张宇核心计算通关讲义原式在哪

后期讲的内容跟一位学长干出来了，大家可以点点关注。现在开始积分的概念，他可能会考一个选择题，而积分的计算他极有可能去考一个填空题或者大题目，甚至两者都有。概念部分一定要清晰的理解他概念到底是说的是什么，什么样的函数有原函数，什么样的函数他可以定积分，你要分清楚概念，没事的时候把奖一多过一过， 然后这一部分计算呢？本身积分就比较难，而且涉及的方法也比较多，所以前期多学，你可以这些东西都去看答案，但是你一定要掌握它的方法，没事时候多练一练。所以这一章节需要大家多花时间去磨，你像第八章跟第九章加一起，花十四天到十八天都是没关系的，多磨一磨， 大家不要着急，这一部分东西非常的重要。然后是第十节，这些东西都非常重要，会单独出选填这个旋转体的体积，它可能会作为大题的一小问去考，这个也非常重要。明星的坐标公式这个考的比较少，胡常会考 旋转曲面的侧面积，这个其实考的并不多。然后第四个其实考的也不多，主要是考前两个，尤其是第二个考的会比较多。第十一个章节相当于前面的中指地名，把积分的内容加入进去了，只要学会这个拉格朗日泰勒公式就差不多了。其他部分的话，如果你目标小于一百二，其实不用看这一章节，他就会考最难的一道证明题 十二分，所以很多人对这个证明题呢，他其实根本就拿不到。对于大多数人来说，你只要把讲义上的内容搞懂就行了，西侧不写也没关系的。十二节的物理应用，初二是有可能会考选填的，初一的话呢，大概率不考这部分的。物理应用是所有的物理应用最重要的。初二会考选填，数一数三的话基本上不会考，三 星的概念要记清至新的公式要记住，然后金金用。这一部分呢，数学三的同学一定要好好看一看。第十三讲基本概念，这一部分呢，他大概率会考选填， 这部分非常重要，大家好好看一下。然后这一部分呢，他会考大题，也会考选填，然后二元函数的拉格老师的话一般在证明，实际上证明题也不怎么考这个，所以大家无需在意。 然后是后面这一部分呢，多元函数极致的已退出。这一部分呢，会考大题，也会考选填，而且一考大题就是考计算的，所以大家平时在算的时候呢，一定要认真一点。二重积分数二是一定会考十二分的大题，数一数三的话有可能不考。 然后咱们这些计算的话呢，你平时的时候一定要多算，没有必要一定要在学这一章的时候立马就把它做完，你可以留一部分在后面学长微分方程的时候再搞一点计算，可以把这些计算拆开，比如说每天搞个几道，这样是非常合理的。微分方程也没什么好说的，他每年是固定的考一道选题，加大题非常的重要， 而且这基本上都是送分题，你刚听完课，不懂是因为方法太多了，你只需要跟着讲义上面的东西一步一步一步捋清楚就可以了，所以平时的时候呢，一定要注意计算计算，千万不能算错， 方法跟二重积分是一样的，你没有必要说一定要在多短时间内把这些题都做完，你可以把这些题分散开来，一天搞个几道，千万不要搞错了，这些内容没有哪个是不重要的， 如果硬要挑一个就是微分方程的物理应用，可能确实不怎么考，其他部分的话呢，大家尽可能都要掌握。以上就是前十五讲的内容，那么后几讲呢？我会单独出一个视频，讲一下重点和非重点，跟上亚瑟的节奏。

考研高数下册里，多元函数微分学绝对是必考的重头戏。很多同学刚学完一元函数，到了多元函数这多出几个变量，脑子瞬间就荡机了。今天我们就来把最常考的多元函数求极值彻底讲透，保证你听完就能拿分。 没错，不管是无条件集资还是带条件的集资，其实都有非常固定的套路。咱们先说最基础的无条件集资，这里送给大家四个字的通关密码叫一注二判。 一注二判听起来像是在查房，具体怎么拆解呢？哈哈，很简单，一注的意思是第一步先找注点。 什么是注点？就像你在爬山爬到山顶或者谷底的时候，脚下的地是平的，坡度为零。在二元函数里，就是让函数对 x 和对 y 的 一阶偏导数同时等于零，解出这个方程组得到的坐标点就是注点。 懂了，求偏导有个核心原则对吧？对谁求偏导，就把别的变量当成长数，比如对 x 求导，那 y 就是 个数字，直接按常数法则处理就行。第一步，算出注点后，二判又是什么意思？ 找出了注点，你还得判断它到底是山顶极大值还是谷底极小值，或者根本就不是极值。 这时候就要用到第二步的判别式了。我们需要求三个二阶偏导数，记作 a、 b 和 c， a 是 对 x 连求两次导， c 是 对 y 连求两次导，而 b 是 先对 x 求导，再对 y 求 导。凑齐了 a、 b、 c 三颗龙珠，召唤出的判别式，是不是很像初中学的那个？非常像！这里的判别式是 ac 减 b 平方， 只要把咱们刚才算出的注点坐标带进去，如果 a、 c 减 b 平方小于零，很遗憾，它不是极值点。如果 a c 减 b 平方大于零，恭喜你，它绝对有极值！ 等一下，那 a c 减 b 平方大于零的情况下，我怎么知道它是极大值还是极小值呢？公式背起来太容易混淆了， 这里教大家一个超级好用的开口类比法。你只需要看 a 的 正负号，把 a 想象成高中学的一元二次函数抛物线 a x 平方里的那个 a。 如果 a 大 于零，抛物线开口向上，那在最底下能取到什么？ 开口向上，那最底下当然是极小值，完全正确。反过来，如果 a 小 于零，抛物线开口向下，最高点自然就是极大值。只要记住 a 大 于零极小， a 小 于零极大，考场上绝对不会搞错！ 绝了！这个方法真是降维打击，瞬间就记住了。不过考研大题里，有时候题目会故意刁难人给你加个约束条件，比如在 x 加 y 等于一的前提下求极致。这种条件极致该怎么破？ 遇到条件极致，我们就得请出大名鼎鼎的拉格朗日陈述法了，他的核心思想就是把有条件变成无条件，做法非常简单粗暴。第一步，把约束条件等号右边变成零， 比如 x 加 y 等于一，你要写成 x 加 y 减一等于零，这一步极其关键，千万不能忘一项变零之后呢？ 第二步，构造拉格朗日函数，直接把原来的目标函数写在前面，加上一个参数 lambda， 去乘以刚刚那个等于零的约束条件。 这样原来的二元函数就变成了一个带 lamb 的 三元函数。接下来，你只需要对 x、 y 还有 lamb 的 分别求偏导，让它们都等于零。解出来的点就是我们要找的极值点， 也就是强行把条件塞进函数里，变成一个更大的函数去求导。总结一下，多元函数极值，无条件的就用一柱二判丁减 a 的 正负，有条件的就用拉格朗日加参数构函数。 理清这两条线。多元微积分的大题分数就是你的囊中之物了，赶紧找到真题练练手吧！

很多学弟学妹问我，学姐，张宇的课到底怎么听？书那么多，哪些是必买的？今天一次性说清楚。你可以直接照搬。张宇的书很多，但这三本必买，其他都是锦上添花。基础三十讲，高数篇， 基础阶段核心高数十八讲，强化阶段封神制作题源，一千题全年刷题，用现代和概率论同理选对应科目的三十讲加强化讲义就行。张宇高数基础约四十四小时，建议每天听三小节，每一到二讲结束后留一天整理笔记。他 特点是基础阶段就全覆盖物理应用、经济应用这些，其他老师放在强化的内容，宇哥基础阶段就讲了，所以别嫌多，跟着走就行。刷题搭配一千题的 a 组，结合课上讲的小口诀，会有种见招拆招的感觉。在刷一千题时，我常因盲目刷题而效率低下，后来尝试用智能型针对性攻克伯乐考点， 加上后面我会重点说说智能型是如何帮助我复习的。对于我的二战来说，我选择从题目入手，重新学习和消化知识点。当时我使用了一个刷题平台，名叫智能型考研数学，我二战全程使用了这个平台，因为智能型能够让我有针对性的做题， 一层层的夯实基础。简单来说，就是能够把知识点分解成小模块来消化，从而建立一个完整无死角的知识框架。在进行数学学习和复习的过程中，平衡观看课程和做题练习是直观重要的。我一战就是一味看视频不进行做题输出，到了后期才去做题，才发现会出大问题。 发现光是看视频进行学习，经常会发生一种情况，就是看完整个视频，甚至也做了笔记，但是看完之后却说不出到底从中获得了什么知识。倒数十八讲大名鼎鼎视频课约三十小时，这时候要视频加笔记加刷题三件套，听完课整理笔记，然后做一千题的 b 组和 c 组基 础，讲一重概念，十八讲重题型和技巧。建议暑假先串联章节思维导图，建立知识框架，再结合例题整理解题套路。但如果直接做题，又会有一种两眼一抹黑的情况发生， 非常不利于我们对于自己做题的主动性。在使用智能型进行学习时，每一张开始前都会有一个复习要点，包括了核心的知识框架。在听课时经常会发生听完一节课但脑袋空空的情况， 这种情况下，我们就可以在看视频前通过这个知识点列表来明确目标，从而更高效的看课。特别应该利用好智能型的查拆分知识点的功能，先了解本章有哪些知识点， 带着对这些知识点的疑惑，去看视频中老师是如何讲解，怎么样推出这样的结论的，这样能让我们避免看完视频仍然脑袋空空的情况。看完课就可以用智能型对这一章进行练习。 做题练习是巩固知识、检验理解程度的有效方式，这在对之前看过的知识点起到加强作用的同时，也能查漏补缺。像这样采取看视频和做题交替进行的方式，可以确保你在学习过程中既能够获取新知识，又能够及时巩固和应用所学内容。最后发现这只是虚假的学会了某道题， 而不是学会了一类题，甚至这一题都不一定保证下次能做对，而把一道题彻底弄明白。底层逻辑，看似用了更多的时间学某一题， 其实为之后的学习省去了许多时间。近十年真题必须完成，建议先用套卷形式做，再结合真题解析分题型整理。张宇的真题班很直接，全程无废话，疑题多解这块特别强，能帮你开发多种解法，考场上更灵活。模拟卷推荐最后四套卷，难度贴近真题有句话说得好，你看到的不一定是你真正看到的。对于习题而言， 就是这样的情况，你看到一道题型，如果你不会做，你可能会去查看答案，然后以为自己掌握了。但事实上，你只是记住了答案而已，并没有真正掌握。 这是因为这一点。我要给所有同学的建议是，一定要注重做题加练习计算能力这个重点。然而，简单粗暴的题海战术不是提高数学成绩最有效的方法， 应该有针对性的做题，才能提高对知识点的掌握能力。然而，考研备考时间长达一年，很多时间和精力花下去，常常因为没有明确的目标，导致随大流的安排规划。最糟糕的情况就是一直不检验自己的复习效果，到了后期才发现复习出了大问题。 我开始正式使用智能型后，我发现它的功能确实超乎我的想象。首先，它通过人工智能技术和大数据分析，根据我的学习数据提供个性化的学习计划。它会根据我的需要，制定一个合理的学习计划，安排课程和复习时间，有效帮助我合理安排时间，特别是到了后期，可以让我有足够的时间复习专业课和备政治 一点。智能型的全程规划中也有说到，我们可以在刷完智能型相应的章节等级之后，去用习题策对自己的学习成果进行一个检验。比如基础阶段可以用一千八百基础篇，强化阶段可以用六六零、八八零等， 从此阶段可以用各种模拟卷和真题检验。基本上在刷完智能型之后，一千八百、六百六十等习题策的一刷正确率可以达到百分之八十以上。还有更细致的安排，在全程计划的详细计划里和智能型的小目标里都有， 可以看到你应该去刷相应的习题册里具体的哪些题目。每个里程碑又分别分为许多任务，大家可以用这些时间做指引，更好地安排自己的复习。但因为智能型的训练是因人而异的， 所以每个人的情况都不一样，可以根据自己的情况做一些调整。总的来说，实际训练时间和你的基础有关，基础越好，训练时间越短，基础越弱，训练时间就会长一些。 在我学习的过程中，对于积分的几章内容学习的比较慢，当时非常焦虑，但在学完之后去做任务中对应的六百六十式就发现努力都不会是白费哒。一战直到后期，我才意识到自己做题不熟练，计算不稳定的问题，可惜为时已晚， 犯了一种看到题目知道解法，但答案算不对的毛病。对于计算量的训练，我们潜意识中常常讨厌涉及复杂计算的题目，在完成传统习题时遇到这样的题目，如果我们计算结果出错， 充其量会查看一下答案和计算过程，然后继续做下一道题，算到一半放弃。遇到难题不想去计算简单题目，又算不对答案，这就是所谓的眼高手低。这个坏毛病让我一战吃了大亏。实际上，遇到难题是很正常的事情，计算量大也是合理的难度。 考研题计算量可以很大，可以涉及分类讨论，可以综合多个知识点，也能涉及高级模型背景。计算是基本要求，如果连计算都做不对， 证明题也别指望能完成。有时候运用计算技巧也是非常有意义的。计算一错，全盘皆输。计算能力考验个人的信心和基础功底，所以在复习初期，我们就要踏踏实实的练习计算和常规解析方法。如果做不动题目，通常是因为计算方法不熟练和危难情绪导致的。 算不行，解决计算情绪不行，解决情绪没有捷径可走。对于考研数学这种硬式型的考试，重要的是培养解析思维能力。在备考的第一年，我正是因为缺乏这种思维能力，才在一定程度上导致了失败。 b 站的时候，我虽然能够掌握书上的例题， 但一遇到课后习题册上的题目，我就开始束手无策了。同类型的题目换个数据题干，变化一点点，就不能立刻联想到考点和具体解法，也不能根据题目的条件选择最合适的方法。需要说明的是，平时做题从来没有按题型总结，常规解法，培养灵活变通的能力。正如汤家凤老师的表情包所示， 我有千万种答题思路，而你却无可奈何。智能型有一种很有效的训练方法，当你在一道应该做的出来的题目卡住时，会给你一道之前做过的类似题目的提示，已达到举一反三的刷题效果。这种训练方式很好的解决了我之前一看题目就无从下手的坏习惯。 我开始主动将之前掌握的知识点和解析思路联系起来。张宇的课程体系很成熟，跟紧节奏，买对书，刷对题，一百二十加，真的不难。二十七考研人冲明年岸上等你们的好消息！

二期考研数学备考张宇基础三十讲是多数考生的入门首选，其覆盖高数、现代概率论三大模块，贴合考研基础阶段备考需求，精准对接考试重难点， 梳理核心考点与科学听课时间表，能帮考生避开无效内耗，高效利用备考时间，康实基础功底。高数作为考研数学的核心模块，占据三十讲中的十八讲，核心考点集中在极限微分学、积分学、微分方程及极数 极限部分测中函数与数列极限的计算，掌握加逼准则，单调有界准则是关键，也是后续知识点的基础。微分学需吃透导数定义、几何意义及计算方法，重点突破中值定律应用与极值凹凸性判断。积分学核心是不定积分、定积分的计算与应用，几何应用和积分证明是高频考点， 只有通过系统的梳理，才能在考研这场持久战中占据主动，为后续的强化阶段做好充分的准备。微分方程重点掌握一阶高阶向量程的求解方法，极数则是数一数三专属考点，需熟练掌握连散性判断和函数求解及密集数展开。 这些内容虽然在三十讲中都有详细介绍，但实际做题时的困难往往超出预期。面对这些繁杂的高数考点和真题难点，我发现单纯刷题效率并不高，于是开始尝试智能型来辅助练习。加上后面我会重点说说智能型是如何帮助我复习的，通过这种方式，我能更精准地锁定薄弱环节，而不仅仅是停留在听课的浅层理解上。 大家在复习时也要注意，听懂课不代表会做题，尤其是像中执定理和极数这种对逻辑思维要求极高的章节，必须通过大量的针对性练习来查漏补缺。在后续的复习中，这种工具与教材相结合的方法让我在面对复杂计算时更加从容，也为提升做题速度打下了坚实基础。 现代共六讲，考点集中且关联性强。行列式、矩阵向量、向量向量、特征值与特征向量二次型构成核心体系。 行列式与矩阵的计算是基础向量的限性、相关性的判断的重点。限性方程组的求解与应用常结合其他知识点考察。特征值与二次型则是现代大题的高频出题点，需注重知识点的串联运用。 概率论同样为六讲，仅适用于数一数三考生。核心考点包括随机事件与概率，随机变量及其分布多为随机变量及其分布，数字特征参数估计则是数亿专属重点，需重点掌握点估计与区间估计方法。 在现代和概率的学习过程中，我们要特别注意各个章节之间的逻辑联系，不能孤立地去背诵公式，而是要通过理解背后的数学原理，形成一个完整的知识网络。 听课时间需结合备考节奏合理分配。基础阶段建议三至六月完成三十讲学习，高数十八讲可分配四十至四十五天，每天投入一点五至两小时。重点章节如极限积分学可适当延长时间。 现代六讲分配二十天，结合例题理解概念，避免死记硬背。 去年有一阵子，我被三十讲虐的心态崩了，就在那时候偶然试了之能行，最让我印象深刻的是，他不让你随便看答案，刚用的时候，每道题都得自己想办法，第一步怎么下手只能硬想，说实话挺痛苦的， 但正是这种想不出来也得想的状态，帮我戒掉了答案依赖症，慢慢地看到题目自己能摸出思路来了。那段时间阿，我才真正明白，有时候逼自己一把，确实能往前走一大截，而不是在舒适区里打转。这种心理上的蜕变，对于后续漫长的复习过程至官重要。 一开始找突破口时不让看答案，当时真的难受的一批。真正高效的方法拆分，然后发现智能型的拆分知识点功能简直就是神奇。我一开始对高数题目的理解就是没有框架性，而且看到一个题以后，根本不知道这个题都考察了哪些基础的知识点。而智能型就能把一道题拆分的很清晰， 把一道综合性很强的题目拆分成多个基础知识点，让你逐一排查，直到找到这道题中你的知识盲区，再对该知识点进行更细致的训练。 当你通过训练以后，逐层向上依次击破，你再反过来去重新做综合题目，就会发现问题迎刃而解了。这种从底层逻辑出发的复习方式，彻底改变了我以往只追求刷题数量而不求甚解的错误习惯。 通过智能型的这种拆分法，我能够清晰地看到每一道题背后的股价，不再被复杂的表面条件所迷惑，真正做到了从本质上理解每一个考点。 经常就出现这种情况。真能行，给我出了一道题不会，他就开始出简单题，抓你的知识点漏洞，各种难受。等到你练习完了该题目下的所有知识点，再去看这道题目。哎，这题我会了，没错，就是这么神奇！ 然后我再去写六六零，正确率完全不一样了，提高了好几倍。我还作死地去试了试其他没有使用过智能型的章节，依旧是没思路，计算乱错，真的特别神奇 h h h h 感觉又生气又好笑。彻底搞懂每个知识点真正高效刷数学题，是要把每一道数学题都拆分成小知识点，抓住自己不会的知识点，完全搞懂，彻底击破以后， 再刷下一道题。这种精准的打击方式，让我意识到，很多时候我们觉得自己学会了，其实只是记住了某种题型的套路，而并没有真正掌握核心的知识点，一旦题目稍微变形，就会立刻被打回原形。而智能型正是通过这种反复的排查和巩固，帮我把基础打得格外牢固。 谁又会这么有空去一道题一道题拆呢？而且本身自己的水平看到一道题能把它定位到某一章都不错了，还拆知识点，过于高估自己的水平了。所以回头看，真能行，竟然可以帮你拆分加训练，不得不感叹当代人工智能算法的伟大。在他的帮助下，为我的考研之路省了很多时间，也不过于依赖答案与网课，培养了自己的学习思维。 如果我有一道题做错了，智能型会带我训练这个题目下面的小知识点，将知识点一次拆分至逐一攻破。当然，如果有一个知识点做错次数较多，智能型就会变换多样的题目形式，全方位帮我复习巩固该知识点。 这种方式能够有效地防止学生因为记忆而产生的虚假成就感。智能型会防止我为了作对而去专门记答案，变换 n 种同类型题目，让我没办法偷懒。这种高频度的刺激和变换让我的大脑时刻保持警觉，学习效率得到了极大的提升。 当我完成了该专题的第一次测试以后，智能型会为我定义该专题的等级。等级一至四并不代表着我做题的量的多少，而是代表着我上考场上那天的做题水平。智能型考研数学每个专题是没有固定的题目数量的，每个等级的题目数量也是不固定的哦，都是因人而异， 独家定制。因为你刷题量的多少，并不代表着你上考场时候的考试水平。有很多人在刷完汤一千八百题以后，做综合题目还是没有思路， 做了很多本练习册，刷了好几千道题，最后也只是感动自己而已。真正的进步应当体现在对知识点掌握的深度和灵活运用的能力上，而不仅仅是账面上的刷题总数。通过智能型的等级评估，我可以清楚地看到自己距离真正的考试标准还有多远，从而在复习中做到心中有数，避免了盲目刷题带来的时间浪费和心理焦虑。 如果你是高数大佬，你可能会发现，完成第一次测试以后，可能会直接就跳到了等级二块满格。如果你的数学基础并没有那么牢固，可能第一次训练完就会从等级一开始慢慢练习，不过也不用灰心，只要每天完成综测，按照智能型给你安排的时间认真进行专题训练，你的等级就会提升的很快。 当然，我对于数学的自信心也就这样慢慢培养起来了，每次刷着刷着就上瘾了。在这个过程中，最重要的不是起点在哪里，而是每天是否都在向目标迈进。 看着等级一点点提升，你会发现，那些曾经觉得遥不可及的考研真题，现在处理起来也变得得心应手。这种正向的反馈机制是任何一本纸质练习册都无法提供的，它让枯燥的考研数学备考变成了一场充满挑战和成就感的升级之旅，让我在一次次的训练中不断突破自己的极限。 回一下私信我的考研一二。智能型从来没有 app， 没有 app 没有 app， 所以 你搜不到 app 是 对的，智能型只有网站与智能型。走过的这一年，让我终身受益。数学的备考虽然艰难，但有了合适的工具和科学的方法，一切都会变得清晰起来。 希望学妹们可以抓住，成为这位只对你好的老师，努力前进吧！在备考的最后阶段，保持心态的平稳和对知识点持续的巩固是关键。不管是章宇三十讲的系统梳理，还是智能型的精准训练，都是为了让我们在考场上能发挥出最佳水平，只要坚持不懈，属于你的录取通知书一定会如约而至。 加油！每一位在考研路上拼搏的同学，这段时间的努力终将化作未来最宝贵的财富，让我们一起在最后的冲刺阶段，不留遗憾，全力以赴地奔向梦想的彼岸！

你好，我们来看一下这一题， a b 为常数零到一内，这个定积分是收敛，那么让我们计算 a 加 b 的 范围跟 b 的 范围，很明显，这一道无限函数的反常积分。对于这类反常积分的 解析技巧是什么呢？首先要找它的瑕点，而瑕点呢，通常是积分线或者是函数无定义的点，然后将被记函数 转化为我们所熟悉的 p 级数。在零到一内的 p 级数，它收敛的条件是什么呢？是不是就是 p 小 一的时候收敛， p 大 于等于一的时候发散，对不对？所以我们分析一下这个题感。反常积分的 瑕点是，也就是说令这个积分无界的点有几个呢？ x 等零的时候， let x 是 不是趋于无穷呢？它的图像是不是这样子画的？而 x 的 a 次方呢？在 a 大 于零的条件下，它是不是趋近于零呢？对不对？所以呢，它是会让函数无界。 同样道理呢，在 x 等一的时候， tan 呢？二分之 pi x tan 的 图形是怎么画的？是不是这样子的呀？所以呢，在 tan 呢二分之 pi 处，函数是不是趋近于正无穷呢？因此呢， tan 呢，二分之 pi x， 它的 b 次方呢，是有可能趋近于零或者无穷的，它这个时候是取决于 b 的 符号的， 并且呢，也会让被积函数无界。是不是就刚才我们根据那个图像就可以看出它是在啊，图像是这样子的，在靠近二分之差的时候，它是趋近正无穷的，所以呢，让积分无界的点有两个，那这样的话，我们是不是就要把这个积分给拆分开来啊？ x 趋近零正的时候，它是不是等价有二分之差 x 这是什么呢？等加无穷小？对， 也就是它逆的 x 等价于 x， x 去零，所以呢，它逆的二分之 pi x b 次方，是不是就等价于二分之 pi x b 次方？那这样背记函数是不是近似为 let x 比上 x a 次方乘以 x b 次方， 也就是 let x 比上 x a 加 b 次方，那二分之 pi 它是一个常数，就可以忽略掉。 那对于反常积分，它收敛的条件是什么呢？它是一个 p 级数，对不对？零到以 x p e 次方，分之一，是不是在 p 小 于 e 的 时候收敛？所以是不是就是 a 加 b 这个指数小于 e？ 那 这样解出来的话， 是不是就能够排除掉 a c 选项了？再来看 x 趋近于一的左极限的时候，也就是趋近于一负的时候。趋近于一负的时候，我们可以看一下 let x 是 来一是等于零的，那 tan x 二分之 pi x 呢？它现在是 tan x 二分之 pi， 是不是在计算这个积分的时候去判断它的连散性？看它的是否收敛的话，也就是说极限是否存在？对于 line e 和 ten minute five 的 beat 方向，这种的话，我们是不是可以做一个 等量代换？因为刚才我们听到说是将被记函数近似为等价无穷小，那 x 去进一个数的时候，是不是转化 x 去进零的时候是比较好利用等价无穷小的？因此呢，我们令 t 等于一点 x， 这样的话 t 就 趋于零正了。 那 tangent 二分之 pi x 是 不是就 tangent 二分之 pi 乘以减 t 啊？它是不是就等于 cos tangent 二分之 pi t， 那 它是不是等于 pi t 分 之二？这里呢，有一个延伸，也就是说 cos tangent 二分之 pi t 为什么等于 pi t 分 之二， cos tangent 二分之 pi t 呢？我们可以写成 cos sine， 比上 sine， 那 t 去零的时候 cos sine， 它是不是去零一的？所以呢，它是不是就是 拍 t 分 成二？因为在 x 趋近于零的时候，三 x 是 等价于 x 的， 对不对？同样的道理呢？ l x 它是不是等价于负 t 啊？这样的话，是不是被其函数近似为这样一个函数值啊？ 那它瘦脸的条条件是什么呢？是不是它这个 b 加一是要大于负一的？这个也是我们要常记的瘦脸形式，类似 p 级数的一样，所以 b 加一大于负一的话，那 b 是 不是大于负二？再看二十二题，二十二题呢？ 这 x 它表示超过 x 的 最大整数。那首先是要把 f x 的 表达式给求出来啊，因为它这里是一个不确定的， 他现在让计算的是在一除的左导数，跟在一除的右导数，那我们是不是就可以求在 s 等于附近的表达式就可以了？所以就是当 x 属于一到二这个区间的时候，这个整数函数它是不是等于一啊？ 因为它表示的是不超过 x 的 最大整数，现在取不到二，那是不是只能取一了？所以呢，它的函数表达式出来了，那这样的话，我们去计算在一除的右导数， 先求导 f x 等于 x 减一了，也就是对这个表达式求导。求导之后，我们怎么样去计算它的诱导数呢？注意这里 x 减一，它是个什么函数？它是不是一个连续函数？ 连续函数的话，是不是就代表 f x， 它是连续的，它连续的话，连续的定义是什么？极限值等于函数，极限值等于函数值。所以呢，在该点处， 在 e 处， f 撇儿，它的函数值是什么？是不是就是 f 撇 x 在 取 e 正收的极限值，也就是零吧？它这里其实用的是导函数连续， 它在求这一步的时候，就已经不涉及大 f x， 也就不涉及它的原函数了，直接就是利用的是导函数的连续性。函数值等于它的极限值。 再看它的左导数，左导数的话，是 x 趋近于一负的，它是不是在一的左侧啊？在一的左侧，它又取不到一的话，那它取的最大整数是什么呢？是不是零啊？所以呢， f x 的 表达式出来了，然后再对它求导，这仍然是一个连续函数吧， y 等于 x， 从外到零，它极限值是不是等于一啊？那这样的话，两个值都出来了，最终结果是不是等于负？一二十三题二十三题首先看 a 选项， f x 它连续的，并且呢， x 属于 a 到 b 这个区间的，那么它的这个定积分 b 为小 f x 的 原函数， 它是一个什么函数呢？变上限积分对不对？那它是它的原函数的话，我们是不是就可以根据 变上限积分求导定理啊？如果对它求导是它的话，它是不是就它的原函数，对不对？所以呢，我们对它求导求导的话呢？是不是就发现它是一个 f x， 那 它是不是就 说法是正确的，所以 a 是 成立的。再看 b 选项 b 选项呢？小 f x 可极，那么 f x 在 a 到 b 内， b 存在原函数， 可极是代表什么呢？可极是代表 f x 在 a b 内有界，并且几乎处处连续，这里为什么又说几乎呢？说明它是什么呢？间断点是有限格的，间断点不多的意思，所以可极是需要满足什么呢？可据第一个条件就是只要函数有界， 它是不会跑向无穷的。间断点不多，也就是说有有限个间断点，那么它就可以满足可集。 而连续函数呢？是不是一定有原函数，并且呢也是一定可集的，对不对？它这里是几乎处处连续，说明存在间断点。 那我们举一个反例， f x 它可不可及呢？它是可及的，但它为什么没有原函数呢？因为它存在跳跃间断点，也就是说没有人求导，能够求出来是它核导的条件是什么呢？是不是必连续啊？ 那为什么 f x 有 跳跃键的点，不连续还可积呢？那我们就要明白一个定义，能不能积分看的是什么呢？积分的本质是曲线下方的面积对不对？所以它看的是面积， 而有没有原函数看的是什么呢？看的是导函数。就像 a 选项一样，我们要看它能不能可导，可导之后是不是 是不是我们题中出现的函数。所以说能积分的话，只能说代表它面积存在，而连续一定可积，是一定有原函数的。因此我们就拿一个存在间断点的反例来推翻这个说法， 有条件的点，它是不是就不连续？但是呢，它面积有存在，所以它是可积的。所以 b 选项错误的原因也整理出来了。再来看 c 选项， c 选项小 f x 连续，并且为奇函数，那么在对称区间上， f x 它的积分为零， 那我们可以将这个这个其实是可以直接当一个结论使用的。我们在做题的过程中经常用这个结论，那么我们来推导一下它这个过程。 负 a 到 a 上 f x 的 定积分，它是拆分成两部分的话，就是负 a 到零和零到 a， 令 t 等于负 x， 那 负 a 到零上 f x， 它是不是就是负的零到 a 上 f 负 t d x， 对 不对啊？这里应该是 dt， 所以它计算出来是负的零到 a 上 f t d t， 那 这样的话，负的零到 a 再加上零到 a， 是 不是就等于零啊？ 大家看 d 选项 f x 连续大 t 为它的周期，那么这个式子是否成立呢？我们仍然用变量代换来计算，首先把它拆分成三个区间，那么如果我们要去记， 去验证它是否等于零到 t 呢？是不是就想办法把这两个看能不能抵消掉，对不对？那这一个我们不动它，因为这个比较简单，所以要动它，是不是就后面这个上下线比较复杂的？那我们想办法把它凑成零到 a 上， 那是不是就要把这个大 t 给去掉呀？所以呢，零 t 等于大，零 t 等于小 x 减大 t， 这样做一个变量代换之后，我们会发现它是等于零到 a， 让 f d d t 是 不是就是一个是 a 到零，一个零到 a， 正好是互为相反数，对不对？所以呢， 是不是就验证出来了？再看二十四题，二十四题， f x 减五等于它，让计算它，那是不是就通过变量代换把 f x 它的表达式给求出来，然后再代入二 x 加一，所以我们令 t 等于 x 减五的话， f x 的 表达式是不是就出来了？ 表达式出来之后，我们去把 f 二 x 减一给表示出来，那是不是就是它呀？出现这种分式的话， 怎么做呢？是不是要把它变成两项的差或者是和呀？也就是由极变成和差，怎么变呢？这里写出了步骤， 它等于 x 加三分之 a， 等于加上 x 减二分之 b， 这样的话，两边同时乘以这个分母，根据系数是不是就能求出来 a b 啊？求出来 a b 之后，我们可以把它代入，代入到圆式中，就是代入到这个式子中。 刚才的计算答案有点问题，我们看计算到这里之后，如果我们直接写负五分之一 line x 加三，零到四，加上五分之一 line x 减二，零到四， 如果是直接代入四根零的话，确实能看出来它积分是存在的，但我们刚才说了分母为零，我们刚才说了 s 等二的时候分母为零，它是一个反常积分，所以呢，我们是不是就要把它的区间给拆分开来啊？ 它的区间是零到四，所以呢，我们拆成零到二和二到四这里为什么不用去考虑它的分母为零的情况呢？因为在 f 等于负三这个区间，我们是不考虑的，因此呢，我们要考虑 x 减二等零的时候， 也就是 x 等二这个情况。所以拆分开来的话，如果整体是收敛的话，是不就是每一项都收敛？因此呢，我们把零到二 x 减二分之一，它这个定积分给摘出来，就会发现它是来 x 减二的绝对值，再代入零到二 line 函数呢？它是什么样的？是不是这样子的？那在 i 杠二的时候是不是 line 零， line 零它是不是靠近 y 的 负半轴啊？是不是就是负无穷啊？所以呢，它是不是发散呢？刚才说的有一个发散的话，整体就发散，所以大家选 a， 再看二十五题，二十五题呢，他是比较简单的，首先看 a 选项，拍到二拍，拍到二拍，是不是只用比较背记函数的大小就可以了？那画出这个图形呢？我们我们会发现，三 x 他 绝对就是小于等于一的，对不对？所以呢，他是不管怎么取，他都是在一以下的。而在一 在一个小于一的数，它的平方是不是永远就是会小于等于它原本的本身对不对？因为如果说二分之一它平方的话，是变成四分之一，四分之一的平方的话，就是十六分之一， 十六分之一跟四分之一哪大一个是十六分之四，一个十六分之一，二分之一跟四分之一呢？是四分之二，四分之一，对不对？所以小于一的数，它的平方 是肯定一定会小于等于它的，因此呢， a 选项是不对的。再看 b 选项， b 选项这个负极函数我们在上一期的视频中也有出现过， x 比上一加 cosine x 一定要牢记，它是一个奇函数， 而奇函数在对称区间上的积分，它一定是为零的，所以我们主要看后面这个积分，它大于零的还是小于零的就可以了。而这个函数呢，三 x 的 奇函数一加 s 四次方是偶函数，因此呢，它整体是奇函数，而后面被积函数一加 x 平方分之一，它这是一个非负的， 所以被积函数是大于零。积分区间是一个对称区间，它又是一个偶函数，对不对？所以呢， 它的积分是一定会大于零的。再看 c 选项， c 选项 a 到 b 上 f x 的 定积分是小于等于 c 到 d 上 f x 的 定积分，这里的 ab 是 属于 cd 的， 也就是说它的积分上下线一定是小于它的积分上下线，因为 cd 是 包含它的。而这里 我们说到一个定积分的大小关系取决于什么呢？一个是背景函数，一个是积分上下线，对不对？现在积分上下线的大小关系确定了，但是 f x 的 正负关系我们是不是不确定的？所以这个不等式成立的前提呢，是 f x， 它是一个非负的。再看 d 选项， d 选项呢？ 这个式子它成立的条件是什么呢？是不是它是偶函数的话，那么它在对称区间上的定积分是是不是就等于二倍的零到以上啊？所以呢，我们现在它给出 f x 连续这个条件呢，是不能够推出它是一个偶函数的，因此呢，它选 b。

说我们在二零一六年考研数学真题的特点，第一个是重点突出，重点突出的意思呢，是 不怕就是花费这个笔墨啊，在一些重点的问题上，所以呢，就是说我们做习题集啊，比如一千题，它也不是这个平均用力的啊，而是怎么样，而是在这个 兼顾全面，这待会说的第二条啊，兼顾全面的基础上呢，要重点突出啊，就是有些题啊，那我肯定是要这个处理的多一些啊，给大家从各个角度来命题。 二个特点呢，就是在二六真题里面反映出来的就是坚固全面。三、一个特点呢，就是计算量大啊，那大家知道考研数学啊，大部分的题是需要大家通过计算才能得到最后的结果的 啊，需要通过计算才能得到最后结果的。所以呢，在这个问题上啊，我们在一千题的设计当中，是有意识的给同学们这个计算量饱满， 计算量稍微大一些的题目是要做好设置的啊，这不可能说啊，就心疼你们啊，啊大，大家太辛苦了，一千题计算量少一些啊，叫同学们多想想就行了，这个不行啊，这些必须亲自做。

对于刚开始接触考研数学的同学来说，章宇一千题基础篇 a 组题并不是用来刷的，而是用来学的。很多同学一上来就想着赶紧做完多少页多少题，结果做的飞快，错的也飞快，最后回过头来发现知识点还是模糊的，题型还是陌生的。寒假期间，我们的核心目标只有一个，打牢基础。 基础篇 a 组题刷到哪算啊？重点不是进度，而是每一道题背后的知识点，你有没有真正搞懂、吃透。你做一道题不是为了对答案，而是为了理解这道题考的是哪个知识点， 他是怎么把知识点转化成题目的。如果你做错了，是概念不清，方法不熟，还是计算失误，只有通过这样的方式做题，才能真正把知识从听得懂变成会做题。我们要坚持基础篇 a 组题，每一道题都要深挖， 建议大家按照以下四步走，先看课，再做题。先把基础三十讲对应章节的课程，看完，理清知识点的逻辑框架，再去碰题目。 做 a 组题的时候，不要急着翻书，尽量回忆课上讲的内容，训练自己用知识的能力。错题不急，先看解析，看懂了就过，看不懂就回去翻讲义，或者重听课程片段，标记错题，定期回顾，过几天再回来做一遍，检验掌握程度。在基础阶段，正确率在百分之六十左右是非常正常的， 因为你是第一次把知识点和题目结合起来，出错是必然的，关键是你能不能从错误中学到东西。针对基础题型，我发现了，真能行！后面我会重点说说他是如何帮我复习的， 千万不要为了正确率去背答案，那是自欺欺人。还有同学问学姐，我做题特别慢怎么办？我的回答是，慢，没关系，基础阶段就是要慢，你把一道题的每一个步骤都搞明白，比你胡伦吞枣做十道题强得多。 等到基础扎实了，到了强化阶段，刷弊组题的时候，速度自然就上来了。我希望分享我的经验，适用于绝大多数人，特别希望能帮助你避免我曾经踩过的坑。全书超过一万次，包括如何有效规划备考时间、选择老师和资料，以及高校备考的方法。 建议收藏这份资料，在备考过程中会为你提供帮助。我考研期间使用的学习资料包括一千八百题、六六零题，以及智能型资料中的近二十年真题和李林模拟卷。对于刚入门的初学者来说，老汤在纸上写下所有知识点的方式非常友好。 一开始，有些知识点对我来说比较难理解，比如极限、多元、微分等基础概念，观看视频后理解并不深刻。后来我直接在 b 站上搜索了单独讲解知识点的视频，效果反而更好。因为我观看的是汤家凤老师的基础课视频，所以我边看视频边做一千八百题。 但是我发现我做起一千八百题的时候很崩溃，实在无法坚持下去。习题测和视频之间有些脱节，而且在一千八百题中，有许多题目都考察相同的知识点，这导致效率很低。转而做李永乐的六六零题，结果情况更加严峻。六六零题考察的是对基础知识的综合运用，他总能以你意想不到的方式出题，考察非常细致。 当我开始做六六零题时，心态崩了，思路完全堵塞，只能死磕答案。这样的刷题过程真的太痛苦了。在被六六零题击垮后，我意识到继续只看视频会很糟糕，于是开始在网上寻找备考经验。 我发现智能型会根据我的做题情况，逐步选择适合我的题目，不断完善我的知识结构。当我遇到不会的题目时，智能型会逐步分析我的薄弱知识点，通过逐层剖析错误原因，一步步找出基础薄弱的问题，并推荐相应的题目进行强化巩固。 因此，在刷题过程中，我逐渐构建了知识结构，然后通过持续的强化 and 综合测试，形成了正向反馈的闭环。这种学习方式让我有了新的想法，即只通过刷题来学习考试中的知识点。 我尝试了这种方法，最终成绩还不错，证明这种方法是可行的，前提是要通过自己做题来理解题目中的知识点。如果遇到特别难理解的题目，再去有针对性的观看视频。 知能行全面覆盖了考研大纲中的所有知识点，后台算法会根据我的个人刷题情况，生成我专属的练习册，给我制定一条专属的学习路线。因此，我决定改变备考策略，全面采用知能行来复习考研数学。 我一边刷题，一边学习复习要点，通过题目补充基础知识，大大提高了效率。知能行每个专题都有等级，等级三满分达到真题水平。在使用过程中，经常会有一种闯关的体验，让我感觉上瘾，看着进度条不断上涨，确实能感受到自己的能力在逐步提高，这真的非常有动力。 智能型最棒的一点是，每天的综合测试，不仅能找到薄弱点巩固，还能保持做题手感。这相当于每天进行一次小型的数学模拟考试。我们可以看到正确率的变化趋势，清晰地了解自己是否有进步。 在强化阶段，纸质练习册反馈效果并不好，无法具体评估掌握情况。这时通过智能型就可以实时了解到每个知识点的掌握情况。滚动复习，它根据你的薄弱点出新题，不断巩固加深，这对于后期时间紧张时防止遗忘非常关键。它可以直观地显示我每天做了多少题，正确率如何。 有了这个能力图，你就可以直观地了解自己哪方面存在薄弱项，比如基础功力不行，在途中一眼就能看出来。然后你可以有针对性地加强基础功力，最终你将成为一个全面发展、无所不能的等边三角形战士。在我的记忆中，刷数学题一直是一件痛苦的事情，但智能型彻底改变了我的看法， 他强大的正向反馈和进步成就感常常让我刷题刷得停不下来。注重打好基础，坚持变中求稳，循序渐进，避免急躁，脚踏实地，勤思勤算。智能型根据不同的习题策制定刷题计划，时间具体到小时。 基础阶段，复习目标是复习基础知识点，培养计算能力。基础较差的同学，遇到不懂的问题可以先看视频，但一定要自己做题。强化阶段，通过大量做题 and 总结规范，加深对知识点的融汇贯通，提高解题能力。 如果你的智能型章节达到了三级，就可以进行每天的综合训练了。友情提醒大家，多做题，多动手，不要只看不练，注意总结规划，强化结束，让智能型达到四级就非常不错了。完成智能型专题后，再去刷市面上的习题测检验效果，通常一刷都可以达到百分之八十至九十的正确率。 冲刺阶段，通过真题和模拟训练，强化重点，突破难点，弥补不足。在这个阶段，可以使用智能型的错题回顾功能，回顾错题 and 薄弱知识点，努力将水平提升到五级。 完成高数基础后，开始现代复习。现代计算量不如高数大，但概念性很强。我刚开始用李永乐的讲义学习，但感觉很吃力，稍微复杂的题目就猛了。在学习宪性方程组时实在是搞不懂题目， 后来刷了智能型，感觉就豁然开朗了，面对题目有了思路，而且能够作对。智能型则包含了所有的真题，刷完之后回头再做讲义上的题，正确率相当高。模拟卷推荐原则是题目具有创新性，而创新方向又接近真题的出题风格。 少看经验贴，多留意前人踩过的坑。学习的本质在于不断迭代和优化，我们要想学得更轻松，就得学会不断优化自己的学习方法，决不能盲目追求进度，重点在于及时复习。我们必须认识到，数学学习需要长时间的连续性实践，当做题时遇到忘记的地方就查书，以做题为主。 学习数学最忌讳的就是不动手，要明白看懂了答案不代表能自己做出来。与其焦虑他人的进度，不如挑战自我。进度快的人不一定考得好，但自己不进步就一定考不好。在制定计划时设定合理的任务量，给自己正向反馈。 如果个人自律能力不够强，就一定需要找一个志同道合的研友报考同一所学校但不同专业或报考不同学校但同一专业都是不错的选择。

大家好呀，作为刚上岸的学长，今天给二期考研的学弟学妹们梳理一下章宇蓝开体系的全套用法和时间规划，帮大家少走弯路，高效备考。 先说说蓝开体系的核心逻辑基础，三十讲是地基强化，三十六讲是拔高关键，一千题是配套练习。 三十讲内容其实已经覆盖了基础，加强化，所以不用赶进度，慢慢学透概念就好。三十六讲则侧重解题方法和技巧的精练，是冲高分的核心。一千题分 a、 b、 c 三组，分别对应三十讲、三十六讲和综合拔高。大家可以按需选择。 听课前一定要先预习章节内容，试着做例题，哪怕只思考十分钟，带着问题听课效率会翻倍。听课后必须亲手做一遍例题和课后题，每学完一讲，花半天时间复盘整理，把知识点串成线， 大家可以按需选择。打牢地基是冲高分的核心关键。在复习一千题的过程中，我发现仅仅刷题很难定位到最底层的思维盲区。后来我通过智能型进行辅助提分，效果非常显著。下面我会重点说说它是如何帮助我复习的。 核心任务是肯完基础三十讲搭配一千题 a 组打牢基础听课前一定要先预习章节内容，试着做例题， 哪怕只思考十分钟，带着问题听课效率会翻倍。听课后必须亲手做一遍例题和课后题，每学完一讲，花半天时间复盘整理，把知识点串成线。基础阶段的核心任务是肯完基础三十讲搭配一千题 a 组打牢基础 一定要先预习章节内容，试着做例题，哪怕只思考十分钟，带着问题听课，效率会翻倍。听课后必须亲手做一遍例题和课后题，每学完一讲，花半天时间复盘整理，把知识点串成线。基础阶段，每学完一讲，都要把知识点串成线。 强化阶段，跟着强化。三十六讲，精进解析技巧，主攻一千题 b 组。用法和三十讲类似，先自己做例题再听课，最后整理出自己的解析框架和思维导图，重点复盘错题的思路，把错音对应到知识点上。 用法和三十讲类似，先自己做例题再听课，最后整理出自己的解析框架和思维导图，重点复盘错题的思路，把错音对应到知识点上。 整理出自己的解析框架和思维导图，重点复盘错题的思路，把错音对应到知识点上。 强化阶段，一定要跟着强化。三十六讲精进解析技巧，主攻一千题 b 组， 强化阶段的核心就是解析方法和技巧的精练，是冲高分的核心。用法和三十讲类似，先自己做例题再听课，最后整理出自己的解析框架和思维导图，重点复盘错题的思路，把错音对应到知识点上。强化阶段，主攻一千题，必组 真题阶段，全力刷近二十年真题，查漏补缺。这时候要把之前的错题本拿出来，对照真题考点，针对性弥补薄弱环节，不用再盲目刷新题。 全力刷近二十年真题，查漏补缺，这时候要把之前的错题本拿出来，对照真题考点，针对性弥补薄弱环节。冲刺阶段，用模拟预测卷练手感，模拟考场节奏，同时回归基础知识点，保持做题状态即可。 冲刺阶段，用模拟预测卷，比如张八套练手感，模拟考场节奏，同时回归基础知识点。保持做题状态即可。 全力刷进二十年真题。对照真题考点，针对性弥补薄弱环节，不用再盲目刷新题。 回归基础知识点，保持做题状态即可。冲刺阶段用模拟预测眷恋手感，模拟考场节奏，全力刷进二十年真题。查漏补缺，这时候要把之前的错题本拿出来。回归基础知识点，保持做题状态即可。 做题时别死磕卡壳的题，先标记跳过，保证整体节奏，当天的错题一定要写下错音。每周集中回顾，把错题毛定到三十六讲的知识点上。 如果一千题正确率太高，找不到薄弱点，可以搭配李永乐六六零题练思维，难度会更虐一点，帮你精准发现问题 目标不是幺三零家的同学。一千题 c 组可以暂时不做，把时间留给错题，复盘更划算！做题时别死磕卡壳的题，先标记跳过，保证整体节奏，当天的错题一定要写下错音。每周集中回顾，把错题毛定到三十六讲的知识点上。 如果一千题正确率太高，找不到薄弱点，可以搭配李永乐六六零题练思维，难度会更虐一点，帮你精准发现问题目标不是幺三零家的同学。一千题 c 组可以暂时不做。把时间留给错题，复盘更划算！把时间留给错题，复盘更划算！ 去年有一阵子，我被六六零题虐得心态崩了，就在那时候，偶然试了之能行。 最让我印象深刻的是，他不让你随便看答案，刚用的时候，每道题都得自己想办法，第一步怎么下手只能硬想，说实话挺痛苦的， 但正是这种想不出来也得想的状态，帮我戒掉了答案依赖症。慢慢的看到题目自己能摸出思路来了。那段时间我才真正明白，有时候逼自己一把，确实能往前走一大截， 不会就直接看答案，绝对不行。一开始找突破口时不让看答案，当时真的难受的一批。 真正高效的方法拆分，然后发现智能型的拆分知识点功能简直就是神奇。我一开始对高数题目的理解就是没有框架性，看到一个题以后，根本不知道这个题都考察了哪些基础的知识点。而智能型就能把一道题拆分的很清晰， 把一道综合性很强的题目拆分成多个基础知识点，让你逐一排查，直到找到这道题中你的知识盲区，再对该知识点进行更细致的训练。 当你通过训练以后，逐层向上依次击破，你再反过来去重新做综合题目，就会发现问题迎迎刃而解了。 智能型给我出了一道题，不会，他就开始出简单题，抓你的知识点漏洞，各种难受。等到你练习完了该题目下的所有知识点，再去看这道题目，哎，这题我会了，没错，就是这么神奇！ 然后我再去写六六零，正确率完全不一样了，提高了好几倍。我还作死的去试了试其他没有使用过智能型的章节，依旧是没思路，计算乱错， 彻底搞懂每个知识点。真正高效刷数学题，是要把每一道数学题都拆分成小知识点，抓住自己不会的知识点完全搞懂，彻底击破以后再刷下一道题， 那谁又会这么有空去一道题一道题拆呢？而且本身自己的水平，看到一道题能把它定位到某一张都不错了。 知能行既然可以帮你拆分加训练，不得不感叹当代人工智能算法的伟大。在他的帮助下，为我的考研之路省了很多时间，也不过于依赖答案与网课，培养了自己的学习思维。 如果我有一道题做错了，智能型会带我训练这个题目下面的小知识点，将知识点一次拆分至逐一攻破。当然，如果有一个知识点做错次数较多，智能型就会变换多样的题目形式，全方位帮我复习巩固该知识点。 知能行会防止我为了作对而去专门记答。变换 n 种同类型题目，让我没办法偷懒当你通过训练以后，逐层向上依次击破。变换 n 种同类型题目，让我没办法偷懒，在他的帮助下，培养了自己的学习思维。 当我完成了该专题的第一次测试以后，智能型会为我定义该专题的等级，等级一至四并不代表着我做题的量的多少，而是代表着我上考场上那天的做题水平。 智能型考研数学每个专题是没有固定的题目数量的，每个等级的题目数量也是不固定的，都是因人而异， 独家定制。因为你刷题量的多少，并不代表着优上考场时候的考试水平。有很多人在刷完汤一千八百题以后，做综合题目还是没有思路，做了很多本练习册，刷了好几千道题，最后也只是感动自己而已。 如果你是高数大佬，你可能会发现，完成第一次测试以后，可能会直接就跳到了等级二快满格。如果你的数学基础并没有那么牢固，可能第一次训练完就会从等级一开始慢慢练习，只要每天完成综测，你的等级就会提升的很快。 按照智能型给你安排的时间认真进行专题训练，你的等级就会提升得很快。当然，对于数学的自信心也就这样慢慢培养起来了，每次刷着刷着就上瘾了。回一下私信我的考研一二智能型从来没有 app！ 没有 app！ 没有 app， 所以你搜不到 app 是 对的，智能行只有网站与智能行走过的这一年让我终身受益，希望学弟学妹们可以抓住成为这位只对你好的老师，努力前进吧！ 回一下私信我的考研一二二智能行从来没有 app！ 没有 app！ 没有 app， 所以 你搜不到 app 是 对的，智能行只有网站 与知能行走过的这一年让我终身受益！希望学弟学妹们可以抓住成为这位只对你好的老师！努力前进吧！努力前进吧！

第四一条就是要注重在计算上的这个训练，考研数学题包括其他的啊，大家有可能要参加一些比如说数学竞赛啊等等的这些数学考试最核心的计算都是一元函数积分学的计算， 这一点是毋庸置疑的啊，所以呢，同学们要全面掌握七个计算题组所形成的这个完整的计算能力的这个体系 啊，通过反复训练七组这个内容就是我们那个小册子里面的啊，反复训练七组积分计算题，以达到熟练准确算出结果啊，确保自己在考研复习的这个各个阶段都能够时常的去温习这七组呃，这个积分计算题 啊，那这样的话呢，可以给你这个砥砺考研数学强大的计算能力的支撑。我这个说这段意思就是大家一定要注重计算啊，极限计算不是最难的，但刚开始大家学呢极限计算要算好它，我们实际上来讲的话呢，极限的计算 啊，导数的计算啊，然后就是我们这里讲的积分的计算啊，那主要是这三种，然后在这个，嗯，公共部分啊，那我们还有这个行列式的计算， 行列式计算矩阵的均，矩阵的匀算 啊，应该是五种运算啊，五种运算，这五种运算呢，作为我们基本运算里面，积分运算这个是最呃，应该最核心的啊，这个要把它把握好它啊，把握好它。 以上呢，就是我说的考研数学复习啊，你需要在这个四个方面要下足功夫啊，要下足功夫。

今日话题，张宇三十讲使用指南高树篇。

通过一道题掌握一类题，这次我们来学极限的四则运算法则。思考三秒，我们直接开始已知 x 趋向于零时，函数的极限存在。下列计算中，运算过程没有错误的是哪个？ 通过 a、 b、 c、 d 你 能看出来，本题考察的是极限的四则运算法则，以及等价无穷小代换的条件是不是？我们先梳理一下相关的知识点，如果说两个函数相加或相减， 求极限由四则运算法则，我们知道两项的极限分别都要存在，我们才能拆开。 但事实上，我们在用的时候并不是这样用的，而是只要满足了其中一项的极限存在。比如说 f x 的 极限存在，只要是个实数，我们就可以把它拆开， 那么左边的极限式就可以写成 a 加或者减 g， x， x 趋向于 x 零时的极限，如果是相乘或相除呢？ 极限的四则运算法则要求我们分子上的因式，它的极限都要存在，比如说这里是 a， 这里是 b， 而分母上的这一项的极限要存在还不等于零，才能够使用四则运算法则。 但事实上，我们在求函数极限的时候，分子整体往往趋向于零，分母整体也趋向于零，整体上并不能满足四则运算法则。那我们都是怎么使用的呢？ 哎，如果我们分母上的极限为零，就是这里如果是个零音式， g x 的 这一块也是一个零音式，但是我们发现旁边有非零音式，比如说 f x， 它的极限是非零的，那么非零音式是可以直接算出来的。 f x 在 x 趋向一个点时，极限是 a， 而且得保证它非零， 那么我们可以将 f 的 极限算出来，剩下的零一是怎么办呢？哎，零一是直接等价代换，而且我们等价代换的目的是不是把它转化成逆函数啊？所以说，这时候你把 g x 等价代换，比如说 x 的 k 次方 h， x 等价代换，等价代换成 x 的 m 次方，那么我们的函数就转化成了 x 的 k 次方，比上 x 的 m 次方求极限。这两条是我们四则运算法子在实际使用时的战术。当然，我们在做题的时候，碰见的更多的是这种情况 上比下的结构。比如说分母上，它是一个零音式，零音式的意思是它是趋向于零的，而分子上呢，并不是整体的一个音式，它是两项相减的结构， alpha x 减去 beta x， 如果单独看，会发现 alpha x 趋向于零， beta x 也趋向于零，就是分子上出现了无穷小量减无穷小量的结构。那么此时分子上的 alpha 和 beta 能分别使用等价代换吗？ 一般是不行的，那什么时候能等价代换呢？我们补充一个条件，如果分子上的 alpha x， 它等价于 alpha e x， 而 beta x 等价于 beta e x， 我 们等价的目的是不是想把它转化成密函数啊？不出意外的话，这里的 alpha 一 和 beta e 指的是密函数啊。并且我们要求这两个密函数并不是等价的， 就是阿法一比上贝塔一的极限是 a， 不 能等于 e 哦。如果有了这个前提，那么我们分子上就可以等价代换，代换成阿法一 x 减去个贝塔一 x 分 母上的无穷小量，你照抄或者直接等加成密函数就可以了。 针对这种情况，我们举个例子，比如说 x 趋向于零的时候，散 x 减去个贪婪 x， 分 母上是 x 的 三次方， 这里的散 x 是 零阴式，贪婪的 x 也是零阴式。那么我们知道，在 x 趋向于零的时候，散 x 等价于 x， 贪婪的 x 也等价于 x， 而且它俩等价的这两个无穷小量是等价的吧？ 在 x 向量零的时候，它们俩分别等价的极限是一哦，是一哦。那这时候我们分子上是不能使用等价代换的。那我现在改其，如果我们把分子上改成三 x， 减去个二倍的，它减 x， 分 子上仍然是无穷小量减无穷小量的结构，这个时候三 x 等价的是二 x， 哎，那四 x 等价的这个 x 跟二倍，它逆 x 等价的二倍 x， 它俩的极限是二分之一，可不等于一哦。那这时候我们分子上就可以分别等价，再换成 x， 二 x 下面的三次方找超 结果是不存在。那我们的理论就给大家复盘到这里，现在开始回到我们的题目上来， 这里的 a、 b、 c、 d 是 不是同一个函数求极限呀？只不过对这个函数求极限的方法不同，所以说有了 a、 b、 c、 d 四个选项啊。好，我们先看 a 选项， a 选项这个函数的结构就是我们讲的第三种情况，是不是从这一步到这一部分，母不变， x 乘 f 不 变，只是把三五 x 等价代换成了五 x？ 哎，我们刚刚讲过，要想把这里的 alpha x 等价代换成 alpha e x， 是 不是有前提条件呀？这个前提条件是什么？ 前提条件是三五 x 等价的这个五 x， 它比上 x 乘 f x 等价的 x 乘 f x 极限不能是几 极限，不能是负一，因为我们讲的时候是减，现在这个题目里是加，你把这个加看成减，去个负 x 乘 f x， 那 这里的极限是要求不能等于负一的哟，那 a 选项满足吗？你能看出来这个极限是多少不？如果你分析不出来这个极限值是否是负一，那么在你不知道是否满足这个条件的情况下，你就把左边 转化成右边，是不是不合适，是不是有可能是错误的？但事实上，我们根据题干的条件是能看出来这一块的极限是不是为负一的。好来，根据你的知识， 我们五加 f 比上 x 方的极限是 a， 是 不是立马可以把函数写成负五，加上 a 倍 x 方，再加上 x 方的高阶无穷小量 x 趋向于零， 这是利用函数极限存在与无穷小量的关系写出来的 f 的 形式。那么你把这个 f 的 形式带到这个里面来，发现它的极限刚好是负一， 刚好是负一，那说明我们这一步是错误的。再看 b 选项 b 选项，从这一步到这一步，是不是让分子分母同时除了一个 x 呀？这一步有问题吗？ 没有问题，因为 x 是 非零的分子分母同时除以一个非零的数，这是恒等变形，没有问题。哦，好二，这一步是没有问题的。我们再看，从这一步到这一步呢？ 从这一步到这一步，出题人把这一块的极限五先算出来了， 我们知道什么时候他的极限可以先算出来两项相加的结构，其中一项极限存在，可以先算，如果是非零阴式的时候也可以先算，那这一块他跟剩下是相加的结构吗？ 不是呀，他加上他这两项才是相加的结构，而且他也不是一个阴式。 就算我们把它等价于五来看，那使用的条件是什么呀？是不是 limit x 趋向于零？它要想等价于五，得保证五比上它等价的这个函数 f x 的 极限不能等于负一。 你把这个 f 的 表达式带到这个里面来，发现极限刚好是负一，所以说我们这一步是错误的。再看 c 选项，从这一步到这一步，出题人是把函数直接拆成了两部分，分别求极限， 是不是？哎，我们说要想拆开，满足的条件是什么？两项相加，要想拆开，其中有一项的极限在存在就能拆。 那我们看一下 x 三次方分之五 x 这块的极限存在吗？存在，不存在。哎，不存在吗？啊？这一项的极限不存在，因为上面此时三五 x 可以 直接等价于五 x， 五 x 比 x 三次方，是不是极限为无穷大是不存在的呦， 而后面这一项呢？你把这个函数带过来，会发现它的极限也不存在，那我们的第四步就是错误的。 好，我们看一下 d 选项， d 选项从这一步到这一步是怎么处理的呀？是不是在分子上减了一个五 x， 又加了一个五 x 啊？减五 x 又加上五 x， 然后我们把这个分式拆成了 x 的 五次方，分之三五 x 再加上 x 乘 f x 比上 x 三次方， 是这样做的吧？你说这里拆开能行吗？需要满足条件吗？那你注意，我可没有进行极限的运算呦，我们只是单纯的把一个分式拆成了两相相加，这就好比我们把四分之三拆成四分之二，加上四分之一， 这是一个代数。式拆分当然是可以的了，你要跟 c 选项的第一个运算区别开啊。第一个运算是函数的极限拆成了，这个函数求极限，这个函数求极限，这个拆开是有条件的。而我们现在只是把一个代数式分别拆开了， 这个只要是满足式子恒等，没有别的限制。对于这一项，我们约一个 x 就是 它，而这一项呢？分子上提一个符号出来，哎，刚好是它。所以说我们的第六步就是这一步运算没有问题。 下面我们涉及到两项相减的极限，能拆成分别求极限吗？拆开是不是有前提？两项的极限至少有一个是存在的，我们就能拆。那么你看一下我们这一项题目是不是告诉我们了，极限存在为 a 啊？ 哎，两项里面这一项的极限可是存在的呦，是 a， 那 么我们就是可以拆开的，所以说这一步运算也没有问题。拆开以后，前面的极限是 a， 我 们直接带入，而后面这一项的极限是不是一个零比零结构的函数求极限呀？ 再看一下，从这一步到下一步，他又做了怎样的运算，是不是使用了洛必达法则分母都分别求了，倒， 上面求导是五减去五倍的 cos 五 x， 而下面求 y 导是三 x 方好。既然要想使用落笔打法则，我们得先验证一下是否满足落笔打法则的三个条件。第一条零比零已经验证过了，第二条分子分母可导，这确实也都是可导的。 那第三条导比导的极限是否存在呢？那我们再接着往下看，它的极限是否存在呢？ 我们把分母上的三和分子上的五给提出来，那就变成了 a 减三分之五倍的令密塔一减 cosine 五 x， b 乘 x 方，而这一项分子可以直接使用等价代换。分子使用等价代换就变成谁了， 就变成了二分之一乘一个变量的平方五 x 的 平方，而分母上的 x 平方照抄结果是二分之二十五，记得前面还有个三分之五呦， 是不是极限存在啊？极限存在说明我们这一步使用洛比达法则是没有问题的，那算出来的结果刚好是 a 减六分之一百二十五，那整个低选项的每一步都是有理有据的，所以说没有运算错误的就是选项低。 最后总结一下，大家在考研数学的备考初期，对我们的四则运动法则或者是等价待换，总会存在或多或少的呃疑惑，那初期一定要把这些疑惑全盘解决了再去做题，你的正确率才能达到百分之百。

主播想问一下，就是这两道题是张宇第四讲的一千题里面的第三题和第四题，然后就是主播的答案都是对的，然后但是跟答案的过程不太一样， 然后就是像主播这样写，根据他这个导数的这个公式，然后求他的这个类似表达式吧，然后再把他的这些东西带入进去，然后算出来这个他的这个导数的值，不知道这样是不是正确的？ 这算不算是一种斜修方法呢？

我告诉你，你以为简单的事情往往在实际的做题当中，你会忽略的，你会忘记的。我待会会举这个例子啊，我待会举这个例子，你比如说概念后面讲性质，那我问你定积分有哪些性质？ 大家都可以思考一下。定积分有哪些性质？ 你，你注意了没有？你有没有在意这个事情？有的时候其实可能没有在意，是吧？你把定积分的定义搞清楚了，然后呢？性质才写一堆，然后接下来就是计算了。那么很多同学就盯着计算题去了，积分不是要算的吗？ 谁说积分只有计算呢？积分当然要算啊，这个毋庸置疑的，但是这个有区分度的题目恰恰不在计算上。其实你们都会算，命题老师想好了，算是给你分的， 只要想到你把你分给扣掉的，恰恰是那个你没有注意的性质问题。

好，同学们好，我是常来学长。然后今天这个视频给大家测评一下我们二零二七章鱼核心计算的一个讲义，以及它的一个使用指南啊。这套书的话是在基础三十讲里面单独成册的，它这本书的前身其实是基础三十讲里面的一个选学部分， 然后我将从以下以下五个部分，然后来测评这本书啊。首先第一点的话，来讲一下我自己刷下来的一个感觉，因为没有使用就没有发言权，我是真的是 花了两三天时间去好好研读这本书，并且做了两张的。目前的体验是可以总结如下，首先第一个 啊，这个名字的话起的稍微有一点点那个误导性啊，他虽然说是叫核心计算通关，但是他的核心计算其实只包括了不定积分，他不涉及极限跟导数。第二个的话，就是他的这个记在这里面，他的那个积分题他是非常全面的 呃，就是他里面讲不定积分吗？他几乎是，呃，我不知道有你们本科用的是不是那个同济高速课本，同济高速课本后面他有一张积分表， 他几乎是把所有呃，他几乎是把整张积分表全部给你搬过来，并且把那个呃参考答案给你呃给你写清楚了。所以说你在考研范围内，我甚至不说考研范围呢，你哪怕是竞赛里面的那种不定积分，你放进来， 你只要是算不定积分的那种题目，百分之九十九以上的不定积分都能在这本书里面找到原型。但是呢，这本书虽然说包含的很全，但是他这本书却很薄，就是说如果说你手上有实体书的那些同学应该能明白我说的什么意思，他 这本书非常的薄，但是呢他的那个体量是非常惊人的，为什么？因为他的书中没有给你留下答题的一个空间，所以说他会显得很薄。实际上他这个你如果说真的要刷的话，你可能得刷一个礼拜才能把它刷的完。 然后呢还有一个关于难度的问题，虽然说大部分都是考研范围内的一个难度，但是有那么百分之二十左右的题目啊，他是超出了考研难度的范围啊，为什么我我能这么判断呢？因为我发现啊不管是我自己的答案做下来，还是他书上的答案做下来，他至少一页 a 四纸都写不完。那这像这种情况下的话，那其实 其实就呃就不太可能在考场上给你考这种东西啊，因为一页 a 四纸，你考试的时候你总共才一张 a 四纸的草稿纸，他不可能一道积分让你算这么久的，对不对？只不过呢他这个讲义，他为了他的全面性，所以说把这些东西都都给加进去了。然后还有一个就是说如果你能完全掌握这本书， 你呃我觉得考研范围内我都不说百分之九十九，我可以说你百分之百没有你不会做的不定积分，你所有的书你可以把这个当成一个字典一样，对吧？任何题目都能在上面找到一个圆形， 呃，然后这样子的话呢，就是我可以呃在这里的话我总结一下他的一个优点跟缺点吧。啊，首先一个优点，优点我们前面基本上都说了，就是一个的话是赋覆盖面权，我这里写的保守了一点，百分之九十九，实际上就是百分之百。 第二个的话就是说这本书出的早，大家全年都能都能抽时间看，不管你是一月开的、二月开的、三月开的、四月开的、五月开的，对吧？ 六月开到七月开到八月开的，后面我就不说了，要到后面的话，其实你不太有时间看这个东西，但是呢，我可以大有大致的认为就是大家全年都能抽时间看这个东西，对不对？甚至有些同学是那个二八考研的，他也可以提前把这个东西看起来吗？ 啊？第三个他是有官方讲解视频的，这个讲解视频就是啊，我这里，我这里当然是为了我的作品，所以说我把这个二维码给挡掉了，就在这个地方的话，他是有一个二维码， 你，你在那个，你在那个，就是你买的那本书里面扫一下，他会有一个官方的一个讲解。所以说你如果说有呃 在这里的话，他大部分答案都是非常详细的，就是你自选能够掌握大部分，但是有一小部分的话可能就是看答案你也看不太清楚，那你可以去听一下他官方的一个讲解视频，然后下一个就是说有了这本书以后，我们再也不用到百度去搜某某的原函数了，因为只要是考研范围内的，你一定能在这本书上找到。 当然他这本书光有优点不行，他肯定是有一点缺点的。我们，呃，实事求是的说，他这本书其实不是一本完美的书 啊。首先第一个部分答案思路有跳步嘛，就比如说在这里，在这里这个应该是呃，第二组的第十一题，他我蓝色框这个框出来的，你可以去看一下他那个，他这里虽然说写了个同理，然后直接把这个给写出来，但是你可以去试一下这个同理，他没有那么的显然， 他要用到一个很短视才能够得出这个东西，所以说他这个我认为是有跳步的。呃，有跳步其实很正常，因为写这本书的人他水平非常的高，他不是那个数学系的硕士，也也是那个数学系的博士， 最次最次也是个理工科的一个硕博，对吧？所以说他的那个数学水平跟我们啊初学者的数学水平，他其实是有个断档的，所以说有些东西他们觉得显然，但是对于我们来说他其实没有那么的显然。第二个的话就是说我们部分答案并非最有解答，就比如说这道题， 这道题它处理的处理这个 sin 方或 sin 方的时候，它是直接把它全部同名化成 sin 了， sin 方， sin 四次方。但是你看啊，这两个东西啊，这个倒还好算一点，后面这个东西它其实不好算，但是这个东西我们有没有必要非得这样子呢？其实不没有必要，我们直接二倍角公式，我们把它写成那个 sin 二 c， 它不就行了， 三个二 t 不 就行了吗？这样的话我们只要算一个平方向就行了，对不对？你这个四次方我们完全不用去管他，所以说他这个呃绝对不是一个最优的一个处理方法，虽然说能做，但他不是最优，但是他答案里面也没有讲这种方法对不对？ 然后第三个的话，然后再往前就是说他没有给我们预留一个做题的一个空间，没有预留做题的空间，你看啊，就是非常的挤呃，并且有部分题目的话考研是不需要掌握的，但是他没有标注，没有给你标注好 呃，所以说对于呃有小部分题目的话，对于初学者来说难度较大，对不对？然后还有一，还有一个问题，就是说极小部分没有的那个参数范围未讨论，就比如说这个积分，这个积分的话，你看这个 a 方， a 方出现在分母，我们一定要考虑的一个情况是什么？就是 a 它不能等于零，你看这个东西，原函数 a 等于零的时候， b 分 之 x 我 也能积啊，对不对？但是绝对不是你这这么一个表达式，所以说像这种的话是一个小的瑕疵。对于我们 啊，对于我们应试来说的话问题倒不大，但是你作为出出了本书的话，我觉得这个东西还是得明确一下的，对不对？ a 不 等于零，这个东西对于你来说只是加个括号的是，但是加上去这个东西其实就很严谨了，对吧？ 好，有同学说，那学长你给他这么高的一个评价，对吧？虽虽然说也有一些缺点，但是这些缺点都瑕不掩瑜，那是不是我必然得做这套书呢？ 那其实也并不是的，我们来看啊，哪些人值得做这本书？你如果说同时满足这三个条件的话，我觉得是值得做的。首先第一个你的指面实力是在一百三十五以下的，也就是说你，你比如说你去年，你去年复习复习过，呃，然后呢？你的那个，呃，然后你平时做模拟卷或者做真题的时候， 基本上能够稳定在一百三十五左右，甚至一百三十五以上的，那你可以不用做这个。为什么呢？因为你指面实力在这一百三十五以上的话，那你计算这一关肯定不是你的弱项，你要把你的时间放到其他的板块学习中去，对不对？然后你同学说学长我是一站的，我没有往年的，呃，那个数据可以参考，那怎么办 啊？你一站的，你就默认你现在指面实力是一百三十五以下就行了，这个没有关系啊，啊，你如果说你是那个天赋比较高的那种东西，你其实做，呃，做到后面你自己能感觉出来的 啊。对于大部分的普通人来说的话，你的指名实力就是在一百三十五以下，然后第二个的话就是说你学完积分，但是觉得自己积分老是找不到头绪的，就是说给你一道积分，你可能，哎想到了就想到了，想不到就想不到的那种， 那种感觉就是你看见这个东西你把握不了他的一个核心，你比如说就这个，就这个给你一个散引方的一个积分，让你积，你不能立刻想到用那个加密公式，而是在那边东想西想的那种的话，然后最后想了十五分钟，哎，想到，哎，可能可以用加密公式一做，还真的做出来了。 像这种的话你还是得做一下，因为你呃你必须得进行一个专项训练，否则你上考场你完全是看天意的对不对？这样的话你分数丢了是很可惜，你要知道一道计算题你失误的话，你至少是扣五分。五分什么概念？你那个，你那个政治，一道大题十分， 你把那个答案偷出来了，你把它抄上去，你拿到了十分，你然后你，你政治什么都不懂，你直接把那个材料抄抄一些东西上去，字写的漂亮一点，你都能拿五分，这就是这就是五分，他的那个含金量，在考研当中那个含金量。 然后第三个的话，就是说这个还是比较适用于那个进度比较快的一站同学或者二站级以上的同学，为什么呢？因为这个东西的话，你至少得前三章学完了你再才能刷，对吧？然后虽然说接下来的复习时间还有三百多天吧，对吧？但是我不建议你在九月份， 到时候再花时间练这个九月份，尤其是二战、三战的同学，你要知道九月份之后你是非常忙的，到时候那个时候数学模拟卷你刷不完，然后英语的那个呃模板你得开始背起来了，对吧？然后还有那个 政治，哎，政治要站起来，那个时候要练单选择题，多选择题，以及他的一个呃，肖八肖四，对吧？所以说那个时候，呃计算这一块就没有那么重要了， 然后，呃，或者说相对没有那么重要，就是其他的东西他更重要。好，然后有有同学说，学长这本书我想刷，但是有这些痛点怎么办呢？那我我我的话，我决定今年就是给大家免费提供一个辅助。给大家提供如下辅助，首先第一个， 呃，这本书答案有跳步，对吧？那么这全书每一题我都给你录制一个不跳步的解析，然后这这本书的话，他所有的题目都是我先做过再去对他的答案。 呃，所以说呢，就是我基本上我能想到的题目，呃，想到的方法一般的同学接受度能更高一点，包括你这个答案不是最优，对吧？我可以教你怎么更快的一个求解， 对不对？像这种东西，这个我为什么能想到三个二 t 啊？就是我，因为我提前做吗？我提前我自己做了，所以说我， 呃我可能不受他答案的这个思想的一个引导，如果说你看了答案再去做的话，你可能就跳不出来这个答案了，对不对啊？答题空间不够我，我来给你做做题本，然后没有难度标识，我来给你 那个不同分数段的必刷题，然后可以给你看一下那个做题本吧，就是我这是我自己做的做题本，然后想要拿这个做题本的可以去关注一下我的公众号，然后输入章与核心计算这一整套做题本，包括这本书全部免费给你啊。 然后这个做题本的话，它的答题空间是给你设计过的，你看啊，比一般的 ppt， 一 般的 ppt 大 概是十六比九或者四比三嘛，我给你变成了这种比较长的这种，然后你看啊，这一整道题清清爽爽爽的，那个写下来是完全没有问题的。 好，然后，呃，这里的话给大家看一下吧，我应该是，应该是，就差不多是这样子吧，你拿到的错。呃，那个做题本， 然后这这些东西确实是很多东西都是非常经典的东西，我建议还是做一下，当然有一些可能难度比较高的我都会给你标出来，像这种东西的话，作为一个计算题的一个锻炼，在初期是非常有帮助的。所以说在这本书的话，我一般啊，我，我肯定是给了他一个很高的一个评价嘛，只不过啊，这套书可能刷下来 可能没有那么的，那没有那么的啊简单，你可能会有一点点痛苦的感觉，但是你要相信啊，痛苦之后你 这个人得到的一定是一个非常大的一个成长。好，然后这本书的测评就给大家讲到这里，然后后期的那个 更新，就是那个视频更新的话，我也会在那个公众号里面发通知，以及的更新的话是在小破站那边更新。希望啊，如果有兴趣的同学可以关注一下我。好，然后今天这个测评视频就给大家讲到这里，谢谢大家。

今日话题，张宇三十讲使用指南高树篇。

你好，我们来看一下这期的视频，这期视频是一个总结视频。首先来看定积分的概念性质，如果一个 f x 它是有界，那在 a 到 b 这个区间内，我们把 a 到 b 这个区间 划分成 n 个小区间的话，计算 x 一 x 二一直到 x n， 那 么每一个区间长度的它 x i 是 不是就等于 x i 减一，减去 x i， 哦，应该反过来， x i 减去， x i 减一，这是每个区间的长度，那在这每个小区间内， 也就是 x i 减一到 x i。 以这个为例的话，我们取一个可三这个点，任取这个点，然后去作和式 s 等于什么呢？ i 从一到 n f， 可三 i 乘以到它 x i， 对 不对？这是我们取的一点，这是各区间的长度， 区间长度我们能够表示出来，取的这个点也知道是哪一个点，那么既拦不达是等于这个区间长度的最大值的话， 当这个 length 趋近于零的时候，也就是说这个区间长度最大的那个值是趋近于零的时候，我们对这个 s 求极限，它就等于 a 到 b 上 f x， 它的定积分， 也就是这个式子，这就是定积分的定义。而定积分的值它跟什么有关系呢？它是不是只跟被积函数还有积分区间有关？它跟积分变量是无关的， 那它的几何意义是不是就代表 y 等于 f x 与 x 轴以及 x 等 a， x 等 b 所围成的区别梯形的面积啊？对不对？ 那以一千题第八章的第一题为例，这道题在上一个视频中我们已经讲过了。以这个为例的话，我们来看它的可三根的它 x i 是 怎么取的？可三 i 是 不是就是括号里面 直接说那 delta x i 呢？可再取到一点，我们有了，那它这个各个小区间的长度应该怎么计算呢？我们刚才说的是不是用后面的这个区间点减去前面的这个区间点啊？所以呢，我们以选项 a 为例， d k 个小区间减去 d k 减一个小区间，它的长度的话，是不是就是它这个的它 x i 的 长度对不对？所以呢， a、 b、 c、 d 选项怎么去判断？是不是？就是看它的各区间长度跟它选取的点是否能够匹配一致，对不对？这是第一题。 再看下一个知识点，是一个定积分的存在原理，如果小 f x 它在 a 到 b 上连续，只要连续，那么它就是可集的， 那如果没有给出连续这个条件呢？我们就要看它有界，如果它有界，再加上它的间隔点是有限格的话，那么它也是可可集的。 这里加了一个注解，我们要去区分不定积分存在，定力跟定积分存在，或者说是跟可集之间的关系， 他中间的区别是什么呢？前者是什么呢？元函数存在，他是只要存在间断点，当然是正当间断点除外，那他就不存在元函数。 所以说就只要是除了这个正档间断点之外，只要他有间断点不连续，那么他就不存在原函数。因为存在原函数的话，代表是他这个原函数是可以等于一个数，原函数他是这样子，等于一个数，他经过某一个数 求导之后，是等于他的，对不对？那如果是可导的前提的话，是不是必然是连续的，对不对？ 所以呢，它这里是存在间断点的话，是不是代表它不连续，那也就是不存在元函数？当然正端的间断点是特殊情况，而后者呢，就是可极呢。 根据可极定积分存在定律，我们是不是发现只要它是有界的，也就是说即使它是存在有限个间断点， 它不连续的情况下，定积分也存在。所以定积分的存在的必要条件就是可记函数的话，它是必定有界的，也就是说定积分存在的话，能够推出它这个被记函数是有界的。 那这就说明一个问题，如果 f x， 它在 a 到 b 这个区间上无界的话，那么 f x， 它在 a 到 b 这个区间是不是就是不可极的？也就是定积分是不存在的。那后面我们学的反常积分，有时候 f x， 它在 a 到 b， a 到 b 上无界了，但是我们也能够求出来， a 到 b， f x， 他 是收敛的，这是为什么呢？因为他这个时候就已经不是定积分，他是反常积分。而上面这个结论呢，他在反常积分中也也是仍然是正确的。那现在就有一个关系， 定积分存在什么样的条件呢？是不是就是一个是连续，另外一个有界，加上有限个间隔点，对不对？ 并且呢，如果是可集的话，能够推定积分存在，定积分存在的话，也必然可集。但是定积分存在呢，它是能够推 f x 在 a 到 b 上有界。注意这里是一个必要条件，不是重要条件， 所以它是一个单箭头。那举一个例子，在 a 到 b 上 哦，我们以第二十三题 b 选项举例 b 选项的话，我这里举了一个反例，这也是在第八章的讲解视频中出现过的例题。 f x， 它是 等于一个，它是一个分段函数，那这个分段函数呢？我们知道它是在负一到一这个区间上可记，但是它是没有原函数的，因为它这里是存在跳跃键的点，但是呢，它是能够可集的，所以说就是能积分的话，只是代表它面积存在 啊，没有元函数呢，它存在跳跃键的点，是不是就代表它是没有人能够导出来它的？所以就是元函数不存在，对不对？ 而这里呢，我上一期视频我们也讲过，连续是一定可极的，并且还是一定有元函数的，有跳跃键的点的话，它就不连续，但是面积存在，也就是可极，所以可极的可极只要满足函数有键，在 函数有界，再加上有限个间隔点即可。而连续函数呢，才能够保证一定有原函数跟一定可极的这个条件。 再看积分函数，它的三大性质，它三大性质是不是就有界性，基有性跟周期性啊，对不对？那先来看一下它的基有性，基有性我们就完全可以做一个总结，求导呢，它是一定改变基有性的，而基函数求导 积分，它都改变奇偶性。如果一个可积函数 f x， 它是一个偶函数的话，我们这里它就存在两种情况，一种情况是零到 x 上 f t 的 积分，它是一个奇函数，但是呢，从 a 到 x 上 f t 的 积分，它就不一定 是一个奇函数，所以就是可奇函数 f x， 它如果是为偶函数的话，那么 f x， 它所有原函数中至少是有一个奇函数的，因为奇函数我们都知道它是关于原点对称的，是必过零零点的。 再看它的周期性，周期性呢，我这里写的比较简单， f x， 如果它是以 t 为周期的话，它的导函数也以 t 为周期。而可极函数 f x， 它以 t 为周期的话，那么它的原函数也是为，也是以 t 为周期的。所以， 但是呢，它这里有一个重要条件是什么呢？就是零到 t 上 f t， 它的定积分是等于零的，所以如果没有这个条件的话，那么它原函数的 周期性的话，我们就要再去用定义推导。可极函数 f x， 它如果以 t 为周期，那么从 a 到 a 加 t 上 f x， 它的定积分就等于零到 t 上 f x 的 定积分，这说明是什么呢？是不是周期函数它在一个周期上， 它的积分与起点是没有关系的。而可极函数 f x， 如果它以 t 为周期呢？从 t， 注意它这里的起点是 t， t 到上 t 到 a 加 t 上 f x 的 定积分是等于零到 a 上 f x 的 定积分呢？再看它的有界性， 有界性的，它总结下来就是一句话，就是两句话，在无穷区间上， f x 跟 f x 导函数的有界性，它是没有必然的联系的。而在有限的区间上， 这这里是一个有限区间，一个无穷区间。在有限区间上，它的导函数的有界性是能够推它原函数的有界性的。而有关这部分的知识点呢？ 在一千题第八章的二、三题中， c d 选项，我们这里是不是就做出了一个有关定义的推导，对不对感兴趣的同学可以看一下这期的视频。 再看有关反常积分的知识点，一个是无穷区间上的反常积分，无穷区间上反常积分的话， 如果正负无穷到正无穷上 f x， 它是收敛的话，那么就代表负无穷到 c 上 f x 的 定积分跟 c 到正无穷上 f x 的 定积分是同时收敛的， 只要有一个发散，那么负无穷到正无穷上 f x， 它就是发散的。而对于无穷区间上的反常积分，它的判连呢？一共是有两种方法，我们可以看一下第十五题， 在第十五题中已经总结出来了比较判别法跟极限判别法啊，这里是比较判别法，还有一个极限判别法。极限判别法应该是跟我看下有没有极限判别法，没有，那我们就来补充一下极限判别法。 极限判别法它这样子的，如果 f x， 它是属于 c， 这个 c 呢，是 a 到正无穷的， 那么 a 到正无穷 f x， 它的定它的反差积分就有两种情况，如果存在 k 大 于一的时候， x 去进行正无穷的时候， x k 次方 f x 存在，那么它就是收敛的。 第二种情况呢，如果存在 k 小 于等于一的这种情况，使 x 去进正无穷的时候， s k 四方 f x， 它是等于 d， 这个 d 是 不等于零或者是等于无穷的话，那么它就是发散的。而 k 取多少合适呢？它是一眼能够看穿的，这就是极限的基本功。还有一个知识点，它就是判连的时候是有关一个绝对收敛的。 绝对收敛呢，它是这样子的， f x 属于 c， 这个 c 是 属于 a 到正无穷的。如果 a 到正无穷上 f x 的 绝对值是收敛的，那么我们能够推出来 a 到正无穷 f x， 它是收敛的，但是反推呢，是不可以的。一般如果我们遇到单角函数， 遇到三角函数的时候，优先考虑比较判别法跟绝对收敛。其余情况的话，我们统一用极限判别， 这是它的判理。而无限函数的反常积分呢，它是不是要找瑕疵，对不对？ 就是无界函数的反常积分，我们是要找瑕点，无无穷区间上的反常积分呢？由于区间它是为无穷的，所以是很醒目的，但是无界函数的反常积分呢， 它没有那么醒目，所以要注意判别区间上是否有瑕点，一般呢是分母为零的点为瑕点， 而瑕点的判别呢，它是是这样子的， f x， 它属于 a 到 b 的 话，瑕点为 a。 如果它是存在一个 k， 使 x 去进正无穷的时候， x 减 k 的， x 减 a 的 k 次方乘以 f x 等于 m 零，也就是说它存在的话，这个极限存在，那么 k 小 一的时候是收敛的， k 大 于等于一的时候，它是发散的，或者是呢，斜点出现，斜点是，也就是是上极限的剩。 那如果存在这个 k 是 x 去近于 b 的 左极限， b 减 x 的 k 次方是等于 m 零存在的话，那么如果 k 小 于一的时候，它就是收敛的， k 大 于等于一的时候，它是发散的，这是它的判连方法。 而反常积分呢，它通常有六个重要尺度，也就是一到正无穷上 x p 次方分之一。 它的连散条件是不是就是 p 大 一的时候收敛， p 小 等一的时候发散，以及零到一上 x p 次方分之一 d x。 还有就是一到正无穷上，那 x 比上 x p 次方，是不是就是我们这里 总结的对不对？所以呢，它是需要背的。还有就是零到一，也就是说零到一来， x 比上 x p 次方，它的连散条件跟零到一，还有一到正无穷的时候， x p 次方分之一，它的连散条件， 以及我们还有常出现的 e 的 正无穷上 x 乘以 l x 括号 p 次方分之一，它的连等条件，所以是就需要去背的，这就是反反常积分判连的几种方法。而反常积分的计算呢， 在一千题、十四题往后它会也有出现反常积分，让我们去计算它是否收敛的，通常它给出一个对称区间的话， 对于对称区间上，我们能不能直接用奇偶性呢？它是不可以的，因为要先考虑它是否收敛，如果收敛的话，只有确定它收敛的话才可以用， 才可以用奇偶性，所以是要先判连，再去用奇偶性去计算这个反常积分。

我方法是能想起来的，但是有时候就是可能会把答案给记住，然后一下子把答案给记住以后就直接做出来了。一下子就我想想这个方法该怎么解决啊？第二个问题你再说一遍。 呃，第二个问题就是我做例题的时候我做着我方法能记住，但是有时候我可能就是一下子就把答案也记住了。第一个问题就是，呃，涉及到说， 嗯，复习的一个进度的问题，他其实问的也是进度的问题。那什么时候试时的重复 啊？只是就是说对这个重复度我们可以考虑一下，因为考研数学的知识啊是非常多的啊。我不建议同学们速度太快啊。不建议同学们速度太快，速度太快呃，会产生一个问。