济南九年级数学几何压轴大题

下面我们看一下这个期中九上期末考试的第十五题填空题的这个压轴题啊，这个题目呢，是有一定难度啊。线段 a， b 是 四， c 是 个动点，然后这个 c 呢，角 a c， b 是 个固定角度，九十度点， d 是 bc 的 中点， 然后将 b d 啊绕点 b 旋转六十度角，得到线段 b e 连接 a e， 求 a e 的 最大值。 嗯，这里面呢，首先第一个就是这个角， c 是 一个九十度的定角，这个边是一个长度固定的线段， 所以呢，这个地方可以怎么办呢？哎，可以取 ab 的 中点 o， 然后连接 o c， 只要三角形，斜边的中线，斜边中线等于斜边的一半，斜边中线等于斜边的一半，所以呢，它就是这个长度，是一个固定值。二、 c 是 个动点， 动点呢？结果它到 o 点的距离总是二，从而说明了这一定是一个圆的轨迹，是吧？到定点的距离等于定长啊，定点就是圆心，定长就是半径，半径就是二，所以 c 点的轨迹应该是 这样子，是吧？哎，除去 ab 两点，其他的这个圆上，其他的点都是可以的啊，半径是二，圆心是 o， 这是一个想法啊。另外呢，就是这个是定边，这个是定角啊，定边定角，这就是引圆的一种结构 啊，这个角肯定就是圆周角了，是吧？哎，因为这个定角就是一条弦，结果呢，这个定角是九十度的，九十度的圆周角所对的弦是直径，所以这个就是直径，这样就判断出这个是圆心 啊。这两个方法都可以判断这个点 c 的 轨迹就在一个圆上，下面点 d 是 吧，连接 bc， 相当于取中点就是 d 啊，实际上这是一个瓜豆问题，对吧？嗯， c 是 主动点， d 是 从动点， 相当于 c、 c， b 和 d， b 之间的夹角是固定角。哎，只不过夹角是零度，是特别的夹角是固定角。呃，旋转绕定点，旋转相当于绕点 b， 然后 b、 d 和 b、 c 之比是一比二，有定比，所以典型的刮斗。 呃，刮斗问题。说明 c 的 动点它的轨迹是圆的，说明的动点轨迹也是圆。 那找一下动点的圆心，它的圆心在哪里呢？你要找 c 点的圆心， c 点的圆心在这，那怎么找到的呢？就是连接 b、 c 取中点， 所以找它的圆心也是方。相同的方法就是连接 b 点和这个 c 点所在的圆的圆心也取终点啊。再说一遍，就是怎么找的的圆心 啊？因为的和 c 的 关系是什么关系呢？就是连接 bc， 取得 bc 的 终点的。 那同样的，那就连接这个 b 点，就是它绕着旋转这个点，绕着 b 点，连接 b 点和圆心， o 也取它的中点 啊。假设这个点是 m 吧，那实际上这就是圆心。 嗯，下面我们一连，哎，马上就发现了，因为双中点了，这个是中点，这个是中点，所以这条线就是这个三角形的中位线。三角形中位线等于第三边的一半，这个长度是二，那这个长度就是一。 哎，到这里我们就发现了，它的轨迹已经已经说明了是圆，是吧？因为 m 点是个定点， d 点是个动点到动点的，到定点的距离等于定长，到定点的距离等于定长，所以这不就圆的轨迹吗？以 m 为圆心， e 为半径，所以这个圆就是基本上是这个样子。 下面找到了得的运动轨迹之后，然后继续得点，怎么得到 e 点的呢？绕点 b 旋转六十度角，所以依然是刮斗哈，二次刮斗，嗯，那，那说明 e 点的动点轨迹也是一个圆。 嗯，那他的圆心相同的方法来找啊。主动点，从动点，主动点是得一，从点是一，所以也是绕点 b 旋转六十度角，所以他的这个圆心应该在这个位置。 这个假设是点 n 嘛，连接 n e， 因为这样马上可以证这个三角形和这个三角形是全等的，是吧？因为这个边和这个边六十度角这俩相等，所以这是等边三角形， 那你连接得 e， 那 这也是个等边三角形，手拉手的全等啊。大手大手，小手小手这两个角相等，所以三角形全等之后呢，对应边相等，就能得到 n， e 是 一， 这样我们就得到了 e 点的轨迹，以 n 为圆心，以 e 为半径，这样一个圆。 那找到了一点的运动轨迹就好办了啊。一点，在这样一个圆上运动，圆外一点和这个圆上一点的连线当中，谁是最长的呢？当然是穿心线，一箭穿心连接它和圆心， 所以当点一在这个地方的时候，这个距离有最大值，半径是一，所以你只需要求出 an 来就可以了。 an， 然后向下做垂线就可以做垂线，购物定底算一下，做垂线，嗯，这个长度是假设这个字母是 g 吧， 三线合一，这个长度是二分之一，然后整个的这个是四四减二分之一，所以这块长度就是二分之七啊。 a j 是 二分之七，然后 n j 呢？是二分之根三。勾股定律啊，二分之七的平方再加上二分之根三的平方， 然后就是四分之四十九加上四分之三，那等于根号十三，所以 a n 的 长度是根号十三，所以最大值就是根号十三加一。 好了，这个题呢，这样我们利用瓜豆和引元两个模型就能做出来。嗯，如果你对这两个模型熟悉一些，这个题实际上是思维的难度并不是太大，因为它是有固定模型套路来支持的， 所以这个题呢，出的实际上，嗯，实际上是不够灵活，模型化的思想很重。嗯，但这个题目啊，已经是属于这个卷子当中属于比较难的一个了。啊，好了，这个题目我们就分享到这里。

hello， 大家好，我是钱文老师啊，今天继续给大家来讲一下我们历下区初三期末考试的数学压轴题，我们来一起看一下这套卷子啊。呃，首先这个题目不是很清楚是吧？这个也是在网上拿了一个图片啊，然后不过应该是不影响做题，我们来看一下，先看第十题啊， 他说当 x 大 于负三小于一的时候呢，二次函数的图像与正比列函数的图像有交点，问 c 的 取中范围是多少？哦，行，那这个应该是。哦，好的。 呃，首先呢，大家这个，哎呀，我这个真的影响了他，有的是大于等于，有的是小于是吧？行，行，呃，首先呢，既然是一个含餐的取值范围的问题，所以我们有一个办法就是代数去试，对吧？他说只去代入，我们看能不能快速得到答案。 呃，你在代入的时候尽可能的一个答案能够同时满足两个，你比如说你试一个试一个几呢？试一个四四的话还真不行了，你试一个负三 好，第一个有负三，第二个没有，第三个也没有，第四个也没有。哎呦，是个谁呢？是个零 零有三个有，就是我们在找特殊值的时候我们应该尽可能的就是带入一个能同时满足两个是吧，就能同时至少能帮我们排除掉两个选项吗？就这种，嗯，所以我们需要再仔细观察一下。对，可以试一个 是一个几呢，这是负四到五，这是负三到五，然后负三， 这是负四到负三，这是负一到四。嗨，算了，我就不弄了，就是你要是你就是如果找不到一个能同时排除两个的，那你只能一个一个试啊，你比如试一个好算的， c 等于零，对， c 等于零，如果行的话，那就把 c 排除掉，然后在 ab 的 里面再去挑。 对，那可能你这样子顶多十三次啊，差不多就出来了。对，那这里我们就直接来看一下，如果我们正常分析的话，应该怎么去思考啊？它是一个区间的焦点问题。嗯，区间焦点问题就是在这样一个范围内，我要保证它要有焦点，只要有焦点就行。 那我们先抛开这个范围不看，如果说给你一个二次函数，再给我们一个正比例，也就一次函数，我们要保证它有焦点，那我们应该想到的第一个想法就是连立，知道连立之后的方程等于等于零就可以了。对，所以我们要先做这个事啊，负 x 方减 x 加 c 先等于三 x， 这样呢可以得到 x 方减四 x 啊。 sorry， 加四 x 减 c 是 不是应该等于零？这个方程一定有两个不相等的，或者一定有根，有时数根，所以它的特应该是 b 方十六加四 c 应该要大于等于零，这样四 c 大 于等于十六，负十六 c 的 话应该大于等于负四， 但不代表说不大。零负四的就不行。好吧，就是说对它只是一个要求，它必须是大于零负四的这么一个限制。对，然后我们继续再分析， 他要保证在负三到一之间，现在我们已经保证他有焦点了，但是说这个焦点是不是分布在负三到一之间，这个我们是不确定的。所以我们需要再从负三到一这个范围内，我们再去找，就是再去找其他的一些要求限制啊。那这时候我们有两个办法， 两个办法好，第一个办法呢就是你直接去观察图像，现在前面一个要求我们也找到了啊，第一个图方式呢就是直接去观察图像，这是直接画图像啊。还有一个思路就是刚才讲了，你直接去找他连累之后的这个方程， 连累之后的 x 方加四， x 减 c 等于零。咱刚刚讲这个方程是不是要保证他在当 x 大 于负三，小于负一的时候要有解就行啊？ 有减，那意味着现在你只需要观察一个开口向上的一个图像，在负三和之一之间有交点就行，和 x 轴有交点就可以了。那么它的开口向上对称轴呢？应该是负二，负的二分之 b 对 称轴是负二， 是不像这种。然后我要保证它两个交点呢？这个交点分布在 这里是，比如说是负三这里，比如说是一只要分布在这个之间就行，有就行。对称轴是负二， x 等于负二，那大家想因为它是左右对称的这种效果，左右对称的效果，所以说 它现在这种情况当然是满足的，对不对？然后当它刚好经过这的时候呢，它也是满足的，因为它只要保证有焦点在这个负三到一之间就行， 有焦点在这个之间就行。所以这时候呢，我们应该是可以 观察一下，我们只要保证什么就行了呢？因为现在他不要求说必须有两个不相等的解，只要有解就行，所以说只要和这个线段负三到一这个横线段有焦点就行。那我们就想想什么时候没有焦点，对吧？什么时候没有焦点呢？到这的时候是不是刚好没有焦点？ 这是一个极限的情况，再往下的话，现在都是有焦点的，什么时候又没有焦点了呢？应该是刚好就是现在过这个地方还是有焦点，再往下走的话， 是不是当这个图像来再大一点，当这个图像刚好经过一对零的时候，就没有焦点了？对，所以这样我们相当于是找到两个限制，一个是顶点在这的时候， 一个是过一到零的时候，所以我们只要找到对应的两个 c 值就行了。第一个顶点在这的时候相当于是什么情况？相当于是 单调等于零的时候。对，第一种情况就单调等于零的时候，那这样的话求出来 c 刚好等于负四， 等于负四的时候，现在是不是也是有焦点？然后过一到零的时候，把一带进去，一到零带入，所以这时候呢？ c 刚好等于五的时候。那我们这个 c， 哎，为什么等于五呢？那应该是等于 一带入五，减 c 等于零， c 等于五，是不是等于五？不对啊，他过一到零， 当我们画的这个图像，哦，对，对， c 等于五。哈，因为那个地方是减 c 减 c， 所以 它和 y 轴交点在负半轴啊，没问题，没问题啊，那这时候的话，我们 c 的 曲值来想想小于， 因为他要求的是在这个范围内，但是他没有包含这个负三和一这个端点。对，所以说这时候经过这个一到零，他并不代表和这个这个线段，我们不能取这个端点处，只能是他他俩之间。所以等于五的时候呢？刚好过一到零，那一到零又没有在这个范围内，所以这里呢， c 应该是小于五五对，大于等于的是一个负四。嗯，所以这样也能确定， ok， 感觉第二种思路要比第一种思路要更那个清楚一些，因为我们只需要找焦点就行了。好， ok， 那 再来看一下这个第十五题啊，观察一下，第十五题呢，这是一个等腰三角形。等腰三角形角 a 是 一百二十度，然后呢，两个腰长分别是五，这边是五，这边也是五， 这个顶角是一百二，现在点 d 是 a c 边上的一点，将纸片沿着过点 d 的 直线折叠，让 c 呢，恰好落在 ab 上的点 f 处。我们知道这个角 c 不 就是三十度吗？他落的过来就三十度顶在这来了。嗯，角 b 也是三十度。好，现在 继续啊。现在如果已知 sin b e f 是 三分之根三， sin b e f b e f 这个角 f， 它的正弦值是三分之根三，那么问 af 的 长度是多少？ af 的 长度 af， ok， 那 现在我们可以怎么求呢？这个角如果是三分之根三，那么 想一下啊，现在因为我们这里呢，折叠前后边长相等，边长相等 三十度，得益是折痕哦。首先我们发现一个特点，就是因为我们知道折叠问题啊，它一定会出现一种效果，就是对应点的连线一定会垂直于折痕的，就被折痕垂直平分的。 所以当我们这个三十度折上去之后呢，这个 e f 这条线，它肯定是垂直于得 e 的， 对吧？这个肯定是有的，好，垂直于 d e， 但并不代表这个地方是一个 等腰或者菱形。没有啊，只是一个垂直平分线，得 e 是 垂直平分线，那这两条边长相等，我想求 a f， 嗯， 那我们可以这样，我如果能够把 b f 求出来，我五减掉 b f 是 不是就是 a f 了？对，那有没有可能把 b f 解出来呢？ 因为现在我们知道的信息是 f 的 正弦值三个函数，知道三十度的三个函数，我们也知道它们这个边长之间还有关系，折叠吗？前后边长相等。好，那这时候我们可以确定一个思路， 就是减三角形。因为我们讲如果一个三角形两边一角或两角一边已知，那这个三角形的剩下的那些边和角的信息我们都是可以求出来的。而像这个图中呢，虽然我们这个蓝色三角形的边长不知道，但是这两个角的三个函数是不是就已知了？但它边长之间是有联系的， 对吧？因为你是折叠过来他俩的和，至少我们知道。对， e f 就是 e c， e c 加 b， e 刚好是一百二十度等腰吗？那个长边这个长度应该是五根三 对他俩的核知道，就类似勾股方程一样了，我们可以去设方程。设方程，那我们来看。呃，既然回到了减三角形这个思路上来，那为了用上这个三十度和 f 这两个角度，那我们可以采取的方法就是减三角形的正常常规思路就是要做高，而我们做高的时候有一个原则，就不要破坏已知角， 三十度和 f 是 我们需要的，不能破坏它。那你这个高的选择就只有一个，就是从 f 往下做高，从 f 往下做高。对，所以这边我这个垂直平分这个应用就没有用了哈，来这边我就估计就可以做了 啊。当我们这样假设出来之后呢，来想想啊，左边这个三角形是一个三六九的直角三角形，就是 b f m， 右边这个三角形呢，是一个 f 所在的一个直角三角形，它的这个 c 对 边除以斜边是跟三比三，就是一比跟三的关系。那好，那比如说我们假设这个边长为 x， 这个边长是不是就根三 x？ 对， 那这个边长是不是也是根三 x 啊？因为它的肾肾不就一比根三吗？对，斜斜边是它的根三倍，然后这边是三十度的正切值，是一比根三。好的。那么 m e， 我 们说可以勾股定律了，一根三， 这边是不是就是，呃，根二 x， 对 吧？一比根二比根三，根二 x 可以。 好，那这个根三 x 是 回到这来，这也是根三 x。 哦，那现在我们是不是就可以把 x 解出来了？ x 只要解出来， b f 的 长度就是它的两倍。好，那么快速算一下，也就是二根三 x 加上一个根号二 x 刚好等于五根三， 前面呢，就是二根三，加上根号二，括起来 x 等于五根三 x 的 结就出来了，也就是用五根三去除以二根三加根号二，上下同乘二根三减根号二。 来看一下底下平方差公式，二根三的平方三四十二减二是十。上面呢，第一个算出来二五得十，三十减掉一个五根三乘以根二，就是五根六。 好，那这样算出来应该就是上下除以五吧，二分之十五减根六。哎，等会上下除以五，是不是 六除以五。下面是二，这个除以五，这个除以五。嗯，二分之六减根六。那好了，这个 x 有 了之后呢？那么这个 b f 是 不是他的两倍？因为是六减根六好，所以这块是六减根六，那这个 af 就 最终就是五减掉一个六减根六， 最终就是加根六减一啊，根六减一啊，就是我们单，所以这里是一个减三角形的一个思路啊，减三角形，毕竟两个角度你得用上吗？还是很特殊的两个角度。 ok， 然后再来看一下倒数这个，这个第三题我就不讲了啊，这个题其实，呃，不算很难，真的啊，不算很难。然后我们重点来看一下后面两道题啊。第一个解析式表达负一都是零和三都是零啊，那它的解析式应该就是系数组合为一二三的负 x 方，左头右 e 加二， x 加三，知道吧？ 嗯，没问题啊，好，然后呢？直线 bc 的 表达式，因为一个是三对零，一个是零对三，所以它的表达式就直接 y 等于负 x 加三也出来了。第二问，如图点 d 呢？是二次函数第一象限内图像上的一个点过点 d 做 x 轴的垂线 l， 然后交 bc 于点 e， 如果得 e 是 根号二倍的 b e， 得 e 是 根号二倍的 b e， 嗯，其实当你意识到这个 bc 是 三点零和零点三之后呢？你这个角 e b o， 它就是四十五度。 对，所以这个根号二倍的 b e， 因为斜边这种长度咱不好表示。得 e 是 一条数值线段，对不对？那我们可以直接找到这个点，比如说是 f， 所以 b e， 它就等于根号二倍的 ef， 所以得 e 等于根号二倍的 b e 呢，就可以转化为两倍的 e f 啊，所以转化到这种数值线的数量关系我们就很好求解了，因为我们设点坐标之后，咱是可以很轻松表示这种数值线段的。所以我们直接假设 d 点坐标 t 豆负 t 方加二， t 加三，然后 e 点坐标 t 豆负 t 加三。所以现在 d e 重坐标相减用得的减 e， 负 t 方加三 t， 然后 e f 就是负 t 加三。呵，他俩之间代入进去两倍关系，所以这个得 e 等于两倍的 e f， 所以呢，负 t 方加三， t 就 等于负二， t 加六，这个减一下， t 方减五， t 加六 等于零。呃，就是减二减三，是不是 t 减二乘 t 减三？没错， t 一 等于二， t 二等于三，都可以吧。哦，不行，你三的时候刚好是过点 b 了，是吧？三都是零了吗？那这个三，这个就要折掉了。所以最终的点坐标只能是一个 二斗代入到二次函数里面，负四加四二六三。嗯，好。第二问，如果 m 是 二次函数，图像上一个点 n 呢？是 m 关于 bc 对 称之后的点，当 n 恰好落在直线 l 上， m 是 二次函数上的点对称之后，关于直线 bc 对 称之后， 也就是关于直线 bc 翻折的那种感觉，就能落在 l 上，这个 l 现在相当于是一个定值，对吧？因为它都是在呃，第二问，这个大条件下的，所以这个 l 应该就是 x 等于二，这条竖线 我一个 m， 然后现在想求这个 n 的 纵坐标是多少，那也就说这个 l 上的点，关于这个线翻折过来之后落在抛物线上，抛物线上的某个点 m 呢？关于它落落在 l 上。哦，那， 那这就好说了，那我们直接把 l 翻折回去不就行了吗？是不是？对，就是你可以先假设有无数个点吗？就 l 上是不是有无数个点？那每个点关于直线 bc 翻折过去，是不是就它所对应那个点 m？ 只是说这个点 m 还有一个特点，它在二次函数图像上， 所以这个题就转化成了把 l 关于 bc 翻，就是对称，对称完了之后找与二次函数的交点。哦，那这样这道题也不算很难， 是吧？不算难，但是他可能最后求的是 n 点坐标，求的是 n 点坐标。好吧，那么来看一下。呃，刚才这个点 e 坐标我们其实可以算出来了，是吧？应该是二斗一， 点 e 坐标是二斗一，所以呢，如果这条线关于这个线翻折的话，那整条线首先他关于这条线翻折与这条线的交点是不变的啊，还是点 e， 然后翻折，因为我们知道这个角不是四十五度吗？所以如果他翻折对称过来的话，直接画横线就行了。 直接画横线，因为它也是夹角里是四十五度，所以就垂直了。这条竖线的垂直就横线，这个它对称之后，那对应的点 m 应该就这两个，一个是 m 一， 一个是 m 二。 对，那这根线也是应该是 y 等于一，这条线因为它过点一，所以我们就把 y 点一，这个代入到 y 等于负 x 方加二， x 加三里面把这个 m 二求出来，那就是 x 方减二， x 减三，加一就减二等于零。 哦，是这样啊，等于一， x 方减二， x 减三，再加减二等于零。嗯，那还有两个根就是快速的配方吧，加一等于三，所以 x 减一等于正负根三，所以 x 就 等于一加减根三， 这是 m 点的恒动坐标，一个是一加根三，一个是一减根三，嗯，没问题，但是我们现在要还原回去找 n 的 纵坐标，找 n 的 纵坐标，那先看 m 一 m 一， 如果要关于它对称过去的话，其实就是往上引垂直在延长，那不就是等二直角三角形吗？ 所以这时候的 n 一 由提一得啊，你这里是等值，所以这个 n e e 的 长度肯定是等于 m e e 的， 对吧？他只要把 m e 求出来就行了。然后刚才提到了 m 的 横坐标，这里是一减根三，它的横坐标，所以 m e， 我 们看的就是横坐标。 e 的 横坐标是二，那就用二减掉一个一减根三，这样算出来呢，就是一加根三， 好。所以这个 y n 一 的纵坐标就应该是在 e 一 的基础上，再加上一个一加根三，这样就是二加根三，好，这是 n 一 的纵坐标。 m 一 呢，是不是在这对称过来倒落在这来了？ n n 二 n 二， 那这样的话，其实一样的，就是 n 二 e， 它是等于 m 二 e 的 线段。 m 二的横坐标是一加根三，都是多少都是一啊，都是一啊，所以这个水平距离呢，就是一加根三去减二，那就是一加根三，再减二就是根三减一， 好，那所以从 e 往下再挪这么多个单位，就是 n 二的纵坐标了。所以 n 二的纵坐标就应该在 e 纵坐标的基础上往下挪了一个根三减一个单位，所以最终呢，就是二减根三， 好，这样就结束了。所以最终两个答案，一个是二加根三，一个是二减根三。行。这道题其实也还好好，终于我来看一下最后一道题啊，听说最后一道题很难嘞，呵呵，看一下怎么做。 他说矩形 c d 是 宽 ad 的 两倍啊，长宽是一比二，二比一点 e 呢？在这个延长线上连接 d e 点 f 呢？在线段 d e 上， 要保证 d a f 等于 e， d c， 然后这个角度 f 和这个角度 f 永远要保证相等。嗯，好。第一个求证 c e 等于两倍的 d j 长宽是一比二的关系 哦，那这里我们可以找相似是不是就行了？因为三角形 a d j， 它刚好是相似于三角形 a d j， 那 就是 d c e， 因为你这两个 f 相等，再加上两个九十度，对吧？很轻松。所以呢，你用 c e 比上 d j， 它就应该等于得， c 比上 a 得，所以等于二，所以 c e 等于两倍的 d j， ok， 第一个轻松一些啊，但是考虑到因为你的大标题是成立的，所以这个相似永远在，所以二比一的关系永远在 e， e 在 延长线上，不与 c 重合，所以 e 往这走， f 正往下来， ok， ok。 第二个连接 g e， g 和 e 连接 g e。 问 h， 如果是 g e 的 中点的话，连接 c h， 那 这里就有一个斜中半。如果 c d 等于四， c h 的 最小值会是多少？ 呃，一般呢，我们遇到线段最直，我们应该考虑的是这两个端点的一个动还是不动的状态啊？ c 是 不动的， h 是 在动的，所以我们应该要去想着说找 h 的 轨迹，但是 h 是 这 e 的 中点，你发现 e， 它在射线上，你可以理解为 e 往右走， 那么 f 是 不是跟着往下走？因为它保证这两个角度相同，有点像那种逆等线的感觉，是吧？那 g 是 不是就在往下走？ 对， e 在 往这走， j 在 往下走， ok， 那 就说 j 和 e 都在动，然后他们的终点也必然也在动。但是呢，因为你这种情况下，你是两个动点动线段的一个中点，所以这个轨迹咱是不好确定的。确实啊，不好确定的， 对吧？嗯，我在想有没有可能说构造一个平行四边形找中点的这种问题，它不是那个意思。 嗯，因为 c e 和得 g ok， 所以 这个好像不行。然后那这里我们要找 c h 的 中点，其实还是它肯定等于二分之一 g e， 所以 我们只要确定 g e 的 最小值就可以了。 g e 有 没有最小？ 这个让我想起来去年。嗯，我们应该是之前有做过这种题目，就是一个点在往这走， 速度快，另外一个点也在往这走，速度慢啊，那个上面那个慢，下面那个速度快，这里是 x， 这里是二 x， 这种感觉他会横过一个定点。当时是啊，因为你可以间隙去做，所以这里是不是也是可以间隙，对吧？比如说我们就是 d j 是 x， 那 这里是不是就是二 x？ 嗯，间隙当然可以了，但间隙的本质其实跟有些东西它都是相通的。那这个 c j 是 不是就是四减 x？ 哦，那这样勾股定律我们说可以求 j e 了。 试一下 r t 三角形 j c e 中呢？这个 j e 的 平方就刚好等于四减 x 的 平方加上二 x 的 平方啊，括起来的平方。那这样展开的话，确实啊， x 方加四， x 方就五 x 方减 八， x 加十六，是不是？这个可以了？因为它是开口向上的。所以说，首先你得先分析到 c h 等于二分之一的 j e， 当 g e 最小的时候呢， c h 也最小，而又因为这个五是大于零的，所以说当 x 等于负的二，一分之 b， 也就等于。我们就用二次函数来做的啊。负的十分之负八，也就是五分之四的时候， 这一的平方是最小的，且为我们直接算出来吧。五乘以五分之四的平方，二十五分之十六减掉一个八乘以五分之四加上一个十六，最终这边是五分之十六减掉一个五分之三十二， 负的五分之十六，前面五分之十六减减五分之三十二，负的五分之十六，那就五分之六十，五分之五六，三十五分之八十减五分之十六，五分之七六十四。嗯，所以 g e 最小 为上面是八，五分之八跟五根号五分之八，五分之八跟五，所以 c h 呢，刚好是它的一半，所以 c h 最小， 五分之四根五可以做，是吧？嗯，其实你间隙的话，也倒是能把 h 点坐标表出来，然后你用两点距离公式 c h 也行，但那时候应该跟它是相通的。好，这个可以。还好啊，就有这种感觉嘛。那再来 第三题，如图三点， m 为边， ab 的 中点连接 dm 交 a f 的 这个交点于点 n， 若 n j 等于小 m， j f 等于小 n， 求 a n 的 长是多少？ 嗯，好，它这个地方是中点，那就说明这两条边长肯定会相等，对吧？那这里就是一个等腰直角三角形，所以这里像这里是四十五度，这也是四十五度。 对，然后题干中这个信息 f 相等，比如这个角是 f 和这个角是 f 相等，这个仍然成立的，是吧？嗯， 好，现在呢，他给到这条边长是小 m， 这条边长是小 n， 然后呢想去求证一下， 求 a n 用小 m 和小 n 来表示，但是这里面的数据 c 的 长度为四，是不就不能用了？对，然后虽然有一个两倍关系，嗯，但是就不能用了。 那怎么办呢？首先我们这个题肯定是离不开相似，对吧？你要找对应编程比例，然后呢去比出来的。对，然后如果要比出来的话，那么看跟 a n 相关的相似有谁？ 和 a n 相关的相似？应该。首先 a m n 相似于三角形 j d n， 这里有一个八字的相似，也就是我们用小 m 除以 a n， 它就应该等于这个 d j 除以这个 a m， d j 除以 am， d j 除以 am。 嗯，怎么再跟小恩联系起来呢？ am， 它等于 a 的， d j 除以 a 的， 有没有相似？哦，还真有，大家看对这个 f f 相等之后，它是不是有一个字母相似，在这 子母相似，也就是你看啊，这个角 d f g 等于角 a f 的 就是 f， 那 个地方有个公共角，然后再加上它题干中给我们的这两个 f 相等，角 f d g 等于角 f a d。 对， 那这里就有一个子母相似，三角形 f g d 相似于三角形 f g d f g d， 那 就是 f d a。 这样的话，我们刚才求的这个本来是 d g 比 am 嘛，它其实就 d g 比 a d， 你 看 d g 比 a d， 它就等于谁呢？它就等于。嗯， f g 比上 f d， f j 比上 f d f d j 是 不是刚好是 n f d f d。 嗯，另外一组边呢，应该是等于 还有什么 d j 比 a 的 f j 还有可能是 f d 比上 fa， fa 也能表示，关键就是 f d 了，是吧？ f d f d 怎么办？ f d 跟 m n 有 没有关系？ 四十五度哦，来大家看一下哈。现在呢，我们知道了，这个角是 alpha 和 alpha， 这边这个角是不是也是四十五度？ 对，然后这个角的话，我们是不是可以利用外角？外角这个等于它不相邻两对角的和，是不是这个角也是四十五度加 alpha 哦，那这样的话 f d 它其实就等于 fn 的， 是吧？也就等于 m 加 n， 那， 那就，那就结束了，我看看啊，把 m 加 n， 我 们带入进去看一下啊。这个， 所以 d j， 因为，因为刚开始的这个八字和它这个这个字母相似，他们之间有一个连接点，就是得这比 am， 其实就是得这比 a d 嘛，那现在我们其实已经给它联系起来了，所以上面的这个小 m 比 a n， 它本身是等于得这比 a m， 也就是得这比 a 得。而现在的这个得这比 a 得呢？它可以由 f g 这个小 n 除以 f 的 这个 m 加 n 取得，那这个 a n 是 不是就出来了？ 所以 a n 最终就等于 m 乘以 m 加 n， 再去除以 n 啊，也就是 m 方加 m， n 除以 n， 嗯， n 分 之， m 方加加 m， 对 吧？好。哎呦，这个题确实。呃，怎么说呢，就里面这个数据太少了，所以你要借助的只能是找相似，那这个地方可能这个 两个点不好想字母相似，这个呢？因为这道题的特点在于，它虽然都是在一个大题干下，但是它不像之前遇到的一些题目呢，可能有第一问第二问之间的一种联系，第二问东西可以用到第一问里面就这种， 这个题好像没有用到。对，所以字幕相似，不好想。然后呢？还有就是刚才这个等幺这个这个过度，你要是等幺这个解决不掉的话，也是没办法做的。 ok， 所以 这道题还是挺挺挺新颖的一道题目哈。好，那这样我们这个视频讲解就到此结束了啊，感谢大家支持。如果大家觉得不错的话呢，不要忘记点赞、关注收藏。然后我是乾坤老师，我们下期再见，拜拜。

hello， 大家好，我是讲话老师，欢迎收看本期的数学讲解啊，今天给大家来讲一下刚考完的初三淮阴区期末考试的数学压轴题。嗯，我们来看一下这套卷子啊。呃，首先看一下这个第九题，我就不带大家看了哈，都还是很常规的一些，那个二次函数的一些图像分析问题 啊，我们直接看一下第十题啊，他说这是一个正方形点一是中点啊，一个几何综合问题啊。然后呢， c j 这里要垂直于 d e， ok， 这里要做一个高线 延长 b j 延长 b j 上去之后呢，交于点 f， 再延长 c j 往这边呢，交 b 得于 h， 交 ab 于 n。 好 的，这边都是交点 啊，我们来想想啊。现在咱先不读结论，我先看一下 e 是 中点，然后呢，从 c 往上做了一个垂直交于点 j， 紧接着就开始延长 b j 延长 c j， ok， 那 先看第一个 d e 等于 c n 嘛？ d e 等于 c n 吧。啊，这个是可以的，因为是这样的，正方形中的十字架模型，只要是在正方形中上下两条边或左右两条边的连线段，他们有垂直的情况出现，那么他必相等，相等必垂直，所以这个可以直接确定，其实就全等第二个， b h 比上 d h 是 一比二嘛？ b h 比上 d h 是 一比二的关系嘛？呃，二分之一。呃，我们来看一下，因为 b h 比 d h， 这个 h 是 三等分点哦，那我们可以怎么想？大家可以从 h， 如果 b h 比 d h 是 一比二的话， 哦，那这样来想一下，嗯，应该应该有可能是哈，你看我是不是可以从 h 这里往下做个高线， 就是说我确定 h 点是三等分点的话，只要确定这个点 k 是 吧？它是底下 b、 c 的 三等分点，是不是就可以了？因为它正好是一个 a 字的嘛。 ok， 那 这个 k 可不可以呢？这个好像可以，就是因为你这个边长没有说是几，是吧？ 假设这个边长是一，这边长这个，这个边长为二，那 c、 e、 e 是 中点吗？ c、 e 是 一，所以这个 f， 这个 f， 他 们刚才那个十字架不是本来就有全等吗？ d、 e、 c 和这个 c、 n、 b 全等，这个 f 相等没问题啊，所以说它那个 f 已经是二分之一了， 二分之一的关系，所以 h、 k 呢，它比上 c、 k 就 等于一比二。而又因为你这个地方呢？ b、 d 是 一个对角线，所以夹角是四十五度。 h， k 它是等于 b， k 比 c， k， 它就是一比二， b k 比 c， k 是 一比二，那 b、 h、 b、 d 也是一比二，这个是对的。第三个 d， e、 c、 d， e、 c 啊，就这个三角形，它是三倍的。 b， n、 b、 n、 h， 那 你要确定 h 是 三等分点哦，那就行啊，哈哈。得 e、 c， 它全等于谁？它全等于 c、 n、 b， 所以 只要确定 c、 n、 b 是 b、 n、 h 的 三倍， c、 n、 b 是 不是 b n、 h 的 三倍，那就看 h 是 不是 c、 n 的 三等分点。刚才刚才，是呀是呀， n、 h 比上 hc， 它就等于 bk 比上 ck， 是 吧？都是相似啊，所以可以一比三。哎，等会是一比二， nh 比 hc 是 一比二，所以 nh 比上 nc 是 一比三，也就是这一小块三角形占整个大三角形 cnb 的 三分之一，所以它是三倍，这个也是对的。再来 bjn， bjn 是 四十五度加角吗？ bjn 是 不是四十五度？那就要看这边是角平分线，是不是垂直角平分线。嗯，那这个的话， 如果是角平分线，这两块相等，这个是不是 看长度嘛？长度是可以直接求的。呃，不对啊，它是不是角平分线？如果它是角平分线的话，角平分线，角平分线四十五度，看通过什么方式去证明一下 一比二， 如果我们能证出来 c f 比 f、 d 也是一比二的话，那就可以，因为角平分线分线的成比例。就是如果这个假设哈，这里是四十五度和四十五度的话，那分出来的这个 c f 和 d f 必须是一比二的关系。因为你的 c j 比上 g、 d 摊着的 f 嘛，等于一比二了， 所以说分线角平分线分线的成比例，那么 c f 比 df， 如果也是一比二就行。 证明，那等一下，我看后边 j n j n 加上 j e j e 等于根号二倍的 b g。 哦，这个是对的，因为这里的话，第四个啊，它直接可以锁定这个四边形就可以了。 这个四边形， 这个，嗯， 刚好是等腰对角的一个四边形，就它 n 在 这， b 在 这， e 在 这， j 在 这，这里是九十度。 哎，我可以用这个来整嘞，这个是九十度，那这里也是等于这，因为这个 n 点是终点，对吧？因为你 e 是 终点， n 这边也是终点啊，所以这两个边相等，所以它刚好是一个等腰对角模型。那只要是等腰对角模型，那刚才这个第四个、第五个都对了，就是 b j 连起来之后呢？它一方面 大家可以怎么怎么去证明呢？就是它是对角互补的，所以我们可以把底下这个 b e j 啊，绕点 b 给它旋转九十度过去啊，然后因为这两个角相加不是一百八吗？所以它转过来之后呢，刚好是补在它这个延长线上来了，因为它贡献了。 对，那这个 e j 就 跑这来去了，这就是那个 j 撇，所以这样呢，你相当于旋转九十度贡献，然后此时呢，它就得到了一个 b j j 撇，一个等腰直角三角形，所以这个角 j 就是 四十五度，是不就正出来了？ 好吧，刚才那些都都多余了哈，好，然后四十五度之后呢，此时你想要的这个 j n 加 e j， 你 看 j n 加 e j 是 不是刚好是 j j 撇，它就是 b j 的 根号二倍也是对的啊，等下对比角模型，所以这个答案应该是一二三五都对，选 d。 好， 这过来大家可能还有其他方法啊，肯定有其他方法，我们这里就直接先先给大家提供这样一个想法。 ok， 大家看第十六题。这是一个正方形， ad 是 中点 ad 的， 以 ad 的 中点 o 为圆心，半径为一，画了一个圆，然后呢，交于 e 和 f p 是 这个半圆上的一个动点，如果 b p q 是 一个九十度，且 b p 等于 p q 的 两倍，好的，这个夹角的正切值为二分之一， 然后当 c q 最小的时候，求 b c q 的 面积。嗯，这里其实就是一个刮斗，嗯，所谓的刮斗呢，必须是一定两动，你像这里的一定两动就是 p q b 这个三角形，它三个正好可以构成一个定点，两个动点，对不对？并且这个三角形还是一个固定形状，三角形就是一比二比根五的一个直角三角形，所以它就是一个刮斗 啊，锁定好它这个刮斗之后呢，我们这个主动点就是 p， 那 被动点就是 q， 所以 说圆生圆， p 呢，既然是在半圆上运动，那 q 也肯定是在半圆上运动，所以我们要画出来这个圆，画圆的话，最关键的是绕圆心，所以你看一下啊，从主动到被动，它怎么过来的呢？你可以理解为它是绕点 b 啊，顺时针先旋转了一个 off 角， 因为这边是一份两份，这边是根号五份，所以呢，他是点 p 绕点 b， 先旋转一个 f 角，然后再给他从两份到根号五份二比根号五进行放大，就可以找到 q。 对，如果从点到点的这种变换来看的话，先绕点 b， 顺时针转 alpha 角，然后再 v 四变换，以 b 为 v 四中心，二比根号五去变放大，所以这个 o 点圆形也可以这样做，我可以连接 b o 也同样的绕点 b 旋转 alpha 角 到这边，然后再一比根号五去放大啊，其实这个地方呢，到哪去了？ 其实我们直接从这做个垂直就行了，因为你只要按照二比根号五去放大的话，你得到这个三角形，它一定是一个一比二比根五的一个直角三角形，是不是啊？其实，呃，我刚才那样讲呢，当然是从它的原理上去入手，那如果大家做多了之后，你会发现你最后画出来的这个这个圆心 o、 o 撇和 b 组成的这个三角形，一定要和原来的主动点、被动点 b 组成三角形，它可以构成一个手拉手的相似，如果你能画出来手拉手相似，那说明你画对了，好吧，按照手拉手相似这样去构造去画的话，应该也不麻烦。好，这样就画完了。这个 o 撇是不是刚好会落在 c d 上？会不会， 会不会落在这条线上？因为你这里是一比二的这样一个位置，那这里是不是刚好有个一线三垂直，所以这个边长是二，这个边长是二的话，这个边上应该是一对，它刚好落在这条线上了啊，落在这条线上。一，所以这时候呢，我们的 q 的 轨迹就是它， 这就是 q 的 那个圆。对，当然半圆的话可能是可以取到的，就是 c， q 最小值， q 在 这的时候最小。 好，此时 bcq 的 面积，那你就直接底乘高除以二就行了，因为它是一个直角三角形， 边长为四，底边为四，上边的话相当于是二啊，二乘四除以二，所以这个面积为四。好，这个题就过了。再来看一下最后两道题，这个也是一个相似的存在性啊。 行，看下这道题啊，一个没有图像完全的含参的一个分析。一元二次方程， ax 方加 b 加 c 等于零的两个根呢，是 x 一 啊，伟大定律材料二呢，就是说有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们可以构造一元二次方程，用它的相关知识来解决。下面介绍两种基本构造方法。第一个，利用根的定义来构造 m n 啊， m 方减 m 减一等于零， n 方减 n 减一得等于零，那么 m n 就 可以看作这个方程的两个不等的实根。很好利用根和系数的关系逆向构造， a 加 b 等于三， a 乘 b 等于二，那么就看作 ab 的 两个根， 那么 ab 可以 看作方程哦，这里就相当于是，嗯， a 加 b 等于三， a 乘 b 零二，那这个就相当是伟大定律，负的 a 分 之 b 就是 负的 a 分 之 b， a 分 之 c 啊，当然，这里默认这个系数为一， x 方二次项系数为一哦。哎，你还别说哈，就是 这个知识点，哪怕是不做这道题哈，大家也是需要记住的啊，所以就背过它好吗？背过它当成一种题目来记， ok， 那 现在第一问就完成送分啊，负的 a 分 之 b 就是 负的五分之负十，也就是二， a 分 之 c， 五分之一， 负的 a 分 之比对二。没问题啊，来第二个。如果好，那这个就是利用的第一个方法， m 和 n 应该为三， x 方减 x 减二等于零的两个实根， 两个根，所以 m 加 n 应该等于负的 a 分 之 b， 也就等于负的三分之一。三分之一 m 乘 n 就 应该等于 a 分 之 c， 也就等于负的三分之二。 所以 m 分 之 n 加上 n 分 之 m 通分，它刚好可以有 m， n 分 之 n 方加 m 方渠道，嗯，而这个 n 方加 m 方呢？ 回答那个完全平方公式啊，它可以由 m 加 n 的 这个平方的基础上去掉两个 m， n 代入之后呢，就是九分之一减掉一个负的，加上一个三分之四，九分之十二，九分之十三。 所以这个 m 分 之 n 加上 n 分 之 m， 就 应该用上面的九分之十三去除以负的三分之二，嗯，九分之十三乘以负的二分之三，最终负的十八分之三十九， 没做错吧？嗯，来第三个。好，那我们来再继续看一下第三问啊，第三问，这个呢，已知 a 加 b 等于 t 减五， a 乘 b 点五减 t 分 之十六， t 小 于五，问 t 的 最大值，那这个肯定要用到刚才那个方法二了，是吧？那它的根的系数两根之和是 t 分 之五，两根乘积是五减 t 分 之十六， 根据一个是负的 a 分 之 b， 一个是 a 分 之 c。 我 们这样，咱直接假设二次项系数为一， 二次项系数为一的话，那么这个一次项系数是不是应该是负的？一分之 b 就 等于这个 t 减五，负的一分之 b 等于 t 减五，所以这个 b 就 应该等于五减 t， 五减 t， 然后这个常数项呢？常数项是不是就是五减 t 分 之十六 就不用动？ ok， 那 这样的话说明 a 和 b 应该为 y 等于 x 方加上一个五减 t 倍的 x， 再加上一个五减 t 分 之十六 的两根。啊，应该是 x 方等于零的两根。好，那现在要去求 t 的 取值范围。 t 的 话，因为你既然是已经确定它这两个根了，所以我们可以从它的的特去入手，它的的特应该等于五减 t 的 平方减掉一个四乘以五减 t 分 之十六，它必须是大零零的，因为它必须要有两根。 嗯，而又因为这个 t 它是小于五的，所以我们在解这个方程的时候，我们可以怎么样呢？同时乘以五减 t， 因为五减 t， 它本身是一个 t 小 于五嘛，五减 t 是一个大于零的，所以说，原来那个式子呢？五减 t 的 平方再乘以五减 t， 五减 t 的 三次方减六十四，大等于零。好，那这样就可以解了，五减 t 的 平三次方大于等于六十四，那五减 t 它就大于等于四，所以 t 的 话就大于一，是吧？哎，等会儿 五减 t 的 三次方啊，对， t 小 一点一，是吧？哎，等会儿五减 t 的 三次方啊，对， t 小 一点一， 所以最大值最大为一。嗯， ok， 来，我们继续看一下这个二十六题啊。这是一个平面直角坐标系 y 点， x 方经过呢？ ab 两点，那我们先代入，把 a 点坐标代入， b 点坐标代入，直接写出来了， 那就是负一代入，那就是一减 b 加 c 应该等于零，把六三十六加六， b 加 c 也等于零，这样你就可以解决 b 和 c 了。嗯， 呃，当然我们也可以直接用伟大定律， y 等于 x 方，两根之合是五，负的 a 分 之 b， 负 b 就 等于五，所以 b 等于负五。 x 两根乘积是负六，所以 c 是 负六，嗯，就有它没错吧。 好，点 p 是 射线 bc， 看一下啊，射线 bc 下方抛物线有一个动点连接 o p 与射线 bc 交于点 q， 当 p q 取得 p q 比 c o q， p q 比 o q 最大的时候，嗯，好，这种比值最大呢，也是一个很常用的思路啊，直接从 p 做 x 轴，垂直交这个点于 m， 所以 这时候呢，我们就可以构造一个三角形 p m q 相似于三角形 o c q， 所以 p q 比上 o q 就 等于 pm 比上 oc， 当 pm 最大的时候，比值最大，因为 oc 是 定值，对不对？因为 c 点坐标是定值，是负六，零度负六， 这过程写的不够严谨啊，大家这个知道怎么做就行了，因为这种题也不是那么的少见了。好，所以就求 pm 最大值，然后还是设点坐标行了。 t 豆 t 方减五， t 减六， 这个 m 的 话，就要根据 b c b 点坐标是六豆零，那就是 t 减六，所以 pm 的 长度呢，就可以表示为 t 减六，去减掉 t 方减五 t， 最后是负 t 方加六 t， 嗯，因为这个负一小于零，所以 pm 有 最大值，且当 t 等于负的二一分之 b a 是 负一， b 是 六三的时候， pm 最大。 对，此时那个 p 点坐标就是三斗，把三带进去九，减掉十五，再减六，负十二，三斗负十二。 好，再来看第三位，在二中，当它取到最大的时候呢，然后这个将抛物线沿着 b、 c 的 这个方向平移二根二个单位长度，得到抛物线 b、 c 往下平移二根二，单位长度。 呃，因为 bc， 它这个夹角是四十五度，所以你平移二根二呢？相当于是相当于是往下挪了两个，往左挪了两个，左两个对 点， m 为点 p 的 对应点，那每个点都这样做呗，所以第三位的 m 点就变成了多少， 往下挪两个负十四，往左挪两个就是一，这就是负十四了。点 n 呢，则是在新抛物线上的一个 y 一 上的一个动点，若 n a b 等于角 o p m， 呃，行吧，这个图我们还是给它画一下吧。 来我这里当然是可以操作一下，大家可能需要画的东西有点多了就，嗯，平移两个单位， 往左拼两个单位应该是这样，往下再拼两个单位应该是这样。好， ok， 就 这样了啊。呃，现在呢，我们看 o 在 那 p 点坐标还是这个三斗，在这，它是三斗负十二， 然后往下平行两个，往左平行两个，之后呢，这个点在这，这是那个 m 点，应该是一道负十四 n 呢？就现在我们先抛物线上一个动点，这是 p， 现在问 nab， nab 等于 opm， opm 减四十五度， o p m 减四十五度，你想啊，这个 p m， 首先它这个位置呢，它肯定是有一个等腰直角三角形在的边长为二的，因为你这个 p m 的 长度肯定是二杠二嘛， 对吧？二二二杠二的，这样一个等腰直角三角形， o p m 这个大小长这样，然后呢，它得要用 o p m 减掉四十五度， 减四十五度的话，在这个状态下，如果减四十五度，是不是相当是我水平画一条线过来就行了，因为你这边这个角已经是四十五度了，所以说我想构造一个四十五度夹角的话，只需要水平画过来一条线，那么这个角 就是你想要的减四十五度之后的效果，然后让 n a b 等于这个角就行。 n a b 等于这个角，那么这个 那么这个 n a b 有 这种情况， a 在 这， b 在 这，这个 n a b。 来，咱继续啊，如果说 n a b 等于的话，那 n a b 就 等于这个 o p 这个夹角就行。那么 n 点可以往哪走呢？大家看一下，在这个坡线上， n a b 往下走就没了啊，应该上下两个角，上下两个哈，先看上面这个，上面这个的话， 行。那现在我们就直接这样想吧，就是这个角，比如说从 p 这样水平过来这个焦点，假设说这边这个焦点为 q 吧，这个 q 点坐标肯定就是零度负十二嘛，有外周这个焦点。所以呢， tangent， 这个角 o p q 就 等于角 n a b， 而贪婪的 o p q 呢，它刚好是可以算是用 o q 比上 q p， 也就是用用十二除以一个三等于四贪婪的是四贪婪的。如果是四的话，说明 第一个点 n 一， 那么这个 a n 一 这条线的表达式就应该是四 x， 然后加 a 点坐标是负一到零，负一负一的话加四， 四 x 加四，嗯，然后下边这个线呢？还是这个夹角在下面， 那么就应该是负四 x 减四，用这两条线分别和抛物线连立，它和 y 等于 x 方减五， x 减六，连立， 我们就解这两个方程就行了啊，连力的话呢，我们应该是，哦， sorry sorry， 不 能和这个解式连力，你要和新的抛物线去连力。 对，那新抛物线的话，我们得先写出来，它是往下挪两个，往左挪两个。本来是 y 等于 x 方减五， x 减六来着，如果往下挪两个呢，就变成了 y 等于 x 方减五， x 减八，再往左挪两个，左加右减 x 加二的平方减掉五倍的 x 加二，再减八。所以整理出来之后是 y 等于 x 方加四， x 减五， x 是 减 x 加四减十减十四啊，是这个 x 方减 x 减十四， y 一 x 方减 x 减十四，是和这条线去连立，嗯，那连立出来第一个就是 x 方减 x 减十四等于四 x 加四，这样 第二个连立呢，就是 x 方减 x 减十四等于负四， x 减四移过来负十二，二都负十二。 哎呀，好，这就是我们这次套卷的一个视频讲解啊，希望能够对大家所帮助。最后大家如果觉得不错的话，不要忘记点赞、关注、收藏，感谢大家支持，我是强哥老师，我们下期再见，拜拜。

下面我们看一下这个市中区的这个最后这个几何题，二十五题， 嗯，这个题目啊，是一个典型的手拉手的题目，对吧？第一小问，很简单，就是 c a 和 c b 相等，中间的夹角是阿尔法等于六十度，嗯，然后 这个 ap 也等于 ad， 中间的夹角也是六十度，所以呢，就是这个三角形和这个三角形就是两个等边三角形，等边三角形，手拉手全的，嗯，就是这个三角形和这个三角形全的， 所以得到这个边等于这个边，并且他还问他所成的角度，嗯，这两条边所成的角度呢，就是把它延长一下，延长这里来，然后这个小角等于这个小角，因为三角形全等， 嗯，这两个相等之后呢，这两个角对零角，所以这个角度就等于这个角，嗯，这就是一种蝴蝶形的相似， 手拉手的全等当中，手拉手的相似当中总有一个互叠性啊，所以这个角度等于六十度。第二问，当阿尔法等于九十度时 啊，写出 b、 d 与 c、 p 的 比值，以及它们所成的角度。当 r 法等于九十度时，就是，这，就是啊，这个是个直角啊，这里也是直角，所以就等腰直角三角形和等腰直角三角形共零点在这里， 嗯，然后呢，这样也是能够得到手拉手的相似，因为这个边比这个边一比二啊，这个边比这个边一比二，所以他比他就等于他比他。 又因为这个角加这个角，就等于这个四十五度加这个角，这两个角都是四十五度加中间这个角，所以就这么说，这个三角形和这个三角形是相似的， 三角形一相似，对应边乘比例啊，所以马上就能得到，嗯，这个 p、 c， 嗯，这个和 b、 d 它两个的比值是一比二， 嗯，因为这个边与这个边就是一比二，然后它们两个所成的角度，因为三角形相似，对应角向的这个角等于这个角， 这个三角形和这个三角形是相似的，所以这两个角相等。对零，对应角相等，然后这两个角对零角，所以得到这个角是和这个角的度数相等的，所以答案就是四十五度， 这就是我们所说的那个蝴蝶形，对吧？好，再看一下这个第三小问，第三小问，阿尔法还是九十度啊，也就是说 a、 b、 c 和 a、 p、 d 啊，仍然是两个等角，直角三角 e、 f 住中点，那这条线就是中规线， 说点 p 在 这个直线，在这个线段 e、 f 上。现在当 c、 p、 d 同在同一条直线的时候，下面我们先把图画一下， 大体就是这个样子啊， 这是一个直角，然后 c、 p、 d 这样共线正好下面连接 b、 d。 现在要求的就是这个长度啊。别的条件，这个 a、 p 是 根号二，嗯，求 b、 d， a、 p 是 根号二，这个也是根二，然后 a、 d 的 长度是二，这样我们先求它来， 然后我们进一步要发掘一下这个相似的三角形，仍然是那个手拉手的相似。这个三角形啊，因为这个是公共零点，这个是小手，这个是小手，那这个就是大手，这个就大手， 所以大手拉小手，这个三角形，这个三角形是相似的，嗯，所以呢， 就能得到这两个三角形相似啊，所以，嗯，这仍然是那个手拉手的相似，嗯，仍然是手拉手的相似呢，然后能得出什么来呢？就是相似比仍然是一比跟二， 所以能得到这一块和这个长度之比是一比二啊。下面还要考虑一个什么呢？这个题填了一个新的条件，就是 e、 f 这个填线是中位线 啊，中位线呢？哎，你看，当它共线的时候，这个角也是直角， 嗯，也是直角，所以这条线呢，就是这个直角三角形斜边上的中线 啊，因为这个点是中点啊，所以斜面中线，斜面中线等于斜面一半，所以这是个等腰三，这两个角就相等的，因为这个角的度数是四十五度，这样呢，我是能算出这个角度来的啊， 这个角度四十五度，这两个角相等，所以这四十五度是外角。马上得到这个角是二十二点五度， 那这个角是九十度，这样我能算其他角，这个角六十七点五度啊，因为这个角和这个角互余， 然后这个角是二十二点五度，这个角也是二十二点五度，因为这个是四十五度，那这个角也是二十二点五度。 嗯，最后呢，我们要求 b d， b d 这条边呢，和 c p 这条边，它两个是对应边，它是它的根二倍，所以你求出 c p 来也可以。而我们发现这个角是六十七点五度， 这个角是二十点五，这个角四十五度，这个角也是六十七点五度，所以得到这是一个等腰三角形， 等腰三角形的话，这个边长就是二，这样我们能求出 c p 来啊，这个是根号二，那这个就是二减根二， 二减根二，再乘以根号二，就是 b 的 长 啊，这样就得出它来。嗯，在这个地方也可以，这个二十二点五度呢，也可以这样得，怎么得呢？哈，就是这个线是一个中位线啊，这个线和这个线是平行的，所以平行线分线段是成比例的， 所以它比它是一比一，那这个比这个也是一比一，那说明这个 p 就是 中点，就是这个线的中点啊，那这条线呢，就既是高线又是中线， 那所以三线合一啊，肯定是，是吧？然后就能得到这个是角平分线，这样就能得出他们的度数来，二十二点五度，二十二点五度，然后这个角而且是二十二点五度，几乎所有的度数都能求出来，所以这个角六十七点五，这个角六十七点五，就能算出他是等幺 啊，这样的话，这个角六十二点五，这个角也是六十七点五，那这个角也是六十七点五， 这个三角形还和这个三角形相似，对应角相等，那这个角也是六十七点五，所以也能得到这个边和这个边是相等的。嗯，这也是等腰三角形， 所以里面呢，几乎所有的度数都能求得出来，然后又有边长，所以呢，我们又得到了一个等腰三角形，这样就好办了。 啊，啊，有，有，等腰三角形，边长就很好算。好了，这个题目我们这样就分享到这里，嗯。

这个视频我们来讲九上期末考的压轴题，这个题整体难度会比较大，那我们来看题目，它首先告诉我们是正方形 a、 b、 c、 d 的 面积是三十六， 但是正方形的面积知道对应我们是不是也就知道它的边长其实是会等于六？一是动点， f 是 bc 上的中点，那这一条线段等于这条线段，并且它们多等于三， 那像现在告诉我们是设 c e 为 m， 三角形 b e、 f 的 面积是 s， 求 s 以 m 的 函数关系，那在我们体系当中看到的是面积，你建立自己的体知识体系， 那看到面积你对应了你要想到什么？第一，你可能要想到的是关于公式法，也就是说比如我要求三角形的面积，那就是我用底层以高。 第二，我们可能关系到面积，我们会往胳膊的方向去考虑，那很简单，这一题他已经告诉我们要求的相关的三角形的面积底知道了，高也知道了，所以我们可以直接用公式法。那我们在这一个地方 s 的 面积会等于什么呢？ 二分之一底是多少？底是 b， f 等于三，那高数是 c 一， c 一 就等于 m， 所以 s 它会等于二分之三的 m， 这是关于第一小问相对比较简单，那我们来看第二小问，它告诉的话 句式上面 c 一 上面的一个动点，也就是这里面屏幕的背景是这两个点都是关于一个动点，那在这一个地方他又告诉我们的 b m 这个等于九十，等于九十度， 并且他告诉我们这一个角会等于这一个角的三倍，那像这种情况，我们可以先再涂两个，这一个角等于 r， 那 这个角是会等于三 r， 这是你可以在题目看到背角，这样去标注，可能会更清晰，并且你在像这一种背角关系，你看到这个你要想要什么，你要对应的去考虑说可能会潜在你要做题过程当中可能会使用到你会把大的角通过什么或平通过， 这样比如说这是三倍角，那你可能会做这样子是阿法，这个是阿法创造角度的相同的这样关系。另外你可能会什么假设这一个是阿法，那么你可能就是补两个角，那他等于阿法建立出角的等量关系，这是可能看到倍角关系你要去想到的， 那他第二个信息又告诉我们了，吞整的这一个角会等于左边的这一个线段的比例关系，那是我们要先想到首先三角函数里面的吞整， 他首先都是建立在什么的样子的一个填集条件，你必须要想他必须要在直角三角形里面建立关系，也就是说只 在三角形里面，他能鉴定说线段之间的关系，所以你一定要看到三角函数里面的相关信息，一定要想着去构造直角三角形。 第二还有这一个地方， b e 减 e f， 那 b e 减 e f， 那 像这种线段，这是不是关于线段的和差关系？那线段的和差关系你就要联想到什么截长补短。好，那第一想问他要求的是吞整 b h c 的 值， 也就是求这一个角的值，那这个角题目是不是告诉我们这一个它有线段之间的这样子的一个等量关系， 那我们首先看到要求吞针的这一个角，那我们第一反应是不是向这边说要在直角三角形里面，并且这个地方确实也给我们提供了一个直角三角形，因为这一个垂直这一个，那这边垂直的这两条线段垂直这个角是不是九十度？ 那我们如果求，如果能知道这一条线段和这一条线段的长度，是不是就可以求出来相对是比较直观的这样子的一个方式。 但是题目当中告诉我们的条件里面关于线段的值是除了正方形的边长是六，还有这边是三，这边是三，除了就没有说在这一个范围里面去提供相应的一个线段值。像这一种我们一般不会去考虑这这一边的一个解析的一个方式， 那我们接下来就需要去考虑说要怎么来解，那像在我们现在所有的题目当中一定要去有合理的使用，说所有的一个条件都不需要去用到，那这个题目当中只告诉我们说除了这边垂直这一个，这三个之间的一个关系， 那这一边的关这一些关系我们说我们要怎么去入手？从这一边得到的一个暗示，我们刚才也分在提议里面，关键信息分析的时候我们有说过，第一我们会去什么去把角度进行一个平分， 这边截长补短，那其实从这两个条件你一结合，你可能就会去想着说，那我先来处理这一个，如处理这一边通过补短截长不断的方式，那是不是就可以构造线段的一个相等，那在这一个我们先考虑就是截长， 那截长我们会在什么？会在 b e 线上截取一个点是 i， 那 使得 e i 会等于 ef， 我们这样子来做这，那我们通过这样子的截长补短，那我们截长补短完以后，这一边做这个什么？ e i 会等于 e f， 那 e i 等于 e f， 那 我们现在是不是得到这一个三角形？它是什么？等腰三角形，对不对？所以我们就可以得出， 那这一边它是一个等腰三角形。那等腰三角形，我们是不是就会想着说，那我这个角知道，这个角也知道，那这一边的这个角是不是可以求出来？那这个角求出来，这两个角是不是对应也会知道？那我们来看一下，这又会有什么这样的一个关系？ 我们设这一个角等于角一，那这边的角一是不是会等于什么？等于一百八十度减去四倍的一个算法， 那四倍的四倍的算法，顶角的角，因为我们知道，那我们把这一个角角，这个角为角二，这个角为角三，那我们是不是可以求出角二等于角三，会等于二分之一的一百八十度减去角一，那这个求出来它会等于两倍的算法，发现了没有？ 角 b f d 等于三倍算法，那角三等于什么？两倍的算法，那现在你是不是就可以知道角 i f b 知道了什么？等也等于 alpha， 它会等于三 alpha 减去二， alpha 也会等于二，等于 alpha， 那 你现在有没有发现， 也就是说现在的角 d 角 e b f 等于角 i e f， 那 这两个角相等，是不是就得到了 b i 会等于 i f， 也就是 三角形 i b i f， 它是一个等腰三角形，好，那这一个它是一个等腰三角形，它等腰三角形你会想到什么？因为现在我们要求的是这一个，但是我们知道一些，这一个角会等于什么？会等于 这一条边通过我们现在算完，那是不是等这一条边比上这一条边，就等于这一个这一个角的吞整角？ 那或者是这一个表等于这比上这一条边，对不对？那我们现在这一个是一个等腰三角形，那等腰三角形，你一定要联想到什么？等腰三角形？你一定要敏感的联想到什么一线三线合一，所以我们这时候我们可以过什么？ 过 i 做 b f 的 一个垂线，假设这一个四 k， 那 这一边你做垂线以后，那你是不是刚才我们知道什么？那我们现在是不是就可以有什么 b k 会等于什么？二分之一的 b f， 那 b f 等于多少？等于三，所以等于二分之三，对不对？那这一个地方等于二分之三，那这时候我们再来看一下，我们刚好 这一个是一个什么直角三角形，那这一个也是一个直角三角形，并且它什么共顶点，这是不是是 a 锥模型？那如果是这样这两个三角形相似，那你是不是就可以求出这一条线段比上这一整条线段的一个比值，对不对？ 并且 b i， 你 是不是也可以求出 b i 或等于 b e 的 这一个比值？对，所以我们可以易得到什么三角形 b k i 会相似于三角形 b c e， 那这两个三角形相似，你就可以得到 b k 比上 bc 会等于 b i 比上 b e， 那 它会等于什么？会等 b k 是 等于二分之三，对不对？那 b c b c 等于六，那它会等于四分之一，那这我们已经求出这一边它等于四分之一。那四分之一。四分之一，所以我们就可以得出什么，所以我们就可以知道 b e 会等于四倍的 b i， 那 b i 知道你是不是可以去除 e i e i 是 不是等于 b e 减去 b i， 也就会它会等于三倍的 b i 的 值，并且 e i 我 们前面已经知道 e i 会等于 e f， 那 他也是 b f 也会等于三倍的 b i， 那 这边我们可以叫吞着角 b h c， 他 会等于 b e 减 e f， 那 他是等什么？ 等于 b i， 那 ef 是 等于三倍的 b i， 两个 b i 相约，那就会等于三分之一，所以我们第一问就除出了 t 正的角 b h c 的 值是三分之一。好，这是第二第二问的第一小问， 接下来我们来看一下第三小问，我们来看第三问，求 c n 的 值。在这一个有这一个条件和这一个条件，在我们在解决 解决第一想问的时候已经使用过了，那在这一个条件是不是我们到目前的话还没有去使用？这是我们可以重点去引起来关注的， 现在的数学当中，特别是几何题当中，所有条件都是需要去使用到，如果你某个条件没有使用过，你可能这时候你要引起注意，是不是有哪里算错？这是现在的一个压轴题普遍的一个特征，那是不是在这一个地方其实还有一个隐藏的一个条件是什么？呃，是不是 这一个你也是想到的，这一个三角形的面积等于多少？这一个三角形的面积是不是等于底？是六，高也是六，所以这个三角形的面积是不是等于十八？这也就是从这个题目当中 引含的这个条件，你也需要去把它挖掘出来。那如果是这样子，那你是不是如在这一边我是不是可以去过 c 点做 b h 的 一个高？那如果做这一个高，你是不是？如果我再知道这一个，那是，或者是我只要去知道这一条跟这一条叉之间是不是会赚建立一定关系，这两条相乘的二分之一 等于十八，对不对？因为这一个看成是底，这一个看成是高，那如果你做了这样子的一条高，这个是不是直角？那现在是不是又通过我们刚才除了这一个吞整角又建立的这样子的关系？ 也就这一条比这一条会有一定的成比例的关系，也就这一条比这条是三分之一的这样子的一个关系，对不对？这 做了也就我们做这一条高，是可以达到什么？我们做辅助线的原则，一举多得的这样子的一个目标，对不对？所以我们过 c 点做他的一个垂线，假设这一点为，这一点为 p， 那这一点为屁，那我们再来看，如果这一点是为屁，那在这一个地方我们还会看到什么？在这里面你可以去注意这一个角会等于这个角，对不对？那这一个角等于这一个角，那这一个角加这一个角等于九十度， 并且这一个角加这一个角也等于九十度，那你现在是不是就可以得出这两个角其实它是相等的，对不对？ 那相等这一个地方又是九十度，这一个地方又是九十度，那你是不是可以得出这一个三角形和这一个三角形相似？其实里面是存在很多的这样子的一个相似的一个关系。那我们现在是得到了什么？ 那你现在就可以去得到了它对应边乘比例的这样子的一个关系，那我现在我们就可以去得到什么？我们这一个又可以推出什么？ p c， 它会等于什么？ p c， 我 们把这一些具体的 b c 等于六，还有什么？还有 a b 也等于六，那我们 p c 就 可以转换回，它会等于三十六除以 b h， p b 会等于等于六， a h 除以 b h， 对 不对？好，那我们现在是不是就求出了 p c p c 这一段的关系？还有这一段，那我们又知道 p c 跟 p h 的 话是三一比三分之一的这样子的关系，也就 p c， 它会等于 p h， 会等于三倍的 p c， 那 这一边是不是等于三？乘以 b h 乘以三分之六，也就是等于 b h 分 之一百零八？ p h 也求出了，我们现在求出了 v p 和 p h 的 一个式子， 那我们 b h 是 不是把这两填线段相加就可以得出 b h， 那 所以我们 b h 是 不是会等于什么？会等于 p v 加上 p h， 那 b p 会， b h 会等于 p v 会等于六？乘以 a h 除以 b h， 加上一百零八除以 b h， 那 b h 这一个式子里面它的都含有分母 b h， 那 我们是不是可以去分母？把式子两边同时乘以 b h， 所以 我们就可以推出 b h 的 平方会等于什么？会等于六，乘以 a h 加上一百零八，那这时候你有没有发现 b h 会等于什么？ b h 的 平方，它是不是是这一个直角三角形 a b h 的 斜边对不对？ 那它的斜边的平方是不等 a b 的 平方，加上 a h 的 平方等于三十六，所以它等于三十六。加上 a h 的 平方等于六倍的 a h 加上一百平方，发现了没有？这一个式子相当于是一个关于 a h 的 一元二次方程， 那我们接下来再来整理一下。好，那我们现在把式子整理成这样子，那整理成这一个式子，接下来我们是不是可以去求减 a h 的 值？ 那我们这时候可以用什么？用十字相乘法，那这一边的话相当于 a h 减去十二，乘以 a h 加上六等于零， 那我们可以解得 a h 等于十二或 a h 等于什么？等于负六，那负六肯定是舍去的对不对？因为线段的长度不可能是负数，所以我们就求出了什么，我们就求得的 a h 的 长度，这一条的长度是等于十二， 那我们要去的是这一个，那是不是接下来我们再来看这一个是等于九十度，对不对？那这一个也是九十度，那这一个角加这样，这个角等于什么？等于九十度，那这一个角加上这一个角也等于九十度，所以我们现在就得到这一个角等于这一个角， 并且这一个等于九十度，这一个等于九十度。所以是不是就可以正得三角形 a、 b h 跟三角形的吗？三角形 d、 c、 n 这两个三角形相似，那是不是就可以来求出 c n 的 值？ 所以三角形 a、 b、 h 相似于三角形 d、 c、 n， 那 这两个相似的话，所以我们就可以得到什么 a b b， c， n 会等于 a h 比上 c d， 所以 cn 的 值会等于 a b， a b 等于六，乘以 c d 也等于六，除以 a h， a h 刚才算出来等于十二，所以求得等于三，所以最后求得的 c， n 的 值会等于三。其实这一个题目相对于对于各位同学来说要求比较高是什么？是你要充分的去挖掘题目里面的条件，也就是要把题目里面的 条件挖掘出来，并且把挖掘的条件对应说在你知识体系当中对应的一些相关的一个知识点，这一个关联和体系的搭建是比较重要的。

来看一下第三位，第三位呢是说，嗯，给了两个边长， a c 和 b c 都是三倍的根号三，这个角度数十五度， 这个角度数十五度，那这个角就是三十度，然后又运动到 e 点，使得这个角也是三十度的时候，求向量 f 的 面积。 好了，这个角是三十度，这个角也是三十度，那这就是一个等腰三角形，那这个角就是一百二啊，这样的三角形呢，这个三角形又和这边这个三角形是全等的，所以这个角也三十度，这个角也三十度，这个角也一百二十度。 再一个，这个三角形的话呢，嗯，三十度，三十度，一百二的这个等腰三角形底边的长度始终是两个腰长的根三倍， 也就是这个三角形，他的三边之比是一比一，比跟三的关系啊，你可以算一下啊，你们还要做垂线就可以算啊，这个就二分之一，这就二分之跟三，那他不就跟三吗？所以这样呢，我们能算出这这个边长是三，这个边长也三，同理啊，这个也是三，这也是三。 然后呢，那这个角度是三十，这个角度是六十，这个角度也是六十，这个六十，这个六十，那说明这个三角形就是一个等边三角形， 所以这个长度也是三，这个长度也是三。下面最终的问题是要求这个三角形的面积，哎，所以这个就是它的底边 啊，因为我们已经正过了这条线， a、 e 是 和它垂直的，是吧？它是延长它，所以说呢，这个就是它的高，现在只剩下这个高需要求了， 我们看一下这个地方怎么怎么来求这个高度啊？我们先来求求这边的度数啊，因为这边的度数已经非常多的已经出现了， 这个角度是三十度，这个边和这个边又相等，这是个等腰三角形，所以马上能得到这个角度数和这个角度数都是七十五度。七十五度呢，这个角就能算出来这个角六十，这个角七十五， 这个角也是七十五度。六十度，七十五度，一百三十五，那这个角就是四十五度， 而这边这个角是一百二，一百二，减去七十五，也是四十五度，所以这个角也是四十五度，对吧？这正好垂直，所以说呢，这就是一个等腰直角三角形完美契合，是吧？ 等腰直角三角形，而这个角的度数呢，是三十度啊，因为这个角和这个角是相等的， 这角三十度，这角九十度，那这个角就是六十度，所以这个边和这个边呢，出现了一个一比根三的关系啊，一比根三比二，而这个边和这个边又相等的，所以怎么求这个长度呢？就设这个边的长度是 a 即可， 那这个边也是 a， 这个边是根三 a， 所以 这个总长就是 a， 加根三， a 就等于三，这样就能够求出这个等这个 a 的 长度来啊。 a， 所以 a 就 等于根三加一分之三，分子分母同乘，根三减一，分母有理化， 这样这个它的高度就求出来了，底是三啊，然后再乘以三，再乘以二分之一，就是它的面积，这样的话它就是四分之九，根三减一。 好了，我们回顾一下这个第三位，嗯，第三位呢，这个 他的做法呢？主要是，嗯，主要是来算什么呢？主要是，首先这个地方哈，这个三角形是一个特别的三角形，很特殊， 嗯，这个三角形呢，三十三，三十度，三十度和一百二十度的，同理这边这样呢，他们的边长和角度都知道了，同理这边也是 啊，然后呢，又很凑巧的凑成了这个等边三角形，所以到这里几乎所有的边长和度数都能求出来，求得出来，这个第三文就可以解决掉。 嗯，这个题的第二问也是稍微有难度，是吧，主要是，哎，这个地方呢，嗯，通过全等能得出来 a e 和 b f 相等，这个是挺容易的，所以马上就能推出来，要证的就是 b e 等于两倍的 c j， 所以主要的还是要添加，就是背长中线啊，背长中线去延长 c j， 后来呢，背长完之后呢，再去正圈的，因为背长完了之后就是正边向的，再去找三角形， 所以再一次提醒我们，遇见中点常见的辅助线的做法，背长中线构造八字形的全等 啊。当然，这个题目呢，在正角相等上我们也稍微花了一点功夫啊，希望你体会这个方法啊，因为我们发现我要正的两对，那两那两个角啊，他们的两边分别垂直， 所以呢，我就想办法让他们这个他们的边长延长一下，有相交的地方。然后呢，再再看图形的结构来证明角相等。 好。这个题目呢，主要是一个由手拉手引起的题目啊，三个题目都贯穿了手拉手，手拉手，全等是基础，在他的基础上再看，再看其他的综合应用。好了，这个题目我们就分享到这里。

下面看一下这个市中区的九上的这个二十四题，这个题目呢，就是抛物线的题目啊，抛物线的压轴。首先来看一下条题目条件， 抛物线的关系式经过了点 c， 然后呢与 s 轴交于 ab， 两点 a 点的坐标知道负一零，然后下面连接 bc， 这条直线是 y 等于 k， s 加二和 y 轴交于点 d。 呃，然后下面呢，就是求第一问抛物线的解析式，这个解析式是很好求的，是吧，把点 c 的 坐标还有点 a 的 坐标分别代入就可以， 点 c 的 坐标能得到这个 c 是 三，然后再把负一零代入求 b 就 可以了。这个 b 呢，求出来应该是四分之九，所以第一问的关系式应该是 y 等于负的四分之三， s 方加上四分之九， x 加三。下面我们看一下。第二位 说，当 e f 和 d f 之比等于三的时候，此时请求出点 e 的 坐标， 这条直线 y 等于 k， s 加二， k 不知道，但是知道 b 值，所以的点的坐标是知道的。嗯，的，点的坐标是零度和二， 也就是这个长度是二， c 点的坐标是零度三，所以 c d 的 长度实际上是一。 然后呢，他要他说这个边和这个边的比值是三比一，所以这个比值这个地方需要进行一下转化，它的技巧实际上也不是很难。嗯，方法就是什么呢？它两个之比，那所以就是构造相似， 构造相似，怎么相似呢？因为这个 df 在 这个小三角形中，所以是要和这个三角形相似。 哎，这条线是不是外轴落在外轴上，所以就是构造这种八字形的相似。过一点做 e f 做 e j 啊，平行于 外轴，哎，这两个三角形不就相似了吗？对，菱角，内错角，这两个边之比三比一，所以这两个三角形相似，比三，这个长度是一，那这个长度就是三， 哎，所以我们就找到了 f， e， g 的 长度是三， e， g 的 长度出来是三了之后，马上我们发现就变成了我们熟悉的问题，这不就是铅垂高的铅垂吗？ 是吧？ e 点和 g 点横坐标相同，所以设坐标即可。 设点一的坐标 m 逗号啊，就是它关系式带到关系式里，负的四分之三 m 方加上四分之九 m， 再加三 这一点的坐标横坐标 m， 纵坐标，求出这个直线的关系式来。带到关系式当中 啊，这个长度是三，这个长度是四，这两个点坐标是知道的四多少零和零多少三，所以马上可以求出的关键词了啊，关键词呢，就是负的四分之三 m 加三， 然后用这个减这个，它等于三，因为这个长度是三，已经知道了，减这个方程就可以啊，一个一元二次方程， 注意加括号，减得这个方程正好一元二次方程发现最后化简整理之后是一个完全平方式， 所以得到 m 应该是等于二的，横坐标就是二，横坐标是二，然后带到关系式里，然后算出来纵坐标应该是二分之九， 这样第二位你就做完了，所以第二位需要稍微进行一下转化啊，把这个式子转化成 转化成的铅垂高，是吧，就变成了我们熟悉的题型，构造一个八字形的相似。好，我们再来看最后一问， 在第一象限内，抛物线上是否存在一个点 p， 使得三角形 b、 c、 o 中，这个三有一个锐角和角 p、 c、 b 相等 啊，如果存在，请直接写出 p 点的红标。好，下面我们看一下。因为这个三角形，这个三角形当中呢， 是有两个角，是吧？两个锐角，一个是这个锐角，一个是这个锐角。那我们先来解决比较简单的那种， 就是如，比如说和这个锐角相等，就很简单，哎，这有个点 p， 如果和它相等，哎，我们发现这个角和这个角正好，它俩是内错角，所以这两个角一旦相等就平行，所以此时， 嗯， p 点在这个位置， p 点在这里和这和 f 平行， 那 pc 平行于 s 轴，所以 pc 两点重坐标相同，则关于对称轴是对称的点，所以这个点坐标就很好办了，是吧？重坐标应该是三横坐标，可以求一下对称轴， 嗯，然后再对称一下也可以，是吧？对折，我们要不然求一下吧。啊，对折，负的二，一分之 b， 二乘以 a， b 是 四分之九， 分子分母同时乘以四，上面九，下面二乘以三，对折是二分之三， 然后呢，说明他的横坐标应该是三，这是第一种情况，下面我们再来看一下第二种情况啊。第一种情况还是相对比较简单， 先画一下图。第二种情况，也就是说，嗯，应该是等于这个角， 哎，这时候 p 点差不多在这个位置，就是这两个角是相等。 这两个角相等之后呢，我们发现这实际上就是一条角平分线，哎，在这里啊，潘老师有一个比较好的方法。嗯，这里不是角平分线吗？ 所以角平分线和什么能挂起勾来呢？角平分线的性质，角平分线点到角两边距离相等 还和什么有关系呢？角平分线这样平行除等幺，这也是一个常见的模型， 所以可以想这些这些啊，你要是到角的两边距离相等，就得做垂线，这些长度倒是知道的，但是他都不是特别好求，所以我可以用角平分线加平行构造等腰， 我做一条平行外角的直线，然后下面延长它交一点 q 吧， 因为这两个角线呢，又因为它和它平行，所以这个角等于这个角，这样的话角平行和平行就出现了，那出现了等腰三角形，等腰三角形就是 就是这个三角形是等腰， 角一等于角二，角一又等于角三， 那所以角二等于角三，所以这条线等于这条线，所以因为我主要就是要求点 q 的 坐标，你如果求出了 q 的 坐标，那 c q 这条直线就能求出来，一连力就可以求出点 p 的 坐标， 所以下面这个点 q 的 横坐标是和 b 点一样是四，需要求下它的纵坐标，设它纵坐标是 a 吧， 然后这块长度是 a， 那 这块长度也是 a， 所以 c q 它的长度的平方可以用两点距离，公式是吧？ c q 的 平方就应该等于 a 方，横坐标就是四减零的方，加上 a 减三的方等于 a 方， 这样就能求出 a 的 值了。十六加上 a 方，减去六， a 加九等于 a 方， 这样就能够得到六， a 等于二十五， a 等于六分之二数，这样我就求出了点 q 坐标，下面 c q 连力求出这条直线关系式和二三数一连力就能求出 p 二的坐标来。 哎，这个 p 二的计算量还有点大啊，同学可以自己做一做，看看你把你求的答案打到评论区，看一下你求的答案到底对对不对。 好了，这样回顾这个题目，第一问啊，很常规，求关式。第二问，实际上也是非常常规的，就是求铅垂高，或者说求那个宽高模型呢，只不过这个题需要稍微进行一下转化。 第三位啊，第三位是角度相等的题目啊，所以想办法来求直线关系式，找点的坐标 好了，整体的这个题呢，难度呢，也不是特别大，还是比较常规的题目，尤其是前两位。好，这个题目我们就分享到这里。

哈喽，大家好，这会我真的得说自己是小马老师了，不然都不认得我了，有人来问我，哎，咋不更视频了呢，消失了一样。确实呢，这几个月吗，就是身体出现了一点小小的问题， 需要小小的养一下身体。但是呢，我看到立夏区的这套卷子，我就坐不住了，忍不住要来说一说这一套题呢，整体来说真的太像中考题了，就是整体来说并没有什么偏难怪的题目， 以后可不好再叭叭劝劝人家适中和立夏的题了啊。但立夏呢，要稍微比例适中那一套再稍微难一点啊。这套题呢，就属于对大学霸还有小学霸都比较友好的一套题，但是唯独对一种啊，对一类学生，那应该就是 不是太友好的啊。这个我一会再说，去看一下他选择的最后一个题，还有填空的最后一个题，这个我觉得可以说是低于中考难度的 啊。所以说，对于人家那些基本上大面上的压轴都已经练过一遍的大学霸们来说，那他们拿这种题简直就是手拿把掐，这次函数那道大题呢，三问都没有偏难怪对于那些就是人家已经就是刷了很多压轴题的那些 小朋友们来说，他们可能也就是会卡在最后一道几何压轴的最后一问上那个其实我感觉思路不是那个题最大的难点，那个题最大的难点就是这个计算就要求大家有非常灵活非常强的计算能力， 然后思路的话无非就是两步相似，倒一倒边，最最最麻烦的还是要解决那个计算问题。 整套卷子对于人家已经人家平时就已经习惯做压轴题的那些大学霸来说，可能唯一的障碍就是在最后一个几何压轴的最后一问上啊 啊，对于大部分就没有做过太大量的压轴题，或者说他平时就懒得动脑，碰到压轴就躲在这部分小孩呢，那你从选择的第九题应该就会卡住了啊，他这个呢，用到一线三等角， 得先把边长转化一下，然后最后是表达式配方来弄这一类题啊，其实是压轴题的一个降维版， 这个其实之前是出现在压轴的最后疑问里的，但是他做了点降维，然后就出现在第九题里边，这个题对大家来说是个坎啊。第十题，你缺少训练的，基本上在精神上就已经对这类题放倒了。这个题出的非常的 简单，其实你用代数，你随便带个特殊值，随便带个数你就能给他试出来，但是你没有类似的训练，你到考场上的话，肯定就是习惯性的放弃了，包括最后一个 监控的压轴也是相当相当的友好，这个其实和选择最后一个都是一样，挺友好的，但是如果说你平时你见到压轴就跑，你都已经躲成习惯了，所以说在考场上的话，你这种去见到， 哪怕你是会做的，你也就习惯性的躲掉了。二次函数就是这个呲水枪的这个应用题啊，这个肯定得倒一大批的小孩，你倒也是活该，因为平时你见到这种字多的需要带点理解的，你就直接就躲了， 所以说等到考场上，你怎么可能突然你一下子灵感炸线，突然一下你理解力倍增，那是不可能的，所以这部分呢，可能就是对于中等生来说，沦陷的小孩会比较多，可能也就拿个一半的分。这样子啊，因为提议他可能有点不太好理解，然后就到了二三二四二五这三道 压轴题，二十三题是属于小压轴比较简单的，二四二五是属于大的压轴题了。对于这三道题来说啊，中考的趋势一定是在这三道大题上会增加难度的。就之前那种什么 p a 加 p b 最小，然后让你讨论个直角三角形等腰三角形 就是这种这种拿起来就能做的这种，这种问法应该是很少会去，出现了这三道大题以后，一定是问法越来越灵活。你说再像之前考的那么直白，我觉得这个可能性不大，你去看一下，就是 近两年的模考和这前面的这个模考和中考题来说，他就是呈现一个越来越难一点的趋势，当然了，相应的计算量，相应的步骤也会越来越多。你像原来对于咱们中等生来说，反比例的三问，其实练一练还挺好拿分的。 二次函数的前两问也都是很直白，呃，几何压轴的前两问也都基本上就是送分了，对吧？前几年一直这个样子的，但是呢，你会发现，慢慢的你这个二次函数的压轴题的第二问已经没有那么送分了， 几何的第二问也是需要你带着思考去做的，不是说拿来就能写的了。所以对于咱们有一类小孩就是相当相当不友好，就是对哪一类呢？就是对于那些其实 智商还在线，就是思维能力还可以，但就是懒得动脑，或者是能动点脑，但是动的也不多的。这类小孩就非常的吃亏，成天光想做那大白题， 拿来就能上手写，看一眼就能会的。这种题，你但凡加点情景应用，就懒得读题了，你但凡拐一拐弯，这个题不眼熟的拔腿就跑。 就对有句话叫求上得中，求中得过且过的， 那基本上最后也就是一百一十来分，你明明有冲刺一百三十分的能力，但是呢，你这个能力就被自己的这个懒惰给淹灭了。所以说，这类小孩如果不寒假，抓紧奋起直追，纠正一下这种意识， 那到下学期就是求中得下你，到时候你就会发现，选择的最后一个不会填空的最后一个不会反比例，可能也就只会两问。那这样的话呢，到现在就已经加吧加吧就得是十一分了。 最后再是二次函数，只会个第一问几何，万一再只会个第一问，这两个大题，咔，十六分就没有了。所以说，你如果不寒假，抓紧去纠正一下的话，等你去做的时候，你的满分就只剩一百二十分了。 那在这种对自己低要求的情况下呢？你前面那些中档题，基础题再错一错，对自我要求过低的话，其实只会放纵自己越来越低，是一件很恐怖的事情，所以说确实是非常非常需要改变一下的。多余的我就不说了，就到这吧，拜拜。

下面我们继续看一下市中区八年级这个期末考试题最后一题啊，这个几何大题， 嗯，然后看一下第一小问，就是这个 a、 b、 c 等腰直角三角形，然后 a、 d、 e 也是等腰直角三角形，共直角顶点摆放， 共这样顶点摆放，然后呢？嗯，第一位求 b、 d 和 c、 e 的 数量关系，以及 d、 c、 e 的 角度。 我们知道这是一个手拉手的题，是吧？公零点在这 a、 b、 a、 c 大 手 a， d、 a、 e 小 手， 大手拉小手就是正这两个三角形圈的这个边领这个边一条边，这个边领这个边一条边。这个角和这个角互余，这个角又和这个角互余，所以角一和角二都是这个中间这个角三的余角 同角的余角相等，这两个角相等， s a、 s 就 挣出来了。所以 b、 d 等于 c、 e 这个 b、 d 和 c、 e 呢？我们可以称为这个手拉手全等的三角形当中的大手和小手之外的第三边，或者是也可以叫做大手与小手的拉手线， 这样我们就挣出了拉手线相等，而且他们所成的角度，这条边与这条边所成的角度就是 d、 c、 e 这个角度就是九十度，因为这个角本身是四十五度， 这两个三角形一全等，这个角和这个角相等，等于角 b 角 b 也是四十五度，所以九十度。这样我们第一问就整完了。下面再看第二小问，深入探究。 当点 d 在 三角形 abc 的 外侧的时候，当点 d 在 三角形 abc 的 外侧的时候， 探求 b、 d 和 c、 e 的 数量关系。这时候呢，就有一种特殊的情况，就是点 d 落在 b、 c 上，这种特殊的位置变到了一般的位置啊，这样就由特殊向一般进行了这个过渡。 三角形全等仍然是完全相同的，所以马上得到 b、 d 和 c、 e 对 应边相等。这个地方千万要注意，因为题目当中问的是他们两个的关系，并不是说他们两个的数量关系， 所以你得到他们两个相等之后，一定要再考虑什么？一定要再考虑这两条边的位置关系， 你看这里不就提示我们了吗？所以在这里啊，有些同学容易忘记他的位置关系， 所以以后再遇到啊，遇到什么呢？就是问题当中问什么什么的关系的时候，两条边的关系，数量和位置，每一项都要考虑，除非题目当中明确的说明了他是数量关系还是位置关系。 好，下面我们看一下位置关系这条边和这条边，哎，看这个样子就像垂直，是吧，我们来正一下啊，下面延长这两条边， 下面我们只需要正这个角是九十度即可。 要想正角度，一定是和手拉手的全等有关。全等当中的什么有关呢？因为得全等之后，就会得边和角的关系，这里正角度那一定是得角的关系，所以三角形全等对应角相等，这个角和这个角相等， 这两个角是相等的，这两个角相等有什么用呢？下面这两个角有点远，我们就要找和这两个角有关的角，和这两个角比较关系密切的角，比如说这个角 啊，这个角和这个角它俩是互补的关系，又因为这个角和这个角相等，所以得到这两个角互补， 这两个角互补，哎，四边形当中对角互补三百六十度，内角和，所以另外一对对角也互补，而这个角的度数 b、 a、 c 九十度，所以得到角 f 九十度， 这样就挣出了这两条边互相垂直的关系。当然用这个角和这个角相等也是完全相同的，这两个角相等，这个角和这个角互补，所以他两个互补，所以导致这个角和这个角互补得到九十度。 这样第二位就证完了啊。前两位呢，应该是说，嗯，不是很难啊，这就是手拉手常见的基本结论。注意这个地方位置关系，不要忘记证明。下面看第三项。问，拓展研究， 当点 d 在 三角形 a、 b、 c 的 外侧的时候，点 d 在 外侧的时候。呃，如果角 b、 d、 c， 它的度数是六十度啊，告诉我们的边长 b、 d 的 长度 b、 d 是 二零三， a、 d 等于根号二十六， a、 d 等于 a、 e 是 等腰直角三角形的边长，求 cd 的 长度。好，我们看一下这个啊，直接写出结果，嗯， 这个角的度数是六十度。首先这两个三角形的手拉手全等仍然有，就是这个三角形和这个三角形保持全等的关系，那马上得到这个边的长度也是两倍的，根号十三。 然后这两个角的这个角的度数是六十度啊，就指这两个角的和是六十，而这个角三角形全等是等于它的，所以得到这两个角的和是六十度 啊。这两个大角他两个就是互余的相加是九十度啊，上面这两个角相加是六十度，那说明下面这两个小角相加就是三十度啊。这两个小角相加三十度，说明这个角是一百五十度， 这样我们得到这个角的度数一百五十度，嗯，还能求谁呢？这个 a 得一等腰直角三角形，边长是根号二十六啊，一比一比根二的关系，所以得一的长度是它的根二倍，所以 应该等于根二十六，再乘以根二等于两倍的根号十三， 求 cd 的 长 cd 在 这儿，这个特殊角度一定要利用好，一百五十度，一百五十度特殊在哪里呢？一百五十度，特殊在它和三十度是互补的， 所以下面就做这个角的补角，就这往这延长，或者是往这延长都能得到三十度，应该是往这延长比较好算， 那这个角的度数三十度，三十度过点 e 做垂线即可，因为你要利用三十度角，三十度角只能在直角三角形中才有用， 这样这个角是三十度，三十度角所对的直角边是斜边的一半，这个就是它的一半，应该是根号三。嗯 嗯，然后呢，三十度所对的直角边是斜面的一半，这个长的直角边是它的根三倍，一比根三比二，所以这个边的长度应该是三。 下面，因为这个边的长度是两倍的根号十三，这个是根号三，勾股就可以算出它的总长，而这个边的长度知道了就能求出来， 所以你可以求一下这个长度啊，这是这个，这个第三位呢，我们做完这个之后，冥冥之中啊，我们就能感觉到有点问题，什么问题呢？就是因为题目的条件很少，他只说了一个，这个点 d 在 三角形 a、 b， c、 y， 所以呢，不保证有其他的情况，可能会有其他的情况，是吧？所以你可以尝试多画一画。好，我们下面看看还有没有其他情况，再画一下。嗯， 点 d， 在 三角形 abc 的 外侧，我们可以先让 abc 保持不动， abc 是 一个等腰直角三角形， 然后呢，下面你就把 a 得 e 这个扇形旋转一下，转一转，以 a 为公共顶点 啊，你可以做一个这个等腰直角扇形的纸片啊，让它的直角顶点在这里，然后旋转。旋转，转到什么呢？ b 得 c 是 六十度，这样一个条件啊， b 得 c 是 六十度。 好，下面我们可以再转到，大约在这个位置，也是可以的。 得点，如果在这个位置， 然后连接 b 得 c、 e， 然后这样这个角度就差不多啊，这个角的度数大约是六十度。好，下面把线段的长度标上它， b， d 是 两倍的根三， 然后 a、 d 是 两倍的根号二十六啊，这个角的度数是六十度， 三角形全等，手拉手的全等，所以 c、 e 也是两倍的根三。 手拉手的圈呢？就是还是 a 的 b 这个扇形圈等于 a、 e、 c。 嗯，这个边的长度能求出来两倍，根号二十六乘以根，根号二十六，这个边根号二十六，它的根二倍就是两倍的根号十三。 cd 的 长度， cd 的 长在这儿，这个边有了，这个边有了， 所以怎么求它呢？还有一个度数没有用，就这个角的度数，这个角的度数是六十度 啊，这条边和这条边它两个的关系呢？在这个图当中就已经讲过，这两条边呢，是垂直且相等的，所以呢，手拉手的 三角形全等，这种拉手线，他还有一个垂直关系，所以我如果延长到这里，那这个角就是直角啊，就可以根据上面的图能正出来，这个角是直角，这个角是六十度，所以马上得到这个角的度数就是三十度。 三十度构造直角，三角形过点 e 向左做垂线， 马上得到三十度。角所对的直角边是斜面的一半，所以这个边的长度跟三，那这个边的长度就是三。哎，在这个三角形当中，勾股定力就能求出 d f， d f 加 c f 就是 c d 的 总长。 刚才在上一位当中啊，这个 d j 实际上是和 d f 长度相等的，就这个长度到这里是应该是加 c f， 而在这个长度里面， c d 的 长度是应该总长减去这个 c j 啊， c j 和这个 c f 长度是一样的，都是三 啊，两倍的根号是三，也可以算一算，很好算啊，它的平方是五十二，减去这个的平方是三， 所以就是四十九，所以这个长度应该是七，所以此时 cd 的 长度七加三，而在这里七减三。 这个第三位主要的就是什么呢？主要的就是如何得到这个图，不要忘记还有一个，还有一个别的情况。再一个就是一百五十度怎么用的啊？怎么和三十度角挂上钩？ 因为三十度角太特别了，所以导致一百五十度也很特别。好了，这样这个题目我们就分享到这里。

各位同学大家好，我是奥数师，今天呢，给大家分享一下二五到二六年九上期末的几何压轴第二十三题，来，我们先看题目本身啊。首先呢，他说数学课上，老师们以举行为背景，探索动点产生的数学问题。 嗯，第一个，四边形 a， b， c， d 呢，是个矩形哎，我们大致标注一下哈，这是一个矩形对吧？ b c 呢，永远小于二倍的 ab， 也就是长和宽之间呢？呃，存在的小于两倍的一个关系。 呃，继续呢， a、 c 是 它的一条对角线，连了一条对角线点 e 是 平面内的一个动点，注意，它是平面内的一个动点， 对吧？那说明什么呢？说明它的范围比较广一些，那我们看看具体来怎么进行哈，好，他说 c e 始终等于二倍的 ab， 也就是 c e 的 长度呢，是 ab 长度的两倍，做 c e 的 垂直平分线。 那换一句话说，说明什么呢？ c f 和 cd 是 相等的，那或者说这两条相等，再加上它也相等， 对吧？然后呢，呃，连了一些线之后呢，他说小敏画出了点 e 在 b c 的 延长线上的图形， 如图一，判断四边形 c， d、 h、 f 的 形状。那我们来看哈， c d， h、 f。 显然呢，我们能知道，第一，垂直平分线，第二呢，有一个直角。 第三，刚刚说了啊， c e 是 ab 的 两倍，那垂直平分说明它零边还相等，还有三个角是直角。那我们就能知道了，第一种情况，显然就是什么图形呢？是个正方形， 对不对？这是第一种比较显然的情况哈。第二呢，小节呢，画出了点 e 和点 a 重合时候的一种形状，猜想 h g 和 c d 之间的一个关系，我们刚刚已经知道了啊， c， g 的 长度 对吧？ c、 e 呢，是 ab 长度的两倍，那说明这两条边和这条边三条边都相等， a g 等于 g， c 同时呢，等于 cd， 对 吧？那放到 a、 d、 c 这个直角三角形之中，那我们显然就可以得到一个信息哈，三十度所对的直角边等于斜边的一半，说明这个角度就是三十度， 对吧？这角度呢，就是一个三十度。好，接着呢，我们看一下 h g 和 cd 之间的关系， h g 在 这儿，那 cd 呢？在这个位置，那事实上，我们求的就是 h g 和 a、 d 之间的一个关系，对吧？那我们显然可以看得出来哈， a g 的 长度 是不是等于根号三倍的这个 h g？ 换一句话说，就是 cd 的 长度等于根号三倍的 h g。 那前两问呢，相对都比较这个正常和简单一些啊。来，我们关键看第三问啊，他说保持图二中的几何矩形 a， b， c， d 形状不变，小齐呢，继续改变点 e 的 位置，不再与 a 重合，且其他条件不变， 对吧？然后呢，请直接写出直线 ef， 注意这个词哈，叫做直线 ef， 说明情况，最起码有好几个， 对不对？那我们的一种情形，求角 a， e， c 的 一个度数，那我们先想哈，首先呢，由于这个，嗯，图二的矩形不变，那我们能知道什么东西呢？ 知道了 c a 和 c e 是 一样长的，那再换一句话说呢，我们就能知道哈，点 e 是 在哪呢？在以 c 为圆心， c a 长为半径的一个圆上，对吧？我们大概呢，把这个圆心给它画出来啊， 好，大概是这个样子的，对吧？那说明说明了什么呢？说明这时候呢，点 e 就 在这个上面去运动， ok 吧？点 e 呢，就在这个圆上面去运动，那要求什么呢？要求它要经 e f 直线 e f 要经过点 a， 那 我们找找关键的信息条件哈，说明什么呢？第一个信息能说明的是 a、 e、 f 是 三点共线的，对不对？ 我们能知道的一个关键核心点叫做 a e f 贡献 好，那言外之意是什么呢？言外之意就是这个点 f 呢，在直线 b c 上，那我们还得画出来 a、 e、 f 三点是共线的情形，那在直线 b、 c 上，我们大致把直线 b、 c 稍微画一下哈， 大概是现在的这个样子，对吧？ f 呢，在这条线上，那我们大致先尝试着去做一做哈，由于点 e 在 它上面动，那 a、 e、 f 三点是共线的，那我们大致先把它画出来， 先尝试一种情形哈，好，这种情形里面呢，我们知道了哈，这个地方是不是所谓的那个点 e， 但是呢， f 含在哪呢？ f 含在 c e 的 垂直平分线上， 那既在 c e 的 垂直平分线上，还得共线，那我们可以得到的信息就更多了一个东西了，那假设这个点是点 f 的 话，我们就能知道 f c 是 不是等于这个所谓的 f e， 对 吧？这是第二个比较关键的条件哈，就是 f e， 它是等于这个 f c 的， 在 c f c e 的 垂直平分线上。接着呢，我们就得尝试着去拖动这个角度了哈，那我们看看啊，大概呢， e 点在这个位置的时候，好像就有这个 f c 和 f e 相等的一个数量关系了，那这个时候呢，它是点 f， 这个呢，就是所谓的点 e， 对 不对？那要求 a e、 c 的 度数，那我们就得把这个 e c 呢， 它得稍微连接一下，对吧？那这时候呢，我们得到了什么东西呢？ f c 和 f e 是 相等的， c a 和 c e 是 相等的，要想求 a e、 c 的 度数，我们假设这角是角差了，那充分说明这个也是一个差，那这个呢，也是一个差，而这个角度呢是三十度， 这时候呢，我们大致呢就能把这种情形给他画出来了啊，就是，这就是我们的第一种情况，大致我们画出来就在哪个三角形，在这个三角形 a、 e、 c 之中，内角和一百八，我们就能知道有三个叉， 再加上一个三十度，它等于一百八十度，那我们就可以把叉呢？嗯，求得出来了，这个呢就等于五十度， 对吧？这就是第一种情况哈，这就是第一种情况，当然呢，点意是可以在这个圆上面去运动的，而且在平面内，我们就得看看他有没有别的一种情况哈。那我老师呢，拿蓝色的笔来画一下哈。 好，我们随机画一下啊。哎，看一下啊，什么时候呢？能满足这个 f e 等于 f c， 同时还得贡献，对吧？那焦点在哪呢？我们能知道的一点是，这时候的 f 点就在这个焦点的位置，对吧？那我们来拖动它，好去观察， 我们先往右头动嘛，好，这时候 f 肯定不太可能， f e 和 f c， 不 可能，不可能。哎，我们发现啊，这个位置附近的时候，是不是有一种可能的情况，那这个就是我们所要的一个点， 对吧？那这个点是那个点 f， 嗯，我们再稍微拖一点点哈，就更合理一些了，好，大概这个位置好，这时候呢，同样求的是这个 a e c， 那 我们能知道什么呢？这条边和这条边是相等的，同时呢， c a 和 c e 永远都是一个相等的关系， 对吧？这时候呢，我们怎么办？要求 a e c， 我 们还是假设 a e c 的 度数是叉，那充分说明这个也是一个叉，对吧？那同理，这也是个叉，这是个直角，这是个六十度。 那在蓝色的这个图形之中呢，我们就又可以列出来一个方程了，是什么呢？一个叉，两个叉，三个叉，加上这儿的一百五，就是三叉， 加上一百五十度，等于一百八十度，那差呢，我们可以求得为十度，对吧？这就是我们所要的第二种情况，当然，还有没有别的呢？我们继续往下探索探索啊，不一定存不存在，呃，接下来呢，老师以橙色的这个颜色来给大家画哈，那 同样的，这条线是不是还可以继续往下动，对不对？那过点 a e， 那 这时候我们还是观察哈，那直线 ec 的 话，如果 e 在 这儿的话，它跑到右边，那 f c 和 f e 有 没有可能相等呢？ f c 和这个 f e 显然是不太可能等的，那我们就继续往下划，好好，继续 好，那挪动，挪动，挪动，挪动到这个位置的时候，好像也不太行，对吧？那什么时候是可行的呢？老师给大家自己画出来哈，那这种位置的时候呢，我们是可行的，我们把这个这个是点 e e c 连一下，那这个 f 就 跑这去了， 大概呢？ f 在 这个这个位置， ok 吧？那这时候呢，我们同样哈，就开始去看看这个角度，刚刚我们已经说过了啊， c e 和 c a 永远是相等的，所以这个呢就变成了叉，这个呢变成叉， 那这样的情况之下呢，我们就可以知道哈，这个大角它本来也是一个叉，对不对？那这是一个三十度，那说明剩下的这个大角呢就是叉减三十， 对吧？那这样的话呢，我们在这个三角形之中就可以用内角和一百八呢把它求解一下，就是三个叉减三十度等于一百八十度，这样的话叉就可以得到为七十度， 对吧？那继续再往下画，有没有可能呢？我们能大概知道哈，如果一点在这个位置再去转的话，那 e a f 这时候的这个 f e 和 f c 它的 就不太可能相等了，对吧？那继续往下，那这个位置上面有没有可能呢？我们看一下啊，如果连接这个 a e， 这是一个 f， 那 f c 和 f e 相等的可能就只有在这个位置的时候， 这样的话呢，大致我们就把情况给它找出来了哈，一共呢就是这么三种情形，第一种就是这个红色的这个五十度，第二个呢是蓝色的这个七十度，这呢就是这个题目的全部。 嗯，今天呢就给大家分享这么多有需要讲解的内容，欢迎大家评论区留言。

来，我们来讲一下这个题，这是二五年济南中考的一道题，看题目一次，函数已知与反比例函数未知相交于点 a 与 x， y 轴分别相交于 b 和 c。 第一问，求 mk 的 值， 这一问比较简单，把点 a 代入已知函数 y 等于二， x 加四，可以求出 m 来，所以最后求的 m 等于一，那一 a 点的坐标就是一。对六。 一到六 a 在 反比例函数上，它的 k 值就是横纵坐标的 g， 所以 k 就 等于六。第一问比较简单，自己补充过程。第二问，点 d 反比例函数上的一点，且横纵横坐标大于 m， 也就是横坐标是大于一。我们看圈一 点 d， 他的横坐标是四，那我们立马就能知道他的纵坐标四豆，他的纵坐标就是六，除以四二分之三， a， e 比 e， d 等于一比二，线段 a、 d 的 长被点一分成一比二两部分。接下来让我们求点一的坐标， 在这里线段成比例，我们想到的是干嘛构造相似，就结合平面这角坐标细的特点，所以我们过点 a 做一条直线，平行于 x 轴， 在这条线上，所有点的横坐标都是点，都是一。接下来过点 e 向这条直线做垂直， 分别是 p 和 q， 所以 这时候 p、 e 和 d、 q 是 互相平行的，那么三角形 a、 p、 e 就 相似于三角形 a、 q、 d， 这时候线段 a， p 比上 a， q 就等于 a， e 比上。嗯，这么写就等于 p， e 比上 q， d 就 等于 a， p 不对，等于 a， e 比上 a d， a， e 与 a d 的 比，那么就是一比三。接下来我们看，如果我求出 p 点的 横坐标和纵坐标，求出 p、 e 的 长，是不是我们一点就可以求出来了？你就说我只要求出 a p 的 长和 p e 的 长，那么一点的坐标就可以求出来了。 接下来我们看这里，那么求 a p， 我 们知道 a q， a q 是 可求的，求 pe， 我 们知道 d q， d q 也是可求的，对吧？那我们先求一下 a q， a q 等于什么？ a q 的 长度，它是不是就等于 a 点的纵坐标减去 q 点的纵坐标跟 d 点的纵坐标是相同的。 q 点的纵坐标，我们可以写出来，横坐标是一，跟 a 的 横坐标相同。纵坐标跟 d 点的纵坐标相同，是二分之三，所以 a q 它就是 a 点的纵坐标， 减去 q 点的纵坐标就是六，减去二分之三，那么就是二分之九。 a q 求出来了，那么 ap 就是 它的三分之一，三分之一 a q， 那 就等于二分之三。接下来我们看这个 d q q d q d 它平行于 x 轴，所以横纵横，它的长度就是 d 点的横坐标，减去 q 点的横坐标，那就等于四，减一 等于三，所以 p e 是 它的三分之一，所以等于三分之一， q d 就 等于一。好了。 ap 这个长度是二分之三，这个长度是一，所以一点的坐标就可以求了。 一点他的横坐标，一点的横坐标就是 啊一，一往右走一个单位是二，然后纵坐标呢？因为 a、 k， a p 是 二分之三， a 点的纵坐标是六六，减去二分之三是二分之九，所以一点的坐标就出来了。我们主要是看圈怎么做 圈二，他说点 m 是 o c 上的一点 c， m 等于一四边形， o m， d， n 是 平行四边形，那么 b a n 这个角是四十五度， 这个角是四十五度，让我们求点 d 的 坐标点 d， 在 反比例函数上，我们可以设它的坐标是 a 豆 a 分 之六。再来接下来看这个 c 点， c 点的坐标我们是可求的，他是一次函数与 y 轴的交点，他是零逗四、 b 点坐标是不是也可求？他是一次函数与 x 轴的作交点，但是零，嗯，求出来是负二逗零 c， m 呢，又等于一，所以 m 点的坐标可求是零度三，那么 o m， d n 是 平行四边形， o m 等于三，那 d n 也等于三。 o m 和 d n 分 别都是垂直于 x 轴的，所以 n 点 它跟 a 点它的横坐标相同，它的纵坐标 o m 是 三，那么 d n 也是三，所以 n 点的纵坐标是不是就是 a 分 之六减三啊？ 所以 n 点的坐标点我们也设出来了。接下来这里告诉一个特殊角，四十五度 b， a n 在 平面直角坐标系里出现四十五度角的时候，这个题咱说过，那就是干嘛角两边 四十五度角，四十五度角两边过一只点做自垂，然后呢？出现什么？等腰 直角三角形，等于二直角三角形，出现等于二直角三角形之后，然后我们再根据一线三垂直， 然后找坐标点就可求了。来，我们看看四十五度角两边 的已知点有谁？那 b， a、 n、 ab 和 a n 是 它的两边，这两边当中 n 很指定它不是已知点，那么 a、 b 这条直线上， c 点是已知点， b 点它也是已知点，所以我就过 b 点或者 c 点做自垂。什么是自垂呢？就垂直于这个点本身 的垂线这里呢？ c 点这个范围比较小，所以我就过，我过 b 点做垂，也就是说垂直于点 b， 然后点像这个 ab， 这里这个角是多少度？是九十度。 接下来我们再连接另一个边 a n 延长好，相交于点 f。 接下来，因为这里我们做的是自垂，所以三角形 a、 b f， 它为等腰 直角三角形，等腰直角三角形，那么出现等腰直角三角形了。行了，又在这个平面直角坐标系里再来，我只要求出点 f 的 坐标， 然后 e 点的坐标已知，那 e、 f 这条直线的剖二，这个解析式就求出来了。解析式求出来了，我们代代代代入点 n， 然后求出 a 来，那 d 点的坐标是不是也可求，也可求？接下来我就创造一线三垂直。创造一线三垂直的依据是什么？ 这个直角点，这个直角顶点 b， 然后过它作平行于 外头的一条直线，然后再过点 a， 分 别向它做垂直， 这时候这个一线三垂直，我们就创造出来了，构造出来了。接下来这个是 g， 这一点是 h。 接下来 b 点的横坐标是负二，所以 g 点的横坐标它也是负二。那么 a g a j 根据一线三垂直， a j 它是等于 b h 的， 那么它是等于三的，然后 b j， 它是等于 h f 的， 它呢？等于六，根据坐标点求啊，所以这一点是这个，所以这个 b， 所以这个 b h， 这里是三，这个 h f， 这里是六，所以 f 的 坐标点是不就求出来了？因为 b 点是在 x 轴上，这一块是三，所以 b h 是 三，也就说 f 的 纵坐标就是零减三负三， 然后，嗯， b 点的横坐标它是负二，负二，然后呢， h f 是 六，也就是说负二向右走六个单位，也就是四，所以 所以 f 的 横坐标就是四，等于负三。接下来我们看 a f 这条直线的解析式，是不是就 将点摁代入就可以了？那 a 点是一对六， f 呢？是四对负三。接下来我们就求 l a f 这条直线，设它的解析式， y 等于 k， x 加倍， k x 加 b， 那 么就是四。哎呦 四， k 加 b 等于负三， k 加 b 等于六。接下来求 k 等于负三，然后 b 呢等于九，所以函数解析式， y 就 等于负三， x 加九，将 n 带入， n 是 a 豆， a 分 之六减三，带入，带入之后， 代入之后，那就是负三 a， 嗯，加九等于 a， 分 之六减三，然后接下来减求这个， 嗯， a 就 可以了。我们分子分母是 a， 所以 同时都乘 n 也 a， 也就是负三， a 方加九， a 等于六减三 a， 然后整理完了之后， a 它是一个二次方程， a 等于 二， a 等于二加减根二。接下来不要忘了我们这个 a 的 取值，这题目中告诉了它的横坐标大于一， 所以这个 a 因为 a 要大于一，所以 a， 最后他等于二加根二。接下来所以 d 点的坐标就是二加根二。纵坐标，那就是六，除以二加根二，同时乘二减根二， 那就等于二分之十二减六倍根二，那就是六减去三倍根二，所以就是六减三倍根二。就求出地点的坐标来了啊。

看一下历下期末考的第十五题啊，这是一个等腰三角形，角 a 的 度数呢，是一百二十度， a， b 等于 a， c 等于五， 嗯，然后呢，嗯，将这个这边这个小扇形折叠一下，这个扇形沿着 d、 e 折叠点 c 落到了点 f 处， 现在告诉我们角 b、 f， 它的正弦值是三分之根三，求下 a f 的 值， 嗯，它告诉我们了这个角，嗯，这个角的正弦是三分之根三， 而这个角的度数呢，又是知道的一百二十度。等腰三角形，底角是三十度 啊，再一个呢，这个是五，所以马上能得到什么？马上能得到这个 bc 的 长度应该是五倍的根三，一比一比根三的关系啊，这个角是一百二十度的话，一比一比根三，所以这个底边长度应该是五根三。 当我们现在知道这个角的正弦也能算出这个角的什么正切之类的，是吧，它的三角函数都能算出来， 而这个角三十度，它也是特殊角，所以在这边就构成了一个背靠背的模型。三角函数当中，知道两边这两个角的度数度数，或者是两个角的正切， 知道这个总长就可以减三角形啊，所以从 f 点往下做垂线 f g， 这样的话，这个这个边与这个边之比就是，呃，根三比三的关系。根三比三，也就是 根三比三，也就是一比根三的一比根三啊，它是等于一比根三的分子分母约掉一个根三， 这说明这个边与这个边之比是一比根三，所以可以设这个长度是 a， 那 它就是根三 a。 勾股定力算一下，这个 g e 就是 根二 a， 而在这个三角形当中，三角角啊，这条长直角边和短直角边是根三比一的关系，所以这个是根三 a， 而这个边和这个边它俩有折叠，所以它俩是相等的，所以这个边的长度应该是根三 a， 这样我们得出了这个方程啊，因为最后这个底边长一共是五根三， 所以根三 a 加上根三 a， 再加根二 a 等于五根三，也就是二根三 a 加上根二 a 等于五根三，所以 a 等于二根三，加上根二分之五根三， 嗯，那这个长度呢，就是二 a， 所以 这个答案应该是五减二 a， 对 吧？ a 现在已经知道了啊，然后下面我们再把它化简一下啊，分为有理化啊，先化二 a 吧，二 a 的 话，就是 十根三，二根三加上根二，分子分母同时乘以二根三减根二啊，分母有理化， 分母长是十啊，十和十约掉 啊，分母是平方差公式吗？分子上应该只剩下一个根三乘以二根三，再减根二，就是六减去根号六啊，所以二 a 就 等于六减根号六， 所以最后这个 a f 的 长度就是五减去二 a， 嗯，所以五减二 a 就 等于五减去六减根号六，所以答案应该是根六减一 啊，这个题目，这样我们就算出单根六减一啊。回顾一下这个题目，主要是啊，利用了三角函数当中的背靠背模型啊，因为这两个角度是一致的 啊，这两个角度，三十度角，特殊角，这个角又告诉我们了三角函数值，只是告诉我们的正弦值，是吧， 所以有正弦指可以求出它的正切。这样这两个角度，一支啊，一座垂线，构造两个直角三角形啊，再一个通过折叠来帮助进一步来解决这个问题。好了，这个题目我们就分享到这里。