西安铁一中八年级数学答案是什么

好，我们今天一起来看一道这个铁一八年级上的刚刚考过的其中的填空加轴题翻折问题，这是一个非常典型的具有代表性的翻折问题，他说，呃，给了一个直角三角形，直角边长分别是三和四啊，这是直角顶点，那么很容易得到 ab 就是五， 然后接下来就都是翻折了，他说把这个三角形 a、 e， b， a， a， e、 c 沿 e c 翻译翻折，刚好落在这个 e、 d， c， 他翻折得到，他再来下边这个三角形翻折上去， b 撇儿落在 c、 d 的延长线上啊，那么就这个红色三角形翻上去得到这个三角形。最后我们 b 撇 f 的长啊，问我们这条线段的长。好了，那么对于这种纯纯的翻折问题呢？同步信息就是核心的就是翻折嘛，你有的，我也有嘛，那我们来看一看。呃，上面这个蓝色三角形的翻折可以得到什么呢？ 首先这条边长三就可以得到三。好，这是线段相等。还再来角相等，这这两个角相等，这都是九十度。好，这两个角相等，这都是阿尔法角啊，目前没有别的什么信息了，那就看底下这个 红色三角形翻折得到上面这个红色三角形，那么 c b 的长是四，那么 c b 边的长也是四，那么 d b 边的长就是一。 好，再来，这两个贝塔角也相等啊，这两个贝塔角也相等。好，最后要求 b 撇 f 的长，那我们就看看能求谁吗？首先通过上面这个翻字折，其实出现了大三角形 acb 这个直角三角形的 高马，这条高线其实可以秒杀的啊，我们把它画出来你就知道了，这是三，这是四，这是五，求高线，根据等面积法，哎，求高列个等面积， 顺着求高就可以求得，这个高是五分之十二嘛。所以我们就知道 c e 是五分之十二，而由 c e 是五分之十二，上面这个直角三角形勾股定理就可以算出， a e 是五分之九， e d 是五分之九，从而得到这条线段长就是 d， b 就剩了五减五分之十八，这条线段长是五 分之七。好，得到了这一系列的线段，然后再接下去嘛，好像就没有什么顺手能算的线了。那这个时候怎么想问题呢？ 看完了线啊，如果没有解决问题，这个时候你要再去看看角度信息了，角度信息除了这个角以外呢？这两个角尔法相等，这两个角贝塔相等，分别是多少都不知道， 但是两个阿尔法加两个贝塔是九十度，那么一个阿尔法加一个贝塔就是多少？四十五度，这个四十五度结合这个九十度， 那你会发现这里就出现了一个黄色的直角三角形，而且是等腰直角三角形，那么这条边长是五分之十二，这条边长也就是五分之十二了。五分之十二减五分之九，那么剩下这段就是五分之三了，这个是五分之三，那么 b f 也是五分之三了。 b f 是五分之三，那么 b 撇 f， 好，这个是五分之四了，就是五分之七减五分之三，这个就是五分之四了，这个是五分之四，那么 b 撇 f 和 b f 相等，所以 b 撇 f 也就是五分之四，所以这道题正确答案就出来了。 好了，那么这道题看起来啊，他是一道非常复杂的题啊，而且考出来确实大多数小伙伴在考场上啊，确实很难以做出来，但是你要去揪他的本质，他其实就是翻折，通过翻折对于题目条件信息的挖掘，这个挖掘虽然求的是线段，我们第一要挖 挖掘线段要看哪些线段等球同时翻折带来的角度信息啊，也不要忘了去看这道题，很多小伙伴其实就卡到了。呃，最后的这个阿尔法和贝塔角没有往角上去想，就在想线段，这道题就比较 北京。

二零二五年陕西省中考数学试卷整体难度基本与二零二四年相当，更多体现基础性与创新性， 但区分度依旧明显，像填空小压轴人的证明与计算难度明显下降。最后一道题的第三问涉及动点轨迹与最大张角，分析与计算难度要求比较高。 从题型上看，基本延续往年出题风格，但要求学生能够打破常规思维，善于分析题目，契合课标的素养要求。 在题目特点方面，试卷严格遵循课标，着重考察学生的基本运算、推理、几何直观及数据观念等能力，没有偏怪难题，充分体现初中数 学的核心素养，真正做到去模型化，回归数学本质。同时，题目与现实生活结合紧密，对学生从生活场景中抽象出数学模型解决问题的能力提出了新要求，既要有较强的阅读能力， 还得将现实问题转化为数学问题。总体而言，二零二五年数学试卷立足基础又兼顾素养指引教学要落实核心知识，强化复杂情境下模型构建与分析能力的训练。

那么在讲这道题之前呢，我们先给大家讲一讲如何确定一个动点的轨迹式直线。在整个初中阶段，我们会学两类轨迹，一类是轨迹直线，一类是轨迹员。轨迹员要到了我们初三学完员之后，那么现在大家能够见到的动点轨迹 必然是直线，你就不用想，必然是直线，不可能有别的，别别的你也处理不了。好吧，那关键是我怎么判定一个动点的轨迹是直线呢？两种情景，一个叫定线定距离啊，另外一个叫定线定下叫， 这是最常见的两类轨迹是直线的判定方法。什么叫定线定距离？这个比较好理解啊，就是有一条定直线，你会发现你要确认一个动点的轨迹是直线，总是以一条定直线为参考的。 那么有了这条定直线以后呢，这个平面内有一个动点 p， 这个动点 p 他可以动，但是我规定他到这条定直线距离 d 是一个定值，那你想一想，他虽然可以动，但是他到这个定值线的距离始终保持为定值，那他只能在什么？是不是只能在这个直线 l 的平行线 l 一撇上去运动，对吧？在直线啊，那这就是他的轨迹，这是第一种判定方式，当我们发现了定线定距离，可以判定动点轨迹， 走直线来，那么这是第一种情景。那么第二种情景还是先要有一条已知直线，定直线为参考，直线 l 是定直线，这上面有一个定点，定点 m 定 m， 然后这个动点 p 啊 p 还是一个动点，但是他在动的过程当中啊，我们有一个要求，就是他连 pm 以后，这个夹角 r 法式中是定角， 这就叫定线定夹角。当出现定线定夹角，你会发现，这个 p 虽然能动，但是它是不能偏离这个直线 pm 的，它是不能偏偏 这个 l 一撇的，他只要一偏，这个角度就变了，你想他偏上来角度变大了，偏下去角度变小了，他只要保证，只要只为了保证这个角是定角，他只能在这条直线上去运动好了。这就是第二种判定轨迹时间直线的情形，就是定线定加角 p 走这条直线 啊。至于大家平常所说的瓜豆圆啊什么的，那些东西只能帮助我们去怎么样去预判一个轨迹，但是真正的证明就是这两个保持距离不变，那他只能在这条直线上走，保持夹角不变，那么他只能在这条直线上走， 对吧？好了，那所以，呃，所以呢，我们来看看这道题吧。这道题他给了两个等腰直角三角形。这道题的切入点非常非常明确的，这是一个等腰直角三角形，这又放了一个等腰直角三角形，这两个等腰直角三角形，往这一放，你只能想什么了？兄弟们，你只 能想啥？对手拉手的全等嘛，所以连谁连谁出全等，对，就连个 c e， 连个 c e， 你会发现这两个三角形就造成了手拉手的全等。呃，道理很简单，这个线段等于这个线段，这个圈又等于这个圈， 然后角一加角二九十度，角三加角二九十度，所以角一又等于角二，所以边角边就正全等。得到这个全等以后，全等我们要干什么？同步信心吗？你有的，我也有吗？你有一个四十五度角，那我同步过来，我是不是我也有一个四十五度角， 这一旦有了四十五度角了，然后我要求 p e 的最小值，我要去确定点 e 的轨迹，这属于我们刚才讲的哪一种情景？兄弟们，一还是二？ 二了，你看定角，定线，这是不是定线定夹角？点翼的动的过程当中，为了保持这个角，这个角始终是四十五度，为 保持这个角四十五度，他只能在这条直线上去走。好了，那么点 e 的轨迹都走这条直线了，那我要求 pe 的最小值，垂线段最短。整个问题结束，所以就是 pe 平，那么这个 pe 平，这是二，这是四十五度，这是根号二，所以答案就是根号二。整个问题 来吧，兄弟，兄弟们，通透了没？通透，把通透给我打公屏上通透了，是吧？所以通过这道题我们要学什么呢？首先手拉手的全能，我相信大家都是没有问题的，但是难就难在很多小伙伴把这个手拉手的全能看见了，把这个四十五度角看见了，但是还是想不到他的轨迹是直线，为什么 你缺乏了判定轨迹是直线的意识？两种情景，定线定距离，定线定下叫。

好的各位同学，大家下午好，今天下午呢，新东老师给大家分享一道这次且一中八上数学月考的最后一道压轴题的最后一问， 这个题呢，难度还是非常高的，不愧是行。那等边三角形的性质是啥呢？三个角都是六十度，三条边都相等，对吧？你遇到等边的时候，你脑子里马上蹦出这性质，对吧？那好， m 是 a d m， 你 看沿着 d m 一 折叠，哎，你这个点 a 刚好落在 这个 g c 上的点 q 了，对吧？那既然是折叠来的，那三角形 a d m 和三角形 q d m 是 什么关系呢？肯定是全等嘛，对吧？你折叠来的肯定是全等嘛。然后现在告诉我们 a c 是 个四，那 a c 如果是四 ab 也是四 bc， 它也是四等边嘛，对吧？然后呢， cd 等于一个根十三，这个点 d 呢，到底在哪呢？ 它是 a b 上的一个点，然后这个点 d 可以 使得 c d 是 根十三，对吧？那好，现在让我们求啥呢？求的是三角形 c q d 的 面积，哎，求的是这一部分 这个比较小的这个三角形的面积，对吧？我们都知道你要算三角形的面积，你用常规的公式就是底乘高，再乘以二分之一，它的底是 c q， 它的高呢？可能是点 d 到 这个 j c 的 直线，它这个垂线段的长度嘛，没有做出来，那我们如果按常规的方法来看，我们肯定要得先求出 c q， 然后再过点 d 做 j c 的 垂线段，把垂线段的长度求出来，然后呢，再乘以二分之一，就是它的面积。 但是现在提的提上条件不足以支撑我们把 c q 和这个它的高算出来啊，对吧？我们 思考价能不能令屁西经用等效代换的思路呢，对吧？那你看，咱们先观察这个图，呃， c q d 它的面积还有 q c m， 大家猜测一下，这两个三角形面积有没有可能相等呢？ 你如果说你想让他俩相等的话，你看啊，等底底都是 q c， 那 你过点 m 做 q c 上的高，对吧？如果说是等高，他们两个要等高的话，那也就意味着你这两 dm 这个直线和 j c 这个直线是平行的，你 两条平行线之间垂线段的长度是处处相等的，那正好回到了我们在小学，小学里面应该接触过一个模型，叫做拉窗帘模型，拉窗帘模型的本质就是 等低等高嘛，对吧？好，那我们现在尝试一下，尝试一下是一个思路，尝试一下，你看你能不能证明 dm 和 jc 是 平行的，他看着也是平行，就是你如果看着他平行的话，你尝试正一下，那你平行的话，那你看，你得证明这个角，对吧？角一和这个角 和角二，哎，这两个同位角，你得证明他俩相等，对不对？那你怎么证明他俩相等呢？那你看，呃， a m d 和 q m d 肯定是相等吧，因为这是两个三全等三角形的对应角嘛，对吧？也就是这两个角，这两个角，角一和角三是相等的，对不对？ x， 那 你看角一是多少度啊？角一是不是，哎？角一和角三加起来刚好是 x， 什么角？补角吧，那你看角一不就是，哎，一百八 是度，把 x 一 减，是它角一和角三的和角一和角三要相等，那你再给它除个二，哎，是不是就是角一的度数，对吧？那它角二 角二等于多少呢？角二的话你看，因为 m 是 中点， ac 等于四，那你 am 是 不是就是二， mc 也是二，对不对？那你把这个三角形 a d m 你 折叠过来， am 和 q m 刚好是全等三角形的对应边， q m 也是二呀， 那你这是二，这是下面是一个小的等腰三角形，对不对？那你小的等腰三角形，角二和这个角等腰三角和底角嘛，肯定相等。那你角二是多少呢？角二是不是也是，哎，一百八把这个 x 一 减再除以二，就是角二，那还是一百八十度减 x 再除以二，哎， 角一就等于角二了。角一等于角二，那同一角相等什么呀？两直线平行呀，对不对？那 dm 就 平行于 c 了， ok， 好， 它果然是平行的，那我们要求 c q d 的 面积，三角形 c q m d 的 面积。那我偏不，我直接求 c q m 的 面积，它们两个是拉长量模型，等底等高的，对不对？ 好，那现在就是我们转化到求 c q m， c q m 肯定好求啊，你等腰三角形的面积肯定比你这个不规则三角形的面积要好求的多嘛，对吧？而且这个等腰三角形，它的腰是个二， 我们只要把它的底求出来，以后，底一出来，我们勾股定力就可以把它的高就可以求出来了，那这个题就迎刃而解了，对不对？好的，那接下来我们该怎么走呢？你看，那既然如此，我们是不是过点 m 做 q c 上的高，对不对？好，我把这个大概擦一下， 把这个角三这些都都给咱擦掉，要不然的话容易影响这个图的简洁度，对吧？ 好， 那行，那好，那我们过点 m， 过点 m， 做这个 q， c 上的高，我们找一下，哎，它的中点，因为我们把 m 和这个中点一连，这是一个字母，都用到哪些了？ a， b， c， d， e 吧，我们用 e， 对 吧？好，那 过点 m 做 q， c 上的高垂足是一个 e， 那 你这肯定是个垂直的，我们现在当务之急就是按算出 m e 的 长度，对不对？那你看，因为你 d 段呢，这块是一个 h 吧， g h 和 m e 肯定是相等的， 对吧？为啥呢？你看这两个是平行的，对不对？那我们过这一点，做一个高，这也是九十度，这是九十度，这也是九十度。那好了，矩形吧，四边形， d， h， e， m 是 矩形的矩形，对边相等，那 d h 就 等于 m e 啊，对吧？就是就这么来的，对吧？等你等到就这么来的。好，那我们怎么去求 m e 的 长度呢？大家思考一下， 回到这个题的本身，它为啥会告诉你 c d 是 根十三呢？根十三的话，那我们，你看，我们， 我们过点 c， 哎，做一下等边三角形 a b 边上的高线，可不可以啊？对吧？ 高线的话是一个 c f 吧，这是一个高线。好的，那你 c， f 等边三角形，它的高， 它边长，等边三角形的边长，告诉你高能不能算出来啊？当然可以啊，固定的嘛，你看 ac 是 个四，那根据等边三角形三线合一的性质，你这里是不是就是三十度呀？三十度角所对的直角边是斜边的一半，那 af 是 ac 的 一半呀，也是二，对不对？ 或者你直接三角合一点， f 是 中点， c f 是 高，也是中线，那 a f 就是 二， a f 就是 二的话，那你这个 c f 是 多少呢？口算二倍的根三，对吧？一般在这个三十度角的直角三角形当中，这个长直角边永远是短直角边的根三倍。其实你固定也可以算 四个平方减二的平方，四个平方是几？是十六减二平方呢？是一个减四，是个十二，十二开根号二倍的根三，也就是说 c、 f 就 等于一个二倍的根三， ok 了，好吧，那你看 c、 f、 a， 这是一个直角三角形，那 c、 f、 d 也是个直角三角形，对吧？那你 c、 d 是 个根十三，那你 df 能求出来吗？ 斜边上的，斜边的平方减这个直角边的平方根十三，根十三的平方是十三，十三减去二倍的根三的平方十三减十二，那就是 d、 f 的 平方是一个几，是个一，那一开根号还是一，也就说 d、 f 的 长度是几是个是多少？是个一，那 ad 呢？ ad 不 就是 a， f 加 d， f 就是 二加一，对吧？ a、 d 就 等于一个三， a、 d 是 三。好的，那你 a、 d 是 三， a、 d 不 就是这个？你，你三角形 a、 d， m 和三角形 q d， m 是 什么关系啊？ 全等嘛。那你 a、 d 对 应的这个边不就是 q、 d 吗？也就说它就等于 q d， q、 d 也是个三，对吧，对不对？我们算把 d、 f 算出来就是为了算 q、 d 呢，是吧？好， 这块都擦掉，因为这个图咱们算一点，写一点，因为图上写的数字太多，容易容易乱，也就是 q、 q、 d 的 长度是个三，那你看啊， 如果哈，如果我们，我们如果说你看，呃， q、 d 的 长度是三，如果我们过点这个 m 做 q、 d 的 垂线，把这条垂线的长度算出来以后，对不对？把这条长度算出来以后，那你这个三角形 d q m 的 面积是不是出来了？那同时呢，三角形 d q 的 面积也是 用另一种方法怎么算？就是 dm 这条边乘以 dm 上的高， m e 实际上就是 dm 上的高，因为你过点 q 做 dm 的 垂线，你和 m e 是 相等的，就跟你这个 d h 是 一样的长度，对不对？好，那我们这我们过点 m 做一个 d q 边上的垂线， 对吧？这是一个垂线，垂足是几呢？垂足是一个 k 吧， 这里是个 k， 就 这这几个点不一定在一点啊，咱们现在，呃，只要保证这里哎 mk 垂直第一 q 就 行了。那好，那你看现在能得到你 a k， 你 mk 是 个二，对不对？ mk 是 二，然后呢？那这个直角三角形，你斜边是知道的， 对吧？斜边是知道的。你。另外我们现在要算的是 mk 的 这个长度， mk 的 长度怎么算？因为你 q 这个 q k 他 不知道啊，这边有一个隐藏条件，不知道大家注意到没？角 a 是 六十度啊， 角 a 是 一开始等边三角形的性质，为啥新老师让你们回忆等边三角形性质？角 a 是 六十度，那你把它角 a 折叠过来，这一块也是六十度呀， 他俩是全等三角形的对应角。好，这是六十度，那这就是三十度。大家记住，在直角三角形当中，有两种直角三角形是非常特殊的，一个是含三十度角的直角三角形，对吧？因为你如果一个三角形，这个三十度角直角三角形当中，你知道任何一条边，你都可以把另外两条边算出来。同样 弹四十，弹四十五度角的直角三角形，它是等腰直角三角形，你知道的任何一条边，也可以把另一条边算出来，对吧？那你看， m q 是 个二，三十度角所对的直角边，那这个 k q 是 不是就是一，这是二，这是一，那长直角边 mk 就是 几，就是根三， mk 就是 个根三， 一占了那。哎，这个 d k 就是 二，对不对？喝口水啊，呛的 好。那好，那你看 d k 是 个二， mk 是 个根三。 dm dm 当中 dm 是 斜边，那我们用勾补定点，二的平方加根三的平方，二的平方是四，根三平方是三，一加是个七，那 dm 就是 一个多少根七， dm 就是 根七，对不对？那好， dm 是 根七了， 那我们现在，哎，知道了 d q 的 长度，知道了 d q 边上的高，那你整个三角形 d q m 的 面积是不是可以求出来？就是一个？呃，用等面积法，这个 d q 乘以 m k 就是， 对吧？那你 d q 咱们算出来是一个三三乘以 m k， m k 是 个几呢？ m k 是 一个根三，对不对？就等于 dm 就 等于根七乘以 m e。 好 把， m e 不 就算出来了吗？ m e 是 几呢？ m e 是 三倍的根三除以一个根七就等于多少？上下乘以根七是七分之三倍的根，多少 根二十一？ m e 是 七分之三倍的根二十一。好了，验算一下，因为我们不用两边再乘二分之一，你两边乘二分之一就约掉了嘛，对吧？所以就是 根七乘以 m e 就 等于一个三乘以根三，三倍的根三等于根七，对吧？那三倍的根三除以根七，然后呢？上下一约，哎，这是根七，这是七乘以，对，没问题， m e 是 七分之三倍的根十一，也就说在这个等腰三角形 q c m 当中，哎，它的底边上的高是一个七分之三倍的根二十一，对不对？ 对吧？好，那我们根据勾股定律把 c e 可以 算出来，你 c e 出来以后， q e 和 c e 是 相等的，对吧？那么算下 c e， c e 的 平方等于一个多少呢？ c m 的 平方减去多少？减去一个 m e 的 平方减去一个七分之三倍的根二十一，它的平方等于几呢？ 等于几？这是一个四，对吧？四减去一个谁呢？ 呃，七七四十九，四十九，九乘以二十一，对吧？那你看，把这个四十九给他，咱们先化减一下吧，你四十九和二十一可以约个几？约个七。 呃，约个七，上面剩个三，下面剩个七了，对吧？也就说四减七分之二十七，四减七分之二十一。对，四减七分之二十一，那你四是一个七分之二十八，七分之二十八， 减去一个七，呃，是二十七。哎呦，有点有点着急了，就是，你看，下面约个七，剩个七，上面约个七，剩个三。三九，二十七，七分之二十七，那七分之二十八减七分之二十七，就是一个七分之一， 也就说 c e 的 平方是七分之二十一，那你 c e 本身就是一个根号下七分之一，然后就是根七分之一，就是七分之根七，对不对？ c e 是 个七分之根七，那好， q c 呢？ 二倍的七分之根七啊，对吧？ q c。 写到这边， q c 等于一个七分之二倍的根七，对吧？ q c 是 两个 c e 嘛？那好，那你这个三角形 q c m 的 面积是不是就是一个？ 呃， s 三角形 q c m 就 等于二分之一乘一个 q c 乘一个 m e， 就 等于二分之一，乘一个七分之二倍的根七，再乘一个 m e， m e 是 七， 嗯，你看二跟二就约了，七分之根七，七分之根七乘一个三倍的这个根二十一。呃，这一块我看 后面这两个一化解，就是七分之根七，乘以一个根二十一，约个根七，下面约个根七，就是一个三倍的根三来除以根七，这个时候可以约了，根七和根七一约，刚好就是七分之三倍的根三， 七分之三倍的根三，也就是说 q c m 的 面积是七分之三倍的根三，对不对？我写到这儿，那 q c、 d 呢？就是七分之三倍的根三， 对吧？就这一步的话，其实其实你 m e 的 话，你你写上三倍的根三除以根七，你后面会更好算，对吧？但你写成这样，尽量还写成，写成一个分别，有理化。那你算的时候，你可以拿这个来算，刚好约分嘛，对吧？你要如果说拿这直接算的话，你乘起来的数字，嗯，稍微就比较大了，运算量就稍微比较大了，所以最终结果就是七分之三倍的根三。所以这个题呢， 这个题其实就是一个你不断的利用勾股定律，哎，算边长，算边长算边长最最终呢？你求这个 m e 的 长度的时候，利用了什么呀？等面积法，因为三角形 q dm， 它的面积有两种方法，你拿 d q 当底，拿 mk 当高，可以算出来，你拿 dm 当底，拿 m e 当高，也能算出来，对吧？这就是等面积法。好的，那这道题咱们今天就到，这，好不好？各位同学再见。

好的，各位同学大家晚上好。今天晚上新老师给大家分享一道去年啊，题中辅轮，他这个八上数学月考是第二个，就是十二月，这次月考他的填空题的最后道题，也就是本套试卷里面难度到难度排第二的填空题的压轴题。好吧，咱们看题，说是有一个三角形 a， b， c 这个角 a， b， c， 这里是一个六十度，对吧？然后呢， bc 是 一个二， a， c 是 几？ a， c 是 个四， ac 是 个四， ad 呢？等于一个 c e。 先让我们求 cd 和 be 这两条线段合的最小值呢？我们一般要求线段合的最小值的时候，你得把这两个线段你得给他，至少要有一个端点是重合的吗？对吧？ 那你看这两个，现在两个线段它相交啊，怎么办呢？ ad 等于 c， e， 这个提示你干什么呢？ 你看三角形 a， d， c， 对 吧？如果说 a、 d 和 c、 e 的 话，那我们以 c、 e 为一条边，是不是能不能再做一个三角形和 a、 d， c 是 全等的，能不能这样呢？ 实际上这道题考啥是逆等线对吧？能不能我们再以 c、 e 为一个边，哎，再做一个三角形，和 a、 d， c 相等，怎么做呢？我们能不能把 ac 给它旋转一下，把 ac 整个以点 c 为圆心，以 c 为半径往上旋转。旋转到哪呢？旋转到这一块， 稍等啊，有点好，那我们我们这样，我们过点 c 做 a、 b 的 一个平行线吧。 然后呢，在这条平行线上我们截取一段 c， a 等于一个谁，截取一个谁？ a， b， c， d， e， c， h 啊， c h 等于一个 c a， 对 吧？那 c a 是 四，那 c h 就是 四，我们如果把 he 给它连起来呢？ 把 h、 e 如果一连起来的话，那你看新的这个三角形 c e、 h 和原来的三角形 a d c， 它俩全等吗？ 因为你看啊，嗯， c、 h 是 和 ab 平行的，对不对？那你既然平行的话，你肯定会有一个什么角呀？内错角，就是角 a 的 内错角是谁在这这两个角肯定相等的， 然后呢？ a d 又等于 c e 一 条边呢？那 c a 又等于 c h s a s， 对 吧？就是你看，我写了一下，在这个三角形 a、 d， c 与三角形谁啊？ c e h 中， c h 中，我们写一下，这个 a d 等于 c e， 这是已知的，对不对？然后呢，角 a 就 等于一个，这里是个角一吧，角 a 等于角一，为啥呢？ c h 和 ab 平行，内侧两直线平行，内侧角相等，然后呢，这个 ac 对 吧？ ac 又等于一个 c h， 这是咱们做辅助线做出来的， 对吧？那就可以推出来。谁啊？三角形 a d c 全等于三角形 c e h 对 不对？判定定力是谁？ s a s 对 吧？判定定力是 s a s， 那 你看 圈的三角形的性质肯定是对应边相等呀。那这个时候 c d， 也就是 d c 等于谁啊？等于 e h 对 不对？那我们现在要求的是 c d 和 b e 的 最小值，实际上求的是 e h 加 b e 的 最小值了。终于把这两个不在一起线段给它放在一起，对吧？那你看 b e 加 e h， 你 要从点 b 走到点 h， 你 先要走又走到点先走，从点 b 走到点 e， 又走到点 h 去，那两点之间什么最短？线段最短吧，你把把这个 h 和 b 点起来。 好，你把 b、 h 一 连的话，我它这个是大于。等于一个 b h 的 话，它的最小值就是 b h， 对 不对？我们只要把这个 b h 求出来，哎，那你这个 c、 d 加 b 的 最小值就求出来了，对吧？那你看 b h 怎么求呢？还有一个条件没用上，六十度。六十度，一般来讲， 我们都把它放在直角三角形里面了，对吧？那你看， b h b h 刚好把这个六十度给分开了，那怎么办呢？我们能把六十度的余角三十度再找出来，就是过点 b 做 h c 这条直线的垂线，对吧？ h c 给它延长一下， 然后呢？过点 b 好过点 b， 这是一个。我看 a b c d e， 这是一个 k 吧？过点 b 做 h c 这条直线的垂线垂足是 k， 那 你看，那这里肯定是个三十度，对吧？ 好在直角三角形这个 c、 b、 k 当中，直角三角形当中，三十度角所对的直角边是谁？是斜边的一半，那 c k 就是 一啊，你斜边 c b 是 二，这是一，那你这个 b k 呢？勾股定力啊，四减一，是不是又是一个三，这是根三，也就说这个 b k 就 等于一个根三，对吧？ 把它往上写一点好， b k b k 就是 一个根三，那你这个 h k 呢？ h k 是 c， k 是 一，加上一个 c h c h 是 多少？ c h 和这个 a c 相等呀，就是一加四就等于五。 那你好， b h、 b h 在 哪个三角形里面？ r t 三角形这个 b k、 h 中， b h 是 斜边，那你 b h 是 不是就等于一个根号下五的平方加上几，加上一个根三的平方，对吧？就等于一个根号下二十八开出来二倍的根七， b h 就是 二倍的根七，也就说你要求的这个最小值就是一个二倍的根七， 对不对？这就是这个题的一个完成过程，做辅助线要做的比较多，实际上只要是我们能把这个 a、 d、 c 他的全等三角形 c、 e、 h 给他做出来就行了。 然后的话六十度要用上，但你六十度没法直接用完，我们找他的余角，三十度刚好是直角三角形当中一个非常特殊的角，因为三十度角错对的，直角边是斜边的一半，对吧？好，那这个题咱们今天就到这。好吧，各位同学再见。

最后一题，第一问看懂这个，这个我觉得应该一点问题都没有吧，自己看一下挣个什么就行了。对，挣个全等是不是就完了？好，看出来是吧？看出来，我们一起看吧，他让我们证明这个梯形的面积 和这个三角形的面积相等。那首先你会发现中间这一部分是什么？公共部分，所以我要的就是这两部分之间的关系，就是 这两个叉之间的关系。这两个叉，这有什么好说的，这都是平行线，这角都相等，对吧？又是终点，终点又有线段，所以这两个三角形角角边就正全等了吗？这两个三角形正全等了，所以这两个面积相等，整个问题就 结束了嘛？就是梯形的面积是 s 一加 s 二，然后三角形三角形的面积还是 s 一加 s 二， 没问题吧？啊？ a s 中选等。好吧好嘞，来，那看第二本，在第一本的基础 上，我觉得第二问大家应该是能挣啊。对，构造个全能就完了。有上一问，上一问其实已经告诉我们那个终点怎么用，构造个全等做个平行线，构造个全等是不是就完了？ 那么这道题其实也是一样的，这个终点 p a p 等于 p c， 这终点怎么用嘛？那我就构造个全等嘛。这，这我要比较这两个面积，我就构造个全等，对吧？你会发现这个是 s e， 那这个也是 s e， 这两个面积首先相等了，然后这个紫色三角形的面积就是 s 一和 s 二的，和这个绿色三角形的面积就是 s 一 s 二，人家还多一个 s 三，哎，那你会发现这个绿色三角形肯定比紫色三角形面积大，整个问题结束，对吧？所以就是这个 e b、 f 啊，这个大，这个是 s 一加 s 二，再加 s 三，这个小，这个只是 s 一加 s 二， 所以他其实第一问就是提，提示我们终点怎么用，做根平行线正全能这道题你就做根平行线构造了全能问题结束好了，来， 那么这道题不是关键，我们关键要从这道题里面抽一个模型出来啊，这个模型是很有可能考到你的，什么模型呢啊？就是定角内含定点的一个模型啊，这个角 笔断了，过于用力啊，过于用力好，好了给他粘上。 就是，首先啊，我有一个定角，定角 o 好了，这个定角 o 里面呢，有一个定点 p 啊，有一个定点 p 在这。好嘞，来，我们来思考一个问题啊，现在过这个定点 p， 我任意有一条动直线与这个角 o 的两边交于 m 和 n， 交于 m 和 n。 来求三角形 o m n 的最小值是什么状态？ 就是告诉我三角形 o、 m n 什么时候最小。哎，大家能不能想来，这是一个动直线，对吧？过点 p 相当于这个直线在绕着点 p 在干嘛？可以转嘛？对不对？可以转，对吧？它可以转，转的过程当中什么时候 o m n 的面积最小？ 什么时候最想？不知道，想前两问啊，想前两问，你能一定能？想来，这是一个点拼，是定点啊，对吧？这个三角形是怎么变的？你看我过点拼，任意做一条直线，我再做一个，比如说我再做一个红的啊，我再做一个，比如说我再做一个红的，对吧？这是 m 一 n 一，对吧？那这个三角形，这个三角形，这个三角形随着这个直线绕着脸皮转交出来的这个 o m n 的面积一直在变，对吧？ 哎，对，这个老虎开窍了，果然比较开窍啊。就是就是，终点嘛，就是点屁，是 mn 终点的时候这个面积最小。来，我给你把那个状态画出来， 其实就是这个绿色当点 p 刚好是 m n 终点的时候，也就是说这两个圈相等的时候，这个 m 一撇 n 一撇 p 恰好为 m 一撇， n 一撇终点的时候，这个它的最小值其实就是三角形 o m 撇 n 撇。来想一想，能不能想明白 怎么正？你现在就正来这个这个蓝色三角形 omn 就是一个任意状态，这个绿色的这个这根线呢，就是一个终点状态。我现在其实要证明这个终点的状， 这个终点的状态比这个任意状态小就行了吗？怎么证？绿蓝色的是任意状态，绿色的是终点状态，怎么证明终点状态比这个蓝色的任意状态要小？这刚不证明一遍吗？所以就是过这个 m 一撇做个平行，造个全等就完了吗？看好了，我 撞平枪是不是造全档？那你会发现这个是 s 一，这个也是 s 一，然后公共部分设为 s 二，多了一部分设为 s 三，你会发现这个任意状态一定是三部分， s 一加 s 二加 s 三， 而只有当终点状态的时候是 s 一加 s 二，所以终点状态一定比这个任意状态小，所以它的最小值就是终点的时候。这个东西它是一个模型啊，它很多考题就是这么考你的，它的，它的这个元素是什么呢？我再说一遍啊， 首先有一个定角放到这里面， p 是一个定点放到这，然后过点 p 做直线，过点 p 做直线，与这个角的两边交于 m， 求这个 o m 的最小值，就是终点的时候最小。好了，那么有了这个模型了，来做他的最后一题。最后一问，什么时候最小？就是 p， 是 a b 终点的时候， 对吧？什么时候最小？就这时候最小。我要证明的是什么呢？证明 s 三角形 o a b 的最小值就等于 s 三角形 o a 一 b 一来正的时候告诉哥， 为啥终点面积最小，再给你正一遍，看好了，再给你正一遍，为啥终点小？你看这个 oab， 这是任意时刻，对吧？然后这是终点时刻， oab 一就是 p， 是 ab， 终点时候，对不对？好了，来，兄弟们，怎么正？哎，对，还是做平行够全等，对吧？问题是过谁做， 做平行过谁做平行，感觉跟刚才一样，是吧？我过臂做个平行行不行？过臂做个平行行不行？这就考你真的有没有懂？有没有真的懂为啥不行？看好了，我做平行是为了构造全等全等，谁和谁相等？是这两段相等，你过这样做个平行，这两个三角形全等吧。 线上不全等，对不对？所以你要清楚，做平行不是目的，做平行造了全等才是目的。所以你为了用上这两段相等，必须要过谁做平行？ 对，就是过 a 一看好了，过 a 一，做平行才能造出来全等，对吧？因为这两个圈相等，所以我过 a 一做个外轴平行线，这两个面积才是全等的。 p b 等于 p a e， p b e 等于 p a e 这两个三角形全等，所以这个是 s 一，这个是 s 一，对吧？然后设公共部分为 s 二，这个 s 是 s 三，看好了， 这个 aob 的面积就是 s 一加 s 二加 s 三，任意时刻的面积是 s 一加 s 二加 s 三，只有终点时候的时刻的时候，你看这个 a、 e、 o b 一，只有 s 一加 s 二， 终点时刻只有 s 一加三，那么你说三部分是不是一定大于两部分？所以这个终点时候最小，好，没问题了是吧？ 来，没问题的。最后一下啊，求出此时依次函数的关系式啊，我看一下啊，求出关系式，是吧？好了，那最后要求出关系式骑士来， 那我就是要求出 a 一和 b 一的坐标嘛，要求 a 一 b 一的坐标，那我就要用到什么了？我把这清了啊。终点，我们现在就要求这条直线解释，要求 a 一和 b 的坐标，我就可以设他是零， n， 他是 m 零，然后这个点是终点，这个时候要需要用 一个公式叫做终点坐标公式。什么叫做坐标公式呢？就是这，这有两个点，这有一个终点， 这是 x 一斗 x， 呃， y 一，这是 x 二斗 y 二，那么他们终点的坐标就是二分之 x 一加 x 二， 横字外相加出沿，二分之外一加外二，纵字外相加出沿，这叫终点坐标公式。这个终点坐标公式非常非常的重要，只要在平，只要在坐标系当中看到终点，基本上用这个公式就是，呃，最有效的，好吧，这公式没问题啊，公式没问题，那就很简单了，接下来呢，就是， 那就那，那来这两个或的重点是他，我是不是可以得到 m 加零除以 m 加零除以二就等于二，然后 n 加零除以二就等于 四，所以 m 是不是就等于 m 加零除二等于二， m 等于四， n 除以二等于四， n 就等于八。好， m 就等于四， n 就等于八，那这条直线几？那，那这是零，八， 这是四零，那么这条直线解决是你随便求了。最后答案就是 y 等于负二， x 加八，整个问题结束。

就是会有这样的一类压轴题啊，他是就是这幅图看过去啊，他分明是有，比如说有直角可以列勾固定理的关系，是线段之间的关系是有的， 但就是太缺线段了，就感觉完全无从下手，就以位置量太多。那这时候怎么办呢？马哥要告诉大家了，那在这种情况下， 我们要敢设敢列方程，哎，对，我们通过三个视频来教会小伙伴这个技能，为什么说这个技能比较关键呢？因为我们在初二就是要进入到一个，我们未来可能会面对更多的这种未知数啊，参数运算啊，我们要提前建立起这样的设列方程的习惯。好吧，好，我们来看题。 这道题它告诉我们 d、 c 是等于一的，然后 a、 b 是等于三的，呃，还告诉我们这两个角是互余的，这两个角是互余的，那会导致什么呢？呃，那会导致 这个角是九十度，哎，有有有，九十度有直角三角形啊，那最后求什么呢？求 ac 的平方再加 bd 的平方。 这道题很多小伙伴一看过就完全没有办，没有办法下手，就已知的一和三和这两条红色线段完全没有关系。这道图，这这这这，这道题看起来已知和所求就完全无关， 下不了，而且未知未知量特别多，下不了手，那这是怎么办呢？既然已知和所求没有关系，那我们看看已知和所求分别与哪些线段是有关系的吗？比如说这个线段一， 这个线段一，它就在这个直角三角形当中，哎，那它是不是与这个 x 和这个 y 是有关系的？再来这个斜边三是不是又与这两个或有关，那我就可以 设他是 a， 他是 b。 好，有了这些线段，你再看看我们最后要的这个问号，就是 bd 的平方是不是就是 x 方加 b 方，而 ac 的平方是不外方加 a 方？那么这个时候咱就已经可以去写关系式了。首先已知来写关系式，那就是 x 方再加 y 方等于一， x 方再加 y 方就等于一。呃，然后再来这个已知，又有一个， a 方加 b 方等于九， a 方再加 b 方就等于九。好，这是根据已知，我们就列出了我们所设的线段的关系式。很多小伙伴在这个时候又又闹心了，马哥，这四个未知数俩方程，那不要疯了， 这种问题你放心，你要敢于把它列出来去观察，观察什么呢？观察这些已知的等式和所求之间的关联。所以这个时候所求 要看清楚所求是什么。所求是 b d 方加 a c 方 b d 方再加 a c 方 b d 方 b d 方来看一下 b、 d 方是不是在这个直角三角形当中，他就是 x 方，再加 b 方 就是 x 方再加 b 方，而 a c 方呢？ a c 方就是，呃， a c 方就等于 a 方再加 y 方 再加 y 方。好了，其实我们要求的就是 x 方加 b 方加 a 方加 y 方。来往这看一下， x 方加 b 方加 a 方加 y 方，不就是把这俩货加起来？最后答案十，整个问题，哎，就这么结束了， 那么很多小伙伴到这可能还没反应过来呢，怎么题就结束了？这就是我们所说的，对于这种明明是有线段关系，你看到直角三角形肯定是有勾股定理的线段关系的，但是就是 这这已知和所求建立不起来联系，缺的线段特别多，这个时候怎么办？大胆的射出来，我们要敢于把他们射出来，然后敢于去列关系。师，注意，列关系是你的脑子要很清楚，就是列，已知的去列，对吧？所求的把它明确出来，也要表示出来，然后找已知和所求这些关系是之间的关联， 根本不要，大多数情况下根本不需要解方程题就结束了，来吧，兄弟们听懂了，马哥给大家布置一道作业题啊，一模一样的方法，自己试一试，咱们评论区见。

这道题啊，我们先捋一下条件，他给了这是一个定点啊，这是一个定点，然后以这个定点，然后在外轴上找了一个动点 c， 在外轴上找个动点 c， 以 ac 为边，做了一个等腰直角三角形，得到了点 e， 对吧？然后找到了 e、 d 的终点 f， 最后让我们求这个三角形周长的最小值啊，周长的最小值，其实就是求这俩或的最小值嘛。要求这俩或的最小值，其实就是需要点 f 的轨迹嘛， 而点 f 的轨迹，大家想一想，我要知道点 f 的轨迹，点 f 是 e、 d 的终点，我其实是要找谁的轨迹？对，其实是要找 e 的轨迹啊，其实是要找 e 的轨迹。那么根据上一道题的这个这个这个铺垫啊，那我们应该有一个概念了，就是我只要能够找到 e 的 横纵坐标的表达式啊，我只要能把 e 的坐标表达出来，那么其实我就可以得到 e 的轨迹，那也就可以得到点 f 的轨迹，所以我只需要，我现在呢，就是只需要把 e 的坐标看能不能用一个同一个参数把它的横纵坐标表示出来。好吧，好了，那我们现在要去搞 e， 要去搞异，人家给了一个什么等腰直角三角形，等腰直角三角形斜着放在这里，这是一个标标准准的等值斜方问题，而一个标标准准的等值斜方问题，切入点是非常明确的，就是干什么？兄弟们， 就是三垂直，一个标准的将将这这这等值斜放，那我就三垂直吗？你会发现这些东西是靠积累的，不是说咱有多聪明，你标准等值斜放就靠积累，三垂直模型就就整他，对吧？那我就造一个三垂直模型，过亿做一个垂线，对吧？然后 c 再往这做，然后造出来这个三垂直模型，这两个三角形就是全等，因为这是 等腰直角三角形，这两个线段相等，所以这 c h、 e 和 e p、 d 这两个阴影三角形肯定是全等的。这两个三角形全等以后，我就是要利用他的边的等量关系去找这个点 e 坐标的表达，是吗？那这个时候我就可以干什么了？因为这里面线段一条都不知道，所以现在我可以干什么就可以干什么 剩，对吧？那我就这个时候我就剩，那比如说我就剩 d， p 是 a， 那么根据全等，是不是这也是 a， 对吧？再来再来，我就看一下剩下的能不能不剩，能不能写出来。哎，你比如说这个 c h 是不是等于 p o 的，那么这是二，这是 a， 所以 c h 是 a 加二， c h 是 a 加二，那么 e p 也就是 a 加二了。有了 e， p 是 a 加二，你会发现点 e 的坐标已经可以往出写了。横纵坐标都是 a 加二，对不对？横坐标 重，主要一家，所以 e 的坐标有了，那现在呢？我有了点 e 坐标的表达式，我最终是要点 f 的表达式， 用什么？我看大家知不知道啊？这个之前应该给大家讲过的，知不知道用了 e 的表达？是我，现在，我现在需要我，我现在其实不需要 e 的轨迹，我需要 f 的轨迹，所以我要进一步的去找 f 的，哎，对，终点坐标公式嘛，对吧？终点公式， 终点公式。终点公式，就是说什么事呢？就是终点的坐标是两头的坐标的相加除以二嘛，对吧？就是啊，二分之 x 一加 x， 二动二分之 y 一加 y， 二。 好了，那我就可以去写 f 的坐标了， f 是他和他的终点，所以横坐标就是二分之 a 加二，再加二就是二分之 a 加四，纵坐标就是二分之 a 加二，再加零就是 二分之 a 加二。好，到这我得到了点 f 坐标的表达是长这个样子。那么如果你听懂了刚才马哥讲的那个如何由这个韩餐的点坐标求得 f 的这个所在直线，那你自己试一下能不能把这条直线求出来， 就是点 f 在哪条直线上去运动，我就令 x 等于啊，二分之 a 加四，就是二分之 a 再加二嘛。而 y 等于什么呢？ y 等于二分之 a 加二，就是二分之 a 再加一嘛。 好了，呃，那我现在又可以带入校园了。那你会发现这个二分之 a 是不是就等于 y 减一嘛？二分之 a 等于 y 减一，哎，代换一下。二分之 a， 用 y 减一来代换，所以 x 就等于 y 减一，再加二，看把这个代进去，对吧？呃，哎， y 减一再加二，这样写了个等号啊，加二 好了，所以 y 就等于 x 减一，到这我就得到了点 f 的轨迹了，点 f 的轨迹就是这条直线， y 等于 x 减一。 有了这个 f 的轨迹以后啊，接下来的事就非常非常的简单了，我们就是重复一下这个标准的将军一马了，对吧？马哥带大家过一下就完了。那么接下来呢，就是 f 在这条直线上运动，我要求这两个或合的最小值，那就做对称吗？对吧？我就我就点地，关于直线，哎，去做一个对称地平， 然后呢？呃，那你会发现 f d 就变成了 f d 撇，我要求 f d 撇加 a f 的最小值，那就是 a d 撇，所以最终我就是要去求 a d 撇的值， 绕桥 a b 的地撇的直。看清楚，这是四十五度角，对吧？这是四十五度角，对称上来以后，这就是一个直角，这是直角。然后呢？呃，这条直线是 y 等于 x 减一，所以这个点的坐标是一斗零，所以这条线段长是一，这个线段长是一，这个线段长也是一，对吧？好了，那么最后要求 a d 片，这就是一个直角三角形嘛，这个直角三角形来，这条边长是五，这条边长是一，那么这条边就是根号下二十六， 这是根号下二十六。那最后我要求三角形周长的最小值，那就最后再加一个 a d 是四，所以答案就是四加根号下二十六。整个问题结束，最后给大家总结一下这类问题，要注意的就是我们要学会什么，就是你要记住的不是这道题是怎么做的，你要知道马哥是怎么想的，对吧？这道题的切入点 切入点是什么？是什么？等直斜方，你在八年级看到等直斜方唯一能干的事就是三垂直，对吧？这是这道题的第一个大家需要去学会的 点。当等值斜方的时候，我要想到去构造三垂直模型，然后三垂直模型完了以后呢？一条线段都不知道，你要有射的意识，对吧？你通过射，然后去看全等， 通过社区看全等，你设它是 a， 这也是 a， 然后这一段是 a 加二，这是 a 加二，那这也是 a 加二，就可以得到点 e 的坐标，得到了点 e 的坐标之后，我要点 f 的坐标。第三步，怎么得的终点坐标公式， 由终点坐标公式得到了点 f 坐标的表达式，由点 f 的坐标的表达式去消消餐 消。三、消掉 a， 消掉参数 a， 就可以得到点 f 的轨迹。有了点 f 的轨迹以后，最后就是一个标准的坐标系内将军印码的处理。这道题你要学会的是这四个关键步骤，你把这些记 完了，这些点都可以再换一个题再次去考大家，所以题是做不完的，但是这些点是非常有限的。