前面啊。我们在第五章二次性里面我们经常提到的一个结论 是一个什么正定局的。那我们呢?把这个结果算一下哈。结果 a 的转至乘 a, 那就等于 a t 啊 t 啊。 t e t e r t en t 阿姨 t r 等等 t i t n e tn 二等等 tn。 这是第一个矩阵。第二个 t 就是 t 一 t 二等等 tn t 二一 t 二二 t 二 n 等等 tn 一 听啊听好。我们按照局任成绩的预算规则啊,算一下。那我们关心的什么?关心这个是对角线啊,其他位置我们可以不看啊。对角线。如果我写出来的话是第一个是谁呢? 这个是 t 一一平方谁? t 二一平方加上等等 tn 一平方是。那其他位置我不写。我呢,可以用星号来表示。 那第二行啊,第二位置啊,是谁呢?是 t t 一二平方加上谁呢? t 二二平方加上等等 t a 二平方。前卫直播可以补鞋啊。那一直下去啊,我前卫。这就是星啊。 我就表示最后啊,最后这一个位置谁呢?是 t 一 n 平方加谁呢? t 二 n 平方加上等等 t 嗯,加上 tnn 印花好,那利用前面啊。我们说就是利用这个。第二问 我们呢,很容易得到什么?就是 t 的。转至这个题的行业是他应该什么小于啊,这叫线原则成绩。那就是呢,就是啊,就是派二。从一这里连连成符号到几呢?到 n 啊,谁呢?是 t t t 这个 这个是 t。 好,是 t 什么呢?我们可以写一下啊。是 t。 嗯,一一二平方加谁呢? t 二二平方加谁?等等。 t 是 n, 二平方就是我们啊, 就是我们,就是前面啊,前面这个 t 的结论啊。有因为啊,有因为。我们知道这个 t 的转至乘 t, 他等于什么呢?他等于 t 的转至乘 t 啊,等于 t 的平方。 嗯,那结合这两者,那我们呢?就可以什么得到第三位的证明?
