今天咱们来讲一个高一必刷题,二次和对数的复合函数单调性的问题。 已知 f x 是 log, 以 a 为底,它的对数在一到二的 b 区间上单调递增,求 a 的取值范围。拿到这道题之后,咱们一定要看出来这是一个复合函数,那么复合函数的单调性就是四个字, 同增易减,内外层单调性一致,就是增的,单调性相反就是减的。所以拿到它之后,我们先把它改一下, u 等于 x 方减去 a, x 加三。还有一个函数就是 y 等于 log, 以 a 为底, u 的对数。这是我们说的复合函数,一定要使用换元法去思考这个问题,那么它的单调性内 外层里面肯定是外层,这个对数更好研究。所以第一种情况,如果 a 大于零小于一,那么内层函数 y 就是一个减函数, 他如果想在一到二上是单调递增的,那么二次函数在一到二上应该是一个减函数才对。那对于这个二次函数来说,他的增减由开口和对称轴决定。开口向上咱们来看,对称轴对称轴恰好是二分之 a, 那 a 在零到一之间,二分之 a 肯定小于二分之一大于零,也就是对称轴在一的左侧来看,此时一到二上一定是一个增函数, 增函数,这个是减函数,整体是减函数,肯定不符合提议,直接折掉。那么第二种情况 咱们再来看,如果 a 大于一,在 a 大于一的时候,我们发现这个对称轴呀,有可能在一的左侧,有可能在一到二之间,有可能大于二,但是 log a u 这个函数此时递增,整体在一到二上又是递增,那么这个二次函数本身在一到二上必须是单调递增的,那么我的对称轴二分之 a 就必须小于等于一,才能让他在一到二上单调递增,所以此时 a 小于等于二,并且大于一。 做到这一步,有些同学就认为这道题就已经做完了,但其实不是,这里有一个非常容易错的点,就是一到二上必须在定义域内,也就是说当他在一到二上的 时候,这个二次函数必须是正的才可以。我们再来看此时二次函数对称轴小于一,要想让他在一到二上是正的,只需要把一带入以后让他是正的即可。所以我们要研究一下,一减 a 再加上三,他要大于 与零,那么解出来 a 小于四,这个范围和这个范围求公共部分,最后还 还是他。所以这道题最终的答案就是一到二的前开后闭区间。但是这个易错点大家一定要注意,千万别忘了对数函数的定义域。好,这道题大家学会了吧!
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这个视频我来讲讲如何求 log a fx 的单调区间。前面咱们讲过 y 等于 a 的 fx 次方的单调区间。当 a 大于一时,整个函数的单调区间就跟 fx 的相同。 当 a 小于一时,整个函数的单调区间就跟 fx 相应,简称大同小异。其实不仅指数中是这样,对数中也是这样的。 对于 y 等于 log a f x 单调区间同样也是大同小异。比如要求函数 y 等于 log r, x 方减二, x 减三的单调区间, 看他的底数大于一,所以整个函数跟这部分的单调区间就是相同的。先求这部分的单调区间。另, fx 等于 x 方减二, x 减三,把他的图像画出来,他的图像和 x 轴有负一和三两个交点, 开口向上,当 x 等于负二, a 分之 b 等于一时, fx 取最小值,所以 fx 在这半段上单调递减,在这半段上单调递增,也就是负无穷到一是减区间,一到正无穷是增区间。 那整个函数的单调区间也是这样吗?那你就错了,别忘了,在落个周,帧数必须得大于零才行,对应到图像就得在 x 轴上方 小于等于零的这一段是没有意义的,那对应的 x 就得排除掉这一段,也就是富无穷到富一才是减去间三到正无穷是分区间,这也就是整个函数的单调区间啦。 所以要求落个 a fx 单调区间,不仅要记住大同小异,还得记住 fx 必须大于零。知道了这一点,咱再来解决一个题,以之,函数 y 等于 log 二分之一,负 x 方减四, x 加十二,他的单调区间是咋样的呢?先看底数小于一,根据小意,那整个函数的单调区间和这部分的是相应的,还是先求出这部分的单调区间?另, fx 等于负 x 方减四, x 加十二,画出他的图像, 他的图像和 x 轴有负六和二两个焦点,开口向下,当 x 等于负二, a 分之 b, 也就是负二时, fx 有最大值。 接着来看他的单调区间,注意, fx 得大于零。对应图像只考虑 x 轴上方的部分, 那 fx 在这段上单调递增,所以负六到负二是增区间。 fx 在这段上单调递减,所以负二到二是减区间。整个函数的单调区间和 fx 是相应的, 所以整个函数负六到负二是减区间,负二到二反而是分区间。好了,以上就是这个视频的全部内容,关键掌握一点,对于函数 log a fx, 他和 a 的 fx 次方是一样的。 当 a 大于一时,函数的单调区间跟 fx 相同。当 a 小于一时,函数的单调区间跟 fx 相应,简称大同小异。不过 log a fx 中还得特别注意一点,那就是 fx 必须得大于零。怎么样,学会了吗?如果学会了,就速度去刷题吧!
