合肥初二数学几何综合题

今天预测一下合肥初二期末数学必考的两道大题，年年必中的啊，分别是几何综合和三角形的动点综合。为啥我敢这么说呢？因为往年各个名校的真题卷啊，都是考这两类题型， 你只要考前把他们练会了，就能稳拿那二十六分。为此呢，我专门从一百道题整体里面精选出来了二十道，都是这两种题型啊，参考的价值非常高。那想要冲击班级前三的，一定要拿回去练一练，有需要的私信我。

好，各位同学们，今天何老师再来分享一下这个科大高新附中他这个二零二三到二零二四的这个大题的压轴题。 这道题的第二问十分考验孩子们这种全等的构造思想，然后呢，整理条件，倒角啊，这个综合的考察，这道题我建议大家一定要去做一做这道题，我们先来读题啊，首先他告诉我在等边三角形 a， b， c 中 e 和 b， c 的 边上。好， 那在这里第一本直接就很简单，有个等边，如图一，如果 a e 等于 b f， a e 等于 b f 以 a， c 呢？又做一个等边 a， c， d 出来，那在这里我们就知道你这几个全都是等线段，而且全都是六十度角 是吧？具体看怎么用？第一本证明 af 等于 c、 e， 那 相信这个对大家来说应该难度不大， af 和 c， e 呢？这种线段相等，我们就可以通过全等的方式把它塞到两个三角形中，那这个老师可能就讲快一点，我们直接可以证明三角形 a、 b、 f 全等于三角形，注意对应边啊，应该是 c、 a、 e 的 全等，这个相信大家没有问题，我们通过 s， e， s 两边夹一角啊，老师简单描一下两边夹一角对吧？夹角刚好是六十，这边两边夹一角，带点旋转的感觉啊，这个题就快速过了。第二本，同学们看，我们证明 o d 平分角， a， o c， o d 平分角， a， o， c 这个角平分，那像这个同学们已经开始上强度了啊，我估计有很多同学这个就是做不出来的。 那在这里同学们老师先复习啊，再说想法，我们想要正角平分，怎么去正角平分呢？应该有两种思路是吧？哪两种思路？正角平分， 第一种的话，那就比较简单了，比如说这是角一角二，我们就直接证明角一等于角二，非常简单。那我们通过导角啊，或者构造全等去等量代换等等，只要你能实现角一等于角二就可以了。那这不就典型的角平分线吗？是吧，但是别忘了，很多同学都忘了这一招还有什么呢？我们可以利用角平分线的判定。 角平分线的判定，这个必须要复习一下啊。角平分线判定是这样说的，如果朋友们在角的内部，如果有一个点到角两边的距离相等， 比如说朋友们在这里啊，在这个角 a o b 的 内部，有一个角，有一个点啊， p 点，它到角两边的距离相等，那很明显这个点就在角的平分线上，是吧？这个证明方式很很简单啊，就是我们通过共边加上你这个距离相等，直接用 h l 正全等就可以了。 那所以这就是咱角平分线的判定。那这道题我应该怎么思考呢？啊？还是有点难的。 在直接倒角方面，那我们发现角一角二的等角也没有什么全等，所以这个题不禁就想到了角平分线的判定那，但是同学们，这个可以想，但是在正找条件来说，难度还是有点大的啊，有点大的， 我们知道角平分线判定是过这个点向角两边做垂直，是吧？所以我会想到，哎，我过点 d 向这个角的两边，比如说一个边呢？是这个 a f， 比如说这是 m， 是 吧？再往角的另一边 o c 这个边 n 去做垂直 啊，如果我能证明 dm 等于 d n 就 好了是吧？所以我们的倒推是要证 o d 平分角 a， o， c， 我 只需要证明 dm 等于 d， n， 那 这就不就是咱角平分线的判定吗？那 dm 等于 d， n 又如何实现呢？ 那这个时候同学们必须要先猜再证了啊，靠感觉，靠条件的推断，靠对于全等的发现有什么？ 那我会发现哦，本身它在第二面给了一个等边三角形出来，所以我知道 a d 啊，在这里我老师标记一下啊， a， d 是 等于 c， d 的， 都是等边三角形， 所以这给了我一种这种旋转型全等的感觉。但是那我们都知道他们全等的话，边确实有了，直角也有了，还差一个，所以我们大概的想法是想要证明三角形 d， a， m 全等于三角形 d， c， n， 那 这个怎么办呢？ 那又有俩条件了是吧？已经有一个九十度角，还有一个，哎，这个 d a 等于 d c， 那 还差一个，应该怎么找呢？这就很烦了， 那所以在这里他们就要不停的思考了，其实思考的话大概两个方向，首先，找边还是找角，其次，那找边的话怎么去证明边相等，找角的话如何倒角是吧？这些都是在你的思路里，你要快速的去想。 那在这里我同学们从条件来说应该是去找角，为啥他们因为你的做了垂直出来，在这里 am 和 cn， 别想了，你根本不知道 他是根本垂出来的是吧？ dm 和 d n， 那 更别说了，你能挣出来，你还挣个嘚，全等就不需要全等了，所以在这里很明显要去倒角，倒角怎么倒呢？找谁帮忙呢？ 所以在这里同学们我会想到是正这两组角相等，这两角相等啊，这两角相等是吧？因为上面这两个公角模型可能还看的不太出来，下面这两个角好像有点关系，那在这里怎么去证明这两个角相等呢 啊？我们想要证明这个角 d a、 m 等于这个角 d， c、 n 这个角相等，如何实现呢？在这里同学们就要触碰到本质了，同学们，倒角，倒角就是找关系， 谁和这两个角有点关系，我把它盯出来，你会发现他们 dm 跟谁有关系，跟他隔壁兄弟有关系。这个角不妨老二把它记为阿尔法 是吧，有什么关系呢？利用题目中的已知条件本身的 b a c 角 b a c 是 等于六十度的角， d， 这个 d a c 也等于六十度，所以他们这个大角啊，这个大角是一百二十度角，所以你会发现他跟谁有关系？他隔壁兄弟 是吧？他是等于一百八一百二十度减阿尔法的减阿尔法，这是他跟谁有关？那在这里角 d， c、 n 有 跟谁有关呢？他呢？他们更直接的话，你不能找这个直角三角形啊，找他的隔壁兄弟。在这里，我知道这边呢，是一个六十度， 因为是等边三角形，那这个呢？同学们就用到了，没有白给的第一问，那他也是阿尔法 啊，这个同学们大家仔细看一下啊，是第一位以正的全等三角形的对应角也是 r 法，所以同学们你会发现这个角第三也是一百八十度减六十度，再减 r 法也是一百二十度减 r 法。那这个题 迎刃而解，倒角又倒明白了啊，所以这个题同学们，说实话，从这个圈二开始难度就已经提升了， 我们的判定的分支是吧？我们的找条件全等的发现条件的推测，这个难度很大，我建议大家对这个题要好好做一做好这个题，我们先总结到这。

还有不到一个月的时间就期末考试了，而九年级的同学呢，马上就进入到了中考的冲刺阶段，不知道你有没有一种疑问，就是几何要学到什么程度，能够达到考试的要求？今天给大家分享的这道题，就给同学们提供了一个参照标准，这道题能够在二十分钟以内做出来的， 基本上就能达到安徽中考考试的要求。这就选自合肥名校科大附中十二月断考的几何压轴题，也是我们名校压轴题训练营的重点给同学们讲解的一道题。 我们来读题，他说，在三角形 a、 b、 c 中角 c、 a、 b 等于九十度， a、 d 垂直于 bc。 在 图一中，这是一个特殊的等腰直角三角形，当然， d 点和 e 点都是中点。 在图二中， a、 c、 b 依然是直角三角形，只不过角 b 是 三十度，也即使它是一个特殊的三十、六十、九十度的直角三角形，而在图三当中，它是一个一般的直角三角形。只告诉我，角 b 等于阿尔法 a、 e 和 b、 e 之间的数量关系很明显，这三问之间是有联系的。也就是说，你做第一问的解法，其实会影响你做第二问和第三问这道题呢？他的第一问，我给大家提供两种解法，一种是普通同学的解法，另外一种是老师的解法。你看一下哪种方法你认为更好一些？ 在图 e 当中，因为 d 点是 bc 的 中点， e 点是 ab 的 中点，所以我们能想到连接 d、 e， 那 么 d、 e 就是 三角形 abc 的 中位线， d、 e 平行于 ac， 且等于二分之一 ac。 当然，这个三角形 d、 e、 b， 它也是一个等腰直角三角形。 在这里我们能看到 d e、 b 这个直角和 c e f 这一个直角是重叠的，也即使这里是一个叠角模型。 来背一下口诀，叠角必有等角，也即是此时这个角等于这个角。而我们要的 g e 和 e f 是 不是在含有这两个角的三角形 g d e 和 e f b 当中？所以这两个三角形我们正一下它全等，就能够把这道题 ef 和 e g 的 数量关系确定下来。 这两个三角形当然是全等， d e 是 等于 e b 的， 也即是有一个边相等，这个角是四十五度，这个角也是四十五度， 所以这两个角相等。而刚才我们已经证明了有另外一组角也是相等的，所以我们根据 a s a 就 能够判定这两个三角形是全等的，也即是 g e 等于 ef。 第二种方法就是老师的解法，是通过辅助圆的思想， 因为在这里已经明确的告诉你，这个角是直角，而这个角也是直角，因此 g、 d、 f、 e 四点是共圆的， 共哪一个圆？当然是以 g f 为直径的这样一个圆。辅助圆做出来之后，我们能够很快的看到这两个角是相等的，并且都等于四十五度，所以 g e f 它是一个等腰直角三角形，因此 g e 等于 ef。 ok， 好， 这是另外一种解法。我们来看第二小问，第二小问呢？它的条件是把角 b 等于四十五度改成了角 b 等于三十度。依然让我们探求 e f 和 f g 的 数量关系，因为在第一问中，角 b 等于四十五度的时候， ge 是 等于 ef 的， 那么当这个角变成三十度的时候，我们再根据 ge 和 ef 目测一下， ge 是 大于 ef 的， 所以我们可以推测出，其实大多数的同学都可以推测出 ge 是 等于根三倍的 ef 的。 要证 g、 e 等于根三倍的 e、 f， 也即是让我们求证 g、 f、 e 这个角等于六十度，也即是让我们求证 a、 d、 e 这个角也为六十度。因为这两个角它是相等的，它都是弧 g、 e 所对的圆周角， 所以我们用引元可以快速的看到这两个角是相等的。如果 a、 d、 e 为六十度，由于这个角 d、 a、 b 已经是六十度了，也即使这个三角形它是一个等边三角形，我们此时只需要证 a、 d 等于 a、 e， 就 可以确定这个三角形 a、 d， e 是 等边的。题目中说 这个三角形是一个特殊的三十、六十、九十度的直角三角形，不妨设 c、 d 的 话，是不是等于根三？ a ac 是 不是等于二？ a ab 的 话， ab 是 不是等于二？ a 再乘以根三，也即是二倍的根三 a， 此时注意一下， e 点依然是 ab 的 中点，所以 a、 e 等于二分之一的 ab， 那 就是等于根三 a， 所以 它俩是相等的，从而我们就证明了 g、 e 确实是等于根三。 e、 f 这个角是六十度 来看最有挑战性的疑问。这道题的前两问，如果你是用引援做的话，那么第三问这个思路也很容易用引援来建立。它是不是让我探究 e、 f 和 g e 的 数量关系，因为在这里 e f 和 g e 是 垂直的， e f 和 g e 的 数量关系也既是让我求这个角，在这里我标了一个角一，也就是角一的正切值，就是 tangent 角一是等于 e f 比上 g e 的 好。注意一下，这里有个关键的思路， 是不是让我求角一的正切值，此时我如果把这个辅助圆做出来之后，角一是不是等于角二，那么你要果断的把角一的正切值给我转化成角二的正切值， 也就是说让我求角一，我偏偏不用角一，我一定要转化一下，这样的话思路才容易打开。这就是数学题目他比较狡猾的地方就是你一定要转化一下思路，才能是不转化。在这里死磕角一的正切值可能是不好求的， 要求角二的正切值，我们是不是可以从 e 点往 b c 做垂线？假设垂足为 h 的 话，那么此时 tangent 角二是不是等于 e h 比上 d h 来用题目中给的条件表示出 e h 和 d h。 先来看一下 e h e h 是 不是用题目中给的这样一个条件， a e 等于 k b 的 be 是 不是 be 乘以三点二法，而 d h 来看一下 d h 是 这一段，它是不是等于 b d 减去 b h， b d 这一段是等于 ab 乘以口三幺二法，而 b h 是 不是等于 be 乘以口三幺二法？所以 d h 最终我们算出来是等于 a e 乘以口三幺二法来把这个代入到这里， 那么这个式子就变成了 be 乘以桑尔法比上 ae 乘以口桑尔法，此时 be 比上 ae 来看一下 be 比上 ae 是 不是等于 k 分 之一，而桑尔法比上口桑尔法是不是等于 tangent 阿尔法。 所以最终 ef 比上 g e 就 等于 k 分 之 tangent 阿尔法。这样的话就做出了这道压轴题的第三问， 想要最终拿下几个压轴题的同学，注意一下这道题老师的解法是不是主要是两个思想，第一个是不是辅助圆？好，你不要光会辅助线是不够的， 要会辅助圆。第二个就是转化的思想，这是数学的灵魂，他不是让我求角一的正切值吗？我偏偏不用角一，我把它换成另外一个角，这样的话呢，就容易打开思路。

一道亚洲题问题探求第一位，如图一，在锐角三角形 a、 b、 c 中，分别以 a、 b、 a、 c 为边儿，向外做等腰直角三角形 a、 b、 e、 a、 b、 a、 c 为边儿，向外作等腰三角形。 a、 b、 e 和 a、 c、 d 使 a、 e 等于 a、 b。 好， 它等于它， a、 d 等于 a、 c， 它等于它。然后角 b、 a、 e、 b、 a、 d 等于九十度。 好，这标俩直角符号，然后连接 b、 d 和 c、 e， b、 d 和 c、 e 这两条直线。请判断 b、 d 和 c、 e 的 数量关系。哎，我怕乱，我就用 相同的一个颜色的笔给它描出来，我要求 b、 d 和 c、 e 这两条直线的长度关系，一看不就是相等，哎，你想正相等， 那不就得把它放在三角形里面求证明三角形全的对一遍就行了。那我把它放到这个三角形还是这个三角形，哎，一看给你的条件多的地方，哦，那就是 a、 e、 c 和 a、 b、 d。 哦，这个两个三个角形看起来还真的是全等，咋看呢？瞄一下啊，这个 a、 d 这个边儿是不是等于 a、 c 这个边儿？ 等下这角三角形，那在这个三角形它的一个边儿，这个三角形它的一个边儿一个对应边儿已经相等了。好，再看这个红色的， 那你这一条边还等于这条边啊，又是一条对应边吧。在这个三角形当中红边，这个三角形当中红边。哦，然后剩下的这个绿边不就是我们要求的那条直线吗？ 哦，那就是红、蓝、绿三条边组成个三角形，这也是一样，三个对应边相等的话，我就全等，但是这个绿边我现在不知道相等不相等，要让你证明，你说你已经知道两个边相等了， 你要求全等，另外一个边还不知道，那你肯定就是 s a s。 那 你就求红边跟蓝边的夹角喽。 红边跟蓝边的夹角，那就是这个，这个红边跟蓝边夹角，那就是这个呀，你看这不相等吗？这都是九十度，中间是一个公共角，俩一样， 我九十度加上你，我九十度加上你。哎，那咱俩也相等，这不是典型的手拉手模型喽。 好，那我这一题已经整完了啊，他等于他手拉手模型，我们和旋转挂挂钩看下。手拉手和旋转有啥关系？你看我这个三角形和这个三角形 红、绿、蓝三角形，它旋转了多少度之后变成了这样， 你看旋转多少度？不得先找旋转中心，就点 a， 再找旋转角。旋转角怎么找来？是不是对应边之间的夹角， 也就是我从这条边对应着你这个三角形的这条边，那你的旋转角，这不就是九十度吗？哎，所以说这俩三角形是旋转了九十度过去的。 太好了，好，就先就先联想到这儿吧，先看深入探讨了。哎，刚才是问题探讨一下，现在深入探讨一下。第二，如图二， 在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于五 啊， bc 等于二，然后角 abc 等于角， a、 c、 d， abc 等于角， a、 c、 d 等于角， abc 等于四十五度。我要把这三个角找出来啊， abc 是 这个四十五度， a、 c、 d 是 这个四十五度， a、 d、 c 这个四十五度。好，哎，这俩角相等，哎，等腰三角形，这两个边相等四十五，四十五，内角和一百八，这还是个直角。等腰直角三角形出来了， 好，让你求 b、 d 的 平方的值， b、 d 平方的值，我再给他把这条直线描出来，显亮一点啊。 b、 d 这条边的平方， 求一条线段的平方，那我肯定不是把它放在直角三角形里面的，放直角三角形里面，三边关系就是平方了 哟，我怎么把 b、 d 放在它里呢？放在直角三角形里，这是个直角三角形。刚才说手拉手旋转 物旋转，你这咋还虚线都标出来了。妈呀，题没看完。嘿嘿，这是最 重要的啊，题一定要看完再再读啊。假同学受到第一位的启发，构造了如图所示的一个和三角形 a、 b、 d 全等的三角形。 受第一位启发，嗯，它也旋转了，将 b、 d 进行转化再计算。 那这个 b、 d 刚才和它类似啊。中间一个三角形，两边做等腰直角三角形，你这也是一个等腰直角三角形，那就这个就是中间那个三角形，那你向这边做了一个。哦，那你现在再往这边做一个等腰直角三角形， 那么我这个 b、 d 能转化成谁？不就转化成 e、 c 了吗？啊，好把它描出来啊。哎，那这两条线段相等嘞， 让你准确地描述出叙述辅助线的做法。辅助线的做法， 准确的描述。那我不就是以 a、 b 为边做一个等腰直角三角形，使得 a、 e 这个边等于 a b， 而且使角 b a、 e 等于九十度吗？我和你的描述是一模一样哦，完事 好啦，现在 b、 d 转化成他了，我要求他的平方，就是求他的平方，他的平方。这这，这是一个直角三角形吗？这边肯定不是。那看这个。这，我看啊，这是四十五度。哎，你做的这个辅助三角形， 好像这也是四十五度，这也是四十五度。那这的四十五度加上这。原来人家告你这的 a、 b、 c 这个角等于四十五度，那我这不就成了啊，九十度的角了吗？ 啊？直角，也就是把 e、 c 放在直角三角形里面。那我不是知道你这个 b、 e 和 b、 c 就 好了， b、 c 现在等于二，已知 b、 e 等于多少？ b、 e 在 这个直角三角形当中， 斜边，哎，你的直角边告诉我是五，一比一比根号二，那你这是五，我这就是五倍的根号二喽，它是它的根号二倍。啊，这两边有了，那我要求 e、 c 的 平方。 哎，重写一下 e、 c 的 平方，它其实就等于。我们要求到 b、 d 的 平方，它就等于五倍的根号二的平方加上二的平方。 五五二十五乘二，五十，加上二得四，等于五十四。好，第二个搞定。第三，如图三。妈，这是变式思考，哎，又变了，好难呀。 如图三，在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于 bc。 好， a、 b 等于 bc。 我 瞄一下角， a、 b、 c 等于六十度，这儿是六十度。嗯，等幺三角形，有一个角是六十度，那这你不就是等边三角形吗？ 三个六十度好，然后角 a、 d、 c 等于三十度，然后 a、 d 等于四， 这节等于四， b、 d 等于七，这节等于七，则 c、 d 的 平方。哦，买，又求一个线段的平方，那你这 c、 d 的 平方我不还得给你割 直角三角形当中吗？那像它似的，便是思考，我再转化呗，转化到哪能成 九十度呢？你这三十度，我把你咔嚓割下来，然后咔嚓，对到这行不行？哼！但是这是一个什么样的操作？ 这也不是旋转了吧，都没有旋转中心了，便是思考，那你得在人家这基础上走，对吧？我好像这样倒过来，插着 差过来，我的 a d 在 这，那我 c d 跑这了， 这三十度倒是差到这了。三十度和这是九十度了，那这 这和它能合上吗？那也不是直角三角形啊，有点怪哦，好像这个思路不太能行得通， 我们在借鉴之前呢。这个图一图二啊，看它辨识，也就是说这个三角形，这个三角形它是旋转了九十度过去的，那我这个三角形旋转九十度到哪了？旋转九十度， 我天，我也不能旋转九十度啊，我这是九十度，我才能旋转九十度，我这都不知道是多少度。 嗯，旋转九这个边，哦，这是个等边三角形，那这个边是等于这个边的。哼， 我能不能，我能不能旋转六十度啊，我咔嚓，把，这个边 我看啊，反正你是个旋转，旋转多少度？那不得看题的条件吗？你这有六十度现成的，那我就旋转六十度了。你这是九十度现成的，那你旋转九十度了，所以我这是六十度，我旋转六十度啊，我把这个边咔嚓旋转到这， 哎，这个蓝色，那么我的三角形我是不是就加上啊？到这了，哇，这个角也不知道是多少，大概齐画一下吧。嗯，画到这， 我旋转六十，哎，这个人家是有一个倾斜角旋转六十度，这个边到这，那，这个三角形整体的转过来，呦吼，可买了的。旋转到这的话， 那也没有直角三角形啊，也没有直角三角形啊， 我先把它的旋转的性质先标出来。啊。啊，你这个边旋转六十度到这，这个边旋转六十度到这，哦，那旋转六十度，那这就是六十度了， 这是六十度，我再看对应边，这个边等于它，那你是四，这个边没告诉等于它， 这个边等于他。我看，啊，这个边等于这个边，哦，这又旋转到六十度，哎，这旋转六十度，你看他是一个等边三角形，哎，那我这旋转六十度是不是也是一个等边？他有一个顶点嘞？ 哦，我相当于这个旋转是绕着点 c 旋转的，所以这两条边绿色和这条白色边之间的夹角是六度，这两条对应边又相等。太好了，那我 再把这条边连接一下吧。哎，因为你等腰三角形六十度，那我一连上他不就是等边三角形吗？等边三角形，那么这就是六十度， 整个这也是六十度，哎，等边三角形了，这是六十度。 好，刚才人家这个角是三十度，旋转角还没看呢，是吧？三十度，那我这儿的角是三十度，哎哟，天呐，六十度，三十度，完了，直角三角形又凑出来了， 看看咱刚才要求谁来。 c、 d、 c、 d， 哦，现在在这个等边三角形当中呢，那这个 c、 d 不 就等于，哎，再来一个 a、 b， c， d， e 吧，那不就等于 d、 e 吗？ 它等于它，那我不就把它又放到了这个直角三角形当中了吗？太棒了， 那要求他，我就得知道他和他，啊，这是四，这是七，那他的平方不就等于七的平方？ 七七四十九，减去四四一十六等于，嗯，三十三。 ok， c、 d 的 平方就等于 d、 e 的 平方就等于三十三。学废了，关注我吧。

合肥八年级的家长一定要让你家孩子写一写四十五中今天刚考的这个等幺三二型的这份试卷啊，这份卷子出的还是非常好啊！这个第四题考察什么等幺三二型三线合一的这个知识点出的非常典型啊！这个第九题，哎，我们平时见的比较多的都是啊，这个不带细数的线段，和我们 同学们都知道是江东英吗？可是这前面带上一个系数八分之一，我们又应该怎么去转移线段？其实这是我们要学的胡不归模型啊，看同学们自学能力怎么样啊！这个第十题，考察我们，其实很像我们八下要学习的叫十字架模型啊，如果孩子提前学了，肯定就会有 更熟悉一点。好，这个第十三题，其实考察我们角平分线常见做辅助线的方式。好，这个十四题，看到这个等腰三角形，我们能不能想到一点点去讨论，对吧？这个第二十题三线合一考的都是非常好啊！这个第二十二题考察平行线加中间点， 对吧？这个二十三题本质还是考察手拉手模型，但是他跟手拉手之间又有点区别，看你家孩子能不能做好。如果你家孩子也想写一下这份试卷，点关注进群咨询，我给大家分享一下。

临近期末啊，介绍一题这个比较经典的这个全等综合证明题啊，开证， ok， 开始啊，那在这个平面直角坐标器呢？这个 a 点呢？在我的这个 y 轴的正半轴上， b 点呢？在第一项线，现在跟我们讲了 ob 等于 ab， 是 不是那等腰三角形出现了，然后呢？角 b o p 等于一百五十度？第一问， 如图一啊，要求我们去证明三角形 o a b 啊，是等边三角形，那这里呢，其实是比较好正的，是不是？为什么呢？因为角 b o p 等于一百五十度，这边 a o p 是 不是九十度啊？是吧，那所以我这里的角 a o b 是 不是就等于六十度了？又因为什么？又因为我这里的 o b 等于 a b， 所以三角形 oab 怎么样？为等边三角形？怎么得到的？有一个角是六十度的 等腰三角形，一定是我的等边三角形，对吧？等边三角形判定的这个相关判定啊，基本判定得很熟悉啊。好，那这里呢，第一问，我们就搞定了啊， 那搞定以后，我们来到第二问啊，也就是游戏的开始了啊，他说设这个点 m 为这个外轴正半轴的一个动点啊，以 b m 呢为这个边去做等边三角形 b m n 现在连接 a 并延长交 x 轴与 p 点。现在要求我们证明什么？ ap 等于二倍的 i o， 那什么叫 a p 等于二倍的 i o 啊？我们有没有注意到三角形 i o p 是 什么三角形？是不是直角三角形？那就有直角三角形 i o p 啊，那这里 a p 等于二倍的 i o。 是 不是触碰到我们直角三角形的一个性质啦？边角的性质是什么性质啊？ 三十度，角所对的直角边是斜边的一半，那讲白了我们是不是 必须要证出什么角 a p o 等于三十度啊？那这里是不是我们几何证明里面很重要的一件事情就是什么呢？转化的思想是不是？那如果我们没有直角三角形这个性质， 作为这个知识作为在内的话，我们又怎么能走到角 i p o 等于三十度这样一件事情呢？是不是？那所以这里就体现了我们掌握新知识的重要性啊，那这里角 i p o 等于三十度， 那我们现在就来到了怎么去证明的问题了是不是？那我这里简单的来看一下啊。 好，那我们这里呢，把图形放大啊，我们一起来看一下。那这里呢，角 a p o 要等于三十度，可就意味着我要证明这个角度等于六十度啊，是不是因为是直角三角形，两锐角互余啊？那也就是这个角要等于六十度是不是？那我们怎么去证他呢？ 那有没有发现一件事情啊？就是首先这个角要等于六十度，那有没有发现我们在这个八字形的这个图形里面 是不是已经有一个对顶角相等了，那这个角要等于六十度，其实是不是这个等边三角形，这也是六十度啊？那所以可就意味着我们要去占什么 角 a p o 等于三十度，我们就推导出这里的角 m a n 要等于六十度才能去解决。那怎么样推出角 m a n 等于六十度呢？那是不是这里的角 a m b 要等于什么等于我的角 a n b 啊？那在结合我们的已知条件，已知条件有什么？是不是有一个等边三角形，再加一个等边三角形？ 那所以啊，那我们要证明这两个角相等，其实是叫我们证明什么？是不是三角形 o mb 要和谁全等啊？是不是要和我们的三角形 a、 b、 n 全等，对吧？也就是这里的两个三角形，如果全等就能解决我们的问题啊，那他们全等吗？我们来找一找条件啊，这里的 mb 是不是等于 a b 啊？对吧？那这里全等符号，可能这里对应的点写的是不对的啊，这里全等符号不能打，是吧？ mb 等于 mb 继续走 o b 呢？ o b 是 不是等于 ab 啊？ 好横好，找到两条边了，然后还有个角呢，那我们就看 o b 和 mb 的 这个夹角呗， 这个角是六十度，加上我的角 a b n， 那 然后呢？它是这里角 obm 要等于哪个角呢？是不是要等于角 a b n 啊？ 那是不是也是六十度，加上我这里的 a b m， 那 这里 s a s 可就找到了，找到以后，这两个三角形可就全等。那三角形在全等以后，那我们再看这里 角 a、 m、 b 可就等于角 a、 m、 b 啊，那这两个角在相等。在这个八字形当中，已经有对顶角相等了，又有六十度相等，那所，那又有这里的角 a m b 和 a m b 相等，那可就推出我这里的角 a b m a n 一定等于我的角 a b a m b n 啊，是不是 m b n 是 等于六十度的，所以这里我们可就推导出角 a p、 o 等于三十度了， a p o 等于三十度，以后 我这里的 ap 可就等于二倍的 l 了，是吧？你看啊，全等三角形，我们用了什么性质去找到我们解决问题的啊？所以说我这个，我说这里的游戏很很有意思，你看最开始 我们是不是要用直角三角形的性质啊？三十度角所对的直角边是斜边的一半，这是第一个知识点，把我们推出，我们要证明的结论是三十度是不是来，然后走出第二个条件， 直角三角形，两锐角互余，这是我们用的第二个知识点，是吧？然后呢，我们得看一看我们在学习几何里面的 模型里面是不是有八字形啊？那这两个角已经相等了，这个角是我们要正的，等于六十度，那这个角本来就等于六十度，可就相当于我们推出剩余的角要相等，那相等以后，是不是我们要利用全等 的判定去解决问题啊？对吧？这是第三个知识点。第四个知识点是什么呢？全等的判定。那这里 是不是我们在证明以后两个边相等啊？最后找到我们的公共角，是不是有公共角的概念？最终这些知识点结合在一起，才能把我们的第二问搞定啊？好，第二问搞定以后啊，我们来到第三问， 他说什么 b、 c 是 垂直于 bo 的 啊，然后 b、 c 呢？又等于 bo， 那 三角形 b、 c、 o 为什么等腰直角三角形，对吧？这是我们通过判断得到的信息啊， 然后呢？ d 为 c、 o 的 中点。那这一句话又触碰到我们的知识点了，直角三角形，斜边的中线等于斜边的一半，那所以三角形 o、 d、 b 是 不是也是我的 等腰直角三角形啊？那然后三角形什么？ b、 c、 d 也是我的等腰直角三角形，对吧？好，接着走啊，那然后呢，题目要求我们去求什么呢？去看 a e 啊， 和 b e 以及 c e 之间的这个数量关系，那很明显又是这种存在不在一条边上的这样的 边的数量关系，那么常用的解决方法是什么？一定是截长补短，对吧？那所以啊，我们这里就把图形放大，我们来看看怎么截长或者怎么补短。 那这里呢，我就人为的在这里截取一个点啊，截取一个点作为 f， 然后呢，使什么呢？使我的 if 等于 c e 可以 吧？那 if 既然等于 c e 了，我下面要证的东西是不是要证明 ef 等于 b e 问题就解决了？那所以我就围绕 e f 等于 b e 这件事情，我们到底怎么去证啊？那我们先看全等的事情啊。那题目讲了啊，这里三角形 o a b 是 等边三角形， 那然后 o b 呢，又等于 bc， 是 吧？那所以 a b 是 不是等于 bc 了？那这里三角形 o a b 是 等边三角形，所以我的角 a b c 等于多少？是不是等于我的一百五十度啊？是吧，那这里的角 b a c 和角 b c a 是 不是都等于什么十五度啊？ 好，都等于十五度，搞定，我们是不是已经找到一个角了？那然后再看 af 是 等于 c e 的， 那这里 a e 呢？ a e 是 不是等于我的 c f 啊？又有一个边相等了啊？有一个一条边相等了，然后 ab 是 等于 bc 的， 那我的 s a s 可就出来了，也就是三角形，什么 a b e a b e 啊，全等于三角形。什么 c b f 啊，那这个全等以后有什么样的帮助呢？ 是不是可以帮我们推导出 b e 等于 b f 啊？是不是？那我们要证什么？我们要证这个 b e 等于 e f 啊，那现在我们去怎么去证呢？那其实很简单啊，那这个时候它是等于十五度的，那这边这个角是等于多少？是不是等于四十五度啊？那所以我这里的 f e b 等于多少 角？ f e b 是 不是三角形 bc 的 一个外角啊？那是不是等于不相邻内角之和？四十五度加十五度，也就等于六十度。哎，这两个条件一结合， 有一个锐角为六十度的等腰三角形，是不是？一定是等边三角形啊？那是等边三角形以后了， 我的 e f 可就等于 b e 了，是不是？那这里问题就解决了啊，是不是？好，那我们总结一下是怎么把问题解决的啊？那这里第三问，首先问三条边的这个数量关系，那我们很自然的就想到解长补短，那既然是解长， 那所以我就让 if 等于 c e 把我们的问题实现转换，也就是我要证明 b e 等于 ef， 那 回到这个三角形里面去看，那首先我这里的角 abc 度数得拿到啊， 也就是六十度加九十度，然后 ab 因为等于 bc， 所以 等腰三角形就出现了，那所以我们第一个全等就找到了，也就是我们证出了 be 等于 b f 这样一件事情。那既然是等腰三角形以后呢？那我再找一个角相等， 那问题可也就解决了。那这个角其实是比较好找的啊，正好是六十度，那不就四十五加十五吗？对吧？所以最终我们实现了这里的等量关系啊，也就是 a e 等于什么呢？ b e 加上 c e。 其实我相信啊，屏幕前同学们啊，肯定是对这样的数量能够知道的啊，比例相等，但是呢，可能中间的证明是缺了一点火候啊。所以 你想一想，我们在运用基础知识的时候，一个题目可能都要用到五六个知识点，那如果基础知识不够熟练的话，那就没有办法去解决问题了啊。 好，那这一题呢，给我们的思考是很多的啊，也很有价值，我希望同学们可以看一看啊。 ok， 下节课我们再见啊。

今天我们来看几道八年级这个数学在期末的中档和压轴题上一些必考知识点的应用。 当然我们在八年级上册数学主要涉及到的这个几何题，也就是直角三角形、等腰三角形，以及这个中垂线角平分线就是这几个最主要知识点的应用。我们来看题， 对于这道题，平行四边形 abcd 的 对角线 a、 c 与 b、 d 相交于点 o。 我 们要首先明白一点，对于平行四边形而言，对角线一定是互相平分的，所以说此时我们根据题目中给出来的对角线 a、 c 和 b、 d， 那 么我们就知道这个要 o a 等于 o c， 然后我们就知道 ob 和 o d 是 相等的。接下来我们再看已知条件，他给出来的 ab 等于根号三， ab 是 根号三， ac 等于二，那既然 ac 等于二，我们肯定要想到这个边就是一，接下来 b、 d 等于四，又是对角线，所以说我们知道这个边就应该是二， ob 等于二， o a 等于一。 那么这里面对于这道题我们要特别注意的啊，我们只要见到了只有线段长，记住有长度了，那么我们首先要想的是看角， 这个角像直角啊，注意，我这里面说的是，你一看他特别是像一个直角，那这个时候我们首先就要想到的就是这个勾股定律，也就是我们要利用勾股定律来进行一个逆定律的验证。 一定要注意啊，我们对于高股定律用它的逆定律，也就是说你光知道 a 方加 b 方等于 c 方，那么我们还可以由 a 方加 b 方等于 c 方来推出来，这是一个直角三角形来， 很明显，在这道题里面，我们看他给出的这三个数字一、二和根号三，我们可以看到里面的 o a， o b 的 平方就应该等于 o a 平方加上 ab 的 平方， 那所以我就可以推出来什么呢？这个角就是直角，也就是说 o a 是 垂直于 ab 的， 所以接下来我们就可以知道在 r t 三角形 abc 中， bc 的 长度是不就可以求出来了。 bc 的 长度就应该等于 ac 的 平方加上 ab 的 平方，然后我们再一开根号出来就应该是根号七。 好， bc 的 长度有了，接下来我们要求 a e 的 长度，那么这个时候要注意，你说我继续用高股定律去做，当然可以，但是太麻烦了。所以我们在求这个直角三角形中斜边上高的长度的时候， 或者求其他直角边长度时候，我们一定要注意这个等面积法，学会用等面积法，因为 对于他的两条直角边，二分之一 ab 乘以 ac 就 等于二分之一倍的，我们利用斜边和斜边上的高，也就是 bc 乘以 ae， 这个等面积法一定要学会，这时候已知条件我们都知道了，所以说直接把它带入，我们就可以得出来 a e 的 长度，那两边这个二分之一都消掉了，然后这边 ab 乘以 ac， 是 ab 乘以 ac 等于二倍根号三，然后 bc 的 长度又是根号七，所以 a e 就 应该等于根号七分之二倍根号三， 所以在进行分母有理化，那也就是七分之二倍的根号二十一，所以很明显这道题应该选择 d， 所以 这道题记住， 有了线段长度，你又发现某一个角向直角，这个时候一定要想到勾股定律的逆定律，然后得出来这是直角三角形。最后我们再求一些线段长度的时候，另外要记住使用等面积法， 这是第一题，我们再来看下面这道题，这道题最典型在三角形 a、 b c 中， ab 等于 ac， 这是一个等腰三角形 直线， ef 是 ab 的 垂直平分线。要特别记住，我一直跟大家强调的，只要有垂直平分线，马上想到第一垂直， 第二平分，这都是次要的，最重要的是线段垂直平分线上任意一点到线段两个端点的距离相等，所以他有了一个 连接了，你马上就做第二个连接。只要是角平分线，马上想到角平分线上任意一点到角两边的距离相等， 他给出你一个垂直了，那么你一定要去做另一个垂直，如果要是都没有给，那你一定要想到去做这两个垂直。 好，那么接下来我们看 d 是 bc 的 中点，这又出了一个中点，那有中点是不就一定会出现什么中线啊？他没有连，那我就会把他连上。 那接下来 m 是 e f 上的一个动点，我们看 m 是 e f 这条直线上的一个动点。三角形 abc 的 面积， 你想他告诉你三角形 abc 的 面积是为了什么，那肯定是求线段的长度。接下来又告诉了你 bc 等于四， bc 的 长度是四，所以这两边就都是二。 我就简单的标注一下嘛，则三角形 bdm 周长的最小值，我们在限阶段一定要记住，他只要让你求这个最小值，这里面是 c 三角形 bdm 他的最小值。注意啊，他的最小值，我们限阶段涉及到的只要求最小值线段和的最小值啊，一定是将军印马， 那么将军印马绝大部分情况下一定会利用什么东西就是中垂线来进行一个转化， 所以你只要见到求最值，这个大概率在填空或选择的最后一道题做一个小压轴，所以一定要想到中垂线。所以在这道题里面，那么这个三角形 bdm 的 周长我们来看一下， bdm 就 应该等于 bd 加上 dm， 再加上一个 b m， 你 来看里面 b d 的 长度等于二，这是一个定值，所以我只要求出来 dm 和 b m 的 mini， 也就是它的最小值，我把它的最小值能够求出来，整个三角形周长最小值也就出来了。 那么接下来我们来看里面的 bm 和 dm， 你 看，既然 ef 是 钟垂线， bm 等于 am， 也就相当于把里面的 bm 转化到了 am 上， 也就是 dm 加上 am， 它的最小值，那么它的最小值你看一下应该在哪里呢？在三角形 a dm 中，也就是说我们转化到三角形 a dm 中了， 在这个三角形，也就是我现在画出来的这个红色的三角形，这个里面 am 和 dm， 你 看两边之合， am 和 dm 两边之合是不一定大于第三边，也就是 ad 啊，所以其实我们这个最小值对应的就是 ad 的 长度， 这一类是一种死套路，一定要把它记住，因此这里面 ad 的 长度 轻而易举就可以把它得出来了。 abc 的 面积是十二，然后 ad 我 们知道注意 ab 和 ac 是 相等的，然后 d 又是一个中点，也就是这里面 d 又是一个 bc 的 中点，因此在等腰三角形里面 反复跟大家强调的啊，等腰三角形中三线合一，你只要知道是等腰三角形了，三线哪三线，中线、高线， 还有角平分线，这三线任意一条知道了，那么其他两条也就是和它合一了。因此在 a、 d、 b 这个直角三角形里面， a、 d 就 应该等于啊，这里面我们得利用面积，对不对？应该是等于三角形的面积除以它的二十四，也就是三角形的面积除以 这个底边 bc， bc 长度是四，也就等于六。注意啊，这个二十四是什么呀？ 三角形的面积知道了，小学我们都学过，三角形的面积知道了，你要求高也好，求底也好，只需要把它的面积乘以二， 面积乘以二之后再除以底，就等于高，所以 a、 d 等于六，那因此我们整个这个周长的最小值就应该是二加六， 等于八。所以这道题给我们的启示，记住啊，三角形周长的最小值也好，一个线段和的最小值也好，一定是利用将军印码，那么将军印码就是通过中垂线来转化线段。 好，我们再来看下一个题，在这个里面，三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，注意，等边三角形告诉你了，那么三边一定相等，特别要注意，每个角都是六十度。 另外我们经常提到的这个特殊角，一定要记住啊，我们县级段只要出现三十度、四十五度、六十度，以及他们所对应的那几个钝角，我一定会去想什么 直角三角形，这是最基本的一个条件，反射一定要建立起来。接下来 d、 e 分 别在边 bc 和 ac 上， a e 等于 cd， 你 来看 a e， a e 在 哪？ a e 在 这， cd cd 在 这， 这又是一个等边三角形， ab 和 ac 又相等，有没有发现？这马上就看出来了， s a s 我经常跟大家强调，一定要用不同颜色的笔去标注一些已知条件，特别要注意，还要使用铅笔， 这就是最很清楚的地方了。你看边角边嘛，很清楚， a b e 和 a c d 这两个三角形是全等的，所以第一问很容易就出来了。 接下来我们来看他继续给出来， b g 垂直于 ad， b g 垂直于 ad， 那 你就给他标出来啊，他没有标，你就标出来，否则的话，你很有可能把这个条件就忽视了。接下来，若 f g 等于三， f g， 我 们来看这个地方，他是三， 然后 e f 是 一，哦，这个小的地方是一。让你求 ad 的 长。 还有一个最基本的敏感，我们要知道，我们第二问一般来说都要以第一问作为一个基础， 所以说第一问得出的已知条件，只要他没有，若或者如果之类的文字出现，那么他所得出的结论在第二问就可以作为已知条件使用了。 所以我们由由第一问的这个你来看，既然他是全等，所以这个小角是不是就相等了？这两个小角如果要是相等了，你来看后边。 哎，我们现在要求的是 a d 的 长度，因为第一问告诉你了， b e 等于 a d， 是 不是你看这里面 a d， 这是一个孤立的存在，那所以说我就把他转到 b e 上去，既然求 a d 的 长度，我就转到求 b e 的 长度上去， 那这个 b e 的 长度呢？ e f 又告诉你，你是不是只要求 b f 的 长度就可以啊？有人可能说了，我怎么会想到要转到 b e 上面去，人家不告诉我 afg 了吗？但是你想 afg 告诉你了， af 告诉你了吗？ d j 告诉你了吗？而这两个线段长度，你要求的时候，你会发现他是一个很孤立的存在，你根本无法把他求出来，所以我转到这个 b e 上面去， ef 告诉你是 e 了，你只要求一个就可以了。 所以在这里面我在求 b f 的 时候发现，哎，这是一个直角，这个还没有用，他既然是直角，所以 r t 三角形 b f d 我 肯定要去想这个东西， 我为什么要想 r t 三角形 b f d， 因为它里面告诉我一个等边三角形，我除了用它的两条边 ab 和 ac 相等，还有一个很重要的什么没用，六十度角我还没用，那这里又告诉我垂直了，你想它会有什么？我大概猜一下，这个角它也是三十度， 我怎么挣他是三十度，现在是最主要的了，那我要证明这个角等于三十度，我们看这两个角是全等的，他们俩相等，假设这是角一，这个小角是角二，我就不写字母了， 中间这还有一个角，这是角三。有没有发现角一加上角三等于这个顶角是六十度，然后接下来呢？我们看角一和角二是由第一问得出来的 相等，那所以角二加角三是不就等于六十度？ 那么他既然等于六十度了，我们还要想到在三角形里面，我们现在用的特别多的就是一个外角，因此角 a f e 也等于六十度， 那你看到 a f e 在 这是六十度，那这个对顶角角 b、 f、 d 是 不也就是六十度了？角 b、 f、 d、 g 就等于三十度，那它是三十度了。三十度角所对直角边 f g 等于斜边 b f 的 一半，所以我就知道 b f 等于二倍的 f g， 那 就等于六倍，所以你看看 b、 e 的 长度是不就出来了？就等于 a、 d 也就等于六加一，所以是七。 因此在这道题里面，我们要特别注意注意啊，给你们的启示就是，见到三十度、四十五度和六十度角，马上去找直角三角形。 另一方面要特别注意告诉你等边三角形，那这个三边的关系，除了三边相等之外，一定要注意，三个角都等于六十度，也一定是有重要的作用的。 好，我们再看下一道题，在 r t 三角形 abc 中，角 abc 等于九十度， ab 等于 bc 等于二倍。根号二，你看 ab 和 bc， 它们两个相等，那所以这角是不都是四十五度呀？ 好，四十五度角，我们先发现了，有了四十五度角，想什么等腰直角三角形，等腰直角三角形啊！我反复反复跟大家强调的 等腰直角三角形中最基本的一条，我们这个斜边 a、 c 一定等于根号二倍的直角边，所以马上可以得出结论，他就应该等于四。接下来我们又可以无限的构造等腰直角三角形， 一般来说都是做垂线无限构造，这是最基本的啊。然后接下来我们来看三角形 abc， 绕点 a 逆时针旋转六十度， 看看又出现六十度了，有什么用？也就是说只要出现旋转，一定要注意啊，我今天给大家讲的这些都是解析思路，只要有旋转就一定找什么旋转角， 你把旋转角找出来，然后再把对应边给他标出来，那么在这里面你看有没有用。旋转角是哪个角，那就是这个角， 这个角是六十度，当然了你也可以得出来这个大角，这就是六十度。旋转角是六十度，对应边呢？你看这个画圈的边和这个边，那很明显你一画到这个地方，就得把 c、 e 是 不就要连起来了？ 你把 c、 e 一 连，这是不就变成了一个等边三角形，那这边是不都相等啊？等边三角形都出来了，那上面这个顶角是不也就是六十度了？ 他如果要是六十度，你再来看，我们在三角形 a、 b、 e 和三角形 bce 中，注意我们这个地方等边三角形已经出来了，也就说由这个旋转我就可以得出来， a、 e 等于 c、 e 也等于 a、 c， 它们的长度全部都是四，那因此这两个三角形是不是全等？ 中间一个公共边 a、 b 等于 bc， 然后 a、 e 等于 c、 e， 再加上公共边 b、 e， 所以 我利用的是边、边、边，那这两个三角形如果全等了，这两个叉角呢？ 所以角 a、 e、 b 就 等于角 c、 e、 b 等于三十度。三十度角又出来了，然后呢，我们就知道 b、 e 肯定是垂直于 a、 c 的， 因为这是一个等边三角形，所以这个 b、 e 它肯定角平分线、中线、高线，它就三线合一了。那这个地方如果要是直角了，这个角它是直角， 所以三十度角所对直角边，那我就知道等于斜边的一半，对不对？因此这块这个我们假设他是 f 的 话，这个点啊，这个点是 f， 所以 我就知道 af 就应该等于二分之一， a， e 等于二，所以 e f 呢？勾股定律就可以了。勾股定律也就是四的平方， a， e 的 平方 减去一个 a、 f 的 平方，二的平方就等于二倍根号三。同理，我们又知道 r、 t 三角形在 a、 b f 中 abc 吧， f 是 ac 的 中点， 所以斜边中线我们就知道 b、 f 自然就等于二分之一， a、 c 等于二。所以这道题的答案 b、 b、 e 呢？是不是他们两个的和呀？ b、 e 就 等于二，加上二倍根号三，所以正确答案你应该选择 c。 因此，这道题里面一定要牢牢记住我这里面所给出的这两个最关键的东西 有等腰直角三角形，你要想到他的边与边之间的比例关系，一比一比根号二，或者你继承斜边等于直角边的根号二倍。 第二，可以无限构造等腰直角三角形。另外要特别注意的就是这个六十度角的应用，只要给出六十度角，你要想到三十度角，然后就要想到去找直角三角形。 好，我们再来看下一道题，这个题相对来说比较简单啊，我们来一起看一下 p、 q 分 别是 b、 c， a c 上的点过点 p 作 pr 垂直于 ab， 然后 ps 垂直于 a、 c， 这两个直角都已经给你标出来了。接下来若 a q 等于 p q， 我 们看一下 a q 在 哪呢？ a q 在 这， p q 在 这。那既然告诉你 a q 等于 p q 了，你是不是应该马上把这个 a、 p 连起来啊？ 因为你把它一连，是不是就勾出了一个等腰三角形，对吧？既然等腰三角形出来了，我就知道这两个角肯定是相等的了，两个底角相等，这两个角是相等的。 接下来又告诉我 pr 等于 ps， pr 在 这里， ps 在 这里， 那这一看是不马上就要想到 a p 是 什么？ pr 等于 ps 告诉你了，那我马上就知道 a p 一定是平分角， 哪个角啊？角 b a c， 平分角 b a c， 那也就是说这两个叉是不是又是相等了？两个叉点又相等，哎，马上你就看到了，这个点和这个叉相等，这个叉和这个叉相等，所以这个点和这个叉就相等。由内错角相等，我们就知道 p q， 我 就可以得出来 平行于 ar， 也就是说已知条件读到这第二个，我已经知道它是正确的了。接下来他又让你判断 as 和 ar 的 关系， as 在 哪里？ as 是 这个长度， ar 是 这个长度， 你看看 ap 都连上了，这俩相等，然后有一个公共边，然后这里又有一个角，那现在你看这个直角角角边呗。所以利用 a a s 就 可以得出全等，那全等自然就可以得出来 ar 等于 a s， 所以这两个结论非常简单。那么第三个三角形 brp， 也就是上面这个圈直角三角形和这个 csp， csp 下面这个直角三角形。 你看这两个直角三角形，我要判断它的全等关系的话，首先我有一个角是相等的，都是直角，那这边你可以自己标注一下，两个直角是相等的，然后又有一个边相等， 你想我要证明这两个三角形全等在直角三角形里面，我们主要应用的就是这个 h l 是 可以用的，但是它不是主要的啊。其实利用这个 a a s 这个好像更多一些。角角边， 那这里面我要得出 b p 等于 pc 来，我要让 b p 等于 pc， 这是 h l， 因为我已经有一个 pr 等于 ps 了，所以说我要找到 bp 等于 pc， 那么要求 p 点必须是终点，而已知条件，没有任何关于 p 的 位置的关系。我只知道 ap 是 角平分线， 你要是 ab 等于 ac， 那 p 自然就是终点，但是已知条件也没有告诉你，那么你要利用 aas 呢？你就要找角的相等，同理，你要得到角 b 和角 c 的 相等， 我要得到角 b 和角 c， 这两个角相等也要建立在 a b 等于 a c 的 前提。 那很明显，已知条件都没有，我也证不出来。那第三个结论就只能怎么样是错的，也就是说只有 p 是 终点时，你才能够得出来第三个结论正确， 因此这个是不完整的，所以正确答案就应该选择啊 c。 好， 我们再来看下一个。在这个里面，三角形 abc 中 ab 等于 ac， 注意， ab 等于 ac， 那 我们又知道了，这是一个等腰三角形对不对？ ab ab 边， 我们可以用彩笔自己来把它标一下等于 a c 边，然后告诉你，角 b a c 等于五十四度，这个顶角是五十四度，所以马上就标出来这一个小角是不就是二十七度呀，你就在旁边表啊，你别写在里面，写在里面它 角度一多的话就容易混。接下来将角 c 沿 e f 折叠，你来看角 c 沿 e f 折叠，所以马上想到我们一直说的，只要有折叠，那就找什么 对称轴，那就是轴对称呗。既然是轴对称，那么轴对称你一定要想到的就是 最重要一点啊，对应点的连线一定垂直于对称轴，所以我肯定要把谁连上 oc， 因为这是一个最明确的对称点，所以说那么由对称轴我可以知道 e f 对 称轴就是 e f， 我找到对称轴了，那么两边的角和两边的边对应的都是相等的，而这里面我又可以知道这里面 o c 就 一定是垂直于 e f， 也就是说 e f 是 o c 的 中垂线。那么现在得出这个之后呢？你看他又说了角 o e c， o e c 在 这里， o e c 在 这里， 那我要求他的度数很明显 o e 和 e c， 这又是一个 o e 又等于 e c 等腰三角形，那我只要得出这两个角就可以了，对吧？我只要得出这个角就可以了。然后呢，你看这里面我们需要得到的这个角 b 的 度数是多少呢？ 角 b 的 度数有顶角是五十四度，所以可以得出角 b 应该是六十三度，角 b 是 六十三度，这个我可以在里面标一下，空间比较大，角 b 是 六十三度。那么接下来你再看，他告诉你了 o d， 你 看 o d， 这又画了一个垂直 o d， 这有一个垂直 o d 是 九十度角。 接下来 ab 的 垂直平分线啊，也就是说这里面 o d 是 垂直平分线。那既然垂直平分线，是不是又想到我之前所提到的 o b 一定怎么样把它连起来？ o b 连起来之后，既然它是垂直平分线 到线段，两个端点的距离任意一点到线段，两个端点距离是不相等，所以说我就可以得出来 o a 等于 o b， o a 要等于 o b 了，那接下来是不是就可以得出角来？那这个角 a、 b、 o 就 应该等于二十七度，所以角 o、 b、 e 就 等于三十六度。 哦，那么你们发现我找了半天角都在左边，而要求的角在右边，那同理，那这边呢？ 你这边能够得到得出什么来呢？你再来看上边这个三角形，我现在完全画的这个红色的三角形，是不是一个飞镖啊？我们在这个飞镖模型里面， 我们可以得出来这两个三角形 oab 和这个 oac， 这两个是全等的， 也就是三角形 o、 a、 b 全等于三角形 o、 a、 c， 那 他俩既然全等了，所以这个角角 a、 c、 o 就 等于二十七度，也就是说等于这边这个角这个角二十七度，下面这个角是三十六度， 那他既然是二十七度了，这边这个角 c， 这又是一个六十三度的角，那下边这个角是不是也是三十六度啊？所以我就知道了，角 e、 c、 o 等于角 e、 o、 c 都等于三十六度，所以角 o、 e、 c， 你 利用内角和一百八十度减去两个三十六度可以， 他就应该等于一百零八度。你说我利用一个外角 o、 e、 b 等于两个不相邻内角，这刚才得出这两个三十六度之合，然后再利用补角，是不是一个道理啊？都是一百零八度。 好，这道题告诉我们的最关键地方就在这个，一定要记住啊，折叠，只要折叠，马上去找什么？找？对称轴，也就是他的折痕，然后利用 对应点的连线和折痕一定是垂直的，那么这个折痕也一定是一个对应点连线的中垂线。 好，我们再来看最后一道题，这是一个很典型的题，我们反复讲过这种题。在三角形 abc 中，角 b 等于六十度，角 b 等于六十度，我们来看这个角，它是六十度， a、 d、 c、 e 分 别是角的平分线，又是出现了角平分线，那既然有了角平分线，除了最基本的，我看这点点角是相等的，这个叉角也是相等的， 那接下来再看它们相交于点 f， 这三个线段之间的数量关系。 我是不是说过，只要是三条线段的数量关系，绝大部分一定是最长的那条线段，你看 a e 在 这， c、 d 在 这， a c 在 下面，那很明显我就可以大概的判断出来，应该是 a c 等于 a e 加上 c、 d。 那 接下来注意，我们要用的就是截长 补短这个模型，一定要记住啊，它主要就应用于这个线段之间的数量关系，那既然它们既然是相等的，那我就在 ac 的 上面截，注意啊，这个截长是在哪个？是在长线段上，截 是在长线段上，也就是在 ac 上。我要截取一个点，比如说这个点，这是点 g， 我 让这个 截一点 g， 使 c g 等于 cd， 你 要等于这个短的， 这时候把 f g 再一连，连完之后，我只需要证明这两个线段是相等就行了，所以我需要证明这个 a e 等于 a g， 你 要看他是不是等于 a g， 要证明他相等，那只能找什么？找全等呗。三角形的全等， 那么我们来看，在这个全等里面，首先有了一个角平分线，这两个角相等的中间有一个公共边，我只需要再找一个角，你注意你现在要找的边相等，所以不太可能再去找边了，你只能找一个角来相等。那这个时候我利用角角边，或者是角边角， 你看在这个里面，既然角 b 告诉你六十度始终都没有用，那这个角 b 又有什么用呢？这个六十度， 既然他已经告诉了我们这个顶角是六十度，哎，我又发现这个 ec 和 a d 分 别是两个底角的平分线，所以你来看，那这个角，假设这是角一，这个角是角二， 是不是角三？这是角四、角五、角六。哎，我把这些角都标出来了啊，你看角一加角二， 是不就应该等于二分之一倍的这个大角 b a c 加上角 b c b b c a b a c 加角 b c a， 那 它就是等于六十度呗？顶角是六十度，下面两个底角就是一百二十度，所以角一加角二等于六十度。那么接下来我再看角一加角二恰好等于谁啊？是不就是等于角三啊？ 利用的是三角形的外角，那角三要是等于六十度了，所以角三就等于角四，也等于六十度。又因为你看三角形 c f d 和三角形 c f g 是 不全等。三角形 c f g， 他们两个全等利用的是什么呢？角平分线，然后我截的长度 c g 等于 c d， 再加一个 c f， 也就是利用的是 s a s， 利用边角边，可以得出这两个三是全等。那因此角三是不是又等于角六啊？ 也等于六十度，那所以最后一步，角五也等于六十度。角五六十度，角四六十度，所以我们利用的是 a s a， 可以 得出一个全等，也就是三角形 a f g， 所以 a e 就 等于 a g， 那 你最后这个等量关系是不就成立了？这就是所谓的截长补短。当然我们还讲过一种题，涉及到根号几倍的，也就是说涉及到一个 呃，比如说 a c 等于根号二 cd 加上 a e， 像这一类的根号二 cd 啊，我这块写的把它改一下， 也就是说出现其中一个线段的这种数量关系，这个时候大概率都和四十五度了，或者六十度角有关。 好，最后给大家重要的提示，我们在做题的时候见到已知条件中出现了中垂，那么一定要想到去连接线段的两个端点， 如果要出现了角平分线的话，只要告诉你角平分线，你马上要去想到垂直， 也就是到角两边的距离相等。除了垂直，我们要注意还有一个延长，角平分线上的一个垂足，你把它延长可以构造什么全等的直角三角形。 那么第三我们要想到的就是只要出现了等腰直角三角形，你要想到的就是它对应的边 以及构造的关系，构造什么无限构造等腰直角三角形。那么另外还有只要出现三十度角，六十度角这些特殊的角，当然他还对应着什么一百五十度，还有一百二十度， 他其实对应的也是六十度角，那么这个时候你一定要想到什么构造直角三角形，如果有直角三角形，那就直接用就可以了，所以说这些就是我们最重要的一些 目前学到的知识点。最后只要涉及到最直，你一定要想到的是什么？ 将军印码，那么这个将军印码对应的就是线段和的最小值，你只要看到他这道题让你求两个线段或者三个线段的和的最小值，三个线段基本上都是 三角形的周长，也就说其中一定有一个是定值，你只需要求两个就可以了。好，今天我们就说到这。

合肥初二数学这次期末考试啊，有两大重点，压轴的题型，一定要在考试前好好的练练。那第一个呢，就是三角形的模型问题，第二个是三角形结合数轴的问题。 我看了一下近几年的卷子啊，这两个题型可以说是必考的，想要考高分的话，这两个题型你必须要积累到位。我呢把这两个题型的专项练习整理成了电子版，如果想练的呀，私信找我要一下。

这是初二期末考的一道几何压轴题，这道题的几何图的结构非常简单，都是特殊三角形组成，但具有很强的综合性，有百分之九十的错误率。我们先看看这个题它的一个基本条件， 三角形 a、 b、 c 是 三十度的等腰三角形。角 a， 这里是三十度三角形 d、 e、 f 是 一个边长为七的等边三角形。如果 a、 e 的 长度是一个五倍，根号三，让我们来求 a、 b 的 一个长度，那么读完题之后，我们应该从哪个地方下手呢？一定要看一下条件给到那个数据的位置。 角 a， 这里是一个特殊角，三十度 a、 e 的 长是五倍。杠三， d、 e 的 长是七，根据这些条件的位置，那么在三角形 a、 d、 e 当中，我们首先可以利用这些条件来把 a、 d 的 长度算出来。说我们可以考虑过点 e 做 a、 d 的 一个垂线啊，这样做过来，这里我们可以标一个 h 点， 这里是简单的一个利用数据来算出一些边长，根据三十度的特性，我们这里可以把那个 h、 e 算出来，这个 h， e 呢？啊，算出来 啊，它等于二分之五倍啊，根号三，同理，这个 a、 e、 a、 h 的 长度也可以算出来，它算出来是一个二分之十五，要注意这个长度， 它是二分之十五。 h， e 的 长度，这里是一个二分之五倍。根号三，那么下方三角形 d、 h、 e 当中，再根据勾股定律，你就可以把这个 d、 h 啊，这里也可以算出来，算出来是二分之十一啊， d、 h 的 长度算出来是二分之十一， 好的，这是目前根据啊条件能够很明显的算出来是二分之十一，好的，这是目前根据啊条件能够坐高可以算出来，一般的学生基本上可以做到这一步， 那么做完这一步之后，把 a、 d 算出来之后，你要计算 a、 b 的 长度，就要往下看来计算 b、 d 的 长度，那么这个 b、 d 的 长度怎么来计算呢？我们肯定要来利用这个条件里面的特殊三角形， a、 b、 c 是 一个等腰三角形，中间的 d、 e、 f 它是一个六十度的等边三角形。那么想一想等边三角形常见的辅助线有哪些呢？ 因为等量三角它比较特殊，它常用的辅助线比较多，比如说你可以用它来构造一个手拉手全等，也可以用来进行一个旋转，因为有边相等，也可以来构造一线三等角的全等。当然也可以构造一个啊 六十度、一百二十度的半角模型，其实这个地方的 h、 e、 c 这个角，它很明显，它是个一百二十度， d、 e、 f 它是个六十度，当然半角模型这个地方你也可以去考虑对不对？当然这个地方我们最终要往下往下走，也就是你最终要去计算 b、 d 的 长度。说这个地方综合考虑，我们这个地方可以来选择 构造一个一线三等角，也就是构造一线三个六十度的一线三等角出来， d 这个位置它是一个六十度，所以我们可以利用 d、 e 和 d、 f 相等，上下构造一个一线三等角。 一定要注意不能够左右来构造，一定是上下构造，因为数据在上方，可以通过上下构造全等，把上方的数据传递到下面这里来，从而计算 b、 d 的 一个长度，可以往这个地方来考虑， 所以这个地方我们可以过点 e 啊，向 a、 d 这里画一条线，构造一个六十度，也就是构造一个一线三角三个六十度，并且在那个 a、 b 这个片上去构造三个六十度，这个地方我们标个 q， 点啊，这个地方做一个六十度啊，构造一个六十度。同理，下方延长 a b 也做一个啊，六十度出来啊，这里做一个六十度出来啊， 六十度啊，这个地方我们标一个，哎， m 点，对不对？所以通过这种方式我们就可以啊，获得一组啊一线三等角的全等三角形，也就是三角形啊 q d， e， 它是全等于啊，这个三角形 m f、 d 的 对不对？这个全等我们就可以来获得对应边的相等，并且计算出相对应的有些线段，它是可以计算出来的，比如说这个地方的那个 q e， q e， 根据全等，它就等于这里的 dm， 对不对？并且 q e 在 上方这个三角形 q e h 当中 he 它是一个二分之五倍根号三，你现在 q 点这里又做了个六十度，所以 q e 的 长度，根据特殊三角形，你可以把 q e 的 长度给它算出来，它算出来其实就是一个五，对不对啊？它等于五 啊，同理，这个 q d 啊，它就等于这个 m f 啊， q d， 它就等于啊，这个 m f， q d 这个怎么算呢？你肯定要把这个 q h 这个地方要算出来 q h 这里算出来，它是一个二分之五，所以 q h 加上 d h， 那就是二分之十，一加二分之五，就等于二分之六，就等于八，所以 q d 就 等于八，也等于 m f 也等于啊，这个八啊，就把这些数据就找到了，尽可能的就是通过这个权的呢，你把上方的数据就引到下方来了，因为你最终的目的是要算 b d 的 一个长度，好，这个是一个八， 好，那就已经回到已经走到中间这个位置来了，对不对？我们后面的那条路怎么走呢？你最终把数据传递下来之后，那么你要去算那个 b d 的 长度，这个地方怎么算呢？考虑到这个 d m 的 长度啊，这个长度它是等于五的，对不对？ 然后你要计算 b 的 长度，我们就往下看，就来计算 b m 的 长度，那么 b m 这个地方有一个六十度， m f 呢？它又是一个八，所以在三角形 b m f 当中，它是一个特殊角，而且还告诉了一个边，我们可以考虑过 b 点向 m f 做一条垂线，对不对？ 做这个垂线的目的就是为了啊，来联系到 b m 和这个 m f 它的一个边关系。边有特殊角嘛？做这个地方做一个垂直，对不对？这个地方标一个点记， 对不对？那这个地方你要来求啊， b m 的 长度，目前你直接利用这个高，虽然这里有一个三六九三十度六十度的小直角三角形，对不对？ m f 还有一个边长为八，你直接利用现现有的这些条件，还不足以把 b m 算出来说，对不对？我们还要看一看 角，特殊角，因为三角形 a b c， 它是一个顶角，三十度等腰三角形角 b 这个位置，它是一个七十五度，对不对？你现在过 b 点，又做了一个 m f 的 一条垂线， b g， 它是垂直于 m f 的， 对不对？所以这个角 m 角 m b g， 它是一个三十度，那么就可以获得哪个角啊？就是角 f b g 这个角， 这个地方应该是一个七十五度，所细线的同学，这个地方一定要去发现这个地方它有两个七十五度，两个七十五度 b g， 它又垂直于 m f， 我 们可以通过啊角平分线，因为这里两个七十五度 b f， 它就是个角平分线，我们过 f 点向 b d 做一条垂线，那么就可以构造一个全等， 对不对？其实根据角平分的性质，角平分上的点到两边的距离相等，所以这个地方的我们这里的 r 点，那么这里的 r f 肯定就等于 g f， 对 不对？所以这里呢， 通过啊倒角找到两个七十五度，判断出 b f 是 一个角平分线，哎呀， b g 又是一个高，所以我们再做一条高，那么就可以得到，根据角平分的性质就可以得到 rf， 就 等于 g f rf， 在 三角形 m rf 当中，它又是一个六十度三十度的直角三角形 斜边 m f 又是一个八，所以就可以得到这个 r f 呢？它就等于 g f， 它就等于 r f， 在 三角形 m r f 当中，它就是四倍啊，根号赛，因为六十度的原因，对不对？所以这一个就可以进一步的来得出 m g 啊，它应该就等于八减啊，四倍高三，对不对？所以在三角形啊，三角形 b m g 当中，它又是一个六十度三十度直角三角形，对不对？所以我们就可以直接来获得这个 b m， 它的一个长度，它应该等于两倍的 m g， 对 不对？你把这个数据拿进来就等于十六减去八倍 啊，根号三，对不对？所以由此我们啊，这个 ab 就 可以直接写出它的结果了，所以这个 ab 啊，它的长度应该等于 am 啊，当然你单独的计算出了个 bd 也是可以的，我这里写一个综合嘛，他就等于 am 减去这个 bm， 对 不对？ am 的 长度啊？图上面标的数据全部拿下来，那就从上往下二分之十五啊，加上中间的二分之十一，下方的那个五，那就是 m， 再减去变 bm 就是 十六， 减去这个八倍高三，对不对？这一串的数字啊，把它合起来就等于了啊，最终八倍高三加二，这个就是我们最终的结果 a b 的 一个长度，它是 八倍高三加一个二。所以这道题虽然每一步都非常的普通，对不对？每一步其实都是常见的做法，并不说特别突出的一个做法， 特别难的做法，但是把它放在一起，这个辅助性比较多，对不对？可能他的中位性非常的强，一般人可能还做不动，做不走，做不下去，对不对？你可能想到这一步，就不能够联想到他的下一步，对不对？所以这个地方一定要注意到数据的位置， 角度的位置，从上往下走，而且这个地方你还要去注意中间的这个小等边三角形，他常见的一些辅助线可以怎么来用？而且你最终的核心的长度，所以这个地方是从上往下构建的一个啊 等边三角形啊，为为基础的这样的一个一线三等角，对不对啊？由此往后计算这个题就比较简单了，好的，这个题大家可以参考下，还是具有很强的综合性的。好的。

安徽中考数学最后两道压轴题到底怎么破？大部分合肥初中家长和孩子都头疼，没有好的办法，今天咱就分析一下最后两道压轴题的命题趋势和一些复习策略。安徽中考数学试卷在二十年之前呢， 最后一道题一直是几何综合倒数第二题目是二次函数，从二二年开始呢，他们两个位置换了一下，并且你看一下，二二年和二三年的二次函数里还有几何的影子，但到了二四年和二五年，就逐渐变成纯粹的函数和代数的题目。这是一个信号啊， 压轴题向函数靠拢，因为函数它就是高中数学的天下，而高中的空间几何它就是小菜。但是这个变化呢，对于怎么应付安徽中考影响其实不大。我之前有说过， 八项是初中数学的分水岭，其中一部分原因就是因为四边形，因为四边形可以和三角形契合，题目难度和灵活性立马就上来了 一个辅助线，想不起来整个题目就能卡住。以我个人的教学经验呢，几何压轴可以从以下三点展开复习。第一点，做好规划总结，画好思维导图。因为校内他是按章节进行学习的，每个学期都学一点，比较分散。那么你复习的时候呢，就要把从七年级到九年级所有的几何知识点 梳理归类一下，把能想到的每个知识点背后的啊性质都写出来。比如说角平分线，你要想到由角平分线上任何一点向两边做垂线所得到的垂线段相等所形成的两个三角形全等。如果你只能想到角平分线所形成的两个角相等，那后面的压轴题你不要想了， 到中考的时候要形成条件反射，就是给你一个条件，他背后的一连串性质立马就能在你脑子里浮现出来。第二点呢，是按题型进行专项突破。几何压轴体主要分为 图形、动态研究、存在性问题和坠子。对于某一类体型，你要先做基础辨识啊，再做整体压轴，总结记录该体型的思路框架。这个其实很重要，你比如说动态问题，你要先找到不变量啊，存在性问题你要先假设它存在，再进行推导。第三点呢，就是强化解析技巧与规范。书写 解析的时候务必务必审好题，最好把条件标在图上，再联想模型，最后分布推导。证明题要步步啊，有理有序。计算题呢，要写明公式和代入过程。另外我跟学生讲的比较多的一点就是 平常要多积累辅助线的添加技巧，比如说遇到角平行线啊，咱们经常做垂线啊，或者是平行线，那么遇到圆的直径呢，要构造直角三角形。 我讲的这三个点其实和天赋没有什么太大的关系，纯粹的是解析技巧，都是可以通过训练啊，可以掌握的。下个视频呢，我会讲安徽中考二字函数的复习策略啊，和一些解析技巧。

我们今天来一个稍微难一点的动点，对直题，如图，角 m、 o、 n 等于九十度直角。已知三角形 abc 中， ac 等于 bc 等于二十五，哎，等腰三角形两底角相同， ab 等于十四，然后三角形 abc 的 顶点 ab 分 别在 o、 m、 o、 n 上， 嗯，然后当点 b 在 边儿 o、 n 上运动的时候， a 随之在 o、 m 上运动 o， 也就是说它动的时候，它是主动动的，然后呢， a 随着它动而动， 它往这边歪，那它就往下滑，所以它是一个从动点，然后三角形 a、 b、 c 的 形状始终保持不变，哦，始终保持不变，那这个 c 点其实也是在动的呀， 对不对？跟上它们一起动，嗯，它也是一个从动点。好说，在运动的过程中，点 c 到点 o 的 最小距离，点 c 到点 o 的 距离，最小值要让你求 连一下，哎，这又是一条线段的最小值一哦。你要先分清楚这两个 端点，一个是定点，一个是动点，那就是点到直线垂线段最短动点运动轨迹是直线的时候， 这个是个定点。哎，还有一种情况，是不是就是在圆上圆外有一点最小值，就是连上圆心的直线与圆的交点，这是最小值。 然后还能求一个最大值，是，这，这是最大， 对吧？就这两种情况，那也就是说，我们要知道 c 点的轨迹喽。哎，讲到这，插播一条重要的基础原理， 说，为什么这就是最小值，这就是最大值呢？哎，假设你动点在这动，你看我再来一点，啊，大家掐掉，我再来一点这个 d 点， 这是一个动点，所以我用 d 来表示，动这个动点在圆上动动动动动，动到这的时候，你发现，哎，这本来是能组成一个三角形，红白黄 三条直线组成了三角形在动，动到这的时候，发现他不是三角形了，变成一条直线了，然后再动，哎，又是三角形，再又是三，然后动到他这个 直径的这个地儿，它又不是三，又成一条直线了，然后我再继续动动，动到下面，哎，又变成三角形了，好，所以说这儿有一个基本的原理，叫三角形三边之间的关系， 哎，想一下是啥？假设我这儿是 a、 b， c 这三条边，然后呢？ 这我算是第三边，哎，我就以 a 为准，因为它是一个动点，我不就是想看 p， d 最大值最小值吗？所以我以它为准，哎，我看它和 b 和 c 的 关系是啥？ 两边之和 b 加 c 大 于第三边，两边之差 小于第三遍，哎呦，一个大于 a 小 于它， a 又大于它，那我连起来写，不就是 a 大 于 c 减 b 小 于 c 加 b， 两边之差，两边之和是一个范围值。好， a 就 在这个范围之内。 那你现在想看 a 的 最大值，最小值，哦，刚才转到这的时候，你发现它就是 c 减去 b， a 到这了，整个长的 c 减去 b， 不 就剩下这个小 a 了吗？ 所以当我等于你的时候，呦，这不就是一个最小值吗？那最小最小不就是 c 减 b， 看剩下的我的 a 都比你大， ok， 再看这儿，那我转到这儿的时候，那不正好是 c 加上了 b 吗？ 然后 a 可是这条线是小于它的，但当它转到这儿就可以等于它了，这个时候转到了最大的这个位置这儿，所以 b 加 c 是 一个最大值。 好了，哎， a 小 于这个数，但当等于你的时候，我就求到了你的最大值，那么我这个原理就出来了呀，你再观察一下， 出来之后我们找一些特征啊。 c 是 o 是 定点， c 这条线段是定点到定点。哦，那我这个 c 就是 定直线，定线段。 哎，定直线就叫，意思就是这个线段长度是一定的。好，再看 d， d 虽然是动的，但是我这一节小 b 的 长度是不是就一直是半径啊？ 所以他也是一个定线段哦，也就是说，在这个三角形当中，这俩的线段长其实都是一定的，只有这个在动， 那么我的最小值和最大值是不是就等于这两条定直线的差和和？哎妈呀，太好了，那也就是说我做定点问题的时候， 你动，我做动点最小值的时候，那我是不是就可以不用再去找这个圆的轨迹了？ 不用找圆的轨迹，我只需要找到这两条定直线就好了。哎，定线段就好了，它的长度减一下就是我的最小值，加一下就是我最大值。嗯，这道题就要用到这个原理了。 为啥啊？我们来看一下，说你现在要求 o a 的 最小值，哎呦，但是 c 咋动的你不知道，那它是一个等腰三角形。 等腰三角形，我三线合一的这个辅助线首先是能想到的，对吧？ 好，你这是十四，那我这一段就是起这还是二十五， 也就是说你这个 ab 滑动的时候，这个三角形这个形状还不变，那么我这的高，加上这是地点， c d 这条高，他也是整根动的，但我 c d 这条直线可是定长，因为三角形的形状不变 好，它是一条定直线， o c 是 在变的，所以它要求最小距离。那我再连接上 o d 呢？ 哎，我把 o d 一 连，你看我 o d 是 不是也是定的？哎，这儿就很关键了。为啥这儿也是定的呢？你看一下这儿是不是直角三角形。 哎， ab 这条边不管怎么划它都是直角三角形。你地点人家说，哦，不是，人家说咱，咱做了个辅助线，不就是因为你是等腰三角形，所以这是中点。 好嘞，这是中点，直角三角形的中线定力， 中线的长度等于斜边的一半，你斜边的长度又不变，那么我这条线不就一直等于你斜边的一边一半吗？那这是一个定的线段长，这是一个定的线段长。我现在要求。 哦，搞错了，这是一条定的线段长。哦，这两条定了，这个是动的，我给他换个颜色啊，要不然的话看不清楚。 哎，这节绿的是动的了，这两节是定的。那我要求他的最小值不就等于这两节的差吗？ ok， 等于他的差。我求一下啊，这节高是多少呢？ 在这个直角三角形当中，七二十五勾股定律算一下，等于二十五的平方减去七的平方，六百二十五减去四十九等于。 嗯，六七五百七十六，五百七十六是谁的平方呢？哎，这算的时候有一个技巧，你用短除法，二二得四十七， 二八十六于十六，二，八十六，二，一百四十四。啊，一百四十四不就是十二乘十二吗？好，十二乘二，那就是二十四乘二十四等于五百七十六，搞定。也就是说我这一节是二十四， 这节二十四、二十五七组成了一个直角三角形。好，那我这个定值线求出来二十四，那这一条呢？ 他等于他的一半，他的一半就是七。哦，那我二十四减去七就等于十七，最小值就出来了。好题，做到这其实就完了。哎， 你会用这种方法去做，那是最好的。哎，有的同学千万别钻牛角尖啊，我还是想求把这个圆搞出来。好，你搞吧。嗯，不是很好画。为什么？首先你要知道，这个 c 的 动是跟着 d 动的， d 的 轨迹都不是直线哎， a 的是， b 是 直线， a 是 直线，他们俩在这直线上运动，但是 d 呢，是在变化的，你不信，你就画一个比较极端的 a， d 长十四到这啊，比如说画到这，那么你看他的这个地点的终点在这，然后呢，他这个三角形就变成这个样子了， 嗯，那么 c 轨迹就跑这儿来了，然后呢，你再再找一个极端到这儿，把这个 a b 都竖到这儿来，然后它这个三角形就跑到这儿来了，那 c 点就跑这边来了， 然后你会发现这个 c 点，哦，它其实是一个小圆弧。哎，我这画的不太好啊，小圆弧。为啥呢？因为 d 点的轨迹就是一个以它为半径的圆弧。嗯， 为啥呢？因为从 o 到 d 是 一个定点呀，它不管你这个 ab 怎么倾斜，我这个 o d 永远是你 ab 的 一半，这不就相当于是一个圆了， 但是你只能在第一项线内运动，所以它是一个四分之一圆弧。哎，这个圆弧动的时候，这根线一直得垂直于你这个 ab 的 这个三角形啊，所以你要跟上它转圈。 哎，这个地点在这了，这个地点在这了，那么你就跟上它转转，转转。其实 c 也是一个圆弧，但这个圆弧不太好画出来了，你就不如刚才的咱们这个方法来的 这个特别清晰了，对不？所以你想研究的话，你就继续往深的去研究，反正这个圆弧和这个圆弧之间你要再求最小值的时候，那就是当这个地点在这个圆弧这四十五度的时候，哎，那正好就是 a、 b 这直角三角形的时候， 哎，那就是正好这个高的时候，哎，正好就是我这个， 这个这个边，哎，这个二十四，正好这儿，哎呦，我再给你换一个，就正好是这时候二十四，这是他的高，然后减去 这一家和我们算下的是一样的，所以一定一定要把这个方法给他掌握了，他的原理其实就是他，但是我不用再找圆的轨迹了啊，学会了就关注我吧。

初二数学最难的几何模型汇总，吃透再也没有丢分的模型一，被长中线模型二，一线三等角模型三，半角模型四，手拉手模型五，对角互补加邻边相等吃透九大模型，数学不下一百一十分。

大家好，我是陈哥，跟着陈哥走，数学满分有，对于初二的期末考试同学来说，这种依次函数的几何这种问题会感觉到非常的难啊，很多同学啊，抓耳挠腮不知道该怎么做，这种题真的非常难吗？陈哥今天来帮大家来秒杀他。 好，各位，我们来看一下这一道题目。好，这一道题呢，它是告诉你三个点啊，这也是一次函数几个题中很常规的啊，告诉你这些点，负六多少零，零多少八，还有九多少零。好，那根据大家的这个线段程度，可以知道 a o 是 六， ob 是 八，那 ab 就是 十。 好，他说了一个非常关键点，说了 am 是 平分角 bc， 让你求点 n 坐标。好，所以这个题呢，记住啊，遇到这种类型题都是有两种方法好，第一种方法叫几何法， 几何法好，几何法利用的就是我们前面讲这个角平分线哎，有什么样的性质， 大家想想看。角平分线哎，我们前面遇到这几个题的时候，角平分线题都在想，他是不是有一些常规的辅助线，所以 am 是 角平分线，那他辅助线应该是往两边去做垂直，所以这个题有了一个 mo 是 不是垂直了？哎，那我要做的事情就是往 m 往这个地方去做个垂直， 叫 m h， 哎，垂直 ab。 好， 那 m h 垂直 ab 以后呢？那我现在要做的事，你就算一下，这边用勾股定律算一下，我会知道 a o 是 六，那 a h 也是六啊，因为它们俩相等嘛，那这边的 b h 就是 四。 好，然后我可以去用勾去设字母，就是设什么呢？设 o m 是 x， 那 h m 也是 x， 那 b m 呢？就是八减 x 啊，所以你最后你在 b h m 里面用勾股定律算一下就可以了。 好，所以最后在 r t 三角形 b h m 中，我们会有角四方加上 x 方，等于八减 x 方。 好，然后你自己算一下，我直接给大家报单了啊，算出来 x 应该等于三啊，因为你猜一下三四五嘛，所以 m 点坐标是零逗号三，那 a 点坐标是负六的零， m 点坐标零逗号三。那我可以算一下， l a m l a m 就是 直接报了啊， l a m 算出来是 y 等于二分之一， x 加三啊，再算一下， l b c l b c 是 y 等于负九分之八， x 再加八，最后把它们连接方程，最后解出 n 点坐标， n 点坐标就是，呃， x 等于五分之十八啊， y 应该等于五分之二十四。好，所以这个题呢，现在这个方法叫几何方法。 几何方法的特点就是非常简单，计算也很简单，但是你需要去找这种几何之间的这种辅助线，或者是这种几何之间的联系。所以像这个题，如果你没想到 m a 垂直，那这个题目就做不出来了。 好，当然呢，成哥选的这个题呢，不算特别难，很多同学能做出来，但你对一些啊，比如说这个题是最后到达题的。呃，这个第三问的某一种情况，那很多同学可能就惧怕了啊，所以就不太会做了。所以呢，这种题你是会做的啊，其实想想看，几何的这种辅助线应该怎么弄好？还有一种方法叫 函数方法。好，我们在初二下学期，你们可能会学到叫解析几何。 好，因为现在新教材改革了，所以不知道有的学校会不会讲啊，就如果学校没有讲的话，可能在初三才会学，就是构造函数去解决这种可能是这种几何题，所以这个题为例。那如果说各位同学，哎，你就想老师我这个 角平分线，我没想到这个辅助线，那这个题我该怎么做啊？告诉你两个字，死算。怎么死算呢？其实我只要还是要把 an 的 这个函数算出来，这个题是不是就结束了？好，那 an 这个函数怎么算呢？就是我有一个 a 点，那还我还需要一个点， 那需要的这个点怎么算？那就是你需要用那个结，这个需要用到它上面一些条件了。那 am 角平分线你想想看， b 点是零度号八， ab 是 不是十？哎，角平分线我是不是能想到等腰三角形，所以我可以发现我如果这边做个等腰，这样做个等腰， 哎，也就是 b 点的对称点叫 b 撇点，他们的 ab 撇和 ab 是 相等的， ab 等于 ab 撇长度是不是也是十啊？所以我可以知道 b 撇点坐标应该是 四的毫米。好，大家想想看，那这条蓝色的线和这条我要算的这个红色的线 a n 什么关系呢？哎，这是不是应该垂直的关系啊？哎，所以我可以算出什么呢？算出 b b 撇的这个 b b 撇的终点 啊，我可以算出 b b 的 终点啊， b b 的 终点其实在这个红色线上，然后用终点公式算一下， ok， 两种方式啊，来 b b 的 终点叫 q 吧， q 点是二分之一的横坐标啊，零加四和二分之一重坐标八加零，所以 q 点坐标算出来应该是二逗号四， 哎，所以你把负六逗号零和二逗号四连立一下，你还还是可以得到这个函数呢。是 y 等于二分之 x 加三啊。这个还有一种方法是什么呢？就是用我们讲的一个小球 k 公式啊，我可以把 k b b 撇的这个 k 算出来。 好， b b 的 k 算出来应该是他的两个重，这个纵坐标点啊，就是四零和零八纵坐标点应该八减零除以，对的横坐标点应该是零减四， 所以算出来应该等于负二。所以 b b 撇的 k 是 负二，那红色线跟它是什么关系？垂直，大家知道，两函数如果垂直，他们的 k 相乘等于负。哎，负一，所以 k 红色的线叫 k a n 和 kb 撇相乘应该等于负一。所以得到 k a n 的 这个函数应该是 y 等于二分之一啊，就 k a n 这个是二分之一 x 二分之一，所以这函数可以是 y 等于二分之一 x 再加 b 啊，你要做的事情就是二分之 x 加 b， 这个是 a n 啊， a n 的 函数啊，你要做的事情，把这个负六的话，你往里面一带就行了。最后还是能算出这个东西。 好，各位同学们，这个解，这个解析解的话能听懂吗？所以这种题，其实我就是在死算啊，我就是在死算。 好，所以这个呢，其实没有没有用到什么辅助线，其实想一下 b 的 对称点啊，所以这个呢，我觉得你看 b 撇点这个，其实画不画其实无所谓。 好，所以这个方法呢，解析几何的方法呢？各位同学可以再好好想一想。好，大家自己课后呢？哎，再去揣摩揣摩，再去回顾回顾。好， ok， 我是 陈哥，那我们下一个章节再见！拜拜。

a 四负四勾零点 b 在 y 轴的正半轴运动，就是 b 是 个动点，这个家伙是个动点。 如图，做等幺三角形 b o d 啊 b o d 和等幺三角形 abc， 然后 c d 交 y 轴于点 p， 问这个线段的长度是否有变化，就是 b b 在 动的时候它有没有变化？问的就是就这条绿色的线段， 大家觉得有变化的打个一，没变化的打个零啊，这是有的，这是无的。我看一下有谁第一感觉是对的 啊？菠萝莫吉多，答案是二。邓同学啊，瞪眼一看，不知道对不对啊？你瞪眼一看做对了啊，你瞪眼一看是做对了，很厉害啊， polo 摩基多，对，如果对 polo 摩基多这个几何模型非常熟悉的话，一盯着它瞪眼一看，就说，我能就口算出它等于 a o a 的 一半。当然这道题的这个图，甚至呢都 都用不上 polo 摩基多的东西，它是 polo 摩基多的一个特殊的展示方式。可以怎么去证啊？我们抛开这个 polo 摩基多可以怎么去证？不是等，这个家伙不是等腰直角三角形吗？ 这个家伙我们就可以用一线三垂直，我们就可以用一线三垂直，这个叫 h， 就 会有什么这个跟这个干嘛全等。所以 o b 是 等于 c h 的， ok， 而且 o b d 它等腰直角三角形，是不是 b d 也等于 o b， 此时就会有什么 c h 等于 b d c h 既然等于 b d 啊，过 c 点啊，现在就是这个啊。邓同学， 那么 b d 跟 c h 那 是平行且相等啊，就会有什么 c h p 全等于 c h p 啊。 d b p 吧， b 点在这里啊，这个是 b 点是吧？八是全等嘛，对边平行且相等，也有对顶角， 那么意味着这个全等式是不是意味着 p 是 终点啊？谁的终点？ b h 的 终点？ p 是 b h 的 终点， b p 等于二分之一的 b h， 所以 它等于二分之一的 o k 啊，等于二分之一。但是， 但是，这个，除了这种特殊情况成立之外，我在这里，我在这里展开给大家画一下啊。假设平面上有一个 a b， 它是等于这里等多少？等于四是吧？ o a 我 也等于四， 然后有这么一个 c 点，它是个动点，就它可以随便走。此时我以这边做一个等腰直角三角形 q 啊，它是个等腰直角三角形，然后以 a c 为直角边，我又做另外一个等腰直角三角形。 p 吧，它也是个等腰直角三角形。 ok， 此时我连谁啊？连 p q， 连 p q， 我 取 p q 中点 h， 这条线段叫 c h， 问 c h 等于多少？ 问 c h 等于多少？同学，你看，这个是特殊情况，这个就不是特殊了，它都歪着了，是吧？我这个也不是四十五度，它是任何一个角度。 c 在 动的时候，我连 p q 的 中点，这个叫 h， 它是中点啊。问这条边 c h 等于多少？ 等于二？邓同学，等于二，没错， c h， 它就等于二分之一的 ab， 它就等于二分之一的 ab 倍长 c h， 没错，倍长 c h 倍长 c h。 大概是这样子啊，这个叫 t 吧，就变成它，让这个这条边等于这条边，就 h t 等于 h c， 就 会有什么 p t 等于 c q 等于 cb， 也就是 p t 等于这条边。 你背向中心，因为这两个八字全等嘛，所以 p t 等于 c q， c q 又等于它的，所以它等于它，然后呢？它又等于它，然后呢？同学们，然后呢？我看一下大家能不能弄出来啊？ 谁跟谁全等，来到这里之后，谁跟谁全等，就会有这个三角形，就 p、 t、 c 跟这个三角形全等， 就这两个三角形。这里 polo mojito 的 一个证明啊，它是一个通用的一个结论来的，只要它是终点，它肯定等于它的一半，就是因为这两个全码。为什么？ 因为这个角 c、 p、 t， 它等于这个角，为啥？这两个是直角， 所以这个角加上这个大角，它是不是等于一百八？你这两个直角去了一百八吗？我加起来等于三百六的一个圆圈，所以它两个加起来等于一百八，然后它跟它平行，因此它加上它也是一百八。同旁内角，因此它跟它相等，就会有 s a， s 全等，就会有对应边 ab 等于 t、 c， 因为我是背长中间的，所以它是整条边的一半，因此它也是整条边的一半啊，这个就是很经典的 polo 模机多，你们群里面，你们，你们公屏里面说的， ok。

分享一题这个一次函数和我们的这个几何相结合的题目啊，那我们一起来看，他说这个直线 y 等于 r x 减六，与 x 轴 y 轴分别交于 ab 两点，那其实我们这里的 ab 两点的坐标我们肯定是能够得到的啊， 这里相当于什么？我 b 点的坐标可就是零负六啊，对吧？ a 点的坐标呢，是我的三零，是吧？这两个坐标得到了，那 c 点呢，是 y 轴的正半轴上啊，在外轴的正半轴上，然后 d 点在直线 a、 b 上，并且跟我们讲了 c b 等于十， 是不是？那这里啊，第一问，我们瞅到第一问 c 点的坐标，那既然 c b 等于十，那我 c、 c 点的坐标可就是零四了，是不是？那这里我们接着走， c d 呢，等于 o d， 然后若 p 点啊，为这个线段 a、 b 上的一个动点，它的红坐标呢？为 m， 那我们的纵坐标都该为什么呢？点在线上，那是不是 r m 减六啊，对吧？那现在呢？ q 点关于 x 轴的这个对称点， q 点啊，总是在这个三角形 o c、 d 内， 那 p 点的坐标我们是不是设了 m r m 减六啊？那它关于 x 轴对称以后啊，这里的 x 轴 对称以后，我们想一想啊，这里的 q 点应该怎么样？是不是相当于什么？相当于？我这里的红坐标没变，纵坐标呢？变成它的相反数，是不是我 q 点坐标可就拿到了？ 那然后我们来看啊，那 q 点坐标在三角形 o、 c、 d 内，那对于我来讲，如果我能够把 这里 d 点的坐标拿到，那 c d 和 o d 这两条一次函数的这个解析式我可就知道了，那这里的纵坐标不就是在 o c d 的 下方，在 o d 的 上方 问题不就解决了吗？那现在就来到了我们这里 d 点的坐标该怎么去求的问题啊？那题目跟我们讲了， c d 是 等于 o d 的， 然后 c 点呢，又在这个 y 轴的坐标上，那我们能想到什么？是不是等腰三角形 三线合一呀？是吧？那过 d 点去做垂线，那这里是 e 点，那这个时候我们能不能知道 e 点的坐标呀？肯定可以知道， 一点的坐标是不是就是零二呀？有人讲，为什么呢？三线合一啊，等腰三角形，两个腰的焦点坐下来的这个高是底边的，这什么垂直平分线？是不是？那所以一点的坐标就拿到了？那我这里 d 点的坐标， 纵坐标可也就是 r 呀，那红坐标呢？我们带进去算一下吧， r 等于 r x 减六，那这里 r x 是 不是等于八？我 d 点的坐标是不是就拿到了四？ r 是 不是？ 那 c 点， d 点的坐标拿到以后，我这里 c d 的 解析式可就是 探囊取物了，是不是？那我们这里啊，是不是直接就可以写出来， y 等于负二分之一， x 加四是不是？ k 是 怎么求的？ k 是 二减四，除以四减零搞定， 是不是纵坐标这里的截距已经有了啊？是四，所以 cd 这条线呢？那是不是 y 等于多少？ y 等于二分之一 x 是不是搞定？是吧？那我这里的 q 点总在三角形 ocd 内，那可就要求我的六减二 m 怎么样了，小于负二分之一 m 加四，大于什么？大于我这里的二分之一 m， 我 们把红红坐标都确定一样，是不是？那纵坐标不都是 二分之一 m 或者是负二分之一 m 加四吗？那我们去解这个不等式啊。解，我就不解了啊，其实很简单的得到我们最终的答案啊， m 大 于三分之四，小于五分之十，那这里 m 的 取值范围可就搞定了。那这一题的分析关键是什么呢？关键是我们拿到地点的坐标，是不是我们得想到等腰三角形的性质，三线合一，是不是所以最终 落实结束呢？就是这一句话，什么叫 q 在 三角形 o c d 内，那就是同红坐标相同，纵坐标呢？正好是我这里的 p 点，也就是 q 点的这个纵坐标正好在 c d 的 下方， o d 的 上方。把问题搞定啊，是不是？好，那所以啊，这里的分析我们就到这里结束了啊。好，那我们下次再见啊。

合肥的初中数学想要冲击一百四十分以上，那这两本资料你一定要练一下。第一本呢，是科大附中的老师联合出的几何辅助线的专题，三个年级都能用啊，他把考试常考的八十二种辅助线的类型都会懂了。孩子练完这一本，再遇到几何证明题，就跟送分一样。 那第二本呢，就是安徽中考压轴真题的专练四十五和科大附中的老师都亲自推荐的，数学考一百四十加的孩子几乎人手一本。 他汇总了安徽近十年的中考亚洲题和合肥的模拟题，比市面上的资料更有针对性，还搭配了便是训练和解析，不会做的就看解析步骤非常的细致。你如果说能练完这两本，数学就能从学渣到学霸，那资料呢？我都打包整理成了电子版，有想要的打数学，我公益分享给你。