七年级上册数学几何尺规作图动画

今天我们来学习七年级上册数学第六章第一节几何图形，千万别看这个三角形，老张怕烧坏你的 cpu！ 看起来像是个三角形成的夹角，却又变回了直角，这种视觉反差下，完全搞不懂它是平面或者立体， 也根本分辨不出三角形的具体方向与走向，它就是被誉为最不可能物体的彭罗斯三角。在破解它的奥秘前，我们要先从基础的几何图形说起。图上这些都是我们常见的立体图形，我们一个一个来看，这个就是由我们学过的三角形在空间中沿垂直方向向上延伸，就形成了这个立体 图形，它叫三棱柱，还有四棱柱、五棱柱、六棱柱。关于棱柱的特点，其实大家都能看出来，首先上下等宽，像这样的就不是棱柱。最后底面 面是几边形就是几棱柱，里面是三角形就是三棱柱，里面是四边形就是四棱柱。我们之前就接触过的长方形和正方就属于四棱柱。还有一种和棱柱很像的立体图形，最熟知的就是埃及的金字塔，这种立体图形叫做棱锥，我们可以看到棱锥的顶端是尖尖的，它和棱柱既有相同点也有不同 点。首先棱锥只有一个，底面，也是多边形，棱锥有一个尖，叫做棱锥的顶点和棱柱一样，底面是几边形，就叫做几棱锥。既然棱柱和棱锥的底面都是多边形，那么如果把它们的底面变成一个圆呢？我们还是会得到两种立体图形，一个叫圆柱，另一个叫圆锥。关于圆柱，我们既可以看作是圆向上延伸得到的， 也可以看作是一个长方形，绕一边旋转三百六十度得到的。至于圆锥怎么来的，大家试试脑补一下， 答案是 c， 来转一下，你答对了吗？好，关于柱体和椎体的特点，老张都给大家整理好了截图保存。总结一下上面几何图形，不同面的形状，靠转动就能明确分辨出。回到视频开始的问题，这种无法在三维空间实现的彭罗斯三角，换个角度看是什么样呢？你会发现这只是视觉误差，还没完。关于立体图， 弧形，还有一种叫做球，大家平时玩的乒乓球、足球、篮球都属于球，但是要注意，橄榄球不是我们数学中定义的球。我们说球是以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体也叫做球体，像圆一样，球也有一个球心，球面上每一点到球心的距离都是相等的。虽然上面提到的都是立体 图形。比如从正面看长方体，我们会看到一个长方形像这样从一个方向看过去形成的图像就是矢图。 立体图形的一个仕图就代表着它在一个方向上的形状，比如长方体，从正面看是一个长方形，这就是一个仕图。但从左边看是一个正方形，也是它的仕图。这说明我们要从不同的方向观察，才能更加全面的反映立体图形的形状。在实际应用中，我们一般画一个 图形，从三个方向看过去的样子，分别是从正面、左面和上面来看，这就是它的三仕图，也叫主仕图、左仕图和俯视图。通过三仕图 图，我们就能得到一个立体图形的形状，比如长方体，它的主视图和俯视图都是长方形，而左视图则是个正方形。再比如这个三棱柱，从正面看它是一个长方形，这条棱我们也能看见，所以也要加上中间留下这条竖线。从左面看，它是一个长方形，从上面看，它是个三角形，所以它的主视图、左视图和俯视图 就分别是这样。注意，题目中一般会把主式图画在左上角，它的右侧是左式图，下方是俯视图，基本位置都是固定的。还有圆柱的三式图，这是圆锥的三式图，注意，俯视图里千万别露了圆中间的点，这是四棱锥的三式图，同样要注意，它的俯视图最简单的就是球体的三式图 了，都是一个人。虽然现在看到的三式图好像很简单，但是考试我们遇到的往往是这样的。老张这里温馨提示，一定要注意遮挡关系。

朋友们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们数学千人上册第六张几何图形，初步六点一点一，立体图形与我们的平面图形。我们来看一下我们这节课的一个学习目标，那主要是呢，能够带领大家呢，了解我们的立体图形和我们平面图形的一个区别， 我们要会判断一个图形到底是立体图形还是我们的平面图形，能够准确的识别到我们简单的几何体。我们来看一下， 先来观察一下我们生活中的一些一些建筑呀，还有我们的一些标志，是不是都里面都会有我们的图形，我们之前大家应该在小的小学已经学过了，是吧？我们有圆形，圆柱，还有我们的各种各样的一个图形， 那再来看一下我们这几个，这几个呢就是我们的魔方，还有我们的一个化学元素的一个分子，是分分子呃，或者是我们的一个化学式，那我们来看一下这种图形呢，是什么呀？是不是 立体的呀？我们上面看到的是平面的好，所以说无论从我们的一些城市建筑，还有我们街头的一个交通标志，还有比如说立交桥呀，剪纸艺术，从我们的成像雕塑，那我们自然界中呢，有我们各种各样的图形，所以说我们图形呢是丰富多彩的， 那这些图形除了我们的颜色质量和材质这些性质之外呢？是不是还有什么形状大小，还有我们的位置关系。那我们来说 几何图形初步中的几何到底是什么呢？我们就是来研究我们物体的形状的大小和我们的位置关系的， 所以说大家一定要清楚啊，我们几何，几何到底学的是什么东西呢？一定是我们物体的形状大小和我们的位置关系，这三个是我们几何所研究的一个重点内容， 小学呢大家已经学过了一些，比如说点、线段、三角形，还有我们四边形、圆、长方体、圆柱、圆锥，求都是我们的几何图形。我们知道啊，所以说我们几何图形是我们数学研究的主要对象之一，我们代数占一部分，我们几何也占一部分。 好，我们来观察一下我们的几何啊，我们如果说直接看这个整体，它是个什么呀？是不是一个长方体，如果看一个侧面呢，我们知道它是一个正方形，那看上面呢，也是一个长方形，如果说看棱的话，它是一条线，看点的话呢，看我们的顶点的话，知道就是 点，当我们把这些图形给它画出来之后，是不是我们知道啊？那就是长方体，正方形以及我们的一条线段， 我们竖的的一条线段，还有我们的一个点，所以说从整体上来看，他的图形是长方体，看不同的侧面呢，能够得到我们的长正方形或者是长方形，看棱会得到线段，最后看顶点呢，我们能得到我们的点， 再来看一下我们上面的几个，我们能得到什么呢？是不是我们来关从上面、左边、右边，或者是看整体，那是不是我们能得到一个圆柱或者是圆锥，我们能圆柱，对吧？然后呢我们也能得到我们的球，能从球呢也能得到圆，所以说我们长方体呀，圆柱呀，球， 我们的长方形，正方形，圆线段点都是我们的长方形，正方形点都是我们的几何图形， 所以说啊，我们数学不单单是一门，呃，什么呢？呃，我们所谓的学科，它是从我们实际生活生产中所延伸出来的科目，所以说大家在学数学的时候尽量和我们的生活生产来联系起来，相信就学的比较 不枯燥了啊，那我们来看一下，说一下我们下面的这些图形共有什么样的一个特点呢？是不是我所列举的这五个它都是我们的立体图形。我们知道啊，他们所有的图形的各个面都不在同一平面内， 对吧？你看啊，是不是都不在平行平面内啊？我们图形的各个部分不在同一平面内，所以说他就是立体图形。那反过来说立体图形是什么呀？就是说我们的图形中的各个部分不在同一平面内呢？那像这种的图形呢，就叫做我们的立体图形。 还能举出其他的立体图形吗？是不是很多呀？我们的，呃，除了我们上面所展示的长方形、长方体、正方体，还有我们的球，圆柱、圆锥，还有我们的棱柱和棱锥也是我们常见的立体图形，比如说我们图一中的一些帐篷，帐篷呀，螺母呀，这些都是棱柱对吧？ 好，以及我们后面的什么，嗯，金字塔给我们什么棱锥的形象，那我们来认识一下棱柱和棱锥，大家应该能很好的区分吧，我们的这个叫什么呀？六棱柱，他呢叫我们的四棱锥以及我们三棱柱， 如果让大家连线，是不是我们能够一一对应呀，所以说这些图形呢，都是从我们生生活中抽象出来的，也就画出来的，是吧？你还能再列举其他的一些棱柱和棱锥吗？我相信大家呢能列举很多，那我就不带大家来一一来列举了啊。 好，我们来观察一下小红的房间能看到哪些的立体图形呢？比如说我们的圆锥， 正方体，还有我们的长方形，正方形，是吧？还有我们的球体圆能列局好多好多，是吧？ 好，那我们来看第一个，能不能把这些立体图形和我们对应的图形用我们的实线连接起来，这太简单了吧，小学生都会啊，那我们就不带大家一一的连了，我相信大家应该都会啊。 好，再来看一下，棱柱和棱锥有什么区别呢？我们敢来看，是不是凡是能有什么棱锥或者是圆锥，他们除了一面，那其他的面都会相交于某一个点，所以这样的图形呢，我们就把它叫做锥体。 那圆柱和圆锥呢？是不是刚刚我说的除了一个面之后，其他的面都相交于某一个点，我们就把它叫做锥体，对吧？我们圆柱呢就不是了。好，上下底面一样，棱柱也是啊，那左右底面也是左右，左右的话，呃，不是，我们侧面呢，是一个长方形。 好，我们根据我们一有的经验呢，我们能否把我们的立体图形呢进行分类，想想大家如何来分呢？比如说 我们可以把正方体归为长方体放到一块，棱柱放到一块，圆柱放到一块，圆锥放到一块，棱锥放到一块，所以说呢，大家能分成各种各样的类，那看老师来怎么分啊？我们来看，我们可以把它分成柱体、锥体和我们的球体。 那柱体能分成什么呢？能分成圆柱与棱柱。那求呃，棱柱呢，又分为我们的三棱柱、四棱柱，五棱柱，对吧？同样的，我们的锥体能分为圆柱和圆圆锥和棱锥，对吧？这是一种分类，大家也可以 分成其他的类，都是可以的。好，我们来看一下棱锥呢，又分为三棱锥、四棱锥和我们的五棱锥。好，上面呢都是我们的立体图形。那我们来看平面图形是什么呀？那是不是说我们平面图形和我们立体图形刚好相反呀？大家还记不记得我们刚刚讲的平面立体图形是什么？ 我们的立体图形呢，是我们的所有的各个面呢，不在同一个平面。那我们的立体图形呢？我们的所有的面呢，都在处于同一平面，比如说我们下面的正方形，圆，还有我们的长方形，对吧？所以说我们这些 由简单的图案来组成的呢，他们都是我们的平面图形。我们来看一下这些图形有什么样的共同特点呢？是不是说 这些图形的各各个部分都在同一平面内，所以说我们平面图形和立体图形大家会区分了吗？我向大家说，哎，你不告诉我概念呢，我也能区分，但是呢，我们数学是比较严谨的，那我们来看一下他们的定义啊。再来说一遍平面图形呢，就是说 我的几何图形的各个部分都在同一平面内，我们把它称为平面图形。那我们立体图形呢，就是说我们的几何图形的各个部分不在同一平面内呢，我们把它称为立体图形，根据这个总结呢，所以说我们就能区分什么是立体图形，什么是平面图形。但是 我们立体图形和我们的平面图形呢，都不是严格区分的，对吧？比如说我们立体图形中有很多图形都是我们的平面图形，所以说他们之间也是相互有联系的。 好，第一个，下列几何图形中呢？含有曲面的是，那大家想一下，其中这个曲面我不用讲，大家应该都知道，比如说哪个有曲面啊？我问你，一有吗？没有吧？二有，三没有，四有，那就是选二四，是不是这是曲面，大家去理解就可以了。 再来看棱柱，哪个是棱柱呢？是不是很明显是 b 啊？第一个是圆柱对吧？第三个是圆，呃，棱锥，三棱锥是吧？我们的这个什么叫做棱台？好，四棱台。 再来看六棱柱，有几条棱呢？这前大家都是小学学过的，应该有十二个。再来看他说该作品中呢，没有几何体的，没有哪种几何体呢？我们看有棱柱吗？有。这个有圆锥吗？有。有球吗？有。那有圆柱吗？是不是没有圆柱呀？ 下面图形中呢？不属于平面图形的是。那这个比较简单了吧，我们来看，属于平面图形的啊，三角形，长方形，正方体，不是吧？圆形圆是吧？我们的四，呃，四棱锥不是，圆柱不是。所以说我们正确答案选一二四 来，直径为六十厘米的圆在生活中可能是什么？哎，这个太简单了，是吧？可能是我们的井盖的面，对吧。好， 我们简单的把我们的图形来分一下啊，是不是我们就能分成什么呀？平面图形和我们的立体图形。那平面图形包括 柱体，球体和锥体。那我们平面图形呢？包括我们的多边形，也就是四边形，五边形，六边形，还有呢圆压线段和角。我们的柱体能分为圆柱和棱柱，我们的锥体能分为圆锥和棱锥。最后呢 能助能分为三能助，四能助能追呢？我们能分为四能追，五能追。大家只要今天呢能够把我们的立体图形和我们的平面图形能够区分的了。然后呢这个图呢？每一种球体，每一种， 每一种呢？立体图形和我们的平面图形能够认识。那我们这节课的任务就学习目标就能够学好。呃，就能够学习目标都能够达到了。好，那我们这节课呢就上到这里，我们下节课再见。

同学们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们数学千页上册第六张几何图形，初步六点二点一直线、射线和线段。我们来看一下我们这节课的一个学习目标，那我们第一个学习目标呢，就是要掌握我们两点，确定一条直线，这是一个基本事实。 第二个呢，我们就要认识我们的直线、射线和线段，会用我们的正确的几何符号语言来表示我们的直线、射线和线段。第三个呢，就是看看他们三个之间有什么样的一个区别。好，我们带着我们的目标来看一下， 我们来看一下，如图一所示呢，就是我们下面这个经过一个点 o， 你 能画多少条直线呢？ 第二个，经过 ab， 你 能画多少条直线呢？我相信大家经过点 o 可以 画多少条呢？是不是能画无数条呀？但是你经过 ab 的 时候是不是只能画唯一的一条？相信大家都是这么画的，对吧？ 这是第一个问题。再来看一下经过两点画直线有什么样的规律呢？是不是说我两点可以什么呀？你画的都是这是吧？那就是两点能够确定唯一的一条直线，对吧？ 再来看一下，如图呢，如果说我要在墙上固定一根木条，需要几个钉子？至少需要几个钉子，如果我只固定一个，是不是这个木条呢？是不是随着我的这个钉子会转呀？好，那是不是我再来一个钉子之后呢，他就会固定了，对不对？这是我们钉木条在墙上， 所以说我们固定一根木条至少需要两个钉子。那通过上述操作，如果把木条抽象看成一条直线，我们把钉子抽象为点，是不是说也就是啊，和我们刚刚那个是一样的，两个点能确定一条直线，对不对？ 再来看一下我们工人，建筑工人呢，在砌墙的时候，通常会在我们两个墙角的位置分别固定一根木杆，然后拉一条直线作为参照， 这是不是也是我们刚刚所说的两个点能确定一条直线？再来看我们第三种，在我们直数的时候呢，我们通常会固定两个树坑，然后呢就能使同一行树坑在一条直线上了，是不是我们就可以啊，把我们的树呢栽直，对吧？ 好，我们日常生活中呢，有很多可以看成我们的直线，射线的，直线，射线和线段的，比如说我举个例子，我们的激光可以看到哪个可以看成射线？我们一段短的一个金属导管，金属管是不是可以看成线线段呀？ 那再比如我们的铁轨是不是能看近似的看成直线，对吧？因为我们看不到头。同样的是不是能近似的看成一条我们下面的铁路呢？可以近似的看成一条直线，但是我们一节一节的火车是不是可以看成线段呀？ 好，再来看一下我们这个船划龙舟，对吧？这个也可以看作啊，什么呀看成一条线段， 那我们来看一下，来回答下我们第一个问题，是不是我们刚刚已经说了，如果说过过一点呢，是能做无数条的，过两点呢，只能唯一的确定一条直线，所以说我们现在能得到一个结论，什么样的结论呢？就是经过两点只有一条直线，这条直线不论是谁画都是一样的， 那如何来减数呢？我们就说两点确定一条直线，这个大家能够理解，然后我说一遍，大家也能够记住，对吧？两点确定一条直线，两点可以唯一的确定一条直线，对不对？ 好，那我们来看一下，我们如何来表示我们直线 ab 呢？那我们不能一直用嘴上说对吧？我们数学呢，肯定要严格的去表示，要表示出来大家都认识，那如何来说呢？我们可以写直线 l， 直线 ab， 或者是直线 b a， 那我们来看一下我这三个表示表示方法，大家觉得有什么样的一个特点呢？是不是我们当我们用小写字母来写的时候，只用一个就可以了，当我们用大写的字母来表示，必须是两个，那这是我们的书写规范。 好，我们来总结下，所以说我们表示直线的办法呢？如果说用一个小写字母来表示的话呢？那就是一个字母就是用小写，两个字母呢，必须要用大写，但是我们在表示直线的时候，可以交换我们的顺序， 那我们继续来判断一下下列语句中是否正确。我们先来看一下第一个，一条直线可以表示为直线 a， 错了，对吧？我们要用小写的才能用单个的 一条直线可以表示为直线 ab， 也错了，为什么是要大写的两个同样的一条直线可以说直线 ab， 又可以说直线 b a， 也可以说直线 m， 那 第三个是对的，这个三个相信大家应该没有问题，对吧？也可以进行改正。 好再来看一下，观察下列图，说一说我们点和直线有什么样的位置关系呢？那是不是简单的来说，我的点 b 不 在你直线上呀？ 那如果说我画一个点 d， 那 就说我的点 d 是 不是在直线上呀？所以说我点和直线只有两个关系，要么是在直线外，要么在直线上，这个大家应该能够明白。 好，所以说我们可以说什么呢？直线 l 经过点 a， 或者是说点 b 不 在直线 l 上，两个都是可以的， 那我们继续如图，当我们把直线 a 和 b 进行相交的时候，我们知道啊，如何来说呢？是不是直线 a 和直线 b 交于 o 点， 当两条不同的直线有一个公共焦点的时候呢？我们称这两条直线相交，那反过来，如果他们没有公共焦点呢？那就叫做什么呀？平行了，对吧？所以说我们公共焦点呢，叫做这两个直线的一个焦点，这这个相交和焦点的概念应该比较好理解。 再来看，按我们的语句呢，就画出我们两个，第一个直线 e f 经过 c， 那 是不是我画一个直线，那 e f 可以 随便来写，那 c 呢？是不是这样就可以了？或者是这样都可以，对吧？ 这是第一个，第二个呢，指点 a 在 直线 m 之外，那我可以画一个 m， 那 标一个点 a， 是 不是我点就在我们 m 之外呀？那这是不是比较简单呀？我们来看一下。 好，都没有问题，那我们继续往后看，建筑工人呢？在砌墙的时候呢，我们可以拉我们的那个什么呀？参照线是不是左右两边可以拉一条？那用我们刚刚学的知识是不是两点确定一条直线呀？ 好，应该没有什么问题。再来看木板工人师傅呢？用我们的漠河去漠，呃，漠河弹漠线是不是也是两点能够确定一条直线，我弹的这个线段就是我弹的这个线，是不是就是唯一的也是直线呀？对吧？ 再来看一下我们的类比一下我们的直线表示办法。我们来想一下我们如何去表示射线呢？同样的，你可以用我们大写字母来表示，也可以用我们小写字母来表示，但是 当我们换了我们的大写字母的位置的时候，那你说直线 o a 和直线 a o 有 区别吗？ 是不是有区别呀？为什么？因为我们说了，呃，不涉县 o a 和涉县 a o 有 区别吗？是有区别的，为什么我们说涉县的时候一定先说端点，再说另一个点， 所以说我们涉县 o a 和涉县 a o 不是 一个值，一个涉县，那同样的，我们说涉县 d 是 可以的，所以说涉县要尤其注意 好。再来看类似于我们直线的表示办法，我们来看线段如何表示呢？是不是是一样的？线段 a b 和线段 b a 是 一样的，线段 a 也是一样的，是不是和我们直线表示的办法是一样的？ 来，我们分别来画一条直线、射线和线段，看一看他们之间存在一个什么样的联系和区别。我们先来看第一个他们的联系， 首先我们画一条线段 a b， 当我们延长一个方向的时候，无限延伸是不是就能形成射线？当我们相把我们线段两边无限延伸，就能形成我们的直线。 所以说我们能总结一句话，什么话呢？就是说我们的线段和射线是我们直线的一部分，对吧？ 是不是我们直线？是啊，包含最多的，这是我们三者的一个联系。再来看他们三者的区别。第一个图像大家应该会画，对吧？尤其是要注意画线段的时候，两端来表示 a b， 射线的时候，一端表示 a， 那中间的部分表示 b， 那 我们 a 直线呢？就在中间来表示，那表示就不用说了，以及我们的端点数和我们的度量。好，那我们来看一下我们的直线和射线，因为它都是无限延伸的，所以说都是不可 测量的，只有我们的线段才能测量，这个要注意他们的区别和联系。我们已经讲完了。 再来看当我们连接 ab 的 时候，就是要画出以 ab 为端点的线段，所以说当我们后面题目中出现连接 ab 或者是连接我们的 mp， 那 大家都知道它所说的都是我们的线段。 再来看延长 a b， 那 就是指从端点 a 到 b 的 方向延长，那是不是是这样延长呀？那你是不能这样延长的，对吧？我们知道啊，他说从端点延长 a b， 或者是那如果说这样延长呢？就是延长 b a 了，大家要明白这种说法。 再来看我们第三个延长线段 b， a 是 指我们线段从 b 到 a， 对 吧？也可以说反向延长我们的 ab 都是可以的，所以说我们要注意啊，在延长的时候看他的话术 好，按照我们下列的语句来画出我们三个图形，画出我们的图形，第一个经过我们的点 o 的 三条线段 abc， 这个好画吧，我们可以什么呀？画一个点，我们把它标为点 o， 然后呢画三条线段，大家要注意啊，是画三条线段， 所以说你这每一个线段啊，都要标端点，把它标上我们的字母标 l 一、 l 二和 l 三就可以了。再来看线段 ab 与 cd 交于点 b， 这也好画，对吧？把它们来来，不对，它是应该是这么画的啊。 来，他是 a， 他 是交于点 b， 然后 cd 是 不是就可以了？好，我们来看一下啊，所以说应该要绘画， 那我们的课就讲完了，我们来看一下我们的一个作业。第一个，下列语句中规范的是哪一个？大家来看直线 a 和我们的直线 b 交于点 m。 第二个，反向延长 ab 至反向延长直线，直线已经无限延长了，所以说他不能是延伸的啊。第三个，延长射线 o a， 那 你说 o a 能延，射线能延长吗？也是不行的啊，所以说我们只有我们的 d， 答案是对的。 好，来看我们第二道题，下列几何图像，与我们相应语言不相符的是哪一个？第一个，如图一所示，直线 a 和直线 b 相交于点 a， 没问题。第二个，如图二所示，延长线段 b a 到点 c。 第三个，射线 bc 不 经过我们的 a b 点，对的吧？第四个，射线 cd 和线段，我们的 ab 有 交点， 那你说不相符的是哪一个呢？是 b， 为什么？你看一下啊，他说延长我们的 b a 到点 c。 好， 那我们知道啊， 他所表示的这个是什么呀？是不是表示的是一个射线呀？如果说我按照他所说的延长，那是不是延长到 c 点就停止了，但是他出去了，所以说这个就不是了，能听懂对吧？ 好，那我们继续往后看，我们再来看一下第三道题，下列说法不正确的是，我们来看一下我们直接看不正确的是点 c。 为什么？你看一下 射线 ac 和我们的 bc 是 同一条吗？ ac 是 这个对吧？那 bc 呢？ bc 呢？是不是这一条呀？所以说它不是同一条，这个要明白。 再来看，当两条直线与我们另一条直线在我们同一个平面的时候，他们的交点个数， 那就三条直线吗？是不是他们的焦点个数可能有几啊？是不是像这种的话就是一条？那如果是这种的话就是两条，那像是这种的话就是三个，所以说他们的焦点个数有几个？有三个，对吧？ 好，再来看我们第四个，第五个如图所示，点 m、 p 分 别是从我们是是直线上 l 上从左至右的三个点。下列说法错误的是 c， 为什么？我们来看一下 点 n， 在 线段 mp 上，我们线段 mp 就是 这一节，那你点 a 都在外面了，肯定不对吧。所以说我们错误的是 c， 其他都是正确的。 那我们来看一下我们这堂课学了什么呢？是不是我们就主要学了直线、射线和线段呀？我们学了一个基本的事实，就是什么呀？两点能够确定一条直线以及我们的表示办法，如果说用大写的 就两个，小写的就一个，对吧？所以说最主要的是要区分我们射线 o a 和我们的射线 a o， 它是不同的两条射线。 要了解我们直线线段和我们的射线之间的相互的联系与区别，要读懂我们的一个几何语言所说的呃，事实，对吧？好，那我们这节课呢，就上到这里，我们下节课再见。

先画一个圆，一定记得点上圆心哦！ 用没有刻度的直尺任意给圆画一条直径， 分别以直径的两个端点为圆心，以大于直径一半的长度为半径画弧， 此时两弧会分别在圆的上下方产生两个交点。 用无刻度直尺连接这两个交点， 所得到的直线就是该直径的垂直平分线。连接圆上的四个点，正方形就画好了， 你学会了吗？

今天我们来学习尺规作图画角平分线。第一步，从顶点出发，任意画两条射线。第二步，以顶点为圆心，一定长度为半径画弧， 两弧与两条射线分别有两个交点。 第三步，分别以两个交点为圆心，一定长度为半径画弧，两弧在角内交与一点。 第四步，连接顶点与这个交点 角平分线就画好了。

朋友们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们数学七页上册第六张几何图形，初步六点一点一立体图形的三式图和我们的展开图，我们来看一下我们这节课的一个学习目标， 那我们这节课的一个主要学习目标呢，就是要了解我们的立体图形与我们平面图形之间的联系，能够画出简单的立体图形的不同的 方向看到的平面图，也就是我们的三式图。然后呢能够把我们的例图的图形进行展开，以及了解他们的展开图，通过呢展开与折叠，了解我们的棱柱、棱锥，圆柱圆锥的他们的展开图呀，还有我们的一些正方体的一个展开图， 那这是我们的一个学习目标。我们来看一下一首诗题惜林壁苏轼，相信大家呢已经会背了，我们中有一 句话，也就是说我们这句话横看成零侧成风，那我们来看一下这句话蕴涵了一个什么样的一个数学道理呢？是不是你在不同的方向看到的我们的山是不一样的，横着看是零啊，侧着看的是风， 那我们来看一下，如果说我们来看我们立体图形，从不同的方面看，是不是也有不同的平面图形呀？同 同样的，我们来看一下他们两个争执，一个说是九九九，一个说是六六六，那到底是九和六呢？其实他不是九，也不是六，那要看你在哪个方向看，是不是你从不同的方方向看呢？所得到的答案是不一样的，所以说呢，我们立体图形也是啊，我们来看一下， 当我们对于我们的立体图形呢，我们如何来把它转化成我们的平面图形来处理呢？比如说下面左图呢，是一个弓箭的立体图，我们来看一下， 如果说我们从我们正面来看，是不是这样的一个图形，那想一下，如果说从左边来看，是不是这样，好，中间的这一横杠呢？大家知道应该是这一杠。 再来看，那如果说从上面来看，大家应该也会看，是吧？应该是我们这样这个横杠呢是他，所以说我们从不同的面呢，可以看到不同的形状，并且呢是不是把我们的立体图形转化成平面图了，大家应该能够体会到啊？ 再来看一下我们的长方体，比较常见，我们来看一下从我们的正面，左面和上面，是不是我们从正面、左面和上面看到的图形都不一样？ 再来看一下我们的常见的一个圆柱，圆锥和球，从正面来看，它是一个长方形，从左面来看是不是一模一样，好，那从上面来看呢，是我们的圆，同样的我们圆锥，对吧？我们圆锥，好，它是 三角形，三角形以及我们的一个圆，中间加一个点，这个点呢就是我们的这个顶点，对吧？好，那我们的球呢，是不是三个都是一样的圆呀？ 再来看一下，那我们来观察一下我们的三棱柱和我们的四棱锥，同样的，我们能得到什么样的一个图形呢？是不是你也能够会画，以及我们的从正面看应该是三角形，从左边看中间有一条棱，对吧？ 再来看一下我们的四棱锥，好，从正面和侧面是一样的，从上面看大家要会画啊，中间的要交叉。 好，下面呢？右面有三幅图，分别从哪个方向来看到的？我们？棱锥啊？好，第一个应该是从上面，第二个呢，从正面，第三个呢？从左面 再来看一下。当我们通过呢组合体，就是有多个小正方形来组合成一个立体图形，那我们此时来画我们的图，从正面、左面和上面，所以说我们三式图就是从正面、左面和上面。哎，有的同学说，那我从右面行吗？ 不行，因为我们规定了啊，正面、左面和上面所观察的这三个不同的视角呢，就是我们的三式图，所以说这是我们数学中的规定，那我们依照规定来看就行了。首先我们来看，从正面来看，是不是？ 呃，从正面来看，竖着是两个，然后横着呢，是我们的四个，对吧？好，从左面来看，竖着是两个，然后这里还有两个，以及从上面来看，这样，这样，这样，对吧？ 好，再来看，如图呢，是有若干个小正方形搭成的，我们的几何体也是啊，从我们三式图，也就是从正面、左面和上面来看，大家要会画，来，我们一起来画一下。首先我们从正面来看，是不是一二三四有四个？是不是这样？ 以及我们从左面来看，一二三，竖着两个，横着两个，从上面来看，以及 是我们的四个，对吧？横着三个，竖着两个。好，再来看一下。所以说呢，我们从不同的方向呢，能够得到不同的形状，同样的，我们再来看一下。这个， 从正面来看，以及从左面来看，以及从上面来看，相信大家都能够画出来，对吧？好，再来看，从不同的图形来观察，从不同的方向来观察一下我们下面这两个，第一个正面是不是竖着 左边呢？是竖着两个，然后上面呢是横着两个，那我们这个呢？这个应该是一个类似于那个山字上，左边呢就是一个田字，以及上面的是一个，这样，对吧？ 好，那大家快速的来画一下，上面应该是比较好画的吧？正面一二三，竖着画三个，然后这边画一个，上面呢一个两个三，然后再横着画一个，是不是就是这样来画？ 讲台上呢放了一本书，数学书，书面上呢放了一本粉笔盒，若看到的组合图形，从上面看到的是这样，那你想一下从左边看到的是哪一个呀？ 是不是从左边，也就是从这边观察，那从这边观察，你看他在哪呢？是不是选 a 呀？ b 呢是靠近了这边， c 呢是靠近了这边，同样的 d 都是这里了，所以说我们正确答案应该选 a。 再来看，画出我们平面图形的三式图，也就是正面、上面和下面，相信大家应该都会画，注意啊，我们讲强调一个点，不要把这个点漏掉了，因为你中间看到的是有一个点的。好， 再来说一说，我们的下面的三个图是分别从我们平面图，三个图是从我们立体从哪几个方面来看的呢？第一个是从哪个呀？是不是从正面好？第二个呢，是不是从我们的上面以及第三个从我们的左面来看到的，对吧？ 再来看，分别从正面上面和下面有一个若干的正方形来组成，我们来看一下，那我们来搭一下什么呀？搭一下正面的 横着三个，中间有一个，好，我们再来看左边呢，是不是要再凸出来一个，以及我们的上面是不是就是这样了？所以说我们是不是能够搭出来呀？ 同样的，我们来看一下，当我们已经明白了，我们立体图形从三个方面，三个面来看，是不是有三种形状？那我们来想一下，如何我们沿着它的棱把我们的图像给它剪开之后，它是一个呢？我们来看一下我们的正方题啊，当我们沿着它的十二条棱， 也不是说十二条，就是说我们沿着一些棱把它展开展开之后呢？是不是就是这样的一种形状呀？ 是不是我你所减的不同的棱所构成的形状也是不一样的？所以说我们来看一下，是不是我们正方体的展开图一共有多少种呢？一共有十一种， 那我们来看，有的同学在小学其实已经背过了，已经背过了我们的一些口诀，那我们今天再来带大家背一下啊，就当复习了。好，我们来看一下， 那我们知道啊，如果说是一四一的话，你会发现呢？我们这里的一啊，上下一都能移动，是吧？无论是你是怎么移动都是可以的，但是像这种的话，如果说你上上面有两个， 然后横着是四个，肯定是不行的，所以说我们有六个啊，也就是这样的，同样的，我们来看一下一三二，这样，这样也行，对吧？这样，那这样肯定是不行了，他们放在一块了，所以说这种也是不一样的。 好，同样的，我们再来看一下，我们的二二二，以及我们的三三，是不是就是这样排列的？好，所以说我们正方体相对两个面呢，有什么样的一个特点呢？就是说我们对面和对面有什么样的特点呢？我们来总结一下啊， 我们相对的面呢，肯定是不相邻的，比如说你看他们说用蓝色所标或者是红色所标以及黄色所标， 他们都是对面都是不相邻的，你观察并且呢左右相隔一列是不？左右都会隔一列，同样的我们上下要隔一行， 那所以说我们在找我们对面的时候要注意啊，上下隔一行，左右隔一列，拿我们这个黄的来说吧，你会发现左右是不是隔，呃，上下是不是隔一行呀？那左右呃这个就不隔了，对吧？好， 所以说我们要总结一下啊，来再来看一下，那我们的口诀呢？是这样的，我相信大家都背过啊，如果说没背过的话，我们再背一个，再背一遍啊，一四一六种是吧？二三一三种呢？二二与三三各一种，大家要会背以及会认识， 那我们背过有什么样的用处呢？哦，在最后强调一点，我们的凹字和填字是不行的，也就是我们如果说四个放在一起，或者是呢，我们四个呃，把它放成一个凹字也是不行的，大家要注意。 那这样的话有什么样的一个考试题型呢？我们来看一下下面不是我们正方体的展开图示，是不是很明显是 c， 这个不用说了是吧？ 好，再来看一下，我们来看如何让你去画出我们正方体的一个平面展开图呢？是不是你能画好多个呀？比如说第一个应该是对的，第二个呢？对的吧，第三个是不对的，是吧？没有这种的好。第四个二二二对的， 我们一三二也是对的，同样的他是一四也是对的。好，再来看一下树在下，树就在后，那胜和力在哪呢？那你想一下，是不是我们的胜和胜在上，力就在前呀？ 一个多面体的展开图呢？在同一条直线上的相邻的三个线框中，首尾两个连线是我们的立体图形的相对的两个面，大家要记住啊。再来看一下我们的长方体和我们的圆柱的一个侧面展开图，我们能够是否能够想象他们都是哪些图形的一个展开图呢？ 比如说我们来看一下他，如果说从正面来看，能得到什么呢？是不是得到 a 呀？同样的我们来看，从上面来看，能够得到三角形的是哪一个 a？ 好， 这节课呢，我们主要学习了什么呢？是不是学习了我们立体图形的一个展开图和我们的三十图呀？常见的立体图形，比如说我们的长方形三棱柱，三棱锥以及我们的三棱 椎和三棱柱，正方体以及圆柱，它们的展开图呢？大家要能够区分能够画出来。那我们这节课呢，就讲到这里，我们下节课再见。

这节课我们学线段的比较，在开始之前，我们先回想一个生活中的例子，小明和小华谁更高呢？ 我先量一下小明的高度一米五六，我再量一下小华的高度一米五，一点五六大于一点五，所以小明更高。这种通过测量得到具体数据再进行比较的方法是度量法。 可是如果我没有尺子怎么办？让他俩站在一块看一看谁的头顶更高不就可以了吗？这种把两个人直接放在一起进行比较，直接用眼睛看出高矮的方法叫做叠合法。 你能比较下列线段的大小吗？这里用度量法量出 ab 的 长度，再量出 cd 的 长度就可以了。 那有的同学说了啊，老师，我的直尺刻度被磨没了，还有一个圆规怎么办呢？直尺没有刻度，那度量法就不能用了，那能不能用叠合法呢？可是画在黑板上的线段是无法移动的，只有圆规和无刻度的直尺的情况下，到底怎么比较？ 我们想一想圆规是不是可以打开任意角度？那我们就将圆规的两个角分别对准点 a 和点 b。 在 保持圆规的张开度不变的情况下，将圆规的一个角尖对准点 c， 在 c d 所在的直线上画一小段弧， 并交于一点 e， 这样我们就得到了一条新的线段 c e， 而且 c e 等于 ab。 现在这个 e 点在 cd 中间，所以 c e 小 于 cd， 所以 ab 小 于 cd。 那如果 c d 线段比较短，这个弧跟 c d 没有交点怎么办呢？那我们就需要用直尺画出现段 c d 的 延长线，延长线与弧的交点为一点，此时 c e 大 于 c d， 而 c e 又等于 ab， 所以 ab 大 于 cd。 我们再用这个无刻度的直尺和圆规做一下这个题。已知线段 a 做一条线段 a、 b， 使 a、 b 等于 a。 第一步，我们先用直尺画一条射线 af。 第二步，用圆规在射线 af 上截取 a、 b 等于 a。 这种使用无刻度的直尺和圆规作图的方法就叫尺规作图。 如图，从 a、 d 到 b、 d 有 四条道路，除它们外，能否再修一条从 a 到 b 的 最短道路？如果我这样修一条路呢？它是不是比其他的路要短？ 所以经过比较，我们就可以得到一个关于线段的基本事实，那就是两点的所有连线中线段最短。简单的说就是两点之间线段最短。连接两点间的线段的长度叫做这两点的距离。 所以从 a 到 b 的 距离就是线段 a、 b 的 长度。我们来做一个题， 如图，这是 ab 两地之间的公路。在公路工程改造计划时，为了使 ab 两地形成最短，应如何设计线路？请在图中画出，并说明理由。怎么画？是不是应该这么画？ 为什么这么画呢？因为两点之间线段最短。我们再来做一个题，如图所示， ab 等于 cd， 则 a、 c 与 b、 d 的 大小关系是， a、 b 等于 c、 d 是 这一段等于这一段。 a、 c 是 不是比 a、 b 多了这一小段的距离？ b、 d 是 不是比 c、 d 也多了这一小段的距离？ 所以 a、 c 和 b、 d 应该是相等的，所以这个题选 c。 好 了，这节课就到这里了，我们下节课再见。

上一节我们一起学习了第六章节第二小节直线、射线和线段的相关内容，那本节的话，我们一起来看一下第三小节最后一节角的相关知识。学习角的相关知识的时候呢，我们首先明确一下本节课学习的目标，一共是有三个。 第一点，首先我们需要知道角和角平分线的概念，了解与角和补角它的相关内容，掌握角的表示方法，能够用正确的符号来描述角，这里面主要是考察大家的抽象能力。 第二点，学会比较角的大小，认识角的度量，单位角度质，并且能够进行简单的换算，会计算角的和差，这里边主要考察大家的运算能力。第三点，掌握与角和补角的性质， 并能应用这些性质解决相关问题，也就是考察大家的应用能力以及推理能力。 好，我们先学第一个知识点，学第一个知识点的话，主要是基本的角的概念及其表示方法。角的概念的话呢，我们一般分为动角和静角，静态的角它的含义是什么呢？我们一起来看一下。 首先大家可以看到这个角，这就是一个正常的角，角，它里边包含到顶点和两条边，所以说有公共端点的两条射线就叫做角， 那这个公共端点的话，刚才我们已经说过了，是角的顶点。另外呢，两条射线分别就是角的两条边， 就像这个图片展示的一样。其次，我们需要掌握什么叫动角，动态的角也可以看作有一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，起始位置的边叫做角的中边， 那我们下边也有对应的图片，大家可以看一下。像这个图形里边，我们看到它的始边在下方经过旋转到了中间这个位置构成了一个角，那它的端点的话，其实也是它的顶点。 同样我们需要掌握两个特殊的例子，比如平角，当角的矢边和中边在一条直线上时，形成的平角，就像这个图形一样，这个图形我们可以发现这个角旋转了一百八十度。 其次我们再看另外一个，就是当角的齿边和中边重合时，就形成了周角，周角的话代表这个角度数是三百六十度，就像这个图形一样。 你接着我们看一下角的表示方法，一般我们怎么去表示不同的角呢？比较简单的就是像这个角一样， 可以用三个大写字母来表示，比如这个图片当中角的表示就是角 a、 o、 c， 或者可以直接用一个大写字母表示，就像角 o。 那 如果说遇到多个角在一块的话，怎么来表示呢？特别是我们如何去表示这些小的角呢？就需要加弧线， 用数字或小写希腊字母表示。比如角 a、 o、 b， 你 可以记作角一角 b、 o、 c， 可以 记作角二角 d、 o、 c， 可以 记作角二法，这个是有关角的基础的表示方法。其次我们来学习一下角度制及其换算， 这里边主要考察大家的运算能力。角的度量单位的话呢，我们一般把一个周角三百六十等分，每一份都是一度的角叫做一度。 把一度的角六十等分，每一份叫做一分的角记作一分。把一分的角六十等分，每一份叫做一秒的角记作一秒，就这样来写的，所以我们知道了角的度量，单位是六十进制的。 其次，角度制一般指的是以度分秒为单位的角的度量制，叫做角度制。 下面不同的角度质之间怎么进行换算呢？哎，比如我们看一下，一度就等于六十分，一分等于六十秒， 那一度等于多少秒呢？等于三千六百秒。其次，一周角的话是等于三百六十度，一周角是用两个平角构成，所以一周角等于二平角，等于四直角。 接着一平角等于一百八十度，一平角等于二直角，婴儿一直角是等于九十度。 好，这个是从大变，这个是由大单位变为小单位的换算。那如果说我们从小单位变成大单位，怎么进行换算呢？就是一分等于六十分之一分， 然后一秒怎么换成度呢？一秒等于三千六百分之一度，这个是小单位变成大单位之间的换算。 所以我们也可以得到一个结论，就是大单位转化为小单位的时候呢，可以用乘法乘以它们的进度制。如果小单位变成大单位时，需要除以它们的进度制。 比如我们来看一下这个比较十七度十八分与十七点一八度的大小。很多同学看到这两个度数，可能默认他们相等，其实他们不相等，因为他们的单位不一致，所以需要先把单位统一。 我们可以把十七度十八分转化为度数十七度十八分呢？首先十七度保持不变，可以照着抄一下。十八分可以写成度的形式，也就是小化大，需要除以它的帧值，也就是十八 乘上六十分之一度等于十七度，加上零点三度等于十七点三度。所以我们可以比较十七点三度是大于十七点一八度的。婴儿可以得到一个结论，十七度十八分是大于十七点一八度的。 好，接着我们来学第三个知识点，有关方向角的。那什么叫方向角呢？方向角就是用角度和方向表示方位的角。在平面图上，方向规定为上北下南，左西右东，这个是默认规定的，大家需要牢牢记住。 第二点，方向角的形成。其实在一般过程中，方向角是由第一个方向，也就是我们以正南或正北为角的，使边向第二个方向正东或正西转动所形成的角。 第三方向角的表示，一般指的是以正南或正北的方向为基准，再加上偏东或偏西的角度，比如北、偏东等等。第四点，角的比较。 脚的比较的话，我们联想上一节学到的线段的比较，其实同样是两种方法，一种是度量法，一种是叠合法。度量法其实很简单，我们量线段的时候，可以用直尺，带有刻度的直尺来测量，那量角的话，我们可以使用到我们的量角器， 所以说度量法指的就是用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小，就是把两个不同的角放在一块进行比较它们大小。叠合法指的是把它们的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小。 比如我们看到下边这三个不同的图形，第一个图形里边，我们可以发现 这个红色的这条边是比白色这条边要低的，所以说角 aob 是 大于角 a 片、 o 片 b 片。 那我们观察中间这个图形，发现它们是完全重合的，所以这两个角是相等的。第三个图形呢，红色的这条边是大于白色这条边的，所以角 aob 小 于角 a 片、 o 片 b 片，这是三种不同的表示形式。 第五，我们一起来看一下角的和与差。我们看到这个图里边 a o b 还有 a o c。 通过观察我们可以知道角 a o c 是 角 a o b 与角 b o c 的 和记作，角 a o c 等于角 a o b 加角 b o c。 那怎么表示差呢？我们同样可以看到角 a o b 这个小的角是不是等于角 a o c 外边这个大角减去角 b o c 的 差， 也就记错，角 a o b 等于角 a o c。 减去角 b o c。 或者是角 b o c 就 等于角 a o c 减去角 a o b， 这是它们的表示形式。第六点，你需要掌握角度的计算，其实就是利用加减乘除。 加的话指的是度与度相加，分与分相加，秒与秒相加，秒满六十，向分进一，分满六十。向度进一讲的是同单位进行换算。 第二，减，度与度相减，分与分相减，秒与秒相减，同样是同单位，那秒相减如果不够的话呢？同样向分借一 分相减，如果不够的话，需要向度进行借乘。指的是度、分、秒分别与倍数相乘。秒满六十，向分进一，分满六十。向度进一 除，指的是度、分、秒分别与除数相除，度除不进，向分转化，分除不进，向秒转化。 第七点，我们来看一下角的平分线。那什么叫角的平分线呢？一般的我们指的是从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 这里的话，其实我们需要注意的是，角的平分线一定是在角的内部，不可能在角的外部表示，形式的话，就像这个图形角 a o c 一 样， o b 显然是角 a o c 的 平分线。 所以说我们可以得到一个结论就是角 aob， 你 看这个小的角是不是等于上面这个小的角，然后它等于总体这个大角的二分之一，也就是角 aob 等于角 b o c 等于二分之一角 a o c。 当然或者可以表示为角 aob 等于二倍的这两个小角，也就是二倍的角 aob 和二倍的角 b o c。 好，最后一点，我们需要掌握一下与角和补角的相关内容，通过我们这个表格，把所有的知识点给大家做了一个罗列， 既有定义图式，数学语言，还有相关的性质。学习与角与补角的话呢，首先我们先从与角开始，与角的定义指的是什么呢？如果两个角的和等于九十度， 当然九十度代表其实就是直角，就说这两个角互为余角，简称为这两个角互余，其中一个角是另外一个角的余角。 图式的话，就像这两个不同的角，我们给大家放到一块，是不是把一个直角给它拆分为两个不同的角？ 数学语言的话呢，指的是，若角一加角二等于九十度，则说角一是角二的余角，或者角二是角一的余角，也或者角一与角二互为余角， 那性质指的是同角或者等角的余角，它是相等的，这里边的同角指的是同一个角，等角指的是度数相等的角。 下面我们来看一下补角。补角的定义指的是如果两个角的和等于一百八十度，一百八十度代表就是平角， 就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另外一个角的补角，其实相当于把一个平角呢分成两部分，分别为角三和角四， 所以他的数学语言指的是，若角三加角四等于一百八十度，则说角三是角四的补角，或者角四是角三的补角。 这个先后顺序是没有要求的，或者可以写为角三与角四互为补角，那同样可以得到一个性质，叫做同角或等角的补角是相等的。以上讲解的是有关第六章节第三节 有关角的相关内容，我们把所有内容给大家简单过了一下，如果对你有帮助，可以点个关注，期末记得来报分，记得点赞关注哦！