初一下册大题动角怎么写

角问题呢，是初一上学期的最难题型，它主要难在什么地方呢？第一个就是分类讨论的情况特别多，第二个呢就是图非常的不好画，但是我给大家讲过一个方法，叫做三步法， 你用这个方法呢，基本上就可以不用画图也能把这个题做出来。来。我们看一下这道题，他说已知角 a o b 等于一百五十度， oc 为这个角 a o b 内部的一条射线，并且角 b o c 等于六十。那 那我们运用三步法的时候，第一步是不是要先把它转换成竖轴上的动点？我们可以设这个 o b 为零，那 o c 这个地方是不是就是六十？ oa 那个地方就是我们的一百五，对吧？先把这三个确定的我们先定下来，若射线 oe 绕着点 o， 从 oa 开始，以每秒十五度的速度顺时针方向旋转至 o b 结束。来，我们有一个 o e 是个动射线，从 o a 出发，顺时针方向旋转，那我们是不是可以把我们的 o e 表示出来了？他应该是我们的一百五十减去十五 t， 对吧？并且呢，他说运动到 o b 的时候结束，这意味着什么呢？ 就意味着我们这个 o e 它有一个运动的时间的范围，是不是应该在零到十五之间的？总共要运动一百五十度，它的速度是每秒十五度，是不是十秒就运动完了？所以它的时间范围是零小于等于 t 小于等于十。 然后又来了一个 ofof， 绕着点 o 从 ob 开始，以每秒五度的速度呢，逆时针方向旋转，他往那边转至 oa 结束，那我们的 of 他是不是从零开始，每秒五度，是不是零加五 t， 那这个零可以不用加了，它直接就是我们的五 t， 然后运动至 o a 停止，每秒五度，要转个一百五十度，它是不是得转三十秒？所以它的这个时间范围是零小于等于 t， 然后小于等于三十。什么现在呢？设运动的时间为 t 秒， 当角 e o c 等于角 f o c， 其实要注意我们的 o e 和 o f 是不是在动的，现在要让这两个角相等。题目现在要求 t 的值怎么办呢？第一步是不是已经把动射线的位置表出来？第二步是表示这些动角，我们的 e、 o c， 请注意 o e 一开始在 o c 的左边 转着转着，是不是转到 o c 的右边来了？因此我们是不是又要加绝对值，对吧？我可以拿我们的 o e 减去我们的 o c， o e 是我们的一百五十，减去一个十五 t， 然后减去一个 o c 是我， 我们的六十，他的绝对值。这个呢，就是我们角 e o c 怎么来表示了？那 f o c 呢？是不是一开始在 o c 的右边转着转着转到他左边，所以他也需要加绝对值。那是不是一个五 t 减六十的绝对值， 等于一个五 t 减去六十的绝对值？因为 o f 是五 t， o c 是六十，所以把它们俩一减，加个绝对值。这样又出现了一个绝对值方程，一百五十减去一个六十，是我们的九十减去一个十五 t 的绝对值等于一个 五 t 减六十的绝对值，对吧？好，这个绝对值方程呢，我们一般是把它变成两个方程来做的，因为两个数，他们如果绝对值相等，意味着什么呢？意味着他们俩要么本身就相等，要么呢就互为相反数。所以有可能是我们的九十减 减去十五 t， 它等于五 t 减六十，也有可能是九十减十五 t 等于一个六十减五 t， 对吧？第一个，我们把这个减十五 t 移过去是二十 t 减六十移过来是一百五， 二十 t 等于一百五，所以我们的 t 应该等于我们的二分之十五。第二个呢？把这个减十五 t 移过去，应该是十 t， 六十移过来应该是我们的三十，所以此时应该是我们的十 t 等于三十 t， 是不是应该等于个三了？好，这样我们求出来两个 t 的范围，一个是二分之十五，一个是三， 那么做完了没有呢？其实这个题还有一个易错点，我估计有一些人可能听这个视频，听了前面那一段，已经划走了哈精华，没有听到这个题，他的精华就在于这个易错点。易错点在哪呢？请注意我们这个 oe 的表示方式，一百五十减十五 t， 它是有一个时间的范围的，是我们零到十这个范围内。零到十的时候，它是一百五十减十五 t， 但是在十到二十的时候，这一段时间，你明白他是一个定值吗？他不再转了，他是不是已经运动到我们 ob 这就停止了？ 所以我刚刚研究的这个东西是我们的零小于等于 t 小于等于十的时候，我们得到了这样两个答案，一个七点五，一个三，都在这个范围内。但是如果是十到三十小于等于三十的时候，发生的事是什么？ o f 还是五 t， 但是 o e 它现在表示的是零，它停在我们的 o b， 也就是原点这儿了。那这个时候我们这个角，我们的 e、 o c 有没有发现是个定 值，它是等于一个六十的，所以我们的 foc 呢？它是不是也得等于六十度？此时我们的 of 大概应该在这个位置，它必须也得等于六十度， 才能等于我们的 u c， 因为他不可能在这边六十，因为他已经运动了至少十秒了，是吧？所以只可能在那边六十。那他是不是总共走了一百二十度？ 我们的 f 是每秒走五度的，他走了一百二十度，他是不是走了多少秒呢？你应该用一百二十除以一个五等于个二十四，这个二十四还正好在我们的十到三十之间。所以 我们这个题是有三个答案的，除了我们刚刚算的二分之十五和三以外，这还有二十四。这个答案是非常容易遗漏的，原因是他们俩不是同时停止运动，一个先停的，一个还在走，对吧？好，同学们，这道题听明白了吗？我们就讲到这里。

问你一个问题，像这种本月期末考试压轴题必考的动奖问题中的定值问题，你觉得咱家孩子能做到不丢分吗？这个视频韩老师仅用两个核心步骤，带孩子稳稳拿分，一定记得收藏保存给孩子看哦！再把我整理的期末复习必刷题给孩子练习，包含了初一上册的所有重难点，有理书中的 对直数轴动点整式中的找规律、一元一次方程中的应用题、陷于角中的角度动态问题。等做完后，期末考试冲高冲满，我们一起来看这道题。角 a o b 等于一百二十度，射线 o c 在 角 a o b 的 内部， 角 a o c 小 于六十度，将射线 o c 绕着 o 点逆时针旋转六十度，得到射线 o d。 如果射线 o e 在 角 a o d 的 内部， 并且角 d o e 是 三分之一的角 a o d。 若 n 倍的角 e o c 减角 b o d 的 值为一个定值，求出 n 和这个定值， 那要求解这种问题，我们还是用到动角问题解析的两个通解步骤，第一个步骤就是要学会表示动角。第二个步骤，根据题目列关系式。那我们先来看一下怎么去表示角度呢？这里 o e 在 哪不知道，但是人家告诉我们了，在 a o d 的 内部， 并且 doe 等于三分之一的角 a o d， 那 么这个时候大概 o e 的 位置应该就在这里。而且我们知道角 a o c 是 小于六十度的时候，那这里我们的 o e 就 应该是在角 c o d 的 内部了。那么现在我们说 doe 的 度数是三分之一的 a o d 的 度数，然后要表示的是角 e、 o c 和角 b o d。 但这里因为 o、 e 是 动的，所以角 d、 o、 e 的 大小不知道，每个角的大小都不知道，那于是我们就不妨先去设角 d、 o、 e 是 等于 r 法的，用设圆的方法，那既然这是 r 法，那整个角 a、 o、 d 是 不是就是三 r 法的度数？那这个时候我们就要将角 e、 o、 d 给它表示出来。那我们来观察一下， 角 e、 o、 c 是 在这个位置，这个位置是整个六十度减去 r 角构成的，所以它是等于角 d、 o、 c 减去角 d、 o、 e， 那 么就等于六十度减去 r 角。那么接下来我们再来表示角 b、 o、 d。 好， 角 b、 o、 d 是 在这个位置，那这个位置是不是其实是由整个大角的一百二十度减去六十度，再减去角 a、 o、 c 的 度数？好，那就等于角 a、 o、 b 减去角 c、 o、 d。 再减角 a、 o、 c。 那 这个时候我们来看一下， c、 o、 d 是 六十度， a、 o、 b 是 一百二十度，那于是我又要看一下角 a、 o、 c 是 怎 表示的？因为整个大角是三 r 法，这里是六十度，那 a、 o、 c 不 就是三 r 法减六十度吗？所以它就等于一百二十度减去六十度，再减去一个三 r 法减去六十度，那于是我将它进行一下化解，那么就等于一百二十度减去三 r 法。 那么现在我们将这个式子给他结合起来，就是 n 倍的六十度减去 r 法，再减去一百二十度，减去三 r 法这个整体，所以带一个括号，那化简一下，就是 n 乘六十度减去 n 乘 r 法 减一百二十度加上三而法，那这里说他是一个定值，那定值是什么意思呢？也就意味着不管我们设出来的这个而法为多少度的时候，最终都算出来一个定值，那这里其实就转化成了一个与而法 无关的问题。那我们在整式中其实学过无关项，问题与谁无关，就是让谁的 系数为零，那现在我们就要找到而法的项，然后将它合并起来，让它的系数为零就可以了。那这里合并其实就是将而法提出来，提出来以后就是三减 n 倍的而法再减去一百二十度，再加上六十度去乘 n， 那 么这里我们说与而法无关，就让而法的系数为零，而法系数为零，三减 n 就 等于零， n 就 等于三，那 n 等于三的时候，我们 带进去远视就应该是等于负一百二十度，加上六十度去乘三，最终答案应该等于六十度，那也就意味着 n 的 值为三，并且这个定值为六十度。那关于角度的定值问题，你学会了吗？

动点和动角问题呢，是初一上学期各个版本里边最难的题型，其中动角呢，比动点还要更难一些，但是今天掌握了我说的这个方法，所有的动角问题都能解决了。来我们具体看一下，分如图，角 a o b 等于一个一百二十度，在这现在有个定角，然后射线 o c 从 o a 开始，绕着点 o 逆时针方向旋转，每分钟转二十度。那我们现在有一个 o c 是 从 a 这出发， 现在逆时针方向旋转，每分钟二十度。好，射线 o d 从 o b 出发，绕着点 o 逆时针方向旋转，旋转的速度为每分钟五度，它也在逆时针方向，只不过它转的速度呢，是每分钟五度，而且是从 o b 这出发的。那 那现在 o c 和 o d 同时旋转，设旋转的时间为 t 分 钟，并且给了个 t 的 范围在零到十五之间。当 t 为合值的时候，射线 o c 和我们的 o d 是 垂直的， o c 如果是垂直于 o d， 其实结论就是什么呢？是不就是我们的 c o d 这个角它等于九十度，也就是问当 t 为合值的时候，我们的角 c o d 等于九十度，这个我们该如何处理能更快呢？ 其实就是要把这个动角问题转化为动点问题，而且是要转化为数轴上的动点问题。剩下来的呢，就可以用我之前给大家讲的那个三步法来进行处理了。那我现在要把它转换成数轴上的动点， 我必须得有一个原点，我们谁是原点呢？我们让这个 o a 充当原点，也就是它代表的是零。 那我们的 o b， 因为你的 a o b 等于一百二十度，所以 o b 代表的是不是就是一百二十？这两个定下来的东西，我们先确定了，再去确定那俩动的，那这俩动的，比如说我们的 o c， 它应该怎么表示呢？它是不是用起始状态 加上它运动的这个距离？只不过这现在不是个距离，而是个角度了，那我们应该是个零加二十 t， 也就是我们的二十 t 了。好，然后我们这个 o d 也可以表示一下，它应该是我们的这个一百二十加五 t。 第一步已经把这两个动射线的位置表示出来了。 第二步呢，我们是不是要去表示这个角度？在动点问题里边是表示两个点尖的距离，那么在角里边是表示两个动射线的夹角。 c o d。 好， 现在的问题是，我们的 o c 一 开始是不是在 o d 的 后边儿？这其实是个追击问题啊，但是追着追着我们的 o c 有 可能要反超我们的 o d， 所以 它有可能是在它后边落后它九十度，也有可能是反超它九十度。 那如何来表示这样的一个式子呢？我们是不是可以借用绝对值？就像动点问题里边儿，不知道谁大谁小， 不知道谁在左谁在右的时候，我们加个绝对值就完了。所以你在这呢，可以拿我们的一百二十加上一个五 t， 然后减去一个二十 t， 再加个绝对值，就表示出我们 cod 的 度数了。 那现在题目是说要我们的 o c 垂直于 o d， 是 不是就是 cod 等于九十度，那这个绝对值方程等于九十度，有没有发现已经完事？剩下就是一个纯计算，我们在这是一百二十 减去一个十五 t 的 绝对值，它等于一个九十。你是不是变出俩方程，一个是我们的一百二十减十五 t， 它等于九十。还有一个是一百二十减十五 t， 它等于一个负九十，第一个解得我们 t 应该等于二， 第二个解得我们的 t 等于十四，然后你需要去验算一下，看看在不在我们的这个取值范围内。题目是不是给了一个零小于等于 t 小 于等于十五，我们在这 t 等于二， t 等于十四，都在这个范围内，所以这两个答案就都符合要求。 当 t 等于二的时候，其实呢是我们的 o c 还落后 o d 九十度，当 t 等于十四的时候，是我们的 o c 反超了 o d 九十度。它有两种情况，那么我刚刚说过动角问题，把它转换成动点， 再转换成竖轴上的动点，我们来处理就相对比较简单。首先要确定一个圆点，然后把这些定射线的位置表示出来，然后把这些动射线的位置表示出来，剩下来的呢，我们就是表示一些角度，然后呢再列方程就可以了。那么在这跟我们动点问题一样， 分不清谁大谁小，谁在前谁在后的时候，就加绝对值了。好的，这个方法同学们学会了吗？我们就讲到这里。

期末考试啊，就这道题，全班都全军覆没了，因为它很难，难在哪呢？第一个，考一个特别复杂的画图的问题。第二个，又考很复杂的分类讨论。但实际上啊，我今天教大家一个三步法啊，你可以既规避到复杂画图，也可以规避掉复杂分类讨论，具体怎么做呢？我们先来大概看一下三步法到底是什么。 第一步，动角动线问题啊，去列一个位置的时间坐标啊。第二个呢，去把要求的角度划成绝对值关系，规避我们前后值的差值，分类讨论。第三个，我们去解一绝对值方程就可以了。 我们来看一下这道题具体是说的什么，我们怎么来利用这个三步法把它变得简单的啊？首先它给你两个角，第一个呢， a o b 啊，它等于八十度。第二个 c o d 呢，它等于六十度， 两个定角。现在我有一个 c o b 啊，就是这个小角开始动了啊，以每秒五度的速度呢，逆时针去旋转，也就是说这个角的整体，哎，往左边来转，时间的范围呢，给了我们一个限制啊，说，当 a o b 等于 c o d 的 时候 会怎么样？你看啊，它让你去求这个角和这个角最终相等的一个状态下，但是你会发现中间这个角还在动，所以呢， 你这两个角肯定也是要动的，它不是一个固定的值，这我们怎么去画呢？这里边呢，三步法啊，一定要用啊，但是用这三步法之前，先教大家一个化碱的处理的办法。 首先，这里边是一个动角，整个角都在动的问题，我们可以把动角转化成两条动射线，因为你看啊，他说这个角往左转，那实际上呢，我们可以拆出来，先说 o c 这条动线是不是往左转，每一个时间的速度是 五 o b 这条线是不是也是要往左转？哎，每一秒每个时间的速度也是五，拆成两条线再去处理。 那么实际上这道题呢，我们一个重要的复杂的项啊，在于没有给我们零点的位置到底在哪里，对吧？你不知道什么地方是零，或者说不知道它的 起点在哪，所以按照常规意义上啊，你用起点加减数字乘时间去列这个位置时间坐标，哎，不好列，但是呢，我们可以去取相对的值，是不是也行？ 那么我们看一下啊，首先 a o b a o b 让你去求这个，你这个 b 是 个洞的，但是有没有一个确定的数值，它最开始在零时刻的时候是不变的呢？有哎， 给你 a o b 的 起始的大小是八十，所以我们可以去求。哎，你看角 a o b 啊，它等于虽然没有具体绝对位置，但是有相对位置，角 a o b 等于起始的八十度，它这个五度每秒向左运动嘛，越来越小对不对？好，减去五 t， 其实你会发现这它也是一个时间坐标。好，这是一个右边儿， c o d 也是一样的，你会发现这个 c o d 呢，它原来也有一个值是六十，起始值是六十度，然后干嘛？它是不是也要往左转，但是越往左转呢，这个 c o d 的 角会越来越大， 对吧？好，他要怎么着？他要加上五题。现在我会有这样的两种情况来出现，那么这种呢，相当于是我把时间坐标和角度的问题给它结合在一起了，但是你会发现漏了一步啊，因为我们三步法第二步你要通过绝对值来去规避啊，两个 线之间的相遇问题，所以绝对值你必须还得用啊，你不要先写完这个就结束了，这个其实只是第一步的一个事，为什么会有相遇呢？你会发现我们这个 b 线啊，向左 我转的过程当中，是有可能啊去越过这个 a 线的，因为你看他的总的大小是八十，每秒的速度是五，当你的时间特别特别长的时候，其实他会越过这个 a 线，但是呢，由于他这里边有限制十五，那我们算一下 十五乘五得多少？等于七十五，其实是小于八十的啊，所以这一侧他不用加小于十，那么另外一侧你不管怎么转，只要转的不是特别的夸张啊，其实也是不会越过这样的一个限制。 所以呢，绝对值的问题啊，你画也行，不画也行啊，反正最终都大于零，那么我们最终解一方程就可以了，对不对？八十减五 t 等于六十加五 t， 那 么解一下，二十等于十， t， t 等于几 t 等于二，这就结束了我们所有的一个问题。所以你看这个题啊，它其实是我们动角问题的一种复杂问题，简单化，在利用三步法处理之前，有一个数学思维叫做忽略 无关项，因为你看我们求 a o、 b， 你 c 和 d 没关系，所以呢，你虽然是 c o b 是 个动点，但是 c 不 用看。同样呢，你求 c o、 d 的 话呢， b 不 用看，所以忽略无关项以后，再去套用时间坐标考虑绝对值。当然这个题最后我们把它忽略了啊，最后呢，再去解方程 就可以了。所以这题其实最后减起来是非常容易的啊，但核心点还是三步法的核心理念和思维好。那么关于这类问题呢？动点问题啊，我为大家还总结了一些核心题型的训练啊，大家可以关注我并评论区评论六六六就可以领取了。

动脚问题中的定制问题一定是初一期末压轴题中的高频考点，今天韩老师带你一个万能公式，一分钟轻松求写，再把我整理的七年级寒假预习必刷题给孩子练习，一共一百三十八页，包含了七年级下的各种重难点知识，做完后开学考轻松逆袭！ 我们一起来看这道题。已知角 a o b 等于一百二十度射线 o m 以十二度每秒的速度从 o a 开始顺时针旋转到 o b 结束，在旋转的过程中， o n 始 中平分角 a o m。 试问二倍的角 b o n 减去角 b o m 的 值是否为定值？这是一个非常典型的动角问题中的定值问题，那做这类题只需要一个万能公式，就是学会去表示旋转角度，让旋转角度等 运速度乘时间。那现在我们是射线 o m 在 旋转，那它从 o a 转到现在的 o m 的 这个位置，角 a o m 就是 旋转角度，那它的速度为十二时间。我们假设为 t， 那 所以角 a o m 的 大小就是十二 t 度。那现在由于 o n 始终平分角 a o m， 而 o m 到 o b 就 结束了，所以此时它们三条射线的位置关系就是图 通的这样的一个位置关系，那由于角平分线，我是不是可以求得咱们的角 a o n 和角 m o n 各为六梯度，那现在我们要表示的就是二倍的角 b o n 减角 b o m 的 值。那我们先来表示一下角 b o n， 角 b o n 在 这里是用这个大角 a o b 一 百二十度减去角 a o n 的 度数，那刚才我知道角 a o n 是 等于六 t 度，所以它是等于一百二十度减六 t 度，那角 b o m 的 度数其实就等于大小。一百二十度减去 角 a o m， 那 所以是角 a o b 减角 a o m， 角 a o b 依然等于一百二十度 减去角 a o m 是 十二 t 度，刚才表示过了，那于是我们二倍的角 b o n 减去角 b o m， 直接代入， 那就是二去乘一百二十度减去六 t 度，然后再减去一百二十度，减去十二 t 度这个整体，所以说我们给它打上一个括号，那么接下来我们进行下计算， 二百四十度减去十二 t 度，然后再减一百二十度，加上十二 t 度，那最终我们正负十二 t 度抵消，那所以算出来就为一个定值。一百二十度，那会发现我们所有的解决问题的核心都是这一个万能公式，你记住了吗？

今天我们来看这道初一期末压轴必考题型，动脚问题，动脚问题呢，难倒了一大片学生啊，但是你只要用了老师的角度动态问题三步法，就能成为班级的顶尖学霸。咱们来看这道题目，说这个角 f o a 是 二十度角， a o b 是 六十度 角， b o c 是 十度射线 o p 是 从 off 开始出发，然后绕着 o 点逆时针旋转，速度是五度每秒。啊，咱们来标注一下，这是 o p， 然后是逆时针旋转，速度是五度每秒。那同样的来看，射线 o q 是 从 o c 开始出发，绕着点 o 呢，顺时针旋转，然后旋转，速度是每秒四度啊， o q 是 从 o c 开始，然后是顺时针，速度是四度每秒。好，这种动角问题说请求出，当这个角 p o q 等于六十度的时候，射线 o p 它一个旋转的时间。 那说这种动角问题怎么去处理？咱就把所有的角度动态问题都转换成竖轴的动点问题，利用三步法来轻松搞定。 要说竖轴啊，它是有圆点正方向的，这里边角度呢，那我们就去规定一个零度线和这个正方向，那咱就不妨呢，哎，以这个 o f 为零度线，然后按着逆时针方向旋转为正方向。好，咱们来标注一下 o f， 它是我们的零度，然后 往我们的逆时针方向旋转为正方向。这里啊，我们要去看在竖轴动点里边呢，其实它是一个一个的点， 那我们在角度这里呢，其实就是我们的射线啊，就相当于我们竖轴里边这一个一个的点，所以我们往下来去表示射线的度数，表示射线的度数呢？首先你看像我们的一些定射线，比如说这个 o a， 它其实就是二十度，我们的 o b 呢， 整个就是八十度，还有我们的 o c 就是 二十、六十十，一共就是九十度，这是我们的这些定射线。接下来关键的就是我们要去表示这个动射线的度数啊，跟我们这个表示动点是一样的，哎，都是我们的 起点去加减哎，角度这里呢就是一个旋转角度，那我们来看呃，表示一下这个 o p 和这个 o q 啊，那 o p 呢，是从零度开始逆时针旋转，所以是零度去加上一个旋转角度是速度乘时间啊， 五度梯哎，所以就是五度梯。那同样的来看一下这个 o q， 它是从 o c 开始，是顺时针方向旋转，所以呢 o q 它就是从九十开始去减去一个旋转角度是四度梯来， 这是非常关键的一步啊，叫做表示动射线的度数来，接下来我们进入到第三步啊，去列关系式，根据题目中说角 p o q 等于六十度的时候，我这个 o p 啊，它的一个旋转的时间， 所以咱们就来表示一下这个角 p o q， 角 p o q 怎么去表示呢？会发现在刚开始的时候呢，是我们的 o p 在 下， o q 在 上， 但是随着时间的推移，我们的 o p 会在上， o q 在 下了，那这个时候也若不知道谁在上，谁在下怎么办？老师一直在强调啊，你看 我们竖轴动点问题里边，不知道谁大谁小，就是两点作差加绝对只表示距离。 那在我们的角度动态问题里边，不知道谁大谁小的时候，也是一样的，两点作差加绝对值去表示角度，所以就是九十度减去四度 t 减去 五度 t， 它的一个绝对值等于六十度，那接下来我们只需要去解这个方程就可以了，来整理一下，九十度去减去一个九度， t 的 绝对值等于 六十度，所以就是九十减九 t 等于个六十，或者是九十减九 t 等于一个负六十，那此时我们能够得到 九 t， 这种情况下是三十，所以 t 就 等于是三分之十。来看第二种情况，这是九 t 就 等于 一百五，所以 t 就 等于是三分之五十。这两个答案是不是都要呢？哎，会发现这两个答案呢都符合题啊，所以都是没问题的。来， 这就是咱们的动角问题，我们把所有的动角问题都转换成我们的竖轴的动点问题来去处理，大家学会了吗？

七、上动角问题角度计算这一章会直接影响下侧平行线以及平行线拐点模型的学习，那如果咱们孩子现在动角问题角度计算还经常没有思路，压轴题得不了分的话， 那我们这个假期一定要花时间把它刷透学透。动角问题这里常见的一共有五种常见的类型，每一种类型都有它对应的分析方法和解决问题的技巧。 如果咱们孩子现在经常没有思路的话，家长们一定要把这套题打印出来，带着孩子分类型的进行学习，这样才能把我们的孩子举一反三的思维建立起来。下面啊，我就借着这道题，再来带着大家把角度计算这一块的内容复习一下 来一起看啊。这里面角 a o b 等于一百一十度啊， a o b， 这是一百一十度， c， o d， 这里等于四十度。 告诉你 o e 平分， a o c 它平分，那这两个角是不是都是五十五度？ o f 平分， b o d， 那 这两个角都是二十度？ 犹如图，当 o b， o c 重合的时候，让你求对应 e o f 的 度数。第一个问属于白给分的类型题，因为它属于我们对应双角平分线模型的结论，一半一半又一半， 这两个小角相等，这两个小角相等，哎，他俩不就是五十五度，再加二十五度吗？哎，再加二十度吗？等于七十五度。 继续我们来看第二个问，说 oboc 重合的时候，求 aoe 减 bof 的 值，来 aoe 这个角是不是五十五度，来 bof 这个角是不是二十度， 所以 aoe 减 bof 直接是五十五度，再减去二十度等于三十五度。这个题前两个问并不难，它最关键的一个问在哪呢？在第三个问呢？第三个问这里就涉及到角度整体去旋转了。来，注意看， 这里面还是一样说，现在啊， c o d 从图示位置绕点 o， 以每秒三度的速度顺时针旋转， c o d 绕着它顺时针旋转，整个角都在动起来了啊，旋转过程当中问你这两个角的差是否为 这个定值，是否会发生变化？那我们可以简单画一下图示啊，这个角在这呢，然后底下呢，还有一个角对应这个角 c o d， 哎，它是在绕着点 o 顺时针去旋转呢， 这个是原来的 b。 哎，那我们来看一下啊，原来我们说 o e 平分的是 a o c， 它平分的是哪个角？ 平分的是这个角，而对应这两条射线都在怎么样？都在旋转，而且都是每秒三度的这个速度去旋转，那 o e 平分的是这个角， o f 平分的是谁啊？平分 b o d b o d 是 这个角啊，对不对？ 所以你会发现这两个角它都是动的，因为这两条线都在动，对不对？好了，那接下来 aoe 减 bof 的 值我们可以怎么表示呢？由于对应的 aoe 其实就是二分之一的角 aoc b o f 不 就是二分之一的角 b o d 吗？所以咱们只需要表示出 a o c 和 b o d 就 可以了。那怎么表示 a o c 这个角呢？哦，你会发现原本这个角度数给你了，就是一百一十度，对不对？ 而它转动的速度就是每秒三度个这个，这么每秒转三度对不对？所以整个这个小角的度数是多少啊？是不是它转过去的三 t 啊？ 所以整个这个角 a、 o c 就 等于一百一十度，再加上三 t， 对 不对？那对应咱们再来表示一下角，哎， b o d， b o d 人家原本是多少啊？哦，原本是不是 c、 o d 是 四十度，这是四十度 啊， b、 o d 不 就是四十度再加三 t 吗？那他们的一半，那不就是五十五度，再加上二分之三 t 再减去，哎，对应二十度再加上二分之三 t 吗？ 哎，你会发现减掉了之后，二分之三，二分之三减完没了，他不就剩下三十五度了吗？所以会发现他俩的值会发生变化吗？ 不变，永远是一个定值，这个定值就是三十五度。那有关于整个这样一道综合的大题啊，往往前两个问不难，但是最后一个问需要你自己画图，找清楚动态角度之间不变的量，这样就能够轻松求解了。

本月期末考试十二分的压轴题必考，这种冻脚问题一定收藏保存给孩子看，考试遇到不丢分！这道题难度非常的大，综合了两个压轴考点，第一个是双脚平分线运动，第二个是冻脚中的适而不求方法。 今天韩老师用一个视频带你彻底学会这两种题型韩老师已经全部整理好了， 拿去给孩子练习，期末考试轻松多考二十到四十分。我们一起来看这道题。直角三角板，直角顶点 p 在 直线 c d 上， a 和 b 在 c d 的 同侧， 当角 a p c 是 四十度的时候，问角 b p、 c 是 多少度？这个非常简单，就是用平角减去四十度，再减去直角顶点九十度，所以它等于五十度。第二个问 pm 平分角 a p c p n 平分角 b p d。 求角 m p n 的 度数，那这就是一个非常典型的双角平分线模型。遇到这种题，直接用设而不求的方法，我就设 角 a p m 和角 m p c 都等于 r 法，角 b p n 和角 d p n 都等于贝塔，那于是乎根据平角，我们可以列出一个等量关系，就是两个 r 法加上九十度，再加上两个贝塔是等于一百八十度的，那我不能求出 r 法加上贝塔就等于四十五度， 要求的是角 m p n 这个角的度数。角 m p n 其实就是由 r 加九十度再加上贝塔构成的。 而我刚才已经求出了 r 加贝塔这个整体，直接带入进去就等于九十度，加上四十五度，那么就等于一百三十五度。会发现这是动角问题中的一个定值问题，不论咱们的角 a、 p、 b 怎么样，旋转的时候只 只要左边有角平分线，右边有角平分线，那么这两个角平分线之间的夹角一定是一个定值，即为一百三十五度。那这里我们也用到了适而不求的方法，那根据这个方法，我们 可以继续求解第三个问题。如图三，当点 p， 让三角板 a、 b、 p 继续旋转，使得 a 和 b 在 c、 d 的 异侧， a 在 上方， b 在 下方。当角 a、 p、 c 是 四倍的角 b、 p、 d 时，求角 b、 p、 c 有 多少度？那这道题 我们依然可以继续用适而不求的方法。我就设角 a、 p、 c 为 x 度，那我就可以通过已知条件把 其他的角给他表示出来。那么此时因为角 c、 p、 d 等于一百八十度，那么角 a、 p、 d 就 应该等于一百八十度减去 x 度。那么同理， 角 a、 p、 b 等于九十度，那角 d、 p、 b 就 应该等于九十度，减一百八十度，减 x 度，所以它就是 x 度减去九十度。那么接下来呢？我们就根据题目给到的等量关系，直接列方程就可以了。 x 度是等于四倍的 x 度减去九十度，那所以说 x 就 应该是等于一百二十度， 那么 x 既然等于一百二十度，所以角 d、 p、 b 是 不是就应该等于一百二十度减去九十度，等于三十度，那么角 b、 p、 c 是 不是其实就是角 d、 p、 b 的 一个补角，所以它应该等于一百五十度，所以它的值也是一个定值。这两种题型你学会了吗？

时钟运动问题是动脚压轴题板块比较喜欢考察的一个体型。这道题目之所以很多同学不会做，其根本原因就在于没有掌握解决动脚问题的一种思想，根据题目条件进行分析， 然后画出满足条件的可能的情况。今天老高就通过这道题目讲清楚有时钟运动形成的动觉问题来。我们先读下题目，题目告诉我们有一个时钟，它的秒针由于故障停在这个地方不动， 时针与分针是正常运动的，小青发现在三点整的时候，秒针正好是时针和分针夹角的平分线。我们知道在三点钟的时候，时针与分针形成的夹角是九十度， 而秒针既然是它的平分线，那说明这边的这个角就是四十五度，同样这边的这个角也是四十五度。题目又说，经过 m 分 钟后， 秒针又一次成为时针和分针的角平分线，求 m 的 最小值。要解决时钟问题， 朋友们首先要知道以下知识点。第一，每个大格是三十度，因为我们知道一圈是三百六十度，总共十二个大格，所以每个大格是三百六十除以十二，因此也就三十度。每个小格是六度，因为我们知道每一个大格里面有五个小格，所以每个小格就三十除以五，因此也就是六度。 第二，我们要知道时针、分针和秒针转动的速度，时针每分钟转零点五度， 分针每分钟转六度，而秒针每分钟转三百六十度。知道了这些知识点以后，我们再来分析这道题目。我们看由于秒针使不动的，它始终是在这个位置，在此针与秒针相比之前，时针、分针和秒针其中的头大致是这样的， 我们很容易发现秒针和分针所形成的这个角一定是小于秒针和时针所形成的这个角。所以在分针追上时针之前， 秒针不可能是分针与时针所形成这个角的角的角平分线，它一定是在分针超过秒针以后才有可能。我们大致划出可能的情况， 这个就是分针，这个就是时针，并且这个时候这个秒针是分针和时针所形成这个角的角平分线。由于时针每分钟转零点五度，所以这个之间形成这个角就是零点五 m， 分 针每分钟转六度， 经过 m 分 钟，所以他转过的角，也就是这个角就是六 m n。 根据秒针四十针和分针所形成这个角的角平分线，那我们就可以列示，这边的这个角就是四十五度，加上零点五 m， 均匀呢等于这边的这个角，那这边的这个角是多少呢？ 原来的这一部分是四十五度，再加上这里的这一部分，这一部分是多少呢？这一部分明显的它就是三百六十度减六 m， 我 们接下来再写这个面积方程就可以了，化解一下就得到零点五 m， 就 等于三百六十度减六 m 一 项就可以得到六点五 m， 就 等于三百六十度，所以我们就可以得到 m， 就 等于十三分之七百二十。各位，这道题目你学会了吗？

出一动巧问题对于绝大多数孩子来说是一大难点。解决这类问题的关键是在于类比，很多同学不知道如何类比，如何把角度的动态问题转化成竖轴上的动点问题，把这两块知识进行迁移和类比。 不要着急，我就以这道题为例，用最简单的语言给大家讲解角度动态问题的应用逻辑和书写规范。我们先来看前面的两小问，比较基础的两小问，如图一，已知角 aob 等于六十度， 角 a o d 等于一百一十度， o c 为角平分线，那求角 a o c 的 度数。这是一道比较简单的题，角 a o c， 它是由这两个角组成的，一个是六十度，一个是角 b o d 的 一半。根据总的角， 角 a o d， 大 角一百一，减去六十，那角 b o d 就是 五十，五十的一半是二十五度，所以角 a o c 很 容易能算出来是八十五度。 我们再来看第二小问，第二小问，它把这个具体的度数变成了用字母表示，角 a o b 是 m 度，角 a o d 是 用 n 来表示，还 o c 还是角平分线，依然让我们去求角 a o c 的 度数。角 a o c， 角 a o c 就 等于 角 a o b。 这个角加上角 b o c， 那 b o d， a o b 是 m 度二分之一的角 b o d， 那 我们的角 b o d 可以， 角 b o d 可以 用这个绿色的角可以用 n 减去 m 来表示，就是二分之一的 n 减 m 来表示，整理一下就是二分之一 m 加二分之一 n， 你 也可以写成二分之 m 加 n， 这就是 a o c 的 度数。好，下面第三问就是动角的应用，我们一起来看一下 角 a、 o、 b 等于二十度， a、 o、 c 等于九十度，有几角角 a、 o、 d 等于一百二十度。射线 o、 b 绕点 o 以每秒十度逆时针旋转，十度 逆时针旋转， o、 c 以每秒二十度顺时针旋转，二十度射线 o、 d 以 o 为圆心，每秒 三十度顺时针旋转。两个顺时针，一个逆时针，三条射线同时旋转，当一条射线与直线 a、 o 重合时，三条射线停止运动。读到这，我们心里要有一个这个时间的节点， 那 o、 b 是 顺时针旋转，它，它只有转一圈才会跟 ao 重合，那 o、 c、 o、 d 都是顺时针旋转，它是很快与 ao 重合的。我们来看一下这个时间， c 它运动的时间 o、 c 转动的转到 o， a 是 九十度，用九十除以二十，它是四点五秒 啊，这个 c 运动的时间是四点五秒，那 d 运动的时间一百二十度除以三十，他运动的时间是四秒， 也就是说我们去看他这个运动的时间，整体的时间他是大于零，小于等于四秒的，这个就结束了。所以我们在做题的时候一定要有一个时间的观念， 然后其中说其中一条射线夹角的角平分线。 同学们读到这，你有没有感觉他跟我们的竖轴是比较像的，在我们竖轴上啊，有三个动点的话，他会问其中一个点是另外两个点的中点是不比较类似，所以那这个地方就是把这个知识进行一个迁移， 那我们会做竖轴上的动点问题，我们有中点公式去做竖轴上的动点问题 啊，这是 a， 这是 b， 这是 c。 假如 c 是 ab 的 中点，我们有中点公式， c 等于二分之 a 加 b， 这是我们的中点公式。 好，那我们来看一下，这是动角，这是直线上的动点，我们该怎么样去做？所以我们要有一个类比的话，在这个动点上，我们先来给他找一个零刻度线， 那我们数轴上有圆点，我们的动角上就要有零刻度线，所以我们要给他一个规定，那我们要交代清楚，我们规定 o a 这条射线为零度射线，那 o a 这个地方是零度。 再接下来还得规定他的方向，我们可以规定顺时针为正方向，也可以规定逆时针为正方向，你随便怎么规定都行，我这道题规定逆时针 为正方向。好，现在我就来给大家做一个类比， 那咱们的 o a， 那 我就是在直线上，我就是 a 为圆点，然后角 a， o b 是 二十度， 那就距离圆点二十度，那我这里我这有个点 b， 那 这里我就记作二十。那所以在射线 o b 这里，在射线 b 这里，我就记作 o b 这条射线是二十度的射线，能理解吗？好，继续 oc， oc 这个地方是九十度，距离这个零度射线是九十度，那我就记作 oc 这个射线是九十度，那我在这里找一个 c 点，它表示九十。 然后我们再来看 o d 这条设射线 o a， d 是 一百二十度，我就 o d 这条射线，我记作一百二十度，我在这里再找一个点 d， 一 百二十。好了，我把角度的动态写成了这个射线，把这点都找到， 然后我们再来看，我们知道动点表示我们的竖轴向右为正，那我这里规定 逆时针为正好，那这里就为负，就向负方向。然后我们在表示动点的时候，动点表示是，比如说 b 是 从二十一动，把这个数字写下来，向右就是加，加上它的速度是十 度，然后我们设 t 秒，就是记作十 t 加十 t。 那 么我们类比这个射线， o b， 他是从二十度开始，他是从二十度开始，逆时针为正，就是加他运动的速度是十度每秒，写十七加十七，好，这就是动脚的表示，这就是动点的表示。进行一个类比， 好，同样的我们就能表示出来， ob 这条 oc 这条射线， oc 这条射线，它是从九十度开始出发向顺时针，我们规定逆时针为正，那顺时针就为负，就是减去二十 t， 那 同样的我们看 c 点，这个 c 点动点的表示它从九十那相反方向减，减去，它的速度也是二十 t， 好，这是动点，这是射线动，动线动角的表示，那我们就能类比出来， o d o d， 它是从一百二十度 顺时针减，逆时针为正，顺时针就为负，减三十 t， 好， 那我们就能把这个表示出来，那动点也是一样的，是一百二十减三十 t 好了，那他说其中一条射线是另外两条射线的夹角平分线，那就是相当于其中一个点是另外两个点的中点， 那比如说那 c 为中点，那就是二分之 b 加 d， 那 角平分线呢？我们来画一下，我们来画一下其中的这种情况，那这个就是当，比如说先当 o c 为中点的时候， o c 为中点的时候，我们就会发现 o c 在 o b 之间，那类似我们的线段上的中点公式，那我们的这个 o c 射线的这个度数就等于 o d 这个动点动射线 o d 的 度数加上 o b 度数除以二，就是就是 o c 的 度数，所以我们在这里写好，有了我们数轴上中点的公式，中点等于二分之 b 加 d 啊 b d 的 中点 c 表示的是等于二分之 b 加 d， 那我们第一种情况，当 o c 为角平分线的时候， o c 就 在它俩的中间，就应该等于射线 o d 的 度数，加上射线 o b 的 度数， 再除以二二分之 o b 加 o d 给它带进去，就是九十度减二十七，等于 二分之二十度加十 t， 然后再加上一百二十度减三十 t， 然后我们可以算一下 t 等于，经计算得 t 等于两秒， 然后接下来这是第一种情况，第二种情况，我们发现 o b 可以 作为角平分线，那 o b 就 等于二分之 o c 这条射线的度数，加上 o d 这条射线的度数 o b 的 表示二十度加十 t 就等于二分之 o c， 九十度减二十 t， 再加上一百二十度减三十 t。 好， 这个经计算得到 t 等于，经计算 t 等于七分之十七，就是把这个二移到等值的左边，然后我们解关于 t 的 方程就可以了。 第三种就是 o d 为角平分线， o d 等于二分之 o b 加 o c， 我 们把它放进去，一百二十减三十七 等于二分之 o b 是 二十度加十 t， 加上九十减二十 t， 然后算得 t 等于，先计算 t 等于五分之十三。好，我们来看一下检验这三个答案是不是都在四秒的之内，所以我们写综上所述，当 t 等于两秒， 七分之十七秒和五分之十三秒时，其中一条线段是另外两条射线的呃，角平分线。这道题我们就解完了， 在这里的动态角的问题我再来强调一下书写格式，我们的规定必须要写的清楚明确，因为在题当中是没有零度射线的，我们是要规定出来零刻度线，并且规定出来他的正方向跟我们数轴是一样的，必须有正方向， 有时候我们的正方向是顺时针，有时候是逆时针。在这道题当中，我规定的是逆时针，逆时针为正方向，如果是逆时针走的话，就是在这个度数加， 如按照他的正方向就是加，按照他的负方向就是减，所以逆时针我们就是加。在这道题当中顺时针我们就是减，表示出来这个动角，然后接下来就比较好做了，跟我们的动点一样，最重要的是表示表示， 然后在动态角的问题当中就多了一步规定，我们先给他规定，然后再去做就 ok 了。

一道题带你学透三步法，了解期末考试最难压轴题行动脚问题来开始，就如图，已知角 aob 的 度数呢，为一百二十度，射线 oc 从 oa 开始 绕点 o， 逆时针方向去进行旋转，旋转的速度呢，每每分钟二十度。射线 oc 呢，它是这样去转的，二十度，每分钟 还有另外一条射线 o d， 从 o b 的 这个位置呢开始绕点 o， 它呢也是逆时针方向去旋转的，速度呢，每每分钟是五度。说射线 o c 和 o d 呢，它是同时旋转的，射旋转的时间为 t。 问我们当 t 为何值的时候，射线 oc 和 o d 它俩呢是垂直的。那么关于角度的动态问题呢？其实我们的解析思路非常简单，就是把它去转变成竖轴当中的动点问题。那么竖轴当中的动点问题呢？它是点在动， 而角度的动态问题呢？它是射线在动，所以说我们只需要把射线类比成点就可以了。 那竖轴它是有三要素的，圆点、正方向、单位长度。那在这个图当中，角度动态问题，我们也可以去类比一下圆点单位长度以及正方向 好，那么圆点在哪？圆点你就直接找一个最其实的点就可以了。比如说呢，我就直接把射线 o a 呢当作为圆点，那它也就是零度了呗 啊，竖轴的话是点，那角度的话应该就是度好，那么正方向呢？你看这道题呢，全部都是逆时针方向去旋转的，所以说呢，我就直接把逆时针方向旋转给他呢，当作为正方向，那单位长度就很好理解了啊，竖轴的话就是线段长度，那在这里面不就直接是角的度数了吗？ 好，那在这有一个问题呢要问大家啊，你说这个角 aob， 它呢等的是一百二十度，你说 ob 的 这条射线我应该如何表示？它是不是直接表示为一百二十度不就可以了吗？那此时我就完成了，把这个角度的这个图转变成了一个竖轴。 好，那接下来的话就直接应用于我们的三步法去解决就可以了。好，第一步叫作为 t， t 是 什么意思呢？用时间 t 表示出动射线的位置，你看在这里面呢，有两条动射线啊，一个呢是射线 oc， 还有一个呢是射线 o d， 我 们一个一个来， 射线 oc 如何表示呢？动射线等于的是起点的位置，加减速度乘时间，你看射线 oc 呢，是从 o a 这个位置出发的，对吧？它的起点也就是零， 那么是逆时针方向旋转，也就是按照正方向的去旋转，那是不也就是加呀，加上速度乘时间啊，直接加上二十倍的 t， 其实它也是啥？就是二十倍的 t。 好， 那么另外一个呢，是动射线 o d， 你 看 o d 呢，是从 o b 这个位置出发的，它的起始位置呢，也就是一百二。 好，依然呢也是逆时针方向去旋转的，那也就是加呗。好，加上速度乘时间啊，速度是五，时间是 t， 那 也就直接加上一个五 t， 第一步 t 结束，第二步叫作为角。角是什么意思呢？表示出角的度数。 这个地方我们同样去类比一下竖轴当中动态问题，竖轴动态问题呢，是求线段的长度对不对？那么也就意味着我用大的，或者说在右边的点减去左边的点，用大的点减去小的点就可以了，对不对？那如果说这两个点他的位置关系不确定呢？咋办？ 两点做叉加这个绝对值就可以了。那你看在这里边啊，我要表示那个角应该表示的是谁？最后求的是 o c 垂直 o d， 那 是不也就是角 c o d 啊， 对吧？它俩垂直也就意味着这个角 c o d 应该等于是九十度，对吧？那你看此时角 c o d 应该如何表示呢？ 哦，我们知道射线 o c， 它的速度呢是二十，然后射线 o d 的 度数呢，它应该是五，所以说它其实是一个追击的过程，对不对？哦，一开始的时候，我的射线啊，逐渐的去追上了 o d， 然后呢，又超过了它，所以说它俩其实位置关系也是不确定的，那咋办？ 哎，直接两条射线做差，加上绝对值就可以。所以说角 c o d 的 度数呢，也就等于的是一百二十加上五倍的 t， 然后再去减去二十倍的 t， 两条射线做差加绝对值 整理一下，也就变成了一百二十减去十五倍的题。第二步，这个角也搞定了，那最后一步呢，就是乘，根据题目的条件去列方程。那你看这道题的条件是什么？不就是垂直有九十度吗？也就意味着这个角 c o d， 它应该等的是九十度吧。 那相当于我要解这样的一个绝对值方程好解吧？直接两种情况对不对？第一种情况，一百二十减去十五倍的 t， 等于的是正九十，或一百二十减去十五倍的 t 等于的是负九十。来第一种情况 是不是相当于十五倍的 t， 结果应该等于是三十啊，那 t 的 结果也就为二。再来看第二种结果啊， 是不是也就相当于十五倍的 t， 结果呢？应该等于是一百二，加上一个九十，也就是二百一十。所以说 t 的 结果为几？ t 的 结果不就为十四了吗？所以说这道题两种结果来观察一下。这两种结果都要吗？ 没有任何问题啊，题干当中是给了我们的取值范围零到十五之间，所以说这道题两个答案全部都是 ok 的。 那这类题的方法你学会了吗？搞定。

动脚问题，射线旋转真的难倒了我们太多孩子了，其实这种问题解析是有技巧的，咱们把解析的三要素四步曲掌握，所有的动脚问题按照这个方法都能拿满分。 那有关于动脚问题啊，这里常考有五大压轴题型，老师都给大家总结出来了，如果孩子啊，做压轴题还经常没有思路，拿不到满分，那对应我们一定要把它打印出来，分题型进行练习， 带着孩子把对应动角问题旋转的本质学会，这种题咱们是轻松拿下的啊！下面咱们就借着这道题，带着大家一起说一下动角问题通用的解析技巧来这里说， a o b 等于一百二十度，这是一百二十度， o c 从 o a 开始绕着点 o 逆时针旋转啊， o c 是 这么转过来的对不对？每分钟转二十度， t 时间不就转这么大的角度吗？ o d 从 o b 开始绕点 o 逆时针旋转，速度为每分钟五度， t 时间不就转动这么大的角度吗？那 o c 和 o d 同时旋转，设时间为 t， t 在 这个范围内 t 取和值的时候，两条射线是垂直的， 现在啊，它是一个射线旋转的问题，我想求它俩何时垂直，那我只需要求对应的这两条射线组成的角角 c o d 等于九十度不就完事了吗？ 那关键是怎么表示对应的角 c o d 呢？咱们来一起看，这里有一个小技巧，我可以把角度旋转的问题变成什么。 竖轴上动点的问题拍平了，用点的动态问题的方法来解决这道题目，也就是表示，你看动点问题怎么表示，是不是比表示的是点运动 t 时间之后到达的位置， 动角问题就表示对应的哦，射线运动 t 时间之后的位置，我以这条线为基本，假设它为那个竖轴上的圆点，哎，那对应这个数字，哎，字母不就是 a 吗， 对吧？然后接下来有一个动点 c 从 a 出发，哎，它的速度走的路程是不是就表示出来了， 对吧？同样这有一个 b 啊， a 和 b 之间差多少呢？是不是差一百二十啊？那 b 不 就是一百二十吗？哦，那这还有一个动点 d d 往这走，运动时间 和速度都有了，那距离不就有了吗？所以表示角不就是竖轴上表示两点间的距离吗？表示两点间的距离怎么表示啊？先表示点运动 t 时间之后的位置呗，对不对？所以其实这里面动射线 o c， 咱们就可以用零加二十 t 表示，因为这是正方向， 同样 o d， 咱们就可以用一百二十再加五 t 来表示对应射线表示出来了，下一步表距离，也就是表示对应这个角 c， o d， c， o d 怎么表示啊？由于这是一个追集问题啊，刚开始 c 在 d， 后面追一会就追上了，所以 c 点和 d 点的大小位置关系是不确定的。对于这种点求距离，我们要用哪一句口诀啊？未知差绝对啊， 未知差绝对，所以我们直接用这两点表示的数作差加绝对值就可以表示距离了，就可以表示两条动射线之间的夹角了，也就是一百二十加上五 t 再减去二十 t， 哎，化简一下，不就是一百二十再减去十五 t 的 绝对值吗？ 我们想让这个夹角等于九十度，我们让它等于九十度，直接解这个绝对值方程时间 t 不 就出来了吗？ 所以你看，把动角问题拍扁变成竖轴，动点问题一样的思路，三要素四不取，咱们就可以轻松求解。那这道题答案交给大家，请你来算一算最后的时间等于多少，把答案留在下面吧！

今天我们来讲一个各地区的清初一期末考试都会考到的一类压轴问题，也就是动角问题。今天一个视频带大家学会动角问题三步走，一起来看。 如图，给了我们这样的一个角度，告诉我们角 aob 是 一百二十度，此时 oc 是 平分角 aob 的， 哎，也就是这两个小角都是六十。接下来出现了动射线 omop， 分 别以每秒四度以及每秒一度的速度，哎，顺时针旋转， 注意哎， o m 现在是从 o a 出发，顺时针的方向以每秒四度的速度去旋转。那么 o p 呢？从 o c 出发，也是顺时针的方向，现在以每秒一度的速度去旋转。 ok。 接下来出现了第三条动射线，也就是 o n o n， 它现在是从 o b 出发，它是逆时针的方向，以每秒三度的速度去旋转。 ok， 我 们发现这个题里面出现了三条动射线。继续 他说，现在呀，四十秒后，三条射线停止运动，也就是给了我们这个 t 一个取值范围，它应该在零到四十之间，当这两个角它是一个二倍关系的时候，让我们去求 t 为多少。 你看这道题，随着这三条动射线的移动，它一定存在一个分类讨论，并且还涉及到画图，这就是我们动角问题的难点。那么遇到这种动角问题，尤其是如此复杂的三个射线的动角问题，到底怎么解决呢？今天老师教你学会三步法解决动角问题。 首先呀，我们要把这个动角问题找一个圆点出来，我们看现在我如果使 o b 这块它是零度的话，现在以逆时针的方向为正方向，那你看 o c 这条定射线，它是不是就是六十度呀？ o a 这条定射线是不是就是一百二十度？ 好的，接下来第一步就是确定原点，表示动射线的位置，那你看原点已经确定完了。这个题里面动射线是不是有三条， o m， o p 以及 o n， 如何去表示动射线的位置？我们使用它的初始位置，加上或者是减去它的旋转角度。 首先我们来看 o m， 它的初始位置是不是一百二十度啊？然后它是顺时针的方向旋转，你看是越来越小的，对吧？所以说应该是减去一百二十度，减去它的运动角度，速度是四，时间是 t， 所以 说它应该运动了四 t 度， 减四 t。 接下来再来看 o p， 它的初矢位置是六十度，也是顺时针的方向旋转还越来越小，所以说现在它也是减去它的速度是一，时间是 t， 所以 说减去 t， ok。 我 们再来看 o n， o n 不 一样了，它是不是逆时针的方向旋转，它是越来越大， 所以说它初始位置是零度。现在我们要加上它的运动角度，它的速度是三，时间是 t， 所以 说运动了三 t 度。 ok， 现在这三条动射线的位置咱们已经表示完了。接下来第二步写出角度表达式， 你看这里面是不是给了两个角啊？角 m o p 和角 p o n， 咱们来表示一下。同学们，你看角 m， o p， 现在 om， 它是比 op 要大的， 但是随着运动时间的推移， o m 的 速度比 o p 的 速度要快，对吧？所以说它可能会超过 o p， 那 我们就不知道到底谁大谁小了， 那这种不知道谁大谁小的情况怎么办？哎，使用绝对值，当我们使用绝对值的时候，用谁减谁都可以。假如说现在用 o m 减去 o p， 一 百二十度减去四 t， 再减去六十度减 t， 哎，就等于六十度减三 t 的 绝对值。接下来再来看第二个角角 p o n 角 p o n 也是同样的情况， 我们看现在 o p 它是顺时针的方向旋转， o n 是 逆时针的方向旋转，总有一个时刻它俩会相遇之后穿过彼此，对吧？也是不知道谁大谁小，所以说咱们还是加一个绝对值，那就是六十度减 t 减去三 t 的 绝对值 好。接下来第三步，列方程，那其实无论是动角问题还是我们线的动点问题，他有一个非常非常好的点，就是列方程会比较简单，因为一般题目中他都会给我们非常明确的一个等量关系。你看他现在告诉我们这两个角是一个二倍关系， 所以说它是不是应该等于二倍的这个所以说六十度减去三 t 应该就等于二倍的六十度减去四 t， 我 们直接解这个绝对值方程即可。这种左右两侧都有绝对值的，我们是不是直接使六十度减三 t 等于它本身或者是相反数即可呀？ 最后就可以得到 t 等于十二，或者是 t 等于十一分之一百八十，也就是当十二秒或者是十一分之一百八十秒的时候，可以满足这两个角是一个二倍关系。 你看使用这三步走，是不是完美的规避了我们需要分类讨论的情况，以及哎需要画图的情况，你看这三条动射线，如果动起来的话，你作图是非常复杂的，哎，这就是我们的动角问题，三步走非常的简单高效，你学会了吗？

今天我们来看这道初一期末压轴必考题，行动角问题啊，动角问题更可以说是难中之难，但是你只要掌握了老师的这种角度动态问题三步法，就能轻松搞定。咱们一起来看这道题目，若角 b、 o d 是 直角九十度，然后角 a、 o d 是 三十度， 角 c o e 呢是十五度，同时 o e 平分了角 b o d， 那 o e 平分角 b o d， 其实咱们也能知道这个角 b o e 啊，它是四十五度。来继续往下来看，说角 c o e， 它是绕着 o 点，以三度每秒的速度去逆时针旋转，也就是说我这个角 c o e 这个角动起来了，对吧？这个题目就更加的有难度了，那这个时候怎么办呢？其实咱就可以 给它拆解开来，又说相当于这个角动的话，就这个 o c， 它是逆时针旋转，速度是三度每秒，那同时 o e， 它也是逆时针旋转，速度是三度每秒。来继续往下来看，哎，时间这样一个范围内，说当 t 等于多少的时候， 这两个角是相等的，这个角 a o c 等于角 d o e 来这种的角度动态问题怎么做？ 那我说咱们角度的动态问题都转化成动点问题，而且是竖轴的动点问题，利用三步法来轻松搞定。那竖轴咱们知道有圆点正方向，所以这里呢也是先确定零度线和正方向， 那我们不妨呢，以 o b 为零度线，然后逆时针旋转为正方向，这是我们完成了第一步，我们来看一下第二步啊，就是表示动舌线的度数，那我们首先来看 oc， 我们说怎么去表示射线度数呢？类比着咱们的动点，它去表示，那说动点的中点就等于是起点加减移动距离， 这里边啊， oc 动射线也是我们的起始度数，去加减它的一个旋转角度，那咱们来看 oc 呢，它是从我们的这个六十度开始逆时针旋转，起点是六十度，然后 逆时针也就是往正方向，那也就是去加加上一个旋转角度，速度呢是三度每秒，所以就是旋转角度三度梯， 好，这是 o c。 同理来看一下 o e， 那 o e 呢，它的其实角度是四十五度，然后逆时针旋转就往正方向，那也就是加加上它的一个旋转角度，就是速度乘以时间啊，三度梯， 好，这是咱们完成了第二步，非常关键的就是表示射线的度数。来，接下来来看第三步呢，就是去列关系式，那题目中说这两个角度相等，那咱们先来表示一下这个角 a o c 和角 d o e。 对于角 a o c， o a 是 定的， o c 是 动的，那会发现就是在刚开始的时候， o c 是 在 o a 的 右边，但是随着时间的推移，它会超过 o a， 那 这个时候怎么去表示呢？类比着动点里边，我们说不知道谁大谁小的时候，就是做叉加绝对值， 那这里也是不知道谁在前谁在后，那也是做叉加绝对值啊，那看这个 o c 是六十度加上三度 t， 然后这个 o a 呢，它其实这是九十三十是一百二啊，减去一百二十度的绝对值。来，我们整理一下的话，就是三度 t 减去一个六十度的绝对值，这是角 a o c。 那 同理来看一下这个角 d o e， 角 d o e 也是 o d 和 o e， o d 是 定的， o e 是 动的，那 o e 刚开始在 o d 的 右边，然后随着时间推移跑到 o d 的 左边了，那也是不知道谁在前谁在后，怎么办？ 作差加绝对值，我们的 o e 是 四十五度加上三度 t， 然后这个 o d 呢？哎，它其实是九十度啊，减去这个九十度的绝对值，来，我们整理一下，就能得到。是三度 t， 减去一个四十五度的绝对值，然后 列关系式题目中说这两个角度相等，也就是三度 t 减去六十度的绝对值，等于三度 t 减去四十五度的绝对值。好，那咱们就能得到啊，要么是他俩相等，要么是里边的这两图二是互为相反数，互为相反数，也就是 相加和为零，加上一个三度 t， 减去四十五度等于零。好，我们来求解一下，很明显对于左边这个，你看三度 t， 三度 t 消掉之后，这两个是不相等的，他是无解的。 然后来看右边这个，整理一下，其实就是我们的六度 t 等于一百零五度，其实求出来 t 就 等于是多少呢？是二分之三十五。 那咱们来看一下，二分之三十五有没有在这个范围内呢？很明显是在这个范围内的，所以是可以的。来这个题目呢，只有一个答案啊，就是二分之三十五。来，这就是咱们的动角问题， 那所有的动角问题都转化成竖轴的动点问题，然后利用这三步去给他轻松搞定，大家学会了吗？

动脚难就难在他的分类讨论网上讲动脚的老师非常多，但是能把动脚分类讨论讲清楚，讲明白的没有几个。我从特级老师那里学了个三步法， 一拆、二转、三合。 我准备用三道题教大家学会这三步法，彻底搞定动角的分类讨论。从此以后遇到动角问题，我们不愁不漏，期末考试直接多得五分。我们先来看第一道题，这是一道新定义， o p 是 角 m o n 的 一条射线， 如果 m o p 等于两倍的 n o p， 或者 n o p 等两倍的 m o p 则成 o p 为 m o p 的 奇妙线。现在给给了我们一个具体的情景，角 m n 等于四十五度， 如果射线 o c 绕着点， o 从 o m 开始，每秒一度的速度逆时针旋转， o d 也从 o m 开始绕 o 点顺时针以每秒五度的速度旋转 好，当旋转到六十秒的时候，他们都停止转动，转动的时间为 t 秒。问，在旋转过程中，三条射线， o、 n、 o c、 o d， 他 们中间恰有一条射线，是另外两条射线所成夹角的奇妙线，这个夹角呢，是小于一百八十度的角。 让我们求出题的值，我就准备用这道题给大家演示什么是一拆、二转、三合、三步搞定动角的分类讨论。我们先来看什么叫一拆。这个题里面有 o c 和 o d 两条射线在动，我们就开始拆， 我们就先拆出 o c 单独来看，再拆出 o d 单独来看，这就叫一拆。这样就可以将运动问题啊化繁为简。 我们再来看二转，一条一条线的来转，看看哪里是他的关键点。我们先看 o c 怎么转， o c 从 o m 开始逆时针速度为一，时间呢？六十秒，那他会，那他会转到，转到 o n 的 外边。 o c 与 o n 形成的夹角会在相移前相移后发生变化，所以 o c 与 o n 是 关键点， 他们呢，会出现重合前，重合后用时四十五秒。 o c 与 o n 重合前，这个是 t， 这个是四十五度，所以 c o 的 代数式就是四十五度减 t 相遇后，他的代数就变成了 t 减四十五，那 t 等于四十五就是一个关键点。好，接下来我们再来转 o d， o d 从 o m 出发，顺时针速度呢为五好。我们发现 o d 他会与 o n 形成一个平角，在形成平角之前，他的代数式是四十五度加五 t 形成平角之后，他的四十五度形成平角之后，他的角度就变成了三百六。减去四十五度加五 t， o d 与 o c 也能形成平角好， o d， o c 平角前的代数式是六 t 好， 当他们平角之后，他们的角度变成了三百六减六 t， 最后 o d 与 o c 啊，还会形成重合，这就是 o d 它转六十秒发生的事情。 我们把 o d 它转的过程关键点写一下，先是 o d 与 o n 会形成一个平角，此时 t 呢， 就是一百三十五除以五二十七秒。 o d 与 o n 平角前 d， o n 的 代数是四十五度加五 t 平角之后，平角后 d， o n 的 代数式就变成了三百六。减去四十五度加五 t， 那 t 等于二十七秒，就是分类讨论的关键点。 再来看 o d 与 o c， o d 与 o c 形成平角，用时是一百八除以六，它们的速度和是六，它们转成平角是一百八十度。好，所以需要三十秒。 想以前 cod 的 代数式是六， t 形成平角后， cod 的 代数式就变成了三百六点六，那么三十秒就是分类讨论的关键点， 最后 o d 与 o c 会重合，重合呢，就是三百六除以六等于六十秒。 等到我们全部转完之后，大家会发现啊，有这么几个关键点。接下来我们进入第三步，合到一起。通过我们刚才分析，我们一合并会合并出这么四段， 第一段 t 大 于零，小于等于二十七秒。第二段， t 大 于二十七，小于等于三十。第三段， t 大 于三十，小于等于四十五。第四段， t 大 于四十五，小于等于六十。 这四段每段需要的角的代数式咱们也写好了，所以根据题列方程求解即可。这就是我说的一拆二转三合三步搞定动角的分类讨论。 今天我们先讲第一道题，后面我再讲第二道题和第三道题。好，同学们可以跟我一起用三道题学会动角的分类讨论， 用三道题学会一拆二转三合三步法，彻底搞定动脚的分类讨论。好，我在第二条视频里等大家，你们用过这个方法吗？可以在评论区里留言。

注意，动角问题是期末考试必考的压轴难题，那么这道题来感受一下它的难度如何？好，题目中说 o m 是 角 a o b 的 平分线，所以说这个大角和这个大角应该是相等的，那继续 射线 o c 呢？它在角 b o m 的 内部，而这个 o n 呢，它又是角 b o c 的 平分线，所以说这两个角呢，也是相等的。那还告诉我们角 a o c， 它是八十度，让我们去求的是什么呢？角 m o n 的 度数，也就是 这个角的度数。好，那么像这样没有给出很多角的具体角度的求角问题，我们可以使用一个设而不求的一个思想迅速拿下，就是我们去设参数，但是呢，不把这个参数具体的值求出来， 用一个整体代换的思想，把我们要求的目标角求出来就行了。好，那么首先第一步，咱们设这两个相等的角为 alpha 角，构成咱们要求的这个角 m o n 的 另一部分角为 beta 角， 所以现在我们要求的就是 alpha 加 beta 角。好，那接下来呢，就是根据已知条件去列出等量关系，求出我们要求到 alpha 加 beta 就 行了。好，那么等量关系肯定是根据角相等， 那哪两个角相等？角 a o m 和角 b o m， 它俩是相等的，所以说我们可以分别表示出它两个角度。那首先角 a o m， 它怎么表示？应该是 角 a o c 八十度里边减去这个贝塔角，那也就是八十度减贝塔。好，那么角 b o m 呢？应该是两个阿尔法和一个贝塔，也就是二阿尔法加贝塔， 它俩相等。那整理一下呢，就是阿尔法加上二倍的贝塔，它等于八十度，二倍的阿尔法加，贝塔是八十度，所以说一个阿尔法加一个贝塔，它就是四十度， 所以说我们就求出我们要求的角 a o m， 它就是四十度了。好这道题设而不求的巧妙解法，同学们学会了吗？关注小七老师，带你学习更多有用的数学技巧！