张宇核心计算通关讲义原式在哪

第二件事就是要把基本题型熟记于心，我们还要记东西的。什么东西？基本题型，比方说极限计算的七种谓定式，零比零形，无穷比、无穷无穷无穷大乘无穷小、无穷减、无穷无穷大的无穷小方，一的无穷大次方。你要迅速说得出来七种谓定式，可是我们很多同学是看到他知道有这种题型，可是你要自己写，他写不出来， 对不对？我们还是最基本题型，也就是我们在基础三十讲里面给大家的布置的基本题型，你也要给我把它记下来。同学们练本领啊，基本功特别重要，我希望你们一定要扎实基本功 讲这个基础阶段啊，我尤其还要谈一条，各位千万不要这个，千万不要什么呢？这个我讲基础阶段，我特别强调大家千万不要比进度，这个比进度是我们整个考研数学复习基础阶段，大家最容易陷入的一个误区 啊，那这个比进度，那这个是吧？哎，你看他还没学两天呢，你复习到哪了？还没学两天呢，到网上查去了，你学你学到哪了？一听说人家学到高数，学完了自己就要崩溃了。我们对于这个进度这个事情啊，我已经强调了，你每个人复习的起始时间不同的，有的同学去年九月份开始的， 那么他现在看完高等数学是理所应当的，人家就是早了半年嘛，你不用比啊，这个有什么好比的，有的同学可能去年开专就开始学了呢， 他可能整个都复习完一轮了，这个东西起点既然不同，他怎么去比进度呢？你们又不是说好，咱们说好了，从啊一月一号开始一起复习，这时候我觉得比比进度他还有意义的，看看大家互相督促，可是人家起点早了你半年，你这个比什么呢？ 我们说一个截止日期，这个就可以的，我得强调一条，毋庸置疑，大家必须要承认一点的是，早一点复习，多看一遍，那就有一遍的好处，这个你不，我觉得不用啊，安慰大家，那人家早看呢？我觉得就是有好处的， 可是晚看的同学也不是说就补不上来。你现在就要每天把自己的复习的时间，工作时间，我觉得是包括效率要提高起来，我们也完全可以达到要求。所以我说了一个终止截止日期，截止日期就在希望大家在五月份之前把它结束，最迟六月份之前把它结束，这个是我对大家的一个基础阶段的基本要求。

好，我们看这个题计算定积分的，观察一下这里啊，根号出来了，那自然想到了根式代换，是不是咱们做了好几个这样的题了，应该是没问题了。好，令， t 就 等于根号下的这个 x 嘛， x 就 等于 t 的 平方吧，是不是 d x 就等于二 t d t 啊，那这个定积分的话，我们看这是换元用三换，是吧，跟着再换，用换元呀，这是 e 的 负 t 次方了。好，当 x 取零的时候， t 取零， 当 x 取一的时候， t 取一，是吧。好， d x 就 写过来，二 t d t 换元要三换啊，上下线背及函数积分变量。好，别漏了就行。这个时候我们看一下啊，这是一个密函数，一个指数函数， 那么啊，可以采用表格法，表格法还是希望同学们啊，了解，记一下吧，还是记一下，因为他，嗯，做的时候是比较快的，效率比较高啊，就是这个密函数求到 求到零啊，求到求到一次是个一，一再求到就是个零，是吧。这个 e 的 负奇次方指数函数呢，就是积分 也求到这个积分啊，积分的话，记一次，是不是他再记一次，那符号又没有了，就变成他了。好，接下来就是交叉着相乘，正负相减，记住啊，交叉相乘，正负相减， 有时候我们会遇到逆函数和三角函数相乘啊，求它的原函数的时候，也是可以用表格法的。好，那就二倍的。我们说交叉相乘了吗？ t 根 负的， e 的 负梯次方相乘，这是前面是加号啊，再减去一个，一根 e 的 负梯次方相乘，就它俩相乘，加上它俩相乘的，填个符号，就这个是吧。这个圆函数求完了啊，把这个上下线一带就行了。 好，这就认真一点啊，都有一个符号，我是不是可以把符号提到前面，是吧？提到前面啊， t e 的 负梯次方加上 e 的 负梯次方。因为符号在里面啊，有时候总会搞错的，上线一代 e 一 代的话 就是 e 的 负一次方加上 e 的 负一次方。两倍的呗，是吧。这上线带的结果啊，再减去下线下线零一带，这是零了， e 的 零次方是个一了。好，就是这个结果嘛，那我们看一下题里面 没有是吧？没有，你再化简一下，负二跟负一一乘以的话是一个二，减去它一乘以一分之四。 或者。啊，你这个你不想要表格法，那你就是凑微分分布积分是吧。但建议的还是用表格法啊，很快学一学啊。书上都是有的啊，如果积分都会了，我就不写了。好吧好，那这个题就讲到这了。

好，我们看这个题啊，计算不定积分，先观察一下哦，看到了一个根号，所以可以想到用根式代换 分子呢，又看到了啊，是 e 的 二 x 方，是不是可以写成 e x 乘 e x 啊？那 e x 的 话跟后面就可以进行凑微分了。所以啊，我们现在啊，就至少有两个方法做这个题了。那其实啊，我们可以提供啊更多的方法，三个方法，待会儿我们看一下啊。好， 这根号想到根式代换，我觉得这个是没有问题的，是吧，根式代换，平时咱们多做一做方法，考试的时候万一哪个没想到，哎，至少能想到其中一个就行，是吧，多一条路，多一个，多一个选择多一条路嘛。 好，那我们现在把根号下这一块就给它定成 t 了，就根式代换就换圆了，是吧，把 x 借出来，两边都平方一下， 就这个，那我们把 e 的 x 方挪过来，那就是，哎，把这个 e 挪过，过，这过到左边吧。好，两边取对数，取对数，这就是 x， 这 long t 方加 e 是 吧， 有点感冒了，大家注意身体啊。好，那点 x 呢？点 x， 我 们括号是求导，先是 lone 求导，再是 t 的 方，求导二 t 好， 底 t 看一下 e 的 二 x 方， 二 x 就是 它乘一个二，是吧，二零 t 方加一，我们把这个二是不是可以挪到这个地方？好，这样的话 e 的 零它，那就等于它呀， t 方加一的平方。好，所以这个积分我们记为 i 的 话啊，分子的话，好，就变成它了。 t 方加一的平方 啊，底下就是一个 t 啊， d x 就是 二 t 除以 t 方加一 d t 嘛。好，该消一消的元分是吧，该消的消一下啊， t t 这里啊，跟这里也消掉一个，是吧？ t 方加一，上面还剩一个， t 方加一了，还有一个二，是吧？好，递梯基本上完事了。二提出来 t 方的原函数的话是三分之一 t 的 一个三四方呀，一的原函数就是一个 t 啊，是这样的吧，我们把二乘进去得了，好吧，二乘进去， 二乘进去，好，把 t 再换回来啊，是吧？再换回来，不要忘了这个步骤啊， t 的 三次方 t 就是 t， 就是 它嘛，三次方再写个三，加上二 t 二 t 是 吧？好，加一个 c， 行了，反二。我们说了啊，看到 e 的 二 x 方的时候，我们可以想到啊，给它拆一下， 圈成两个，两个的话其中一个就可以进行测微分了啊， d x 它过来。好，这是 e x 方除以，这是根号下 e x 方减一啊， d e x 方减去个一。这个地方的话就有两个想法了啊，我们看到了，就是 e x 方减一，我是不是也可以减一个一，那我再加一个 e， 给它凑成分母的这个形式是吧？哎，分母的这个型号给它凑出来， 或者呢？我们看到了啊，哎，这有，我们把这个 e x 方减一看成一 t 的 话， t 分 之根号 t 分 之一抵 t。 好， 要想到啊，它是可以凑为分的分子。这块我们先放在这里的话啊，好， 就是说的它根号下分之一 dx 的 话，立刻想到啊，凑一分就凑成这个形式，也就是我们说的根号 x。 求导就是二倍的根号 x 分 之一，是吧，求导记得很清楚，那么求积分的话也是一样的，它积分的话就是它， 是吧？现在求微分一样的，对吧？一样的啊，它求导的话，因为是它，你再补一个二二跟这个二底下就消掉了，所以就剩根号 x 分 之一了嘛，看到这个型号的啊，得敏感一点啊，得敏感一点， 所以我们就来到了 a u 法三，可以是这个凑为分分不积分是吧？好，我们待会再写啊，先把这块写一下，加项减项也是常见的套路。 好，那第一部分就可以写成哎，根号下 e x 方减 e 根号下是不是就可以写成二分之一次反好底 e 的 x 方，这就拆成两项了啊， 是不是就相当于 t 除以根号 t 不 就是根号 t 的 意思吗？第二项就是一比上一个根号下 e x 方加 e d e x 方。哎，是减一。 好，可以啊，那第一部分的话，把这个哎看成个 t t 的 二分之一次方，那么不定积分就是二分之三次方，补一个三分之二 t， 我 们说就是这个 e x 方减一啊， 看这个二分三四方，后面的话，看到啊，把它也看成 t， 这不就是我们说的这一块吗？是吧，它的原函数的话，直接就是二倍的根号下 x， 二倍的根号下 x 就是 这里的啊，在这里这个整个的充当 x 吗？是不是 e x 次方减去一，这得反应过来吧，一比上根号下 t d t 呢，它其实就是等于二倍的根号 t。 好， 总之这一块啊，希望多写一写啊，这就可以了，是吧。好，法三的话，同样啊，也是在法二的基础上 好写字超过来啊， d x 也是凑微分，是不是只是说我们现在哎，凑完微分之后发现再一次可以凑凑两次吧，是吧，这有一次了。好，这一块跟它哎，又凑一下，两次啊。 嗯，这就是 e x 次方底，我们应该是有个二倍的，对吧？二倍的就写到这来。好，就是 e x 次方减去个一。注意啊，有一个根号是吧，那就相当于这里了啊，根号好，我们还是写个括号啊。写个括号， 那错位分，那立刻就是分布积分，不是一套的吗？二倍的它减去一个，我们二都带上，好吧。嗯，根号下 e x 方减一好，对它求微分，对它求微分的话，就是 e x 方 d x 嘛，是吧， 你这样的话啊，你这个后边还不好处理呢。那我干脆我不要是吧，我不要去把我们的 u v 减去个 v d u 嘛， d u 就是 d e 的 x 方嘛，我就写到这啊，写到这我再给它配一个一 说，哎，我配成一个一字，我把它看成一个整体，这结果不就出来了吗？好，这样的啊，你写的时候你注意点就行了，你求不出来了，你肯定要换一个想法了。二倍的 e x 次方，根号下 e x 次方减一，减去二倍的就相当于。哎，还是我们刚刚说的这里 是吧 t 的 二分之一次方抵 t 这个形式嘛。所以它就等于啊，三分之二倍的 e 的 x 次方减一二分之三次方，是吧？加个 c， 那 这里的二根二是不是就乘一下四？ 行吧，那就是做的时候啊，灵活一点就行了。灵活一点好，三个方法啊，体会一下啊，看能不能有所收获啊。好，这个题就讲到这了。

今天我们要聊一聊行列式转制的定义操作和一些符号上面的规范。没错，这个东西其实是整个行列式性质体系的基础。对，所以对后面的学习还是蛮重要的。是的，很重要，那我们就直接开始今天的内容吧。咱们先来说说这个转制的核心定义啊， 什么叫做行列式的转制？其实行列式的转制就是把原来的行列式的行和列按照顺序一一的换过来。哦，对，具体来说就是原来的第一行变成新的第一列，原来的第二行变成新的第二列，以此类推，直到最后一行变成新的最后一列。 对，这样得到的新的行列式就叫做原来行列式的转制。哦哦，那有没有什么具体的例子可以让这个过程更直观一点？当然可以，比如说一个三阶的行列式，第一行是一二三， 第二行是零零七。嗯，那他的转制行列式呢？第一列就是一二三，第二列是零负一零， 第三列是五和七。哦，对，我们通常用一个大写的 d， 然后右上角一个小 t 来表示这个转制行列是，这里要特别注意的就是 必须是第二行变成第二列，要严格的按照顺序来，不能混了。好的，那行列式转制的符号规范。这里面其实有一个在考试当中特别容易搞错的事情。嗯，就是国内外的教材对于这个行列式的转制用的符号是不一样的。 那在写的时候要注意什么呢？这个确实需要注意，就是国外的有些教材会用第一撇来表示行列式的转制， 但是这个在国内的考研数学里面是不可以用的。哦，对，因为在高等数学里面，这个一撇和两撇它是专门用来表示一阶导数和二阶导数的。 嗯，如果在行列式里面也用第一撇来表示转制的话，就会让阅卷老师分不清到底这个符号是表示转制还是表示求导。对，所以为了避免这种混淆呢，国内的教材还有考研的试卷，全部都是用 d 的 梯次方来表示转制。 嗯，这是一个硬性的规定，大家一定要严格的遵守，千万不要因为符号写错了而丢分。明白了，我们再来通过具体的例子来复现一下这个转制的操作流程。嗯，顺便再讲一讲大家在这个过程当中最容易忽略的一些错误。 比如说给你一个具体的行列式，你要怎么去求它的转制？然后这个转制前后它的结构上会有什么特点？行，我们还是拿之前的那个例子，原行列式 d， 它的第一行是一二三， 第二行是零负一五，第三行是零零七。嗯，那它的转制行列式的第四方呢？就是第一行变成了原行列式的第一列，也就是一二三， 第二行变成了原行列式的第二列，也就是零负一零，第三行变成了原行列式的第三列，也就是五和七。哦，对，哎，你有没有发现，就是原行列式，他是一个上三角的行列式，但是他转制之后就变成了一个下三角的行列式。 对，其实这就是转制操作的一个很直观的特点，但是他最核心的还是每一行每一列都是要按照原来的序号一一对应的换过来， 不能乱。没错，那在求这个行列式转制的过程当中，大家最容易犯的错误都有哪些？最常见的错误有两个，一个就是转制的时候把行和列的顺序弄错了，比如说把第一行的元素写到了第三列， 或者说某一列里面的元素，它是来自不同的行。嗯，这种混乱是完全不符合转制的定义的。 转制的定义是第 i 行一定要变成第 i 列，这个 i 是 从一到 n 的， 对，是不能乱的，这个顺序一乱确实就全错了。那另一个常见错误是什么呢？另一个错误就是符号写错。嗯，有很多人会习惯写第一撇，但是在考研的体系里面，第一撇是专门用来表示求导的， 行列式的转制是必须要写 d 的 梯次方的。对，如果你写了第一撇，那阅卷老师就会认为你没有搞清楚这两个科目的符号， 很有可能会导致你这一步，甚至后面的步骤都不得分，所以大家千万要注意。好的，那我们最后再来说一下，为什么这个转制的定义会是整个行列式性质体系的一个基础，这是因为很多行列式的重要性质， 比如说行列式和他的转制行列式是相等的，都是由这个定义推出来的。嗯，所以你只有把转制是什么，他怎么操作，包括他的符号怎么写，你都弄得非常清楚，后面你学那些更复杂的东西才不会出错。对，今天我们其实就是带大家重新梳理了一下 行列式转制的定义，他的操作过程当中要注意的行和列的对应关系。下面大家一定要严格遵守的符号的规范， 希望大家听完之后能够对这些细节有一个更清晰的认识。没错，那我们这期播课就到这里啦，感谢大家的收听，咱们下次再见，拜拜。拜拜。

好，我们看这个题啊，先瞄一眼观察一下，分母是二次多项式，分子是一次多项式，这个型号的积分呢，同学们记住，他的做题方法就是分子去凑分母的一个微分，那么既然是去凑分母的微分的话，也就说我顶后边要写的是分母， 所以我分母就去求导，是不是分子就往分母上进行去靠拢啊？往分母的导数这块去靠拢是不是？好，这个你直接看，可能有些不太理解，我们操作一下你就知道了啊。好，这是 x 平方减 x 加一， 因为我想去凑分母的微分，我肯定就是要对分母求导，我待会是要把，哎， 我想把分母要写到微分后边的，是吧？就是求它的一个微分嘛，凑它的微分，分子去凑分分的微分。好，我就对它求导嘛，求导的话就是二 x 减去个一是不是？而这里的分子是四 x 减三，跟它有什么关系呢？哎，我乘一个二，你发现 我乘一个二之后不就是四 x 减二吗？非常相似了，是吧？往这个上面进靠拢啊，相似的话，那我就给它改成四 x 减二，好，再减去一 dx， 可以 吧？这样的话，我给它写成两部分往这写啊，第一部分的话，那就是四 x 减二除以 x 的 平方减 x 加一 dx， 第二部分就是一比上 x 平方减 x 加一 dx。 好， 这块儿， 现在啊，再看一下这这句话，分子去凑分母的微分。现在是不是哎，这一块就可以凑成分母的微分量，但呢，他不是分母直接求微分，他是这个求完微分的一个两倍，对不对？所以我就配一个二就行了。 懂这句话了，是不是分子哎，去凑成分母的微分，往他这个求导的结果上面进行去靠拢呀，是吧？你看他求完之后是二 x 减一，再乘以二就四 x 减二吗？这是他吗？对，凑完的一个结果是吧？好， 这第一部分结束了啊。第二部分对于第二部分的一个处理的话，好，他是一个二次方式，就是一元二次函数吗？好，他要么就是分解音式，音式分解啊，要么呢就是好配方，就两个方法啊， 啊，一般就这两个方法，什么时候分解音式？哎，我们看一下 delta， delta 如果大一点就可以分解音式， delta 小 一点那就可以放，是不是你这个小一点的话，你怎么分解音式？对，分不了呀。 好，这一看 delta 的 话，它是等于 b 方减去四 a c 很 显然小于零，是吧？小于零我们就配方了啊，好，就选的是这个了，有时候就是 delta 大 于零，你就得知道得分音式啊，好配方，这个中学学到了应该也没问题。 x 减去二分之一平方，这样的话，是， 哎，这个型号是吧，人家是加一啊，你才加个四分之三。四分之三是不是二分之根三的平方呀？是的， 好，那这个先到这继续了，我们现在就可以把这块看成一个整体，是吧？ t 分 之一的原函数是不是零？ t 的 绝对值啊，这就是 t 的 绝对值，而我们知道啊，它的大小小于零，它就是整个的， 整个的一百二十次函数，它是大一点的，所以绝对值可以去掉啊，是吧？好，零等于减去后面 这手哪个型号呢？是不是这个型号呢？这个咱们哎做过多次啊， x 方加 a 方，这个型号好直接。 a 分 之一，阿克丹尼 a 分 之 x， a 就是 二分之，根三分之一就是倒数啊，倒数就是根三分之二了吧。 好，在 ar 看见的 a 分 之一乘一个 x， a 分 之一还是我们的啊。根三分之二再乘一个 x 是 吧。好啊，这个括一下吧。好，这是零到一，我们算一下啊， 先是上限带入一，一代的话一减一等于零啊。 one 一 是零了，减去下限，一代零零一。 one 一 也是零是吧。整个这块是零了啊。 好，接下来我们去看这这一块是不是看这一块啊。好，上线。一代的话，一代阿克贪婪的这里没有问题吧，一代的话 感觉有点问题，是不是哦，这个 x 啊，这里的 x 跟这里的 x 不 一样，这是 x 减二分之一。认真一点啊， 我没有认真，同学们不能向我学习是吧。应该是根三分之二倍的，这里是 x， 减二分之一才是公式里边的 x 对 应。好啊，好，零到一及时发现错误。一代的话 二可贪心的好，根三分之二乘以一减二分之一就是二分之一，这就是一个一是吧，那等于多少呢？贪心多少等于根三分之一啊，贪心三十度是不是三十度就是六分开啊，这很常见的啊，这个中学学的是吧。 这个三十度，六十度，四十五度啊。 c 值靠近贪念，值得记手链了。跟三分之一嘛。三分之三呀，三十度就是六分拍啊，六分拍减去下限，一代的话，阿克贪念的零，一代 零减二分之一就是负，二分之一乘以二就是负一是吧。它跟它差一个符号嘛。那这里就差一个符号是吧。 arg tangent 的 函数， arg tangent 的 x， 它是一个奇函数啊，是吧？ arg tangent 不是 这样画的啊， arg tangent 的。 对哦，它是一个奇函数，所以它差一个符号。那这里结果就是差一个符号啊，所以是负六分之拍减去负六分之拍啊，这里就是一个加，加了啊，六分之拍。 好，这个零就不说了吧，这里是一个六分之二拍，你六分之三拍就二分之 六分之二拍是三分之一拍啊，前面是一个二，比上一个根三前面还有个负号。好，负的二拍，三倍的根三，上下都乘一个根三吧，一般来说根三在上面啊，这个 咱们根三都在上面的啊，一般来说化解分母是不带根号的啊，九分之负二倍的根三拍负的啊，九分之二倍的根三拍 好，这就行了啊，这个题他就是这样的一个做题的一个方法，同学们得知道做到往后的话，哎，拆出来的一部分，那么就是常见的配方或者是分解因子。好，这个题就讲到这了。

好，我们看这个题啊，计算不定积分，先瞄一眼是吧，用我们的火眼金睛啊，瞄一下，带根号了。那么首先就有一个方法了吧，根式代换是不是？ 这个咱们做过一两个题之后应该有这样的想法了啊，是不是有了啊，那有没有别的一个想法呢？有没有别的想法？ 看到了指数函数，反三角函数，两类函数啊，两类函数的话，我们就可以凑为分，分布积分啊， 这是常见的套路啊，两类函数的时候要想到啊，分布积分，你对凑谁谁呢？肯定是凑指数函数啊，你这个啊，它，你这怎么凑啊，是不是？好，那我们两个方法啊，讲一下，根式代换就是令这个根号就等于一个 t 是 吧， 我们解一下， x 等于多少呢？两边平方一下减一，挪过来，两边取对数，那就是零一加 t 的 平方了吧，取对数了吗？好，继续点。 x 呢，就等于 零一这块求导啊，先是外层求导，零一求导，再是内层求导。好，第一题，我们看这里面有个 e 的 二 x 次方， e 的 二 x， 那 就它乘一个二，是吧？ low in 这块乘一个二，那这个二是不是可以挪上去啊？ 好， e 的 low in， 那 就等于这这一块的一个值啊， e 加上 t 的 平方得平方，所以啊，这个 i 的 话我们记为 i 啊。 e 的 二 x 方不是已经写过来了吗？写出来了就是它，后面就是 arg， 它的 t， d， x 在 这儿呢， 二 t 除以一加 t 的 平方， d t。 好， 继续了，继续的话观察一下啊，他跟他是不是可以消掉一个，消掉一个啊？这个阿克他念的 t 先写到这，消掉一个之后还剩一个一加 t 的 平方，还有一个二 t d t。 那既然这有 t 的 平方，我得有二 t 抵 t， 我 肯定想到凑一分呀，是不是二 t 抵 t 就 凑成 t 的 平方了？我再凑一个一，可以吧？这样的话，你会发现可以再用一次凑一分。你用了两次啊， 好，这是一加 t 的 平方， d t 的 平方加个一没问题吧？好，那这个时候我们把一加 t 的 平方看成一个整体，是不是又可以凑合一份了？哎，凑了两次哦，也就是 u d u， 我 们把 t 方看成 t 方，加一看成 u 的 话，它就等于 d， 哎，二分之一 u 的 平方是吧？好，把二分之一 u 的 平方是吧？好，把二分之一写前面了，这就是 r， 它的 t d。 二分之一已经写完了啊，还剩的就是这个 u 的 平方了，就这样写吧。好吧，就不写括号了，再写点荣誉啊，我觉得。那我写到这边了，写到这里 继续。你既然测完微分了，那你接下来就是分布积分是吧？分布积分，这是一套流程呀。好，把系数直接带上啊。这是相当于 u v 是 吧？减去一个 v d u， 这是 v d u。 对， 它求一分一除以一加 t 的 平方呀。 d t 是 吧？好，二分之一，这都抄下来啊， 这也没什么意思，减去二分之一，这个跟这个正好又消掉一个，还剩一个 t 方加一吗？ 是不是 d t。 这这密函数积分简单呀，再写一步吧，二分之一，阿克他念 t， t 方加 e 平方。考试的时候，你看你这个卷面啊，空不多的话，有一些， 比如这一步就可以省省了，直接到达。这可以的啊，我们平时给大家讲详细一点， t 的 平方里面还说有 t 的 不定积分，是吧？ t 的 三次方除以三呀，然后在前面再乘一个二分之一的话，这就是一个六分之一了，是吧？ t 的 三次方，好，再减去二分之一，乘一个一一的不定积分是一个 t 啊， 是吧？好，再把 t 带回来，带回来就等于啊，根号下的 t 就 写成 e x 方减一开方， 还有啊，乘以 t 方加一再平方， t 方呢，就是它，再加个一 就是它了，再平方一下，那就是 e 的， 它的平方不就 e 的 二 x 方吗？减去六分之一 t 的 三次方， t， t 是 它再三次方，那就这样写是吧？ e x 次方减 e 二分之三次方，减去二分之一 t 减一，好，就这样了啊，加个 c 行了，好，这个就是第一个方法。第二方法，分布积分。就是说两类函数出现的时候啊，有两类吗？是吧？两种类别，两类函数出现的时候就是凑为分， 接下来就是，哎，分布积分以流程嘛，测完微分通常都要跟这一样，对吧？分布积分了，好，我们把二可看见的留在这里， 把 e 的 二 x 次方点 x 放到一起，那就是 e 的 二 x 次方，这个求微分的话会多一个二出来，所以前面补一个二分之一啊，好，凑完了，接下来就是分布积分。 嗯，先是它俩一乘，再减去，把系数带上啊，好，对它进行求微分就求导啊，求导的话 ar 参进的，求导的话就像外层求导，在内层求导一层一层的啊，从外到内， 阿根廷球道是一加 x 平方分之一， x 平方就是这一块的一个平方，这块平方就是 e x 四方，减一加一减一就没有了是吧，这里就这样啊，削一下 好再接。接下来是这这一块是吧？这块求导了。负还是求导啊？是写到这里了啊。二倍的根号，先是根号下求导是吧？根号下求导不这个吗？在根号下里边求导是 e 的 x 方。 搞清楚啊。好， dx 我 们换个笔啊，不然看不清了。好，二分之一 arc tangent， 这就直接抄一下。 嗯，这个 d， 这个应该是没有问题吧。好，这个是， 这个是 e 的 二 x 次方是吧。这个是 e 的 x 次方。 e 的 x 次方跟 e 的 x 次方，这也消掉了，是不是还剩他啊。还剩一个是 e 的 二 x 次方除以底下的 这有一个二分之一，前面有二分之一，这个系数是四分负四分之一啊。啊，还剩的不就是这一部分了吗？就只有他两个了，系数已经写过来了，看一下他熟悉不。 休息吧。哎，做过题，你得有这个想法。稍等啊，我往上面啊看一下，哎，往上面挪一下，不然看不清了。是不是，是不是这个第二题啊。这就是第二题，我们讲的法二法三，这不是一的二 x 次方除以根号下， 哎，这个 ex 方减一嘛，是吧，求他的不定积分到这个时候的时候，到这个时候我们可以用两个方法减一加项。减项嘛，减一项加一项好，这一套是吧，或者呢？是凑为分啊，这个时候还可以凑啊，他先 哎，凑到后面再给他补一个减一，好继续去凑。凑两次是不是凑完之后分布积分得到结果，哎， 那结果他的结果是不一样，对不对？但没有关系，我们说了啊，不定积分结果本来也是不唯一的吗？好，假设我们就看他的话啊，看他的话， 这个我们就如果就用这个减一项加一项的话，这里是吧，减一个，加一个我就不写了吧，这块的结果就是我们黑色的这一块直接超过来了，好，还是用这个蓝色的吧， 等于二分之一阿克他念的根号下， e x 方减一一的， x 方减去四分之一乘以这块是吧？四分之一跟三分之二一乘又是二六分之一了啊，六分之一 e x 方减一二分之三四方，好，我们是再减去四分之一乘以它，那减去二分之一是吧？ 因为这里有一个啊，负四分之一跟这个二一乘后面加个 c， 你 看这个结果啊，跟这个结果是不是一样的呀？ 好像一模一样，就是一模一样的。那如果我们这里啊，用这个凑两次微分的方法的话， 好，抽完之后好分布积分，这个结果他本来跟这个结果就是不一样的，是吧？我们挪到这个题肯定也就是跟我们这两个结果都不一样了，不一样也没有关系，如果你实在放心不下的时候，你就把你求的结果再去求个倒 求过道之后看一下是不是等于他对不对，但有时候可能是没有这个时间求的，所以你过程中认真一点，认真一点好不好？好，这个题就讲到这了。

好，我们看这个题啊，先瞄一眼啊，瞄一眼法，瞄一眼，发现有根号可能要想到，哎，根式代换是吧，哎，直接就是令梯等于根号下的 x， 这是一个想法呀，咱们前面做过好几个了，好几个题了，有没有别的想法呢？ 有啊，有的，看一下根号 x， 它在分母的时候，它在分母的时候，分子相当一个一了吗？是吧？不看别的啊，根号 x 分 之一 d x， 哎，出现的时候要记得凑微分啊，要记得凑微分，看到它你就敏感一点。前面也做过类似的题了啊，哎，敏感一点去凑个微分，我们， 哎，写一下凑尾根好，还有没有别的方法呢？咱们先把啊思路写一下，之后再写过程。 这个根式代换，我们是令 t， 哎，直接就等于根号三 x 了。那 我们看到啊，这个型号的话， arc tangent 啊， arc c 啊，就是反三角函数出现的时候，又有根号的时候可以，哎，想到根式代换，直接换完它全部换完就是 t， 直接就等于 arc tangent 的 根号 x， 有 这个想法，我们平时做题，嗯，这个都积累一下呗，是吧，好，那我们一个个看啊， x 呢，就等于 t 的 平方吧， d x 呢，就是二 t d t 是吧，好，换元要三换，先是积分上限，看一下 x 取零的时候， t 取零， x 取一， t 取一，第一换第二换背极函数 arc tangent t 了，除以这个是根号 x 就是 t， 一 加上 x 就是 t 的 平方了呀，是吧，这第二换了，第三换就是积分变量，哎，把 d x 换成 d t 了啊。 嗯，二 t d t 是 吧？好，我们该约分的约一约啊，这个 t t 不 管了吧，不管的话底下有 t 方加一，哎，它上面不是相当还有个一吗？它在分母上是吧，立刻就凑为分了呀，是不是这个凑为分凑成阿克贪念 对不对？看到他，哎，立刻想到凑为分，好二就写前面了啊，零到一，阿克贪念的 t 好 d d 什么呀？ d r 乘以的 x 是 吧，哎，好，这个时候把它看成一个整体，看成一个整体 u 啊， u 的 u， 这还有个二是吧，二倍的 u 的 u， 这刚好啊，这个就像直接求圆函数了，也不用凑了啊，圆函数就是 u 的 一个平方嘛， 对不对？它求根函数 u 的 平方除以二，二又消掉了，就是 u 的 平方呀， u 就是 这里的 ark tangent x 好， 平方一下是吧，或者这样写都行啊。 那零和一是按先代一下嘛？一代的话 tangent 多少等于一啊？ tangent 四分之 pi 呀，那平方呢，是吧，再减去零，一代零呀，所以就是十六分之 pi 的 平方吧。好， 凑一分，看到根号 x 在 分母的时候想到它了是吧，想到它了。 零到一，好，这个是 ark 贪念的根号 x， 先放在这里，底下有一个一，加上 x， 这个根号 x 分 之一，跟底 x 就 凑成了底。根号 x， 你 注意还有一个二是吧，二的话我就补到前面了啊。 好，这个时候观察一下根号 x 跟 x 关系。什么呀？平方的关系啊，这个 o 是 不是可以写成根号 x 平方呀，我们就把根号 x 现在看成一个整体，好，又可以凑一分了，是不？不就是还是这个形式吗？好，这个是来来回回的啊，凑一分，这个本，这个本式啊， 这个技技能是吧，得好好的啊，学会了二倍的，看到谁你应该想到谁要敏感一点，是吧？好，凑到后边啊，这整个这一块一凑就是第二个 考点的 x， 这个题就是根号 x 了，现在是不是这个扩一下。好，那这个时候我们就把好这个画横线的看成一个 u， 是 不是跟这里是不是一样啊？对，看成一个 u 指，这是一个 t， 这是根号 x， 没有关系啊，都给它看成整个就是个 u。 好， 它的原函数就是这个 u 的 一个平方呀 u 啊，可考点的根号 x， 这就是 u 嘛，平方一下是不是零到一。 好，我们看一下把，上限一代，哎，就是四分之派平方十六分之派的平方下限一代是个零，对吧？一样的啊。好，再看一下法三，好直接啊，我令它是一个 t， 那 我们把 x 等于多少 t 解一下吧。先是根号 x 是 等于 tan 的 t， 这没问题吧。好， 二个 tan， 根号 x 等于 t， tan 根号 x， tan， 不 对，不对啊，是这个根号 x 就是 等于 tan 的 t 啊，这个关系搞清楚啊。好，那 x 的 话是等于什么呀？ tan 的 t 的 平方 d x 呢？ 二倍的 tan 的 t， 然后 tan 的 t 在 求的是吧？括号是求到啊， sin 的 t 的 平方 d t。 好， 这个 i 我 们看一下啊， 换元要三换，第一，换 x 等于零的时候 t 等于零， x 等于一的时候， tan 多少等于 tan 的 四分之 pi 呀，所以 t 就 等于四分之 pi 啊。再看一下第二，换被积函数，这整个我们说了已经换成 t 了，写一下 分母根号 x 现在就是 tan 的 t， 一 加 x 呢，一加上 x 是 tan 的 t 的 一个平方。好， 这是第二环，第三环就是积分变量 d x 给它换成 d t。 二 tanne 的 t second t 的 一个平方 d t 看一下啊，约分呀，该约的都约完了。你看 tanne 的 tanne 的 这个，它刚好就是 second t 的 平方，看到没？ 哎，三个 t 的 平方收了，还剩一个二 t 啊。二 t 的 不定积分不就是 t 的 平方吗？好，零四分之八是不是这一这一代还是四分之八的平方都行的啊？好，那这个题梳理一下就讲到这了。

主播主播，点火公式我老是搞不懂，区间不知道什么时候应该等于零，什么时候应该是两倍，有没有简单的记忆方法，最好一辈子都忘不掉的？有的兄弟，有的这大学长六分钟教会你，好， 恭喜你刷到这个视频，然后这个视频的话，我将用一个视频给你讲清楚这个点火公式全区间的一个结论大关， 从此以后的话，你再也不用担心就是公式记混掉，不管是二分零到二分之派，还是零到派跟零到二派，这些东西通通教你怎么记忆。然后我们比如说我们遇到这种题，我们遇到这种题的时候，其实我们， 呃，像这种的话，我们其实都会嘛，他就是七六五四三二，然后直接算出来就可以了，对吧？这是七六五四三二，然后直接算出来就可以了，对吧？这是七六五四三二，然后像这种的话，零到派的话，我们有的时候， 比如说像第二题的话，我们就是给他两倍，那就是二乘以四三二一，然后乘以二分之派，这个算出来是八分之三派，对不对？但是有的时候像立三这种，他虽然说是零到派，但是他这个东西算出来直接就是零， 然后还有第四个，第四个，像这种的话，那就是四倍的零到二分之派，那就是四乘六乘五啊，六分之五四三，然后二一点火成功，二分之派他是等于五派除以八，对不对？ 像这个的话，点火公式我们都是会的，但是这各个区间它的这个倍数关系，它到底是等于零还是等于那个两倍，还是说四倍，这个东西我们怎么记呢？那我们来看一下，这个就是核心，那一个的话我们都会背，就是说，呃，我们在 这里我们确定这个是 n 次之后，然后我们从这里开始点火，呃， n， n 减一， n 减二，一直点，点到最后。如果说你这里到最后有一个二分之一的话，那最后要补一个二分之派，这是属于我们点火成功，对吧？如果说你这里 就是说点到三二之后，然后就断掉了，那最后就不能有这个二分之派，对不对？然后接下来我们比较难记的是什么？比较难记的是这两个公式，就是你看啊 sign， 他， 他说 你的区间是零到 pi 的 时候，你的这个 sine x 的 n 次方，它无论 n 是 积有的，我们始终都是你原来的这个两倍，也就是说就它其实就是等于两倍的积分零到二分之 pi， 对 不对？ 然后呢？如果说你是 cosine 的 话，那我们要分基数、偶数来对它进行一个讨论，然后像这个东西的话，有些同学心里特别没底啊。呃，这个东西我可以教你一个简单的记忆方法，就是我们利用一个图像的一个判定方法，就是这里的话，你可以暂停看一下，然后我在前面我用大白话给你讲一下它是一个什么原理， 就是我们 sine x 呀， sine x 在 零到派里面，你看这里是派，然后这里是二分之派，你的 sine x 图像是不是这样子的？这样子的话意味着你这个 sine x 在 零到派里面，它是一个横正的东西， 它是一个横正的东西，那我积分零到二分，那我 sine x 的 n 次方，它是不是也是应该是一个横正的东西啊？然后你一个横正的东西在零到派上积分，零到派上积分， 它是不是一定是一个大于零的东西，对吧？那你既然是大于零的，那你就不可能出现就是积分出来等于零的一个情况，那它最终的结果一定是两倍的零到二分之派上的一个积分，这个应该能理解吧？竖形结合应该很好理解。然后 cosine 这个是怎么回事呢？你可以看到 cosine 或 sine 在 零到派上，它是这样子这里，然后这里你会发现这两个地方它是对称的。对称的意味着什么呢？对称的就是说，呃，你这个东西如果说 n 是 偶数的话，那你这个图像 应该会翻上去，对吧？翻上去之后，那你记出来应该也是一个大于零的东西，那你既然大于零的话，那你就应该是零到二分之派上的两倍，对不对？但是如果说你这个是一个基数，你这个是一个基数的话，它的图像依旧是这样子，就是一正一负，并且它是可以相互抵消的，那 你既然可以相互抵消，那你积出来他一定不会是一个正数，那他就是零，对不对？因为你这两个东西他是关于二分之派对称的嘛。所以说根据这个数形结合，其实你像你这种公式啊，稍微理解一下，你现推一下，你就可以知道这个到底是应该是正的还是负的，对不对？然后呢？还有一个是区间零到二派的时候，你看结论又不一样了， 它这里是 n 为正基数的时候，不管是 sine 还是 cosine， 它都是零。然后 n 是 正偶数的时候，它无论是 sine 还是 cosine 都是那个四倍的零到二分之派，那这个我们还是通过图像来那个了解，你可以看啊， sine 的 图像是不是这样子呀？ 这里是二派，这里是派，对不对？那你看啊，上面这里跟下面这里，它其实是可以相互抵消的。如果说你的图像是一上一下的话，所以说你的这个 n 啊，如果说是正基数的话，那它上下一定抵消，抵消的话它一定是零。同理，那个 cosine， cosine 它的图像是什么样呀？ 嗯，它应该是这样子， 他应该是这样子，对不对？那你上面跟下面其实这两块跟下面这一块他也是对称的，对不对？也是对称的。所以说你这样的话，你如果说你的图像是， 呃，上面也有，下面也有，也就是当你 n 是 正基数的一个情况，他算出来绝对是零。然后相比之下，如果说你 n 是 正偶数的话，如果说是正偶数，那他的图像肯定是翻上去的吗？对不对？翻上去，包括这里也是翻上去，那你记出来的结果他肯定不是零， 虽然不是零的话，它只有可能是你零到二分之派的四倍，对不对？因为根据对称性的话，它一定是一个倍数的一个关系， 所以说像这样子的话，我们就可以把整个区间的一个结论全部给它给记住，并且基本上是没有什么计量的，对不对？然后到了这里之后呢，我们再回过头来看一下我们这几个，第一个不用说啊，直接点火点一下就可以了。第二个，第二个的话，你看啊， sign 四 sign， 对吧？零到派上， sign 它一定是一个完全大于零的，对不对？零到派上它一定是大于零的，所以说我们其实无脑的让它是两倍的积分零到二分之派，然后点火就可以了，对不对？然后下一个，下一个的话是 cosine， cosine 零到派，那我们根据我们的一个图像来说， 他是一上一下，对不对？然后你三次方的话，他还是一上一下，那你最后肯定等于零，对不对？所以说以以后遇到这种东西拿不准的时候，你就大胆的这样子画一个图，然后你就很自信的把这个零写下去就行。 然后后面，后面这个六次方，那不用说了，六次方肯定是全是图像是正的，那你最后的一个结果一定大于零，大于零的话他只有可能等于四倍的零到二分之派，对不对？然后你就放心点火就行了。好，然后今天这个视频就给大家讲到这里，如果有想要这份讲义的可以加一下我主页的粉丝群啊。

好，我们看这个题啊，计算不定积分，观察一下，这里面有一个很烦人的这个根号，是吧？那我们肯定要想到啊，根是代换了，好，思路已经有了，那你做的时候认真一点啊，我们就令 t 就 等于这个烦人的。 哎，根号。好，我们把 x 解出来等于多少多少 t 啊？两边平方，这就是对等式是吧？好，那左边的话，是不是可以写成 x 分 之 x 分 之一加一啊，这个加一是不是可以挪到这边啊，我们取个倒数，这个取倒数，这个取个倒数出来了啊， t 方减去个一， 那么自然我们肯定就想着是把 dx 等于多少 d t 给它求一下。其实这个题呢，求不求无所谓的啊，你会发现，你看 x 这块等于多少 t 就是 个分式了，再去求导啊，反而 有点复杂。其实这个时候啊，你可以直接就把这个 x 带过来，带到这里面，直接分布积分就行了。好，都可以啊，这个你不是直接放进去，然后直接点 x 定多少 d t， 按照正常的一个步骤也行，但有时候你会发现啊，你再去求导，有可能会求错，你就 换一种想法，是吗？我不求了，我不求了，还可以啊，我们都做一下，懂我懂我的意思吧。好， dx 等于多少 dt 呢？就是他求导，我们求一下好分母的一个平方，分子求导是零了，减去分子不求导，分母求导是吧？这就是啊， dx 等于 这一块 d t 嘛，是吧？好，如果我们就按照正常的在做的话，这个积分我们记为 a 的 话啊，就是零一加上，这就是 t 了，是吧？ d x 呢？现在就是负的二 t 除以 t 方减一括号，这个平方底 t 好， 我们看啊。嗯，这个时候，哎，乍眼一看好像搞复杂了，但其实还好啊，还好，我们再瞄一眼，瞄一眼，这个二 t 跟底 t 是 不是可以凑一下凑成 t 的 平方呀？那既然都有 t 平方减一，我就再减一个一，这样的话，好，可以再次去凑，能看出来了不？我们再写一步啊， one 加上一个 t， 好 符号，我就写前面了啊，就这个意思，二 t 抵 t 凑到后边，这就是 t 方减一的平方。二 t 抵 t 就是 抵 t 方，我们再凑一个负一啊，好，这个能看出来，我们可以再凑一次吧，把 t 方减一看成一个 u， 是不是这个也是常见？这个啊，我写一下，也是我们常见的啊，一个公式啊， x 分 之一，求导就是得记下来，哎，反应很快啊，那我们现在看到的是负的 x 平方分之一，哎， 这个 d x 是 吧，那给它凑的这如果求积分的话，那就是 x 分 之一，如果凑的话，那就是把它写过来，就直接就是 t 方减一分之一，是吧。好，懂我的意思就行了。负的零一加上一个 t， 好，把 t 方减一看成一个 u 的 话， u 的 平方分之一嘛，是不是前面正好有个符号，我把这个符号还带上啊，正好有个符号，所以凑到后边就是底 x 分 之一嘛。底 x 分 之一 x 就 这里的 t 方分之， t 方减一好，分之一。 那这样的话，我们既然凑为分了，立刻肯定会想着是分布积分了，负一已经没有了呀，好，龙一加上一个 t 再乘以它是吧，那就是 t 方减一， u v 减去一个 v d u 对 它进行求导，求微分啊，一加 t 分 之一 d t 是 不是好？当然了，我们说了这个地方看的，再去求导好像有点费事，有的这块还没有看出来，再再次凑微分的话，那我们就可以换一个思路，就是或者 这一块直接啊，不去不去，管它好，这就是零一加上 t d x x 现在不是知道吗？就是一除以 t 方减一，是不是？哎，这个时候就直接就来到了这里，你发现没？直接就来到了这里了啊， 你会发现，哎，我们刚刚做的这些动作其实就是这一块的一个逆向的一个过程，能发现不就是我们按照正常的啊 x 等于多少 t 之后就算 d x 吗？ d x 之后你会发现这个并没有把，并没有把我们的这个背奇函数变得简单， 没有变简单，我肯定想着还是凑回分呢，是不是又凑回去了？又凑回去不就是还是它了吗？所以说不如直接一开始的时候我这个 x 直接就换成它好，就相当于没有动它，那这个时候就看成，哎分，这个时候就用分布积分就来到了这里，是不是？哎，你做一做，你又发现又回来了， 好，那这个时候这没有问题了，那就还处理它就行了，是吧？处理它我们单独给它拿出来啊。这个 t 方减一的话，是不是可以写成 t 加一乘一个 t 减一啊？这有个 t 加一，那就是分母，就是分母， 就是 t 除以 t 方减一好，减去一个分母，就是 t 减一， t 加一 平方，是吧？一体，这个怎么处理啊？哎，我们看到他这个型号，你得能想到我们采用部分分式的方法。 好，要注意了，就是这个时候我们要把这块给他拆成几个部分，是吧？拆成几个部分我们就写到这边了啊，你这个考试的时候你也是写可以单独处理他，不然的话，你写他的过程中还要把前面的带上，会显得很臃肿啊，你的步步骤，而且占地方，我们单独处理这一块啊，给它拿出来， 对于这个 t 减一好， t 加一的一个平方。哎， d t， 嗯，不用 d t 了啊，就把这个未知函数拿出来就行了。对，部分分式法的话，看它的一个型号啊。首先这有一个 t 减一是一次多项式，那么它上面就是一个 a， 是 不是得写成几项相加呀？ 好，这块有同学都总记错啊，这现在它是一个整体，这是一次多项式的一个 k 次方，是不是啊？二次方，二次方的话我们就得写成 t 加一的一次方，再加上 t 加一的二次方，它的上面都是常数。而如果啊，它写分母，它不是啊，一次项的这种平方呀， k 次方呀，这种形式的话，它写成 t 的 平方，加上一个二 t 这种的话，那这就是一个二次多项式。好，它的上面的话就得是一个一次多项式，就比它的这个 次次数再小一次，这是一次多项式。哎，小一次不就是零次多项式就是常数吗？但是这种结构的跟这种结构的不一样，你要体会一下啊，别搞错了，对于这个这两块啊，有同学说这个 c t 加个一个 d， 不 对的啊，不对，这这两个 后边这两块都是常数啊，分子。好，那就是可以代定系数或者是特殊值法，都可以把 a、 b、 c 求出来啊，我们去通个分就行了，是不是？这就是 t 减一，好， t 加一的一个平方，我们这个时候就在草稿上进行一下啊，这边的话就是 a 乘以， 它是 t 减一，那就乘一个 t 加一的一个平方，加上一个 b 乘以，嗯，这是 t 加一，那就再乘一个 t 加一， t 减一，也就乘以 t 方减一，是吧？ c 再乘一个 t 减一。好，我们直接还是直接写过来吧。啊， 好，加上一个 b， t 方减一，这得认真，别抄错了啊，好，这个时候就是常用的两个方法，这个就是我们在这啊，又出来一个小的一个方法，是吧？这个地方发音就是待定系数， 那待定系数的话，你看左边分母跟分母已经相等了，那就是右边 右边的分子跟左边的分子相等就行了，是不是？好，我们就可以把这块进行展开，展开之后呢，让它等于一，对应好二次向前面的系数，一次向前面的系数和常数向前面的系数都得相等，就把 a、 b、 c 定义出来了。 那还有一个方法就是法二，法二呢，就说我们特殊值法，我们直接啊带入一些特殊的一个值，这个时候 对于一些很多题目吧，对，很多题目你会发现啊，有时候比这个待定系数更快，我们可以先试一下啊，啥意思呢？我就令 t 等于，你看，你看一下，我们令 t 等于一，或者 t 等于负一的话，会使这一项或者这一项，是吧？是等于零的，我们看啊，假设我们先令一下 t 等于一，你看 t 等于一，就会是这里为零了， t 等于一，这里也是零了，那么还剩这一块了，是吧？那就是 a， t 等于一，一加一就是二，二二二得四了，那就是四 a 四， a 是 不是就等于这里的一个一啊？好，就等于一，那我们直接你看就得出来了， a 了，这就很快呀，我们再找一个特殊值。好，那就是负一是吧？负一的平方之后也是一吗？一减一等于零啊，我们再另一下， t 等于负一， 那么左边这一块负，哎，负一加一个一，这值也是零了啊，这也是零了，所以只剩这一块了。好，负一负一就是负二，负二， c 的 话， 负二， c 是 不是等于这个一啊？所以 c 就 等于负二分之一。你看他求的很快啊，很多题目他都很快的，我们再另一个就把 b 求出来了，那一和负一特殊的用完了，那接下来就是你就找零了，零了二了呀，数越小越好呀，是不是我就令 t 等于零， t 等于零的话，就是 a 乘以一来加上 t 等于零，零减一是负一，就是减去一个 b， t 等于零就是负一，就是一个负 c 得等于一，而我们已经知道了， a 就是 四分之一。好， c 呢？就是负二分之一，那这里就是啊，二分之一， 所以四分之一加四分之二，是不是四分之三呀？那 b 的 话就等于四分之三，减去个一负四分之一是吧，所以 b 就 等于负四分之一，我这就省一点功夫了啊。哎，你知道我的意思就行了。 好，他就比这个待定系数更快一点啊。他有时候会更快一些，但有时候可能特殊值。个别的题目啊，只有个别的题目特殊时，你发现也很慢。哎，反正两个咱都掌握了不就行了，两个方法，待定系数的话，把这个展开啊，我们看一下， 展开之后在草稿上吧， a， t 方加二， t 加上一个 e 加上 b， t 方减去个 b 加上 c， t 减 e 合并同类项， t 方前面的系数是 a 加上一个 b， t 前面的一个系数看好了，是二， a 加上一个 c， 长竖向 a 减去 b， 再减去个一，是吧？这个得等于一嘛，我们代定系数，这里只有一个常数项一，所以啊，这些平方啊，一次方前面的系数都得必须等于零，是吧？ a 加上一个 b 就 得等于零，那么二， a 加上一个 c 就 必须得等于零。 还有这个啊，常数下， a 减去 b 减一，就必须，这个不能等于零了，得等于一，所以你就直接得这个得多少？你在草稿上写就行了，是吧？ abc， 我 们看啊，嗯，第一个式子的话， b 就 等于负 a 啊，第二个四式子啊， c 就 等于负二， a， 好， 我们带到第三个式子里面，这个有没有问题啊？ 这个，这不是一吧，这是 c 啊，我看有点问题啊。 c， 这是一个 c， 好， 这是 c， 再到第三个式子啊，就是 a 减去 b， b 就是 它呀。好，就是减去负 a 加一个 a 减去 c， 那 就是加上二， a 就 得等于一二三四四个 a 等于一， a 就 等于四分之一， 是吧？ a 等于四分之一，之后 b 就 等于负四分之一， c 就 等于负二分之一， 是吧？跟这求的是一样的吧。这个，这个相对来说慢一点点啊，反正能求出来就行。这个对计算速度要求啊，快一点，稍微快一点，求完之后，我们现在把这个不定积分求一下，是吧？所以啊， 一比上一个 t 减去一个一好， t 加一的平方抵 t。 现在是不是又拆成了三个部分了呀？三个部分的话，好，我们把 a 带过来了，那就是四分之一倍的。好， t 减一，我们就写三个部分， b 的 话是负的，四分之一是一除一个 t 加一括号的平方抵 t。 对，把这一块啊，写一下，四分之一，那就是 low in t 减一呢，这比较简单吧，减去四分之一， low in t 加一，绝对值啊。减去二分之一， 这个又用到它了，这个咱们还是用的比较多的，是不是负的它啊，就等于 x 分 之一 x， 就 这里的 t 加一啊，这里给它凑个一就行了啊。不写了，你注意，还有个符号啊，这里啊，别忘了负负得正了，是不是 是分之一啊，这还不能马虎呢，就相当于这个里边的 x 嘛，分之一啊。好，这一块的话就先到此为止吧。可以吧，先到此为止。那么我们注意啊，现在是把它给算成这个样子，而前面它是个符号，再加上符号，是不是 再加上这一块才是我们最终的结果？别写着写着忘了我们的一个目标了啊。这好，好像还可以再整理一下四分之一题，前面龙引减去，龙引是不是可以写成真数真数相除啊。 t 减一，除一个 t 加一啊，可以的啊， 好，加上二分之一 t 加一。那所以吧嗦吧， g 都喜欢这些词，那这个 i 就 等于零一加上一个 t 除以 t 方减一，减去 减去这一块，是吧。哎，减去这一块，那就是减四分之一，零 t 减一，注意符号啊，所以后边也是负的了。 好，这个时候再加个 c， 我 们还不用再加，最后把 c 加到后边就行了啊。好，要回代一下是吧？你写成 t 是 不行的啊，一定要回代，回去把 t 写成 x， t 就 等于根号下一加 x 比上 x 除以 t 的 平方， t 的 平方呢？就是 就是，它再减去个一，哎，你没发现这里有一个一是吧？减去个一，那还剩一个 x 分 之一啊， 那 x 分 之一上去吧，上去啊，就是一个 x 了，哎，好，减去四分之一倍的零 t 减一，超别超粗，按 l 大 一点，减去个一，除以 t。 嗯，加个一是吧，减去二分之一倍的 t 加个一，我把这个二往这边往这里边写写吧。 好，这就行了啊，没有必要再再去画点了是吧？这一块你想画点可以画点，不想画点到这就行了啊。 好，你看这个题啊，用了根式代换根式代换之后你发现啊，你直接看啊，直接看这个好像也没有别的方法要做，你发现还得凑是吧，你忙活半天还是啊，又回到原点了，那不如直接一开始的时候就别算它的尾分了是吧？因为又回去了，回去了它就是采用了分布积分，这也是常见的一个 啊，做题的一个技巧啊，就是说我们后面也会见到这样的题，就说这个啊，复杂了，弄完以后你求不出来还得回去，回去之后就采用的是分布积分，就相当于凑为分。分布积分啊， 得知道这样的这一种的题目啊，好，对于这一块啊，这个真分式这一块是吧，给它用部分分式法。那采用待定系数和特殊式法。求一下啊。好，这个题讲到这了。

主播主播，点火公式我学会了，但是遇到这一类题算的还是好慢，还动不动就算错，有没有简单的计算方法，最好还不用动脑子的，有的兄弟，有的这大学长教你进阶版点火公式，看完学不会随便喷。 好，恭喜你刷到这个视频，这个视频几分钟给你讲一下我们书上没有教过你的点火公式 pro max， 我 们来看一下 这个的话，主要是为了解决我们 sine cosine 乘积的这种形式，并且像这种东西的话，在后面我们求定级，求那个极坐标的定积分里面经常会常见。那我们来看啊，像这种东西传统解法的话，我们就是要么就是统一成 cosine x， 然后对它进行一个降密，降密之后再点火， 或者说像这种的话，我们就凑一个 d 三 x， 然后把它呃换原再做。但是这种呃，只要你学会了这个点火公式 pro max 之后，像这种东西的话，我们通通都不需要那么麻烦，我们直接把答案给它口算出来。你像第一个的话，它应该是等于一乘以三，乘以一， 除以一个六乘四乘二，然后点一次火，点一次火，这个算出来是三十二分之派，然后第二个的话，他应该是等于二乘一乘一个一，然后除以一个五乘三，这个的话点火失败十五分之二，对不对？然后像这个的话，他应该是等于二乘以 四，乘以二，然后除以一个八乘以六乘以四，乘以二，然后这个的话算出来是二十四分之一，对不对？为什么算的这么快？几分钟给你讲懂。 我们来看一下这个点火公式 pro max 的 一个大关，这里的话，它的一个本质就是这类比积分的本质，它其实是被它函数的三角函数形式。然后这个东西的话，我们其实是有结论的，就是说在零到二分之派里面，积分你的 sine x 的 m 次方乘以 cosine x 的 n 次方，它应该是等于这个，如果当你的 m 跟 n 它不全为偶数的时候，那它就是点火失败，点火失败的话，它就是 m 加 n 的 双阶乘，分之 m 减一的双阶乘，以 n 减一的双阶乘，这个东西非常好记啊，就是把这两个东西加起来哎，放在分母里面加两个阶乘， 然后两个都减掉一，然后分别加阶乘，放在分子，然后这个双阶乘有同学不认识啊？双阶乘其实就是这样子，就是跳着来的，你比如说八的双阶乘，那就是八乘以 六，乘以四，乘以二，对不对？然后比如说七的双阶乘，那就是七乘以五，乘以三，乘以一，这样子， 双阶乘其实就是这么来的。然后在考试的时候的话，这个 m 跟 n 它都不会很大，所以说你不用担心，这个公式虽然说看起来恐怖，但是说它最终的计算量其实是几乎没有的。然后你像下面这个，如果 m 跟 n 全是偶数的话，那它就点火成功，那加一个二分之派就可以了，对不对？ 然后呢，在考试的时候，我们有的时候还会遇到情况，就是说他的区间啊，不是零到二分之派，那我们是不是得判断他到底是不是原来的呃，几倍，或者说就就等于零？那这个的话，其实我们怎么简单的判断？要判断的话，其实是有那种， 嗯，记忆的一个技巧，就是说我们根据图像来对不对？图像来怎么来判断呢？你比如说像这个，像这个，他说如果说 n 为基数的时候，我们其实只要看啊，他这两个东西沉起来，沉起来之后会不会政府抵消掉？你看啊， 零到二分之派，然后在这个 sin 的 话，在零到派之间的话，它永远都是正的，这个毋庸置疑。所以说它区间是零到派的时候，跟你的这个 m 的 基偶性是没有关系，它只跟 n 的 基偶性有关，那 n 是 基数的时候，我们来看 n 是 基数的时候，它是这样子， 对不对？他有一上一下，然后你跟一个偶函数相乘的话，他依然是一个奇函数，是这样的话呢？啊，这里不是严格的奇函数，我只能说是那个一正一负，他是可以抵消掉的，对不对？所以说你 n 是 奇数的时候，这个直接算出来是零， 然后 n 是 偶数的时候， n 如果说是偶数的话，那是不是就是呃两倍了？因为你对称之后，这两块地方他是一模一样的，所以说像这个的话，我们就可以 呃，很好地记住。然后零到二派的时候，零到二派的时候，那你这两个其实都是有可能一正一负的，对吧？你看啊， sign 的 话，它是这样子，这是二派，这是派。然后 cosine 的 话，它是这样子，对不对？ cosine 是 这样子。所以说当你里面至少有一个东西是基数的时候， 当至少有一个东西是奇数的时候的话呢？它一定是呃上下一正一负，并且它是不不会相互抵消，不会出现那种奇函数乘以奇函数，它就是那个偶函数的这种情况， 然后这样的话我们整个区间呢？都知道了。然后以后在大体里面，其实大体里面像这种题目，你用常规解法的话，就是把函数名化为同名的，然后再根据它的一个次数，如果说偶数次的话就降例 它那种，就是就是在大体里面，你其实直接写也不要紧，因为这种东西它不是单独出题，它也不会管你最后的那个结果是怎么来的， 它只要那个最终的答案是对就行了，对不对？好。然后最后的话学会了这个之后，那我们来看一下这个东西它是怎么呃，怎么应用的？你看这里是零到二二派，对吧？然后 m 等于四， n 等于二，那它其实就是四倍的， 四倍的积分零到二分之派，对不对？四倍的积分零到二分之派，那就是四乘以，看一下这个四减一三的双结乘，乘以这个减一，那就是一的双结乘，然后再除以什么？除以四加二六的双结乘，对不对？然后分别带进去算一下这个八，呃八分之派就出来了。 然后这里这里的话，因为你是零到二派，并且你存在了一个基数，存在一个基数的话，它这个直接等于零就出来了。 然后像这个东西，这个东西的话常规解法，我们常规解法是不是这么做的？常规解法就是积分零到二派，然后是呃一减 cosine 方 x， 然后 cosine 四次方 x 抵 x， 然后再分别点火，对不对？分别点一次火，两次火， 把它给点出来，对吧？然后呢？我们我们的这种点火公式 pro max 的 话，那我们就直接这样子，它就是四倍的乘以积分，看一下零到二分之派，对不对？那这样的话就是四乘，以，这里的话是二减一的阶乘，那就是一的双阶乘， 那其实就是一了。然后这个东西的话是三的双结乘，那就是三乘一，然后再除以呃，二加四六六的双结乘，六乘四乘二，对不对？然后这样子的话，你看啊，消掉，消掉，这里是十二分二啊，对，然后这里的话还点火成功了，对不对？点火成功还要再来一个二分之 pad， 那这样的话你看四四消掉，然后三三，这里还有个二，那这样的话是不是八分之派？你会发现跟我们就是常规，常规的解法是一模一样，但是这种东西的话他会快的多，对不对？好，然后这个讲一就给大家讲到这里，谢谢大家。

好，同学们好，我是常来学长。然后今天这个视频给大家测评一下我们二零二七章鱼核心计算的一个讲义，以及它的一个使用指南啊。这套书的话是在基础三十讲里面单独成册的，它这本书的前身其实是基础三十讲里面的一个选学部分， 然后我将从以下以下五个部分，然后来测评这本书啊。首先第一点的话，来讲一下我自己刷下来的一个感觉，因为没有使用就没有发言权，我是真的是 花了两三天时间去好好研读这本书，并且做了两张的。目前的体验是可以总结如下，首先第一个 啊，这个名字的话起的稍微有一点点那个误导性啊，他虽然说是叫核心计算通关，但是他的核心计算其实只包括了不定积分，他不涉及极限跟导数。第二个的话，就是他的这个记在这里面，他的那个积分题他是非常全面的 呃，就是他里面讲不定积分吗？他几乎是，呃，我不知道有你们本科用的是不是那个同济高速课本，同济高速课本后面他有一张积分表， 他几乎是把所有呃，他几乎是把整张积分表全部给你搬过来，并且把那个呃参考答案给你呃给你写清楚了。所以说你在考研范围内，我甚至不说考研范围呢，你哪怕是竞赛里面的那种不定积分，你放进来， 你只要是算不定积分的那种题目，百分之九十九以上的不定积分都能在这本书里面找到原型。但是呢，这本书虽然说包含的很全，但是他这本书却很薄，就是说如果说你手上有实体书的那些同学应该能明白我说的什么意思，他 这本书非常的薄，但是呢他的那个体量是非常惊人的，为什么？因为他的书中没有给你留下答题的一个空间，所以说他会显得很薄。实际上他这个你如果说真的要刷的话，你可能得刷一个礼拜才能把它刷的完。 然后呢还有一个关于难度的问题，虽然说大部分都是考研范围内的一个难度，但是有那么百分之二十左右的题目啊，他是超出了考研难度的范围啊，为什么我我能这么判断呢？因为我发现啊不管是我自己的答案做下来，还是他书上的答案做下来，他至少一页 a 四纸都写不完。那这像这种情况下的话，那其实 其实就呃就不太可能在考场上给你考这种东西啊，因为一页 a 四纸，你考试的时候你总共才一张 a 四纸的草稿纸，他不可能一道积分让你算这么久的，对不对？只不过呢他这个讲义，他为了他的全面性，所以说把这些东西都都给加进去了。然后还有一个就是说如果你能完全掌握这本书， 你呃我觉得考研范围内我都不说百分之九十九，我可以说你百分之百没有你不会做的不定积分，你所有的书你可以把这个当成一个字典一样，对吧？任何题目都能在上面找到一个圆形， 呃，然后这样子的话呢，就是我可以呃在这里的话我总结一下他的一个优点跟缺点吧。啊，首先一个优点，优点我们前面基本上都说了，就是一个的话是赋覆盖面权，我这里写的保守了一点，百分之九十九，实际上就是百分之百。 第二个的话就是说这本书出的早，大家全年都能都能抽时间看，不管你是一月开的、二月开的、三月开的、四月开的、五月开的，对吧？ 六月开到七月开到八月开的，后面我就不说了，要到后面的话，其实你不太有时间看这个东西，但是呢，我可以大有大致的认为就是大家全年都能抽时间看这个东西，对不对？甚至有些同学是那个二八考研的，他也可以提前把这个东西看起来吗？ 啊？第三个他是有官方讲解视频的，这个讲解视频就是啊，我这里，我这里当然是为了我的作品，所以说我把这个二维码给挡掉了，就在这个地方的话，他是有一个二维码， 你，你在那个，你在那个，就是你买的那本书里面扫一下，他会有一个官方的一个讲解。所以说你如果说有呃 在这里的话，他大部分答案都是非常详细的，就是你自选能够掌握大部分，但是有一小部分的话可能就是看答案你也看不太清楚，那你可以去听一下他官方的一个讲解视频，然后下一个就是说有了这本书以后，我们再也不用到百度去搜某某的原函数了，因为只要是考研范围内的，你一定能在这本书上找到。 当然他这本书光有优点不行，他肯定是有一点缺点的。我们，呃，实事求是的说，他这本书其实不是一本完美的书 啊。首先第一个部分答案思路有跳步嘛，就比如说在这里，在这里这个应该是呃，第二组的第十一题，他我蓝色框这个框出来的，你可以去看一下他那个，他这里虽然说写了个同理，然后直接把这个给写出来，但是你可以去试一下这个同理，他没有那么的显然， 他要用到一个很短视才能够得出这个东西，所以说他这个我认为是有跳步的。呃，有跳步其实很正常，因为写这本书的人他水平非常的高，他不是那个数学系的硕士，也也是那个数学系的博士， 最次最次也是个理工科的一个硕博，对吧？所以说他的那个数学水平跟我们啊初学者的数学水平，他其实是有个断档的，所以说有些东西他们觉得显然，但是对于我们来说他其实没有那么的显然。第二个的话就是说我们部分答案并非最有解答，就比如说这道题， 这道题它处理的处理这个 sin 方或 sin 方的时候，它是直接把它全部同名化成 sin 了， sin 方， sin 四次方。但是你看啊，这两个东西啊，这个倒还好算一点，后面这个东西它其实不好算，但是这个东西我们有没有必要非得这样子呢？其实不没有必要，我们直接二倍角公式，我们把它写成那个 sin 二 c， 它不就行了， 三个二 t 不 就行了吗？这样的话我们只要算一个平方向就行了，对不对？你这个四次方我们完全不用去管他，所以说他这个呃绝对不是一个最优的一个处理方法，虽然说能做，但他不是最优，但是他答案里面也没有讲这种方法对不对？ 然后第三个的话，然后再往前就是说他没有给我们预留一个做题的一个空间，没有预留做题的空间，你看啊，就是非常的挤呃，并且有部分题目的话考研是不需要掌握的，但是他没有标注，没有给你标注好 呃，所以说对于呃有小部分题目的话，对于初学者来说难度较大，对不对？然后还有一，还有一个问题，就是说极小部分没有的那个参数范围未讨论，就比如说这个积分，这个积分的话，你看这个 a 方， a 方出现在分母，我们一定要考虑的一个情况是什么？就是 a 它不能等于零，你看这个东西，原函数 a 等于零的时候， b 分 之 x 我 也能积啊，对不对？但是绝对不是你这这么一个表达式，所以说像这种的话是一个小的瑕疵。对于我们 啊，对于我们应试来说的话问题倒不大，但是你作为出出了本书的话，我觉得这个东西还是得明确一下的，对不对？ a 不 等于零，这个东西对于你来说只是加个括号的是，但是加上去这个东西其实就很严谨了，对吧？ 好，有同学说，那学长你给他这么高的一个评价，对吧？虽虽然说也有一些缺点，但是这些缺点都瑕不掩瑜，那是不是我必然得做这套书呢？ 那其实也并不是的，我们来看啊，哪些人值得做这本书？你如果说同时满足这三个条件的话，我觉得是值得做的。首先第一个你的指面实力是在一百三十五以下的，也就是说你，你比如说你去年，你去年复习复习过，呃，然后呢？你的那个，呃，然后你平时做模拟卷或者做真题的时候， 基本上能够稳定在一百三十五左右，甚至一百三十五以上的，那你可以不用做这个。为什么呢？因为你指面实力在这一百三十五以上的话，那你计算这一关肯定不是你的弱项，你要把你的时间放到其他的板块学习中去，对不对？然后你同学说学长我是一站的，我没有往年的，呃，那个数据可以参考，那怎么办 啊？你一站的，你就默认你现在指面实力是一百三十五以下就行了，这个没有关系啊，啊，你如果说你是那个天赋比较高的那种东西，你其实做，呃，做到后面你自己能感觉出来的 啊。对于大部分的普通人来说的话，你的指名实力就是在一百三十五以下，然后第二个的话就是说你学完积分，但是觉得自己积分老是找不到头绪的，就是说给你一道积分，你可能，哎想到了就想到了，想不到就想不到的那种， 那种感觉就是你看见这个东西你把握不了他的一个核心，你比如说就这个，就这个给你一个散引方的一个积分，让你积，你不能立刻想到用那个加密公式，而是在那边东想西想的那种的话，然后最后想了十五分钟，哎，想到，哎，可能可以用加密公式一做，还真的做出来了。 像这种的话你还是得做一下，因为你呃你必须得进行一个专项训练，否则你上考场你完全是看天意的对不对？这样的话你分数丢了是很可惜，你要知道一道计算题你失误的话，你至少是扣五分。五分什么概念？你那个，你那个政治，一道大题十分， 你把那个答案偷出来了，你把它抄上去，你拿到了十分，你然后你，你政治什么都不懂，你直接把那个材料抄抄一些东西上去，字写的漂亮一点，你都能拿五分，这就是这就是五分，他的那个含金量，在考研当中那个含金量。 然后第三个的话，就是说这个还是比较适用于那个进度比较快的一站同学或者二站级以上的同学，为什么呢？因为这个东西的话，你至少得前三章学完了你再才能刷，对吧？然后虽然说接下来的复习时间还有三百多天吧，对吧？但是我不建议你在九月份， 到时候再花时间练这个九月份，尤其是二战、三战的同学，你要知道九月份之后你是非常忙的，到时候那个时候数学模拟卷你刷不完，然后英语的那个呃模板你得开始背起来了，对吧？然后还有那个 政治，哎，政治要站起来，那个时候要练单选择题，多选择题，以及他的一个呃，肖八肖四，对吧？所以说那个时候，呃计算这一块就没有那么重要了， 然后，呃，或者说相对没有那么重要，就是其他的东西他更重要。好，然后有有同学说，学长这本书我想刷，但是有这些痛点怎么办呢？那我我我的话，我决定今年就是给大家免费提供一个辅助。给大家提供如下辅助，首先第一个， 呃，这本书答案有跳步，对吧？那么这全书每一题我都给你录制一个不跳步的解析，然后这这本书的话，他所有的题目都是我先做过再去对他的答案。 呃，所以说呢，就是我基本上我能想到的题目，呃，想到的方法一般的同学接受度能更高一点，包括你这个答案不是最优，对吧？我可以教你怎么更快的一个求解， 对不对？像这种东西，这个我为什么能想到三个二 t 啊？就是我，因为我提前做吗？我提前我自己做了，所以说我， 呃我可能不受他答案的这个思想的一个引导，如果说你看了答案再去做的话，你可能就跳不出来这个答案了，对不对啊？答题空间不够我，我来给你做做题本，然后没有难度标识，我来给你 那个不同分数段的必刷题，然后可以给你看一下那个做题本吧，就是我这是我自己做的做题本，然后想要拿这个做题本的可以去关注一下我的公众号，然后输入章与核心计算这一整套做题本，包括这本书全部免费给你啊。 然后这个做题本的话，它的答题空间是给你设计过的，你看啊，比一般的 ppt， 一 般的 ppt 大 概是十六比九或者四比三嘛，我给你变成了这种比较长的这种，然后你看啊，这一整道题清清爽爽爽的，那个写下来是完全没有问题的。 好，然后，呃，这里的话给大家看一下吧，我应该是，应该是，就差不多是这样子吧，你拿到的错。呃，那个做题本， 然后这这些东西确实是很多东西都是非常经典的东西，我建议还是做一下，当然有一些可能难度比较高的我都会给你标出来，像这种东西的话，作为一个计算题的一个锻炼，在初期是非常有帮助的。所以说在这本书的话，我一般啊，我，我肯定是给了他一个很高的一个评价嘛，只不过啊，这套书可能刷下来 可能没有那么的，那没有那么的啊简单，你可能会有一点点痛苦的感觉，但是你要相信啊，痛苦之后你 这个人得到的一定是一个非常大的一个成长。好，然后这本书的测评就给大家讲到这里，然后后期的那个 更新，就是那个视频更新的话，我也会在那个公众号里面发通知，以及的更新的话是在小破站那边更新。希望啊，如果有兴趣的同学可以关注一下我。好，然后今天这个测评视频就给大家讲到这里，谢谢大家。

有区分度的题目恰恰不在计算上。其实你们都会算命题，老师想好了，算是给你分的，想想让你把你分给扣掉的，恰恰是那个你没有注意的性质问题。我提几个你想想看啊，我们定积分的性质有什么？ 有积分的可拆性，我有 a 到 b， f， x， d， x 是 不可以拆成等于 a 到 c， f x， d， x， 再加上 c 到 b， f， x， d， x， 相当于说我本来是一个 a 到 b 的 总的面积，然后我可以拆成两个面积的和，那它实际上还是总面积，比如说这有什么用啊？我告诉你今年的考研题，这门题就用到这个了，你如果不把它来拆开，这个题你没法做。很多同学拜下山来，就是因为这个定积分的定义，它的这基本性质它都没想到。 所以我在强调的内容是，你基础内容精讲，学完之后你要回过头来，在基础知识结构里面盖上这个内容，你只留下基础知识结构， 就那个框架图，你看看你是不是自己脑子里能够把这些东西都描述出来，是不都记在脑子里了？

通过一道题掌握一类题，这次我们来学反常积分敛散性的判别。思考三秒，我们直接开始 alpha 大 于一，反常积分收敛 bata 的 取值范围是什么？在反常积分里，这个背记函数可以说是一个老演员了，咱们要对它了如指掌。我们先翻一翻它的个人履历，我把背记函数记成 f x， 我们先看一下这个函数 f 的 定义域。对于这里的 m 函数，如果说阿尔法大于零，也就说它确实是在分母上了，这时候我们得要求 x 不 等于零。那对于这个对数函数呢？ 对数函数它天生 x， 是 不是就得大于零呀？如果说这里的 beta 大 于零，就是它确实是在分母上的话， 我们还得要求 looping x 整体不能为零，那就是说 x 不 能为一喽。基于这里的分析，如果我想找 f x 的 一个连续区间，那我就只能找一右端的区间喽。那它就在我这里可以取一个任意点吧， 任意点继承个大 a。 好， 这里的大 a 是 大于一的任意一个点，那么它在 a 到正无穷上是一个处处连续的。所以说我们讨论这个 f 的 反常积分时，就是它的反常积分。通常你看见的 取值范围都是 a 到正无穷，标注了 a 是 大于一的。你现在应该理解为什么取这个区间了啊。比如说大部分的教材上，我们在写 a 的 时候，直接写成个二二，不就是一个大一的吗？ 但是这个下限 a 不 能写小于等于一的数，那么对于这个反常积分，它的连散性是跟阿法贝塔的取值相关的。我就直接写一下这个结论了啊。 如果说我们的阿尔法是大于一的，那这个反常积分就一定收敛。如果咱们的阿尔法是小于一的， 那这个反常积分一定发散。就是这两种情况，无论 bata 取什么都无所谓。可是如果咱们的阿尔法取一的时候，这时候 bata 的 取值就直观重要了，你需要看一下 bata 是 大于一还是小于等于一。 如果是掰他大一，那他就会收敛，而掰他小一等一呢，就会发散。对于这个形式的反常积分， 他的结论每位同学都要会背。知道这个结论，咱们就可以回到咱的题目上来了，你应该一眼就看出来了，这个积分又炸，他的积分下限刚好是一，那么碰到这种上限是正无穷，下限是狭点的反常积分，我们需要拆分哟， 我们在一到正无穷上任找一个点把它拆分，比如说我就找二吧，那就拆成一到二 x 的 阿尔法 low in x 的 柏塔 dx， 再加上二到正无穷 x 的 阿尔法 low in x 的 柏塔 dx。 对于这种形式的反常积分，他的连散性是怎么规定的呀？我们规定他收敛，并且他收敛才能得到左边的他收敛。这里要写且字， 就是他们俩都收敛，才能够得到左边的他收敛。当然，一般讲到这，有同学会有疑问，老师，如果他发散， 并且后面这一项也发散，发散的加发散的，有没有可能是收敛的呢？问出这个问题的同学，就是没有把我们反常积分连散性的概念给搞清楚，我们概念 也就是我们的游戏规则规定的是两个都要收敛才能称之为收敛，他只规定了这一种情况下叫收敛，其他情况都不叫收敛，这叫游戏规则。 所以说不存在下面的问题啊。那也就意味着我们只需要找他何时收敛，他何时收敛就可以了。 对于后面的这一部分收敛的条件，是不是直接套这个结论就可以了？那他收敛的重要条件是什么？是不是只要 r 大 于 e？ 只要 r 大 于 e， 他 一定会收敛？所以说在 r 大 于 e 的 前提下，这里的 beta 任意后面这一项都是收敛的。 那我们看前面这个霞积分它何时收敛呢？我把前面这个霞积分记成一式啊。那么对于一式，咱的霞点是一哦，那咱们就看 x 从右侧趋向一的时候，背积函数 它跟谁等价？你可得意识到我说的是等价，咱现在要切换到求极限的模式了，在 x 向一的时候，它可就是非零一式呀， 它可以先算哟，而 low x 可以 等价代换，那它就等价于 x 减一的 beta 次方分之一，而我们等价的这个函数，它在一到二上连散性，你知道吗？ 那我们就要回忆另外一个结论了，就是 a 到 b 上背积函数是 x 减下限的 p 次方吧。这个狭积分什么时候收敛？只要这里的 p 是 一个小于 e 的， 它就会收敛， 而 p 大 于等于 e 的 就会发散。这也是我们反常积分里要必备的一个结论。那你现在对应着它套上面的结论 什么时候收敛？他是在白塔小雨衣时收敛呦，从而咱们就知道咱们的衣饰就是这个衣饰啊， 也是在白塔小雨一时收敛。那我们就找到了一是收敛的重要条件就是白塔小一时这两种情况取交集，那交集就是白塔小一喽，也就是我们这道题目要想收敛的重要条件就是白塔小一啊。这道题咱就做完了， 那咱再回头总结一下，如果这个基本功基本结论你都清楚的话，拿到这个反常积分，你是不是立马就知道需要找一个点拆分，拆成两个，我们找这两项分别收敛的条件就可以了， 后面这一项直接被结论，而前面这一项呢，需要先等价一下，然后被结论，那这道题就做出来了，熟练的话也就十秒钟啊。如果考研目标分数是一百二以下的同学，这道题目你就可以结束了。 如果我们考研目标分数在一百二十分及其以上的同学，我再给你们开个小灶，帮你们证明一下这个结论是怎么回事。 我们要想证明这个无穷区间上反常积分的这个结论，你得先知道这种形式的反常积分，我们该怎么说明它收敛或者是发散。咱得套用另外一个更基本的结论， a 到正无穷 x 的 p 次方分之一 d x 这里的 a 只要大于零就行。这个反常积分什么时候收敛呢？ p 大 于一收敛，而 p 小 于等于一发散 无穷区间上的反常积分，它的证明往往是套这个结论的。我相信这两个结论你应该不会让我证明吧？肯定不用啊，忍不住提醒一下，反常积分的定义， 也就是算元函数代入上下线就可以证明。好，回到我们要证明的这个结论上来， 咱们先看第一种情况，就是 alpha 大 于一的时候，咱们的背记函数需要往这个背记函数上转化，而这里转化的关键就是看 x 趋向于正无穷时，此时它是没有等价代换的，我们只能使用比较判别法的极限行驶， 也就是想找一个收敛的，并且比它大的，那么就可以使用大收则小收了。我们想找收敛的，那肯定是找密函数的形式，并且还找 p 大 于一的时候，我们可以找 x 的 alpha 减去个 e p 笼分之一， 这里的 e p 笼是一个大于零的，并且呢， alpha 减 e p 笼是大于一的，你想想能不能找到这样的 e p 笼？ 肯定可以啊，因为 alpha 大 于一，我只要找到一个很小很小的正数，保证 alpha 减去这个很小很小的正数还大于一，不就可以了吗？这一定是能做到的。而它们俩做比求极限 化简一下， x 趋向于正无穷时，化简完以后就是 x 的 一匹龙乘以 low in x 的 bet 分 之一。由于我们的一匹龙是大于零的，那它一定在分母上，而且趋向于无穷的。 而旁边的这个 loi x 的 betta betta， 无论是正还是负，也就说这个旁边的这个 loi x， 无论是在分子上还是在分母上， 最终这个极限的结果都是零。分子是趋向于零的，分母也是趋向于零的，最后的结果也是零。是不是说明上面的这个无穷小量更小一点，下面的无穷小量更大一点。并且我们专门找的 a 减一，是不是大一的大一，它是不是就收敛了？ 也就是说，分母上的这个函数，此时在这个区间上是收敛的，大的收敛，那么小的是不是就一定收敛了？ 同理，第三种情况的证明也是如此，如果我们的阿尔法小于一时，我们想证明发散，那么我们也用比较判别法的极限形式，因为找不到等加的吗？ 那我此时找的还得是一个发散的，并且比它小的，就是我要在分母上找一个更小的，而且这个分母上小的，这个是发散的，那我就可以用小发则大发了。 我要找发散的哟，那我这里的 p 就 得找一个小于等于一的，我找小于等于一的，那我就可以取 x 的 alpha 加 eiffel 分 之一。 这里的一匹龙是我们找的一个大于零的，并且我们还要保证 a 加一匹龙是一个小于一的，因为有这个前提，咱们是肯定能保证找到这样的一匹龙的。那么在 x 趋向于正无穷的时候，整理一下这个极限式，那就是 x 的 一匹龙 比上 low in x 的 贝塔，因为一匹龙是正的哟，那这里不就一定趋向于正无穷了吗？那无论贝塔是几，那整体的极限一定是无穷大， 无穷小量比上无穷小量，结果是无穷大，那不就说明上面是大的，下面是小的，而且小的发散，那么根据小发子大发分子上对应的反常积分 就是发散的。那咱们就证明了第三条结论，对于 alpha 等于一的证明比较特别一点，当然会比较好。想一点， a 到正无穷背记函数里的 alpha 取一了，这是不就是 x 分 之一，然后 low in x 的 beta 分 之一 d x 你 想干什么？ 你想凑为分？你想把 x 分 之一凑到 d 的 后面去，写成 low in x， 那 也就是 a 到正无穷上 low in x 的 beta 分 之一 d， low in x 凑到 d 后面的看成一个整体，如果此时令成 u 的 话， 咱们的背记函数是不是就写成 u 的 beta 分 之一 d u 了？那下线就写成一个 low in a， 上线 low in， 正无穷还是正无穷？你看这里眼熟吗？ 不就是我们刚刚背的结论吗？所以说这里的 beta 如果大于一，咱们就收敛，如果 beta 小 于等于一就发散，这就是当 alpha 等于一时对应的结论成立的原因。如果这个题目你都听到这里了，请给自己鼓个掌， 而且你还听明白了，那相信欧阳老师你今年的考研指定能考一百四十分以上， 因为我们整个的证明过程，他不光综合了大量的知识，更重要的是他的思维过程，而这个思维就是我们要考满分，考一百三十五分以上的同学才具备的思维，而你又有，那你为什么不努力一把，冲一百四、一百五呢？

好，我们看这个题啊，下列反常积分中发散的是这个题。嗯，包括后边我们遇到反常积分判定连散性的题目的话，这就是一些知识储备，记下来啊，都给他印到脑海里面。 好，我们讲啊，两个，两个方法。首先啊，就是说把这些 abcd 就 直接看成定积分， 看成定积分好，去计算，去计算一下，看谁能算出来结果，谁算不出来结果。好，你看这个 a 选项啊，这 a 选项的话，同学们会算这个这个积分吧，直接就凑微分分布积分是吧， 这是不是填填个符号呀，负的 x， e 的 负 x 方，零到正无穷，减去，因为前面还有一个符号，所以就是一个正号了，零到正无穷。 好， d x 是 不是这个前面啊？因为我们看看，定积分的话，出现正无穷负无穷的话，其实就是求极限嘛，是不是求极限啊？正无穷带过来的话，这块是不是零的呀，这能看出来不？你这样写， 哎，求极限，他去无穷，他去无穷，分母去无穷的速度更快啊，所以分母带进去，所以整个这块极限就是等于零吗？ 零带过来的话，哎，这极限是吧，你就是零啊，对，零除以一个一等于零了，上线下线都是零了啊，添个括号，最后都是一个零啊。零的话，其实你也不用去写了，写一下也行。后边的话，他的原函数 e 的 负 x 方， 哎，这是加号，那么因为他的原函数 e 的 负 x 方了，是吧？好，零到正无穷， 零不写了啊，好，一般来说，看到前面有个符号的话，我们是这样操作，普遍一出错，把符号作用于上下线，可以养成这样的习惯啊，作用上下线好，上线一带 e 的 零，四方是 一，下线 e 的 负无穷四方求极限。是个零呀，是个一，都算出来结果了，那你肯定就是收敛的是吧？ a 就是 收敛的。 那除除了这个之外啊，数一和数三的同学，希望同学们一定要知道的一个知识点就是伽马函数。数二的同学，我也希望你可以记一记，总共就这几几点嘛，这就是伽马函数的一个形式。 好，你看这个题，零到正无穷是吧，你看到零到正无穷的时候得想到这一块啊。好， x 它是一次方吧，一的负 x 次方，那就等于一的阶层就等于一的阶层啊，就等于伽马二是吧，一的阶层不就等于一吗？所以你后续啊，对伽马函数比较熟悉的话，我们直接就把它的结果就看出来了。直接就看出来是吧， 给它看成伽马函数。好，我们记为 a 的 话，这个结果啊，就等于 e 的 结成就等于 e 嘛，这快吧。好，都记一记啊，希望记一记，后续会经常见到。经常见到，看一下 b 选项 b 选项，这个时候会有一个误区在啊，同学们看到了，这里是一个 g 函数，这是偶函数，一乘的话是一个 g 函数是吧？ g 函数在对称区间。哦，积分就等于零呀，错， 好看。好，这句话我估计同学们有一些同学们啊，就在课下已经总结过了，反常积分出现的时候，你看到积分区间是负无穷的，正无穷不能够认为他是对称区间。不能认为啊，只有已经确定了，已经确定他就是一个。哎，收敛的一个反常积分的话，才能够认为他是对称区间， 现在就让你判定的，你怎么能够认为他是是收敛的呢？你认为他是收敛的，那当然可以，就可以用我们的啊，对对称区间极有兴趣积分了啊， 你比如说这个题如果改成一个填空题让你去填，他都让你填了，就是默认这是一个收敛的反常积分。好，就是收敛了，他已经告诉你就是收敛的了。好收敛的话你就可以用啊，这个对称区间商 g 函数积分就是等于零，这是可以的啊。这 这个这块我不会去再去详细的解解释了啊，直接记下来就行了，你不懂的话你课下去三句听一下相关的课程。记下来啊，记下来。 好，那你就不能够直接说他就等于零了？你不能直接说，那我们就去。哎，还是给他求一下呗，是吧，给他当成定积分。负无穷的正无穷 好求圆函数嘛。那这里你看啊，这里有一个 x， 我是 否就是可以给他凑为分呀？凑为分对不对？凑进去啊，好，负无穷正无穷 e 的 负 x 方，那就是底 x 的 一个平方，那你就补一个二分之一凑为分。要补一个二分之一。好， 那其实我还可以再添个符号。我再添个符号。添个符号的话，把它看成个 t 就 看成 t， e 的 t 次方抵 t。 原函数不就是 e 的 t 次方了吗？是吧？好，就等于负的二分之一 e 的 t 次方好零，哎，负无穷到正无穷是吧？那么 负无穷正无穷带过来求极限吗？那就 e 的 负无穷啊， e 的 负无穷就是一个零啊，是吧？哎，就是一个零，极限是零啊。负无穷带过来这平方之后还是正无穷，正无穷前面填个符号， e 的 无穷求极限啊，那就是零，所以，哎，你看你求得的也是零，但是我们这个才是正经的 正确的一个过程。你直接记函数对乘区间等于零是错的好，那他也是收敛的呀，好，看一下 c 选项， 基本上同样你也不能看成奇函数再乘奇奇加上积分等于零啊，我们还是仍然去求一下这个积分，求一下的话，它原函数的话，这是不是可以凑为分呀，它是第二个 tan x 呀，是不是这是二个 tan 的 x， 这是第二个 tan x， 阿根尼 x。 求导不就是一加 x 平方分之一吗？这导函数，这个都得记一记啊。常见的求导公式好就相当于 t 抵 t 嘛。 t 抵 t 的 一个原函数不就等于二分之一 t 的 一个平方吗，是吧。阿根尼 t 的 一个平方啊，这是 x 啊，好富无穷重无穷。 我们知道正无穷带过来的时候求极限啊，阿克贪镜正无穷。阿克贪镜的图像同学们现在不陌生了吧，这样的是吧？去正无穷的时候啊，他是去二分之拍的啊，这里是负二分之拍。 好，阿克贪镜正无穷就是极限二分之拍了啊，平方一下，这不就是平方一下吗？四分之拍的平方，阿克贪镜负无穷呢？阿克贪镜负无穷是负的二分之拍 是吧？但是因为我们平方了呀，平方之后他也是四分之拍的平方，所以这一减就是等于零了，也是等于零啊，来收敛，但是一定按照我们写的这个过程才是对的啊，不能直接记函数。 好 d， 那 就选 d 了是吧，那发算那不就 d 了吗？ d 选项我们也是按照定积分算一下，看他哪里错了啊。 富无穷正无穷。那看到了 x 抵 x， 这个 x 平方，我自然想到凑一分是吧。一一加 x 平方，抵 x 的 平方加个一 x 抵 x， 凑成抵 x 的 平方。我前面要补一个二分之一吧，我加个一也不影响吧。好，那这里就看成个 t 嘛，是吧。 t 分 之一抵 t， 那 原函数的话就是 loin t 啊。 t 的 绝对值是不是 t 的 话啊？就是 e 加 x 平方嘛，相当于好应该写绝对值，但是因为这是一个正的啊，所以绝对值可以直接去掉啊，这些积分啊，求到啊，列公式记熟练了好。富无穷正无穷一代。哎，有同学说正无穷一代的话，这不是 low in 正无穷加个一是吧。平方之后还正无穷啊，再加个一不还是正无穷吗？ low in 正无穷就正无穷呀， 所以上限带入是一个正无穷，下限带入的话，负无穷平方也是正无穷了，整个的跟他是一样的，是吧？哎，负无穷减负无穷不就等于零吗？错，咱们一开始在第一章的时候就跟大家说过了，这是七种未定式之一啊，是吧？未定式 之一我们已经说了，你把它看成定积分计算，看到无穷的是吧？看到无穷的时候，我们这里是都是求极限的呀，是不是我们是求极限呀？ 求极限无穷减无穷不就是七种未定时之一吗？是吧，那也就说这个极限求这个极限的一个结果的话，可能是存在的，这个结果可能存在，也可能不存在呀， 是不是所以你直接等于零，那肯定就不对的。那到底存不存在？我，我现在还真的不知道呢，是不是我真的不知道？那你就不能，你不能直接确定出来啊，他就是等于零的，你直接确定存在肯定是不对的。那怎么去 看一下他为什么说是，哎？这个整个是发散的呢？好，我们说了啊，你看到啊，这个反常积分出现的时候，我们像判断，判断连散性的话，还有一个操作就是说你先去插点 叉点，为什么要叉点？好？我们使得反常积分啊，这个上下线只有只含有一端，只有一端是这个含有反常积分啊，就是一端是反常积分，你不能两端都是反常积分，我就没法去判定对不对，包括带有瑕点的啊，带有 瑕疵的这个反常积分和无穷区间的反常积分都是一样的，你这两头是吧？你都是无穷区间的反常积分，你两头的，我给你拆成啊，只有一个，一个一端啊，一端是出现反常的啊。好，这就是我们做题的一个想法，所以这个负无穷到正无穷这个 x e 加 x 平方，我现在就给拆成 负无穷到零或者是到一都行，你拆谁都行啊，你给它断开一下。好， x 除以一加 x 平方 d x， 或者我们就写零吧，写一也行啊，你随便随意了啊，那么一到正无穷 x 比上一加 x 平方 d x 好， 它是不是可以写成两部分？这就是我们的差点，差点之后你发现，哎，这就是一端是吧？一端出现反常了，一端出现反常，这样好去判定啊，是吧？谁跟谁去比较了，比较了呀。好， 那这个时候我们就可以啊，你可以看一下，你随便找一个，比如说我找找这一侧的啊，找这一侧的，它的 原函数我们已经知道了啊，原函数就是它嘛，写过来二分之一 lo in 一 加 x 的 一个平方，你看它的下线，上线一带，上线一带的话是不是无穷呀？下线一带的话，一 lo in 加一不就 lo in 二吗？是吧？那前面还有二分之一啊。 好，你这个减去一个是吧？你都去正无穷了，你减个这个不用去看啊，这些是吧，这个可以忽略啊，抓大就行了，所以它就是一个正无穷，你会发现这一块就是发散的，对吧？ 一个反差积分给它拆成两部分，两部分只要有一部分发散，直接就可以下结论，所以 d 就是 一个发散的，一个反差积分。不要去跟我们这里啊，去搞混。这里也是同同学们啊，有时候存在的一个误区，我们看一下啊， 对于极限这块，我们预算的时候一个极限存在，哎，一个极限存在加存在，那肯定存在的好，对应的极数就是数一数三的，同学啊，注意听一下，数二不需要 极数的话，一个收敛的极数加一个收敛的极数，或减一个也是收敛的，都对应着去记，极限存在加不存在，一定是不存在这个极数啊，收敛加，哎，这个是发散啊，不是发生啊，是发散，那么是发散，你看这是都是一样的，包括这里 好反常积分这一块，收加收，收敛，收加发是发散，这前面是不是都对应了记载好到这不一样了啊。你看一个极限存在，那个极限也存在，加减之后可能存在，也可能不存在，这是不确定的， 而一个级数啊，发散，另一个级数发散，那么这个不应该，这个这个应该啊，对，加一个啊，加一个或者减一个啊，这都是不不一定的，对不对？哎，你看他俩是一样的啊，这个记忆的这个技巧吧，他俩是对对应的，去记就行了啊。好，反正基本就不行了， 发散加减，发散都就是发散，就是说我们拆成两部分之后，只要有一个发散就是发散，只要有一个发散就是发散。 我根本就不管你前面这个是收敛还是发散啊，只要有一个发散就是发散。记住了啊，这块原因我就不再去解释了，你就这样赶紧都记住，如果没有记住的话，记住，你实在想去看一下到到底是为什么课下啊，去再去听一下老师的一个讲解是吧，听一下啊，只要有一个发散就直接下结论就是发散的。 好吧，所以 d 选项就是发散的，那就选出来了。好，接下来呢，我们再去说一下啊，这个法二法二的话，哎，就是啊，用用这一块的知识点了，这里这里 先去瞄一眼，我们说你做题的话，你肯定是先瞄一眼这一个题目，再瞄一眼选项，是不是你瞄一眼就瞄一眼法吗？你先瞄一眼选项， 你会发现，哎，描完之后，哎，描到 d 的 时候你扫描了啊，眼睛一扫描，它是一个什么结构的？有理函数结构的啊？ 有理函数结构的，并且它是这个无穷区间上的一个反常积分，对于无穷区间上的有理函数结构的反常积分，同学们直接记住它的连散性的判别方法。看你总结了没有啊，没总结的话赶紧记到本子上， 分母的最高次减去分子的最高次，如果大于等于一就是发散的。 好。为什么？为什么他的原理在这呢？在这呢，我们可以举一个例子，你看，就举这个题目的例子吧，我们把这个 d 选项啊，这个用一个这个笔吧， d 选项的话，我们给他 同样，哎，你去判定一个反常积分，先去插点给他变成啊，只有一一端是反常的啊，一端是反常的，我就差一，我还是差一个一吧，你差零也行啊，差一个一， 为什么差一呢？因为它是无穷区间的反常积分，我们待会肯定是说往这边，往这个 p 积分上去靠拢呀，是不是往 p 积分靠拢，所以就是我们给它插个点，插个一啊，省得你搞搞不清楚了 出现，哎，无穷区间的反常积分，你就想到 p 积分，出现无界函数的反常反常积分你就要想到 q 积分，是吧？好，我们差个点，那就看它了，看它的话你看一下啊，分母的一个最高次是不是二次呀？我们先把这个结果判定出来啊， 分子的最高次是不是就一次呀？就是这个次方啊，这个头上的这个，这个数好一减的话，减完之后是是不是等于一啊？好，小于等于它就是发散的， 所以就知道了，这一块就是发散的，另一个不用去看另一个其实它也发散了吗？不用去看啊，不用去看，只要有一个发散，整个就发散了。好，就选 d 了。那这个原理就是说它是比较判别法的极限形式，看看出来的啊，你可以看一下。好，我们呢 把这一个哎贝奇函数拿出来，拿出来之后去找一个比较对象，找一个比较对象就是 x 分 之一，那你会发现它就等于 x 除以一加 x 的 平方，把这个 x 翻上去了。好，这个极限是不是等于一啊？ x 趋无穷 极限等于一。好，也就是说你们两个相比之后的极限等于一，是不是这种情况呀？那么你们两个就相互衍散性，你这个 啊，进行反常积分就与他进行反常积分是具有相同连散性的，他很显然是 p 等于一的反常积分呀，不就是他吗？是吧？ p 等于一的 发散的一个反常积分，是不是？所以啊，他是发散的，那他也是发散的，你俩相同的连散性。这就是为什么啊，总结出来这样的一个结论，记下来就行了。对于这个由利函数结构的无穷区间的反常积分，记下来，他的原理也都说清楚了，听，听清楚了没有？ 哎，这个这一块的知识点啊，得需要记的东西是比较多的，你课下去把对应的原理去搞清楚之后，然后印到脑海里啊，这些信息印到脑海里， 在做的时候就不用再去，以后再做的时候不用再去搞一遍吧。哎，为什么呀什么的，这些就不要再去问为什么了，是吧？课下搞清楚之后，直接用结论去做题，好吧，梳理一下啊，好，这个题就讲到这了。

通过一道题掌握一类题，这次我们来学计算递推函数的定积分。思考三秒，我们直接开始，当 x 大 于等于零小于拍时， f 是 等于 x 的， 对一切 x f 满足。这个式子让我们计算 f 在 拍到三拍上的定积分。事实上这道题是咱们一九九一年数二的真题，并且当年考的还是道大题哦， 这道题目过了三十二年以后，也就是二零二三年再次出现在我们考研数学的真题里。那碰见这种递推函数形式的定积分该怎么求呢？ 我们有三种做法，第一种做法就是我先求出 f 的 表达式， 我有了表达式，然后再去计算对应区间上的定积分。当然我们先观察一下题目，让我们求哪个区间上的定积分，我们就求哪个区间上的函数表达式，不要本末倒置了。第二个做题思路呢，是我不求 f 的 表达式， 我直接对地推式两边积分，你让我进哪个区间，我就进哪个区间。第三个做题思路就是我们根据题目里的这个地推式构造一个辅助函数， 我们借助一个辅助函数来快速的帮我们算出对应的定积分。这三个做题思路，它的底层逻辑是不一样的。 针对这个题型，我们的三个思路哪个更优呢？哪个思路我们能更容易执行出来呢？我们分别用这三个思路做一下半题，结果就一目了然了。 我们先用思路一来做一下本题，就是我们先求出 f 在 拍到三拍上的表达式， 怎么求呢？就是将零到拍上的已知表达式经过这个式子平移给他，平移到这个区间。那你注意一个细节，就是给我们的表达式区间长度只有拍， 那我们平移到对应的函数上，平移出来的是不是也是区间长度为拍啊？可是我们这里是二拍，那就注定了咱们需要把这个区间拆分， 是不是用二拍这个点把这个区间拆分呀？那我们就分别看一下当 x 大 于等于拍小于二拍时 平移的函数表达式。再看一下当 x 大 于等于二拍小于三拍时 f 的 表达式。那我们先看上面这一种情况，这个 x 的 取值只要减去个拍，它的区间就对应成零到拍了。对应到零到拍上，我们就可以代入这个表达式了。 那我们将 x 减去个 pi， 那 它就大于等于零小于 pi 了。那咱们代入这个表达式，就是 f x 减 pi， 它就等于个 x 减 pi， 然后再由这个递推式得到此时 f 的 表达式。 我们的 f 是 等于个 f x 减 pi 加上三 x 的 哟，那我们 f x 减 pi 的 表达式是不是可以代入了？ 就写成 x 减派，再加上三 x， 那 我就算出来了这个区间上函数的表达式。同理，我们将二派到三派上，取值的 x 去减去个二派， 它就大于等于零小与派了。此时我们也能代入这个表达式，也就是 f x 减二派等于个 x 减二派。 所以说我们再进一步的用这个式子来得到想要的 f x， f x 等于个 f x 减拍，再加上三 x。 写到这，你有没有发现，其实我们想要的是 x 减拍的表达式， 我们这现有的是 f x 减二拍，那这里是 f x 减拍，我们是不是需要让它再代入一下这个递推式，也就是说这里的 f x 减拍，把这个式子里的 x 取成 x 减拍，那就是 f x 减拍再减拍，那就是减二拍加上三 x 减拍。 本来这里有一个加上三 x， 我 们照抄，此时我们 x 减二拍的函数值就可以由它代入了， 就是 x 减二拍，再加上，对于这一项三 x 减拍是不是可以化简成负的三 x， 这里化简成负的三 x 就 可以和后面的这一项抵消了哟。所以说这后面就没有了， 那就得到了二拍到三拍上 f 的 表达式就是 x 减二拍。事实上，咱在算这个区间上表达式的时候，这一步可以不必减二拍，我减拍就行了， 因为我已经知道了拍到二拍上的表达式了呀，我没有必要平移到这个区间上去算是不是？哎，咱们再重新做一遍，或者就是当 x 大 于等于二拍小与三拍的时候， 我们只让 x 减去个拍，那他就大于等于拍小与二拍了。当我们的自变量在拍到二拍上取值的时候，他的表达式我们是有的呦，代入他不就行了吗？ 所以说我们 f x 减拍就等于个 x 减拍，再减拍加上三 x 减拍， 同理，三 x 减拍化简成负的三 x， 那 么我们要求的 f x 就 可以用这个递推式了哟， 就写成 f x 减拍加上三 x， 我 们把这里的 f x 减拍的表达式代入 x 减二拍，减去个三 x， 再加上本身的三 x， 是 不是抵消掉了？ 那我们也得到了在二拍到三拍上 f 的 表达式跟上面是一样的啊。这两个计算量上差不了太多，就是思维逻辑上有这么一个细小的差别。好，至此，我们就找到了 f x 在 拍到三拍上的表达式。那咱们分别积分不就可以了吗？因此，咱要求的拍到三拍上 f 的 表达式就可以写成，拍到二拍上 x 减派，再加上三 x 的 积分，再加 二拍到三拍上 x 减二拍的积分。对于前面这个定积分里的 x 积出来是二分之 x 的 平方，代入上下限 减去拍这个常数，拿到积分符号的外面去一积分，积出来的就是积分区间，这里是二拍减去拍，再加上散 x 的 积分，这个就不用积了吧。能不能脱口而出？可以啊，那我为不能脱口而出的同学画个图。 好，这个是 y 等于散 x 的 图像。我们知道散 x 也好， cos x 也好，它在一个洞上的面积是几啊？ 一个洞上的面积是二，洞，在 x 轴的上方积出来的就是正二，洞在 x 轴的下方积出来的就是负二。 那我们这里的三 x 再拍到二拍上积分，那刚好对应一个洞，而且洞在下方积出来的值就是负二喽。这个东西你要能脱口而出啊。再看后面这一项的电积分，首先 x 积出来是二分之 x 方，带入上下线， 再减去个二拍，是长竖，乘一个积分区间的长度，再乘一个拍。那我们合并一下这一项， 二分之一四拍方减拍方，是不是三拍方，再减去个拍方。再看这一项，再加上二分之一九拍方减四拍方，这是不是五拍的平方，再减去二倍拍方，那这里一合并刚好就是拍方哟。这里是拍方，再减去个长竖，二减去二。 这就是我们本题的答案。方法一的思路还是很清晰的，也比较好想，但是呢，作为一道小题，这么做就有点慢了哟，下面我们看一下思路二，直接积分法二，我们直接在这个等式两边做，拍到三拍上的定积分， 那就可以得到拍到三拍上 f x 的 定积分。等一个拍到三拍上 f x 减拍的定积分， 再加上拍到三拍上三 x 的 定积分，而这一项是一个具体函数在做定积分，而且能一眼看出答案，你要看不出来，你看一下右下角的这个图，拍到三拍上，它的图像刚好是一个周期，那一个周期上所谓的面积是不是刚好为零呀？ 哎，这里能一眼看出来它就是零，那咱接下来算这个积分就可以了。而这个定积分的背记函数里，一看是个复合结构， 我们可以选择将内函数整体换元，也即是令 x 减拍等于个 t， 那 么当 x 取拍的时候，提取的是零，当 x 取三拍的时候，提取的是二拍，那背记函数就是 f t 喽， d x 就是 d t。 转化成这个积分以后，你看区间零到二拍， 而我们已经知道了零到拍上的表达式，所以说，我们立马想着把这个区间拆开，拆成零到拍上，以及拍到二拍上，因为零到拍上我直接代入表达式，那不就是 t 吗？这不就是 t 吗？ 而后面这个呢，确实还不知道，那我还得写成 f t， 那 不知道的 f 怎么办呀？是不是继续使用这样一个递推式？那我们的 f t 是 不是就写成 f t 减拍加上三 t 啦？ 好，我在这里直接就使用地推式了啊， f t 减拍，再加上拍到二拍上，这是三 t d t。 看清楚这一步的处理了啊。拆区间，前面能积出来， 后面不能积出来的，再继续使用这个递推式，两边去积分，前面梯积出来是二分之梯方，带入上下线，那也就是二分之拍方喽。而这一项又是一个具体函数求定积分，而且它的结果还是能脱口而出是不是一个洞的面积， 而且这个洞在 x 轴的下方，它的面积刚好是负二呦。而这一项定积分呢，被积函数又是一个复合结构， 我们再次将 t 减拍，整体换元，比如说我再换回变量 x， 那 咱们第二项积分 x 的 下限就是零， x 的 上限就是拍背记函数就是 f x， d t 呢，就是 d x 减去个二。好，我把减二抄在前面，这一项眼熟不？ 是不是刚刚算过了，在这里算过了，所以说这里算出来也是二分之拍方呦，结果是拍方减二，这就是不需要求 f 的 表达式，你让我算哪里的定积分，我们就算哪里的定积分， 就是以结果为导向来进行的做题，这个方法显然比我们的方法一步骤要简洁的多。是不是方法二我们已经讲完了，但是我想跟大家说句题集话， 就是如果我用方法二做这道题的时候，我不会这么写，思路还是这个思路啊，我只是说我不会这么板输，我给大家演示一下我是怎么板输的。 我仍然是让这个式子两边去定积分，但是由于这里的区间长度是拍，咱要求的是区间长度为二拍。那很显然，我们要拆区间， 那拆区间我就分别在拍到二拍上做一次积分，在二拍到三拍上再做一次定积分。也就是说，我拿起这个地推式，两边先取一个拍到二拍上定积分， 然后呢，再让地推式两边取一次二拍到三拍上的定积分。 取完这两个定积分以后，咱们就知道，最终我们要的答案就是让这两个等式左边和左边相加，右边和右边相加。 因为左边加出来刚好是我们拍到三拍上的定积分，就是我们要的结果。所以说我只需要把对应的右侧算出来就行了。这一项的定积分能脱口而出，结果是负二。 二拍到三拍上的定积分呢？结果也能脱口而出，结果是二吗？那我们接下来搞定这两个就可以了。咱先看上面这一个， 上面这一个一看背记函数复合结构，我想把内函数整体拎成个 t， 那 这里就可以写成个 f t， 注意，我们这里是 x 减拍为 t 啊，那 d x 还是 d t 的 取值范围呢？就是零到派哎，我们一换元就得到它了。 零到拍上的表达式可是有的呦，可是有的呦，这不就是 t 积分吗？二分之 t 的 平方代入上下线，那不就是二分之拍方吗？那我们前面这块就算出来了，那这个算出来了，就意味着我们等式左边的这个定积分也已经算出来了，就是谁呀？ 就是两项对应相加嘛，二分之拍方减去二，我们再看这一项的定积分。背记函数是复合函数呦，我们将内函数 x 减拍换元成 t， 那 么这个定积分的背记函数就直接 f t 了， d x 呢？ d t t 的 取值范围呢？就是拍到二拍眼熟吗？ 这不就是它吗？这个结果咱已经知道了，二分之拍方减二呦！所以说，下面这个等式左边的定积分也算出来了， 就是二分之拍方减二，又加上二，那不就是二分之拍方吗？一式加上二式就可以得到拍到三拍上 f 的 定积分就是拍方减二。这么写，我们能更清楚的看到这道题的本质。 什么本质呢？对于我们题目里给的 f 来说，给的 f 来说，零到拍上 f 的 表达式就是 x 吗？就是 x。 好， 那这个的面积是能算出来的，比如这个面积，我给他记成个 s 一， 第一块的面积我们记成个 s 一， 那我们通过这个递推式，你看一下在拍到二拍上的面积，这个面积如果对应的面积我记成个 s 二， s 二是不就是 s 一 再减去个二。为什么会减二？因为拍到二拍这个区间上，三刚好取值是负的， 它对应的一个洞刚好在下面，那它的积分可不就是负二吗？所以说， s 二是由前面的这个面积再减去一个二得到的。而 s 三呢？是不是由前面的这个面积再加上一个二呀？前面 s 二这个面积再加上二，那也就是说，二拍到三拍上的时候， s 三的值是不是又变回了 s 一， 又跟 s 一 是一样的了？那 s 四呢？ 是不是由 s 三再减去个二？你找到规律了吗？也就是说这里的函数是个周期函数，如果我还没有说的很明白的话，我可以通过图再帮大家演示一下。就是 s 一 上，咱们已经知道了，它是一个直线吗？ 拍到二拍上的面积减个二，比如说我们是比如说是这样画的吧，前面这是个直的啊，前面是个直的，然后拍到二拍上，大概是这么画的，那二拍到三拍上又恢复成直线了，三拍到四拍上呢？哎，又是这样的一条线了， 它是一个二拍为周期的函数，如果你看清楚这一点的话，咱们就可以改题。怎么改题呢？我可以把积分区间改成个二拍到四拍，我也可以把它改成一个三拍到五拍，你看一下这三个定积分积分结果是不是一样的， 一样的是不是？甚至我可以把积分区间呢，不再限定在长度为二拍上，我可以弄成三拍、四拍。在搞清楚的前提下，就算我们的积分区间长度变成了八拍，十拍、一百拍，你是不是都能够轻易的做出来了？ 就算这个积分区间怎么改变，他都不会再增加你的计算量了。接下来我们再用思路三构造辅助函数的思想做一下本题思路三对应的方法叫方法三。根据这个递推式，我们上来就构造一个变现积分函数， 我把变现积分函数记成大 f， 积分下限呢就是这里的 x， 减派积分上限就是这里的 x， 而背记函数就是咱的小 f d t， 根据这个递推式来构造的这样一个变现积分函数。 为什么会想到它呢？那你就得对我们变现积分函数的性质要比较熟练了。比如说这样一个变现积分函数，它有两个好处，第一，我呢立马算出来拍出的值， f 拍是不是就是零到拍上 f t 的 积分呀？零到拍上的表达式我们可是知道的哟！我可以直接把 f t 改成我们具体的表达式就是 t， 那 积出来就是二分之拍方。 另外我们大 f 求倒，你看一下是谁？是不是就是 f x 减去 f x 减派可不就是它们俩相减吗？ 它俩相减不就是三 x 吗？我们构造的这样一个辅助函数，它在拍出的值我知道，它的导函数我知道，那我不就可以立马算出来大 f 的 表达式了吗？我们让这个式子两边积分 积分我不就可以写出来 f x 其实就是负 cos x 加上积分常数吗？并且大 f 在 拍的值我们是知道的哟， 又因为大 f 在 拍的值是二分之拍方，你注意下，这个式子里的 x 也取成拍，那我们不就也得到了拍出的值吗？是负的 cos 拍，负的 cos 拍不就是一吗？再加上 c， 从而我就知道 c 就是 二分之拍方减一， 那我们将得到的 c 带入到这里面，我不就有了 f 的 表达式了吗？所以说我们的大 f 就 有了负 cos 加上二分之拍方减一。题目让我们算的是小 f 在 拍到三拍上的定积分，跟大 f 有 什么关系啊？ 拍到三拍上小 f 的 定积分，它可不就是大 f 在 二拍的值，再加上大 f 在 三拍的值吗？ 看到没，大 f 在 二拍的值是不是就是我们的 x 去二拍，那这里是不是就是拍，这是不是就是二拍？这不就是拍到二拍上的定积分吗？那同理，大 f 三拍是不是就是二拍到三拍上的定积分呀？ 他俩一相加可不就是这个电积分吗？而大 f 的 表达式我们都有了哪一点的值咱算不出来啊？那我们把二拍带进来，再把三拍带进来，算出来这两个点的函数值不就可以了吗？二拍的函数值就是负的 cos 二拍加上二分之拍方减一。 三拍的函数值呢？就是负的 cos 三拍加上二分之拍方减一。 cosine 二拍不就是一吗？ cosine 三拍不就是负一吗？结果就是拍方减二， 法三是不是更优秀？碰见这种形式的题目，咱们构造辅助函数，它是我们最佳的做法，当然它也是我们三个方法里最不好想的方法。那今天你听完老师讲完， 你可是能想到的哟。那答应老师，以后再碰到这类题，你就直接用方法三来做。

从现在开始，那么我觉得到七月中这个就是基础阶段，你先要把知识学懂，什么叫学懂？学懂它是个什么概念呢？这个阶段的这个难点啊，就在于什么呢？对于每一个基本知识，你是不是能够把它复述出来？这个很重要。比如说刚才讲泰勒公式，你知不知道泰勒公式是什么？首先 n 阶带拉格拉余弦的泰勒公式，还有 n 阶带佩亚诺余弦的泰勒公式， 它们分别是什么样的表达式？分别在什么场合用？那么一般证明题，我们用的是在朗朗余象的一般做计算题，或者在局部位置，我们是用带培养余象。然后它的公式有什么作用呢？它的作用比如说第一个可以在解决无穷小的时候展开的精度问题，可以去讨论极限计算的问题，当然我们也可以用它的展开式去逼近，就是说用一个多项式 逼近一个曲线，那么逼近这个曲线的时候呢，我们就可以用多项式的导数运算，或者说多项式的积分运算去代替原来函数的导数运算或者积分。那么这样的话呢，会给我们需要的这个目标值，给出一个或大或小的误差的一个近似， 这个是有利于我们工作的。然后我们要去讲题目出现展开点在哪里，展开到第几节，然后把式子展开之后，我们怎么去？还能变形，消去相同的项，而留下我们需要的项。那么我说的这些话大家是不是能听懂？如果你过关了，你过关就无非就这样就可以了。

今天主播讲一下上期视频里提到的 dos 定律，这个定律在计算数列极限的时候非常好用，但是张宇的书里又没有讲， 所以我们来学一下怎么使用。首先我们最常见到的是这种分式类型的求极限，它的分子是 a n 加一减 a n， 分 母是 b n 加一减 b n。 我 们只需要满足零小于 b n 小 于 b n 加一，并且 b n 趋近于正无穷大。 也可以类似地看作 b n 是 一个单调递增的数列，那么就可以得到这个式子的极限等于 a n 比 b n 的 极限。要运用 stoos 定律，最重要的就是要找到一个 单调递增并且趋于无穷的 b n。 这里我们来看一道例子。张宇高数第二讲习题的第四题答案里用的方法是等价无穷小替换。但如果我们用 stoos 定理的话，就会发现非常简单，分子 n 的 九十九次方就等于 n 倍的 n 的 九十九次方，减去 n 减一倍的 n 的 九十九次方，而分母很明显是一个单调递增的 b n。 因此我们可以得到原式等于 lim n 趋于无穷， n 乘以 n 的 九十九次方比上 n 的 k 次方， 得到的结果是 n 的 一百减 k 次方。如果极限存在的话，说明无论 n 取多大， n 的 一百减 k 次方都是常数，所一 k 等于一百。当然这个定理也可以反过来用。我们再来看另一道例题， 这道题中并没有出现比值的形式，我们先将 lema 的 符号提到 e 的 指数上去， 得到一个这样的式子。它的分母式 n 分 子是从落引 a 一 一直加到落引 a n 上面是 a n， 下面是 b n， 那 么它的极限就等于 a n 加一减 a n 比上 b n 加一减 b n 的 极限等于落引 a n 加一比一等于落引 a。 我们在使用 stools 定礼前，一定要看清楚 b n 是 否符合条件，并不是所有这种比执行的求极限都可以用，而且由于张宇的书中没有讲，所以不建议在大题中使用。

通过一道题掌握一类题，这次我们来学计算侠积分，思考三秒，我们直接开始计算函数在二到四上的积分。你能不能看出来这是一个侠积分呀，使得分母为零的点有两个，正负三，负三不在我们的区间上， 所以说三就是我们的侠点喽。那这道题目他考察的是侠积分，并且侠点在积分区间内部。 根据我们霞积分的定义，那咱们需要用霞点把咱们的积分区间分开，那也就是分段积分，这是我们定义规定的啊，没有为什么游戏规则如此好，这里的三为霞点。 因此我们这道题目需要把区间用三开分写成二到三，三到四。背记函数照抄， 拆开以后，我们看到背机函数里有根号项，根号项里面还有绝对值，那我们需要先去绝对值， x 方减九是正还是负，取决于 x 是 小于三还是大于三。 那这里 x 可是小于三的呦， x 方减九不就是负的了吗？那咱们去完绝对值就是九减 x 方，而后面这个 x 是 大于三的，那我们 x 方减九就是正的，那绝对值可以直接去掉。那接下来我们算这两个加积分， 这两个侠积分好积吗？好积吧，咱们可以用凑微分，将分子上的 x 凑到 d 的 后面去。原函数咱就直接写根号下的这个函数。对于前面的，也就是说我们把 x 凑到 d 的 后面去，就写九减 x 方， 根号下九减 x 方。照抄。只不过我们这里求微分的时候是负二倍的 x d， x 是 不是多出来个负二啊？那前面可要乘以负二分之一哦。 同理，后面也是我们把分子上的 x 凑到 d 的 后面去写， x 方减九，根号线 x 方减九，照抄。那我们这一块的微分是二 x d x 多出来个二，咱前面要乘以二分之一， 那你看这两个是不是在考察同一个积分公式？考察的是根号 u 分 之一的不定积分，它的原函数是二倍，根号 u 积分要加积分常数。所以说我们前面这一项的原函数就是根号下九减 x 平方，带入上下限， 而后面这一项的原函数是根号线 x 方减九，带入上下线。我们注意前面这个积分是瑕疵分，也就是说这里的三是瑕点，后面这个也是瑕疵分，他的三是瑕点。我们带入瑕疵分瑕点的时候，按理来说应该是求极限的， 只不过这个函数它在三这个点是连续的，它的极限值是不就是它的函数值啊？那我们就直接算出来了啊。我们把三带进来是零，我们把二带进来是根号五， 后面带入上线四，那就是根号七，带入下线三，这里是零。那咱们的积分结果就是根号五加上根号七这道题目的难度，它属于狭积分里的基础入门题，那基础阶段咱们就掌握住呦。