青岛版五四制立体几何

哈喽，各位同学，大家好，我是文英老师，今天这一讲呢，我们一起来学习菱形的性质。那首先呢，我们要先来看一下在这个特殊四边形当中，菱形它具有什么样的性质，那么后面呢，我们还会再去学到菱形相关的一些判定。 那么在这节课当中呢，我们要清楚，首先什么是菱形，它的定义是什么，那么它所具有的一些性质来解决一些计算的问题。那我们首先来看一下今天的学习目标， 第一个我们要清楚菱形的一个定义，什么样的形状的这个四边形是一个菱形，它和平形四边形有什么样的区别？第二个我们要清楚菱形所具有的特殊的性质。第三个应用菱形的性质进行计算和推力。 ok， 那 我们一起来进入今天的这个课程。那首先呢我们先看一下这个这几个图片啊，这就是我们在生活当中能够接触到的一些菱形啊，比如说我们挂衣服的门口，挂衣服那个衣架钉在墙上那个样子的 啊，是有菱形出现，对吧？比如说我们的门啊，窗户，哎，上面会有这样的菱形出现，比如说什么很多不同的这种图案啊，地毯啊，毛衣上面的这个图案也都是菱形。 菱形是个非常好看的图形，它非常的具有对称性，而且呢它有非常多的特征，它的性质很多哎，所以今天呢，我们就一起来学习这个生活当中非常常见非常熟悉的菱形它相关的一些性质。 那首先呢，我们来说一下什么样的是一个菱形呢？哎，首先我们看一下在这个图片，在这两个图当中，我们能很清楚的分辨出来啊，菱形是哪一个呀？ 是这个，那平行四边形是哪一个？是这个，那他俩之间呀有很多相似的地方，有很多不一样的地方，那我们今天呢就对比着平行四边形来学习一下菱形相关的一些内容。 我们想啊，这个平行四边形，如果我们把它，哎，比如趁着两个角，然后换一换位置，哎，或者说呢，调整一下，是不是可以变成一个菱形呢？ 哎，有这种特殊的情况的时候是可以的。什么情况？就是一组邻边相等的时候呢，这个平行四边形就可以叫做菱形了，也就是说当 a d 和 c、 d 是 相等的状态的时候，那这个时候呢，咱们这四条边都会相等了，因为平行四边形对边是平行几相等的， 哎，如果一组邻边相等了，四条边都相等了，它就变成了一个菱形，哎，这个就是菱形它具有的定义。那所以第一条同学们要记住的有关于菱形的定义，就是一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，这是它的基础定义啊。 那接下来我们再继续往下看，我们清楚了菱形的定义之后呢，我们就来了解一下菱形的性质。那首先刚刚咱们说了一组菱边相等的平行四边形就是菱形了，那也就是说他得是一个平行四边形的基础上，有一组菱边相等， 那么菱形就应该具有平行四边形所有的性质，哎，也就说第一个菱形是特殊的平行四边形，它所具有平行四边形所有的性质。所以比如说对边是平行的，对边是相等的，菱角是互补的，对角线是互相平分的， 这些都是平行四边形所具有的性质，而菱形也都具有，因为它是特殊的平行四边形， 那除此之外，他还有哪些性质呢？独特的性质来，第一个说，他四条边都相等，哎，咱们说了一组邻边相等的平行四边形是菱形，而平行四边形本身对边是相等的，所以菱形呢，四条边都相等。 第二个，菱形的两条对角线互相平分，并且每一条对角线平分一组对角，也就是说这两条对角线是互相平分的，哎， b， 比如说这是 o 啊， b o 等于 d， o， a o 等于 c o 互相平分， 并且每一条对角线平分一对角，哎，这里面这个对角都被平分掉了，哎。接下来第三个说，菱形是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线，哎，轴对称图形大家能看得很清楚了，而平行四边形它不是轴对称图形， 对吧？哎，所以菱形它所具有的一个独特性质，这三条需要同学们都能够记住，哎，这是菱形相关的一些性质，那么它具有平行四边形所有的性质，还有它独特的性质都要记下来，那其实考试爱考什么呢？哎，其实爱考的就是菱形所具有独特的性质，这个一定要记住了。 好，那我们来说啊，这个性质我们讲清楚了，那么我们总结一下他有哪些类啊？怎么分类？首先按边来讲的话，按边来讲，对边是平行的，四条边都相等的，这菱形的性质， 角按角来说，对角都是相等的，按对角线来分啊，菱形的对角线是互相平分的，并且每一条对角线都平分一组对角，最后对称线，菱形是一个轴，对称对称轴是对角线所在的直线。 那菱形的性质在用起来的时候，其实会有一些小小的问题要需要同学们去关注到。第一个就是有一组菱边相等的四边形，不一定就是菱形，必须得是平行四边形才行，所以说到菱形的定义的时候，必须得说到有一组菱边相等的平行四边形才可以啊，这是第一个， 第二个，我们说一个图形的对称轴，他应该是直线哎，并不是线段，而菱形的对角线其实是他的线段，所以我们不能说菱形的对角线就是菱形的对称轴。我们要说什么？要说菱形对角线所在的直线是菱形的对称轴， 不要直接说对角线就是对称轴，这句话是不对的，对称轴一定是直线，不是线段。好了，那么最后一个，嗯，菱形的每条对角线把它分成两个全等的等腰三角形， 菱形的两条对角线把它分成四个全等的直角三角形，由此可以与勾股定律及等腰三角形的性质结合起来，得到对角线与边之间的关系。 哎，其实我们常考菱形呢，还考什么呢？因为我们知道了这个对角线一分，哎，左边和右边都是等腰三角形，哎，这个对角线一分，上面和下边也都是等腰三角形，哎，这是它的特点。那么 根据这个对角线啊，根据这个等腰三角形有特殊的性质，我们知道这条线对角线是互相垂直的，互相垂直呢，就会出现了四个直角三角形，直角三角形就存在勾股定律之间的关系，那你就说这条边，这条边，这条边他们之间存在一个勾股定律的关系， 这四个直角三角形都有这样的关系，所以很常考的就是给你某一条边的长度啊，让你去求一下对角线的长度，对吧？或者告诉你对角线的长度，让你去求一下菱形的边长，这个问题要都清楚，这个地方说的是在菱形的性质音的时候需要注意的一些点。 好，那接下来呢，我们再继续往下说这个菱形的面积，哎，求菱形的面积，同学们会想到的，求平行四边形是怎么求的呀？平行四边形的面积就是，哎，底乘高嘛，那菱形一样也可以这样去用，所以一般的方法就是底乘高就可以了 啊。那对于菱形来说呢，还有一个特殊的做法，因为它的对角线是互相垂直平分的，对吧？对角线互相垂直，那么我们就可以用两条对角线长乘积的一半，也就是说 a c 乘以 b d 再除以二就是它的面积， 哎，就是它的面积。那有同学问老师，这个是怎么来的呢？哎，其实很简单，同学们可以去把它当做什么呀？四个小小这样三角形去算一下也可以，哎，或者说我们直接把它变成两个等腰三角形的面积，然后去计算 也可以，大家同学们可以去试一试，自己去找一下，这个公式就很容易出来了啊。那么也就是说对角线互相垂直的这样的四边形，我们可以用两条对角线长乘积的一半，那也说其实正方形也可以啊，那么同学们我们学到正方形的时候呢，就会带大家再来看一看，他也有这样的一个公式 好了。那么这是菱形的一个面积公式啊，其实要掌握到这两个，那比较考的要多的呢，就是这个两条对角线长乘积的一半。 好，那这个呢，就是菱形的一个面积的公式。那说完这些呢，我们接下来一起来做一些跟菱形相关的题目，我们一起来看一下。 首先第一个题说已知，如图，在平行边形 a、 d、 c 的 当中， ab 是 等于 a、 d 的 对角线， a、 c 与 b、 d 相交于点 o。 第一个让你去证明一下， ab 等于 bc 等于 cd 等于 ad， 也就说证明一下这四条边都相等。 第二个再证明一下对角线平行的，那我们来看一下，其实我们只需要知道它如果是个菱形是不是都可以做到了， 哎，这里面说到了 ab 等于 ad， ab 等于 ad 是 一组邻边相等，然后平行四边形 a、 b、 c、 d 也给出来了，也就是说已知一组邻边相等，已知它是平行四边形，那它能不能是一个菱形啊？ 是不是按照菱形的定义，它就可以得到了？来，也说四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形， ab 等于 cd， 然后 ad 是 等于 bc 的， ab 是 等于 cd 的， 哎呀， bc 等于 ad， 这是这个平行四边形的性质，对边是相等又平行的， 而这里面 ab 是 等于 ad 是 已知的，也就说这四条边一定都是相等的啊，一组邻边是相等的，平行四边形一定是个菱形，我们只要把这四条边都相等，都正下就可以了，那它就是一个菱形，那这四条边确实都相等。 好，接下来看一下 ac 垂直 b d， ac 垂直 b、 d 怎么得到呢？我们知道 ab 是 等于 ad 的， ab 等于 ad 的 话，那么这是一个等腰三角形，对吧？啊，整个四边形是菱形的话，我们知道 o、 b 是 等于 o、 d 的， 角线是互相平分，然后有垂直的关系，对吧？哎，垂直等腰三角形，我们可以根据它三线合一的性质，我们知道 o b 等于 o d， o b 等于 o d， 这里面有垂直的关系，那这有垂直 a、 c 就 会垂直 b、 d， 我 们就得出来了。哎，这个比较简单，只要我能证明出来它是菱形就可以解决了。 好，来，接下来我们看第二个问题啊。第二个问题说，在菱形 a、 b、 c 当中，对角线 a、 c 和 b、 d 相交于点 o、 b、 a、 d， 这里面这是六十度啊，那么 b、 d 等于六，整个长是六，然后求一下菱形边长 ab 和对角线 ac 的 长度。 那么这个题比较特殊了啊，这里面说到了这是个菱形，那所以四条边都相等，这又给出个六十度，说明什么呢？ 说明这个 a、 b、 d 和三角形 b、 c、 d 啊，他应该都是两个等边三角形，对吧？应该有六十度出现吧？是等边三角形好，然后 b、 d 是 六，我们就能知道了。菱形对角线是互相平分的，那这就应该是三，这就应该是三， 对吧？三加三得六嘛。哎，所以接下来呢，我们再看一下，那这这个角度就应该是三十度，对吧？菱形的一组，它的对角的，所以这是三十度，这是九十度，这是六十度。 哎，在一个三十度、六十度、九度的直角三角形当中，让你去求一下它的这个斜边长，是不是会求呀？ 三十度的斜边是斜边一半， ab 的 长是六，可以出来，对吧？那你说我不用这个行不行啊？这个 abd 是 个等边三角形了， ab 还能不是六吗？哎，一秒就能出来了，所以它一定这个地方是六，这地方是三，那 oa 是 多长啊？ o a 你 得算吧，得用勾股定律算。哎， ab 的 平方减去这个 o、 b 的 平方，能求出 a、 o 的 平方，哎，那求出 a、 o 的 平方，能求 o a 的 长，那就能求 o、 c 的 长， o a 和 o c 是 相同相同的，那么对角线 a、 c 的 长呢？就是二倍的 o a 的 长， 对吧？来，我们捋一下思路啊。首先，因为它是一个菱形，对角线互相平分了，所以能算出来 o、 b 的 长应该是三， 然后我知道这是六十度，知道它是一个等边三角形了，所以能求出来 ab 的 长是六，然后就可以根据勾股定律去求得谁啊？ o a 的 长， o a 的 长是三倍，根号三，那么知道 o a 的 长，就能知道 o、 c 的 长， 也能知道 a、 c 的 长，这个时候就是六倍根号三，我们就能做完了。哎，所以这个就是利用邻群性质来计算的一个基本的做法。 好，来，接下来我们继续往下看，练习看例三例三这个问题说，菱形 a、 b、 c、 d 的 边长为二， b、 d 的 长是二，边长为二， b、 d 其中一条掉线也是二， e、 f 分 别是 a、 d、 c、 d 上的两个动点，满足 a e 加 c f 等于二，满足 a， e 加上 c、 f 最长的加最短等于二。来，可以问求证一下，三角形 b、 e 全等于 b c、 f、 b、 d、 e、 b、 c 啊，我看着也很全，等找一下条件对不对？哎，条件，第一个他说了，哎，这里面 b、 d 是 二啊， b、 d 的 长是二，边长也是二，所以 b、 d 和 b、 c 的 长度相等的 e 组边相等。找到了， 接下来再去看。说 a e 加 c f 等于二，也就是说 a e 加上这是二，那么 a e 加上 d e 是 不是也是二啊？ 能理解吧？整个长咱们是二，也就说 a e 加上它是二， a e 加上它也是二，那么是不是 e、 d 和 c f 应该是相等的？哎，所以这个 e、 d、 c、 f 这两个长度是相等的，那一组边了，又一组边相等，两组边相等了，接下来我只能再去找个角了，对不对？哎，所以证明这两三题全等，一定是边角边哪个角呢？哎，那就是 这个角，对吧？哎，只能这个角，我们发现这条边是二，这条边是二，这条边一定也是二，那这应该是个什么三角形啊？ 哎， abd 和 cdb 它都是等边三角形，都是等边三角形的话，那这和这一定都是六十度，所以这两个三角形全等的条件毋庸置疑啊，一定是边角 边，对吧？哎，我们来写一下，它判定的条件是通过边角边来证明的。边这条边和这条边要注意它是怎么样导出来的。哎，都是根据这个，根据这句话来得到的， a e 加 c f 等于二， a e 加 c f 等于二的话呢， c f 就是 二减 a e， 而这个 d e 也等于二减 a e， 所以 它的长度是相等的，这是边，然后角这条边是直接告诉的，所以我们能够得出来。 好，这是第一问，就证明第二个。让你去判断一下这个 b、 e、 f 是 个什么形状？什么形状啊？是个特殊的三角形，对吧？它什么特殊的三角形呢？我们知道整个这个角应该是一个六十度的啊，因为这是个等边三等边三角形嘛，右边，所以这个大角一定是一个六十度的。 那旁边我们刚才证明出来了， b、 b、 e 和 c、 b、 f 这两个小角，它俩是相等的呀，全等三角形对应角相等，那它加上它应该是六十度，那它加上它应该也是六十度，所以 e、 b、 f 一定是一个六十度角， 那这是六十度。这个 b、 e 和 b、 f 肯定相等啊，全等三角形对应边相等，那么一组边相等啊，有两条边相等，还有一个加角是六十度，那他一定是一个等边三角形了， 对吧？来，我说清楚了啊。这个题第二问，我们能确定中间是个等边三角形，为什么呢啊？一组边相等，你才能够得到，根据全等能得到边相等，还有角相等，又根据这个角是六十，他加他也是六十 出来了，哎，倒倒一个角能得到它是一个等边三角形，那这个问题我们就解决了。 好了，那么这几个例题呢，就是说到的跟菱形性质相关的一些计算和证明，希望同学们能够听明白。那接下来呢，我们再继续来做几个练习。 首先第一个说在菱形 a、 b、 c、 d 相交于点 o， 已知 ab 是 五， o a 是 四，求一下 b 的 长， 这是最简单的一类问题了啊，已经知道这是五，这是四，我们知道对角线的菱形的对角线是互相垂直的吧，那这是五，这是四，这就是 三嘛？三四五，所以 b、 e 的 长呢，就是三加三，哎，二倍三就是六，所以最后结果 b、 e 的 长是六零。这个非常简单啊，知道这一部分这块的求法是非常多的，很多地方都会让大家去求，比如求个对角线啊，或者求个边长啊，这些都要会的。 ok， 这是第一位第一个练习，来，接下来我们看第二个练习。第二练习说，在菱形 a、 d、 c 当中，分别延长 a、 d 和 a、 d 到 e、 f 之后， b、 e 等于 d、 f， 现在连接一下 c、 e、 c、 f， 求证一下， c、 e 和 f、 c 是 相等的，哎，求证一下，他俩是相等的，那怎么证明啊？哎，还是我想去证全等，对吧，我把全等证出来就可以了，那我证一下这两个三角形全等呗。哎，第一个，上面这个 a、 b、 c、 d 是 菱形，所以 b、 c 应该等于 c、 d 一 组变相等， 然后菱形的话，他的对角应该是相等的，所以呢，他的他们相等的，这个角的补角也应该是相等的，比如说这里角一跟角二应该是相等的，哎，所以说边角边能做两个三角形全等，那么 e、 c 就 等于 c、 f 了。所以关键是边角边正得全等，就能得到我们要求的两条边是相等的了啊。所以这地方呢，利用一个菱形的性质，对角和菱边相等的一个性质就可以了。 好啦，那么第二问我们也讲到这里了，比较简单来，接下来我们看第三个问题。第三个问题说，如图所示，四边形 a、 b、 c、 d 相交于点 o， 菱形 a、 b、 c、 d 的 周长是二十， b、 d 对 角线是一，一条是六，求一下 a、 c 的 长，求另一条对角线的长，哎，这很常见啊，周长是二十的话，边长应该是多少呢？ 二十除以四应该是五，也就边长是五。对角线 b、 d 是 六的话，它的一半是几呢？一半就是三，那所以这个时候要想求，在这个直角三角形里，我想求 o、 c 的 长就能求了， a、 c 就是 它的二倍，那就是 所以第一问我们就解决了，第一问非常的简单啊，第一问非常简单，第二问说求四边形， a、 b、 c、 d 的 高， d、 e 的 长。想求高，想求高怎么办？想求零分高，必须得知道菱形的面积，才可以把面积等于底乘高， 底呢就是五，那高是多少呢？我知道面积就行了。菱形的面积公式有两个，一个是底乘高，还有一个是对角线乘积的一半，那也说这条对角线是八，这条对角线是六，它乘积一半应该是二十四， 总面积是二十四，然后我知道底是五，那高应该怎么样做呢？还是二十四除以五就可以了。哎，所以高我们就求出来了五分之二十四， 那要想求他的时候，我们要看清楚他问的是什么，问的是高，我们就想到跟高有关的面积公式，对吧？面积公式里面是什么，我们把它带入进去就可以了啊。菱形的面积公式考了有两个，不仅有底乘高，还有掉线成绩的 清楚，这些呢，我们的内容就全部都讲完了。好了，那最后呢，我们再来总结一下今天我们学习到的内容。首先第一个我们清楚什么是菱形的定义，一组菱边相等的平行四边形才是菱形，那这里面必须要注意的是平行四边形， 也就是说菱形是一个特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质。那也就说如果平行四边形，他说到了啊，他说这个四边形是平行四边形了， 我只要找一组邻边，它是相等的，它就一定是一个菱形，满足这个条件，对吧？那什么样的四边形能是平行四边形呢？就是我们以前学过的，对吧？哎，四条边，呃，四，一个四边形，它可以两组对边分别 平行啊，两组这边分别相等啊，一组这边平行相等等等等。他可以是一个平行四边形，他是完平行四边形之后他再有一组零边相等，他就可以成为一个菱形了，这是菱形的基本定义。要想判定一个四边形是不是菱形，我们可以先用它的定义来判定。 第二个就是菱形它的性质，菱形它具有四边形所有的性质，除此之外它还有自己的一些特殊的性质，对吧？

欢迎大家来到鲁教版五四至七下数学的同步精品课堂，我是咱们的课程主讲老师逍遥子。今天呢，咱们一起来学习第七章二元一次方程组的第一节，认识二元一次方程组。关于本节课呢，有如下四个学习目标，咱们一起来看一下。第一个， 掌握二元一次方程的概念哎，会判断一个方程是否是二元一次方程。第二个，掌握二元一次方程组的概念，会判断一个方程组是否是二元一次方程组。 第三个，理解二元一次方程和二元一次方程组的解。前三课呢，是咱们本节课的哎，重点其实也是咱们 常考的一些考点哎。第四个，会列简单的二元一次方程，解决实际问题。对于第四个问题，随着咱们课程学习的深入，还会有专门的章节来学习二元一次方程的实际应用，咱们本节课呢啊，仅要求会列简单的二元一次方程组就可以了。 好的，那么咱们首先来探讨什么是二元一次方程的概念，那么咱们首先来看一下课本上的定义是如何来叙述的， 他是这么说的，含有两个未知数哎，并且含有未知数的项的次数都是一， 这样的方程叫做二元一次方程，那从字面意思来理解，它包含了两个大的限定条件对不对？那么第一个限定条件就是要含有两个未知数哎，这个比较容易理解，是吧？那么第二个大的限制条件是 哎，对含有未知数的项做了限定，那么含有未知数的项他有什么限定条件呢？那么含有未知数的项他的次数都是一，哎，这样两个大的限定条件，满足这样的方程，咱们就叫做二元一次方程，哎，例如下面这四个方程， 哎，大家可以观察一下，咱们不难发现，这四个方程呢，哎，都是含有两个未知数，那第一个条件都非常容易满足，对吧？那么第二个限制条件，含有未知数的项的次数都是一。咱们以最后一个方程，五 x 加三 y 等于三十四为例来介绍一下， 比如五 x 加三 y 等于三十四，哎，这个方程它首先含有两个未知数，是吧？一个是 x， 一个 y， 哎，这是第一个限制条件，没有任何问题，对吧？ 那么第二个限制条件，含有未知数的项，它的次数都是一。那么咱们首先就要找到含有未知数的项，对不对？然后再来看这一项的次数， 那么对这个方程来讲，含有未知数的项一共就是两项，对不对？其中一项是五 x， 另外一项是三 y， 那 么咱们来看五 x 这一项它的次数，那怎么来看呢？那五 x 明显是一个单项式，对不对？那么单项式的次数， 那怎么着啊？所有字母的指数和对不对？那它只有一个字母 x， 而且它的指数是一，所以这一项的次数就是一。那么三 y 也是一个单项式，它的次数也是一，哎，所以它就满足了第二个限制条件， 含有未知数的项，哎，这一项的次数呢，都是一，哎。所以你首先要找到含有未知数的项是哪些项，再来判断这些项的次数是否都是一。好了，同学们，那么通过这个概念，咱们对二元一次方程的定义，哎，有了一个基本的了解， 那么如何通过这个定义来判断一个方程是否是二元一次方程呢？下面咱们再来做进一步的归纳总结，哎，应对考试当中常见的一些考题， 因为考试当中啊，并不像老师刚才介绍的那么简单，哎，那么明了，那么一目了然，对吧？考试的过程中，他会出现各种变化条件，让你来判断一个方程是否是二元一次方程，那咱们一起再来更深的归纳总结一下。 判断一个方程是二元一次方程，化简后呢，必须满足三个条件，哪三个条件呢？咱们一起来看一下。第一个只含有两个未知数，哎， 其实也比较容易理解，但是呢，这里面它有两层含义，那第一层含义它是什么呢？那只含有两个未知数，那就不能含有一个未知数，也不能含有三个和三个以上的未知数，这是它的第一层含义，对吧？ 哎，当你判断一个方程，哎，它里面只含有一个未知数，那它肯定不是二元一次方程。如果它里面含三个和三个以上的未知数，那它肯定也不是二元一次方程，哎，这是它的第一层含义。那它的第二层含义是什么呢？ 那即然只含有两个未知数，那么当你化简以后，哎，就剩下了这两个未知数，那就一定要要求这两个未知数前面的系数不能为零，哎，这是它的第二层含义。 好的，再看第二个限定条件，含有未知数的项，哎，次数都是一，含有未知数的项的次数都是一， 哎，这里需要注意的是，他指的是项的次数，而不是某个未知数的次数。咱咱们举个简单的例子，例如这个方程吧，那么大家来看 他是否是一个二元一次方程呢？咱们先来看前两个条件啊，那只含有两个未知数没有问题，那在这个方程当中，他只含有两个未知数，一个是 x， 一个是 y， 对 不对啊？哎，第一个条件是满足的，那第二个条件是否满足呢？ 含有未知数的项的次数都是一。那么咱们首先要找到含有未知数的项，那含有未知数的项有几项？那明显有两项，其中一项是 x 乘以 y， 另外一项是二 x， 对 不对？那对 x 乘以 y 这一项， 它是一个单项式，那么单项式的次数指的是所有字母的指数和，那么 x 这个字母，它的指数是一， y 这个字母它的指数是一，那所有字母的指数和自然就是二次，对不对？那另外一项就是二 x， 那 么二 x 这一项，它的次数是一，非常容易来判断，对吧？哎，那么到这咱们就忽然发现 这个方程当中含有未知数的项 x y 这一项，它的次数是一，非常容易来判断，对吧？哎，那么到这咱们就忽然发现这个方程当中含有未知数的项 x、 y 这一了，而是二，对不对？哎，你看人家要求的是什么？ 含有未知数的项的次数都是一。就是说但凡含有未知数的项，但凡含有未知数的项，它的次数都必须是一。 而含有 x y 的 这一项，它的次数是二，对不对？它是一个单项四，单项四的次数指的是所有字母的指数和它是二次的。所以对于这个，你乍一看啊，含有两个未知数，哎， x， 这是一， y 这也是一，这个 x 也是一，那它是否是二元一次方程呢？那它明显不是，对吧？因为它不满足含有未知数的项的次数都是一，对吧？也就是下面咱注意当中提到的，哎，注意，是项的次数，而不是指某个未知数的次数，它指的是 项的次数是否都满足是一，对不对？哎，含有未知数的这些项 次数都是一的时候，嗯，那才满足条件，所以这个方程自然不是二元一次方程。好的，这是第二个限定条件。那么第三个限定条件指的是什么呢？其实它隐藏在含有未知数的项的次数都是一这里边， 哎，只不过咱单独把它拿出来做一个介绍，让同学们哎，更明确的用来判断。第三个限定条件是， 方程中的代数式都是整式。也就是说，哎，方程中等号左侧的代数式和等号右侧的代数式都必须是整式，都必须是整式。那咱们在六年级的时候学过整式包括什么？单项式和多项式，对吧？ 那言外之意，哎，就是未知数它不能出现在根号下，也不能出现在指数上，哎， 对不对？比如说，方程当中你出现了 x， 分 之一 i 位置数出现在了分母上。比如说，方程当中出现了根号 x， x 出现在了根号下。再比如说，方程中出现了三的 x 次方， x 出现了指数上，那这些通通都不是二元一次方程。因为咱们要求方程中的代数式都是整式， 但是对于咱们常考的哎，一般是会考这个，哎，是否会出现在分母上？哎，你一旦看到未知数出现在了分母上，那他一定不是二元一次方程。 好的同学们，为了检验大家哎，对二元一次方程这个概念的理解程度，咱们一起来做一道练习，来巩固一下。 好的判断下列方程哪些是二元一次方程，哪些不是？为什么？好，咱们首先来看第一个， x 加三， y 减九等于零， 那这里面含有 x， 含有 y， 那 含有两个未知数，那就满足了第一个限定条件。那第二个限定条件，含有未知数的项的次数都是一，那含有未知数的项一共是两项，一个是 x， 那 这一项的次数是一， 另外一项是三 y， 那 这一项的次数也是一，所以第二个限制条件也满足。那第三个限制条件，方程中的代数式都是等式，那明显的是，哎，左侧是一个多项式，哎，右侧是一个数字零，哎，他是一个单项式，对不对啊？单独的一个数或者字母也是单项式，所以等号左右两侧 都是整数，所以第一个它就是二元一次方程，它满足三个限制条件。那再来看第二个，三 x 方减二， y 加十二等于零，那首先来看第一个限制条件，含有两个未知数，哎，那是否满足呢？ 哎，这有 x， 这有 y， 确实是含有两个未知数，一个 x， 一个 y， 但是再来看第二个条件，含有未知数的项，它的次数是否都是一，那么咱们首先来看它含有哪些项呢？哎，含有未知数的项，那第一个就是三 x 方，那么三 x 方这一项怎么着？ 他的次数就已经是二次了，所以他不满足，对不对啊？哎，二负二 y 这一项啊，他的次数是一不假，但是三 x 方这一项，他的次数是二，所以他就不满足第二个限制条件，就不用再往下看了。那再来看第三个，哎，和第二个其实类似，虽然都含有两个未知数 x 和 y， 但是含有未知数的项， x 立方这一项，哎，他的次数是三次的，所以不满足，哎。要求含有未知数的项，他的次数都是一这个条件，所以三也不是。再来看第四个，哎，那这个就非常明显，老师一再强调过， 方程中的代数式必须是整式，无论是等号左侧的，还是等号右侧的。而言外之意，未知数不能出现在根号下，不能出现在指数上，而这出现在了分母上，所以 他不是正式方程左侧的这个代数不是正式，那自然也不是二元一次方程。好的，再来看第五个， a 等于二分之 b 减一，那咱们把它化简一下，其实就是 a 等于二分之 b 减二分之一，对吧？那到这咱们看， 它含有两个未知数，一个 a， 一个 b， 对 不对啊？啊？含有未知数的项，其中一项是 a， 那 这一项的次数明显是一，另外一项是二分之 b， 这一项的次数也是一，哎，方程中的代数式都是整式，左侧是 a， 哎，是个单项式，左侧二分之 b 减二分之一，是一个多项式，所以左右两侧都是整式，所以它满足二元一次方程的三个条件。再来看第六个， 二， x 加十等于零，哎，那首先他第一个条件都不满足，因为他只含有一个未知数 x， 对 不对？咱们要求他是含有两个未知数，对不对啊？所以六不是。 再来看七， y 等于二， x 加一，那么还有两个未知数，一个 y， 一个 x， 那 么含有未知数的项，其中一项是 y， 另外一项是二 x， 那 么这两项的次数都是一，哎，所以满足第二个条件， 那么等号左右两侧都是整，四也满足第三个条件，所以七没有问题。四，二元一次方程。再来看八 x y 加上 x 加三， y 等于二十。那首先来看第一个限制条件，哎，方程中确实只含有 x y 这两个未知数，对吧？就两个未知数，一个是 x， 一个是 y， 哎，第一个条件满足，那第二个条件是否满足呢？含有未知数的项，它的次数是否都是一呢？ 咱们来看含有未知数的项一共有几项？一共有三项对不对？其中一项是 x y， 另外一项是 x， 哎，最后一项是三 y， 哎，这是含有未知数的三项，对不对？那么这三项当中来看，第一项，哎，第一项是 x 乘以 y， 那 么 这一项的次数是几啊？是二，对不对？他是一个单项四，单项四的次数取决于所有字母的指数和，那明显是二次，那到这你就能判定他不满足第二个限制条件，对不对啊？第二个限制条件说的是含有未知数的项的次数都是一，而这出现了 这一项的次数出现了二次，所以他不是二元一次方程，哎，所以综合以上，咱们就能得到哪些是二元一次方程呢？哎，一五七是二元一次方程，其他的不是，对吧？哎，至于不是的原因，在这咱们一个一个的都进行了分析，对吧？ 好的同学们，那通过这道例题，我相信同学们对二元一次方程的判断已经做到心中有数，应该遇到类似的问题就能轻松的解决掉，对吧？ 好的，那咱们再来探讨另外一个问题，什么问题呢？二元一次方程组的概念，咱们首先还是来看书本上的定义，书本上是怎么说的呢？ 哎，共含有两个未知数的，两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组。那在这里面咱们分析一下它的限制条件或者是关键词对不对？那第一个限制条件就是 共含有两个位置数在这，注意关键字共含有，就是一共含有两个位置数。哎，那怎么着呢？哎，两个一次方程所组成的一组方程 叫做二元一次方程组。那咱们首先来看个小例子，好吧？哎，例如 x 加 y 等于八，哎，是一个方程，然后五 x 加三， y 等于三十四，也是一个方程，这时候在左侧用一个大括号把它们连立起来， 哎，就组成了一个方程组，就组成了一个方程组。咱们首先要知道方程组是什么概念，对吧？哎，你看这是一个方程，下面又是一个方程，左侧用一个大括号把它们连立起来，就组成了一个方程组，对吧？那什么样的方程组它才是二元一次方程组呢？就是刚才 定义中提到的两个条件，共含有两个未知数，这是第一个条件，咱们来看看是不是满足呢？哎，那么这 两个方程当中并不是要求每一个方程都含有两个未知数哈，是要求这两个方程当中一共含有两个未知数就可以了。那么这两个方程当中是不是 一共只含有 x 和 y 这两个未知数啊，哎，这是满足的。那再来看第二个条件，要有两个一次方程，那什么是一次方程呢？哎，在这老师给同学们解释一下，他有两层含义，一层含义是 含有未知数的项的次数都是一，这和咱们二元一次方程里那个限制条件是一样的啊，含有未知数的项的次数都是一，那第二个限制条件是什么？ 而方程中的代数式都是整式，哎，所以与咱二元一次方程当中的第三个限制条件也是一样的，对吧？哎，这就是一次方程它的含义。好的，那通过刚才的介绍，咱们来判断下一个方程组是否是二元一次方程组呢？那咱们一起来看 他是否满足第一个条件，共含有两个未知数。那么来看，第一个方程当中确实含了两个未知数，那第二个方程当中，哎，他就含了一个未知数，但是他 人家要求的是啥啊？共含有两个未知数，他只是要求你这个方程组当中，哎，只要一共含有两个未知数就可以，那明显他满足，对吧？ 哎，虽然下面这个方程它只含有一个未知数，但是上面这个方程它含有两个未知数，这两个综合起来，那它一共还是含有两个未知数，所以它满足第一个限制条件，一共含有两个未知数，哎，那再看一看，它所含的两个方程是否是一次方程呢？ 哎，那么大家来看，含有未知数的项的次数都是一，哎，这一项的次数是一，这一项的次数是一，没有问题。那这一项的次数也是一，也没有问题。满足含有未知数的项的次数都是一 和二元一次方程当中的那个要求是一样的。那第三个方程中的代数式都是整式，那么 x 加二 y 是 一个多项式，那它是整式三， x 是 一个单项式，那也是整式，那数字一和数字四更不用说了，对吧？所以它完全满足二元一次方程组的，哎，这个定义 这里需要提示的大家，它一共含有两个未知数，一共含有就可以了。好的，那么如何利用二元一次方程组的定义来判断一个方程组是否是二元一次方程组呢？咱们再来做进一步的汇总总结，以便同学们考试或者做练习的时候能更好更快的把它解决掉。 咱们一起来归纳一下，判断一个方程组四、二元一次方程组化简后必须满足以下条件，哪些条件呢？哎，那么第一个大的条件刚才咱们已经介绍过了， 共含有两个未知数是吧？那么共含有两个未知数是什么意思呢？哎，它的意思就是组成方程组中的各个方程， 哎，不必都含有两个未知数，只要一共含有两个未知数即可，对吧？就像咱们刚才举到的那道例题是吧，他第一个方程当中含有两个未知数，第二个方程当中只含有三 x 那 一项只含有一个未知数， 但是这个方程组总的来说他仍然是含有两个未知数，对不对啊？所以他要求的是组成方程组的各个方程不必都含有两个未知数即可。哎，这是第一个条件，希望大家能理解。 那么第二个限制条件是只含有两个一次方程，那两个一次方程是什么意思呢？一次方程是什么意思呢？就是含有未知数的项的次数都是一。哎，先看看这些方程当中找出来含有未知数的项，再来看含有未知数的这些项，它的次数是否是一，和咱们二元一次方程当中的 判断方法是一样的。另外一个要求就是方程中的代数式都是整式，哎，这就是第二个限制条件，只含有两个一次方程的意思。所以，哎，如果你只看课本， 你判断二元一次方程组的时候，仍然会有一定的障碍。但是经过这样的归答和总结以后，相信同学们对判断二元一次方程组应该信手拈来，不信的话，咱们做一道练习试一试。 哎，下列方程组是二元一次方程组的是哪一个？哎，那么咱们首先来看 a 共含有两个未知数，没有问题哎， x、 y 两个未知数，对吧？ 那么第二个限制条件，含有未知数的项的次数都是一。那咱来看看。哎，这个方程当中含有未知数的项是 x 乘以 y， 那 么 x 乘以 y， 它的次数是几啊？ 它是一个单项式，那么这一项的次数是二，所以它就不满足，怎么着，含有未知数的项的次数都是一，这个限制条件是不是啊？所以它不是二元一次方程组。 再来看 b 含有两个未知数，哎，第一个限制条件是满足的哎，只含有 x 和 y， 对 吧？第二个限制条件， 含有未知数的项的次数都是一。那么咱们把含有未知数的项通通找出来，第一项二分之 x， 次数是一。第二项负二分之 y， 次数是一。第三项 x 次数是一。第四项 y 次数是一，所以第二个他也满足， 是吧？含有未知数的项的次数都是一。第三个方程当中的代数式都是整式，那没有任何问题。第一个方程左侧是一个多项式，第二个方程左侧也是一个多项式，那右侧都是数字，一也没有问题，所以方程中的所有代数式都是整式，哎！说方程中的代数式，指的是 对每一个方程来讲，哎，等号左侧的代数式，他要是整式，哎，等号右侧的代数式也要是整式，哎，就是这个意思啊，可以减数为方程中的代数式都是整式，所以这三个限制条件 b 都满足，所以他是二元一次方程组。再来看 c， x 加 z 等于一， x 加 y 等于明显出现了 x、 y、 z、 i 三个未知数，那出现了三个未知数，自然不满足第一个条件，是吧？共含有两个未知数，所以它不是二元一次方程，它都含三个未知数了，是吧？再来看 d， 第一个限制条件只含有两个未知数， x、 y 没有毛病，是吧？第二个 怎么着？含有未知数的项的次数都是一，那大家来看第一项 x， 它的次数是一。第二项，哎，这一项它的次数 y， y 这一项也是一。而对 x 分 之一这一项，哎，它的次数是几啊？哎，大家说了， 它根本就不是正数，对不对？哎！首先不满足第三个限制条件，那么正确的答案应该选择 b， 正确的答案应该选择 b。 好的，同学们，那么研究过二元一次方程和二元一次方程组的概念之后，咱们再来探求二元一次方程和二元一次方程组的解，哎，那么有了概念做铺垫以后，对于解来说，那就相当的容易。那什么是二元一次方程的解呢？非常简单， 使一个二元一次方程左右两边的值相等的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解，一个解。 那么读这句话呢，可能有点绕嘴，咱们稍微把它简化一下。怎么来简化呢？哎，是一个二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值，哎，这样能简单一点，是吧？把这个 圈一圈，哎，可能有这俩字读着就稍微有点绕嘴，如果把它圈起来，把它略掉，哎， 使一个二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 哎，这里面为什么会出现一组？那大家再想一下，咱们都是二元一次方程了，这里面还有两个未知数，一个 x， 一个 y， 哎，所以，哎，这未知数是成组出现的，是不是成组出现的， 哎， x 等于多少， y 等于多少，他们俩共同决定了这个二元一次方程的解是不是所以是一组未知数的值。那咱们通过一个具体的例子，让大家更好的理解什么是二元一次方程的解， 比如这有一个二元一次方程， x 加 y 等于八，哎，这么一个二元次方程，那么咱们不难发现， x 等于六， y 等于二，带入这个方程的话，那么左侧就等于八，对不对？那右侧人家明确已经给的是八，所以就是 二元一次方程左右两边的值相等了，对不对？所以它就满足了二元一次方程解的定义，哎，使一个二元一次方程左右两边的值相等的一组未知数的值，那这一组未知数的值是不是 x 等于六， y 等于二啊？所以这一组未知数的值， 咱们就记住， x 等于六， y 等于二，左侧用大括号把它连立起来，就叫做二元一次方程的一个解，一个解， 所以这句话是绕嘴，但是相信同学们理解起来都非常容易。那什么是二元一次方程的一个解？那就是 x 要寻找的一个值， y 要寻找的一个值，是不是寻找完以后，能使这个二元一次方程左右两边相等，那这一组 x， y 的 值，那就是二元一次方程的一个解，对不对？那么大家 不难发现， x 等于六， y 等于二，是它的一个解。那老师来问，如果 x 等于一， y 等于七，哎，是不是也是它的一个解一个解啊？那没有问题，对吧？一加七等于八，所以 x 等于一， y 等于七，哎，也是这个二元一次方程的一个解，那有的同学又好说了，那么 x 等于二， y 等于六， 哎，那它也等于八，它也是二元一次方程的一个解，哎，这是四的整数，哎，那，那如果说是 x 等负一， y 等九，是不是也是八呀？哎，那么说一说， x 等于负一， y 等九，他也是二元一次方程的一个解，哎，这都是正整数啊，负整数，那咱们还可以试小数，对不对？比如 x 等于零点一，哎， y 等于七点九，那他是不是加起来也等于八，所以 x 等于零点一， y 等于七点九，也是二元一次方程的一个解。那老师写了这么多，想要表达什么意思呢？那就是下面这句话， 一般情况下，一个二元一次方程，他有无数个解，无数个解，对吧？就像上面的举着的这个例子，老师刚才写的这么多，他通通都是 x， y 等于八这个二元一次方程的解，所以一般情况下，一个二元一次方程，他有无数个解， 那什么时候才有有限个解呢？哎，一般是对未知数的取值附加某些限制条件，那么他才有可能出现有数有数个解。 那么什么时候出现什么样的限制条件呢？那么咱们常见的是，比如让你求 x 加 y 等于八这个二元一次方程的正整数解，哎，正整数解什么意思？那就是说 x 和 y 的 取值都必须是正整数， 哎，那这样是不是就对 x y 的 取值附加了限制条件啊？那就就是这句话的意思，哎，如果让你求 x 加 y 等于八这个二元一次方程的 所有的正整数解，那么它解起来，可能它的解就只有有限个解，有限个解。咱们最常见的限制条件是 x， y 的 取值都是正整数，或者说 x， y 的 取值都是负整数，或者说 x、 y 的 取值都是自然数。这是咱们在考察的题目当中最常见的三种限制条件，最常见的三种条件以第一种正整数，哎，出现的居多，出现的居多。后面咱们会讲到啊，类似的题目， 好的，那咱们现在来利用二元一次方程的解做一道小的练习，咱们一起来看，若 x 等于负二， y 等于三四方程， x 减开 y 等于的解，则开的值为多少？那么非常简单，这道题直接是考察二元一次方程的 解的定义是不是？那么 x 等于负二， y 等于三，是它的解，那么咱们只需要把 x 等于负二， y 等于负三，带入这个方程，那这个方程的左右两边就应该相等，对不对？只需要带入这个方程就可以了，那咱们把它带进去得到什么呢？ x 是 负二， 哎， y 是 三，那自然是减三 k 对 不对？把 y 换成三，把 x 换成负二，负二减三， k 等于一，是不是啊？ 那么咱们就得到了三 k 等于负三，所以 k 等于负一，非常简单的一道题啊，所以 k 的 值为负一。 好，那么接下来有了二元一次方程解的概念，咱们来看二元一次方程组的解是怎么回事？ 咱们来看书本上的定义，二元一次方程组中，哎，各个方程的公共解，那么二元一次方程组中有几个方程啊？那当然就是有两个方程了，他还说各个方程 其实就是二元一次方程组中两个方程的公共解，两个方程的公共解，因为这两个方程对每一个方程来讲，它可能都有无数个解，在这无数个解当中，总有一个解是重合的，总有一个解是重合的，也就是说他们的公共解， 这个公共解呢，就叫做二元一次方程组的解。咱们来看看具体的例子，例如刚才老师讲到的这个例题， x 加 y 等于三十四这个方程组，那么咱们来看 有这么一个解， x 等于五， y 等于三，哎，当 x 等于五， y 等于三，那么代入 x 加 y 等于八，这个方程它是成立的，对不对？那么代入下面这个方程，五 x 加三， y 等于三十四，咱们代一下， 五五二十五，三三得九，一加也是三十四也成立，所以 x 等于五， y 等于三，哎，是这两个方程的公共解，是这两个方程的公共解，那么 x 等于五， y 等于三，就是这个方程组的解，就是这个方程组的解。哎，方程组的解和二元一次方程的解 写法都是一样的，都是用左侧大括号括起来，右侧把 x 和 y 的 值分别写上，分别写上，也就是这种哎表述形式。所以二元一次方程组的解也是理解起来非常容易的，对吧？ 那么关于二元一次方程组的解，他的具体的解的情况是什么样子的？那么咱们一起来看一下。一般情况下，二元一次方程组的解是唯一的，哎，也就是说他们的这个公共解一般情况下是唯一的，但是有的方程组可能有无数个解，也可能无解，咱们 本节课呢？哎，不研究解的具体情况哎，只是让你给出一个解，让你来判断这个解是否是二元一次方程组的解，咱们只研究这种情况，本节课至于如何解这个二元一次方程，解这个二元一次方程，它到底是有 无数个解，还是有唯一的解，还是有还是没有解？那咱们以后讲解的时候再做具体介绍，本节课在这不做介绍啊。 好的，下面咱们来做一道例题，来检验一组数到底是否是二元一次方程组的一个解。那用什么方法呢？自然是用代入法，对吧？ 哎，他给了一组解，咱们就把这组解带进去，看他是否满足二元一次方程组就可以了，对不对？哎，例如 方程组 x 加 y 等于十二， x 加 y 等于十六，它的解是什么？那么咱们一起来看一下 abcd 到底哪一组是它的解啊？ 首先来看 a， x 等于六， y 等于四，咱把它带进去， x 等于六， y 等于四，一带等于十，满足第一个方程，那没有问题。再来看第二个方程是否满足呢？ x 等于六二，六于十二， y 呢？等于四，哎，确实等于十六，那么 a 它就是这个二元一次方程组的解，为什么？因为它是这两个方程的公共解，同时能满足这两个方程，所以 a 就 没有问题了。那么这道题自然选择 a， 哎，剩下的 b， c、 d 就 排除了。那么咱们再用 b 来做一下介绍，为什么他不是，好吧，那么 x 等于五， y 等于六，咱们现在来说 b 啊，那么五加六等于十一，那明显不满足这个方程，因为人家要求的是 x 加 y 等于十，所以 b 自然不是，对吧？ c、 d 都是类似的情况，老师在这不作虚数了，所以正确的答案选择 a 非常简单，用代入法来判断一组数是否是二元一次方程组的解。