高二选择性必修一数学立体几何

们，大家好，这是一个非常惬意的午后，给大家来录一录选修一的知识点，这个暑假我们一起来卷起来，我们要看空间项量和立体几何，也就是咱们选修一的第一章节，我们来看一下目录吧，选修一会学什么东西？ 一张的话是空间向量与立体几何，因为我们之前是学过平面向量的，对不对？平面向量啊。然后第二张的话是直线和圆，初步的去接触这些解析几何圆锥曲线方程的话，就是椭圆呀，双曲线呀，抛物线呀这些了， 所以，呃，整个的选秀一的话，其实就是几何的大狂欢啦，哈哈哈，是吧。然后我们一起来看一下第一张，空间项链与立体几何啊，通过平面项链和其应用的那一个就是我们的呃，必修二，必修二的课程我也录过视频，大家可以往前翻一翻必修二的学习。我们 知道平面内的点压直线呀，可以通过平面向量及其运算来表示，他们之间的平行啊，垂直啊，夹角啊，距离呀，这些关系可以通过平面向量的运算而得到，从而有关平面向量的问题可以利用平面向量的方法来解决。在 在立体几何初步中，我们综合了几何方法，研究了空间几何体的结构特征以及空间点直线平面的位置关系。 一个自然的想法就是如虎，如果我们要是能够把平面项链推广到空间项链，从而利用空间项链表示空间中的点呀，直线呀，平面呀等等基本元素，通过空空间项链解决立体几何的问题。在这一章我们就来解决这些问题喽！ 在本章的学习中，我们要利于注意利用类比的方法理解空间项量的概念呀，运算呀，基本定理呀，坐标表示啊。在这个过程中，体会平面项量和空间项量的共性和差异。在运用项量的方法研究空间基本图形的 位置关系和度量关系的过程中，体会向量方法的综合与与综合几何方法的共性和差异。通过用向量方法解决数学问题和直接问题，感悟向量在研究几何问题中的一个作用，非常好用的一个作用。空间向量继续运算 张前途展示的是一个坐滑翔伞运算运动的一个场景。可以想象在滑翔的过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等等，显然这些力不在同一个平面内。联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把通平面向量推广到品 空间项量，从而利用空间项量研究款画像运动呢？下面我们类比平面项量，研究空间项量。先从空间项量的概念和表示开始，一点一点一呢使空间项量和其线性运算。线性运算我们之前说过了，加法运算、减法运算和数乘运算对不对？和平面项量一样，在空 空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，也就是油箱线段。空间向量的大小叫做空间向量的长度或者是膜空间向量我们也用小写的字母 abc， 当然我们手写版的话要用向量， a 上面加一小箭头， b 上面加一小箭头， c 上面加一小箭头，表示 空间中点的位移，物体运动速度、物体受到力等，都可以用空间向量来表示。与空平面向量一样，空间向量也也是也是也用有向线段来表示。有向线段的长度表示空间向量的膜，比如说这个长度的话，就是他的膜。 如图一点一杠一。项链 a 的起点是 a， 终点是 b， 那项链 ab 也可以记作项链 ab。 上面有个箭头，先写起点，再写终点，他的模具为小项链 a 的模，或者是项链 ab 的模。如图一点一点二所示的正方体中过同一个顶点 o 的三条棱上的三条有象限段。表示的三个项链分别为 oa 项链、 ob 项链、 oc 项链。他们是不供面的项链吧，只有 oaoc 是供面的， o、 c、 o b 是共面的， o、 a、 o、 b 是共面的，他们三个可是不共面的项链。就像你抬起头来看看咱们的墙角是不是这样子的，墙角是这样子的 啊，他们都是不贡献的像不供面的像量就他们就是不在任何的一个不同在任何一个平面内的三个像量与平面像量一样，我们规定长度为零的像量叫做零，像量即为零，上面加一个小箭头，这是我们手写版，如果书上的印刷版的话，就是一个重重写的零。 当有相线段的起点 a 和终点 b 重合的时候，向量 a、 b 等，呃，就是零向量，零向量，因为零向量的模长为零，单位向量 的模长为一。那好多人就说老师，单位向量的模长为一，但是他的方向呢？谁的单位向量？比如说向量 a、 b 的单位向量，他的方向就跟他一样，但是模长为一。 比如说 ov 项量，他的单位项量呢？就是 o 跟他方向一样，但是模长唯一的单位项量，这就叫单位项量，和项量 a 长度相等，而方向相反的量叫做项量 a 的相反项量。如果表示若干空间项量的有项线段所在直线互相平行或者重合，那么这些项量就叫做贡献项量。和我们的平面项量一样吧， 平面项链一样吧，就是所有的项链都能够移到同一个嗯，线上，这不叫贡献项链吗？即便他是相方向相同或者是相方方向相， 都可以叫公线向量或者叫平行向量。我们规定零向量和任意向量平行，即对于任意的向量 a 都有向量，零向量平行于向量 a。 哎，这是我们之前 平面相量的时候也说过的问题啊。方向相同且模长相等的相量叫做相等相量。相等相量不光是长度相等啊，你比如说，嗯，比刚刚咱们那个正方体呢？在这呢， oa 和 ob， 你能说它是相等相量吗？不能，你说长度相同啊， 哎，还要方向也得相同。 o a 相量和谁和谁是相等相量呢？和咱们这个相量和这个相量，和这个相量都是相等相量。 方向相同，长度还要相等，也就是模要相等。因此在空间中同向且等长的有相线段，表示同意相量或者是相等相量。 空间项链是自由的，所以对于空间中的任意两个飞灵项链，我们都可以通过平移使他们的起点重合。因为两条相交直线确定一个平面嘛，所以起点重合的两个不贡献的项链可以唯一的确定一个平面，也就是说任意两个空间项链都可以平移到一个平面 内啊，成为同一个平面内的两条两个项量，如图，一点一杠三，任意两个空间项量都可以平移到一个平面内，这个图中就说明了已知项量空间项量小 a， 空间项量小 b， 然后以任意点 o 为起点做了一个项链 oa 等于小 a， 项链 ob 等于小 b， 就是平行过来，方向相同，大小还相等，我们就可以把它平移到同一个平面。阿尔法内 数学中引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究他们的运算了，我们平面向量，我们是不是引进了向量这个量？之后我们就进行了加法的运算的研究，减法的运算的研究，数乘的运算的研究，对不对？ ok， 我们下一个视频看看我们向量的加法、减法、数情的运算，就是我所说的 线性运算，说的语速有一点点快。如果想要更细致的课程的话，约课的话可以一 v 一班课，或者是暑假的预习课。正在约课中，就我们的预习训练营。 ok， 这个视频就到这里了，我们下一个视频再见吧，宝宝们。拜拜。

我高二的娃儿们，你们别哭啊，然后高二上册数学的复习计划也来了，但是呢，由于高二年级和其他年级还不太一样哎，因此我给计划的时候呢，有两点，第一呢，我给的是选择性必修一，第二就是二十天。 咱们先说内容，第一阶段就是以所有章节模块基础为主，那么内容呢，列的也比较详细啊，大家跟着他一个一个去进行。第二阶段就是 专项，然后综合题型的能力提升啊，这个时候就是你去找对应知识点，它所包含的专项专题训练这样子的题型 啊，你比如说像这一类啊，我出的这个微专题啊，这种题型，然后以及包括你自己有练习册的话，像专项拓展训练这种章节，还有像这种易错题呀，哎，就这种去找就行了啊。最后进入第三阶段，就是去刷卷子，提升你的综合解体能力。 电子版分享给大家，点赞收藏，加油！还有还有最后的复习建议别忘了看。

精准扶贫从零学习法向量的应用。同学们好，今天我们接着来讲高考中例题几何大题第二问是一个非常重要的考点，一定要认真听。首先咱们先来辟个谣，面面夹角其实是零到九十度，而二面角 才是零到派，他两个可不一样。如果题上让你求的是二面角，他能取钝角，比如说 cosine 能取负的。如果让你求面面加角，他只能取正的，要加绝对值。 这一点同学们注意区分。这是一个小插曲，咱们把这些知识点给他看一看。直接来看题 第一个考点，平面的法向量。平面的法向量是什么意思呢？假如说这是一个平面，法向量就是垂直于平面的一个向量， 它可以朝上也可以朝下，都可以，长度可以长，也可以短。那么要求向量得与平面垂直。我们知道一条线与平面垂直，是不是需要垂直于平面上的两条相交直线呢？ 那同理，如果一个向量想要垂直于一个平面，需要要求这个向量得垂直于平面内的两条相交的向量。所以要求平面的法向量， 我们得要求在平面内选两个向量与这个反向量分别相乘等于零。然后直接拿他们的坐标代入，肯定能得到两个含有 x、 y、 z 的 关系式， 它两个肯定是不一样的，它两个式子能求出来三个未知数吗？当然不能。然后我们再对其中一个变量 x 或者 y 或者 z 进行赋值，就能求出来一个坐标。 x、 y、 z 这个坐标就是法向量的坐标，就能求出来一个垂直于平面的向量。废话不多说了，我们直接来看道题你就明白了。底下直角梯形角度有好， abc 是 九十度， 那因为它是一个直角梯形吗？说明这肯定也是九十度。 s， a 是 垂直于底面的，并且长度关系都有 a、 d 等于二分之一。建立坐标系求法向量，我们间隙怎么样去求呢？先找一个三垂直，一定要注意，底面的垂直才是最重要的。 我可以在 a 点间隙，也可以在 b 点间隙，那要老师在 a 点间隙刚好相垂直，这可以，但是在 b 点怎么样去间呢？如果在 b 点间隙的话，我们就以 b， a 和 bc， 一个是 x 轴，一个 y 轴，那 z 轴我们就可以平行于 a、 c 往上引线。好，这就是 z 轴。 话说回来，以 a 点间隙肯定是最简单的，那 a、 d 和 ab， a， s 肯定一个 x， y 轴， z 轴，那 a、 s 毫无疑问肯定朝上是 z 轴，那 a、 d 和 ab 到底谁是 x， 谁是 y 呢？我们把 z 轴给它去掉， 把它想象成一个平面直角坐标系，那是不是 y 的 右侧才是 x， x 的 逆时针方向才是 y？ 其实很简单，但是很多同学喜欢把它两个弄反，如果弄反的话，结果算对的时候是满分，但是如果结果算错了，老师会往前去翻看你前面写的坐标，发现间隙间错了，会扣分的。 把 z 轴去掉，把它想象成一个平面直角坐标系，那 y 的 右侧才是 x。 好，那接着人家让你求 s、 a、 b 的 一个法向量，我们知道法向量是与这个平面垂直的向量，那是不是就是 a、 d 啊？那说明它的一个法向量啊，其实就是 a、 d 向量， 我们只需要把坐标都给它表示出来，把 a、 d 向量给它写出来就可以了。 a 点肯定是零零零， d 点在 x 轴上，说明它是二分之一零零，其他的老师就写的快一点，很多同学不知道上面的点应该怎么求， 那 s 往下做投影，是不是刚好投在 a 点呢？那说明 s 的 横纵坐标和 a 点的横纵坐标是一样的，只不过说比它多了一个高度。一说明 s 的 坐标是零零一， 那 a、 d 向量上节课也说过是尾坐标减去头坐标， d 点减 a 点，那就是二分之一零零。 哎，这第一问是不是没写？第一问， a、 b、 c、 d 的 法向量，老师眼比较小啊，这点没看见，那肯定是 a、 s 向量吧。因为 a、 s 向量与底面垂直，那肯定是 a， s 向量就等于 s 点的坐标减去 a 点坐标，那就是零零一呗。 好，这是第二问。第三问，求平面 s、 c、 d 的 一个法向量，那想要去求它的法向量，肯定要先找与它垂直的向量，在题里面不容易看出来，那我们就假设法向量坐标是 x、 y、 z， 一定要给他看好老师，把底下的过程给他走一遍。那我们既然法向量是垂直于平面的，那法向量肯定要与平面上的两条相交的向量垂直吧。所以说我需要在 s、 c、 d 这个平面上找到两条相交的向量，那一个就是 s、 c 吧。任意来，那 s、 c 的 坐标肯定是 c 点坐标减去 s 点坐标，那就是一一负一。那 s、 d 的 向量肯定是 d 点坐标减去 s 的 坐标是二分之一零负一。 我是不是得要求法向量与它两个相乘都等于零啊？这叫垂直。 好，我们给它代入坐标，两个向量进行相乘，是横坐标、纵坐标高度分别乘积再相加， 说明等于一个 x 加 y 减 z 等于零， 那 n 与 s、 d 相乘是二分之一， x 加零， y 减 z 就 等于零。好，现在是两个式子，三个变量，能求吗？当然不能求，所以说我直接令其中的一个变量，假如说是 x 吧，就等于二。 老师，你为啥可以令其中的一个长度为二呢？其实令它为一根号三都行，为什么能去令它为固定的长度呢？ 原因是因为我们这个法向量是不是只需要垂直于底面上两个向量就可以了？说明只需要满足垂直于平面上的两个向量，就说明他与这个平面就是垂直关系，这一点可以参考咱前面线面的垂直的判定。 那是不是只需要符合这两个式子都是垂直于这个平面的向量啊？那具体它有多么长？有没有影响啊？没有影响，说明 s 等于二，相当于限制了它的长度，但是依然是符合垂直于这两个向量的。 那 x 等于二，咱们直接给它带入进去， x 等于二，二乘二分之一再减 z， 说明 z 只能等于一。把它两个全部带到第一个式子里面，是不是就得到了 y 只能等于负一啊？说明最后的法项量就是二负一一啊。 好，这就是它的一个发向量，当然向量 n 可以， 那二倍的向量 n， 三倍的向量 n， 拉姆塔倍的向量 n 是 不是都是它的发向量啊？一定要注意，但是这拉姆塔不能等于零。 知道这些之后，底下练习题交给你了，把它好好练一练，咱们接着往后看考点二，空间向量证明平行。 那我们知道一个平面他所具有了法向量，如果一条线是平行于这个平面的，那是不是这条线所形成的方向向量肯定会与法向量是垂直关系啊？ 那我们是不是就可以用这个法向量与直线的方向向量垂直去说明这条直线与平面就是平行关系啊？ 那同样的道理，如果两个平面是平行的，我们是不是就可以分别找到这两个平面的法向量？如果法向量是平行关系，那么这两个平面是不是也平行了？ 那同样的道理，如果两个平面想要证明是垂直关系，我们是不是分别找到他两个的法向量？如果法向量也是垂直的，说明两个平面也是垂直的。 那同样的道理，如果一条线是垂直于平面的，那我们是不是只需要去证明这条线的方向向量和它本身的法向量是平行关系就可以了？ 好，知道这个思路之后啊，我们来用空间向量证明一下平行。当然，高考的时候啊，第一问，常常是用咱前面立体几何学到的线面位置关系去证的啊。 好，先来看这个题，平面它与它是垂直关系。好， p a d 垂直于底面，底面是一个正方形，说明这是九十度， p a d 也是九十度，那说明 p a 是 垂直于交线的。两个平面又是垂直关系，是不得说明 p a 这条线就垂直于底下。这个平面用到的就是咱面面垂直的性质，你看如果想要间隙的话，是不是还得用到咱前面线面位置关系啊？ 那接着往后，他说 p a 等于二，那 e 点要是中点，说明这是一一，然后这个长度都给它标上去， 那间隙是不是就比较好建了？肯定是以 a 点作为空间向量的圆点，向上的指定是 z 轴，那 ab 和 ad 它两个到底谁是 x 轴，谁是 y 轴，清楚吗？我们只需要把 z 轴给它去掉，把它想象成一个平面直角坐标系，那它肯定是 x， 它是 y 了。你就这样去记间系，非常好间。第一问，想要去证明 p、 b 平行于 e、 f、 g 的， 那我们按照刚才的分析，如果想要去证明线与平面是平行关系，是不是只需要去证明线的方向量和平面的法向量是垂直关系，是不是就可以了？ 好，我们先写出来各点的坐标，座老师写的比较快啊。但是这个 f 点老师需要讲一下，因为 f 点一般这些中点不好求的话，我们就拿 p 点和 d 点坐标相加除以二，就是咱前面讲过的中点坐标公式， 那 f 点坐标肯定是零加零除以二，零一一呀。好，下面咱们开始去求 p、 b 的 方向向量，肯定是 b 点坐标，减去 p 点坐标，那肯定是二零负二。 好，这就求出来了。同样想求 e、 f、 g 的 法向量，从题上来看，有垂直于这个平面的向量吗？看不出来，那我们就先假设法向量是个 n 一 吧，等于 x 一 y 一 z 一， 那我们法向量得垂直于平面上至少两个向量。好。假如说法向量要垂直于 ef 向量，法向量还得垂直于 eg 向量吧， 那我们是不是就能得到好？法向量与 ef 向量的乘积，以及法向量和 eg 向量的乘积得等于零啊。我们把 ef 向量 和 eg 向量的坐标给它表示出来， ef 向量肯定是 f 减 e 啊，说明是零一零， 那 eg 的 坐标是拿 g 点减去一点是一二负一， 那我们直接给它带入进去，是不是又得到了它？两个横纵高相乘再相加，那说明是 y 一 等于零，底下肯定是 x 一 加二， y 一 减 z 一 就等于零。 如果假设里面长度的话，因为 y 一 已经等零了，不能再假设 y 一 等于其他数据了，所以说我直接假设 x 就 可以了。 x 一 假如说等于一，那因为 y 一 已经确定是一个零了，那 z 一 直接算出来就是一，那说明整个法向量 n 一 就等于一零一。 我们想要要求它两个得垂直，才能证明它两个平行吧。说明我直接拿 n 一 向量 和 p b 向量进行乘积，如果垂直的话，是不是相乘等于零啊？刚好一乘以二好，二减二刚好等于零，那说明法向量与 p b 肯定是垂直关系。那第一问是不是又得证了？ 同样的第二问，想要去证明 e、 f、 g 平行于 p、 b、 c， 我 们是不是得要求它的发向量？假如说还是 a 一， 咱们算出来了是一零一，再求 p、 b、 c 的 发向量。假如说是 n 二，如果它两个的发向量是平行关系，在这儿 是不就能说明两个平面是平行关系啊？那同样道理，我们还是先去求 p、 b、 c 的 法向量，这个咱随便算都能算出来啊。假如说是二分之一零二分之一， 那 n 一 我们知道是一零一，发现它两个是不是刚好呈现倍数关系啊，说明 n 一 向量就等于二倍的 n 二向量，那如果是倍数的话，是不是刚好说明它两个平行，是不是就说明两个平面是平行关系啊？ 好，大家就按照这种方式，把后面两道练习题给他再做一做框，里面东西也可以看一看，接着咱们再往后考。法三，空间向量正垂直，和咱们刚才分析的是一样的啊，还是上去之后先间隙？正三楞柱所有棱长全是二，求证他， 那我们是不是还得去间隙？如果想要去证明线垂直于这个平面，得去证明线的方向向量与这个平面的法向量是平行关系才可以。 那你说老师这咋见呢？看着歪不拉几的。咱们前面说了，如果间隙的话，先找三垂直，如果找不到的话，先在底面找到垂直，因为上边点才有几个呀，咱们一定要把底下这些众多的点尽可能的集中在坐标轴上。 那这道题比较特殊，所以说老师可以在 c 点间隙，那我们是不是得竖着往上引一条线？好，这就是 z 轴。那 z 轴一定要有个准线，在哪呢？你可以过 a 点往下引一个垂线， 刚好到达 b c 的 中点，需要去证明一下。好，这条线确实是垂直于底面的， 那我们过 c 点平行于这条线，往上引一条线，这个是不是就是 z 轴啊？那当然，老师能不能以这个点为坐标，原点开始间隙呢？当然也可以啊，竖着往上，它直接就是 z 轴。好，那这就是 x 平行于 b， b 一， 好，这就是 y 轴。那我们是不是就可以把所有点的坐标都给它写出来了呀？因为冷场都是二嘛， 这是 o 点， a、 b 是 二，这是一，说明这是根号三。老师把所有点坐标先写一下，好坐标都写出来了，我们只需要先去找 a、 b 一 向量 肯定是尾坐标，减去头坐标吧，就等于一二负根号三。那同样道理，我们想要去求 a、 e、 b、 d 的 法向量，我们直接去假设面儿 a、 e、 b、 d。 好， 法向量 为 n， 假如说就是 x、 y、 z 吧，我们是不是得要求这个发向量得垂直于平面上的两个向量啊？好，假如说这两个向量分别是 b、 d 与 b a 一， 咱们都得与它两个垂直，是不是就能得到好，法向量与它两个乘积应该等于零。好， b， a 一， 而 b、 d 向量，我们知道是拿 d 点减去 b 点，就等于负二一零 b， a 一 向量就等于负一。好，二，根号三， 然后直接代公式就可以了，就得到了负二。 x 加 y 等于零， 然后负 x 加二， y 加根三， z 就 等于零。那我们是不是下一步要另其中一个数啊？假如说 x 就 等于一，说明 y 就 等于二， 然后把他两个都带到底下去，是不就能得到 z， 应该等于一个负的根号三。所以说法向量是不就是一二负根号三。 那这个也太巧了吧，他两个刚好一模一样，说明好法向量就等于一倍的 a、 b 一 向量，那是不就说明了 a、 b 一 与这个平面是垂直关系啊？好，底下练习题也教给你们大家了，把它好好练练，咱们下节课开始讲。二，面角和线面角。

下面接着看三点二点二，双曲线的简单几何性质，思考类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质？ 这边跟椭圆那边类似的，椭圆那边是以焦点在 x 轴上的椭圆为例来研究的，这边是以焦点在 x 轴上的双曲线为例来研究的。 那应该研究哪些几何性质？例如椭圆的话，就是要研究范围对称性，顶点之类的吗？还有离心率之类的。对的吧。 但是双曲线还有一个特殊的，就是渐近线，渐近线椭圆是没有的，所以当时在椭圆那没有研究，但现在双曲线是有渐近线的。 这个也好想，我们之前在初中学反比例函数的时候就学过，反比例函数的图像是双曲线，而 x 轴外轴就是反比例函数的渐近线， 所以双曲线就应该是有渐近线的。下面一个一个来范围范围，你把这个图一画，应该很直观，这个点的坐标和这个点的坐标可以在椭圆方程中啊，双曲线在双曲线的方程中令这个 y 等于零嘛。 另外等于零可以解出来 x 就是 正负 a， 所以 从图上看，这个 x 是 要小于等于负 a 或者大于等于 a。 你 从这个方程也可以解出来双曲线的方程在这，你把这个 y 移过来， 把移过来得到一加上，这样是一个平方嘛，平方是大于等于零的，所以这个整体是大于等于一的。再把 a 方程过来， x 再解一下，就是小于等于负 a 或者大于等于 a， 而这个 y 应该是没有限制。但是这也没说啊，说在这 y 属于二，因为你从这个图上看就能看出来，你往上是可以到正无穷的，往下是也可以到负无穷，你从这个方程可以看出来吗？ 从方程看的话，你看这是正的，在减掉它。你要是研究 y 方除以 b 方的话， y 方除以 b 方，应该是 x 方再除以 a 的 平方，再减一，这个 x 可以 到正无穷，那这个处一下就可以到正无穷，再减一的话，这个整体还是正无穷，那外方就是可以到正无穷啊，所以没有问题， x 的 范围就是这个 y 的 范围的话，就是 r 吗？ 好，这边对称性类似椭圆，研究对称性的方法就是你把这边的 x 换成负 x， y 换成负 y， 还有 这个 x 和 y 都换，它换成负 x， 它换成负 y， 就 同时嘛，就可以证明它是关于 x 轴，外轴、圆点都是对称的，你从这个图上也是能够轻松地看出来， x 轴、外轴还有圆点都是它的对称中心。 好，这个对称中心叫双曲线的中心，下面顶点，顶点椭圆，那是有四个，就是正负 a 都好，零，还有零，正负 b， 但这双曲线只有两 类比，求椭圆顶点的方法。在方程一中，令 y 等于零，得到 x 等于正负 a， 因此双曲线与 x 轴有两个焦点，就是正负 a， 零嘛。因此啊，因为 x 轴是双曲线对称轴，所以双曲线和它对称轴有两个焦点，这个两个焦点就叫顶点。 好，这边是令 y 等于零，如果是令 x 等于零的话，外方等于负 b 方，这个方程没有实数解，说明双曲线 和外轴是没有公共点的。但我们也把 b 一 b 二这两个点，一个是零 b， 一个是零负 b， 这两个点画在外轴上就是这样 这样子。实际上也有一个非常重要的三角形，这边写的 a 二 o b 二 a 二 o b 二，这是什么？就是这一段是 a， 这一段是 b， 那 么这个斜边不就是 c 吗？那这个直角三角形就是以 c 为斜边， ab 为直角边的一个直角三角形， 它的三个边分别是 abc， 它也是有一些作用的。好，当然更大的作用应该是在后面学进行线的时候就是下一个。这儿我们看完啊。线段 a 一 a 二叫十轴，这个 a 一 a 二叫十轴。注意十轴是个线段，它的长等于二 a 很好理解， a 叫做双曲线的十半周长，注意和椭圆那区分。椭圆，那二 a 叫长轴，为什么那叫长轴？你可以意会着想一想，椭圆的二 a 是 要比二 b 要大的，所以二 a 叫长轴长，二 b 叫短轴长，是不是？ 而这叫实轴，和它相对的是虚轴，实轴长是二 a， 虚轴长是二 b 这边为什么不叫长短呢？ 一方面是双曲线的 a 和 b 谁大是不确定的， c 是 斜边， c 最大，但是 ab 谁大不确定，所以你叫这个什么长轴短轴不合适。还有为什么叫实和虚呢？这是因为 a 一 a 二是可以直观看得见的，而 b 一 b 二，你要是不点的话， 是不就没有这么个轴，是吧？所以叫虚轴，实轴虚轴。注意椭圆，那叫长轴和短轴啊。好，下面接线，利用接线技术画出双曲线和两条直线， 这个在双曲线的右值上取一点 m， 这个图已经给你画好了。测量点 m 的 横坐标 x m 以及它到直线的距离。 d 沿曲线向右上方拖动点 m， 观察 x， m 与 d 的 大小关系，你发现了什么？ 这边图给你画好了，你可以直接观察这段距离是 d， 当 m 在 往上动的时候，这个距离应该是越来越小的， 越来越小的就可以发现点 m 的 横坐标 x， m 越来越大， d 会越来越小，但是 d 始终不等于零，就是无限接近，但永远取不到这个感觉。 实际上经过两点 a， a 二做外轴的平行线， x 等于正负三。经过两点 b 一、 b 二做 x 轴的平行线， y 等于正负二。四条直线围成一个矩形， 如这个图三点二杠九所示，就是这样，就是 a 一、 a 二是实轴的端点，做做这个外轴的平行线。 b 一、 b 二是虚轴的端点，做 x 轴的平行线，这样可以形成一个矩形，这个矩形的四个顶点刚好是落在 它这个这个直线这两条是吧？这个三分之 x 加起二分之 y 等于零。上 矩形的两条对角线所在的直线方程就是刚刚那条直线。可以发现双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永远不相交，这个就是渐近线的意思。 这边这个定义来了，一般的双曲线的两支向外延伸时，与两条直线它逐渐接近。 我们把这两条直线叫做双曲线的渐行线，实际上双曲线与他的渐行线无限接近，但永远不相交。这边是直接告诉你的，具体为什么课本上是有证明的，只不过不是写在这，是写在后面，待会我们会讲到的。 后面是在那个阅读材料里面有这个渐行线的证明，他是用极限证的，你这边先记住他，这个怎么记？很好记， x 方除以 a 方，减 y 方除 b 方，你把这个一改成零就可以了。一改成零就是平方等于平方嘛，开一下根号不就正负吗？ 所以就是 a 分 之 x 加减 b 分 之 y 等于零。当然这个形式用的相对来说没有那么多，用的比较多的是这个，把 y 解出来就是 y 等于正负， a 分 之 b， x， 这俩是等价的，但不管是哪个，实际上都是把一改成零，这样就记住了。 当然还有一个要注意的，我们这边讲的是交点在 x 轴上的，如果交点在外轴上的话，注意啊， 算法还是一样的，把这个一改成零，然后解出来这个 y 是 等于正负， b 分 之 a， x 和这个是反的，也就是说交点在 x 轴上和在外轴上，一个是 a 分 之 b， 一个是 b 分 之 a， 这边是反的。 具体怎么背，一方面你可以就背这一个，因为焦点在 x 轴上考的最多，然后另一个就是你知道考到另外一个的时候，你反过来写就可以了。还有一个是你也可以不用背，你直接每次都是把这个一改成零，你算下来都是对的。 好，下面在双曲线中，如果 a 等于 b， 那 么方程就变成 x 方，减 y 方等于 a 方，这俩是一样的嘛，就乘过来，此时双曲线的实轴和虚轴的长都是二 a， 用 a 等于 b 嘛，二 a 二 b 就 都是二 a 了。 这时四条直线围成一个正方形，就刚刚说的这个矩形变特殊了，变成正方形了。那么这两个渐线这边这个倾斜角就是四十五度呗，就是一三相线角平分线，还有二四相线角平分线，渐线线是 y， 等于正负 x， 它们是互相垂直的， 并且平分双曲线，实轴和虚轴所成的角，实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。这边又有一个新的名词，这个名词也好想，为什么叫等轴呢？就是因为实轴虚轴等长嘛，叫等轴双曲线 好，这边有离心率，和椭圆那边类似的规定， a 分 之 c 叫离心率。离心率用字母 e 表示， e 等于 a 分 之 c 双曲线这二，这个 c 是 最大的，所以 a 分 之 c 肯定是比 e 大， 这是双曲线离心率的曲值范围。 好，可以复习一下前面椭圆、椭圆的二离心率是干嘛用的？离心率也是用来刻画椭圆的圆和扁的。还记得结论吗？我们说过 这个椭圆的离心率在零和一之间。重写一下，椭圆的离心率在零和一之间，离心率越接近零，椭圆是越圆的，离心率越接近一，椭圆是越扁的。怎么记？你就记得这个零这个东西啊，肯定比一个一，这个东西要圆就是字， 零是比一要胖的，要圆的，所以离心率越接近零，椭圆就越圆。那双曲线之二是什么规律呢？ 这边要研究啊，椭圆的离心率也是刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率。刻画双曲线的什么几何特征呢？ 这个这有个思考，用双曲线的渐行线的斜率能刻画双曲线的张口大小吗？他这么一说，那肯定可以，什么叫张口啊？解释一下，就比如像刚刚这个双曲线 这样有一个张口，你就理解成开口吧，是一样的，如果你这么画的话，就这个张口就要大了，如果这么画的话，就是张口小了， 这个好理解的，你就理解成开口的大小是不是一样的？一样的好，它与用离心率刻画张口大小有什么区别和联系？这个很好想 你要刻画这个大小，实际上最终我们知道这个曲线肯定要贴着渐近线，那实际上就是 就是这个角越大，他的张口就越大嘛，这个角越小，他的张口就越小。而这个角是由什么决定的？是由这个一半决定的，是由这个 a 分 之 b 决定的。 a 分 之 b 是 k 嘛？ k 等于 a 分 之 b， 这个角阿尔法，这个两个是不是平行的阿尔法？阿尔法如果想要大的话，阿尔法就要大，而 这个 k 就是 贪心哪儿法呀？是吧？ k 就是 贪心哪儿法。所以我们可以在这儿推导一下，这个 k 等于 a 分 之 b 等于贪心的。这边设的 c， 它是一样的。然后异方是啥？异方是 a 方分之 c 方，这个 c 方可以换成 a 方加 b 方，拆一下就是 e 加上 k 方， 所以什么意思？这个 c 幺越大，这个贪念的 c 幺肯定是越大的，因为 c 幺在零到二分之派之间，贪念的 c 幺是单调递增的。贪念的 c 幺越大，这个 a 分 之 b 就 越大，开就越大，开越大，那平方一下，这个也就越大了。 这边这个开都是取那个大于零的那一部分是可以的，所以就是 c 幺越大，这个 e 越大就行了，这 a 分 之 b 也是越大的。 好了，这样理解了，下面这边说双曲线的离心率，刻画了双曲线的张口大小。结论就是离心率越大，张口越大，这个就记成单调递增的就可以了，就记住了。 好例三，求双曲线的时，半轴长、虚，半轴长、焦点坐标、离心率、渐行线，那先把它画成标准方程，幺四四除掉， 这个幺四四应该刚好就是九和十六相乘的，所以幺四四除过来，九约掉，剩十六写成四的平方， 这边约掉十六，剩九写成三的平方。所以实半周长就是 a 嘛，就是四。虚半周长就是 b 就是 三，这个 c 算一下是五，所以焦点应该是。注意啊，它的焦点在外轴上就是零，正负五， 离均率是 a 分 之 c， a 是 四， c 是 五，就这样渐变线的话，你直接把这个一改成零嘛。所以这边就是正负，这个就是 y 除以四加减 x 除以三等于零，你把 y 解出来，就是 y 等于正负三分之四， x。 好看。下面的练习，第一个求下列双曲线的时轴、虚轴长顶点和焦点的坐标以及离心率。这个一个月来先看第一个，第一个先把三十二除掉，那就是 x 方除以三十二，再减掉 y 的 平方除以四，等于一。对着它看的话，这个 a 方是三十二，那 a 就是 四根号。二十轴是二 a， 那 就是八根号二，这个 b 是 二，那就是四，这个 c 方的话就是 焦点 c 方的话，应该是 a 方加 a 方加 b 方，那就是这个应该是 三十六。三十六开根号就是六，所以焦点应该是正负六零，这个写的是顶点顶点正负 a 嘛，正负 a 的 话就是正负四根号二多少零，这是顶点，是要写的，这是焦点离心率 a 分 之 c 带带就好了。 那下面这些都一样，下面这些都一样，你可以自己算了，然后来跟这边对一对第二个的话，你可以除个，这个八十一就是 x 方除以九，再减掉外方除以八十一等于一，这样 a 方就是九，然后 b 方就是八十一嘛。 c 方对应的算应该是相加就是九十，所以这边就都有 了，你可以算完，自己对一对下面第三个。第三个要注意，这个看着好像焦点在 x 轴上，实际上不对， 你把它画成标准方程，需要除以负四，除以负四的话，就变成了外方除以四，减掉 x 方除以四等于一，它的焦点在外轴上，然后 a 方是四， b 方是四， c 方是八嘛，带进来算一算，注意，焦点在外轴上，这个是零。逗号，正负 a 啊， 是吧？焦点画一下这个顶点，顶点应该这个样，这个地方是零， a， 这个地方是零，负 a。 好 了， 下面第四个，第四个跟第三个差不多，你需要把这个负一干过来，所以它的焦点在外轴上，是吧？焦点顶点都在外轴上，应该这么算 好。这边第二题，求符合下列条件的双曲线的标准方程。顶点在 x 轴上，那就是 x 方除 a 方减 y 方除 b 方， 两顶点间的距离是二 a 二 a 是 八，这个 a 就是 四，平方下十六， a 是 四的话，这个就是 c 嘛。 a 分 之 c， c 是 五， c 是 五，平方下二十五，那 b 方就是二十五，减十六等于九。 下一个焦点的外周上呢，就外方除 a 方减 x 方除 b 方，这个焦距是十六，说明 c 等于八， e 是 三分之四的话呢，说明 a 等于六，所以八六。另外一个 b b 方吧， b 方是六十四，再减掉三十六，应该是二十八，所以外方除 a 方就除三十六，这边是 b 方就是二十八。好，结束，继续下一题。 对称轴都在坐标轴上的等轴上角线，等轴上角线就 a 等于 b， 就 a 等于 b， 它的一个焦点是负六，那就说明 c 等于六嘛。而 a 方加 b 方等于 c 方是三十六，那 a 方和 b 方是一样大，那就是十八嘛。所以 好了，是吧？十八十八。注意一下，这儿应该不用分类讨论，因为他这儿虽然说了对称轴在坐标轴上，好像要分焦点在 x 轴外周，但实际上这个写的很明确，焦点就是在 x 轴上。 所以答案就是，一个间隙线的话，就是 y 等于正负 x 嘛。等轴双曲线，它的间隙线都是 y 等于正负 x。 好， 下一个双曲线的间隙线是 y 等于正负二 x 虚轴长为四，求双曲线的标准方程。这一题是要分立讨论的，因为 你单从渐近线是看不出来交点在哪一个轴上的，画个图案，你比如像渐近线都这么画，你交点在 x 轴上的双曲线是可以这么画，没问题，交点在外轴上是不是也可以这么画，没问题，所以这就是要分离讨论。 首先，如果交点在 x 轴上，那就设成 x 方，除 a 方减掉外方除以 b 方等于一，那这个渐近线 如果是 x 方，除以 a 方减掉外方除以 b 方等于一的话，你把一改成零，见异线是 y 等于正负，这个是 a 分 之 b x， 所以 对着它看，也就是 a 分 之 b 等于二，那也就是 b 等于二 a 而虚周长是四，就说明二 b 等于四，那 b 就是 二， b 是 二的话， a 就是 一，那带进来这个答案是对的。 还有另外一种情况，如果焦点在外轴上，焦点在外轴上的话，就是外方除以 a 方，再减掉 x 方除以 b 方等于一。你把这个一改成零化解，写渐近线就是外，等于正负， y 等于正负， b 分 之 a， x， 那 对应系数相等， b 分 之 a 就是 二，所以现在 a 等于二， b 这边虚周长是四，那一样的， b 是 二， b 是 二， a 就是 四，所以 y 方除 a 方这边写十六， x 方除 b 方这边写四。所以这一题就是这两个答案。 好，下面列四列四，这个在高二的期中期末考试中应该挺常见的。这种背景 就双曲线的一个应用题。双曲线形冷却塔的外形是双曲线的一部分，绕其虚轴旋转所成的曲面，就这样这样一个抽象的图嘛，抽象出来他就是双曲线的一部分， 他的最小半径是十二，就是这边有圆圆，最小半径应该在哪？是不就是这两个顶点之间的距离， 这个叫直径，直径那就是这个是十二，那就说明你这样间隙的话，就是小 a 是 十二吧，小 a 是 十二，上口半径是十三，那就这边来一个，应该是这个临界位置，这边实际上应该图画多了，是吧？应该这边是，这边是十三， 下口半径二十五，那就是这，这是二十五，高是五十五，那就上下这个距离这两个红色的虚线，两条红色的虚线之间的距离是五十五。是建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程。 这个实际上可以硬来，就是你可以把坐标写一写，然后带进去死算就可以了。看看这边解析怎么写的。 就是大概这样画一个图嘛，都是描述这个 c， c 撇是十三乘二二十六， a， a 撇是二十四，这个 b， b 撇是 五十，对吧？然后对应着代，对应着代，可以发现这个 a 明确就是十二，就这段是十二，但是这个十三，这个二十五，你发现这个纵坐标是不知道，你只知道这俩纵坐标相加是五十五，那就设一个未知数，他设的这个 c 的 纵坐标是 y， c 的 纵坐标是 y， 就 这是 y， 而这个场是五十五，那这个坐标不就是 y 减五十五吗？所以 b 和 c 坐标都可以写， c 是 它， b 是 它。这边都带进去，这个地方已经确定十二的平方了，你把这两个点往里套，套一下，套一下。这边有 b 和 y 两个未知数，一共是两个方程，是可以解出来的，那就是死算， 就纯死算，算完就好了。但是这边的计算量比较大，考试的话是会给你参考数据的。 好这些一结束，这边立五立五，和前面的题目也是呼应的。这边是双曲线的第二定义，这个就是它的准线，准线，准线这个结论写一下，准线就是正负 c 分 之一方，和椭圆那是一样的椭圆，那准线也是正负 c 分 之一方。 还有这个常数 e 比值就是离心率，就是 a 分 之 c。 当然这种题你不知道这个第二定义也不影响做，因为课本上也没有在这儿给你讲第二定义，你就按它的来算就可以了。 动点 m， m 是 x， y 到 f 的 距离，这边可以套两点间距离公式，对吧？与它到定直线的距离，这个 m 是 x， y 定直线在这要算距离的话，就是 x 和四分之九相减的距离值，他说比值三分之四，下面对它化简就可以了。化简就是 平方嘛，平方可以去根号，也可以去绝对值，然后交叉相乘的慢慢算，就可以画到这样的式子，在等号两边同除六十三就可以了。这个画完就是一个双曲线。好， 将立五与椭圆一节中的立六比较，你有什么发现啊？这个课本上没有完整的给你讲这个第二定义，但是他让你自己去比较，自己去探索，发现第二定义，这个你自己探索是比较难的，我们直接把结论告诉大家， 就是一个动点到定点的距离与到定直线的距离的比是常数 e， 如果 e 在 零到一之间，这个轨迹就是椭圆，如果 e 比一大，这个轨迹就是双曲线，然后对应的这个定点实际上就是椭圆和双曲线的焦点，这个定直线就是准线。 这个定点交点的话，如果是正负 c， 零准线就是 x， 等于正负 c 分 之一方，而且这边是有对应关系的，这个右焦点对应右准线， 注意你不要对错，左焦点对应左准线，一定是成对出现的，这两个是一起的，这两个是一起的，你不能交叉着，你不能说左焦点对应右准线，这是不对的。 好，当然这个 e 啊，是不是还有一个一啊？如果 e 等于一，如果 e 等于一，就是下一节要学的轨迹是抛物线，这个 e 不 可能小于零，因为这个 e 是 两个距离的比，距离都是正的，所以 e 肯定比零大， 那这样就全面了，零到一之间是椭圆，比一大是双曲线，如果刚好等于一的话，就是抛物线。 好，第六，过双曲线的右焦点 f 二，倾斜角是三十度的直线，交差于 a、 b 两点，那这个 这个焦点可以算出来，焦点就是 c 零嘛，应该是三零，这个倾斜角是三十，那 k 就是 探线的三十就是三分之根号三，所以直线写出来，直线写出来，拿直线和双曲线连立，连立 这个课本上比较直接，直接连立，把这个 x 都解出来了，这个是可以十字相乘的，然后把这个 x 带进刚刚的直线，就可以算到对应的 y， 所以 a 和 b 的 坐标都算出来了。算出来之后就是套两点间距离公式算出来这个答案。 答案，这个题比较简单，如果这边不能十字相乘的话，你也要会做，如果不能十字相乘的话，你肯定就是写 x 一 加 x 二和 x 一 乘 x 二嘛。 然后是可以套线段公式的。线段公式我们在前面讲过， a、 b 等于根号下 e 加上 k 的 平方，再乘以 x 一 减 x 二的绝对值，你往这个里面带就可以了。 x 一 减 x 二绝对值这个初中就学过，就是根号下 x 一 加 x 二的平方，减掉四倍的 x x 二就可以了。 好，下面看看练习。第一个已知 ab 两个点的坐标分别是六零和负六零。直线 a、 m、 b、 m 相交于点 m， 且它们的斜率之积为定值，求 m 的 轨迹方程。那这个考的又是 d 三 d e 嘛？ d 三 d， e 做的时候直接写就可以了。设动点是 x y， 然后把 a、 m、 b、 m 的 斜率表示一下，等于九分之二相乘嘛，下面再打开化简就行了。 打开化简注意把这两个临界位置正负六扣掉，因为这样说 a m， b m 它们斜率肯定要存在，还有 m 跟 ab 肯定不能重叠，这样就是把这个正负六扣掉就可以了。好， 还要判断轨迹的形状，那判断一下就双曲线吧，而且是双曲线，去掉两个顶点。 好，下面第二个求下列直线和双曲线的交点坐标。那这个比较简单，就是拿他俩连立，拿他俩连立，连立的过程就跟刚刚这个内六是一样的，就是死算销元就可以了。销元，然后这种题让你算焦点坐标，那销完元肯定是可以逆时针解的， 一算就好了，算完跟这个答案对一对。好，下面第三个直线 y 等于三分之二， x 和双曲线交于 ab 两点，且 ab 两点的横坐标之积是负九，要求离心率，这边 这个 b 方是八是知道的。要求离心率的话，你把这个 a 方搞出来，然后就有 c 方了，再去算 a 分 之 c 就 可以了。那这怎么搞呢？ 这个直线很特殊啊，直线他是过圆点的，而双曲线本身是关于这个圆点对称，所以如果你画一个直线交于两个点的话，这两个点是不是应该也是对称的？就都是关于圆点对称的。所以如果你是 a 点是 x 零外零的话，那么 b 点就是负 x 零负外零。 是的吧，可以这样射，然后你把这个 a 或者 b， 你 带其中任意一个进去，效果是一样的，带进去就是 x 方除 a 方再减掉外零方除以 b 方等于一。是这样吧，但是好像带进去没用，因为 x 零外零是不是都不知道？ x 零外零都不知道。你要是能把 x 零外零解出来之后再带进去，这个 a 方就有了。那是好解的呀。怎么解？ 这横坐标之积是负九，不就是 x 零乘负 x 零等于负九吗？就是 x 零方等于九，所以 x 零就是正负三。 然后你随便带一个假设 a， 这个 x 零取正的，它是三，你带进直线的话，这个 y 是 不是就二？是吧，三带进直线， y 就是 二，然后三二带进去就可以解出 a 方了。 a 方算下来应该是六，所以 a 就是 根号六， a 是 根号六的话，那这个 e 就是 六加八，应该是十四，所以 就是根号六分之，根号十四。划一下是三分之根号二十一。好了， 下面知识点就学完了，到习题三点二，复习巩固双曲线。它上的一个点 p 与它的一个焦点的距离等于一，那么点 p 与另一个焦点的距离，那这边考的肯定是定义就是点 p 到两个焦点的距离的差的绝对值等于二 a。 这边需要把二 a 算出来，二 a 算出来就移一下一下项呗。这个六十四移过来，然后等号两边同除负六十四除完应该是这个样子， 它的交点在外轴上，这个是 a 方，所以二 a 的 话，这个 a 应该是八嘛。二 a 就是 十六，那假设这个距离是 t， 就是 t， 减掉这个一的绝对值等于十六，这个 t 算下来是等于十七或者负十五，但是负十五肯定舍，因为距离不可能是负的， 所以这题就一个答案是十七。好。第二个，求适合下列条件的双曲线的标准方程，交点在 x 轴上，那肯定 x 方除 a 方嘛， a 又给了，直接平方就好了。这边还需要 b， b 的 话，你就把这个点带进来，带进来解方程，求出 b 就 可以了。 这边经过两个点，经过两个点，这个你可以分类讨论，也可以不讨论。如果分类讨论的话，这个原因就是 经过两个点，它是不是没说焦点在 x 轴上，在外轴上，所以你去分类讨论， x 方除 a 方，再减掉外方除以 b 方，等于一，然后把这个点带进来，就可以解出 a 方 b 方。 还有，如果是外方除以 a 方，再减掉外方除以 b 方，等于一，把这两点带进来，是不是解除 a 方 b 方？最终应该是一个答案，有一个答案是不成立的，你就 a 方 b 方算下来，如果负的就不成立，是吧？如果负的就不成立。这是分离讨论，也可以不分离讨论。为什么？因为你可以这么想， 不管是交点在 x 轴上这么写方程，还是交点在外轴上 这么写方程，它实际上最终都是一个常数乘以 x 方，再加上一个常数乘以外方等于一。这个 m 和 n， 一个是 a 方分之一，一个是 b 方分之一，这个 m 和 n 异号是不就可以了？ m 和 n 异号，所以这个就是双曲线的通式。然后你把 a 和 b 带进来，去解出 m 和 n 就 可以了。 m 和 n， 然后保留这个异号就不要了，就可以了。最终算下来就是一个答案。 好了，这边第三题。第三题，下列双曲线的方程，求它们的焦点离心率渐近线，要先化成标准方程，给它除个幺四四。这个跟前面例题的数据应该是一样的，这个十六乘九刚好是幺四四。所以除完之后， 这个第一问应该是， x 方除以九，再减掉外方除以十六等于一，那么就有 a 方是九，这个 b 方十六， c 方二十五，焦点就是正负 c 零嘛，离心率是 a 分 之 c 渐减线，渐减线，就把这个一改成零就可以了。一改成零，划一下就出来了， 即便这个跟前面就差一点。差一点什么？应该差一个正负号，你要同除负的幺四四， 同除负的幺四四，这个会变成 y 的 平方除以十六，再减掉 x 平方除以九等于一，然后 c 是 一样的，但是现在 a 方是十六， b 方是九，同时交点在 y 轴上，对吧？所以交点在这，然后这个这个 好了，这两个实际上也有关系啊。这个第一问和第二问可以给你拓展一下第一问，第二问，这两个应该叫共讧双曲线，共讧 共讧讧，怎么写讧？这么写共讧双曲线。这俩的关系就是它俩是共享 一组间径线的，它俩是共享一组间径线的。好了，实际上就是把这个数改成这个负的就可以了。 好，行，这边第四个，求下列适合下列条件的双曲线的标准方程。交点在 x 轴上，那可以， x 方除 a 方实，周长是十，那就说明二 a 等于十，所以 a 等于五，带进来，这边写二十五，虚，周长是八，那就 b 是 四吧，又带进来平方二十六。 好，这个焦点在外轴上，那就 y 方除 a 方减 x 方除 b 方焦距是十，说明二 c 是 十，那么 c 就是 五，这个说明 b 是 四，那 a 就是 三呗。这边写九，这边写十六， 下面这个离心率 e 等于根号二，并且经过 m 负五三， 这个正常也是要分离讨论的。我把这个删了，也是要分离讨论的，就是这个条件。我们知道 a 分 之 c 等于根号二，那么也就是 c 等于根号二 a， c 等于根号二 a 的 话，说明这个 c 也等于根号二 b， 因为 c 等于根号二， a 的 话，这是 c， 这是 a， 这是 b， 是 不就是一个等腰直角三角形， a 和 b 是 一样长的，一比一比根号二嘛。 但是这边他没说交点在 x 轴上还是在外轴上，所以我们要去讨论一下。如果在 x 轴上，就 x 方除以 a 方，再减掉外方除以 b 方，这个 b 就是 a， a 和 b 是 一样的，下面把这个负五三带进来，就是二十五除以 a 的 平方，减掉九除以 a 的 平方等于一，所以 a 方应该等于 十六呢？ a 方等于十六是对的，那就是这个答案。还有如果他俩颠倒一下，颠倒一下，那就用直接擦吧，直接擦了，就是把 y 方写在前面，把 x 方写在后面，这个带一下，就这俩也颠倒一下，就是九和二十五。这样发现是无解的， 因为九比二十五要小，你这个减一下变成负的了，负的等于一是不可能的，所以第二个答案虽然讨论了，但是第二个答案不成立。 好，继续第五题。如图，圆 o 的 半径为定长耳， a 是 圆 o 外的一个定点，就这个图啊，圆 o 的 半径是一个定长， a 是 圆外的一个定点，这种定一定要注意定长。还有定点 p 是 圆 o 上的任意一个点， p 在 圆上随便动，那这个圆是不动的， p 在 动啊。 ap 的 垂直平分线这边画一个 ap 的 垂直平分线 和直线 o p。 直线 o p 这边画出来应该是一个直径，交于点 q， 那 很自然的就要想着连接 q a 嘛。因为垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， 然后当点 p 在 圆上运动时， q 的 轨迹是什么？为什么？这个肯定是要往双曲线上靠。双曲线的定义是什么？课本上专门给你讲过的定义就是到两个焦点的距离的差的绝对值等于定值， 对了吧。所以看一下啊，这边有没有距离的差？应该是有的，应该是有的，就是问的是 q 的 轨迹，这要满足什么？ q a 和 q p 是 一样长的， 对的吧？ q a 和 q p 是 一样长的，那 q a 如果减掉 q o 的 话等于啥？ q a 如果减掉 q o 的 话，就是等于 q p， 减掉 q o 应该等于这个半径， 对吧？这边写上就是 q a， 再减掉 q o 是 等于半径，而半径是一个定值， 那不就是满足这个点到 o 和 a 的 距离的差等于定值吗？距离的差等于定值，那他问你轨迹是什么？轨迹就是双曲线呗。这个 o 和 a 就是 焦点，这个耳的话就二 a， 二 a 十周长，所以就是以 o a 为焦点，耳为十周长的双曲线 就是这样， p 在 上面动的过程中，这个 q 肯定跟着动嘛，就是这样描述，当然这儿好像不带绝对值，不带绝对值的话，那最好你应该说双曲线的一只，当然这儿它没有让你写轨迹方程，没有写轨迹方程，这个实际上就没有那么严格了。 好，下面第六个求经过点 a 三负一，不是这个图，经过点 a 三负一，并且推线轴都在坐标轴上的等轴上角线，等轴上角线就是 a 和 b 相等， 所以分类讨论啊， x 方除以 a 方减掉，外方除以 b 方等于一，还有这个外方除以 a 方，再减掉 x 方除以 b 方等于一。你把三负一分别带进来算一下就好了。这个就类似于刚刚的 那一道题，刚好有一道题是这样的，那就不管了，刚好这个是吧，这个就是的利息率是根号二，它就是等值双曲线，就跟这个是一样的，类似的。最终算下来只有一个答案，一个答案是不成立的。 这边给大家解释一下，为什么第三问和这个第六题都分论讨论了，但是最终有一个答案都不成立。实际上你画画图应该是显然有一个情况不成立。 比如像以这个第六题为例啊，等轴双曲线，它的渐近线是 y， 等于正负 x， 现在他要过三负一，三负一在哪啊？三负一的话大概在这个位置，你要过这个点的话，他一定是一定是焦点在 x 轴上，你要焦点在外轴上，是不可能过这个点，对吧？这个第三题也是类似的。 好，下面综合运用。 m 和 n 为和值时方程， m 分 之 x 方加 n 分 之，外方等于一，表示下列曲线。这个就要想研究通式， 如果是远的话，那就是 m 和 n 等于相等，而且到底是正的，你这样才能 x 方加外方等于 m， 这个 m 就 二方嘛，它正的相等。如果椭圆的话，就是 m 和 n 都是正的，就一个是 a 方，一个是 b 方嘛，它俩谁大不知道，但是它俩肯定不相等。 双角线，双角线，那 m 和 n 应该一个是 a 方，一个是负 b 方，所以它俩应该是异号就可以了。一正一负 好求与。椭圆有公共焦点且离心率 e 等于四分之五的双角线公共焦点焦点。算一下，这边椭圆 a 方是四十九， b 方是二十四，所以 c 方就等于做个叉是二十五嘛。所以 c 就是 五， 所以它的交点就是正负五零，那这个双曲线的交点就也是正负五零。对于双曲线来说，可以知道 c 是 等于五的，同时交点在 x 轴上， 是吧？ c 等于五，那这个 a 就是 四嘛。所以 x 方除以 a 方就除以十六，减掉外方除 b 方， b 方就是 c 方，减 a 方二十五，减掉十六就是九，这样就好了。 下面第九题，第九题说相距一千四百米的 a b 两个哨所听到炮弹爆炸声的时间相差三秒，已知声速是三四零。这个跟前面一道例题是不基本一样， 基本一样，那道例题好像是两秒，这边是三秒。问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，你就可以类似那一题写明显就是双曲线，这个就二 c 嘛，然后这个三秒再乘以三四零，就是动点到两个定点的距离的差的绝对值， 是吧？这个叉，那就这是三乘三四零，三乘以三四零，这个等于二 a， 这样就可以把 a 取出来，那有了 c， 有 了 a， 这个 b 是 不一样。可以算你间隙的话，就是以 x 轴以那个什么 双曲线的中心为圆点，然后交点在字轴上，间隙就可以了。然后这个地方因为我这没有画图，所以后面没有写范围。如果你画了图的话，后面是要写范围的，就是跟前面一个立体一样的，我们翻了给大家看一下， 在哪啊？就这个，这个他这样画了图之后是个大题吗？他就这边写了，写了范围的是在右之上，如果你画了图的话，因为大家画的图可能不一定一样，所以我没有写范围。你把这个爆炸的地方放在右之上， 如果你把爆炸的地方放在右值上，那么这个 x 就是 要大于等于 a 的。 如果你把爆炸的这个地方放在左值上，那么这个就是 x 要小于等于负 a 的。 这个看你画的图，这个注意一下，我这边用红色的标记一下，要写范围，你要画一个图。 好，下面第十个设动点 m 与定点 f 的 距离和 m 到 l 的 距离的比是 a 分 之 c， 求 m 的 轨迹方程，这个就是第二定义，这个就是右准线，这个就是离心率，这个就是右焦点嘛。所以你化简完之后一定是这个。 当然这边让你去求你肯定是要写过程的。过程怎么写过程？就是刚刚那道例题的写法在哪？ 刚刚这道例题的解法，这边是给了你具体数据的，下一道题是，这边是 c， 这边是 c， 分 之 a， 方，这边是 a 分 之 c， 你 就带进来死算化简就可以了。化简最终化下来就是交点在 x 轴上的椭圆。 好，下面十一题。十一题说 m 是 一个动点， m， a 与直线， y 与 x 垂直垂足， a 在 第一象限， mb 与 y 等于负 x 垂直垂足在第四象限。如果四边形的面积是三，求 m 的 轨迹方程，这个我们可以画一个图啊，图在这已经画了， 就是 m 点作 y 等于 x 的 垂线， m 点作 y 等于负 x 的 垂线，得到这样一个四边形。这个四边形明显是一个长方形，是吧？他跟他这边又是做垂直的，他应该是一个矩形，矩形面积是几啊？他说的 矩形面积是三，那表示一下呗，就是 m a 乘 m b 等于三。 m a m b 的 话，是一个点到这两条直线的距离，那就可以套点到直线的距离。公式 要求 m 的 轨迹方程。我们把 m 设成 x y， 然后套点到直线的距离公式这边都已经写成一般式了，再进来画一下，那就是 x 方减 y 方等于六，当然这边是带绝对值的，然后这一题绝对值可以去掉。 绝对值怎么去？他说的很明确，这个 a 点在第一项线， b 点在第四项线，所以这个图是不肯定是像我们这么画的，你不可能放到这来，不可能放到这来，对了吧？肯定在这，肯定在这。那 你想这个要么是 x 方减外方等于六，要么是 x 方减外方等于负六。如果是 x 方减外方等于六的话，就是交点在 x 轴上的双曲线。如果是 x 方减外方等于负六的话，就是交点在外上的双曲线。现在 m 已经确定在二了，你说这个双曲线应该怎么画？ 这肯定是焦点在 x 手上，所以就应该是 x 方减外方大于零，是吧？这个答案就是 x 方减外方等于六。这个 x 是 要在右值，在右值就 x 要大于等于 a， 这个 a 是 根号六嘛。 当然这边的判断应该是用线型规划的角度判断的就是 m 点一定在这个直线的下方，一定在这个直线的上方，那这个正负怎么看？ 你可以带个特值，比如像这边是一逗号零，一逗号零这个点的话，你把它带进来，带进来一减零是大于零的，这意味着什么？意味着这根直线的下面这一片的点带进去 x、 y 都是正的， 说 x 减 y 是 大于零的，然后一零往这里面带，发现 x 加 y 也是大于零的，那就说明这个直线的上方的这一片都是正的，所以 x 加 y， x 减 y 都是大于零的。这边是公部分嘛，所以这两个平方差乘一下肯定是大于零的，所以答案就是六 好。下面十二题。十二题说椭圆与双曲线的离心率分别是一一、二，双曲线的渐近线的斜率小于五分之二，根号五，求一一二的曲值范围。 这两个椭圆和双曲线，它们的联系就是 a 和 b 是 一样的，因为同一道题中同一个字母有同一个含义嘛，那它们的离心率还有这个渐近线实际上就是个死算的题。来看一下 这个渐线，渐线线前面有结论，它的渐线线是 y 等于正负 a 分 之 b x 嘛，他说渐线线的斜率小于五分之二，根号五，这是正的，那就拿那个正的 a 分 之 b 有 零到五分之二，根号五。然后离心率怎么表示？对于这个椭圆来说，它是 离心率 a 分 之 c， 这个也是 a 分 之 c， 但注意这边 c 是 不一样的，这个 c 方是 a 方减 b 方，这个 c 方 a 方加 b 方，所以写一下，对于椭圆来说是 a 分 之 c 一 c 一 的话，就是根号下 a 方减 b 方，这个双曲线是，这应该写二， 双点线是 c 二 c 二就是根号下 a 方加 b 方，这样往里放，往里放，然后这个变成一减掉 a 方分之 b 方嘛，这是一加上一方分之 b 方，现在这不是有 a 分 之 b 的 范围吗？那 a 分 之 b 在 零到五分之二，根号五带进来平方，再拿一减，这边一加开根号就得到对应的范围了。 所以是个简单题，就是算了。好，下面第十三题，已知双曲线过点 p 的 直线 l 与双曲线相交于 ab 两点， p 能否是线段 ab 的 终点？这个在高考考过，高考出了个选择题， 就是给了四个选项，每个选项一个点，问你这个点能不能作为那个双曲线的线终点？这个我们讲两个方法，一个是连力的，还有一个是不连力的。 这边十三就是 p 是 一一啊一一，然后和这个双曲线画一条直线，和双曲线交汇两个点，问这个 p 能否是 ab 的 中点？那研究中点的话可以想连立， 现在这个 p 点是一一，这个顶点是一零，那这个 a b 时候肯定不可能竖着，它的斜率肯定存在，所以直线就设成外减，外零等于 k 乘以 x 减 x 零，这个 x 零外零就是一和一，然后连立。双曲线和直线连立完，连立完这边这个 k， 这个 k 肯定不是正负根负根号二，这个二四幺系数肯定不是零，因为 k 如果是正负根号二的话，会得到什么？ 会得到跟它渐近线平行啊。这个渐近线你把一改成零，不就是 y 等于正负根号二 x 吗？ y 等于正负根号二 x 的 话是渐近线，渐近线是无限逼近但永远取不到的线， 你过这个点要是画一个跟它渐近线平行的线，当然这个点在不在渐近线上我们没算。不管是跟它重合还是平行，你跟这个双曲线是不可能交汇两个点的， 是吧？不可能交于两点，所以这个地方肯定不可能是零。那直接写维达定律就可以了。 x 一 加 x 二等于二，为什么写 x 一 加 x 二？因为 它的终点不就是它的横坐标加它的横坐标再除二吗？ x 一 加 x 二应该等于它两倍，应该等于二，所以这边可以对应算出来，解出来这个 k， k 算出来是二，这个二，然后带进去，带进去发现这个交叉是负的，也就是说当 k 等于二的时候，它是 不想交的，是吧？不想交就不会出现这样一个选 a b， 所以 答案就是 p 不 可能是中点。 然后还有一个方法，还有一个方法是点叉法，点叉法就是嫌中点问题，可以优先想点叉法，这个会比零利好算一点。点叉法就是设 a 点 b 点坐标，然后带进双曲线下面做叉 就两个，作差嘛？作差这个一就没了，变成零，前面会有平方差，然后 x 一 加 x 二是 x 一 加 x 二，不就是一的两倍吗？不就二吗？这个 y 一 加 y 二，是不也就是二可以带进来，所以就是两倍的 x 一 减 x 二，再减掉 y 一 减 y 二等于零，这个说明什么？这个说明 k 等于二， 和刚刚那个结论是一样的， k 等于二，为什么你这个一个项，你这个一个项，不就是 y 一 减 y 二等于两倍的 x 一 减 x 二吗？然后把这个除下来， y 一 减 y， 二除以 x， 一 减 x， 二就是二，所以这样是可以得到 k 等于二的。然后 k 等于二，怎么样去说明它不成立呢？ 你可以再连立一下，这边写的就是连立，再连立，那就是连立完得到这个算下单调分线是负的，所以不成立。当然点差法就是想回避连立的。这个算到 k 等于二之后，能不能不连立呢？ 实际上是可以的。怎么个可译法？ ab 的 斜率是二，你在图上体现一下。刚刚不是说这个双曲线它有渐线吗？渐线的斜率是 y 等于正负根号二 x 是 吧？是 y 等于正负根号二 x。 现在这个开始二二是比根号二要大的， 二，比根号二大，那么用这个来画，那么这个根号二斜率为二的直线不是应该更倾斜吗？更倾斜。你想你在这移啊移，你不管是不是经过点 p 啊，你在这移啊移，跟这个双曲线如果想要交于两个点的话，在这中间是不是肯定不行？ 你要在这是不是才能交于两点？或者在这是不是才能交于两点？但你要是这么画的话，他能过一吗？ 他过不了一，一一在他的正上方是吧？一一在他在这个顶点的正上方，你要是在这二相交的话，肯定不可能过，他在这二相交也不可能。因为这个一一 这根红色的线，这根红色的线是外，对于根号二 x， 所以 图要画准一点的话，这个点屁应该在哪？点屁应该在这个直线的下方，是吧？所以你画这样一个蓝色的线能过这个点吗？是不也不可能，也不可能。所以你从图像上看也是能够看出来的。这个点屁不可能是重点。 好，下面十四、十四、已知双曲线与直线有唯一的公共点 m 过点 m 且与 l 垂直的直线分别交 x 轴外轴于 a、 b 两点。 这个焦点的坐标啊，这是 x， 这是 y。 当点 m 运动时，点 p 是 x， y， 这个点 p 就是 由他俩生成的。拿他的 x， 拿他的 y 拼在一起，出现一个点，求点 p 的 轨迹方程，并说明轨迹什么曲线。如果推广到一般的双曲线，你能得到什么相应的结论？ 这一题还是相对综合的，要让你去推一个结论出来，我们来看题啊。十四题在下一页，下一页看 就在这。这个，先拿他说的这个双曲线来推他怎么说的题目，再看一遍，对着这个图看一遍。他说 直线 l 这个 k 不 等于正负二，你从这能明白为什么 k 不 等于正负二？因为你把 e 改成零，这个渐近线就是 y， 等于正负二。 x， 这是规避了和渐近线平行或重合的情况。这样一个直线和他有唯一的公共点， 然后点 m 与 l 垂直的直线分别交于 x 轴外周与 ab 两点看，就这样是一个直线，和这个双曲线是有一个共点，那就是相切呗。相切，然后再过 m， 做一个 l 的 垂线，交于 ab 两点，最终 这个是零， y， 这个是 x 零。得到这样一个 p， 实际上就是做垂线。做垂线，这是一个矩形，对吧？ p 的 坐标是 x y， 那怎么样去探求 p 的 轨迹呢？要探求 p 的 轨迹，实际上就是你求谁的轨迹，就把谁说成 x y， 然后去寻找 x y 之间的的两关系就可以了。那 就硬来呗，就按照题目顺序来，题目说这个直线和这个双引线是相切的，那就是连立呗。连立带进去交叉等于零，可以划到这个就死算的死算化简得到这个，那得到一个 m 和 k 的 等量关系，待会应该是可以用来削圆的。然后 这个 m 坐标可以取出来， m 的 坐标就是这个方程的解，对吧？这个方程交叉等于零， 这个方程替换等于零，那这个对称轴就是这个 m 就是 一个二次函数，一个二次函数，如果它有两个相等的根的话，这个对称轴不就是根吗？对称轴怎么算？对称轴就是 x 一 加 x 二除以二，或者是你套这个负二 a 分 之 b 是一样的，都可以，就可以算到这个。然后算到这个的话，可以用它来适当削圆。因为四减 k 方和这边的 k 方减四是不就差个符号，那就是负的四分之 m 方嘛。带进来可以削掉一个 m， 这是 x m， 然后 y m 的 话，从这个尺子看不出来，但是你可以带进直线，带进 k， x 加 m 带进来，把这个结果带进来，带进来，这个 k 方是不一样，可以画一下，画一下得到这个，所以这样 m 的 坐标就有了。 为什么要写 m 的 坐标？是为了求这个 ab， 现在 ab 跟 l 垂直，那 ab 的 写率就是负的 k 分 之一，它又要过点 m， 那 就可以写点斜式。 y 减 y 等于 k， 乘以 x 减 x 零， 然后在直线 ab 的 方程中，令 x 等于零，令 y 等于零，就可以算到 a 和 b 的 坐标， ab 的 坐标有了，那 p 的 坐标有了，而刚刚设了 p 是 x， y 啊，那不就是 x 等于它，同时 y 等于它吗？ 是吧？但这边带 k 和 m 不好，我们最终要的是只含有 x 和 y 的 的两关系，所以我们想办法把这个 k 和 m 给它消掉。怎么消呢？ 这边是双曲线，这一节是不肯定要往双曲线上靠。双曲线的方程是有 x 方和外方的，所以我们算一下 x 方，算一下外方， x 方，算一下化简是四百 k 方除 m 方。本来这个 k 和 m 用这个是不太好削圆的，因为这边有平方的，但是你平方之后就可以削了。削的话是削它还是削它呢？ 我们肯定是要往外方上靠，肯定是小 k， 对 吧？小 k 把 k 带进来，带进来化解一下，化解一下，发现这个刚好就是一百，不要动他是什么？他是四倍的外方， 外方是 m 方，分之四百吗？这边一千六，那就四倍的外方，所以结束了呀。你把这个四外方移过来， x 方减四，外方等于一百，再把一百除掉，就是 x 方除以一百，减外方除以二十五等于一，那他就是一个双曲线。 但还有细节这边写了，外部等于零，就是要把顶点扣掉，为什么要把顶点扣掉？因为 这本来就取不到零啊。负的 m 分 之二十是一个反比例函数，反比例函数的值域零就不在这个值域中，所以这个零肯定是要扣掉的。所以结论就是他问的啥？ 他问的要让你求轨迹方程，并且说明轨迹，什么曲线轨迹方程，那就是这个地方把零扣掉，那轨迹就是双曲线，去掉了两个顶点， 他还让你推这个一般的结论，一般的结论就是你和上面一样的，你把这儿换成 a 方 b 方，下面一样的算，这个计算量还是比较大的，算完的结果就是它，这还是一个双曲线，去掉两个顶点 好，这样题目就做完了。还有一个探求与发现，这边就是给你证明为什么他是他的渐近线， 想要证明渐近线，实际上你要怎么认？核心思路是要证明这边的距离或者这边的距离随着 m 的 横坐标的增大，这边要逐渐逼近零，要证明他的极限是零，那怎么认呢？死算就好了，死算就好了。看 前面，我们是通过信息技术得到了这个结论，但是怎么正？下面就正如图，在第一象限这边，只要正第一象限，因为这边的直线还有这边的双曲线都是关于圆点中心对称的，所以你只要正一个象限 啊，不光中心对称，还有轴对称，轴对称加上中心对称，你只要正一个象限，其他象限都同理。就是在第一象限内，双曲线的方程这边 x y 都是正的，所以这边可以直接开根号可以写成它。那 m 是 x， y， 这个 n 是 啥？ n 是 同样的 x 带进了渐近线 n y， 然后 x 和 y 可以 作差，是吧？ x 和 y 啊，不是 x 和 y 作差，应该是这个 y 和这个 y 作差，就是要去证明它是无限接近零的，因为你这会有一个直角三角形，你只要能证明斜边无限接近零，这个直角边是不肯定更是接近零， 那就证呗，两个相减，大外和小外做差看大外，小外做差做差得到这个想要证明他是无限极零，怎么证？这边会涉及到一个分子有理化，以前在初中是接触过分母有理化的，比如像一除以根号二加一，就是分子分母同乘根号二减一嘛。 现在这边类似啊，这个分母是一，那就有分子分母同乘 x 加根号，所以这边乘一个，这边乘一个，然后上面画一下，画一下就是 x 方，减掉 x 方，再加 a 方就是 a 方，对吧？这个到下面来了，画一下就是 a 方， a 方的话和这个 a 约一下，分子上就是 ab， 所以可以化解出这样的结果。然后你想 x 现在比零大，当 x 大 于零时，这玩意是递增的，这个 x 方式也递增的，所以整个分母就是递增的。然后当 x 接近正无穷时， 当 x 接近正无穷时，这边是正无穷加正无穷，所以最终结果是 ab 除以正无穷，那么它不就是接近零吗？那就正正到了。就是这边说的当 x 逐渐增大时，这个 他这还过度了一下。 m q m q。 看下图啊， m q 和这个 m n 什么关系啊？就是我刚刚说的 m n， 你 只要能接正到接近零， m q 就是 接近零，所以这没没什么，没什么用 是吧？直接看就好了，就是 x 逐渐增大，这个就逐渐减小， x 无限增大，它就无限接近零， 同样他也无形精灵。这也就是说，在第一象限右上方向右上方向右上方延伸时，是从射线 o n 的 下方逐渐接近射线 o n， 但与射线 o n 永远不相交，这就正道了。 好了，当然，如果你不想算刚刚那个竖线，想算这个 m q， 这个斜线也是可以的，但是麻烦， m q 是 斜的，这边是直的，在圆中斜线里面能算直的肯定尽量尽量不算斜的，斜的麻烦算直的这个效果是一样的，所以这样就挣到了。