苏教版三下数学基础训练第一单元答案

请监考老师拆封并分发试卷，指导学生填写个人信息。

啊啊。

hello， 大家好，我是书亦，我们解题继续。嗯，这道题呢是二零二四年南通海门区的期末真题，我们一起来看一下。 如图，经过纸上的两个点可以画一条直线，那经过三个点呢？ 其中的每两个点最多可以画三条直线，那经过四个点中的每两个点最多可以画六条直线，那根据你发现的规律啊，要求画一画，并填写下表。好，我们一起来观察一下 已知条件。我们已经知道了，两个点画一条直线，三个点呢是画了三条直线，那这个三条直线是怎么来的呢？ 我们在两个点一条直线的基础上，其实是额外增加了一个点，那么增加的这个点和给出的两个点分别都会形成一条直线，也就是一加二得到的 三条，那以此类推，我们可以知道四个点可以画六条直线，那么五个点呢，我们一起来先画一画， 我们先可以在前面的四个点的基础上 好画出六条直线，那么当第五个点增加的时候呢，它分别会与其他的四个点形成一条直线， 一、二、三、 四，也就是在原来的六的基础上面再加四， 也就是十啊，十条直线，那这样的规律啊，我们就发现了，跟我们之前讲的线角关系是一样的规律。那这个三是可以拆成一加二，六呢，可以拆成一加二， 这是三条直线，三个点形成的三条直线，再加上他多出来的这个点与其他三个点形成的三条直线，那么到十呢，就可以给他拆成一加二加三加 四啊，也就是刚刚啊，我画的这个点与其他的点分别形成的四条直线，那以此类推，我们可以知道啊，反过来那一共能画四十五条直线的时候，他有多少个点呢？那么这里呢，我们填的是 十个点， 他的规律呢？也就是从一加一直加到 点的个数减一，也就是加到九，这个是需要我们去记的啊，一到九的求和是四十五，那么一到十呢？是五十五。好，我们发现的规律是什么呢？也就是直线的 条数，它跟什么有关呢？啊？它其实是可以通过可以 通过点的计算 求出来。怎么求呢？ 也就是点的个数需要先减一 减去一，再倒数 相加 至一，或者是从一一直加到它减去一的这个点的个数就可以了。好，这道题呢我们就讲完了。

现在给大家录的是第二的第一单元综合测试卷臂，我们来看第一题填空题，把五厘米长的线段向两端延长四十米，嗯，因为它这个长度是有限的，所以呢，得到的还是线段。 把一端无限延长，得到的是一端无限延长，所以应该得到的是射线 写，竖线写在这，然后这边是两端，两端的话，所以应该是直线。下面第二题，一个锐角，一个直角可以拼成一个，两个角不重合，那直角，然后再来一个锐角，那肯定是，嗯， 比直角大，然后比平角小，所以应该是钝角。 一个平角呢，得到的应该一定得到一个钝角， 因为他剪的是锐角，所以这个如果是剪直角的话，那就是直角，如果剪的比呃直角还要大，那就剪钝角，那就是锐角了，所以他只是剪了一个锐角，所以应该是钝角。 下面图中有几条射线，一二三四四条射线，有几个锐角？一个，两个，三个，这个，这直角，这也是直角，所以只有三个锐角，钝角的话就直接这样一个。下面我们来看 第四题， 王力想画一个十五度的角，可以，呃，可是他没有两角器，不过他有一副三角板， 嗯，想一想，他可以画出怎样画出这个角，用算式表示出画法。三角板，我们最大的角是九十度，然后是六十度，还有三十度的角，还有一种就是，呃，九十度，四十五度，四十五度， 那我们可以用先画一个六十度的角，然后剪掉这个四十五度跟四十五度重合，你看，这样剪下来正好正好是十五度，或者用四十五度先画四十五度，再画一个，再再在上面画一个三十度角，剩下的角就是， 呃，十五度，也就是用四十五减去三十，这样也是十五度。第五题，把一张圆形纸片按照下面的方式对折，写出每次对折后得到的角的度数，这个是平角，一百八十度， 这个是一百八十。这个总他是周角吗？周角是三百六，三百六除以啊，所以是一百八，那这个是一百八，然后再除以啊，所以应该是九十度， 这个是九十度，除以二，所以九十度除以二，所以这边应该是四十五度。好，我们再来看第六题， 呃，写出下面角的度数， 角一是多少度？这个是这边呢？它是直角，然后这个是四十五度，所以就是九十加四十五，应该是一百三十五度。 角二是多少度？角？二，你看，嗯，这边四十五，这边四十五，两个一加四十五加四十五，所以应该是九十度。 分针从十二起走了。两大格形成的角是多少度？你看啊，这个是平角。平角有几个大格呢？一 二三四五六，一百八十度除以六，一个大格是三十度，那现在是两个大格，所以三十度乘以二，也就是六十度。 第七题，如图一，这个角是多少度？我们来看一下。如图一， 图一这个角是多少度？这边是六十，这边是六十， 然后就是我们看外面的刻度线，然后这个是十度，所以这个角是多少度，就用六十减掉十，所以除以这个度数应该是五十度。 我们再来看， 我们再来看这个，如果角一和它正好能拼成一个直角，那么角一是多少度？这个角是五十度，那角一个呢？这个是五十度，五十加几等于直角九十度呢？ 那应该是五十加五十和多少，等于拼成一个九十度，所以应该是四十度， 那这个角依旧四十度。下面如图二，角二和，这个角二和。这个我们来看一下角二， 角二和这个角能拼成一个平角，这个角是多少呢？这是十外，我们看外圈，这个是一百三十五， 那一百三十五减十就是一百二十五度，也就是说这个角是一百二十五度，那这个角二角二加一百二十五和它拼成是一平角。平角吗？是一百八十度，那所以角二等于多少？角二就用一百八十度， 嗯，减去一百二十五，所以应该是五十五度。好，我们再来看 这个，已经有度了，就不用写角二，至少添上多少度，就能变成一个钝角。嗯，五十五加多少变成钝角，那就是比九十度大，那就是九十一度，那么要九十一度减五十五， 应该是三十六度。好，我们再来看第八题，从四十到八十钟，面上时针旋转所形成的角是多少度？时针啊？我们画一个钟， 这是四，这是五，这是七，这是八，从四十走到八十， 从四十走到八十。我们来数一下几个大格，一、二、三，四个大格，四个大格，他一个大格呢？是一百，是三十度。为什么是三十度？因为 你看，从这到这是六个大格，一、二、三、四、五、六，六个大格是一百八十度，那一百八十度除以六，一个大格三十度。现在是四个大格，一个大格三十度，那四个大格三十乘以四，也就是一百二十度。所以这边应该写一百二十， 从三十到走到三十十五分。分针，你三十的话，呃，这个时针指的三，然后分针中我指的十二，现在你是三十十五分，那这个分针应该是从走到三这边，也就是这样的， 这是时针，分针就是分，时针应该是，呃，往三这边出来一点，分针的话就是 分针正好指着三，所以分针应该是走了三个大格。呃，刚刚我们已经探讨过了，一个大格是三十度，三个大格，那就是， 嗯，三十乘三就是九十度。或者你直接看图也可以看出来，原来是指的十二，现在指的三很明显是直角。下面时针和分针在什么时？在几十整的时候所夹的角最小，最小角是一百二十度， 几十整，那几十整的话，那肯定是。呃，分针是指着十二，那十针要一百二十度，那么一百二十我们去除以三十，应该是四个格子，四格子，那就是四十， 或者在这边这边的话就是八、八、九十、十一。我们来看一、二、三四。所以他这题呢，是应该是有两个答案，在 四十或八十整所夹的较小角是一百二十度。 小军在量一个角的时候，他本应该读内圈的刻度，但是他读成了外圈刻度是六十度，那正确的应该度数是多少？这一个，这是一个什么角？那这个我们可以观察一下，量角器 本来应该读内圈，内圈六十度，呃，在这，但是他读成了外圈，刻度 读成的外圈，外圈是外圈是六，等一下 他读成了外圈，可读是六十度，外圈外圈是六十度，在这 外圈是六十度，那对应的内圈应该是一百二十度。其实这个题目我们可以发现，你看内圈跟外圈相交应该都是一百八，所以这个 他读外圈，所以这个角应该是一百八减六十，应该是一百二十度，那这是一个钝角。 下面第十题，如图，共有几条线，直线、几条射线，几条线段，几条直线，那就是这边一条直线，然后射线的话，我们数一数射线，从 a 点开始，一条 b 点，两条，三条， 四条，五条啊，这边是五条。再来数，这边一一条，两条，三条，就是 c 点，往这边四条，五条，又是五条，所以五加五应该是有十条。 几条线段，几条线段。呃， a、 b、 c、 d， 短的一二三四，然后长一点的一二，也就是 b、 d 嘛，然后 c、 e 三， 然后三个格子一二，然后最长的就是 a、 e， 所以 应该是有十条。 如果把 c 点去掉，并从 c 点处断开，那么共有几条直线？ c 点去掉，再把它断开，那就是这样子， ab 在 这，然后这边是 d， 他问我们有几条直线，那就两条吗？这边一条，这边一条，然后几条射线呢？一二三四，这边四条，这边也是一二三四，这边也四条，四加四，所以应该是八条射线。几条线段？ a、 b 一 条，然后 d、 e 一 条，只有两条。 好，我们再来看第十一题，如图，将一张长方形纸折叠，九一等于九二，这个这个我们可以写一下，九九四吧，九一是等于九四的，然后九九二呢？又等于九五， 然后你九一又等于九二，所以这四个角一二九一，九九四，九二九五，这四个角是相等的，然后他说九一的度数呢，是九一的 两倍，那也就是我们这边如果把它分一下的话，我们会发现相当于几个角呢？一二三四五六六个角，那这边呢？他又是一个平角，那我们用一百八十除以六，也就是等于三十度， 也就是相当于一个角是三十度。好，那我们也可以画下图角，一角、二角、三 九四，九五，九一呢？九是这么长，九二呢也这么长，然后九三呢？是九一的两位，那我就换两个格子， 然后九四是跟九一一样长，九五是跟九二一样长，那这么多加起来是一百八十度，是平九嘛？所以用一百八十度去除以一加一，加二加一，再加一，这是六，也能够算出一份呢，是三十度。 好，下面第选择题第一题，小丽的量角器坏了，聪明的他这样去量了这个角，这个角是多少度，那这个我们可以看外内圈，内圈那就用一百 一百四减掉六十，所以这边就是八十度，或者你用这个外圈， 这也是八十度，从四十到两到一百二吗？所以是八十度。选 c。 下面第二题，如图，线段表示零到三百六十度，点， p 表示 点， p 表示 p 点，在这 p 点的话，它这个就是直角，这边就是直角。呃，为什么呢？你看三百六十度，它分成了几分呢？一份两份，三份四份，那一份就是九十度，所以这边是九十度，这是一百八十度， 这个是一百八三个九，实际是二百七十度。那这个 p， 这个角它是在九十到一百八之间，比直角大，比钝角小，所以应该是，呃，比平角小，所以应该是钝角。选 c。 好， 我们再来看右边， 右边，右边第三题，选择题第三题， 呃，如图，点 a， 点 b 在 直线 a o 上，呃，然后 c 呢？是直线 a 位的一点， 那可知道 c a 加 c b 是 大于 ab 的， 其依据是两点之间线段最短，那 ab 肯定是最短的，你这个加起来的话，肯定是要 大于 a b， 所以 就应该选 a 两点之间线段最短， b 两点确定一条直线不对， c 两点之间直线最短。不对，直线比线段长也不对，直线不好比较长度。第四题， c 九幺九大型客机是中国首款按照最新国际试航标准，具有自主知识产权的民用飞机，最大载客量为一百九十座。右面的飞机图案中，用一副三角板可以画出的角，用一副三角板可以画出的角， 那我们来看啊，这个是三角板的度数有，九十度、六十度、三十度、九十度、四十五度、四十五度。那你看九十度加四十五度正好是一百三十五角一，可以换 六十度，一百六十不好换，因为九十加六十是一百五，一百四也不行，所以就应该是选 a 角。一、 下面第五题，在下面的角度中，当山的山的这个斜坡与地面成什么角的时候，登山者爬山的时候轻松，轻松的话呢，你这个脚要小， 要这样坡又很小，没那么陡，轻松呢，就是脚找脚最小，最小就是十五度，所以应该选地。 那要小心，要小心，就是比较抖，就是这个脚要大，脚越大，你看越难，越难爬，所以最大就是 a 嘛，就一百五十五十度最大，所以应该选 a。 五十大于四十五大于二十五大于十大于十五。好，下面第六题，下列日常现象，用两枚钉子可以把一条木条固定在墙上，两点确定一条直线，这个 这个是 两点确定一条直线，两枚钉子可以把一条固定在墙上， 这个是对的啊，因为你看两个钉子的话，它就能够把这个木条相当于确定一条这样的一个直线，虽然木条它是，呃，可以看作线段，但是呢，它还是能够全是两 固定吗？两条两点，他是确定一条直线，他是这样的一个方向，下面把弯曲的公路改直，能够缩短路程， 改直成这样，弯曲的跟这个之间改成直线，这个什么呢？这是两点之间线段最短，所以二是不能选的两点之间线段最短。三、园林工人 栽一行树，先栽首尾的两棵树，对，两点之间确定一条直线，因为首尾我们就相当于确定的两。 嗯，确定的这个直线下面建筑工人砌墙时经常先在两端立桩拉线，然后再沿着线砌墙，这个也是直线， 所以这题应该是选 d。 好，我们再来看下面。下面说法正确的有几个？ 两个锐角的和一定比直角大，这个不一定。为什么呢？有可能锐角是八十度加八十度，那这个就是一百六十，一百六十度，那肯定是比。 呃，这个是比直角大，但是他说一定，你就说那有可能锐角是十度，十度那的话是小于九十度的， 所以他说一定就错的。用放大镜，呃，用放大十倍的放大镜看十度的角，看到的角是一百度，错的还是还是十度？为什么？因为你看啊，如果你这个是一个周角，你用放大镜看，你怎么看都是都还是周角。 最近他说一百一百度是错的，一个周角等于两个平角等于四个直角，周角是三百六十度，平角是一百八，这是我们书上的一个定律。这个是对的啊。 下面射线只能向一端无限延长，所以射线比直线短。射线呢，是无限长，直线也是无限长，所以这个不好比较错的。画一条十五厘米的射线，射线他是无限长的，所以 这个有长度就是错的。第六题，平角的两边在一条直线上，没有顶点，平角也是有顶点的呀，这边中间有顶点的，所以他说没有顶点是错的。那这题正确的只有三是对的，所以应该选 a。 好，我们再来看下面操作题。在直线 a o 上画出长为一厘米五毫米的线段 a b， 那 也就是十五毫米，一厘米带五个毫米，五个小格子。 嗯，你可以假设这个是 a 点，然后你用直尺量一下是十五毫米 b 点，然后再用圆规在直线 a o 上画出线段 b c， 使得 bc 等于 ab， 那 你可以以 b 点为圆心，然后量一下这个，呃，就是一个圆规的尖点放在这，然后铅笔放在量一下这个长度，然后这样以 b 点 为为这个固定点，然后画画了一个弧，就这，这就是 c 点。下面第二题，在直线 a 上取一点和 f 点是 e f， 距离是两厘米，那你可以取一下 e f， 那然后从点一出发，画一条射线与直线 a， a 乘以四十， a 乘四十五度，那这个题目你可以向这边画四十五度，或者你向这边也可以，这边也行，这边也可以，所以这个题目画法很多。 然后从点 f 出发，画一条射线与直线 a 乘九十度，这个画法也很多，假设我是这样画的，向下画垂直，然后使两条射线交于 使两条射线，那这个重画啊，因为它是一点 f 点两厘米，这个我向这边画，然后这边他是 这边无限延长，嗯，这个是四十五度，然后这边是九十度， 然后交于 q 点， q 点就可以在这，然后你可以画在下面啊，画在下面就是大概这样子，然后这样 也可以。好，我们再来看第三题。为了让电线杆更稳固，要从电线杆上的 a 处分别向左侧和右侧 地面安装一、安装拉，呃，安装拉线 ab 和 ac。 电线杆和两条拉线形成的两个角，这个是电线杆，这个角我们量一下是多少度。然后你在画的时候，你这个度数和他这个度数是一样的，这个度数是三十度，所以你在画的时候，你也画一个三十度的这个角， 然后写一下 c， 再根据这个度数画出另一条，这个是三十度，所以这边也画一个三十度的角，然后这个 a、 c 就 画出来了。下面第四题， 呃，从一个角的顶点引出两条，引出一条射线，把它分成两个大小相等的角，这个射线呢，叫做这个角的平分线，如图一。 呃，九一等于九二，那这个那 a、 d 呢？它就是角 b， a、 c 的 这个角平分线。下面第一题，在图二中画出这个角的平分线，那你也是和他一样，你把这个角量一下是多少度，然后就除以二，平均分一下， 然后大概的画出来，这个你量一下多少度啊，然后除以二就行。然后再可以把零刻度线和和这个量角器呃，重合，然后量一下这个，量出一个角的度数就行，然后这个角就跟它一样。 下面第二题，如图三， a、 o、 c 呢？在同一条直线上， o、 d 呢？ o、 e 分别是 aob 跟 boc 的 角平分线，那么角一加角二等于多少度？那你看这个角一跟角三相等，这个角二跟角四相等。因为是角平分线嘛，那我们可以知道，角一加角三加角二加角四等于一百八十度。 嗯，因为角一等于角三，然后角二等于角四嘛，那我们可以把角三直接写成角一 九九四，我们不写九四，我们写九二，因为九九二跟九四一样嘛。哦，等于一百八，那我们可以看。哎，这边是两个角一，这边是两个角二等于一百八。那现在问的是角一个角一加一个角二等于多少度？ 一个角一加一个角二，那我们就直接用一百八十度除以二就好了，所以就是九十度，就是各拿出一半，所以应该是九十度。 好，我们再来看右边，右边第四题，解决问题 点 a、 b、 c、 d 呢？按此顺序排列在一条直线上，各线段长度如下表，计算线段 a、 d 和线段 b、 e 的 长度。嗯， a、 d、 a、 d 的 话就等于这个，我们可以最好画一下图， 不画图的话可能不是很清楚。这个题目还是比较复杂的，按此顺序排列在一条直线上。 af， 假设 af 在 这， af 是 最长的，它是三十七厘米， ac 是 十二厘米，大概是它的三分之一左右。 ac 在 这， 但就是十二厘米嘛，就是比较少一点，这是 c 点，然后 bd， bd 是 十一，但是 d 点我们不知道，我们先空着，然后 c 一、 c 一 跟 ac 一 样，一，这个是十二厘米，然后 dfdf 是 十六厘米， 我们先算一下，十二加十二，总共是三十七，那三十七减就有两个十二， 这个是二十五减十二就十三。 e、 f 是 十三厘米，但是 d、 f 呢？它是十六，所以 d 点要往这边来一点， d 点在这，这是十六厘米。 好，然后我们来看一下，他让我们去求 ad， 要去求这个长度， 那我们可以直接用 ad 等于 af， 去掉一个 d、 f 就 可以， af 等于三十七， 总的是三十七减掉一个 d、 f， 所以呢是二十一厘米下面，然后还要去求 b、 e。 好， 我们继续画，然后他说的 b、 d 等于十一， b、 d 因为他这个是按顺序的，所以 b 点应该是在这边，十一，这个是这边， d、 e 应该是三， d 应该是等于 d， f 减掉 e， f 就是 十六减十三应该是三厘米，这边是三，那这边 c、 d 就是 九。 十二减三等于九吗？那所以 b、 d 的 话，在这边 b 大 概在这边就是两厘米，这边应该是两厘米。二加九等于十一。好， b、 d 是 十一厘米，然后他让我们去求 b、 e， 就是 从这到这， b、 e 是 多少？ b、 e 的 话，这个 b、 d 是 十一，然后这个 d， e 是 三，所以 十一加三应该是十四厘米，那这个怎么算呢？ 我们可以用，嗯，我们可以先算一下 b、 c、 b、 c， b、 c 的 长度等于 a、 c 加上 c、 e， 先把 e、 e 求出来，就从这到这求出来，然后减掉 ac 加 c 就是 a 一 的长度，然后减去 ad 等一下，我看一下，不对啊，应该是用 ac 的 长度，再加上 b、 d， ac 加上 b、 d， 再减去一个 a、 d 就是 a、 c 加上 b、 d， 然后再减去一个 a、 d， 这样重合 bc 就 出来了，等于十二加 b、 d 是 十一，减掉 a、 d， a、 d 刚刚算出来是四，嗯，二十一减掉二十一，然后算一下是两厘米， b、 c 是 两厘米，然后去求 b、 e， 我 们可以用 bc 加上 c e， b， c 是 二 c， e， c， e 这边已经知道了，是十二得二，得十二，二十四厘米。这个题目有一点绕， 所以你在画的时候要很清楚答案，也有其他的方法。 下面如图，沿着直线 a 放了一副三角板，角一和角二的度数是求角一跟角二的度数，这个是三十度，这个是直角，所以角一呢，应该是等于这个平角。 减掉三十度，再减掉这个九十度，应该是等于六十度。角二呢，我们放在这个平角里面看，角二等于一百八十度，减掉角一，再减掉九九十度，所以一百八十度减六十度，再减九十度， 等于三十度。好，我们再来看下面第三题，如图，已知角一是三十度， 角二跟角三的和是多少，那我们可以把它放到这个平角里面看，用这个平角去掉角一，那就是角二加角三的和，角二加角三就是一百八十度，减去呃，角一 也也就等于一百八十度，减去三十度，等于一百五十度。下面九三加九四的和九三加九四，那就，嗯，九三加九四， 九三加九四，那我们就放到这个角里面，放到这个角里面，你九三加九四，就等于一百八减九二，那九二等于多少度？九二等于多少度，你看这个是平角， 一百八十度，减去九一，再减九十度，就是九二，得一百八十度，减三十度， 再减九十度，九二呢是六十度，九二求出来了再用，再去求九三加九四，就是放在这边平角，平角是一百八，减去九二， 所以等于一百八十度。减去九二，所以等于一百八十度。减六十度。 或者刚刚这题你也可以用九十度直接解角一也可以。 下面冰冰的爸爸喜欢打台球，冰冰经常观看，他发现台球撞向左边的时候，就会向另一个方向弹，如图一，请量出下面每个角的度数，这个你量一下就好了。 这个角一应该是四十五度，角二也是四十五度，角三这个应该是三十度，角，四也是三十度，角五是六十度，角六也是六十度。 你能根据图一中，根据一中发现的规律补画出下面台球运动路线吗？就是这个角跟这个角相等， 这两个角都相等的，然后你看清楚这个箭头方向，出发，返回，出发返回，然后出发，返回来。我们来看右边 这边你，你在画的时候，你要量一下这个度数，然后你要确保这个度数跟这边的度数要相同，然后画上箭头。 我这边这个度数应该是量一下，然后你这以这个为零刻度线，然后画一个度数，这个和他应该是一样的，然后这个是出出来，那这边是入进去 啊，这个量一下这个度数，然后要确保这个度数和他一样，这样反过来，反过来，然后你看他又跟这边又出现了一个角，然后这个角要跟这边的角一样啊 入，然后再返回来，所以这边，嗯，要画两条线。第五题，亮亮周末早上开始练习书法的时候，桌面上的时针在九九和十之间，分针刚好指向七，那这个时候是九 九十三十五分，五七三十五。念完书法的时候，分针刚好走了一个平角，分针走一个平角，走一个平角， 你要知道他是走了六个大格，也就是过了三十分钟，过了三十分钟， 那什么时候完成书法？那你就用九十三十五分加上三十五分。呃，加上三十分，因为他是过了三十分。 哦，你看三十五加三十的话，他是六十五分了，每一个大于六十分要近一个小时，所以应该是十十零五分 零五分完成。好，我们再来看下面第六题，如图，经过纸上两个点，可以画一条直线，经过三个点，每两个点可以。嗯，画出三条直线， 四个点呢，最多可以画成六条直线，根据你发现的规律画一画，你看这是一，然后这个再多一个点的时候，就是原来的一，然后一二，所以我们可以选择一加二，所以是三条直线。 然后四个点的话，就是这边是一开始的一，然后这是当初的二， 然后现在又多了一二三，所以就变成六，这是一加二三，这是原来的一，所以五个点的时候，我们可以画一下，这是原来的一，然后这是二。 好，再一二三，再来一二三四，又多了四， 我们算一下是十，然后这个是四十五，我们可以加一下，一加二，加三，加四，加五，加五的话是十五，再加六是二十一，再加七是二十八，再加八， 二十八加八，三十六再加九，三十六加九，正好四十五，所以这个点数应该是十，为什么是十？因为你发现一下，这边点数四，他是三，这个点数是五，这边加数字加到四这个，所以这边应该是这个是加到九，这个点数应该是十。 所以我的发现是什么呢？就是过两点画一条直线，过两点画一条直线， 最多可以画的直线条数为从一开始加 开始一直加到，就是这个点数减一，加到点的个数 减一的和，为什么是和？因为它是加吗？ 就是比如说如果下一次是十二个点，就是这个点数是十二点，那就是加一、加二、加三，按顺序加，加四、加五、加六、加七、加八、加九、加十、加十一，那怎么发现？就是通过总结找规律。下面拓展题， u 如图，角 b、 a、 c 是 由三个相同的，这个三个角相同，其中所有的锐角和是一百五十度，那最小的锐角， 最小的锐角是角一吧，咱们就是角一，三个角一，然后呃，大一点锐角是两个合在一起的，会发现两个角一再加两个角一，然后最大的这个锐角就是三个角一。我们数一下，一共是 啊，十个角一，十个角一呢是一百五十度，那每个角是多少呢？就用一百五十度去除以十，因为 因为它是十个嘛，相同的一百五十除以十呢，就所以一个角是一百五十五度，一个角是十五度，所以 b、 a、 c 呢是三个十五度乘以三就是四十五度。 好，下面第二题右图呢，是一张长方形折出的图形，角一角一，角二，角三是二百一十度， 他问我们角一、角二、角三的度数，那这个题目我们可以先求角一，角一的话等于什么？角一呢？我们可以用角一加角二加角三的度数，三个角去掉这个角二，角三就是去掉这个平角，也就是一百八十度，然后二百一减一百八十度， 所以就是三十度，然后再去求九二。九二的话，那你看九一加九二，它就是一个平角，我们直接用一百八十度减去角一，也就是一百八十度减去三十度，所以九二呢是一百五十度。再来看九三九三，你看 九三的话，我们依旧用一百八十度，这个九二跟九三他是一个平角吗？就是一百八十度减去九二， 嗯，也就是一百八减一百五十度，所以角三是三十度。或者你，你直接用呃，三个角去掉角一、角二的角一、角二它就是平角嘛。用二百一十直接减一百八十度，也能够得到 角三等于三十度，因为角一跟角二的话它是平角。

我。

啊，或者过五个点呢，可以画多少条直线呢？想想。 好，其实你看啊，我们在画的过程中，那这里给你五个点，我们可以通过作图的方式来解决问题啊，好，那这样我们就画五个点，这 a、 b、 c、 d， 还有我们的 e， 是 吧？好，现在我们从点 e 出发，注意，好，你再去，你再画这个线的时候，你的这个直线啊，可以连接哪个点和哪个点，不是乱连的。比如你先连 a、 b 是 吧？再连 d、 c， 好 像很乱，是不是？所以这里就涉及到一个什么有序的思想。 好，也就说你看，比如说我从点 e 出发， 我是不是可以连到点 b， 这样得一条，对不对？好，点， a 出发连到点 c， 那 这个时候 a、 c 又是一条。好， a 到 d， 你 看 a、 d 又是一条，对不对？好，然后 a、 e、 a 还是一条，是吧？ 好，那这样子就得到了几条直线呢？是不是？四条，对吧？好，从 a 出发得到了四条。 好，那现在我们是不是可以从 b 出发来连，是不是啊？也不能说从 b 出发嘛，从 b 这个方向开始连，对不对？我们看一下 b， a 肯定是回去了，是吧？ 好，就是刚我们的 a、 b 是 不是？好，那这个时候只能是吧 b、 c。 注意，我们在在找这个直线的时候哈，你根据有序的，有序的这个思想，你从 a 开头，好，来找这个直线，找完以后你是不是从 b 开头来找，但是你找的这条直线不能和你原来数的以 a 开头的这个直线呢？ 啊，去重合，那这样你就数重了呀，对吧？所以现在哈，我们根据二十六个字母的顺序啊，你标好以后，你只需要往后接着数就行，比如 b 开头，那你就想想 b、 c， 是 吧？那就不要倒回去 b a 了，看到没有哈，想想 b、 c 这一条对不对？好，继续 b， d 是 吧？ 好，还有 b、 e， 你 看这样得到几条啦？是不是三条？好，所以以 b 开头有三条？ 好，那么以 c 开头呢？是不是到 c 啦？好，还倒回去吗？数 c， b， c a 吗？不，倒回去了，我们继续往后数，因为 c b 和 c a 已经以 a b 开头时候数过了，是不是？好，那接下来是 c d 好， c d 完了，是不是到 c e 了，是吧？这样也可以，对不对？ 好，好， c d 和 c e 是 吧？好，那这样是不是得到两条？ 再以 d 开头，是不是不倒回去的话，就只有 b、 e 了，对吧？那以 e 开头是不就没了？好，所以以 e 开头是一条，你看这里总共几条？ 五个点，四加三加二加一，好，等于多少呢？是不是等于十啊？十条是不是？好，如果是好过五个点，我们可以画好十条， 就是五个点中的每两个点来画哈，最多可以画十条直线。好，那么其实你如果去看，画三个点的这种和画五个点的这种画三个点的算是什么？二加一对不对？好，你就从比你的点数少一的那个数倒着加，一直加到减，加到一。也就是如果是 好，经过 n 个点的话， 你就从哪里开始倒着加，从 n 减一开始倒着加， 一直加到一，这样就把你啊，这么这么多个点中，每两个点最多可以画的直线总条数给算出来，看到没有？好，这个是我们的这里哈，来看射线。

我们接着来看三年级下册配套练习练册第一单元的第三课时认识角，刚开始呢，我们是认识了线段，射线、直线， 然后呢，又学会了用圆规和直尺去画等长的线段。那第三部分呢，就是认识这个角，那角是怎么构成的呢？它其实就是由公共顶点的两条射线，哎，画出来图形就围成了一个角。公共顶点的两条射线， 为什么它是射线呢？因为角的这两边呢，它是可以无限去延长的，所以它只有这边这个顶点是公共的一个顶点就能围成这样的一个角。角呢，它是一个不封闭的图形，就这边呢，它没封上口，是敞开口的啊，就是角。 那填空题第一部分呢，就是说哪些是角？我们刚说了，有公共顶点的两条射线围起来，图形叫做角，很明显，你看这不是公共顶点，这是曲线，肯定也不行啊。 然后第二题呢，问你数一数这个图形里面有几个角，注意，这个曲线围成这两个地方，他不叫做角，角是射线，是直直的两条射线围出来的图形叫做角。 好，那接下来这个第三题重点去说一下啊，他是给你画了个中面，里面有时针和分针，让你看一下里面哪个角最大，哪个角最小，所以你要读题的时候看清楚，当然是最大的角，画三角，最小的角画的是圆圈，不要画反了。 那这个地方你说你肉眼我看不出来哪个大哪个小，那怎么办呢？那你就要去注意一下啊，我们在认识钟表，二年级的时候呢，有一个单元就是认识钟表，钟面上从一到十二，那一共呢，是十二个大格， 那转一圈呢？整整是三百六十度，那么每一个大格是多少度呢？那就是三百六十，去除以十二，每个大格是三十度。那你只要数一数你这个角是几个大格，就能把这个角度呢给它算出来， 然后来判断哪个最大，哪个最小就可以了。第四题要注意一下，我们用放大镜去放大一个角，指是什么呀？把它的线段给它放大了，变长了，这个假角的开口大小并不会改变，所以这个角不会因为你拿的放大镜就会变大，拿的缩小镜就会变小，角的大小是不变的。 来看一下第五题，第五题要求是你在下途中添上一根线，哎，只能添一根线，让他按照要求变成一个角，两个角和四个角，那这个怎么去添呢？我们重新来画一画，咱来说一说啊。 第一个要变成一个角，他已经画好一条线了，那要变成一个角非常简单，你再画一个跟他其中有一个顶点 重合的一条射线，那么这就是一个角，那要变成两个角怎么画呢？有人想到说两个角，我就这样画一条线，这样可不是两个角，这是两个，对面还有两个，这是四个。所以你把这条线呢给他移一移，移在这个地方， 就说这个线刚好经过了已知这条线的一个端点，这个地方，这样就一个角两个角了。所以这条线呢是画下的端点处给他连长过来，这有一个角，这有两个角， 那变成四个角，就刚刚那个方法画个八叉，哎，交叉出来，这是一个角，两个角，三个角，四个角，这是第五题重点呢，我们来看拓展提升，拓展提升里面画了两个图形，让你数一数这两个图形分别有多少个角。第一个图形 他是在角里面再去数角有多少个，就很像什么呀？我们在第一课时里面的拓展提升里面那个数线段，哎，方法是一样的，在角里面去数角，在线段里面去数线段，方法是一样的。先数出单个的角有几个呢？ 单个的角标一下，这是一，这是二三，单个的角呢？有三个，那接下来两个两个拼一起的。你看一和二相邻可以拼在一起，二和三相邻可以拼在一起。两个两个拼一起的有一二，还有二三，那就有两个角。 那接下来三个角拼一起的，就一二三都拼在一起的话，这有一个大角，那就一个再加一就可以了。所以呢，这个图形里面一共出现了六个角，跟数线段的方法是一样的啊。 来看第二个，第二个也画了个四边形，然后呢把其中的一条对角线给它连起来了。问，你这里面有几个角， 方法一样的，我们还先来数单个的角，单个角，这是一个、两个、三个、四个、五个、六个，哎，单个的有六个，那么有没有两个两个拼在一起的呢？哎，有呀， 这个地方就是两个人拼在一起一个，这又是一个两个，所以呢，再给他加二，还有三个三个拼一起的吗？哎，没有了，四个四个呢，也没有了，就这么多。所以呢， 二加上六，结果呢，一共就八个。这个图里面一共有八个角，这就是我们第三课时就是练册第三页所有题目了。

今天我们来看一下这道题，已知角一等于四十度，角五是直角，分别求出角二、角三、角四度数。从题目可知，角一是四十度的角，角五是直角，那么角五就是一个九十度的角。 我们还可以看到角二加角一加角五是一个平角，也就是一个一百八十度的角，所以角二等于一百八十，减去角一，再减去角五。 角二等于一百八十，减去角一的四十，再减去角五的九十，等于五十度。 我们求出了角二的度数，就可以求出角三的度数。角二加角三，这个角也是一个平角，也是一个一百八十度的角，所以角三等于 一百八十，减去角二的五十等于一百三十度。 角三等于一百三十度，那么那么我们就可以求出角四的度数。角三和角四的这个角也是一个平角，也是一个一百八十度的角，所以角四等于 一百八十，减去角三的一百三十度等于五十度。这道题目我们就讲完了，做这种题目，要知道直角是九十度的角，平角是一百八十度的角。

好，我们一起看第二题，这题同学们错的比较多。周日下午，李萌萌开始写作业时，周面上时针在二十与三十之间，分针指向三，结束时，分针旋转了一百二十度。李萌萌是在什么时间完成作业的？ 好，这里有一个钟面，我们可以借助钟面来思考。首先告诉我们，李萌萌开始写作业时，钟面上的时针在二十和三十之间，那时针指向二十和三十之间，说明此时应该几十多呀。 对，此时应该是二十多，那么时针在二和三之间，分针又指向了三， 那现在具体是二十多少分呢？对了，此时应该是二十十五分，那也就是说李萌萌开始的时间是二十十五分， 那风筝旋转了一百二十度，这个这句话很多同学理解不了它表达了什么含义。 那么风筝在桌面上旋转了一百二十度和角有关，那我们就要联系桌面上的大格角，你还记得桌面上的一个大格角对应的是多少度吗？ 对了，桌面上的一个大格角对应的是三十度。那风筝要想旋转一百二十度，需要转几个大格呢？ 一个大格是三十度，两个大格是六十度、九十度、一百二十度，所以分针旋转一百二十度，就相当于告诉我们分针继续旋转了四个大格， 那此时分针指向三，再旋转四个大格到了几呢？哎，就到了七，那这个时候应该是什么时候呀？ 那就是很多同学说这时应该是二十三十五分，那同学们请留意一点，它是下午时间，所以我们在回答时一定要把时间词带上， 这样才准确，我们可以把它描述为完成的时间为下午二十三十五分，或者咱们也可以用二十四时计时法来表示，那么就表示为十四时三十五分。这两个答案都是可以的。 好，我们一起来看第三题。在直线 c 上画一条线段 a b， 使线段 a、 b 的 长度等于线段 a 与线段 b 长度的差。首先我们先在 直线 c 上取一个点作为线段的一个端点，先用圆规比划出现段 a 的 长度。 接下来我们要以原刚刚我们找到的这个端点为线段的一个端点，以以线段 a 的 长度为长度，在这条直线上画一道弧，这样这一条线段的长度就等于线段 a 的 长度了。 那么要从这个 a 里面减去 b 的 叉，就是要从这个线段里面把 b 的 这段长度去掉。所以接下来我们再比划出 b 的 长度， 再以这个端点为端点，在这个直线上找出现段 b 的 长度。这样一画，这一段从这个端点到这个端点，这是 a 的 长度， 这个端点到这个端点是 b 的 长度。 那么你们想从 a 里面把 b 去掉，剩下的部分就是它们线段 a 与线段 b 长度的差了。 那么接下来因为这个线段的端点分别是 ab， 所以 我们在左边的端点写上 a， 右边的端点写上 b， 我 们就找到了这条线段。 当然有的同学从这个方向去画可不可以呢？也可以，其实它的道理是一样的。好，接下来我们来看第四题。用直尺和圆规画一个角，使它的度数和角一相等。这题还有很多孩子不会画，画角一般都是先画一条射线， 点一个点，先画一条射线。好，接下来我们用圆规取一长度，任意长度，但这个长度不要太长，不要超过角的边，也不要太短，这样不好操作。 嗯，取这样一个长度，先在角一给出的这个角上画一道弧，接下来移动圆规，在我们刚刚画的这个射线的端点上，以它为端点， 在这个射线上也画像刚刚这样画一道较大的弧，可以画长一些。那么这个弧画出来之后，可以确定现在我这条边的长度和我刚刚 圆规在这上面比画出的长度是一样的。那接下来我怎么能找到这个角呢？十、 要想使角的度数相等，其实就是要让他们的开口大小一样，所以接下来这一步咱们就是比开口。 开口怎么比呢？开口是从这个点比，用圆规比到这个点，现在和圆规两角之间的距离就是这个角在这个点处的开口。 为了让这两个角一样大，所以我还在这个点找到与刚刚这个角开口一样大的一个点。我们这样用圆规一画弧线， 哎，这个时候我们这个弧线和我们刚刚画的弧线就形成了一个焦点，那这个焦点到我们这个点之间的开口，和我们这个角这两点之间的开口是一样大的。接下来我们只要将这个点和我们刚刚的射线的这个端点 连接，这样我们就画出了一个与角一相等大小的角了，你听明白了吗？

hello， 大家好，今天我来给大家讲解一个小技巧，像这样用一副三角板分别画出七十五度、一百二十度的角以及十五度的角，我们有什么样的好办法可以快速又准确的画出来呢？ 首先我们先来看画七十五度和一百二十度的角，要用三角板上的角，画七十五度的角，我们可以将三角板上的两个角相拼，那就是三十度和四十五度的角相拼， 那孩子们在操作时很难把这个角画的很准确，因为他的顶点不够尖，那我们该怎么办呢？首先我们将三角板这个这个三十度的角和四十五度角拼好，拼好之后先描边， 对，只描边，不要画到顶点。还有个重要的地方就是要用铅笔挤进刚刚的缝隙里描出一个点来，这个点对我们后面很重要。好，接下来移开尺子，将我们刚刚描出来的这两条边 延长，延长之后啊，我们可以把多出来的部分擦掉，这样我们就画出了一个准确的角来。 那么怎么体现它是由三角板上的两个角拼成的呢？那我们刚刚找到的这个点就很重要，我们将这个点和我们的角的顶点相连 啊，我们在画的时候，为了准确，我们最好要比划一下，这样就把这两个角画出来了，接下来我们只要变上度数就可以了，这个角是三角板上三十度的角，这个角是四十五度的角，他们两个合在一起就是七十五度的角， 你会画了吗？那十五度的角该怎么画呢？十五度的角那么不能由两个两个三角板上的角相拼而得成，我们要从三角板上的某一个角当中去掉一个角， 我们可以从六十度的角当中去掉一个四十五度的角，那我们来看十五度这样的角该怎么画？十五度这样的角我们可以先画出那个大角，用同样的办法先描边，描边之后 再延长好，这样我们就画出了这个较大的六十度的角。 接下来的接下来主要的就是要从这个六十度的角当中扣掉一个四十五度的角。那我们会发现尺子靠近过来的时候啊，很难和它的顶点重合，因为我们的尺子为了安全起见，它不会那么尖，我们的办法就是 把尺子稍微的离开脚尖一点点，然后呢我们这个尺子边一定要把这个角的这个边要覆盖住，哎，一定要把它覆盖住，这样呢先点一个点， 然后再用这个点去和这个角的顶点相连， 这样我们其实就已经画出了这个四十五度的角。那么为了表示出我们十五度怎么来的，我们得先标出这个角的度数，是三角摆上四十五度的角， 这个角呢是三角板上六十度的角，他们两个一剪，我们就得到了我们想要的十五度的角。这个小技巧可以给孩子看一看，对于孩子来说可以增加他的操作的简单度。好，谢谢大家。

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今天讲解速教版三下补充题型练习一，大家好，我是丽丽。第一题，按要求画图，再回答问题。 要求一，画出直线 i c， 那 么我们拿出直尺连接 i c 两点，但是一定要注意两边都要出头，因为直线的特点是无限长，没有断点。 第二个要求画射线 c b， 射线一定要注意它的名称是射线 c b， 那 么也就意味着从 c 点开始往 b 点无限延长，那么这个地方不能出头， c 点不能出头，但是 b 点一定要出头。 第三个画线段 a b， 线段 a b， 连接 a b 两点，但是一定要注意两边都不能出头，因为线段它的特点是有两个端点，有现场。 好，这是按照要求画出的三条线。现在我们来回答问题，他问画好的图形中有哪几种角，我们来找一找。首先我们可以找到锐角， 所以可以找到第一种锐角，然后可以找到直角，可以找到钝角， 也可以找到平角， 但是找不到周角。有的同学说，从这个地方围绕一圈不就是一个周角吗？但是同学们我们一定要了解周角的定义，周角是一条边围绕着这个顶点 旋转一周，和另一条边完全重合，也就是说虽然他看上去我们画的时候是这样画的，周角 围绕着这个顶点旋转一周回来，对吧？这样形成的是这个轴角，它的符号是这样，看上去好像就是一条射线。但是问题是这条边它是两条边重合在一起形成的轴角， 那么在这里的三条线里面，没有哪一条线是两条边重合在一起的，所以我们找不到轴角，只有锐角、直角、钝角和平角这四种角，你明白了吗？

陪娃吃透这单元角的难题，全拿捏基础必备角的核心定义，一、角由一个顶点加两条直边组成，缺一个都不是角。二、书写用符号别和小于号搞混。核心难点，角的大小秘诀， 脚趾和两边张开的幅度有关，张口越大，脚越大，脚和边的长短放大就放大无关。这是高频判断题陷阱脚的分类，三类基础脚要记牢！ 一、直角是九十度三角尺中最大的角，所有直角都相等，记住旋转摆放也是直角。二、 锐角比直角小，小于九十度。三、钝角比直角大，比平角小，钝角大于九十，小于一百八十度。这里有个做题判断技巧，用三角尺的直角比对一边，重合看另一条边的位置。 高频易错点避雷误区，一，直线或者射线比线断长。注意，直线射线无限延伸时是无法测量比较的。误区，二，数角时漏数或者重复，一定要按基本角顺序数，先数单个再数组合。 误区，三，角的边可以是曲线，注意边必须是直边，曲线勾不成角，你学会了吗？ nice！

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