八年级下册几何模型图解
同学们好，上一期视频夏老师给大家留了一道天一试卷填空压轴题，不少同学都做出来了，还提到了刮豆模型。刮豆模型确实是动点问题里的必考题型，今天夏老师就用一分钟时间给大家讲透刮豆模型到底是什么，还不清楚的同学一定要听好了。 刮豆模型简单概括来说就是两点一加角，两点指的是东点，一加角指的是固定角。比如说 a、 p、 q， 这里的 p 和 q 都是动点，这 q 会随着 p 点的运动而运动，那我们就把 p 叫做主动点 q 叫做被动点，这里的角 a 是 一个固定角，不变，那当点 p 运动到这个位置的时候，点 q 大 概运动到这个位置。 那如何确定点 p 和点 q 的 运动轨迹？我们说如果点 p 的 运动轨迹是一条直线，那么点 q 的 运动轨迹也是一条直线。 因为刮豆模型的由来就是种瓜得瓜，种豆得豆，所以 p 点是怎么运动的，那 q 点也是相对应的，怎么运动？那接下来我们就通过一道例题来实践一下。 已知在这个矩形当中， a b 等于五， bc 等于五倍的根号。三点 p 是 b c 上的一个动点三角形， p， a q 是 等边三角形，求 d q 的 最小值。点的运动轨迹是一条直线， 那么 q 是 随着点 p 的 运动而运动的，因此我们把 p 叫做主动点， q 叫做被动点，那肯定是先要把 q 的 运动轨迹求出来的。 那怎么去求 q 的 运动轨迹？我们可以使 p 点的位置特殊化，可以让它和点 b、 点 c 重合，那么找到两个位置对应的，我们就可以得到两个 q 点的位置， 通过两点确定一条直线，我们就可以得到 q 的 运动轨迹，那我们想要让这个等边三角形画的更准确一些，要求同学们对数字有一定的敏感程度。这边提到了两条边五和五倍根号三， 那也就是一比根号三的关系。我们在一个特殊三角形，也就是三六九直角三角形中，我们会有三边比，是一比根号三比二。因此当我们去连接这个矩形的对角线的时候，那这里就出现了三六九直角三角形 abc 以及 adc。 那么这个角 b， a、 c 是 不是就是六十度啊？因此我们画的点 q， 它确切的位置应该是在 b、 d 和 a、 c 的 交点处， 这个位置就是点 q， 那 我们找到了第一个位置，那第二个位置呢？就是当 p 点和点 c 重合的时候，因为这个角 a、 c、 d 也是六十度，因此这个三角形我们画出来它应该正好是在 c、 d 的 延长线上， 并且我们知道 a、 d， c 是 九十度，那通过三线合一，我们可以知道 d 是 c d 的 中点啊，连接 a、 q 二，那得到了一个大的等边三角形 a、 q 二 c， 那 么我们把 q 一 和 q 二的轨迹连接起来， 就是这样的一条直线，要求 d q 的 最小值，那点到一条线上的最小值，很明显就是过点 b 做 q 一 q 二的垂线，垂线段最短，那我们就找到了这个 q 点的位置 d q 我 们怎么去求它的长度呢？我们 d 是 q 二 c 的 中点，由于这边我们做的是垂线，通过三线合一，我们知道这里也是垂直的，因此 d q 是 三角形 q 二 q e c 的 中位线，因此 d q 就 等于二分之一， c q 一 等于二点五。这个就是一道刮动模型的典型应用，同学们听懂了吗？
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03:50查看AI文稿AI文稿大家好，在三角形 a、 b、 c 中，角 a 等于三十度，角 b 等于四十五度， a、 c 等于两倍的根号三、求 a、 b 的 长。这里 三十度和四十五度都是特殊的角，我们如何求呢？在辅助线口诀里面见，三十度和四十五度可以作 a 高线。针对 可缩角模型，我们采用三不发解题一、构造模型二、套用结论三、计算验证。怎样构造模型呢？口诀是减三十度，四十五度作内高线，如图所示，勾点 c 作 ab 的 垂线， cd 垂直于 a、 b、 d 是 垂珠。我们标记了角一和角二，角一就等于四十五度，角二就等于六十度，这是通过模型和得到的结论。在直角三角形 b、 d、 c 中， b、 d 等于 c、 d。 在 直角三角形 a、 d、 c 中，因为角 a 等于三十度，所以角二就等于六十度，因此就有 c、 d 等于二分之一， a、 c 也等于二分之一乘以二倍的根号三等于根号三、题目要求 ab 的 长，我们做了垂线之后就知道 ab 是 等于 ab 加上 b、 d， 而 b、 d 是 等于 c、 d 的 c、 d。 我 们已经求出来了，现在就要求 a、 d 求 a、 d。 有 两种方式，一种是利用勾股定律，它等于 a、 c 的 平方，减去 c、 d 的 平方，再开根号。另外一种方式利用三边比 c、 d 比上 a、 d 比上 a、 c 等于一比根号三，再比二， 用三边比计算比较方便，我们可以得到 a、 d 就 等于 根号三，乘以根号三就等于三，所以说 a、 b 的 长度就等于三，加上根号三。具体解析如下，三步法解析 指的是，一、构造模型二、套用结论三、计算验证。我们作辅助线，构造了如图二这样一个 可数角的模型，多点 c 作 cd 垂直于 ab 与 d， 标记了角一和角二，角一截到四十五度，角二就是六十度，所以第二步套用。结论， 角一等于角 b。 第三步，直角三角形 b、 d、 c 中 b、 d 等于 c、 d， 因为他们两个角是相等的。在直角三角形 a、 d、 c 中，根据勾股定律是可以这么做。 同时我们可以采用三边比这个二 d。 结论， c、 d 比上 a， d 比上 a， c 等于一，比根号三比二得到 c、 d 等于根号三也等于 b、 d 的 长度， a、 d 等于三，所以 a、 b 就 等于 a、 d 加上 b， d 等于三，加上根号三。以上解大完毕。首先构造模型是最关键的一步，当我们过点 c 做 cd 垂直于 b 之后，就得到了 两个直角三角形，求 a、 b 的 长，就可以自然的得到了 a， b 等于 a、 d 加上 b、 b， 然后在分段求。在计算验证中，我们充分利用了直角三角形的二阶公式，这样既简洁 也准确。好，以上方法您掌握了吗？欢迎在评论区留言讨论。
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04:17查看AI文稿AI文稿同学们，我们八年级下学了正方形，那么在正方形里面就会有一个绊脚模型，绊脚模型的九大常考结论，你知道哪些？今天跟着夏老师一起再来复习一下。 已知，在这个正方形中，角 m， a， n 等于四十五度，那么四十五度是九十度的一半，所以这是一个典型的绊脚模型。 先来看我们要证的第一个结论， m n 等于 b， m 加 d n， 那 这个结论也是我们考试频率最高的一个结论。 一条线段等于两条线段之合，我们应该怎么去做辅助线呢？由等线段共顶点，我们会想到旋转，即 a， d 等于 ab， 他 们有共同的顶点 a， 我 们就可以把三角形 a， d， n 旋转到这个位置，三角形 a， n 撇 b， 当然你也可以把三角形 a， b， m 往上旋转，那旋转以后我们就可以知道， a， n 撇等于 a n， 这个角一等于角二角 a， b， n 撇等于角 d 等于九十度。 那么再看，因为角一加这个角等于四十五度，所以角二加这个角也等于四十五度。那么根据对称性全等，我们就可以证出三角形 a m， n 撇全等。 a， m 是 一条公共边， a， n 等于 a， n 撇，刚才我们已经正出来了，再加上它们的夹角是四十五度，所以通过边角边，我们可以证明出这两个三角形全等。因此就可以得到， n 撇 m 等于 n m， 那因为 n 撇 m 等于 n 撇 b 加 b m， 所以 m n 也等于 n 撇 b 加 b m， 所以 第一个结论我们就证出来了。 m n 等于 b， m 加 d n， 这个是考试频率最高的一个结论，我们一定要记住。 再来看第二个结论，三角形 c， m， n 的 周长等于两倍的 bc， 那 么 c， m， n 的 周长我们分为三条线段， 这两条线段固定不动的情况下，由第一个结论可以知道， m， n 等于 b， m 加 d n， 那 么这个三角形的周长就变成了 b， c 加 c， d， 那 也就是两倍的 bc 也可以证出来。第三个结论， a， e 等于 ab a。 一， 我们要过这里的点 a 向 m， n 做一条垂线，这个记为一点。我们刚才已经证明出了这两个大三角形全等，全等就可以得到它们的面积相等，再加上底相等，则高一定也是相等的，所以第三个结论也证出来了。 第四个结论， a， m 平分角 b， m， n， 那 这个根据刚才的对称性，全等这两个角相等，那么 a， m 肯定是角 b， m， n 的 角平分线 an 平分角 d， n， m。 刚才的旋转可知这两个角相等。由全等又可以知道这个角 n 撇和角 a， n， m 相等，所以这两个角相等，这个 a， n 是 角 d， n， m 的 角平分线。 第六个结论，三角形 a， b， m 全等于三角形 a， e， m， 那 这里面有很多的角相等，还有公共边，所以它们两个全等，我们可以用角角边证明。三角形 a， d， n 全等于三角形 a， e， n 也有角相等 公共边，所以角角边证明全等。点 p 点进是我们在图上延长 a， b， a， d， m， n 相交的两个交点， 要证 p， n 等于 pa， 那 么这两条线段是在同一个三角形里面，我们要证明相等截证明等腰，我们很容易想到角平分线加平行得等，腰里面 a， b 平行 c， d， 我 们就由内错角相等得到这两个角相等， 那么又由于这个角和这个角是相等的，那是不是根据等量代换得到这两个角相等？所以 pa 等于 pa， 我 们就可以证明出来了？那同样的道理证明第九个结论， g m 等于 g a， g m 等于 g a 也是在同一个三角形里面，由平行 ad， 平行 bc 错角相等，我们可以证明这两个角相等，那由这两个角相等，我们就可以得到这两个角相等，所以等角对等边，我们就可以证出 g a 等于 g m 了。那这个就是今天我们在正方形半角模型中讲的九大常考结论，你掌握了多少呢？
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00:40查看AI文稿AI文稿八下数学最难的平行四边形，八大技巧全部吃透，逆袭班级前三！八个平行四边形中求最直技巧！技巧一，取斜边中点 技巧三，确定轨迹技巧四，做垂直构造直角三角形做对称点 技巧五，旋转构造全等技巧六，一箭穿心技巧七，构造手拉手全等可分享！
34安安静静的
07:20查看AI文稿AI文稿首先我们来回顾一下手拉手全等模型的种类有哪些？第一种是比较常见的等边三角形的手拉手，两个等边造型，一大一小，共顶点 o 大 手拉小手，大手拉小手所围成的两个三角形是全等的正方形或等腰直角三角形的手拉手模型原理也是一样的， 那么在手拉手全等模型里面，我们只要记住九个字就可以了，共顶点、等线段、夹角等就可以构成手拉手模型。那么普遍来说呢，其实就是顶点相同的等腰三角形可以构成手拉手全等模型。 下面我们来看这样的一道小练习，如图，点 c 是 线段 a、 e 上的一个动点，并且不与 a、 e 重合，在 a、 e 同侧分别做等边三角形 abc 和等边三角形 c、 d、 e， a、 d 与 b、 e 相交于点 o， a、 d 与 b、 c 相交于点 p， b， e 与 c、 d 相交于点 q 连接 p q。 那 么给出我们五个结论，问这五个结论中横乘以的有哪几个？你好好想想该选哪一个呢？ 答案应该是 c， 选项一二三五。那我们看看他们为什么是正确的呢？在手拉手全等模型里面，我们有几个重要的结论。首先他们是共顶点，那么 a、 c 等于 bc， 因为他们是一个等边三角形， 那同理， c、 d 等于 c、 e， 因为这边也是一个等边三角形，再加上他们的夹角都是六十度， 同时加上中间这个公共角部分，所以角 a、 c、 d 就 等于角 b、 c、 e， 因此我们就能得到三角形 a、 c、 d 全等于三角形 b、 c、 e。 由这个全等我们就能得到 a、 d 和 b、 e 是 相等的，所以第一个结论是正确的。 那么再来看，由全等我们能得到对应角相等，角 c、 b、 e 是 等于角 c、 a、 d 的， 再加上有一对对顶角，那么八字全等就可以得到角 b、 o、 p 是 等于角 p c、 a 的， 因此它等于六十度。所以第五个结论也是正确的。 因为角 a、 c、 b 等于角 e、 c、 d 等于六十度，所以角 b、 c、 d 也是六十度。那么我们来看这两个三角形 p a、 c 和 q b c， b， c 和 a、 c 相等。由刚刚的全等我们得到这个角和下面这个角是相等的，再加上角 b、 c、 q 等于角 a、 c、 b 等于六十度，所以这两个三角形它也是全等的，即三角形 p a、 c 全等于三角形 q bc， 由此我们就可以得到 c， q 是 等于 cp 的。 那么第三个结论就是正确的。 又因为 c q 等于 c p， 角 p c、 q 等于六十度，所以三角形 c、 p、 q 是 一个等边三角形，它 是等边三角形之后，每个内角都是六十度，所以角 p、 q、 c 也是六十度。因此内错角相等，两直线平行， p q 平行 a、 e， 那 么第二个结论也是正确的。 那么第四个结论，他说 b o 等于 o e， 在 这道题目里面 o 我 们并不能确定是 b、 e 的 中点，所以第四个结论不正确，那么正确的就是一二三五，答案选 c。 下面我们来看这道挑战题。在三角形 abc 中， ab 等于 ac， 说明它是一个等腰三角形点 d 在 射线 c、 b 上是一个动点，并且不与 bc 重合，以 a、 d 为一边，在 a、 d 的 右侧做三角形 a、 d、 e， 使得 a、 d 等于 a、 e， 也就是又做了一个等腰三角形，并且还有一个条件，角 d、 a、 e 是 等于角 b、 a、 c 的， 那么这两个角相等，都除去中间这个公共部分的话，两边其实是相等的。 接着来看过点 e 作 e、 f 平行 bc 有 平行线，就要想到有内错角、同位角同旁内角的问题。 交直线 a、 c 与点 f 连接 c、 e、 d 问，如图一，如果角 b、 a、 c 等于六十度，按照边分类的话，三角形 c、 e、 f 应该是一个什么三角形呢？ 我们观察这个图，貌似是一个等边三角形，那我们来证一下，如果角 b、 a、 c 是 六十度，那么三角形 abc 就是 一个等边三角形。同理，三角形 a、 d、 e 也是一个等边三角形。而我们刚刚已经知道， 角 b、 a、 d 和角 c、 a、 e 应该是相等的关系，再加上 a、 b 等于 a、 c、 a、 d 等于 a、 e， 所以 三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 e 是 全等的。由全等我们就可以得到角 e、 c、 f 是 等于角 b， 并且等于六十度的。 而又因为 e、 f 平行 bc 内作角相等，所以角 e、 f、 c 也是六十度，那么三角形 c、 e、 f 他 肯定是一个等边三角形。我们刚刚的猜想是正确的。 下面我们再来看第二问，如果角 b、 a、 c 是 一个小于六十度的角，那么问题来了，如图二，当点 d 在 线段 bc 上移动的时候，让我们判断三角形 c、 e、 f 它的形状并证明。 我们来看一下第一问，它告诉我们角 b、 a、 c 是 六十度，但是在这一问里面，角 b、 a、 c 是 一个小于六十度的角， 但是不管角 b、 a、 c 是 一个多少度的角，它和角 d、 a、 e 是 相等的，那除去中间这个部分，两边的还是依旧相等。由此我们依旧可以证出三角形 abd 和三角形 a、 c、 e 是 全等的。 全等以后，角 e、 c、 f 依旧等于角 b。 又因为 e、 f 平行 bc， 所以 内错角相等。角 e、 f、 c 等于角 a、 c、 b。 而角 b 等于角 a、 c、 b。 所以 角 e、 c、 f 等于角 e、 f、 c。 那 也就说明 e、 f 等于 e、 c。 三角形 c、 e、 f 是 一个什么三角形呢？等腰三角形。 下面我们再来看第二小问，当点 d 在 线段 c、 b 的 延长线上移动时，那么问三角形 c、 f 是 一个什么样的三角形呢？并且让我们把这个图形补全，补全之后，我们的图形是这样的，这个点是 e 点，这个点是 f 点。让我们来看一下连接 c、 e 三角形 c、 e、 f 是 一个什么样的三角形呢？我们来正一下， 角 d、 a、 e 等于角 b、 a、 c。 那 么同理，除去中间公共部分，两边还是一样相等的，那所以我们依旧可以证出三角形 a、 d、 b 是 全等于三角形 a、 e、 c 的， 它们相等以后，我们来观察一下，角 a、 b、 d 是 等于角 a、 c、 e 的， 因此角 a、 b、 c 就 等于角 e、 c、 f。 因为同角的角相等，那由平行我们依旧可以得到角 a、 c、 b 等于角 f， 角 abc 等于角 a、 c、 b。 所以 角 e、 c、 f 等于角 f。 那 么进而又可以得出 e、 c 等于 e、 f。 所以 三角形 c、 e、 f 依旧是什么三角形呢？等腰三角形。结论得正。 最后我们总结一下，对于手拉手全等模型，我们只要记住九个字，共顶点、等线段、夹角等即可，你听懂了吗？
01:42查看AI文稿AI文稿八下一共就有两大亚洲难点，一个是依次函数，另外一个就是平行四边形，平行四边形对应这个章节，菱形、矩形、正方形性质判定加起来有二十多条，所以需要孩子足够的熟悉才能够解除这种题目，快速的选出方法来解析。 那有关平行四边形这一章节啊，有关于题目当中常考的这二十三个几何模型和题型，我都给大家做了一个梳理啊， 孩子几何证明题没思路，不会做辅助线的，抓紧时间，孩子可以根据这套题目逐个题型的去进行练习，家长们监督，帮着孩子查缺补漏， 赶紧把孩子整个的几何思维咱们建立起来啊！下面咱们就来看一道平行四边形这一块的经典考题吧。 平行四边形和角平分线结合在一起说 b、 f 在 这平分，然后呢， c、 e 在 这平分，告诉你， ab 等于六， ef 这一段等于二，想要求 bc 的 场平行四边形有什么性质， 叫做对边平行且相等对不对？所以对应这是六，这也是六，这是不是又有平行线，又有角平分线，所以引含了一个角分相等腰成的结论， 这两边小的三角形都是等腰三角形，所以你会发现这是六，那整个这条长度也是六，那这的长度 a、 e 不 就是四了吗？ 同样啊，这是六，那这个角分平等腰乘，这也是六，所以这不也也是四了吗？那整个 bc 的 长度不就等于 a、 d 的 长度等于四加二，再加四也就是等于十了吗？直接秒出答案！
694依依老师da数学
00:35查看AI文稿AI文稿八下数学最难的勾股定律模型全部吃透，逆袭班级前三勾股定律八大模型一，大树旗帜折断模型二，梯子模型三，风吹荷花模型四，蚂蚁爬行模型五，范围影响模型六，小鸟飞行模型 七，方位角模型八，勾股树模型搭配八下数学勾股定律应用的五类题型题型专列类型一，勾股定律解决路径问题 提醒二，购物定里解决折叠问题提醒三，购物定里解决实际问题提醒四，购物定里探索动点问题中的直角三角形存在问题提醒五，对角线垂直四边形、垂美四边形问题以上应用单词法。
19作为世界第一
00:07查看AI文稿AI文稿所以，勤奋、重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机。
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00:26查看AI文稿AI文稿八下数学最难的中卫线模型全部吃透，稳进班级前三中卫线模型基础模型模型拓展中卫线构造常用的方法 例题，第一题，例题解析第二题，第三题，第四题，第五题，完整版。
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