立体几何高中数学成都一诊

眼睛立体几何也能压轴心，想出题能不行吗？这是一道水题，但是考场上手已经算废，最后考生在考场上会感叹，原来小丑是自己。我们再来讲一下，这是一道立体几何， 只要质量很高的，计算量也很大的一个压轴题，是昨天才考的二零幺六成都一镇的十八题。 前两位嘛，很简单，也是非常常规的，按照题目看上去，第三位也是很常规，但是往下算，你才会发现这个题不是那么想的简单，甚至 考场上考生很少有做出来的。我们就来看一下是什么题目。在菱形 a、 b、 c、 d 中，将三角形 a、 c、 d 翻折至三角形 a、 c、 e 连接 b， e、 d， e 就 成四棱锥 e a、 b c d e a， b c、 d。 要证明线面平行，只需要证明线线平行啊，很明显 a、 d 平行， a、 b、 c 的。 所以第一问基本上解决了，就怎么规范答题对吧？第一问，怎么规范答题？自己写不会去看参考答案，这 主页群或者我们数学复制群都发了电子版的，自己去看规则。我重点讲的是第三位，而第二位证明平面，证明面面垂直，也要转换成证明线面垂直，我们来看一下，而根据反折的不变线，比如这个取一个 o 点连接它证明的是 ace 垂直于 b、 d、 e， 对 吧？只要是菱形，马上想到对角线互相垂直平分，说明这很明显就有个 a、 o 垂直于 b、 o 而反折的不变线 a、 o 是 垂直于 o、 d 的， 所以 a、 o 垂直于 o、 e。 搞定，是不是就可以证明了 a、 o 垂直于平面， b、 d， a、 c 在 这个面上又垂直了？同样的 规范书写自己去写了，我们是不是就证明了线面垂直了？好，所以这第二问也解决了，规范书写自己去看参考答案第二问看参考答案 第三位，哎，也是很常见的，这。而第二位是我们证明了线面垂直了，就相当于是 a、 o 垂直于这个面，平面 b， d， e， 所以 要间隙，只需要在这个面上找一个直角就行了。而 a、 o 垂直于 o、 b 的， 我们很明显这是 x 走， 这个是 y 轴，这个垂直拉上来，这个是 z 轴， a 间隙没问题。这也是很多考生的想法，但是这个我们往下做这个就会发现并不是那么简单。看好了，继续往下， 只要若 ab 垂直于 a e， ab 垂直于 a e， 销量可以写，数量就为零， ab 等于根号，我们不妨设这个为 a， 这个为 b， 对吧？在四棱锥一， a， b， c， d 的 体积不大于三分之一，与这个高有关了。求平面 a、 c、 e 与平面 a、 d、 e 夹角的余弦值的最大值。好，我们就开始来进系三、首先由二只 a、 o 垂直于平面，平面 b、 d、 e 顾客建立，我们在先描述一下，在顾客 以顾客以以什么为 x 轴， o a 向量为 x 轴，然后或者 o a 向量的正方向 o， b 向量，然后还有我们这个标一个字母，我们再标一个 h 嘛，这是做 o h， 我 们先在上面做做 o， h 垂直于平面，下面这个面是 abc， 对吧？然后我们在前面描述了做，这就是 o， a， o， b， o、 h 向量分别为 x、 y、 z 正方向 建立如图所示的空间直角坐标系。建立如图所示的空间直角坐标系，空间直角 坐标系，对吧？这就变成了 o x， y z 诶，今晚系没问题，开始来设点啦。设 a 点就是 a 零零， b 点就是零 b 零，对吧？这个 e 点不知道，设 e 点为， 我看一下，这就是因为这一点，在 y z 面上 x 还是等于零的，比如这个 t， 这个记为 h， 其中 h 肯定要大于零。现在 t 不知道我们从图像是看不出在左边还是右边的，我们不要盲目的设 t 大 于零，我们现在不知道 其中 h 大 于零是不是这儿射出来了，然后我们这儿写，因为 a、 b 等于根号，就推出 a 方加 b 方等于二这一个关键信息，把它标上，一会儿可能用到，是吧？ a 方加 b 方等于二了，然后这个三零锥的四零锥的体积不大于三分之一，也可以写这些是抓分列。然后还有 a、 b 垂直 a， e， 我 们先写这个嘛，所以咱把 a b， a、 e 出来了，数好 a、 b 相呢，就变成了负 a， b 零， a， e 相呢，就等于负 a t h。 你 看这个题，难点就是现在设的参数很多， 参数很多，就考生就会迷茫，迷茫好，我们找。因为 a、 b 垂直于 a、 e， 就 推出这对应相乘的和 a 方加上 b t 等于零，这是不是又得到一个式子啊？ 个四则我们等会儿肯定要用到的，所以我们只要得到它。但很多考生翻译到着，哎，就开始好，还有个体积嘛，我们只要数好四零锥， 锥子还是没写慢立 e， a， b， c， d 的 体积为 等于三分之一 s 四边形，我们来看 s 菱形，我们再写菱形， s 菱形 a， b， c， d 再乘以高，高就是 e 的 这个重坐标， 横坐标，重坐标 z 坐标再乘以 h， 所以 再代减就是三分之一，菱形的面积就是二分之一乘以 a 乘以 b， 乘以四，四个了嘛，就 就是对角线乘积的一半，或者我们就是二分之二， a 乘以二， b 再乘以 h， 这样就化进就变成了三分之二 a、 b h， 对 吧？好，因为为小于等于三分之一，就推出二 a、 b h 小 于等于 e， 则有得的一个条件，我们把它圈上，这些可能后面都要用到，也是我们的抓分点，能写多少先写多少。 好，没有计算一下现在是不是完了，但很多同学倒折就会漏东西，在隐藏了一个东西，你没有发现啊，菱形翻折的不变形，这个 o e 是 不等于 o d 了，你没有翻译出来，所以这个点就是可能会漏掉的，如果漏掉着，你肯定考场上 做不出来，对吧？漏翻译漏的条件就是，而 o e 等于 o d 等于 b， 所以 就得到 e， o e 就是 零的平方就等于零， t 方加上 h 方等于 e， 是 不是得到啊？等于 b 方 就得到这个条件。这就是我们的第四个狮子，但这个狮子为了因为我们现在参数很多，这就相当于我们有个三角换元法，如果只要你想到三角换元法，写后面写起来稍微顺色，所以分顺理在这能不能想到三角换元 还可以顺利做下去。但如果常规往下写，就后面会大部分人会卡住，而常规如果不换圆不换圆，则后面会卡住，卡住很多考生， 是不是很多考生啦？所以我们就设三角换圆，顾客设 库克，设 t 等于必背。我们这儿是塞，可省略塞它嘛，必背可省略塞它 h 就 等于必背，塞， 塞它是不必背，塞塞它，只要换了圆。下面我们就开始往下写，就这个条件，如果你翻译不出来，这是非常重要的。很多考生这都没翻译出来，这是非常重要的，很多考生这都没翻译出来，就会消远，消不了。常说很多好，下面这儿要写 a c e， 就 要写 a e 和 c e。 看一下 a c e 就是 a o e 嘛。所以我们写 o a 向量和 o e 向量， 要求法向量，我们写 o a 向量，就是我们刚刚写的 a 零零， o e 向量就等于负 a o e 向量往下 e 零没有飞，就是零 t h， 对 吧？我们要设法向量设平列，这个是 o a e 的 一个法向量， 一个法向量 m 相等于 x e y e z e， 所以 我们就套路。所以 o a 向量乘以 m 向量 等于零，这个是 o e 向量乘以 m 向量等于零，就推出数量就为零了，对吧？我们只要稍微拿下点，只要占到线了，那么只要数量就为零。其实交叉赋值法这代点就变成了 a x 一 等于零了嘛？ a 不 等于零，就推出 x 一 等于零。下面其实交叉赋值法我们写的话，大题也写下 y t y e 加上 h， z e 等于零。交叉赋值，我们只需要令 令 y e 则就等于 h， 就 可以推出 m 向量就等于零， h 则是移过去负 t， 这叫交叉负值法，对吧？当然你用其他套路也可以 好得到一个的反向量，我们再来求另外一个的反向量，另外一个的反向量是平面 a d e 好 a d e， 我 们要找 d 的 坐标，我们就写 d 的 坐标，而 d 的 坐标是零，负 b 零，所以 d a 向量就等于这个是 a a b 零了嘛。还有我们这个是 a e 向量，我们刚刚写过的，再挪一下， a e a e 负 a t h a e 向量等于负 a t h。 同样的设法向量设 平面，这个是 d a e 的 一个法向量， n 向量等于 x r y r z r 则就可以写了。然则是 d a 向量乘以 n 向量，数量就为零， a e 向量乘以 n 向量数量就为零。就推出同样交叉赋值吧。这是不是一个 b， 一个负 a， 那 么我们等会儿可以写 ax 二加上 xy 二加上 h z 二等于零，对吧？交叉赋值我们在另，这个是 x 二等于 b 就 可以推出，但咱们要 等会要优化，因为这下面复杂了嘛。我们在表格纸上，先在表格纸上 x 二等于 b， 这代减就是 x 二等于 b， y 就 等于负 a。 带入第三个次序，就是负 ab 减去 a t， 对吧？在负 a b 加上 h z l 等于零，移过去 h z l 就 等于 h z l 就 等于正的了嘛。除过去 h 分 之 a 倍 b 加 t， 所以 咱就得到 n 向量，就等于这个变成了 b 负 a， h 分 之 a 倍， b 加 t。 你 看这个参数很多，所以为什么前面要换元，这是常规操作，下面我们就来换元，把这些向量优化，这就是三角换元的好处，其实就是简化计算量， 简化计算量，这就是三角换元这的操作，三角换 元，减化计算量。所以我们咱就来看一下 m h 是 啥？我们刚刚试了， h 是 必备剩余 c 它，所以咱优化为咱就可以 m 向量，我们写出来就是零，必备塞盈 c 塔，然后这个 t 必被扩展， c 塔就是负必被扩展 c 塔。你看，同时出一个 b， 就 可以得到 m 向量，等于零塞盈 c 塔，这就是负的 函数形式。随着优化的过程，草稿纸上这就我们三角换元，这样我们就可以如果直接用三角换元写下去，咱就得到令 y e 等于塞盈塞特，就可以推出 m 向量，就等于零塞盈塞特负的 函数形式。这就草稿纸上的，对吧？草稿纸上，你看是不是三角换元得到它了？同样的，下面这个 n 项呢？在草稿纸上， 草稿纸上这个 b 还是这个照写 b 负 a， 对 吧？但是这个乘以 h， 说明咱同样乘以 h 就是 b h， h 是 b 倍乘以 c 它，所以这 b 方乘以 c， 它减负 ab 乘以 c 它，然后这就变成 a 倍 b 加上必背括号塞他，对吧？同时出一个 b， 就 变成必背塞赢塞他，负 a 背塞赢塞他，然后再就变成 a 背 e 加括号塞他。你看，这就有优化的过程，所以第二个写的时候，这就我们优化了，就推出我们这就复杂令， 这个是 x， r 等于 b 倍赛赢 c， 它就可以推出 n 向量等于 b 倍赛赢 c， 它负 a 倍赛赢 c， 然 a 乘以一加 a 乘以 e 加 cosine sine 是 不是得到它了？好，得到它，我们又继续往下，继续往下，就是射它的二面角了吧？要是我们问什么射什么射平面 a， c， e 与平面 a d， e 的 夹角。射平面 a， c， e 与平面 a d， e 的 夹角 为哈法则，括号音哈法就等于括号音 m 向量和 n 向量，它两个法向量的夹角的绝对值套出来就套公式，就变成了 m 的 模和 n 向量的模， m n 数向量数量级的绝对值，对吧？你看我们就可以简化很多了，所以再代减就等于 很长的，就等于 m n 向量的模， c 方加括号，这就为一，你看是不是就没了？这就相当于少一些参数。下面呢？ m n 的 数量级零乘，它没了，这都有负的，负的负，负得正，就可以写成 a 倍赛盈 c 塔， a 倍乘以平方 cot， 对 吧？然后再减去看一下，则乘以 cot， 则是零乘以 cot。 负 cos 它乘以它 a 倍乘以平方 cot 则没问题。然它乘以它是 a 倍 cosine cot， 再加上这 a 倍 cosine 平方 c， 它，对吧？乘开 a 倍 cosine 平方 c， 它这移过来， a 倍乘以 c， 它乘以 a 倍 cosine c， 它这化简就刚好是 a 了嘛？这就刚好是 a， 提出 a 来，就是 e 加 cosine c， 它，所以刚好写成 a 倍 e 加 ctrl c， 它是吧？ a 背一加 ctrl c， 它下面还要算这个的模，我们再算一下就行了，这样就变成你看，而且我们找，很巧的是，这个和这个是不一样了，说明咱们等会写出来就变成了 b 背，我们先不换颜色。 b 方乘以赛盈平方 c 塔加上 a 方乘以赛盈平方 c 塔再加上 a 方乘以 e 加上括号乘以平方 e 加这个平方。在外面 括号乘以 c 塔的平方。看到这了，所以这个整体除去啊，意味着这个和这个余没点到，这个和这个其实是一样的，我们就整体除下来，这就是计算 一个小积啊。上面就变成一了，下面这就变成这，刚好可以写成 a 方加 b 方乘以 c 加 c 它，而 a 方加 b 方就是二。我们找前面写过的吗？跑哪去了？找 a 方加 b 方等于二，所以上面就刚好可以写成 二倍赛赢平方， c 除以 a 方乘以一加上括号乘以 c 的 平方是不再加上一了。好，划到这一步，我们下面就开始来操作， 就根号下，这么我们找你看，这是一加括号乘以 c 的， 而 c 方是不是一减括号这平方差，这又要想到平方差，所以上面就是二倍 一减括号一加括号乘以一减括号一加括号约掉个，就变成一减括号乘以 c 的 分子， a 方乘以一加上括号乘以 c 的， 再加一 分之一。所以你看放缩是不是得到这个词了，到这一步，我们则已经现在则直接往下算，不行了，直接往下， 这是受阻，我们就要回来看一下还有什么条件没用到，说明咱就要反思看好了，我们找这条件，这个条件首先这个 l a b h 小 一点， e 没用到，还有一个数量级为零，就是这个条件，我们没有充分用到它，对吧？没有充分用到它，我们就带进来看得到什么，所以我们就把它补充上。这个我们 先不写啊，这儿就可以推出咱三角换元了嘛，代点就变成了 a 方，加上 b， t 就 变成了这个英文没三角换元再找我们或者写到后面，所以这儿就变成了 a 方加上 b 方乘以括号乘以负的 b 方分之 a 方，而 a 方又可以消掉， b 方又可以消掉，我们目标干 在剩不剩 a 方了，我们只要就消 b 方，所以根据目标来的，只要我们想的是可以消 a 方，可以消 b 方，但我们只要消的是 b 方，就变成了负的是负 b 方。我看一下， b 方是二减 a 方，负 b 方就是 a 方减二分之 a 方， a 方减二分之 a 方。是不是 a 方减二分之 a 方现在得到它了嘛？好，然得到它之后呢？我们又继续，这儿是不是有个括号 c 啦，有个省 c 啦，就得到它整体代言了？所以这儿就可以等于 根号下二倍 a 方乘以一，加上括号减二分之 a 方， a 方减二分之 a 方，再乘以二倍一减去 a 方减二分之 a 方，再加 一，对吧？一是在内部的分之一。好，我们就可以往下化减了，这样就变成了根号下，同时乘个 a 方减二，前面 a 方分之二的二， a 方减二，提出来二倍 a 方减一， 那上面这个就变成 a 方减二，减 a 方就是负二，对吧？负二再加上一分之一，对吧？我们就把它化简下，这就可以直接约掉个它了。这个符号调过头来好写，就变成了根号下 这个一照写。或者我们先把它写下来嘛，只要等会再约，再就变成 a 方乘以一减 a 方分之 二，再加上一分之一，对吧？ a 方乘以一，减 a 方分之二，再加一。所以下面我们的目标你看，转换成 a 方于一就点错了，是不是要分析 a 方乘以一减 a 方的最值，所以还有哪个条件没用到？还有我们这二 a、 b、 h 小 于等于一 没用到，对吧？二， a、 b、 h 小 于等于一没用到。而且我们只要也说明一下，方程 c 大 的绝对值小于等于一的，只要是可以推出 a 四小于 b 的， 它是正确了吗？ a 四小于 b 的， 然后只要 a 小 于 b 的 话，那么我们只要肯定可以得到 a 四小于 b， 我 看一下， a 小 于 b， 只要就得到 a 方小于 b 方，我们要推 a 的 值， b 方等于二减 a 方， 所以我们稍微退一下， b 方等于二减， a 方要大于，这是 b 方大于 a 方，就推出 a 方小于一的，所以推出 a 是 小于一的，所以这是一个正数，因为等会儿正负方向会 考虑我们，咱也可以推出它来。是不是推出 a 小 b， b 方等于二减 a 方大于，是不是推出 a 小 于一，好得到它二。 a、 b、 h 小 于等于一，我们就画一下。 另一方面在我们要它另一方面，因为二 a、 b 乘以 h 小 于等于一，就推出二， a b 乘以 h， 就是 必被 塞盈塞塔小于等于一，是不是必被塞盈塞塔小于等于一了？而我们刚刚这是得到可塞盈塞塔的关系，我们这是塞盈塞塔，是不是有 c 方加可方等于一了？所以这就推出二 a b 方 乘以乘以平方 c 则直接平方，二的平方等于四， a 方 b 方就是 b 的 四次方，乘以四平方 c， 它就是以减 cosine 平方 c， 它小于等于一，是不是小于等于一了？代减化减去推出 四 a 方， b 的 四次方乘以一，减去四 a 方 b 的 四次方乘以 cosine 平方 sine 小 于等于一，是不是小于等于一啦？好，我们再推一下 cosine 平方 sine 在 这跑哪去了？ cosine 平方 sine 就 等于 b 的 四叉，或者我们从重推了嘛？这就 b 的 四叉乘以 cosine 平方 sine 是 等于 a 的 四次方的，对吧？所以我们则也可以推出它来，我们则 分界线则是不 b 的 四叉，换个颜色写在这嘛。大家则看则是， 咱就推出 b 的 四次方乘以 cos 平方 c， 它是等于 a 的 四次方的，所以咱就可以 b 的 四次方乘以 cos 平方 a 的 四次方了嘛。所以咱就推出四 a 方乘以 b 的 四次方，减去四 a 方乘以 a 的 四次方小于等于一，我们目标是 a 方，就把 b 方消掉。所以咱要先 化简一下，只要提出个四 a 方来，就平方差 b 方加 a 方乘以 b 方减 a 方小于等于一，进一步就推出 a 方加 b 方是一个二，所以这就是把 a 方乘以 b 方， b 方就可以换成二减 a 方减 a 方小于等于一， 所以咱进一步就推出其二减二， a 方提出来就是十六倍 a 方乘以一，减 a 方小于等于一，所以你看这移过去就小于等于十六分之一， 对吧？小于等于十六分之一，那么这个导拐大于等于，再导拐小于等于，对吧？所以我们就得到括号小于等于， 看一下是不是括号。对了，我们写的是括号小于等于一，除以根号下十六分之一乘以二，倒过来了吗？其实就是一除以十六分之一乘以十六二六二六十二，三十二加一三十三分之一。或者我们这样写 免得太突兀，就是二除以十六分之一加上一，就变成了根号三十三分之一，就等于三十三分之，根号三十三，对吧？所以最大值是个三十三分之，根号三十三了。则故最后再答一下， 咱就这个打一下嘛，我就不写啊，你看，这就是我们暴力间隙。这个其实就计算量说邪气很顺手，那是因为咱三角换原则比较 啊，简化了计算量，如果不三角换元，后面这个参数超级多，你就会迷茫，所以考场上你就会把手算废，都可能算不出答案来。所以我们讲平时要优化这个题，在这个地方，三角换元是非常经典，就是关键的 简化计算，从理论上常规操作可以往下做的非常关键的一步在砸，如果你砸卡住了，是不是不行了？这就是我们用暴力间隙砸考生最容易想到的方法，来跟大家讲下， 下面我们来看一下，因为这出题人一开始说他不行，但后来发现是小丑，是我们自己了嘛。说明就来看一下参考答案的做法也是值得学习的，参考答案应该在最后面，在关键，其实辅助线倒不重要，关键是参考答案转换成这个角，你看它是设 角， a， m， c 等于 c， 它这个体积公式用等体积转换法才是等体积， 前面那些不是关键的，等体积转换法就可以得到 c 乘以 c， 它小于等于二分之二，则就得到 c 塔的范围，然而它就把后面的所有条件都转换成这个 c 塔。怎么转换呢？我们找其实在解这个直角三角形中，因为这是 中点，很重要，这是一个直角三角形了嘛，只要设这个为 theta， 这个就是二分之 theta， 是 不是 a 就 可以用二分之 theta 来表示了，然后我们这个 b 能用余弦定力。在一个三角形中，你看只要法向量前面还是一样的操作，这无非就是你看 e， 它还是用这参数方程， 参数方程来写，然后到后面法向量到很正常，这法向量也是正常的，到这它求的法向量，我们这还同时乘一个 a 倍一加 cosine 啊，法一样的道理，在三点钟，你看 a 可以 用它来表示了吗？哦，这个 b 是不是这运用这个关系可以用它来表示了，然后再用括号，这就是我们用传统方法来做括号，括号是不是得到它也可以用它来表示了？所以我们只要往下写，全部与括号关代减 c， 它全部转换为 c， 它的函数，这就是消为单角的函数，它目标消 为单一三角函数求最值， 所以这个想法只是不容易想到，这是出题人给出的参考答案的解答吗？那么暴力间隙呢？其实也可以，只是暴力间隙跑哪去了？这是题目，我们只要在这暴力间隙，还是 我们再回顾一下，只要要问，我不讲，对吧？如果要问都有问题的，没必要看这个视频，他这个视频是对减脂声音才要求看的，在我们前面得分点还是很正常的，只要进戏大家会，对吧？进戏翻译条件， a b 等于二， a 方加 b 方等于二没问题。 这个垂直得到 a 方加 b， t 等于零也没问题，对吧？得到它我们这样还漏了标二后面中途漏的时候擦掉它嘛，我们又把它标回来，这体积二， a b h 小 于等于一没问题，但得到这些条件怎么用？还最容易漏掉的就是方子的不变形， o e 等于 o， d 等于 b。 如果咱没有想到，后面肯定消不了元，想到了之后，如果常规消元呢？后面参数很多，很容易迷茫，这也是我们关键还是三角化元，所以本期两种结法都有这个 三角换圆，换了圆之后，我们下面则就怎么挖掘。你看这个条件， a 方加 b t 等于零， a 方加上 b 方 cosine x， 它等于零， cosine x， 它居然可以转换成 a 方小于单角单，我们这是小于单一边 a 的 关系， 关系来做的对吧？那同样 r a b h 则要平方，因为是 c 方加括方等于一，是不是则要平方来化了平方在下面 r a b 则等于一化解， a 化解刚好整体得到我们的目标，如果没有得到目标，则其实也可以算，无非则就是 一元二次可以求 a 的 范围再去解，转换成二函数，它就求出 a 方的范围。单一三角函数吗？知道范围，这个也是关于关于 a 函数问题， 所以转换成了函数问题，二次函数问题去分析，实在不行，我还可以暴力求大，这不也可以做了，这就我们整个题的思路，计算量不小， 对吧？咱对于考场上来说很容易做出来的，因为考生时间是有限的，这是上个概率大题的咱们这个题，所以我们不要小瞧他，眼睛 立即就会也能压住，那是我们感受，就相当于你看到的表面，不代表他笨，真正的本质。我们这个题最主要的是学间隙啊， 三角换元那个处理操作还有参考答案，我们只要构造辅助线等体积转换法也是我们要学的东西，转换成单一三角函数去做出题人的 思路也是值得我们学习的。那暴力进行呢？我们也要计算，拿下去怎么去分析法？向量怎么去优化，它有分式怎么办？走是不是都可以学一下？好，这个视频就给大家讲到这，拜拜。

最近非常期待的二零二六届成都医学院，果然没有令我失望，无论是难度还是质量来看的话，这套试卷应该是新二卷地区的天花板级别了，它的质量甚至要超过前一阵子的这个绵阳医学院。 比如说十一题的解析几何与这个基本不等式的结合，十四题的外接球问题，十八题的立体几何动点问题，还有十九题的呃，这种组合数形式的函数都是让人眼前一亮，心意十足，都是非常不错的好题。 另外这个试卷的题型难度分布也是非常合理，与今年新二卷难度持平，同时也比较重视数学思维的考察，是一套十分难得的好卷子。我们来接下来看一下这个关键题位的一些分析。单选的话实际上都比较轻松，即使到了第八题的话，也是一路顺风， 分类讨论就可以出题，然后多选前两题的话，也是难度不大。 十一题出的也非常棒，虽然考点核心依然是基本不等式，却不落科，就结合这个双曲线和椭圆来考察，难度就直接上来了。你看这个是是不是很熟悉啊，它其实是椭圆的方程，就是它的这个长短轴，并不是 x 和 y 轴的。 另外像这个后面两个选项，我们如果说得到结果来讲的话，它其实不难，但要说到严谨计算的话，估计还是需要用到这个其次化啊，非常不错的一个小题。十四题呢，同样是外界求问题，却隐藏了一些一体几何的正在里面， 他比较注重这个数学思维的考察。如果说我们看不出这个 c b 是 垂直于这个 p a b 这个面的话，那么这个题做起来其实也是非常的困难，对吧？然后像这个解答，前面三个大题，基本上也是送分到位，没有什么特别大的一个难度。 十七题的话，这个形式好像比较新，这个信息商在以前的高考里面曾经出现过， 所以不算是一个什么有新意的题了。另外十八题我个人非常喜欢。这个题的话，比较有意思的是，前两位就是非常的简单，但到第三位，他的难度蹭蹭的就往上升了， 它是一个立体几何的重点问题。这个题的话，你如果说去解析处理，你会发现计算量非常大，但解析里面的一个做法，看看答案的做法，其实就是用的间间细，但是这个题你即使是用的几何法去做，你看我用的是几何法， 也是避免不了一顿死算，难度系数非常大，你要在考场中算对的话，对你的计算功底要求非常的高，所以它也是一个高质量的一个几何压轴题。 十九题他有点类似于今年新一卷的一个数列题，但此题考点核心却变成了函数。 他这个第二问本子上面其实是这个几点效应，可以先去猜出结果，然后再去证明，要去严格去说明 a 不 等于二的时候，他的一种情形。第三问也是相当精彩，他基本上将这个组合数的一些重要公式考察了一遍，这个题做完之后，真的是非常的舒服，意犹未尽啊。

二零二六届成都一诊数学卷难度与质量双双在线对标新高考二卷，无论你是否在新二卷地区，这套题都值得你静下心来 主题拆解，反复琢磨，整体评价，这张试卷题型分布合理，难度层次清晰，与二零二五年新高考二卷的命题风格高度契合。它在保持基础题稳健的同时， 在压轴题位上大胆创新，强调数学建模、代数转化与几何直观的结合，是一套真正考思维的好卷子。核心好题拆解第八题， 等比数列绝对值求和分类讨论与对称性关键洞察，等比数列前四项和已知，但待绝对值后总和变大，说明数列中必有正有负，且正负相对称。析题思路，设公比为 q u， s 等于 a， e， e 加 q 加 q， 二加 q， 三等于 e 和 t， 四等于 a 一， 一加 q 加 q， 二加 q， 三等于三，对比可推断 q 零。利用正负交替性质设 a e， a 三大于零， a 二 a 四零代入解得 a e 等于减五分之一或五分之八。易错点提醒，忽略绝对值，导致符号误判，未考虑公比可为负，需分类讨论。第十一题， 双虚线加不等式约束条件转化与最值分析关键洞察给出 x， 二加 y， 二等于四加 x i 也两组对称不等式，本质是约束 x y 的 取值范围，进而求 x i 和 x 加 y 的 最值。解析思路由 x 二加 y， 二等于四加 x， i 的 x 减 y 的 平方等于四， 奇 x 减 y 等于两不等式， x 的 平方加四大于等于 y 的 平方，有 y 的 平方加四， x 的 平方等价于 x 的 平方，减 y 的 平方小于等于四。连立可推的 x， y 大 于零且满足一定范围，进而用基本不等式或代换求最值 思维提升。此题将解析几何条件转化为代数约束，考察条件整合与最值求解的综合能力。第十四题，外接球表面积最值几何性质与建模关键洞察，三棱锥 p 减 a， b， c 中 p a 底面侧面 p a b p b， c 需找到球心位置并建立函数关系。球表面积最小值解析思路，由 p a， a， b， c 且 a、 b， c 面积为四，可设 a， b 等于 m， b， c 等圆则二分之一 m， n 等于四。利用面面垂直退出 p b 平面 p a， c 或类似垂直关系确定外接求球心在某个中垂面焦点建立表面 g， s 等于四派二的平方。关于 m、 n 的 函数，利用基本不等式或导数求最小值易错点，提醒球心位置判断错误， 忽略面积固定条件对 m、 n 的 约束。第十八题，立体几何翻折加动点最直间隙于几何法双路径关键洞察，菱形翻折后构成四棱锥。第三问，重体积不超过某个值，求两平面夹角于弦的最大值，是典型的动点范围问题。 解析思路，第二为用几何法证明平行与垂直。第三问，建立空间直角坐标系试动点参数，如 fata 或 alpha， 表示出体积与法向量，利用体积约束得到参数范围，进而求夹角于弦的函数。最值 思维训练此类题考察空间想象坐标，建立函数建模与最值求解的完整链条。第十九题， 组合数形函数加零点与倒数、高阶代数与推理关键洞察，函数 f， n， x 等于一，加 k 等于一， n c n k x k k 二形式复杂，但可通过求导、递推与组合横等式化简解析思路。第一问，利用导数正系数单调零点存在定理正为一。第二问，代入 n 等于二，得 f， 二 x 等于二， x 加四乘二转化为不等式横成立问题，用导数求参数。第三问，求导后代入 x 等于一，利用组合横等式 k 等于一， n c， n， k， k 减一等于 h， n 证明思维提升。此题将组合、数学、函数性质、导数应用不等式证明融为一体， 是高质量压轴题的代表。备考建议，如果你这次得分较高，一百二十分以上，你的综合建模、代数变形、 空间推理能力已属优秀。重点复盘第八、一十四十八、三十九、二三题这些题的多知识点融合，先猜后正，动态分析是冲击高考一百四十五加的关键。如果你分数在九十到一百二十之间，你的基础扎实， 但在复杂条件、转化、严谨书写、计算准确率上仍有提升空间，确保第一道题九十、十二、十七一二题全对。这些是集合向量、数列、概率、三角、椭圆的基础题， 必须稳拿重点突破地八十一、十、四、十八一、二十九一题，掌握其核心方法。如果你分数低于九十分，不要焦虑，这套卷难度确实较大，首要任务是回归课本，巩固公式与基本模型，反复练习。第一到六题， 单选中基础题。第十二题，本差数列。第十三题，直线与圆。第十五题，椭圆方程。第十六题，三角计算看懂地八十一、十九题的答案，理解每一步的转化意图， 积累条件模型求解的思维路径。同学们面对成都一诊这样的高质量试卷，感到有挑战是正常的，重要的是通过这样的试卷看清自己的知识漏洞与思维短板。 在后续复习中有递放时，这套试卷你在哪道题上卡壳了，哪道题让你眼前一亮？评论区一起交流吧！如果觉得这份解析对你有帮助，请点赞、收藏、转发、支持，我们下期再见！

大家好啊，今天我给大家讲的是一个立体几何当中一个存在性的问题，那么我看这个存在性的问题，它需要一个探索啊，就抽象空间思维，一个能力的一个 考察，呈现出这个思维以及数量印刷之间的结合的一个综合点，总结规律以及规律的找寻啊。还有一个非常重要，做辅助线啊，做辅助线 如何在立体结构当中做好做的作用？我们所需要的弧度线起到四两拨千斤的作用，能够达到一个中间的一个桥梁的作用，非常的关键，直观重要啊， 打开切入点，好，那我们看这个题来，题目是这样的，四边形 a， b 啊，四边形，这是一个立体图形，应该是一个棱柱，当中 a， b， c， d， 啊，不对，四边形 a， b， b， e， a， e 和四边形 a， c， c 是 a， e， a， c， c， e， a， e 都是矩形啊，那么 d， e 分 别是什么线段什么呢？ b、 c 以及 c c， e 的 中点，红色的叫线段，现在用 问一个问题，他问有没有存在在线段 a、 b 上，有线段 a、 b 上这段线段 a、 b 上，他问有没有存在一个某一个点 m， 这是一个动点啊，待定的啊，未知的能不能存在这么一个 m， 能够使得 d 移会平行于平面是吧？ a， e， m， c 这个平面给他画出来，因为它是个待定的，对啊，待定的是个变化。 a， e、 m、 c 绿色的这个部分啊，我们看一下啊，出来 a， b， m， c， 看到没有， 能够平行于这个屏，在这个轮毂的内部，这个空间当中的某一个尖面，某一个尖面 a， e， m、 c。 那 么我们看来要怎样找突破口，我们看 这是一个口诀是什么？特别是证明平行线、面平行线，线平行当中啊，以及面面平行等等这些的问题啊。那么这个空间的位置关系，这个时候需要把抽象的问题给他具体化，那么怎样的具体化我们看， 呃，这里面终极一个口诀是什么呢？那个随不动 平移水，因为你不平移的话没办法，对不对啊？谁不动就平移水，那哪个面是动的呢？很显然而问题在改变，所以这个面 aemc 这个面是移动的变化， 你他是没办法拿捏得住啊，琢磨不定的。所以说能不动的话谁不动低移这条稳稳的就在这边固定，他是可以给他进行平行平移。那么平移的过程遵循一个什么法则呢？ 一定要记住，端点一定要对应好啊，端点线段，端点一定要对应好， 你这个 d 对 应好，怎么对应好了？比如说这个线段的 d 点，点段的 d 点，肯定要平行到哪里？肯定平行到 a、 b 上，对不对啊？这个时候找寻出一条线段能够跟 d 是 平行的，所以说我们把这个 d 给它平行平行到这边来， 那拼音到这边来，拼音到这边来， ok， 拼音这边来。好， 那么是不是 e a、 e、 c 是 这个交点，假设这个交点是什么点呢？假设这个点是什么点呢？假设是 f d 好， 这个是 f d， a c 上面 f d 好 的， 那么呃， d 点偏移到这边来， e 点偏移到 f 点，所以说我们这个时候就可以知道 d 移是平行移， 这样 m f， 这是第一步做辅助线的过程，把这条固定的这条线段 d 移到这个位置，其中一个端点移到这边来。好，那么这个时候我们看这个时候满足条件的情况， 能不能找出这个点，就是我们所要求的 f 点以及 m m 点呢？那要证明 这一段跟这段是平行，并且把这些点给它确定下来，我是要证明什么呢？所以说这个非常重要的一个什么，看谁不动啊？ d 是 不动啊，那么 d 又平行，我们看 不动，说明说量没变平行便写什么相的。对啊，那大家用这样的话，记用这个来结果来直接推倒，那是不行，所以说我们一定要证明这个什么 m d， e f 是 一个什么？ 平行是平行，所以说我们要需要证明这些量，也就是说 f 点要找出来， f 点要找出来，不仅仅是 m d， f 点也得找出来。 好的，那我们看一下这个时候怎么证明呢？那就要思考一个问题， e f 这条线段跟谁呢？跟 m d 这条线段之间的关系是位置关系啊，不是关系，是位置关系如何呢？是不是我们这已经猜想有平行 啊？平行如果能平行并且相等，问题是得到解决了啊？那我们怎么证明呢？我们把这个 e f 连接起来， m d 也连接起来，我们这个时候就要思考这个，此时的 e 也应该满足什么条件，应该满足什么条件呢？ ok， 那 我们看看吧，应该满足什么条件？因为我们刚才第一是跟 m f 是 平行， 并且平行过来是不变平行截线的，有这个我们是不是可以推出什么呢？就是四边形，因为是平行平行过来的，一根 m f 两条平行线是不是确定一个平面？ ok， 是 共面的，所以说可以知道四边形 啊，四边形啊，用平行四边形，这个 ok， 因为这个我做辅助线的过程达到了一个非常重要的重，这个平行是平行，于是怎么样对边念什么？互相平行，所以这两个是平行，切，什么相等， ok， ok， 好， 那就得到这么一个关系式以及位置关系。那么 e f 和 m d 是 互相平行且相等，那我们看来，呃， m d 跟这个平行且相等，那什么样的情况下这两个会平行且相等？这个时候我们就观察什么呢？图形当中的底面 a b c， 我 们看 m d 跟 a c 一 点是中点， m d 跟 a c 的 关系好的，还有 e f 来，我们看 e f 跟 a c 的 关系能不能找出关联？能找出关联，如果我看 什么时候 e f 跟 a c 会平行呢？什么时候 m d 跟 a c 会平行，这就叫平行的传递性。有根据这个我们有利用平行的传递性，那什么时候为平行？ 因为 e 点是从中点三角形 a， e c c e 当中，我只要让这个 f 点是 a e c 的 终点，就可以说一说 f 为是吧？ a e c 的 中点就能够推出 e f 是 三角形 a e c c e 的 中位线，于是 e f 平行且等于 a e c e 啊，这个 e f 平行且等于多少二分之一的 a e c e 中位线啊？同理 m 点，为什么 ab 的 中点， 那这样就可以推出 m d 怎么样平行且等于二分之一的什么呢？二分之一的 a c， 那 现在来看，这两个是不是相等？ 线段长度相等平行，这两个也是平行且相等，所以可以传递性可以知道 e f 平行且等于 m d， 所以说我们是先从这个平移的过程当中来找出此时的这个 f m f m 满足的条件是构造这个新的 m d e f 这个平行式平行，于是找到这两段平行斜线的。那什么时候平行斜线呢？跟中间的这个 ac 是 平行斜线的，那这样一步步推导出来， f 是 ac 的 中间， m 是 ab 的 中间，所以问题就得到了解决。所以关于存在性的问题，关键在辅助线的啊，辅助线以及空间当中的平移啊， 怎样把传递性平行的平移给它做到位啊？分析到位。好，今天的课程先讲到这边啊，谢谢。

高一的同学们要注意了，立体几何初步是高中几何的入门，想拿高分就要抓准考点，避开坑。今天咱快速梳理一下核心内容。 第一，空间几何体的结构与计算，得认清棱柱、棱锥、圆柱、圆锥这些常见的几何体的特征，比如棱柱上下底面平行且全等。棱锥只有一个底面，重点是表面几何体积， 圆柱侧面积是二 pi r h， 圆锥是 pi r l。 体积公式记牢，底面积乘高，棱锥呢，要多乘一个三分之一，千万不要忘记了。 第二是三式图与直式图。三式图遵循长对正、高、平、齐、宽相等。易错点是俯视图搞反左右直观图用斜二测法，平行于 y 轴的线段长度减半，还原时需加倍，别记反比例。 第三，空间点线面关系。这是重点，需掌握线线平行相交意面，还有线面、面面的位置关系，背熟判定与性质定律。比如线面平行要满足线平行于面内一线，且线在面外。 第四，平行与垂直证明线面平行，常找中位线或平行四边形面面平行呢，需要证明一个面内两条相交线平行于另一个面， 在垂直证明中线面垂直，要证线垂直于面内两条相交线面面垂直，则找一个面内的线垂直于另一个面。 我们再说说经常会踩的坑。一是混淆意面直线和相交直线。意面直线是既不平行也不相交的直线，别把不在同一平面的相交线算进去了。 二是证明时忽略相交条件，比如线面垂直必须找两条相交线，两条平行线可不行。 另外，体积计算的高是垂直底面的距离，不是斜线的长度，画三式图的时候看不见的轮廓线要画虚线，这些细节直接影响得分。 记住这些例题，几何基础题就稳了。关注我，每天分享一个数学提分的小技巧。

好的各位同学，本期视频我们来看到这样一类题目，就是求值域的问题，那么蒋老师这里为什么要把它单独拎出来讲呢？就是大家在学高二的时候，是不是在学到我们的解析几何 范围相关问题啊？当然有可能是弦，有可能是我们的面积，有可能是我们的笔直，它的一个范围 会经常出现我们以下几种形式，第一类就是我们利用单调性直接求。 第二类呢，就是我们利用基本不等式来求。第三类呢，是我们利用奇次换元，或者是用分的系数来求。 第四类呢，是我们不奇次换元，变成我们的君子不等式，或者是我们的双勾函数来求。第五类就是我们利用求导啊，这里讲了两个题，第一个题呢，是我们浙江卷的一个题，下一个题呢是我们山东卷的一个题。 好，蒋老师就这五道题型分别展开讲解一下，同学们请认真听讲，请看。第一类， 他说 f t 长这样子， t 的 范围呢是负四到四，叫我们求表达四的乘为，那么这个题我们可以稍微换一个圆，我们另一个 t 方等于 m， 由于 t 在 负四到四，所以说咱们的 m 呢，就属于零到十六，就变成了一个 f m 等于三倍，根号下边整体四十八减去三 m， 这一部分是一个减函数，所以说整个就是一个减函数，也就知道我们的 f m 属于当 m 取之大，整个越小，那就是 f 十六 这边呢，最小反而最大是 f 零，进而得到我们的 f m 就 属于把十带进去是等于零，把零带进去呢，等于根号四十八，根号四十八呢，等于我们的 四倍根，号三对不对？前面乘以三十二倍根号三。第一个题咱们就顺利拿下。看第二一个，感觉表达式比较丑陋，其实比较简单，他是依照我们反比例函数来做了一个研究。 咱们这个题一样的操作，另一个 t 方等于 m， 那 么显然 m 是 要大于等于零的，那就变成一个 f， m 等于负的三分之十加三分之十，六倍 三倍 m 加三分之四。好，这一个是一个反比例型函数，由于 k 大 于零，它是经过咱们的 一三象限，但是呢，我们只研究零的右边，那么零的右边是不是个减函数，然后当 m 取最小，整个越大，当 m 取大，整个反而小，也就是说这个是一个单调递减的函数， 所以说咱们 f m 就 属于，当它取无穷大的时候，当分母取无穷大，那么整个是 b 小 于零，零加负三分之十，就是我们的负三分之十。当我们 m 取零的时候，看一下 f， 零是等于负的三分之十加上三分之十六除以下边四等于负，三分之十加三分之四等于负三分之六等于负二，所以说最大的值是负二，这个题咱们也拿下了，看下页题，咱们 另一个梯方等于 m 变成 f， m 等于九分之二倍根号整体 m 加五。显然这里是真说整个是个真函数，但是注意了这个位置， m 是 取不到四的，也就是说它的取值范围呢？ 是不是这个 m 还必须要大于等于零，并且不等于四，那么取零的时候整个最小， 所以说 fm 的 最小值就等于 f 零加进去呢，等于九分之二倍，根号五，当然这边如果 m 没有限制的话，那么整个是毕竟于正无穷的 对不对？但是 m 不 能取四，也整个取不到九，说开放出来就取不到三，说整个就取不到三分之二，所以它的取值范围就是我们的九分之二倍，根号五到我们的三分之二， 并上三分之二到正无穷。原因是因为 m 不 能取四，所以根号整体 m 加五就取不到 根号九，你说取不到三，这个题要注意范围，第一类咱们就解决了，同学们听懂没有？好，懂了的话我们来看一下第二类。第二类这里有三个题，同学们可以先把视频暂停一下， 先自己尝试做一下，咱们做完过后再来听蒋老师讲解，咱们再讲基本不等式的规律。是不是有个 a b 如果属于正实数，是不是有一个 a b 整体开方，它是小于等于二分之 a 加 b 的？ 当前仅当 a 等于 b 的 时候，等号是成立的。看第一个，咱们化简一下是不是 f m， 这里根五，这里根五，约了就变成绝对值 m 乘以根号整体 四减 m 方。由于 m 绝对值小于二，所以说 m 平方是要小于四，大于等于零的，对不对？所以说拿进去是根号整体 四减 m 平方乘以 m 平方，它是小于等于二分之四减 m 方加 m 方等于二。当前仅当 四减 m 方等于 m 方等于四，进而得到 m 方等于二，所以说 m 等于正负根号。当然正负根号都是满足范围的， 所以它的最大值二，那么最小值呢？是不是当这个位置 m b 进二或者负二的时候，那么整个是 b 进零吧，所以说它的取值范围 f m 就 属于零到咱们的二这个左开右闭区间。这是第一个题， 看第二个题，韩同学就说，哎，这个题用不了，注意了，这个位置系数三加四刚好为七，四加三系数也为七，他是刚好是一个七倍的关系，这个点变成 f m， 首先这个位置和这个位置约个八，变成十八倍， 整体 m 方加一个人平方，三 m 方加四，四 m 方加三， 它是不是分五部分？它是小于等于二分之三 m 方加四加上四 m 方加三，整体平方，对不对？用这个两个平方嘛，反过来，它是不是应该是大于等于二分之 三 m 方加四加四， m 方加三，整体平方上边保留不变，这里是一十八 等于十八倍 m 方加一的平方，而下边呢，是不是四分之，这个四不要拿在二分之。这个位置是不是七 m 方加七的整体平方等于拿上去是不是七十 二乘以七 m 方加七的对称方，这个位置是 m 方加一平方，对不对？这个位置约了过后是七十二乘以四十九分之一等于四十九分之七十二，当且仅当 三 m 方加四等于四 m 方加三，所以说七 m 方不对，应该是 m 方 等于，所以说 m 等于正负一的时候，取得咱们最小值，那么最小值是我们的四十九分之七十二了，那么最大值呢？ 最大值咱们看一下，把这个位置展开，就是十八乘以 m 四方加上二， m 平方加一，下边呢，是不是十二 m 四方加上十六加二十五倍， m 平方加上十二。 当 m b 进无穷的时候，这里就可以不看了，那么这个是不是十二分之一，十二分之一乘以十八，它就是我们的二分之三， 并求到人啊。当我们的 m 平方 b 进于正无穷的时候，咱们只需要看大图了，这里系数是一，这里系数是十二，说是我们的十二分之一，整个就是十二分之十八，是我们的二分之三。朋友们，这个题听懂没有？ 好的，看我们下个题。 一样的， f m 等于二倍，根号三乘以这个整体，把 m 绝对值拿进去，就变成四 k 方加三 减去咱们 m 平方里边呢，是 m 平方，下边是四 k 方加三，由于四 k 方加三大于 m 方，说这一部分是为正，这一部分也为正， 是不是满足一正啊，满足一正啊！这个位置其实还有个要求啊，这个位置 m 啊，不能取零啊，这个位置原点是 m， 不 能取零。好，咱们小于等于二倍，根号三 乘以，这里是四 k 方加三，上边呢是二分之四 k 方加三减 m 方加上 m 方等于抵消，抵消是不等于二和约，是不是根号三了，对不对？ 因为这里四 k 方加三，四个方约了，抵了，抵了，就是根号三，而且是当且 仅当咱们的四 k 方加三减 m 方等于 m 方，说四 k 方加三等于二 m 方， 而四 k 方加三呢，要大于 m 方，它是肯定是大于 m 方的，是成立的，说最大值是加上三，那么最小值呢？是不是当这两个表达式趋近于相等的时候，那么整个是必定于零吧，所以说咱们的 f m 就 属于零到根三，这个左 开右臂，同学们听懂没有？好的，我们来看到第三类，其次换元，咱们怎么呢？常规方法有两种，如果说系数不大，咱们可以用分离系数法， 如果系数比较大，咱们用什么呢？换简 保繁，什么意思呢？把简单的表达式替换掉，用简单的去替换繁琐的就可以了。看这个题，这个题姜老师讲两种方法 发一，咱们用一个分离常数法去尝试一下啊，去尝试一下。那么这个题 是不是 f m 等于根号下边整体这里是不是 m 方加一这个位置呢？是 m 方加三，其实这个位置根号拿进去啊，根号一并拿进去，根号一并拿进去， 拿进去好看一点。这里呢，啊四在前面，不用管它是不是 m 方加四的整体平方， 对不对？你看这个题，如果用分裂常数法就比较麻烦了，因为这个位置展开有个十六 m 方，对不对？而上面是没有的。那这个题我们就不用分裂常数法啊，不用分裂常数法，咱们直接用 换减补乏的思想。咱们另一个 m 方加四等于 t， 当然 t 要大于等于四， 所以说 m 方等于 t 减四，就变成了关于一个 t 的 表达式。四倍根号下边整体 上边呢？ m 方等于 t 减四，再加一， t 减四加三，下边是我们的 t 平方，对不对？等于四倍，根号下边整体 t 减三 乘以 t 减一，下边是一个 t 方变成四倍下边上边是不是 t 方减四 t 加三，下边 t 方是不是变成了四倍？根号下边 t 方分之三减去 t 分 之四，再加个一。当然为了好看，我另一个 t 分 之一等于 k， 当然 k 就 属于 零到四分之一了。当我们这个 k 取最小啊， t 取最小， k 呢取最大，当 t 取无穷大，那么 k 就 去零，就变成了四倍根号下边 三 k 方减去四 k 加一，这个被开放数是一个开口向上的抛物线，被开放数是一个开口向上的抛物线。对称轴呢，为我们的直线， k 等于三分之二，而我们研究范围，零到咱们四分之一，是不是都在我们的减区间，也就是说它是属于当取零整个最大取零的时候，是个开区间，零零，那就是一，那就是我们的四。 当取四分之一，整个取得我们的最小值就是三乘咱们的十六分之一，对不对？减去我们的 一，再加一，等于这个位置是抵了，抵了十六分之三开方出来，是等于我们的四分之三，四分之三乘以四就是我们的根三，当然就是根三到四这个左臂右开区间，这是我们这个题， 看下一个题，那这个题呢？因为这个位置系数不大，咱们这个题就可以用分离场数和我们换元都可以，咱们先讲换元 一样的另一个 k 方加一，等于咱们的 t， 当然 t 是 要大于等于一的说 k 方呢，等于 t 减一，就变成一个关于咱们的 t 的 表达式。二倍根号下边，那么四 k 方，那就是四 k 减四 加三，这个呢？三 t 减三加四，而下边是我们的 t 的 平方， 等于二倍根号下边上边变成四 k 减一，对不对？而下边呢，是三，后边三 t 加一，下边除以 t 的 平方啊，这里是，这里是 t 啊，一个比物，这是 t 变成二倍根号下上边是一个十二 t 方，然后这里是，这里是加四 t， 这里是减三 t 就是 加上我们的 t， 加上我们的 t， 减去一除以 t 的 平方，进而变成二倍根号下 负的 t 方分之一加上 t 分 之一加上十二，一样的原则，我们另一个 t 分 之一等于 m， 那 么 m 当 t 取无穷大，整个是 b 记于零，当 t 取一，整个最大零到一，就变成了一个二倍根号下 负 m 方加 m 加十二，这个背开方数呢，是一个开口向下的抛物线，并且对称轴为直线， m 等于二分之一，研究范围是零到一，那零到一一是一个 b 区间，一是个 b 区间，所以说他就属于当取咱们一的时候是最小的，带进去是负一加一， 抵了也是十二，那就是二倍根号三，那就是四倍根号三，最小值是四倍根号三，那最大值取二分之一的时候，负四分之一加二分之一加十二， 前面是负四分之一啊，四分之一加十二，四分之四十九开放呢，二分之七那就是我们的七，对不对？这是我们方法一，四分之根号三到七。当然我们也可以谈什么分离系数， f k 呢？等于二倍根号向上边展开，是不是一个 多少这个位置，这个位置十二 k 四方加上二十五， k 平方加十二，下边是一个 k 加一的平方，二倍根号下上边提个十二出来，并配方还是 k 方 加一的整体平方，是不是后边还要加一个 k 方才能还原这个位置呢？是我们的 k 方加一的平方，就等于二倍根号下边整体 十二加上 k 方，下边是 k 方加二， k 方加一 等于二倍根号下边十二加上一除以啊，这个位置是 k 四方， k 平方加上 k 方分之一加上一个二，是不是这样子也可以？也可以的，没问题。那么这个位置是一个咱们的对勾函数吧？对勾函数把它画出来， 我们对勾函数把它画出来，这是我们的对勾函数，它长这个样子。 这个位置配方呢？取一的时候，配方取一，配方取一，配方取一，整个最小，对不对？因为当这部分取最小，整个就最大嘛，是不是整个最大嘛？你看这个位置是一，一的时候，这个位置多少是我们的 一加一加二，它就是四分之一，这个位置是一的四分之一，所以说整个就小于等于 二倍。根号下里边这个位置四分之四十九，四分之四十九等于七，当然这边呢， 这个位置注意了，因为这个题啊， k 他 是可以取零的啊， k 是 可以取零的，那么这个题如果 k 取零的话，那么这个存在就有问题啊。这个题如果是 k 没有取零的话，这个题均那个这个对数就可以用。注意了，这个位置 当 k 方取零的时候，这个方法他就不能用了啊， k 方取零，他就不能用了，这个题注意。那咱们所以说更多的，我推荐咱们用换元好一点，因为君子这个位置或者对勾这个位置咱们有时候有局限性啊，这是我们这个题好看，下一个题， 咱们另一个换减保白，因为这个分 母和分子比较而言，是不是分子更简单？咱们另一个一加二， k 方等于 t， 当然 t 要大于等于一，所以说咱们的 k 方呢，等于二分之 t 减一原式变成一个 t 的 表达式，上面是我们的 t 方， 下边二乘去就是二倍，一加二分之。 t 减一，这个位置四乘进去二， t 减二 加个一，上边是 t 方，下边呢是我们的二加 t 减一，二 t 减一， 进而变成 t 方，下边是 t 加一，二 t 减一等于 t 方除以咱们的二 t 方。注意这里是减 t 加二 t， 那 就是加个 t 减个一，把 t 方拿下来， t 方除下来， t 方除下来，一除以负的 t 方分之一，加上 t 分 之一加二。我另一个 t 分 之一等于 m， 那 么 m 属于零到一的一次根就等于一除以 负 m 方加 m 加二。所以说咱们的分母越大，整个越小，分母正的越少，整个越大。好，分母部分是一个开口向下的抛物线，开口向下的对称轴呢，为我们的直线， m 等于二分之一， 咱们研究范围呢是零到一之间，零到一之间，所以说整个分母最大的时候， 分母最大的时候，二分之一去的分母最小，再一出去的一负一加一加二等于二分之一，所以说咱们的 f k 呢，就属于最大值二分之一，最小值呢？带二分之一进去， 带二分之一进去多少？负四分之一加二等于四分之九，倒过来就是我们的九分之四啊。这是这个题朋友们听懂没有 啊？当然这个位置讲的是一般不推荐咱们用君子或者是咱们的对勾啊，君子对勾的话要注意咱们一些范围，要处理一下，这是我们的第三类来看我们的第四类， 不歧视换元。咱们什么遵循换低保高的原则？因为低次到高次只需要乘方，而高次到低次呢，需要开放，开放是不好算的。咱们这个题就另一个， 你看这里是第一次嘛，又是二次嘛，而上面是四次嘛，那么另一个三加四， t 方等于 m， 当然 m 要大于等于三， 所以说变成 t 方等于 m 减三除以四。说原式变成 f， m 等于二倍，根号三，再乘以根号下边 一加 t 方四分之 m 减三，则平方三加四， t 方变成咱们的 m 等于二倍，根号三，根号下边上边通分，上边通分，是不是四分之 m 加一，对不对？把咱们十六拿下来，那就是 m 平方加二， m 加一，下边呢，是我们的十六 m。 好，把这个十六分之一给拿出去，那就是我们的二分之根号三倍根号下边 m 分 之一加上咱们的二，加上 m 啊，因为咱们这个十六拿出来了嘛，是不是就是我们的四分之一就是二分之根号三， 那么一除 m， m 分 之一， m 除 m 啊，这是二， m 除 m 等于二， m 平方除以 m 等于 m， 那 就 整个范围就由这部分决定吧。这部分，那么另一个 g， m 等于 m 分 之一加 m， 这是显然的一个对勾函数啊，显然的对勾函数，但是要注意范围， 注意范围。这个位置呢，是我们取一的位置，这个位置是一的位置，但是我们只能研究三的右边，说这部分只能研究三的右边，右边就是三， 是不是说在三处取得我们的最小值得到我们的 f t 就 属于当他取三的时候，多少这个位置？三分之一加三就是三分之十，加上我们二等于三分之 十六开方呢？根三分之四，根三分之根三，约了约了等于二等于二，所以说这边是二到咱们的什么二到咱们的正无穷，对不对？看一下当他取多少，看下这个位置算错没有？大家注意， 当他取三的时候，当他取三的时候，这边是我们的三分之一加二 加三等于三分之十，三分之十加二等于三分之十六，三分之十六，三分之十六。这个位置呢，是开出来就是根三分之四乘以二分之根三根上去了是不等于二，是不等于二等于二。 当 m 无穷大的时候呢？当 m 无穷大的时候，当咱们这个位置 m 无穷大啊，当 m 无穷大，是不？整个就逼近于正无穷，所以这边是属于咱们的，那它是属于我们的 三分之十到正无穷，所以说这部分就属于三分之十加二，三分之十六，它就是我们的二，二到咱们正无穷。朋友们听懂没？这个题好的，看下一个题， 看下一题一样的，咱们另一个根号整体 m 方加一等于 t， 就 说 m 方等于 t 减一， 变成一个 f， t 等于十八倍， t 下边呢？三 m 方就是三， t 减三加四等于十八， t 下边是三 t 加一，把 t 出来，十八除以我们的 多少？这个位置应该是 t 方啊，这是一个是 t 方，写出了一个 t 方，那就是我们的三 t 加 t 分 之一。一样的，咱们另一个 gt 等于三， t 加 t 分 之一，这个分母部分是一个双勾函数， 双勾函数长这样，这个位置呢是我们的三分之根号三的位置，这个位置是三分之根三的位置，但是呢，我们只能取我们一的右边，一的右边。所以说 当我们分母三 t 加梯分之一取最小，整个反而最大，说它是小于等于十八除以四，对不对？取一的时候，取一的时候是四，那就是我们的二分之九， 当这个 t 取无穷大，无穷大，那么整个题必定以零，所知道，我们的 fm 就 属于零到咱们的二分之九，零到二分之九，零到二分之九啊，这个题就做完了， 同学们听懂没有？那么同理，下一个题也是一样的啊，下一个也是一样的，那么另一个 m 方减四 等于 t 啊，当然这个位置其实有范围哈， m 方要大于四的哈，这个题注意范围，那么 t 就 要大于零，那我们 m 方就等于 t 加四，原式变成一个 f， t 等于二十四倍，根号整体 这个位置 t 三 m 方，那就是三， t 加十二就是加十六的平方，对不对？ 因为这个位置 m 等于 t 加四吗？那就三 t 加十二加十六，把这个位置展开等于二十四倍。如果你这个位置不展开也可以哈，不展开也可以，就是一除以 啊，就是 t 除以这个位置。九 t 平方加上九十六， t 加上二百五十六，对不对？一数平方，二数平二点二倍有问题？二十四倍根号整体一除以 九， t 加上二百五十六，除以 t 再加上九十六。说整个范围就由我们的分母决定啊，分母决定，看下这个位置能不能确定。你说 这个位置一样的，也是一个对勾函数，这是我们的 t， 这是我们的中坐标这里，那么这个位置多少呢？这个位置咱们用红色标记，这个位置呢，是 当前减档九 t 等于 t 分 之九十六，九 t 方等于二百五十六，所以说三 t 等于一十六，三 t 等于十六， t 呢等于三分之十六，这个位置呢是我们的三分之十六的位置，我们研究范围呢， t 是 大于零的， a 是 可以取的，当我们这个位置取它的时候，整个分母最小，整个反而越大，当 t 取无穷大的时候，整个无穷大，那么整个就等于零，所以它最小值 f m 属于零到，那么取三分之十六，咱们算一下，九 t 乘以三分之十六，等于啊，算一下这个位置， 九 t 乘三分之十六，给咱们直接可以用均值不等式的这个位置，咱们的九 t 加上三分，加上 t 分 之 二百五十六，是大于等于二倍。根号下九乘二五六的等于二乘三乘以咱们的十六，也等于我们的九十六，对不对？九十六九十六加九十六就是幺九二，那么幺九二二十四乘以根号下边 幺九二分之一就是二十四，这个四十八可以变成四十八乘以我们的四，对不对？变成一十六乘以十二，那就乘以四分之一乘以 二倍。根号三分之一，对不对？这个位置约了，那就是我们的多少三倍。根号三，三三除以根号三，那就是根号三，零到根号三，同学们听到没有？这个题好看，我们下一个题 一样的，咱们再去换元就可以了啊。另一个根号整体 m 方加一等于 t， 当然 t 要大一点一，所以 m 方等于 t 方减一变成一个 f， t 等于六， t 除以 咱们的三倍， t 方减一加一加一等于六， t 除以三， t 方加上一个一，把 t 除下来，六除以 三， t 加上 t 分 之一，是不是？那么这个对角函数呢？啊，将它画这个位置啊，画这个位置啊，有点画不下了，这个位置呢？长这样子。 这里呢是我们的三分之根号三的位置，这个位置是我们的三分之根号三的位置。因为是三， t 等于 t 分 之一，所以三 t 方等于一，可以三到三，但是我们只能取 一的右边，只能取一的右边。一样的原理，只能取一的右边，这是一，当分母取最小，整个反而大，说它是属于零，到取的时候，六除以四，那就是我们的二分之三啊，二分之三这个题就搞定了，同学们听懂没有？这是我们的第四类不齐次还原。 好的，我们来看到第五类，求导啊，求导， 那么要求这个表达式，它的一个这种题呢，它一般呢说是求什么呢？最大值哈，一般是求咱们的最大值，咱们 另一个 g， m 等于 m 减四方，这个位置十二减 m 平方，当然 m 有 取之范围， 求倒呗，既飘 m 等于二倍， m 减四，前倒后不倒，加上前不倒， m 减四方后倒 负二 m 提公因子提一个 m 减四出来，第一项，剩下一个二十四减去一个二 m 方第二项是一个负的二 m 方加八， m 等于 m 减四，二十四减四 m 方加八 m 提一个负四出来，后边提一个负四出来， 变成 m 减四这个位置 m 方减二， m 减去一个六，由于 m 属于负二倍，它零 最大值是二倍。杠三说这一坨无论如何都是负数，这里呢也是负数，负负就为正，说这部分他是为正的，这部分是为正的， 说整个正负性就取决于他。那么另一个 m 方减二， m 减六等于零，所以说 m 方减二， m 加一等于七，所以说 m 减一方等于七，就说 m 等于一加减根七，他的正负走势呢，大概长这样子。这个位置是 一减根七就是一加根七，一加根七呢，和二倍根号三比较下，哪个大？很明显是他大，因为二倍根号的平方是十二，而他的平方呢，是八加二倍根号七， 他是肯定大于十二的，因为十二等于八加四嘛，对不对？研究范围好。那么负二倍根号三呢？负二倍杠三很明显是要比一减根号七要小的，这个位置是 二减二负二倍杠三，负二倍杠三的位置，这里呢，大概是我们的 二倍杠的位置，说他是一个先增后减，这样对不对？说在一减根号七的这最大，说当咱们 m 取一减根号七时， f m 取得最大值啊，这个最大值咱们自己去算一下就可以了哈，这里杨老师都不算的啊 啊，这是高三同学需要掌握，他高二同学可以先不掌握，看下一个题。一样的，咱们另一个。一加 k 方等于 t， 由于 k 属于二分之一到二，所以说 k 方呢，就属于四分之一到四， 所以说一加 k 方呢，就属于咱们的四分之五到五，变成一个 f， t 等于 t， 咱们的 k 方呢，等于 t 减一乘以四， t 减四加二加上二十五除以 八， t 加四分之一等于 t 倍四， t 减二加上八， t 分 之二十五加四分之一等于四， t 方减二， t 加八， t 分 之二十五，加上四分之一。求到呗， f 漂 t 等于 八， t 减二，这个位置呢，减去八 t 平方分之二十五， 再求一次导啊， f 二接导等于多少呢？ f 二接导等于八，加上这个长导没顶了，对不对？这个位置是 t 的 负二次方，求导等于负二倍 t 的 负三次方，那乘以负二 t 负三次方等于八，加上 四 t 立方分之二十五，是不是？那么很显然它是大于零的，它是大于零，说它是一个递增的，递增的，话说 f 漂 t 呢，就要大于等于 f 漂四分之五带一下 八乘四分之五减二，减去八分之二十五乘以 t 方分之一，那就是我们的 二十五分之十六等于二分之等于等于咱们的二十，咱们的二十 减去四，是不是二十减去四嘛，对不对？二十减去四等于十六大于零，所以导函数也，所以说原函数是递增的，原函数递增，所以说 f t 呢，就属于咱们的 f 四分之五到咱们的 f 五。 同学们，这个题听懂没有？好的，这里就讲这个。哎，刚刚同学们有个同学说，对咱们这个类型式的例一有点疑问，我们来看一下，他说有问题，我们看一下，检验一下有没有问题啊。 咱们令三加四， t 方等于 m m， 它现在叫大一点三的，那么 f m 就 变成二倍根号三上边是等于啊这个位置，这个三挪过来是四分之 m 减三，那就是一加四分之 m 乘以平方，下边是 m， 咱们上面多少是四分之四加 m 减三，那就是四分之 m 加一， 那么平方展开就是 m 方加二， m 加一，那个十六给补下来， 那把十六提出去，那就是四，那就是二分之杠三啊，那就是咱们一除 m a 二 m 二， m 除以二， m 除以 m 等于二，然后这个 m 平方除以 m 就是 m， 那 么整个情况由他决定啊。这个 m 是 大点三的，那么这个位置是一，当取三的时候，当取三的时候是不是一，当取三的时候是一，当取三的时候是一，当取三的时候是一，当取三的时候是一 开方，那就是根三分之四乘以二分之根三，约了约了等于二，不这么重。哎，是没有问题啊，朋友们，没问题啊，大家可以把视频反复多看两遍。好的，本期视频咱们就讲到这个位置。

成都一整最难科目预测，据说百分之九十以上的学霸都倒在这道题上，考前多看一眼，至少帮你多拿二十分！记得数学的几何旋转题和二次函数综合题，还有物理的电学实验和逆学压轴题，这些都是拉开分数的重要题型， 考前不要再去死刷题型了，多看一些这些题型的解析思路，至少帮你多拿二十分！我已经把解析思路和模板整理好了，在评论区留下一整，或者私信我，免费发给大家，一整雄起！

我们继续来外接球。嗯，这个题目呢，是前两天刚考完的 t 八联考多选压轴题。我的天呐，这题目应该是够新了吧。哎，这里面也有我的外接和内切球，我们一起来看一看。 他说有一个正四轮锥，这样正四轮锥请问是啥意思？底面是正方形，侧面是等幺三角形的，然后你的顶点 p 在 底面的 摄影是我正方形的中心，信不信？ ok， 继续。他说底面边长是一好啊，高是 h 啊，这是 h。 完了之后呢？该正四棱锥的顶点 p 刚好是我在我这个正方体以 a， b， c， d 这个面为一个底面做的正方体的内部。 ok， 那么第一个线索呼之欲出，你这个点 p 既然是在这个正方体内部，而你这个正方体又是我这个四棱锥底面为一个面的正方体，可所以你的点 p 是 不是只能在 上下底面对角线交点的直线上 上下运动？也就你的点位只能在这里，只能在这里上下运动的，没问题吧？你不能破坏我的四人锥是个正四人锥，你也不能破坏我这个正方体。 他说点屁在我这个正方体的内部运动，其实他就是在一条直线上运动。你这不是晃我吗？细不细啊各位， 表面的话，你看他包括表面，表面不是统一来了吗？如果你的点屁还要往上走的话，细不细来看 a 选项。所以，并且人家告诉你了，他的底面边长是一，那不好意思，你这个正方体的人长都是一喽， 包括你这条高最大最大的地方也是一咯，信不信？所以 a 不 用判断了吧？既然我的 p 要在我这条线段上运动的话， 在我 o o 撇上运动的话，那我的 p 的 运动范围就是零到一，嗯，最长最长的时候一可以等于一，但是不能等于零，等于零的话，你没有四人追了是吧？好，所以 a 是 对的来看， b 是 选，若我的四人追， 他的侧人长是二分之根号三，你这是二分之根号三，然后所我的这个高是二分之根号二，你就不去解一个直角三角形就 ok 了吗？ 你的底面是一个正方形，并且边长为一，所以你的 d b 应该是会等于二分之 db 一， db 会等于根号二，所以我的 o b 就 会等于二分之根号二，对吧？好，既然你的 o b 都二分之根号二了，那我的 h 就 会等于二分之根号三的平方四分之三，减去二分之根号二等于等于二分之一 啊，他说二分之根号二，扯淡吗？太简单了， c 选项啊 c 选项，这是我要重点讲的。他说点 p 现在是我上底面的中心，那如果跑到上底面的时候，是不是他只能在对角线的焦点上，不会跑到哪里去吧？只能在这里中心的位置。完了之后呢？则这个四人追的 假设 p 点跑这里来了。其他我就不多话了，问我们这个四正四人追的外接球的表面积 第一步第一步干嘛啦？第一步是不是找一个外接圆圆心比较好找且半径比较好求的面出来？是不是我找个底面底面的圆心，外接圆的圆心就是 o 点， 然后我的球心是不是刚好肯定我假设这个就是我的球心，对吧？你这个是四人追 对不好？然后你这是我的球心，那请问 o p 这个 p 跑到这里来了哈，是不是等于 r？ 是 r 吧？哈，这个是 r。 好， 那么你这条这条边呢，是不是总高减去我的半径呢？所以我的 o o 撇 是 o 撇吧？球形是不是等于一减二啊？这条边不会变吧？还是二分之根号二吧该，所以嘞， 所以嘞，你的这个 o 撇 b 是 不是也要等于二？所以你的勾股定律出来了没？那就是一减二的平方加上二分之根号二的平方 再等于 r 方呗。展开，所以一减二 r 加 r 方加上二分之一等于 r 方，所以我的二 r 等于二分之三， r 等于四分之三， 外角角半径就出来了。那所以我的表面 g 四 pi， r 方会等于四乘 pi 乘平方十六分之九会等于四分之九 pi， 所以 c 也是对， a 和 c 都对了。那 dog 呢？ dog 应该大概率都是对的。 dog 确实是会有点难度了，他考验我们，考验我们的一个空间想象力。他说我把这一些图都删掉，他说有一个，他说点屁， 现在成为我内切球的球心重合的时候。那请问你的点 b 在 哪里？点 b 是 不是跑到我这条高线的终点上了？ 没问题吧？因为内切球嘛，内切球的半径就是二分之一能长，对吧？正方体的 ok， 所以 这个高就变成了二分之一了。完了之后，正方体和我这个内切球 的公共。我的内切球和我这个四人追的公共部分的体积是三十六分之八，注意是体积好吧。好，我打一个球出来，我把球已经划进去了。来，我们找一找公共部分呗。首先第一部分 p a， b， c， d， 你和我的球的公共部分映入眼帘的第一个关键节点就是我的窝点，对吧？你的四人追底面的中心点 在我的公共部分的区域里切了一个点，然后呢，这个球是往边上取向取过去了， 旁边是没有，这里是没有留到，但是呢，是不是等价于你这个点？你这个四人追将我这个球切成了一个类似于四人追的东西，但是它不是四人扇 形的一个立体图形， 是相当于这个吧，因为你的顶点在我的那个公共部分。那换句再通俗点的比喻，有一个西瓜， 首先我一半切开，切开之后就变成这个样子了，这是一个球体哈，不是一个，只是一个圆结面哈。好，中心点是 p， 首先你这个点我一定要关，一定要关注到，因为它是公共部分，完了之后，以这个 p 点为开刀口切四块下去， 还包含了这一部分，是不是相当于我切了一切，切切四瓣西瓜？这四瓣西瓜只是一个扇，类似于立体扇形的东西啊， 把西瓜分成四半，但是这是这个半个球的一部分，分成了四半是这个逻辑吧，是一个立体扇形的东西好， 咦，你这个球是这个 p 点，可是我那些球的球心等价于你这边也有一个四人追，和我 p， a， b， c、 d 是 一模一样的是不是？好，那你这一部分 四人追左边的哦，右边的四人追和我求的公共部分和我这一部分跟四人追起到了公共部分，是不是一一模一样的啊？是一模一样的，对吧？ ok， 那 同意了呗。 前后左右上下是不是都被这个球切成了六个公共部分。 首先第一个公共部分是底面，是这底面 a、 b、 c、 d 给我切球，切成了这一部分，是我的公共部分。我的球的右边啊，也切了一个一模一样的部分，球的上面也是 a、 b、 c、 d， 也是给我弄了一个一模一样的公共部分，上下前后左右都有。那总共是求 和我的 p、 a、 b、 c、 d 有 什么关系呢？它的重合部分有什么关系？就相当于什么 p 六个 p， a、 b、 c、 d 和球的公共部分。 把球平分了，把球的把球平分了， 是不是？六个这样的公共部分刚好把我这个球给平分了。为什么要把球平分了？因为它的顶点在我的各个 面的中心位置呀。你每个顶顶点，顶点，顶点，前后左右的顶点，它都在我的底面的中心位置，每一个面 等价于一个相同的 p、 a、 b、 c、 d 的 四人追。那这个球和这个 p、 a、 b、 c、 d 四人追它的公共部分都是一样的，那相当于有六个这样的读心，刚好把我这个球平分了， 是不是？好，那不就等价于六分之一我求的体积吗？你的体积的话，是不是因为四棱锥已经把我求给平分了，而你这四棱锥就相当于一个扇形的立体图形，那不就相当于一个 求的一部分的意思吗？ ok， 就 有几这样的部分。有几个啊？有六个嘛，那就六的体积呗。那求的体积是多少？三分之四 pi r 立方对不对？ r 是 多少？你中心点 r 是 二分之一啊，所以就会等于六分之一乘以三分之四，二二分之一的八分之一再乘以 pi 嘛，对不对？好，会等于 约一约二三十六分之一 pi 嘛？哦，所以 d 是 对的， a c d 还是要有一点点空间想象能力的。但是呢，我觉得还是可以能够理解的到的，因为他有一个关键节点，就是他和每一个面都相切了，信不信？好，我们这个题就分享到这里，拜拜。

在开始之前呢，我们要先搞清楚几个非常基本的概念，到底什么是洁面问题，所谓的洁面问题就是指一个平面呢，与某一个几何体相交， 所有的胶线构成的平面，能够将几何体分成两个部分，那么我们就称这些所有的胶线所构成的这个平面呢，就叫几何体的结面， 而几何体的结面，它拥有一个非常显著的特征，那就是能够将几何体一分为二。 什么叫做一分为二呢？我们来看两个简单的图形，对于左边的这个图形， 我们可以发现，虽然说我们在其中啊连接出了一个三角形的平面，但是这个平面并没有将长方形分割成两个部分，所以呢，他不是结面， 而右边的这个三棱柱则不然，这个三角形啊，完完全全彻彻底底的将三棱柱分成了两个部分，所以啊，这个平面就是三棱柱的结面， 也就是说结面最大的特点，一定要将几何体分开成两个部分， 那么我们如何得到结面呢？想要得到结面，我们的方法呢叫做交线法，那什么是交线呢？ 如果结面与几和其某一个平面相交，它就一定会在该平面的棱上呢产生两个节点。 我们来看前面的这个图，这个三角形的平面呀，与前面的平面相交，产生了一个点 d， 产生了一个点 f， 这两个点就是截断的过程之中所产生的点，我们称之为节点，那么把节点连接起来，就能够构成一条交线， 如果呀，我们将每一个相交平面上两个节点全都顺次的连接起来，就一定能够得到结面， 所以我们最关键的任务就是如何找到节点。 我们作图的主要依据以下四个方面的内容。第一， 不重合的两个平面相交，一定会产生一条交线，这是我们解决问题的核心观点，因为只有结面与平面相交，才能够产生节点，才能连接成交线。 第二，如果一条直线上有两个点在一个平面之内，则这条直线上所有的点一定都在平面之内，这是立体几何之中的一个基本事实， 也是我们解决洁面问题的首要原则。所谓的首要原则就是我们最优先考虑的一个情况，就是通过各种各样的手段， 想方设法的在同一个平面之内找到两个节点，就可以找到这个平面之内的交线。 第三，如果一条直线平行于一个平面，则过这条直线的平面与平面相交，交线呢，一定平行于该直线，这其实就是线面平行的性质， 我们将这个原理称之为照镜子原理。什么叫做照镜子原理呢？镜子呀，一般都是对着我们存在的一个平面， 所谓的照镜子原理就是指我们要在相对的平面之内去找平行线，那到底是哪个相对的平面呢？就是我们先确定一条交线，在这条交线对着的平面之内去找他的平行线。 最后一个原则就是一条直线如果与平面相交的话，交点呀，要通过平面内直线相交的方式才能够体现出来。这句话是什么意思呢？ 比如说某个平面与某个直线呢，处在相交的状态，我们知道这个平面与直线相交，它一定有一个焦点， 但是这个焦点它究竟在哪一个位置是值得商去的，尤其是呀，我们选择手工画图的时候，比如说你将这个焦点画在这个位置 说的通，你画在呢稍微靠下的一个位置呢，也似乎能说的通，这样的话就导致了我们是没有办法通过视觉上直接确定这个焦点的位置的。 那么我们想要找到这个焦点，最简单的办法就是在平面之内找一条直线，与平面外的这条线相交，那么他们的焦点就是我们想要的这个焦点， 而这个焦点呀，如果他不是位于廊上的，那么你就要通过延长线的方式才能够找到这个焦点。 这里我们虽然用了很多的语言来描述这四个基本原理，但是呢，梳理起来这四个原理啊，其实非常的简单，我们先通过一个简单的例题来说明一下这个原则是怎样进行应用的。 现在呢，有一个长方体，我们需要过图中的三个点来做出长方体的结面。 首先我们进行第一个原则来观察有没有哪一个平面之内出现了两个节点，那很明显 下表面之中是拥有两个节点的，所以啊，我们的第一件事就是将这两个节点呢给他连接起来，形成一条交线， 这样的话我们在下表面之中找到了一条交线，此时我们能不能使用照镜子原理呢？因为呀，与下表面平行的平面是上表面， 能不能在上表面之中找这条蓝色线段的平行线呢？答案是不可以的，因为上表面之中现在他没有点，所以我们不能把目光集中在上表面上， 我们观察这个位置呀，他有一个点，这个点我们把它看成左边平面的一个点， 我们就可以想这条蓝色的线段，我们将其延长之后，他势必会与左边的平面相交。 那刚才我们说了，这个焦点呀，一定要通过延长线的方式才能够得到，所以我们可以将这个棱呢进行延长，那么延长之后就会产生一个焦点， 这样的话左平面之中就拥有了两个节点，我们将这两个节点给他连接起来， 就在左边的平面之中确定了一条直线，现在我们在观察前边的平面， 前面的平面啊，显然拥有了这个节点以及这个节点，我们将他们两个给连接起来，就又得到了一条交线。 好图形做的这个时候呀，我们就可以使用照镜子的原理，我们注意观察前表面之中啊，有这样一个线条， 而在他正对着的后表面之中有这样一个 节点，由线面平行的性质，我们知道后表面之中一定有一条线与这条线是平行的，那么我们只需要过这个点找到这条平行线就可以了， 那么我们找到这个平行线，他与这个棱呢相交于点 n， 现在右表面之中也有了两个焦点，那这两个焦点我们顺次连接起来，就构成了一个完整的结面，这个结面准确的将长方形分割成了两个部分。 我们再来看一个问题，把这个问题看完之后呢，我们重新回顾我们的做题原则，我们观察呀，在这个长方体之中有这样三个点，我们还是要过这三个点呢，做出一个结面， 我们马上就能够发现一个问题，这三个点呀并不在同一个上下左右的几何体表面上， 也就是说我们并不能像刚才一样通过将两条线连接起来的方式呢，去找到某个平面上的交线。 那如果这个时候呀，我们随机选择两条线进行连接，这两个点所连接形成的这条线呀，他必然会与下表面相交， 而这个时候就要想到刚才我们所说的原则，相交的那个焦点，你一定要通过线线相交的方式给他确定出来。 所以我们在连接这两点之后，需要在下表面之中找一条线与这条虚线呢呈现出相交的趋势来， 那这条线怎样在下表面之中进行确定呢？嗯，这个原理非常的简单，我们可以啊这样做， 然后呢把这个点与这个点呢给他连接起来，这个时候呀就能够构成一个准确的三角形。 由于啊这个时候下表面之中就产生了两个节点，也就是说这个点与这个点 他们都在下表面之中，那么我们将这两个点给他连接起来，就可以找到 棱上的一个节点。此时呀我们注意观察，在下表面之中就产生了一条交线， 在这边的这个表面之中呢也产生了一条交线，所以呢接下来我们只需要使用照镜子的原理，比如说这条线吧， 他所对的平面，他所对的平面上面有这样一个点，我只需要过这个点去做这条直线的平行线， 或者说过这个点来做这条线的平行线都是可以的。好，我们选择呀做这条线的平行线，那你看过这个点做出来的平行线跟他相交于这 就导致了这边的这个平面也有两个节点，我们将这两个节点连接起来就形成了一条交线。 接下来呢，我们还需要过这个点来做这条线的平行线，他就与前边的表面呢相交于这个点， 最后呢，我们将这两个点给他连接起来，就顺次的得到了这个长方形的结面。 现在我们再重新回顾一下刚才我们所说的四个原则，第一原则，我们就是想方设法的找交线， 而在作图的时候呀，首先就要看是否在一个平面之内呢，拥有两个点，要是有两个点的话，你就直接把它连接起来，然后通过延长或者是照镜子的原理去找其他的交线， 如果没有两个点，那你就需要任选两个点，通过延长线的方式在某一个平面之内找到点，然后呢回到原则二重新开始即可。 我们再来看一个小问题，在这个长方体之中， ab 的 长度呢是等于四的， bc 的 长度呢是等于三的， m 与 n 呀，分别是棱的中点点， p 呢是在对角线之上的，并且呢 a 一 p 这个位置呀等于三，那毫无疑问这个位置呢，它就是等于二的。 现在要求我们过 m， n， p 这三个点， m， n， p 这三个点呀，做一个结面，问这个结面是几边形， 我们非常容易观察到 m， n 呀，他们在同一个平面之内，所以我们第一步就是将 m n 进行连接。 考虑到呀，上表面之中有一个点 p， 那 如果我能够在上表面之中再找到另外一个点，将这两个点连接起来，就能够在上表面之中找到一个新的交线， 所以啊，我们需要将 m n 扩展到与上表面相交的状态之中，那么这个相交一定要通过延长线的形式实现， 我们可以将这里的 m n 给他延长，再将 a 一 b 一 给他延长，就可以在上表面之中找到这条交线。 首先呢，延长，现在找到了这样一个点，那现在我要做的事情啊，就是把 p 点与 f 点进行连接， p f 给它连接之后呀，就在这个棱上找到了一个点，自然呢，这个 p g 呀就是一条交线， 但是呢，我们发现呀，点 p 其实并不在棱上，我们需要将 p g 进行延长， 而他在延长的时候，我们就会遇到一个问题，那就是我们不知道他延长之后呀与棱的焦点究竟产生在哪个位置，到底是这里还是 这里，亦或者是这里呢？这里呢，我推荐呀，使用如下的方式，相对而言呢，是比较简单的，那就是我们在上表面之中啊，建立一个平面直角坐标系， 我们以这个位置呢作为圆点， o 以这个位置呢作为 x 轴，以这个位置呢作为 y 轴。 我们观察 mb 的 长度呢，是等于二的点， n 呢是中点，那就意味着这个位置与这个位置呀是相等的， 而这个直角三角形与这个直角三角形呢，他们就是全等的，也就意味着 b e、 f 呢，他等于二， 那么我们就能够确定 f 点的坐标，它的横坐标等于零，而纵坐标呢是等于六的。 这里的第一点呢，它的横坐标呀是等于三的，而纵坐标呢等于零 点 p， 由于这个位置，它的长度是三，我们知道总长呢，它是等于五的。 而这个角呀，它的正弦值是等于对边比上斜边的，对边呢是三，斜边呢是五，也就说这个角的正弦值 cos 它呢等于三比五， 而 cos 它呢，是等于四比五的。那么我们过点 p 啊，向着 y 轴去做一个垂线， 这个位置的长度自然就等于三乘以 cos 它也就是五分之四，那这个线段的长度呢，就等于 三乘以一个 cos 它也就是五分之三。那么我们就能够确定点 p 啊，它的横坐标是五分之九，而纵坐标呢，是五分之十二。现在呢，我们来算 p f 的 斜率 k p f， 它等于六减去五分之十二，比上一个零减去五分之九，就等于负二。而 d， e、 f 的 斜率呢，等于六减零，比上一个零减三，也是等于负二的。 就意味着这三个点呢，是在同一直线上的。也就是说，我们如果延长 pg 的 话，它最终呢，会经过第一这个点， 所以说我们将它延长，这个延长线呢，是从这个位置伸出的。那么这个时候呀，我们过下表面的 m 来做第一 g 的 平行线，把这条线做上，然后我只需要在连接这里的 d， h 以及 g 和这个点，就找到了这个结面。所以啊，最终这个结面呢，它是一个五边形。 在本题之中，最关键的就是确定 p g 的 延长线是经过这个第一点的。 我们再来看一种问题，在棱锥之中如何去做结面？ 如图呀，有一个正四棱锥，现在要求我们去过点 b， 做与这个棱啊异地垂直的平面。 如果我要过点 b 啊，做与棱垂直的平面， 那就意味着我做出来的这个平面之中的任何一条线与 d、 e 呢，都拥有垂直关系。 所以啊，我只需要先过点 b， 做与 d、 e 垂直的一条线，那么就可以找到这样一个焦点， 那我又如何将这条线扩展成一个平面呢？哎，这个问题啊，就需要我们去研究这个几何体的特点， 几何体它必定是一个正四棱锥，它的下表面呀，是一个正方形，我们知道正方形的对角线呢，是互相垂直的， 也就是说 a、 c 与 b、 d 啊，它们是互相垂直的，而顶点在底面上的投影啊，正好是底面的中心。 我们假设底面的中心为 o， 我 们把 o 跟 e 连接起来，这个位置呢，一定会产生一个焦点， 而 a、 c 呢，它是垂直于 e、 o 的， 换而言之就是指 a、 c， 它是垂直于平面 b、 d、 e 的， 那也就意味着 a、 c 呢，它是垂直于 d、 e 的。 我们想要过点 b， 做与 d、 e 垂直的平面， 那想要找到第二条线，我只需要过这个焦点，找到 a、 c 的 平行线就可以了， 这两条线是相交的，并且都与 d、 e 垂直连接，他们就找到了这个结面。 所以呢，接下来呀，我们的作图就非常的简单了，首先呢，把 ac 给他连接起来，找到 ac 的 终点。 然后呢，将 e 与这个中点进行连接，让 e、 g 与我们做出来的这条红线呀，交于 h 点。 接下来呢，过 h 点去做 a、 c 的 平行线与两个侧棱产生这样两个交点。 然后呢，把这两个交点呀，与刚才产生的这个点以及起始这个点进行连接，就得到了这个结面。我们再来看一个问题，如图所示的四棱锥之中， ab 呢与 cd 啊处在平行关系之上， ab 呢与 bc 呢是垂直的。二、 ab 是 等于 cd 的 点 e 点 f 呢是棱的中点，要求我们过 b、 e、 f 三点做出一个结面。 对这种棱锥中的结面问题啊，我们其实遇到最大的障碍啊，就是没有办法使用照镜子原理。 那既然没有办法使用照镜子原理啊，我们还是遵循我们的主要原则，那就是观察到底有没有哪一个面当中呢，拥有两个焦点， 比如说这里的点 b 和点 e， 他 们都位于下表面，我们就可以啊，先把 b、 e 呢给他连接起来。 在题看之中，明确告诉我们， ab 与 cd 是 平行的，并且 cd 的 长度呢，是 ab 长度的二倍。 当我们将这个 b、 e 给它连接起来的时候，你很容易发现一个问题，那就是此时 ab 的 长度与 d、 e 的 长度呢是相等的，并且呢，它们还是平行的，那也就意味着 这个四边形呀，它是一个平行四边形。在我确定了它是一个平行四边形之后呀，也就是说现在的 b、 e， 它一定是平行于平面 p、 a、 d 的。 那么我如果过 b、 e 做出了这个结面，结面与 p、 a、 d 相交，交线就一定与 b、 e 平行， 这就是我们的原则。三，也就是线面平行的性质。虽然不能照镜子，但是呢，并不妨碍我们使用这个性质。也就是说，交线它必须要跟 b、 e 保持着一个平行关系， 而与 b、 e 平行，就必须与 a、 d 平行。由于点 f 呀，它是中点， 你要做 a、 d 的 平行线，那你势必需要在这个边上找到一个中点，我们把它给连接起来，这呢就是这条交线。 接下来的任务呀，就变得非常的简单了，顺次连接所有的节点，就找到了这个结面。 我们再来看一个小问题，说在这个四棱锥之中啊， ab 与 cd 呢是平行的，并且 ab 的 长度大于 cd 的 长度。 问哪个选项是正确的？ a 选项说不存在平行四边形的结面， b 说呢存在唯一的平行四边形结面， c 呀说存在两个， d 说存在无穷多个， 那我到底能不能找到平行四边形的结面呢？这个问题啊，其实呢是非常容易确定的， 由于 ab 的 长度是长于 cd 的 长度的，那么我们就可以在 a 点以及 b 点的上方 找到一条线 ef， 并且让 ef 的 长度与 cd 的 长度呢是相等的，而且我们还可以保证 ef 呢与 ab 啊是平行状态。 在这种情况下，如果我们连接这个四边形，由于这个位置与这个位置平行且相等，那就意味着这一定是一个平行四边形。 在确定了这个平行四边形之后呢，现在我们就可以这样去想啊，那就是如果呀，我把 c、 d 的 长度就是这个位置呢，稍微往上挪一挪， 这个 e、 f 这个线呢，也往上挪一挪，是不是还是可以保证它们等长且平行的，那就意味着我们还可以继续得到平行四边形的结面。 那么我把这个不停的向上挪，他也不停的向上挪，只要让他俩平行且相等，得到的结面呢，永远都是平行四边形，那就意味着它存在着无穷多个平行四边形。 再来看一个小问题，如图呀，在这个直角呢，是一个直角， 而且告诉我们 ab 与 bc 以及 a a 一 啊，它们三个的长度呢，都是相等的， 点 p 呢是中点，让我们判断过点 p， 并且呢与 a c 一 平行的平面，能不能是一个等腰梯形？ 这个题的意思就是让我们过点 p 做一个平面，这个平面呀，只要与 a c 一 平行即可。 现在我们就可以想我们的原则三，那就是你要做一个平面，与 a c 一 是平行的，那么就意味着交线一定与 a c 一 平行。 那我不妨呀，先随意找一条线，让它与 a c e 是 平行的，比如说这里的 k f 这条线， 那现在我只需要过 k p f 来做洁面， 就一定满足与 a c e 平行这样一个基础条件。我们发现呀，前表面有 k 也有 p， 我 们就可以将这两个点呢给它连接起来。 前表面之中呢，就产生了一条交线。假设啊， k 是 中点， 那就意味着这个时候的 k p 与 a 一 b 一定是平行状态，因为在这种状态之中，我们去做图啊，它相对而言呢，要容易的多的多。 那么我现在采用照镜子原理，是不是只要过这个 f 点来做这条蓝线的平行线 就可以了，我们把这条线呢给他做出来，接下来只要在连接这个位置，就一定能够做出一个结面。 现在呀，我们优先来判断这个最为特殊的结面，他到底是不是等腰梯形。 此时的 k p 呢，与 fl 啊，一定是平行的，而且呢， fl 的 长度是短于 k p 的， 那它就一定是一个梯形。 由于呢，这个位置是中点，这个位置是中点，这个位置也是中点，那就意味着这个直角三角形与这个直角三角形啊，他们是全等的直角三角形， 从而就导致了 k、 f 与 p、 l 呢是相等的，那么我们得到的恰好是一个等腰梯形。 再来看一个问题，在这个值，三根柱中， a、 b 与 a、 c 呢是垂直的，并且呢，这三条棱的长度呀，都等于三 点， m 呢，是 b 一 c 一 上的三等分点，并且呢，靠近 b 一， 让我们呀做 m a、 c 这个结面，并且呢来求这个结面的面积。 我们很容易发现呀， m 点与 c 点呢，都在我们正面对的这个平面 b、 b， e， c， e、 c 之中，所以啊，我们先将它们两个给连接起来。 现在我们观察 a、 c 这条线， a、 c 这条线呀，它与 a、 c、 e 是 平行线， 那就意味着我们过 ac 做出来的结面，他的交线呀，必定与 ac 是 平行的， 也就是说，接下来我只要过 m 点去做 a 一 c 一 的平行线就可以了，我们把这个平行线给他做出来，接下来呢，再顺次连接 d 点和 a 点，就找到了这个结面。 确定了结面之后呢，我们来求这个结面的面积，那由于啊， a、 c 的 长度呀，它是等于三的，而 dm 的 长度呢，它是等于一的。 又由于啊，这个四边形呢，它是一个直角梯形， 所以我们现在只需要去求 a、 d 的 长度就可以了。 a a 一 的长度呢，等于三， 而 d a 一 的长度等于二，那就意味着这个高呢，它正好等于根号十三，所以这个梯形的面积啊，就等于 上底加下底乘以高，再除以一个二，所以啊， s 呢就等于二倍的根号十三。 最后呢，我们再来看在某些个不规则的几何体当中，我们如何呢去做出它的结面，这里啊，我们主要采用的是原则四，也就是延长相交的原理。 在这样一个四棱台之中，让我们去过 a、 b、 p 三点呀，做一个结面， 那由于 a 点以及 b 点它们在同一个平面之内，那么 ab 呢，就是其中的一条交线， 而这个交线呀，他一定是与上面的平面相交的，那么我们就需要呀延长 a b， 再在上表面之中呢，找一条线也给他延长，就能够确定焦点， 在确定这个焦点之后呢，上表面之中还有一个点 p， 我 们把他们两个给连接起来，并且呢去给他延长，就得到了上表面的交线， 这样的话呢，这条胶线与前表面以及后表面都产生了两个节点，把这些个节点给他顺次的连接起来，哎，就找到了最后的结面。 最后呢，我们做一个简单的总结，做这种洁面问题的时候呀，嗯，第一我们要记住前面我们所讲的四个原则。第二呢，这四个原则并不是死的原则，而是要灵活的进行应用。 第三呀，我们也要补偿一部分的练习题，练习题做多了，自然就是无他为首熟耳的感觉了。

每日一题，高考无忧熊大讲题，双击关注，同学们好，今天分享的题目是二零二五年十二月成都高三一诊检测第十一题 分析如下，如图，构造三角形 abc 三边长分别为， ab 等于 x， abc 等于 y， bc 等于二。因为 x 平方加 y 平方等于四加 x y， 所以 x 方加 y 方减 x， y 等于四角 a 等于六十度。积。点 a 在 弦 b、 c 所对的 u 弧上， 又因为 x 方加四大于等于 y 方，所以角 a、 b、 c 小 于等于九十度。如图， 点 a 在 弧 a 一 c 上，又因为 y 平方加四大于等于 x 平方，所以角 a、 c、 b 小 于等于九十度。纵上可知， 点 a 在 略弧 a 一、 a 二上运动，所以 x 乘以 y 有 最大值。是， 此时 x 等于 y 等于二， a 正确， x 加 y 有 最大值四，此时 x 等于 y 等于二， b 正确， x 乘以 y 有 最小值三分之八，此时点 a 在 a 一 或 a 二处， c 正确， x 加 y 有 最小值二根号三，此时点 a 在 a 一 或 a 二处 d。 错误答案， a、 b、 c。

立体几何要学好二级结论，少不了记住一些常见的二级结论，常见常用在解析时就非常方便，而且非常迅速。有哪些常见的二级结论？比如三与弦定里常用来解决一些线面角的曲值范围和面面垂直的问题。三正弦定里则经常用来处理二面角的问题， 还有三垂线定律在长方形中的垂直问题中用的特别多。空间与弦定律则主要用来处理一面直线所成角的问题，还有正四面体的一些重要结论等等，所以会推导一些常见的外界结论，对解提起着重要的指导性作用。

立体几何杀疯了，他把正四棱锥塞进正方体，还让顶点屁在里面满场飞。这考的哪是计算，考你的空间想象能力，哎，你吃过西瓜吗？真有这么抽象吗？显哥带你直接透视他的空间骨架。十一题，这道题说实话出简单了，他说正四棱锥啊，他的高为 h 四棱锥，他的顶点在正方体的内部，包括边界上运动啊。问 h 的 尺度范围， 你鄙视谁？出题你鄙视谁？你是在鄙视我吗？他这是一个正方体，你不用画了对不对？你这是个正方体，你想想屁点在正方体的表面上和内部运动，那当然，体高最大的时候就是一呗，体高最小的时候是接近零呗。 所以这个 a 选项他有点病啊，病的不轻，所以怒开两分，我就做下一道题了，如果我是学渣，一个对不对？明白了吧？这，这题有病吧？ b 选项他也有病，所以这道题出的不好。前面出的都挺好， 他说正四棱锥，他的侧棱长是二分之根三，我们画一画啊。这道题 a b 选项他有病啊。嗯，他只作为十一题，他肯定不能让出呀，对不对？就就就就，太简单了啊，听懂吗？太简单了啊， 啊，就当画了啊，就当画了。那所以他说测棱长是二分之根三，这不是新课题吗？然后呢？问体高是多少？那体高的话，那就应该是放在这个三角形当中来解决问题，那这个数的话就应该是二分之根二， 那所以一勾五定律，那就是四分之三减四分之二，四分之一就二分之一啊，开根号是二分之一，所以这个选项是错误的，也说 h 应该等于二分之一。 再说一遍，这个长度是二分之根三，这个长度是二分之根二。勾股定律四分之三减四分之二，四分之一，开根号二分之一，所以就选错了。他说屁，在正方体的上底面的那个中心上，然后呢？外接球， 正能追的外接球，这是我们高考考烂的东西，所以他这个在正方体上底面那个中心上。来来来，大家思考一下，那是不是相当于我们假设外接球的球心 在这就是 o， 那 这个地方呢？显然球心到球面上的距离，这是半径，又因为他的体高是一，因为这个点在正方体的上，上底面上吗？啊？上底面上，所以呢，他的体高就是一，那所以这个长度就是一点二， 然后呢，这个长度呢，也是球的半径，所以是正能锥的外接球，他有个万能公式指出我们烫，所以我们现算就可以了。也就说一减二的平方就应该等于二方再加上一个二分之一，所以质量是二分之一，再加上它， 没错吧？所以呢，二方和二方约定了二，二就应该等于二分之三，所以二呢，就应该等于四分之三。 所以外接球的表面积是四派，二方就是十六分之九，所以答案是四分之九派，这个选项是正确的，明白了， ok， 那 d 选项他长得丑，他就对呗，所以 d 选项是对的。好，来，我们讲讲 d 选项怎么做？我先画出一个正方来，读一下这道题，你想想，你在吃西瓜， 对不对啊？西瓜有点甜，对吧？你在切西瓜，不是在吃西瓜。好，他说什么呢？屁，为这个正方体的内切球，既然他为他内切球，内切球的半径我们是知道的，内切球的半径就应该是一个二分之一，因为他体高是一， 现在呢？呃，他说的是屁，为他的内切球的球心就说白了是正方体的中心。正方体的中心，这个没错，是吧？那正方体的中心的话 啊，人家说这个正方体的正方体的内切球与这个正四棱锥公共部分的体积是多少？圆了，这道题还真把我难住了一下，哎，你想一想，哎，他里边有个内切球啊。内切球 他与这个正四面体的公共部分是什么？你能想象出公公共部分是什么不？ 切西瓜，这边切一刀，哎，就是这样的，哎，这边都是溜平溜平的，里边是个乎啊，能想明白？咔呲呲一口，挺甜，能想明白不？能想明白不？各位同学，哎，切了个西瓜，切了个西瓜，那所以他好，这，这怎么想呢？ 所以他是，嗯，他是公共部分的起鸡，对吧？想象不出来怎么样，哈哈。他内接球，他肯定这边是平的，这边是平的，这边是平的， 这个底下肯定是一个屋，所以这个地方你想想，我要想求的话，我肯定不可能直接求出来，因为我们又不会双冲积分，对不对？所以呢，我们就得想他占多少个球， 听明白了吧？占多少球，那占多少球，那这个问题就解决了，你只要能想到这一点，这道题解决了。所以 d 选项考你的空间想象能力， 听到吗？他是玩家对称的，做的非常好，你得想他占多少个球，那你想想，这样的话，他占了一部分，那如果是这个点，哎，以他为底面啊，就是这个底面啊，就说白了，这个地方也同样有一个正四棱锥，哎，他与那些球交的一部分是不是一样的体积？ 那上底面是不是也同样道理？这边左侧面是不是也一样的理解了？不，所以你们猜占几分之一，只需要打分母就可以了。几分之一的内切球？ 好，你可能还没听懂这样的话，是一个正四面体，他与这个内切球啊，公共部分有一部分啊，是多少我不知道，然后呢？哎，我假设这条也有个正四面体，他与这个内切球他也有个公共部分，这个公共部分肯定是一模一样的， 一模一样的。那这个地方呢，也也有个正四面体，他与这个内些有公分，一模一样的，所以就完了，就完了。这道题就完了。所以占六分之一个。六分之一个内些球的体积， 内些球的体积是三分之四， pi 二的三次方，三次方是八分之一，所以答案是三十六分之 pi。 好， 你能想到不？选 d 听到吗？想想西瓜啊，你直接求是求不出来的，所以得占多少个球？所以我就想全都是对称的就可以了，他正好把整个的那些球瓜分了，分成了六等份。

立体几何不好咋办？你先把课本上基本概念立体几何搞定。第二步就是你得知道我们立体几何高考怎么考。解答题非常巴骨，问，第一问平行垂直，第二问二面表现问题。二零二五年新高考一卷，稍微有一丢丢创新，他把小题里边的外接球放进去了， 小题怎么考？平行垂直外接球、内切球轨迹问题？洁面问题。所以你能明白，高考考试学习任何一个模块都得研究这个问题，这样的话才可以。我把立体几何题型、方法全部给大家整理好了，吃透，稳稳重，试好成绩。

哈喽，欢迎来到老刘数学啊，点赞关注不迷路。今天我们讲一个立体几何和这个圆锥曲线的结合的这么一个题目，你表面上看他考立体几何，但是他考的还是圆锥曲线，那我们看这个题， 已知锥体。 ab 告诉你了， pc 告诉你了， pa 加 pb， 我 们要把条件看清楚， pa 加 pb， 先把这个条件研究明白吧。 ab 是 个定值， ab 是 个定值， pa 加 pa 等于它，那我们来看它是一个什么？它是以谁以 ab 为焦距， ab 啊， ab 为焦距的一个椭圆，对吧？那我们 p 标上 pa p b 来，我们图就画好了，我们图好以后我们看，因为你 p a 加上 p b， 它等于四等于二， a， 我 就推出 a 就 等于二， 那么这里面 c 等于二分之 a， b， 它等于根号二，我就推出 b 等于 也等于根号二，所以我这个我就可以把它写出来了。这个椭圆 s 方除以谁 四，加上 y 方除以二等于幺，也是 p 点轨迹，我就找到了 p 就 在这个半平面上晃动，对吧？在 ab 这个半平面晃动，它是一部分，它不是全部，这我就看懂了，我们再看这个，哎，再看这个， 它是个什么东西呢？我们要把它表示出来，同样的表示方式，你会啥，你就表示啥，哎，我们一点一点去拆解它， 哎，这个是同样的，这个是 b， c 在 这，这是 c， 这是 c， b， 那么在这里面 a 就 等于一了， c 还是等于根号二，那么我由他俩，我就推出 b 等于谁， b 也等于一，它是个等轴双曲线，我先把它也写出来，有没有用先放在这里，是 s 方减掉谁， y 方等于一。 ok， 那 这两个条件我们就读懂了，那我们再看它求什么？求二面角，以 ab 为交线的什么二面角的余弦值。所以我要把立体几何这个图也先画出来，我们把这个图画出来， ab a b， 它是个定值， c p， 哎，这个图也就画完了，图也就画完了。你想要求二面角的余弦值，我必须先找到二面角，所以我要去做二面角， 要做这个终点，我先标上 o 点，哎，这是 o 点，这也是 o 点，对吧？我要从 p 点先引垂线， h， p h 垂直于 b， 还谁垂直于 ab？ 我 们看已知条件，还有一个 ab， 它垂直于 p c， 我 就推出 ab， 就 垂直于平面。 p h c， 我 就推出 ab 也垂直于 c h 了，我们再把 c h 连上。 哎，到这里我们就把二面角找到了。这个二面角其实就是 cosine 角，谁 p h a， 就 这个角，你想求它，我是不是就把它表达式写出来？你会不会先要写它表达式等于谁？它等于 p h 的 平方加上 c h 的 平方，减掉对边方一除以二倍的 ph， 加上点成 ch， 那 在这里边想求它的范围，哎，想求它的范围，我只需要将这 ph 和 c h 两个变量变成一个单变量，是不是就做完了，对吧？把 ph 和 c h 变成单变量， 也是做垂直。我们看这，哎，这是 h， 从这里引垂直，这也是 h 啊，这也是 h， 怎么能把它弄成单变量呢？因为你这里，我把这个连上，我把 o 连上， o 和 p 都通通连上， 看他们俩公共部分，他们两个的公共部分是谁？是不是 o h， 我通通用 o h 代替。我这个题就做上了，所以我在这个图一，这是图一，这是图二，所以我在图一里面啊，图一里面我用演个参数方程，它变量就会减小，所以我直接设 o h 等于二倍的 cosine c， 它属于哪，它就大于零嘛。 c 它属于零到 pi 比二，对吧？ o h 等于它，那 ph 呢？ ph 等于根号二倍的三级它，那么这两个我就都表示出来了， ph 出来了， o h 出来了，那么现在我还要表示谁 c h c h 等于谁？ c h 等于 o h 的 平方 等于它，对吧？我就推出 c h 等于根号向 四倍的 cosine c 的 方减掉个一，那么这些数据就通通出来了。所以 cosine 角 p h c 啊，这是 p h c 等于谁？ p h 方带进来， p h 方 也是两倍的 sine sine 方加上这个的平方四倍的 cosine sine 方减一，再减一，再除以两倍的 p h 根号二， size it 点成根号相，四倍的 cosine 减一。哎，我们向量整理， 向量整理以后，这就是单变量函数了，我们高一就可以处理它了。 那我们来看，因为这里面既有散又有口塞，我们进行统一变量，这有个二配，它也是个二，那么它就是两倍的 cosine 它方两倍的 cosine 它方除以二倍根号二， size it 点乘根号项四倍的 cosine c 的 减一。继续整理，因为它是 sine 和 cosine， 我 们通通给它进行统一，统一成 sine， 这个二约掉了，它是二分之根号二倍的 一，减掉 sine c 的 方除以，这是 sine it 点乘根号项三减掉四倍的 sin c 的 方。那么到这里我们就讲变量型统一了，此时因为这里面有平方，这有单次的，你不会处理，此时我们就要进行换元了， 哎，进行换元，一减 sin c 的 方如果等于 t 的 话， 那么我就推出 sin c 的 方等于一减 t。 因为你这有个单的不，不是平方啊，所以我就直接求 cosine 角 p， h， c 将它进行平方， 平方以后是二分之一点乘，这是好多呢，是 t 的 平方分子，你分母是是谁？是这里哦，是 t 点成夸一减 t 乘以谁 乘以。我看四 t 减一， 我们就讲它焕然成功了，那么此时它就是 t 的 一个二次函数，这是个乘积的形式，它大于等于二分之一 t 的 平方除以 它俩加和啊，一减 t 加上四， t 减一，除以二括号外的平方等于它是多少？ 九三，哎，它是九分之二，到什么条件下取到等呢？ 一减 t 等于四， t 减一，也就推出 t 等于五分之二十去等，对吧？五分之二十去等，那么我就推出 sin c， 它方就等于五分之三，我就推出 sin c， 它等于五分之 根号十五， cosine c 的 取多少呢？等于五分之根号十，此时 cosine 角 p h， c 取到最小，是不是取到最小它等于三分之二，等它开放根号二 啊。这个题就做完了，他这个计算量，他的核心在后续的一个计算量上，这个下来看一下这个题还是很有意思，大家下来研究一下。 ok， 我 们下次再见。