斜率不存在是x=0还是y=0

零，这种模式讲两种，直线，斜截式。斜截式，顾名思义，谁得存在斜率？斜率 k， 我 是不是一定得存在？张景林站一会，是不是斜率 k 得一定存在？那如果斜率 k 不 存在的话， 它是一条什么直线啊？当斜率 k 不 存在的时候，它是一条什么直线？坐好坐直，它有什么直线？斜 率 k 不 存在？垂直于垂直于 垂直于 x 轴垂直于 x 的 直线。哦，斜着 k 不 存在，说它是一条垂直于 x 轴的直线，对吧？那也就说这个直线方程它不包含什么 k？ 对，它是不包含，不包含垂直于 x 轴的这样的一个直线，对不对？对不对？所以说你如果用这个方程的话，一般上得分类讨论，是不是考虑斜六 k 存在，斜六 k 不 存在这两种情况，对不对？好，那我们再来看 这个，这个是 x 等于 y 加 a， 这个 a 是 什么结局？哎，太棒了，它是不是横结局？ 我们解距。那所以说对于这个来说，他过的一个定点是什么？定点是 冻结距一一零零零零一 b 呢？零 b， 这个 a 零 a， 他 是不是过的定点是 a 零，对不对？是吧？对，好，那我们来看这个直线 它有什么好处？来，我问一下，垂直于 x 轴的直线是不是 x 等于多少？对，是不是就是令 y 等于零，是不是 x 等于多少？对不对？对啊，那你现在看，如果我令 m 等于零， y 是 不是就没了？对， 它能不能表示 x 等于 a 这条直线啊？可以啊，这条直线，那是什么直线？垂直于垂直于 x 的 o 直线。你要说这个方程它已经包含了什么？垂直于 x 的 o 直线，但你再想一下，它不包含什么？ 为什么？对，你还真答对了。为什么来这个方程，你能不能把它变成一个斜截式呢？ 可以， y 等于什么？ m， y 是 不是等于 x 减 a？ 是 x 减 a， 然后除以 m， 所以 说他的斜率就是谁。斜率是 y， m 分 之一， 是不是？这不是 k， x 加 b 的 形式吗？斜率是不是 m 分 之一，对不对？对，对不对？对，对啊，斜率 k 就是 m 分 之一。那请问我斜率 k 它是不是可以？任何数是不是都可以啊？对， 斜率 k 是 不是可以等于零？对，但是我现在 m 不 能等于 m 不 能等于零吗？它是不能等于零的对不对？它要不然是没有意义的。也就是说，我这条直线它是不包含哪一条直线的？ m 等于零， m 等于零，不包含 m 等于零。错了， k 等于零的直线啊。 k 等于零，它是一条什么直线呢？ k 等于零，是不是一条平行于 x 轴的线，或者说是垂直于 垂直于 y 轴的直线，或者说是平行于 x 轴的直线，对吗？对不对？ 所以说你记住了没？记住就是说它的分类讨论点是不一样的。对这个方程来说，你是不是得考虑斜率 k 存在还是不存在？它不包含的是垂直于 s 轴的直线，而这个形式是它不包含于是垂直于 y 轴的直线，它包含垂直于 s 轴的直线，对不对啊？这两个各有优缺点啊。

当直线的斜率等于正负一的时候，咱们可以快速的求出来一个点。关于这条直线的对称点坐标。 那也就是把原来这个点儿 a 的横坐标带入解出来外值就是对称点儿 a 撇儿的纵坐标。 然后 y 等于 x 减二，把一给它带入一，减二等于负一。嗯，也就是 a 撇纵坐标是等于负一。把 a 点纵坐标 代入一下，解出来 s 值就是 a 片的横坐标， x 等于 y 加上二。那这时候代入一下变成了二加二等于四嘛。所以说它对称点坐标就是四负一。那这要做的原理是什么呢？接下来咱们简单证明一下。嗯，过点 a 做这个直线 l， 也就是 y 等于 x 减二的对称点。过 a 点做这条直线呢。一条垂线， 找到它，对准点儿 a 撇儿到 l 的距离和 a 到 l 的距离是相同的。那接下来呢，咱们过 a 点儿做平行于外轴的一条直线，跟直线 l 交于点 b。 然后再过 a 点儿做一条跟 s 轴平行的直线，跟直线 l 交于点 c。 接下来依次连接一下这四个点。 那这个时候 a、 b 四边形 a、 b、 a 撇儿 c。 它肯定是一个正方形。这儿没啥问题。因为对角线相互垂直且平分 c 一点的纵坐标肯定跟 a 点的纵坐标是 相同的，都是负二。咱把 c 点坐标设成 s 零二， b 点的横坐标跟 a 点的横坐标是相同的。咱们把坐标设成 y 零。那接下来很显然 a 撇的坐标就是 s 零 y 零。 那你怎么求出来这个 s 零呢？那很显然就是把 y 等于二，也就是 a 点的纵坐标带入到直线里边，解出来 s 零，就是 a 撇的横坐标。 把 a 点的横坐标 x 等于一带入到这个直线。里边解出来 y， 零，就是 a 撇的纵坐标。 但是这种情况仅限于斜率等于正负一的时候。求点。关于直线的线点，也就是对称直线斜率只能是正负一，你别的话就不行了。简单总结 对称直线的斜率等于正负一的时候把把原来这个点的横奏表带入。 解出来 y， 就是对称点 a 撇的纵坐标。把原来点的纵坐标带入。解出来 x， 就是对称点的横坐标。

抖音寒假公开课，我们一起来学习中值数学基础模块下册零基础的讲解，我们今天要学习的内容是直线的点斜式方程与斜截式方程。 先来看第一个直线的点斜式方程，假设点 p 为直线 l 上一于点 p 零的任意一点，它与点 p 零连线的斜率 k 是确定的，那我们由直线的斜率公式就可以得到 k 呢，它是等于 y 减 y 零，比上 x 减 x 零的， 我们把 x 减 x 零乘到左边，哎，就可以变成这样的一个式子，也就是 y 减 y 零，等于 k 位的 x 减 x 零。那我们这个式子呢，是由直线上的一点 p 零和斜率 k 确定的， 因此呢，称为直线的点斜式方程，取这个点的点取斜率的斜，哎，点斜式方程，当斜率 k 等于零的时候，直线的方程为 y 等于 y 零， 我们可以把这个 k 等于零代入，对吧？你后面的话就等于零，那就是 y 等于 y 零。其实直线平行于 x 轴，或者是与 x 轴重合，我们可以看到下面这个图一，它要么是平行于 x 轴，要么是在 x 轴上面。 如果当斜率不存在的时候，什么时候斜率不存在呢？也是我们倾斜角为二分之派，也是他与 x 轴垂直的时候， 斜率呢，是不存在的，这个时候呢，直线 l 的 方程呢，为 x 等于 x 零，那我们可以看到第二个图，这个点呢，它是等于 x 零的，此时直线平行于 y 轴，或者是与 y 轴重合，要么是平行的，要么呢就是和 y 轴是 重合的。那么这个点斜式方程，这个大家一定要非常的熟悉，大家是要记一记得，我们来通过具体的例子来看一看例题，六点六分别求满足下列各条件的直线的点斜式方程，因为我们刚刚学到，可能还记不下来这个公式，我们把它放到旁边。 先来看第一题，直线经过点 a， 斜率为二分之一，那么这里知道斜率哎， k 的 话呢，等于二分之一，经过了点 a， 我 们直接代入就可以了。外减外零，外零的话呢，就是这个二 减二等于 k 倍的 x 减 x 零，那 k 斜率的话呢，就是二分之一， x 减 x 零就是一， 这就是第一题的答案。接着第二题，直线经过点 a， 倾斜角为六分之派，那我们这里给到的是倾斜角，我们要求一下它的斜率，那斜率 k 呢？它就等于贪婪的六分之派，贪婪六分之派呢，就等于三分之根号三， 那我们就求出来它的斜率为三分之根号三，然后就和我们第一题一样代入就可以了。 y 减 y 零， y 零的话呢，就是三， y 减三等于 k， k 是 三分之根号三 被的 x 减 x 零， x 零就是二减二，这是第二题的答案。 接着我们来看第三题，直线经过点 m 和点 n， 那 么这题同样也要先求一下它的斜率，斜率 k 呢，就等于你无论是用 m 减 n 或者是 n 减 m， 这个答案呢是相同的哈，我们用后面这个负三减三， 负一减二，上面就是负六，下面就是负三，哎，答案的话呢，就是二，那我们得到的它的斜率呢为二。第二步呢，就是我们取任意的一个点带入点斜式方程就可以了， 你可以带入点 m 的， 或者是带入点 n 的， 答案呢是相同的，那我们就带入点 m 吧，外减外零，外零的话呢，就是三 等于 k， k 是 二二倍的 x 减 x 零， x 零就是二点二，或者是你带入点 n 的 外减 外零，外零的就是负三，外减负三，就是外加三，等于二倍的 x 减 x 零， x 零就是负一减负一，那就是加一，那大家可以算一下，后面的话呢，就是 x 减四，那再外减三，你把三移过来，就是 y 等于二， x 减一。那么再来看下面这个，这个就是二， x 加二，左边呢就是 y 加三，你把三移到右边，也是 y 等于二， x 减一。答案呢是相同的，这是我们第一个知识点，直线的点斜式方程。 接着我们来看第二个直线的斜截式方程，我们把直线 l 与 y 轴的交点，它的纵坐标 b 称为直线 l 在 外轴上的解距， 它的横坐标 a 称为直线 l 在 x 轴上的解距，也就是我们下面这个图片，若直线的斜率为 k， 且与 y 轴的交点为这个， 这直线的点斜式方程为 y 减 b， 等于 k 倍的 x 减零。我们整理一下，也就是 y 等于 k， s 加 b， 这公式呢就是我们直线的斜率 k 以及直线在外轴上截距确定的，因此呢，我们称为直线的斜截式方程， 这个大家也是要记一下。另外呢，我们这里要提示一下，截距呢，它不是距离，它是直线与 x 轴交点的横坐标，或者是与 y 轴交点的纵坐标，它的值呢是可正可负，并且呢也可以为零， 这个大家一定要注意一下，我们来通过具体的题目来巩固一下。例题六点七是直线 l 的 斜率呢，是根号三在外轴上的截距是负二，写出直线 l 的 斜截式方程，那斜截式方程对吧？ y 等于 k， x 加 b， 那我们知道斜率呢，是根号三，也就是 k， 它等于根号三，在外轴上的截距是负二，也 b 等于负二，那我们把这两个参数带入到方程里面， y 等于 k， k 就是 根号三，根号三 x 加 b， b 是 负二，也就是减二。哎，这就是我们这一题的答案， 这是我们第二个直线的斜接式方程。接着我们来看第三个直线的一般式方程。在开始之前呢，我们来思考一下，如果一个二元一次方程 a x 加 b， y 加 c 等于零，是否可以表示为一条直线呢？ 我们来看一看。如果当 b 不 等于零的时候，那二元一次方程 a x 加 b 加 c， 怎么来的呢？我们来看一看。那我们在化简的过程中，把 b y 留着，其他的都移到右边也 b y， 它等于 负 ax 减 c， 哎，我们再把 b 出来，哎，就变成了这个，所以呢，这是这样的。那么看到这个，是不是就想到了我们前面提到的斜切式方程， y 等于 k， x 加 b， 那 k 斜率也就是负 b 分 之 a 在 外轴上的截距 b， 也就是负 b 分 之 c， 它呢就表示斜率为负 b 分 之 a 在 外轴上的截距为负 b 分 之 c 的 直线。如果当 b 等于零的时候， 此时一定有当 a 不 等于零的时候，如果 a 等于零，那都等于零了，就没有意义了。二次方程 x 加 b， y 加 c 等于零，那我们知道 b 等于零，也就是 ax 等于负 c， 也就是 x 等于负 a 分 之 c， 对 吧？你给它移过来，所以呢，可以化为这个，它就表示经过点这个且垂直于 x 轴的直线。 由上述讨论，我们就可以得到二元一次方程， x 加 b， y 加 c 等于零，当 ab 不 同时为零的时候，表示一条直线称为直线的一般式方程。这样的话呢，平面中的直线与二元一的方程就建立了一对应的关系， 那有什么用呢？我来通过具体的题目来看一下。先来看例题，六点八，一只直线经过点 a 和点 b， 写出它的一般式方程，那这种题呢，它有两种方法。 我们先来看一下课本上给到的一种方法，我们就可以假设直线的一般式方程，对吧？ a x 加 b 加 c 等于零，它经过点 a 和点 b， 这个我就不写了。经过这个点之后呢，我们就可以列一个方程组， 把这两个点分别带入到这个方程里面，也就是我们得到一个方程组，那我们把它带入之后呢，就是这样的一个方程组，然后我们再解这个方程组，就可以得到 a， 它是等于负 b 的 c 呢，它是等于负的三 b。 那 我们再把得到这个解带入到方程里面，就可以得到它的直线一般式方程，就是 x 减 y 加三等于零，这是第一种方法， 这个大家可以了解一下。接着我们来看一下第二种方法。第二种方法呢，就是我们要先求一下它的斜率，我们根据斜率公式， k 呢，它就等于你用 a 点减 b 点，或者是 b 点减一点，都是可以的。那我们用这个 b 点减 a 点吧，也就是 四减五，比上一减二，上面是负一，下面也是负一，那得出来斜率呢就是一。 第二步呢，我们就写点斜式方程，我们可以选点 a 或者是点 b 代入都可以，比如我们选点 a 外减外零外零的话呢，就是五，外减五等于 k， k 是 一对吧？一倍的 x 减 x， 零 x 零就是二， x 减二，那斜率是一对吧，这个可以省略不写。那么化解一下， y 减五，它就等于 x 减二，我们整理一下就可以得到 x 减 y 加三等于零， 这是我们这一个。同样的，你也可以把点 b 代入到这里面，大家也可以算一下，也就是 y 减四等于一倍的一乘以 x 减一， 结果答案呢是相同的，这是例题六点八，接着我们来看例题六点九，求直线二， x 减三， y 加六等于零的斜率，以及直线在外轴上的解距。那我们要做的就是把这个直线的一般式化成斜结式， y 等于 k， s 加比， 我们第一步呢，就是要把这个给他变成类似于这种，我们给他整理一下，也是负三， y 等于负二， x 减六，然后两边再同时除以负一也是三， y 等于二， x 加六，接着我们两边再同时除以三， y 就 等于三分之二， x 加二，这样我们就化成了这个斜截式方程。这种，那我们就可以得到斜率， k 呢就等于三分之二，直线在 y 轴上的截距呢，这个 b 呢也就等于二， 这就是我们 c t 的 答案，直线的斜率呢，为三分之二，在 y 轴上的截距呢为二。好，这是我们这一节的内容，如果这个视频对大家有帮助的话呢，大家可以多多点赞转发分享一下，我们下个视频见，拜拜。

今天给大家录制的是二零二二至二零二五广东专研本历年选填的汇总，这毕竟是真题，希望大家能够引起重视，这个文档也是老师辛苦手敲的，希望大家能够点点小赞赞。 在这里老师真诚祝愿大家成功上岸公办本科哦！那今天会讲解二零至二五年历年选填汇总中的极限 无穷、小量、连续间断求导积分、无穷极数、微方程等。那废话不说了，我们先看第一部分求极限，那咱们说了，求极限是能等价就等价，那常见等价无穷有哪些？那咱们今天给它复盘一下，那是不是有 x？ 你 说是不是？有啥？是不是有三 x 可以 点啥？是不是可以点 x？ 还有啥？还有我们的 arc 三 x 是 不是也等于 x 啊？还有啥？还有我们的 arc， 它 x 是 不是也等于 x 啊？ 还有啥？还有我们的 e x 再减一也等 x， 还有啥？还有 l， 是 不是有一加 x， 是 不是也等 x 啊，对不对？还有 a x 再减一等于啥？是不是等于 x 倍的 l a 啊？那这个口得比较少啊。还有啥？还有一减 cos 等下是不是等于二分之一 x 平方呀？还有啥？ 还有我们的一加 x， 啥？是不是 r 方再减一等于啥？是不是等价于 r f x 啊？尤其注意这个 r f 为二分之一就变成了啥一加 x 二分之一方再减一等价啥？是不是等于二分之一 x 啊，对不对？那这个二分之一 是不是可以写成根号，那就是根号下一加 x 再减一应该等于啥？是不是等于二分之一 x 啊，对不对？好啦，要记住根号下一加 x 再减一应该等于啥？是不是等于二分之一 x 啊，对不对？你比如这个 c x 和这个啥？和这个 r x 不 能压怎么办？是把它俩当做有界函数去处理，变成无穷小乘有界是不是等于零啊？那常见有界函数有哪些，对不对？那咱们之前的视频也给他讲过函数的四大性质，这是第一个性质，是不是有界性啊？那常见有界函数有哪些？是不是有谁啊？是不是有 x？ 是不是 cosine？ 还有啥？还有 arc tan x 还有啥？还有我们的 arc 是 不是 q tan x 啊，对不对？如果它俩不能要怎么办？把它当做有界函数处理，变成无巧乘有界。那咱们说了是不是？求解，是不是先判刑啊？ 对不对？好了，那有可能会遇到啥？是不是有可能遇到我们的一的无穷型啊？那一的无穷型想啥？是不是想我们的第二个重要极限呀？ 那咱们给它复盘下第二个重要极限。那第二重要极限有啥？是不是有 lima？ 是 不是 x 去零？是有啥？是不是有一加 x？ 啥？是不是 x 分 之一等于啥？是不是等于一？还有啥？还有 lima 是 不是 x 去无穷？啥？是不是一加 x 分 之一的 x 米是不是也等于一啊？至少这是我们的标准的第二个重要极限。 那如果做小题遇到一的无穷性啊，那怎么办？我们要干啥？我们要凑出一加，找到你拿法找到你贝塔就等于啥？这个结果就等于一台棋啊，发贝塔相乘即可，这是做小题啊，对不对？ 我们求解。还有啥？还有更多的方法对不对？如果判刑的话是零比零或无凶比，无凶可以使用啥？落尾法则对不对？遇到根式想牛理化，遇到分式是不是通分等等等等，对不对？我们求解是不是一定要先判刑啊？遇到分式分不灵或没有分式是不可以代入啊， 对不对？那咱们看一下二五年的计算这个极限，对不对？遇到这个极限是不是遇到极限先判刑啊？这没有分式，没有分式是不是可以直接代入啊？那就变成一的零次方是不是再加二？一的零次方等于几？一，那就一加二等于几，是不是等于三啊？所以这个题是不是选择 d 选项？这是二五年的悬崖求极限。 那咱们看一下二四年的求极限是不是？求极限？是不能等价就等价 x 去零数有啥？是不是有 c x k 的 x， 那 c 三 x 是 不是等于加啥？等于你三 x 啊？分母不能压是不是直接照抄？那 x 比 x 是 不是可以约掉？就是几就是三呀？所以这题是不是选择我们的 a 选项这二四年的？ 那咱们看下我们的二三年的计算这个极限，这个极限是不是先判刑啊，对不对？这没有分式是不是就可以直接代入？那就变成谁啊？二的零次方是不是再加一啊？二的零次方等于几？一，是不是一加一等于几是不是等于二？所以这题是不是选择我们的 c 选项， 对不对？那咱们看下我们的啥啊填空题？二年的啥啊？二三年的填空题对不对？好，让你求啥？让你求水平极限，极限也是求极限， 对不对？那我们极限有什么？我们的径线有哪些？我们的径线是不是有水平径线，还有啥？还有我们的铅垂径线还有啥？还有我们的斜径线，但是斜径线一般在考研中考察，在我们专业不考察，那水平径线怎么去求啊， 对不对？水平径线是啥？是不是求哪件？是求小于哪？是不是 x？ 无穷这个极限对不对？如果这个极限存在，等于 a， 它一定有水平径，谁啊？就是 y 等于 a 啊， 对不对？那铅垂线怎么去求？先找出无定点呀，让求啥？让你求无定眼的极限。那如果这个极限等于无穷大，那这个极限 等于无穷大，他一定有啥？是不是？一定有我们的铅垂极限，啥？是不是 x 零，啥 x 零啊？一定有区别。要求铅垂线，这个极限一定是等于无穷大，要求水平线，这个极限一定得存在， 对不对？他一定有水印件， y 等于 a， 他 一定有切记键，是不是 x 等于啥？无丁点呀，对不对？那什么时候等于无穷啊？那有的人就会想到这无穷倒数都等于无穷大吗？这不是对的， 对不对？因为谁啊？因为这个零比零，他不一定是无穷大，因为零比零是一个无谓定式啊，对不对？无穷倒数要想等于无穷大，一定保证啥？一定保证这个 k 等于零，变成啥？变成零比零是啥？是一个无谓定式啊， 对不对？那咱们看下这一道题，让你求啥？让你求水平极限，那水平极限怎么去求？是不是求谁啊？是不是求哪个极限？是不是求 leave 哪？是不是 x？ 无穷那个极限？那有啥？就 c x 比上 x 啊， 对不对？那有的人就想 c x k 点 x， 那 你就不对了，是不是 x 整数是不是 c x k 点 x 乘以几啊，是不是？ x 无穷你不能压怎么办？不能压是把它当做有界函数去处理啊， 对不对？那就选择啥？是不是选择化伤为机就变成 x 分 之一，是不是乘一个 c x 啊，对不对？ c 不 能这样把当时呀，把它当做有界函数去处理呀。 x 无穷是无穷大的，数是无穷小呀，变成无穷小乘有界是不等于零啊？ a 是 不是这个极限是不是存在？是不等于零啊？它一定有水平键，是不是 y 等于 a， 那 就是 y 等于零啊，对不对？没有赢吗？这是我们的二三年的填空题是不是？那咱们看下我们的二二二年的计算，这个极限 对不对？那这什么形？这是判型的话，这是一的无穷型，一的无穷型是啥？是不是凑出一加？是不是找到你阿法是啥？是不是找到你贝塔？啥？是不是一抬起是不是阿法？贝塔相乘阿法是啥？是不是负三 x 贝塔是啥？是不是 x 分 之一， 对不对？那这个 x 和这个 x 分 之一是不是直接约掉就是啥？就是 e 的 负三四面啊，对不对？所以这个题答选的是啥？ a， 这是我们的二二年至二五年所有的求积念，是不是就是非常的简单呀，只要掌握这些内容即可呀？ 那咱们看一下第二个部分，就是无穷响亮的比较，对不对？题目会告诉你 x 乘以某点啊，让你去比较 f x 和谁？ g x 之间的关系啊， 是高阶低阶等加同阶，那本质上还是求极限？是求哪个极限？是求 lem？ 是 不是 x 乘以某一点的极限？是不是？题目会告诉你这个点极限，那个极限是 f x 和 g x 之间作比的极限啊。那如果这个极限的结果等于零，咱们数学喜欢反着来啊，零比较小，那你的 f x 是 啥？是 g x， 是 不是叫高阶无穷小，对不对？那如果这个极限结果等于无穷大，非常大， 那你的 f x 是 g x， 是 不是叫低阶反着来啊，对不对？那如果这个极限结果等于一你一个我一个，那你 f x 和 g x 之间是啥？是不是我们的等价无穷小？那如果这个极限结果等于任意长度 c， 那任意乘数 c 肯定不等零等于零，叫勾结，等于叫啥？叫等价？那你的 f x 和 g x 之间是啥？是不是我们的同阶但非等价无穷小，对不对？你要求极限，你求极限干啥？你就慢了， 我们干啥？我们把它转换成密函数去比较大小啊，对不对？如果它转换成密函数是 x r f， 它转换成密函数是 x b， 它 对不对？如果你的 r 发大于贝塔，次面高高阶，那你的 x r 发是 x 贝大啥？是不是它的高阶无穷啊，对不对？如果你的 r 发小于贝塔，那你的 x r 发是 x 贝大啥？是不是叫我们的低阶无穷次面高高阶，次面低低阶啊？ 那如果这个次密一样，次密一样干啥？是不是看细说啊？那如果这个细说又一样是啥？是不是叫等价无穷小？次密一样细说不一样是啥？是不是我们的同阶但非等价无穷小啊，对不对？那咱们看下我们的二四年的 这个等价无穷小，对不对？ x 乘零首 a x 与四 x 立方再减三 x 平方再加二 x， 是 等价无穷小，让你去求 a， 那 咱们看一下 x 无穷数，你要知道 x 五次，再加 x 次，再加 x 三次。 那咱举个例子啊， x 无穷是不是叫抓大头啊？是不是四阶三阶是不是就不起作用了？那你告诉我， x 无穷时候咱们讲过了吧， x 无穷是不是叫抓大头，对不对？那 x 无穷时候叫啥？是不是叫抓小头？也叫啥？是不是也叫低阶吸收高阶呀？ 对不对？好了，那你告诉我， x 零有 x 五次，再加上 x， 再加上 x 三四对， x 零是叫低阶吸收高阶有三阶，你的五阶四阶，这种高阶就被吸收掉了， 对不对？那咱们看一下我们的谁啊？第三道题，我们都转成面数，那 x 乘零的时候再减三 x 平方再加二 x， x 乘零的时候叫低阶吸收高阶，这一阶你的二阶，你的三阶是不是就不起作用了？所以我们的后面的函数转成面数，就是啊，就是二 x 啊。 他说 a x 是 不是与二 x 是 等加五小？等加五小是不是转面处是啥？是不是次密一样？都是一次密，但是一定保证啥细数是一样的，所以 a 等于几啊？是不是 a 等于二呀？所以这题是不是选择我们的加倍选项？那咱们看一下我们的加二二年的是不是也考察了啥？是不是也考察我们的等加五小 x 零的时候叫啥？叫低阶？ c 高阶，这 x 几次密一次密是不是叫低阶？ c 高阶，这二阶是不是当然就不起作用了，对不对？都转上面数是等价公式，是次密得一样都是一次密，而且它得保证啥是不得保证这个系数一样的。 对，所以 m 等于假，是 m 等于二呀，是不是也是非常简单？这是我们有关所有无穷小量的 比较，一般都转成面数，一般转成面数，如果 x 型熊是不是叫抓大头？那 x 型的时候叫啥？是不是叫低阶？是高阶，有低阶你的高阶就不起作用了？那 x 型熊是不是与之相反，是把低阶给它划掉啊， 对不对？一般都转成面，函数区域比较大，小次面高，高阶次面低，低阶次面一样，看系数系数一样。等价系数不一样，是我们的同阶，但非等价问题。 那咱们看一下第三部分，就是连续间段。连续间段他也是一个小小的专题，他也有独属于他的思维框架，你要想看这个思维框架的话，你可以看其他省份历年选填汇总中有这个连续间段的思维导图。 那我们广东是不是只考上连续？那我们只讲连续就行了，行不行？那什么是连续？那怎么画一个连续图像？那你说这个图像连不连续啊？连续，你说在这个点处连不连续啊？ 连续。那什么是连续？是不是这个点的左极限是不是等于这个点的右极限？是不是等于这个点的函数值啊？那什么是连续？我们给他翻一下，是啥？是不是左极限等于啥？是不是等于我们的右极限？ 等于啥？是不是等于我们该点的啥？是不是等于该点的函数值呀？对不对？哎，咱们看一下前面左右极限相等，左极限等于右极限。不就是啊，不就是这个点的极限值吗？ 对不对？那也就是那也就是极限值，等于函数值啊，这也是连续啊，那怎么看二五年是不是没有考察连续间段？二四年也没有考察，那怎么看二三年是不是考察？这个第二道题是已知连续反求参数啊。 f x 是 在 x 零处连续， 那什么是连续？是不是在 x 零处连续？那什么是连续？是不是零的函数值啊， 对不对？那怎么看零的极限值？零的极限值 x 可去零可不等于零啊。所以被加数取啥？是不是取上面的？所以我们的 f x 取啥？是不是取我们的一加 x 平方的 x 平方分之一的次密啊， 对不对？好了，那怎么看这个极限？这个极限是什么？这是一的无穷型一的无穷型？是啊，是不是凑出一加找到你的阿法，找到你的贝塔。谁啊？是不是就是一台棋？阿法贝塔相乘呀，那就是 x 平方乘以啥？是不是乘以 x 平方分成一啊， 对不对？都有啥？是不是都有 x 幺 x 幺约掉，那有啥？那就是 e 的 一次幂就是 e 啊。那咱们看一下零的函数值，哪一段有零啊？哪一段解析的有零？是不是第二段？那 x 零的时候 f x 等于啥？是不是等于 a 啊？那什么是连续？是不是零的极限值？ 是不等于零的函数值啊？那 a 等于几？ a 等于 e？ 所以 这题选择谁啊？选择我们的 c 选项，对不对？ 那咱们看下二二年的是不是已知连续去反求参数有没有？是不是我们的第一道题啊，对不对？他说 f x 是 不是在 x 等于一处连续？那什么是连续？是啊，是不是一的极限值？ 等一下是不等我们的一的函数值在一处连续，那当然一的极限值是等于一的函数值啊。那咱们看一的极限值 x 可去一， x 可不等于啊？所以 f x 取下，是不是取我们的 x 再加一啊？是不是求这个极限？是不是？求极限是不能带入就带入， 什么时候能带入？遇到分式分不灵或没有分式是不可以带入，这没有分式是不当然可以带入，所以加 x 等于一，加一等于几？二呀？那咱们看一下一的函数值， 一的函数值 x 等于几啊？是不是 x 等于一处取得的函数值？那 x 等于 f， x 取啥？是不是取 a 呀？对不对？那连续是不是一的极限值，是不是等于一的函数值啊？所以 a 等于加 a 等于二？所以这题是不是选择我们的 d 选项？也就是啊，也就是我们的二二年至二五年 所有的连续间断是不是只考察连续连续，是不是利用我们的极限值是不等于函数值？是不是就可以去做出来了？ 那咱们看一下第四个部分是不是求导？那专升本中考试中是不是有各种各样的求导？咱们今天给他复盘一下，有哪些求导？第一个是啥？是不是就是公式法求导？ 第二个啥，是不是就是我们的复合函数求导？那复合函数求导干啥？一定不要忘记对内层求导还有啥？还有我们的引函数求导还有啥？还有我们的对数求导法则还有啥？还有我们的高阶求导 对不对？还有啥？还有我们导数的定义对不对？但是我们广东历年选填会子中是不是只考察是不是只考察官式法渠道方式渠道还有啥参照方式？渠道还有啥导出定义？那前两个 无话可说，对不对？尤其是第二个一定干啥？一定不要忘记对内层求导。那咱们看一下我们家第三个参数方求导，那求导是不是求导就外撇？外撇是不是可以写的啥？是不是外撇？是不是就是 d y 比上 d x 啊，对不对？是不是外撇就是啥？是 d y 比上 d x 啊， 是不是？那 x 和 y 是 关于 t 的 导数啊，对不对？那 d x 是 啥？是 x 关于 t 的 导数啊， 对不对？那怎么看一下我们的前面的 y 撇是不是等于啥？ d y 边上点 x， 那 你告诉我 d y 呢？是不是？ d y 是 不是等于啥？是不是？ y 撇是不是乘以点 x 啊，对不对？那这个是不是也可以推出啥？这个就是我们的啥微分公式， 对不对？好了，那怎么看一下我们啥？第四个部分就是导论 e， 那 什么时候利用导论 e， 一 般遇到啥？遇到分段函数的啥？分段点我们干啥？ 我们利用啥？利用我们的导数的定义，那导数定义我们回归啊。导数定义，那 f x 在 x 零，导数等于啥？就等于 lem 呢？ x 乘以 x 零， f x 减 f x 零比上谁啊？比上 x 减 x 零啊，这我们加导数定义。 那咱们看一下二五年的求导，看一下第二道题，已知 f x 等于 x 平方，让求 f 撇一 让你求啥？让你求一到，那显然减，这是啥？这是我们的公式法求导啊，对不对？那 x 同样求到啥，是不等于二 x 啊？问你啥？ 一的导数值是不是求完导，是不是将 x 一 带进去，是不是将 x 一 带进去啊？那就变成二乘一，二乘一等于几啊，是不是等于二？所以这个题是不是选择我们的 c 选项？那咱们看一下第三道题， f x 是 这样一个分段函数，是不是当 x 大于等于一时为 x 平方，当 x 小 一时为 x， 他 问你是啥，问你 f x 在 x 一 处可不可导？那 f x 在 x 一 处是啥？ x 一 是啥？是一个分段点，所以遇到分的函数的分段点，以利用啥？利用导数定义啊， 对不对？咱们再写一遍导数， f x 在 x 零，导数等于啥？就等于 lem， 是 不是 x 去 x 零， f x 减 f x 零边上谁啊？比上 x 减 x 零啊，对不对？在谁的导数值，是不是在一的导数值？所以 f 一 撇儿 解，是不是 f 撇一，那就是 x 零是不是等于一啊，对不对？那一到位置 x 零不就是一吗？那就变成啥？变成 lem 了，是不是？ x 减 x 一， f x 减谁啊？是不是减 f 一 啊，对不对？变成谁啊？变成 x 减一啊， 对不对？你的一的导数值和谁有关？是不是和一的函数值有关？那我们先求一的函数值，那 f 一 哪里面有一？是不是上面表示才有一啊？所以是不是将 x 一 是不是代入？上面是不是 x 平方，那就啥？就是一的平方等于减一，所以 f 一 等于几？ f 一 是不是等于一啊， 对不对？所以我们想一的弧值是不等于这个极限，对不对？这是啊，这是一个分的函数，那分的函数要求极限干啥？是不是要分左右极限，对不对？所以导数干啥？是不是由左右导数之分啊？那怎么看下我们的左导数，那左导数等于啥？是不是 limit？ 是 不是 x 乘以一的啥左极限，是不是 f x 减啥减一变成啥？变成 x 减一，那一的左导数就是一的左极限，一的左极限是从一的左侧逼近 x， 一定要 x， 一定要小一，所以你啥？所以你 f x 取啥？是不是取 x 啊， 对不对？ f x 是 不是取 x 啊，对不对？好了，变成这个极限， x 减一，比 x 减一，就是减就是一啊。那怎么样想一的诱导数？那一的诱导数，顾名思义，是不是从一的右侧逼进，那就是一的右极限加上 x 减一啊？那一的诱导数一的右极限，一 的右极限是从一的右侧逼进 x 一定要大于一啊，所以，并且取啥？是不是取我们的 x 平方，是不是， 对不对？所以我们的谁啊？一的诱导出是不等 x， 是 不是去匀谁啊？是不是去一的右减，是不是 f x？ f x 是 不是再减一？ f x 去加，是不是取我们的 x 平方呀？ 是不是再减一变成谁啊？变成 x 减一，那这是什么形？这是零比零形，对不对？零比零形，是不是可以说这样漏位的法则，你要是不想漏位的法则也可以干啥？是不是上面可以使用我们的平方差？变成 x 加一，是不是乘以乘以 x 减一啊，对不对？你的分母也有啥？分母也有 x 减一， 是不是 x 减一， x 减一，是不是直接约掉了？那就变成啥？变成 lin 加 x 乘一的右减，是不是 x 再加一啊，对不对？好了，求减是不是能代入就代入，这 分式不零或没有分式是不是可以代入？这没有分式是不是可以代入啊？那就是一加一等于几？是不是等于二啊？对不对？你看你看，是不是左右导数是不是都存在？但是左右导数干啥？是不是不可导， 对不对？他问你左右导数存不存在，对不对？左右导数是不是都存在，对不对？但是这一点可导吗？是不是不可导？问你，他问你这一点可导吗？不可导。因为左右导数 是不是都存在，但是左右导数不相等，所以是不是不可导？但是左右导数是不是都存在？这是我们下第三道题。那咱们看一下我们下第六道题，是不是考察微分底外，哎？底外等于外撇是不是乘以 d x 啊？ d y 是 不是等于啥？ y 撇是不是乘以 d x y 干啥？还是对它求道证明啥？面上求道 x 平分，求道是啥？是不是二 x 啊？ d y 不 就是 y 撇 y 撇是不是二 x 乘以 d x 啊，对不对？那咱们看一下第七道题，让求啥？让求二阶导数？ 那咱们看一下二阶导数。二阶导数不就是对一道进求导吗？那这里是不是先求一道？说那一道求导吧。那 x 减一的立方，它求导是啥？是不是？我们的面上求导是不是三倍的 x 减一的啥平方呀？ 求完吗？没有，不要去对内层求导。 x 减一，求导是谁啊？是不是一啊？这我们的谁啊？一阶导。那咱们看下二阶导。二阶导不就是对一阶的进求导吗？三是啥？长数提出去啊？那 x 减一的是不是 x 减一的啥？一次面啊， 对不对？二乘三等几六，那就是六倍的 x c 减一啊，对不对？所以二阶导是啥？是不是六倍的 x 减一？你把它括号打开就是六 x 减几六 x 减六啊，对不对？这啥，这是我们的二五年的求导数，就这些，对不对？ 那咱们看一下二四年求导，看一下第二题，已知 f x 等于 x 平方再减 cos， 让你求 f 撇二派，让求啥？让你求一阶导数， 对不对？那咱们干啥？对它求导吧？这啥？这是我们的公式吧，求导对不对？都是我们常见求导公式。 x 方求导是啥？是二 x 啊，对不对？口舌求导是啥？是不是？口舌求导是不是负 x 啊， 对不对？但是 c 求导是啥？是不是就是我们的正的 cos x？ 一定要区别它俩对不对？负负变成正，那就变成啥，那就变成二 x 是 不是再加上 x 啊？哪点导入值？谁呀？是不是 x 等于二分派的导入值？谁呀？是不是 x 等于二分派的导入值？是不是？求完导，是不是将 x 等于二派进去，那就变成啥？那就变成二，是不是乘以二派再加上啥？是不是再加上三 二派呀，对不对？二乘二派就是谁呀？就是派呀。 c 二派等于几？一？所以这个答案是不是派加一啊，对不对？这题是不是派加一啊，对不对？这题是不是也考察我们的 c 函数值？你要记住啊，这题是不是派加一啊，对不对？这题是不是也考察我们的第六道题， 对不对？让你求二阶导，让你求二阶导，是不是先求几阶导？是不是先求一阶导？这下这我们的公式法，这是不是常见的面求导啊， 对不对？那 x 四方求导啥？是不是四倍的 x 三次方对不对？那二阶导不就是对一阶导进行求导？四是啥？四是常数，是不是给他踢出去？ x 立方求导是不是三倍的 x 的 平方呀？三乘四等于几？是不是十二？十二就是十二 x 的 平方，所以二阶导是等于啥？是不是十二倍的 x 的 平方呀？ 那咱们看一下，我们下第七道题，让求 d y， d y 等于啥？是不是等于 y 撇是不是乘以点 x 啊？那这题是不是让求导呀？那咱们看下 y 撇 y， y 是 不是等于 l？ y 是 不是等于 x 加一？那 l 求导是不是等于它分成一啊？对不对？全部没有，不要去对内层求导 对不对？ x 加一求导等于几？ x 加一求导是不是就是一啊？所以再乘一个内层求导是不是就是一？乘一相当于不成了， 所以 y 撇不就有了吗？ y 撇不就是啥，不就是 x 加一分之一啊？所以底 y 等于 x 加一分之一，是不是乘以 d x 啊？那咱们看一下我们的第九道题 对不对？这题是不是让求斜率啊？斜率等于啥？斜率不就是该定的斜导数值吗？那这题是以参数方程为并下求导对不对？好了，让求导数 对不对？导数等于啥？是不是 y 比上 x 啊？ d y 是 啥？是不是 y 关于 t 导数， d x 是 啥？是不是 x 关于 t 导数，哪点导数值？啥？是不是 t 等于四分派的导数值啊， 对不对？好了，那怎么看 y 关于 t 倒数， cos 求等于啥？是不是负三呀？是不是负三 t 呀？求完没有？不要忘记对内层函数求到二， t 求到是啥？是不是就是二呀，对不对？那怎么看 s 关于 t 倒数，那 c 求等于啥？是不是等于 cos 啥？是不是口三 t 啊？求完了吧，干啥不要忘记带入哪里导数值啥？是不是 t 等于四分派的导数值啊，对不对？那咱们带进去，那就是负二倍的谁啊？是不是 c？ 是 不是二乘四派就是谁啊？ c 二派呀， 对不对？比上谁啊？比上我们的口三四派呀，对不对？那你再给他带进去，那就不带了，没有赢吧，至少这是我们的二四年的有关的导数。那咱们看一下我们家二三年的 导数。那咱们看一下第三道题，是不是让你求下且线的斜率，那切斜率不就是啊，不就是该点导数，哪点导数？是不是 x， 等一下是不是 x 一 处导数，那干啥？是不对它求导 好了，对它求导吧。这啥之乘九是不对？前导一，后面不导，是不是再加上后面导呀？后面导完了吗？没有，它是个复合的，不要去对内层求导负 x 导完了吗？没有，它是个复合的，不要去对内层求导。负一啊， 对不对？多了个负一，一负乘以正就是负的后面倒，再乘啥？再乘个前面不倒呀？拿着导数指是不是求完导数，将 x 一 代入，是不是 x 一 代入，那就啥？那就 e 的 负一，是不是再减一倍的 e 的 负一啊， 对不对？一个正的一个负的一，正一负抵消就是零啊，所以牵线率是不等于几？是不等于零啊，对不对？那咱们看下我们谁啊？看一下我们的填空题，填空题好少，没有我们的求导，是不是我们的偏导，我们偏导也会讲，那咱们看下二二年的求导， 对不对？二二年求导谁啊？是不是我们的第七道题啊，对不对？好了，看一下这一个参数方程去求 让求的是 d y 边上 d x 是 不是 t 等于二处的导数值啊，对不对？ d y 是 啥？是不是 d y 是 y 关于 t 导数， d x 是 啥？是不是 x 关于 t 导数，哪里导数？是不是 t 等于二处导数，对不对？那怎么看？ y 关于 t 导数， 这是 log 求导。那咱们讲一下 log 的 求导公式，这个考的比较少，但是这年考着了，对不对？ log 以 a 为底的 x， 它的求导等于啥？它等于啥？它求完导是这是啥？是 x 倍的棱 a 分 之一啊， 对不对？那咱们求完导带进去啊，对不对？那 y 关于 t 导数，那又是 x 倍的棱 a， 那 log 以二为底 t 它求导是不是 t 倍的棱？是不是棱二分之一啊？ 那咱们看 x 关于 t 倒数对不对？那五 t 求到等于几？五，对不对？好了， t 的 平方求到啥？是不是就是二 t 啊？ 哪点导数值？啥？是不是 t 等于二处导数值？所以求完导是不是将 t 等于二带进去啊，对不对？那怎么看？分子一带进去那就是二倍的二分之一啊，那怎么分母一带进去？那就是五减二乘二，五减二乘二， 就是五减四，五减四等于几？一对不对？那就是啥？那就比一比一相当于不比。所以那这个答案是啥？是不是二倍二分之一啊， 对不对？这是啥？这是我们有关所有二年至二五年的啥有关求导是不是只考察这四个内容啊？是不是只考察公式法？放上去导参数还有啥？还有我们导不定，而且参数求导是我们的必考点， 对不对？还有啥？还有我们的公式法求导也是必考的，希望大家能够引起重视，加以掌握。 那咱们看一下第五部分积分，积分包括不定积分和定积分，他们的思路和方法是比较多的，那我们在题中去体悟一下吧，看一下二五年的第四道题，计算这个定积分。这啥？是不是计算负一到一， 绝对是 x， d x， 这是负一到一，这什么？这是一个对称区间，那对称区间想啥？是不是想我们的偶备机灵啊？那什么意思？那咱们来看一看，如果是负 a 到 a， f x， d x， 这是一个对称区间上的一个定义分， 这个值和谁有关？是不是和我们的倍积函数 f x 的 九星有关？那如果这个 f x 为几，是不是等于几？那这个定义分值为零，那如果这个倍函数 f x 是 o， 就 等于啥？就等于我们二倍一半。区间上的啥定义分呀？叫我们的对称区间上的 偶倍积零。那这题只要遇到对联线向偶倍积零，那是不是要考察我们的函数的奇偶性啊？对不对？那咱们该讲讲函数的奇偶性，那函数奇偶性是我们四大性质的啥之一？那咱们看一下我们的奇偶性的判别。先讲啥？是不是先讲奇偶函数的定义啊？ 那奇函数定义是啥？是不是 f x 等于 f 反 x 啊？这是偶函数的定义啊，但是你用，你用定义去推干啥？就比较慢了。我们要记住一些场景的模型啊，比如 m 函数 x r 发，如果 r 发为基，比如一三五七等等等等。 x r 发， r 发为基，那 x r 发就是键数，那与之对应的 x r 发，如果 r 发为 o， 比如二四六八等等等， x， r 发， r 发为 o， 那 x r 发就是啥？就是偶函数？那常间歇说还有啥？还有我们的四 x 啊，那与之对应的 cos x 就是 o 的？ 那既然说还有啥？还有我们的 tan x 啊，也是 g 的， 还有啥？还有我们的 arc tan x 是 不是也是 g 的？ 那与之对应的绝对值是 o 的， 但是绝对值一定要记住，在这个减点处，一定啥数一定是连续不可导的，对不对？那偶函数还有啥？还有任意常数 k 也是偶的，对不对？那既然说还有啥，还有一个抽象的 f x 减 f x， 那与之对应的 f x 加上 f x 是 啥？是不是我们的 o 的？ 但是这两个不以抽象形式考察，以具体的形式考察你，比如三 x 再加三负 x， 记的 o 的 不用看了，是 o 的， 这不就是 f x 加上 f x 吗？那你告诉我， e x 再减 e 的， 负 x 记的 o 的 你不用看了， 这不就 f x 减 f x 吗？是啥？是不是典型的 g 的， 对不对？还有啥？还有个 l 是 不是 x 加上，再往下是不是一加 x 平方，这也是啥？这也是典型的 g 的， 对不对？我们的奇函数还有啥？还有复合的，复合的奇偶性怎么办？复合的我们叫内积随外， 内积随外，内积随外，内偶则偶。那咱们来给它举两个小例子吧，内偶则偶， 那咱们看一下这个符合的，就像森 cos 还有啥？还有 cos 森 x 啊。好了，那咱们看一下第一个，内层是啥？内层是 cos， 内层是 o 的 吧？ cos 不 就 o 的 吗？内 o 一定是 o 啊，所以这个啥？所以这个是 o 的， 对不对？那咱们看一下第二个，第二个是符合的，看内层是森，内层是 g 的， 所以它也是 o 的， 那你告诉我 f cos 啊， 对不对？那这个呢？这是鸡的藕的，这也不用看了，这是藕的，为啥内层是口水内藕一定是藕啊，对不对？还有啥？还有鸡加鸡啊， 鸡加藕啊，藕出藕了，那咱就不再追数了，那咱们看一下我们啥第四道题，这是对称区间上的藕被激零，绝对值是啥？是不是藕的，而且是在这间零处，一定是连续不可倒的，那藕的等于啥？是不是等于二倍？是不是一半区间上的 定一分呀，对不对？好了，咱们讲过了吧，这个绝对值是，是不是一个分段函数？如果这个 x 大 一点零时，那绝对值是不是开出是正呢？当 x 小 零时，是不是开出它的相反数啊，对不对？那你的 x 介于谁之间？ x 是 不是介于零到一之间呀？ x 是 不是介于零到一之间啊， 对不对？那你的 s 一定啊，是不是一定要大零，所以开出谁啊？是不是开出就是正的，是不是就是 x 啊？ 那用二倍的零到一是不是 x dx 啊，对不对？好了，那 x 的 原数是不是二分之一？是不是 x 的 平方？这不积出来了吗？所以将你的上限是不是零到一带进去，对不对？二乘二分之一就是一，那咱们看 x 平方，将上限线零到一带进去，上一代入是不是等于一下代入就是零？所以这题是选择我们的下 b 选项，对不对？这是方法一，利用我们的对称曲线上的弦偶倍积零。那咱们看一下方法二， 咱们说了定积分表示啥？是表示这个图像在这个积分区域围成的。啥围成的面积啊，对不对？那咱们看一下我们绝对值的图像，那咱们看下这个题，这个题是可以看成啥？是不是看成 y 等于啥？绝对值 x 是 不是在啥？是不是在负一到一？是不是围成啥？是围成的面积啊？ 绝对是，图像很好画吧？你绝对是图像不会画，你会画 y 点 x 吗？ y 点 x 是 啥？是不是一三象限的啥？是不是角平分线啊，对不对？那绝对值，绝对值是把负的是不是变成正的？是啥？是把这个下面的是不是给它翻上去啊， 对不对？把下面的给它翻上去。所以我们绝对图像是不是长这样子的，是不是长这样子的？好了，这是啥？定积分是表示绝对的 x 是 不是在负一 到谁？是不是到一？是不是围成的啥围成的面积啊，对不对？好了，这是啥？这个，这个横坐标是啥？负一， 那咱们看这个重坐标是不是将 x 等于负一带入这函数解析式啊？那 y 等于啥？是不是负一的绝对值是不是等于啥？是不是等于一？那咱们看一处的函数值，是不是将 y 等于啥？是不是将 x 等于一带进去？那你 y 是 不是等于绝对值？一， 那一的绝对值还等于加一啊，对不对？好了，是不是围成这个面积，是不是两个面积啊？你发现这两个面积是一样的，所以想啊，是不是等于二倍，是不是一个面积啊？这一个面积？是啊，是三角形，是不是等于二分之一？底是一，是不是再乘啥？再乘高，对不对？好了，二乘二分之一是不是等于一？ 那就一乘一，再乘一还是几还是一啊？所以这题是不是也能看出来是不是选择 b 令我们的下定积分的性质表示图形 y 等于 f x， 再 a 到 b 围成啥？就是围成的面积啊。 那咱们看一下二五年的第十道题，也就是填空题的压轴题，这个题考察微方程和定积分的结合。 已知 f x 等于零到二 x， 这个定积分被减数是 f 二分之 t d t 再加四，让你计算零到 pi f 四 x d x 这个定积分。你要计算这个定积分一定干啥？一定把这个 f x 给它解出来啊？那 f x 哪里有？所以是不是第一个式子有， 对不对？ f x 是 不是等于这个变性积分加一个常数啊？知道遇到变性积分怎么办？干啥？所以就同时求导，这是啥？这是我们的一个常见的四吗？所以对第一个等式干啥？是不是等式两边是不是同时对 x 求导？那 f 求导是啥？是 f 一 撇呀， 对不对？等式右边是啥？是一个变性积分，那变性积分怎么求导？叫代入变求导。 那什么意思？咱们给大家解释一下。带入什么意思？是不是先将变性的部分带入 t 中啊？先带那就 f 二分之二 x 啊， 干啥？带入完之后干啥？不要记对变性的部分去倒，那二 x 倒等于几？是不等于二呀，对不对？加四常数去倒是不等于零，那咱们给他化解一下，那二 x 比上二就是啊，那不就是 x 吗？ 对不对？好了，那是不是 f 撇 x 是 不是等于二倍着 f x 啊，对不对？那这是啥？这是一个微方程，你要帮我看的话，我把 f x 记作 y， 那 有啥？那就是 y 撇是不等于二 y 啊， 对不对？好了，对于这个微方程，我们有两种方法，第一个是把它当做可分的变量的，第二个就是啥，把它当做啥？ e 阶信信， 其次为方程，对不对？好了，那咱们先把它当做 e 阶的限行的，其次方程先给他一下，那 y 撇是不是减二 y 应该是等于啥？是不是等于零，对不对？ e 阶限行，其次为方程，它是有通解公式的，那等会我们就讲 y 方程，会给大家讲各种各样的 y 方程的求法， 对不对？好了，把当做 e 阶限行。其次方程对不对？它通解 y， 等下 y 等于 c 倍的 e 的 负的，是不是撇 x d x 啊，对不对？ p x 是 啥？ p x 不 就是 y 的 系数吗？ y 的 系数是啥？是不是负二，对不对？所以 p x 是 不等于啥？是不是负二？但是前面还有啥？是不是前面还有符号，那就啥变成二了，对不对？好了，那是不是计算这个啥？计算这个不定积分啊，对不对？二的原数是啥？是不是就是二 x， 对不对？好了，那这不就积出来了吗？对不对？好了，干啥？这是有任意乘数 c， 但是我们干啥得把这个任意乘数 c 是 不是给它代入出来啊，对不对？所以对于第一个等式，我们干啥令 这个 x 等零，可以求得出值的 y 啊。令 x 等于零，那 y 等于啥？是不是再加啥？是不是再加四啊？二乘零等于几啊？二乘零是不是等于零啊， 对不对？好了，零到零的一个定义分等于啥？零到零的定义分是不等于零啊，对不对？所以呢，我们的戳值 x 零是 y 等于啥？是不是 y 等于四啊？所以先将戳值 x 等零， y 等于四弹起来，可以求出我们的 任意长度 c 给它代入出来，就变成我们的啥特解。所以 x 零 y 等于四， y 不是 等于四吗？对不对？ x 等于零对不对？二乘零是不等于 x？ 二乘零是不等于零，对不对？ e 的 零次密等于假， e 的 零次密是不等于一啊？所以我们的任意乘数 c 是 不是给它代入出来了？所以 y 等于啥？是不是四倍的 e 的 二 x y 不 就啥？ y 不 就是 f x 吗？ f x 不 就解出来了吗？对不对？然后让你计算啥？是不是？让你计算是不是零到 pi f x f x 是 啥？是不是四倍 e 的 二 x 四常数给它提出去，那就是啥 e 的 二 x 啥？是不是乘以个 c x 点 x 这个定义分啊，对不对？那这个被减数是不是有两个？被减数？有两个的话一般干啥？是不是？一般使用分布减法对不对？那这个分母要分母几次？是不是要分母几次？是不是分母两次啊？对不对？我们知道 e 的 f x 和 c b x 对 不对？你这样分母的话会导回原数，是不是在移向，对不对？那这比较慢了。那咱们之前讲过了啥？是不是这个可以使用我们的 表格法？还有啥行列式法，对不对？但是这个是不是针对于啥？是不是针对于我们的 e 的 r f x 和 c 倍 x， e 的 f x 口径倍 x 是 不是使用我们的行列式法呀？对不对？那咱们写一写 e 的 r f x 乘以啥？乘以个三倍 x， 那 这个的不定积分或啥？或者 e 的 r f x 头三被打 x， 那 这个不定积分等于啥？它等于我们的一个二阶行列式，那二阶行列式的系数等于啥？就等于 f 方，再加上被打方分之一啊。 哪一个二阶行列式？那第一行干啥？对 e 的 f x 求导。还有啥？还有你的四 n 被打 x， 求导。第二行干啥？直接照抄？那就是 e 的 f x c 倍大 x 啊，再加 c， 这不记出来了吗？看下第二个，也是依次类推。那就是啥是等于二阶行列式？二阶行列式的系数等于啥？就等于 r 方方，再加上倍大方分之 e 啊。哪一个二阶行列式？第一行是啥？是 e 的 r 方 x 求导。 口舌是不是该口舌倍大 x 求导啊，是不是口舌倍大 x 求导。那第二行干啥？是不是直接照抄？ e 的 r x 是 不是口舌？ 别打 x 啊，是不是再加 c 啊？那二极函数怎么去计算？对不对？咱们小学的时候是不是都接触过了？是不是 a b， c， d？ 那 这个二极函数是等于啥？等于主对角线的乘积再减负，对角线上的乘积减 c， b 啊，减 c b， 对 不对？没有赢吧。好了，那我们计算这个啥啊？计算这个二极函数，是吧？对不对？好了， 好了，四是啥？四常数提出去对不对？它这个啥？这是 e f x 和 c b， x 的 结合，它等于啥？它等于这一个二极行列式。二极行列式的系数等于啥？是不等 r 方，是不是再加上 b 大 方呀？分之一，哪一个二极行列式？是，是不是第一行是不是直接干啥？是不是？第一行是不是直接敲倒 对不对？第二行干啥？第二行是不是叫抄呀？是不是第二行是不是直接照抄呀？对不对？好了，二的平方加一是不是等于几？五？那就五分之一乘四就是五分之四啊，对不对？ e 的 二 x 求导， e x 求导就像对 a 保守不一样，求完吗？没有，不要去对内层求导。二 x 导是啥？是不二呀，对不对？四 x 求导的。你啥？是不 q x 啊，对不对？第二行就是 e 的 二 x， 是不是 e 的 二 x， 是 不是三 x 啊？是不是计算这二极函数式？二极函数式等于啥？是不等于主对角线的乘积， 那就是二 e 二 x 是 不是乘以 c x， 那 就二倍的 c x 是 不是 e 的 二 x 啊？是不是再减负？对角线乘积是不是再减 q c x 是 不是乘以 e 的 二 x 啊？是不是？这干啥？这不记出来完了， 对，是不是教你的啥？是不是教你上一线领导拍灯去啊？那这个答案不就有了吗？那你回来自己带行不行，对不对？那这题是考察我们的 行列式法，让你求解 e 的 r x 和 c b x， 或者 e 的 r x 和 cosine b x 的 这种的定积分呀，对不对？是不是非常简单？你要是分母解法，要分母几次？要分母几次，是不是要分母两次呢？计算量可大呀，你对不对？你看那个真理解析，是不是好长好长啊，对不对啊？ 那咱们看一下方法二，方法二，利用我们积分的薄性，是不是？这啥？是不是都是相同的积分区啊？在相同的积分区怎么比较大小？利用我们积分的薄性，在相同的积分区间内，谁的倍数大，那谁就大呀， 对不对？那好，那咱们看一看啥谁的倍数大，对不对？好了， i 一 是啥？ i 一 是不是一 x 几次密？是不是一次密啊， 对不对？那咱们看 i 二 i 二是啥？是不是零到一是啥？是不是可以看作 e x 啥？是不是二次密啊，对不对？那咱们看一下 i 三 i 三是啥？是不是零到一？是不是 e x 几次密？是不是三次密啊，对不对？好了，它是啥？是不是我们的 密函数的比较大小啊？对，密函数的比较大小。那咱们看一下一个图啊，对不对？咱画一个啥？画一个 y 等于 x 吧，还是 y 等于根号 x？ 还有啥？还有 white， 啥 white x 平方呀？ white 告诉是不给写成 white， 啥？是不是 white？ x 啥？是不是二分之一次面，对不对？那咱们画这几个图像行不行？ y 等于 x 是 啥？是不是一三象限到啥？是不是角平分线啊，对不对？ y 等于 x， 那 咱们看一下 y 等于根号 x， y 等于根号 x 是 一个啥？是不是一个趴式增长的一个图呀？这啥？这是 y 等于啥？根号 x 啊，对不对？好了， y 等于 x 平方是啥？是不是过圆点的一个啥抛物线呀， 对不对？没有疑问吧？好了，这是啥？这是 y 等于 x 的 平方呀，对不对？那咱们看一下这个焦点，这个焦点显而易见，是啥？是不是一一啊，对不对？那咱们看一下如果这个被函数在零到一之内啊，在零到一之内， 对不对？零到一，零到一，那咱们看一下零到一谁的倍数大，是不是？你想发现是不是谁啊？是不是 y 等于 x， y 等于 x， y 等于 x， 那 就是 y 等于 x， 二分之一次面对有人说次密度高就高，那你看，这不就是错了吗？ 在零到一看，次幂越低反而值越高，对不对？第二个是 y 等于 x， y x y 等于 x 一 次幂啊。第三个是 y 等于 x 的 平方呀，对不对？是不是在零到一次幂越小的，它的函数值是不是反而越大呀？ 对，所以在零到一， y 等于啥？ y 等于 x， alpha， 如果这个 alpha 越小，那这个值是不是越大呀？对， 所以有 x 去零手，是不是叫低阶修高阶？想起来吗？智商是不是五次再加四次，再加三次啊，对不对？再 x 去零，零到一是不是去零啊？非常小是不是？那谁的职业越大，是不是我们的三阶比较大？是不是吃灭小的职业越大？所以是不是五阶四阶被抓掉了， 对不对？那如果这个谁啊？如果这个 x 要大于啊，对不对？这个大于就是一到啥？一到正无穷，对不对？你发现吗？次面高 对不对？你的函数值是越大呀，对不对？这才是正常的水平，对不对？ y 点啥？ y 点 x r 发，如果这个 r 发越大，你的函数值越大呀，对不对？有些人光背哦，次面高他就越大，你就错了， 对不对？这都啥都是面数，那我们要干啥？要比较？要比较啥？这个面函数是不是在零到一还是啥？还是在一到正无穷之内啊？对，如果是零到一，是不是次面低的反而越大， 对不对？如果是在一到这种球是不是次密越高的反而大？那咱们看一下这个被函数啥？是不是密函数就是啥，是不是 e x 啊， 对不对？这个密函数不就是 e x 吗？那咱们看一下 e x 在 我们的零到一上的取值啊，对不对？好了， e x 不是 一个啥单的，有递增的吗？所以 e x 在 零到一是不是大于啥？是不是要大于你的下限？是不是 x 等于零啊？要小于你的上限呀， 对不对？ e 的 零次方等于几？ e 的 零次方是不是等于一啊？对了，你发现你的 e x 是 不是要大于一的，对不对？所以这个密函数干啥？这个 x r f， 这个 x 是 啥？是不是这个 x 就 可以看错 e x 啊， 对不对？那这个 x 啥？是不是要大于一？大于是不是次密度高？当然高啊，所以是不是 i 三大于 i， 二大于 i 呀，对不对？所以这题是也能看出来答案选择是答案选择 d 啊，不是次密度高反而 越大，对不对？那你看一下这个面，如如在零到一啊，你次面越低反而越大啊，对不对？你要打破你的常识对不对？不是次面越高他越高的，他是有一定的范围的，明白了吗？对不对？零到一次越低反而越高，在一到这种情况，次面越高的反而越高。 那咱们看一下二四年的填空题，第十道题是我们的极限和积分的结合，做我们填空题的压轴题。已知 f t 等于 l， m n 无穷一加 ab 二 n t， g x 等于零到 x， 这个对应积分对应函数是 f 两撇 t d t 让计算零到一 g x 对 应分，要计算这个对应分一定干啥？一定把这个 g x 表示出来，那 g x 和这有关？ g x 是 不等于零到 x， 这个对应积分对应函数是 f 两撇 t 啊，所以 g x 和 f 两撇 t 有 关， 那 f 两配 t 和这有关，是不和 f t 有 关，对不对？ f 两配 t 不 就是 f t， 是 求两节档吗？对不对？所以我们干啥要求 f t？ f t 是 一个极限形式给出来的，所以干啥是不要求这个极限对不对？要求这个极限，求结先判型。这是什么？这是一的无穷型。 那一的无穷型是啥？是不是凑足一加找到你的阿法，找到你的贝塔。谁啊？是不是一抬起阿法贝塔相乘呀？那就啥呢？就 n 分 之一是乘一个 r n t 啊， 对不对？ n 和 n 分 呢？是不是直接约定了？所以 f t 是 不得 e 的 二 t 啊，对不对？好了，那咱们看一下求二阶导吧。一阶导 e x 求导就像对 i 是 保持不变啊，求完吗？没有，不要对内存求导。二 t 求导是啥？ 是不是对 f 一 撇 t 请求导对不对？二是啥？二是常数给它提出去啊。 e x 求导就像对 i 保持不变， 求吗？没有，不要记，对内层是求到二 t 求到，是不是再多个二呀，对不对？二乘二等于几？二乘二是不是等于四啊？所以 f 两撇 d 是 不是等于啥？是不是等于四倍的一的二 t 啊， 对不对？好了，那我们的 g x 是 不等于啥？是不等于零到 x 这个变零积分呀，对不对？好了， f 两撇 t， f 两撇 t 等于啥？是不是等于四倍的 e 的 二 t d t 啊，对不对？四是啥？四是常数，是不是给它提出去啊？那就是零到 x 被压住。啥？是不是 e 的 二 t d t 啊， 对不对？那是像谁的积分？是不是像我们 e x 一个不定积分 e x 积分就是谁啊？是不是还是 e x 啊？但是根据积分位置的一致性啊。 x x x 啊，这是啥？这是二 t， 他 要记他一定是啥，他一定是二 t 啊，所以他记出来啊，他记出来才是我们啥，他才记出来是我们的 e 的 二 t 啊， 对不对？是不是 x x x 二 t 要记它一定是二 t， 记出来是啥才是二 t 啊。但是你错了，二干啥？是不要补个二分之一啊，对不对？四乘以二分之一就是二呀， 对不对？这不记出来了吗？是不是？教你上限是不是零到 x 带进去啊？那咱们看下上限代入，上限代入就是 e 的 二 x， 下限代入就是 e 的 零次方。 e 的 零次方等于几？ e 的 零次方是不等于我们的一啊， 对不对？所以我们把这个括号打开一下，那个答案就啥，是不是二倍的 e 的 二 x， 是 不是再减几？是不是再减二呀？所以 g x 不 有了吗？好，二等计算，是不是零到一？是不是 g x？ 这个定义分， 对不对？那 g x 等于啥？是不是等于二倍？是不是 e 的 二 x？ 是 不是再减二 d x 啊？所以遇到加一些怎么办？是不能拆则拆，那就变成零到一，是不是二 e 的 二 x d x 是 不是再减？是不是零到一？是不是二 d x 啊，对不对？好了，那这个二是不是可以变啥？是不是可以凑到后面，对不对？这个二是不是可以添到后面？那就啥？那你就 d x 啊，根据积分位置的一致性啊， x x 它其实是啥？它其实不就是 e 的 x 吗？ 对不对？这不记出来了吗？教你上线零到一带进去啊，再减二的元素啥？是不是二 x？ 这不记出来了吗？教你上线是不是零到一带进去啊？那这个答案不就有了吗？对不对？那这题是考了我们的极限 倒数积分，是不是这三个的综合，但是大体上他就想是不是我们的极限和想和我们的积分的一个结合，没有盐吧，是不是非常的简单呀，对不对？ 那咱们看一下二三年的不定积分，看下第四道题，是二 x 是 f x 的 一个函数，只要告诉你它是它的原数，是不是有两个结论，第一个 f x 不 就等于它的导数吗？第二个是不是 f x？ 一个不定积分是不等于它加 c 啊？ 只要告诉你它是它的原数，它就等于它导数，或者它的不对积分等于它加 c 呀，对不对？好了，让你计算啥？让你计算这个定义分，让你计算这个定义分，一定啊，一定把 f x 解出来。哪里面有 f x？ 是 不是？第一个有 f x？ f x 是 不得二 x 导数啊？ 那二 x 要等于角是不就等于二呀，对不对？好了。所以将 f x 等于二代进来就变成变成零到二菱 pi 这个定分被假设，是不是二再减三 x 啊， 对不对？没有缘吧，遇到见人像怎么办？是不是？能拆则拆？那就变成啥？是不是零到二菱 pi？ 是 不是二 d x？ 是 不是再减？是不是零到二菱 pi？ 是不是三 x 点 x 啊，对不对？二的元素是啥？是不是九十二 x？ 这不积出来了吗？将你上线是不是零到二拍蹬起来啊，对不对？再减那三的元素等于啥？三的元素是不是我们的负口塞呀？对，一定要记住，是负口塞呀，对不对？但是口塞的元素是啥？是不是 cx 啊？ 这不记住了吗？所以教你上线是不是零到二拍进去啊，对不对？那这个答案不就有了吗？对不对？没有音吧。那怎么看下我们的第七道题？已知常数 k 大 零，如果你计算这个啥广积分 k 到正无穷， x 平方分之一点 x， 它告诉你这个广积分值是不是等于一，让你反求参数 k 啊？对，那咱们把它积分过去是不是就好了吧，对不对？那有啥？那就 k 到正无穷， 你背下是啥？是不是 x 平方分之一点 x 啊，对不对？好了，那 x 平方分之一是不是可以选择啥？是不是可以选择 x 的 啥？是不是负二？次方是不是点 x 啊， 对不对？这啥，这是密函数积分呀，那密函数积分是不是场景的积分公式啊？密函数减怎么积分？是不是次方加一？是不是次方加一作分母？是不是整体分之一？是不是再加 c 啊， 对不对？好了，那 x 平方这个面数怎么记分？是不是次方加一？是不是次方加一作为分母是整体分子一， 是不是再加 c？ 这是啥？定分不用加 c， 所以 干啥？所以将你的上一线是不是 k 到正无穷带进来啊，对不对？好了，负二加一是啥？是负一？负一分之一还是啥？还是负一，那就啥，就是负号，对不对？负二加一是啥？负二加一是不是负一？那 x 的 负一是不是写成啥？是不是 x 分 之一？ 对，所以它记出来是啥？是不是负的 x 分 零，这不记出来了吗？教你上限是不是 k 到正无穷？等起来。对，那咱们看一下我们的上现代数对不对？只要遇到括号， 是不是只要遇到括号，要时不时填括号，以免 f 的 问题啊？怎么看上一代数？上一是啥？是不是上一代数无穷大，道数是无穷小，上一代数是零，线段数是不是减线段？线段数是不是 k 分 零一啊？ 对，给它化简一下，那个啥零减 k 零就是谁啊？是不是负 k 零前面有个负，那就变成啥正的 k 零啊？他说这个定积分值等于几，是不等于我们的一啊？那你告诉我 k 等于几？是不是 k 等于一啊？那这个答案是等于几是不等于一啊？ 对，这是我们的二三年的积分，是不是考着我们的元函数之间，是不是元函数和我们的倍减函数之间的关系啊？还有啥？还有我们的广义积分，广义积分你可以把它当啥？把它当做正常的一个定分去做， 对不对？好了，没有音吧，是不是非常简单？这是二三年的，那咱们看一下二二年的对不对？已知 x 平方是 f x 一个原函数，张口令它是它原数，是不是有几个结论？是不是两个结论？是不是它等于啥？是不是它等于它的导数呀？第二个是不是它的不定积分 等于啥？是不等于它加 c 啊？对不对？没有用吧？让你计算啥？让你计算 f x 在 一到正无穷上的啥？一个定积分呀， 对不对？好了，我把这个啥，我把这个上下线我给他盖住。我先不看，你告诉我 f x 的 一个不定积分等于啥？是不是等于我们的 x 平方是不是再加 c？ 但是它是啥？它是一个定积分，对不对？我给干啥？我可以把这个啥上限是不是直接带起来啊， 对不对？那咱们看一下上行代入。上行代入是啥？是不是无穷的平方分之一？无穷的平方还是无穷 无穷大倒数上数无穷小，上代数无穷小减下代入下代数就是一的平方分之一啊。对，一的平方等于几？一的平方是不是等于一啊？一分之一是不是等于几？一零减一等于几，是不是等于负一？所以这个答案是不是选择我们的 c 选项 对不对？没有姨妈，这是啥？这是我们的所有的积分，二零至二五年的，是不是非常的简单，希望大家能够引起重视，这也是我们常见的思路，也给大家说明了。 那我们看一下第六个部分，级数，级数有 p 级数，等级数、交错级数，还有普通的任意的这样级数，它们有各种各样的判别方法，那我们下个视频就讲如何快速判断连伞。那我们广东历年选填只考察谁啊？只考察我们级数收敛的充分 不必要条件，那一个级数 n 从一，雷奥无穷，这个级数 n 从一雷奥无穷 n， n 这个级数要想收敛，它的充分不必要条件是啥？是不是？它的通向极限等于几？它通向极限等于几？是不是？它通向极限是不是应该等于零啊？ 但是反过来成立吗？反过来是不成立的，很容易挤出一个反例。是啥？是不是我们的一个调节数？调节数啥是 n？ 从一连到无穷是 n 分 一，它是啥？它是一个屁球，而且屁等几是屁等一，它典型的啥时候典型的发散呢？这个调节数典型的啥时候典型的发散呢？对不对？ 你观察啊，这个调节数的通线通向的极限等几是不等零 n 去无穷，这啥无穷大到无穷小啊， 哎，通向极限等于零？答，收敛吗？他不收敛，他是发散的对不对？那咱们看一下我们二二年的这个选择题，对不对？恩，去无穷这个通向极限等零，对不对？通向极限等零对不对？他问你是几时候收敛的？什么条件 对不对？好了，是不是？这个通向极限等于几？是不是？通向极限等于几？通向极限等于零，能推出收敛吗？推不出来呀，对不对？但是 收敛能推出啥？是不是收敛能推出我们极限那个通向极是不是等于零啊？对不对？好了，从前往后叫啥？是不是叫充分，对不对？但是画了个叉，是啥？是不是？不充分， 对不对？从后往前推，叫啥？叫必要？所以是啥？是不是叫必要条件，而是啥，而不是充分？条件是啥？是不是 必要？不充分？当然选数必要条件，所以这题是选择我们的备选项，对不对？那咱们看一下我们家二五年，二五年对不对？这个极数他想收敛， 一个极数想收敛，他通向极限等于几？是通向极限是不等于零，对不对？那咱们看一下我们的二四年的对不对？一个极数要想收敛意味着什么？是不意味着他通向极限等于几？是通向极限等于几？是通向极限等于零啊， 对不对？根据我们极限的四则运行法则，是不是乘积的极限等一下是不等于极限的乘积啊？就等于啥？ limit n 去无穷，是不是 n n 加二的极限乘以啥？是不是乘以 limit 是 不是 n n 去无穷 n n 减一这个极限啊， 对不对？好了，根据极限的和的极限，是不是和的极限等于啥？是不等于极限的和就等于啥？ lemanda n 去无穷 n， n 的 极限加上谁啊？加上 lemanda n 去无穷二的极限，对不对？好了，那后面是不是也可以拆？拆成 lemanda， 是 不是啊？ n 去无穷 n， n 是 不是再减去 lemanda， 是 不是 n， n 去无穷？是不是一的极限，对不对？ lemanda n n， n 去无穷 n 减等于几？是不是等于零？是不是零加二乘以啥？是不是乘以我们的零减一啊？等于啥？那就二乘以啥？是二乘以负一等于几，是不是等于负二啊？对不对？是不是非常简单？这有关我们极数判断连散， 就是考察我们的极数收敛的充分不要条件是啥？是不是通向的极限等几？是不是通向极限等零？对，所以二五年这个填空题是不是填零啊？但是那通向极限等零是收敛的什么？是不是反过来是啥？必要不？充分就是必要条件啊， 对不对？那咱们看一下，我们想二三年的，二四年的，对不对？那你干啥？是不是一个技术收敛它？通向极限等于零，是不是将通向极限是不是等于零带进去？是不是将通向极限等于零带进去？那就是零加二乘以零减一，那就是啥？那就是负二。

之前的视频我们证明了，当直线 m n 斜绿存在的时候，他过定点三分之二到负三分之一。接下来我们看一下当斜绿不存在的情况， 当 m 斜律不存在的时候，他就会垂直于 x 轴，那么 m 和 n 就会关于 x 轴对称。 如果说 m 的坐标是 x e y e 的话，那么 n 的坐标就应该是 x e f y e， 这样的话，项链 a m 的坐标没有变，还是 x e 减二豆 y e 减一，项链 a n 的坐标变成了 x 一减二豆， 户外一减一。由于 am 垂直于 a n 啊，所以说这两个项链的点乘应该等于零， 于是得到了 x 一减二，乘以 x 一减二，也就是 x 一减二的平方加上外一减一乘以负，外一减一等于零，我们把它展开，就是 x 一方减四， x 一加四， 后面是个平方差，也就是啊，加上一减外一方等于零。我们看到外一方呢，是没有一次向的，只有一个他的平方，这样的话可以利用椭圆进行代换， 也就是点 m 呀，他在椭圆上，所以 m 的坐标可以带入椭圆的方程，那么也就是六分之 x 一方，加上三分之外一方等于一，可以推出外一方等于三倍的一，减六分之 x 一的方，把这个外一方的表示带入上边的这个式子就得到了 x 一方减去四， x 一加五，减去三倍的一减六分之 x 一方等于零， 画减得到三， x 一方减八， x 一加四等于零，得到 x 一等于二，或者是 x 一等于三分之二。如果 x 一等于二，那么点 m 的横坐标会和点 a 的横坐标相同，这个时候 m 和 n b 有一个和点 a 重合，这是不符合提议的，因为要求得有 am 和 a n 这两条直线，所以说 x 等于二，这种情况要舍去，那么 x 一就等于三分之二了。说明 直线 m n 啊，这条直线的横坐标永远等于三分之二，于是此时这个直线 m 也是过点三分之二，逗负三分之一的。这样无论直线 m 的斜率存不存在，他都过这个定点三分之二，逗负三分之一。

直线的位置关系，平行跟垂直你搞懂了吗？你看平行，平行，记住啊，斜率相等， k 一 等于 k 二，然后我教你斜率公式。记住啊，我们这个叫一般式。好斜率。 k 等于啥？等于负的，先填个符号，然后分数用 x 的 系数 除以 y 的 系数，看到没？所以等于负二。这边一样的 k， 这，这叫 k 一 吧。 k 二等于负的， 然后用 x 的 系数除以 y 的 系数，明白没？所以你既然相等，那我所以说负二等于负三分之 a 两个符号给它消掉，所以说 a 等于二，三得六选 c 选项，明白没？好，你学会了没？给你举个例子啊，比如说 三 x 减二， y 加二等于零来， k 等于多少？来，你填一下。

这是高考很可能考得很成功的问题，你需要多久？五分钟？三分钟？一分钟需要十秒。怎么做？竖起耳朵认真听！如果使用常规解法，需要构造函数 g x， 令 g x 单调递减，最后再求一个二次函数的最值，才能得到答案。麻烦！ 但是如果我用数学四大神技之一拉格朗日中值定律只需三秒，它的原理是 f x 在 b 区间连续开区间可导，则存在一点切线的斜率，等于两端点连线的斜率。回到这道题啊，利用拉格朗日中值定律，直接把题目条件改写成 f x 的 导数小于一。最后解这个简单的不等式即可。是不是很简单哦，一题不会赢，那就再来一道证明题。首先，函数证明连续和可导待如中值定理得原不等式就被瞬间证明了，你学会吗？这种秒题的方法在普通人看来就是天赋， 但是在懂的人看来呀，这不就是模型吗？但如果你只想靠这个公式就考一百三，哼，做梦！幸好高考最爱考的就是个模型，已经全部录制成了视频课，你需要的就是调整 这些模型，然后等着你的数学从六十分飞速提高到一百三！想要的同学后台私信，你的年纪高二还是高三呢？快来吧，拜拜！

今天的这道题目，百分之九十九的同学都会丢分，因为它太简单了，我们一起来看一看这道题。这道题说的是有一个点 p， 有 一条直线，问 p 到直线的距离的取值范围。这道题是一个非常常规的问题， 那么在做直线问题的时候，大家一定要注意，特别容易错的一个点就是斜率的问题，而对于这道题目来说，很多同学都是知道的，在看到这条直线的时候，咱们先想这条直线是不是横过一个定点，那怎么判断呢？ 我们把带 lamb 的 部分放在一起，整理一下 lamb 的 被的 x 减去 y 再减四， 然后把剩下的东西写在一起，二 x 减 y， 再减六等于零，所以判断它是不是横过定点，就让 lamb 的 系数为零，也就是 x 减 y 减四等于零，然后再让二 x 减 y 减六 也等于零，那么这个直线就是成立的。解一下这个方程组，二是减一，是 x 减二等于零，所以 x 等于二。代入之后算出 y 等于负二， 所以这条直线横过二负二这个点，而点 p 的 坐标是负二二，所以咱们来画一下图形，画出图形之后，我们来看， 那这个距离的最小值肯定是零，就是当 p 在 这条直线上的时候，那最大值应该是当 p q， 这条直线和 我们要的这条直线 l 是 互相垂直的时候，这个距离就是最大的，最大就是 p q 的 长度，而 p q 的 长度非常容易算，就等于四倍根号二，所以这道题的答案就应该是零到 四倍根号二。我相信大部分的同学都应该算出的是这个结果，但是答案是错的，就是因为这个边界四倍根号二到底能不能取到，就是这道题最最容易丢分的点， 大家一定要注意，我们在算范围的时候一定要考虑边界行不行，那它到底能不能等于四倍根号二呢？也就是 p q 这条直线到底能不能跟直线 l 是 互相垂直的呢？我们来看这条直线 p q， 它的斜率和 很容易就计算出来等于负一，那么这条直线的斜率 k 就 应该等于一的时候就是垂直的，所以我们来看一下这条直线的斜率，它的斜率应该等于 lamb 的 加一分之， lamb 的 加二， 这个东西我们整理一下，是一加上 lamb 的 加一分之一，而这个整体的值域是不等于一，所以记住这条直线的斜率不能为一，那么当然这个数取不到，所以是开区间。这道题目同学们丢分都 都丢在了这个边界渠道取不到的问题，大家在做题的时候一定要注意这个易错的点，那当然大家如果还有一些感觉容易错的点需要我给大家讲的话，请在评论区里面打出你的问题。

大家都什么时候期末考试啊，我们来看一个高频考点这个题啊，这是斜率跟倾斜角的一个关问题啊，都是问你倾斜角的，那首先你指向里面，一谈到倾斜角，你要去想斜率，斜率 k 公式等于 倾斜角的正确值，是贪婪 r 法啊，正确值啊，所以我们看这个啊，这个就是斜截式嘛， y 等于 k， x 加 b 嘛，这种形式嘛，对吧？所以 k 对 应起来， k 就 等于根号三咯，那 k 等于根号三的话，你想贪婪多少度等于根号三呢？是不是六十度啊？ 所以说 r 等于六十度，六六十度，用用弧度就是三分之派，所以选 c， 那 第二题的话，要你求直线方程，你可以用点斜式，也可以用弧度做，就是三分之派，所以选 c， 那 第二题的话，要你求直线方程，你可以用 y 等于 k， x 加 b 喽，对不对？ 好，七角为四十五度，那 k 就 等于贪婪四十五度，贪婪四十五度是不等于一啊，所以这个地方就是一啊一，那就是 x 加 b， 然后你再把这个点带进来，对吧？所以自己算一下，看答案选哪个。