立方和公式应用

如果你听说过数学的话，画两个正方体，体积分别为 a 的三次方， b 的三次方放在一起， 冷场大减小，得到 a 减 b。 同理， 相见新的立体图形即为所求 切开 why 分别散体剂 提取供应时 得到立方，茶工时 把币换成副币，得到立方和公式 把 b 换成 e， 得到重要变形。

大家好，今天呢，我们专门来讲一讲这个立方公式啊。立方公式的话很多初中生不知道，但是到了高中的话，他是有大用处的啊，高中老师有些也没有专门去讲过，咱们来讲一讲， 那么这个立方公式的话，分成四条，一个是立方和，这个很好记啊，立方和就是 a 和 b 两个圆的立方，先立方再加起来，这不就是立方的和吗？那立方差的话，就是先立方 a 的立方， b 的立方，然后中间是减号，这就立方差。嗯， 那完全立方和完全立方差这两个公式的话也好记，完全就是加个括号，加个整体的意思哈， a 加 b， 完全啊，立方和中间是加号啊，完全立方差，中间是减号，对吧？那么记忆方式的话也非常简单，比如说咱们看这个 a 的三次方加上 b 的三次方，证明的话，非常简单啊，你只需要右边利用多项式的乘法，多项式乘多项式，等于多项式的每一项啊，就是一个括号的一项呢，每一项去乘另外一个括号的每一项就行了。那么这个 a 的三次方加 b 的三次方的话，它是等于第一个括号是 a 加 b， 然后呢，会有什么？ a 方减 ab 加 b 的平方，这个证明是很简单的，你从右边向左边推吗？那么这个立方差公式的话，怎么理解呢？其实你减去 b 的立方啊，完全相当于 副 b 的三次方。哦，我知道了，其实这俩公式本质是一样的，我只需要把圈一这样一个公式里头等号里边每一个 b 都变成副 b 就行了。好， a 方减去 a， 再乘副 b， 负负得正嘛，所以 中间是加 a b， 然后其实本来后边应该是负 b 的平方的，但是负负得正，我们也直接写成 b 的平方，这样就从立方和公式推出来立方差公式了。这个很简单啊，包括后边这些， 他的话，其实高中生，尤其是高二同学，学完什么呢？学完这样一个二线式定理之后的话，那肯定自己都会推的啊，那么咱们这个立方的话，也是挺好推的，你可以先这样，这个 a 加 b 的 三次方，我可以理解为这个平方再加上一次方，这个好理解吧。然后呢，再来一个 a 方加二 ab， 再加上 b 方，然后再乘后边这个 a 加 b， 然后用多项式乘多项式的这样一个多项式的乘法法则，对吧？用一个多项式的每一项去乘另外一个括号里头每一项，最终在合并，很快就会 推出来 a 的三次方，三 a 方， b 再加上三 ab 方，再加上 b 的三次方子，这个其实都非常好理解，也很好去推。大家一定要记住这样的形式哈，因为在这个考场上，尤其是高考的考场上，你时间很宝贵的哈， 你只要记住这几个公式，特别熟练的算出来了，你记得这几个公式了，那省的你去推了，对吧？那继续， 这是完全立方和那完全立方差，怎么理解呢？其实你里头这个副币啊，完全可以改成哦，知道了， a 加上副 b， 这不还是本质上完全立方差公式就是完全立方和公式，我们只需要把圈一里头这样一个等号里边每一个 b 变成什么啊，变成副 b 就行了，三 a 副 b， 所以才有了 负的三 a 方， b 清楚了吧，本来他后边应该紧接着写的是三 a 乘负 b 的平方，但是负负得正，我们就写三 ab 方一样的，那本来最后一项是应该写负 b 的三次方，三次方的话，这个负号是可以拿出来的， 这样的话就推出来完全立方差公式了。所以本质上大家只需要记两个公式，然后呢，你自然而然就记住了另外两个公式了，只要知道立方和，就肯定自己能推出立方差来，只要知道完全立方和，就肯定自己可以很快想到这个完全立方差，这个都很简单的啊，不多说了， 我们初中的话非常简单，大家都知道这个平方差公式吧，还有这个完全平方和，还有完全平方差，这个就不多说了啊，大家呢，到了高中，必须把这四个立方公式也非常熟练的掌握，那么 掌握了之后的话，现在我们就要练题了啊，先练两道吧，其实本来这个利益是有三道的，第三题麻烦一些，那咱们这个第一题的话，一看， 这是一次方吧， x 的一次方，然后呢？嗯，右边是 x 三次方，然后 x 分之一的一次方。其实你这个 x 分之三完全可以理解为 x 分之一，这个整体的三次方其实都是一回事，所以肯定会联想到这个立方公式， 那我们先联想到哪个公式呢？先联想到的就是刚刚学完的这样一个立方差公式，那我们就利用一下这个立方差公式，看能不能推出来最后这样一个结果啊。答案是肯定的，可以推出来。那么怎么推呢？来， 这不就是立方再加上立方吗？既然是立方的话，我们直接利用这样的立方盒就直接 推出来了哦，然后就变成了他。你把 a 看成 x， 你把 b 看成 x 分之一吗？这样一带不就带出来了呀，就变成了 x 方，然后呢，减去本来应该是 x 乘 x 分之一的啊，但是他俩乘起来就等于一嘛，对吧？再来一个 x 方分之一就行了。 写成这个样子之后的话，我的建议是第二个括号换一下顺序哈。就是为什么要换一下顺序呢？ 把这个负一写到最后，因为很简单，我们的已知条件是 x。 哦，我知道了，那接下来画圈这两部分你能不能想到什么东西啊？ 肯定能啊，我是要往什么地方去想的？要往平方公式上去想的。初中平方公式非常熟练了，我就直接写了。来吧，告诉我这个括号等于几？等于二。所以咱们就直接把第一括号写成二了啊， 就不多说了，来，什么关系啊？画圈这两部分很简单嘛，就一个平方关系， x 加上 x 分之一啊的平方，再减去二倍的交叉项，是不是本来有个负一，你别忘了写就行。哦，原来是这么回事， 那最后的话不就等于哦，二乘这个括号啊，就是二的平方减二，这是二吧，减二再减一，那不就减三啊。所以最终结果写成了什么？写成了二乘一，答案就是二啊，这个是没有任何问题的，对吧？ 那这是第一种方法。利用的是什么？利用的是立方和公式。其实这道题的话，既然有三次方的话，我们也可以利用完全立方和公式的哈。可以，怎么考虑呢？完全立方和公式的话，我们就先把已知条件就是 x 加上 x 分之一，这个整体呢，先来一个立方运算，咱们直接拆开就出现了三次方了，然后三 x 方乘 x 分之一， 三 x 你直接带就行了， x 方分之一，然后再加上 x 分之一的三次方，对吧？就这样一个形式。那么写完这个形式之后的话，你别忘了咱们求的就是什么，咱们求的就是 x 三次方加上 x 方分之一，所以这两个肯定是通过加法交换率放一块的。 然后中间这两项的话，其实我建议你改一下啊，你说他俩相乘都是什么？其实就是三倍的 x 吧，你说他俩相乘都是什么？其实就是三倍的 x 分之一吧， 所以我们中间这两项其实是可以把这个三提出来的，就变成了 x 加上 x 分之一了。这就很简单了呀，因为已知条件已经告诉你了，这个括号其实都等于几啊？ 等于二啊，这是已知条件，那我们左边其实就是二的三次方等于 x， 三次方加上 x 三次方分之一，再加上三乘二吧。所以啊，现在相信小学同学都会算了，我们这个整体等于几啊？当然是等于八，减去六。哦，原来也是二， 就是不管你用的是立方和公式，还是说第二个完全立方和公式，最后求出来答案都一样，都是等于二的。清楚了， 那既然有了这个立方和完全立方和，那咱们见。接着啊，来看另外一个一样的，有些人说了，可是他长得一样啊，一个换成了加号，一个换成了减号，所以他答案也是二，错了，你可不能想当然哈， 他是这么回事，咱们算一算，第一种方法的话，咱们还是利用立方，因为人家中间是减号啊，你就要用立方 差公式了。所以我们这样利用的话，就是 x 三次方减去 x 三次方分之一，它的话就变成了 x 减 x 分之一再乘 x 方。原来其实应该写的是这个东西，但是因为本质上它俩 乘起来是等于一的嘛，我就直接写上一了，再加上 x 方之一，这个都好说，直接套公式就行。你把 a 看成 x 嘛，你把 b 看成 x 分之一嘛，马上要出来了。 那么当你写到这之后的话，我们这个 x 减 x 分之一已经等于二了，就不多说了哈。哎，换一下顺序吧， x 方和 x 方分之一写到这，你说接下来怎么变啊？有同学说，老师，我这个括号里头啊，我呢，应该写成 x s 加 x。 呵呵，你要往这个方向写，你就错了啊，人家已知条件是告诉你 x 减 x 分之一，所以你其实应该往减号用这样一个完全平方差公式，这是初中学的，我就不详细来说了， 懂了吧。也就是说画圈这一部分是等于减法的，就这样一个完全平方差再加上二倍的，这样你把中间项不就抵消掉了吗？清楚了吧，别忘了，最后这个负一你还得抄上。 那最终的话啊，两个倒数相乘，当然是等于二了，也就是说清楚了吧，最终结果是二乘多少啊？这个括号里头不就是二吗？啊，二的 平方再加上加二，再加一，那就加三啊，二乘七，你说得几？所以答案是十四啊，千万不要想当然以为啊，这两道题其实就一样啊， 所以他答案是二。不是啊，第一题答案是二，第二题答案是十四，这是第一种方法，我们用的是什么？用的是立方差公式，那么其实还可以用什么方法呢？一样的嘛，我们还可以用完全立方差公式，这个时候就得先考虑根据已知条件， 把这样一个 x 减 x 分之一，这个整体线立方了，他的话就变成了这个样子吧，减去三 x 方乘 x 分之一，加上三 x 乘 x 方分之一，然后再加 x 三次方分之一，这个套公式就能实现，很简单。 那么右边的话，我们肯定是要把这个，哎，最后一个应该是负号的啊，千万别写错了啊， x 三次方减去 x 三次方分之一，中间的话，其实 你先乘一下他应该是三倍的 x， 他俩相乘应该是三倍的 x 分之一，我们中间这两项其实应该把这个三，或者说把这个负三提出来的中间这两项，把负三提出来之后，得的就是 x 减去 x 分之一嘛。来， 现在你说能算成最后结果吗？很简单啊，我们这个括号显然是等于二的二的三次方等于 x 三次方，减去 x 三次方分离，再减三乘二，所以你这个地方其实是负六的啊， 那最后一项之后的话，这个 x 三次方减 x 三次方分离，这不就等于二十三次方八再加上六吗？对吧？所以答案还是十四的，一定要清楚啊，都是可以的，这四个公式都要完全掌握才可以。那么接下来这道题的话，你也 可以考虑一下完全立方公式也可以考虑一下啊，立方和都行啊，不管你怎么考虑吧，最后求出来结果肯定跟我一样。咱呢讲一种方法啊，只要能做对就行。怎么办呢？ 我们这样来思考这个题，他有个 x 加 y 的三次方，他呢？那我直接根据已知条件，因为你毕竟是要出现三次方的吗？我这个已知条件，直接立方就出现 x 三次方，加上三 x 方 y， 对吧？然后呢， 再加三 x y 方，这就是完全立方和公式吗？这没什么可说的。那么继续了，我们这个 x 三次方，还有这个 y 的三次方，肯定是要写一块的， 然后中间这两下是可以把公因是三倍的 x y 写到一块的，对不对？行， 那么接下来见证奇迹的时刻就到了呀，你看这个东西，你说左边是几啊？ x 加位是等于一的呀。啊，那就是一的三次方等于 x 三次方，加 y 的三次方，再加三 xy 这个括号等于几？等于一啊，等于一乘一，我就不写了，所以答案是几？ 答案三次方加三次方，再加三倍的 x y， 答案等于一呗。那这个题其实就已经做完了清楚了吧， 但是好像做这些题目呢，难度还不够，那么你自己呢，最好再练一练，既然是拓展题目，他肯定是有一定难度的，我的建议是，你自己呢，花那么几分钟，花五到十分钟的时间练一练，看能不能想出来，然后咱们再对答案。 有天说了，老师，你这个拓展题和利益的最后一道题不是一样吗？他其实相当于 什么？它相当于已知多少啊？已知 a 的三次方，他只不过把 x y 换成了 a 和 b 啊，我们拓展这道题，就是 a 的三次方加 b 的三次方再加三 ab 等于一， 然后问，问什么呢？问这个 a 加 b 等于几？哎，那那反过来不就行了，等于 e 啊，呵呵，你以为呢？ 你只算了其中一种情况而已，清楚了吧啊，正着来推，答案是一，但如果已知答案是一推可不，不仅仅能推出来 a 加 b 等于一的，所以你不要以为我就是简单的把括号三反过来了。不是 题目反过来了，逻辑上他其实最后答案是多一个的，他有两个解答啊，为什么？原因在这呢？这个题确实难啊，那看了，我是这样思考的啊。首先， a 加 b， 你 a 的 三次方加上 b 的三次方，我们可以利用一下什么公式啊？利用一下立方和公式。这个我们刚刚说过，这个呢，就不详细说了，对吧？ 那么改到这一步之后的话，你要注意，你这个 a 和 b 都是以一次方的形式呈现的，所以改到这还不够彻底。 哎，画圈部分，这个平方加平方，是不是还是应该变成这种完全平方？就是变成变出来这个 a 加 b 的形式啊，你说是不是啊？啊，是这样的，所以我们接着继续往后边变就行了吗？多简单行了吧。 但是这个地方的话，他已经有这个 a 加 b 的平方再减 r a b 了，你再多减一个 a b， 这不就是负三倍的 a b 吗？所以大家一千万不要蒙了啊，他多减了一个 a b 的这个后边。好， 后边的咱们就保持不变了，把等号右边这个一移到左边来，移向要变号就变成了负一了。 那么再接下来应该怎么思考呢？嗨，继续啊，再接下来就好说了，我们先把前头这些比较复杂的这一部分呢，先拆开括号乘括号，这不就是 a 加 b 括号的三次方法， 括号再乘多少，再乘这个负三 ab， 你看这就一个负三 aba 加 b 了，这个负一调一下顺序而已啊，其他都没有什么。那为什么要这么整理呢？原因其实很简单， 你这个三 ab 你就没什么想法呀。三 ab 咱们是可以分组分解的嘛，也就是说他俩是一组，前头是一组，清楚吧？也就是说往下处理的话，你注意后边这两项，我是可以把负三 ab 这个整体公因是给提出来的，提出来之后就剩下三，就是这个 a 加 b， 再减去一了，这个没问题。那前头呢？前头他是怎么出现的？也简单， 你来一个立方差公式吧，你看是不是完全立方公式，有了立方差公式你也得会。 那好了，接下来直接利用立方差公式， x 的三次方减 y 的三次方，等于 x 减 y， 再乘 x 方加 y 方，然后再加上多少？再加上 x 乘 y， 就这么个意思嘛，很简单的，对不对？那么我们一整理就变成这个样子了，你把 a 加 b 看成那个 x， 把一看成那个 y 套进去就变成这个样子，那变成这个样子之后的话，它究竟有什么好处呢？我们发现，哇塞，是不是又有个呀？这就是因 是分解里头的分组分解法吧，先把它分成两组，再分别。音是分解啊，对吧？音是分解，那么分组分解之后的话，我们发现又有新的工音式了，这 前头是不是有个 a 加 b 减一这个音是，后面又有个 a 加 b 减一，那傻子都知道怎么做了呀？所以我们要把这个公音式 a 加 b 减一这个整体提到最前头来，剩下的就放一块了，这个清楚吧，没什么可说的，那你要看的就是这两部分， 这是一部分，第二个方框呢，也是一部分， a 乘 b 等于零，其实我们可以推出来两样的，就是 a 可以是零，对吧？没问题。或者呢，这个 b 也可能为零，没问题吧？我们啊，都好说， 那首先你要看的就是整理一下啊，这个括号都打开整理一下，那首先第一步就是当 a 减 a 加 b 减一等于零的时候，我们推出来这个 a 加 b 是等于一的，所以横线上确实有个答案是一，但是比较难推的就是后边这一步，当第二个括号 他是比较难的，清楚吧，我们主要考虑的就是后边第二个括号，这个 a 方加 b 方减 ab 加 a 加 b 加一等于零，他究竟怎么去处理才能够得出来 a 和 b 的值或者 a 加 b 的值，清楚吧？来到这个时候， 不妨哈，我的思路其实很简单，如果你仅考虑这前三项的话，其实是 a 加 b 的平方，我们是可以考虑到，可以考虑到配方的，那如果你只考虑 a 方 a 和长数的话，其实是可以想到 这个 a 加 b 的平方，这个没问题吧？那如果你只考虑谁呢？只考虑这个 b 方 b 和 b 和这个一的话，那是有可能考虑的哦，其实他就是一个配方啊。接下来可不是因是分解啊，所以这个题对你的计算能力要求特别高的， 计算功底要求啊，特别高。那所以接下来应该怎么办？嗨，我乘个二倍，其实你就知道怎么回事了。来啊，左边乘个二倍， 二倍的 a 方，二倍的 b 方减二倍的 a b， 然后加二， a 加二， b 加一等于好，应该是加二啊，也因为成了个二倍嘛。 有人教我们了，老师，你给他乘个二倍有什么用呢？我们分组了啊。首先我要写一个 a 方加 b 方，再减去 二 ab 了。注意啊， a 方里头已经少了一个， b 方里头少了一个了啊，负二倍的 ab 都有了，那继续，我这个里头是不是还有一个 a 方啊，对吧？那就写成 a 方 加二， a 加一，那这个二 b 方也是已经有一个 b 方了，那就只剩下一个 b 方了。 b 方加二 b， 相当于把这个二拆成了两个一啊，你高兴吗？就每一项都物尽其用，恰好是这样，他这个题的考法就是这样。 那接下来前三项中间这三项，最后这三项配方就可以了吗？一个是 a 减 b 的平方，一个是 a 加一的平方，另外一个是 b 加一的平方，等于零，三个平方加起来等于零，那其实这三个平方都是等于零的。啥 意思啊？其实也就是说 a 减 b 等于零，对吧？且 a 加一等于零，且啊， b 加一等于零，那其实不就是说 a 和 b 都相等，并且求出来都等于负一的意思吗？只有这个时候才可以啊，清楚了吧。所以后边的也不用详细说了，只不过他呢，没有把这个 二给单独左右两边乘了个二倍，他呢，是把这个二分之一提出来，那最后结果也一样，对吧？最后结果就是 a 和 b 都等于负一吧，那此时 a 和 b 如果都等于负一的话，负一再加上负一，那不就负二？所以最后其实横向有两个结果，一个是一，一个就是比较难求出来的那个负二，一 或者负二，清楚了吧？那么这节课大家应该学会了这几个立方公式了吧，分享课堂知识，感受数学之美！我是杨帆老师，下节课再见！

body come on jump up like keeping getting tired 麻烦，别干净别简单。