八年级下册几何模型图解

经典好题，决定你是否在百分之五的 啊，你是否在学校排名为百分之五以内的，那么通过这一题就会来检验一下，你会做，你就是百分之五以内的，不会做，你就排到百分之五之外去了。 好，我们看到八年级数学下册的第二十九题，如图，四边形 a、 b， c， d， a、 c 平分角 d a， b a， c 平分角 d， a、 b 这两角相等角 d， a、 b， 咦， a、 c 平分角，角 d， a、 b 等于六十度又平分，这不就是说每个角都等于三十度了吗？ 哎，三十度角所对的边等于斜边的一半，而且三十度角，对吧？你看呢？这个三十度的角， 这个三角三角板，对吧？三十度，六十度，九十度，那么这个三十度这个角所的边等于斜边的半，一比根号三比二，对吧？一比根号三比二，这个关系要牢牢的记清楚。 现在角 b、 c、 d 等于一百二十度，哪里呢？ b、 c、 d 等于一百二十度， 一百二十度加这个六十度，不就等于一百八十度吗？那就是说这个角加这个角也是 一百八十度啊，因为四边形的四个角的和等于三百六十度，对吧？这个对角互补，那么这两个角加起来也是一百八十度。那么这个地方我们就发现一个问题，什么的问题呢？就是这个角啊，它是等于这里的角的 啊，这里的角的。现在题目要求成 a、 b 加 a、 d 等于根号三的 a、 c。 刚才这里提到这个角平分线，所以马上我们想到角平分线上的点到角的两边距离相等好做，这个叫做 c， e 垂直于 ab 加延长线，如 e 做这个 c， f 好 做， c， f 垂直于这个 ad 啊， 加 a 等于点 f， 那 么这样我们就有了三角形 a， c、 e 是 前等三角形 a、 c、 f， 你 看这个直角三十度 公共边，直角三十度公共边，对吧？这样的两个三角形就确定了这两个三角形呢？哎，因为题目最后要求证的是 ab 加 ad 等于根号三的 a、 c， 我 们看到根号三的 a、 c 在 哪里？ 我们看到这个哪里有根号三呢？ 嗯，三角形 a、 c、 e 前的三角形 a、 c、 f， 对 吧？我们根据 a a、 s， 那 么这里我们刚才说这叫一比根号三比二的关系，所以我们就有了 a e 啊，是等于 af 的， 并且 a e 等于 af 等于几呢？它是等于这个 a e 呢？是等于 c e 的 根号三倍，又等于 c e 的 根号三倍， 对吧？当然 c e 也是可以理解为等于 c f 的 根号三倍，对吧？等于 c f 的 根号三倍。嗯，那么 c e 等于 c f 的 根号三倍。而另外 c e c f， 且这个 c e 是 等于 c f 等于多少呢？等于二分之一 a c、 e 的， 因为三十角所得的角 b 等于斜边的半。另外我们看到这两个三角形，刚才我们说了这个角 b a、 d 加角 b c、 d 等于这个一百八十度，那我们刚才说了角 d 加角 a b、 c、 e 也就一百八十度，所以角 d 等于这个角， 那么现在这里直角这个角，这边等于这边，所以这两个三角形就是全等三角形，那么这两个三角形哪来的呢？ c d、 f 前等于三角形 c d f c b e 哎，当然呢，你也可能不是这样证的，比如说你证明角 b c、 e 等于角 f c d 也可以，为什么？因为这个六十度角，这是直角，所以这个角啊， e c， f 等于一百八十减六十度等于一百二十度，你看啊，加 e， c， f 等于一百二十度，加 b， c、 d 等于一百二十度，一百二十度减去中间的角，所以留下来的角 b， c， e 等于角 f， c、 d 也是可以的。 呃，这里意思是说每个人的阵法不一定是一样的啊，大家不一定跟我一样的，我在这里只是给大家提供一个思路啊，你也可以跟我不一样的啊，就是自己多揍多发现，他就发现有很多种。呃， 步骤啊，方法好，刚才我们说到这两个三角形的时候，我们就可以得到什么东西呢？叫做 d f 等于 b， d f 等于 b e。 好， 现在我们来看呢，这个题目上的 a b 加 a d， a b 加 a d 读什么？ a b 就 应该等于 a e 减去 b e， 对吧？ a b 等于 a e 减 b 加 a d， a d 就 应该等于 a f 加 d f。 刚才我们说了 d f 等于 b e， 那 么所以也就是说 a b 加 a d 等于什么呢？等于 a e 加 a f， 而 a e 加 af， 那 么刚才 a e 等于 af， 对 吧？那么就等于。呃，什么呢？就是根号三的 c e 加上根号三的 c e， 那 我们都等于根号三，这个 c e 两倍的根号三，所以就是两倍的根号三 c e， 而 c e 等于多少呢？又是二分之一 a， c、 e 好， 二分之二约分不就等于根号三 a、 c。 这题我们就整完了，所以 ab 加 ad 等于根号三 ac。 当然，刚才这里只是分析的过程，而你真的要把它写出来还不是一件容易的事情， 因为时间的关系。嗯，我我我没有办法就是跟大家，因为我要再一步步的跟大家写出来。 那要说很长时间了，那视频就弄得很长了啊，很长的视频呢，有时我发出去呢，很麻烦，很不容易发的出去啊。网络上有的是太长的视频呢。嗯，很难发出去的，所以这里呢就只能是大家自己，您截屏下来去看看。啊 啊，这里的到这，但是我这里又写了另外的正法，有兴趣的同学你自己去看看。这么难的题，你是不是很害怕呢？当你攻克了它，你就是非常优秀的学生，记得点赞关注哦。

咱们来看看第二十一章关于四边形的内容。现实世界中有很多物体都有四边形的形象，例如宏伟的建筑，一望无际的农田，开关，自如的伸缩门，别具一格的窗铃。 在小学我们知道什么是四边形，还学过长方形、正方形、平行四边形和梯形一些特殊的四边形的有关知识。 本章咱们接着学习四边形，特别是一些特殊的四边形，像平行四边形、矩形、菱形、正方形。咱们这几个图形很多知识咱们都已经了解了，那咱们本章就是在了解它们概念的基础上， 利用已有的几何知识去探索证明它的性质和判定方法，体会研究图形性质的一般思路和方法， 即通过观察、实验、类比、推广特殊化等图形方法，对构成图形的边角等元素的数量关系和位置型讨论，利用几何直观发现图形的性质，通过逻辑推理证明他们。 我们今天来学第二十章的第一节。四边形与多边形和三角形一样，四边形也是一种基本的几何性质，咱们本章就类比三角形，学习四边形的一些概念和性质，并且把它们推广到多边形。 首先咱们来看第一块内容，叫四边形及其内角和和三角形类似，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形，组成四边形的各条线段叫做四边形的边。这些都跟三角形一样啊， 每相连两条线段的公共端点叫做四边形的顶点。那咱们这个四边形，咱们就说 a、 b、 c、 d 是 顶点边呢？是 ab 这条边， bc 这条边， cd 这条边， da 这条边，都可以这样来表示。记住这句话很重要，四边形用表示它们的各个顶点的字母表示， 例如这个四边形可以按照顶点的顺序记作四边形 a、 b、 c、 d， 你可以顺时针说，也可以逆时针说，这都无所谓，但是一定记得按顺序啊，你可以说 a、 b、 c、 d， 也可以说 b、 c、 d、 a， 甚至还可以说四边形 c、 d， a、 b， 你 倒着说也行，四边形 a、 d、 c、 b 都可以，只要按顺序就行啊。看这幅图，画出四边形 a、 b、 c、 d 的 任何一条边，例如 c、 d 所在的直线， 画一条直线啊，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样四边形我们管它叫做凸四边形，而这个图呢，就不是凸四边形。因为我们沿出一条直线之后啊，向我延长 cd， 发现有一部分在 cd 的 一侧，有一部分在另一侧，我们就不管它叫做凸四边形。 在今后呢，如果没有特殊说明，咱们所说的四边形都是这种凸四边形。也就是说，在一条线段上，我延长一条直线， 这个四边形其余部分都在一侧，不在另一侧啊，这是一个凸四边形的定义。连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫做四边形的对角线。记住，什么叫不相邻呢？ a 和 b， 他 俩是相邻的，因为他俩挨着， 但是 a 和 c， 它就不是相邻的，因为它俩隔着一个 b， 或者隔着一个 d， 这个叫不相邻。连接四边形不相邻的两个顶点的线段，我们管它叫做四边形的对角线。而我们在这幅图中啊，给我们画了两条对角线，一个是 a、 c， 一个是 b、 d， 他们分别将四边形 a、 b、 c、 d 分 成两个三角形。我们看啊，如果说 a、 c 的 话，以 a、 c 来分，分成的就是这个三角形和这个三角形 b、 d 来分呢，就是分成上面这个 a、 b、 d 这个三角形和 b、 c、 d 这个三角形啊。 这个是对角线，与三角形类似。四边形相邻两边所组成的角，叫做四边形的内角，简称四边形的角。也就是说，咱们在这随便画一个四边形 相邻两边，像这条边和这条边，这两条边叫相邻所组成的角，就是这个角，管它叫做内角啊。 还是再画一个四边形角的一边与另一边的延长线，注意，这个时候不是另一边是延长线，像我这一个边的延长线是我这样延长的，和这条边四边形的延长线，管它叫做四边形的外角啊。 像我们这里说了，请在图中二十一点一杠一之中画出四边形 a、 b、 c、 d 顶点 a、 c 处的外角，也就是说这个图我们来画一下，要求画 a 点和 c 点的外角，它们这里已经画出来了，就是像 ab 这个是 四边形的一条线段，和四边形也是过 a 点这个 a、 d 的 延长线所组成的这个角就管它叫做外角了，或者说这个角也叫外角，它在四边形的外面嘛。 好，接下来我们回顾一下之前学的知识。三角形的内角和是一百八十度，长方形的内角和是三百六十度。那么任意一个四边形的内角和是多少度啊？ 它和长方形的内角和一样吗？可不可以证明你的结论？咱们在这里看一下思路啊，四边形的一条对角线，将这个四边形分成两个三角形，所以说四边形的问题可以利用三角形的相关知识加以解决， 咱们就按上面的思路来解决这个问题啊，这个思路非常重要。外一条对角线将这个四边形分为两个三角形，这样的话，我们就将三角形和四边形的知识连接起来了， 咱们来看一下这个图啊，在四边形 a、 b、 c、 d 之中，这是一个四边形 a、 b、 c、 d 呢，被分成了两个三角形，分别是 a、 b、 c 和 a、 c、 d。 这两个三角形 在三角形 a、 b、 c 之中啊，由三角形内角和定里得到这样的关系啊，角一加角 b 加角三，等于一百八十度啊，也就是说 这个所对接的就是在三角形 a、 b、 c 之中啊， abc 的 三个内角之合是一百八十度。同理啊，我们还可以在三角形 a、 d、 c 之中，因为对角线把四边形分成两个三角形嘛， a、 d、 c 之中，角二角、四角 d 也是一百八十度。 因为我们要求四边形 a、 b、 c、 d 的 内角和四边形的四个内角分别是角 d、 b、 a， 也就是说这个角，角 b 这个角，角 b、 c、 d 这个角以及角 d 这个角， 然后分别加一下就行了。角 d、 a、 b 我 们可以写成角一加角二角 b 呢，就直接写了， b、 c、 d 呢等于角三加角四角 d 呢，也可以直接写。然后呢，我们将这几个利用加法交换率凑一凑，角一角 b， 角三刚好能凑出三角形 abc 一个一百八， 剩下的角二角、四角 d 又可以凑出一个三角形，也就是三角形 a、 d、 c。 然后呢，两个一百八相加等于三百六十度，那么我们就可以证明了，四边形的角和等于三百六十度，这句话一定要记好。 说完了内角和，那么我们来看看外角，在这幅图中啊，四边形每个顶点处都取一个外角，这些外角的和叫做四边形的外角和，那四边形的外角和等于多少呢？咱们看一看分析啊， 因为四边形的每一个内角与和他相邻的外角都叫做邻补角，所以说四边形的外角与四边形的内角的总和点是四乘一百八十度。因为我们看啊， 这个角是外角和他的邻补角，这是一个一百八十度，这个是两个一百八十度， 这个是三个一百八十度，这个是四个一百八十度。我们只要算出四个一百八十度，再把所有的内角，也就说这个角，这个角，这个角、这个角，我们把这四个内角减去，不就剩下的就是外角和吗？ 好，咱们来看啊，像这幅图中说了，因为角 d、 a、 b， 也就是说这个角和角一是邻补角，所以说角 d、 a、 b 加上角一等于一百八十度。同理，我们也可以说角 abc， 加角二角 b， c、 d， 加角三角 c， d， a， 加角四等于一百八十度。 然后呢，我们就来表示一下吧，所以说这几个角，我就把外角和它的邻补角全加一块等于这个。 其中呢，我把这个 d， a、 b， a、 b， c， b， c， d， c， d， a 全都抠出来， 这几个是什么呀？这几个角就是四边形的内角和，我们刚求了四边形内角和等于三百六十度，等于三百六十，他们的总和是四个一百八，也就是七百二十度，七百二十度减去三百六十度，就等于三百六十度，这样我们就得到了它的外角和 四边形的外角和是三百六十度。我们在研究三角形的时候，除了研究三角形的内角和三角形的外角，我们还研究发现了三角形具有稳定性， 这是我们在学习全等三角形时明白的道理。那么四边形是否也具有稳定性呢？我们来看看这幅图啊， 在每个角上都定一枚钉子，将四根木条定成一个四边形的木架，扭动它，它的形状会改变吗？ 自然的，它会改变，同学们可以课后试一试啊。在这幅图中啊，在四边形木架上再定一个木条，把它的一对不相邻的顶点连接起来，然后扭动它，这时候木架的形状还会发生改变吗？其实是不会的啊， 因为此时我们对角线将一个四边形分成了两个三角形，四边形不具有稳定性，而三角形具有稳定性啊。所以说我们看这里的分析啊， 四边形木架的形状会改变，因为四边形四条边确定之后，四个角并没有确定，说明四边形具有不稳定性。为什么这么说呢？因为我们只说四个角的内角和一定得是一百八十度， 因为我们说四个角的内角和一定是三百六十度，但是每个角都可以变，因为我们看啊，如果长度一定的情况下，我将四边形这个样子， 他也行，内角和也是三百六十度，没有问题啊。再定一个木条，四边形的木架变成了三角形木架，三角形具有稳定性，这是四边形木架的形状就不会改变。为什么？三角形如果定了三条边了， 三条边横定了，那他将再组不出任何一个三角形了，他只能组出这一种三角形。 怎么考虑呢？因为三角形，咱们就说证明三角形全等的时候，满足边边边了，两个三角形就全等了啊。所以说这是三角形具有稳定性的深层含义啊。 在日常生活中啊，有时需要利用四边形的不稳定性，例如像我们学校门口的这个推拉门，或者说这个升降机这块部分都是利用了四边形的不稳定性啊， 有时又需要扶四边形的不稳定性，例如在这个门框未安装好的时候啊，咱们师傅大概要在这里啊，定一根木条，防止窗框变形。 好，接下来我们来看一下练习题，求出下列图形中 x 的 值。我们发现这三个图形都是四边形，四边形的内角和是三百六十度，咱们要求这个 x， 咱们就需要列式计算了， 三百六十度等于这个一百四十度，加上这个九十度，再加上这两个 x 度，计算一下三百六十，我得把这个一百四和九十减去啊， 等于一百三十度等于二 x 度，那么 x 度就等于一百三十除以二啊，等于六十五度啊！我们来看第二个图，四边形内角和为三百六十度，那么三 x 度加上四 x 度，再加上这个二 x 度， 再加上最后一个三 x 度，就等于三百六十度。算算这几个 x 和是多少？三加四等于七，七加二等于九，九加三等于十二十二 x 度等于三百六十度，咱们 x 度就等于三百六十除以十二，等于三十度。 接下来我们来看第三题啊，要求出 x 度。哎，此时我们发现一个问题， x 度我们好像并不能直接求出来，我们得先求这个度，然后再拿一百八十度减去这个角就可以了。那怎么求这个角呢？很简单的， 因为四边形的内角和是三百六十度，咱们只需要拿三百六十度把这一二三三个角减去，剩下的不就，剩下的不就是我画红圈的这个角了吗？ 三百六十减去一百二十度，减去八十度，再减去七十五度，算出得数等于八十五度。而这个 x 度和八十五度是一对邻补角，它等于一百八十度，那么 x 度就等于九十五度了啊。 这是我们第一题的内容。来看第二题啊，一个四边形的一组对角互补，那他的另外一组对角有什么关系？我们随便画一个四边形，就画个正方形，画个特殊的一组对角互补，也就说这个角加这个角等于一百八十度。那么另外一组呢？ 那很简单，因为内角和是三百六十度，已经有一组一百八了，那剩下的一组肯定也是一百八，两个一百八才等于三百六十度啊，有什么关系啊？另一组对角也互补。 接下来我们来看第三题，这类图形中哪些具有稳定性？首先，第一个是两个三角形，没有问题，具有稳定性。第二个不是。第二个是四边形，它具有不稳定性。第三个，上半部分稳定了，是三角形，下半部分是四边形，它不稳定啊。 第四个一二三三个三角形构成的啊，所以说具有稳定性。第五个我们发现啊，他对角线没有问题啊，但是对角线将这个，但是对角线将这个六边形分成了两个四边形这一个，所以说他也不行，四边形具有不稳定性啊， 我们将三角形推导到了四边形，那么我们看看能不能四边形来推导多边形的内容。 多边形在生活中也很常见，我们观察图片中，我们观察这几幅图，在图中可以找到很多多边形的形象，像这个房子的形状，他就是一个多边形，这个蜂巢的每个风孔也都是 多边形，而这个他整个大门的门框也是一个多边形。生活中存在很多的多边形， 那么与三角形、四边形类似，在平面内啊，有很多条线段，首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。这里注意， n 得大于等于三，也就是说明了我们杜绝 n 等于一和 n 等于二的时候， 为什么呀？因为 n 等于就一条直线，一条线段，它够不成图形啊？ n 等于二，它也是，它也够不成图形啊。 最小的 n 等于三，它能够成三角形， n 等于四，它就能够成四边形了啊，这是我们多边形的性质，所以说我们将我们曾经学习的多边形的内容， 所以说我们将我们曾经学习的三角形、四边形都囊括到了多边形这一个大概念里啊。 多边形的边顶点、内角、外角对角线的概念与四边形对应的概念。多边形的边顶点、内角、外角对角线的概念与四边形相应的概念。类似。 多边形有几套边，就叫做几边形。多边形同样用表示它的各个顶点的字母来表示，例如我们在这幅图中， 例如我们在这幅图中记作六边形 a、 b、 c、 d、 e、 f， 也是跟四边形一样，咱们点按顺序来写啊。 在这里啊，我们说，请类比四边形。多边形的边顶点、内角、外角。对角线的定义，指出在这个六边形中的边顶点、内角、外角，画出它的全部对角线啊。咱先说边， ab 是 一条边， bc 是 一条边， cd 是 一条边， d、 e 是 一条边， e、 f 是 一条边， a、 f 是 一条边啊，就这几条边顶点呢，其实就是 a、 b、 c、 d、 e、 f 啊，这几条边 内角呢，其实就是相邻两边所加的角啊，也就是这个角， a 角、 b 角、 c 角、 d 角、 e 角、 f。 外角呢，外角可就多了啊！ 我在这里大概表示一下，外角表示的是一条边的延长线和它的另一条边所组成的加角 ab 的 延长线。哎，在这里能组一个，在这里也能出一个。 bc 的 延长线呢，在这能出一个，在这也能出一个，也就是说红线和蓝线的加角就行了。 c、 d 能出什么呀？ 这有一个，这有一个，注意不冲不漏，每一条边都能延一个啊。 d、 e 能出什么呀？能出这一条和这一条 e、 f 呢？这一条和这个 a、 f 呢？这一个和这个。这样都描述出来了啊， 再画出他全部的对角线。对角线的定义是什么？是一个点连接与他不相邻的点，就叫做对角线。我们像 a 点，与他不相邻的点有 c、 d、 e， 所以说连接 a、 c、 a、 d、 e， 这都是它的对角线。再看 b 点与 b 点不相邻的顶点，那不是 a， 不是 c， 那 就是 e、 f、 d。 连接 f、 b、 e、 b、 d、 c 点与它不相邻的点， a、 c 已经连完了啊。 c、 f、 c、 e、 d 点与它不相邻的点呢？那就是 b、 a、 f， 其中 b、 d、 a、 d 已经连完了。咱们连接 d、 f、 e 点与它不相邻点，就是 abc 已经都连完了， f 点也都连完了啊。这个是它的对角线，与四边形类似。在多边形中啊，有的是凸多边形，有的不是凸多边形。今后咱们如果没有特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形啊。 图多边形的定义我在这里再重复一下啊，就是说我随便画一个多边形，我们延长一条线，我们发现这个多边形的剩余部分都在这条线的一侧，它就是多边形。咱们以后都研究这种图形啊， 我们知道正方形的各个角都相等，各条边也相等。像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等。多边形各条都相等的多边形，我们管它叫做正多边形，在这里举一些例子，像什么正三角形、正方形、正五边形、正六边形，这都叫正多边形啊。 接下来咱们类比四边形内角和的推导过程，推导出五边形、六边形的内角和各是多少度。由上述的推导过程，能不能得出多边形的内角和边数的关系啊？ 咱们先来看一下这个五边形啊，从五边形的一个顶点出发，可以做出几条六角线呢？咱们这里做了做出两条啊，因为他不相邻的点就两个嘛，他们将五边形分成几个三角形啊？一个两个，三个分成的是三个三角形， 那么五边形内角和等于多少？一个三角形就是一个一百八，三个一百八，六边形呢？可以做几条啊？一二三做三条， 他们将六边形分成了一二三四、四个三角形，六边形内角和就等于四个三角形，就是四乘一百八十度。 所以说我们就会发现了，从 n 边形的一个顶点出发，像五边形就能做俩，六边形就能做仨，都是他的边数减去三条对角线。所以说我们在这里写一下啊， 可以做 n 减三条。那分成了几个三角形呢？我们会发现啊，五边形分成了三个三角形，六边形分成了四个三角形，都是在他的边的基础上减去两个，也就是 n 减二个三角形。 那他所对应的内角和呢？有几个三角形？就是几个一百八十度，也就是 n 减二乘以一百八十度。记住这一块的内容啊，这样就得出了多边形的内角和公式。 n 减二乘以一百八十度啊， 在这里呢，同学们可以课后思考一下，把一个多边形分成若干个三角形，还有没有其他的分法，还能怎么分呢？由新的分法能得出多边形的内角和公式吗？ 我们先要在这里我举个例子，画一个五边形啊，刚才我们是在顶点处划分三角形的，如果说我要是在终点处呢， 就在中间随便找一个点啊，像我这么分一个三角形，两个三角形，三个三角形。此时我们就会发现，将五边形分成了几个三角形，一二三四五分成了五个三角形。那不得是五乘一百八十度吗？ 这才是他的那角和呀，和我们这个，这不是，这不是五减二得等于三乘一百八十度吗？那这少的这两，那这两个之间差了两个一百八十度是从哪来的呀？ 我们这种在中点分的三角形的情况下，我们中间的这一圈三百六十度是不算在我们的三角形的内角和的，因为这几个角我们是不算在多边形的内角和里的，因为你看这几个角，他根本不是多边形的内角啊， 所以说咱们在这个基础上还得减去两个一百八十度。做完之后还是三个一百八十度，这是其中一种分法，还有很多种分法，同学们都可以进行推导啊。 说完了内角，我们来看看外角与四边形，外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，他们的和呢叫做多边形的外角和。多边形的外角和等于多少度，请你说明理由。与四边形类似，多边形的每一个内角和它相邻的外角都叫做邻补角， 因此呢， n 边形的内角和与外角和的总和等于 n 乘以一百八十度。所以说，我们先表示出来有几个外角就有几个一百八， n 乘一百八十度，我们再减去内角和就行了。内角和我们刚才已经有了，是 n 减二乘一百八十度等于三百六十度。接下来我们来化解一下这个式子啊， 那就是 n 乘以一百八十度减去，这个我们在一个括号里进行处理啊， n 乘以一百八十度减去二乘一百八十度，这是我们的单项式乘多项式啊，然后再处理，前面拖着不动， n 乘以一百八十度减去后面的 n 乘以一百八十度。 此时我们发现啊，这有一个负，这有一个负，负负为正，得再加上二乘一百八十度，放一块等于二乘一百八十度，也就是三百六十度啊，这样也就得到了多边形的外角和等于三百六十度。 也可以理解为为什么多边形的外角和等于三百六十度呢？我们像这幅图来看，从多边形的个边依次走过个顶点啊，就是这么走的，按顺序走的。 然后呢，转向出发时的方向，行程中转向的各个角度的和，就是多边形的外角和。我向，从这里转，转向转到这，从这里转向转到这，从这里转向接着转，以此类推啊， 转向的角度就是它多边，转向的角度就是多边形的外角和。那咱们最后不回到原点了吗？回到原点不就是转了三百六十度才能回到原点了吗？ 所以说这里说了，由于走了一周，所转的各个角的和就等于一个周角，周角是三百六十度嘛。所以说多边形的外角和等于三百六十度。 我们来看看例题啊，一个多边形的内角和等于外角和的两倍。问这个多边形是几边形？咱们先把这个多边形的边数设出来，就是 n， 由于它的内角和等于 n， 减二乘以一百八十度，外角和呢等于三百六十度。 那咱们就来说一下内角和等于外角和的两倍，那内角和是 n， 减二乘一百八十度，就等于外角和的两倍。二乘以三百六十度。然后去解方程就行了啊， 怎么解呢？先将它单项式乘多少式，就是 n 乘以一百八十度，减去二乘以一百八十度，再减就等于二乘以三百六十度。我们可以把三百六十度分成了二乘一百八十度， 这个二和这个二相乘，就是四乘一百八十度，再加过去，把这个减面加挪到等式的右边，加上二乘以一百八十度，那不就是六乘以一百八十度 等于 n 乘一百八十度，一百八十度一百八十度，消掉了 n 等于六，得出 n 等于六了，就说明这个多边形是六边形了，因为我们 n 代表的是多边形的边数吗？ 我们接下来来看一下练习题。首先来看第一个，求出下列图形中 x 的 值，这个我们就会发现这是一个几边形，一二三四五五边形，先想一想它的内角和是多少呀？ n 减二乘以一百八十度，此时 n 呢，我们得带五五减二乘以一百八十度， 五减二十三呢？三乘以一百八十度，等于五百四十度啊，咱们呢，再依次列后，咱们接下来再列算式就行了。九十度加上一百二十度，再加一百五十度， 再加上这一个 x 度，再加这一个 x 度，也就是说加上三 x 度等于五百四十度啊，所以说呢，三 x 度就等于这个五百四十，把这一堆减去啊， 等于一百八十度啊。然后呢，除以三 x 度等于一百八十，除以三等于六十度啊，也 x 值就是六十。在这个呢，我们可以发现，这是一个一二三四五六六边形，它的内角和是 n 减二乘以一百八十度， 那 n 带六六点二，就是四四乘以一百八十度，等于七百二十度。而这个七百二十度等于什么呢？等于一二三四四个 x 度，再加上两个九十， 那么四 x 度就等于拿七百二十减去两个九十啊，等于五百四十度，那么 x 就 等于拿五百四十除以四就可以了啊， 等于一百三十五。第三个，有一个问题啊，他说了，这是一个五边形，一二三四，他说了这是一个五边形，所以说我们先求出他的内角和是 n 减二乘以一百八十度， n 的是五五减二，就是三三乘以一百八十度，等于五百四十度。 按理说，五百四十度等于这个角加这个角，再加上这个角，再加上这两个角才可以。但问题来了，这两个角我不知道是多少啊， 告诉我们了， ab 和 cd 是 平行的，这条边和这条边平行的，所以说我们用两只线平行同旁内角互补就可以了。也就是说，因为 ab 平行于 cd， 所以 说角 b 加上角 c， 它等于一百八十度。 所以说啊，咱们这个角 b 加上角 c， 再加上幺三五，再加上这个 x 度，再加上幺五零度，就等于五百四十度。 其中角 b 加角 c 等于一百八十度，所以说我们 x 度就等于我们拿五百四十减一百五，减一百三十五，再减去这个整体一百八就可以了啊，等于七十五度，它不求 x 值吗？ x 值我们再把度去掉就行了， x 等于七十五啊。 接下来来看一下第二题。第一，问一个多边形，内角和等于一千零八十度，问这个多边形是几边形？我们把式子列出来， n 减二乘以一百八十度，这才是内角和呀，等于幺零八零度， 那么 n 减二，咱们拿幺零八零除以一百八，最后等于六，那 n 呢？等于八，它是一个八边形啊。第二个，一个多边形，每一个内角都等于一百二十度。问这个多边形是几边形， 咱们可以通过外角来进行处理啊，每一个内角都等于一百二十度， 咱们外角和是三百六十度，那每一个内角都等于一百二十度，那他的邻补角不就是外角吗？他的外角就等于一百八十减去一百二十， 这是他每一个外角的度数，每一个外角都是一百八减一百二，也就是六十。有几个外角不就有几个边吗？所以说前面再乘一个 n 就 行了，然后计算 n 等于三百六十除以，这个是六十等于六啊，所以说他是一个六边形。最后一个， 一个多边形，每一个外角都等于七十二度。问这个多边形是几边形，这和我们第二问其实是一样的啊，三百六十度不就是外角和吗？它等于每一个外角都是七十二，那不就是 n 乘以七十二吗？ 有几个七十二就有几个边，那 n 呢？就等于我们拿三百六十除以七十二，最后等于五，所以说它是一个五边形。接下来我们来看复习巩固。第一个四边形的四个角都可以是锐角吗？当然不可以啊， 都是锐角，那四个小于九十度的角，它肯定总和就是小于三百六十度，可以都是钝角吗？也不行啊，四个大于九十度的角摞一块，指定也是大于三百六十度的， 他不满足。四边形内角和等于三百六十度，可以都是直角吗？没问题啊，正反正是都是直角，四个九十度嘛，四乘以九十度刚好等于三百六十度啊。 如果问为什么的话，就说四边形内角和为三百六十度。接下来我们来进行填表。首先，不管多边形是几条边，它的外角和都是三六零啊。 而算内角和，咱们就用 n 减二乘以一百八十度来算啊。这个 n 带三三减二等于一，一乘一百八十度，就等于一百八十度啊。四边形是三百六十度，五边形是五百四十度，六边形是七百二十度，八边形幺零八零度。 十二边形一千八百度，二十边形三二四零度啊！这个同学课后自己去计算就可以了啊。 第三个，求正五边形和正十边形每个内角的度数。咱们先回一下正多边形的定义，就是每条边都相等，每个内角都相等 正五边形，只要求出正五边形的内角和是多少，再除以五就行了。正十边形也是一样的，求出正十边形的内角和再除以十就行了。先求正五边形内角和是 n 减二乘以一百八十度。 n 呢，带五五减二就是三三乘以一百八十度，等于五百四十度， 五百四十度除以五，他不五边形吗？有五个内角啊，等于一百零八度啊！而十边形呢，还是带 n 减二乘以一百八十度，此时 n 就 带十了。十减二等于八乘以一百八十度，等于幺四四零度。 幺四四零再除以十，这不就是每条边的度数，这不就是每个内角的度数了吗？等于一百四十四度。 第四题，第一问，一个多边形的内角和与外角和相等，求它的边数，那就说明内角和等于三百六十度啊。因为外角和一直都是三百六十度，所以说 n 减二乘以一百八十，它等于三百六十度， 那三百六十除以一百八就等于二啊。 n 减二等于二， n 就 等于四，它是一个四边形啊，一个多边形的内角和是外角和的一半，那多边形的内角和就是 n 减二乘以一百八十度，等于外角和的一半，就是拿三百六十度乘以二分之一， 那三百六十乘以一百八就等于一了。 n 减二等于一，那么 n 呢？等于三，它是一个三边形啊， 也就是三角形。第五题，如图，在四边形 a、 b、 c、 d 之中啊，角 a、 角 c 相等，角 b、 角 d 都相等。问 ab 和 dc 有 什么位置关系啊？也就是问，这两条面咱们知道啊，如果正方形中啊， 对角相等，那就说明角 a 和角 c 是 相等的，角 b 和角 d 是 相等的。所以说咱们写一下啊， 角 a 等于角 c， 角 b 等于角 d， 而咱们四边形内，角和是三百六十度啊，角 a 加上角 b 加上角 c 加上角 d， 它都等于三百六十度。 咱们利用等量关系，我们由于角 c 等于角 a， 我 们把所有的角 c 替换成角 a， 而角 b 呢，都等于角 d， 所以 说把所有的角 b 都换成角 d 等于三百六十度。那我们可以推导出这样的一个式子，这不就是两倍的角 a 加角 d 吗？等于三百六十度， 那么角 a 加上角 d， 那 就等于三百六十度除以二等于一百八十度。所以说同旁内角互补，两直线平行。 同样的道理， bc 和 ad 呢？ bc 和 ad 这两条线，咱们也可以通过这样的推导，刚才我们是把角 b 换成了角 d， 角 c 呢？换成了角 a。 如果说你要证明 a、 d 和 bc， 咱们就得想办法 找 a、 d 和 bc 的 同旁内角。也就是说，角 a 加上角 b， 我 得正出它等于一百八十度。 咱们就把角 c 啊换成角 a 就 行了，因为这俩角相等吗？角 c 换成角 a， 角 d 呢？我就直接换成角 b 就 行了。在这个式子里面，把角 d 换成角 b 等于三百六十度，一样推倒可以推出二倍的角 a 加上角 b 等于三百六十度。 那么角 a 加上角 b 不 就等于三百六十度除以二吗？等于一百八十度，角 a 加角 b 等于一百八十度了。它所对应的 a、 d 和 bc 这两条直线，就可以运用同旁内角互补，两直线平行整出来了。 第六题，在 n 边形内，任取一个点，连接 o 点与 n 边形各个顶点， n 边形被分成了多少个三角形啊？用这种方法推倒 n 边形的内角和公式。刚才我已经描述了这种方法了，咱们一块再来试试啊。 这样的话，我们会发现啊，有一个边不就分一个三角形吗？对吧？有一个边就是一个三角形，那他整个所有的三角形的内角和，那不就是 n 乘以一百八十度吗？但是我们还得把中间的这一圈减去，这一圈就是三百六十度啊，因为是一个周角吗？ 那就是 n 乘以一百八十度，减去三百六十度，就是二乘以一百八十度。把一百八十度提出来，就是 n 减二乘以一百八十度了。 也可以推出 n 边形的那角和公式。在这里把前面这个大话也写好了，不要忘记前面还有一个问题啊， n 边形被分成多少个三角形啊？ n 个三角形啊，这是在这种分法的情况下啊。 接下来我们来看第七题。五边形 a、 b、 c、 d 的 内角都相等。说了角一等于角二，角三等于角四，求 x 的 值，那咱们把咱们能推到的关系都表示出来就可以了。 五边形 a、 b、 c、 d 的 内角和都相等，所以说明它是一个正五边形。咱可以算出五边形的每一个内角是多少啊？ n 减二 乘以一百八十，其中的 n 带五，因为五变形吗？五减二乘一百八十，那就是三乘一百八十。刚才已经算过很多遍了啊，等于五百四十度。那一共有五个角，五百四十度，除以五等于一百零八度啊。一个角是一百零八度， 那推导一下吧。这个角是一百零八度，也就是说，角一加上 x 度，再加上角三等于一百零八度。其中呢，角一、角二加上角一等于一百八十度。 因为 a、 d、 e 是 一个值。因为 a、 d、 e 是 一个三角形吗？角一加上角二加上角一等于一百八十度。同理啊，角三加角四加角 c， 不 也等于一百八十度吗？因为在三角形 b、 c、 d 之中啊。 又说了角一、角二相等，角三角四相等，而这个角 c 跟角 e 我 们都得到了呀，他都是五边形，内角都等于一百零八度。那咱们通过底下这两个式子推导一下啊。我在这里写过程，角一和角二相等，那就是二倍的角一，咱就算一个吧。 二倍的角 e 把角二变成角一了，加上角 e， 角 e 是 一百零八度，等于一百八十度。那二倍的角 e 就 等于一百八十度。减去一百零八度等于七十二度，那角一不就等于七十二度除以二等于三十六度吗？ 而第二个式的角三、角四呢？我就把角四变成角三，角三加角三等于二倍的角三加上角四 加上角 c， 角 c 也是一百零八度，等于一百八十度，那减过来不就行了吗？二倍的角三等于一百八十度，减去一百零八度等于七十二度啊，角三就等于三十六度，也是一样的。这个时候我们就发现了， 角一加角三加角 x， 角一加角三加 x 度等于一百零八度，那么 x 就 等于一百零八，我减去一个角一，减去一个角三，不就减去两个三十六吗？一百零八减去两个三十六，是七十二， 等于三十六度啊， x 值为三十六。接下来我们来看看通往探索。首先来看第八题，在四边形 a、 b、 c、 d 中啊， a、 c、 b、 d 是 它的两条对角线，要求比较 a、 c 加 b、 d 与四边形周长的大小， 咱们来看看啊。此时有对角线，我们就得想三角形，因为对角线是将我们的三角形和四边形相连接的题， 其中 a、 c 这条边呢，我们可以表示一下， a、 c 这条边就是在三角形 a、 b、 c 之中啊，我们由两边之合大于第三边表示出来， a、 b 加上 bc， 它肯定是大于 a、 c 的。 a、 c 这条边还在三角形 a、 c、 d 之中，就可以得到 a、 d 加上 c、 d， 它一定也是大于 a、 c 的。 说完 a、 c 了，再说 b、 d、 b、 d 是 在两个三角形中，在三角形 a、 b、 d 之中， ab 加上 a、 d 也铁定大于 b、 d。 在 三角形 a、 b、 d。 说完了，还有一个 b、 c、 d、 b、 c、 d 之中啊， b、 c 加上 c、 d 也一定是大于 b、 d 的， 咱们就看看呗。四边形的周长，咱就把它们都搂一块，因为都搂一块，我们就会发现啊，它们的这几条边就构成了四边形的周长。咱们看看啊， 分别相加 ab 加上 bc， 再加上 ad 加上 cd， 再加上 ab 加上 ad， 再加上 bc 加上 cd， 它一定是大于一二三四两倍的 ac 加上两倍的 bd。 咱们看看啊，推导一下啊，上面这一大堆出来什么？我看看啊！ 一个 ab 两个 ab， 二倍的括号，一个 ab， 一个 bc， 两个 bc 加上 bc， 再加一个 ad， 两个 ad， 所以 说再加一个 ad， 一个 cd， 两个 cd， 它是大于二倍的 ac 加上 bd 的， 我们再把这两个二消掉啊。左边， ab 加上 bc 加上 abd， 加上 cd 大 于 ac 加上 这一大串 a、 b 加上 bc， 再加上 a、 d， 再加上 c、 d， 刚好就是四边形的周长，而 a、 c 加 b、 d 刚好就是我们要比较的这部分，所以说就可以得到这样的关系啊， 四边形 abcd 的 周长大于 a、 c 加 b、 d。 第九题，要是四边形木架不变形，至少要再补上几个木条，五边形和六边形呢？这道题就是考，我们最少要补上几条对角线，才可以将它分成三角形。 还记得几条对角线吗？我们刚才在这里标上了啊，是 n 减三条啊。 第一个，它不是四边形吗？四减三它等于一啊，也就是说这么一画就行了，补一条就行了。当然你可以这么补，你也可以这么补啊，怎么补都行，就补一条就行了。五边形的需要补几个呀？ n 减三呢？那就是五减三等于二，补两条，看看怎么补啊？随便找一个顶点，与他不相邻的两，随便找一个顶点连接与他不相邻的两个点，这么一补就行了。你可以找这个顶点，还可以找其他的一二三四四个顶点啊。六边形呢？ n 减三就是六减三等于三，他补三个也是我以这个点为例，一二三这么补也可以啊。 这是我们关于四边形的第一节的内容啊。后面还有一个弹珠语，发现同学们可以课后自行去尝试一下。

勾股定律是八年级非常重要的一个几何部分内容，他不单单在几何里面能来求编程，那在勾股定律这块也会涉及到一些全等的辅助线以及模型，那我们今天就来看一下勾股定律这块特别重要的一个辅助线旋转。 那勾股定律这的旋转主要是常考的两大部分，一是半角模型，二是手拉手。咱们今天看半角模型里面的一个变形，那我们先看这里的基本图一， 这里面现在说有一个等腰直角三角形 abc 点的是 bc 上的一点，现在要求证这三边的平方关系，那我们拿到这题的时候就要思考，那这里面需要证明的是这三边的一个数量关系，并且是带平方的，那带平方呢？首先我们想他肯定是跟勾股是有关系的， 那既然跟勾股有关系，咱们就需要找到直角三角形，那这里面我们要求的是的 b 方加上的 c 方， 所以我们需要想办法把这个题里面的的 b 和 c 转移到同一个直角上角里去，那转移到同一个直角上角就涉及到过五丁里旋转了。 那咱们旋转的话，所有的旋转，咱们初中阶段常见的旋转的方式，比如说半角模型，手拉手、对角互补四边形，包括其他的像飞马点等等，其他的旋转的原则都是使相等的边，他们的夹角是多少， 比如说这里面 a、 b 和 a、 c 的 夹角是九十度，所以咱们就可以把这里的三角形 a、 b、 d 旋转，因为我要把 b、 d 和 c、 d 转到同一个直角方形里去，所以我在旋转的时候，我就要以 a 为直角顶点， 以 a 为旋转中心，然后使向量重合，也就说要把 a、 b 转到 a、 c 上去，那把 a、 b 转到 a、 c 是 不是就转了九十度？所以这里面咱们 a、 d 也是转九十度。 那我们需要注意，在旋转的辅助线里，我们是不可以说旋转的，所以我们思路是把 a、 b、 d 转到 a、 c、 e 上来，但是辅助线绝对不可以这么说，我们的辅助线需要说的是你怎么好正，全等就怎么来。那这里咱们比较好正的是可以做 a、 e 垂直 a、 d， 并且 a、 e 等于 a、 d， 那 我们做完之后就能发现这里的一、二、三这三个角，原来角一加角二是等于九十的，那现在角二加角三也是九十，所以就能推出来角一是等于角三的， 那得到角一等于角三之后，我们是不是就能证出三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 e， 那 这个是咱们旋转的第一步，就要证的是这两个旋转的三角形全等。那接下来我们再看，原来角 b 是 四十五度，证完之后这个 a、 c、 e 也是四十五 所，那原来的角 a、 c、 b 也是四十五，所以现在就变成了 e、 c、 b 这个角是九十了，那他得到九十之后，我们看又能得到什么？原来要正的是这两边的平方和，那我们看现在这个 d、 b 方加 d c 方，是不就转化成了 c、 e 方，加上 c、 d 方， 那 c、 e 方加 c d 方是不就等于 d、 e 方？所以我们接下来是要连接 d、 e。 这里不是说你要应记图形啊，是通过题去分析出来的，那我们连完 d、 e 之后，就发现这两个平方之合是等于 d、 e 方的， 那所以我们现在只需要证明这个的 e 方，它是等于二倍的的 a 方就行了。那想证明这组关系是不要，就要证明这个 a 对 e 是 个等腰直角叉形，那我们最开始做的就是等腰直角叉形，所以接下来就可以写了， a 对 方加上 a 一 方是等于的一方的，然后这里面 a 的 和的 e 是 相等的，所以就变成了二倍的 a 的 方等于的一方，那原来的这个 b 的 方 加上的 c 方是不就等于这个的一方？咱们就可以把这个的一方替换成二倍的 a 的 方了，这个是 等腰直角三角形里面的勾股定律旋转一个常见的结论，那这个结论指的是什么意思呢？我们裁掉这个图，现在看这结论。 这结论指的是你在等腰直角三角形斜边上任意取一点，你任意取一个点，那现在是不是有 a、 d、 d b 和 d c 这三条边就相当于这个点？是不是出来三条线段， d a、 d b 和 d c， 那 这三条线段满足的数量关系就是 d b 方加上 d c 方等于二倍的 a 的 方，就是这个定律。那我们看当这个图稍微变化一下，变成基本图二的时候，那我们该怎么办？那思路是一样的，如果你要了解半角模型旋转，那这题你就直接旋转就可以了， 如果你不了解，你就需要去分析这里面是怎么出来的。那首先我们看这里面是还是 abc 等腰值，现在要证明的是 d b 方加 d c 方等于二倍的 d a 方，那我们看这里面的 d b 方加 d c 方，现在是谁？ 这里面还是一样，我们要证明这个的 b 方加的 c 方，所以我们是不是要把这两个三角形转到同，把这两个边转到同一个直角三角形里去？那这里面咱们就转一个比较小的边，就转这个 a、 c 角，辅助线还是咱们可以做一个 a、 e 垂直 a 的， 那这题你看啊，好多同学画图会画错，我们想我们在旋转 ac 的 时候是把 ac 转到 ab 边上来，那你把 ac 转到 ab 是 不是转了九十度？所以呢？这个三角形其余的边是不是也转九十度？也就是说这个 a 的 是不是也要转九十？转到大概这个位置上来， 转完之后我们看能得到什么？那现在我们辅助线做了一个 am 垂直 a 的， 并且 am 等于 a 的， 那我们首先是不就能证出三角形 a、 c、 d 是 全等于三角形 abm 呢？证完之后我们再看，那原来的 d、 b 方加上 d、 c 方，现在是不是就变成了 d、 b 方加上 b、 m 方，那我们看它们俩所在的是不是直角上角？也就说你要判断这个 b 角 b 这块的 b、 m 是 不是直角，那原来角 a、 c、 b 是 四十五度的，所以 a、 c、 d 是 不是就一百三十五？那现在这个 a、 b、 m 是 不也一百三十五？又因为这个 a、 b、 c 是 四十五，所以是不就能得到这里面的角的 b、 m 是 九十了， 那它是九十，所以这里面的的 b 方加上 b、 m 方，咱现在是不是等于了的 m 方？那所以我们接下来需要把这个的 m 连上， 那想证明它等于二倍的 a 的 方，我们接下来是不是只要证明的 m 方等于二倍的 a 的 方就行，那现在 a 的 m 是 一个等腰直角三角形，本身是不是就有 a 的 方，加上 am 方是等于的 m 方的，然后 a 的 和的 m 相等，所以是不是就变成了二倍的 a 的 方等于 d m 方？那原题里我们要正的这个 d b 方加 d c 方是不是就变成了二倍的 a d 方？你会发现这两个图虽然图是不一样的，但是它们的正法是一个思路，都是通过旋转。

八下数学啊，一共有两大亚洲难点，一个是平行四边形，另外一个就是一次函数了。 那有关于平行四边形，这里面咱们有关于性质和判定还是非常多的，所以对于我们下一学期的同学来说也是个挑战。今天老师一个视频带大家把平行四边形对应的定义和性质做一个系统的梳理。那有关平行四边形这里的性质判定， 历年考过的真题必刷三十题，我已经给大家总结出来了，如果对应性质判定你还不太熟练，证明题写不清楚，过程家长们一定要帮孩子打印出来，咱们分题型进行练习，举一反三的思维和几何证明过程，这个假期必须要培养出来了啊，下面来看啊！ 平行四边形是啥？小学你就学过，叫做两组对边，分别平行的四边形。那平行四边形有哪些基本的构成要素呢？首先啊，我们相邻的这两条边叫做邻边，有几对邻边啊？一对两对，三对四对，所以有四对， 接下来相对的这个边叫对边，对边，共有两对，接下来还是一样找邻角，相邻的角就是邻角哎，这是一组 两组，三组、四组，所以邻角有四组，对角有两组，它和它，它和它相对，这个都比较好理解，主要呢，大家要注意第三个对角线，对角线它共有两条， a、 c 和 b、 d。 我为什么要辨识基本元素？因为一会我再说平行四边形的性质的时候，要以这些基本元素为由头，咱们来一起复习平行四边形的性质。 收完边，收完角，收完对角线，我们就从这三个维度去记对应他的性质，不要死记硬背啊，记住三个维度，再往下细分。什么样的四边啊？四边形，边角对角线分别具有什么样的性质呢？来看第一个，对边平行， 而且对边是相等的，这是从边的角度上来说。第二个，角对角相等，邻角互补。这就是我们为什么刚才要研究什么是对角，什么是邻角，对角对应角 b 等于角 d， 角 a 等于角 c， 邻角对应它俩之合一百八十度，这个很好说，利用平行线的性质，咱们就可以证明出来了。 最后一个，也是最容易被忽略的对角线，叫做对角线互相平分。哎，那我们什么意思呢？两条对角线相交于这个 o 点，对应这两段小红的相等，这两段小蓝的相等，我们可以利用全等三角形来进行证明。 那这个呢，就是有关于平行四边形的性质了，一共五点三个维度，你现在记住了吗？ 那有关于四边形这里的几何证明，又是我们中考的一个大考点，那有关于这一块的证明以及基础的计算，大家一定要在这个假期就落实掌握。下面咱们来一起看一下这道题啊。如图， 平行四边形 a、 b、 c、 d 当中 a、 d、 c 的 平分线啊，角平分线交 b、 c 于 e， 告诉你 a、 d 等于八， b、 e 等于二，问你 ab 等于多少？那我们知道啊，这个为八，这个为二，整个这条线段的长度是可以求出来的，八减二，也就是六。 想让问你 ab 的 长度为多少，我们可以求出 ab， 是 不是也可以求出 cd？ 因为平行四边形对边相等 c、 d 怎么求呢？由于平行四边形有一个性质叫做角分，平等腰成有角平分线，有平行线必然出等腰，所以这个小的三角形是一个等腰三角形。 e、 c 的 长度为六，那 c、 d 的 长度就为六了。那记住这个模型，我们很多选填题都可以秒杀出答案了。

咱们这个视频来讲解一下关于第二十一章第二节平行四边形的内容。首先我们先来看第一个，对于三角形，我们学习了一般三角形后，又学习了等腰三角形和直角三角形，这是在一般图形的基础上去研究特殊图形。我们在研究几何图形时啊，经常用这种思路。 对于四边形来说，从组组成它的四条边的位置关系上来看，也就是说是位置关系啊。如果它的两组对边分别平行，这个四边形就是平行四边形。如果它只有一组对边平行，那这个四边形就是梯形。我们看一下啊， 如果说这是一个随随便便的四边形，它并不特殊，如果说它的对边都平行，那它就是一个平行四边形，只有一组对边平行，那换而言之就是另一组对边不平行呗，那我们发现它就是一个梯形。 那么这一节呢，我们重点学习平行四边形的内容，去研究它的性质和判定。首先来看这一块的内容，平行四边形及其性质。 平行四边形是常见的几何图形，学校的伸缩门、庭院的竹篱笆等等都有平行四边形的现象，能举出一些例子吗？ 当然生活中还有很多例子啊，大家都可以在日常生活中进行观察啊，这些全都是平行四边形，只有一个平行四边形， 这个呢，也是平行四边形，刚才已经说了，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，我们平行四边形啊，用这个符号来表示， 例如像这个图中平行四边形 a、 b、 c、 d 就 记作一个这个符号， a、 b、 c、 d。 记住啊，我们这个 a、 b、 c、 d 仍然是要按顺序的，你可以写 a、 b、 c、 d， 也可以写 b、 c、 d， a， 还可以写 c、 d， a、 b、 d， a、 b、 c 都行，甚至说倒着也可以啊， a、 d， c、 b 也行，就是要按照顺序来写啊。下面我们从平行四边形的边角对角线出发，从数量关系和位置关系的角度去研究平行四边形的性质啊。先来研究平行四边形的边和角，看一下探究。 先画一个平行四边形并进行观察，发现除了两组对边分别平行，它的边之间还有什么关系，它的角之间呢？量一下，并且证明你的猜想。 通过观察和度量啊，我们可以猜想平行四边形的对边好像是相等的， 平行四边形的对角也是相等的。接下来就需要证明这些猜想，我们可以通过够添加辅助线构造两个三角形，再利用三角形全等这个思路进行证明。首先来看这幅图， 我们连接平行四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线 a、 c， 然后我们就会发现，因为啊， a、 d 和 b、 c 是 平行的， a、 b 和 c、 d 也是平行的， 那么我们就可以说明角一和角二相等，角三和角四相等，因为用的是两直线平行内错角相等，而 a、 c 呢，又是公共边，那么我们就可以证明三角形 abc 和三角形 c、 d， a 是 全等三角形，利用的是角边角来进行证明。 通过角边角得到证明之后，我们就会发现两个全等三角形的对应边相等，那么 ab 和 bc 就 相等了， ad 和 bc 也是对应边相等，对应角呢，也是相等的，角 b 和角 d 也相等， 这样我们就证明出了平行四边形的对角相等，对边也相等。这里呢说让我们自己去证明 b、 a、 d 和 d、 c、 b， 那 其实 如果我们想证明 b、 a、 d 和 b、 c、 d 的 话，我们就是连接 b、 d， 然后去证明三角形 a、 b、 d 全等于三角形 c、 d、 b 就 可以了啊，和前面的方法是一样的啊， 这样我们就得到了平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等。来看看这个黄框中的内容啊，如果不添加辅助线，能否直接用平行四边形的定义来证明其对角线相等呢？ 我们可以来仔细思考一下。如果说我们要证明角 b 和角 d 是 相等的，我们得想办法通过利用平行线的性质来进行解决，也就是说平行四边形的对边平行。 如果说 bc 和 ad 这两条边平行的话，那么我们就可以说明角 b 和这个蓝色的角，也就是角 b、 a、 d 等于九十度，运用的是两直线平行，同旁内角互补。 而我们还知道这个 ab 啊，和 cd 也是对应角，也是对边对边平行，所以说 ab 和 cd 也是平行的， 那么这个角 d 和角 b、 a、 d 也等于九十度，而两个不同的角加上一个相同的角，等于同样的九十度，那么角 b 和角 d 就 相等了， 这样也可以证明出对角相等啊。同样的方法，你也可以去证明角 b、 c、 d 和角 b、 a、 d 是 对角，对角相等。接下来我们来看一下探讨中的内容。在平行四边形 a、 b、 c、 d 中连接 a、 c、 b、 d， 并设它们相交于点 o， 点 o 呢？把每条对角线都分成两部分，那这两部分有什么关系呢？我们可以发现啊， 在平行四边形 a、 b、 c、 d 之中啊， o、 a 和 o c 是 相等的， o、 b 和 o d 也是相等的，我们要来证明一下啊， 因为我们可以怎么证明呢？呃，就是说明三角形 d、 o、 c 和三角形 b、 o、 a 是 全等的，就可以证明如何去证明全等？在这里我说一下基本的流程啊， 因为我们之前通过平行四边形的定义，可以知道 c、 d 和 ab 是 平行的， c、 d 平行于 ab， 那 么我们就可以说明，角一等于角二， 角三等于角四，利用的是两直线平行内错角相等，角一和角二是内错角，角三和角四也是内错角啊。再加上一个平行四边形的对边相等，也就是 c、 d 等于 ab， 那么我们就完成了证明，推导出了三角形 d、 o、 c 全等于三角形 b、 o、 a 运用的是角边角。然然后我们就证明出了 o、 a 等于 o c、 o、 b 等于 o d， 这个是全等三角形的对应边相等。 而通过 o、 a 等于 o c， o、 b 等于 o d， 我 们就可以证明出平行四边形的对角线是互相平分的这个性质啊。 接下来我们来看一下这一在平行四边形 a、 b、 c、 d 之中， a、 b 长度是八， a、 c 垂直于 b、 c、 c、 d、 a、 c、 o、 a 的 长以及平行四边形 a、 b、 c、 d 的 面积啊， 我们依次来看，既然要求我们求这个 b、 c、 c、 d、 a、 c、 o、 a 的 长，我们可以分别怎么求 b、 c， 我 们可以直接将它等于 a、 d 就 可以出来了，因为这是用平行四边形边相等，而 c、 d 呢，就直接可以等于 ab 了，也是用的平行四边形，对边相等。 那接下来还得再求 a、 c 和 o a， 这样我们就可以利用勾股定律，因为啊， a、 c 和 b、 c 是 垂直的告诉我们了， 所以说呀，三角形 a、 b、 c 是 一个直角三角形，而 a、 c 这条边呢，是一条直角边，等于斜边的平方，减去另一条直角边的平方，算完之后， a、 c 的 长度就是六， 而我们发现 a、 c 和 b、 d 又是对角线，对角线相互平分。所以说呀， o、 a 的 长度就是 o、 c 的 长度， 也就是 a、 c 长度的一半等于三，因为六除以二等于三嘛。这样的话，我们就完成了 b、 c、 c、 d， a、 c、 o、 a 的 长度的求解。接下来呢，还得求平行四边形 a、 b、 c、 d 的 面积。 平行四边形的面积公式是，底乘高，底是 bc。 我 们刚才已经求了等于八，高是 ac， 也求了等于六，六乘八等于四十八，这样平行四边形 abcd 的 面积就求出来了。 接下来我们来看练习题。首先来看第一题，在平行四边形 abcd 之中，我们先把 abcd 画出来，其中 abcd 长度是 5， bc 长度是三，求另外两边的长，另外两边分别就是 abd 和 cd 它们的长度。首先， a、 d 和 bc 是 相等的， a、 d 等于 bc 就 等于三，因为它是对边嘛。另外还有一边是 c、 d， c、 d 和 ab 也是相等的，对边相等等于五。看第二问，已知角 a 等于三十八度， 要求证其余内角的度数。首先啊，对角相等，角 a 和角 c 是 相等的，等于角 a 等于三十八度。 另外呢，我们发现啊，因为啊， a、 d 是 平行于 bc 的， 所以说角 a 加上角 b， 他 得等于一百八十度，两直线平行，同旁，内角互补啊， 这样的话，我就可以求出角 b 了。其实角 b 啊，就等于一百八十度，减去角 a 一 百八十度，减去三十八度就可以了， 得数是一百四十二度。而又利用在平行四边形之中，对角相等而等于一百四十二度，角 d 也得等于一百四十二度啊。这是我们第一题的内容，接下来我们来看一下第二题。 在平行四边形 a、 b、 c、 d 之中， bc 长度是十， ac 长度是八， b、 d 长度是十四。 求 a、 o、 d 的 周长是多少？因为我们知道啊， a、 o、 d 这个三角形的周长其实就是 a、 o 加上 d、 o 加上 a、 d 得这么求， 那咱们依次来求 a、 d 的 长度，最好求了，因为在平行四边形 abcd 之中， a、 d 和 bc 是 相等的，因为对边相等吗？就等于十。 接下来我们得求 d、 o 和 o、 d。 因为啊， a、 c 和 b、 d 都是对角线，所以说利用平行四边形对角线相互平分就可以得到 a、 o 它是等于二分之一。 a、 c 的 a、 c 长度是多少是八，二分之一， a、 c 就是 二分之八，等于四， d、 o 呢，等于二分之一。 b、 d、 b、 d 长度是十四，二分之一十四就是七。再算它的周长，也就是 a、 o 加上 d、 o 加上 a、 d 也是 a、 o 长度是四， d、 o 长度是七，再加上 a、 d 长度是十，放一块等于二十一。都算出来之后，他又问我们了， 三角形 abc 和三角形 dbc 的 周长哪个长长多少？那咱们就表示一下呗。 l 三角形 abc， 它的长度是不是这条边的长度等于 ab 加上 bc 加上 ac， ab 长度是 ab 的 长度，我并不知道，所以说我就拖着不动。 bc 的 长度是十， ac 的 长度是八，所以说呢， 三角形 a、 b、 c 的 周长就是十八，加上 ab。 而三角形 d、 b、 c 的 周长等于什么？等于 b、 c 加上 c、 d 加上 b、 d， b、 c 的 长度是十， c、 d 的 长度呢？我还是不知道。 b、 d 的 长度我有是十四等于二十四，加上 c、 d。 但是此时我们会发现啊， a、 b 和 c、 d 长度是相等的呀，因为它们是平行四边形的，对边嘛，对边相等。所以说呀， l 三角形 a、 b、 c 和 l 三角形 d、 b、 c 谁长啊？肯定是 d、 b、 c 长，因为两个相等的边，加上一个加十八，一个加二十四，肯定加二十四的多呀。所以说，哪个长应该是三角形 d、 b、 c 长 长多少呢？咱们就减一下呗。啊，拿长的 l 三角形 d、 b、 c 减去 l 三角形 a、 b、 c、 d、 b、 c 是 二十四，加上 cd 减去八，再减去 ab， 二十四减十八等于六啊， cd 减 ab， 因为它是相等，就直接减没了，所以说长六就可以了啊。 如图来看第三题，如图将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，转动其中的一张纸条。问，线段 a、 d 和 b、 c 的 长度有什么关系啊？也就是说我对这个纸条进行旋转， 因为你不管怎么旋转 bc， 他 如果说我这个纸条，我举个例子，如果变成这个样子呢？挪成这个样，它构成的也是一个平行四边形啊。 因为他说了两条对边分别平行嘛，因为四边形 a、 b、 c、 d 横为平行四边形，还因为 a、 d 和 bc 一直互为对应边，然后我们就可以利用平行四边形的性质对边相等，所以说 a、 d 和 b、 c 一 直都是相等的，因为它不管怎么偏折，永远都是一个平行四边形啊。这是我们第三题的内容， 接下来我们来看一下例二，在这幅图中啊，因为平行四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线， a、 c、 b、 d 相交于点 o、 e、 f 呢？过点 o， 且与 abcd 分 别交于 e、 f， 要求我们求证 o、 e 和 o f 是 相等的。 既然说要求我们求证 o、 e 和 o f 相等，我肯定还是得通过证明两个三角形全等就行了。接下来就想证明哪两个三角形全等更好证一点呢？我们证明 a、 o、 e 和 c、 o、 f 会简单一点啊， 因为这个角和这个角本来就相等了。由于 a、 b 和 c、 d 是 平行线，两只线平行，内侧角相等，然后还有一个 a、 c 和 b、 d 是 对角线，对角线相互平分，这条边和这条边也相等，再加一个对顶角就可以了。咱们来看看它怎么证明的啊。 因为啊， a、 b 和 c、 d 是 平行的，所以说两只线平行，内错角相等， e、 a、 o 和 f c、 o 这两个都是互为内错角的。而还有一组内错角， a、 e、 o 和 c f、 o 也是内错角，它和我的想法不太一样啊，但是都能做。 而且啊， o、 a 和 o、 c 是 相等的，因为是对角线相互平分嘛，这样就可以证明两个三角形全等了，运用的是角角边，然后就可以证明出 o、 e 和 o、 f 是 相等了，因为 o、 e 和 o f 是 这两个三角形的对应边嘛。 距离啊，是几何中最重要的度量之一，我们已经学习了点与点之间的距离，点到直线的距离。在此基础上啊，我们要结合平行四边形的概念和性质，学习两条平行线之间的距离。 我们在这幅图中啊，可以看 a 平行于 b， c 平行于 d 啊，这是 b 是 一组平行线， cd 呢，又是一组平行线 c、 d 与 ab 分 别交于 abcd 四个点。由于平行四边形的概念和性质，就可以说明四边形 abcd 是 平行四边形。因为我们知道平行四边形的概念和性质就是对边相互平行嘛，这已经都说出来了啊， 而平行四边形的对边相等， ab 和 cd 也就是相等的了。也就是说，两条平行线段之间的任意两条平行线段都相等。比如说，我举个例子，在 ab 这两条线段中，这两条线互相平行，那他的距离就是相等的啊。 由上面结论我们就可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。 在两条平行线之中，一条直线上任意点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离。像我们在这幅图中啊，由于 ab 是 两条平行线 a 点是直线 a 上的任意点， 然后呢，我们画出 ab 垂直于 b， 这不就是点 a 这个点到点 b 这条直线的距离吗？ 因为我们知道垂直才是距离啊，所以说，肯定我得找垂直了啊，垂足为 b， 那 线段 ab 的 长就是平行线 a 到 b 之间的距离了。 看一下这个黄方框中的内容啊，问，两条平行线之间的距离和点与点之间的距离，点到直线的距离有何区别和联系啊？首先咱先说联系联系，他们不都是那个几何中距离的概念吗？本质上就是两点间的线段长度 区别是什么呢？就是描述的对象组合和应用场景不同。像两条平行线之间的距离，我得先画出两条平行线，然后再找出任意一个点到另一条直线的距离，这个距离就叫做 两条平行线之间的距离。点和点之间的距离呢，我只要把两点之间连出来，他们之间的距离就是点与点之间的距离。点到直线的距离呢？这有一个直线，这有一个点，我们得过这个点做这条线的垂线， 这条垂线段就是点到直线的距离啊，这是它们之间的区别。接下来我们来看一下例三，在这幅图之中啊，梯形 a、 b、 c、 d 之中， a、 d 平行于 bc， a、 b 和 cd 是 相等的， 要求我们求证角 b 和角 c 是 相等的。那么我们知道啊，由于 a、 d 和 bc 是 平行的，我们就得考虑运用平行线之间的距离，通过证明三角形全等进行这道题的求证。然后我们就需要先把辅助线做出来， 过 a 点、 d 点分别做 an、 e 垂直于 bc， df 垂直于 bc， 两条垂线做出来了， 然后我们会发现啊， a、 e 和 d、 f 的 长都是平行线 a、 d 和平行线 b、 c 之间的距离，因为它们都是一条平行线上的，一个点到另一条直线做垂直，它们俩是相等的，所以说我们自然而然的就得出来了， a、 e 和 d、 f 是 相等的。 然后呢，题目中还给了 ab 和 dc 是 相等的，所以说这还有个直角，这两个三角形就是全等的了，用的是直角三角形的全等判定。 h、 l 也就是斜边、直角边， 你还有其他证明方法吗？其实有很多很多的证明方法，我们除了用 h、 l 还可以用角，角边都可以啊， 还有一些其他的证明方法，同学们可以课后自己整理一下啊。接下来我们来看一下练习题。四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形， 角 abc 等于七十度，这个角是七十度， b、 e 呢？平分角 abc， 且与 ad 交于点， e、 df 平行于 e、 b， 那 这两条线还是平行线，求证这个角一的大小，这个角应该是角一啊。 接下来我们来写一下过程，我们理一下思路啊，我们肯定要想求出角一的度数，那么我一定我得需要正全等。怎么正全等呢？我们先利用这个平行四边形来进行证明， 因为四边形 a、 b、 c、 d 为平行四边形，所以说角 a 和角 c 是 相等的， ab 和 cd 也是相等的，而且我们还可以得到 a、 d 和 b、 c 是 平行的，那么我们还知道 d、 f 和 e、 b 也是平行的，那通过 a、 d 平行于 b、 c、 d、 f 平行于 e、 b， 我 们这个时候发现啊， a、 d 和 b、 c 是 平行的， d、 f 和 e、 b 也是平行的， 那么 d、 e 和 a、 d 是 在一条直线上的， b、 f 和 b、 c 也在一条直线上，就可以说明 b、 f 和 d、 e 也是平行的，一组对边平行，另一组对边还平行。 那么我就可以说明四边形 b、 f、 d、 e 为平行四边形，所以说我们就可以得到它的对边是相等的，也就是 b、 f 等于 d、 e。 那 我们由于 abcd 是 平行四边形，所以说我还知道 a、 d 和 c、 b 是 相等的，那么我们就可以推导出 a、 e 的 长度是等于 a、 d 的 长度减去 d、 e 的 长度， c、 f 的 长度是等于 c、 b 的 长度减去 b、 f 的 长度， a、 d 和 c、 b 是 相等的， d、 e 和 b、 f 也是相等的，那么我们就可以推导出 a、 e 和 c、 f 是 相等的了。那么我们就可以在三角形 a、 b、 e 与三角形 c、 d、 f 之中进行证明，知道 a、 d 和 c、 d 是 相等的，它们之间的加角角 c 和角 a 也是相等的，最开始由平行四边形 a、 b、 c、 d 就 可以得出来。还有我们刚才推到的 a、 e 和 c、 f 是 相等的，那么我们就可以说明两个三角形全等了，运用的是边角边。 两个三角形全等，那么我们就可以知道，我们不要求角一吗？角一就等于角 a、 b、 e， 而角 a、 b、 e 等于二分之角 a、 b、 c。 因为说了 b、 e 平分角 a、 b、 c 吗？那角 a、 b、 c 等于多少？等于七十度啊，二分之七十度就等于三十五度了啊！ 搞定，这是第一题，接下来我们来看一下第二题。如图，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 周长为十六对角线 a、 c、 b、 d 的 对角线 a、 c、 b、 d 相交于点 o、 e 在 a、 d 之上，还知道 o、 e 垂直于 a、 c。 求 三角形 c、 d、 e 的 周长。其实我们要求 c、 d、 e 的 周长就是想办法，如果我能把 c、 e 啊挪到 a、 e 上去，让 c、 e 等于 a、 e， 那 么三角形 c、 d、 e 的 周长就是整个平行四边形 a、 b、 c、 d 周长的一半就行了。那如何让 c、 e 等于 a、 e 呢？ 其实就是正全等，正 c、 e、 o 和 a e o 全等，怎么证明呢？ 有一组公共边，有一个九十度，然后呢， a o 和 c o 还是对角线相互平分，自然就相等了，边角边就可以了。咱们接下来来写一下过程啊。 因为 a、 c、 b、 d 为对角线，所以说啊， a o 等于 c， o， 因为 o， e 垂直于 a c， 所以说角 a o， e 等于角， a o， e 等于九十度。那么我们就说，在三角形 a、 e、 o 与三角形 c， e、 o 之中，一组公共边 o， e 等于 o， e， 对 角角 a o， e 等于角 c o， e。 还有最后一组边， a o 等于 c o， 这里应该写 o 啊，没有写好啊。 那么就可以说明，三角形 a、 e、 o 全等于三角形 c、 e、 o 利用的是边角边，那么 c e 就 等于 a e 了。三角形 c， d， e 的 周长等于 c， d 加上 c e 加上 d e， 其中知道 c d 等于 a e 了，那就是 c d 加上 a， e 加上 d e， a e 加上 d e 就 等于 ab， 也就是十六的一半，二分之十六等于 八就可以了啊。这是我们第二题，接下来看一下第三题啊。在梯形 a、 b、 c、 d 之中啊，我们知道 a、 d 平行于 bc， 角 c 呢，还等于九十度， a、 d 等于三， ab 等于四， bc 等于五，还知道 ab 和 d， e 是 平行的， 要求求 ad 和 bc 之间的距离。其实 ad 和 bc 之间的距离是不是就是 dc 的 距离啊？因为地点到另一条直线的垂直，垂线就是两条直线之间的距离，那要求 bc 的 距离，我就得用勾股定律我们来说一下啊， 因为 a、 d 平行于 b， c， a、 b 呢，平行于第一，它平行于它，它平行于它对边相互平行啊，这是平四边形的定义啊。 所以说四边形 a、 b、 e、 d 为平行四边形，它为平行四边形。所以说 d、 e 长度就等于 a， b 的 长度就等于四了。 d、 e 等于四。标好，还说了 b、 c 等于五，那好说了，我们由于平行四边形，还可以说明 a、 d 等于 b， e 等于三。我们还知道 bc 长度是五，那么 ec 的 长度就是 bc 的 长度减去 b、 e 的 长度，也就是五减三，等于二。好，我们说 在直角三角形 bce 之中， dc 等于根号下斜边的平方， e、 d 的 平方减去一条直角边的平方， e、 c 的 平方， e 是 四的平方是十六，减去 e、 c 是 二的平方是四， 十六减四等于根号下十二，十二可以写成三乘四，四可以开出来，等于二倍根号三， bc 的 长度就是 a、 d 到 bc 之间的距离等于二倍根号三。是这样写的啊， 这是我们第二十一章第二节的第一部分内容啊，下个视频我们来讲第二部分的内容，是平行四边形的判定。

八下数学最难的勾股定律五大模型全部背熟，逆袭班级前三！八下数学压轴必考勾股定律五大必会模型，模型一，风吹树折 模型二，蚂蚁爬行模型三，三七八和五七八模型模型四，出水芙蓉模型五，垂美四边形完整版分享！

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我经常跟初二同学们说啊，我说在初二的几何当中，有非常多的几何模型，一定要记住，其中有一个用的最多的模型之一是什么叫 k 型全等模型。比如这道题，我们来看一下，在平面坐标系里面出现了 a 点的坐标，我们标一下是二零， 然后 b 点坐标是零一，我们也标一下是零一，这个时候出现什么呢？以 b 为顶点，做了一个等腰直角三角形， a b、 c， 如图所示，这个地方是九十度。 好，那么并且呢， c 是 落在第一项线，要你求 c 关于 y 轴的对称点， c 一 撇的坐标。那么当我们看到 abc 是 一个等腰直角三角形的时候，我们立马要想到一个叫 k 型全等， 那么我们直接过 c 点做一条垂线，假设是 h， 这个时候你就会发现，此时的 c、 h、 b 这个三角形和我的 a、 o b 这个三角形一定是全等的。当然我们也要去证明一下，证明也很简单，在这里我就不多说了。 好，那一旦全等之后，你就会发现，此时 o a 的 长度是等于几呢？等于二，那么它等于谁啊？它正好等于 b， h 的 长度也等于二， 而我们的 o、 b 的 长度是一的情况下，它就等于 h， c 的 长度等于一。所以在这种情况下，我们发现 c 的 横坐标不就是一吗？而纵坐标正好是二加一，等于几啊？等于三。 好， c 的 坐标搞定了，我们要求的是 c 关于 y 轴的对称点，那么关于 y 轴对称点，很明显，你对称过去之后，我的纵坐标是不会变的，所以纵坐标依然是三，而我能够变的一定是横坐标，横坐标一定是跟一 互为相反数，所以答案是负一。那么这道题其实相对比较简单，但是我们会发现它用到的 k 型全等的这么一个工具，在很多大题目当中是经常会用到的，所以同学们要非常熟练的掌握它。

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初二数学最难的几何模型汇总，吃透再也没有丢分的模型一，备长中线模型二，一线三等角模型三，拌角模型四，手拉手，吃透稳拿高分！

初一下学期一开学，数学第一章就是几何知识，家长寒假一定要给孩子准备这本初中几何模型，等开学你就知道它有多轻松。初中三年所有的重点模型都在这了， 燕尾模型三年十四考、猪蹄模型三年九考、手拉手模型三年三十九考、将军银马模型三年二十九考等等。每个模型的结论是什么，怎么推导出来的，辅助线怎么画， 他都详细的罗列了出来。做题时套用模型结论就能秒出答案。还有对应的例题梳理思路没搞懂，也有视频讲解，学完就用习题及时巩固。吃透这些模型，轻松搞懂初中三年级和题。

全等三角形手拉手模型是八年级数学考试频率特别高的一个模型，但对模型能够熟练掌握并应用的同学并不多， 今天我将从模型的特征、模型的四个结论、模型的结论的证明三个方面做一个详细的讲解。 首先我们来看一下手拉手模型有哪些特征。 ab 等于 a、 c 意味着三角形 abc 是 一个等腰三角形 a、 d 等于 a、 e 意味着三角形 a、 d、 e 也是一个等腰三角形。所以模型 的第一个特征是题目中含有两个等腰三角形，所以模型的第一个特征是题目中含有两个等腰三角形。所以模型的第一个特征是题目中含有两个等腰三角形，所以模型的第一个等腰三角形。 那么从图形上我们可以发现 a 点，它是三角形 a、 b、 c 的 顶点，同时也是三角形 a、 d、 e 的 顶点。 所以模型的第二个特征是这两个等腰三角形共顶点 角 b、 a、 c 等于角 d、 a、 e， 也就是这两个角相等。 那么从中我们可以发现这两个角分别为这两个等腰三角形的顶角，所以模型的第三个特征是这两个等腰三角形的顶角相等。 当题目中的条件同时满足这三个特征时，我们就要想到手拉手模型 前面的三个特征可以帮我们辨别出题目的考点是手拉手模型，那接下来的四个结论及其证明将可以帮助我们快速解析 结论。一、与腰勾全等，即三角形 a、 b、 d 与三角形 c、 a、 e 全等。那有一部分同学可能不知道如何找出这两个三角形，这里我来说一下方法， 那从图中我们可以发现， bc 为三角形 abc 的 两个底点，那 b 点在左， c 点在右， d、 e 为三角形 a、 d、 e 的 两个底点， d 点在左， e 点在右。 那接下来我们只需要将左边与左边的点相连，即 b、 d。 右边与右边的点相连，即 c、 e， 就可以得到我们所需要的两个三角形，这也是手拉手模型的名称由来，左手拉左手，右手拉右手。 从图中我们可以发现，在三角形 abd 中， ab 为三角形 abc 的 腰， ad 为三角形 ade 的 腰。 在三角形 a、 c、 e 中， a、 c 为三角形 a、 b、 c 的 腰， a、 e 为三角形 a、 d、 e 的 腰。所以我们的结论一是与腰共全等。结论一的证明过程我已经写下来了， 大家可以暂停看一下，有不明白的步骤可以在评论区留言，我会一一解答。结论二，拉手线等长， 即 b、 d 等于 c、 e。 这个证明的过程比较简单，它来源于结论一的证明，即三角形全等对应边相等。 结论三，两个拉手线形成的夹角等于顶角，即这个角角 b、 f、 c 等于角 b、 a、 c 等于角 d、 a、 e。 它的证明过程我写在了下方，里面用了一个八字型，大家可以暂停看一下证明过程。 结论四，顶点与拉手线的交点连线平分。拉手线夹角，即 a、 f， 它平分角 k、 f、 h 平分这个角。 结论四的证明我已经写在了下方， 大家可以暂停看一下，有不明白的步骤可以在评论区留言，我来解答。 另外需要说一下的是，这里涉及到了一个辅助线的添加，这个辅助线的添加是需要大家记住的，因为在解大题目的时候，他是需要写解析步骤，那这里面的辅助线添加就是我们需要用到的。 有了这四个结论，可以让我们在做选择和填空题时秒答题。理解了这四个结论的证明过程， 可以让我们在解大题的时候首先思路清晰，然后写过程也将十分轻松，因为这个解析过程其实就是结论的证明过程。

好，我们来看一看这一题，这一题是我们合肥市四十五中啊，最近刚刚考的一个单元测试题 哎，通过这一题大家可以能知道啊，几何模型在我们的数学学习中是占了很大很重要的一部分因素，有很多同学不知道如何做辅助线 啊，做辅助线，如果大家今天啊能够在下面回复一下一个一啊，我就可以再给大家发一个关于这题的角平分线的这类的这类的问题，该如何做辅助线啊这方面的知识， 好吧，好，哎，看看这一题啊，已知，在三角形 a， b， c 中， a、 d 平分角 b， a， c 平分角 b a、 c， 那 么我们就说这两个角相等，再加上这个题有一个 c， d 有 垂直 a， d 与 d 啊，这个 c d， b， 这个角等于这个角角 b。 好了，后面的给大家竖直了问你，给你 a， c 等于十， ab 等于二十五啊，叫我们求 cd 的 这个长度，求这个 cd 的 这个长度。好，看到这地方，大家想一想，关于角平分线的哎，一些常考的模型是不是有四种 啊？关于角平分线的常考的一些模型有四种，分别是我们把它称为什么呢？我们可以给大家总结一下啊，哪四种？第一个角角平分线加双垂，第二个角平分线加单垂， 第三个角平分线加平行，第四个还有一个角平分线加对称啊，如果说，呃，有想要知道这一方面的角平分线，这一方面这四种辅助线啊的做法的啊，可以在评论区给我们回复一下啊，想要，好吧， 那么我们看这题里面，它就是一个典型的角平分线加单垂模型，怎么发现呢？就是因为这个角平分线，你看 a、 d 是 角平分线，这个 c、 d 垂直， a、 d 是 垂直于角平分线自身的啊，垂自身， 那么这时候我们可以呢干什么呢？将 c、 d 给它进行延长啊，这个辅助线就这样就自然就出来了。 c、 d 给它进行延长，这个辅助线啊，我们再重新画一下，不太直 啊，将 c、 d 给它进行延长。好，那么我们把这边呢给它擦一下啊，那就是延长 c、 d 交 a、 b 于点 e， 交 a b 于点 e， 那 么这时候你看，由于这个是角平分线，这个也是垂直，实际上它就是相当于是等腰三角形的三线合一中的逆点。理，它的两线合一， 一个是角平分线，又是高线，所以这个 a、 d 同时也是中线啊，同时也是中线，就包括啊，所以三角形 a、 e、 c， 它就是等腰三角形啊，等腰三角形，那么 且 a、 d 为中线，这就是等腰三角形的三线合一的逆力啊，三线合一的逆力，也是刚才我们讲的角平分线加单垂模型的一个具体的应用。 好了，有了这个等腰三，它是等腰三角形，那么我们就可以得到这个 a、 e 应该等于 a、 c 就 等于十， a e 等于 a， c 就 等于十。好，这时候你看题目里面 ab 给你的是二十五，整个的这个 ab 等于二十五，上面的这个 a、 e 等于十，所以 b、 e 就 等于十五 啊，所以 b、 e 等于十五。好了，那么我们把这个二十五给它查一下啊，这个呢，就等于十五好了，那这是个角，我们如何来求 cd 呢？我看我们题目里面还有一个条件还没用上，就是角 d、 c、 b 对 吧？角 d， c、 b 等于这个角 b， 之前看不出来有什么用，但是现在我们连了这个呃，这个 c、 e 了，大家可以看得出来，你有了这个角 d， c、 e 又等于角 b， 是 不是就想到了等角对等边 对吧？因为角 d， c、 b 等于角 b， 所以， 哎， e， b 就 等于 e， c， 哎，也就等于十五，也就 e， c 就 等于十五。再结合刚刚我们讲的这个 a、 d 是 中线等幺三角形的三线合一的知识啊，因为 a、 e， c 是 等幺三角形，所以我们就可以知道 c、 d 应该是等于二分之一， c， e 也就等于七点五。好了，那这一题我们这个答案哎， c、 d 的 长七点五就出来了 啊。好了，所以说这一题呢，在掌主要掌握的这个几何模型就是关于角平分线啊，通过我们在平时的教学的过程中发现关于角平分线的这些模型有很多孩子的都不是很熟悉， 所以啊，想要关于这种角平分线模型的啊这方面的知识，大家可以呢在下面评论区打出来能来，好吧。

平行线这一张是我们期下的一个大难点，因为涉及到拐点模型，常见的就有十三个三大家族，今天一个视频，依依老师就带大家把这些常见模型以及它的结论推导方法带大家搞透。 那有关于平行线拐点模型啊，老师也给大家做了十三个模型的易错压轴题的总结，如果啊，咱们想利用好这个寒假冲刺新学期，那这套题目家长们可以打印出来，带着孩子逐个模型的刷透学会。 下面呢，咱们就来一起看一看啊，我们三大平行线拐点家族分别是什么？叫做铅笔家族，猪蹄家族和老鹰家族。铅笔家族顾名思义，长成了铅笔形，那么对应两直线平行，我们研究的是这三个角之间的关系， 我们由于做出一条平行线之后，出现了两对同旁内角，所以这三个角的和就是三百六十度。 第二个图，我们铅笔啊，用完了眉尖的铅笔磨平眉尖型的拐点模型，那这个模型有什么结论呢？还是一样的思思想 平行线，这里我们就是过拐点做平行，利用平行线的性质来进行倒角，那我做完了之后会发现有三对同旁内角，所以在这里面这四个角的和就是一百八乘三，也就是五百四十度。 同理啊，那我们把它拓展到 n 个角相加，那前面的结论还成立吗？看三个角之合是一百八乘二，四个角之合一百八乘三，所以 n 个角之合就是一百八，再乘 n 减一了，找规律就可以了。 那知道了平行线的铅笔家族继续来看猪蹄家族，你看长得是不？我们过年吃的那个猪蹄的样子，蹄尖尖，蹄丫丫，他研究的是这三角之合，哎，三角之间的关系，他俩之合等于蹄丫丫的角，蹄尖尖之合等于蹄丫丫，是对应的结论， 继续拓展，拓展到这样鲨鱼锯齿形，它有什么样的结论呢？那就是朝左角的角度之核，等于所有朝右的角度之核，我们叫做左凸角之核，等于右凸角之核， 那我们同样把它也拓展到 n 个角。对应的结论，那我们在这里所有的蹄尖尖之核都等于这里的蹄丫丫之核了，对不对？所以以此类推找规律就够了。 最后一个也是最难的，最容易出错的叫做老鹰家族，我们有低头鹰，有抬头鹰，有抠脚鹰，那对应它的结论是什么呢？只需要记住一句话，叫做嘴等于大减小， 这个小嘴等于与平行线相连的这两条线，与平行线夹的这个角当中，大夹角减去小夹角，那我们只需要在这里用嘴的一边与平行线所夹的这个角当中，大夹角减去小夹角就可以了。 所以你看这个图，这不就是嘴吗？对不对？嘴的一边与平行线相连形成的角，这两个角当中用大的减去小的，是不是就是最终的结论？完全都不用记啊，对不对？来看，在最后一个图当中，他在英族的家族当中错了，变形，那我们该怎么做呢？ 还是一样的解析的方式，过拐点做平行，我们在这啊做一条平行线，你会发现，哎，两线平行，内侧角相等，这俩角相等， 两线平行，同旁，内角互补，这两个角是互补的，看没看见，所以在这里这个角就是角 b， 而这个小尖尖角 e， 这个角就是，哎，对应角 c 加角 b 减一百八十度， 也就是我们用一百八十度减角 c， 先把这个角表示出来，再用这个大角和这个角相减就 ok 了。好了，那有关于平行线、拐点模型这三大家族，你现在学会了吗？

好，我们那个继续来。第六一个绊脚模型的结论啊，这里呢，绊脚模型的结论，他就开始进入到我们的狗谷地理这个领域的结论上来了。我们来看一下他这个，第一个，他说 bm 方在这加 d n 方等于 m n 方，这一个呢，如果我把下面遮一下，其实很容易看得出来，它其实是在一个等腰直角三角形当中的半角模型。我们之前也讲过等腰直角三角形当中的半角模型。 哎，你是去把三角形 a、 n、 d 绕着点 a 这个顺时针旋转九十度啊，得到这样一个，得到这样一个三角形 a、 b、 n 撇，然后再把 m、 n 撇连接起来一下。 好，我们首先通过的是旋转，当然八年级的同学他说，老师我现在还没有学过旋转怎么办？那你的辅助线的说法你变一下就行了，怎么个变法呢？你说我过点 b 做 b， n 一 撇，垂直于这个 b、 d 啊，垂直于 b、 d， 那 你来看一下，其实由于这是一个三角，那个四边形 a、 b、 c、 d 是 个正方形，那我们知道角 a、 b、 d， 这是四十五度， 如果你做了垂直的话，那我也知道这个角也是四十五度。如此一来，我们很容易可以得到，说三角形 a、 b， a 一 撇是全等于三角形 a、 d、 n 的， 那么这样一来的话呢，我就知道了啊， d， n 等于 b n 一 撇， d， n 等于 b n 一 撇，并且我把这儿标个角一，这儿标个角二，这儿标个角，三 角一和角三还得相等，对角相等，然后我们又知道这个角 e、 f 是 四十五度啊，那么所以我们可以知道角一加角二，它也就等于四十五度， 等量代换一下，那我们的角二加角三，它也就是四十五度， 也就是说我们的角 e a f 和角 e a 摁，撇， 它是相等的。来，我们来关注一下三角形 a m n 和三角形 a m n 一 撇，除了这两个角相等之外，我们还有 a m 等于 a m 这样一个公共边。同时呢，前面我们说了，全等了过后，还有一个 a n 撇等于， 那么这样来的话，我们就可以证出三角形 a m n， 它是全等于哎三角形 a m n 一 撇的，这样我们就可以把 m n， 我们就可以得出 m n 和这一个 m n 一 撇是相等的。好，这个时候我们来关注一下三角形 b m n 撇， 我们的它是一个直角三角形，我们的 m n 撇的平方，它应该等于 b m 方，加上 b n 一 撇的平方，我们已经证了 m n 撇就等于 m n， 那 么所以 m n 的 平发，它等于 b m 平发，把 b n 一 撇换成 d n 就 等于 d n 的 平方。好，这是我们的 这一个结论就得证了。那么后面的两个衍生结论呢？他是怎么来的呢？我们来看一下其实这个事。如果我把 n n 一 撇连接起来一下， 我们很容易就能够判断出来，三角形 a n n 一 撇，它是一个等腰直角三角形 三角形 b n 撇 n， 它是一个普通的直角三角形。那么所以在直角三角形 b n n 撇当中，我们可以 由勾股定律可以得到 n n 一 撇儿，它等于等于这一个。而我们在 r t 三角形 a n n 撇儿中，我们又可以知道 等于 a n 的 平方加上 a n 一 撇的平方，又由于 a n 和 a n 一 撇是相等的，所以我可以写成二倍 a n 的 平方，那么你等量代换一下，我就可以知道，二倍 a n 一 撇的平方， 它等于 n 撇 b n 撇 b， 我 换成 d n， 再加上 b n 的 平方，那么这就是我们的哎，这一个结论了，当然同理可证，这一个也就可以证出来了，这是我们的结论。六、 看下一个，这就进入半角模型的这个结论，就进入到我们的相似阶段了，这就要九年级学生才能够看了啊。我们来说，他说三角形 bme 看在哪？这这个小三角形，然后三角形 d， f， n 在 这小三角形，三角形 a， m， e 是 三角形 a， m， n。 啊， 这是错，三角形 a， m， n， 这一个小三角形 b， a， n， b， a， n 在 这呢，这一个三角形，还有这一个三角形，还有 大家看我描出来的红色部分，它其实是一个子母形啊，你看 四十五度吧，这儿四十五度吧，然后这儿公公角吧，那所以三角形 n a m， 它就应该相似于三角形 n b a， 同理可证。我换个颜色， 这蓝色的地方也是一个子母型的相似，哎，你看这个角四十五度，这也是四十五度吧， 然后再加个，这里有一个公共角，所以三角形 m， a， n 相似于三角形 m d， a， 对 吧？那么接下来还有一个三角形 a， e f 这个是怎么来的呢？朋友们还有没有印象啊？还有没有印象？我先清屏。 我们前面在证这个结论一的时候，当时证了一个，这个角和这个角是相等的呀， 证了这个角和这个角相等的呀，对吧？那么既然这一个角和这一个角相等，这一个三角形 a、 e、 f 这六对三角形，它们都是相似的，怎么来的呢？我们来看一下， 由于四边形 a、 b、 c、 d 是 一个正方形，那么所以这儿是四十五度，那么又由于半角啊 e、 a、 f 也是四十五度，那么所以大家看这里有个八字 挺硬挺硬的一个八字，是不是很容易就能够得到？三角形 b、 m、 e 相似于三角形 a、 m、 n， b、 m、 e 相似于三角形 a、 m、 n。 好， 这是第一对，同理可证。三角形 d、 n、 f 相似于三角形 a、 n、 m， 这是第二对，第三对。 这里可能只是这我需要说明一下，我先把那个图形描一下，这个角四十五度， 这也是四十五度，那么换言之，我们的三角形 b、 m、 e 和我们的三角形 a、 f、 e 是 不是就该相似了？有两组角啊，一个四十五度，还有一个这个角和这个角，所以这两组三角形相似了。那么你通过这样一顿的代换，你就知道啊，这里有六个三角形， 他们是互相相似的啊，我就不用一个个的去写这个结论了啊啊，结论八呢，他说 f 等于根号二倍 m、 n， 你 要去证这个结论的话呢，我需要把 ac 连接起来一下， 连接了 ac 过后，大家注意关注一下三角形 a、 e、 c 和三角形 a、 n、 d 这两个三角形，我们根据正方形的性质，我们知道这是四十五度，这也是 四十五度。我分别把这三个小角， 因为角 e、 a、 f 等于四十五度， 又根据正方形的性质了，我知道角 c、 a、 d 也等于四十五度，那么也就是角二加角三，也就是四十五度，那么这样一来的话，我就能够得到角一等于角三了，来大家看一下啊， 角一等于角，三角 a c， e 等于角 a d， n， 那 么所以三角形 a e， c， 它就该相似于三角形 a n d 了，那么它的相似比是谁呢？我们来写下来啊，我们的 a e 比上这一个 a n 等于 它就该等于根号二，为什么等于根号二呢？因为三角形 a 大 c 是 一个等腰直角三角形。那我们来回到我们上一个结论，我们说了 上一个结论，我们知道三角形 a， m， n， 它是相似于三角形 a f， e 的 啊，那么来看一下，这里有个 a e， 这里有个 a n， 那 你看看 a e 比上这一个 a n， 它是不是就该等于我们的这一个 e f 比上 m n 了呀？我们刚才已经在上面已经知道了， a e 比上 a n， 它是等于根号二的，那所以 ef 比上 m n， 它就也是根号二，那么这样来的话，这个 ef 它就等于根号二倍 m n 就是 这么得来的。记得点赞关注哦！

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