七下数学书人教版61页答案加过程

乘法公式的应用，先来复习乘法公式，完全平方和 完全平方差， 别忘了还有一个平方差公式。 好，这三个公式的应用，手平方尾平方 积的两倍放中央，不管你是加上二 a、 b 减二 a、 b， 都可以将积加是因为你是和的形式，减是因为这里是差的形式。 完全平方完了之后是平方差公式。现在做题去括号，手平方尾平方 积的两倍放后方。四 a b 受平方尾平方 积的两倍放后方。 那么这结果是什么呢？合并同类项消去 答案没有这个选项，但是你看到它原来提取一个二就出现了，选 d。 第二题， 大长方大的正方形变长为 a 加一，小正方形变长 a 减一，所以这个面积就等于这个面积 a 加一，正方形大的减去 a 减一小正方形面积。展开。根据我们的 完全平方和完全平方差公式，你会发现他两之间首项末项都一样，就中间不一样。好，这个原理是一样的， 减去，这是一整项，加个括号， 手向一样，末向一样，中间不一样。好，手向消去，末向消去，因为这是一个减号，那中间剩了一个二 a 减去负二 a 四 a 选 c。 看第三题， 边长增加二，设原来的边长为 a， 后来就是二加 a， 后来的面积 a 加二平方减去原来的面积 a 平方等于增加的面积二十八去括号 合并图内向消去 二十八减四二十四，方程两边同除以四，等于六选 b。 完全平方式，我们来构造完全平方模式。 这题昨天做过类似题。好，我现在知道了 a 的 角色， b 的 角色，所以我可以写成， 对吧？中间这个你不知道他是郑师傅是谁，你就政府都写上。好，我们来理解一下，中间项应该是这两项鸡的两倍放中央。好， 所以应该符号抄下来两倍， 政府二二得四三四十二， 于是我们就有了这个与这个相等。 好，现在我们分情况讨论。等于十二时，去括号 翻成两边同减二，这边为十，那么 k 就 等于负的十，接下来它还可以等于负的十二，可以算出来 k 等于十四，所以答案为 d。 分情况讨论这一题有点难。第五题， a、 b 的 值，我们先去括号， 首平方尾平方积的两倍放中央，积的两倍二 a、 y 观察观察这个式子， 这边是 a， 不好意思。好，首平方尾平方积两倍放中央，所以我们就可以按照这样的模式对应过来。 二、 a 应该等于负八， a 平方等于 b， 所以我们就可以求出 a 等于负四， a 平方就应该等于十六， a 的 平方就是等于这个 b 负四，十六， 咱选 d。 第六题， 我们来构造完全平方或平方差这个九九八，很明显， 一千减二的平方去括号 三个零变成六个零，因为平方减去二 a， b 二乘二，再乘它四，三个零，加上尾平方二得四， 这个减它一二三一二三，所以拿出四位去减， 前面还剩两位，加上四等于。 第二题， 我们来构造完全平方和，为什么呢？因为等一下二 a、 b 可以 让它 互为倒数用派生用长十的平方一百加二， a， b 其实就是二，再加一百分之一 等于一百零二加一百分之一一百分之一。我们知道是零点零一，所以幺零二点零一， 或者你直接一百零二又一百分之一，这答案也行。 我们来构造完全平方或平方差，一起看一看。 嗯，我看到了，这边可以将二 a 减三 b 组合在一起，这边没有二 a 减三 b 提取一个符号也有，所以我们可以这样理解， c 加 二， a 减三， b 乘，这边 c 减二， a 减三 b 提取一个符号，这两项都要变好，负二 a 变成正二 a 正三 b 变负三 b， 是 因为前面提取了一个符号， 构造完，这是一个平方差， c 平方减 好，这是平方差。 a 加 b， a 减 b， a 平方减 b 平方去括号，这是整项放在一个括号里。 好，接下来中间是二 a、 b 的 角色，二要乘二 a 再乘三 b， 二得四三四十二就 b 平方去过号，记得编号， 记得编号，合并同类项。咦，没有，那这就是最后答案 来观察。哦，原来这是一个平方差，先平方再差 去括号，完全平方差 再去括号， 这是一个正二往里乘，每一项都要乘，并且不用编号，因为它是正的。 合并同类项有三 a 平方 负四加二减二 b 平方，它自己抄下来，这就是答案。第八题， 长宽周长面积观察这个式子，我一定会去制造完全平方和的形式，所以一提， 有长有宽，面积可求， 有长有宽，有周长。好，周长可求 长乘宽的两倍等于周长，所以我可以把 a 加 b 等于六算出来。所以 a 平方加 b 平方加 a， b 可以 转化为 完全平方和的形式。但是还欠了个什么东西呢？本来这里应该是一个首平方，尾平方 积的两倍放后方，它只有一倍，而我们这个等一会儿拆开之后，一定会有二 ab 存在，所以我们多了一个 ab 给它减掉，这样等号才能成立。 这个时候前面的信息就派上用场了， a 加 b 等于六， a b 等于八， 没有单位，这样就行了，你会了吗？

膝下人教香蕉线与平行线，您都学透了吗？这一张的知识非常非常的相似，好多孩子膝下的第一单元就懵掉了，可以看到我们每个知识点都会做细致的梳理，下面有对应的练习题，还有过关检测。 从基础到进阶这点梳理，这里面的题目的选举都比较的基础，我们往后翻，后面高频考点会更加的进阶一点。这一张我们梳理了七大高频，包括角的关系，猪蹄模型，可以看到七年级的题目步骤开始多了很多， 铅笔模型，还有锯齿模型，尖尖角形。我们往后翻第六个高频，是三角板的问题，我们梳理的非常的详细，都是这种手写的形式，孩子看着也不会有距离感，还有矩形折叠的问题，非常非常的细致。最后是这一张的单元卷， 让孩子检验一下学习的成果。一套两本书，第一单元就梳理了六十页，这个是手写解析的形式，一个是空白的练习题，两本书一对应，点击左下角，快给孩子练起来吧！

数学没有捷径，就是多做题，多总结，多规划。二零二六年七年级数学下册二元一次方程组，二十五天计划，共五十九页，有电子版和打印邮寄版两种。 每天练习一到两页，二十五天完成。每道题都有详细的解析过程，有答案。希望同学们每天坚持，勤能补拙，天道酬勤，好好努力，争取在下个学期取得一个理想的成绩。

咱这个相交线平行线这一块，假如说，嗯，你常遇见带拐角的这种，咱常做的辅助线就是在拐点这里做一个平行线， 做完平行线之后，这三条平行线互相平行， 然后问你，阿尔法、贝塔、卡马之间的关系，我做了个平线，这角如果是阿尔法，那这个角也是个阿尔法，这是个内错角。然后，呃，我找一个等量关系， 在这有一个同旁内角，你的阿尔法加上这个角等于一百八十度。这个角等于啥呢？那就是贝塔减去阿尔法，贝塔减去阿尔法， 再加上一个伽马，等于一百八十度。然后 abcd 啊你，嗯，这个进行变形或者怎么搞也好，给它找一样的东西就行。 第十二题， 它说， a、 f 平行于 c d， a、 f 平行于 c d， c、 b 平分 a、 c d， c、 b 平分 a、 c、 d。 这个角是个角一的话，这个角也会是个角一， 它俩平行，这块有个内侧角啊，这个角相当于是个角一。 b、 d 平分 e b f， b、 d 平分 e b、 f。 这个角如果是个角二的话，这个角也会是一个角二， 垂直 bc 垂直于 b、 d 呢？这是个九十度。这里九十度，旁边这两个小角相加，也是个九十度，也就是说角一，角二是个九十度，这就是九十度，这是个角二，这一块就是个角一。 这儿像那个一，这是角一，这是角一。内侧角相等，两条线平行下来建立啊， bc 平分 a、 b、 e， bc， b、 c 平分 a、 b、 e。 角一角一。对啊，第一个是对的。第二个 a、 c 平行于 b e， a、 c 平行于 b e 啊，这是角一，这是角一。看来当然平行了，第二个也是正确的。 第三个 c、 b、 e 加角 d 等于九十度。 c、 b、 e 啊，加角 d 等于九十度。也说角一加角 d 等于九十，角一角 d 等于九十。对啊，第三个也对，第四个 d， e、 b 等于三个 a， b、 c、 d， e、 b 等于三个 a， b、 c 三个角 e、 d、 b。 这个角 是个三吧，这是个四，三加四是个一百八十度啊，角三角四是个一百八十度。 在这个三角形当中，三个和也是一百八十度，角一加上角一，再加上角四也是个一百八十度，加四是一百八，加四是一百八。角三就等于两个角一啊， 它这是三倍的。嗯，第四个是错误的。 我看下第十八题，一副三角板的意思是说，我能知道这个三角形九十、三、十、六十， 这个直角三角形九十四、十五、四十五这样的胶带角。嗯，角一等于角三， 一加二是个九十，三加二也是个九十，加上二都是九十，那一和三就相等啊。第一个是正确的。第二个 c、 a、 d 加九二等于一百八， c、 a、 d 加减二等于一百八，那 c、 a、 d 加谁能等于一百八呢？你把 a、 d 往这延长，你的 c、 a、 d， 假如这是个五吧。 c、 a、 d 加上角五肯定是个一百八，也就是说他在说角五。如果加角二等于一百八的话，你就只要证明角二和角五相等就行啊。 这是直角，旁边这里也是个直角，说一加五是个九十，这是直角，一加二也是个九十，一加五是九十，一加二也是个九十，那五就等于二， 角五等于角二。嗯，可以啊。第二个正确，它角二是个三十、三十，所以 a、 c 平行于第一， a、 c 平行于第一， 角二是个三十，这个角就是个六十，这个角是个六十， 这形成了一个内错角啊。内错角相当于两条线平行，嗯，这个也是正确的啊。第四个角二是个四十五度，嗯，角二 是个四十五度。 b c b c a d， 这里是个四十五度，这也四十五度，嗯，这是九十，这四十五度。角三也是个四十五度。角 b 是 个四十五， 这是四十五。内测的相当于两只线平行。这四个也是正确的。 二十五。 p， 第一个不正了啊。呃，比较简单。第二个，比如说如图二啊。在做这个题之前，嗯，你还有这么一个知识点，假如说这个三角形三个角分别是一、二、三延长，这有个角四、 角四和角一、角二有关系，嗯，什么关系呢？角一、角二、角三是个一百八，角四角三也是个一百八， 你加上角三都是一百八，那一加二和四就是一样的。角一加角二就等于角四长成这个样子啊，那么角四就等于角一加上角二。 看这个题啊，平行 l 一 平行于 l 二 d 一 在 l 一 上 d b c 等于 b a m d b c 这个红色的角等于 b a m b a m。 红色的角，红色和红色的角相等， b e 平分 a b c b e 平分 a b c， 那 就是蓝色的角和蓝色的角相等。好让你证明 d 一 b 等于 d b e d e b d e b。 绿色的 d b e d b e 绿色证明绿色的相等啊。红等于红，蓝等于蓝，那你证明绿和绿相等。 这是一个三角形延长，这是红色，红色就等于 这个角和这个角呢？和有谁啊？你这个红色的角就等于蓝色的角加绿色的角，然后再看 你的红色的角，红色的角就等于蓝色加这个角， 红色的角就等于你的蓝色加 x 吧。那你这是蓝，这是蓝，这是红，这是红，这是绿。这个位置应该是绿啊，这个位置肯定是个绿，那这俩角肯定就是相等的， 就出来了啊。第三个，在二的条件下，在二的条件下， 嗯，这样的什么条件？也就是说绿色等于绿色，红色等于红色。 c、 b、 e 的 平分线， c、 b、 e， 这个平分线 和 l、 e 平行，那么一、二、三这三条线互相平行。问， b， a， m 和 b， c， n， b， a， m， b。 啊，这，这红色的角和 b， c， n， b， c， n 和这个角并列关系。 假设说这是一个角平面线，完了，这个角是个 x， 那 么下面这个角也是个 x， 这块内侧这个角其实也是个 x。 这边内。错，这是个 x， 这角也是个 x 啊。其实，那么蓝色的角其实就是个二 x， 嗯，这个蓝色的角也是个二 x， 这是个二 x， 这是 x， 那 整个的这个角，这就是三 x。 这个内。错，这个红色的其实就是个三 x， 红的是三 x， 这个角是 x， 这个角是这个角的三倍啊，它俩是三倍之间的关系。

朋友，你一定要付费啊啊。

大家好，我是武汉数学李老师，今天给大家分享七下核心考点第十页专题七，平行线中的辅助线三线八角的构造方法所谓三线八角的构造方法，也就是指的是 一组平行线必须有第三条直线 来截取，才会出现我们的这八个角，其中有互为同位角、内错角、同旁内角的关系的角度，从而来找角度的关系。那具体的构造方法我们来看一下例题 第一题，如图， a、 b 平行 c d， a、 b 平行 c、 d。 角一等于角二， 角一等于角二，那这个已知条件里面，很明显它出现的就是 a、 b 和 c、 d， 这是一组平行线，和我们上面写的平行线必须被 第三条直线截取，那么这个 a、 b 和 c、 d 就 没有被第三条直线截取。这个时候我们要把这两条平行线关联起来的话，就必须有第三条直线来截取它。我们可以观察到 c d 边上有一个 n m 这条直线 n m 这条直线它是不是截取了 c、 d， 那 我们看一下能否把它进行延长， 是不是就截取了 c、 d 的 时候也截取了 ab。 好， 我们来尝试一下这个方法，延长 n m， 假设交 ab 于 q 点的话，那么这个 n m 就 截取了 ab 和 cd， 那 么角二在这个一组平行线里面，我们在这标一个角三，我们就会发现角二和角三 是乘字母 z 的， 所以它是一组内错角，那么根据这个 ab ab 平行 cd， 我 们就能得到角三等于角二。而题目中又有角一等于角二， 那我们就可以得到角一也等于角三。最后这个题目要求的是角 f 等于角 m， 我 们把这两个角标出来，角 f， 角 m 是 不是正好成一个 z 字形呢？ 也就是一组内错角，所以说要正角 f 等于角 m， 也就是要正 e f 和 m n 这条线平行。那根据我们刚才分析，我们发现角一等于角三，其实就可以得到 e f 和 m n 平行的， 那么这个里面的我们延长 n m， 出现第三条直线来截取这一组平行线，说明我们的辅助线就构造成功了。 我们可以写一下过程，写这种题的过程第一步你要描述辅助线是怎么做出来的，叫做延长 n m 交 ab 于 q 点， 因为 ab 平行 cd 已知条件，所以角三等于角二，这是两直线平行，内错角相等， 因为角一等于角二，大家看这个里面的角二又成为我们上一节讲的媒界角，所以可以得到角一等于角三。理由等量代换，角一和角三是互为内错角的同位角的，所以可以得到 e f 平行 b m 这两条直线平行，是不就可以得到角 f 等于角 f m n。 在 这里强调一个小细节，因为我把这条线延长了之后， 那么这个角 m 就 不能再用角 m 表示了，因为这个点不仅仅对着 f m， n 这个角，它还有上面的这一个角，所以我们要用三个字母来表示，角 m， 角 f， m， n， 一个点， 一个顶点，只有对着一个角的时候，我才能用一个字母来表示。如果加了一条线，那就没有说角 m 这个表示方法 好。那么这道题我们讲完了，同学们可以思考一下这道题除了可以延长 m n， 我 们观察到 e f 也截取了 ab， 那 我能不能延长 e f 呢？这个题应该是可以的，感兴趣的同学课后可以探求一下。好，我们再来看一下第二题， 如图，角 b f m b f m 在 这等于角一加角二，角一加角二等于这个大角。现在 求证 ab 和 cd 平行，要证 ab 和 cd 平行，那很明显， 要证平行，就要有同位角、内错角或者同旁内角的关系。根据我们刚才画的这三个角 好像都不满足条件，那我们就观察一下，像这种题目里面的啊，要正 a b 和 c d 平行，这有一个 m 点比较突兀，他不在这个平行线上的点，我们把这种点把它称为拐点。 那这个题怎么做？我们要通过这个条件， b f m 等于角一加角二 转化成相应的角度关系，来证明 ab 和 cd 的 关系。那么在平行线中的这一类辅助线与拐点作平行， 这个角 m 是 一个拐点，因为角一加角，角一加角二， 我们找角一、角二的关系。我们过 f 点在这里做一条 c d 的 平行线，假如做 c h 啊，做 m h m h 平行 c d， 我 们就发现我们可以把这个角二 转到角三这来内错角相等，那么角一加角二就变成了一个角角 hmg， 我 们再来观察一下那角 hmg 和角 b f m， 这是不是正好是乘一组内错角了？那 ab 我 们就可以得到 ab 其实是和 h m 平行的，而我们辅助线做的是 h m 和 c d 平行， 那这两条直线 a b 和 c d 是 不是分别和 h m 平行？那么就可以得到 a b 也是平行 c d 的， 这是我们的平行公理。两条直线同时平行第三条直线，那么这两条直线也互相平行， 具体的过程我们来看一下。首先第一步还是辅助线的描述，过 m 点做 m h 平行 cd， 因为 m、 h 平行 cd， 所以 角二等于角三，这是两直线平行，内错角相等，因为角 b、 f、 m 等于角一加角二，所以角 b、 f、 m 等于角一加上角三， 角一加角三，在这里又是等于 h、 m、 g 的， 因为角 h m、 g 等于角一加角三，所以我们就写上角 b、 f、 m 等于角 h、 m、 g 就 有了内错角相等，所以 ab 平行 h m， 又因为 hm 平行 cd， 所以 ab 平行 cd。 理由， 两条直线同时于第三条直线平行，就 ab 和 hm 平行 cd 也和 hm 平行，所以 ab 平行 cd， 两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线也互相平行。 好，这是第二题，要记住，过拐点做平行线。 那大家这道题也可以思考一下，我这做的是 c、 d 的 平行线，那我能不能过拐点 m 做 ab 的 平行线呢？ 在这里李老师也给大家一个肯定。答案是可以的，感兴趣的同学可以思考一下，为什么做 h m 平行 ab 也可以呢？ 好，再看一下第三题，如图， ab 平行 cd， a、 b 平行 c、 d。 现在要求角一、角二、角三、角四的关系，那很明显，这个题目 它里面的 a、 b 和 c、 d 这组平行线也没有被第三条直线截取，而这个里面是不是也出现了 e 点、 f 点这两个拐点？我们依然遵循过拐点作平行线， 看一下能不能导出这些角来。角四，我在这做拐点的话，我们看一下过一点做平行线，我到底是往左左做还是往右做？其实这个应该是都可以的啊， 如果我这个角是我要构造内错角相等，我是不是可以往过一点，往左边做平一些？因为你如果往左边做的话呢，它形成的就是内错角，如果我往右边做的话， 那这个角四和，我在这取一个字母 a、 e、 h， 它就和 a、 e、 h 形成了同旁内角。所以说往左坐、往右坐都可以，大家看往哪边坐更加的直观，好推导就往哪边坐好，那我在这标上一个 字母 h， 那 么角四在这里就转到这来了， 我在这也写个四，然后再看一下，过 f 点也要做拐点， f 点的话，你看一下我和 做平行线，也做 ab 的 平行线，那么他和 e、 h 也是平行的，我这个时候选择往右边做的话，是不依然是有内错角相等，我在这取上字母 q， 那 么这个角三加角四是不是等于角二加上。 我在这标一个角五，大家看一下，如果平行的话，就有角三加角四等于角二加角五， 我过 f 点做了平行 f q， 平行 h， e， 平行 ab， 是 不是也就平行 cd 啊？那这个五和一这两个角是不是 一看就是同旁类？角就是角一加角五等于一百八十度？这道题要找的是一二三四、一二三四这四个角的关系，那么角五在里面很明显它就应该是一个中间量， 是一个多余的，我们就要把它消掉。我们观察一下这两个式子，第一个式子角五在右边，第二个式子的角五呢，是在左边，所以我把两个式子如果同时相加的话， 因为左边和右边的利用等式的性质是不可以同时减掉，就得到角一加角三加角四加角五等于角二加角五加一百八十度，两边都有角五 抵消，所以就得到了角一加角三加角四减去角二等于一百八十度。 那么这个题我们可以看一下，应该就是选 a， 那 具体的过程我在这里再描述一下，当然它是一道填空题啊。首先第一个就是过 e 点做 e、 h 平行 ab， 同时呢过 f 点也做 f、 q 平行 ab。 这个题目我们可以先写，证明的话，因为 ab 平行 cd， 又所以这四条线都是平行的， ab 平行 e、 h 平行 f q 平行 c、 d， 我 们可以直接写完，跟上面的这个理由是一样的，平行于同一条直线的两直线互相平行，所以可以得到这四条线都是平行的，那么所以角四在这里是不是就等于角 a e、 h， 角 h、 e、 f 就 等于角 e、 f、 q， 同时还能得到角一加上角 c、 f、 q 是 等于一百八十度的。我现在用角一、二三四五来表示这一角， 那 h、 e、 f 这一组是不是就是角四加角三等于角二加角五，而这个呢，就是角一加角五等于一百八十度。 那这两者这两个等式就是我们刚才分析出来的这两个等式。我们观察角五是个多余的，一个在等式的左侧，一个在等式的右侧， 所以我们要消掉的话，消掉角五，那就用加法，左右两侧可以同时减掉角五，最后得到了角一加角三加角四，减去角二等于一百八十度。这是第三题，依然是 过拐点做平行线的第三条平行线的辅助线。方法。最后看一下第四题， 第四题，如图， a、 d 平行， bc 九十度标在图上， e、 f 平行， bc 两条直线都和 bc 平行，那么明显的这两个九十度是互为同位角的。当然你标在左侧的话，标在右侧的话，两个角也是互为同旁，内角都可以正出。 a、 d 和 e、 f 是 平行的，接下来它告诉的条件， b、 a、 d 这个角等于 e、 f、 g 这个角，这两个角相等。现在要证 a、 b 和 f、 g 平行 这个题呢，有多种证明方法，他这个地方告诉直接延长斜线段或直接连接已知角的顶点得三线八角。意思就是还是要我们去做 辅助线，就构造第三条线连接这一组平行线，因为这些角我们可以观察 ab 和 g、 f 虽然被 b、 c、 a、 c 截取了，但是里面的角和这一组线没有直接的关系。 我要让 e、 f、 g 这个角变成 a、 b 和 f、 g 平行中的三线八角的其中的一个角，是不是这个 e、 f 就 承担着第三条直线截取这一组平行线， 就让 e、 f 承担着截取这一组平行线的作用？那我是不是就要延长， 也要延长 b、 a？ 这样的话，那已知条件里面的这个角就成了我们的两条直线被第三条直线截取形成的角之一，那在这我们试一下能否做出来。首先就是延长 f， 一 再延长 b、 a 这个辅助线，大家记住要画虚线， 假设交于 q 点的话，那么我们就看到 e、 f、 g。 我 们要正 a、 b 和 f、 g 平行，是不就需要知道正 e、 f、 g 这个角是等于角 q 的， 而角 q 和我们这个角 b、 a、 d， 因为我们前面正的 a、 d 和 e、 f 是 平行的， 前面正的这两条线平行，所以这个角是不是就应该等于这个角？这是我们的字母 f。 同位角相等， 平行，所以角 b、 a、 d 是 等于角 q， 所以 角 q 就 也等于 e、 f、 g 了，这就是我们说的还是构造第三条直线来截取要正的这一组平行线。 那么这个辅助线我们怎么描述？第一步还是先描述辅助线，这是同时延长的两条线，延长 b、 a、 f、 e 交于 q 点，一直延长到两条线相交， 再证明。根据 a、 d 平行 bc、 ef 垂直 bc， 我 们就得到角 a、 d、 b 等于九十度， 角 e、 f、 b 也等于九十度，所以就有同位角相等， a、 d、 b 等于角 e、 f、 b， 所以 a、 d 平行 e、 f。 那 这一组线平行的话，我们就可以得到同位角 b， a、 d 等于角 q， 同位角相等， 因为角 b、 a、 d 等于角 e、 f、 g， 角 q 和 e、 f、 g 互为内错角，所以就可以得到我们要证的结论。 ab 平行 g、 f。 这道题其实也有其他的方法啊，在这里我可以把这个辅助线擦掉。如果用三角形的内角和来证明的话，其实更简单， 我讲这种方法主要是为了讲这个题目给出来的这种构图方法， 大家看题目中给了这两个角相等的，而 ab 和 f、 g 也是被 bc 截取的，因为这是九十度，我们可以利用三角形的内角和是不是就可以把角 b 表示出来是九十度减去 r 法？ 同样的 g、 f、 c 在 这里是不是也是九十度减 r 法？那么这样非常明显就有 a、 b、 d 等于 g、 f、 c 两个都是九十度减 r 法。同位角相等，直接证 ab 和 g f 平行 也是可以的。但是七年级的时候有许多题目它不允许大家用三角形的内角和，那我们就只能用 这种方法来做。如果题目没有说不能用三角形的内角和，我们用这个内角和来证明可能会更加简单一些。

今天给七年级学生演示一下开学后速通七年级下册，从三月十五日开始，边玩边预习，黑马直接冲进班级前三。一、语文，把下册要背诵的考点按照知识清单的顺序逐一背诵，再看骆驼祥子速记口诀，背会考试必演抄。二、数学七年级全册知识点整理好了，吃透，怎么考都不难。 看看常考的平方根、立方根、速记表，搭配二元一次方程，题型规范，做到举一反三。三、英语吃透每个单元重点考察的单词加短语加句型，背会考试怎么考都不怕！以上资料均有电子版，取件码二幺幺。

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好，这个视频来讲一道七下数学第一次月考的一个高频考题，是几何模型的一个综合运用，那这些内容的话是属于课本上没有，但是考试要考的一个内容占分百分之三十左右， 那如果说没有学过相关的几何模型跟结论以及运用，可以持续关注我这个账号，那后续我会持续更新月考、期中考、期末考的一些高频的培优考题， 那还有更多更系统的。第一次月考的一个培优考题，我都整理到了这一份月考的一个培优压轴资料里面，可以拿去练习巩固。好，我们来看一下这道题，这道题的话通常来说就是会有一组平行线，然后会有拐点， 那出现拐点的话就会有相应的几何模型了，所以的话呢，核心解析思路其实就是两步，第一步的话就是几何模型以及结论过关的，因为这个几何模型跟结论过关，我们才能运用这个结论去解析。 那如果说几何模型跟结论没有学过的话，那就要去摸索这个啊，推导过程跟结论就会非常的效率，非常低，所以这个几何模型跟结论是需要先过关的，如果说没有学过的话，建议是通过我的系统课程来系统学习。 好，那第二步的话就是去运用了，也就是用整体思想去运用，那我们结合到这道题来看哈，就是有 a、 d 平行于 c、 d， 然后这个角 b， a、 f 是 等于三分之一的角 e， a、 f 来看一下，这个角是这个角的三分之一，然后这个角 f c、 d 是 这个角 e、 c f 的 三分之一， ok， 这个角 a e c 是 一百二十八度， a e c 是 这个角，求这个角 afc 的 度数。那我们先来看一下这个图哈，这个图的话呢，很明显哈，如果说学过几何拐点模型的话呢，就会知道这里其实是有两个拐点模型的，第一个是铅笔形， 那第二个呢，就是猪蹄形，对吧？所以的话，其实就是运用这两个拐点模型的一个结论去解题就可以了。那我们看到哈，题目的话呢，要去求的是这个角 a f c f c 的 话，很明显是我们的猪蹄形里面的一个关键角吗？那么回顾一下这个猪蹄形的一个结论是什么？猪蹄形结论是这个中间这个角 a f c， 它是等于上下这两个小角的和，对吧？也就是等于这个角 b a f 加上这个下面这个小角角 f c d。 ok， 然后题目中的话，又给出了这两个关键角的一个相关信息。好，那接下来再看再看的话呢，就是这里还有个铅笔形， 那我们看到铅笔形里面的三个关键角是这个角，这个角跟这个角，对吧？好，那其实的话，我们把这几个角联系在一起就可以了。题目中很明显是给出了这两个小小的关系，那也就是 这个小角是这个小角的三分之一的话，那这个小角也就是整个大角的四分之一了。所以的话可以得出，其实这个角 b a、 f 是 等于四分之一的角啊， b a e， 同理，下面这个小角也就是等于整一个大角的四分之一，也就是这个 f c d 是 等于四分之一的角，这个 d c e， 好，那四分之一提取出来，那也就是角 b a、 e 加上角 d、 c， e 的 和吗？ ok， 那 我们看到在这个铅笔型里面有什么结论呢？铅笔型结论也就是这三个角加在一起是三百六十度，对吧？那所以说上下这两个角加在一起，其实就是三百六十度减去中间这个角吗？ ok， 也就是四分之一啊，三百六十度减去这个角 a， e c， a e， c 的 话题目是已经给出来了一百八十度，所以带进去就可以了，那算出来的话是等于五十八度， 那就可以了。好，那这个是这个几何模型的综合运用的两步核心思路。第一步其实就是啊，我们的常考的四大拐点，几何模型要过关，第二个就是运用整体思想去求就可以。 好，同学们做好笔记。那如果说这些平行线单元的几何模型啊，几何结论，辅助线，然后压轴题等等，如果没有学过，可以借助我们的系统视频来学习，有需要可以找我了解和试听。

好，这个视频来讲一道西项数学第一次月考的一个高频的培优压轴题型，是几何拐点模型的一个综合运用， 通常来说会结合到两道几何拐点模型一起考察，那百分之九十五的同学都不会做，那这个视频花三分钟来讲清楚要运用到的几何模型以及相关结论，以及怎么样运用这些结论去解析， 那还有更多的第一次月考的资料里面可以拿去练习巩固 好，那么来看一下这个题目哈，题目的话，通常来说会给出一组平行，并且会有拐点，像这里，这里就是拐点，所以的话呢，通常来说就会有这个拐点模型。好，然后的话，这里还叠入了另外一个条件，就是两条角平分线。 好，接下去看哈，就是现在给出来的话呢，是这个角 a、 e、 c 是 一百度，然后这两边是有角平分线，相交一点 h， 然后这个是 g 点，求这个呃角 h 的 度数。我们先看这个图，这个图的话很明显哈，很明显我们看到是有两个拐点几何模型的，第一个呢，就是铅笔型，对吧？这里是有个铅笔型的，然后第二个呢，就是骨折型， 但如果说这些几何模型大家没有学过的话，那要一眼看出来肯定是不可能的，所以的话，如果说这些拐点模型还没有学过的话，可以借助我的一个系统的拓展视频来学。 ok， 那 只要这样子，就是看到图就知道是哪个几何模型才能运用结论去解析。如果说看图看不出来有几何模型的话，那就相当于是要去退导，要去摸索，就会很费时间。 好，那这里的话就是很明显是有两个几何模型啊。那么回顾一下，就是像铅笔型的话的一个结论是怎么样的？铅笔型的结论就是这三个角加在一起是三百六十度，对吧？ 好，然后那个骨折型的话呢？这个骨折型他的结论是什么？结论的话呢？也就是这边这个 这两个角加在一起是等于这个角， ok， 这个是啊，骨折型的一个结论。好，接下去我们看到怎么去运用，去解析哈，这边的话用到的是整体思想，然后我们看到现在是要求这个角 h 的 度数，角 h 的 话是这个角， 这个角很明显是骨折型里面的一个关键角，对吧？那根据我们骨折型的一个呃结论的话，这个角 h 其实就是等于下面这个大角，也就是这个角啊 d c， h 减去上面这个小角，这个 b、 a、 h 嘛，对吧？那这边为了方便，就是啊，方便写的话，我们用可以用这个 x 跟 y 去代替哈，特别是这种遇到这个角的啊，辈分关系这种。比方说我们可以设上面的两个小角是 x， 因为是角平分线嘛，所以度数是相等的，然后下面这两个角是 y， ok， 这样子，那这个呃角 d c h d c h 也就是 y 嘛， 然后减去 b a h， 也就是 x 嘛，所以话要去求这个角 h 的 度数，其实就是啊，把这个 y 减 x 给求出来就可以了。 ok， 那 题目中的话给出的度数是角 a e、 c 是 等于一百度， 那我们看到哈，这边很明显这个一百度跟这个两倍的二 y， 其实就是这个铅笔形里面的两个关键角了，对吧？然后这个关键角的话又可以用 x 表示出来，因此就可以找出这个 y 减 x 的 一个整体了。 那我们看到哈，有这边这个铅笔型我们可以得到，也就是这个这个角，这个角的话也就是一百八十度减去二 x， 然后再加上中间的一百度， 然后再加上下面的二 y， 是 等于三百六十度的，这个是铅笔型的一个结论，好的话减一下，也就是二 y 减去二 x， 这边给他移到等号的右边，也就是八十 度，那两边化减一下，也就是 y 减 x 等于四十度嘛，那由此的话这个角 h 就 求出来了，也就是这个整体是等于四十度，那就可以得到了。 ok， 所以 是我们这道题的一个核心思路。当然在大体的时候，其实这个呃结论的话，是要去写相关的推导过程的，也就是这个骨折型要去过拐点做平行，然后证明这个结论。同样的这个铅笔型也是要过拐点做平行，然后证明这个结论，然后再去运用结论就可以了。 好，同学们做好笔记。那如果说孩子在这种啊几何的压轴题不会做，那可以通过我的一个拓展视频系统学习相关的几何模型推导过程跟结论， 以及常考的一个压轴题型怎么去运用，那学懂之后再去做题，效率会高很多，那有需要可以找我了解和试听。