广东春季高考立体几何大题怎么做

距离广东春考还有二十三天，现在抖音暂停开始上课，那么今天来看一下模拟上的这道几何的这个大题， 那么看一下第一小题叫我们求一面直线所成角，那么这种类型其实在我前面视频当中的，呃，小题其实当中其实已经提到过了，你们可以去放一下，就是求一面直线加角那一期嘛。 那么一面夹角有几种类型？这种类型是不很明显，它是都是对角线，对吧？一个 c d， 还有一个 b c， 就是 这条线后面的这条线，那么都是对角线，都是正方形的对角线的话，如果在小题当中你去要选夹角，那么它就直接是六十度了， 因为让我们看一下，呃，假角的话，我们要怎么去求它的角是不是要平移啊？两条线它没有，它没有焦点的话，那么你要把它平移，我们这个相当在平面内去举例，现在这两条线它是不是还没有焦点，但是它无限延长，它有一个焦点，当时我们就假设它是一命之星嘛，我们要怎么去找出它的一点，是不是要平移啊？保持其中一条线不变，去平移另外的一条线，注意要平移 平行它才能保持它角角不变。假设我们要平移这条线，那么往左去平移到这边，那你看当它有焦点的时候，它就能产生一个角，那么放在放在立体图形当中也是一样的，你看 c、 d， 它是后面的正方形的对角线，然后呃，我们是不是可以让它 v c e， 它也是右边这个面的一条对角线，那么我们就保持其中一条线不变，来移动另外的一条，那么我们就假设 c、 d 这条线不动好了，后面的线不动来平移右边的这条 v、 c、 e， 那 么我们就把它平移到左边的这个平面来，是不是呢？平移到 a、 d、 e 这条线， 对吧？你看现在 a、 d、 e 跟 c、 e、 b 这两条线，它就是互相平行的，现在平移之后的 a、 d、 e， 它跟后面的对角线 c、 d、 e， 它是不是有一个，有一个焦点， 有一个焦点，而且它现在是不是也产生了一个角，对吧？说明现在我们就可以来求它的一个嗯，角的一个角度了，现在求角度怎么求？是不是把另外的一条 c、 d， a、 c 也连起来？ ok， 所以 在这道题当中我们就做了两条辅助线，那么我们来写这个过程。第一题 嗯解，因为它第二小题是求正，我们第一小题是求斜解，连了两条线连接 a、 d、 e， 还有哪一条？ a、 c， 对 吧？那么第一步我们首先要证明平移这条线是它是平行的，那么怎么去证明平行？ 其实不太建议说在正方体里，写在正方体里面，然后就说它两条对角线是互相平行而且相等的，最好是要把它放在一个四边形里面，去证明它是一个四边形呢？它是不是放在四边形？ a， d， c、 e、 d 这四边形，对吧？是一个四边形里面， 那你去证明，怎么去证明它是一个平行四边形呢？就去证明它另外两条，两条边平行且相等，那么另外两条边平行且相等，它是正方体的一个性质，说明我们就直接写在，因为在正方体 a、 b、 c， d， a， e， b， e， c， e， d， e 中，两条线 a、 b 还有一个 c、 e、 d、 e， 它是平行写相等，平行写相等它你可以写成这个符号，不用，不用分开写，所以意助这边平行写相等的话，说明四边形 a、 b、 c、 e、 d、 e 就 为平行。四、平行，说明另外两条边，我们要求的这条边，还有这条边，刚才讲了我们要平行，这两条边就是互相平行的，说明 b、 c、 e 就 平行于 a、 d。 那 么平行之后呢？我们就能写 它哪个角，我们标出是哪个角是角，对吧？所以角 a、 d、 e、 c 为异面平行。 两条异面平行， c、 d、 e、 b、 c、 e 所成角，说明现在下 知道哪个角它是它一面之间所成角之后，我们就可以来求角度。那么怎么求这三条对角？你看这一组成这三条边，一、二、三三条边，它是不是都是正方形的一个对角线？说明我们直接说，因为 a、 d、 e 都好， c、 d、 e 都好， a、 c 为正 方体中正方形的对角线， 它都是面同相等的正方形的对角线，说明它的长度相等，所以 a、 d、 e 就 等于 c， d、 e 等于 a、 c， 说明三条边上的话，它就是一个等边三角形三角形 a、 d、 e、 c 为等边三角形。 等变的话，说明他每个内角都是六十度，说明我们要的这个角角 a、 d、 e、 c 等于六十度，所以就下结论，所以一面直线，一面直线，两条直线所成角为六十度，答一下对吧？问题答一下对吧？ ok， 这个就是第一小题的一个过程，还有思路，你们需要的就可以把它截图写下来。 第二小题，求线面平行。那我们先复习一下线面平行的图形圆是什么？是平面外的一条线，平行于平面内的一条线啊。 a 平行于 b， a 是 不属于阿法的， b 是 属于阿法的。根据这三个条件就能证明 a 跟阿法是平行的，所以最主要的就是证明平，平行。 线跟线平行，那么这正线面平行，它是不是两种类型？它那两条线 a 跟 b 平行，那两条线是不是有可能一长一短，有可能一样长？大概率是考这种类型，有考的话，那我怎么去找这个线呢？你看哪个线是平面外的线？是不是 m a， 对 吧？平面在哪？平面下面。 那我们要怎么知道？我们之前在前面的视频讲过的时候，相当于你在呃你的试卷当中，然后你拿一条笔或者拿一个直尺，最好是直尺吧，因为它是透明的， 把它标在这边，标在你要求要求的这条屏幕外的这条线这边，然后往平面方向移过去，移到香蕉的时候，你就能看出哪是哪条线。这道题相当，你要把这个 b 移到相对，把 m 把 m 移到 b 这个点，对吧？说明假设的，我划一下在图形当中，是不？下面这样子， 对，差不多这样子，你拿一个尺子往下移过来，就是这样。那么你看一下它是不是交到了这条线，交到了这条线，它那么是什么类型？是不是异常和一短？ 你看这两条，我加深了这条 m、 n， 还有这条下面这条 b、 d， 它是一长一短，那么一长的话，就相当于要把它放在同一个三角形里面去证明它是中位线，或者是有一些题目当中有可能是三等，分点四等，那么你就要去证明相似，那么比较常见的还是中点，就是这 放在同一个三角形里面，它这里是重点，这边也是重点，那么连起来它就是这个三角形的一个中位线，那么它就是跟另外跟第三边的平行，那么很同样的，你在这个图形当中，你看一下 m、 n 还有 b、 d 要怎么放在同一个三角形里面，是不是要把 c、 e、 d 连起来，那么它这一个交叉的 m 在 这边， c、 e 在 这里， d 在 这里， b 在 这里，对吧？ ok， 那 么这道题思路分析完，我们就来写这一个过程， 那么在在题目当中我们需要去连什么线？是不是 b、 d 需要连，对吧？还有一个 c、 d 也需要连，那么因为它是被挡住的线，正常要把它画成虚线， 现在来写这个过程。第二证，求证，证明，因为 m 是 终点，是题目当中给我们的 n， n 是 什么？ n 是 谁的终点？ n 是 要说它是 c、 e、 d 的 一个终点， 对吧？ c、 e、 d 的 一个终点的话，那么看一下题目当中给的你是哪一个条件？请注意，题目当中给的你是 n。 四、 c、 d 的 终点，但是现在我们要说的是 c、 e、 d 的 终点，说明我们这一个终点需要来讨论一下怎么去讨论 平行四边形或者平正方形，它的对角线终点是同条同一个点，对吧？说明你看我们后面已经把那个对角线给它连上去了，说明现在回来直接说明，因为 四边形后面的那个四边形 c、 d、 d， e、 c、 e 为正方形，加上这个 n， 它是这个 c、 d、 e 的 中点， 说明 n 是 另外一条交线， c、 e、 d 另外一条交线，我们连起来这条呃的中点，中点， ok 哦，零线还没写，作兴的话，作兴话正常就写在题目当中就行。连接 b， d 还有逗号，还有一个 c， e， d， ok， 它是 c， e， d 的 终点，说明我们把刚才那个三角形给它拎出来。 c， e， d， c， n 已经说它是终点的，拆个 m 对 吧？ m 是 b， c， e 的 终点，说明这条 m， m， n 是 三角形 c， d， c， e， 哦，不对，搞错了，这边是 b， b， d， c， e 的 中位线， 有中位线的，那么就可以说平行 m， n 会平行于 b， d， 那 么就出来了 m， n 这边平面外的线会平行于平面内的线，说明我们就刚才那把那个图形语音给大家再写一下， a 平行于 b， a 不 属于阿法， b 属于阿法，对吧？那么这个平行就对应了图形与这个平行，那么就差写一个不属于和属于，因为 m， n 不 属于平面 a， b， c， d， 而 b， d 呢？它是属于平面 a， b， c， d 的， 说明啊，你看这对应的右边，这里说明我们就会下结论，线根面平行 m， a 平行于平面 a， b， c， d， ok， 这个就是这道题的一个过程。

好，接下来我们来学习第九章关于立体几何的知识，我们在以前的数学的学习中学习过了几何的内容，对吧？几何图形，那么当时学习的我们基本上都是以平面的图形为主，我们学习过三角形的性质， 学习过四边形啊，特别的四边形，像平行四边形，矩形，菱形，还有正方形等等，梯形这样的一些啊，四边形的性质，我们还学习了圆的图形，对吧？ 那我们接下来学习的这个几何啊，要做一个小小的升级，我们不再是研究平面上的图形，而是研究立体的图形，所以立体的图形。 同学们，好，接下来我们来学习第九章关于立体几何的知识。我们在以前的数学的学习中学习过了几何的内容，对吧？几何图形，那么当时学习的我们基本上都是以平面的图形为主，我们学习过三角形的性质， 学习过四边形啊，特别的四边形，像平行四边形，矩形，菱形，还有正方形等等，梯形这些的一些啊，四边形的性质，我们还学习了圆的图形，对吧？ 那我们接下来学习的这个几何啊，要做一个小小的升级，我们不再是研究平面上的图形，而是研究立体的图形， 所以立体的图形，这个时候我们的很重要的一个元素不再是线和点了，而是面， 而且呢，我们会研究的主要是一些基本的平面，所以立体几何的重要元素，它是有点、线、面三个不同的基础的维度组合起来的，所以呢，我们接下来一起来看一下立体几何的相关知识。 本章书我们首先要认识的是空间中的直线与平面，那么这里重点会引入平面的概念啊，那么接下来就会介绍的是像直线和直线的位置关系，直线和平面在空间中又有什么样的位置关系，以及平面和平面的位置关系。 然后呢，我们会介绍简单的几何体，那么几何体中包括了像我们的圆柱体，锥体，对吧？还有呢棱柱体 啊，以及球体等等这样的一些简单的几何体的性质，那我们会认识它的表面积啊，或者说体积的球法啊， 好，那么这就是我们的整个重难点啊，那重点的话是我们的平面的球解，对吧？这个空间中的平面以及直线直线的位置关系，直线平面的位置关系，以及平面平面的位置关系， 还有我们刚说的像表面积和体积的求法啊。那首先我们先来学习第一小节关于平面啊，首先我们来看一下平面的特征， 我们知道构成空间的基本要素，刚说的点、线、面三个重要的元素，那么在平面几何中我们主要学习点和直线。那么接下来我们认识平面啊， 数学中的平面它是有平，对吧？平面它不是曲面，不是弯曲的，所以呢，它是具有平和无限延展的特征。我们一般来说用小写的希腊字母像，而法 贝塔、伽玛等等这些希腊字母来表示平面，当然我们也可以用多边形的顶点的字母来表示平面，比如说我们可以画一个三角形，那么这个三角形所在的平面我们就可以用它的三个顶点 a、 b、 c 来表示了，对吧？ 或者说我们也可以用四边形 a、 b、 c、 d 啊，它的四个顶点的 a、 b、 c、 d 字母来表示，对吧？当然我们可以简化既作 a、 c 啊，这个对角线也可以表达整个平面的特点，所以这就是一个完整的平面的特征以及它的表示 啊。我们来看完了第一个支点之后，然后我们来看一下啊，点和平面的关系啊， 那么考虑到直线和平面都可以看成无限个点组成的点的集合，哎，这个没问题吧，能理解啊，我们把无数个点组合起来，可以构建出一条直线，当然也可以构成一个平面，所以呢，我们可以有以下的特点啊，当点 p 在 直线 l 或者平面 r 缝内，你看点 p 在 直线 l 或者点 p 在 直线 r 反内的时候，我们可以用集合的这种关系啊，元素和集合的关系是属于和不属于的关系嘛？所以呢，我们可以写 p 属于直线 l 以及 p 属于平面 r 反， 那反过来，如果点它不在直线上，或者说这个点不在平面内，它就表示为不属于，所以此时 p 不 属于 l 以及 p 不 属于 r 反。 所以用这样的一个记号，我们就能够知道点和直线或者说点和平面他们的一个基础的位置关系了。好，这就是一个重要的基本表达啊。 那么接下来我们来学习一下公理啊。啊，公理的话，大家知道它和定力啊，是要有一点点区别的啊，公理是我们认识数学，或者说认识我们这个社会，认识我们这个世界的一个 什么公认的道理，他不需要证明啊，就是说我们是认识这个东西之前，我们首先要承认他的存在，如果你不承认他的存在，那你不要去啊，我们没有办法去讨论后面的东西啊。所以呢，对于我们来说，首先要认识这些东西是必然存在，而且要承认 这些事实，所以呢，我们来看一下在立体几何中的一些重要功力。第一条 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，什么意思？我们来看下图，你看 abc 三点显然不共线嘛，很直观的看到， 所以呢，这个三点构成的这个平面阿尔法，它是有且仅有一个的，所以你找不到第二个平面 经过这三点了啊。当然我们把这句话说的更加的明确，直观一点，可以说不共线的三点可以确定一条平面啊， 所以通过这个图，我们是非常直观的可以认识这一个问题啊，那就是公理一啊，经过不在同一条直线上的三点，尤且只有一个平面啊。好，这是第一个问题， 我们来看公里二，如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 哎，这个怎么去理解呢？我们来看一下，当一条直线上的所有点都在这个平面内的时候，我们称这个直线他就是在这个平面内，对吧？或者说这个平面经过这条直线， 因为直线和平面都是由什么构成的？都是有点构成的，是不是刚说到这个问题，所以直线 m， 它在平面内的所有的这个点啊，这个直线 m 它在平面阿尔法内，所以我们是可以写成 m， 它和阿尔法集合和集合的关系， 对不对？是不是子集的关系啊？对吧？那当这个直线不在平面内的时候，我们就可以记忆做的是 m， 它不是阿尔法的子集， 对吧？所以他并没有公共点啊，那么如图可以看出来这个问题啊，所以呢，这就是一个直线 ab， 那 他两点都在这个平面内，所以这个时候直线上他的所有点啊，都会在这个平面内， 对吧？好，那么点 c 的 话，是直线外的一点，他也可以是这个直线上的啊，也可以是个平面上的，对吧？所以呢，不一定说啊，直线他经过这个平面，或者说平面是经过这个直线，或者说直线属于这个平啊，是这个平面子极 啊，那你不能够说所有点都在平面内，那不在直线上的点就不在这个平面上，不可以，你看这个点 c， 它在这个平面内，但是呢，它是不在这个直线上，所以呢，这个地方大家搞清楚它的逻辑关系啊。 ok 啊，这是第二条公里啊， 那么由公里一和二我们可以得到一些推论，我们来看一下，第一条推论，经过一条直线和直线外的一点，有且仅有一个平面，好，经过一条直线 和直线外的一点，有且仅有一个平面的第一条推论。第二个经过两条相交直线，有且只有一个平面，对吧？来，大家想一下，两条相交直线他们只能构成一个平面 啊，你就想嘛，第一个 l， 一， 它能够确定无数个平面。 l 二，它能够确定无数个平面，但是它们异相交之后，只能够锁定它们公共的一个平面，对吧？所以这个时候平面它有且只有一个啊， 好，第二个，经过两条平行线，有且只有一个平面。哎，这个也是一样的啊，这个道理 哎，两颗平行线，对吧？本来这个第一条直线 l， 它可以有无数个平面 l 一， 第二个直线也可以有无数个平面，但是都要经过这个两条直线，那么此时这个平面没有多的，只有一个啊， 好，这是第二个啊，第三个推论啊，所以我们可以通过公里公里二来得到一些重要的推论啊。 好，来看公里三，如果两个平面有一个公共点，来看一下，我们这个图像中，阿尔法它是一个平面，贝塔它是个平面，那此时有一个公共点，那么它只 有一条，对吧？它们有且只有一条经过该点的公共直线，所以这个直线是不是 l， 对吧？经过该点，那这个点是点 a 吧，是不是？所以呢？我们把这样的直线啊，称作两个平面的交线啊，后面我们会去研究这个交线啊。 所以你来看，当平面阿尔法和平面贝塔相交于直线 l 的 时候，我们可以用数学的集合语言中的什么运算啊？是不是交集的运算？阿尔法和贝塔相交等于 l 来表达这个运算的结果， 所以此时我们就能确定他的关系啊，所以这是第三条重要功力啊。 好，那我们来看一个例子啊，判断下列说法是否正确。首先，第一个，经过三个点，有且只有一个平面， 来，这句话是不是典型的错误？我们的公里一怎么说呢？是经过三个不在同一条直线上的点，对不对？所以这个点它要有限制。大家想，如果我是一条直线 l， 那 么它的上面有三个点， a 点 b、 点 c， 那 这个时候 这三个点都在直线 l 上，它经过的平面是不是有无数个？我是不是可以这么画，对吧？我是不是还可以这么画？ 所以平面它有多少个？是不是有无数个，对吧？你可以绕了这个地方，绕了这个 l， 它直接旋转嘛？大家想是不是相当于是一个杆子，然后呢？这个东西让绕到上面去旋转，所以你可以转出无数个平面出来，所以第一个显然是错误的。 我们来看第二条，如果直线 l 与平面阿尔法有三个公共点啊。直线 l 与阿尔法有三个公共点，那么 l 属于阿尔法 l 是 它的子集，对不对？这个应该没问题啊，有三个公共点了， 对吧？这个没问题啊，所以第二个正确啊，满足公里。第三个，用三角板的一个顶点与桌面接触，我们来看一下啊， 什么意思？假设这里有个桌面，好，这有个三角板，好，这是一个直角三角板吧？假设它是一个，对不对？这是一个直角， 那这个时候它是不是这个意思？就是拿那个三角板的顶点与它接触，那这个时候公共点，假如这个平面阿尔法，这个三角板是 a、 b、 c， 好， 那我就拿 c 点去他接触了，那公共点是不是 c 点？所以两个平面，你看三角板是不是一个平面，然后呢？这个阿尔法是个平面，他说这两个平面只有一个公共点，对，还不是还是不对 啊？只有一个公共点，对还是不对？赶快想，肯定是不对的吧。你想这个平面它具有个什么性？这个平面它具有无限的 延展性吗？所以呢，你这个三角板是我们的一个实物，但是呢，它所在的平面是不是应该是无限的延伸的？所以这个时候是不可以把这个平面补充完整一点，是不应该是这样子的啊？当然这只是一个部分啊， 所以这个平面与它是一个什么？它有几个共点？是不是有无数个共点？它们是不是会有一条交线？这条交线啊？这个点 c， 它是经过它的交线，对不对？所以这条线我们把它称作两个平面的交线， 交线上的点就有无数个，所以呢，它不止一个公共点，所以第三句话也是错误的。好，我们来看第四句话，经过直线 m 和 a 和一个点 a 的 平面有且只有一个。 好，那如果是一个直线 l， 对 吧？好，平面外的一点啊，直线外的一点 a， 那 这个好像没问题哦，是不是有且只有一个， 对吧？经过直线 m 和点 a 的 平面有且只有一个，这么说是没问题的。但是我们有一个非常特例的情况，当我的 a 点刚好在直线 l 上， 这个时候是不是又出问题了？他的平面是不是又可以画无数个，对不对？你可以打横着画，也可以打竖着画。所以呢，第四个也是不对的啊，这个点 a 不 能在 点 a， 不 能在平啊，在这个直线上，所以他只有在平面啊，在这个直线外的时候，他们的平面有且只有一个啊，所以第四点是错误的，所以答案应该是正确啊，错误，正确，错误，错误。 ok， 好， 那么这是例题啊，也是我们对于平面的基本概念的一道例题的讲解啊。那么我们第一小节学到这里，同学们再见。

一个数学题，轻松上岸，没问题，今天给各位老铁讲一个立体几何的问题，看这个题目啊，说已知啊，四棱锥啊，告诉你是四棱锥， 然后底面是一个矩形，看到矩形你就应该想什么想，是不是有一个角是直角的平行四边形？ 现在告诉你， a， d 啊，等于一啊， ab 等于二，然后三角形啊， p a b， p a， d 是 等边三角形，你要想到等边三角形及正三角形啊，所谓的正三角形，我们应该想什么？ 是不是我们应该想正三角形的三线，哎，三线和四芯， 他三线合一，四心合一，他的三线指的是垂线、中线、角、平分线，其实都是一条，他的四心包含了内心、外心、垂心、重心，都是同一个。哎，你，这是你必须要知道的啊！ 现在又告诉你， pa 垂直于 c， d 啊， pa 垂直于 c， d， 因为让我们证明这个平，这个平面与平面是垂直的关系，那我要证明平面与平面垂直，我是不是只需要证什么？ 只需要证这个直线与平面垂直？哎， 那根据已知条件，我们现在开始来研究研究。首先，我是不是知道，因为这是个矩形，那么 a， d 是 垂直于 d， c 的 啊， ad 垂直于 dc。 其次，那这个根据已知条件， pa 也是垂直于 dc 的 啊， dc， 那 么 pa 与这个 ad 相交于点 a， 那 么对应的我是不是就容易得到 dc 是 垂直于平面， p， a， d 啊？那么所以啊，这个直线和平面的垂直我们就证明出来了，因为 a， d， c 又是在哪里啊？在平面 a， b， c， d 当中， a， b， c， d 当中啊。那么根据平面与平面垂直的判定定律，那接下来我是不是就证明出了这个两个平面的垂直关系？ 看这个题的第二问啊，第二问说，让我们求这个两个平面的夹角的余弦值，我们把两个平面夹角的余弦值可以把它转化成两个平面法向量，哎，两个平面的法向量的 夹角的余弦值，那么如何求法向量？我们是不是就需要建立坐标系？哎，那么建坐标系，我们是不是要找三垂直，哎，三垂直，那么有了方向之后，那我们现在，哎，一起来看一看这个坐标系该怎么建。 相对来说，这个坐标系键应该是比较简单的，键比较简单的。那根据第一问，我们得到的是这两个平面，它是垂直的关系啊，两个平面是垂直的关系，并且啊，我们还知道这个三角形是个正三角形，哎，记住我刚才讲的三线合一， 那么我在这个 a d 上找一个中点 o 连接 p o 连接 p o， 我根据已知条件，我容易得到 p o 其实是垂直于底面的，这是根据面面垂直的一个性质定力啊，面面垂直的一个性质定力，好，那么接下来我就以点 o 为坐标，原点 以 a d 方向，哎为 x 轴，以 o p 方向为 y 轴， y z 轴， z 轴， z 轴是 z 轴啊，然后再过点 o 做 ab 的 一个平行线，哎，这个是 y 轴， 建立空间直角啊，哎，建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系。由于这个题目里边的 a、 d 和 ab 都告诉你了，我是不是分别可以写出 o 点的坐标是多少， p 点的坐标是多少， a 点的坐标是多少？还有 b 点的坐标我们都知道，是不是通过这些坐标都知道， 我就可以求出这两个平面的法向量，然后再根据公式 cosine theta 是 不是等于，哎？是这个 向量一 n 一 乘以向量 n 二，比上一个向量 n 一 的模，比上向量 n 二的模，这个公式我是不是就可以解决这个问题啊？剩下的那只是算数的问题了，在算数的时候一定要仔细。好，这就是这个题的解法。

立体几何几何法究竟有多强？能把选择押韵题变成小学口算题？主播的细频让数百万烤箱醍醐灌顶，几乎在学校白学了。让主播用几何法带你秒杀立体几何小题， 今天带大家用几何法秒杀一道非常好的立体几何问题。这道题用间隙的方法做十分困难，而用几何法几行就能秒掉它。 好，我们来看题目，在矩形 a， b， c， d 中， a， d 等于四，等于四倍 a， b， 所以 a， b 等于一， e 是 b， c 的 中点，所以它俩都是二。然后将三角形 a， b， e 沿 a， e 翻折至 b 撇，得到这样一个四棱锥，然后 m 是 b 撇 d 的 中点。 那么首先看第一问 c m 是 否平行于这个 b 撇 a， e， 这是很显然的，因为我们只要过 m 做 a 撇 d 的 一条平行线， 这个交于 n 点，我们再连接 e、 n， 那 我们会发现 m n 就 等于二分之一的 a， d 等于二，正好它也等于 e c， 而且我们还有 m n 平行于 e c， 所以 说四边形 c m n e， 它就是平行四边形，那么自然就有 c m 平行于平面， 而这个 a 选项给 b 选项做了一个很好的提示。第二问它问 c m 的 长是否为定值。我们光看 c m， 我 们是看不出来的，但是这个平行四边形达到了一个 转移的效果，就是我们把 c m 转移成了 e、 n 这条边，那么 e 点就是这个 e 点， n 点呢？是 ab 撇，也就是 ab 的 终点。 那我们知道 e， n， 它就是三角形 b n e 的 斜边，所以说 e n 的 长，它就等于根号下四加二分之一的平方，就等于二分之根号十七，也等于 c m， 所以 它自然是一个定值， 那么这种转化的思想是非常重要的。 c 选项，它体阶最大值为，我们知道，呃，这个四棱锥，它的底面 s 是 固定的，就是这个 a， e， c， d， 它的底面 s 就 等于四加二乘以一乘以二分之一 等于三，而他的高呢？如果想要 v 体积最大，那么只要让高最大就行了。那么什么时候高最大呢？是不是当切近，当 a， b， e 垂直于 a， b， c， d 的 时候，那么它的高恰好就是过 b 做 a e 的 垂线，这垂足为二好吧，那么 h 的 最大值就是 b 二， 而这个角是一比二的角，那么 b r 的 长度就是五分之二倍，根号五。所以说体积的最大值就等于三乘以五分之二倍，根号五。再乘以三分之一，就等于五分之二倍，根号五，所以说 c 是 错的。那么再看 d 项， 说 c m 与平面 a， e， c， d 所成角的最大值，我们知道 c m 和 e n 是 平行的，所以说它所成的角就是和 e n 与底面所成角最大值是一模一样的。那么 e n 有 什么好处呢？我们过 n 往底面做垂线， 首先我们知道 e n 的 长是固定的，等于二分之二十七，对吧？那么它这个所乘角呢？这个 c 的 角是不是正好就是 s 角？ n e， s 这个角是不是就是它的所乘角？那么如果想要它最大的话，只要让什么最小就行了，只需要， 只需要让什么最大，只需要让 n s 变得最大，对吧？而 n s 最大值我们已经求出来了，因为过 n 往这做条垂线，这个 n s 的 长就是边的长的一半，就是五分之根号五，所以说当其仅当 n s 是 五分之根号五的时候， 它的这个角是最大的，而这个 sin 值等于，呃，这可以写成一比根号五，对吧？然后呢，再比上二分之根号十七，等于二比根号八十五，它肯定不是二分之一，所以最大值一定不是六分之派。 那通过这种几何法的方式，是不是就把这种很困难的问题变得非常简单了？那么这道题就选 a b。