初中几何平面题大全

徐州七年级平面图形的初步认识期末考试到底考个啥？ 盘点近五年徐州期末考试选择题考点高度集中在几何基本性质，如垂线的最短平行、垂直公里等。二零至二四年，每年稳定考一题，无明显波动，题目难度不高。 填空题主要考察一、角的计算，如折叠、补角、三角板组合问题，如二三年第十四题、二二年第十三题。二零二四年新增平行线加三角尺的角关系问题及二四年的第十六题， 贴合新教改对几何直观的要求。二、线段计算问题，包括终点分类讨论的问题， 如二四年的第十四题，二年的第十五题。二零至二一年未出现，在二零二二至二零二四年连续考察呈上升趋势。 解答题中几何作图每年都考，主要考察平行线、垂线持轨作角，如二三年第二十一题，二一年的第二十一题，二零年的第二十一题。 且二零二四年新课改后增加了多种方法做平行线，并说明依据的要求，对逻辑推理的考察加深，如二四年的第二十四题。 解答题中对于角的计算考察也是持续高频，包括对互鱼、互补角、平分线和对菱角的考察，如二三年的第二十三题、二一年的第二十三题、二零年的第二三题。二零二四年结合对菱角 愚教概念考察，题型更加综合，如二四年的第二十二题。解答题。此外，还在二零二四年新增平行线性质的推理证明题， 是新课改后对几何推理考察的重要新增方向。如二四年的第二十题。 结合二零二四年新课改的命题趋势二零二五年徐州七年级上学期平面图形的初步认识解答题大概率包含以下三类， 一、几何作图题，要求用直尺、圆规作平行线、垂线或尺规作相等角，并说明作图依据。如二四年的第二十四题，可能增加结合方格纸的作图加面积计算。 如二三年的第二十一题。二、平行线性质的推理证明。以填空题或完整证明题的形式，考察平行线的同位角、内错角的性质，结合角、平行线进行推理。如二四年的第二十题， 可能增加文字题转几何图形的推理要求三角的综合计算题，结合角、平行线对菱角互余互补、三角板叠合等知识点 分小问考察角的计算与数量关系证明。如二四年的第二十二题，大概率加入分类讨论，如涉县位置不同角的计算。感谢大家点赞收藏，还请大家转发给徐州家有七年级的宝子的朋友们！

抖音上看到这样一道数学题，如何用数学的通解去理解？简单给大家描述一下题目，就是有一个直角三角形，然后呢，其中有一个正方形 告诉你这条边长为四，这条边长为八，问正方形的面积是什么？然后很多同学都会啊，乱猜，或者说做这道题没有任何思路，你还是像我一样啊， 用数学通解就是我们找到这个问题的未知数，找到这个问题的方程，去看他目标求解的东西，我的未知数能不能完整的表示出这里其他的所有的量值。 然后最后呢，核心的方程在哪里？我一列就可以了，那你看一下吧，在这样一个三角形问题当中，你什么是不知道呢？很明显，只有正方形的边长 a 是 你不知道的， 所以你就把未知数设出来了。通过这样一个边长 a， 是 不是我可以表示出只有三角形的整个横向的这个边长，也可以表示出纵向的边长，你还可以用勾股定力表示出这个斜边长。 那么现在问题就来了，我们是不是要寻找一个方程，然后去求解这个未知数 a 呢？ 那这个方程在哪里呢？你思考一下，在这样一个图形当中，还有什么条件是你没有用到的？对，只有一件事情叫做，为什么正方形的这个点它竟然在斜边上， 本质上它要列的方程是什么？叫做我设这个的 p 点，它为什么能在斜边 a d 上？ 你只要能列出来这样一个方程，就可以解出来这一个问题的未知数。所以这个问题的思路并不是说大家啊，随便瞎鸡儿猜 啊，看一看这个什么几何的关系，或者有些老师会给你说不成矩形等等。思维不是这样的，核心点就在于未知数为 a， 你 要列的方程叫做 p 点在 ab 上，那么你思考一下吧，如何列 p 点在 ab 上呢？那就有很多方式了， 你想证明点到直线上，比如说第一种方式，那我是不是可以证明一下 a p 直线和 b p 直线，它俩如果是平行的， 它俩如果平行了，那么由于它们过同一一点 p， 是 不是就是 p 点在 a b 直线上呢？所以我们进一步去证明， 这样一个希特角和这样一个贝特角，他们是相等的就可以了。那如何证明这两个角相等呢？那么要么使用一下相似三角形，要么呢我们就使用一下啊，贪婪的希特也就等于这条边长比上这条边长， 那么这个贪婪的贝特等于什么呢？等于这条边长，这样呢，我就把整个的方程列出来了，也就是四比上 a 应该等于什么呢？等于 a 比上八。 所以题目思路是这么找来的，不是大家瞎猜的啊。那么在我们可以怎么去列这个方程呢？你也可以建立直角坐标系，比如说这个渐成 s 轴，这个渐成 y 轴，那么我是不是可以表示一下 p 点的坐标是什么呢？大家都能看出来， p 点的坐标可以写成，比如说 a 到 a， 然后我是不是可以写出 a b 这样一条直线啊？因为在这里我是不是可以看出来它的斜率跟截距，也就是 y 等于负二分之一， s 加上四， 然后我把 a 点带入到这个直线当中，是不是就是把这个问题求完了？所以列方程的方式是多样的，核心点是什么，你得知道他的方程是什么？所以这个问题并不是大家通过巧法想出来的， 而是通过通解，还是那几句话出题必然有解，整个体系一定是确定的，我们设完这样一个未知数，可以表示里面所有的未知量，然后我去看我要是列下来的核心方程是什么，你最后就会发现很多。嗯， 已知量你已经用过了，它们并不是这个问题核心方程。而这个问题的方程就是 p 点在 ab 的 直线上，然后你把它列一下就可以了。无论是刚才我们说过的，通过相似三角形来证明 p 点在 ab 直线上，还是列直角坐标系来证明， 这道题就会变得相当简单。所以同学，你理解到通解的强大了吗？啊，巧法实际上就是你还是按照这样一个逻辑思维做的，只不过说你省略掉了我的分析一步。所以这样的方法是大家一定要去学的，还是要记得 啊，去进入我们的粉丝群，也可以添加我们的资料，老师去领取通解的四道题，我们总在给大家分享这种数学通解的思想，希望大家学会之后呢，能用于高考当中，提升自己的分数。

七年级的同学和家长看过来，我们今天开始给大家分享旋转问题，旋转问题的话难度还是比较大的啊，好，我们一起来看一下这个题目。说如图一，这个图说 o 为直线， ab 上面的一点做射线 oc， 使得这个角呢是一百二十度，那他边边上这个就是 六十，对不对？补角，好，将一个直角三角板如图摆放，就如图一摆放，这条直角边呢刚好贴着这条线 ab， 现在说将图一当中的三角板绕着点， o 绕着这一点呢，说速度，以 五度每秒的速度逆时针方向，所以我们旋转问题一定要关注一下他的旋转方向啊，非常重要以及速度是什么，那 ok， 他 就是往这个方向 旋转的，并且刚刚前面说这个是一百二十度，那我我们就能算出来他的角 b o c 是 六十度。 好，现在说在旋转一周的过程当中，这个一周什么意思？其实就是说整个运动时间的范围给我们了，一周是不是多少？一周是三百六十度呀，对吧？速度是五，算出来其实是七十二秒，也就是说在一周过程当中七十二秒以内， 什么时候 o q 恰好平分这个六十度的 b o c， 那 让我们来求这个梯值。这里还有一个关键点，说的是 o q 所在直线，他没有说是 o q 这条射线， 或者说比如说其他的题目。哎， o q 到底是线段射线还是直线，这个都区别很大啊。这个就如果说像是直线的，那我们就要注意了， 有多种情况啊，所以这个就是我们的关键点。先来看一下说旋转过程当中这个三角板，三角板旋转的话，是不是相当于三边同时在转啊？转到图二的这个位置，说这个 o q 呢，要刚好所在线恰好平分它，那是不是 o q 是 不是可能 运到这里？刚好是在它内部的时候，是不是？那现在这三角板是不是大概是这个位置呀？我们待会画图啊，先把分类给分明白了。好， 在这种情况下，是不是在继续旋转啊？旋转过后，这个 o q 是 不是有可能在反向延长线上？哎，三角板转到哪里了？是不是转到这里了？这里是一个垂直 q， 跑到这里了，是不是？它的反向延长线，是不是同样的也是平分这个 b o c 的 呀？在这一周过程当中，只有这两种可能。好，我们把它图形给画出来。 这种题目的话非常重要啊，那个画图一定要结合着图形来，不然的话角度容易计算错误。好，现在我们三角板说，第一种情况， o q 是 不是跑到这里？ q 点在这里，这个在 o 点的地方是直角， 那这个三角板是不是转到了现在的这个位置啊？ p o q。 好， 这是我们第一个图，再来看一下第二个图，先把它图给画好了啊，然后再一起去计算。我之前说的，为了避免错误，我们是先把图画全了， 分类分明白了啊，然后再一个个往里面去填充，去计算就可以了。好，第二个图，刚刚说的是在它的反向延长线上，其实这个 o q 呢，是到了这里，直角是在这里。好， p o q 是 到了这个位置， 它的反向延长线是不是也是平分这个 b o c 的？ 因为说的是直线嘛，那 ok， 这两种情况下，我们分别把这个时间 t 给算出来，那这个时间 t 跟什么有关？ 直线梯就是三角板在旋转呀，也就是说是我们这个 o q 或者 o p 或者 p q 三条边同时在旋转，是不是？但是我们现在只要研究这个 o q， 所以 我只要看 o q 的 初始位置是不是在这个位置，在转的过程当中是不是转到这里了，所以它是不是 这个时候是存在着一个旋转角啊？所以我们的旋转角是什么？就是从初始的位置 o q 初始位置，比如说 q 一 撇吧， 从初十位置旋转到停下来的这个中边的位，开始的时啊和终点的中。好，这个角就是我们的旋转角，只要我把这个旋转角求出来，然后除以速度，是不是？就时间来看一下这个 这一边的话，他开始的这一边同样的也还是在这里，但是这个时候呢，他是从这里是转了一大圈过来的，所以我只要把这一大圈的角度算出来，除一个速度是不是就可以了？那这个计算的话就相对容易啊。好，先来看第一种情况，我们要分类一下啊，分类 第一个是当 o q 直接平分角 b o c 的 时候，好，第二个呢是当 o q 反向延长线，所以我们就是当 o q 延长线， 延长线平分或者所在直线啊，都行。平分角 b o c 的 时候， 反向嘛，加上两个字，好， ok， 这个时候我们来求绿色的这个旋转角，那现在刚刚前面说的是平分是不是？那我们平分是不是就得到了 这两个角是相等的？刚刚说 boc 是 六十嘛，那这个比如说角一和角二，那这个时候我们角一是等于角二是等于什么？二分之一角 boc， 那 boc 是 不是就等于前面的一百八？减去 aoc 这个一百二， 那我们算出来是等于三十的，那现在旋转角是什么？ o q， 旋转角把它角度算出来，旋转角为 q o q 一 撇 o q， 它呢是等于什么？刚好横跨了这个直角加上角二，所以它是等于九十。加上角二 等于九十加三十等于一百二十度，那时间 t 就 有嘞，是等于一百二十度，除以速度五等于二十四秒。好，这是第一个。再来看一下第二个，一样的啊， 这个角跟这个角，角一跟角二是不是还都是三十啊？所以我们直接写角一等于角二是 等于三十。那现在再来观察一下，看看我们的旋转角横跨哪些角，是不是横跨了这个九十，以及从这里到这边是不是刚好一百八，还缺了这一块？ a o q， 这一块是不是？其实我们可以用三个角来表示，这比如说是角三， 现在来看一下，这条线是延长线过去的，那角二跟角三是不是相等？是对顶角啊？对顶角是相等的，所以我们角三是等于角二的，等于角二，它也是等于三十。那这个时候 o q， 旋转角， 旋转角是等于什么？是不是九十加上角 a l b 平角一百八再加上角三啊？所以等于九十加一百八，再加上三十，给它算出来是三百度转了一大圈。 ok， 所以呢，我们的 t 是 等于多少 t 呢？是等于 三百度除以一个五，就算出来是六十秒，或者说你可以直接这样啊，你只要把这个角算出来，然后用周角三百六减去，它是不是也是可以的呀？因为这里看好了，这个是 这个是多少？这个是角平分线，对吧？这是角平分线，角二杠三十，那它就是六十呀，是不是？ 好？所以呢？直接用三百六减六十，然后除以五啊，也是一样的，所以这一题答案的话，就这两个二十四和六十，这两个二十四秒或六十秒，那么这题你学会了吗？

这节课我们学习立体图形与平面图形，我们先来看几个图片，这些都是我们生活中经常会看到的或使用到的，好好观察一下，看看你能发现什么图形呢？ 我们先来看第一幅图，两个端点一条线，所以它是一个线段。除了这个擀面杖，比如说我们坐的凳子的腿，还有窗户的边，这些都是线段。再来看第二幅图， 想必大家都看出来了，这是一个三角形。第三幅图是不是也一眼就看出来了，这是一个圆。第四幅图，四条边，四个直角，所以它是一个长方形。再比如我们的书本窗户也都是长方形的形状。 再来观察这个纸盒，你能看到哪些熟悉的图形呢？先看上面，它是一个长方形，再看一下这个侧面，它也是一个长方形。那这个侧面呢？ 他好像是一个正方形，也可能是一个长方形。那这个顶点是什么？他是一个点。再看一下这个棱，他是一条线段。那从整体上来看，他的形状是一个长方体。 类似的，比如罐头，从上面看和下面看，他是一个圆，从整体来看，他是一个圆。从三维空间看，他就是一个球， 像长方体、圆柱球、长方形、正方形、圆线段点等等，以及我们小学学过的三角形、四边形，这些都是从物体外形中得出的，它们都是几何图形。 我们来看一下这几个几何图形，正方形的上面和侧面，球的这个圆和这个圆。长方体的上面和正面， 圆柱的上面和侧面，他们都有一个共同点，那就是各部分都不在同一个平面内，像这种几何图形的各部分不都在同一个平面内的，他们是立体图形。 我们再来认识一下立体图形中的棱柱和棱锥。先看棱柱，像上面两个图片一样，有两个全等且平行的多边形，底面，侧面都是平行四边形，这样的立体图形就是棱柱。三棱柱的底面是三角形，四棱柱的底面是四 边形。第一个图，底面是四边形，所以它是四棱柱。第二个图，底面是五边形，所以它是五棱柱。 再来看一下棱锥，像下面两个图片一样，底面是一个多边形，侧面都是三角形，而且所有的侧面都有一个共同的顶点， 这样的立体图形就是棱锥。底面是三角形的，棱锥就是四棱锥。底面是几边形的，棱锥就是几棱锥。第三个图片，底面是一个四棱锥。第四个图片，底面是一个五边形，所以他是一个五棱锥。 我们来看一下这几个食物的形状对应的立体图形是什么？第一个，地球仪，它是一个什么立体图形呢？ 这是一个典型的球体，表面是曲面，所以它对应球。第二个魔方，它的六个面都是大小相同的正方形，所以它对应的是正方体。第三个书本，它的六个面都是长方形，所以它对应的是长方体。 第四个，这是一个鼓堆，它的整体轮廓是，上面有一个尖点，下面是一个圆形的底面，侧面是光滑的一个曲面，这是圆锥的特点，所以它对应的是圆锥。第五个，铅笔，它的上下两个底面是六边形，侧面是六个巨型， 符合棱柱的特点，所以它是六棱柱。第六个，这是一个建筑物，它的底面是一个四边形，侧边是四个三角形，并且有一个共同的顶点，所以它对应的是四棱锥， 这是我们常见的一些立体图形。比如柱体，它有圆柱，也有棱柱。圆柱的特点是两个底面是圆形，侧面是一个光滑的曲面。 棱柱的特点是上下两个面是完全相等的，两个多边形，侧面全部都是平行四边形，然后是球体，这个大家都知道，就不多讲了。 再有就是锥体，锥体又分圆锥和棱锥，那圆锥的底面是一个圆，侧面是一个光滑的曲面，而棱锥的底面是一个多边形，侧面都是三角形，而且所有的侧面都有一个共同的顶点。 我们再来观察一下，这几个几何图形又有什么共同特点呢？他们的每一个顶点，每一个线段都在同一个平面内。我们管这些各个部分都在同一平面内的几何图形叫做平面图形，它和立体图形的一个区别就是立体图形的各部分不都在同一个平面内， 而他的各部分必须要在同一个平面内。我们来练习几个题。第一题，下列图形不是立体图形的事，这个题考察的是平面图形和立体图形的一个区别。立体图形布都在同一个平面内， 平面图形都在同一个平面内。 a 选项，求，他有很多个圆，而且所有的圆布都在同一个平面内，所以他是立体图形。 b 选项，圆柱，它的底面和侧面不在同一个平面内，所以它是立体图形。 c 选项，圆锥，圆锥的顶点与底面不在同一个平面内，所以它是立体图形。 d 选项，圆，它是一个平面图形，比如硬币的投影只有面积，没有厚度，所以这个题选 d。 第二题，月球、西瓜、易拉罐、篮球、热水瓶胆、书本等物体中，形状类似圆柱的有 a 一个、 b 两个、 c 三个、 d 四个。 首先，我们要知道圆柱的特征，它有两个完全相等且平行的圆形底面和一个光滑弯曲的侧面。我们先看月球，它的形状接近球体，所以它不是圆柱。 西瓜的形状也接近球体，所以它也不是圆柱。易拉罐有两个底面，还有一个弯曲的侧面，所以它是一个比较典型的圆柱。篮球的形状比较接近球体，所以它不是圆柱。 热水、平胆的形状跟暖壶差不多，它里面是一个细长的圆柱体。书本的六个面几乎都是长方形，所以它更接近于长方体，而不是圆柱体，所以这个题选择 b。 第三题，长方体属于什么？ a 选项，棱锥。 棱锥的特征，底面是一个圆，而长方形的各个面都不是圆形，所以它不属于棱锥。 b 选项，棱柱。棱柱的特点是有两个完全且平行的多边形底面， 侧面都是平行四边形，我们把这两个面作为底面，他们俩是完全相等的，而且是平行的。那侧面呢？也都是长方形或者是正方形。长方形和正方形又属于平行四边形，所以长方体符合棱柱的特征，所以它是棱柱。 c 选项，圆柱 圆柱的两个底面也要求是圆形，而长方体的各个面都不是圆形，所以它不是圆柱，所以这个题选择 b。 第四题， 下列几何题中，属于棱锥的是棱锥的特征是底面是一个多边形，侧面都是三角形，而且所有的侧面都有一个共同的顶点。第一个 底边是一个四边形，所有的侧面都是三角形，而且三角形都有一个共同的顶点，所以它是棱锥。第二个它是一个球，不是棱锥。第三个是一个棱柱，也不是棱锥。第五个是一个圆锥，所以它也不是棱锥。 第六个是一个三棱柱，所以它不是棱锥。只有第一个是对的，所以这个题选择 b。 好 了，这节课就到这里了，我们下节课再见。

大家好，今天呢，咱们来看一道反演变换的题目啊，那么关于反演变换呢，其实最明显的特征就是 b p 乘 b q 等于某一个定值，这个时候优先考虑反演变换。那么在这个图中，咱们先看一下题啊， c 点是 ab 弧的中点， 嗯，然后呢，过这个 c h 做了一个垂直，垂直斜 ab 于 h 点。那实际上，当你读完 就是第一行这两个已知条件之后，你马上应该想到的是垂径定律。有同学说了，老师书上的垂径定律，一个是平分弦，所以垂直弦，另外一个垂直线，所以平分弦。那这个题根本就没有啊，对不对？过圆心垂直吗？那其实垂径定律的话，我想说的是什么？ 垂径定律，人家其实本质啊，核心应该是这五个什么呢？平分弧这点， c 是 弧的中点，所以是平分弧的。当然了，这个 ab 一 看就是裂弧，咱们写清楚一些平分裂弧，当然有些时候呢，也有可能是 平分优弧。一共有五个要素啊，过圆心，过圆心的话，就是要么是半径，要么是直径，对吧？过圆心，然后平分弦。 垂直弦，这个才是什么？这个才是垂径内里五个要素。五个要素，那垂径内里这五个要素怎么用呢？真正的垂径内里，我现在要告诉你了啊， 是这五个要素里头啊，我们任意的之二推三，就是任意拿出两个来，其他三个都成立，这个才叫真正的垂线定律。比如说在这个题中， 我们一是成立的，因为 c 点它就是列弧 ab 的 中点，另外还垂直于弦 ab， 对 啊 对，那由一二呢，可以推出剩下的这三个来，所以说这个 h 点，你想吧，对于这个弧来说，最重要的是什么？最重要的肯定是找圆心和半径嘛。所以垂线那里是成立的啊，肯定是过圆心的，也就是延长 c h 之后必然过圆心，想都不用想。 所以接下来咱们要确定这个圆的话，延长 c h， 然后呢？比如说圆心是点 o， 连接 o a， o b， 还有包括 o c， 那 肯定都是半径了。那接下来我们最重要的就是根据题目中已知条件， c h 等于一，嗯， c h 的 长度是一，然后 原来 o c 等于半径吧，你半径减去一，那 o h 的 长度不就是 r 减一吗？ 另外，垂径定律的话，咱不是也可以得出来， h 点是弦 ab 的 中点啊，对不对？所以 ab 长度是二倍，根号三的话，那 a h 的 长度实际上就是多长，就是一倍的根号三。因为 h 点是中点嘛，所以真正的垂径定律你要了解的话，这个题至少很容易判断这个圆心的位置，还有这个半径的。 那么接下来就是勾股定律了，对不对？在直角三角形 a h o 中，我们根据勾股定律， 斜边的平方等于 r 减一的平方，再加上根号三的平方，你说 r 等于多少啊？你自己解这个方程吧，很好解的啊，那最后 r 算出来是等于二的呀， 太好了，当我们算完这个 r 等于二之后，剩下的就很好说了。来，先把这个过程给你展现出来，半径是等于二的，另外这个二有什么作用呢？咱们还是观察一下这个三角形啊， a h o 在这样一个直角三角形中，一个一，一个二，哎，对，还有一个根号三，你根据一比二比根号三，这样有笔直，那我们六十度是不是有了？另外根据三线合一， 你这个 o a 等于 o b 吧，等腰三角形吧。所以既然是垂线，那实际上 o h 也是角， a o b 的 角平分线，所以右边也是个六十度。那其实我们就得出来了， a o b 是 六十加六十等于一百二十度， 有什么作用呢？其实我现在想问大家一个问题，你遇到圆，尤其把这个圆画完整了之后，我想问这个角是不是一个固定的纸？ a p b 这个角是原因在哪？ 因为 a p b 这个圆周角所对的弧是 u 弧 a m b 吧， u 弧 a m b 所对的圆心角是二百四十度，对啊，三百六十度减去上边一百二十度，所以二百四十度的圆心角。那么哎，圆中角是多少？圆中角等于二百四十度的一半。原来问号这个角也就是角 a p b 等于一百二十度啊，你要知道这个是一百二十度的啊，那只要知道一百二十度了，大家肯定也知道接下来怎么做了。 b p 乘 b q， 那 你说这个怎么用吗？肯定是转换成比值关系，我们构造相似来的。 所以接下来。哦，原来 b p 比上 ab 等于 ab 比上 b q， 加上中间这个角屁角 abp 是 个公共角，两组边对应成比例，且中间夹角相等。 所以说 bpa 这个三角形和 ba q 这个三角形它是相似的。那么相似我们现在取哪一点呢？就是取刚才这个 假角一百二十度对应角是谁？哦，原来 q a b 它也是个一百二十度啊。那这个题的话，到现在大家应该知道为什么是繁衍变换的题目了。繁衍变换呢，我们主要关注的，其实我更习惯上我是写成 b a 的 平方啊，就这样一个已知条件里头， 我们知道繁衍中心或者叫繁衍极，他就是点 b， 那 繁衍密，繁衍密就是最后那个乘积啊，繁衍密，繁衍密的话就是 ab 的 平方嘛，那是等于十二的 对吧？繁衍角不用多说了，繁衍角就是 b p 和 b q 的 假角啊，它是一个零度，这个比较特殊，那么它是属于哪种类型呢？你要繁衍变化的话，本身分成四类，但这个题是其中的一类。什么圆 生线的这样一个反面变化，什么叫圆呢？点 p 的 轨迹是不是说是圆啊，或者说是圆的一部分？那点 q 的 轨迹我们一会可以得出来，他的轨迹是一条线，或者说线段的 原生线。哦，原来反面变换其中一种情况。这道题考察的是原生线，因为反面变化还有另外的线生线，原生圆，还有线生圆，所以四种嘛，线好像互相导。 那么这个题你可能就好奇了，老师，为什么点 q 的 轨迹是线段啊？为什么是线呢？原因在于 b a 是 确定的呀， b a 的 位置和长度都是确定的，然后从 a 点这样一个， 哎，逆时针一百二十度，你说是不是固定的角度，所以 a q q 点只能在这条线上，懂了吧？那么接下来 他问什么？当这个点屁由 a 点运动到 c 点的过程中，点屁如果在 a 点的话，点 q 肯定也在 a 点，此时不用多说什么，咱们找中点就行了。当点屁和点 c 重合的时候，也就是说点屁此时也是 ab 的 弧的这样一个中点， 那这种情况下，点可以运动到最远的位置。对啊，因为你看嘛，点 p 只能从 a 点运动到 c 点嘛，就这样一个范围。那么咱们看中点 此时 b p 等于 ap 吧。实际上你不是说三角形 a p b 肯定相似于三角形 q a b 吗？既然它是等腰，也就是说 a p 等于谁？等于 b p， 那 所以接下来另外一个，他不也是等腰吗？对不对？所以说此时 q a 是 等于 ab 的， 那你说等于多少？题目中有了就是二倍根号三，所以说这道题的答案就是二倍根号三。所以应该学会了这道反变换的题目了吧。 好，一定要搞清楚啊。尤其是反变换最明显的特征就是说两条线段乘积等于一个定值 点， b 呢，是一个定点， p 和 q 虽然是动点，但是这个 b p 和 b q 就是 就是这个主线和从线吧，它的成绩等于一个平方，或者等于一个定值的时候，我们优先考虑方向变换。所以大家应该明白了啊，分享课堂知识，感受数学之美。我是安分老师，下期课再见！

今天我们来讲一道关于几何平面图形的题，如图，加三角形 a、 b、 c 绕点 c， 按顺时针方向旋转三十度，得到角三角形 a 撇 b， 撇 c， 求角 b、 a、 c 的 度数。 首先他说将角三角形 a、 b、 c 绕点 c， 按顺时针方向旋转三十度，所以 c、 b 就 变成了 c， b 撇 c， a 就 变成 c、 a 撇不叫变成，就转到了，转到了，然后所以这里就 角就等于三十度。 那还有哪个角呢？是三十度呢？ 我们要求还有哪个角是三十度，也可以标起来了。 c、 b 转到了什么？因为 c、 b 转到了 c、 b 撇，所以旋转了三十度，然后 c、 a 又选到，就是旋转到了 c、 a 撇，所以都是旋转三十度， 然后这里直角符号，所以是九十度。我们要求 角 b 撇 a， 撇 c， 为什么呢？他叫我们巧求角 b、 a、 c 啊，因为角 b、 a、 c 就 等于 角 b、 a 撇 c， 因为因为这两个三角形都是一样的， 我们知道三角形的内角和是一百八十度， 我们减，我们要求角 b 撇 a， 撇 c， 就 用一百八十减去九十，加三十 等于一百八十减一百二十等于六十， 所以这里就等于六。你们知道角 b 撇 a， 撇 c， 等于六十度， 所以角 b、 a、 c， 就 也就是也等于啥？ 角 b、 a、 c 等于 六十度。

认识平面图形，有些几何图形，比如线段角、三角形、长方形、圆等，它们的各部分都在同一个平面内，它们呢，都是平面图形，简单说就是在同一个平面内的图形就是平面图形。 虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但他们是相互联系的。立体图形中某些部分是平面图形，比如正方体的侧面就是一个正方形，它是平面图形。当然，正方体的上下两个面也是正方形， 圆锥的底面是一个圆，是平面图形。某些立体图形可以看作是平面图形绕某条直线旋转而成的。比如我们熟悉的圆锥， 就是一个直角三角形绕着一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形。再比如圆柱，它是一个长方形绕一条边所在的直线旋转而成的立体图形。 第一，如图下面两个几何体中含有相同的平面图形的是 a。 长方形 b。 正方形 c。 三角形 d。 圆。很显然在这两个图形中是没有圆的，所以首先排除掉 d。 这是一个三棱柱，三棱柱的格格面，上下两个面是三角形，侧面是长方形，而这个长方体这个面是有六个长方形组成的，所以这两个几何体中含有相同的平面图形，是长方形。选 a。 第二，下面的几何体中不能有平面图形绕某条直线旋转一周得到的是哪一个？ a 是 一个正方体，正方体它是不能有一个平面图形绕一条直线旋转而成的。所以呢，这个最后的答案呢，应该是选 a。 我 们来看一下 b。 中球球体，可以看到是一个圆绕着一条直径任意的一条直径 所在的直线旋转一周得到的。刚才我们说了圆锥哎，可以由一个直角三角形绕一条直角边旋转一周得到。圆柱是由一个长方形绕一条边旋转一周得到。因此呢， b、 c、 d 都能选，只能选 a。

好，同学们，我们来做这这个题目，在做这个题目之前呢，我们要对这个立体的图形啊，要有所了解，所以说我们看看这个，呃，视频吧，啊， 好，看，看这个， 好，我们看第一个，第一个视频，这个立体正方体的展开图。 好，它展开图啊，它怎么拼在一起的啊？虽然我们可以做实验啊，多做实验，把它拼成一个盒子， 但是我们看这个图呢，对这个立体啊有所了解啊，老师经常上在上这个课的时候呢，都是教同学们做实验，折盒子。 好，我们这是第一个啊，再看第二个图， 好，第三个图， 反复看几遍， 正方体的表面展开图，它是怎么样的？ 好，我们再看这个， 好，再看这个 啊，看这个啊，啊，再看这个啊，这是一个正方体啊，它的切面图，从不同的角度切它的体，切这个正方体。 好，我们再看这个，切这个角，拼上这个角 啊，再看这个啊， 怎么折成个盒子 啊，这也是一个数学的一个兴趣活动啊， 看清楚啊，折到哪里去了？ 好，再看这个，数学是美丽的啊，要知道感觉到数学的美， 是一种展开图啊， 数学之美 啊，折纸 啊，这数学之美啊，数学非常美丽的啊，你看看， 就多做个实验啊， 这就学习到我们这个多边形的外角盒，它的数学思想。 二三二，这个结构 七巧板啊， 这个展示好多次了， 看看旋转， 这是我们家吊灯啊，吊灯，你看设计的，这数学设计的吊灯好漂亮啊，这个图形 啊，拼成一个正方体啊，非常美丽的正方体啊， 好，这比较多啊，我们游览一遍， 对数学要感兴趣啊，感兴趣的学的好数学， 数学也是个非常美丽的一个学科啊，只要你学下去了，你觉得数学的美丽 啊比较多，稍微看看啊， 前后左右上下啊， 这是用数学设计的图案啊， 嗯，这是数学之美 好，展示的比较多啊， 这数学做的动画 好非常多， 这数学图案设计的吊灯。 好了，那我们就欣赏在这里啊。啊， 这数学之美，大家感受一下啊。 好，我们回过头来啊，回过头我们看看我们的题目， 这个题目，那么这个题目，这个几何题是什么啊？从正面看，从左边看 啊，从正面看，从左边看，他这个是哪个图形，哪个几何体，注意啊， 如果从这从上往下看是个圆，这肯定否掉了，是不是？从上往下看是个正，是个长方形，从左看也是个长方形，是不是？从前看也是个长方形， 这从上下看，从上看是个圆，肯定错了，从左看是个长方形，这排除法肯定是这个 啊。从正面看，看看这三个看了，从正面看啊，看这块面和这块面的两个长方形，从上面看就看这块面的 是长方形，是不是？从左边看就是看一块面看这块面，是不是啊？是这个，所以选择 d 啊，但是我们做实验啊，做实验把这个模具用萝卜啊，把它切成这个样子，看一看，这题目就完成了， 是不是？好，这个题目虽然是简单，但是我们要学习这个立体几何还是很多知识的啊。好，我们再看这一题，明天这个题目啊，这个要做实验了，是不是？

大家好，我是陪娃学数学的老爸，今天来分享一道七年级数学几何图形的题目。 这道题常规解法是需要我们通过空间想象将表面展开图还原成正方体，从而确定各点的位置关系。但是如果实在想象不出，我们也是可以利用平面图形进行解答的。 这道题是已知正方体的表面展开图，问，折叠成正方体后，距离顶点 a 最远的点是哪一个？ 如果我们能够通过空间想象将展开图还原成正方体，并确定各点的位置，那么就可以找出与 a 点相对的 c 点距离 a 点是最远的。 但是这样的想象还原对孩子来说还是有一定难度的，而且各点的位置也不一定能匹配的准， 那我们看一下能不能利用平面的图形进行解答。正方体中， a 点对角的点是离 a 点最远的，这个点所在的三个平面与 a 点所在的三个平面是没有重叠的， 也就是只要找到不包含 a 点的三个平面，他们的焦点就是离 a 点最远的点。 我们可以在平面展开图上找一下对应的面。很明显，图中已经给出了一个包含 a 点的面，他下方的这个面在折叠后肯定是不包含 a 点的。 再看一下绿色的两条边折叠后是重叠在一起的，所以绿边下方的平面折叠后也是不包含 a 点的。 再继续分析，粉色的两条边在折叠后也是重叠在一起的，那么粉边下方的平面折叠后就是包含 a 点的。同样，红色两条边折叠后是重叠在一起的，红边下方的平面折叠后包含 a 点， 那么剩下的一个平面就是折叠后不包含 a 点的平面。我们找一下这三个橙色平面的焦点，就是离 a 点最远的点， 因为折叠后蓝色的两条边是重叠在一起的，所以找到 c 点就是三个橙色平面的交点，也就是离 a 最远的点。还有一种解法，正方体的顶点可能会在表面展开图的不同位置， 我们将 a 点在图中的其他位置也标出，观察他与其他点的距离关系。 根据各条边重叠的对应关系，粉边和红边相交处就是 a 点的另一个位置，这样就可以看出 b、 c、 d、 e 中 c 点离 a 点是最远的， 但是我们还要确认一下有没有其他位置的 c 点离 a 点的距离会近一些呢？ 因为蓝色边折叠后重叠就找到了 c 点的另一个位置，此处的 c 点离 a 点的距离也是比 b、 d、 e 点更远的，这样也就确认了 c 点离 a 点最远的。结论， 这三种解题方法，第一种需要完整准确的空间想象，后两种是在平面图形上找对应关系， 你更喜欢哪一种呢？以上就是对这道题的分享，希望对大家有所帮助。

这个视频我们开始动脚专题，主要来介绍一下做动脚这些题需要用到的公式。公式一，目标角等于七十角，加速度乘以时间。公式二，目标角等于七十角，减速度乘以时间。公式三，目标角等于七十角，减速度和乘以时间。 公式四，目标角等于七十角，加速度和乘以时间。公式五，目标角等于七十角，减速度差乘以时间。公式六，目标角等于七十角，加速度差乘以时间。

好，今天我们开始第四张几何图形的初步，那在我们周围的话，有无数的物体，对吧？形状各异，千姿百态啊，构成了我们丰富的一个什么图形世界。他说你能从这个复杂的图形中啊，发现这个线段和角吗？ 这个线段和角其实在小学就学过了，对吧？他说你会比较什么线段的长短，还有角的大小吗？ 啊？那么几何是什么呢？那我们知道几何，什么几何和是也有什么图形的形状大小，还有他的位置关系的一个学科啊，主要是几点？那么我们要学习什么呢？主要是学习线段呀，射线呀，直线呀，还有角的一些有关知识啊， 往下来，对吧？那第一个几何图形，那小学我们学过什么？这个长方体啊，圆柱啊，对吧？球啊，长方形啊，三角形啊，圆角，直线，对吧？等几何图形，这是我们学过的啊，他这个画线 把这个上一行的物体与下一行类似的几何图形连起来，对吧？那这边很明显连他了啊，这个连他啊，这是什么？这是个圆锥，对吧？ 这是一个三轮锥啊，三轮锥。为什么三轮锥还有三个轮啊？这个叫三轮锥啊，这个要求看下来， 好，那么这里呢？这个长方体，对吧？四面体、圆柱、圆锥球啊，这些呢，我们都称之为体啊， 那么这个包围这体的干嘛呢？是它的面，那比如这叫四面体，对吧？四面体干嘛？为什么要四面体啊？因为它有什么？它是有四个面，看到了吧？那一个面，两个面，三个面，对吧？还有底面，四个面啊，这叫四面体。 好，那还有什么？什么窗户玻璃表面啊，黑板表面啊，给我们都是以平面的形式，对吧？那画一下平面是干嘛？ 是没有边界的啊？我们生活中的话，这个黑板我创表面，他是有边界，因为他材料那么大啊，正常来说，我们平面的话指的是没有边界线的啊，记好了， 那么长方形、四面体等啊，围成他们的面呢，都只是平面的一部分，那你说老师这个面干嘛？怎么是有大小呢？因为他说了是平面的一部分啊，那么他们都是什么？多面体？他说圆柱、圆锥的侧面 和球的表面呢，那么还划分一下啊，他的侧面还有球的表面，都是曲面，对吧？有平面，有曲面，你看这是平面，这是曲面啊， 那么还有一个注意什么，他们都是旋转体啊，画一下什么旋转体干嘛呢？就是他们绕他们的一个轴啊，转三百六十度干嘛？还是重合的，对吧？还是旋转体啊，那么还有什么？电线？ 那么这个电线还有这个墙角，这个地线，对吧？墙角线，地面交线的话，都是以线的形式，那么这个线的话，肯定是这个竖的面和这个平的面，对吧？相交，也就干嘛叫面和面相交啊，他就可以形成一个线。好的，除了我们重新定义了一下这个线的概念， 那么多面体中干嘛？面与面的交线都是直的啊，这个直的，这个线交线叫什么呢？叫棱啊，把圈一下啊，叫棱， 对吧？这叫人，那比如这边是吧？他是哪些人，对吧？那除了这个，这个，这个，对吧？因为他把竖起来之后啊，有三个轮，我们可以称什么？就叫三轮锥啊？三轮锥，那么这边的话就叫长方体，那他是个柱体吧，我们也可以称他为叫四轮柱，因为他竖起来之后干嘛？他有四个轮， 叫四人组，但是呢，他这个整体的话，他不止四条轮，他有几条轮？一二三四对吧？来这边这样数呢，就一二三四对吧？还有这边的一二三四对吧？那就三四一十二啊，就十二条。那四面体有几条？ 四面有几条链？一二三四五六五六条，对吧？你知道就行了啊，这样子。 好，那我再讲下点，然后这个点他干嘛？就不是我们小学搞完这个点，这个点不是这个点了啊？我们这边讲的是线与线相交，他得到的是一个点，比如线和线相交，对吧？交点啊，那么 多面体中人与人，等他到了，到了多面体当中，干嘛？就只有人了吧？啊？这个线就人，那么人与人干嘛？先交的点的话，就是什么叫顶点啊？比如说长方形有几个顶点呢？就八个顶点，对吧？四面体有四个顶点，那我们来看一下，长方形干嘛？点点对吧？点点，你看 对吧？还有八个啊？那他有几个？一个、两个、三个、四个，还有四个，里面好，后来， 往后来啊，好，再来。那我们现在所学的所有几个图形干嘛呢？都可以看到是有点啊，线啊、面啊，还有体组成的，对吧？其中点干嘛？打波浪线啊，是最基本的图形，到点是最基础的图形，你看无数个点， 无数个点汇在一起，是不是变成了线啊？对吧？那无数个线呢？无数个线画在一起干嘛？是不是构成了一个面了， 对吧？那么无数个面拼凑在一起，比如这样的一个面，无数个面啊，这不是，这不是，这不能说无数个面了啊，就是上下，对吧？左右前后几个面，对吧？那么就构成了什么？构成了个长方体， 对吧？所以无数个面呢？可以构成体是吧？点可以构成线，线可以构成面，面可以构成体，对吧？一级一级来的啊，这个点是最基础的啊，那几个图形干嘛是数学研究的主要对象之一啊？我们来看一下， 那么我们分为这个图形当中还可以分类啊，他说像这个画下直线小三角形圆， 他们上面的各个点都在同一个平面内，对吧？各个点都在同一个平面内，所以我们称作为什么呢？叫平面图形， 那么像这种对吧？有立体感的长方体、圆柱体、球体，是吧？他们的各个面的干嘛都不在一个平面内吧？他是一个立体的空间，是吧？所以我们称他叫什么？叫立体的一个图形啊？ 那么几个图形干嘛？在我们建筑啊，图案啊，这个会标啊，会标啊等方面的话都可以广泛用，是吧？比如说这个学大会的啊，就是用那个购物地理，对吧？做的啊，还有这个花边、窗花等等啊，都充满了这个图形好吧？ 好，是举出图形是长方体圆柱的一个实力，对吧？ 嗯，那长方的话很简单，比如说包装的纸盒箱，对吧？都是的啊，图中的蒙古包可以看到是哪几个几，哪些几何体构成一个什么， 下面叫什么圆锥啊？上面也叫圆锥，下面这个呢？圆柱啊，我就不写了啊。第三个， 哈喽，围成下列几何体的各个面当中，对吧？哪些面是平的，哪些面是曲的，对吧？哪些面是平的？ 那比如他这几个面是不是都是平的呀？他都平的吧，那这边的话，他既有曲面又有平面啊，这个比较特别啊，这个既有曲面又有平面，底面是平的吧？ 他的侧面都是曲的。你这球体干嘛？他全部都曲的。他整个曲的啊，那这边干嘛？他的侧面是曲的，上下两个面是平的啊？那么这边干嘛？他各个面都是平的吧？很简单啊，你们自己写。行了，往后来啊， 那么一个小题目，对吧？把图中的食物与类似他们的几何体连线，那太简单了，连起来，连起来，是吧？连起来，连起来啊，就可以了。 那么第二个，对吧？你讲了旋转体，对吧？然后这个平面绕着我们的轴旋转一周之后呢，就得到了一个立体图形了啊，然后将 对应的关系的两头头联系在一块，那很明显，这个三角形他旋转，对吧？一周之后呢？就是这个圆锥，对吧？ 那么这边呢？他选完之后是什么？圆柱，对吧？他选完之后叫圆，这叫圆台啊，叫圆台。那这个选完之后干嘛？是半个球？不叫半个圆，叫半个球。这是整个球，对吧？整个球啊， 那第三题不用讲了，对吧？第三题不用讲了，这里还有个数学小活动，是吧？我们来看一看。 那这个相当于什么？相当于那个，这个，这个三轮锥干嘛掰开来？正三轮锥啊？正三轮掰下来，这相当于一个正方，正方体，对吧？掰开来啊，这个话怎么看？这要轴啊，这个要轴啊，这个应该是每个面它都是一个什么五边形， 我边写啊。好，这个我们要写一写，我们要写一写，他对照这个模型 啊，你看对照这个模型，我们把这个面数、点数和人数把它写一下啊，看看有什么有什么规律啊？来我们一起来写啊。 来，你们先，我们先看这个啊，这个正四面体啊，那后面他是一二三四，他是有四个面的啊。 那么顶点的话干嘛？那这里，这里，这里旁边都归为一个点，对吧？合起来就归到一个顶点啊？那这边还有一个吗？一个、两个、三个，对吧？那么顶点的话就剩下四个，那能的话有多少个？ 能的话你注意看啊，能的话干嘛？这两个人肯定合在一块了，这两个人肯定合在一块了，那就三个，对吧？下面一个吗？还有三个，所以还有几个呢？有六个人啊， 他让我们算什么？让我们算这个面数加上顶点数减去人数，那就四加四减六等于几啊，对吧？你填上去啊，那我们再看正面这面题，那正面题你画一下呗。你说我看不出来，我再画一下， 画起来，对吧？有几个面？六个面，对吧？今天有几个？八个能有多少条？十二条，对吧？那这个六加八 减多少？十四万减十二点几啊？这边啊，那还有正八面体，正八面体这个网不好画了，正八面体的话， 嗯，他不好想象，面的话可以看到就一二三四五六七八，对吧？他是八个面，那么今天怎么看呢？我们来看一下啊，今天的话，他如果围起来的话， 这肯定是一个点啊，绕起来之后干嘛？这个点应该绕这个点啊，是吧？这两个是一个点，然后的话这个点跟这个点应该是重合的，所以它绕起来的话，下面应该是几个顶点， 上面应该是，我看看啊，绕过来，贴过来，贴过来，下面有三个一二三，对吧？上面有三个一二三，所以是六个了。 六个顶点没错吧？是六个吧，能想到六个啊，没，没问题。那么人数的话我们再看一下人数的话，嗯， 这边你看这边，其实这个人啊，这个人，这个人，这两个人都会跟这两个人重合了嘛？所以上下对上的话，有上下都各有六条、六条，还有这边这个侧面的话，干嘛也算的一条， 这条会跟这条重合，对吧？是一条、两条，三条、四条，五条、六条。嗯，六加六对吧？加六十二啊和十二，那你看下八加六等于多少？ 嗯，十四对吧？十四的高的减成十二是几啊？对啊，那后面我们就不算了，后面我可以把答案填一下，你记下就行了，就不好看了。第四的话他是正十二面的话呢，肯定是十二个面膜，对吧？ 那么点数的话顶点的个数是二十啊，然后人数话三十，你把它抄一下，那结果算下来干嘛呢？二，他是也是二，对吧？那这个正二十面的话也是二十，对吧？然后顶点的话十二人数的话是 三十啊，所以这个相近化也是二啊，所以你会发现，就是对于正多面体来说，你会发现什么规律啊？就是如果说它是个正， 对吧，这有一个多面体啊，这是多面体，那么它的面数加上我们的顶点数，再减去棱数啊，就用 e 啊，它一定是很等于二的啊，它是由什么画一下啊？它是一家欧拉发现的 啊，写一下画一下欧拉啊，你知道谁发明的，对吧？他说并证明了它，对吧？人们把这个著名的公式称为什么？来画一下叫欧拉公式啊？欧拉公式就是这个。

大家好，我是于文徐老师，今天是十二月十九日，周五七年级提高版啊，又到周五了啊，我们来接着看今天的提高题。嗯，如图，正方形 a、 b、 c、 d 的 边长为三， 以直线 ab 为轴，将长方形旋转一周，得到所得的几何体为多少？那这个其实它旋转完之后是一个，是一个什么形呢？是一个圆柱形，那为什么呢？你看，原来这地方是 ad， 那 它 ad 旋转呢？ 什么面动成体，旋转至上，所以这是 a， 这是 d， 那 讲白了是以 a 为圆心的一个柱， 然后呢？高呢？高就是 c、 d 的 长，那边长是三，所以这个高是三，然后 a、 d 是 三，说明这个半径是三，那体积呢？体积等于底面积乘高啊，所以这个楞柱或者是圆柱，它的体积 v 都等于底面积乘高， 底面积是一个圆，那圆的体积怎么算？ pi 乘以 r 的 平方，那这地方 r 就是 半径，半径是三三的平方，再乘高高也是三，所以很容易得到这 r 七 pi， 所以 这填空里直接填上就行了。 好，第二小题，如图是一个几何体的表面展开图，这个如果大家生活中比较细心的话，就会发现，这个就是我们家的纸盒子，你能不能拆快递啊？纸盒子的一个图， 它拆完之后它是什么拆出来的？它就应该是一个长方体，那我们在数学里面我们称之为长方体，为四楞柱，所以我们，嗯，第一个名称，几何体的名称，我们可以答，四楞柱。 就这个题是是哪个折到的？我们把这个图稍微画一下，啊，画的不太像啊。嗯，然后画一下， 然后呢？这个三对应呢？可能就是这个长，然后呢这个二对应呢？可能就是这个宽，然后这个一对应呢？可能就是这个高 啊，所以，嗯，后面看不到的，我们用虚线表示一下，他就是一个纸盒子，收快递的一个纸盒子啊，那些求该几何体的表面积，那这是一个四棱柱或者是个长方体，那他应该有六个面 啊，正好六个面，正好是上面表示的啊，所以 s 等于什么？然后嘞，这个面和这个面是一样大的，一乘三， 然后两个，所以乘二，那加上这个面和这个面是一样的啊，二乘三，然后乘两个， 然后再加这个面和这个面是一样大的啊，所以是一乘二，然后再乘二，然后算出来等于二十二。 写完二十二不行，因为这地方有单位，后面都带了米，那我们后面要加个单位括号，平方米， 它不是面积单位吗？面积单位平方，那后面算体积，体积是体积单位应该是立方米了啊，体单位多少点位？长乘宽乘高，所以是三乘二乘一等于六，然后这地方就是立方米。 好，我们接着看。第三小题是如图，是某几何体表面展开图，那这个玩意应该是一个上底，上上底面啊，上顶面和下底面， 然后中间有个侧面。侧面是什么？是长方体，所以它是一个圆柱， 它是个圆柱。那圆柱，圆柱，你看这个，这个，这个是直径啊，圆柱的直径是二十，所以半径就是十 啊，圆柱的高呢？高就是里面的四十，然后呢，这个长度应该就是圆的周长，我画的这个，我画的这个侧面的这个长度就是圆的周长。那现在指出这几何体的名称，名称是啥？圆柱， 这个几何体的体积呢？柱体，柱体都是底面积乘高啊，所以 v 等于底面积乘高。底是吗？底是圆圆的半径多少？十，所以 pi 乘十的平方 乘高高多少？高是四十，所以这可以算出来它是四千帕。这抓也有单位啊， c m， 它给了 c m， 那 它力，体积，体积是 c m， 三次方叫立方厘米 阔啊。好，第四题，正方题比面两个图把展开图折成一个长方体笑字以面对应面的字是多少？这个，这个字是力啊，那这个笑对，那是力啊，跟他差的真的是差开了，两两两个逻辑关系。 然后呢，如果这道题大家回答错了，大家可以在家用纸折一折，大家用纸折一个什么？折一个正方题出来。 嗯，如果这道题做错了，在家用纸折试试。然后来锻炼自己的空间立体的想象能力，因为到了以后，到了，嗯，八年级或者九年级到九年级有立体图形，到时候，嗯，会大量的会考这类的知识， 那他的难点更多的是在高中，高中的会更多，高中考立体图形会更多。所以如果初中立体那个空间想象能力比较差的话，那就是多动手 来折一折，把这个图形再折一折，把这个图形，把这个实际上的样子给他找找。好，这个答案是力啊。

除以数学几何题，平面图形的除不认识补角和余角。 今天我们看一下这道题目啊，如图，点 o 在 直线 a b 上， o c 呢？平分角 b o d， 把这个角分成两块，这两块呢就相等了。这是我们题干中省出来的啊。 o e 呢？平分 a o d， 那 o e 把这个角呢分成两块，这两块呢也相等。我们标个角三角四， 所以呢，由题干呢，我们可以推出哎，两个简单结论，角一等于角二，角三呢等于角四。 题目呢，给了我们四个结论，让我们判断这四个结论中正确的是什么。那我们看其中第一个和第二个呢，涉及到互娱互补，我们还是先复习一下基础知识，在课本上，我们怎么定义的这个互补互娱呢 啊？如果两个角的度数之和为一百八十度，那这两个角呢？互为补角，简称互补。如果两个角的度数之和为九十度，那这两个角互为余角，简称互余。这是我们的基础知识啊。那第一个结论呢，是判断 a o e 和 b o c 是 否互余，我们看一下 b o c 在 这是角一， a o e 是 角四，也就是第一个结论啊，是让我们正角一加角四是否等于九十度。 如果他们两个符合这个条件，那自然就互余了，这是我们互为与角的两个角如何判断的唯一依据啊，只看他们的和是否为九十度。那由题目中的条件呢？呃，条件也很简单，我们怎么正出这个角一加角四等于九十度呢？去找和他俩有关系的。 那这两个等量关系其实没有什么要用的，对吧？我们去找他的二倍角，因为角一是怎么来的呀？是平分出来的，他的那个两倍的角是谁呢？是角 b o d。 那 b o d 角和谁啊？和角四的那个二倍角是角 a o d 是 不是很明显的是一个平角一百八十度了？所以从这个方向呢，我们就可以很轻松挣出角一和角一，然后呢， a、 o d 是 两倍的角四，哎， 它们俩相加一百八十度，是不是就能证出来角一加角四等于九十度了？这第一个是对的啊。那这样呢，我们再多说一下，角一加角四是九十度的话，你角一等于角二呀，角三等于角四呀，所以角二加角三，这也是个直角啊。 那么，呃，这里面互为于角，角其实挺多的，你角一和角四互为于角，那角二和角四也互为于角啊。同样道理，角三、角二互为于角，角三角一也互为于角， 这是互余的判断。那第二个阶段的判断是否互补，那互补的判断依据只有一个，就是这两个角啊，角 b o e 加这个角 e、 o d 是 否等于一百八十度？这个条件成立他就互补，不成立他就不互补。那我们直接看图， b o e 所在位置在这， 那图形上呢？有一个很明显的补角 a、 o e 加起来是一百八，对吧？所以我们只要看看这个 e、 o d 和角 a o e 是 否相等就行了，对吧？有底杠吗？角三等于角四，所以这个也是对的吧？ 这是互补的判断啊。那再多说一下，这个，你看 a o c 和这个角一是互补，对不对？那 a o c 和这个 c o d 角二也互补啊？只看他们的和是否为一百八，跟他们在图形上的位置没有什么关系，这是互补互余的判断。 那接着三四呢，是我们的一些简单计算啊，我们看一看，第三个是说 a o d 加 b o e 是 否等于这个右边这个结论啊？那我们发现呢， a o d 和 b o e 有 一部分重合，这个时候呢，我们把这个右边这个 b o e 拆分一下，拆成两部分，它是等于 b o d 这个角加上角 e o d， 对 吧？ 我们为什么要这样拆呀？因为这个 a o d 啊，我们这个 a o d 和这个 b o d 加一起，正好合成一百八十度了，是不是？所以我们这个结论左边呢，其实是一百八十度，加上这个角 e o d， 那 他是否成立，其实就看一下 e o d 和 b o d 这两个角在题目当中是否能找到条件让他俩先等，那显然没有任何条件证明他们成立，对吧？所以这第三个是错误的啊， 那第四个一样的判断，依据 a o c 观察一下位置减 b o c， 哎，这个 b o c 呢，正好和 c o d 相等呀，所以我们只要把这个 b o c 换成角 c o d， 看一下它们的位置，就知道结果应该等于两等于角 a o d， 是 吧？ 角 a o d， 那 角 a o d 正好是两倍的 e o d， 所以呢，第四个也是正确的啊，所以最后呢，正确的是一二四。