方向导数的几何意义

那么上一节课，我们通过这样一个物理情境，借助于由平均变化率逼近瞬时变化率的思想方法，我们抽象出了导数的概念。那我们来想一下，如何来求一个函数在 x 零处的导数呢？ 如何来求呀？在哪一步呢？那几步？ 比如说我们是先求平均变化率， 然后再取了一个极限。 那么上一节课，我们从竖的角度是不是来研究了导数？那么这一节课我们从行的角度对导出呢进行研究。我们先看一下本节课的学习目标。 耶， 我们发现这个导数呢是与平均变化率有关，所以我们先研究一下平均变化率它的几个意义是什么？那么通过这个平均变化率的公式，我们想到了什么呀？ 斜率，哪两个点的斜率呢？ p 零 p 的 斜率。 所以说平均变化率它的几个意义是割线 p 零 p 的 斜率。说直线 p 零 p 的 斜率，因为这两个点呢？在曲线上，我们数学叫做割线 p 零 p 啊，对， 也就是这样的话，从形上来看，平均变化率也就是割线屁零屁斜率。 那么倒数它的几何意义表示什么呢？那我们下一步是不是让倒数 x 要趋向于零了？嗯， 当 x 趋向于零，也就表示这个屁要无限地向屁零靠近。 如图，那么当这个屁沿着这个曲线无限地向屁零靠近的话，那么割线的变化趋势会是怎样的呢？ 好，我们下面来观察一下这样一个洞洞， 其中这个 p 零 p 是 不是那一条割线？对，当这个 p 由 p 零的右边沿着曲线无限地向 p 零靠近的话，我们发现最终到了一条 确定确定的曲线，那么从 p 零的左边，那如果我们从这个 p 零的左边无限向 p 零靠近呢？也是到了同一条直线，对不对？说不管是从 p 零的右边还是左边无限的向 p 零靠近，就到了同一条确定的直线， 我们认准一点，发现它到了一条确定的位置，那么这个位置呢？我们把它叫做函数在屁零处的切线，这也就是我们这节课学习的导数的定切线的定义 是不是由这个割线无限的向向？这屁向这屁零推进的时候，割线趋向于一条切线， 那么这个屁零是实际上就是我们那条切线的切点，是不是切点啊？那我们来想一下，那么这个地方我们给出的切线的定义和初中学过的圆的切线定义有什么不同呢？ 这个地方我们是通过什么方式找到的切线定位？屁零无限的向屁，屁无限的向屁零靠近，是割线趋向于切线， 说非线的方式。对。而我们初中直线和圆相切是如何定义的？看直线和圆的公共点。宋明轩，我们初中是如何定义呢？寻找直线与圆的公共点各处 有几个公共点说明是相切，有一个公共点说明是相切，对吧？公共点的个数来判断的 好，坐下。那么圆的切线这个语适合于所有的曲线吗？好，那么下面小组讨论。我们可以借助于我们高一学的一些基本函数来看一下 姚慧然，她适合吗？能不能举一个板栗 正弦函数？正弦函数，然后我们画一个正弦函数，那哪一条直线 是不是上面是一条直线？对，我们会发现和这个正弦函数会有无数个点，无数个点，对吧？但是这条直线是正弦函数的。

大家好，我叫张无坎，今天我来讲一道题，嗯，七七，呃， under what conditions um on a b c does the maximum direction um derivative of the function。 它这个是个函数 at point m 要负一。嗯，嗯， 呃，这个 a 个 a 个 a 个 a 个 in， 嗯， positive。 嗯， direction of the z x， 嗯， access， 嗯， lotion。 他 说这个方向倒数的话，我先把这个 u 的 奇数求出来，嗯，我就先求 u x， 呃， u x 就是 对 x 求偏的，嗯， a y 的 平方，再加上，然后这个对对 x 求偏的，然后这个第二 项就没有，第二项是没有 x 是 没有 x， 然后第三项是，呃，单是 c x 的 平方， z 的 平方， 然后这是 u x， 嗯， u y 要等于。哦，呃，这个 u y 对 y 求偏导，就是，嗯，二倍的 a x y 再加上，嗯，然后，嗯，它这个第二个，它这个 y 是 就 y 就 一次方的，就是直接是 b z， 然后再加上，然后它这个第三项，呃，是没有 y 就 就是零 啊 z， 然后 u z 被 z 球骗倒，嗯，第一个没有，第二个 b y 再加上，然后 z 把这个 z 乘上 x 三次方，这两个看为常数，嗯，那就是二倍的 z 乘 x 的 三次方 z， 嗯， 然后这三个都求出来了，然后，嗯，那这个 t 度， t 度的话，那是可以直接先先写出来。 嗯，先是 x 向 a y 的 平方加上三 c x 的 平方 z 的 平方， 嗯， x 像 y 是 o a x， y 加上，嗯， b z， 然后第三项是 b y 再加上哦 z 乘上 x 的 三次方 z， 然后我们把 m 点带进去， 把 m 粉带进去，然后就是，嗯， x 等于一， y 等于二，它第一项是 y， 那 就是，嗯，把二的平方是四是四 a 再加上，然后，嗯，第二个是这个，我们这个 x， 它是一 x， 平方，是一三 c， 然后再乘上个 c 的 平方，嗯，它是那个负音，就是没有乘上一， 然后调向。呃，它，嗯，奥，奥， a x x 是 一，那就是 y， 啊，那 y 是 o， 那 就是四 a， 然后 z 是 负一，就减去， 减去 b， 然后呃，呃，这个 b b y y 是 奥，是奥 b， 再加上，嗯， 奥，奥乘上 c x 三次方， x 三次方，就是一的三次方，就是一，然后一一，然后一，再乘二还是一，乘二还是一，然后 z 的 话是负一，嗯， 呃，对，这个奥，然后它成负一，那就减去，减去。嗯，呃，减去这个看 c c， 不 对，不是奥 c， 嗯，然后那我们现在把这个分成三项，就是这个要等于嗯 u x u y u z， 然后，嗯，然后他题目中说的他这个题的话刚好说是，嗯，对，这个 什么，呃，他就刚好是这个呢，呃，刚好是可以说就是什么和，就是这个和 z z 轴是一个方向的，嗯，就是。 嗯，假如说，就是，嗯，他这个在这一点，对，他在，对，嗯，然后假如说他这个是和，和这个，他这个项链和这种是一个方向的，换个颜色， 嗯，它假如是这样子的，然后，那这个，呃，就那这些纸胶，然后等下标一些 z， 嗯， x y， 嗯，然后，呃，呃，对它这个，那我就先画上这个作图器了，它这个，它这个是对住一个方向的，那这个 啊，那 x y 方向就是零，嗯，呃，看大概会不会用到一点，反正是它。嗯，然后，对，然后这个 u x u y 等于零，那就是这个 u x u y 等于零，那就变成了，嗯，零。零 u z， 那 这个我们把它列出来一个方程， 呃，到这个 u x， 啊，不对，这个四 a 再加上三 c 等于零，这个也是零。 四 a 减去 b 也等于零，最后一个奥 b 减去奥 c 等于嗯。 u z， 那 我们把这个，嗯，既然它这个 u z 我 们就行不减 u z 了，因为我们在这个，嗯，二 b 减去二 c， 我 们知道它是一定是大于零的，是不大于零，然后解方 程，嗯，然后解方程的话，嗯，由于这个可以推出来 c 要等于，嗯，把 a 移过去负的三分之四， 然后这是退出来 c， 然后我们第一式退出来，这个二式我们能退出来 b， 要，嗯，就退 b 吧。 b 等于 c， 然后把这两个式子讲出这个，这个，这个叫一式，这叫二式，这个叫三式，这个四式五式， 然后嗯，把这个四式五式，把四式五式 带入到， 代入到三式，嗯，代入到三式的话，你就会变成四 a， 呃，不对。 二 b 就 变成八， a 减去二 c 就是 边加上三分之，把二乘上面就变成， 哦，八 a， 这个等于，呃，这个大于零， 然后把整八 a 题，嗯，今天这个通分，把这个先给搞进去， 嗯，然后同分的上面一层，呃，就是三分之，然后把这个一层叠成三十二， a 大 于零，这个能推出来， a 大 于零，然后嗯，这个 a 大 于零，然后现在那个 c b 的 关系写出来了，嗯，这就是 a 大 于零一个式子，然后 c 要等于负的三分之四 a， b 要等于 c， 他 找到他们三的关系，那他们三的关系就已经找到了。那么这道题就讲这里，谢谢大家。

这曲线某点的瞬时变化率，竟然就是这条线的斜率！提到导数，你脑海中浮现的是复杂的极限符号，还是枯燥的计算规则？ 其实，如果我们换个角度，导数的本质非常直观，甚至可以说它就在你的眼前。今天我们要解决的核心问题是，如何描述曲线上某一点的瞬时变化快慢。 我们知道，直线的斜率代表变化的快慢，但对于弯曲的曲线，每一点的倾斜程度都在变，怎么算呢？首先，我们在去线上取两个点，固定的点 a 和附近的点 b， 连接这两点的直线叫做割线。这时候割线的斜率很好算，就是纵坐标的变化量德尔塔 y 除以横坐标的变化量德尔塔 x， 这代表了两点之间的平均变化率。现在关键的一步来了，想象一下，如果让点 b 沿着曲线慢慢向点 a 靠拢，也就是让德尔塔 x 变得越来越小，趋近于零， 你会发现这条割线在不停地转动，当点 b 无限接近点 a 时，割线的位置就稳定了下来，变成了曲线在点 a 处的切线。因此，切线的斜率其实就是当德尔塔 x 趋近于零时，割线斜率的极限值。把这个过程用数学语言写出来，就是导数的定义式 f 撇 x 等于当德尔塔 x 去零时， f 括号 x 加德尔塔 x 减 f 括号 x 括号 y 除以德尔塔 x 的 极限。所以请记住这个核心结论，函数在某一点的导数值几何上，就等于该点处切线的斜率。 导数大于零切线向上倾斜函数递增，导数小于零，切线向下倾斜，函数递减， 导数等于零切线水平，这里往往是函数的极值点啊。举个例子，对于抛物线 y 等于 x 的 平方，我们在 x 等于一的地方求导。根据求导公式，导数是二， x 代入一，得到斜率为二。 这意味着在点一逗号一处，如果你向右移动一个单位，切线就会向上移动两个单位。看图，这条橙色的线确实精准地贴合了曲线在这一点的走向。这就是导数的几何意义， 他将抽象的代数运算转化为了直观的几何斜率。理解了这一点，你就掌握了微积分的一把钥匙。点赞收藏，下期带你推导基本求导公式！

这个视频我们继续来学习，呃，关于导数的知识。导数的几何意义及其计算方法。先来看导数的几何意义，呃， 首先这是一，这是一个函数，嗯，一个二次函数，我，我在上面取了一个点 a， 呃，这个 a， 它引出来的这一条直线就是它的切线，就是表示的是，呃，它，它这个函数在它这一点的一个变化率。 呃，然后呢，这个 b 切线的这个这切线它斜率是不断变化的，所以，呃，它这个不断变变，这个切线的斜率又组成一个函数，这个就是，呃，这个这个函数的倒函数。 接下来我们来看一下如何求导呢？嗯，这个是最朴实的一个方法，用用这个导数上节课我们讲过的导数的定义去去这个求导。当然了，对于这种方法，对于 啊一些函数来说，它是非常复杂的，这个所，所以这个我们不常用，就是一些啊，就是就是一些。嗯，其其他函数的时候，我们可能会用这个。 之后我们可以看看密函数求得法， a x n n 次方的导数就等于 a n x 的 n 减一次方，就是把这个指数乘到系数上，然后再指数再减一，就是 a n x 的 n 减一次方。 之后我们来看看三角函数求得法，它这三种，这这六种三角函数， 呃，它们的求导是非常有规律的啊，三 x 的 导数是 cosine x， cosine 导 x 的 导数是 cosine x， 然后呢？嗯，你再求导之后，也就是负三 x 的 导数是负 cosine x， 负 cosine x 的 导数又成了三，又成了这个 cosine x， 所以 cosine sin x， cosine x， 负 cosine x 和负 cosine x 这四这四个函数它形成了一个循环， 然后呢，我们看看 tenet 和 tenet。 呃， tenet x 的 导数是，呃， 嗯， cosine 方 x 分 之一，也就是 second 方 x， 而 coordinate 的 导数是负的 cosine 方 x， 然后这是这个 second 和 cosine， 也就是分别是 cosine 的 导数和 sine 的 导数，它们它这个 呃所组求到之后，它的它的这个函数分别是 second x， tenet x 和负的，嗯， co， second x， cotenet x 其实还是有很有规律的哈，大家可以去记一记， 然后我们来学习一下练式法则，这是一个非常常用的一个法则，就是 dy 比上 d x 等于 dy 比上 du 乘以 du 比上 d x。 呃，这个可能很多人一看就摸不着头脑哈，我， 我给大家打一个比方，我要求啊， x 加一的平方的导数啊，如按照我们平以前的方法，就是先把这个给它转化成一个多项式函数 啊，然后然后再求导。但是呢，如果我把这个指数非常大，比方说 x 加一的一百次方，那么你就不能用这种方法去去求这导数了，因为它那个呃求导之后，它的它的这些项太多了， 那么我们令 u 等于 x 加一，然后套用列式法则，也就等于因为这个 x 加一的平方，也就是 因为 u 等于 x 加一，所以也就是 u 方再比上一个 du， 然后再乘一个 d， 嗯，这个 u 也就是 x 加一比上 d x， 那 么我们就可以把这个 这这两个导数导数分别算出来，也就是二 u 乘一，也就等于等于二 x 加二，一定不要把这个 u 一定不要忘记把这个 u 换成 x 啊。 然后呢，我们看看来这个记法则，这个记法则就很容易让人理解了，就是两个函数相乘，它的导数是，呃， 这个它的，它的这个原来的这个函数，然后再乘以一个它的导数，然后再加上一个它的它原来的这个函数乘以它的导数，这个这个法则是很有规律的。 嗯，这个记法则，哈，这也是非常常用。但是，但是呢，你这个记法则它有一个弊端就是，呃，你要是一个函数给它，给它使用记法则，弄之后它会变得很长很长，你，你还得再化点啥的。 嗯，但是，但是呢，你这个还还没有很好的方法去求这个函数的导数。 呃，所以一一般的话和所以还得使用记法子。这节课的内容就先到这里， 下节课呢，我们将会讲一些导数的应用，包括牛顿迭代法呀什么的。

好，同学们，大家好，今天我们来看导数的几个意义。首先我们看一个很基本的函数的函数图像， 这地方我任意给出一个函数的函数图像，假设是这样，这是 y， 等于 f x。 好， 我随意地找一条线， 这样找一条线从中间给它穿过去，那么这条线我们一般会称为是这一条曲线的割线。啊，这条曲线的割线好，这时候我在中间任意找点，这个点 假设对应的横坐标是 x 零，那么到了这个位置，到了这个位置在 x 纸上发生了改变，我们记它的改变量为得它 x， 那 这个点就是 x 零，加上得它 x。 好， 这时候我们把它中间这一部分看成是一个三角形，这一部分看成是一个三角形。 这个时候我们知道这一条边它所对应的边长其实就是得它 x， 那 这一条边所对应的边长就是得它 y， 那 么这条割线它的倾斜角 是多少？这个就是它的倾斜角。所以我们显而易见的能得到一个关系，这条割线的倾斜角的正切值就是得它 y， 比上得它 x。 那么在中学阶段我们就已经学过啊，倾斜角的正切值其实表示的是所对应的一个斜率，所以这个也就可以用来表示 这条割线所对应的一个斜率。好，接着对它进行一个变化，我们考虑当的它 x 无限地趋近于零，如果的它 x 趋近于零，是不是表明 右边这一个点是无限的？向左边这一个点靠近，靠近，靠近到最极限的情况是什么？靠近到最极限的情况是不是从 x 零这个点给它切过去了，所以我们就能得到 导数的几何意义，实质就是什么？就是切线的斜率，那么切线的斜率是如何去表示的？也就是 在得它 x 趋近于零的时候，得它 y 与得它 x 所对应的一个比值， 而这个其实又是谁？这个就是我们的导数，也就是 f 一 撇 x 零，所以从这个地方就得到了导数的几何意义，其实就是谁就是切线的斜率。所以这地方用文字语言给它描述出来一个函数， f x 在 某一个点 x 零处的导数， 在 x 零处的导数 f 一 撇 x 零的 f 一 撇 x 零，在几何上表示曲线 y 等于 f x， 再点 x 零， f x 零处的切线斜率， 那么这个就是我们导数所对应的一个几何意义。好，从这个地方我们就去说明它的几个点，第一个 我们的切线斜率实质就是谁，就是导数在就是函数在某点处所对应的一个导数，那么第二个我们就会去得到一个方程，叫切线方程。切线方程我们也是用中学阶段所学过的点斜式方程去对它进行表示，也就是 y 减去 f x 零，应该等于它的斜率，也就是 f 一 撇 x 零，乘上 x 减去 x 零。第三个就是法线方程， 那我们知道法线其实就是与切线进行的一个垂直，那这个垂直在中学阶段也斜过啊， 也就表明法线的斜率与切线的斜率相乘起来是应该等于负一，所以我们就能得到法线的斜率其实就是负的，切线的斜率分之一，也就等于负的 f 一 撇 x 零分之一， 所以这个法线方程就可以给它表示成 y 减去 f x 零，等于负的 f 一 撇 x 零分之一，再乘上 x 减去 x 零，那么这个其实就是导数的几何意义的一个主要应用。好我们今天关于导数几何意义的概念就讲到这个地方，点赞关注，带你解锁更多数学知识点！

好，同学们，大家好，今天我们来看导数的几个意义。首先我们看一个很基本的函数的函数图像， 这地方我任意给出一个函数的函数图像，假设是这样，这是 y， 等于 f x。 好， 我随意的找一条线， 这样找一条线从中间给它穿过去，那么这条线我们一般会称为是这一条曲线的割线啊，这条曲线的割线好，这时候我在中间任意找点，这个点 假设对应的横坐标是 x 零，那么到了这个位置，到了这个位置在 x 纸上发生了改变，我们记它的改变量为得它 x， 那 这个点就是 x 零，加上得它 x。 好， 这时候我们把它中间这一部分看成是一个三角形，这一部分看成是一个三角形， 这个时候我们知道这一条边它所对应的边长其实就是得它 x， 那 这一条边所对应的边长就是得它 y， 那 么这条割线它的倾斜角 是多少？这个就是它的倾斜角，所以我们显而易见的能得到一个关系，这条割线的倾斜角的正切值就是得它 y， 比上得它 x。 那么在中学阶段我们就已经学过啊，倾斜角的正切值其实表示的是所对应的一个斜率，所以这个也就可以用来表示 这条割线所对应的一个斜率。好，接着对它进行一个变化，我们考虑当的它 x 无限地趋近于零，如果的它 x 趋近于零，是不是表明 右边这一个点是无限的？向左边这一个点靠近，靠近，靠近到最极限的情况是什么？靠近到最极限的情况是不是从 x 零这个点给它切过去了，所以我们就能得到 导数的几何意义，实质就是什么？就是切线的斜率，那么切线的斜率是如何去表示的？也就是 在得它 x 趋近于零的时候，得它 y 与得它 x 所对应的一个比值， 而这个其实又是谁？这个就是我们的导数，也就是 f 一 撇 x 零，所以从这个地方就得到了导数的几何意义，其实就是谁就是切线的斜率。所以这地方用文字语言给它描述出来一个函数， f x 在 某一个点 x 零处的导数， 在 x 零处的导数 f 一 撇 x 零的 f 一 撇 x 零，在几何上表示曲线 y 等于 f x， 再点 x 零， f x 零处的切线斜率， 那么这个就是我们导数所对应的一个几何意义。好，从这个地方我们就去说明它的几个点，第一个 我们的切线斜率实质就是谁，就是导数在就是函数在某点处所对应的一个导数，那么第二个我们就会去得到一个方程，叫切线方程。切线方程我们也是用中学阶段所学过的点斜式方程去对它进行表示，也就是 y 减去 f x 零，应该等于它的斜率，也就是 f 一 撇 x 零，乘上 x 减去 x 零。第三个就是法线方程， 那我们知道法线其实就是与切线进行的一个垂直，那这个垂直在中学阶段也斜过啊， 也就表明法线的斜率与切线的斜率相乘起来是应该等于负一，所以我们就能得到法线的斜率其实就是负的，切线的斜率分之一，也就等于负的 f 一 撇 x 零分之一， 所以这个法线方程就可以给它表示成 y 减去 f x 零，等于负的 f 一 撇 x 零分之一，再乘上 x 减去 x 零，那么这个其实就是导数的几何意义的一个主要应用。好我们今天关于导数几何意义的概念就讲到这个地方，点赞关注，带你解锁更多数学知识点！

大家好，我叫张凯，今天我来讲道题。 f x， y be differentable， give you a point a， b， c， d 四个点 uh， if the directional derivative of f x， y at point a along a b， it's equal two three and uh and along a c， it's equal 二十六 find the directional directional derivative of f x， y at point a along a d。 它要求这个， 呃方向导出这个 x y 的 这个 a d， 嗯，我这个先写在公式 d u f 等于 f 减乘 u， 嗯，对，我们这个就是要算的，然后我们这个优势，这优势向量，它这个优势单位向量，先把这个 u 算出来， 嗯，又是 a d a a， 我 先把这 a d a， a d 向量要等于 d 减去 a 就是， 嗯， ok， 五，要想十五减去三十二，然后，嗯，他这个是算下来他的项链，然后单位项链，还要算下来他的膜 a， 这个膜，我就写成这个，写这种 a d 要等于，然后这个，嗯，十二五是一个勾股式，勾股数十二，五十三， 嗯，那就是直接是十三，嗯，那这个，嗯，然后这个 a d 分 之 a， d 向量就等于 十三分之五，十三分之十二， 嗯，然后这是他的三位向量，然后，嗯，还有还有存下来他的这个，嗯，这个偏。不对，他这个什么得 f， 嗯， 我这个得 f， 他 这个得，他这个就是得 f a， 嗯，他这个得 f a。 已经告诉我们了，他这个，嗯， a， 他 这个 ab， 这个是三，然后还有什么 a， c 是 六啊，不对， a， c 是 二十六，嗯，然后我们的这个知道，嗯，我们 a c 向量的话，呃， a c 向量，它这个 y， 我 a c 向量 a， c 向量，它这个 x 等于零的， 那只有 y， 那 就是，哎呀，那还画个薄， 它是什么？它这个 x 等于零的，那它是这个这种项链上往上的项链， 垂直往上的项链。呃，然后，呃，看什么？这 a、 c、 a、 c 项链，然后它这个还有，嗯， a、 b 项链，然后 a、 b 项链刚好 y 等于零，它只有 x， 那这个刚好是这个非常的特殊，刚好我们那这个，那这个 a、 b 的 话它就是三，然后 a 的 这个这个什么偏导数，就是二十六，那就是， 嗯，它它是 x， x 是 ab， 然后啊点乘乘就是十三分之十五，再加上 右边的一乘十三分之，嗯，这个是十二乘上，看下十二乘上二十六是三百一十三百一十二，然后这个要等于 十三分之三百二十七。嗯，那这个答案就是十三分之三百二十七。那么这道题就讲这里，谢谢大家。

大家好，我是白白老师，这节课我们一起来学习导数的概念及其几何意义。 我们知道变化率，它有什么？平均变化率和瞬时变化率。 好，它有平均变化率和瞬时变化率。 好，平均变化率应该如何表示？微平就等于 s 二减 s 一 比上一个 t， 二减 t 一 就等于 double s 比上一个 double t 好， 升值变化率 好，瞬时变化率就是某一时刻，那么就等于啊，当这个单调 t 趋近于零时啊，单调 t 趋近于零的时候就是什么？ 嗯，呃，单调 s 二减 s 一 比上一个单调 t 啊，或者说啊，当这个单调 t 趋近于零的时候， 就等于 that s 比上一个 that t 啊，其实啊，瞬时变化率就是我们的导数啊，就是某一时刻啊，好 啊，瞬时变化率就是我们导数，那么导数应该如何去表示呢？就是 f 撇 x 来表示啊，它又等于什么？ y 撇啊？ x 等于 x， 零，还等于它在某一时刻的去记单位 x 去记于零的时候的一个变化。 好，它含等于 name it delta x 取其于零， delta y 比上一个 delta x， 那 它的几何意义应该怎么样去表示？好，我们来画个图 好，比如说，这里有条曲线啊，这个是 p 零啊，这个是 p。 好，这有一条，这个叫割线啊，这个是 x 啊，好，这个距离称之为 delta x， 那 么平均变化率其实就是，是吧，割线的节率啊。 好，那什么是瞬时变化率？或者说什么是导数？它的几何 e 又该如何表示呢？啊？同样是这个图， 好，这个是 pi 零，好，这个是 pi 零啊，好，这个是 x， 那 么这个， 这个是 p 点啊，这个是 p 点， p 点无限靠近它，到这这个单调 x 趋近于零的时候，它就只剩一个点了，所以，所以这个什么瞬时变化率，就是牵线的频率， 这个就是我们今天要了解导数的概念及其几何意义，你听懂了吗？赶紧去做题吧。

老师好，请坐！我们知道物体在做曲线运动时及速度是与运动轨迹相切的， 而我们在平面解析几何中已经学习过圆锥曲线切线的求法，但是那种求法不适用于一般的曲线，那么一般曲线的切线我们该如何求呢？这就用到我们本节课的学习内容倒数 好了，我们看本节课的教学目标，请快速的大声的读一遍。课标要求，通过实际分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程， 了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想 素养。要求，通过导数概念的实际背景，体会导数的内涵与思想发展学生的数学抽象素养、直观想象素养和逻辑推理素养。 好，我们来看这个情境导入来，大家快速的读一读，快速的读， 从物体中我们看到，如果物体留的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的垂直处 的方向是与直线相切的。例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过 a、 b 两点的，则物体在 a 点处的顺时针速度的方向与下腰 a 的 方向相同。这里面出现了一个概念叫顺时针速度。 来，大家想一下什么是瞬时速度，一瞬间的速度，哎，很好，瞬时速度，顾名思义就是一瞬间的速度。来看两个座位，学校门口限速三十，这是什么速度？瞬时速度还是区还是平均速度呢？ 大家想一下关键点在哪里？学校门口他是一个点，所以说这个速度应该是顺势速度，非常好看。第二个 违章抓拍测的是什么速度？顺势速度关键点在哪里？抓拍，对，抓拍他是抓的一个点，所以说是顺势速度。那区间测速测的是什么速度？ 平均速度。平均速度。关键点在哪里？区间，哎，是区间，是区间。 好了，我们一起看一下这个常识与发现已知物体运动的位移 x 米与时间 t 秒的关系为这个式子分别求出物体在一到二与二到三这两段时间内的平均速度，这里面涉及到了平均速度。 回忆一下，平均速度其实就是就是什么？就是平均变化率，变化率，哪位同学来说一下平均变化率怎么求？来，你来说。 呃 delta y 提上 delta x 等于呃 f x 零，加上 delta x 减去 f x 零，提上 delta x。 哎，非常好，好，请坐。 那我们根据这个式子很容易就能求出这两个区间上的平均速度。好了，看第二位 思考物体在 t 等于二十的速度该如何定义？ t 等于二十，这就是一瞬间了啦，那么这个速度应该就是顺序速度。那这个怎么定义呢？动脑想 好找同学来说一下。谁来说一下举手来，是否可以通过一段极短时间内的平均速度来？嗯，那个近四某一时刻的速度， 哎，可以用一个极短时间内的平均速度来近四的去估计这一瞬间的速度可以。好，那么我们具体来数一下七等于二十的速度该怎么求？ t？ 基本二十的物体的速度为 v 米每秒啊，你可以设为 v， 那 么第二个 t 很 小时，第二个 t 很 小时。物体在二和二加第二 t 为端点的 b 区间内的平均速度应该是 v 的 第四值哦，可以求出它的平均速度，也说是 h 二加多少 t 减去 h 二再比上多少 t 了吗？那么我们就可以求出它的值了吧。哎，但是这个是 平均速度，但当它 t 很 小的时候，我们可以用平均速度来估计这个顺势速度了吧。哎，非常好啊，好，请坐 好了，我们由平均速度的计算公式得到这个式子 啊。但是他刚才说了，得当 d r t 很 小的时候，这个式子才可能才可以估计，对吧？来，我们看一下表， d r t 很 小时是什么意思？ 先看前三个，负零点一，一直到负零点零。零一是从负数方向越来越接近于零零，也说 d r t 变得越来越 接近于零了吧，越来越接近零，这个时候平均速度越来越接近谁了？二越来越接近二。好，再看后面的，再看后边呢？ 从 d 的 t 从零点一一直到零点零一，这个时候是从正向越来越接近于零，而平均速度越来越接近于谁二，所以说我们可以估算出这个位越来越接近于谁啊， 越来越接近于二了吧。哎，这是由表格中我们得到，当它 t 有 负相接近于零的时候，当它 t 正向接近于零的时候，为都是越来越接近于二。那好了，我们能不能直接由表达式得到这个结论呢？ 当它 t 趋向于零的时候，来看一下这个 v 就 趋向于谁了。二加零点五乘以零，也就是二了吧，也是二了，和我们刚才得到的结论是一致的。好了，那么这个二 我们就可以看成当 t 等于二十物体的速度，这个速度我们叫它为瞬时速度，当然一般简称为速度。那这一速度的实际意义是什么？ 大家讲一下啊。 t 等于二秒的时候，它的瞬时速度是二吧。我们可以取极小的一个时间段内，平均速度可以都看成是二了吧。那么在以极小的时间对时间段内的谓语怎么求谓语呢？什么 s 等于 v 乘以 t， 那 v 现在是几二？而你的时间段是多少？德德克士，也就是说你的 v 一 的近似值就是谁了。 二乘以德克士，这就是这个 v 等于二的实际意义。哈， 这用到了极限思想。其实瞬时速，速度在我们日常生活中非常常见，比如说 当汽车行驶的时候，速度表盘上显示的速度告诉我是瞬时速度还是频率速度。瞬时速度。哎，瞬时速度好，当动车行驶的时候，车厢内显示屏上显示的。

同学们好，欢迎来到高中数学精讲，今天我们学习导数这一章的第一个知识点，导数的概念。这节课我们将从五个方面来理解导数， 分别是平均变化率、瞬时变化率、几何意义、物理意义以及可导与连续的关系。 导数是高考数学的核心考点，理解透彻了才能应对各种题型。好，我们正式开始。首先来看平均变化率。在函数的图像上取两个点， p 和 q， 从 p 到 q， 横坐标的变化量叫 delta x， 纵坐标的变化量叫 delta y， 平均变化率就是 delta y 比 delta x， 也就是 f x 零加 delta x 减 f x 零，再除以 delta x。 从几何角度看，这就是过 p 和 q 两点的割线的斜率。 记住， delta x 不 等于零，它可以是正的，也可以是负的，这就是平均变化率的完整定义。 下面我们来看瞬时变化率与导数的定义。在曲线上取一个定点 p， 再取一个动点 q， 连接 p 和 q， 得到一条割线。注意观察右侧的公式面板。割线的斜率等于 delta y 比 delta x， 也就是 f x 零，加 delta x 减 f x 零，再除以 delta x。 现在让 q 沿着曲线向 p 靠近， delta x 越来越小，割线越来越接近切线，斜率的值也在不断变化，当 q 无限逼进 p 时，割线就变成了切线，割线的斜率就趋向于切线的斜率， 这就是从割线到切线的极限过程。好，现在我们给出导数的正式定义， f 在 x 零处的导数等于 delta x， 趋向于零时， delta y 比 delta x 的 极限， 也就是 f x 零加 delta x 减 f x 零除以 delta x 取极限等价形式是 x 趋向 x 零时， f x 减 f x 零除以 x 减 x 零的极限。这两种写法是完全等价的。考试中都会出现 导数的记号有两种，一种写作 f p x 零，另一种写作 dy 比 dx 在 x 等于 x 零处的值。请大家务必记住这两种标准记法。 现在来看导数的物理意义，这是一条位于随时间变化的曲线 s t， 在某一时刻 t 零。曲线的切线斜率就代表该时刻的瞬时速度，也就是说速度 v t 等于位于 s t 的 导数，位于对时间求导得到瞬时速度速度，对时间求导得到瞬时加速度 t。 所以 导数的物理本质就是瞬时变化率，它刻画的是函数在某一点附近变化的快慢。 接下来我们看导数的几何意义， f p x 零等于曲线，在该点处切线的斜率，上方是原函数的图像，下方是导函数的图像。 注意看，原函数上的关键点和导函数上的点是一一对应的，当导数为零时，对应的就是原函数的极值点。 右侧给出了切线方程的公式， y 减 f x 零等于 f 撇 x 零乘以括号 x 减 x 零。这里有一个高考常考的区分，在某点处的切线和过某点的切线一字之差，方法完全不同， 在某点处的切线，切点已知，直接代入即可。过某点的切线，切点未知，需要设参数连，力求减。现在我们通过两个例子来展示区别。例一，求曲线 y 等于 x 的 平方，再点一逗号一处的切线， 因为切点就是一逗号一在曲线上直接求倒 y 撇等于二， x 代入 x 等于一，斜率 k 等于二，所以切线方程是 y 减一等于二，乘以括号 x 减一，化简得 y 等于二， x 减一， 切点已知一步到位 b 二求曲线 y 等于 x 的 平方，过点零逗号负一的切线。注意零逗号负一，这个点不在曲线上，所以切点未知。设切点为 a， 逗号 a 的 平方 y 撇等于二 x， 所以 切线斜率 k 等于二， a 切线过点零逗号负一，带入的 a 的 平方加 e 等于二， a 的 平方。解的 a 等于正负一，所以有两条切线， y 等于二， x 减一和 y 等于负二， x 减一， 过点不在曲线上，就要设三连律，可能有多解，高考易混点一字之差，方法完全不同。 下面来看用定义求导数的三步法。第一步，求增量，算出 delta y 等于 f x 零，加 delta x 减 f x 零。第二步，求比值，算出 delta y 除以 delta x。 第三步，取极限， 让 delta x 取向于零，求出极限值。现在我们用一个具体的例子来演示求 f x 等于 x 的 平方，在 x 等于一处的导数。 第一步，求增量， delta y 等于括号一加 delta x 的 平方，减一，展开得二 delta x 加 delta x 的 平方。 第二步，求比值， delta y 除以 delta x 等于二，加 delta x。 第三步，取极限，当 delta x 趋向于零时，二加 delta x 的 极限等于二，所以 f p 一 等于二。 三步法是用定义求导数的基本方法，一定要熟练掌握。现在来看到数定义的常见变形核心原则就四个字，上下同增量。也就是说分子中自变量的变化量必须等于分母。 第一种标准定义， h 趋向于零时， f x 零除以 h 等于 f p x 零，这是最基本的形式。 第二种，整体替换，把 h 换成 alpha h， 分 子分母同时替换，结果不变，仍然等于 f p x 零，关键是上下同增量。 第三种，凑系数分子是 alpha h 的 增量，但分母只有 h， 不 满足上下同增量，需要乘以 alpha 来凑，所以结果等于 alpha 乘以 f p x 零。 第四种也是最重要的，一般公式，分子是 f x 零加 alpha h 减 f x 零加 beta h。 分 母式 h， 结果等于括号 alpha 减 beta 乘以 f p x 零。记住这个公式，绝大部分变形题都能秒杀。 下面看一个具体的例子。已知 f 撇一等于二，求极限 h 趋向于零时， f 一 加三， h 减 f 一 减 h 除以 h。 对 照一般公式，这里 alpha 等于三， beta 等于负一， 原式等于括号 alpha 减 beta 乘以 f 撇一等于括号三减负一乘以二等于四，乘以二等于八。记住一般公式，绝大部分变形题都能秒杀。接下来我们区分两个重要概念，导函数和导数值。 当 x 不 固定，对任意 x 求导，得到的 fpx 是 一个函数，叫做导函数。而 fpx 零是把 x 零代入到函数后得到的一个具体的数，叫做导数值。 fpx 是 函数， fpx 零是数。概念不同，做题时切勿混淆。最后来看可导与连续的关系，可导一定连续，但连续不一定可导。 我们来看一个经典反例， f x 等于 x 的 绝对值在 x 等于零处， 这个函数在零处是连续的，但是不可导。为什么呢？我们来算左导数和右导数。左导数，当单调 x 从负方向取向于零时，结果等于负一。 右导数，当单调 x 从正方向取向于零时，结果等于一，负一不等于一，左右导数不相等， 所以 f x 等于 x 的 绝对值在 x 等于零处不可导，图像上的尖点处就是不可导的点。下面来看基本初等函数的导数公式，一共有八个公式，需要熟练记忆。常数的导数等于零， x 的 n 次方的导数等于 n， 乘以 x 的 n 减一次方，这是密函数求导法则。 sin， x 的 导数等于 cos x， cos x 的 导数等于负， sin x， e 的 x 次方的导数等于它本身， e 的 x 次方， a 的 x 次方的导数等于 a 的 x 次方乘以 l n a， l n x 的 导数等于某分之一，以 a 为底的对数的导数等于 x， 乘以 l n a 分 之一。 其中密函数求导公式 e 的 x 次方和 l n x 的 导数公式是高考导数题中出现频率最高的三个公式，务必熟记。 补充一下常用的导数记号，第一种， f p x 零，这是拉格朗日记号，也是最常用的。第二种， y， p， 强调因变量 y。 第三种， dy 除以 d x， 这是莱布尼茨记号，也叫微商。 第四种， y 上面加一个点，这在物理中常用，表示对时间求导。好，我们来做一个关键总结。 第一，导数的本质导数就是顺时变化率，是平均变化率，取极限的结果。第二，几何意义导数等于切线的斜率。 第三，物理意义导数可以表示顺时速度和顺时加速度。第四，在于过，这是切线问题中最核心的审题要点，一字之差，方法完全不同。第五，三步法，求增量，求比值，取极限。 第六，定义变形，记住上下同增量和一般公式。第七，可导与连续可导一定连续，但连续不一定可导。 以上就是导数的概念这一节的全部内容，下一讲我们将学习基本求导公式与法则，同学们下次再见。

的几何意义，两个重要概念的几何意义，那因为有的题目是要根据几何意义来做导数，几何意义大家都非常熟悉，那就是曲线在内的切线的谁啊？斜率啊，一个函数在这个的导数几何上就表示这个点在曲线对应那个切线的斜率， 所谓切线的斜率，就是这个切线和 x 轴夹角的斜率，就是导数的几何意义。 那么导数积分在我们考卷里面还很喜欢考，考谁考给了一个曲线让你求谁啊？切线法线， 大家知道不管求切线法线，关键是求谁啊，切线的切率，而切线切率就等于谁啊，这点的导数，所以考我们导数几个意义，那就是考这种切线法线考的很多，然后呢，这个为分的几个意义， 那微分呢？大家知道是底 y， 这个等于谁，就等于这一点的导数乘上谁，自变量的微分也就自变量改变了，那谁来也就谁呀？ tan 进去 r 法乘上谁 delta x， 大家知道这个是二法，那这个角也是二法，那你这个角的摊进去乘这个直角边为分是不是几何上表示这个直角边？要在几何上的话，为分就应该是这个直角边， 但是如果要一句话来概括，怎么概括呢？那你注意为分就净四等于谁？德尔塔外，德尔塔外是谁？是这一点的函数值与这点函数值的差， 那也就是曲线在这点外坐标与这点外坐标差，所以这个德尔塔外应该是这段，我们也把它通俗的叫做德尔塔外函数改变量就是曲线上的改变量，而为分 是这一段，这段，这段是不是应该是这个切线在这一点的外坐标与这一段外坐标差，所以我们说为分就是切线上的改变量，而。

大家好，我叫张凯，今天我来讲一道题。第七题， follow the unit normal vector on the outward pointing side of the rotation surface obtained by rotating the cube。 这个方程 around the y axis at the point p 点 solution。 我 先写出来这个上面的方程，三 x 的 平方加上 o y 的 平方等于零，呃，等于十二， 嗯，然后他说绕着 y 轴旋转，这个，呃，绕 y 轴旋转，那就是，呃，这个是个椭圆，我们可以看出来，然后这个绕 y 轴旋转， 那么那我们这个公式是这样子的，三乘上 x 平方，加上内的平方，再加上二 y 的 平方等于十二，可以说是这样的一个图形， 呃，它是一个椭圆， x， y， z 那 肉 y 就 旋转，大概是这个用平面去切，它大概是长这样， 嗯，画完吧。 呃，对，差不多是这样的一个图形，然后，呃，然后它这个对它的方程是这样子，给这个三乘，这里面 三 x 的 平方，再加上二 y 的 平方，我这个把 y 放前面，它还行吗？写坐标的时候我不要放， 加上三 z 的 平方等于十二，嗯，它这种形式不行，因为我们这个， 因为它这个是要求。呃， unit unit normal vector。 先不单不管这个单位，就这个法，法向的话得求 t 度， t 度这种形式是不行的， t 度的都写成 z 等于 f， x， y 正形式，但是我们没有主形式，就写成这个 u 要等于 f， x， y， z 升为了，那我们就是设 u 要等于，要等于三 x 平方，加上 o y 的 平方，加上三 z 的 平方。 嗯，把这个十二移过来的球踢住，这个十二的踢度，还是这个移过来能用，嗯，就是把这个 u 设为这个，然后现在这个 u 球踢住 得 u 等于 x 的 话就是六六， x 在 这个 y 的 话是四 y， z 是 六 z。 好，现在再把这个细点带进去的 u c 要等于。 第一个是零，就是零，第二个 y， 呃， y 是 根号三，四倍，根号三， 类似更好，都被更好，然后但是求出这个不行，他说要求出来， 再求出。呃， unit number that， 然后这个条要求出单位，这个单位发行量，单位发行量的话 n 等于，其实这些都等于 n 的， 然后这个根的模就等于 先对它们的平方，根号零的平方是零，加上嗯， y 的 平方就是四乘十六，十六乘上三等于四十八， 四十八，再加上后面这个六倍根号二，嗯，这个平方用三十六，三十六乘二，七十二，七十二，然后这个要加等于 四十八，加上七十二，这一张算出来是一百二十， 嗯，好，根号一百二十，也给他化解一下。根号一百二十，根号一百二十的话，我们可以化成四乘三十，然后根号三十，化解不了的，根号四等于二，换成二倍，根号三十。 那我们现在开始算这个单位法。像这样 n， 这个 n 的 模分之 n 要等于， 嗯，奥倍，根号三十分之零四倍根号三， 六倍根号这个等于零， 二倍，根号三十分之四倍根号三， 然后是二倍，根号三十分之 二倍，根号三十分之六倍，根号二，然后这个要等于嗯， 零，然后它这个先这个约分，约分，把整个括号给这个打下，嗯，四倍，哦，四倍刚好等于十二， 就是根号三十分之，根号十二。呃，右边这个二和六就一约三，三倍，根号二十，根号十八， 根号三十分之，根号十八， 这个要等于零，然后给它主要扩起来三十分之十二，然后再给扩起来三十分之十八， 这个要等于零，然后根号十二分之三十，就根号十五分之，根号十五分之，根号六， 我就直接写成十五分之六会更好一些。然后右边的根号十八和这个三十一约就等于十五分之九， 你就写成根号十五分之三，这题就结束了，那么这道题就讲到这里，谢谢大家。

这种题数三也不能考，因为数三不要求三角方程求导，只有数一数二可以考，还有什么问题呢？曲线如果用极坐标方程给出， 那这个时候，比如说曲线用入等于 e c 塔极坐标给出，然后要求这一点处切线的直角坐标方程。 那你要求切线的直角坐标成，关键还是求切线斜率，切线斜率等于谁？我们说不管曲线用谁表示切线斜率都是 d y 谁啊？ dx 如何求这个 d y dx 呢？对这种曲线用极坐标的方程给出的时候，这个突破口就是利用谁直角坐标和极坐标的关系。 那我们在学二乘七分的时候，我们知道 x 等于谁，是不是就等于入乘 cosine theta， 那 入现在等于谁？ e theta， 所以 就等于 e theta cosine theta， 那 这个 y 等于谁？ y 不是 就等于入 cosine theta 吗？但是入现在等于 e theta 啊，所以 e theta theta theta theta， 所以他的基本思想就是你给了极坐标方程，我就可以写成它参数方程，这个 s y 是 不都用 c， 它表述出来了，这就是参数式，怎么写？就是利用的极坐标和直角坐标的关系。那你这个怎么求？按照参数方程求导可以求了， 上面 y 是 不是应该对 sat 求导？这个对 sat 求导就是 e sat 塞进 sat 加上 e sat 谁啊？ cosine sat， 然后分母除以 x 对 sat， 那 就是 e sat， cosine sat 减去 e sat 塞进的 sat， 然后把 c 塔用谁啊？二分之派带进去，那么这个 c 塔用二分之派带进去，他就知道。那你这个时候呢？ cosine 的 二分之派，这个和这个都等于零了，只剩下这个，这个点差一个符号，那就等于谁一带就等于负一，斜率之道， 然后要写谁啊？切切方程，那么你要写切切方程，外减外零外零等于谁？你不是这个地方 c 塔等于谁？二分之二，你也可以把它带到这啊， c 上等于二分之派，带到这就是你的外坐标啊。那这个时候大家知道塞隐的二分之派是等于一，那所以这就是 e 等于二分之派，然后呢就等于斜率，斜率就是负一乘上 x 减 x 零 x 零，就是这个呀，把 c 塔用二分之派带进去，但知道 cosine 的 二分之派等于零，所以这个就等于零， 然后你把它移一下，这个就写出来了。所以我个人认为就是关于导数在几何上应用，一般考我们就是考曲线的切线或者法线，但是考来考去就三种题，就是曲线分别用直角、坐标、参数、方程及坐标表示。 那我说你把这三道题做会，主要是做会，通过这三道题学会这三类问题的方法。

来看金店五杠三，已知 limit delta x 趋向于零啊，这个式子它等于三啊，我们看到这个式子的话，它就是与我们的瞬时变化率啊，有关的啊，瞬时变化率有关的。 完了之后呢，则 x 零处的切线的是不是斜率？刚才我们说了，某点处切线的斜率呢，它指的就是这个点处导函数的函数值，它就让我们求的是 f 撇谁啊， 是不是 x 零啊，这个点处的导函数，那么这个点处的导函数也就是 x 零处的瞬时变化率。我们来看这个式子， 那么它表示瞬时变化率的话，我们在上上节课说过啊，瞬时变化率这个式子中满足的条件，我们这将再重复一下啊，大家看，就是瞬时变化率这个式子给出来之后呢，满足的条件是 挺好啊，分子中的分子中 自变量的 变化量啊，变化量它要等于 分母中 哎，自变量的变化量， 嗯啊，这首先把写写字的时候它比较那个啥比较慢啊，有时候就黏到一起了 啊，就这句话，分子中自变量的变化量要等于分母中自变量的变化量，在这种情况下呢，它才称为是某点处的瞬时变化率啊，这个信息先搞清楚。好，现在我们来看这个式子哎， limit delta x 趋向于零， 下面是两倍的 delta x 啊，上面是 f x 零加三倍的德阿特 x， 减去一个 f x 零啊，是这个式子，那我们来分析一下，你看这个分母中的变化量，分母中的变化量就是两倍的德阿特 x， 那么分子中自变量的变化量呢？你看之后的是 x 零加三倍的德尔特 x 啊，之前是 x 零啊，之前是 x 零，那么之后的自变量减之前的自变量呢？它对应的是结果，结果是三倍的德尔特。啥是 x？ 所以说我们发现呢，这地方，呃，一个问题，就是分母中是两倍的的 x， 分 子中是三倍的的 x， 分 子和分母中自变量的变化量是不一样的啊，所以说呢，我们首先要把它化成一样的哎， x 趋向于零， 上面是 f x 零加三倍的德尔塔 x， 减去一个 f x 零啊，下面是两倍的德尔塔 x。 那 么怎样做能使我们分子分母中的变化量一致呢？ 这地方是三倍的德尔塔 x， 这是两倍的德尔的 x， 我 们需要给这个分母乘以一个多少呀？哎，是二分之三 啊，配的时候在分母上配分母上乘一个二分之三的时候，你看是不是分母变成三倍的的 x， 分 子中也是三倍的的 x， 是 不是同步了？但是我们平白无故的乘一个三，乘一个二分之三的话啊，变了，我们再给这个分子呢，再乘一个多少二分之三 啊，这地方乘了多少二分之三？好，这样就是我们把它配成了哎瞬时变化率的形式。那么此时这个式子，我用这个 黄色的圈一下啊，哎，此时这个式子呢，这块式子它就表示的是 x 零处的瞬时变化率，就是 f， 哎，就是我们的 f p s 呀，说 x 零，但是它需要多乘一个多少二分之三 f p s 零乘以二分之三啊，它对应的这个结果是题目中给出来是哎，它等于三。 好，所以说我们求出来 f 撇这个 x 零就等于哎三，说除以二分之三乘以多少呀？三分之二，哎，就等于几啊，是吧？啊，好，那么这个 x 零处导函数的函数值是二，那么 x 零处切线的斜率就是几？啊啊啊，就这样解决了。好，这是我们这道题对应的整题思路。