基本功AB数学三上第五单元

欢迎来到圆圆老师的小课堂，跟着圆圆老师攻克难题，提升素养。今天我们学习的是三年级上册教材第六十五页的第六题，我们一起来看一下这道题目。 如下图所示，两根木条 a、 c 与 b、 d 重叠在一起。我们先看一下第一问，如果 a、 b 等于 c、 d， 那 么 a、 c 与 b、 d 有 着怎样的长度关系？ 观察一下这个图，我们可以得出，木条 a、 c 的 长就等于 ab 加 bc， 而木条 b、 d 的 长呢，就等于 bc 加 cd， 你 看这个 bc 是 不是同一段长度呀？那它就是一个相等的量。 而在第一问当中呢， ab 和 cd 也是一个相等的量，那我们根据等量加等量还是等量这个关系，我们就可以得出， a、 c 等于 b、 d。 再来看一下第二问，如果 a、 b 大 于 cd， 那 么 a、 c 与 b、 d 有 着怎样的大小关系？ 同样的， a、 c 的 长还是等于 a、 b 加 b、 c、 b、 d 呢？等于 b、 c 加 cd， 左右两边的 bc 仍然是一组相等的量，而 ab 和 cd 呢，在这里就不相等了， ab 大 于 cd， 那 我们根据两个不相等的量加等量，大小关系不变。 意思就是原来 ab 是 大于 cd 的， 它们同时加上 bc 以后，依然是左边大于右边。这样这个题目我们就成功的解决了， 我们一起来总结一下这道题目吧。解决这个问题，我们运用了以下两个知识点，第一个是等量加等量还是等量？ 比如说 a、 b 和 c、 d 是 相等的，它们是一组等量，它们加上同一个量仍然是相等的。 第二个知识点是两个不相等的量加等量，大小关系不变。比如说原来 a、 b 是 大于 c、 d 的， 它们同时加上同一个等量，那么它们的大小关系是不变的，你学会了吗？关注我，学更多！

哈喽，同学们大家好，这里是佟老师教数学，今天我们来学习射线，线段，直线三者之间的联系和区别吧。 以这个表格进行总结，首先给出了我们了它们三者的图形，那它们的端点数各是几个呢？首先线段我们有 a 和 b， 可不是呦， b 只是一端， 只是射线当中取得任意一点，所以断点数是一个，而直线它没有断点，是零个。那延伸情况，延伸情况及长度，线段，线段是 不不能延伸，是可以测量的，而射线朝一端进行无限延伸，不能测量，而直线朝两端无限延伸，也不能测量。它们的表示方法，我们线段可以表示成线段 a， b 或者交换位置。线段 b a， 而射线我们以端点 a， 这个位置不能，这位置不能变。要先说射线 a b， 同学们注意这点，可不能字母 a 和 b 不 能交换位置哟。好，直线， 直线，在这条直线上争取的两个点， a 和 b， 所以 我们可以把它叫做直线 a b 或者交换位置直线 b a。 那 如果我用小写的字母 l 来表示，那我这里也可以把它叫做直线 l。 那同学们，他们三者其实都是直的，并且请你来看线段，哎，在直线当中出现了，那么射线在直线当中， 在直线当中，哎，也出现了，所以我们就可以说线段和射线都是直线的一部分。 同学们，通过这个表格的进行整理，相信你对他们三者之间的联系和区别有了更进更一步的认识，那么我们下次再见吧，同学们，再见！

好，来看这样一道题啊，这个是一道一次函数的压轴题，这里边涉及到了动点问题，也涉及到了双动点问题 啊，比较难啊，来，我们看一下啊，他说呢，已知这个直线过 a b 两点，这个 a 点呢，是负三勾零， b 呢是零勾负四，在 x 轴 y 轴上两点。其实里面呢，我简化了啊，第一问，很简单，求这个函数 它的这个解析式啊，这个地方是基本功啊，我就不讲了啊，得出来这个结果应该是 y 等于 good 三分之四， x 减四啊，应该是这样一个式的。 好，这个我们算完之后可以验证一下啊，当 x 等于零的时候，它 y 等于负四，当 y 等于零的时候， x 等于几，是不是等于负三啊？结果验证是可以的，没问题啊，来，下面我们看第一问啊，说在 y 轴上找到一点，就是三角形 bc， 对， 是以 bc 为幺的等幺三角形。 好啊，那么这个地方呢，我们看啊， b c 都是在这，都是固定的，对不对啊？那如果我们要以 b c 为幺做一个等幺三角形，那我们尝试把它画出来不就行了吗？对不对？这是幺。比如说啊，我们在这个地方找一点， 这就是那个嘚，把它们连起来之后啊，这个三角形 b c 嘚是以 b c 为腰的等腰三角形，很简单，对吧？啊，但这个题呢，还有一个情况啊，还有一个情况就是它在上头啊，在这个位置看， 哎，这样的话，它也可以是 bc 为幺，等于这个 c 段啊，这样的话，就是两种情况，我们只需要分别把这两个点的坐标算出来就行了，其实不难啊，因为这两个坐标我们都知道，这个边长我们就能算出来了，对不对？边长能算出来啊，只要这个幺的长度，要是算出来的话， 那你算这个就好算了啊，所以这个只要我们把这两种情况想全了，好，这个这个题就没什么问题了。然后我们接下来看下一个说在直线 l 上有一点 e， 那么在 x 轴上呢，有一点 f 啊，要使三角形 c e f 是 以 c e 为底的等腰直角三角形。 看啊，比如说这个地方呢，有一个点 e 啊，把这个画在这啊，这个是点 e， 然后在 x 轴上呢，有一个点 f， 找出来 f 啊，让三角形 c e f 是 以 c e 为底边的等腰直角，也就是如果把这个 c e f 给它连起来啊，那么能得出来的结论就是什么呢？ 就是这个 c f 和这个 e f， 它们这个是直角，而且它还是等腰啊，还是等腰。那么如果是这样的话，让我们求这个三角形的面积 啊，其实我们只需要把我们需要的东西求出来，其他的都没问题。比如说我要想把这个面积求出来，我只求出 e、 f 的 长度是不是就可以了？或者说我求出来这个 e 和 f 坐标是不是就可以了？ 好，那么第一个我们要迈过的坎就是你得把这个图画出来，把这图做出来之后，接下来我们再考虑怎么去求得 e 和 f 坐标。 好，那么像这种在平面直角坐标系当中，涉及到等腰直角三角形啊，或者说他给你 九十度、四十五度这样的特殊角，它跟这个等腰三角形，等腰三角形差不多的概念啊，我们的做法通常都是要做什么呢？一线三垂直，比如说我们把这个地方做个垂直出来啊，一线三垂直，这就是构造出来了啊。来看一线三垂直 是不是就做出来了？然后由一线三垂直，我们知道这地方直角，这是直角，直角这是等腰，然后这两个三角形是全等的。好了，那么这个地方是压轴题啊，如果你能做到这个地方，我觉得应该都知道一线三垂直，而且这两个三角形全等，我觉得你们应该都会正，对吧？ 好，那么接下来我们看啊，这个，比如说这个点是 m 啊，这个点是 n， 嗯，那我们通过证明，我们就能得出第一个有用的条件啊，就是这个 m c， 它是一，没问题吧？长度是一，对不对？然后呢，所以这个这个地方是 f 啊，所以呢， f n 它就等于一啊，然后这个 m f， 看这边 m f， 它是不是应该等于这个 n e 啊？哎，这是通过证明证出来的。而这里面的特殊还有一个点，就是这个 e 点是在这条直线上的，对不对？那我假设说这个 e 点 的坐标横坐标是 x 啊，那它的纵坐标是不是就是这个负三分之四 x 减四啊？我们把这个负三分之四 x 减四用来表示它的纵坐标，那我们刚才说了，这个 m f 它不就等于 ne 吗？而这个 ne 它不就是它，它纵坐标的大小吗？看见了吗？ 而这里面这个纵坐标是个负数，对不对？这里面这个纵坐标是个负数，所以我们要表示 ne 的 长度， 它应该等于这个数的绝对值才对啊，所以呢，它就应该等于三分之四 x 加四 啊，这个地方我觉得，嗯，应该都没问题啊，如果你想盐加肉皮的话，这种用代入式表示这个线段长度的方法应该都是会的。好，那么 n e 我 知道了，那么这个 m f 是 不是也是这么长？ 好，那我们再看啊，这个 n f， 它等于一，这个地方等于一，而这个 n o 这段看好从这到这 到坐标原点，这段是 x 啊，确切的说应该是 x 的 绝对值，因为这里面 x 是 个负数啊，或者说负 x 都行，那这段是 x， 我 们想表示出来的是这个 m f 对 不对？ m f 它是不是应该等于 这个 m o 加上这个 f o 对 不对？而 m o 我是 知道的， m o 这不是二吗？对不对？ 那么这个 f o 呢？ f o 这一段我是不是可以用 x 来表示？因为这段是一啊，这段是一，然后这段是 x 绝对值，是不是就是 x 绝对值减，也就是负 x 减，嗯，所以它用 x 表示出来，它就应该是负 x 加一， m f 的 长度是，这个 m f 的 长度是不是等于？刚才说了等于一啊？等于这个，所以我们就列方程了，负 x 加一，它等于三分之四， x 加四，好解，这个方程挪过来加 x 变成了三分之七， x， 嗯，等于挪过来变成了负三，所以 x 等于负的负三乘以七分之三，七分之九， 这个横坐标我们就求出来了，那同样的纵坐标我们是不是也知道了啊？这个纵坐标是不是就是带进去就行了？负的三分之四， x 减四，对不对？也不应该等于负的是多少？一分之十六，好像是啊，它的横坐标都求出来了，所以我是不是就能求出来这个 n e 的 长度了， 那等腰直角三角形，你要知道它了，还不如去面去，那下面咱们就不说了啊。那么接下来我想说的是还有一种情况啊，因为我们说这个 e 点，它在直线 a b 上，它没说非得在线段上啊，注意审题，这里边说的是直线看见吗？ 在直线 l 上，所以呢，它可以在其他位置，比如说在上边啊，比如说它在上边。我们看， 假如说这个地方有一个点 e 啊，有点，有点太远了啊，咱们这个图画的可能有点不清晰啊，来凑合看啊，假如说这个地方有一个点 e， 然后呢这个 x 轴上有一点 f， 比如说它在这，哎呀，这个这个图画的有点小了啊，实际上应该比这还要远一些，咱们就凑合看啊，这个 f 就 在这。好，那么让这个 e f c， 它是一个等腰直角三角形。好，那也就说这个里边这个 e f 垂直于 f c， 而且 e f 等于 f c 好， 那么这种情况下说这个角它就是个直角啊，然后这两条边还相等，我们同样要用一线寸尺啊，同样一线寸尺，就是把这个寸尺做出来 看，然后呢把这个垂直做出来，我们通过等腰啊，然后呢九十度，九十度，然后呢证明一下这两个角相等啊，我们还是能够得出三角形这个地方，这个地方写 p 啊，好， e f p 全等于三角形 c f m 啊， 好，剩下的方法是一样的啊，因为这个 c m 等于一，所以这个 f p 它也等于一啊， f p 它等于一，然后这个点 e 的 横坐标呢？我们还是假设它是 x 啊，这还是 x 度负三分之四， x 减四， 还是这个，然后呢？这个这个点啊，这个 f p 啊，这 f p 它是一，等于这个啊，然后这里边这个 f m 就 得等于这里面这个 e p， f m 就 等于这里面这个 e p 啊，如果觉得这里面看不清，好了，那我在旁边重新画一个啊，重新画一个简化一点的图啊，简化一点的图，也就是说这个直角呢，它是这样的，这样的一个 等腰直角三角形啊，这是 e， 这是 f 啊，这是那个 c， 然后呢，中间它不是有个横轴吗？对吧？啊，这不是那个纵轴吗？ 动轴是这样的啊，哎，我重新画一下这个图，大概是这个样子啊，就是这个这个图画的不太好啊，然后我们做的一阶梯值是这样的，哎，看，哎，往这做个垂直，往这做个垂直啊，好，所以虽然有点看不清。这个 p 点是在 x 轴上的啊，这 p 点是在 x 轴上的 啊，所以呢，就是这个 f p 等于一啊，这个等于一，然后呢，这个是 x， 然后这个 f m 等于这个 e p 啊，也就是说这个 m 就是 p 啊，这个 f f m 等于这个 e p。 好 了，那么这个 e p 的 长度是不是就是这里边的坐标标 速度要大小，对不对？哎，然后这个这个 p f 告诉我们是一了，然后我们还是列等式啊，把这个 f m 给它表出来，把 f m 给它表出来，那么这一段，这一段是二，我们是已知的，对不对？因为这个 c 列横度标是二嘛， 然后呢，这个，然后这一段呢是 x， 然后这段呢是一，所以这个 f m 的 长度 我们就可以表示出来了，应该是等于 x， 这个 x 是 个负数啊，应该是 x 的 绝对值，或者说负 x， 这个地方要搞清楚啊，应该是 x 的 绝对值加上一个二，再加上一个一啊，也就是负 x 加三，这是 f m 的 长度，然后我们再看这个 e p， 那 么这个 e p 它不应该等于负的三分之四 x 减四吗？我们刚才说了，它俩相等，对不对？ 现在的长度是一样的啊，所以这个负 x 加三，我们就变方程就行了，等于负的三分之四 x 减四。好，这里边不用加绝对值是正的啊，所以加不加绝对值都一样啊，就是开开，这也是它啊， 好解，这个方程，我们把它挪过来，这个变成了三分之一， x 等于 负七，所以 x 就 等于负的二十一。好，那我们这个横坐标就求出来了，那么它的纵坐标是不是也求出来了？那么它的横纵坐标要是都知道的话，剩下的问题是不是解决了 啊？作为一个等腰直角三角形啊，这点坐标也知道，这点的坐标也知道，那剩下的斜边直角边我们都能求出来。好，那么下面的求法就不说了啊，那么这道题呢，可以作为八年压轴题，还是有点难度的啊。好，就讲到这。

这个将军不印马，学渣连题都看不懂，学霸一眼识破，别说模型不重要，看题动点最值得应用题。第一问比较简单，第二问呢，稍微复杂一点点，只要你建好模型。第二问有点类似于将军 硬码啊，他并不是将军硬码，但是他类似我们要用到将军硬码的转化思想。其实第一问呢，也需要转化，我们一个个看啊，在等腰三角形中啊，这样一个等腰三角形，它的形状和大小都确定了，顶角是一百二十度，然后有一个圆，圆心是 顶点，同时半径是四啊，也就是说整个图形都是定下来的。现在 p 点和 m 点分别在圆上和 ab 这条线段上，要求 pm 的 最小值，这该怎么求呢？其实很容易就直接过 o 点做 ab 的 垂线，然后 这样的一段就是 pm 的 最小值。我们怎么去说明呢？我们可以用转化的思想去说明，我们首先呢，把 o p 给连起来，然后再连接 o m 和圆的交点，这里呢，我们记作 q 点， 我们很容易得到。根据三角形的三边关系， o p 加上 pm 是 要大于 o m 的， 而 o m 呢，是可以把它变成 o q 加上 q m 的。 我们知道 o p 和 o q 都是半径，所以可以消掉， 于是可以发现 pm 它始终要大于 q m， 当然也有可能取等于的情况，那么我们要求 pm 的 最小值， 那么就把它转化成了求 qm 的 最小值是不是？好，那现在要求 qm 的 最小值，我们可以把 qm 呢也转化成 om 去求，因为当 om 最小的时候， qm 是 不是也就最小了？因为 q m 加上一个常数 o q o q 的 常数四嘛，所以 om 最小， q m 也就最小了。那 om 什么时候最小啊？当然就是垂直的时候，此时最小了啊。 pm 的 最小值我就直接写了啊，刚刚做做了一个说明啊，我就不再追溯了。就是转化嘛， 四倍根号三减去四啊，这个自己去算一下就好了。接着我们来看第二问，第二问其实也是转化的关系，只是说他的描述稍微复杂一点，给出这样一个图形，这个五边形呢，他的每条边都告诉我们了啊，一万， a b 的 长也是一万，同时 bc 的 长和 d e 的 长是六千六千，然后有直角，有直角，有直角。现在要在五边形内做一个圆，不管这个圆在哪里，假如 在图中的位置过圆心做垂线，这是垂直的关系，同时呢，和圆就有交点， n， 把 b n 连起来，然后 再去在圆上去找一个 p 点和 e 点连起来。哎，现在图中有三段线，大家看啊，三条红色的线段，这三条红色的线段就是我们要修的路啊，也就是要讨论的对象，当 b n 和 e p 之和最短， b n 这条蓝色的和这条蓝色的 和最小的时候，要使得 m n 绿色最小，此时求 o m 的 长啊，这个看起来很绕，那换句话来讲， 两条蓝色最短的时候，它的位置不是一个唯一的位置，应该是一个轨迹，把这个轨迹上面求出 m n 最短，那此时就唯一了。好，这就是我们对题目的分析，那么接下来我们就需要做一个简单的转化就可以了。大家看啊， 蓝色的和蓝色的最短值呢，其实就是把 o 点和 e 点给连起来。好， 那么这样的一段蓝色线 p 点呢，就是在这个位置，而下面这一条蓝色的线段最短呢？其实我们可以把这条蓝色的线段向右做一个平移，平移半径的位置，也就是在这里我们记作 b 次点，我们可以把 b n 转化成 ob 次，因为构造了一个平行四边形，这个蓝色的， 那换句话来讲，要求 b n 加上 e、 p 可以 把它转化成 ob 次，加上 o、 e， 它们的长度，左边并不等于右边，当左边要最小，其实就是求右边最小。为什么要做这样的一个转化呢？因为左边的 b n 和 e p 是 两条线段，这两条线段没有什么关系，你看啊， b n 和 e p 是 两条离得很远的线段，把它转化到了 o b 次和 o e 这两条线段就有了一个共同的端点。做这样的转化之后，一切就迎刃而解了啊。我们左边的这两条线段之合 并不等于右边之合，但是左边最小的时候，就代表右边最小，反过来我们要求左边最小，那就是求右边最小。 于是这个问题就转化成了一个动点 o 到两个定点距离和的最小，那 o 点的轨迹就是在 b 次 e 这个线段上就可以了吧。 o 点在这里， o 点在这里， o 点在这里，都是满足条件的。好，那现在我们把 o 点的轨迹是不是给求出来了？ o 在 b 次 e 线段上找到了 o 点的轨迹，画出了图形，再去求 m n 最短。圆是要放在这样的一个矩形中， 题目条件是有要求的，这个圆呢，只能是在这里，圆心啊在这里啊，或者最下面是跟它相切的时候，在这里 也就是这个圆和 f d 相切，那么不管在哪里，是不是都会找到一个 m n 的 长啊？你看，越到上面这个 m n 是 不是越长啊？越往下 m n 就 越短吧， 那要求 m n 最短，是不就是最下面这个圆啊？圆和 f d 相切的时候吧。好，那么我们做一个切点在这里，那么 m n 呢？我们就画出来了啊， m n 这个点是 n， 这个点呢，就是我们要求的 m。 好， 这是垂直的，上面这个 m n， o p 就 就擦掉了，就不管它了。 好，我们画出的图形的位置要求 om 的 长，这 om 的 长该怎么求呢？其实就很好求了，接下来就是一个简单的计算要求， om 实际上就是求 m n 加上 o n， 对 不对啊？ m n 在 这里吧， o n 就是 圆的半径，我们可以把这个圆做一个延长啊，切线处延长，延长到下面来，同时 n 点和 b 点连起来，这是不是平行的关系啊？这两条线 现在我们要求 o m 是 我们的目标，而 o n 的 长是不是一个定值三十啊？是半径吗？那其实就是把 m n 给求出来就可以了。好， m n 呢？在图中 这个位置 m n， m n， 它刚好在这样一个直角三角形中吧，我们只要把这个直角三角形的一个角或者是一条边给求出来， m n 是 不是就求出来了？这是直角三角形的三角函数关系呢？好，那我们现在该如何求呢？我们很容易求出它的一个角，为什么呢？这个角我们记住阿尔法的话，它是不是等于下面这个阿尔法？ 因为这条线和这条线平行嘛，然后它是等于中间这个阿尔法的同位角内错角，对吧？所以图中这两个阿尔法是相等的， 那么我们只要把这个阿尔法的正切或者是某一个三角函数值给求出来就可以了。这个阿尔法好不好求啊？很好求吧，你看，延长，延长，那么很容易得到。阿尔法的正切是等于 e s 比上 b 次 s 的 e s 长是一万，比上 b 次 s 呢，就是一万，减去三十， 那就是一万比上九九七零啊，我就不再约分了，你也可以把这个零给约掉。我们得到了 alpha 的 正切，那么也就是这个 alpha 的 正切。知道了要求 m n， 它是不是就等于 mb 除以阿尔法的正切啊？好，那我们带进去就可以了。 mb 的 长呢？就是 f b， 再加上三十嘛，四零三零， 我直接写了，就很容易了。阿尔法的正切就是一千吧，比上九九七，最后很容易得到 m n 的 长， 四零一七点九幺， m n 求出来了，要求 o m 啊， o m 就 等于四零四七点九幺啊。就做完了。这道题呢，嗯，是一个 应用题。首先，那么他考察的呢，其实是圆和直线的一些位置关系，关键就是转化两次。 这第二问啊，求最值的位置，其实两次用到了最值的转化，第一次是保证 b n 和 e p 之合最短，这是第一次转化。我们求出了此时圆心必须在这样的一条直线上，然后再去求在这条直线上满足 m n 最 短。这条直线是怎么来的呢？我们用到了构造一个平行四边形的方法， 也就是图中的 n o b 次和 b 是 一个平行四边形，利用平行四边形的对边相等作转化，把两条毫不相关的 b、 n 和 e、 p 转化成了 有共同顶点 o 的 两条线段，也就是说把两条线段转化成了一条折线。这是我们第一次转化， 然后找到了洞点圆心 o 的 位置，再去求 m n 最短，那就一切迎刃而解了。最后就是解一个简单的三角函数。这道题和大家好好体会一下 中考数学背后有无规律，最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥我从二零二零年开始，每年一百道中考亚洲真题汇总至今全网最详细的分类。 这是一项大工程，当然也很值得。我发现了很多很多有用的结论和规律。这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三陪游体系。

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