c排列组合计算公式

今天给那些零基础的同学讲一下排列组合公式。首先排列公式用 a 表示， 例如 a 六二就表示六选二的排列。排列大家都知道他是有顺序的啊，比如我们排队随前随后有讲究的，比如从一丢一丢，不是，比如从一到六中选两个数字出来，组成一个两位数，那就是六选二的排列， 这种两位数的个数就是 a 六二个。再比如说，从六个学生当中选两个出来，一个做语文课代表，一个做数学课代表，那也是 a 六二种情况。好，说了这么多，这个 a 六二怎么算呢啊？其实他的算法相对比较简单，我们首先将最大的数字六写过来， 然后从大往小乘，就是六乘五、乘四、乘三、乘二、乘一，接下来这个二要发挥作用了。他表示我只能往小的乘两次，也就是说只能乘到五，两个数后面多乘了，所以他的结果就是三十。 那我再举个例子， a 五三等于多少？好，我们就从这个五开始乘，往小的乘，乘四乘三。哎，这次我们多一个心眼，只能乘三次，哎，五四三正好，三个数字有了，那他的结果直接就是六十。 那关于排列公式，还有一个很特殊的表示方法，比如说八选八，或者一百选一百。 a 八八，八选八的排列可以表示成八后， 后面加一个感叹号。 a 一百、一百，一百选一百的排列可以表示成一百，后面加一个感叹号。还用再说？哇，这么多数字全部选了啊，所以加一个感叹号表示我很吃惊。当然在数学上这不是感叹号，这个读作八的接乘 啊，就是像阶梯一样往后去乘。好，这就是我们排列公式的主要内容，接下来讲左个公式。左个公式用 c 表示，这个 c 六二 表示六选二的组合，组合有没有顺序？当然没有了，拿过来就行了，不用排队。好，比如说从一到六中选两个数，没了就选两 数，他就是 c 六二，我要他排成两位数吗？不需要，选过来就行了。再比如说，从六名同学中选两个，没了选两个就行了，我不要他做什么代表的啊？他的表示也是 c 六二。那 c 六 这个稍微复杂一点，我们先画一个长长的分数线，上面呢， 从大的开始写咱们的六过来，下面呢，从最小的开始写最小的不是二啊，永远是一。好，然后都往后乘，大的就往小的乘，小的就往大的乘，乘几次，有经验了啊，乘两次六，往小的乘，乘两次六，乘五 一，往大的乘乘两次一，乘二，他的结果就是十五。好，那我们再看一下四五三等于多少吧。好，首先依然画一个长长的分数线啊，如果画的太长，后面可以擦掉啊。好，上面 依然从大的开始乘五，下面从小的开始乘一。好，上面大的往小的乘，乘三次五，乘四，乘三，下面小的往大的乘，乘三次一，乘二，乘三。哎，他的结果等于十。 好，那么在组合公式里面也有一些特殊的性质。好，第一个性质，若 a 加 b 的原则， c cnb 啊，这个用反向思维可以理解啊，这里就不详述了，那么我们就可以得出，比如说 c 五二，他等于 c 五三， 或者 c 一百九十八等于 c 一百二啊，这个公式就显得他的威力了。为什么？当我们要求 c 一百九十八的时候，如果这样子算啊，很长的式子啊，要乘九十八次啊，上下都乘九十八次，累死你。 但是如果转化成 c 一百二，上下只要成两次就行了，是不是简单很多啊？善于用这个公式很重要。第二个还有一个结论， 第二个结论， cnn 等于 cn 零等于一啊。第一个可以这么理解， n 个里面挑 n 个全要，不就一种方法吗？啊，小孩子才做选择力嘛，大人全要对不对？那为什么 cn 零等于一呢啊？看看 n 加零是不是原。 根据上面这个结论， cn 零就等于 cnn， 所以他也是一啊。这两个公式也正常遇到。而且我在上课的过程中发现同学们非常容易获奖一个事情就是会误认为 a n n 也等于一。当我们既学了排列公式，留学的组合公式，红日混淆啊，回去把这个课程前后好好的复习一下。

好的，我们今天来证一下组合数当中两个重要的公式，第一个公式 c n m 等于 c n 减一 m 减一，加 c n 减一 m。 第二个 m 乘以 c n m 等于 n 乘以 c n m 减一。 那么这两个公式都可以用代数方法进行证明啊，也就是直接计算。我们今天讲一个通俗的理解啊，去理解这个公式啊， 我们先讲第一个，嗯，第一个公式的一个通俗的理解，假设我们这里有 n 个人，这个是你啊，这个是你 啊，这里有 n 个人， 我现在从 n 个人当中选 m 个人出来， 那么从 n 个人当中选 m 个人出来，我们就知道它的方法总数是多少呢？是 c n m， 实际上这个总共的方法总数我们可以分成两大类啊，也就是总共的这个 c m m c n m， 我 们可以分成两大类。第一类就是有你的 啊，那么有你的占了多少呢？有你的，实际上就相当于我们需要从剩下的 n 减一个人当中啊，从这里的 n 减一个人当中 再选 m 姐一个人出来，因为已经有你了，那也就是我只许只需要啊，再取 m 姐一个人就可以了啊，这剩下的 m 姐一个人，我们就从 剩下的这个 n 姐一个人当中取啊，从 n 姐一个人当中我们取 m 姐一个人出来。那没有你的呢 啊，没有你的种类是多少呢？没有你就相当于我们就直接从这个 n 减一个人当中取 m 个人出来， 那就是 c n 减一 m 啊，这样我们就得到了这个总共的这个方法，总数就等于这两类的一个和 啊，你看 你就就啊，相当于从一个通俗的理解上去解释了这一个公式啊，我们先看第二个公式啊，再看第二个公式， 那么第二个公式应该怎么去理解呢？ 第二个公式我们可以从概率的角度去理解，我们也是一样的，从 n 个人当中选 m 个人出来， 你被选中的概率是多少呢？ 啊？你被选中的概率我们记为 p， 实际上根据我们初种的这个算法，初种这种我们初种也可以算呢，实际上这个 m 除圆， 这初中的角度我们都可以算了，那么高中的角度怎么算呢？高中的角度我们就用你被选中的方法总数，就是含有你的方法总数除以整共的方法总数，那么含有你就相当于啊，还是还可以看这个图啊 啊，那就是 c n 减一， m 减一，除以 c n m， 用这两个相对啊，指高中的算你被选中的这个概率啊，实际上就落实到具体的总数上面去了啊，具体的种类就是你被选中的种类，除就含有你的种类，除以总的种类。 那这两万一是相等的，那就是 m 除以 n 就 等于 c n 减一， m 减一，除以 c n m 加了相乘，这样我们就可以得到 m 倍的 c n m 等于 m 倍的 c n 减一， m 减一。 那么它有一些边形，比如把 n 除过去，那就是 n 分 之 m 乘以 c n， m 等于 c n m 减一。 好了，今天我们就讲了这两个公式的一个通俗的理解啊， 当然我们也可以直接用这个代数计算去证明啊，也比较的简单。 好了，今天的内容就分享到这里啊，最后给大家比个心，再见。

公式说明， n 的 结成等于 c， n， k 乘以 k 的 结成，再乘以 n 减 k 的 结成。那么从第一个角度， n 个人站队就有 n 的 结成种方式。 角度二，以 d， k 的 位置为分界，前面选出 c， n， k 的 人啊，进行 k 的 结成的排列，后面的 n 减 k 的 人呢，他们的全排列就是 n 减 k 的 结成 啊。所以 n 的 结成等于 c， n， k 乘以 k 的 结成，再乘以 n 减 k 的 结成。那么从公式的角度怎么理解呢？ a， n， n 等于 n 的 结成，也就是 n 个人的全排列。 a， n， k 啊，就是 n 个人中选出 k 个进行排列啊。那我们因为少了 n 减 k 的 人，所以我们要把 n 减 k 的 结成啊，这个顺序要除掉 c， n， k 呢，就是 n 个人中选出 k 个不排列。所以我不只要除掉 n 减 k 的 结成啊，还要除以 k 的 结成，因为是没有顺序的。

我们来讲一下排列组合问题的十二种常用求解策略。第四种公式法，先看结论，两类元素间隔排列，也就是说这两类元素各自互不相邻， 有两种类型，第一种，两类元素个数相同，把这两类元素分别全排列，相乘之后再乘二。第二种，两类元素个数差一，只需要把两类元素分别全排列，然后相乘即可。我们通过两个题目详细拆解一下， 五名老师和五名同学站成一排，老师和同学间隔排列不同的站法有多少种？我们可以先把五名老师和五名同学分离开，五名老师按照一定顺序排列，有 a 五五种排法。 然后是五名同学全排列，也有 a 五五种排法。再把五名同学看成一个整体，低六起来，不就是间隔排列吗？可以是这个样子， 当然还有另外一种可能，还可以这样排，那么最终的结果就是二八八零零。再来一题，四男三女站一排，男生与女生间隔排列， 男生全排列有 a 四四种排法，女生全排列有 a 三三种排法。我们发现三名女生会产生四个空位，也就是说间隔排列的话，只能是这个样子的。那么答案就是一四四，你学会了吗？

大家好，我是唐老师，今天我们来看一个问题，也就是高中数学学习过程当中的有关排列组合的问题。 那么排列组合的问题啊，就我们先讲一个最简单的，那么也就是排列组合，他的问题主要是你看这样的一个数如何来进行计算？ c 八四啊，这样的组合，那么该如何进行计算？要明白其中计算的原理，那么就比较简单了。首先第一个是排列，排列的形式，那就是相当于这样的形式对不对？也就是 a， 然后 n 的这样的形式，那么这样的形式该如何进行计算呢？其实我们在计算 算的过程当中，其计算的方式就从这个 n 开始对不对？然后 n 的阶层依次往后，那就是 n 乘以 n 减一， 乘以 n 减二，相当于 n 的阶层一直往后走，但是记住了最后一个是在这，那也就是乘到最后一个，那就是 n 减 m， 什么 加上一 m 呢？就代表它乘的什么个数，所以这个乘起来了之后，那么这就是计算的过程。当然具体在计算的过程当中，这个还可以化解成什么？你看 它是 n， 那么我们 n 个数对不对？那么就是 n 的阶层，然后再比上什么 n 减 m 的戒指的阶层，那么这个时候我们就可以解决了。那么这个当中 m 和 n 都必须是什么正整数对不对？所以满足这个就行了，而且 n 里边乘 m 个，那这个地方 n m 就要小于等于 n， 相同的情况下，那就好处理了啊。我们要算的这个 c， 比如说 n m， 那这种形式该如何进行计算呢？公式一定要记住，先有这个转化为 这个是组合，这是排列组合当中先进行排列，对不对？所以我们在计算的时候，那就是先排列 a 的什么啊这样形式，然后再除以什么啊？它的个数 m 到 m 的阶层，对不对？所以这样计算的时候，你看上边这个摆出来就是 n 乘以 n 减一，依次往后 n 减 m， 加一个乘到这个数，然后下边的数这个就变成 这个形式，那就是 m 乘以什么啊？一直乘乘，乘乘到二，再乘到一，全部乘完，对不对？这种形式，那么其实这个一转化，那上边就是什么 n 的阶层，然后再除以什么 n 减 m 的阶层，对不对？我们把照着就把这个搬过来，然后这个 a 到 a， 那就是多少 m 的阶层，写成，对不对？乘 m 个完整的就是 m 的阶层，那么同样这个过程当中 m、 n 都必须是 等整数，而且满足的条件同样 m 要小于等于 n， 对不对？所以了解了公式之后，那么这个结果怎么来进行计算呢？你看 c 八四，对不对？这种的排列组合，那先进行排列，再进行组合， 那了解了这个内容了之后，先啊八的阶层，对不对？先把它写好，然后八， 然后上边是四的阶层，再乘以什么八减四的什么阶层？同样是四的阶层，那八的阶层呢？就是八乘以七，乘以六，乘以五，乘以四，乘以三，一直乘到一， 但是到这乘到四之后有四的阶层，那我前边写完之后，这个到四的阶层，后边继续放着，那就 四的阶层，再乘以什么四的阶层。好，这个时候四的阶层和四的阶层删掉，剩下的是八乘七乘六乘五啊，后边四乘三乘二乘一， 看到这个二三得六啊，四亿约分对不对？二五一十，那最后是不就等于七十了？所以这个计算的过程，大家只要计算最后的这个公式对不对啊？这个或者是这个的形式，那么逐步进行转化就可以了。 所以在进行这种排列组合的计算过程当中，最终计算的方式还是以阶层的形式来进行化解和计算，同学们你学会了吗？

排列组合公式 a 和 c 的区别排列 a 与组合 c 最本质的区别在于对取出的元素是否进行排序，或者说有序要求。 a 及所谓的排列，就是指从给定个数的元素当中取出指定个数的元素进行排序。 c 及组合则是指从给定个数的元素当中紧紧取出指定个数的元素，不考虑排序。例如，从二十六个字母当中选五个排列， 则有 a。 二十六五表示的是从二十六个字母当中选出五个排成一列。有顺序要求。 求他总共有二十六乘以二十五乘以二十四乘以二十三乘以二十二，等于 七八九三六零零。总排法，从二十六个字母当中选出五个进行组合，则有 c。 二十六五表示的是从二十六个字母当中选五个进行组合，没有顺序要求。 他总共有二十六乘以二十五乘以二十四乘以二十三乘以二十二，再除以五乘以四，乘以三，乘以二乘以一，总共是六五七八零各组合。

在这里给大家讲一讲高中数学的硬骨头就是排列组合。各位同学大家好，我是数学周老师， 在这里给大家讲一讲高中数学的硬骨头就是排列组合。这块内容是组合数学里面的最基础最简单的内容，为高等数学打一个基础，但是这一块内容对中学生来说又是最难的，你看网上的老师也不爱讲这块内容，为什么呢？因为不好讲，容易讲错， 甚至连错了还不知道错在哪里，哎！今天我们分五个小块来讲一讲这块内容。第一块呢，就是讲一讲两个原理，两个原理是最基础最重要的内容。所谓两个原理就是加法原理和乘法原理。加法原理说的是完成一件事，注意是完成一件事 有两类方法，第一类呢，有 m 种，第二类呢，有 n 种不同的方法，那么完成这件事一共就有 m 加 n 种不同的方法，注意这是类，每一类都可以独立的完成这件事。 所谓乘法原理，说的是完成一件事需要两步，所以是步，第一步有 m 种不同的方法，第二步有 n 种不同的方法。那么完成这件事一共就有 m 乘以 n 种不同的方法。这里呢，是乘 每一步哈，完成了这个事才算完成了。在具体的题目中，我们一定要分清楚它是什么事， 我们研究方法术一定要搞清楚是类还是不，也就说这个不和类往往是纠缠不清的， 我们把它理清楚了，才能够解决这类问题，也就是我今天要讲的理论一分不和分类的问题。 下面我们来看一个例子，二次函数 y 等于 x 方加 b， x 加 c， 它的系数两两不等，也就是说 abc 这三个数是不等的，且取至这样一个集合，负二，负一，零一二这五个数，求函数的对称轴，再 y 轴右侧这样的二次函数的个数。 这个题我们该怎么思考呢？首先我们要搞清楚这个事是怎样一个事。这个题，这个题我们该怎么思考呢？首先我们要搞清楚这个问题是一个什么事， 那就是要解决的问题是什么？他找的是二次函数的个数，所谓的不同的二次函数，那就是 abc 的 取值 有一个不同，那就是说 abc 一 共有多少种不同的取法，那也就是说那个事是什么事呢？就是取 abc， 就是 把这三个数取出来，不同的一组啊，多少种不同的取法，就是一个不同的二次函数，当然 abc 是 有顺序的， 这里面一个 y 轴的右侧是什么意思呀？对称轴，我们的算法就是 x 等于负的二， a 分 之 b， y 轴的右侧，那就是说大于零，这个大于零什么意思呀？大于零，那不就是 a 分 之 b 是 个负数吗？那也就是说等价于 ab 一 号嘛，对不对？ 关键就是 a、 b 一 号， a 和 b 一 号才符合这个条件，那这个问题是分布来解决呢？还是分类来解决呢？肯定的说， a、 b 一 号是一个特殊的要求，那肯定要优先把 a、 b 取出来，所以分布，先取 a， b， 再取 c， 是 吧？这不就分布了吗？两步，先取 a， b， 再取 c。 当然 a、 b 有 条件的是一号，说一号，那只能一正一负， 那我们看有多少种取法啦。哦，就要分 a 正 b 负 a 负 b 正，所以这里又要分类，先这样两步哈。注意，这是两步，第一步，第二步。第一步里面取 a， b 又要分 a 大 于零， b 小 于零，这是第一类。 还有一类呢？第二类，那就是 a 小 于零， b 大 于零，是吧？那我们就可以分到 a 大 于零， b 大 于零，是吧？那我们就可以分到 a 大 于零， b 大 于零，所以说是 a 二一， 把 a 取完了，不算完，同时还要考虑 b， b 小 于零，只能在这两个字取 a 二一。这里面又有两个小步骤，所以分两步完成了这一类。 a 大 于零， b 小 于零， 这个事情完了吗？还有这一步，再取 c 是 吧？ c 就是 剩下的几个中取哦， a、 b 各取一个，都取完了，还剩几个呀？ a 取了一个， b 取了一个，那不就是取了两个，五个数取了两个，还剩三个， c 就 可以在剩下数字里面任意取，所以剩下的三个中取一个。 同理，这个应该和上面的方法一样， a 小 于零，只能在这两个取，是吧？ a 二一， a b 大 于零，二一， 最后 c 只能在三个中取一个。好了，把这两个拿来怎么样啊？再相加，因为是两类吗？是吧？我们这个题呢，很典型，就是要分清楚什么是二分不还是分类。这里面分两类，每一类里面要分不？这里面又分了两个大不？ 这第一大步里面又分了两个小步，有部有类，一定要把它理清，只有把它理清了，那么算这个才会算的准。好了，关于两个原理呢，我们就举了这样一个例子来说明，我们做这样的题的时候，一定要理清楚，部还是类，类是相加，部，是相乘 不中有泪，泪中有不，那就是有城有家娇气，所以说有相当的难度，这是我今天要给大家分享的主要内容，下来以后同学们认真体会。好了，今天的课就讲到这里，边听边点赞。养成好习惯，朋友们再见！养成好习惯，朋友们再见！

好，前面的一个视频呢，跟大家一起学习了这个排列的定义，接下来呢，我们一起看一看这个 排列组合的公式，以及组合数的一个概念的认识。好，我们看第一个问题啊， 这里呢，给了一个背景，就是这个丝带的一个这个过程，大家可以看一下啊。 好，我们来看一看这个排列数的公式，我们把这个问题啊推到一般形式的这个层次上去了解，就是从 n 个不同的元素，显然这个 m 是 小于等于 n 的， 这个呢，我们把它记成这个排列数，写个大 a， 然后呢， n 呢，写在下面， m 写在上面， n 是 比 m 要大的，大于等于的，这个呢，就表示从 n 个不同元素当中取出 m 个元素的一个排列，记成这个公式。好，这是公式的左边，那它等于什么呢？啊，是我们要学的这个重点内容， 我们把这种符号呢看成呢，从 n 个不同的元素，这个元素呢，我们把它啊巨像放球全扔个球好，然后呢，放入排好了，还扔个盒子当中，每个盒子里面只能放一个球， 然后呢，我们会根据分布乘法计数原理去排列这些球。第一种呢，从全体 n 个球当中任选一个放入第一个盒子当中啊，有 n 种方法 看，只是，然后呢，从剩下的 n 个球任选一个放入第二个盒子当中， 有 n 减一种啊，放入的方法一直能这样内推下去， 好，就 n 减二呢，放到第三个呢，也有 n 减二，所以呢，到了 d m n 部，这是分布乘法技术原理，这个分布的过程非常重要，从剩下的 n 减掉， 你看第二步是减一，第三步是减二， dm 部肯定是减括号内 m 减一个球放到 dm 的 球当中，它的方法呢，应该也是这样的， n 减二，这两个是 同位角的这样一个概念啊，是一样的这种这种方法，所以呢，如图呢，我们可以列个表啊，盒子呢，我们把它已经放好了，表记好了，从 e 到 m， 方法中的分别是 n， n 减一到 n 减 m 减一。 那呢，由于是分布乘法技术原理，他们的每一步呢，是连乘的，这样下来，就从 n 乘到 n 减一， n 减二，一直乘到 n 减 m 减一。那这个呢，在数学当中又有另外的一种记法啊，它跟阶乘呢，是有关联的， 但不是完全的一个阶乘啊，啊，就是可以理解为阶乘的概念呢。 好，刚才我们讲的排列数公式，这左边我们已经熟悉了它的这个概念，右边呢，就是这个 n 乘上 n 减一，一直乘到 n 减上 n 加一，那我们不妨呢，把它一直写，写到一为止， 好，写到一为止呢，这后面我们补充的这玩意就是 n 的 阶乘，就是从一一直乘到 n， 由于这样一来呢，我们其实在这这底下可以写成一，然后我们补充了一个其实 n 减 m 的 阶乘， 对吧？在这个分子上补充了一个 n 减 m 的 阶乘乘到 n， 所以 变成了 n 的 加人，所以分母呢，要把 n 减 m 的 阶乘给去除掉啊。 n 结尾的阶乘就是从 n 结尾 m 开始的， n 结尾后面的约束呢，就是 n 结尾加一。所以排列数公式是这么推导出来的啊，它跟我们分式的这种一般形式呢， 这个原理是一致的啊，只不过呢，我们简化了一种阶乘的表达概念，这个感叹号呢，就是阶乘的一个意思啊，阶乘就是像楼梯一样，一个台阶两个台阶一直乘啊，乘到最后一个，所以 n 个元素的全排列公式呢，就写成这种形式。 那我们有一个规定，就是零的阶乘，它是等于一的，这个呢，在高考复习当中，可能很多同学就忘了啊，要注意一下。 好，我们再来看一下啊，那注意呢，乘积呢，是 m n 个连续正整数的乘积啊，这里都是正整数，第一个数是最大的是 a 的 下标小 n 个数，最小是 n， g， m， n 加一。 好，我们首先来练习一下计算，这个十个当中取三个元素的一个全排列。 哇，刚才讲的他是十乘九乘八啊，一直乘到一，就是十的阶乘，然后呢，再除以，从七的阶乘往下除，所以呢，七的阶乘跟后面这个七的阶乘约掉了，就十乘九乘八， 然后用排列数来表示这个， 那五十五减 n， 一 直乘到六十九减 n， 最大数是六十九减 n， 最小数是五十五减 n， 那 么这中间一共有十五个元素，十五个数，所以呢，它用排列数表示，是最大的是六十九减 n， 最小的呢是这个五十五减 n， 连这个 其实就是这个，他们减完的就是要加一，是这个十五，这 n 减 n 加一，把它找到 好，这是排列数的一个计算方法的一个应用，这个比较重要啊，就是排列数的计算方法，主要是排列数的乘积公式进行计算，应用时要注意。第一个呢 是这个正整数的关键词啊，其中最大的是排列数的总个数，比如说这里的 n 或者六十减减 n， 但正整数因式的个数 是选取元素的个数啊，元素的个数像这里，它不是最后一个数啊，是元素的个数，你看从五减 n 到六十九减，一共有这么十五个元素， 你再看上面啊，这些都是这个元素的这种个数， 一定要记住这个，这两个角标，小 n 呢跟小 m， 小 m 是 元素的个数啊，好化解。 n 乘 n 减一乘到 n 加 m。 首先呢，排列数的这个公式可以知道啊，最拉的就是这个 n 加 m， 然后呢， n 加 m 到 n 有 多少个数呢？ 元素的个数应应该是从 n 加零开始数吧，零加到一加到 m， 是 m 加一个元素啊，也就是 m 减零，再加一 m 加一个元素。好，再求这样的， 一的排列，二的排列到二零二三，这个在 n 的 这个个位数字是多少？这题呢，就是重倒计算了。那我们知道 a 的 n， n 呢，就是它一直乘乘到 n， n 的 接着乘， 当 n 大 于等于五的时候，这里有这个一百二十乘，一直乘到 n， 所以呢，它的个位数字就是五，之后呢，它都是零了啊， 这个五是怎么找的？是这个，因为它乘起来得一百二乘起来这里有个零，那零跟后面的数乘除完都是零，所以呢，我们把前面几个算一下，它等于三十三一， 这是二乘一，这四乘三乘二乘一，所以这个 m 的 个位数的是三 三，然后呢，后面都是零，就是三加零等于三啊，这个有一个这个临界点，就是 n 等于五的这个排列数的这个组合。 好利用排列数公式求值化解于证明计算这个，首先我们一个一个的写一下啊， a， 九和五，就是九乘八乘七乘六乘五乘五个元素就行了啊，这个呢四个元素，这个呢是六个元素，这个五个元素。然后就是计算这个， 这个的话，我们可以把公共的部分给它提取出来，上面的比如说九八七六，然后呢五加一，这个呢可以把十九八七六提出来，然后呢是五减一，然后化解。第二个呢是解这个方程， 首先呢要明白，二 x 加一是大于等于四的， x 大 于等于三，这个要把它算出来啊，而且呢 x 属于正整数。 然后呢由这个得的话，我们把这两个写出来啊，就是二 x 加一，二 x 减一减二，四个元素吧，连成四个，后面呢从 x 四往下连成三个， 然后呢解这个方程解出来呢，它是一 x 方程，有两个结，这个不是整数，所以要舍掉。 接下来呢是排列公式的一个证明公式，就 n 加一 m a 这个，那我们证明这个就是证明左边等于右边，我们先把左边化解一下， 一个一个来啊，这个呢是 n 加一减 m， 也就是 n 加一的阶乘，除上 n 加一减 m 的 阶乘， 然后我们对它进行一个哎，提取公共的部分，公共的部分就是他们共有的啊，是哪些呢？是 n 的 阶乘， n 减 n 的 阶乘就是后面这个， 后面这个提出来是一，那前面提出一个 n 的 阶乘，显然是还剩一个 n 加一，然后提出一个 n 减 n 的 阶乘呢，应该是 n 减 n 加一，没给提出来啊， 然后进一步化简这个式子，先把这个好算的，这个算一下，通分一下，通分一下呢，然后把 n 提到前面去，好 n 的 阶乘放上面不管，那 n 减 n 的 阶乘，再乘上一个 n 减 n 加一，显然就是 n 减 n 加一的阶上啊，多往前乘了一个数，多往后乘了一个数，也就是 n。 那这个东西呢，可以写成排列数的这种形式是两种不同的写法而已啊，就是这个大的写在下面，小的写在上面，才能减一减二。能在 排列数的阶乘变，主要是与这个排列有关的，证明解不等式和解方程，一些计算问题要提取公因式来简化运算啊，这个呢就考到解不等式了。那这个题呢，同学们可以自己尝试做一下啊， 比如说我们再把它写一下吧，八的结乘除上八减 x 的 结乘小于六倍的，这个八的结乘除以八减 x 加二的一个结乘啊，减 x 减负二去加二，然后解这个我们得是 公共的部分，可以约分啊。那这节呢，是为后面继续做排列组合问题的一个铺垫。首先我们计算得搞清楚，不能算错。 最后呢，总结一下这节课啊，排列数的认识，排列数公式的这个 掌握啊，左边呢是这个排列数的形式，右边是分式的一种阶乘，阶乘跟分式的一种组合。然后化解的时候呢，要乘上 要除以公因子，或者呢补上一个公公，一个类似于公因子的这这一串数啊。 然后呢，化解一个证明，从左边往右边或者从右边往左边都行，就直接把优先法，间接法。 我们要忽视这个常见的误区呢，是忽视这个都属于正整数这个条件，同时呢还不如这个 m n 呢，是指这个排列组合当中选出来的这个 m n 的 元素，元素的个数 好，这就是九乘八乘七，像这种呢，他本来是九的阶乘，除上九减三的阶乘，那六乘五六的阶乘呢？被约掉了，所以就设了个六啊，像这种。 后面的题目呢，大家自己做一下。

哈喽，各位小伙伴们，我最近真是飘了，刷了六千题，发电排列组合真的不难呀。咱们的错位排列和咱们的环形排列，其实就是纸老虎， 原来咱们直接可以把公式背下来就行了，就比如说我们的错位排列，他和环形排列呢，都是有具体的一个题型的，这啥意思呢？ 比如说咱们的环形排列，它是指原来的元素均不回到原来的位置，就比如说我之前呢，一、二、三、四， a 在 这个位置， a、 b、 c、 d， 那 我要是它们都不回来原来的位置，那也就是 a 不 在一号，它要在二号、三号、四号， b 不 在二号，它要在一号、三号、四号， c 呢不在三号， d 呢不在四号。咱们排列的话， b 可以 变成 a、 b、 c、 d 可以 变成这样的一个排列，就它每一个元素都不在自己原来的位置上就行。其实在这儿呢，它的原理都可能比较麻烦，但是我们只要把它们常考的一些元素情况记下来就行。 就比如说我们只有一个元素的时候呢，它没办法进行错位排列，只能在它自己那个位置上，所以它有零种情况。两种元素呢，就是 a、 b、 b、 a 交换一下，它只有一种情况，三种元素的时候呢，它有两种情况，四种元素是有九种情况，五种元素有四十四种情况。 这些数据我们可以直接背，也可以把它的公式进行推导出来。其实它的公式它也很简单，我们仔细记一下结果就行。比如说我要求第三位，它就等于前两种的情况数 乘以第二种的元素个数等于第三种的情况数，就是 d n 减二，加上 d n 减一乘以 d n 减一，这个元素的个数等于 d n， 也就是零加一等于一，一乘以二等于二，一加二等于三，三等于三等于九，二加九等于十一，十一乘以四等于四十四，所以下一个位置就等于九加四十四。 好，乘以五就等于我们的 d 六的一个情况。作为排列呢，它是一个很简单的一个题目，只要大家把这个公式会参考的情况数背下来，那么做题的时候，你看到这样的数，直接选答案就行，根本就不用思考。直线排列，把 a、 b、 c、 d 它要排成这样的形式。环境排列就是指 a 在 这， b 在 这， c 在 这， d 在 这，它是眉头没尾的，就是没有前后之分，也没有首尾之分， 这是环形排列。对于这类公式呢，那是我之前把 a 和 d 这二接起来了，所以我们记得公式的时候呢，我们也不用管它是怎么推导出来，直接记结果就行。比如说我六个元素环形排列的话，就是 a 五五，四个元素环形排列的话，就是 a 三三， 所以我们只要记这个答案就可以了，这是咱们的环形排列，所以对于这两种方法呢，我们只需要把具体的结果给它记住。等到题目当中出现了，说 我军不在原来的位置的时候呢，我就想到错位排列出现说环形排列没有首尾之分，没有前后之分的时候呢，我就用这个环形排列，我只要把它的公式具体记一下，到时候这种题目迎刃而解了。好了，这就是今天咱们分享的错位排列和环形排列它两个的一个题目特点，祝大家都能顺利上岸。

我们来讲一下排列组合问题的十二种常用求解策略。第五种消序法。先记一个结论，将 n 个不同元素排成一排，其中 k 个元素的顺序保持一定。有这么多种不同的排法，举个例子看一下原理是什么？ 有三个不同元素， a、 b、 c 排成一排，按 a 在 b 前的顺序排列。有多少种不同的排法？我们看三个元素排成一排，总共有 a 三三种不同的排法。这里强调了 a 与 b 这两个元素的顺序。 那么好，我们按照 a、 b 的 顺序进行分类， a 在 b 前是一类， b 在 a 前是另外一类，那么总体会被均分成 a 二二， a 在 前， b 在 后，这种特定的顺序只占其中一份，所以呢，答案就是三 好了。 n 个不同元素排成一排，那么总体就是 a、 n、 n。 其中 k 个元素按特定顺序排列， 那么总体就可以均分为 a、 k、 k 分， 所以特定顺序就会占总体的 a、 k、 k 分 之一，也就是 a、 k、 k 分 之 a、 n、 n。 结论，记住了吗？做一个题， a、 b、 c、 d、 e 五个同学站成一排，要求 a 在 b 前， d 在 一前。 不同的站法有多少种？对于这种定序问题，我们当然用消序法呢？ a、 b 两人的排法总共有 a 二二种， d、 e 两人的排法也有 a 二二种， a 在 b 前，且 d 在 e 前，这种特定的顺序就会占总数的 a 二二乘 a 二二分之一，那么总数当然是 a 五五喽，所以说答案就是三十。

排列组合是问你有多少种情况数，然后做他的步骤是第一步看目标，第二步看条件，然后看条件是否能一次性完成目标，如果能一次性完成的话，比如说这道题，我坐大巴车就可以达到我从咸阳到西安的目标，他就是完整的一种方法，我们应该用加法，一加一加一。 但是如果后边这道题我问的是咸阳到西安，而你从咸阳要先到汉中，这是不是叫第一步来着？然后再从汉中到西安，这叫第二部分步了，你就要用乘法就行。但是对于某些同学来说， 分类相加，分布相乘，他记起来太费事了。但是好消息是我们已经把判断推理学完了，所以你现在只给我记四个字就行，叫做用且字相连的 用乘法，用或字相连的用加法就行。比如说你再来看这道题，我要从咸阳到西安，我可以坐大巴车，什么？走路或走路，还是且走路 或走路，然后或地铁是不就行了呗？哎，且字相连用乘法或字相连用加法就行，这是整个排列组合的一个非常重要的小点。 然后再者呢，注意，排列组合一般情况下会涉及到一个挑选来着，什么叫涉及挑选呢？就是从 n 中选 m 格，从 n 中选 m 格，怎么做呢？你只要给我记四个字就行，叫做有 a 没 c。 什么叫有 a 没 c？ 如果选出来的元素有顺序要求，咱们就用 an m 去做，没顺序要求，我们就用 c an m 去做。你不需要去理解 a 和 c 是 啥，只要你知道什么时候用谁就行， 而且非常好记。我们有一个足球运动员叫梅西，你就梅西梅西梅西梅西梅西，只要记着没有顺序要求，用 c 就 行了，就可以了。然后接下来我给大家出一道题，你来感受一下啊。比如说小朋友吃饭，食堂里头有肉菜八种， 然后素菜七种，汤五种，这个小胖呢，要吃三个肉， 两个素一个汤。那我问你这道题的目标是不是叫肉素汤来着？那现在我们要先去看我们把这个条件连起来的过程中，是用且还是用或相连的。问大家是三肉，什么两素且两素，还是或两素且两素，什么汤 且一汤？你都用且字相连，那是不是就用乘法去做就行了？但是我只要三个肉，而一共有几个肉八个，那是不是涉及到八中选三了？这道题我让你给肉排顺序了吗？没有顺序要求，用谁 c， 所以 这叫 c 八三。素菜是几选几，七选二叫 c 七二汤叫几选几， 五选一，是不是叫 c 五一就行了呗，这叫 a c。 然后现在呢，我们快速的连练一下 a 和 c 的 计算方法。首先 a 的 计算方法叫 a 七四，我们之前说过，就是你看 a 七四的下角标是几来着？ 七，从七开始按自然数的降序，就七往下走，该谁了六，然后再五再四，就是从下角标开始往下乘上边个数就行，这叫 a 七四。 然后 c 七四怎么算呢？它是一个分数的形式，分子是从七开始乘，叫七六五四，分母是从四开始乘，叫四三二一都是按照它开始的这个数往下乘就行。这是我们这个有 a 没 c 啊，注意了排列组合， 我给大家整理了八个字的口诀，叫且成祸家，有 a 没 c， 你 把这个记着，大多数的排列组合题就算你不会做，你也可以快速的根据特质去进行一个蒙题了，这是我们排列组合相关的一些知识。

管通数学必会排列组合题型，有关数字问题的题目还不能快速搞定的同学抓紧点赞收藏起来。我们来看一下今天这道题，今天这道题，我们会发现这道题也就是排列组合中有关数字问题的题目。 数字问题呢，它在我们整体的版中排列组合题目中属于较难的问题，因为它会涉及到一个特殊的数字，也就是零，因为零这个数它在所要求的几位数中它不能在首位， 所以也就引出了我们对于这种数字问题，它的一个解析思路，需要分为两种情况，第一个，这几位数中不带零的情况。 第二种，也就是带零的情况。根据这两种解析思路来看一下这道题，也就是法一。第一个方法，我说对于这种数字问题，我需要分成两种情况来进行讨论，不带零或者带零。第一种不带零的时候， 因为我要组成无重复的思维基数，那大家来看，我要组成的是无重复的思维基数，所以最后一位他一定是一个基数吧。 那前面是三个基数中任取两个，所以我首先第一个，我先从三个基数里边挑选一个，将它放在最后一个位置，那么然后呢，我从剩下的两个基数里边再挑选一个， 好将它带定。继续，我现在还剩下两个数字。那第一个不带零的情况，也就是我从三个偶数中任取两个，也就是乘以 c 三二， 现在它是属于一积两偶的，我需要将一积两偶这三个数放到三个位置里，怎么放？乘以三的结乘吧。 好，这是第一种不带零的情况。第二种，如果说它带零呢？带零我们要注意它一定是零，不能放在首位，那因为它是四位基数嘛，所以最后一位一定是基数，我先把它写出来，也就是 c 三一， 然后呢还需要一位基数，再乘一个 c 二 e。 接下来因为我说如果他代零的话，也就是从四个偶数里边，其实零这个数已经先把它选好了，也就只能从剩下的三个数里面挑选一个，所以 从三个偶数里边挑选一个数，再乘以 c 三 e， 这代表的也就是 e 积 e o， 再加上一个零，我们需要将这三个数放到三个位置里边。那大家要注意，我说零不能放在首位，零不能放在首位，我应该怎么来做？也就是将一己有其中的一个数 将它放在首位，也就是 c 二一。好，挑选一个数放在首位之后，零就不能放在首位了，那么我将剩下的两个数放在两个位置就可以了，再乘以二的结成。 好，那我来看一下最后的结果等于多少？ c 三，一乘以 c 二，一乘以 c 三，二乘以三的结成，也就是六乘以 三乘以六，等于一百零八。下面代人的情况，也就是六乘以六乘以二等于七十二，那么用一百零八加上七十二算出来是等于一百八的，那么答案是不是选择 b 选项？ 有同学说，老师你这样分析，我在考场上遇到这样的题，根本想不起来，那么做这道题应该怎么来做？大家再来想做这道题还有什么其他的方式？ 也就是法二，它是属于数字问题，数字问题，零不能再守位，所以我们想结合之前学，至多至少他的解析思路，是不是用整体的一个情况减去对立面的情况。 整体的情况呢，也就是将他所有的排列的情况都给他选出来，然后再减去，减去对立面呢？也就是零在首位的情况， 是不是就剩下的就是零不在首位的情况？也就符合题干要求的四位基数的情况一共有多少种？好，首先我们来看第一个，也就是整体需要怎么排列， 它是无重复的四位基数，所以首先第一个一定要保证最后一个数是基数，也就是 c 三一再乘以还剩下一个基数，也就是 c 二一再乘四个偶数里边任取两个，再乘以 c 四二。然后现在它是属于 一积两偶的，我将这三个数放到三个位置，再乘以三的结成。好，这就是整体的一个排序。那我需要减去的一个对立面，对立面是什么呢？也就是 零再守位的情况。那零再守位最后一个数还是积数，也就是 c 三一再乘以。 剩下呢？我还需要从三个基数剩下的两个基数里边挑选一个，再乘以 c 二 e。 从三个偶数里边挑选一个，再乘以 c 三 e， 这就是一积一偶，我将这一积一偶放到中间的这两个位置里边，再乘以二的结成好，最后整理出来他的一个结果。 第一个整体的情况，也就是六乘以六，乘以六等于二百一十六，那下面对立面他的一个情等于 六乘六，等于三十六。因此我们用整体的一个情况减去它对立面的一个情况，也就是二百一十六，减去三十六，得到答案等于一百八。 好，我们这样算是不是也用它的一个对立面的情况也能求出来？无重复思维基数一共有一百八十个呀，所以我们用法一和法二两种方法都可以求出来。最后正确的答案， 其实相对于整体而言，是不是用法二这种方法做起来能稍微简单一些啊？因为如果你分成代零和不代零的情况，那你就需要考虑当代零的时候零不能再守位的情况，这种分析起来还是稍微会困困难一些 好，这就是这道题它的一个解题思路，每日一题完成，艾俊宇老师。

大家好，我是老金，我们之前有讲过很多期的排列组合，但还是有小伙伴在问，像这种三个骰子他能出现的数值的所有种组合，怎么用一条公式拿出来？ 可能之前讲的不够详细，那我们今天来再讲详细一点。在讲函数之前，还是希望大家多点点赞。我们在这边开始展示我们的公式。首先既然是骰子，那他肯定只有一到六， 那我们就肉一到六，反括号有六个数值，这是第一个数，我们在后面连上第二个数 也是一到六。但这一次呢，我们用 carlon 的类也是一到六，也就是 a 到 f 列车，这样我们就得到了一个六乘以六的数组。六乘六的数组过后，我们需要把它转制成一行或者一类，我们把 这个放到边上来看一下，我们是这对数组，我们用 index 把它取出来怎么取？总共这里数组十六六，三十六个，那我需要一个三十六行的数组，肉行就是一到三十六， 我是从这里一二三四五这样取，那我的行应该是每六次往下移一行，那我应该除以六，但是呢，一除以六他还不够一，所以我们把肉这里加上五， 这就是六，这里就是四十一，这样我们的肉函数返回的值就是一到一点几，二到二点几，这样每个整数他都有六次，因为一点二或者一点三，他是 不够让 index 选取到下面这一行，所以我们用不用 inter 把它取整无所谓。我们的行号是每六次往下挪一行，我们取到了这样的，每行重复六次，那我们的列是 一二三四五六，一二三四五六，一直这样，每六次轮换一次，那我们就默的函数也用这个行号， 他的除数也是六，这样行是六，行列是六列，所以我们能摸的函数也是六，这样我们始终会返回一个什么样的数字，我们按 f 九看一下， 是一个零一二三四五零一二三四五零一二三四五这段数组，那我们要的是一二三四五六，我们给他加上一，等于就是说六 除以六，余数是零，接下来七除以六，余数是一，八除以六是二，一直到四十一 除以六等于五，他们的结果再加上一就是一二三四五六，这三十六个数字，他去除以六，他就等于是一个零，一二三四五，加上一过后就是我们需要的这个数值回车，这样我们就把这个数值 全部转换成了一列，这是第一行，第二行就在这里得到。整个转制成一列后，我们是两位数，我们需要的三位数，我们这是一列，那我们就连上一个行的一二三四五六回车， 这样整个我们的效果就得到了，一直到六六六。想学习更多 excel 函数记得关注我哦！那在讲的过程中，大家有看到我这个骰子，他是在轮回变动的，我按一下 f 九，他就能变动，这个怎么做的呢？我们下期分享。