苏科版八年级下册数学补充答案及过程

八下数学容易丢分，先别急着刷题，跟着我读透教材二零二六苏科版专属，话不多说，直接开始。 ok， 小 朋友们，那我们一起来把平行四边形的题型部分完成一下。在此之前，先回忆一下平行四边形有哪些知识点。首先是它的性质，第一个它的定义就是两组 对边平行，第二个呢，是两组对边分别会相等吧，还有就是两组 对角也相等，最后是对角线互相平分， ok， 那 么反过来怎么去判定一个四边形是平行四边形呢？如果是两组对边平行，肯定能判定吧，这个是平行四边形的定义，两组对边相等呢，也能证明就是平行四边形。两组对角相等呢，他也能证明，只不过教材里面没有直接把它作为一个定律。 那对角线互相平分呢？也能判定平行四边形，也就是说这四个都是互逆的条件。另外再加上一个一组对边 平行且相等，也能证明平行四边形。好，那我们正式看到题型部分， 第一题，如图，正六边形中包含六个全等的等边三角形，它包含多少个平行四边形？一个、两个、三个、四个，然后这边五个、 六个，也就是相邻的两个等边三角形，都能够成一个平行四边形，总共六个。第二题，在平面直角坐标系中，四边形 o、 a、 b、 c 是 平行四边形， b、 c 等于三，那么点 a 的 坐标 o、 a 的 长度是三，所以它的坐标就是三。零 三题求证。加在两条平行线之间的平行线段相等，那肯定呀，这两个平行的话，再来一条平行线段就是平行四边形啦，那必然相等。第四题，如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，角 abc， 角 a、 d、 c 的 平分线分别交边 a、 d、 b、 c 于点 e、 f。 求证 b、 e 平行 d、 f 因为是角平分线，所以这个角用 r 表示，这个角也是 r 法。 然后呢，对角又相等 d、 f 也是平分线，那这两个角也都是 r 法吧。又因为 a、 d 平行 bc， 所以 角 a、 e、 b 也是 r 法，等于角 abc， 那 么同位角相等吧 b、 e 平行 d、 f。 证明出来了。第五题， b、 d 是 三角形 abc 的 角平分线，也就是这个角用 r 法表示，这个角也是 r 法。 点 e、 f 分 别在边 a、 b、 bc 上，且 e、 d 平行 bc， ef 平行 a、 c。 那 么四边形 e、 d、 c、 f 就是 平行四边形了， e、 d 的 长度就会等于 c、 f 吧。对边相等， 他要求证 b、 e 等于 c、 f。 那 很好证明呀，因为这个角也是 r 法，那么三角形 e、 b、 d 就是 等腰三角形 b、 e 会等于 e、 d 也会等于 c、 f 这边刚好有位置，写一个过程吧。证明，因为 e、 d 平行 bc， ef 平行 a、 c。 所以 四边形 e、 d、 c、 f 是 平行四边形， 所以 e、 d 等于 c、 f。 因为 b、 d 是 三角形 abc 的 角平分线，所以角 e、 b、 d 等于角 d、 b、 c。 又因为 e、 d 平行 bc 可得角 e、 d、 b 等于角 d、 b、 c 等于角 e、 b、 d。 所以 b、 e 会等于 e、 d。 所以 b、 e 等于 c、 f。 ok。 第六题，如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，对角线 a、 c、 b、 d 相交于点 o 过点 o 的 直线，分别交边 a、 d、 b、 c 于点 m、 n。 求证 o 是 m n 的 中点，也就是证明 o， m 等于 o n 吧。那是不是又得证明哪两个三角形全等呀？哎，三角形 a、 o、 m 和三角形 c、 o、 n 看起来很像，全等， 那证明的话其实很简单，首先是有一组对顶角相等，然后呢，平行内错角相等，加上 o， a 等于 o、 c， 就 可以用 a、 s、 a 角边角来证明了。 同时呢，还可以得到 a、 m 等于 c、 n 吧，所以大家其实还可以再证明 m、 n 会把这个平行四边形分成面积相等的两部分，这个任务交给大家完成。第七题，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，对角线 a、 c、 b、 d 相交于点， o， e 是 a、 d 边上的一点， e、 o 垂直于 b、 d。 然后呢， o、 b 又等于 o、 d， 所以 三线合一，这是一个等腰。三角形 b、 e 会等于 d、 e。 已知平行四边形 a、 b、 c、 d 的 周长是十五，求三角形 a、 b、 e 的 周长就会等于 a、 b 的 长度加上 d、 e 的 长度，再加上 a、 e 的 长度，也就是相当于 a、 b 的 长度加上 a、 d 的 长度吧，刚好是二分之一的周长等于二分之十五。 第八题，如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， b、 d 是 对角线， a、 e 垂直 b、 d、 c、 f 垂直比例垂足，分别为 e、 f 连接 a、 f、 c、 e。 求证四边形 a、 e、 c、 f 是 平行四边形好，因为这边是垂直，这两个角相等，所以 a、 e 平行 c、 f。 你 只要在证明 a、 e 等于 c、 f 就 可以了。一组对边平行写相等就是平行四边形，好，那这个过程我来写一下啊， 证明，因为四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，所以 a、 b 平行且相等 cd， 所以角 a、 b、 e 等于角 c、 d、 f 又因 a、 e 垂直 b、 d、 c、 f 垂直 b、 d， 所以角 a、 e、 b 等于角 c、 f、 d 等于九十度。然后在三角形 a、 b、 e 和三角形 c、 d、 f 中 角 a、 b、 e 等于角 c、 d、 f 角 a、 e、 b 等于角 c、 f、 d。 这个是角，角边是 ab 等于 cd。 所以 三角形 a、 b、 e 全等三角形 c、 d、 f。 所以 a、 e 等于 c、 f。 又因为角 a、 e、 f 等于角 c、 f、 e 都会等于一百八十度减九十度等于九十度吧。所以 a、 e 平行 c、 f。 这样的话就得出 a、 e 平行且相等于 c、 f 吧。所以四边形 a、 e、 c、 f 是 平行四边形。 ok。 第九题，如图，在三角形 abc 中， ad 是 三角形 abc 的 中线，也就是 b、 d 等于 cd。 一， 用直尺和圆规作图，延长 ad 到点 e， 使得 d、 e 等于 a、 d。 那 很简单，以地点为圆心， a、 d 的 长为半径，画圆吗？与延长线的交点就是我们的点 e 了，再连接 b、 e、 c、 e。 第二，在一中所画的四边形 a、 b、 e、 c 是 平行四边形吗？那不包是的吗？对角线互相平分，直接证明是平行四边形。这个题如此的简单，那千万不要小看它，这是一个常见的做辅助线的方式，当你遇到中线的时候，延长一倍，叫做什么 倍长？中线可以构造出一个平行四边形。第十题，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，对角线 a、 c、 b、 d 相交于点 o、 g、 h 分 别是 o、 b、 o、 d 的 中点，那就意味着 b、 g、 o、 g、 h、 h、 d 这四条线段都相等，因为对角线互相平分嘛， 然后 g、 h 又是它们的中点或点 o 的 直线，分别交边 b、 c、 a、 d 于点 e、 f。 那 么 o、 e 的 长跟 o、 f 的 长也相等，我们前面有一题刚好证明过了， 那么这个题只是求证四边形 e、 h、 f、 g 是 平行四边形，对角线互相平分 ok， 直接正好了。第十一题，如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 平行 c、 d。 对 角线 a、 c、 b、 d 相交于点 o 过点 o 的 直线分别交边 a、 b、 c、 d 于点 e、 f、 o、 e 等于 o、 f。 求证四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。那你只需要再证明 a、 b 等于 c、 d 就 好了呀。一组对边平行且相等嘛。 那么这两条边怎么证明相等呢？看来又是得利用全等了。这个角跟这个角是对顶角相等的，然后呢，内错角也会相等， 我只需要再证明 o、 a 的 长度等于 o、 c 的 长度不就好了吗？也就是再证一下 a、 o、 e 和 c、 o、 f 全等就可以了。那证明过程我再写一下啊， 证明因为 ab 平行 cd， 所以 角 b， a、 o 等于角 d， c、 o。 又因为角 a、 o、 e 等于角 c、 o、 f。 这是一组对顶角。那么在三角形 a、 o、 e 和三角形 c、 o、 f 中， 好把全等的条件列出来，角 e、 o 是 等于角 f， c、 o 吧。 角 a、 o、 e 等于角 c、 o、 f。 然后再加上 o、 e 等于 o、 f， 就 可以利用角角边来证明全等了。 所以三角形 a、 o、 e 全等三角形 c、 o、 f。 所以 a、 o 等于 c， o。 又因为角 a、 o、 b 等于角 c、 o、 d。 在三角形 a、 o、 b 和三角形 c、 o、 d 中，再把全等的条件列出来，角 a、 o、 b 等于角 c o d， a、 o 等于 c o。 刚才证明出来的角 b， a、 o 等于角 d， c、 o。 所以呢，可以根据角边角来证明它们全等。所以三角形 a、 o、 b 全等。三角形 c、 o、 d。 所以呢， a、 b 就 会等于 c、 d。 又因为 a、 b 平行 c、 d， 所以 四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。 ok。

今天和大家分享新授课版八年级数学下册八点一节平行四边形的第三课时，从边的关系判定平行四边形， 它说并证明平行四边形。判定定律、判定定律二，并能用这两个判定定律解决简单问题。 平行四边形定义和性质有哪些？两者对边分别平行四边形、平行四边形、平行四边形对边平行，角相等，对角相等。对角线方向平分就是它的性质。 反过来，四边形满足什么样条件一定是平行四边形呢？首先从定义上，两组对边平行肯定是平行四边形，那两组等长的细木条做成一个四边形小框子，它一定是平行四边形呢？好，我们今天就来探求它。是不是 啊？我们感觉不管怎么变化，它都是平行四边形，如何进行证明呢？ 要证明它是平行四边，就得得到两组对边平行，那我们已经有两组对边相等了 是吧？要证明必须证明内错角相等，两条线平行，所以这题要做辅助线。连接 a、 c 或者连接 b、 d 都可以连接 a、 c 啊。 在两个三角形当中，边边边全等全等以后，角一等于角一等于角四上下平，所以这是平行四边。 好，然后把这么多的证明过程又变成一句话，角两组对边分别相等的四边形是平行四边形，就得到了平行四边形。判定定零一两组对边分别相等的四边形是平行 四边形。 a、 b、 c、 d 当中那 ab 等于 dc， bc 等于 d， a 四边形 a、 b、 c、 d 就是 平行四边。 如果一个四边形只有一组对边相等，能判断这个四边形是平行四边形吗？那肯定是不行的啊，肯定是不行，对吧？不一定啊， 已知啊，如图，在四边形 a、 b、 c、 d 当中， ab 平行于 cd， 且 ab 等于 cd 平行且相等。 我们看一看它是不是平行四边形，就它跟它相等又平行，对吧？我们 怎么证明呢？还是得连接 a、 c。 因为平行所以角一等于角。二。在两个三角形当中，一组边向等 a、 c 等于 c， a 公共边 两边加一角，两三角形全等全等以后，得到 a、 d 等于 bc。 利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形。可以，你也可以这个正，另外一组对边，你看一全等，这两个角相等， 一相等，上下平行。用定义法也可以啊。好，从而把刚才的证明过程再简化。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 啊。在四边形 a、 b、 c、 d 当中，一组对边平行剪向的，在这个四边形平行四边形。第三，平行四边形 a、 b、 c、 d 当中啊， ef 在 a、 d、 b、 c 上， a、 e 等于 c、 f， 这个连接 b、 e、 d、 f。 问，中长音是不是平行四边形？好，我们外边是平行四边形，所以上下平行，上下相等，再同减这两个相等，所以上下平行且相等。中长音是平行四边形。 好，你看大的平行四边形，上下平行且相等。要因为 a、 e 等于 c、 f 可以 通解剩下的相等啊，剩下的平行且相等，所以是平行四边形啊， 还有其他正方吗？啊，好，正方。二是吧？这个 平行四边形 ad 等于 ac， 这边等于这边 ab 等于 cd， ad 等于 bc， 角 a 等于角 c， 是 吧？又因为这个 a、 e 等于 c、 f， 所以 这两个小三角形全等，两个小三角形全等，从而证明 b、 e 等于 d、 f 啊。再根据同剪，这两个相等，两组对边分别相等，平行四边形也可以啊， 正发三是吧？刚才已经正出这两个三角形全等了，全等以后，这两个小角相等， 然后啊，这两个小角相等，因为是平行四边形，所以上下平行， 上下这个平行，所以角 a、 e、 b 就 等于这个角平行，内错角相等，等量代换，同位角相等，两只线平行左右就平行，两组对边分别平行四边形是平行四边形。所以你看，同样一个题，我们有三四种做法， 所以希望大家呢，要多思考啊，不要要，都能学会比较好。来。第一个角， abc 角， adc 是 平行四边形，两个角的角平行线，由于两个大平行四边形，两个大角等又都是角平行线，所以这四个小角等 四个小角，对吧？啊，平行边，上下平行，内错角相等，等量代换，同位角相等，两边平就出来了啊，你看，因为是平行边，所以上下平行啊， 这个，这点没有。所以啊，上下平行，对对角相等，因为是啊，角平行线，所以最后得到这两个角相等，又因为 上下平行，内错角相等，等量代换，同一角相等，两边平行啊，这个，所以要把它拿掉啊。 讨论交流，将线段 a、 b 平移至到 d、 c 连接它得到四边形。是平行四边吗？是因为平平移嘛，所以 a、 b 跟 c、 d 平行，它又是啊，又相等，所以平行且相等，是平行四边形啊。 心之巩固在平行四边 a、 b、 c、 d 当中，角 b， a， d， b， a、 d 的 角平分线，这是角平分线。 求证四边形 a、 m、 c 角形是 平行四边形，对吧？好，我们首先这平行四边形大小相等啊，一半都相等， 对吧？这边相等，内错角，这边平行内错角相等，所以这两三角形全等全等对应边相等，同理，这一对对应边 是吧？好，这不能说同理，就这啊，对应面相等，然后用角相等，角相等啊，同等角角相等， 然后内错角相等，两边平行平行相等，平行四边形是吧？好，所以我们这题也是有多种方法，我们看它用什么方法平行四边 a、 b、 c、 d 啊？两个大角相等，上下左右平行，左右相等 啊。平行内错角相等，所以 abm 全等，全等以后 角 a、 m、 c 的 角相等，然后同角补角相等，等角补角相等，然后平行平行剪相等。平行四边形啊。 第二，分别判断满足下列条件的四边形是否为平行四边形。两组对角分别相等， 两组对角分别相等，就是他跟他等，他跟他等。我们知道四个角正好一百三百六十度，他跟他等，他跟他等，所以这两个加减一比八上下平行，他加他一比八左右平行，所以是平行四边形啊。 这虽然不是判定定例，大家我们要知道两组对角向的分是平行四边形来，一组对边平行，另一组对角向的啊，一组对边平行 啊，一组对边平行，另一组对边相等。你看一组对边平行，另一组对边相等。有两种情况，要么是等腰梯形，要么是平行，所以它不一定是平行平行。好，这个， 但是这个题呢，我们如果要是一组对边平行，另有一组对角相等，这个题我们来看一看， 我们再再总结一个，一组对上下平行，这个角相等一平行是吧？同旁内角互补，等量代换他互补，所以左右平行，所以一组对边平呃，平行，一组对角相等是平行四边形。 好，今天我们学习了从边的关系判断平行四边形定义两组对边分别平行的是平行四边。利用定义法 判定定零一，两组对边分别相等四平行是平行，判定定零二。一组对边平行且相等的四平行是平行四平行。还有几个不是判定定零的？两组对角相等是平行四平行啊，一组对边平行，一组对角相等也是平行四平行。这个呢，我们到时都去证明一下就可以了啊。

今天和大家分享新初课版八年级数学下册八点一几平行四边形第四课时从对角线关系判断平行四边形， 探索并证明平行四边判定定底三，能够用平行四边形判定定底三解决简单问题。好，平行四边形，对角线互相平分。反过来，如果一个四边形对角线互相平分，那么它是平行四边形吗？ 啊，我们感觉它是平，怎么如何证明呢？好写，已知在四边 a、 b、 c、 d 当中，对角线 a、 b、 c、 d 相交于点后， o、 a 等于 o， c， o、 b 等于 o、 d， 我 们大家看一看，再加对角线相等，左右全等全等以后 啊，左右去三角形全等全等以后，这个它在同理正的实际，我们要不同理正呢？这一全等内角相等， 左右左右平行，平行，角相等，平行之位你看都可以，你看又是多种化了啊， 那从而得到平行四边判定定律，对角线负相平分的四边形是平行四边形啊，在一个四边形当中，对角线相等以后，只要对角线负相平分，它就是平行四边形。 其次啊，我们给 a、 e 等于 c、 f 要重的重端形是平行。好，我们前面的方法就是正弦等的 好，我们今天就可以不用全等。因为没有对角线，所以我们需要连接 b、 d 啊，连接 b、 d 与 a、 c 相交于点 o， 因为是平行四边形，所以对角线互相平分。又因为 a、 e 等于 c、 f， 所以 剩下的 o 后移等于 o、 f， 所以 对角线啊，互相平分的四边形是平行四边啊。中端一，四边形对角线互相平分，所以在平行四边，那还有其他正方？肯定有啊，是吧？正方二，连接 b、 d 啊，这个四边形平行四边形互相平分，后移等于 o f， 然后证明中大星啊，这个三角形全等啊，全等，两组对边分别相等，平行四边形。可以啊， 其实我们这方法还有你这正这两个圈等。这两个圈等啊，都能用。对边相等都可以啊。好，如果条，把条件 a， e， c， f 去掉 点 e， 满足什么样条件？四边形 e， b， f， d 是 平行，能解决这个问题吗？把这个条件去掉，我们就换成什么， 当 b e 跟 d f 平行时，它就是平行。那这第一个办法啊， 换成平行，它就是平行四边，因为大地平行四边形，所以 o、 d 等于 o b。 对 角线也还是连接 b， d 啊，这里少一个连接 b， d 加 a c 一 点 o 啊，因为 b e 平行啊，所以内错角相等 啊，要因为对顶角相等，所以全等一组对边平行减相等平行角改成加个条件平行啊，还可以干什么？还可以变成 a， f 等于 c， e 也可以 啊，你把变成 f 等于 c e 啊， a， f 等于 c e 是 吧。你 a， f 等于 c e 啊，在 f 上减去 o a 就是 o f 啊， 减 o， a 等于 o c 两个一减啊，得到这两项呢，对角线互相平分也可以啊，变十二两个垂直。求证中南音平行四边形 啊，这个我们方法连接啊，连接交一点 o， o， a 等于 o， c 互相平分。下面我们就要证明这个 o， e 等于 f 就 可以了。要证 o， e 等于 f， 就 需要证明 b， e 等于 d， f 一 减嘛。好，要证，这就得证这两三角一全等。对边平行相等， 平行内左角相等外加直角。两三角一全等全等以后一通减啊，对角线互相平衡就出来了。 如图，已知平行于三个顶点，请用吃亏做足，做出第四个顶点啊。那么这种题目是我们先把它连成三角形 啊，然后调出圆规啊，以它为圆心，以这个为半径，以它为圆心，以这个为半径，画两幅交于点 p e 点，这就是第一个 p e。 那这边呢？以这个为圆心，以它为半径画弧，以这个为圆心，以叉为半径，画弧交于点 p 二， 同样道理是吧？以这一点为圆心，以勾为半径，以这点为圆心，以单线为半径画弧啊，这样就做出来了。 这是这个原理是什么？大家注意啊，你看，它等于它，它等于它实际上是边边边两三角一圈的 啊！啊，这个圈呢？或者它是用两组对边分别相等的四边形，是平行四边形，对吧？这个等于它，这个等于它。你看，都是两组对边分别相等的平行四边形，是平行四边形。 好，下面如图，将三角形 a、 b、 o。 这点不是 q 啊。 将三角形 a、 b、 o 绕后点，旋转一百八十度，得到三角形 a 撇、 b 撇后连接，则。这是平行四边形吗？ 是平行四边形，一旋转一倍八，他跟他等，他跟他等。对角线互相平分。平行四边形好， 是因为绕一倍八，可以得到 a o 等于 a b o， b o 等于 b o， 且这三点在同一条直线，另外三点也在同一条直线，所以它是平行四边形，因为必须说它在同一只绕一倍八，就是在同一条直线上下边 啊。对角线对平行，于对角线，相交于点， o、 e、 g 分 别是， e、 g 是 终点 终点，那实际上这四段都相等了啊， f h 是 o b， o d 上靠近 o 的 三等分点 啊，那这是 o b 等于 o c， 这是三分之一 o b， 这是三分之一 o d， 所以 这两个也相等。对角线互相平分是平行四边形。好，因为大平行四边形对角线相等 e g 是 中点，所以 o e， o g 相等， 这又是三等分点。那 o f 是 三分之 o g， o f 是 三分之一后 b， o h 是 三分之一后 d， 所以 o f 等于 o h， 所以 它是平行边形。 好，这节课我们就把平行四边性质和判定都学会了。平行四边性质对边平行对边相等，角对角相等，邻角互补，对角线互相平分。判定啊，两组对边分别相等，平行四边是平行四边形 啊，但啊，定义也是的啊，这就是定义法啊，一组对边平行相等是平行四边，两组对边分别相等是平行四边对角线啊，互相平分的四边是平行四边啊。其实角里边对角相等的，两组对角相等的四边形是 平行四边。菱角互补的四边形是平行四边形。谁都可以啊，这是我们书上没有这判定。

这节课我们接着看平行四边形的判定。上节课咱已经知道了平行四边形的几个基本性质，一起来回忆一下。第一个是 两组对边平行，这个是平行四边形的定义，对吧？第二个呢，是 两组对边相等，第三个是两组对角，它也相等，最后一个是对角线互相 平分。那么反过来，如果说一个四边形，他两组对边平行，能不能证明这个四边形就是平行四边形啊？当然 ok 的 呀，本身这个就是平行四边形的定义， 那如果说知道一个四边形两组对边相等，能否判定这个四边形是平行四边形呢？先打上一个问号，我们一会来证明，包括两组对角相等，以及对角线互相平分，是否能判定平行四边形？ 当然大家课外呢，也可以自己尝试一下，用细木条做一个两组对边分别相等的四边形小木筐，他一定是平行四边形吗？就像这样子的，这个边跟这个边相等，这个边跟这个边相等，他能否证明就是平行四边形呢？ 做完这个实验，小家伙得意洋洋的说道，我感觉不管怎么变形，小木筐都是平行四边形， but， 感觉终归是感觉呀，能不能靠它来下定义啊？当然不能了，我感觉你偷吃了我的辣条就是你，你觉得这样讲道理吗？不讲道理是不是好，那我们看到具体的证明过程，在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于 c， d， bc 等于 d a， 然后连接 a、 c， 那 这条边就是三角形 abc 和三角形 c、 d、 a 的 公共边。这两个三角形三条边都相等，那必然是全等，用边边边可以证明， 于是我们就可以得到角一等于角二，角三等于角四，所以这两组对边分别平行，于是就证明出了四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形， 于是我们就得到平行四边形的判定定律一，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，也就是下面这个四边形。如果 a、 b 等于 c、 d、 bc 又等于 d、 a 的 话，那么这个四边形就一定是个平行四边形。如果四边形只有一组对边相等，能否判定就是平行四边形啊？ 咱们这位聪明的小宝宝说，把等长的铅笔这样摆放，得到的并不是平行四边形啊，这两个相等，但是它是一个梯形。好，咱们这位小美女又提出来， 如果平行摆放呢？是否能得到平行四边形？这两个平行并且相等。哎，感觉还真的是哦，但是我们具体的话还得去证明 好，那么一起来证明一下，在这个四边形当中， ab 和 cd 平行且相等，我们还是连接 ac， 于是呢，就可以得到角一等于角二，又因为 ab 等于 cd， ac 等于 ca， 这个是公共边，所以我们又可以通过 边角边来证明，三角形 a、 b、 c 和三角形 c、 d、 a 是 全等的，于是又得到了 a、 d 会等于 bc， 现在就变成了两组对边都相等了，就可以判定 四边形 a、 b、 c、 d 就是 平行四边形，对吧？我们刚才学的平行四边形的判定定例一，就是两组对边相等的话，就一定是平行四边形，于是我们又得到了平行四边形的判定定例二，一组对边平行且相等的四边形就是平行四边形， 也就是下面这个图，在四边形 a、 b、 c、 d 中，如果 ab 平行 cd， 并且 ab 等于 cd 的 话，那么这个四边形就一定是平行四边形了。 一起来看例题三、在平行四边形 a、 b、 c、 d 中点 e、 f 分 别在边 a、 d、 b、 c 上， a、 e 等于 c、 f， 那 么也可以得到 e、 d 会等于 b、 f， 为什么呀？因为 a、 d 这条边会等于 bc 这条边呀， 再加上上面这两条又是平行的，所以呢，平行且相得，可以判定四边形 b、 f、 d、 e 是 平行四边形。过程的话，大家可以自己再看一下啊。 讨论如图。八杠十一、将线段 a、 b 平移至 d、 c 的 位置，连接 a、 d、 b、 c 得到的四边形 a、 b、 c、 d 是 否为平行四边形？那肯定了 a、 b 和 c、 d 平行且相等，所以一定是平行四边形。练习一、如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中交 b、 a、 d 交 b、 c、 d 的 平分线，分别交对角线 b、 d 于 m、 n， 也就是这个角等于这个角，这个角呢，也会等于这个角，其实就是四个角都相等，因为对角相等嘛。求证四边形 a、 m、 c、 n 是 平行四边形。 好，那我们看能不能用平行四边形的判定定律二、 a、 m 和 c、 n 平行且相等呀？要证明它们相等，可以通过全等的方式，那三角形 a、 b、 m 和三角形 c、 d、 n 他们能否证明是全等呢？可以吧，因为两个角已经有了，这个角和这个角也是相等的，再加上这条边 a、 b 和 c、 d 相等吧。用角边角可以证明这两个三角形全等于，于是得到了 am， 会等于 c、 n， 然后再怎么证明他们平行呀？然后因为这两个三角形全等，这个角是不是等于这个角呀？那么他们的补角刚好就是什么？这两条线段的 内错角也相等，也就可以证明 am 平行于 c、 n 了。那我把具体的过程写一下啊，证明，因为四边形 abcd 是 平行 四边形，所以 ab 平行且相等于 c、 d。 然后他们的对角 b、 a、 d 会等于角 b、 c、 d， 所以 角 a、 b、 m 会等于角 c、 d、 n。 又因为 a、 m、 c、 n 分 别是 角 b、 a、 d 和角 b、 c、 d 的 角平分线，所以角 b、 a、 m 会等于二分之一的角 b、 a、 d。 角 d、 c、 n 会等于二分之一的角 b、 c、 d。 所以 角 b、 a、 m 会等于角 d、 c、 n。 那 么在三角形 a、 b、 m 和三角形 c、 d、 n 中， 角 a、 b、 m 等于角 d、 c、 n， a、 b 等于 c、 d。 角 b、 a、 m 等于角 d、 c、 n。 所以 三角形 a、 b、 m 全等于三角形 c、 d、 n。 所以后面的写不下就不写了啊。 am 等于 c、 n。 再证明一下 am 平行于 c、 n 就 可以了。第二，分别判断下列条件的四边形是否为平行四边形。一两组对角分别相等，我来画一下， 这个角等于这个角，然后这个角又等于这个角，那么这两个角的和就是一百八十度，可以证明他俩平行。同理，这两个角呢，也是加起来一百八十度，那么这个跟这个也是平行，两组对边分别平行，肯定是平行四边形啦。 第二个，一组对边平行，另一组对边相等，这个就不一定了。刚才我们这个小哥哥画的图是不是就这个样，一组对边平行，然后这个呢，跟这个相等，但是他是一个等腰梯形，并不是平行四边形， 那最后如果一个四边形的对角线互相平分，他一定是平行四边形吗？咱们这位小帅哥用塑料棒和橡皮筋做成了下面这个对角线互相平分的四边形，也就是这条边等于这条边，这条边又等于这条边。 咱们的小美女也说了，它肯定是一个平行四边形，因为这是一个中心对称图形呀，也就意味着这条边和这条边相等吧，这条边和这条边也相等， 两组对边分别相等，肯定是平行四边形，那我们还是来看具体的证明过程。在四边形 a、 b、 c、 d 中，对角线 a、 c、 b、 d 相交于点， o、 o、 a 等于 o、 c、 o、 b 等于 o、 d， 再加上这个对顶角相等，我们又可以通过边角边 s、 a、 s 来证明三角形 a、 o、 b 和三角形 c、 o、 d 全等，于是就得到了 ab 等于 cd， 同理可以得到 a、 d 又会等于 bc， 也就是两组对边分别相等，他一定是一个平行四边形，跑不了了，于是我们又得到平行四边形的判定定力。三、对角线互相平分的四边形是平行四边形， 也就是下面这个四边形 a、 b、 c、 d 中，如果 o、 a 等于 o、 c、 o、 b 等于 o、 d， 那 么这个四边形一定就是平行四边形。 再来一起欣赏一下例题四、在平行四边形 a、 b、 c、 d 中点 e、 f。 在 对角线 a、 c 上， a、 e 等于 c、 f 连接 b、 e、 d、 d、 f、 f、 b 证明这个四边形 b、 f、 d、 e 是 平行四边形。 那我们可以做一条辅助线连接 b、 d， 通过对角线互相平分来证明四边形 b、 f、 d、 e 是 平行四边形。 非常好证，这个焦点是 o 点，那么 b o 肯定等于 o d 吧，然后呢， o、 e 和 o f， 它们肯定是相等的，为什么？因为 a o 等于 o c， 然后呢， a、 e 又等于 c f。 具体的证明过程大家可以参考这里，这边有个尝试，已知平行四边形的三个顶点，请用直尺和圆规做出第四个顶点， 可以利用刚刚学的平行四边形判定定底。三、对角线互相平分的四边形就是平行四边形。假如这个点是 a， 这个点是 b， 这个点是 c， 我 们可以连接这个对角线 a、 c。 好， 先找到它的中点 o， 也就是两个对角线的交点吧，再连接 b、 o， 同时延长 b o， 使 o、 d 等于 o b， 那 就找到了第四个零点了。那这个中点 o 怎么找呀？用尺规作图呗，取大于二分之一 a、 c 的 长度作为半径，分别以 a 点和 c 点来画圆嘛。这边有一个角点，这边有一个角点， 把这两个交点一连，就可以轻松的找到 o 点了。来看到练习将三角形 a、 b、 o 绕点 o 旋转一百八十度，得到三角形 a 一 撇， b 一 撇 o 连接 a、 b 一 撇， a 一 撇 b。 四边形 a、 b、 a 撇 b 撇是平行四边形吗？来证明你的结论，因为它是通过旋转得到的。于是呢， o a 会等于 o a 一 撇吧， o、 b 也会等于 o、 b 一 撇，这是一个对角线互相平分的四边形，自然就是平行四边形了。 第二，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，对角线 a、 c、 b、 d 相交于点 o、 e、 g 分 别是 o、 a、 o、 c 的 中点，那么就可以证明 o、 e 等于 o、 g 吧， f、 h 分 别是 o、 b、 o、 d 上靠近点 o 的 三等分点，那也可以轻松的证明 o， f 等于 o， h 又是对角线互相平分的四边形来写一下证明过程。因为四边形 a， b， c， d 是 平行四边形，所以 a， o 等于 c， o， b， o 等于 d， o， 因为 e， g 分 别是 o， a， o， c 的 中点，所以 bo， e 等于二分之一 a， o， o， g 等于二分之一 o， c， 所以 o， e 等于 o， g。 又因为 f， h 分 别是 o， b， o， d 上靠近 点 o 的 三等分点，所以 o， f 等于三分之一 o， b， o， h 等于三分之一 o， d， 所以 o， f 等于 o， h， 所以 四边形 e， f， g， h 是 平行四边形。 ok 结束。

和大家分享新速可版八年级数学下册第八章四边形八点一节平行四边形第一课时平行四边形概念，边角相关性质 理解平行四边形概念，增强几何，直观探索并证明平行四边形性质定律，并能够运用其 进行证明和计算，提高提升推理能力。我们如何研究三角形及特殊的三角形呢？啊，我们首先是从定义啊，表示性质啊，特殊三角形定义，特殊三角形性质，特殊三角形定义去研究的啊。 下面图片你有熟悉的吗？图形吗？你看这三个图片里都有，小尤里学过的，叫平行四边形。四边形当中的特殊平行四边形。特殊四边形叫平行四边形，有什么特点 啊？它的两组对边分别平行， 这就是平行四边形的概念，也叫定义啊。两组对边分别平行的四边形叫平行四边形， 如图，四边 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。记住啊，把这个平行四边形缩小成一个字母 会大一点。平行四边形 abcd， 注意字母顺序，四边形的顺序要么顺时针，要么逆时针，从每一个字母开始读作平行四边形 abcd， 有种把一张平行四边形纸片沿 a、 b、 c、 d， 呃，纸片 a、 b、 c、 d 沿对角线 a、 c 剪开，变成两个三角形。这两个三角形可以重合吗？我们拿过来一剪一实验可以重合 啊，因为你看上下平行，角三等于角四，左右平行，这个 左右平行，角一等于角二，然后由 a、 c 等于 c， a 公共两个三角形全等对应边向的，对应角向的好，所以这两个三角形可以重合 啊，从而得到平行四边形的性质定律一，平行四边形，对边向的，对角向的啊，那实际上大家注意什么？就说这点，这一句话， 一个因为平行四边形，所以得到四个结论，这四个结论就把刚才的，你看 刚才这么多的推理过程给简化啊，所以定理嘛，就是证明过程的简化，用一句话来代替，是吧？好，那你这边就写平行四边形对边相等，也是平行四边形对角相等。 好，这关于对边，你看这边跟这叫对边，这跟这叫对边，这两个叫邻边，这两个邻边，这个叫对角，这个叫对角角， a 角 b 叫邻角。这些东西呢？大家从字面上去理解， a 平行是平行 a、 b， c， d 啊， b， d 是 对角线， a e 垂直，这叫垂直。 垂直垂足为 e f。 求证 a， e 等于 f， 要求证 a， e 等于 c f， 那 就要正三角形全等。假设正上下全等，我们就要从平行四边形上边跟下边平行且相等 啊。平行内错角等，是吧？再外加这两个垂直直角等，是吧？再外加这两个垂直直角等，是吧？再外加这两个垂直直角等，是吧？ 圈的，你看，因为平行四边形，所以上下平行，上下相等，上下平行得到内错角相等，两个垂直得到直角相等。在两个三角形当中摆脚垫全等三角形对边相等 啊，这个大家啊，这个平行四边形性质定的一，其，其实我们就说平行四边形对边平行角相等就行了， 还有其他证方证明方法吗？当然有啊，我们可以证明这两个全能啊，那就左右平行减小能了，可以啊， 啊，还可以用什么？还通过通过面积法是吧？三角形 a、 b、 d 和三角形 b、 c、 d 啊，因为它们全等，所以它面积相等，底又一样，所以高一样，也可以 形之巩固。平行四边形对角线 b、 d 是 七，三角形 a、 b、 d 周长是十五，那这个加这个就是八， 再根据平行四边形对边相等，那这两个加起来也是八，那二八一十六，所以本题要通过啊，求出邻边之和是八，又因为平行四边形，所以对边相等，所以平行四边形周长四边相加等于十六。 第二题啊， 这个，这个图有问题啊，给大家改一改啊， a、 b、 c、 d 啊， 来改一改，不然这个角币就不是五十度了啊。角币五十度，求其他各角度数。好，这个我们这题有多种做法啊，我看看。因为平行四边形，所以 啊，这个上下平行角 a 加角 b 一 百八，角 b 角五十，所以角 a 一 百三。因为平行四边形，所以对角相等啊，从而得到其他角都出来啊。 平行四边 a、 b、 c、 d、 e、 f 分 别是 bc、 a、 d 上的点，且 a、 e 平行于 c、 f。 求证 b、 e 等于 d、 f 啊，那就要证明这两个三角形 能全等啊。平行四边形对角相等 是吧？ 一个角了，平，四边形对边平行啊，还差一个角，你能再正一个角相等就可以了。你看我们上下平行，这一角等于这一角， 这 a、 e 跟 c、 f 平行平行同位角相的，从我你看两角和其中一角的对边对应相的两三角一圈的就可以了啊。 哎，这是一种方法，你看我们再看它用的什么方法，它因为平行四边形上下平行，这又给它平行，我们利用平行四边形定义说明它平行四边形， 平行四边形对边相等，他先证这两个相等，再根据原来四边形对边相等，这新的四边形对边向的两个一剪得到剩下相等。好，所以这题自然也是两种方法，利用定义来判断这个是平行四边形，这也是一种方法。 好，今天我们学习了平行四边形的概念及符号表示以及它的性质定律，对边平行相等、对角相等、邻角相等等等结论。

下面我们看一下这个第四题啊，这道题考察的是多结论的正确的个数的问题，我们一起看题目，一个矩形 o a、 b c 当中呢，它的在平面直角坐标系中，并且 b 点的坐标告诉我们， b 点坐标告诉我们，就意味意味着这个 b 点的横坐标，我们在图中写一写， 横坐标是二根号三，纵坐标是二，二根号三二，所以就意味着 o a 的 长度，因为它是 g 型嘛，是不是就二根号三啊？ 啊，那么这个 o c 的 长度是不是就是二啊？那么根据题目，我们很快其实能够得到这是三十度角，这是六十度角吧，那这个怎么证明他是三十和六十呢？那我简单的说一下啊，因为到了初三，我们用三角函数可以很快，但是目前我们没有学过三角函数，那怎么证呢？这是个二， 这是一个二根号三，那通过勾股定律，我们 o b 很 快能得到，是四，那怎么得到这是三十度呢？我们只知道三十角数对直角边等于斜边一半，那反过来直角边等于斜边一半，就能得到三十度吗？其实这个是得不到的，那我们需要怎么证明呢？哎，其实很简单，我只要把这个 a c 一 连啊，我简单的先给大家证明一下啊， 当然这个题目选择题不需要证明啊，你只要一眼能看出来就行，可以把 a c 连起来交叉于点 m， 那 根据我们矩形的对角线是相互平分且相等，所以 m a 等于 m， c 等于 m， o 等于 m b 都等于对角线的一半，对角线是二，所以这是二二二四个二吧，那因为 ab 也是二，从而得到这是一个等边三角形，三条边都是二的话，它等边从而就能知道这是六十度，从而就有这是三十度。 当然这个证明过程呢？哎，是不需要去证的。有人好奇这个怎么得到，假如在大题中怎么证就这么证啊？大题中，假如他说的是这个斜边中点，那你可以去斜边中点，你不一定要连接矩形对角线，因为有时候题目压根就只给你花了一半吗？ 好，那么我们看一下下面给的结论， o a 等于 bc 等于二杠二三，这明显的是对的，这就是个炮灰题，送分给我们的啊，大家都能做出来。第二个，我们看一下，当点 d 运动到 o a 的 终点的时候， 如果点 d 是 o a 的 中点，那这段长度是不应该是根号三，这个长度也是根号三啊。那此时题目要求的是 p c 平方加 p d 平方。根据题目我们看一下， p c 平方加 p d 平方，是不是等于 c d 平方啊？哦，那 c d 平方我们只要把 c d 平方算出来不就好了吗？ 啊，就等于 c d 的 平方，而 c d 的 平方又等于什么？是不是 o c 的 平方加上 o d 的 平方，而 o c 是 几？ o c 是 二，二的平方是四，而 o d 呢？ d 如果是中点的话， o d 是 根号三，从而就有根号三，这平方就是三，四加三是七，所以第二个也是明显对的，那这个题目比较难的就是第三个，那我们重点讲一下第三个， 当三角形 o d p o d p 这个三角形，为什么三角形为等腰三角形时，点 d 的 坐标是什么？那我们看一下，问这个正不正确呢？好，如果它是等腰三角形，我们首先看一下，这个角明显的已经是三十度了，对吧？ 这个角是三十度，那紧接着如果说他是个等腰三角形的情况下，那要不然这两个角都等于七十五，如果三十顶角的他是七十五，他是七十五，那我们看一下他可不可能是七十五。从途中我们发现这个角是直角哦，这个角是直角，这个角来，我们把它标一标，这是个直角，这是个三十度角， 而角一是必须比三十度大的。为什么？因为三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角吧，所以角一比三十度大，那么剩余的这个角他一定比六十度要小吧，因为他们合起来要等于九十度，所以这个角一定小于六十度，所以他就不可能等于七十五度，从而就我们得到这个角，他不可能是顶角， 他不可能是顶角，那他只能是底角，那他是底角的情况下，那另外可不可能是这个是底角，或者这个是底角？有可能吧。 好了，那么看，假如说他是底角的话，他是不是三十度啊？那你看他有没有可能是三十度呢？哎，不可能，因为他一定是个钝角。为什么？因为刚开始你看起起始位置来看的话，他是一个直角，然后随着屁往这边运动，这个地是不是一定他是个钝角啊？好理解吧，他肯定是个钝角， 这个地，这个地啊，他一定是个钝角啊，这个钝角。好。那么有同学想想，为什么他是钝角呢？因为对于这个四边形而言啊，他的内角和是不是三百六啊？这个跟这个已经是九十了，所以这个角加这个角一定是一百八十度，而这个角他一定是个锐角 啊，锐角加什么角才会是呃，一百八呢？所以他一定是个钝角，既然他是个钝角，所以他也不可能等于三十度，那唯一的一种可能就是这个角等于三十度了。好了，那么这个目标明确，这个角如果他是三十度的情况下，那我们看一下此时此刻我们的 d 和 p 分 别应该在什么位置呢？我们大概画一画， 假如这个角是三十，这个角是六十啊，这个角是六十，咦，这是六十 六十度的话，那这个屁应该运动到哪里呢？是不是应该在 a c 的 中点的位置？也就是说屁点和对角线中点重合的时候，屁在这个位置的时候， 那此时此刻我们来做一个垂直，这是个垂直，那么 d 在 这里啊，那么这种情况下，这个角才有可能是三十度吧，那么三角形 o d， p 才是啊，等腰三角形吧。那么很多同学一看啊，这段长度是我们对角线的一半，对角线是四，所以这个是二，那么由此可见，这个长度是多少呢？ 根据我们含有一百二十度角的三边关系是一比一比根号三，那么根号三份是二，那一份是多少呢？二，一份是不是二除以根号三啊？所以 o d 的 长度就立刻有了二除以根号三，就是 三分之二，根号三，所以地点的坐标立刻就有了三分之二，根号三零。那同学们坐到这觉得，哎，这个题没有问题啊，那三肯定是对的呀，那如果你坐到这，那不好意思，这题你就肯定会扣分了，为什么呢？同学们想一下，他题目告诉我们， p 点是在对角线上，也就是 p 在 这条线段上运动， 但是它 d 的 话，随着 p 点的运动， d 在 运动， d 有 没有可能跑到外面去呢？ d 难道它一定在这个里面吗？你想一下，因为你想随着 p 点运动，假如 p 正好是垂直的时候， o p 在 这， 那此时 d 是 不跟 o 重合，但凡屁再往这边歪那么一丢丢，那此时的这个 d 啊，是不是瞬间就跑到外面去了呀？能看得懂这意思吗？所以这个题目最最容易被忽略掉的就是还有其他情况，这种情况容易被忽略。那如果说点 d 跑到这个外面去之后，你会发现 这个 o p d 这个三角形，如果要是我们的等腰三角形的话，它只能是 o p 等于 o d 吧，为什么？因为这个角等于一百五十度，是板上钉钉的，这是三十，这个它的零补角是不是等于一百五啊？好，这是个钝角，一个钝角三角形，如果是等腰三角形，它是不是只能是 钝角的两条边相等啊？所以 o d 等于 o p， 那 此时此刻这个角是不等于十五度，这个角也等于十五度啊，能得到吧？啊？那么根据题目，我们来看一下这个角，我在图中标一标，这个角是十五度， 这个角是十五度。哎，为什么是十五？因为这个大角是一百五十度吧，这是板上钉钉的好，因为这是个直角，从而我们发现这个角是不是七十五，这个角又是三十，所以剩余的这个角是不是也是七十五？这个角是不是也七十五度？从而我们就发现，如果当点 d 啊，跑到 线段 ao 的 延长线上的时候，那么这个地方，他说这个点 d 的 坐标 肯定是不全面的，所以第三个它很明显就错了。但同学们，如果要求出此时此刻点 d 的 坐标，我们好求吗？要求点 d 的 坐标就是求 o d 的 长度，而 o d 等于 o p， 那 就是求 o p 的 长度，那要求 o p 的 长度可以用整个 o b 四减去一个 b p 吧。 而 b p 是 不是在这种情况下，它是等于 b c 的？ 为什么等于 b c？ 因为这个角是七十五，这个角也是七十五，所以此时此刻这个三角形 b c p， 它也是个等腰三角形吧，所以我们很快就知道了哦。在这种情况下， o p 的 长度是不是立刻就可以表示出来是等于 o b 减去 b p 的， 而 o b 的 长度是等于四，减去 b p， b p 是 多少？ b p 是 二根号三，所以从而就有了我们 o d 的 长度也是这么多吧， o d 长度有了，那么点 d 坐标，注意点 d 是 在负半轴上，所以点 d 的 横坐标就是负四，加上二根号三， 哎，这种坐标依然是零吧，所以从而就能够判断第三个他不对，他不对在哪里呢？他少了一种情况，因为他不一定点 d 坐标就是他点 d， 还有可能在负半轴上，所以这个第三个是错的，从而我们就能得到最后这个答案 有两个正确的选 c。 对 于这道题呢，我们最后来总结一下，对于我们题目中有一个动点出现的时候，就是双动点出现的时候，你一定要看 一开始主动的那个动点，当然他不是属于刮痘原理啊，你看主动点屁，他运动的是一条线段还是一条射线？那么主动点在这条线段对角线是一条线段吗？在这条线段上运动的过程中，他的从动点 d， 它运动轨迹它就一定也在某条线段上面吗？它不一定的，是不是它一定，你一定要去找一找，看这个点地啊，随着 p 点运动的过程当中，有没有可能跑到线段的延长线上去，就是你要发现它的一个临界点，它的临界点就是什么呢？当我们 c p 本身就 p 运动到 c p 垂直于 o b 的 这一刻，那此时点 d 是 不是就跟 o 点重合？这就是它的一个凝界点，好理解吧啊，这个地方往往这边往这边凝界，那么当我们的 p 无限接近于 o 的 时候，这个点 d 啊，是不是无限接近于无穷无穷远处的地方啊， 可以理解吧。所以此时此刻 p 点虽然是在一条线段上，但是我们的 d 点却是在一条射线上运动吧，在 a o 这条射线上运动，因为 p 永远不跟 o 重合，所以这个点 d 啊，它就永远永远永远存在，永远。因为当点 p 到着这个 o 点的时候，那此时此刻你做的这个垂直就就相当于跟 x o 就是 重合的嘛，对不对？好了，所以这个最终这个题目的正确答案是选 c。

今天和大家分享新苏科版八年级数学下册第六章数据的收集、整理与描述， 本章复习啊，这是内容导读啊，这是学习目标。 重难点，三种统计图以及评语评述。评述分目指望组啊，这都是画，评述指望的都是难点。这是本章的知识结构图 三个方面，数据收集，统计表，评语评述与评语啊，具体的 啊。数据的收集。普查，在统计合同中为特定的目的，对所有的考察对象所做的调查。下普查抽样调查为特定目的，对部分考察对象所做的调查叫做抽样调查，简称抽样。统计相关概念， 总体，把所考察对象的全体叫做总体。个体把总体中每个考察对象叫个体样本，从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本。样本容量，个体样本中个体数目叫样本容量。样本容量是一个具体的数字，没有单位 啊。统计图上行统计图在上行统计图中上行的原基者等于该项目占总体百分比乘以三百六十度。优点，可以反映出每个项目占总体的百分比。条形统计图优点，直观 反映出每个项目的具体数目啊。频速分布值方图的优点，直观反映出啊，变化趋势。统计比较详细 啊，反映出各个项目的具体数量。评述，在统计中，某个对象出现的次数称为该对象的评述频率评述与评总数总次数的比值称为频率。 题型一、调查方式选择第一，接下来调查方式你认为最合适的是调查苹果智能抽样，电池使用寿命也智能抽样， 全是观众对这个电影企业承诺抽样，所以 c 是 对的。神舟二十二号载人飞船一定要全面调查， 所以这题只有 c 是 正确的。第二，下列调查适用采用抽样调查的。是啊，春节联欢晚会收视率啊。第二， 为了了解全校学生的视力情况，采用了下列调查，其中为简单随机抽样的。是初三年级呢，初一初二就不对了，每个班冲击五人，这是对的， 对于每个每个班学号唯一对你的卷面率。这不是简单随机抽样啊，也是一种抽样啊， 查要全项所有的题解表，所以这一题选择 b 啊。 a 复了初一初二。 b 呢是随机抽样， c 呢是固定间隔，叫系统抽样，它也是一种抽样，不符合题。 d 呢是全面调查，不符合题 啊。为了调查某大型企业员工对企业的满意程度，采用下列调查方式，其中为简单随机抽样的。是 啊， g、 o、 c 用花名册随机抽取三名员工啊，简单随机出来。第三， 全校一千五百名学生对的垃圾分类知识测试试卷啊，抽取两百份试卷，进行成绩统计样本容量， 那就是两本个体是每一名学生的拉提分证知识竞赛成绩样本。两百份试卷测试试卷的成绩啊，总体啊，所以 d 是 d 的。 第一，小陈为了了解题型，三、总体个体样本样本容量。小陈为了了解七年级十一假期出游情况，对全校一千二百名学生 的旅游时间抽取两本名进行统计。那么这里边这是抽样调查，不是全面调查，这个不是学生，而是他旅游时间啊。所以 c 是 对的，样本容量是两本。 第四，占比，所以是扇形统计，看到占比就扇形统计，你辨识这也是占比。扇形统计， 这个这就要啊，这是九十度，百分之二十五，这是百分之三十五 啊。所以啊，这是五五七五七分五分，所以这是对的，这是对的， 然后十八度对的，这相等对的，所以本题全对。 这个，这个是 d 占百分比。上亿统计中吧。体温变化折线统计图二十四小时体温变化也是折线统计图， 折线同轴推出。结论，你看这是夏至十五，这是十二。秋分十二点多将近三，大约二十三啊。 这个再注意，这一格是五十，这一格是十啊，看似这增长，那，其实你看这价增长快， 数字具体减一减加这么快啊，这才每这个十，这十二十三十四十啊。 这个看为什么像三倍呢？因为他没从零开始，你看他从零开始，他就不是三倍， 这个要按照这个定义加相对于一的优势，都给他算一下。先算本科啊，是负的。再看 数学四分之一，再算代码十分之三，再算语言，十四分之一，结果四分之三最，十分之三最大，所以选择 c 代码 a 九啊。 本次调查多少人？你看数学原底百分之三十三十六除以百分之三十，所以一百二十，根据以上信息补全，再拿一减 啊。无字证明占百分之多少，那是三，一百二十分之三十，百分之二十五啊。 七巧板圆形角三百六乘以一百二十分之十八，五十四度 啊，这个少一个，这是一百二十。加补充条形统计图 一百二，这是多少啊？六十六，六十六至三十九，十六，还有二十四，那应该弄二十四， 二十四啊，条形图中画好啊，少一个二十四。 嗯，地摊生活，绿色出行，倡导一种生活方式。本次样门抽取看一看，两个都有的。你看，步行占百分之十八，除以百分之十，所以是八十开私家车， 私家车的八十乘以百分之二十五，所以二十上行同轴中骑自行车的圆形角骑自行车 那八十，你看这个二十，这是三十六，这是八，这是多少？这是二十八，五十六，十四，六十四，还剩十六，所以这是十六人， 即自行车十六，所以八十分之十六乘以三百六，算出度数七十二度。股权条形统计图 啊， 该单位共有两千名参加这种乘考方式啊。 越来越多的人上下班有开私家车改骑自行车，如步行坐公交，上下班人数 保持不变。问，原来开私家车的人至少有多少人改为骑自行车才能使骑自行车人数不低于开私家车的啊。那就是说我们要赊是吧。 开私家车人与 s 人改为骑自行车，你看两千人是吧。这个骑自行车的百分比加上啊， 现在改过来的人啊，不低于就大于等于，是吧。原来开私家车的减去 啊，改的就是现有的人数，算出 x 大 于等于五十，所以原来开私家的人至少有五十人改骑自行车才能使骑自行车人数不低于开私家。就是列不等式啊。 历史啊，这个三班指数率零点三，总共一百克 啊，那三班就是三十克，拿一百一减就达到四班，四班再除以一百 啊，两种做法啊，他这一种也是也是一种做法啊。下面 频率平数以频率计算，你看，这是前四组，那第五组的频率，那就算出，先算出频率。 啊，这是零点五，零点七，零点三，所以是平数，是三十。啊，第二， 这个五十名学生采用五几名同学选班的，其中加得十二票，一得十八票，丙得十票，则下来说法正确的。是啊， 全班只有四十名学生参加投票，这是不对的。加得票率是四十分之十二，一得票率是五十分之，这是肯定。错了，五十分之十八，对的比例得票率， 这是不对，因为不一定是三个人的，对吧，所以只有 c 正确。 好，今天我们浏览页收获啊， 这是建构数据的收集整理描述普查。一、抽象调查总体个体样本样本容量统计，图标选择平素平移分步值换图 啊，塑形结合，由数据向图形转化，图形直观表示数据，这就我们这节课学习。

今天和大家分享新速刻版八年级数学下册八点一减平行四边形第二课是小测。第一，平行四边 a、 b、 c、 d 当中 a、 d 为三， a、 d 为三，对角线相交于点， o、 a、 c 加 b、 d 等于六，那这两个下加二，这两个相加就是六 啊，这两个相加就是六，六加三啊，就是九 啊，根据对角线互相平分啊，对边相等。第二，平行四边形，一边长是十 啊，它的两条对角线长可以。是啊，平行四边形啊，一边长是十， 那我们只要根据对角线互相平分，把它们除以二，三四十肯定不行，三五十肯定也不行，六和四六十也不行，那就是十，十五好，给它除以二，所以只有 d 是 可以。 第三题，平行四边形，对角线相交于点后，添一个什么条件使 b、 o、 e， b、 o、 e 跟 d、 o、 f 相等，是吧？你看对角线平行四边形，这对角线互相平分，已经对顶角相等，所以再有一柱角，所以我们添加平行或者添加一柱角相等都可以。 添加 o、 e 等于 f， 对 角线互相平分，哎，也可以，所以这题方法还是比较多的，你填平行，填这一组向量呢？这一组向量都可以。第四题，这个 a 点坐标一三， c 点坐标零零，从它到它是右一， a 到后到 a， 右一上三，那从叉也右一，右一就是六，上上三就是五，六五啊，根据平行的性啊。 第五题，平行四边形 a、 b、 c、 d 对 角线相交于点， o 平行四边周长三十 啊，那邻边之隔啊，就是十五，又给你偶异是五，那通过权能，无论这两个权能，这两个权能都可以挣出，这也是五，也不是十十加十五，周长二十五 啊，与邻边之隔是十五啊。 d， o 等于 d， o 对 角线互相平分啊，平行内作角向的，在两个三角形当中摆条线，所以 d、 o， e 和 b， o， f 全等，全等以后对应边相等， 然后后 e 等于五，所以 e、 f 等于十，所以这个四边形周长进行等量代换，最后等于十五加十等于二十五。 第六题要做一个，在这 o i 上找 e m， o i 上 o， b 上找 e m， 使得 pm 等于 pm。 那 这题思路是什么呢？思路，我们先拿尺子连接 o p 并延长， 拿圆规截一下 啊，拿圆规是吧， 好结果啊，使得 o、 p 等于 p、 c 加上这一点啊。 然后下面呢，我们要啊，做平行线。怎么做平行线啊？以 o 为圆心，以刚才这半径为半径画弧 啊，然后这以这焦点为圆心，以刚才的半径为半径画弧 啊。然后测量这个，就是做一个角等于一只角， 做一个角等于一只角， 然后过这一点和这一点再做直线啊，再做直线 好，做过直线啊，这就变成一个上下边平行，然后这边一交点就是 m 点 啊，这一交点就是 m 点。过这一点和 p 点做直线，那这一交点就是 i 点好，我们为什么 p m 等于 p i 呢？我们大家看一看，上下两个三角形全等， 上下两个三角形等，实际不一定要做到平行四边形啊，就上下两个全等， p m 等于 p n 就 结束了。八点一角平行四边形二大测 啊，平行四边形，对角线互相平分，平行四边形啊，是中心对正中心对角线交点是对正中心啊，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中对角线 a、 c、 b、 d 交于点 o、 b、 c 为十， a、 c 为八， b、 d 为十四， b、 o、 d 周长啊，我们画个图啊， ab， ac 是 八， b、 c 是 十， a、 c 是 八啊。 a， 哎，拍错了， b、 a、 b、 c、 d 啊 b、 c 是 十， a、 c 是 八啊，这图标错， 这两个是对角线，对角线一半，这是四和七。七次一十一，二十一啊，周长二十一，对角线互相平分二十一。 第二题，第四题， a、 c 是 四对角线不相比位，这就是二二， 这是三三。 ab 的 长可能是就要大于一小于五，大于一，小于五，这可能是四 啊。第五题，再垂直 ab 为四， ac 为六，那这就是三，那 o、 b、 五， b、 d 就是 十。 第六题，平行四边形，过对角线加点 o 做垂直，那这两个三角形就全等那阴影部分面积，是啊， 阴部分的面积就是整个平行四边形的四分之一，所以等于三。第七题啊， 奥义，这条垂直垂直呢，这一边就跟这一边相等啊，垂直平面线嘛，三角形 b、 c、 d 比 a、 b、 e 啊，周长大八啊。我们看一看， a、 b、 e 的 周长实际就是邻边之隔， 是吧？ a、 b、 e 就是 邻边之隔，是八，那这大了，这个周长就是 ab 加 ad， 这个呢，是邻边之隔，再加 b、 d， 所以 这个 b、 d 上就是八，那这就是四。 第八题，平四边形，对角相交于点 o， m 等于过后的，一过后点就是全等。 m o d， m o， d 等于 m d， o， 实际这两段相等，那这两段也相等，实际上的四段都相等了。给你 b 减零是二， m 减零四。 第九题，平行于角线，相交于点 o， 这两个垂直，求证 a、 c 跟 e、 f 互相平分，那我们就要证明 这个全等一、平行对角线互相平行，对角线相等，两个直角，两个三角形角角边，两个三角形全等 全等以后， o e 等于 f， 所以 a、 c 跟 e、 f 互相平衡。 第十题，平行四边形对角线相交于点， o 过 o 点，有一条直线在绕 o 点旋转，与 a、 d、 b、 c 交于点 e 问 o， e、 o、 f 什么关系？ o、 f 相等 啊，然后证明，因为是平行四边形，所以 o i 等于 o c 啊，上下平行，上下平行，内错角相等啊！摆条线，两个三角形全等全等，对应边相等。 第二，加 o、 e、 o、 f 分 别延长，与这延长线有交点。问 m， e 和 n、 f 相等吗？还是相等的 啊？这个我们同面画同画出来 是吧？因为第一次全等，所以 a、 e 等于 c f 角 a e m， a， e， m 和 c f m 就 相等，因为这个角相等这一对，这是内错角相等，然后等角补角相等啊，这一个注意啊，这个应该是等角补角相等，跨度有点大啊 啊，所以在这两个三角形当中，角 m 等于角，角 a 就 应该从左右平行正啊，这个，这个条件没正 啊，也就说这点应该是因为是 a、 b， c、 d 为平行四边形，所以 ab 平行 cd， 所以 角 m 等于角 a， 这个要证明啊！ 然后在这两摆条件，两三均全等，全等，对应边相等啊，这是一种做法。第二种做法，实际上你就是大的平行，乘这两个大的全等 以后， o m 等于 o a， 然后减，刚才 o e 等于 o f， 一 减也行，所以这题方法也是比较多啊。第十一题， 在一次数学实践活动中，小娘过 a、 c 两点画直线， a、 c 把平行于也分割成两部分， 小刚过 a、 b、 c、 d 的 中点画直线 e、 f， 把它也分成两部分。这两种分割方法中，面积关系都是相等，都等于大平行于面积的二分之一， 能把平行子变成风格中满足上面面积关系的两部分的直线有多少条？无数条，请你在中画出一条。我们首先把 a、 c、 b、 d 连起来，然后过点，任意画一条直线，都可以把它分成面积相等， 理由就是，是吧？这个，这首先可以这证这两个全等本身是大的，全等的，所以这两个等这一加起来就相等了啊， 或者说拿这个大三角形面积相等啊，这边减，这是 吧？这两个是相等的，减一个加一个正好还是一半吗？对不对？好， 这就是我们今天学习内容。

今天和大家分享新速快版八年级数学下册八点一节平行四边形第二课时平行四边形中与对角线相关的性质， 探索并证明平行四边形性质定例二，并能运用其进行证明和计算，提升推理能力，探索并证明平行四边形的对称性。 平行四边形性质定律一，平行四边形，对边相等，对角相等啊，在外加它自身的性质对边平行，那么实际上就对边平行减相等啊，对边一平行，菱角就互补，这些都可以得到。好 这个性质定律应用，只要是四边形，平行四边形就能得到它对边相等，对角相等啊。 思考，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 c、 b、 d 是 对角线相交于点后观察图形，你有什么发现 啊？我们可以测量一下 o， a、 o， c， o， b、 o， d， 发现对角线互相平分 好。因为在平行四边形中，上下平行啊，左右平行啊，上下平行也一样啊，它正的是一平行内错角相等，两组内错角相等， 左右有相等，所以这两个三角形全等啊！ 啊，所以我们一般还是要摆条件，他这没摆啊，还是要摆条件啊， 这书写格式啊，平行且相等啊，两个三角形全等全等以后，它等于它，它等于它，所以平行子变形，就把这一大串子又给它缩写成一句话。 缩写成哪样一句话呢？就是平行四边形，对角线互相平分啊，书写格式怎么写呢？在四边形 a、 b、 c、 d 当中，对角线相交于点 o 啊，因为平行四平行四边形， 所以对角线 相交于点 o。 因为平行四边形，它有对角线，所以它等于它，它等于它， b、 d 等于十，那这两个都是五， a， c 等于六，那这两个都是三啊。 b， c 等于七，哎，那 a 对 边向的 a、 d 也等于七，那这样就十五周长好，所以我们要利用。因为平行四边形 啊。嗯，对边相等啊，哎，因为这对角线，所以对角线都等于对角线互相平分 啊，这是用平行四边形的定力。二啊，所以给三边相加等于十五。 将平行四边形纸片绕焦点 o 旋转一百八十度，你有什么发现？因为它等于它，我们刚刚说的对角线互相平分，它转一百八，到达它转一百八，它转，可以发现平行四边形和自身完全重合，你看好，所以啊， 平行四边形是中心对称中心对角线，焦点是对称中心。 如何画一条直线？将一个平行四边形分成面积相等两部分，是吧？我们画一个对角线可以，对吧？画另外一条对角线也可以，还可以，怎么画呢？只要过中心点，任意直线 啊，都可以啊，任意直线都可以啊，你看这红色的任意直线，我们都可以证明三角形 o， i， b 跟 o c， d 全等，这是 o， i， e 跟 o c， e 全能，然后一减剩下的，哎，这一减它剩下的， 对吧？三角形剪它到到这一块，再加这个好，所以最后是相等的，是吧？嗯嗯，最后面积都是相等的 啊。嗯，所以要想将一个平行四边形分成两部分，我们这样过，对成中心， 任意做一条直线都可以，所以有无数种方法来平行四边形。对角线相交于点后，写出图中全等三角形。 好大的两对，小的两对，所以总共是四对 啊，去证明去。第二题，平行四边形， a、 b、 c、 d 相交于点后，过后点做一条直线，分别于 b、 a、 d、 c 延长线交于 e、 f。 求证 o e 等于 o f。 那 么这种题目要证 o e 等于 o f 呢，就是用全等啊。 那怎么证明它呢？好，因为左右平行啊，左右平行是吧？一平行，两组内错角相等，一组两组 因为平行四边形，对角线互相平分，所以 o i 等于 o c， 所以 这两个三角形呢，就得到 o e 等于 o i 了啊，你看平行四边形， 左右平行， o a 等于 o c 平行两种内错角等百条线全等， o e 等于括号。 第三题，平行四边形，对角线相加于圆点，点 c 的 坐标是一。一问点 a 坐标，因为它是中心对称图形，所以点 a 坐标负一负一。 平行四边形，中心对称中心对角线相对是对称中心，对角线交点是对称中心啊，所以点 a 和点 c。 关于 o 点中心对称， c 点坐标一，所以 a 点坐标负一负一。 好，今天我们学习了平行四边形啊啊，对角线互相平分。前面我们学习了平行四边形，对边平行且相等 啊，平行四边形，对角相等，菱角互补。平行四边形，对角线互相平分啊，平行四边形是中心对称图形对对对，角线交点是它对称中心啊，这就是我们这节课。

下期考试必考的一道英式分解的题，一定是这种材料分析题，那很多同学这个题拿不到满分，最主要的原因是读不懂题，不会审题。那跟着老师呢，系统的把这一类题，咱们梳理一下这类题，你会发现你也是可以轻松得到满分，可以秒杀的。 那关于这一类英式分解里面的材料分析题呢？老师也给他整理了历年的一些考试真题，同学们可以把它打印出来加强练习。好看一下这道题啊，给了一个例子， 这个例子进行什么？其实同学们你审完题了之后，你会发现他只是做了一件事情，他把里面的这个二 n 方是不给它拆开了，拆开的目的是为了干什么呢？他一分为二分的起， 第一个是不和前面去构造这个公式了，分的后一个是不和后面构造这个公式了。其实说白了，他拆的目的是不是就是为了构造公式？所以这个题的本质还是 构造公式。那构造公式，构造，我们在阴式分解里面，公式完全平方公式和平方差公式看你就构造哪一个是不就可以了， 只要构造往这两个公式上去构造就可以了啊。看一下如果给我们题，我们自己该如何去构造才是这种类型题的关键啊。看一下第一小问，他给的是 x 平方减四， x 加五， y 加一等于零，让我们求 x y 的 值，其实就是让我们求 x y 的 值呢？给这个式子怎么办？ x 平方减四 x y， 其实同学们看到这之后就看出来了，它应该是一个完全平方公式，那完全平方公式我们是不是要找它的尾平方向才可以？那对于这个第一问来说， x 平方， 四 x y， 那 么它的尾平方向应该是谁呢？我们怎么分析出来它的 y 平方向从中间这个二倍向上入手，这个二倍向是从哪里？二 轴向以及一个尾向，这个尾向是什么呀？二 y 我 们不用管它的符号的问题啊，不管这里面 x 和二 y 是 正是负，它们前面是不都有可能是正是负，都有可能是正，都有可能是负啊？这个不用纠结，我们只需要把它的位平方凑出来就行，它的位平方凑出来的结果应该是四 y 方。 那所以你会发现题干上给的那个五外方，我们是不是也要给他拆分了？拆成什么？拆成我们第一块想要的四外方，那拆成四外方之后还多一个，是不还要把它再拆出来一个外方， 这个外方又怎么用？是不。看后面你会发现有一个二外加一，那我们就把它正常往后写二外加一，你会发现后三项他又是一个完全平方。公式，那我们这个题拆分 y 方的目的不就达到了吗？这是不是就是一个拆分的过程，拆开之后再去重新构造，那这个题直接就能出结果了。来看，前面得到的结果应该是 x 减二， y， 后面应该是 y 加一 的平方，让它等于零。这个地方就比较简单了，两个平方向相加等于零，只有一种情况，就是他们两个都等零， x 和 y 的 值是不是分别都能求出来？ 那接下来 x 的 y 次方这个任务就交给大家自己去求。让我们来看一下第二项问啊，其实思路都是一样的，只不过第二项问呢，跟它的形式稍稍有一点点的区别。 a 加 a 方加 b 方等于十， a 加十二， b 减六十一，让我们求二 a 加 b 的 值，还是求 a 和 b， 那 这个题怎么办？ a 方加 b 方， 看不出来有什么公式，但是你会发现它等号的右侧是不是还有一串的东西，所以我们要把它等号右边的东西通通给它移过来，我们来看看它得到一个什么样子的结果啊？方 b 方减十， a 减十二， b 加六十一等于零。好，来接下来去凑公式还是去凑公式啊？看到 a 方我们能想到什么？ 到 a 方，我们是不是要去想看，是有平方差公式，还是有完全平方公式？这个题目里面平方差不可能了，一眼就能看得出来，是不是就凑完全平方公式？完全平方公式 a 方有了是不？后面还有两项，一个是二倍的乘积项，还有一个是 v 平方向。 那么我们在这个问问题里面到底找的是二倍乘积项呢？还是 v 平方向呢？我们要先确定他的二倍乘积项，为什么？ 因为我只有找到了二倍乘积，像我的尾像是不尾平方向才能确定。那这个地方既然是 a 方，那么他中间的那一项一定含有的字母一定有 a， 那 纵观整个题，含有 a 的 只有谁？ 减十 a， 所以 我就把他俩凑到一起，所以这个地方我写的应该是减十 a， 那 么他的尾平方向应该是谁呢？二十五， 这个比较简单，同学们从十 a 这里分析就可以了，然后你分析出来了，那 b 同样的思路是不是也去这样子分析？那后面加 b 方，他一定和十二 b 他 们两个凑成一个公式，十二，那后面应该是六的平方，求出来是三十六。那其实这个题很凑巧， 我前面加了一个二十五，后面加了一个三十六，这个二十五和三十六是不刚刚好？把这个六十一就没有了，直接等于六好出结果。前面 x 减五的平方， 后面儿 a 减五的平方，后面儿 b 减六的平方，然后 a 和 b 的 值就可以了，答案就出来了。好，接下来最后这一步任务交给大家就行了啊，一定不要算，算错了。

哈喽，江苏的小宝宝们，那我们正式进入到芭蕉数学的重难点部分四边形，这里会有很多的性质和定义需要我们去证明，那怎么证明呢？ 当然是利用我们前面学过的知识呀，比如说全等三角形，平行线的性质等，特别是对于全等三角形不太熟练的同学，一定要先复习一下，再来看我们这个章节。那全等三角形有几种判定方式呀？大家还记得吗？ 有五种对吧？第一种，边边边，第二种，边角边，第三种，角边角，第四种，角角边。第五种，直角。三角形里面的 h、 l。 这边有两个小活动，大家可以在课外边吃辣条的时候边尝试一下，比如说在太阳光的照射下，改变长方形卡纸的摆放角度，观察卡纸的影子有哪些不同的形状。 第二个活动是连接四根细木条的端点，做一个长方形木筐，尝试改变木筐的形状，在变形的过程中，哪些度量大小和图形位置关系发生了变化，哪些不变？ ok， 那 我们正式进入到八点一平行四边形。生活中的平行四边形也见过很多，比如说这个是停车场的停车位，就是平行四边形， 还有像这个栏杆这里啊，也是平行四边形。那平行四边形是怎么定义的呢？其实就是两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 比如说我们八杠一的这个四边形 a、 d 平行于 bc、 a、 b、 c、 d， 那 么这就是一个平行四边形。记作好，这个是平行四边形的符号， a、 b、 c、 d 读作平行四边形 a、 b、 c、 d。 那下面我们来看一个问题，如图，八杠二把一张平行四边形纸片 a、 b、 c、 d 沿对角线 a、 c 剪成两个三角形，那么这两个三角形是否可以重合？为什么 咱小哥哥提出只要判断这两个三角形是否全等，就能确认他们能否重合，也就是我们需要有一个证明的过程吧。 小姐姐也提出了，把三角形 abc 绕 a、 c 的 中点旋转一百八十度，可以与三角形 c、 d、 a 重合，也就是用实验的方法。那如果说能重合的话，也说明这个平行四边形啊，也是一个中心对称图形，对吧？ 好，那我们先听小哥哥的来证明一下这两个三角形是否全等。因为这个 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，所以 ab 平行于 cd， 同时 ad 又会平行于 bc， 那 么角一就会等于角二， 角三呢，又会等于角四，再加上 a、 c 啊，又是这两个三角形的公共边。也就是说，我们可以通过 a、 s、 a 来证明三角形 a、 b、 c 全等于三角形 c、 d、 a。 于是我们就可以得到 ab 会等于 cd， bc 又会等于 d a， 角 b 又会等于角 d， 还有角 b、 a、 d 又会等于角 d、 c、 b。 为什么？因为角 b、 a、 d 是 等于角一加角三， 然后角 d、 c、 b 呢，等于角二加角四，角一等于角二，角三等于角四，所以这两个角也是相等的。 突然一下冒出这么多兴致，大家有没有蒙圈呢？没关系，一句话就可以总结了，就是平行四边形的对边相等，对角相等。 如图四边形 abcd 是 平行四边形，那对边相等， ab 跟 cd 就 会相等，并且是平行的， ad 和 bc 呢，也是平行且相等，对角的话，是角 b 和角 d， 以及角 a 和角 c。 先来欣赏一个例题，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， b、 d 是 对角线 a、 e 垂直于 b、 d、 c、 f 也会垂直于 b、 d， 垂足分别为 e、 f。 求证， a、 e 等于 c、 f。 那 就要用到我们的全等了。 因为是平行四边形，所以 ab 平行且相等于 c、 d、 b 两个角相等，一个边相等，也就是 a、 a、 s 角角边，可以证明三角形 a、 e、 d 和三角形 c、 f、 b 全得，因此就得到了 a、 e 会等于 c、 f。 然后我们聪明伶俐的小姐姐又提出，也可以通过三角形 a、 b、 d 和三角形 c、 d、 b 面积相等来证明这个结论。为什么它们面积相等呀？因为这两个三角形全等可以完全重合呀，所以面积肯定相等。那么这个过程呢，大家可以自己写一下啊。 然后后面一页还有一个问题，就是这个图形里面有哪两个三角形是中心对称图形？有好几对啊，比如说三角形 a、 b、 d 和三角形 c、 d、 f。 三角形 a、 d、 e 和三角形 c、 b、 f。 然后对称中心，大家应该自己可以找到了。好来看到练习部分。如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，对角线 b、 d 的 长为七， 若三角形 a、 b、 d 的 周长为十五，也就意味着 a、 b 的 长度加 a、 d 的 长度等于十五减七是八。 那平行四边形 a、 b、 c、 d 的 周长不就等于两倍的 a、 b 的 长度加上两倍的 a、 d 的 长度吗？因为 a、 b 等于 c、 d、 a、 d 又会等于 b、 c， 所以 它就等于多少？十六、 第二题，如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，角 b 等于五十度。求这个四边形的其他内角的大小，它的对角 d 也是五十度角， a 呢，一百三十度 角 c 也是一百三十度。第三，如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中点 e、 f 分 别在边 b、 c、 a、 d 上 a、 e 平行 c、 f。 求证 a、 e、 c、 f 等于 c、 f， 那 不就是证 a、 e、 c、 f 是 一个平行四边形吗？这个很好证，因为 a、 d 平行于 bc， 也就是 a、 f 肯定平行于 c、 e， 再证明 b、 e 这条边等于 d、 f 这条边也很好证。我还是把过程写一下啊，因为四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，所以 a、 d 平行 bc， 也就是 a、 f 平行 c、 e 又因为 a、 e 平行 c、 f， 所以 四边形 a、 e、 c、 f 是 平行四边形， 所以就证明出了 a、 e 等于 c、 f。 同时呢，可以得到什么？ a、 f 等于 c、 e。 又因为平行四边形 a、 b、 c、 d 中 a、 d 等于 b， c、 b、 e 又会等于 b、 c 减去 c、 e、 d、 f 呢？又会等于 a、 d 减去 af。 好， 前面已经证明出了 af 等于 c、 e， 所以 b、 e 会等于 d、 f。 好，那这样的话，我们就知道了，平行四边形中边角相关的性质就是对边平行且相等，对角也相等。那么对角线有没有什么相关的性质呢？先来观察八杠五这个图， 咱小哥哥小姐姐一唱一和。小哥哥说，我觉得三角形 a、 o、 b 和三角形 c、 o、 d 成中心对称，咱小姐姐也复合到 o， a 就 会等于 o， c、 o、 b 等于 o、 d。 那 我们来证明一下啊， 在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，由 ab 平行于 cd， 可得 b、 a、 c 这个角等于角 d、 c、 a 角 abd 呢，又会等于角 c、 d、 b 再加上 ab 和 cd 又是相等的角边角，于是我们又可以证明出三角形 o、 a、 b 和三角形 o、 c、 d 全等角边角， 于是我们就得到了 o、 a 等于 o c， o、 b 等于 o、 d， 也就是对角线平分且相等。 于是我们就得到平行四边形的第二个性质定律，平行四边形 a、 o 等于 o， c、 b、 o 等于 o、 d。 看到例题二，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线 a、 c、 b、 d 相交于点 o、 bc 等于七， b、 d 等于十，那么 b、 o 和 o、 d 分 别就是五了， ac 等于六， a、 o 和 oc 都是三， ad 会等于 bc 等于七，所以它的周长就是三加五加七十五。 讨论如图，八杠七，将平行四边形纸片 a、 b、 c、 d 绕对角线的交点 o 旋转一百八十度，你有什么发现？ 那么 a 点就会转到哪里啊？ c 点，因为 a、 o 会等于 o、 c 嘛， b 点就会转到 d 点，也就是我们小哥哥提出的旋转后点 a、 b 分 别与旋转前的点 c、 点、 d 重合。 小姐姐也说啊，旋转后 a、 b、 bc 分 别就会与旋转前的 c、 d、 d、 a 重合。也就是说平行四边形是一个中心对称图形，对角线的交点就是对称中心。 探讨如何画一条直线，将一个平行四边形分成面积相等的两部分？很简单，其实你只要过对角线的交点 o 任意画一条直线，就可以把它分成面积相等的两部分。这个呢，大家可以自行证明一下啊。来看到练习部分， 练习一，平行四边形的对角线 a、 c、 b、 d 相交于点 o， 写出图中的全等三角形啊，有好几对，大家自己找一下吧啊！第二，如图，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线 a、 c、 b、 d 相交于点 o 过点 o 作为一条直线，分别交 b、 a、 d、 c 的 延长线与 e、 f。 求证， o、 e 等于 o、 f， 看来又是正全等呀，也就是 a、 o、 e 和 c、 o、 f 一 看就是全等的，对吧？那怎么证明呢？呃，也很简单，来写一下过程吧。证明，因为 四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，所以它的对角线互相平分， a、 o 就 会等于 c o， 并且 ab 平行于 cd， 也就是 b、 e 会平行于 df 吧？好，所以呢，角 e 会等于角 f。 在 三角形 a、 o、 e 和 三角形 c、 o、 f 中，把正弦等的几个条件列出来，角 e 等于角 c o、 f， a、 o 等于 c o， 所以三角形 a、 o、 e 全等于三角形 c、 o、 f 用到的是 a a s， 所以 o、 e 就 会等于 o f。 ok， 第三题，如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线 a、 c 与 b、 d 的 交点是圆点 o， 已知 c 点的坐标是一一，那么 a 点的坐标呢？就是负一 负一，因为 a 和 c 关于点 o 成中心对称，也就是他们的坐标互为相反数。好，平行四边形的性质定律就到此结束。下节课我们来看平行四边形的判定。

第九题，一起看题目吧！小明遇到这样一个问题，什么呢？如图一，两条相等的线段，并且它们的夹角等于六十度。哎呀，注意一下，在地方写上相等线段的夹角等于六十度的时候，我们要做的事情就是构造它们，让它们有公共的端点， 构造成有公共端点，构造成有公共端点。 当你能想明白这一点之后啊，接下来我们来看这个题目，它就变得很简单了，你看啊，他说如图这个跟这个相等，并且夹角等于六十度，告诉我们这个角是大于六十度的。接下来要连接，连接，连接完要证明 a c 加上 b d 要大于 cd。 好， 对于这样的题目，我们怎么处理呢？哎，题目中小明的想法，看看他怎么做的，通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质来转移线段的位置。 以下是小明的部分证明过程，证明他怎么做的。过点 c 做一个 ab 的 平行线，过点 b 又做一个 ac 的 平行线， 那这就是一个平行四边形吧。那么根据小明的想法，你看看我们能不能正到这条边加这条边大于这条边的哦。小明做了一个平行四边形，那此时 a c 是 不是变成 b e 啊？根据题目这样的话，本来我们要求的 a c 加上 b e 啊，本来我们要求的是 a c 加上 b d， 是 不是就变成了 b e 加上 b d 啊？ b e 加上 b d， 这个肯定是大于什么东西的，肯定是大于我们的 d e， 根据三角形的两边之隔大于第三边， 可是 b e 跟 d c 什么关系哦，我们发现这是个什么套型啊？等边套型，因为你做了平移之后，这个角是六十度，这个角是不是也是六十度啊？哦，有一个六十度。 好，根据我们这是平行四边形，这条边等于这条边，而这个边又等于 c、 d 边，所以我们 c e 就 等于 c d， 哎，有一个角是六十度，等腰三角形，那不就等边吗？所以 d e 本身就等于 d c， 从而我们就能够正到这个结论。 b e 加上 b d 是 大于 cd 的， 是不是就正到了？哦，把它改成就是 a a c 加上 b d 吧，就大于 c d， 这个结论我们就能证到了，这个证明还是比较容易的。当然，这个题目除了小明的方法以外，我们还有别的方法吗？很多来，我把剩下的几种方法都给大家讲一讲，但它的思路是一致的。你看，因为这条线段跟这条线段平行且相等，所以我们的核心思想也就小明的核心思想是怎么样的？ 我把这个 ab 啊，平移到这，与他有公共焦点。那同学们，我能不能把 ab 平移到这里，跟他有公共焦点行不行？那也行啊，有什么不行的？那我们看一下，如果我把 ab 平行到平移到这，过点 d， 做一个平行于 ab 的 这条直线，并且使得这条线等于 ab， 然后把它一连，这是不是又是个等边啊？ 你看这等边怎么来的？因为这个角是六十度哎，跟它相等吗？六十度，你把它平移过来，两直线平行，同位角相等，而我又做的这个跟这个相。当然，你也可以说，老师我再做一个跟这个平行的，行不行？ 哦，不是啊，是我说错了，是做这个跟这个平行啊，也可以吧。有些人说，老师，我能不能先做一个 a， 什么平行于 b d， 什么平行于 ab， 那 这不一个平行四边形吗？那你把它连起来，这也是个等腰，或者说我干脆先画一个等边三角形， 然后呢，再怎么样再把这个一连也是 ok 的 吧？好，你看这种方法行不行，当然也是完全没有问题的吧，比如说我这个地方也标一个字母吧，没有字母，这就不方便说 f。 好 了，那此时此刻，根据我够做一个平行，做一个平行，这是不是平行四边形？或者你做一个平行且相等，他也是平行四边形吧？ 啊？平行四边形，然后同样也证明到就是个等腰，那么在这个三角形中，根据三角形的两边之和大于第三边， 是不是就有 ac 加 af 就 大于 cf， 而 af 等于谁就等于 bd， 而 cf 等于谁就等于 cd？ 哎，这个是不是也可以啊？当然，刚才我第一种小明的话，把 ab 移到这，我的方法是把 ab 移到这，那还有没有刚刚移的都是 ab， 那 你能不能移 cd 呢？也可以啊， 我们的核心本质，只要让这两条相等且夹角等于六十度的线段让它平移到有公共端点，就这么简单。好，那我还能怎么平移呢？来，我可不可以这么平移 过点 a 做一个，比如说 a g 平行且等于 d c， 那 此时此刻你把这一连，这不就是相当于是我们的一个平行四边形又出现了吗？ 平行四边形一出现，把这一连一等边三角形又出现了，哦，这就是平行四边形，这就是等边三角形。那这时候我们发现在这个三角形中，两边之隔大于第三边， 所以我们很快就知道了，而这个长度就等于 a c 吗？所以就是 a c 加 b d 大 于 b g， b g 就是 等于 c d 吧。哦，两面之后大于第三面结束， b g 为什么等于三面？这是一个什么？这是一个等边，这是个平行四边形，这个，这个，这三角线呢？都相等，还有没有别的方法？哦？刚才我把 啊 cd 挪到这个位置，那 cd 请问能不能挪到这个位？注意要把夹角。有人说，老师，我挪到这行不行？挪到这不是一百二十度的呀，就没有等边了，所以，所以我们为了构造等边，只能往上平移，可不可以？好，我这边做一个 平行于 cd 的， 可以吧？平行并且等于 cd 的。 哎，把它一连连完了之后，你也能够很轻易的发现，这就是其实就是什么，又是一个平行四边出来了，对吧？那在这种情况下，我可不可以再连接一条线，让它变成等边呢？ 再连接，比如说这个字母没有 m 吧。好，那这时候我是不是可以连接一个 am 就 可以了呀？ 你看是不是也可以连接 am？ 在 这个三角形当中，两边之合大于第三边，而这个 ac， 哦， cm 等于谁？就是 b d， 哦，大于 am， am 是 谁？就是我们的 cd 吧。 am 等于 ab 等于 cd， 是 不是？这是个等边套型，但是这个图啊，没有连好，所以这个题目你看看我们用了多少种方法，它的方法特别特别多吧。 哎，这什么情况？哎，这样把它移一下好了。那么此时此刻刚刚这个题目用了哎，黑色笔，小明的方法，紫色笔，然后蓝色笔，有两种方法，总共四种方法就可以解决 好。紧接着下面我们来看一下方法应用，它的核心思想要弄清楚，就是平移线段，把它们平移到有公共端点就 ok 了。那么看第二题吧，如图二，现在有一个梯形 a， 哦， b、 c、 e、 d， 哦，这是个梯形 d， e 呢？是平行于 b、 c， 延长 b、 d 和 c、 e 交于一点 a， 在 b、 d 上截取一点 b、 f， 使它等于 a、 d。 哎呀，这样，这两个相等，我们来标一标这两个相等哪两段？这一段圈圈边跟圈圈边相等， 接下来过点 f， 哦，这个，这个，这三个都是平行的。现在问哪三条边的关系呢？噔噔噔，这三条边有什么关系？ 那么根据题目啊，我们就想到这个边在这，这个边在这，这两个相等边，这个是这个三角形的。那他，哎，我做一个平行，你看看这个三角形，这两个三角形什么关系，能不能挣到全等呢？来，可以试试。 我们其实还是平移吧，我把谁平移过来了？我把 a、 e 平移到这边来了。你看，如果我把 a、 e 平移到这边，你会发现，嗯，过点 f， 做一个 f g， 哦， g 有 了 fm 平行于 a、 c， 那 此时此刻能够得到的就是，这是一个平行四边形，没问题吧？两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以这一段就等于这一段，而这一段跟这段能不能正到相等呢？哎，当然可以，你看这两个三角形，我们能不能正到全等呢？哦，肯定可以啊，因为这个跟这个平行，所以同位角相等。 第一个角一等于角 a， 角一等于角 a。 第二个再看，因为两直线平行，同位角相等，所以角二等于角 b， 角二等于角 b， 所以 再加上题目又告诉我们 a d 等于 b f， 所以 从而我们就有这边有两个三角形，一个叫小黄，哎，标一标 下面一个什么小绿。这两个三角形，他们很明显是全等的三角形啊。既然全等之后，我们的 f m 不 就等于 a e 吗？嗯， f m 等于 a e， 这还有什么？还有 d e e 不 就等于 b m 吗？题目问的是 d e， 这个，这个有什么关系？那太简单了呀，因为我们从图中可以看到，这段加这段是不是等于这段，而这段就是谁就是这个，而这段是谁就是这个哦，所以我们 d e d e 加上 f g 不 就是等于 bc 吗？所以关系式是不是就写出来了呀？ d e 写下来，加上 f g 就 等于 b c。 当然这个方法不是唯一的，比如说，我们还能怎么做？刚才我做了一件事情，怎么做的？哦，我把这个，嗯，先把它平移到这来。那我能不能过这个把这块平移到这块来呢？也可以啊，那接下来我不妨过点 g 做一个 g n 平行于，比如说做 g n 平行于 ab， 行不行？当然行啊，此时此刻，这个角不就等于我们想要的这个角？两直线平行，这个角等于角 b， 而角 b 又等于这个角二，所以这个角跟角二相等，那这个角跟角 a 什么关系？哦，两直线平行，同位角相等哦，再加上这个 是平行四边形吗？所以 g n 就 等于 b f， 而 b f 又等于 a d， 所以 g n 就 等于 a d。 所以 这两个三角形是不是也能正好全等？正好全等之后， d e 不 就等于 c n 吗？哦，根据 c n 加 b n 等于 bc， 所以 我们的 d e 加上 f g 就 等于 bc 吧，是不是也是可以得到我们想要的结论啊？ 所以这个通过这道题我们学会了什么？就是平移去构造什么呀？有公共端点的这些去也就是他题目所说的什么通过平移的性质进行转化，线段的位置就是你要通过平平行四边形的性质把线段的位置发生一些转变，那么这个题目我们就可以完美解决。

这个题目考的太好了，简直是太好了啊，他把我们之前学的一些知识全部综合在一起了。首先第一个他里面考察了什么呢？第一个关于垂美四边形的知识。 垂美四边形同学们还有印象吗？什么叫垂美四边形啊？就是对角线相互垂直的四边形，而对角线相互垂直的四边形，它有个什么样的性质啊？它的面积等于对角线乘积的一半吧。这个方法其实证明起来很简单哦，垂美四边形 面积是对角线乘积的一半，面积，写下来是对角线乘积的一半，对角线乘积的一半。 哎，这一点我们要牢牢记住它。那第二个它还考了什么呢？哦，它还最主要的，它把代数里面的之二推二的模型又考了一遍， 代数中我们之前学过的之二推二的模型综合到几何题里面了，所以这个题目真的是超级无敌的。好，那我们看题目吧， 学校计划用一块梯形区域哦，这个题目它其实还是个实际应用题，在我们日常生活中，比如说，下次你们老师让你们开发一块区域，用来干嘛干嘛？你要要对这个事情进行呃，主导的，你要怎么分配这个地方？那这时候你就用上了呀， 一个梯形区域开展科技活动啊，并利用护栏 a、 c 和 b、 d、 o， 它们是护栏相交于点 o、 o， 而且此时 a、 c、 b、 d， 它们居然是相互垂直的，这是个直角。哎，直角 又告诉我们 o a 等于 o b， 哎呀，居然还告诉我们这是个相等的， o a 等于 o b， o c 等于 o d。 哎呀，那这不是这两个都相等吗？ 这个条件给的有点多了吧，他其实只要告诉我们这个 o a 等于 o b， 我 们就能够挣到 o c 等于 o d， 当然他都给我们了，那都行啊，你看他是个梯形吗？那梯形它是平行，这两个角相等，这两个角相等，如果你只告诉我们 o a 等于 o b， 这个角一就等于角二， 那由于平行，角一等于角三，角二等于角四，哎，这时候角三等于角四，是不是也能挣到 o c 等于 o d 啊？所以这条件给多了没关系，多给多给就多给吧。好了，那现在呢，计划在三角形 a o d 内部， a o d 这个和这个作为表演区 上面呢，作为主舞台下面作为观众区等等。哎，四个区分好了，现在精测主舞台和观众区的面积，就是这两个面积之和等于幺幺六。 那接下来呢，这个 a c 的 长度哦，这个 a c 对 角线的长度等于二十。最后要求的是 o a 比 o d 的 长多少，就这段比这段长多少，是吧？那对于这个题目我们怎么处理呢？首先第一个，我们涉及到题目设计面积这两个面积， 那么同学们感受一下，请问这两个面积什么关系啊？那肯定相等啊，对吧？那因为 o a 是 等于，题目告诉我们 o a 是 等于，嗯，什么情况？ o a 的 话，题目是不是告诉我们等于 ob 啊？所以 o a 等于 o b 等于 a， 我 可不可以测出来？那么其次你看一下 o d 又等于 o c， 我 可不可以测出这段是等于 b， 而题目要求的 o v 比 o b 长多少，那就是要求的是 a 减 b 吧，这是咱们要求的提炼信息。 那么第二个，根据题目中所给的这个东西，他给的什么？第一个是 a 加 b 等于二十，这第一个信息有了，哎呀， 感觉到没有？好像跟我们的知二推二有点有点有那么点感觉了吧。你看，已知 a 加 b 要求的是 a 减 b， 那 么我们还必须知道一个什么 a 乘 b 呀， a 方加 b 方啊。所以这个，这个， 这个，这个这四个放在一起，是不是知道其中两个，另外两个都能推出来？那现在我推这个，那是不是这两个中必须还得求一个？那看一下面积，我们还没用呢。 好，对于我们整个梯形，这个梯形它是个对角线相互垂直的梯形，也就是我们曾经讲过的垂美四边形，它有个什么结论呢？ 面积是等于对角线乘积一半的，那我们也可以证明一下这个结论，给大家证明一下哦。梯形 a、 b、 c、 d， 我 梯子省略不写了，就等于 s 三角形 a、 c、 d 加上 s 三角形 a、 c、 b。 好 了， 那么这个时候代入数据就是二分之一 a、 c 乘以 o、 d 底层高，加上二分之一 a、 c 乘以 o a 二分之一底层高。 所以代入提取二分之 a、 c， 得到 o d 加 o b， 而 o d 加 o b， 不 就是 b、 d 吗？就等于二分之一 a、 c 乘以 b、 d， 而 a、 c 跟 b、 d 相等，都是二十乘以二十。 所以正确答案很快能够得到这两个三角形，这两个，这个直角梯形，不是直角梯形。说错了，这个对角线相互垂直的梯形的面积就等于两百，那么上面和下面的面积之合是幺幺六，所以表演区的面积是多少呢？啊？表演区的面积 说，或者我们直接写 s 三角形 a、 o、 d 的 面积就有了，它是等于二分之一两百减幺幺六吧，因为你两百是 整个的，你减去上下的幺幺六，是不是剩下是两个表演区啊？两个表演区再除以二就完事了，所以答案算出来等于八十四，除以二等于四十二。 好嘞，当我们能够得到 a、 o、 d 的 面积等于四十二，而 a、 o、 d 的 面积不就是二分之 ab 是 等于四十二吗？所以很快就有 ab 的 乘积不就是八十四了。哎呀，通过这题目我们得到 a 乘 b 等于八十四， 那么已知 a 加 b 和 a 乘 b 要求 a 减 b。 这，这，这太简单了，谁不会用？我们说了，只要是遇到推二求二，推二之二，这个里面的一个核心思想就一句话，将依次是平方。 依次是平方，啥意思？因为我们之二推二里面有四个式子，哪四个式子？ a 加 b， a 减 b 以及 a 乘 b 以及 a 方加 b 方。这四个式子中只有这个和这个是依次的吧？依次的这两个是属于什么？属于二次的？二次的。所以我们遇到这个问题，你只要把 a 加 b 和 a 减 b 平方就行了。既然我要求的 a 减 b， 我 先求它的平方等于 a 方 加 b 方减去一个二 a、 b， 那 我已知的是 a 加 b， 我 先把 a 加 b 的 平方化解一下，是 a 方加上 b 方，再加上二 a、 b 是 等于四百的。所以根据题目的意思，咱们能不能求出 a 方加 b 方？ 肯定能求啊，是用两百减去什么哦，四百啊，四百减去八十四乘以二吧，两个 a b 八十四乘以二，是不是一百六十八等于两百三十二？哦，原来它是等于两百三十二的， 那这个两百三十二咱要求的是 a 减 b 的 平方是不是等于两百三十二，减去两个八十四，一百六十八？所以通过计算，我很快又可以算出答案， 答案是六十四吧。那我们看一下咱要求的 a 减 b 的 平方是六十四，所以咱 a 减 b 等于几啊？等于八，而此时的 a 减 b 不 就是我们的 o a 比 o d 的 长长多少长？八，答案就出来了吧。对于这道题，我们学会了什么哦？相当于我们把之前学过的 垂美四边形的有个性质叫面积的，这个垂美四边形的面积是等于对角线相互垂直的，这样的四边形 我们给他取一个共同的名字，他叫垂美四边形。只要是对角线相垂直，它的面积都可以用对角线乘积的一半来算。我希望同学们牢牢记住这个结论。第二个在之二推二模型中的核心解法就是 已知 a 加 b， a 减 b， a 乘 b 以及 a 方加 b 方，我们只要把这个和差平方就可以了。 a 加 b 和 a 减 b 平方之后，就可以想得到我想要的二次式了。

同学们大家晚上好，今天我们继续分享初中数学知识点及易错题。今天晚上分享的是八年级下册月考试卷的第二十题， 这道题有百分之七十的同学是没有拿到分数的，接下来跟英子老师一起来学习。 在三角形 a、 b、 c 中， a、 c 等于 b、 c 等于四角 b 等于十五度，求三角形 a、 b、 c 的 面积。 这道题如果你过 c 向 a、 b 做垂线的话，我们是没有办法得到三角形 a、 b、 c 面积的。那这个时候呢，我们一定要想办法构建一个直角三角形， 因为题里面告诉我们， a、 c 等于 b、 c 等于四，我们就能得到三角形 a、 b、 c 是 一个等腰三角形，等边对等角， 我们就能得到角 a 也等于十五度，那么角 b 也是一个十五度，我们可以延长 bc， 我们延长 b、 c 以后就能得到这个角，就是三角形 a、 b、 c 的 外角，那这个角就等于三十度了。我们过点 a 向 b、 c 边做垂线， 做一个 a、 h 垂直于 b、 c， 那 么我们在这个三角形里面，根据三十度的角所对的边等于斜边的一半的话，我们就可以得到 b、 c 边上的高呢，就等于二， 那么 b、 c 又等于四，所以底乘以高除以二，面积就做出来了。分析清楚以后，我们的解题格式应该是这个样子解， 延长 b、 c 做 a、 h 垂直 b、 c。 因为 a、 c 等于 b、 c 等于四，所以三角形 a、 b、 c 为等腰三角形。 然后呢，又因为角 b 等于十五度，所以角 a 也等于十五度，即角 a、 c、 h 就 等于三十度。 然后在 r、 t 三角形 a、 h、 c 中，我们可以得到 a、 h 就 等于二分之一的 a、 c 就 等于二分之一，乘以四就等于二。 所以 s 三角形 a、 b、 c 的 面积就等于四乘二，再除以二就等于四。同学们，你们听明白了吗？

这道题值得同学们去做一做，它可以训练孩子们几何直观的能力以及计算能力，同时它具有举一反三的价值。我们一起看一下这个题目吧。 如图一副三角板，如图一，放置 ab 呢，等于 cd， 哎呀， ab 居然等于 cd， 等于根号六，这两段长度等于根号六，那么零点一呀，是重合的 这两个三角板。我们知道三角板的话，他一个是等腰直，是不是相当于是四十五度直角三角形，加一个三十度六十度的一个直角三角形，这是对于我们三角板的一个特殊性的一个考察。那接下来呢，将这个三角形啊，绕着某个点 e 啊 进行旋转，旋转之后呢，使得 a、 d， e 这个角等于七十五度，那么旋转的一个固定性，当它旋转的位置一旦固定之后，那么此时此刻他居然要求这个四边形的面积。 那么看到这，同学们就不禁好奇，会问，这个四边形，它是特殊的四边形吗？如果不是特殊的四边形，那普通四边形的面积我们是要把它分割来求的，那么它是不是特殊的呢？那我们看看， 重点就在于七十五度这个角度如何使用了呀？那么根据题目的意思，这个角是六十度，那么从而知道这个角是等于一百三十五度吧。题目告诉我们， ab 等于 cd， 哎，如果它是一个特殊的四边形，极有可能它是个平行四边形吗？ 如果它是平行四边形，这个 a、 b 和 b、 c、 d 已经相等了。如果要证明它是平行四边形，是不是我只要证明它俩平行啊，那它俩平行，嗯，怎么正？回忆一下，我们这边平行有两直线，如果要证明两条直线平行，可以正同位角相等，可以正内错角相等，还可以正同旁内角互补， 那这个我们能不能挣到呢？那这个时候，目前这两条线还没有什么同位角，内错角、同旁内角等等，对不对？所以根据我们题目给的这个信息啊，整个周角三百六，这是一个七十五至九十六，十七十五，所以瞬间得到，这是一百三十五，那从而我们就有，哎，此时此刻，我不妨把这个 c e 延长一下，交 ab 于一点 h， 那 此时这个跟这个如果平行的话，这是个直角，那这也要是个直角吧，那他到底是不是个直角呢？根据题目，这个角是四十五，一百三十五，所以这个角瞬间就有了，等于四十五度吧， 这四十五度，所以这个也是四十五度，从而我们能不能求出来我们想要的这个面积呢？哎呀，通过计算，我们发现这就是个直角，从而就有，原来他跟他是平行的吧。 哦，内错角相等，两直线平行，你也可以说是同旁内角互补，两直线平行吧，有这个平行，又有它们相等，所以它是个平行四边形，那么平行四边形的面积好不好求呢？哦，平行四边形 abcd 的 面积，它是等于底层高，也就 ab 乘以 c h， 这个细节要注意一下，不能除以二。 我们很多同学在求面积问题的时候，往往求的最多的就是三角形的面积，在这个地方特别容易引发冲动，直接除以二了，特别容易出错啊，那这个地方 ab 咱知道是根号六，那就差一个什么 c h， c h 是 多少呢？哎呀，通过题目的给的数据告诉我们，这个是根号六，那这是个等腰直角三角形，嗯，三线合一，所以这是二分之根号六，这也是二分之根号六，所以很快就有这个 e h 是 二分之根号六， 那么同学们你看一下，这个还差一个 c e 啊， c e 怎么求？根据我们题目给的这是一个根号六，那么这是一个三十度的角吧，来标一标， 这相当于是一个三六九的一个直角三角形，它的三边关系是一比二比根号三，那么根号三份是根号六，所以一份就等于根号二吧，所以这段长度就是根号二， 从而就有我们的 c h 的 长度就等于什么呢？等于二分之根号六，再加上根号二，从而通过计算，我很快就能够得到它是底层高。根号六乘以二分之根号六就是三， 再加上根号六乘以根号二，等于二根号三。所以此时此刻这道题目的答案就是，三加上二，根号三。 最后我们对于这个题目来总结一下吧，首先他要涉及到面积的问题，你我们优先考虑的是不是特殊的题目，一旦要求某某图形的面积，这个面积到底是特殊的图形还是普通图形？ 如果是特殊的图形，我们可以用公式，哎，直接是公式，公式法可以解决，如果是一般的图形，他不是特殊的，那么我们只能用什么割补法，哎，割到一个三角形，割补或者补成一个三角形，用加大面积，减小面积啊，或者小面积加起来和啊，这是第一个， 第二个，如何判断一个特殊的四边形呢？那其实我们这个地方还要用什么呀？还用我们三角板的一个特殊性质，三角板， 三角板，我们常见的三角板的性质，他说一副三角板我们常见的就是四十五度的和九十度的这种，四十五、四十五、九十的，还有一种是三十六十、九十的，三十六十 还有九十的。我们要对于三六九这个三角形和四十五度的等腰直角三角形的三边关系要非常熟悉，它属于一比一，比根号二， 这个属于什么？这个属于一比根号、三比二，这两个数据我们要牢记在心，也就是说这题目当我们给了这个数据的时候，剩下的这条边我们立刻反应出来，当我们给了这个数据，剩下的这条边也要立刻反应出来。

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八、下数学最难的五大考点专练全部吃透，稳进班级前三。八年级下册数学五大考点专项练习一、二次根式选择题，填空题解答题二，勾股定律三，平行四，边形四，正比例函数五，依次函数完整可分享！

第二题，这道题呢，特别好，你值得拥有，为什么这么说呢？因为他为我们后面平行四边形的存在性问题的这样的难题啊，做了一个非常好的一个铺垫。下面我们一起看这个题目吧。他考察的是平行四边形的对称问题， 我们都知道平行四边形，它不是轴对称图形对不对？但是它是中心对称图形，所以它这个对称问题考察的就是它的中心对称性好。如图，三角形 a、 c、 e 啊，它是以一个平行四边形的对角线 a、 c 为边的一个等边三角形。现在点 c 呢？与点 e 啊，是关于 x、 o 对 称。 题目又告诉我们，点 e 的 坐标，横坐标是七，重坐标是负的三根号三。既然如此，点 c， 关于 x、 o 对 称，所以 c 的 坐标我们也可以写出来，横坐标是七，重坐标是三根号三。 从而我们就知道此时 c、 e 的 长度是不是就是 c 点的重坐标减去 e 点的重坐标就是六根号三，那也就是这个正三角形，也就是等边三角形的三边长 都是六根号三八来标一标这个对角线是六根号三，这对称，所以它是垂直。从而我们根据勾股定律啊，这个点我标一个点叫 h， a， h 的 长度是不是很快能够算出来 h 的 长度等于多少？哦，立刻就有了，是九八哎，因为这个是三根号三，这个是六根号三，勾股定律，这个是九八。当然你也可以根据我们三十度角的那个三边关系，三六九的三边关系是一比二，比根号三， 很快 a、 h 是 九， a h 是 九，而我们知道 c 点的横坐标是七，所以这段长度是七，从而就有 o a 的 长度是二吧。哦， o a 因为 o h 是 等于 bc 等于七的，从而我们就有 a o 的 长度就等于二。 当我们知道 a o 的 长度等于二，接下来要求点 d 的 坐标呢？由两种方式来求啊。第一种，我们可以用我们之前学过的几何，这个三角形跟这个三角形是不是很明显的全等啊？嗯，你这个是二，所以我这个是不是也是二，整个是七，哦，这是七，这个是二，那么从而这段长度是不是就是五啊？所以点 d 的 坐标很快能够算出来是五零。 当然如果我们用这个几何方法来做的话，其实就让我们错失了对于一个知识点的学习，所以紧接着下面我们用另外一种方法来解决一下这个问题吧。那么最对于当我们求出 o a 的 长度， a 点坐标是不是在我们脑海中是瞬间出来就是负二零啊？ 好了，那么 a 点坐标是负二零， b 点坐标我们也是已知的横坐标是零，纵坐标是三根号三八。那这个题目要求的是点 d 坐标，注意， 对于这个平行四边形而言，它已知三个点的坐标，要求第四个点，这个特别特别重要的一个知识点，我们一定要给大家讲一讲啊。为什么我说这个题目考的好的原因就在于通过这道题，我们可以学到这个非常重要的知识点，我们看它是什么知识点呢？根据平行四边形的对角线啊，它是相互平分的 对角线，相互平分，大家都知道这个点，我可以给它标个字母叫 m， 所以 m 既是标公式， m 点坐标是怎么求的呀？ 中点坐标公式还记得吧？哦，中点坐标公式， m 点坐标是不是 a 点坐标加上 c 点坐标除以二，就是能够得到 a 点？ m 点坐标就是负二横坐标加横坐标。 嗯，负二加七是五，除以二就是它的横坐标，重坐标加重坐标除以二就等于它的重坐标。那么同样 m 点的坐标是不是还可以写成什么？因为它还可以写成 b 加 d 除以二， b 点重坐标， b 点坐标加 d 点坐标 加起来除以二，可以得到 m 点坐标吧。那么从而我们就知道哦， m 点是同一个点啊，那我是不是就只能够得到二分之一？ a 加 c， a 点坐标加 c 点坐标除以二应该等于 b 点坐标加 d 点坐标除以二，而二大家都可以舍去，很快就知道， a 点坐标加上 c 点坐标， 是不是就应该等于 b 点坐标加上 d 点坐标啊？那么通过这个学习，我们得到的一个知识点是什么？请同学们牢牢记住，就是对于任何一个平行四边形而言，我们把它写下来，平行四边形，对角顶点 对角顶点的坐标之和相等。 那如果说我们要求点 d 坐标的话，那你看，直接用 a 加 c 减去我们 b 点坐标，是不就 d 点坐标？你看，因为 a 点坐标加 c 点坐标等于 b 加 d 哦，那要求 d 是 不是 a 加 c 减 b 啊？ a 加 c 是 什么哦？负二加七等于五，五减零还是五？ 这种坐标是零加三根号三，再减三根号三，是不是就是零啊？所以点 d 的 坐标也能够得到是什么？ a 五零。那么通过这道题啊，我们一定要牢牢记住一个点，就是对于任何一个平行四边形 都什么呀？都存在这样的，他的对角顶点的坐标之和相等，那是比如说下次再考你，比如说现在有三个点， a 点坐标是一二， b 点坐标是三四 啊， d 点坐标是负， c 点坐标是负一六，那么此时此刻要求一个点 d， 使得这个地点和前面三个点构成的四边形是平行四边形，你会做吗？其实我们就可以口算了，因为我现在不确定谁和谁是一个 对顶吧，呃，对角吧，因为他没有告诉我们这个四边形是 a b c， d 还是 a？ c b d 还是 a d b c， 是 不是他没说到底谁跟谁是对顶对顶角 啊？不是，是，是那个。呃，对角吗？那如果说是 ab 是 对角的话，那就 a 加 b 减 c 就 能得到 d， 也可能是 a， c 是 对角，那就是 a 加 c 减 b， 也有可能是 bc 式对角，那就是 b 加 c 减 a， 看得懂吗？属于 d 的 情况是不是有三种啊？这为后面我们学习平行四边形的存在性问题做了一个非常强大的铺垫，你用这个方法，基本上连图都不用画，闭着眼睛做的好。最后我们把这个题目答案给大家选出来，答案选什么？答案选 c。 通过这道题的学习啊，我希望大家牢牢记住这个点，请同学们把这句话记下来，平行四边形的对角顶点的坐标之和相等，而这个题目做这个题目的最大的意义就在于你学会了这个知识点。

好，各位同学，接下来我们看一下这道题。这道题讲的是摩擦力方向的一个判定问题，因为这是皮带和轮子，他们之间是不能打滑的，所以这个时候他觉得应该是近摩擦力方向的一个判定。那么对于摩擦力判定，我们有这样的方法，首先第一个方法， 方法一是什么？是定义法，那这个定义是什么呢？ 这是与相对运动趋势相反，是吧？相对运动趋势相反，这是它的一个定义啊。然后第二个还可以怎么样呢？哎，根据我们所学过的相互作用力啊， 是吧？根据我们的这个平衡力啊等等，它其实都可以去判断出力的一个方向问题，摩擦力的一个方向，那我们接下来具体看一下题目啊。左轮为主动轮， 主动轮是什么意思？就是主动转动的那个轮子，它是由电动机来驱动的，那右轮为被动的，这个是主动的，那这个是被动的。那什么叫被动呢？那也就是说现在右轮是 由皮带带着它进行转动的这样一个轮子，皮带和右轮都是顺时针转动，所以我们的主动轮肯定也是顺时针转动， 那同样的他都是顺时针。好，接下来具体我们看一下题目。问法，皮带上 a 点和轮上 b 点所处摩擦力方向，那我们首先看他研究的什么是皮带上 a 点，根据定义来讲是与什么什么相对运动趋势 短的，现在皮带上 a 点相比于这个轮子是往哪运动的？你要知道，我们轮子是顺时针运动，假如他没有摩擦力的时候，这个轮子相对于 a 点应该是往左转动，所以 a 点相对于轮子而言是有一个向右的运动趋势 啊。 a 点相对于轮子，他肯定就是往右，有这样一个趋势吗？那现在问你，哎，他，对呢这个摩擦力 a 点所说的摩擦力不就跟他相对于一种趋势相反吗？那所以 f 这个轮子对皮带他的摩擦力是应该往左， 我们刚才说了，是吧？那我们现在在问你啊，这是皮带上 a 点相对于轮子有一个往右的趋势，所以他的摩擦力应该是往左，这是一个。那如果说我现在问你问的是什么？问的是这个地方轮子上的这个 a 一 撇点， 问你他的一个摩擦力方向，我们就得要把这个 a 撇点相对于这个皮带是往哪运动？首先第一个 a 撇点是在这个点而言啊，他是相对来说应该是什么顺时针运动，所以是往左，所以相对于皮带这个这个点而言，他是往左。 那我对呢这个摩擦力就应该是什么往右，所以这个当中你自己要能够明白，皮带对轮子是往右， 其实这是我们第二种方法啊，第一种方法根据定义来，那如果是根据这个其他的方法呢？比如说相互作用力和平衡力，那轮对皮是往左，那皮对轮就是往右， 所以这个方法要去掌握住啊，关于摩擦力判定还是很不错的。好，接下来我们看一下后面的这个被动轮，被动轮是什么意思？是由皮带是吧？这个拉着他转动，假设他没有摩擦力的时候，现在让你去求一下轮子上 b 点，哎， 轮子他如果说皮带和轮子之间没有摩擦，那轮子是不动的，那皮带是什么？往左去，皮带就轮子上的 b 点，皮带是往左，那轮子上的这个 b 点相对于皮带而言，它其实就是什么？就是往右 轮子上的这个 b 点啊。记住啊，轮子上的 b 点相对于皮带而言是往右，所以 他收到的摩擦力应该是什么？应该是往左啊，应该是往左，所以这个地方我们写上那皮对轮，他是往左。 好，同样的，那我再去判定一下，如果是问你轮对皮呢？哎，假设我现在这个时候，是吧？有一个，呃，一撇 b 一 撇这个点 啊，就是皮带上问你的这个 b 一 撇点，它的方向是往哪里？那你自己可以根据定义法啊，可以根据这个第二个方法，是吧？直接相互作用力嘛。你皮对轮是往左，那这个叫什么？ 所以写上啊，那这个地方，所以我们就知道轮对皮 应该是什么？应该是往右。好，那如果从第一的这个角度来讲，轮对皮，皮受到的应该是什么？那我们知道皮是往左运动， 那对应的这个皮是往左运动，他受到的摩擦力自然而然就挽救，是吧？这是根据他的定义法，总之这个地方有点绕，所以同学你必须要把皮带和轮子在这个点当中的一个摩擦力， 你自己要能够把它方向判定出来。判定的时候有两种方法，第一个就是根据定义法，第二个就是什么？根据他的一个相互作用力或者平衡力这种类似的这个方法去判定。 那所以这道题答案我们是知道的，是吧？是皮带上 a 点，皮带上 a 点就是皮受到的力应该是往左，然后轮上 b 点，那应该是轮受到的力，那应该是也是往左，所以答案应该选 a 选项。