苏教版六年级下册数学基础训练67

六、年级下册六、单元正比例和反比例立一的试一试购买一种铅笔的数量和总价如下表，我们表格当中所给出的是总价和数量。问题一天写上表，说说总价是随着哪个量的变化而变化的。 观察表格，我们可以发现，我们购买一支铅笔的时候，总价是零点四元，购买两支铅笔的时候总价是零点八元，购买三支铅笔的时候，总价是一点二元，以此类推。我们可以发现 购买数，我们购买铅笔的数量越多，总价就越多，购买数量越少，总价就越少，所以我们总价是随着数量的变化而变化的。 问题二，写出几种相对应的总价和数量的比，并比较比值的大小来看总价和数量的比，所以零点四比一等于零点四，零点八比二等于零点四，一点二比三等于零点四， 一点六比四也等于零点四，以此类推，它们的比值都是零点四，所以它们的比值的大小是相等的。 问题三，这个比值表示的实际意义是什么？你能用式子表示它与总价数量之间的关系吗？ 因为我们知道总价除以数量是不等于单价，而我们问题二当中的比值我们求出来它的比值是相等的，所以总价除以数量等于单价，单价是一定的。 所以我笔直表示的实际意义是购买铅笔的单价，也就是铅笔的单价，总价除以数量等于单价，单价是一定的，或者我们也可以写成数量分之总价等于单价，单价是一定的。 问题四，铅笔的总价和数量成正比例吗？为什么？在这里老师就强调了我们判断这两种相关联的量是否成正比例，我们说白了，它其实就用的是除法， 他们的比值或者是商一定的时候，我们就可以说他乘的是正比例关系。所以我们来看，总价除以数量等于单价，我们单价求出来的比值是一定的，所以他乘的是正比例关系。 所以铅笔的总价和数量成正比例关系，因为总价除以数量等于单价，单价是一定的 问题，生活中还有哪些成正比例的量，你能举例说明吗？我们来看，老师举出了两种，第一种，长方形的长一定长方形的面积和宽成正比例。我们来看， 面积除以宽是不就等于长方形的长呢？而长方形的长是一定的，我们用的是除法，它的比值或商是一定的，所以我们乘的是正比例关系。 速度一定，路程和时间呢？我们来看，因为路程除以时间等于速度，速度是一定的，速度是不就指的是比值或商呀，用的是除法，所以我的路程和时间成正比例关系 来看列一列。第一题，张师傅生产零件的情况如下表，我们表格当中给的是生产零件的时间和生产零件的数量。问题一写出几组相对应的生产零件数量和时间的比比，比较笔直的大小， 我们来看，通过表格我们可以知道生产零件的数量和时间的比值。我们用的是除法，所以用二十五除以一等于二十五，五十除以二等于二十五， 一百除以四等于二十五，一百五十除以六也等于二十五，二百除以八还等于二十五，以此类推，我们的比值的大小是相等的。刚才老师生产零件数量和时间用的是什么法？求出比值的用的是除法，是不是求出的比值？ 第二问，生产零件的数量和时间成正比例吗？为什么？因为我们知道生产零件的数量除以时间是不，它们的比值是相等的呢？ 所以我们生产零件的数量和时间成的是正比例关系，而我们的这个比值其实就是我们的工作效率。生产零件的数量是我们的工作总量，工作总量除以工作时间等于工作效率，而我的工作效率是一定的。 第二题，做同一种服装，做的套数和用布的米数如下表，表格当中给的是用布的数量和服装的数量，做的套数和用布的米数成正比例吗？为什么？ 第二题，做同一种服装，做的套数和用布的米数如下表，我们表格当中所给出的是用布的数量和服装的数量。问，做的套数和用布的米数成正比例吗？为什么 我们来看我们用布的数量去除以服装的数量，二点二除以一等于二点二，四点四除以二等于二点二，六点六除以三等于二点二，以此类推，他们的比值是不都是二点二呢？而且我们用布的数量 是随着我们服装的数量而变化的，他们两是两种相关联的量。做的套数越多，我们用布的米数是不是会越多呀？ 做的套数在变化，用布的米数也随着变化，而且用布的米数和我做的套数的 笔直是一定的，用的是除法，他们的笔直一定，所以我们就可以说做的套数和用部的米数成正比例。

今天这节课我们来学习用多种策略解决同一个问题。三、单元列二，全班四十二人去公园划船猪十只船正好坐满，每只大船坐五人，每只小船坐三人。 猪的大船小船各有多少人？我们可以通过画图法去解决实际问题。首先我们先画十只大船， 假设这十只全是大船，那每只大船坐五人，那十只大船就是五十人，但是我们全班才有四十二人， 那比我们全班同学多了八人。所以我们再从一只大船上面去划掉两人，把大船变成小船，那照这样换的话，是不可以换四次呀？所以我得到了 六只大船和四只小船，所以六只大船和四只小船正好坐满四十二人。 我们还可以通过列距法去解决问题。从大船有九只，小船有一只开始有序列距，那大船的只数每次减少一只，小船的只数每次增加一只， 保证大船和小船的支数的和必须是十只。那这样的话，我们大船是九只，小船是一只， 那我们每只大船坐五人，每只小船坐三人，所以九乘五加三等于四十八人，和我们的四十二进行比较的话，多了六人不可以。 那大大船是八只，小船是两只，八乘五加二乘三等于四十六人， 和我们的四十二比较多了四人也不可以。大船是七只，小船是三只，七乘五加三乘三等于四十四人，和我们四十二比较多了两人还是不可以。 那大船是六只，小船是四只的情况下的话，六乘五加四乘三等于四十二，和我们四十二只四十二人比较的话，正好相等，所以我们通过列据得出猪的大船有六只，小船有四只。 最后我们来采用上学期所学习到的假设法去解决实际问题。假设大船和小船同样多，即 捉五只大船和五只小船，那乘坐的总人数就是五乘五加五乘三等于四十人， 比我们四十二人少了两人。那我们想一只小船比一只大船 少坐了五减三，是不等于两人呀？那我现在我们把一只小船给他换成大船， 把一只小船换成大船，这个时候大船有六只，小船有四只，六乘五加四乘三等于四十二，正好相等。 所以我们还是一样的同理，租了大船是六只，小船是四只。 假设我们坐的都是大船，假设都是大船的话，我们就能坐五乘十等于五十人， 比我们实际的四十二人多了五十减四十二等于八人，是不是就多出了这八人呢？我们把这八人叫做总差， 把一只大小船看成一只大船，那就多了 五减三等于二人，我们把它叫做是每差。我们用最多的这八人想，里面有几个二，就租了几只小船，所以总差除以每差 八除以二等于四只，所以我小船租了四只，再用我租的船的总只数减去租的小的小船的只数十减四等于六只，就可以算出大船有六只。 那如果我们假设住的都是小船，假设全都住的是小船的话，就只能坐三乘十等于三十人， 那比我们的这四十二人就少了四十二减三十等于十二人，我们把这十二人也叫做总差。 紧接着那我把一只大船给他看成了小船了，那这时候就少了五减三等于二人，我们把它叫做是每差 总差除以每差也就是十二人中有几个，两人就租了几只大船， 所以我用十二除以二等于六只，大船有六只租了六只。将我租船的总只数减去租的大船只数，十减六等于四只，就是可以算出小船租了四只。 所以我们最后结果都是大船是租了六只，小船租了四只。 这节课我们学习了用多种策略解决同一个问题，你有什么体会呢？总结，再画图，列举些假设再调整，都是解决问题的有效策略。分析和解决同一个问题，可以用不同的策略， 要学会根据具体问题灵活选择策略。二、在假设用假设法解析时，可以先进行适当的分析，从接近实际结果的数据开始假设， 再根据数量上的不一致进行调整，直到结果与题目条件一致，从而解决问题。

今天这节课我们来一起学习图形的放大和缩小四单元比例。第一，王小光拖动电脑鼠标把一张长方形照片放大，我们来看原来长方形照片的长是八厘米，宽是五厘米， 放大后长方形照片的长是十六厘米，宽是十厘米。问放大前后照片的长有什么关系宽呢？我们来一起探讨长方形放大前后的关系。首先我们用长方形放大 后的长和宽分别去除以放大前照片的长和宽，那我们放大后长方形的长是十六厘米，我们原来长方形的长是八厘米，所以我们用十六除以八 等于二。我们紧接着再用放大后长方形的宽十厘米去除以放大前长方形的宽，那就是十除以五等于二。 那通过观察我们可以发现，我们放大后照片的长是原来的两倍， 宽也是原来的两倍，所以我们放大后照片的长是原来的两倍，宽也是原来的两倍。 那我们在上学期所学习了比，那我们长方形放大后照片与原来长方形的长的比是几比几啊？那是不就是十六 比八呢？那我们化解成最减整数比是不就是二比一？ 那我们放用我们放大后长方形的宽和我们放大前长方形的宽去进行比较的话，是不是十比五也等于二比一呢？ 所以我们放大后照片与原来照片长的比是二比一，宽也是二比一。 这样的话，我们把长方形的每条边放大到原来的两倍，放大后的长方形与原来长方形对应边上的比就是二比一， 就是把原来的长方形按二比一的比放大。这里面老师要提醒大家，不管是放大或者是缩小，都是把图形的每条边放大或缩小，它们的大小发生了变化，而图形的形状不变。 第二问，如果要把原来的照片按一比二的比缩小，长和宽应是原来的几分之几，各是多少厘米？ 在这里老师要强调的是，要把原来的照片按一比二的比缩小，就是把图形的每条边缩小到原来的两倍或者是二分之一。 所以我们按一比二的比缩小我们长，缩小后长方形的长和宽都是原来的二分之一或者是两倍都可以。那在这里老师写成分数的形式的， 那缩小后我们长方形的长应该是多少厘米呢？我们原来长方形的长是八，那缩小后长方形的长就是八乘二分之一等于四厘米。 我们原来长方形的宽是五厘米，缩小原来的二分之一，那就是五乘二分之一等于二点五厘米。所以缩小后的长方形的长是四厘米，宽是二点五厘米。 如果我们按照比的形式的话，把缩小后长方形的长和原来长方形的长进行比较的话，它是不就是四比八等于一比二呢？化解成最减整数比， 我们用缩小后长方形的宽和原来长方形的宽进行比较的话，就是二点五比五也等于一比二，化解成最简整数比也是一比二。 这样的话，我们把长方形的每条边如果缩小到原来的两倍，或者缩小到原来的二分之一，缩小后的长方形与原来长方形对应边长的比就变成了一比二， 就是把原来的长方形按照一比二的比缩小。在这里同学们可以观察到 我们的前向和后向发生了什么变化呢？我们在进行放大的时候，我们是二 比一，前向发生了变化。我们如果说小的时候是后向，是不发生变化了，变成了一比二了呢？ 所以老师在这里总结，如果把图形按照 n 比一的比放大，就是把图形的每条边都放大到原来的 n 倍。 如果把图形按照一比 n 的 比缩小，就是把图形的每条边都缩小到原来的 n 分 之一， n 大 于一。 第一个总结，把一个图形放大或缩小后，得到的图形和圆图形相比的话，形状相同，大小不同。

这节课呢，我们来一起学习反比例的意义。六年级下册六单元例三，用六十元购买笔记本购买笔记本的单价和数量如下表，表格当中所给出来的是单价和数量 问题，表中的两个量是怎样变化的？这种变化有什么规律？我们观察表格可以发现，我们笔记本的单价 越低，购买的数量是不是越多呀？笔记本的单价如果越高的话，我购买的数量越少，所以我们单价和数量是两种相关联的量。购买笔记本的数量 是随着我们单价的变化而变化的。在这里我们一起来算一下我们笔记本对应的单价和数量的基，也就是单价乘数量等于总价， 一乘六十等于六十，二乘三十等于六十，三乘二十等于六十，四乘十五等于六十，五乘十二，六乘十是不都等于六十呀？以此类推，他们的总价都是六十，也就是他们的基是六十， 总价是一定的，所以我们这里可以用式子来表示它们之间的关系。单价乘数量等于总价是一定的，也就是它们的基是一定的。 那这样的话，我们就可以说单价和数量是两种相关联的量，单价变化数量也随着变化。当单价和数量的 基总是一定，也就是总价一定时，笔记本的单价和购买的数量成反比例关系。笔记本的单价和购买的数量是成反比例关系。什么意思呢？就是基也就用的是乘法进行计算， 他们的基必须是一定的情况下，我就可以说他是反比例关系。我们来看总结，这是我们立一所讲到的正比例关系，在这里老师给他们区别开了啊，我们来看一下他们有什么区别呢？ 一两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化，所以这是他们的相同之处。 如果这两种量中相对应的两个数的比的比值，也就是商一定的时候，这两种量是不是就成的是正比例的关系呢？也就老师说了，用的是除法，他们的比值或商一定。那我反比例看见了没？在这里，区别就在这 两种相关量的积一定，这两种量就成的是反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。 所以区别正比例是比值或商一定的时候，用的是除法，就是正比例关系。我们的反比例就是积一定的时候，用的是乘法，就成的是反比例关系。 第二个，如果用字母 x 和 y 表示两组相关联的量，看到没？跟我们的正比例关系是不一样的。前面 用 k 表示他们的比值一定的时候，正比例关系是 x 分 之外等于 k， k 一定。老师这里是用的是是除法， y 除以 x 等于 k， k 是 一定的。区别在这。 我们正比例关系是比值一定。我们的反比例关系是 g 一定，用的是乘法，那它乘的就是反比例关系。我们可以表示为 x 乘 y 等于 k， k 是 一定的。

这节课呢，我们来一起学习比例尺的应用。四单元例七，如下图，明华小学到少年宫的图上距离是五厘米，实际距离是多少米？我们来看 它的比例尺是一比八千。根据我们的已知条件，我们可以知道，我们明华小学到少年宫的图上距离是已知的五厘米， 比利尺是一比八千，求实际距离是多少米，我们可以有很多种方法进行计算。方法一，我们来看比利尺，一比八千指的是图上距离一厘米表示实际距离八千厘米， 那我们现在图上距离五厘米呢？一厘米表示八千厘米，那五厘米是表示的是五个八千呢，也就是五乘八千等于四万厘米。 紧接着我们知道一米等于一百厘米，小单位变大单位要除以净率，所以四万去除以一百等于四百米，所以我的实际距离是四百米。 方法二，我们还是去看比例尺，我们的比例尺是一比八千。我们在方法一的时候可以理解为图上距离一厘米表示实际距离八千厘米， 那我的实际距离是八千厘米，我们还可以把八千厘米转换成实际距离的米，所以八千厘米就可以等于八十米，因为一米等于一百厘米，反过来，小单位变大单位要除以净率 八千除以一百等于八十米，那我们就知道了。哦，原来图上距离一厘米表示实际距离八十米， 那我几厘米呢？图上距离对我有五厘米，五厘米是五个八十，所以五乘八十等于四百米，所以我们的实际距离是四百米。 方法三，我们还可以根据图上距离比实际距离等于比利尺列比例的方法进行解答。 因为我们少年宫、明华小学到少年宫的实际距离是未知的，所以我们解设明华小学到少年宫的实际距离是 x 厘米， 图上距离是五厘米，实际距离我设为 x。 在这里我们进行解设的时候啊，要把我们的实际距离设为 x 厘米，跟我们图上距离的单位要统一，这里强调 这是一个重点。统一单位之后，我们来进行求比例尺，图上距离是五厘米，实际距离是 x 厘米等于比例尺，一比八千， 所以列比例为五比 x 等于一比八千。紧接着解比例，内向乘内向，外向乘外向。这个时候我是不是就写成了一 x 等于五乘八千了呢？ 因为一 x， 我 们的一 x 解写要写成 x， 最后是 x 等于五乘八千， x 算下来是四万，我们解方程也好还是解比例也好，我们后面是不能带单位名称的， 那这是四万厘米，还得把四万厘米转换成四百米。 或者是啊，我们来看数学书，这个他列成了我们的分数形式，实际距离分之图上距离等于比例尺，所以实际距离分之图上距离等于比例尺。紧接着交叉法进行相乘， x 等于五乘八万，最后 x 等于四万。还是同理，我们这个四万单位是厘米，还得把厘米转化为米。答，明华小学到少年宫的实际距离是四百米。 方法四，同学们，我们来看，根据图上距离比实际距离等于比利尺。我们知道我们可以把比号是不可以看成除号呀，也就是说图上距离除以实际距离等于比利尺。我们想 除法，那就是被除数，除以除数等于商除数。不知道的情况下，我用的是被除数，除以商是不等于除数呢？ 所以我们利用转化把图上距离除以实际距离等于比利时等于实际距离。 我们来根据这个公式往前带。图上距离是五，比例尺是一比八千，那就是八千分之一， 五除以八千分之一等于五乘八千。最后算下来是四万厘米。这里老师要强调啊，是个重点，我们单位为什么是厘米啊？因为图上一厘米表示实际距离八千厘米， 所以我们的单位求出来是厘米，再把厘米转换成实际距离单位米，四万厘米等于四百米，所以答明华小学到少年宫的实际距离是四百米，同学们学会了吗？

这节课我们来看一道关于比利齿的重点题型，李白诗宗朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还的大致意思是乘舟从白帝城到江陵一天就到了，我们来看一天为二十四小时。 玲玲为了验证李白是否撒谎，找到了一副比利时为一比四百万的地图。良得白帝城到江陵的距离约是十点五厘米，如果古代的船的速度为二十千米每时，那么李白撒谎了吗？ 有的同学看到这样类型题数字比较多就头大了，但是我们来一起分析一下题。其实我们这道题非常简单， 我们来看，如果古代的船的速度为二十千米每时，那么李白撒谎了吗？我们问自己，要想知道李白撒没撒谎，其实我们求一下我们所用的时间是不是二十四小时是不就可以了呢？ 时间的话，求时间所要用到的是路程，除以速度是不才能等于时间呢？ 而我们这道题当中的速度已经告诉了古代的船的速度为二十千米时，但是我们的路程是未知的，所以我们来看一下啊，前面的已知条件， 前面这些是没用呀，我们的已知条件，这找到了一幅比利齿为一比四百万的地图，梁德白帝城到江陵的距离约是十点五厘米，比利齿告诉我们了， 图上距离是不也告诉我们了，所以我们应用图上距离比实际距离等于比例尺，是不就可以求出我们的实际距离呢？ 把它转化成实际距离等于图上距离除以比利时，所以我们来往近带一下啊。图上距离是十点五除以比利时，比利时是一比四百万， 那就是除以四百万分之一。同学们一定要注意这个零啊，不要少写了，也不要多写了。那十点五除以四百万分之一，是不就等于十点五去乘四百万呢？ 等于老师这里算下来是四千二百万厘米。 但是因为啊，我们的实际距离单位是千米，所以我们还得把四百四千二百万厘米转换成千米。我们知道一千米等于 多少厘米呢？同学们想一想，一千米等于多少厘米？一千米等于十万厘米，对了，等于十万厘米，是或一的，后面是五个零，紧接着小单位变大单位，要除以净率，所以我们用四千二百万厘米 转化成千米，是不就去掉五个零呢？一二三四五等于四百二十千米， 就是四百二十千米，就是我们的实际距离，也就是我们的路程。路程告诉了我，用路程除以数度，是不就等于时间呢？所用的时间是二十一小时。 以我们的李白说，郴州从白帝城到江陵一天就到了，一天为二十四小时，我们用了二十一小时，是不一天就到了呀，所以李白是没有撒谎的。

六年级下册二单元，圆柱和圆锥今天这节课我们来一起认识一下圆柱和圆锥。首先第一去认识圆柱体上面哪些物体的形状是圆柱体的呢？我们来观察一下， 通过观察我们可以发现，除了我们的铜线锤、沙堆，还有美龙、月亮船，除了这三个以外，其他的物体的形状是不都是圆柱体的呢？ 那老师就问了，生活中含有哪些物体的形状也是圆柱体呢？同学们可以想一下我们平时用的水杯或者是易拉罐的瓶子，是不是这些物体的形状都是圆柱体呢？那圆柱体简称圆柱， 我们从这些圆柱形的物体中抽象出了圆柱体的立体图形。 通过这个立体图形，我们来说一下圆柱体有哪些特征。我们首先来先观察一下这个立体图形，我们可以发现圆柱体从上到下是一样粗的， 而且圆柱上下这两个面是完全相同的圆，而且圆柱有一个弯曲的面，我们把这个弯曲的曲面叫做圆柱的侧面， 所以圆柱是由两个底面和一个侧面围成的，那圆柱的上下两个面，我们把它叫做是圆柱的底面， 围成圆柱的曲面，我们把它叫做是侧面，那因为圆柱两个底面之间的距离我们把它叫做是圆柱的高， 就因为刚才老师说了，圆柱上下是一样粗的，两个底面之间的距离是圆柱的高，所以想一下圆柱有几条高呀？那是不是有无数条高呢？而且每条高的 长度都是相等的。总结，圆柱底面是两个圆，大小相等， 圆柱有一个曲面叫做侧面，那圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高高有无数条，并且每条高都相等。 下面我们来认识一下圆锥体下面这些物体的形状都是圆锥体，简称圆锥。那老师问了，生活中还有哪些物体的形状也是圆锥体呢？同学们可以想一下，我们玩过的跳棋 还有漏斗，他们的形状是不是也是圆锥的？那我们从这些圆锥形的物体中可以抽象出同样的立体图形。 仔细观察圆锥的立体图形，我们来一起说一下圆锥有哪些特征？我们来看圆锥有一个 顶点，是不是圆锥有一个顶点，而圆锥的底面它是一个圆。 那观察圆锥有几个底面呀？哎，是不是也有一个底面呢？而我们圆锥的侧面是一个曲面，我们圆锥的侧面展开图形可以得到一个扇形， 那从圆锥的顶点到底面圆形的距离是我们圆锥的高。 那老师就问了，圆锥有几条高呢？同学们可以观察一下，因为圆锥的顶点和底面圆心都是唯一的点，是不是所以我们圆锥它只有一条高。所以 圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，从圆锥的顶点到底面圆形的距离是圆锥的高，圆锥只有一条高。 总结，圆锥有一个顶点，而且它的底面是一个圆，圆锥的侧面是一个扇形，圆锥只有一条高。

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长方形的时候，他的上底和下底必须是相等的，然后高垂直于嗯，他的两条平行线之间，就可以变成那个长方形。然后，哎，来听同不同意他的说法？同意。那上底和下底相等的时候，而且那个他认为高要垂直于上底和下底，这个梯形就变成了 长方形，非常好。接着说。然后他想变成正方形的话，那是要他的上底下底和高都相等，然后这三条边都相等，然后高也要垂直于上底下底之间， 然后呢想要变成三角形的话，那就是上他的上底或者下底其中有一条边为零，然后呢高，然后呢就可以变成一个三角形哦，他说 他说梯形的上底或者下底有一条边变成零，这个图形就变成三角形，同意吧？同意。好。还有吗？然后想变成平行四边形的话，那是上底和下底得 往相反方向增加同一个错，然后就可以变成一个平行四边形。哦。其实刚才我们已经用图演示了他怎么变成平行四边形，是不是？嗯，当梯形的上底和下底相等的时候啊，他也有可能会变成 平行四边形，非常好。好，请坐。那么同学们看一下我们刚才是从谁出发？ 我们从梯形出发，我们得到了哪个图形的面积？哦，我们推出了平行四边形的面积。 还有呢？三角形。三角形的面积公式还有吗？正方形，还有正方形，还有长方形。哦，还有这边的长方形啊，离得比较远，是吧？还有长方形的面积公式。好的，那么大家看啊，也就是说梯形的面积公式是有一定的， 具有一定的概括性，是不是？对，你看我们都得到这么多图形的面积。好，好了，那么同学们来看一下啊，刚才我们通过这次活动，你有收获吗？有，来谈谈你的收获。嗯，有什么收获呀？ 我们原来是怎么样的呀？从左往右看的，从左往右看的。我们原来是从谁的面积公式出发？从长方形的啊？哦，从长方形的面积出发，是吗？现在呢， 来谈谈你的说法想法。你说我发现梯形，梯形可以转换成三角形，平行四边形，长方形和正方形。嗯， 我们还可以从梯形的面积公式出发，对吧？得到其他的一些面积公式是不是？是。好的，请坐。那么同学们看一下，咱们换一个角度，是不是就有新的发现？对，所以呢，咱们学习数学要经常 怎么样？换个角度去想一想，可能你就会有不一样的发现。是吗？是好，老师，这样有一道题目，考考大家学的怎么样啊？ 比较下列图形的面积。嗯，我这里有四个图形，第一个是长方形，第二个是平行四边形，第三个三角形，最后一个梯形。那么上面的一些数据大家能看清楚吧？能，这几个图形的面积先想一想， 先想一想答案呢？嗯，好。 哎，大家怎么这么快呀，我好像没看到你们动笔算是吧。嗯，你们算了吧。没有，没有，没算就知道了。对对，太厉害了。好，你说，我认为这几个平面图形的面积是相等的。相等的， 你怎么知道？因为他们的高是一样的，上底加下底的和是一样的。哦，他们的都是相同的，都是几啊？七，上底加下底的和。那我要验证一下啊，四加四，八八八八还是八？果然相等。 所以呢？所以这几个平面图形面积是一样的。那你怎么？你怎么能想到这种方法？我们和什么相等？上底和下底，上底和下底的和相等。什么不变啊？包包不变。包不变的时候他们的面积是怎么样的？相等的是相等的。那我们是不是可以从它出发？对哦，然后。

六年级下册，数学难度直线增加，所以再忙也要盯着孩子，每天保持一页计算和应用题练习，到了考试，你就知道他的数学基础有多扎实。就是这本阳光同学计算小达人同步课本出题。每天的口算，锻炼孩子计算的速度和反应力。数式计算 规范书写格式，争取考试卷面不丢分。应用题都是新教材常见题型，每单元有算法梳理、易错题专项训练阶段能力检测， 期中期末检测，不会的还可以扫码批改。每道应用题有视频讲解，一步步带孩子理清答题思路，把知识点吃透。还有思维训练模块，突破点、易错点，帮孩子锻炼逻辑能力。每天十分钟孩子也没压力， 他可不是普通的练习册，是阳光同学创新情境，提摆提炼。新学期数学不要贪多，把这一本练透，你会发现孩子的计算能力和数学思维都有了大大的进步。快给孩子准备起来练练吧！

这节课呢，我们来一起学习六单元正比例和反比例。第一主要学习的是正比例的意义。一辆汽车在公路上行驶，行驶时间和路程如下表， 表格当中给出的是路程和时间问题，观察表中的数据，你有什么发现？ 我们来看我们行驶的路程是随着时间的变化而变化， 行驶的时间越长，行驶的路程就越多，行驶的时间越短，行驶的路程就越少。所以老师就可以说，我们当时间在变化的时候，路程也随着变化， 这两种量我们就可以称它为是两种相关联的量。一、总量也随着在变化。 我们来看这两种相关量的量，计算相对应的路程和时间的比的比值是否相等。我们因为路程除以时间等于数度，所以我的比值其实是数度。 八十除以一等于八十，一百六十除以二等于八十，二百四十除以三等于八十，三百二十除以四还等于八十。依次进行计算的话，我们发现我们行驶的速度是不发生变化的。 你能写出几组相对应的路程和时间的比，并求出比值吗？我们来看路程和时间的比是八十比一，老师在这里写成了一分之八十，他的比值是八十。 二分之一百六十，比值是八十，三分之二百四十的比值还是八十五分之四百的比值还是八十，依次进行计算，它们的比值都是八十，而我的比值表示的是路程 除以时间等于速度，速度是一定的，所以我的比值表示的是行驶的速度。 根据路程和时间的关系，我们来理理解正比例的意义，路程和时间是两种相关联的量，这第一个重点，时间变化，路程也随着变化。 当路程和相对应的时间的比的比值总是一定，也就商是一定时，是第二个重点，行驶的路程和时间就成正比例关系。行驶的路程和时间是成正比例的量， 所以判断两种量是否成正比例关系，我们就看符合不符合两种条件。第一种条件，他们是不是两种相关联的量。 第二种条件，我们再看这两种相关联的量的比值或者是商是不是是一定的。如果这两种条件都符合，这两种量就成正比例的量，反之，不成正比例。 总结，一、两种相关联的量，一、总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比的比值也就是商一定，这两种量就是成正比例的量，他们的关系就叫做正比例关系， 比值也就是商。所以我们肯定考虑的是用的是除法进行计算。二、如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值一定 正比例关系可以表示为 x 分 之 y 等于 k， k 是 一定的。在这里老师写 x 分 之 y 是 不？其实就是 y 除以 x 呢？把分数的形式写成了除法的形式， x 除以 y 除以 x 等于 k， k 是 一定的。三、判断两种量是否成正比例的方法首先第一步，我们先判断这两种量是否成相关量的量。 二、再看这两种量中相对的这两个数的比的比值是否是一定，说白了就是他们是不是用的是除法，如果用的是除法，他们的比值或商是一定的，这两种量就成正比例，反之不成正比例。

来，六年级小朋友看过来啊，今天我们来讲第十三面，也就是说第七课时到了啊，圆锥的体积，注意啊，圆锥的体积 v 等于 三分之一，底面积乘高。我的建议是，你最好把这个三分之一写到这个体积公式的最前面，以防忘记。如果说你先算 s h， 先算底面积乘高，你可能忘记乘上三分之一了，对不对？那干脆你再再计算的时候，你就把这个三分之一写到 s 和 h 的 前面，然后就好算了啊， 好，前面都是比较基础的部分。这个第二题注意啊，橡皮泥捏完之后是体积不变，所以说，要么底面积是十八，高是六的。圆锥 捏完之后体积不变，那圆柱。要么底面积是六，高是六，高不变，那底面就得除以三，对吧？要么底面积不变，高除以三，都是一样的道理啊。好，第三题同底等底等高，体积差了是两份，对吧？所以说十八除以三减一的差 好一份是九，圆锥就是九，圆柱就是二十七啊。好。然后第五题这道题有点抽像，是不是你理没理解他的意思，他说， 原来呢，这是一个圆柱形的沙包，然后下面这漏了，里面的沙子全都漏到下面去了，形成一个圆锥形的沙堆。那我问你，圆柱形的沙包里面所有的沙子流成了一个圆锥形，什么不？什么不变， 体积不变，对吧？所以说你要算这个上面沙包它的体积是多少？这里给的是直径二，所以是 pi r 方乘 h， 这个是沙堆的体积，对吗？ 好，已经给你沙堆的体积，你要干嘛？你要乘三对吧？哎，乘三再除以高度，不就是这个沙堆的底面积？这里求的是占地面积 s 啊，好坏算完之后，六 pi 等于十八点八四平方分米啊。往右走。第六题， 第六题，他说一个正方体削成一个最大的圆锥，那你想啊，正方体中削掉一个最大的圆锥，这个圆锥底面直径是多少？是不是就是这个正方体棱长就是六啊？ 高呢？高也是六，明白了吗？顺的是需要消去，所以说你最后一步肯定要做一步减法，明白了吗？好，六乘六乘六，这个是正方体体积， 减掉圆锥的体积三分之一，写到最前面啊，好，底面积派 r 的 平方 r 是 三，明白了吗？是六除以二的平方啊，好，再乘上高度，最后算出来应该是一百五十九点四八啊，好。第七题， 第七题，这道题用假设法，他说已知圆锥与圆柱高之比是九比七，你看他俩都是，是不是用的同一个底啊？说明底面积是相同的。那等底的圆锥，你能不能把它转化成圆柱？ 可以，怎么转化啊？你看它的高是九，把它转化成圆柱的高，那变成多少呢？如果是体积相同，是不是九除以三的三呢？ 因为圆柱体积是圆柱体的三倍，在这里对不对？所以说圆柱此时的高度是三，好，加上下面这个圆柱，它俩是同样的底面积，对吧？三加七等于十，明白了吗？说明，如果说把它转化成圆柱啊，把它转化成圆柱，那大概是这个样子， 哎，大概是这个样子，这个上面小圆珠高是三啊，好，总体计是二百七十四点七五，这道题应该用二百七十四点七五乘上十分之三十份中的三份，这里求的是圆锥的体积，明白了吗？圆锥体积，他问我圆锥的高。好，第一步要用圆锥体积乘三。 懂了。好，除以圆锥的底面积，这里底面积没给我，给的我是底面周长。所以说你上一步要先算一下底面积啊。三十一点四除以三点一四除以派，除以二是半径，然后派二方求出来，这里二十五派是底面积，除以二十五派算出等于三点一五啊。好，第八题， 第八题，你看啊，他说瓶底的面积与杯口面积相等，什么意思？就告我这里和这里等底，是不是就告诉我他们两个等底。好，那你看，这块的高度是 h， 说明这里的高度也是 h， 说明这个上面的小圆柱就能倒三杯， 对吗？好，现在里面的酒，这个酒还是液体，液体应该有两倍的它，所以说三杯乘二，应该是六杯啊，这个比较简单。好，第九题， 实际上这道题呢，就是一个比的类型题啊。首先你看啊，他告诉我里面这个容器现在有水三升，问我这个大容器的容积是多少升？好，你看啊，他俩的高之比大比小，是不是二比一呀， 对吧？好，底面圆的半径之比也是二比一，没错吧。那根据体积公式，一切回归到公式啊，根据体积公式， v 等于三分之一底面积乘高。好，底面积拆开派 r 方乘 h， 所以 说我在这里给你转化了啊， r 是 什么倍？是平方倍，对吗？所以说大比小，不应该是二的平方比上一的平方吗？ 对吧？再乘一个 h， 再乘一个 h， h 比也是二比一，所以说乘到一起去，他们的体积比是几比几？二一得一，一再乘一。他们的体积比是八比一 出来了吗？所以说大比小的体积比是大八比一。好，小的告诉你了，现在装三成税，所以说大的就是他的八倍三八二十四，明白吗？这道题这样写就可以了，结束，这是第十三面打卡讲解啊，灵活性比较高。

只用六张图吃透六年级下册数学，看完秒懂六年级下册数学！孩子越学越乱，知识点又多又杂。思维导图能够帮助孩子把知识点梳理的清清楚楚。例如，一、负数，跟负数相关的有正负数的认识，在直线上表示数比较大小。正负数在生活中的应用。一张图概括负数的所有相关知识。 二、百分数有跟百分数相关的税率、折扣、乘数、利率和解决问题，孩子直接跟着学。基础薄弱的可用来巩固，基础，强的可用来提高小升初复习用它效率翻倍。全资料共六页。

请看屏幕，这两个图形对于我们来说是再熟悉不过了，今天就让他们来开启我们的学习之旅。请你先猜一猜，这两个长方形可能会存在着怎样的联系呢？这位同学， 我觉得他们大长方形与小长方形，长与长之间，宽与宽之间，还有中长与中长之间可能存在存在于什么倍数关系？这是你的想法。 这位同学，我认为大长方形可能是小长方形按照一定比例扩大后得到的。哦，那究竟是不是这两位同学所说的呢？ 怎么办？你来说，我们可以验证，我们可以量一量，算一算。好的，那下面请同学们来量一量算一算。好，有结果了吗？好，这位同学，我量出的小长方形的宽是一厘米，宽是三厘米，你来， 我发现大长方形是小长方形按三比一的比放大后得来的。是的，同学们通过测量和计算，发现了大长方形的确就是将小长方形按照一定比例放大后得到，并且 大长方形与小长方形对应边的比是一起说三比一。那么像有这样关系的两个长方形，它们之间还会有怎样的关系呢？你还想知道什么呢？ 你来说，放大后与放大前周长的比是不是三比一？还有问题？你说放大后与放大前面积的比是多少？同学们很善于提出问题，放大后与放大前周长的比还会是三比一吗？放大后与放大前面积的比还会是三比一吗？怎么办？你来， 我们需要算一算，以此来验证。好。同学们，对于这两个问题，答案自己能找到，能不能来试一试？我是先求出小长方形的周长，就是用一加三的和乘以二就等于八厘米，再求出大长方形的周长，就是用三加 的和乘以二就等于二十四厘米。我是用大长方形的周长比上小长方形的周长就等于二十四比八，就等于三比一。所以说放大后与放大前周长的比是三比一，是这样吗？ 好的，请坐。那么放大后与放大前面积的比又是多少呢？好，你来，我们可以先求出小长方形的面积，就是用一乘三等于二十七平方厘米，然后再用三，二十七比三等于 二，二十七比三等于九比一，所以它放大后与放大前面积的比是九比一。好的，对于这两个问题，答案我们不难找出来，现在我们来对比一下三组数据。放大后对应边的比三比一，放大后与 放大前面积的比是九比一，你看出了什么吗？ 你说放大后与放大前周长的比与对应边的比是一样的，你来说，我发现放大后与放大前面积的比与对应边的比是不一样的。是的，放大后与放大前周长的比和对应边的比没有发生变化， 但是放大后与放大前面积的比却发生了变化。哎，看到这你有什么想问的吗？ 你说放大后与放大前面积的比和对应面的比是怎样变化的？究竟它们是怎样变化的呢？还有 你说放大后与放大前面积的比为什么会变化？为什么会发生这样的变化呢？其实这两个问题也就我们今天这节课要研究的问题。同学们，我们来看一看这两个数据，你能不能隐约的看出来，或者是猜测一下 放大后与放大前面积的变化，究竟与对应边的比是怎么变化的？好， 你说我猜测放大后与放大前面积的比是它们对应边比的平方，因为对应边的比的前像是三，放大后与放大前面积的比，是的，前像是九三的平方等于九，然后他们的后向都是一，所以我是这样猜测的，那我们从这一个例子当中， 刚才只是我们的猜测，能不能充分的说明我们的猜测不能，那怎么办？你说我们可以通过举例子的方法去验证能不能具体说一说怎么去举例。你来说， 我们可以把小长方形按起不同的笔放大，看看得到的大长方形的面积是否是小长方形，而对应边比的平方，意思就是再找出不同的例子，看看和它是不是相符， 明白了吗？好，下面请同学们打小长方形，按任意的笔进行放大，然后把你的数据填在表格里面，等一会我们一起来交流，好吧？开始好了吗？咱们同事之间先互相交流一下，好吧？ 好的，下面我们来收集一些数据，看一看究竟我们刚才的猜测是否正确。好，哪位同学，好，你来。 我们是把长小长方形按四比一的比放大，放大前的长是三厘米，放大后的长是十二厘米，放大后与放大前的比是四比一，放大前的宽是四厘米，放大后与放大前的比是四比一。放大前的面 积是四十八平方厘米，放大后与放大前的面积是十六比一，它的数据是对应边的比是四比一， 最后得到放大后与放大前面积的比是十六比一。好在前面。同学，你来。我是把小长方形按照十比一的比放大，放大长方形的长是三厘米，放大后长方形的长是三十厘米， 放大后与放大前长的比是十比一，放大后长方形的宽是十厘米，放大后与放大前 宽的比是十比一。放大，放大前的面积是三平方厘米，放大后的面积是三百平方厘米， 放大后与放大前面积的比是一百比一。好的，再选一组数据，你来。我是把小长方形按照六比一的比放大的，放大前小长方形的长是三厘米，放大后小长方形的长，长方形的长就是十八厘米， 放大后与放大前长的比就是六比一。放大前小长方形的宽是一厘米，放大后长方形的宽是六厘米，放大后与放大前宽的比就是六比一。放大前小长方形的面积是三平方厘米，放大后长方形的面积是一百零八 平方厘米，放大后与放大前面积的比就是三十六比一。好的，大概还有很多数据我们就不再一一介绍了， 我们通过这几个例子来看一看，是不是验证了我们的猜想。我们刚才是什么猜想呢？你说我们的猜想是，放大后与放大前面积的比是否和对应边的比乘平方倍的关系？是这样的吗？是，我们来注意看数据。对应边的比是四比一， 而面积的比是十六比一，四的平方是十六，对应边的比是十比一。面积的比是一百比一，十的平方是一百，对应边的比是六比一。 面积的比是三十六比一，六的平方是三十六，有没有同学你的数据和这个是不相符的？ 有没有？没有都一样。好，那如果我把这个长方形按照七比一的比放大，想一想放大后与放大前面积的比应该是多少呢？一起说。 如果我把这个小长方形按照九比一的比放大，那么放大后与放大前面积的比就是八十一比一。 像这样说的完吗？说的还不多，怎么办？你说，我觉得我们可以用带字母的式子来表示。好，那怎么用含有字母的式子来表示？你说 我们可以把对应边的比式成 n 比一，如果按 n 比一去放大，那放大后与放大前面积的比就是 n 的 平方比。同学们能够有意识的想到用字母式来把我们的规律表达出来。 的确是这样，这个小小的字母是把我们刚才发现的规律表达的清清楚楚，明明白白。好，同学们，刚才我们研究了长方形按照一定的比放大，得到放大后与放大前面积的比的变化规律。由此， 你还会想到什么问题呢？你说我，切，我会想到是否其他图形你也常有这样的规律呢？是的，我们不仅认识了长方形，我们还认识正方形、三角形、圆形、 平行四边形或者梯形。如果把它们也按照不同的比放大，那么放大后与放大前面积的比的变化规律还是这样吗？怎么办？你说，我还是需要举个例子或者算一下来研究，也就说我们还要再继续去研究这些图形 放大后面积的变化规律是否也是这样。那究竟是怎么去研究？你能不能通过一个具体的例子来说一说？来，同学们先小声点。

六年级数学下册重点来了！比例本视频将从基础概念到正反比例一次讲透，带你搞定核心考点！一、比例的定义表示两个比相等的式子叫做比例。 这里要注意这笔字比和比例有什么区别？举个例子让你快速明白。比，两个数相除，如，二比三等于四比六。判断两个比能否组成比例， 关键看它们的比值是否相等。例如，二比三等于四比六，因为两个比的比值都是三分之二，所以相等。二、比例的基本性质在比例里，两个外向的积等于两个内向的积。即，如果 a 比 b 等于 c 比 d， 那 么 a 乘 d 等于 b 乘 c。 三、解比例，求比例中的未知项，叫做解比例。方法，根据比例的基本性质，将比例转化为方程，再求解例题，一解比例四分之三比 x 等于六比，八解根据内向基等于外向基。 四、正比例与反比例一、正比例两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果它们的比值商一定，这两种量就成正比例。 关系式。 y 比 x 等于 k， k 一定生活实力。单价一定时，总价与数量成正比例。 二、反比例两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果它们的乘积一定，这两种量就成反比例 关系式。 x 乘 y 等于 k， k 一定生活时力。路程一定时，速度与时间成反比例。例题一，一辆汽车两小时行驶一百四十千米，照这样的速度，五小时行驶多少千米？ 分析速度一定，路程与时间成正比例。解，设五小时行驶 x 千米，一百四十比二等于 x 比五，根据内向积等于外向积德二 x 等于一百四十乘五，求德 x 等于三百五十千米。 例题二，一间教室用方砖铺地，每块面积零点一六平方米，需要三百块，如果改用面积零点二五平方米的方砖需要多少块？分析教室总面积一定每块面积乘块数等于总面积乘积一定乘反比例解设需要 x 块。 零点二五乘 x 等于零点一六乘三百零点二五乘 x 等于四十八，求得 x 等于一百九十二块。