福州一检数学16题解题技巧

今天我们来看这道题，这道题过程比较多，我讲的时候会先讲思路，然后到最后展示全部的过程来看。第一小题求证 b、 e 等于 d e。 其实做压轴题的时候，我们可以先看小题的题目，先看我们想要得到什么，再去题干当中找我们需要什么，这个可以加快速度 求证 b、 e 等于 d e， 我 们可以通过证明等角相等来证明它是一个等腰三角形，我们要证明的等角就是角 b d、 e 和角 d b、 e， 那 证明这两个角相等，我们需要什么才要去题目当中找条件。 题目当中提到 b、 d 这个线段是经过圆心 o 的， 并且等边三角形 a、 b、 c 内接于圆 o， 所以 我们就可以判断 这两个角是相等的，为什么呢？因为 ab 等于 bc， bc 和 a、 c 是 垂直的， 原因是 o 点和 b 点都在 a、 c 的 垂直平分线上， 因为这里 o、 a 是 等于 o、 c 的， 因为垂直平分，这里就应该要有一个垂直， 所以 b、 d 就是 三角形 a、 b、 c 的 高线， 那 ab 等于 ac， 所以 它同时也是角平分线，这样就得到角 abd 等于角 cbd， 我 们可以标为这两个角相等， 先标为角一和角二，然后我们再去题目当中找剩下的条件，它还提到一个角相等，是角 g 等于角 abe， 也就是这两个角。那么通过等量代换，角一和这个角相搭，相相加，就等于角二和这个角相加， 角二和这个角相加，得到它们的外角角 b、 d、 e， 所以 角 d b、 e 和角 b、 d、 e 就是 相等的，得到 b、 e 等于 d e。 核心的思路写在这里，然后我们把第一小题的辅助线擦掉，去看第二小问，求证 m、 n 为三角形 a、 b、 c 的 中位线。 求证中位线，我们就要证明 m 和 n 分 别是 ab 和 bc 两边的中点，也就是证明 b m 等于 a m， b n 等于 c n。 怎么证明呢？我们需要继续去题目当中找我们需要的条件。 我们可以假设一下，如果 m、 n 是 中位线，那么它和 a、 c 应该要是一个平行的平行，因为这里是九十度，所以这里也是九十度，因为内侧角相等，那什么情况下这里会是九十度呢？ 我们已经知道 b e 等于 d e， 它是一个等腰三角形 e、 p 如果是高线，那么它同时也会是角平分线， 那它具体是不是角平分线？提，因为题目当中提到 h 是 弧 b、 f 的 中点，所以 弧 b、 h 和弧 f h 是 相等的，所以它们所对的圆周角也相等，这两个圆周角刚好构成角 b、 e、 d。 可以 说明 e、 p 是 角 b、 e、 d 的 角平分线。 当我们的倒推和前面呃反的条件相遇的时候，倒推和正推条件相遇的时候，我们就可以做出来这道题。 我们来梳理一下思路。因为 h 是 弧 b、 f 的 中点，所以弧 b、 h 等于弧 f、 h， 所以他们所对的圆周角相等，也就是角 b、 p 等于角 d e、 p。 又因为 b、 e 等于 d e 根据三线合一，角平分线同时也是高线，所以 e、 h 垂直于 b、 d。 因为 a、 c 和 b d 也是互相垂直的，所以 e、 h 和 a、 c 相互平行。在平行的条件下，我们就可以利用平行线截线段成比例的性质来解决这道题。 具体的步骤就是，因为 e、 h 平行于 a c， 所以 b m 与 am 的 比值等于 b n 与 c n 的 比值，同时也等于 bp 和 dp 的 比值。在这里面， bp 和 dp 的 比值其实是知道的， 因为等腰三角形角平分线是高线也是中线，所以也可以得到 b p 等于 d p， 也就是 b p 比去 d p 值是一， 这样子我们就会最终证得 b m 等于 a m， b n 等于 c n。 推回结论来看第三小题，求 a e 比去 b e 的 值。 这三小题有一个比较好的方法，就是我们只提取我们需要的线段，剩下的线段一律去掉。 这个线段提取的过程是需要自己去发现的，我已经把它提取出来了，要求 a e 与 b e 的 比值，我们只需要下面这张图中的线段。我们来看这张图， 求比值，我们需要正相似，那 比值相等是由相似得来的，所以我们这里 a e 比去 b e 的 值，肯定是由另一组线段的比例得来的。 那具体是哪组线段呢？我们要先来找相似， 我们连接 o e 设角 a b e 是 x 度。在图上标角的过程，大家看一下，这里是三十度， 所以因为半径相等，角 bo 也是三十加 x 度，然后就是简单的角度的计算， 推过来得到角 b a e 是 六十减 x 度。 同时因为这里有个垂直，所以角 b m e 是 三十加九十等于一百二十度。 那我们可以看一下三角形 a b e 和三角形和 e b m 这两个三角形看上去很像是一个子母形的相似， 那如果角 a e b 也是一百二十度，那这个相似不就结了吗？那就可以折出来了，那它是不是一百二十度？答案告诉我们，是的角 a、 c、 b 是 六十度。因为 四边形 a、 c、 b、 e 是 一个圆，内接四边形，所以它对过去的角 a、 e、 b 是 一百二十度， 这里有一个公共角，这里有两个一百二十度就能够证明我们的子母形相似角 a、 b。 三角形 a、 b、 e 全等于不对，是相似于三角形 e、 b、 m。 这样子， a、 e 和 b、 e 的 比值就会等于 e、 m 与 b、 m 的 比值。 重点就是求出这个比值了。如何求出这个比值呢？ 刚才我们连接 o、 e 是 为了通过推到圆心角得出这个圆周角的度数，但后面我们其实发现得出这个圆周角的度数并不重要，因为我们前面已经可以得到一个一百二十度了，这是减少我们解析的步骤。 现在这个 o、 e 就 有其他的用途了， 我们再连接一条 o、 a， 前面正出了中位线，所以 b、 m 等于 am， 把这两个都设为 x， 然后 a、 d 就是 ab 的 一半是 x。 现在我们要熟知一下这个模型， 含三十度的等腰直角三角形，不对，含三十度的直角三角形。三边之比一比，根号三比二，所以 b、 d 的 长度就是根号三 x， a、 d 和 o、 d 的 比是根号三比一，所以 o、 d 的 长度是三分之。根号三 x， 那 么 o、 a 和 o、 b 都一样，都是 o、 d 的 两倍，所以 o、 b 等于 o， a 等于二， o、 d， 它们都是三分之二，根号三 x。 因为我们前面得到了 e、 h 是 b、 d 的 垂直平分线，所以 b、 p 和 d、 p 相等，它们都是 b、 d 的 一半。那 b、 d 的 一半是多少呢？ o、 b 是 三分之二，根号三 x， o、 d 是 三分之，根号三 x， 它们两个相加除以二，就得到了 b d 的 一半， 所以 b 的 一半就是根号三 x 除以二，所以 b p 的 长度 是二分之一的 b、 d， 也就是二分之，根号三 x。 因为 o b 的 长度是三分之二，根号三 x， v p 的 长度是二分之，根号三 x。 所以 我们想要求出 em 的 长度，我们就要用 pe 的 长度减去 pm 的 长度。因为 pm 的 长度是已知的，是二分之一 x， 它是 b m 的 一半。原因是这个角是三十度角， a b d 是 三十度，所以 e p 的 长度可以用勾股定律求得。 e p 的 长度就是 o e 的 长度平方减去 o p 平方， o p 是 o， b 减去 b p， 算出来是六分之，根号三 x。 那 我们再把这些算出来，可以得到 e p 的 长度是二分之，根号五 x。 这里的计算过程是不展示，因为要算的话，这里就写不下了。 然后就可以求出 em 的 长度， 使 pe 减去 pm 是 二分之，根号五减一 x， 得到了 em 的 长度。我们还知道 bm 的 长度，所以 em 和 bm 的 比值 就可以得到是二分之根号五减一，也就是 a e 和 b e 的 比值。这道题就这么做完了。 这道题里面我们综合运用了反推的方法，以及提取信 息的时候，一个条件都不能漏，可以先看小题，再去题目当中找信息。 今天这道题就讲到这里，现在展示一下全部的过程。

我们来看一下二零二五福州一减压轴题第二十五题的最后一问哈，那前两问这边就不说了，相信大部分的同学啊，应该都会哈，那这两问的结论啊，这里都没有落什么什么，对不对？我们第三问这里啊，是可以用的，他告诉你的 b e 等于 d e， 然后呢，我们这边第二问也正完了， m n 是 他的中位线，中位线其实呢，就是这两个他一定是 平行的，对不对？那第三问叫我们求这个 a e 比去 b e 啊，其实这一题的特征它非常非常明显啊，就是我们平时讲的色双元求比例啊，为什么呢？ 因为这整个题干当中没有给你任何一个线段的具体长度，然后呢，叫我们求的是两个线段的比值啊，那我们直接求你肯定是不可能求出 a e b e 的， 对不对？所以说我们得设两个未知数，那很多同学可能也去看了这个标准答案哈， 那他说我会想不到这么去设啊，想不到去设这些，设这些，设这些对不对？那没关系，我们这边说我们可以直接设这个 a e b e， 那 边分享一种跟标准那不一样的解法哈， 就是我们可以直接设这个 a e 为 a， 然后呢设这个 b e 为 b， 那 我们说这种题怎么办呢？你要求 a 比 b 怎么办呢？你要找到两个字母的比例啊，我们说你得列出 a 跟 b 的 一个 等式，那列等式怎么列呢？初中这边呢，第一个勾股，第二个呢？相似三角形，第三个三角函数啊，那用的最多的就是我们的相似三角形。那我们这边设完这个 ab 之后啊，我们想想啊，其他能够表示的线段的，我们尽量给它表示出来哈。 那你看第二问，这里是不是告诉你这个是平行，这里是垂直，这里呢也是垂直， 那还有哪些能用 a b 表示的呢？哈，所以说我们会想着去连接这个 b h 嘛，那因为你这个是垂直，那这一边它又是过圆心的，你这两段是不是也是相等啊？我们很容易可以挣出来，这两个是相等的，对不对？所以说我们的 b h 啊， 其实呢，它也是 b 的， 那我们怎么列 a b 的 一个等式呢？而且在这种题当中，大概率都是利用我们的相似三角形来列了哈，那怎么去找相似三角形呢？哎，我们一看，你看这里这两个是 等腰，那对应的这两个角啊，是不是相等啊？那圆当中我们还有倒角，你看这个角对应的弧是不是这个？ 所以说这个角啊，是不是也是它的角也是 r 啊？那你看你这里啊，是不是有一个相似三角形啊？有个拇指形相似啊，这个三角形跟这个三角形是不是就相似了？因为你这个是 公共角啊，你看这个公共角，然后这个角等于这个角，所以说 bme 呢，跟这个 b e a 啊，它会是相似的哈，好，我们写一下， 有感觉说这三个角呢相等，导出这个 b m e 跟这个 b e、 a 呢，是相似的，相似。你看我们就有对应边乘比例了，就能推出啊， 这个 b m b m 比去 b e， 就 会等于你的 b e 比去 b a， 你 就能列出啊，这个 b e 的 平方呢，就会等于 b m 乘以 b a， 其实也就是斜射影定律嘛，对不对？那你看这里该说是中位线，这是中点，这个是不是等于这个？好，那我们就把这个 b 呢，用 b e 给它 代调哈，就可以推出 b 平方，就是等于 b m， 那 b a 就是 两倍的 b m 嘛，是不是就推出这个是指啊？那开个根号我们就能推出啊， b m 呢？ 这个 b m 的 平方就是等于二分之 b 方嘛，对不对？所以说 b m 啊，就是等于根号二分之 b， 也就是二分之根号二 b 了，这个 b m， 那我们算出这个 b m 等于二分之根 b 之后呢？其实你这个 m 是 中点，对不对？所以说 a m m n 也都会等于二分之根号二 b， 那 你这段知道了，那这个又是 b， 那 其实这段也是知道的，这整段也是知道的，对不对？其实我们刚才说这两个三角形的相似，比呀，我们是可以比出来的，其实它就会等于这个三角形的这个 b m 比去 b e， 那就是等于二分之根号二。比 b 是 不是就是等于二分之根号二啊？哎，相似比是二分之根号二，那你这两个线段的比啊，是不是对应线段啊？ 那你 em 啊，比去这个 a e， 也就是 a， 比去这段，就这两个的比，其实是不是也是等于二分之根号二？哎，那我们能够推出啊，这个 这个 e m 啊，你看，通过这个式子，我们能算出这个 e m 呢，就是等于二分之根号二 a， 那 n h 也是二分之根号 a， 为什么呢？因为你这个是垂直，这个是等于这个，对不对？然后这个相等，那剩下的这段肯定也是 相等的了哈，所以说你这个是二分之根号二 a， 这个刚才说知道了二分之根号二 a， 这个呢？ 二分之根号二 b， 还有这个呢？二分之根号二 a， 然后你看这里是 a， 这里这个呢是 b， 我 们找一个 ab 的 关系，我已经表示出这么多线段了哈，应该是非常好找的，怎么找呢？你再利用一个相似，利用这两个三角形啊， 相似就 ok 了啊，你用这两个相似，也就说这边比去这边会等于这边比去这一整边就可以了哈，我们写一下 m h， 先给他写出来，就是这段二分之根号 b， 加上这段就是二分之根号 a 嘛。然后呢，你这个 a e m 跟这个 b h b m 是 相似的，所以呢，你就有这个 a e 比去 b h 就 会等于 am 比去 m h， 然后把这四个线段通通带进来，你看 a 比 b 等于这一坨，它的比对不对，二分之二都约掉，就能推出啊， a 比 b 就 等于 b 比去 a 加 b 了。那这样子啊，我们就找到 a b 的 一个关系了哈，我们帮它稍微化解一下，就交叉相乘。 然后呢，因为你求的是 a 比 b 嘛，从除以 b 方就得到这么一个式子解，关于 a 比 b， 把它当做一个函数 t， 那 就是 t 方加 t 减一等于零。关于这个的一个 一元二次方程哈，解一下，我们就能推出，这个就是二分之根号五减一啊。所以说这一类题的特征非常明显，大家一定要掌握。这类题就叫做设双圆缺 b d， 没有给你任何距离长度，将你求线段的比值，我们设两个位置处，找一个等式即可。

我们看一下福州一减，今天刚考的第十六题哈，那这道是求最小值，那其实这是一个比较简单的题哈，他给我们这样一个四边形 a、 b、 c d 吗？告诉你这两个是平行，然后这个是九十，告诉你这个是二，这个呢也是二，然后 c d， 他 说等于这个 m 啊， p 为线段 b c 上一个动点， p 在 这边跑，然后呢，将这个 pa 顺时针转九十度，得到这个 p e， 然后他说 p 在 线段，像由 b 到 c d 运动的过程中啊， p e 与 c d 总有这个焦点，它的焦点啊，总在这个线段 c d 上，对不对？那我们假设 p e 跟 c d 的 焦点就是 f 呗， 那就说 f 啊，他这个一定是在这个 c d 上的，那叫你求 m 的 最小值，那这个这个什么意思呢？就说你 c d 这个长度在这，然后呢，你这个焦点啊，总在 c d 上，那其实就是说啊， 你这个 c d 啊，是不是一定得大于等于 c f 啊？也就是说你不能比 c f 来得短，比 c f 来得短的话，那这个焦点就不在这个 c d 段了啊，那比它来得长，那你 f 焦点都在这个上面，所以说其实就是求一下这个 c f 的 最大值，也就是 c d 的 最小值了。那这个怎么看呢？你看这里有垂直啊，从求他的这个最大值哈，我们一看这两个三角形是不是都直角三角形，而且是相似的，对不对？好，那其实我们用这个函数思想设参数来求他的最值就非常简单了， 我们可以先设这个为 a， 那 这个就是二减 a， 我 们的 a 一定是大于等于零，小于等于二的哈，那这两个相似呢？我们给他写出来就是 a b p 相似于 p c f 嘛。然后呢，对应边乘比例就是二比去二减 a， 就 会等于 a 比去 cf 了哈，对应边乘比例，那 cf 我 们就能够转化为关于 a 的 一个二次函数，就等于二分之一， a 乘以二减 a， 这个 cf 就是 关于这个 a 的 一个二次函数了。而且呢，它这个开口是向下的， 就是变成二分之一负 a 方加二 a 嘛，对不对？开口向下，那这个其实就是焦点式啊，你看我们画下来走，开口向下，一个就是零，一个就是二的时候，对不对？与 a 轴交点啊？那是不是它的对称轴是不是就直线 x 等于 a 等于一啊？是不是直线 a 等于一啊？ 所以说就是这里 a 等于一的时候啊，我们就可以求出这个 c f 啊，它有最大值就是几呢？二分之一，也就说你 f 啊，它最多最多 c， f 的 长度，最多最多就是跑到二分之一上来了，这段就是二分之一。那只要你这个 c、 d 的 长度比二分之一 来的长啊，或者跟它相等，那你这个他们的最小值啊，也就 c、 d 的 最小值呢，就是这个二分之一。

好，过去几天福州市中考的一检啊，在进行考试，那么我们这次对一个一检的数学试卷做一个分析，我们可以看到哈，相较于去年啊，本次的试卷难度它是有一个比较明显的一个提升的 啊，高于我们中考的一个平均水平，那么试卷整体的结构与核心考点的分布啊，保持稳定。那么创新主要是体现在题目的背景的实践化以及生活方式，它比较的一个灵活，上面强调考察学生要运用已知的知识去迁移解决新问题的一个探索能力。 那我们可以发现啊，数与代数模块仍然是我们考察的重，重中之重啊，基本上覆盖上基础运算是数的整数以及分式的一个运算和化解求值啊，方程与不等式，重点考察的是一元二次的方程，涉及到根本判别式啊，伟大定律以及分式方程设计方程组的一个解法与实际应用。 函数的话，那么这个知识点它是全线贯穿啊，可以分层的来考察。像一次函数就比较简单啊，主要是理解图像的一个性质和实际的应用，那么反比例函数主要是强调这个 k 的 一个几何意义，以及与 图形的一个结合，综合来考，二次函数的话，可以考简单，也可以考的比较复杂。二次函数的话，它深度的考察就是图像的性质啊，解析式的求法以及与一元二次方程的一个关系，结合动态的几何来考察一些问题。 第二大模块就是我们的图形与几何模块，那么这一块的话，重点是强调逻辑推理和综合运用，像三角形啊，四边形 啊，这两个都比较的简单啊，三角形的话主要是全等与相似的判定啊，这个是最基础的。四边形的话主要是一些平行四边形以及一些特殊的四边形，像矩形、菱形、正方形，它的一个性质 和判定是我们的考场重点。圆的啊，这个是一个最最核心的一个板块啊，它会考的非常的复杂，像我们的垂直定律啊，圆周定律，切线的判定与 性质，以及弧长扇形面积的计算啊，他经常会与我们的三角形，四边形结合，去考一些中等题和高难度的一些题啊，就所以一般都会有原原来画功 那么图形的变化啊，这个比较简单，一般来讲是作为一个填空题或者是选择题来出现，或者是综合体的一个背景来出现啊，主要考的是对称、平移、旋转啊这几个方向。 第三个考察的一个重点模块就是我们的统计和概率，那么这一部分考点的话，相对是比较的固定啊，属于一个基础得分板块啊，属于一个送分板块，包括像平均数啊，中位数、众数方差的意义计算 啊，以及运用一些列表法或者是树状图，求一些简单事件的概率啊，这这一个类型的题啊，一定是要拿满分的 啊。最后个模块的话，就是我们的一个综合与实践，但是其实这不是一个独立的模块啊，他是基于上面三个模块的一个知识当中，尤其是体现在我们的倒数第二题或者倒数第一题这样子的一个压轴题当中 啊，像函数与几何相结合的实际应用问题的话，他就是一个非常综合的应用，像我们这次考试第二十四题啊，他就是一个非常典型的一个代表啊，考的学生的一个数学建模的一个，解决实际问题的一个呢， 所以这块就是你首先要对于综合知识要有个非常好的一个应用。那么我们这次考试的话，其实啊有一个很明显的一个特点，就是备考的时候啊，这么复习的时候就是一定要聚焦在你的数学能力 啊，强化你的思维啊，重点要提升在一个新的情境下去分析问题以及转化问题的数学思维能力啊，特别是要强调我们的塑形结合与分类讨论的思想。

好，我们来看福州一剪的第十六题，那 ab 平行 c 档角， b 是 九十度， ab 等于二， bc 等于二， c 档等于 mp 为一个动点，将 pa 老 p 点旋转，逆顺时针旋转九十度。好，那我们可以得到 ape 是 九十度。 好，那这里有很明显有一个东西啊，一个垂直，两个垂直，这里是不是也是垂直？三个垂直，那这里是不是就可以转化成我们的一线 三垂直的模型，对吧？那这里，哈，这里，这个，我们给他一个焦点，给他点 f。 好， 那这时候是不是一线三垂直的相似模型啊？ 相似，也就是这里的三角形 p， c、 f 是 相似于这里的 a、 b p 的， 对吧？这两个三角形是相似的。 好，他这里当时他问的什么？他问的是这两个穴位，他这两个线段 p、 e 跟 c 档他总有交点，并且这个交点总在 c 档上面。问这个 m 的 最小值，也就是 c 档的最小值，他问的是 c 档的最小值。 好，那在这个图上里头，也就说明啊，他这里说明他的焦点，他总在这个 c 档上面，说明什么呢？说明我们这个 f 点一定要在 c 档上面， 对吧？那 f 点一定要在 c 档上面，那我是不是求 c 档最小值，我就转化成什么了？ c f 的 最大值。 好， c f 的 最大值，如果 c f 的 最大值都在 c 档上面啊，它刚好就等于 c 档， 那说明啊，不管 cf 再接下来再怎么变化，它一定一定都会在这个线段上，都会在 c 档上，所以我们把 c 档的最小值转化成什么？ cf 的 最大值？问题， 好，可以吧？好，那放到这里来说，也就是什么呢？好，我们可以应用通过我们的干海的相似，我们可以得到 cf， cf 比上比上我们的 b p， 对吧？等于我的 c p 比上我的 ab， 好， 我们这时候带数字进来， c f 就是 c f 吧？ 那好， b p b p， 我 们这里没有其他的数字，那我们可能设个参数，比如说 c p 是 为 x， 那 这条边是不是就二减 x？ 好， 那是不是 c f 比上二减 x 等于 x 比上二？ 好，我们整理一下，是不？填到 c f， 它是等于负的二分之一， x 平方加 x。 好， 那这个东西长得像什么？是不是很像我们的函数？ 那求这个函数的最大值，是不是我们接下来可以通过顶点啊？求这个函数的顶点就可以知道。那我们就可以进行一个配方嘛，对吧？那我们配完方负的二分之一提出来，它可以整理成 x 减一的平方加二分之一， 对吧？那是不是就可以知道当 x 等于一的时候， x 等于一时，这个 c f 就 会有什么最大值？哈？ c f max 就 等于二分之一， 对吧？好，刚才说了， c f 的 最大值就是 c 大 的最小值，所以这一题它 m 的 最小值就是什么？就是二分之一。好，这就是第十六题。

好，我们来看一下南岛大多数同学的二零二五福州医检的第二十四题，那这个题目相信大家都已经读过很多遍了哈，就不再详细读了，我们看下问题，第一问呢，叫我们判断这两个弧所对应的圆心角的大小是否相等啊？ 那标准答案的那种解法其实挺简洁的，但是呢，很多同学说啊，我可能想不到啊，对不对？那这题我们怎么去切入比较合适呢？你看哈，其实啊，我看到这个弧长，还有这个圆心角啊，我马上想到我们初中学过的一个知识点啊， 是不是就是扇形度域的弧长公式啊？我们的这个弧长公式 l 是 不是就是一百八十度分之 n 派二呀？ 那你这个这个长度，这个长度，它绕着这个圆心转的时候啊，你这个不就是它的圆心角吗？这个 a e a 是 不是就是它的弧长啊？对不对？那就对应这两个弧长对应的圆心角大宝大小是否相等？所以说，我这边想到的是扇形的弧长公式哈， 那这里呢，它的这个弧长就是 a 嘛，对不对？那它对应的圆心角啊，我们就可以假设它为 n 一， 然后呢， b 一 b 二，这个扇形，它这个弧长对应的是 b， 它对应的这个圆心角呢？我们假设它为 n 二，我们就判断一下这个 n 一 n 二是否相等，对不对？好，所以说我们想到这个扇形公式， 那还有一个呢，这里比较关键的一个信息，你这个扇形跟谁有关系啊？这个是 a 吗？这个是谁？这个是 b， 对 不对？他们是走这个一整圈的，你这边也是走一整圈的，那这个他说了，他非常关键的一个东西，大家看到啊，就说这里，他说他的 步数是相同的哈，那我们可以先假设一下它的步数为 m， 也说外圈和内圈它这个步数是一模一样的哈，那等会我们能找到这个半径，半径跟这个它们 a b 之间的一个关系哈， 好，那么回到这边我们该说这个弧长，我们想到这个扇形面积公式，那第一个这个弧长 a l 是 不是一百八十度分之 n pi 啊？ 一百八十度 n， 我 们假设这个对应的就是 n 一， 然后呢派二二就是它的这个半径 o a 嘛，对不对？那这个 a l 是 谁呢？就是这个 小 a， 同理呀，我们的这个第二个这个弧长是不是一百八十度分之 n 派二，那这个是 n 二，然后呢半径就是这个 o b， 那 对应的这个扇形，它这个扇形对应的这个弧长就是这个 b 的， 对不对？哈？那我们先列出这样一个式子，那因为你要比较的是这个 n 一 n 二这两个式子吗？哎，那我们可以把这两个式子啊给他比一下哈，把这个派根一百八十度啊，就能够给他消掉。就说我们 那我们这边先把 n 一 写出来，然后呢 n 二写出来，然后呢进行一个比一下，左边比左边，然后呢右边比右边，那就是剩下 n 一 比 n 二，就是 a 乘以 o b 等于 b 乘以 o a， 那 我们需要找一下这个 aob b o a 之间的一个关系， 那刚才说到这里啊，他的步数相同，我们需要用上了，步数相同怎么用呢？你的步数啊，是不是就是你这整个长度啊，除以你的这个弧长就可以了，就整个圆对应的周长啊，所以说就是二派二， 就是它的整个圆的周长，除以你的弧长，除以一步的长，就是你的步数了。那同理，另外一个是不是也是一样的，二派 o b 除以你的外面的弧长，就是每一步的长度，就是你的步数。这两个是不是就相等啊？好，能列出一个四组出来哈， 那反过来就说，你的这个长度就是等于整个圆的周长除以步数嘛，是不是一个意思啊？那 b 呢，也就是整个圆的周长，二派 r 除以你的这个步数 m 啊，然后我们再 a 比 b 比一下，你看左边比左边，然后呢，这个右边比右边比一下，你就发现了， a 比 b 就是 等于 o a 比 o b， 所以呢，这个 a 乘以 o b 啊，就会等于 b 乘以 o a 了。你看这两个是相等的呀，所以说我们能推出啊， n 一 比 n 二等于一，所以说呢， n 一 啊，等于 n 二啊，所以说，看到这题，我是这样子去切入的，因为它对应的是弧长和这个圆心角嘛，马上想到扇形的弧长公式哈，是这么去切入的。 好，那接着我们看第二问哈，第二问，他说，求 y 的 表达式，用含这个 x l 的 代数式来表示，那 y 是 谁呢？ y 其实是不就是这里的 这个 oc 啊？ oc 是 谁啊？是不就这个 a 和 b 的 中点啊？所以说，其实你这个长度呢，肯定跟你这个 o a 还有这个 o b 的 中点啊。所以说，其实你这个长度呢，肯定跟你这个 o a 还有这个 o b 的 中点啊，所以说，其实你这个是 d 啊， 那你这个 o a 刚才说了，他对应的告诉我们的这个是 a， 然后呢？这边这个是 b， 所以 说我们就会想着把这个 o a、 o b 啊，就是 o c 呢，用这个 o a、 o b 来表示哈，那怎么表示呢啊？第一个非常简单， o c 就是 o a 加上你这个二分之 d， 对 不对？因为你的整个是 d 嘛， 这边整个是 d， 那 这个是二分之 d， 那 同理 o c 呢？就是 ob 减去二分之 d， 然后呢？把它加起来就可以了，相加右边相加这两个消掉，那 o c 就是 二分之 o a 加 o b， 那我们的目的就是说你 o c 要用这个表示，也就是我们需要把这个 o a 加 o b 啊，用这个 x、 d、 l 给它表示出来哈，其实这里就涉及到其实类似我们的怠速推理了哈，我们要把这些变量呢，通通转化为这三个变量， 那怎么转化呢？好，我们先来一个个消耗，我们说变量肯定是越少越好嘛，对不对？然后呢，我们全部要转化到这个 x、 d、 l， 那 这个 x 是 谁啊？ x 是 不是 b 减 a 啊？然后呢？ l 是 谁啊？是不是 a 加 b 啊？所以说我们最后的这个 x l 要把它转化为 a 跟 b， 小 a 跟小 b 哈， 那这里我们怎么转呢？ o a、 o b 呢？好，我们上面是不是有这个是指 a 比 b 啊？是不是等于 o a 比 o b 啊？那我们就想着呢，先帮它消掉一个哈，就是 o b 呢？根据这个，先用这个 b 乘以 o a 比去 a 给它 表示出来，然后呢？带到这里进来哈，你看我们就能消掉一个 o b， 对 不对？就是这里的 o b， 用这个带就能得到这么一个式子， 然后呢，这里呀，把这个 o a 呀，给它提一个出来，就是二分之一加上 a 分 之 b， 再乘以这个 o a， 然后呢，这里的分子分母同乘以 a 就 好了，就二 a， a 加 b 再乘以 o a， 就 得到这么一个式子哈，得到这个式子，那其实这里啊，我们都快做完了，为什么呢？因为你的 a 加 b 是 谁啊？你这个四分之 a 加 b 是 l 吗？ 所以说你的 a 加 b 其实就是谁，是不是就是四 l 呀？好，这里就是四 l 了。那我们看看你这个 o a 呀，能不能给它转化为 ab 呢？啊？ o a 其实非常好转化为这个 abd 这些数之间的一个关系。为什么呢？ 啊？因为你 o a 是 谁呢？该说呢？ o a 啊，其实是不是就是 o c 减去你这个二分之 d 啊？因为他说的最后是用这个 x、 d、 l 表示嘛，对不对？所以我说我们引入这个 d 是 没有关系的哈，我们把它带进来，你看 这个就是 o c 减去二分之 d， 那 然后呢，其实非常简单了哈，你看这里 o c 不 就是这个 y 吗？这里 a、 b、 d 我 们都已经表示出来了哈，那我们这里先把 o c 啊，给它单独整出来，怎么整出来呢？把这一整项给它除到这边过来，那就是变成二 a 乘以 o c 除以这个 a 加 b 等于 o c 减去二分之 d， 然后把这个 o c 呢，再移到 左边过来哈，再移到左边过来，得到这么一个式子，这里呢，你再提一个 o c 出来，然后呢，就是 a 加 b 分 之二， a 减一嘛，减一的话，这里再通风一下啊，再通风一下， 你其实能够表示出 o c 其实就是这么一个式子了，就是 d 乘以 a 加 b 除以两倍的 b 减 a， 那 这个是谁啊？是不是就是四 l 啊？这个 b 减 a 是 谁啊？是不是就是 x 啊？哎，我们就能够全部都把它转化出来了哈，就是把这两个带进去就可以了，所以说 o c 呢，就是等于 d 乘以这个四 l， 然后二乘以这个 x 啊，这个二再晕掉，就是 x 分 之 二 dl， 那 这个是谁呢？就是我们的 y 了，所以说 y 用这三个怎么表示呢？就是等于 x 分 之二 dl 了， 那如果说第二问这个求出来之后啊，第三问简直就是送分了。你看他告诉你 d 约为零点一，把这个 d 等于零点一带进来，那就二乘以零点一， l 是 零点七，你乘以零点七带进来除以这个 x， y 是 不是就这么一个式子啊？就是连 x 分 之，这个是零点一四嘛？ 是不是啊？所以说 y 等于 x 分 之零点一四，他说他的半径不超过五百，是不是就是小于等于五百？单位要注一下，他是 米呀，那我们你看不就列出这么一个不等式吗？他叫你求他的不差，不差是谁呀？不差不就是 x 吗？求 x 的 范围呀，那因为你不差一定是正的，对不对？好，他外面的一定会比里面的这个大吗？是不是？好，那你直接乘过去不就好了吗？好，我们列一下式子， 他小于等于五百，然后因为这个 x 大 于零，你这边呢？乘过来就是变成这边乘过来五百除过来就可以了吗？就 x 就 大于等于零点一四除以五百米哈，单位一定要注意， 那米化为五，这个毫米怎么化？是不是乘以一千啊？所以说你 x 大 于等于这么多，把它转化为毫米，就乘以这个一千就可以了，就是零点二八毫米啊。所以说他的步差是多少啊？至少呢就是这个零点二八毫米了。

一起来看一下今年一减十六题填空压轴题。这一题对于填空压轴来说难度不算大，基本上平时有练的同学做起来是比较顺的。 而且这类题型有很显著的特征，就是求线段最值，并且我们发现它可以构建线段之间的关系，所以我们可以用代数的方法来解决几何当中的最值啊。那我们先看一下题目， 题目给的条件是，这一段 a b 长度等于二， c 段长度用 m 来表示， m 多少不知道，然后 b c 的 长度是二，给了三个垂直，那么这三个垂直是我们经常见到的图形。一条线上三个直角， 那也就是一线三等角，我们可以用相似。那先看一下他问的问题， m 最小值， m 的 最小值就是 c 档的最小值，要求的是 pe 与 c 档的交点，我们把它定义为这个 h， 要求 h 一定要在 c 档上，那大家可以思考， 如果 c 弹太短了，那 h 就 跑到 c 弹的外面去。所以我们看似研究 m 最小值，实际上要先研究一下 c h 的 长。 当我们知道 c h 的 范围，那么很容易就知道 c 弹的范围了。好，那可能一眼无法看出思路。我们先来研究一下这里面的相似，把已知条件变成更多的已知条件。 因为这段长度为二，所以我们为了列相似，需要把这两段表示出来， c p 跟 b p， 所以 我们可以设其中一段为 x， 另一段就是二减 x 啊。异正，这两个三角形相似啊，很好，正 角一加角二九十，角二加角三九十，所以这个角一就等于角三了。接下来相似以后，我们依次写出它们对应边的比例， ab 比去这个 c p 等于 b p 比去 c h 啊，好，那依次把线段带进去就行了。 ab 是 二 p， c 我 们设为 x， 那 么 b p 二减 x， c h 保留，因为我们研究的是 c h 交叉相乘， c h 就 等于这个，那么这个大家发现它是个二次函数，二次函数，而且开口是向下的哈，这个负开口向下呢？待会有个最大值，那我们先看一下它最大值哈，先把它展开，展开以后配成顶点式。 好，那这个二叉数开口向下最大值是二分之一，这个顶点重坐标二分之一。二分之一代表的是 c h 的 长度，最大大到二分之一。 既然 c h 最大大到二分之一，那么如何保证 h 一定在 c 档上呢？ 只要保证 c 大， 不要比二分之一短就行了。所以 c 大 大于等于二分之一，也就是 m 要大于等于二分之一， 那最终 m 的 最小值就是二分之一哈，那最后总结一下这种类型的题啊，首先求最值，最大值或者最小值哈，并且呢，它可以在几何当中构建关系。最后我们通过 代数的问题求线段的最值，那这种类型的题，如果没练过的同学可以集中练五道六道题，你就一定会有心得体会。

一条视频回答家长们的所有问题。福州一点数学到底有多难？那么多少分算是高手？或者是多少分算是中等生？上一类校数学大概需要多少分呢？很简单，十六题，这四分有难度，二十三题的十分当中有五分是有难度的， 二十四题，十二分，八分有难度。二十五题，十四分，其中六分有难度。所以一三附统招学霸的数学第一百三十八分以上。 一三四五八福高长一二四的统招学霸数学第一线应该在一百三十分，含一百三十分以上。 老九所和新四所一共十三所学校统招学霸数学的第一线应该在一百二十二分，含一百二十二分以上。 所有一类项统招数学第一线应该在一百一十二到一百一十五分附近。我说的都是统招，包括定转、统，那么至于定向生会占多少，这要看具体情况。那么同学你发挥的如何呢？

据说，当一个人被蒙住双眼后，根本无法沿直线前进。一百多年前就有人发现了这个问题。为此，科学家曾经做过四个实验，得出的结果让人意想不到。 第一个实验让被试者蒙上眼睛，从一条路边开始，直着向前走。直线，当他走了一段还算是直的路线之后，就开始绕圈，圈了一圈又一圈，最终撞到了一个树墩上，哈哈！哎呀哈哈！ 接着是第二个实验，科学家随机找了三个人，没有蒙眼睛，而是选了一个大雾弥漫的天气，从谷仓出发，沿直线一直走到终点。实验开始后，这三人都以为是直着向前走，结果绕了三大圈之后又回到了谷仓。 第三个实验是让被试者蒙上眼睛，跳到了一个湖里，直线向前游泳，结果他游出了一个弹簧状的路线。最后一个实验是在一片较为广阔的空地上，让被试者蒙眼，开车走直线。结果和前三项实验队友不同，他开车向前逆时针转了一大圈后，又开始顺时针画圆圈了。 一百年来，科学家一直试图解释这一现象，然而至今都没有弄明白这是怎么一回事。

那么我们再看第十七题啊，这个比较简单，一二方程九解就可以了，老师用的是配方法啊。对，一加减根号二啊，一加减根号二。然后这个第十九题，那这个用到了，当 e 平行于 bc， ok， 那 我们就必须得怎么样？ 因为平行所以相似，所以我们 a 当边比 a， b 边比成 bc 点啊，这样子完成之后呢？那此时的 a 当比 五就等于四比 bc， bc 就是 三分之二十，还是比较简单的，还是比较简单的啊。那么下一个第十九题，这里边多多少少有一点坑，就是因为它是一元二次方程，所以我们先把得它写出来，得它是 b 平方减 c， a、 c 是 不是又给了一个比， 这个比呢？是， a 分 之 b 等于 b 分 之 c， 所以 b 方等于 a c 啊。 b 方等于 a、 c， d， 它等于 b 平方减四， a， c、 d， 它等于 b 平方减四 a、 c。 好， 这个时候我们把 b 方换掉， b 方换成 a， c， a， c 减四， a， c 就是 负三 a、 c。 那 么又因为 a 不 等于零，所以 b 方就等于 a， c 是 大于零的。注意， a 是 不等于零，为什么？ a 在 分母，所以 a 肯定不等于零，所以 b 方等于 a， c 是 大于零的，因此，而它最后是负三， a、 c 小 于零，所以它没有实数 根，没有实数根啊！二十题比较简单，这是首先切线长嘛，对不对？切线长这里。那么 p a 等于 p b 啊，所以连接 o， a、 o、 b 两个是垂直， 那么四边形一共三百六十度，那用一百八到三百六十度，减去五十，减去一百八，等于一百三，所以角 a、 o、 b 是 一百三， a、 o、 b 是 一百三。同弧所对的圆周角是圆心角一半，所以 a、 c、 b 是 五十度啊，这个还是比较容易的。二十一题有难度，这道题有难度， 第一问没难度啊，第一问只要算学生啊，从一百名学生里面抽啊，有多少个愿意参加的啊？那把初中生和高中生愿意参加的加起来，四十加二十等于六十。一百分之六十啊，四十加二十等于六十啊，四十加二十等于六十， 那一共学生是一百人，那这个时候他问的是什么？哎，初中生你不要用一百人，他是问初中生里面，所以是六十分之四十，最后是三分之二。 那么第二个呢？肯定很多人就有错了，哈哈哈。有一些中等生可能这道题是参考二零二三年，老师没记错是二零二三年的二十题，还是二十一题。有一道题也是这么出的 啊，他要算平均值啊。那这道题呢，如果你直接用一百分之六十，那就错了啊，因为你会觉得一百个学生啊，那六十个人愿意的呀，就百分之六十的就错了。一定是要把初中生的两千四百人 去乘以六十分之四十，再加上高中生的一千八百人乘以四十分之二十， 初中生愿意的一共是一千六，高中生愿意的是，呃，是九百，所以合起来是两千五百人，最后用两千五除以四千二，一共是四十二分之二十五。所以这时候全校啊，随机抽一名，愿意参加的概率是四十二分之二十五。 重点来了，我们到了二十二，这道题其实是送分的，这道题我觉得是送分的哈，当然跟我最后阶段给大家讲的很多题也是比较相似的，就是什么你要建立一个平面直角坐标系，我们建立完这个平面直角坐标系呢？点旦的坐标就是零斗二顶点， f 的 坐标就是三斗三点六二， 那么用顶点式啊，用顶点式把零到二和三到三点六二往里一带，那么 a 就 算出来的是负零点一八，所以二次函数是 y 等于负零点一八倍的 x 减三的平方加三点六二， 这是二次函数。第一问啊，第二问，能不能完美进球，就是那个球啊，从手的嘚就进去了，是不是什么都没有碰到？是一定要完美进去，也就是点的坐标刚好契合， 跟去年那个小孩踢球球进书包的概念是一样的。所以你只需要让 y 等于多少，哎，让 y 等于这个呃，叫做，呃，就是让当 x 啊。 x， 因为 c b 的 长度是四点五嘛， c b 的 长度是四点五，你可以把 y 的 三点 零五带入啊去求这个 x， 也可以把 x 的 四点五带入去求 y， 如果你把四点五带入，带入到这个 y 等于负零点一八 啊，乘以 x 减三的平方加三点六二这个顶点式里边，那你把 x 换成四点五，就是 y 等于负零点一八，乘以四点五减三的平方加三点六二， y 算出来是三点二一五，那么这个三点二一五是大于三点零五的，所以它是没有办法实现完美进球的， 你明白了吗？好的，我们再看二十三题，这个二十三题是一个画图题啊，来，我已经把答案直接放出来了，其实这道题目的难点就在于他考察的不是像以前我们一样直接画图去了， 这个考察的是做一个角等于一只角。这道题的第一个难点。你可能会认为来这道题的第一个难点，我们知道 a 但是等于 a g a 但是等于 a g， g 是 在 c b 的 延长线上， g 是 在 c b 的 延长线上。但是你千万别认为此时的 ab 大 和 abg， 此时的 ab 大 和 abg 各自是九十度，这可不对啊，这可不对，只是 a 大 等于 ag， 仅此而已。 所以这道题实际上是做了一个，当 ag 等于 bae， 当 ag 等于 bae， 就是做一个角等于一只角，然后再做这个 a b 等于 a e 一 截就可以了，然后把 e、 g 一 连再延长做一倍的线段，连接 a f， 所以 三角形 a e、 f 即为所求，就是你们图里面所看到。 紧接着呢？第二问，哈哈，第二问啊，然后他什么那个东西是零九十度，就是 e b、 f 是 九十度， e、 b、 f 显示九十度的话，如果你想让 e、 b、 f 显示九十度的话， 那么其实第一问已经给你了，因为我们但是什么斜，但是中线，所以我们有 x 一 等于 x 二， x 一 等于 x 二，那么转过来的时候是不是有 x 三等于 x 四？那此时点 g 点 g 是 不是成为了 r t 三角形 e、 b、 f 中的斜边中线， 对吧？斜边中点啊，点 g 就 成为了 r、 d 三角形 e、 b、 f 的 斜边中点，所以 g、 b 自然而然就等于 e、 f 的 一半，所以 x 一 x 二， x 三 x 四，那么 g b 就是 x 五， g b 是 x 五，那就一线三直线， g b 是 x 五，那就一线三垂直，所以那么 ab 就 垂直于 g 蛋， ab 就 垂直于 g 蛋， abc 就是 九十度，所以前二三题的难度不是特别大。

那本期视频的话呢，讲解一下本次福州市一剪卷的两道几何压轴题，其中第十六题我们在考前的一剪冲刺复习一当中原原本本讲过的，那么用函数法求最值，大家可以参照一下之前的资料，那这边不再赘述了哈， 下面来看一下这个二十五题，简单把条件捋一下，这是一个等边三角形，那么异正 b o 垂直平分 a c。 之前给你们着重讲过，一定要两个点到线段，两段距离相等，这个过程一定要写出来， b a 等于 b c o a 等于 o c， 对 吧？那么这个时候既证明呢，它是高线，也能得到这个特殊角。 角距等于 a d e， 我 们可以用几何标记 r 相等等弧对等弦对等角，所以这两个角可以同时标上背塔。 由于这个是三十度加 r， 这个也是，所以等角对等边第一步就正反了。既然等幺三角形，那么三线合一，这个 e p 将垂直平分 b d， 所以说根据平行线所夹的线段成比例，即可证明 mn 为中位线。第三，很多人说这个辅助线不知道怎么添加，那实际上不需要添加辅助线，你们可以听我讲解一下，为什么 a e 比去 b e 涉及到这个三角形，我们刚才知道阿尔法加贝塔是六十度，对吧？那么这个 e a b 也是贝塔， 因为这个角是一百二，对吧？四边形对角互补，所以说 a e b 与这个 e m b 相似，同时两直线平行，我们可以在 a d e 这个地方标上背他，所以说 a e 假设这个点是 i a e i 和这个 b a e 也是一对拇指相似， 那我们在假设参数的时候，以小不宜大，对不对？本题没有具体的线段长度，肯定要设参数，不妨设这段为 m， 这段为 n， 那 a e 比去 b， e 等于 m 比 n。 第一步正过 b， e 等于 e d。 大 型的几何综合题跟你们讲过，要步与步之间逻辑给大家关联一下，所以我们可以把这个 b e 换成 e d， 于是就得到了 a e 比去 e d 等于 a， e 比去 e d。 这边又是一对母子相似，它将会等于 a i 比去 a d， a d 呢，也是等边三角形边长的一半，所以跟这个 n 是 一样的，我们可以标上 n， 从而证明了 a i 等于 m， 那 么 m i 呢，就可以用 n 减 m 来表示，因为这个 m 是 终点嘛。 接下来可以用这对八字形相似啊，也叫 x 形相似。 i 这个交叉地方构建出一个等式， m 比去 n 等于 n 减 m 比去 m， 接下来交叉相乘参数换算一下即可求出这对比例，所以说特别简单，也不需要做任何的辅助线。最关键的是要用啊，我教大家的这种 几何标记法。只不过这种压轴题呢，更加重视综合的标记能力，既要重视到角度，也要重视到边之间的关系，相互之间是形成了一个整体好，因为在相似当中，角跟边的关系是非常密切的，通过等角找到相似，再切换相似笔， 这也是相似等比代换当中的一种压轴。那么在微窗底当中有详细的这块内容的介绍。

闭眼走路为什么会绕圈？这是咱们这一次福州一检数学卷当中备受争议的一道题。通过这道题其实也能够看得出来难度适中，但是命题风向大变， 是选择题基础送分加中档易错的套路。前五题全是单一考点，中心对称、图形方程求根、函数平移，这些记牢就能稳拿分。后五题要紧盯相似面积比可是大坑。二次函数系数要分类讨论，那么像我们的增长率几何题，按照常规思路来，别出新 就行。其次是填空题，前四题聚焦着咱们的基础计算跟定力应用，考的是反比例函数方程圆和扇形的核心计算。这一部分只要打好基础，确保送分题不失分，那么后两题侧重在综 合应用，后者需要掌握的是轨迹分析或者是相似模型，再加上函数求最值的解析思路。整体来讲，这份试卷的难度适中，但命题变化显著。打破固定考点的出题模式，任何知识点都有可能成为考察的重 重点。首要任务是深刻理解知识本质，巩固基础，同时强化知识点的综合应用及实际解题能力。

福州数学易简试卷出来了！听说最后一题难爆了！ 大家觉得今年易简数学难吗？

天下福州初三数学的一检试卷考完，又是一波学生崩溃了，特别是二十四题，超长的阅读材料，让很多同学直呼这是语文卷，这哪里是数学卷，我题目都不想看，来让我们一起看看这一份一检卷哈！视频最后会有完整版的答案解析。 那十道选择题，基础题为主，少量中难题，没有超难的题目。第一题到第七题为基础题，第一题考察中心对称，第二题考察一元二次方程求解，那这两道题都属于送分题。 第三题到第七题，依次考察二次函数的平移概率计算，反比例函数面积问题，相似三角形性质，正六边形的面积计算，都是我们教材上的直接应用。 如果说前面七道题目有扣分的同学，要及时回归到基础的题目复习哈。第八题考察的是圆周角相关问题。第九题考察增值税的实际应用。第十道题属于我们选择题的压轴题，二次函数图像与系数的关系， 整体来说选择题还是很友好的。那第二个填空题，十一到十四题为基础题分解，考察我们的反比例函数待定系数吧。一元二次方程根的定义， 直角三角形外接圆直径问题，三角函数的实际应用。那这四道题都是直接带入公式或结合简单的几何性质求解的，题型计算量非常的小。那十五题统计的推断判断题，属于中等题。 十六题填空压轴题，考察了旋转与动点坠子问题，那题目难度比较大。十七题到二十五题为解答题， 题目区分度非常的明显，中档题为主，压轴题有一定的难度哦，那整个设计逻辑就是基础运算、基础应用综合推理压轴综合，因此这一份试卷它的区分度应该会非常的明显。 十七题到二十题，这四道题属于基础题，十七题解一元，二十方程，十八题相似，比十九题代数推理，二十题圆的简单。几何证明这四道题学生最重要的一定是答题的规范性，步骤的完整性这两点。 二十一到二十三属于中等解答题，二十一题概率统计题，二十二题二次函数见模问题，二十三题几何变化与见模。这些题目涉及的中等计算量及基础的逻辑推理，是试卷的主力得分模块，需要有一定的基础，学生才能完整的拿下这部分分数。 丢分的主要原因为鉴模不熟练，计算失误，几何辅助线添加不及时，失败了。那第二十四题属于这一次试卷的压轴题，很多学生在这里花了很多时间，导致了二十五题的第一小题，第二小题都没时间做 长长的一篇，就像语文的阅读理解，这也是这几年比较常考的创新题型。大家要注意，对于大家数学建模、代数表达式的推导，不等式的应用要求都比较高。那二十五题这一次的几何压轴题， 第一小题难度很低，第二小题大部分平时基础还不错的学生，其实应该是能做出来的，但是由于前面二十四题大家花了太多时间，估计很多同学没时间做了。第三小题比较难，是圆和相似的结合，很多同学估计题目都没看。最后为大家附上答案解析。

哈喽，同学们大家好，欢迎观看助力老师的课堂之初三一减之二次函数压轴题系列，本期视频带你从题干入手，从读题再到画图，再列式再列，答案一气呵成！点赞加关注，我们马上开始！好，首先来看第一题，二次函数的压轴题， 我们直接读题就开始做啊，不需要过多的思考。已知抛物线 y 等于 a， x 平方加 b， x 经过 ab 两点，而 ab 两点的坐标已知，那 a 点是不是应该满足这个方程？所以我们的第一个设置是不是就可以得出，把 a 点的横坐标带进去？横中坐标一是不是应该等于 a 乘以负一的平方，也就是一，然后呢，再加上一个 b， 第二个 b 点带进去四是不就应该等于四？ a 加上二 b？ 由此通过计算，我们就可以知道， a 等于一， b 等于零。所以这个二函数的解析式是不是就变成了 y 等于 a 为一， x 平方就没了？这是第一题。再看到我们的第二题， 第二题说我们有一条直线， y 等于 k， x 加 t， 其中 k 和 t 是 常数， k 不 等于零与抛物线有且只有一个公共点是一撇 c， 那 我们可以大致的把这个抛物线和 e 参数放在一起， 那这个抛物线是 y 等于 x 的 平方，那我们把它画出来就应该是这样，我们把它画出来就行了。 y 等于 k， x 加 t， 它向上还是向下？我不用管它，因为它只有一个焦点是 c c 点， c 点的坐标是一撇 c， 那 由我们画的图，我们就应该知道这个 c 点是不是既在二函数上，又在这个一函数这条直线上，既然它在二函数上，那我们是不是可以把我们 c 点的坐标带入二函数？那我们将 c 一撇 c 带入二函数的解析式， y 等于 x 平方，那我们是不是就可以得出 c 等于一的平方也就等于一？所以我就可以知道 c 点的坐标是一撇一好， c 点的坐标是一撇一。已知以后，现在 c 点又在我们直线 y 等于 k， x 加 t 上，那由此我们就可以得出，把 c 点带入 y 等于 k， x 加 t， 是 不可以得出一等于 k 加上一个 t 好， 得出这个式子以后，那是不是可以得出 t 等于一减 k， 由此 y 等于 k， x 加上一个 t， 是 不是就变成了 k， x 加上一再减 k。 看我们从原来有两个未知的未知的字母变成了只有一个未知的字母，是不是就大大的简化了我们的这个解析式？ 同时要看到现在有了一个公共点， c 点的坐标已经用完，但是题上还有一个条件，有且只有一个公共点，那我们读到这里是不是就应该知道他们有公共点，有焦点就干嘛就连利吗？那我们将一参数 y 等于 k， x 加上一减去 k 与 y 等于 x 平方连立起来，他们只有一个共点，说明是不是只有一个解。那现在这个是指我们整理一下左边和左边相等，右边和右边相等，是不是可以得出 x 平方等于 k， x 加上一，再减去个 k？ 因为它只有一个解，所以我们整理一下 x 平方减去 k， x 减去一，加上 k 等于零，这是一个解，说明德尔塔等于德尔塔， b 平方减四 a， c， b 为负 k， 负 k 的 平方减去四倍的 a， a 为 x 平方的系数一，然后呢，再乘以 c， c 是 负一，加上一个 k， 它就要等于零。好，我们整理得出 k 平方，然后呢，减去一个四 k， 再加上四等于零，由此可知， x 减去哎， k 减去二的平方是不等于零，所以得出 k 等于二， k 等于二。现在我直线的方程是不是就变成了 y 等于二 x， 然后呢，加上一减去一个 k， 也是加上一，减二也是减一的形式。那这样一二题我们是不是就成功的解决了出来？ 好，再看到我们的第三题，第三题，也就是第二个小问，他说将直线 l 向下平移两个单位长度得到 l 一 撇，那 l 一 撇 的解析式我们是不是可以表示出来？读一句，写一个 y 等于二， x 减一，是 l 向下平移两个单位长度左加右减，上加下减，是不直接减二，那所以它就变成了 y 等于二， x 减三，这是 l 一 撇， 然后呢，再读第二句过点。 a 的 直线与抛物线的一个焦点是 d， 那 相当于说这条直线与抛物线交于一个点，是 a 点，负一撇一，一个焦点是 d 点，那 d 点的坐标不知道有焦点，也就是相交相交就怎么 直接连，所以直接将这个 m 这条直线 y 等于 r 减一倍的 x 加上一个 r， 与我二函数 y 等于 x 平方进行连立。连立完以后，是不是可以得出 x 平方等于 r 减一倍的 x 加上 r， 再次整理 x 平方，减去一个 r， 减一倍的 x， 减去 r 等于零。那现在有什么用呢？连立好以后，它有两个焦点，那这两个焦点的横坐标是不就应该是这个方程的解，因为这个方程是关于 x 的 方程。那 x 一 加 x 二， x 一 加上 x 二，是不就应该等于负的 a 分 之 b， a 为一， b 为负的 r 减一，所以负的 a 分 之 b 就 应该是 r 减一， 而这个横坐标，一个坐标是不是 a 点的坐标，一个坐标是不是 d 点的坐标？也就是说 x a 加上 x d 等于 r 减一，而 a 点的横坐标为负一，所以我们带进去负一加上 x d 等于 r 减一，那我就知道 d 点的横坐标是不应该等于 r， 所以由此我们就可以知道 x a 加上 x， d 等于 r 减一，所以 x d 等于 r， 那 x d 等于 r 有 什么用呢？因为我有焦点是地点，所以我选择把地点的坐标表示出来。那所以地点的坐标横坐标为 r， 重坐标为多少？因为地点在抛物线上， 因为 d 点和 a 点是焦点，焦点既在抛物线上，也在直线上，所以我把横坐标为 r 带进去，那重坐标就应该为 r 的 平方， 因为它满足 y 等于 x 平方，也就是重坐标等于横坐标的平方。好，这是 d 点，我已经求了出来。好，这是第二句，我们已经用完，再看第三句。过点 b 的 直线，这条直线与抛物线交于 b 点和 e 点， b 点的坐标是二撇四。用相同的方法是不是可以把 e 点的坐标求出来？所以连力连力， y 等于 s 加二， x 减去二， s 与 y 等于 x 平方。 老师直接整理了哈，所以 x 平方减去一个 s 加二倍的 x 加上二， s 等于零，同理可得。那 这这个等式算出来的是不是应该是 b 点和 e 点的 x 坐标？也就是说 x， b 加上 x， e 就 应该要等于负的 a 分 之 b， 也就是 s 加二。由于 b 点的横坐标为二，所以 e 点的横坐标是不是应该为 s？ 所以 我可以得出 e 点的横坐标为 s。 重坐标呢？ e 点同样在抛物线上，所以 e 点的重坐标为 s 的 平方， s 平方。好，这样我们的这一句话也已经用完了，你看我们压根就没有怎么思考，就是他说了什么有相交，我们就列个等式，把相应的坐标给它求出来。再看。当直线 m n 的 焦点 p 在 定直线上时，好，直线 m n 的 焦点， 现在我是不是就需要 p 点 m 点的 m， 直线的解析式是它， n 直线的解析式是它。那我把它们连立，是不是就可以求出 p 点的坐标？那我们连立出来， y 等于 r 减一倍的 x 加上 r 与 y 等于 s 加二倍的 x 减去二 s 进行连立，是不是就可以求出 p 点的坐标？那我们来求一下，我们放到上边来。 既然它们俩相等，说明左边是 y 和 y， 右边 r 减一倍的 x 加上 r， 是 不是就应该等于 s 加二倍的 x 减去个二 s， 那 我们把有 x 的 放在一边，没有 x 的 放到一边， 那有 x 的 放到一边，是不是就是 r 减一倍的 x 减去 s 加二倍的 x 等于负二 s 减去一个 r。 好，得出这个以后以后再整理一下。所以就是 r 减 s 减去三倍的 x 等于负的二 s 减去八。所以我的 x 是 不是应该等于 r 减 s 减去三分之负二 s 减去八。我们分子分母同时给它乘一个负一，是不是得出二 s 加上 r， 除一个 s 减去 r， 再加上一个三。好，现在我们就可以把 p 点的横坐标写出来， s 减 r 加上三分之二 s 加上一个 r， 这是 p 点的横坐标，那我们还需要谁呢？我们还需要 p 点的纵坐标，由于它的横坐标，已知纵坐标怎么办呢？ 那重坐标是不是把横坐标 x 任意的带到其中一个人里边去？比如说我们带到第一个，那 y 是 不是应该等于 r 减一去乘一个 s 减 r 加上三分之二 s 加上 r， 再加一个 r， 那 y 是 不是就可以直接解出来？我们通一个分就行了，是不是就变成了 s 减 r 加上三分之 r 减一去乘一个二， s 加上 r， 而后边这个 r 我 们是可以给它乘一个 s 减 r 加上三，再除一个 s 减 r 加上三。 那现在我们把这个式子整理一下， s 减 r 加上三分之二 r， s 加上 r 平方减去二， s 减去 r， s 减去 r 平方，再加上三 r， 那 我们消一下 负 r 平方， r 平方消掉，所以我们整理为， s 减 r 加上三分之三倍的 r， s 减去一个二 s 再加上一个二 r。 好，得出这样的设置， s 减 r 加上三分之三倍的 r， s 减去二， s 加上一个二 r。 好， 看似很复杂，好，看似很复杂， 实际待会我们来看得出了这个以后，那我们把这个擦掉，这句话已经用完了。好，现在是我们读题读出的这些信息， 试探求直线 d， e 是 否过定点，由于题上告诉我们 p 点在定直线 l 一 撇上，那 p 点是不是就应该要满足 l 一 撇这个解析式，所以我们把它代入就可以得出， s 减 r 加三 分之三倍的 r， s 减去二 s 加上一个二 r 就 应该等于二倍的 x 也是二去乘以个 s 减 r 加上三 分之二 s 加上 r 再减去一个三的形式好，得出它以后，我们是不是可以方程的两边同时乘以这样一个分母？是不是可以得出？ 老师把它写到上面，三倍的 r， s 减去二 s 加上二 r 等于四 s 加上二 r 减去三，乘以它是不是三 s 加上三 r 再减去一个九的形式好，得出它以后，那我们来削一下， 那现在我们如果消一下，是吧得到三倍的 r s， 然后呢？这里是 一个 s， 那 一个 s 减过来是减去三倍的 s， 然后呢？这里是减去一个三 r 再加上一个九，是不是就应该等于零？好，得出这个以后，是不是可以得出三倍的同时除以一个三吗？ r s 是 不是就应该等于 s 加上 r 再减去个三的形式好，由此可以得出， r s 等于 s 加上 r 再减去一个三。好，现在我们又做了一步，也是通过这一句话再用了一步探求 d e 是 否过定点，那要求 d e， 那 么已知 d 点的坐标是 r 撇 r 平方， e 点的坐标呢？是 s 撇 s 的 平方。那我们是不是可以把 d e 的 解析式给它表示出来？那 d e 的 解析式表示出来为多少呢？ y 减去 r 的 平方等于 k， k 是 s 平方，减去 r 平方，再除以 s 减 r 倍的 x 减去个 r， 你 可以用代练习算法来解哈，这个不难，所以就可以得出， y 减去 r 平方等于那上边 s 平方减 r 平方，是不是写成 s 加加乘以个 s 减 r， 也就是 s 加 r， 再乘一个 x 减啊？那我们把它展开，是不是就可以得到 y 等于 s， x 减去 s r， 然后呢？再加上一个？哎， 那我们是不是就可以得到 y 等于 s 加 r 倍的 x， 然后呢？减去 r s 减去 r 的 平方，再减去 r 的 平方， 再加上 r 的 平方，那后边刚好消掉，所以 y 等于 s 加上 r 倍的 x 减去 r s。 好， 得出这个以后，那我们要看喽，这里是 s 加 r， 而这里呢是 r s， 那 怎么办？那是不是这里再把它转化一下？那我们是不是可以得出 s 加上 r 等于 r s 加上一个三？ 那我们把 s 加用 rs 加三代替一下，是不是就 y 等于 rs 加上三倍的 x， 再减去个 rs？ 由于要过定点，那要过定点就要和谁无关呢？是不是就应该需要和 rs 没有关系？比如说无论你的 rs 等于多少，哦，我 照样过这个点，所以我们可以把这个式子进行整理。 y 等于什么呢？ r s 倍的 x 加上三 x， 再减去 r s， 那 我们把有 r s 的 项放在一起， 是不是就可以变成 x 减一倍的 r s 再加上三 x 的 形式？那我们来看一下这个式子要想过定点，它变过哪个点呢？既然要和 r s 无关，那只需要让 r s 前边乘的数是零是不是就可以了？因为如果它前边乘的是零的话，无论你 r s 怎么变，它是，这 这个式子是不是始终为零，对我的式子就毫无影响？所以当我的 x 减一等于零，也就是 x 等于一时， 如果我的 x 等于一，这个式子是不是就变成了 y 等于零，乘以 r s， 再加上三的形式？也是说 y 等于三，也就是说，只要我的 x 等于一， y 一定等于三，所以它必固定列，一撇三， 一撇三。所以我们这样就把我们的这三个小题全部解完。那我们来看一下整体复盘一下，整体复盘一下。 第一题，由于抛物线经过了 a 点和 b 点，所以将 a 点和 b 点带入这个抛物线，求出 a 和 b 的 值，得出抛物线的解析式。 第二题，他说直线与抛物线有且只有一个公共点， c 点，由于 c 点是他们的公共点，所以 c 点在抛物线上，所以把 c 点带入解析式，可以求出 c 点的纵坐标为一， 得出 c 点的中坐标以后， c 点呢，既在抛物线上，它也在这一条直线上，因为它是公共点，所以把 c 点带入直线，把 k 和 t 的 关系表示出来，用 k 表示出 t。 然后呢，由于此时有一个公共点，所以 有焦点嘛，就连立，与抛物线连立以后，得它等于零，解出 k 为二，得出直线 l 的 方程。那第二题的第一个小问看似很复杂，实则很简单，为什么？ 读一句写一句，将直线向下平移两个单位长度，那向下平移两个单位长度？将抛物将直线的解析式减二，得出 l 一 撇， 得出 l 一 撇以后，读第二句过点。 a 的 直线与抛物线的另一个焦点是 d， 有 焦点就连立，所以将直线与抛物线连立得出，整理以后，整理为一个一元二次方程。由于这个一元二次方程的两个解是 x， 而 x 就是 这两个焦点的横坐标， 所以利用韦达 x 一 加 x 二等于负的 a 分 之 b， 可以 得出 x a 加 x， d 等于 r 减一，求出地点的横坐标。求出地点横坐标以后，由于地点在抛物线上，所以地点横坐标为 r， 那 y 等于 r 的 平方，所以得出纵坐标为 r 平方，同理可得。 最后第三句，过这个点的直线与抛物线的另一个焦点是 e， 那 得出 e 点的坐标是 s p s 平方。继续读，当直线 m n 的 焦点 p 在 定直线上时，有焦点， 有焦点连力连力直线 m 和直线 n， 得出 p 点的坐标。虽然说计算复杂，但是实际上思路很清晰哈。得出 p 点坐标。由于 p 点在 l 撇上，所以把 p 点带入 l 一 撇，也就是 这个 y 等于二 x 减三上，得出下边这个式子。得出这个式子以后， 得出我们的 r s 等于 s 加 r 减去一个三。好，得出这个以后，它让我们去探求直线 d e 是 否过定点，那怎么办？ d 点坐标 r p r 平方， e 点坐标 s p s 平方。然后呢？把 d e 的 利用代练习数法，把 d e 的 解释表示出来，那我们表示出来它是 y 等于 s 加 r 倍的 x 减去 r s， 那 得出它以后。这里很关键， 得出了它以后，由于我们已知的是 r s 等于 s 加减三，所以我可以把它变成 s 加 r 等于 r， s 加三，那 s 加 r， 就 直接用 r s 加三来替代。那替代好以后，那这个是指它说是否过定点过定点，也就是说要与这个 r s 无关，就是无论你的 r s 取多少，它都得过这个点，所以就要让 r s 的 系数为零，所以我们把它整理为这个形式， 就是 x 减一乘以 r x 加上三 x 的 形式。现在我让 r x 的 系数为零，那 x 减一等于零，说明 x 等于一。如果 x 等于一，那 y 是 不就应该等于零乘以零加上三乘一，也就是三，所以它必过定点一撇三。 好，这是我们的这个题，那大家可以看到，我们是不是通过读题就把这道题给解了出来，也就是二三数，它其实难在计算，它不是难在啊，每个犄角旮旯的地方。嗯， 所以我不知道啊，同学们听到听完这一题以后，有没有什么感悟呢？好，然后我们再看一道题，已知 零撇负一。在二函数 y 等于 x 减 m 的 平方加 n 的 图像上，他说要求 n 关于 m 的 函数关系式还是一样的，因为这个点在二函数上，所以把这个点代入，是不是可以得出负一等于 零减 m 的 平方加上一个 n， 那 由此我就可以得出，负一等于 m 平方加 n， 那 要得出 n 关于 m 的 函数关系式，那说明 n 是 不应该等于负 m 平方减一。这是第一题，简单吧。好，再看第二题。第二题要求 m 加 n 的 最大值， 看一下 m 加上 n， 他 要求他的最大值。怎么办呢？要注意了，我的第一题要让你求函数关系式，那第二题大概率就需要用到第一题所求的东西，那所以我们选择把它变换，那 m 加上 n， n 是 不是就写成负 m 平方减一， 对吧？那此时他是不是就变成了负 m 平方加上 m 再减一的形式？那这个式子是不是可以看作一个 二函数？哎，或者说，你可以，哎，或者说你可以把它那个配方嘛，是不是就写成负的 m 平方加上 m， 然后呢？加一个四分之一， 由于前面有个符号，所以我再给他减一个四分之一，原式不变。那此时是不是就变成了负的 m 加上二分之一括起来的平方减去四分之五，那它的最大值是不是？当 m 等于负二分之一时，是不是最大？ m 加 n 的 最大值 是不是就应该等于负的四分之五？好，这是我们的第二题，那我们说男的一般都在第三题，所以我们来看一下第三题，老师把第二题擦了哈。第一题老师不知道会不会用得到他， 但是大概率需要用到，为什么？因为他可以让我们的整个式子变得更加的简单。第三题，设直线 y 等于 t 与抛物线 y 等于这么多，交于 ab 两点，那看一下，读到这画图， 画图我们这个抛物线 y 一， 很明显它的对称轴是 x 等于 m， 然后呢，大概是这样的， n 大 于零，小于零无所谓啊，因为我们只是画一个草图， y 等于 t 是 不是应该是一条水平的直线？我们假设它在这就是 y 等于 t， 因为它告诉我们 t 大 于 n， 那 因为这个点是不是应该是 m p， n 也是顶点的位置，那也是说 y 等于 t 在 他的上方，是吧？他说交于一个点是 a 点，一个点是 b 点，那我们要得出 ab 两点 以后要干嘛呢？啊？可以先把结论瞄一下他让我们求证 ab 的 长度是 c d 长度的两倍，那我们来看一下 ab 的 长度可以怎么求呢？ 那 ab 的 长度是不是就可以写成 x a 减去 x b 的 绝对值的形式，但是这样好不好求呢？嗯，不好求。那如果我能把 a x a 减去 x、 b 的 长度求出来，那同时呢，把 c、 d 的 长度求出来？也是，如果我能把 ab 的 长度求出来，和 c、 d 的 长度求出来，验证它们是不是二倍关系，那这个问题是不是就简单了？好，还是一样的老问题， 我们既然交于 ab 两点啊，什么都不管，先连立，也就是说， y 等于 x 减 m 的 平方加上 n 与抛物线， 抛物线与 y 等于 t 连立，那此时我就可以得到 x 减 m 的 平方加上一个 n 等于 t， 我们把它展开，是不是可以得出 m x 平方减去二 m x， 然后呢，加上 m 平方，加上 n 减去 t 等于零。现在它有两个焦点，一个焦点是 a 点，一个焦点是 b 点。根据尾答， x 一 加 x 二，那也就是 x a 加上 x b 是 不应该等于负的， a 分 之 b 也是二 m， 同时呢， x a 乘一个 x， b 是 不是应该等于 a 分 之 c， 也就是 m 平方加上 n 减去一个 t， 我 们先把它甩在这，因为我们现在还不知道该怎么样去使用它。再看第二个题，他说 与抛物线这个交于 c、 d 两点，那还是一样的。 y 等于 t， 与另外一个抛物线交于 c、 d 两点，那我们是不是仍然连立连立起来，不管它？ y 等于四倍的 x 减 h 的 平方加上 n 与 y 等于 t 进行一次连立。 连立以后，四倍的 x 减 h 的 平方加上 n， 就 应该要等于 t 展开，也就得到四 x 的 平方 减去八 h 倍的 x， 加上四 h 平方，加上一个 n， 减去个 t 等于零。那此时由于焦点是 c 和 d， 所以 c、 d 两点的横坐标 x c 加上 x d 就 应该等于负的 a 分 之 b 是 不是就应该等于二倍的 h， 而 x c 乘以个 x d 是 不是就应该等于四分之四 h 的 平方加上一个 n， 再减去个 t？ 好， 得出这个以后，我们把这些擦了。 这个画图只是便于我们理解，他要让我们去证明 ab 等于二倍的 cd， 但是 ab 有 多长我不清楚，因为我的 ab 是 不应该等于的是 x a 减去 x b 的 绝对值，而我的 cd 是 不是应该等于 x c 减去 x d 的 绝对值？因为我不知道 c 和 d 哪个在左边，哪个是在右边，谁大谁小我不清楚，那我直接去求他们，是不是要需要讨论非常多啊？ 由于 a、 b 是 线段，它一定是一个正数， c d 也是线段，它必然也是一个正数，那正数嘛，我就给它平方，要让我证明 a、 b 等于二倍的 c、 d， 也就是要让我证明 a、 b 的 平方是不是等于四倍 c、 d 的 平方，我证明这个就行了，所以我把它平方一下。 所以我是不是可以得到 ab 的 平方就应该等于 x a 减去 x b 的 平方，那 x a 减去 x b 的 平方，我要求它，但是我知道的只有 x a 加 x b 和 x a 乘以 x b， 那 此事怎么办呢？ 好，那我们可以看一下我们以前学的 a 加 b 的 平方等于 a 平方，加上二 a b 再加上 b 平方，而 a 减 b 的 平方是不等于 a 平方，减去二 a b， 然后呢，再加上一个 b 平方，那很明显，我们可以看出来的是， a 加 b 的 平方 减去 a 减 b 的 平方是不是恰好等于四 a b？ 也就是说 a 减 b 的 平方是不是就应该等于 a 加 b 的 平方减去一个四 a b？ 那 由这个信息我们是不是就知道 x a 减 x b 的 平方是不是就写成 x a 加上 x b 的 平方，减去一个四倍的 x a x b， 对吧？那 x a 加 x b， 我 们已知 x a 乘以 x b， 我 们也表示了出来，那我们是不是可以把它整理出来了？那我们整理一下， x a 加 x b， 用二 m 来替代，也就是四 m 的 平方，减去四倍的 x a 乘以 x b， 也是四倍的 m 平方，加上一个 n， 再减去一个 t， 那 它就等于什么呢？它是不是就等于四 t 减四 n？ 所以 这是第一个式子，老师把这边擦掉哈。 然后这样 ab 平方就已经表示了出来。而我的 c d 平方是不是就应该等于 x c 减去 x d 的 平方？用同样的方法，它是不是可以写成 x c 加上 x d 的 平方，减去四倍的 x c， 再乘以 x d， 而 x c 加 x d 是 不是等于二 h， 所以 它等于四 h 的 平方，减去四倍的 x c 乘以 x d， 而 x c 乘以 x d 等于这么多，那也是减去四 h 的 平方，减去 n， 再加上一个 t， 所以它等于 t 减去一个 n， 那 ab 的 平方等于四 t 减四 n， 而 cd 的 平方等于 t 减 n。 而且题上告诉了我们， t 大 圆说明它是一个正数，那我们是不是就可以知道 ab 的 平方应该等于四倍 cd 的 平方， 对吧？ ab 平方等于四倍 cd 平方，由于它是线段，所以 ab 一定等于二倍的 cd， 是 不就可以得正？那看一下我们是不是在读题的过程中就把这道题给解了出来，那当然以后去遇到还有那种什么啊， 与相似相关的，与圆相关的，其实也大差不差。那那个过程中可能就填几条平行线或者垂直于 y 轴的垂线啊，就可以把它解出来。那我们下一个视频再讲与几何，也就是与相似相关的一些题型。 那我们常说，要想数学考得好，点赞关注少不了，赶紧关注助理老师，我们下期视频再见。

好，那我们接下来来看一下二十三题哈，二十三题是一个作图体啊。来，三角形 a、 b、 c 中 a 道是中线，将三角形绕 a 点，顺时针。好，顺时针一定是往这边去转的哈， 啊，不会说往上面去转的哈。好， e 的 对点是 b， d 的 对点是 g， g 恰好落在 b、 c 是 c、 b 的 延长线上啊，然后做出这个 a、 e、 f。 好， 那 c、 d 点的对应点 g 恰好落在 b、 c 上面，那我是不是就可以什么呢？这个 g 点肯定可以先画出来，是不是先把 b、 c 延长出来？好，正，差在 a 点的位置，我们把 a 档弧划过来。好，那这个点就是 g 点了。第一个 g 点是不是就可以先确定下来？ 好，这点确定下来之后，好，那呃， e 跟 f 应该怎么确定呢？好，既然这是三角形的旋转哈，那三角形旋转前后是全等的， 那 abc 是 全等于 aef， 但是呢，这里的我的这个 e 跟 f 没办法确定，所以我没办法一次性同时确定 e 点跟 f 点到底在哪里，对吧？ 好，但是呢， a、 d、 c 哈， a、 d、 c 是 不是在这个三角形 a、 b、 c 里头？那我旋转 a、 b、 c 是 不是也相当于把 a、 d、 c 一 起旋转了， 对吧？那我旋转出来的三角形 a、 g、 f 是 不是就全等于 a、 d、 c？ 好，所以这一题我们应该去画全等的三角形啊。 agf， 它是全等 adc， 那 全等怎么画？针插在 a 点的位置，我们画一下 ac 的 弧有多长？好，以弧画过来，大概一下弧大概这个位置哈，然后针插在 d 点的位置，我们画两下弧有多长？ 当当 c 的 弧有多长？好，正，插回来地点位置。好，大概弧画一下哈。我只能大概一下啊，因为我们这里一般里头没有圆规。好，那 f 点大概是这里，对吧？然后我们连接起来， 连接起来。好，那 g、 f， g、 f， 我 们连接起来，并且再延长出去哈。延长出去，那 那个 e 点一定在这条延长线上，对吧？好，那 g 是 g， 是 d， 是 bc 的 终点，那同理， g 也就是 e、 f 的 终点。好，那终点怎么确定？好？针插在 g 的 位置，我们量一下 g， f 有 多长。好，移过来画一下，把这个弧大概画出来， e 点就确定出来了。好，这时候连接起来。 好， a， e、 f 就 全等于 abc， 这就是啊，最后旋转出来作图。好，那我把最后的图给你们展示一下哈。 那这里是有两种做法啊。题目表达是给了两种做法，该表达给两种做法，那我的做法就是第二种做法。第二种做法， 第一种，他的这个做法是干什么呢？是做了脚，等他做了一个，他是 g 点，先确定下来，然后做了一个 a， 做了一个 agf 的 角，等于 a 当 c 的 角，再做了一个 gaf 的 g， eag 的 角，等于 b， a 当这个角， 然后然后再去取相等的线段。湖画的比较多一点，所以第二种做法的话，是比较推荐的做法，也是比较简单的做法。好。好，那我们第二问， 第二问的话，他是在一的条件下连接一 b， e、 f 哈，所以这里哈，就算你第一题做图，题是做不出来的，但是你也要按照题目要求 把这个图哈，你用尺子去量也好，去给它，呃，也要去给它做出来哈，不然的话，你接下来第二问是没办法进行下去的。 好，第二问， e、 b、 f 等于九十度，求证 abc 的 度大小，度数？好，那人家这个一看是不是说是，哎，九十度，对吧？好，那九十度怎么正好？那我们先看一下哈， ag 等于 ag 是 中线嘛，对吧？它是 a 档转过来 c， ag 等于 a 档， 还有它这个 a， g、 d 是 个等腰三角形，对吧？它是个等腰三角形，那等腰三角形是不是三线合一，我来证明它是角平分线，或者证明啊， g b 等于 g d 就 可以证明 ab 是 垂直 g d 的， 我们用上等腰三角形的三线合一， 是不是可以这样？那要不然我就直接去证全等 a， g b 好， 全等于 ab 道也是可以的。好，那这一题的话，用上这个九十度怎么用哈？九十度，现在它是九十度，这个 g 点啊，是不是这里的 e f 的 什么？是不是 e f 的 终点，对吧？ 它是不是 e、 f 的 终点，对吧？因为它的对应点是 d， d 是 bc 的 终点，对吧？那所以 g 就是 e、 f 的 终点？好，既然它是 e、 f 终点，好，这两这，那我们用斜边的中线等于斜边的一半，我们可以得到这三段是相等的， 对吧？这三段都是相等的。好，那 ef 又是 bc 转过来的 b， 当的话，它是二分之一的 bc， 对 不对？ b， 当它是二分之一的 bc， 那 我们是不是可以等量转化为 b？ 当，是不是等于 gb， 对吧？所以这个等腰三角形是不是可以得到的？ g b 等于 b 档，它是不是相当于 ab 是 g 档的中线，是吧？好，那是不是就可以到垂直？ 好，如果有的同学如果没有想到呃，等腰三角形三线合一的这个情况，我们也可以去证全等，用 a g b 全等于 a b a 当 b s s 证全等也是可以的哈，那过程稍微写一下哈。来，第一个。第二，问， 这个是因为是旋转吗？所以我们就说因为三角形 a， e、 f 由三角形 abc 旋转而来 啊，旋转而来，所以这两个三角形是全等的哈，就算不会写哈，不会写接下来的步骤哈什么的，那这个最基本的一个旋转过后的性质肯定是要知道的哈， 好，旋转过来，旋转过后完，那是不是可以得到啊？对，旋转旋转的三角形全等，那对应边相等。好，那我们这里肯定要用到的是 e、 f 等于 bc 嘛？这两个肯定要用到， e， f 等于 bc。 好， e， f 等于 b， c 就 很好，这是 a 档来说的， a 档是 a 档，为三角形 a、 b、 c 的 中线，并且呢，并且呢， g、 d 的 对应点为 g， 哈， 为 g， 那 说明什么呢？所以 g g 也为既，为什么呢？既为 e、 f 的 终点嘛？因为它是中线，所以它是终点啊。 然后呢？呃，我还得用上。刚才我们是不是要用到 b 当等于 g， b， b 当是等于二分之一 bc 的， 所以这里的 b 当等于二分之一的 bc， 我 们这里要用上，所以先写出来。好，那这时候因为什么？既然它是中点， 好，既然它是中点，那三角形角，因为这个是中点哈，因为 b， e， b、 f， 它是九十度，这个又是中点， 对吧？所以我们可以得到。呃，直角三角形斜边的中线，也就是 b f 斜边的中线等于斜边的一半，对吧？ 那斜边的中线等于斜边的一半。好，既然斜边的中线等于斜边的一半，好，就可以得到。所以啊，所以什么呢？所以这里的 b， g 是 不就等于我们的 b 档， 对吧？好，那 ag 等于 a 档。好，我们前面这里漏了，我们这边这边补一下，它对应点为 g， e， f 为中点，这里的是 ag 等于 a 档， 补家就可以了哈，不用再去说明。那好，所以啊，所以 a， 这里的 ab 就 为三角形 a g 杠的中线 好，它又是等腰三角形，对吧？它又是等腰三角形好，所以 ab 就 垂直于 g， d 嘛，对吧？那所以角， 所以角 abc 就 等于九十度？好，那这题就正完了。如果不知道三线合一的地方就是这个里， 在这个地方可能不不太清楚的话，我们就可以转化成，或者就去算什么正三角形。 a， g， b 全等于三角形 a 当 b 哈， a 当 b 用 s， s， s 可以 去证明他们两个全等，全等的话也可以得到角 a， b 当等于角 a， b， g 啊，因为他们在一条延长线上，所以等于九十度也是可以证明出来的哈，好。

好，今天我们来讲解福州市今年的一检数学试卷，我会通过这次一前考的知识点来拓展到中考我们应该要注意的哪些知识点哈？好，比如说我们第一题， 第一题很简单哈，是一个中心对称图形的选择，那中心对称图形的要点就是什么？就是旋转一百八十度， 还能够跟原来重合，所以这一题 a、 b、 c、 d 中选的是四 d 选项哈，那中考的时候会在这个这道题里头可能会加一个轴对称图形进行一个选择。好， 第二题，第二题分方程 x 平方减二， x 等于零的解，那这里也是考了一个解方程和解一元二次方程。一元二次方程，这里可以利用一个音式分解法题，都提取一个共因子 x 出来， 那可以得到 x 乘以 x 减二等于零。好，那零乘任何数都等于零，对吧？所以我们可以得到 x 等于零，或者 x 减二等于零， 所以要不然 x 一 等于零，要不然 x 二等于二，哈，所以选的是是 c 选项。第三题，将二次函数 y 等于 x 平方向上平移一个单位哈，然后问的是顶点的坐标是多少，那这一题他考察的是一个二次函数的变化问题， 图像变化问题，那 y 等于 x 平方，它是最简单的，是我们最简单的一个二次函数哈，它的顶点是零撇零。好，那将图像平移一个，向上平移一个单位，也就是将零撇零向上平移一个单位，对吧？所以这时候就变成了零撇一，对吧，所以选的是 b 选项， 那这里地方关于函数的变化问题，我们经常会考到一个口诀，就是上加下减， 左加右减，我考到一个这样子的一个口诀啊，这是平移的口诀。 好，第四题啊，考的是一个概率问题啊，他这里问的是扔骰子概率最小的事件，那 a 上面一个点数是偶数，那偶数有三种，二四、六，对吧？好。 b 上面一个点数大于四，大于四的话，那有两种，一个是五，一个是六。 好。 c 向上一个点数是质数，那质数的话是二三五啊。 三个，那 d 向上一个面点数是一啊，既然是一，那是不是只有一这种情况，所以它的概率就是六分之一哈，那它这也就是最小的，所以选的是四 d 选项。 好，第五题，第五题考的是一个反比例的 k 值的几何意义问题啊。啊，任何一个点，如果在这个反比例上面，比如说像这个 o、 p、 q， 它在这个反比例上面，那这个三角形的面积就等于二分之 k 的 绝对值。 好，那如果是矩形哈，我们会考两种，一种就是长方，一个就是三角形，一个就是矩形哈，如果是矩形，比如说这里给他个点 o q p m， 那 这个矩形的面积就等于 k 的 绝对值， 所以这题它的 k 值是等于二的，我们套公是二分之二，所以就选的是一哈，选的是 b 选项。 好，再往下看第六题，第六题用放大镜观察一个三角形哈，那这个三角形只是被我放大，放大了，放大了。那所以他考的是什么？是相似，那将放大到原来的三倍，所以我们可以知道一个就是相似比， 这里要相似比是不就是一比三，对吧？相似比是一比三，题目问的是什么？题目问的是面积的比值是多少，那面积的比值是相似比的平方，对吧？ 我们记的公式定义就是相似比是面积的啊，面积比是相似比的平方，所以一比三就变成了一比九，所以比值就是当哈 选九。哈，好，第七题，第七题考察的是什么呢？考察的是一个正多边形与圆的问题。哈，他这里给了一个正六边形，它的半径是二，问它的面积是多少？好，那我们来看这个图 啊，正多边形与圆的一个。首先他第一个会考的一个就是中心角的问题。好，中心角哈，中心角度数三六零除以 n， 这个是我们的中心角。 好，所以这一题它是六边形，所以三六零除以 n， 这里的角 a o b 就 等于三六零除以六就等于六十度。 好，六十度的话，那半径都是二，对吧？ o a、 o b 都是二，那所以这个 a b o 是 不是一个等边三角形，所以 a b 的 也是二，好，那这个角是六十度， 好，当我们求一个，呃，正多边形面积的时候，我们会切出 n 个像图里头的这样的三角形，那我是不是只要求其中一个三角形的面积，再乘以 n 就 可以得到整个正多边形的面积？所以这一题的话，我要求 a o b 的 面积，我就去做一个垂直下来， 想要先求 aob 面做一个垂直，好，那这个是点是 c， 那 这时候三角形的面积，这个三角形 aob 的 面积是不是二分之一底乘高呢？底是二，高什么呢？我们可以用一比根号三比二， 或者我们直接勾股定律都可以哈，啊，可以算出来 o c 的 长，它就是什么？就是根号三，所以二分之一乘以二，乘以根号三，就等于根号三。那一个三角形的面积是不是有六个这样的三角形？ 正六边形，哈，正六边，那是不是就等于六倍的三角形？ a、 o b 的 面积？好，那就等于六倍根号三，所以选的是我们的 c 选项。 那这个问题哈，我们去年在前两年的中考题是，其实有考过的，当时考的一个什么，当时考了个是正十二边形，哈， 当时是考的个正十二边形。正十二边形，我们利用这一道题哈，算出中心角三六零除以 n 啊，除以十二， 相当于是说，所以等于三十度。所以我们可以知道正十二边形有十二个顶角为三十度的等腰三角形。好，画一个三角形出来， 顶角是三十度。好，这时候我要求这个正十二边形的面积，是不是我得知道这一个三角形的面积是多少？最后我乘以十二，对吧？好，这时候有的人说了，哈，那求面积二分之一顶角，它又是个等腰三角形，对吧？那我是不是做个垂直下来？ 好，这时候你做了垂直下来，会发现三十度被你切成了十五度和十五度。好，十五度并不是我们所背的特殊角，所以你肯定是不能这样做垂直的。那这时候应该怎么做？我们应该从底角往腰 去做垂直，哈，是这样做垂直。好，那这时候如果假设它的半径也就是这条，这两条腰都是一好三十度，所对直角边是斜的那一半，这条边高是不是就是二分之一？ 所以这一个三角形的面积是不是二分之一乘以啊？底是一，高是二分之一，是不是四分之一？ 好，那所以十二边形哈，十二边形它就等于十二个这样的三角形，对吧？好，那也就十二乘以四也就等于三哈，啊，这是当时十第十题第十题的一个中考的原题哈， 福建中考的原题哈，好，第八题，好，第八题，我们来看一下啊，第八题它考的是什么呢啊？ a、 b、 c、 d 四个点向 p q 射门，好，然后呢？ d 在 圆 c 在 圆圆 o 上， bc 在 圆 o 上哈， a 在 圆外， d 在 圆内。问哪个夹角最大，就是这里问你的，这里的角 a、 角 b， 角 c， 角 d， 哪个角是对最大的值哈，好， 既然这里有四个点在圆上面，对吧？我们来看这个图，那也就说明角 p b q 跟角 p c q， 它们俩都是圆周角，它们俩都相等，比如说，我给他一个词， x 吧，他们俩都是 x， 好，因为什么呢？因为同弧所对的圆周角相等，对吧？好，那 pi， 那 所以 pi 角 b 就 等于角 c， 这时候给你了圆周角，那我是不是会想到圆心角，是吧？圆心角啊，圆心角是不是二 x？ 好， 圆心角是二 x 度，好，那这里我们来看一下角 a 啊，角 a 角 a， 这个角它不是圆周角， 它也不，它不在，它，甚至它都不是，呃，远也不在远内，对吧？那它这个角应该怎样去跟我们的圆周角去比较？那我就取一个点吧，比如说这个点我取下来，比如它是 m， 这时候我连接 m q， 对 吧？好，那这时候它是不是也是同弧所对的同弧所 p 弧 b q 所对的圆周角，所以它是不是也是 x， 对吧？它也是 x， 那 既然它也是个 x， 那 就说明什么呢？角 a， 它是等于什么呢？它可以是等于角 p m q 减去角 m q a 的。 来看一下两内角和等于它不相邻的外角，所以角 a 等于 p m q 减去 m q a 的 角， 那既然 x 减去一个角，那他肯定就是小于 x 了，对吧？所以角 a 一定比 b 跟 c 来的小。好，那角 d 怎么办？ 角 d 怎么看它好不好？突然我把这两条线擦掉，我们来看连接一下角 d 哈，角 d， 它不是圆周角，对吧？好，那我也需要跟他想办法跟 b 跟 c 去比较，那我也得把它放在圆周角里头，看看能不能跟着圆周角怎么样比较。所以我把 b 档延长出来，这时候我们的 q q 这条这个点跟 q 连接，比如看，给他加个点 n 吧，好吧，好，那这时候 n p n q， 它的弧是 p q， 所以 这个角 p n q 是 不是也就等于这个 n 是 不是也就等于 x？ 那 同理，这个角 q 当 p 好，我用三角形两内角和等于它不相邻的外角，它是不是可以等于角 n 加上角 down q n 好， 也就是 x 加上一个角 down q n 好， 既然 x 都也加到一个角了，那它这个角肯定是大于 x 的， 对吧？ 好，那是不是它就是最大的角 b 跟 c 是 相等的， a 比它们俩小 q， 但这个角是比它们俩来的大，所以选的是我们的四 d 选项。哈，好，这里考的是远周角的定力。哈，远周角的定力，好，第九题， 第九题，这第九题考的是什么呢？某市 gdp， 二零二三年 gdp 是 一点三万元。好，间隔了是不是？二零二三 到二零二四是不是间隔了两个周期，这个之前就是我常说的一元二次方程的增长率问题。增长率的问题的话，我们的公最基本的公式哈，最基本的公式就是原来的乘以一加 x 的 平方等于现在的。 好，那这个是适用于什么呢？适用于两次他的增长率是相同的情况下，那这一题他给了一个小陷阱，就是二零二五年的增长率，他是提高了百分之零点五，哈，并不是我们所说的都是 x， 对吧？所以有一年提高，那其中一年是不是乘的是一加 x， 那 另外一年是不是得乘以一加 x， 再加上一个零点五，所以选的是 a 号，所以选的是我们的 a。 好， 我们来看一下第十题。第十题，若二次函数好，给了一个基本的一般式的一个二次函数，它说它的图像经过四个象限， 好，那下面判断一定正确的是他并没有给出任何其他的条件，只是给了一个一般式，让你说什么情况下他会过四个象限，好，那根据二次函数图像问题，我们第一步说就是画草图，对吧？好，草图我们画在边上。好，那这时候， 哎，如果我们要画草图，并不知道他 a 向上向下，对吧？那我们是不是就说分类讨论？好，那我假设 a 如果要向开口要向上， a 大 于零，好，那开口向上的话，那又要经过四个象限， 那我的项，那我的顶点是不是只能，要不然在第三项线，要不然在第四项线，是吧？这样子我往上画，我才能经过四个项线，对吧？所以我们画一下，要不然经过第三项线，大概一下就好了哈，要不然经过第四项，要经过第四项呢？那是不是要这样画了，对吧？ 是不是这么画好，这时候我因为是 a 是 大于零，对吧？ b 的 话，我刚才还是，要不然在第二第三项线，要不然在第四项线，所以我的 b 干嘛？他是不确定的， 左同右异，我是不确定的哈，因为我右左边又可以，右边是不确定。好，那我们的 c 好， 这时候我们看一下 c， c 点是不是都在这个地方， 这时候 c 是 不是可以画出来，它是大于零，它是小于零的，哎，那有人说为什么 c 一定小于，不能大于零吗？好，那如果大于零的话，那我画一个，那我大于零， c 不 在上方，上方，那我画一下， 哎，是不是这样画好，那这样画是不是就没有经过四个象限？因为第三象限我没有经过，是不是？ 所以我们这里一定是经 c 一定要小于零才能经过四个象限，所以这里 a 和 c 它们俩的乘积一定是小于零，所以选的是四 c 啊。第四，第三个 c 选项哈， 但有人说了，如果是开口向下的也一样吗？好，同样的，那开口向下，我们也换一个吧，来，开口向下， 开口向下，他要经过四个象限，对吧？那要不然他的开，要不然零点在第二象限，要不然在第一象限， 是不是？好，那也是，那我要不然就是这么画吗？那肯定是这么要过四个象限，那我是不要跨过，他这样过来还要先，那这边，这边的话，我是不是也要跨过这里划下来， 那同样的，我这里是 a 小 于零， b 一 样哈，我左右不确定，我要不然在第二象限，要不然在第一象限是 b， 不 确定好 c 是 不是同样的，这里 c 是 在这个位置， 两个 c 差不多都快，我画的时候刚好重合了哈。那 c 是 不是大于零？所以两种情况画下来都是 a 乘以 c 大 于零，它们两个是一号，所以选的是四 c 选项。好啊，三 c 选项啊。 ok， 好。

呃，各位同学下午好，那继续往下，翔哥来带大家看一下第十六题，题目给到我们一个四边形 a、 b、 c、 d， 已知条件说 a、 b 平行 c， d， a， b 平行 c， d 的 潜台词就是角 c， 这是一个直角。 那么继续往下，题目给了我们一些线段长度，我们把它标注到图中， a、 b 等于二， bc 等于二， c 段的长度是 m， 那 从而我们可以看出这个 m 它不是一个定点。 题目说 p 是 下方 bc 的 一个动点，在这个 bc 上从 b 往 c 运动，那 bc 就是 它的两端两个运动边界，然后沿顺时针方向旋转九十度，将这个 a p 旋转到了 pe， 那说明这个 ape 它是一个等腰直角三角形，那么说明稍后有可能要利用到这个等腰直角三角形来构造 k 型全等啊，因为它的这个构图很像是一个一线三等角啊，少了一个直角的构图有可能，但不一定。那么再往下，它要我们求什么呢？要我们求如果 pe 与 c 档， pe 在 这， c 档在这，他们的焦点在这个位置，我们把这个焦点取一个名字叫 f 点，也就是说这个 f 点的位置。他说如果总在线段 c 档上，在线段 c 档上的意思就是在 c 点跟蛋点中间的意思，要我们求 这个线段啊， m 的 最小值就是线段 c 档长度的最小值。那么大家来想一件事情，我现在把这个 f 跟蛋的位置来做一个对比，大家看，你这个 f 如果要永远落在 c 档当中，它其实本质上就是要干嘛呢？ 本质上就是要对比 c、 f 跟 c 弹这两条线段的长度。我们假设 c 弹的长度是二， c， f 的 长度是一，那一比二短，这个时候 f 肯定被夹在 c 跟弹的中间， 假如说这个 c f 的 长度啊等于二， c 弹的长度，那等于一个一点九，那么这个反过来的话，就会我们就会发现 f 就 跑到外面去了，这就不行了， 那相比通过这个对比，大家就看懂了，其实他的等价条件就是要满足什么呢？就是要满足 c 档的长度大于 cf 的 长度。假设这两点刚好重合，那应该也是符合题的，所以 c 档要大于等于 cf。 所以 这道题目真正的问题就是要我们求出 c 档大于等于 cf 时，他的一个 最小值，那大家说要求 c 档的最小值，我们是不是就可以先转为去分析 cf 的 长度？那么回到这个图中，怎么研究这个 cf 的 长度呢？通过观察我们可以发现这是个直角，这是个直角，这是一个直角，这天然存在的一组一线三等角的结构，所以在三角形 abp 和三角形 p c f 之中，这本身就存在着一种天然的什么呢？一线三等角所带来的 k 形相似，下一步我就可以利用什么呢？就可以利用对应边乘比例来表示出 c f 的 长度。好，现在这个 ab 的 长度是二， 那我把对应边标成相同的颜色，它的这个对应边 p c 的 长度位置，那我可以先把 b p 的 长度设为 a， 那 么这个 p c 的 长度我就可以设成什么呢？这个 p c 的 长度，我就可以把它表示成二减 a， 因为整段是二，拿走了 a， 剩下二减 a， 而我们要求的这个 c f 的 长度不确定，我就先把它设成 b， 那 么利用对应边乘比例，蓝边比蓝边等于红边比红边，我们先写它的这一个那名字， cf 的 对应边啊，应该是 b p 啊， cf 对 b p 好， 这个 k 型相似的对应边叫啊右对左下，左对右下啊，两组对应边，那么另外一组对应边就是一个 pc 比 ab 等于 pc 比 ab 好， 然后我们把它列出来，就是一个 b 比去啊，比去 a 等于一个 pc， 就是 二减 a 啊，比 ab 就是 比一个二 好。然后我们把这个分母 a 乘到等式的右边去，我们就可以得到 b， 可以 写作是啊，把这个分数我们给它分离陈述一下，就是一减去二分之 a， 再乘一个 a， 再把括号去掉，就是一个负二分之一 a 方啊，再加上一个 a， 如果我们对它配个方，它就可以变成一个负二分之一倍的 a， 减去一的完全平方，括号外面应该是加上一个二分之一。这个计算过程难度不大啊，我这边就不展开说那么细了。 那么接下来我们去分析一下他这个四变量 a 的 取值范围，因为 b p 他 是落在 bc 上的一段，这整条线段长度是二，这个说明 a 的 长度肯定小于二，哪怕重合的话就是等于二，那么从这个地方出发，他的最小值应该是零，所以四变量 a 的 取值范围应该是落在零到啊二之间。 那么说明什么呢？说明它是可以取得对称轴的，对称轴是 a 等于一，因此当 a 等于一时，因为这条抛物线开口向下，那这个函数就有最大值， 这个最大值就是 b 的 最大值啊，它的最大值就是一个二分之一，那么这个最大值就是谁呢？就是这个 c f 长度的最大值，所以 c f 长度的最大值就是一个二分之一， 那它的最大值是二分之一，说明什么呢？我们把这个 bc 这条直线所在直线想象成地面，这就说明 f 点离地面的一个最远距离是二分之一。如果你这段长度永远要被 c 弹包在内的话，那就说明这个 c 弹的长度至少也要比二分之一大一点点， 最少最少也得是跟这个二分之一重合的情况。那么从我们就可以从中看出， c 大 的长度要大于等于二分之一，那说明它的最小值就是谁就是二分之一。所以这道题目最终的答案就是啊，二分之一。