下册六年级数学欣赏与图形怎么画

长方形旋转围成了圆柱，那圆锥呢？十角三角形。什么三角形？十角三角形？ 闭上眼睛想象当圆柱的一个底面逐渐的缩小，缩小到一个顶的时候，会变成什么图形？圆锥，睁开眼睛看看， 是的，孩子们，我们刚刚整理了圆柱和圆这四个逆曲图形的特征，接下来我们将要整理他们的表面肌。那谁来说说什么叫做表面肌呢？ 吴灿，请你说。比如说那个正方体六个面的面积，六个面的面积的总重，因为他六个面都是相等的，所以我们只需要求他的一个面的面积，然后再乘以六 s 等于六 a 的 平方。同学们，我说的有错吗？没有。 接下来我们看圆柱的表面积。圆柱它有两个底面和一个侧面，它的侧面是一个长沿高剪开是一个长方形或者正方形，所以我们就用两个底面加一个侧面的 面积，就是这个圆柱的表面积。 s 等于二 pi r h 加二 pi r 的 平方。同学们，我说的有错吗？没有。我们还可以直接用圆柱的表面积等于两个表面积加一个侧面积， 这是长方体的什么面？侧面，这是他的底面。正方体，这是侧面的侧面。这个呢？底面，这是圆柱的底面，这是他的侧面。 对你有什么启示了吗？周长为一立方厘米的小正方形，摆成不同的长方体，然后发现 每排摆到长方体里，每排摆的，呃，每行摆到长方体的，每行摆到正方体的个数就是，呃，这个长方体的长，然后摆的行行数就是这个长方体的宽，摆的乘数就是这个长方体的高。然后还发现 长方体里所含长方体的长宽高的乘积，然后长方体的体积又是他体， 就是它里面所含的小正方形的个数，因此可以推导出长方形的体积为长成宽成高，用字母表示就是 v 等于 a、 b、 h。 大家对我说的长方形的体积推导公式有什么补充的吗？没有， 请看洋洋。嗯，应该是用体积为一立方厘米的小正方形， 能长一厘米，他的体积就是一立方厘米一样的意思，是吧？但是这儿说长体积是一立方厘米的小正方体更准确一些，很好，说明你 倾听的非常仔细，很好。然后接下来看正毛体的紧急领导公式。 因为正方体是一个特殊的长方体，然后长方体的体积计算公式是长乘宽乘高，然后正方体的长宽高都是相等的，所以说正方体的体积就可以直接用能长长长长，也就是 a 等于 a 的 地方。大家对我说的正方体的体积计算公式有什么不同的吗？ 没有没有没有。然后是圆柱的体积推导公式。呃，圆柱的体积是这样推导出来的，把圆柱的底面平均分成若干等份，必须是偶数分的差型，然后原则直进，林芳同学撤离， 然后一起来大家看看，然后沿着直径重切开，变成两个半圆柱，再把它拼成一个圆柱的长方体，然后发现这个圆柱的长方和圆柱的体积是面向同学们说好吗？这个这个圆柱的长方体的体积和圆柱的体积是相等的，这个。

我们来看题，超市里面人们排队结账，妈妈前面有八人，后面有九人，一共有多少人结账？这道题我们可以用画图法来解决，我们先来圈画关键信息，妈妈的前面有八人， 然后他的后面有九人。问题是一共有多少人结账？我们先写上钱， 然后在后面写上后，他说了是妈妈的前面和妈妈的后面，那我们就先找到妈妈的位置， 我们来根据数学信息画图，妈妈的前面有八人，那我们就在妈妈的前面画上八人， 三四五六七八，然后妈妈的后面有九人，我们就在妈妈的后面画上九个人，一二三四五六七八九。 他问的是一共有多少人结账，那我们先看他前面有八个人， 后面有九个人，然后妈妈是单独的一个人，所以这道题的算总算是是八，加上妈妈的一个人，再加上妈妈后面的九个人，等于十八人。 刚刚的排队问题用的图示法。小学数学想学好一定要学会画图法，像一二年级遇到的问题，三四年级遇到的问题，五六年级遇到的问题，每天一道题，三十天精通小学画图难解题， 每题都做了非常详细的解答，并配有视频讲解，一本画图法，一本思维练习，一本达标测试卷，轻松学好数学思维题。

利用轴对称或平移设计图案，老师，我今天带来了一些图案，我们一起欣赏一下吧！ 哇，这些图案好复杂，看得我眼花缭乱。这些图案虽然看着复杂，其实它们都是由一些简单的图案变化来的。 哎，我发现第一个图案左右两边一样都是大公鸡哈，我想到了，嘿嘿，他是由一只大公鸡沿竖中线对折得到的。 说的真好，没错，图一是通过轴对称得到的，再观察下图二和图三，看他们是怎么得来的。 我发现图二有很多小企鹅，但是它不是轴对称图形，不能通过轴对称得来。 除了轴对称，我们还学过平移，有没有可能是由平移得到的呢？这些小企鹅都一模一样，难道是由一个小企鹅平移好多次得到的？非常好，为你点赞！图二是由一个小企鹅的图案平移得到的。 再看图三，图三都是散型，但方向不太一样，哎，他是怎么得来的呢？得到图三的方式有很多种，可以把一个散型的图案先平移成这样，再由轴对称得到。 也可以先平移成这样，再由轴对称得到。还真是这样，真好玩，呵呵！嘿嘿！ 刚才图中的大公鸡、小企鹅和伞形，我们叫做基本图形。设计图案时，我们首先要先选好基本图形，然后确定设计图案的方式，轴对称或平移，最后确定好对称轴或平移的方向和格数。 例如，我们先选好基本图案，是一朵小花，然后确定用平移，最后由基本图案依次向右平移六格， 在整体向下平移六格得到这样的图案。说了这么多，该你们大显身手的时候了，下面就请你在方格纸上利用轴对称或者平移的方法设计一幅美丽的图案。基本图案自行选择。 嗯，我选的基本图形是这个图像先平移后轴对称得到的。 我选的基本图形是两只小鸡利用平移得到这幅美丽的图案。 你们的设计都很棒，为你们点赞！轴对称和平移的知识还广泛的应用于平面立体的建筑工艺和几何图像上，而且还涉及到其他领域，你们要注意观察哦，拜拜。

大家好，今天讲人教版六年级数学下册第十六页，我们先来认识一下圆柱，我们先看图片中给的这几个我们生活中常见的一些图形，那么通过观察同学们找一找这些物体的形状有什么共同点， 我们可以看到它每一个呢都是有上下两个面，都是圆形。我们再来看它的侧面，都是一个曲面， 而且呢它上下是一样粗的，它是可以滚动的，那么上面这些图形的形状呢，都是圆柱体，我们简称圆柱。 那么生活中还有哪些圆柱形的物体呢？比如说水杯，保温杯，羽毛球等，易拉罐等等，可以说圆柱在我们的生活中十分常见， 那么接下来我们看一下是企业的利益。观察一个圆柱形的物体，看一看它是由哪几部分组成的，有什么特征。我们先来看，首先呢每个圆柱呢，它是有上下两个面组成的， 这个面和下面这个面，这两个面呢都叫做底面。然后圆柱它还有一个侧面，就是这个侧边的面，它叫做侧面。那么圆柱呢是由这三个面组成的，也就是说有两个底面，上下两个面还有一个侧面， 所以一共是三个面，那么两个底面之间的距离呢，就叫做高，就是这个的高度，所以 每一个圆柱呢，它的组成就是有三个面组成，两个底面和一个侧面，而且呢它还有一个高，这个高呢它是指的是两个底面之间的距离，我们可以看到两个底面中的距离可以有无数条，所以它的高呢也有无数条。 我们再来观察它有什么样的托称。首先我们可以看到它的底面，两个面都是圆的，这个面和这个面而且大小是一样的，并且是互相平行的。第二个呢，圆柱呢，它的高是有无数条的，而且它的高呢都是相等的。 第三呢，我们可以看到它的侧面是曲面的，那么我们把这个曲面给展开，就是通过下面这个两个小朋友，他们展开以后可以发现呢它是一个平面，而且呢平面是一个长方形， 我们可以自己找一下生活中常见的一些圆柱，然后把它剪开，看一看它的侧面，会发现是一个长方形，那么 如右图所示，像这个小朋友一样，把一个长方形的硬纸贴在木板上，快速转动这个木棒，那么看看我们转出来的形状是什么样的， 我们通过观察可以发现转到的形状呢，它是一个圆柱形，我们再来观察这个圆柱的高，这个圆柱的高也就是说它的旋转轴，我以长方形的哪条边为旋转轴，那么这个条边就是圆柱的高，那么长方形的另一个边呢，就是这个底面的一个半径， 那么这就是我们这个立体要掌握的圆柱的组成和特征。还有我们家长方形的硬纸进行旋转以后，可以得到一个什么样的形状？

在下面的长方形 a、 b、 c、 d 中，三角形 bo 的 面积是一平方厘米，所以遇到几何问题，我们一般要去把这个条件在图中去找一下。首先是说这个 bo 的 面积是一平方厘米，所以我们可以标上一个一， 但是说这个三角形 a、 b、 o 的 面积， a、 b、 o 的 面积是三平方厘米，所以我们就把 a、 b、 o 给它描一下， a、 b、 o 说的是这个地方它的面积是三平方厘米，但是问我们这个长方形 a、 b、 c、 d 的 面积是多少， 所以可以看到这个地方，因为它没有告诉这个 b、 e 和我们的长方形的 bc 它的边长有什么的关系，所以我们需要去做一下辅助线，要连接一下 d、 e， 那 这时候我们就会发现我们这个 a、 d、 e 这个三角形就是占了长方形面积的一半，所以这时候我们就会涉及到了一半模型了， 所以这时候只要算出三角形 a、 d、 e 的 面积，那我们这个长方形 a、 b、 c、 d 的 面积也就可以知道了。所以这道题核心就是要去做一下这个辅助线，连接一下 d、 e， 那 连接完 d、 e 以后，我们就会发现什么了，我们就会发现它会有一个 我们说的梯形在，就是我们的 a、 b、 e、 d 就是 一个梯形，所以我们可以看到 a、 b、 d 是 一个梯形，那梯形的话我们就会有什么，就会有蝴蝶定律，在两个图形的面积必然就是相等的，所以算出这个 d、 o、 e 的 面积也就是三， d、 o、 e 的 面积是三，所以我可以给它描一下，给它描出来 这个 d、 o、 e 的 面积也是三，因为我们这个三角形 a、 b、 e 和我们这个三角形 b、 e、 d， 他 们是等底等高的，所以他们同时去掉这个一，那说明这两边的面积也是一样的，所以都是三。好，那接着再是我们在那个三角形 a、 b、 o 和我们三角形 b、 o、 e 这个三角形里面，我们说了他们都供了什么点，都供了这个 b 点，那供了 b 点，说明他们必然向对边去做垂线，那他们的高就会是相等的，所以他们就属于 底高模型了，那就是等高的时候，那他们的底边之比，也就他们的面积之比，所以我们就可以算出我们这个 o、 e 比上一个 o、 a， 也就是它们的面积之比，所以就是一比三。这就可以看到我们的 o、 e 和我们的 o、 a， 它们之间的长度之比是一比三，那说明在这个 a、 o、 d 和这个三角形 d、 o、 e， 它们的面积比，也就是一比三。三角形 a、 o、 d 比上一个三角形 d、 o、 e， 所以 它们也就是等于我们的 a、 o， 也就是 o、 a 比上一个我们的 o、 e， 那 o、 a 刚才是三份， o、 e 是 一份，所以它们的面积比就是三比一，所以我们就可以算出我们三角形 a、 o、 d， 它的面积也就是三。乘上一个三倍的三角形 d、 o、 e， 那 也就是三，所以三三得九，所以算出 这个 a、 o、 d 的 面积是九，那整个的三角形 a、 d、 e 的 面积，那就是九。加三，所以等于十二平方厘米。长方形 a、 b、 c、 d 的 面积也就是两倍的三角形 a、 d、 e 的 面积，所以就是二乘十二，所以就等于二十四平方厘米，所以最终这个长方形 a、 b、 c、 d 的 面积也就是二十四平方厘米。

形放大与缩小 夏去秋来，秋姑娘悄悄把美景带到了人间，你想怎么记录呢？拍照呗！是的，照相机一聚焦，时光就定格了。 从黄蝶飞舞到枫叶漫山，再到桂花枝头，最后看傻傻的银杏，在空中迷了路。哎等等，有没有发现，在照片里，他们都缩小了？ 当然，也有放大的，像不经意间溜走的蚂蚁、匍匐前行的蜗牛、倔强饱满的麦穗，在照片里它们都被放大了。那该如何将图形放大或者缩小呢？ 以这个长方形为例，按二比一在方格纸上画出图形。你先猜猜图形是变大了还是变小了？ 二比一的比值是二，表示图上距离是实际距离的两倍， 图形自然就变大了。像这种按比值大于一的比例画出图形，图形是会变大的。那按二比一画出这个放大后的长方形，你会吗？ 按二比一画出图形，其实就是要将个边的长都放大到原来的两倍。原图的长是四，放大后就是八，原图的宽是二，放大后就是四了。 牛刀小试一下，按二比一画出这个三角形，放大后的图形该咋画呢？ 先画出三角形，放大后的两条直角边分别是四乘二等于八和三乘二等于六，然后斜边是几呢？ no！ no！ no！ 不 用再算了，两点一连斜边就搞定了。画图的时候，咱们只要能确定不分边，就可以画出图形了。现在咱们观察观察放大前后的长方形和三角形， 发现了吗？边长和周长都变大了，但是内角的大小却没有变， 也就是说大小变了，但形状没变。那如果将这个放大后的长方形再按一比四画出图形，你还会吗？ 一比四的比值是四分之一，像这种按比值小于一的比例画出图形，图形是缩小的。 那具体是怎么缩小的呢？其实就是将各边的长都缩小到原来的四分之一。原图的长是八，缩小后就是二。原图的宽是四，缩小后就是一了。同样的，那角没有变， 边长变成了原来的四分之一，也就是说大小变了，但形状没变。 这节课咱们学习了图形的放大与缩小，能按二比一这种比值大于一的比例将图形放大， 也能按一比四这种比值小于一的比例将图形缩小。不过牢记，大小变了，形状可没变。

好，六年级下册求图形的表面积和体积是常考的题型，有很多同学给你一个单独的圆柱或者是圆追求体机会啊，或者是求圆柱的表面积，会，但是如果组合起来就不会了。那我们今天来看这么一道题哈，他说求下列图形的表面积和体积啊， 既让你求表面积，也让你求体积，那我们依次来看哈表面。好，我们先来观察一下这一幅图形，下面一个圆柱，下面一个圆柱，对不对？也就说上面这个小的圆柱是放到呃，这个圆柱的上面了，对不对？上面这个面上，然后告诉你，大的圆柱直径是八，高是六，小的圆柱 直径是四，高是五，让你求它的表面积。我们知道圆柱表面积怎么求呀？应该用侧面积加上下两个底面的面积，对不对？我们一起来求哈，我们先求下面这个大的 侧面积公式，底面周长乘高，底面周长告诉你直径，所以说我们用派底，三点一，四乘八乘六， 这是测面积，再加上下两个底面的面积，三点一，四乘半径是四，对不对？ 然后，好，这是一个面，然后两个面还得乘二，这是下面这个圆柱的表面积，对不对？然后我们再求上面这个圆柱的表面积，你看他俩贴在一起之后，下面这个，嗯，底面是不是不用求？然后上面这个圆，上面这个圆的这个面积正好和下面这个大圆柱的 上面这个面抵消了，对不对？所以说上面这个圆柱我们只需要求侧面积就可以哈，好，我们求上面圆柱的侧面积哈。 派地，同样是派地，三点一，四乘四乘五，好，这就是整个的表面积的，某们注意哈，千万不要算错数，所以说我们一定要仔细哈，就是三点一，四乘六八，四十八，对不对？ 一四乘四十八，加上三点一四乘八十二十四四四十六十六乘二是三十二，加上三点一，四乘二十，然后我们依次来计算一下，一百五十点七二加上一百点四八，加上 六十二点八，最后求出来应该是三百一十四，表面积单位应该是平方厘米，好，这是表面积，求出来之后我们再求体积，那体积就很好求了，对不对？体积直接用底面积乘高，大的圆柱的底面积乘高，小的圆柱的底面积乘高相加，是不就可以了？来看体积看， 所以他就是三点一四乘八除以二的平方，这底面积乘高，然后上面那个圆柱也是底面积乘高 乘五，对，对不对？好，他求出来应该是三点一，四乘四，四十六乘六，加上三点一，四乘二十，最后我应该是三百六十四点二四，体积应该是立方厘米，好，这这个题。

欣赏与设计 同学们，我们已经认识了正方形、长方形、三角形和圆，这都是些简单的平面图形，但这些平面图形组合到一起，就变成了一幅幅美丽的图案，我们一起来欣赏一下吧。 哇，这些简单的图形组合起来还挺好看的，仔细观察这些图，看看能不能找到你熟悉的图形。 我在第一幅风车图中找到了三角形，你看风车是由四个大三角形和四个小三角形组合成的。 我在第二幅图中找到了三角形、圆和半圆。 我还有发现，我在第三幅图中找到很多条小金鱼，小金鱼的眼睛是两个正方形，小金鱼的身体是由两个三角形拼成的。 第四幅图是个万花筒，不过我看着有点晕，没有找到熟悉的图形。 这个万花筒可以分成几个相同的部分，你先找找万花筒中相同的部分吧。这个我能找到。这个万花筒是由四个这样的图案组成的，不过这么看也挺复杂的， 你再仔细看看这部分是不是也可以分成相同的几部分呢？还真是，我又找到了，没错，现在你观察这个图形，看有没有熟悉的图形。 这里有黄色的三角形，还有蓝色的三角形，中间是个粉色的正方形。 没错，辨认图形时，可以先把图案分成相同的部分，缩小范围，这样更容易找到我们熟悉的图形。看了这些图形后，有没有想自己动手设计一下呢？ 我都迫不及待了，我这里啊给大家准备了很多图形，你们发挥想象力与创造力，设计一个自己喜欢的图形吧。 我用圆和三角形拼成了一个人的形状，我用长方形、平行四边形和圆拼成了一辆小汽车。 嗯，你们都很棒！你们看一个图形，涂上不同的颜色，按照不同的规律摆放，就会形成不一样的图案。 哇，都是小人组成的，摆放规律不一样，图案效果大不相同啊！ 没错，视频前的小朋友们，你们也试着像我们刚才一样，用学过的图形拼成一个新的图形，然后用这个图形设计一副精美的图案吧！ 作品设计完以后，别忘了给自己的作品起一个有趣的名字哦！再见！

要塌了！要塌了！今晚可是云隐寺百年一次的祈福大典，镇寺之宝！四神壁画的封印突然炸裂，图腾全都错位了！ 白羽大人，大典马上开始了，要是壁画恢复不了，神兽无法显灵，祈福大典就彻底毁了，咱们还能补救吗？莫慌， 壁画的灵骨未断，只是青龙、朱雀、白虎三大神兽的图腾碎片偏离了阵眼，只要让他们精准归位，壁画就能重燃神光。但这绝不是胡乱涂抹就能解决的！ 原来是破解图腾阵！屏幕前的小画师们，展现你们实力的时刻到了！这三大神兽碎片到底该怎么归位？快来和我一起力挽狂澜吧！ 白宇大人，您看，这块青色的龙鳞碎片，上下左右的方向明明是对的，可是他离右下角那个发光的坑洞好远啊！ 龙鳞脆弱，移动时绝不能偏离这条笔直的轨道。到底该怎么在轨道上移动，才能让他不多不少严丝合缝的滑进右下角的阵眼里呢？ 万物推演，平移为基。切记平移时关键要数清楚格子，找好对应的点，不可只看图形的边缘哦！ 哎，气死我了，这块红色的围雨怎么底朝天倒过来了？不仅位置不对，连方向都反了，这怎么塞进中间的图案里呀？ 修复之术，切记心浮气躁！方向反了，位置也不对，到底得先向哪个方向转动，再怎么移动，才能让它完美契合正中心的法阵 妙极！作图之时，务必先转后移，步步为营，先定点，再画线，最后连图，方能万无一失， 就剩最后一步了。可是这四块金色的碎片长得奇奇怪怪的，东一块西一块，它们真的能拼出中间那个威风凛凛的白虎头吗？ 万物生化，皆讲究对称之美，只要找准了这条中轴之线，这四片散落的碎片要怎么翻转移动，才能在中心拼出完美无缺的白虎图腾呢？ 拼上了，全都拼上了！四神壁画的神力彻底苏醒了！善哉！万千变化，不过是天地间最纯粹的推演之法，顺应法度，精准归位，此乃守护传承的真正奥义。 太棒了！多亏了你们这群神仙画师，云隐寺迎来了有史以来最壮观的祈福大典，未来的秘境挑战，咱们还要一起硬核通关！ 这场云隐寺的硬核通关真是太爽了！我学会了平移和旋转，那你呢？快告诉我，这节课你有什么收获？

同学们，今天这节课咱们一起来探讨什么平面图形的面积总复习。 课前啊，同学们已经对平面图形的面积的相关知识进行了整理，老师也收集到了很多同学的作品，想不想欣赏？欣赏？想， 你看这些作品不仅字迹工整，内容全面，而且形式多样，看看能找到自己的作品吗？ 看得出来啊，咱班的同学课前都做了认真的梳理，让我们先给自己鼓鼓掌。 好呃，老师，在其中有看到了有两位同学的作品，很有意思，我们一起来看一看好不好？好， 这是王雅琪同学的作品，请他上台来给大家介绍介绍怎么样？ 来，咱们拿一个画笔。嗯，首先关于这这这一张纸我是这样整理的，先是平面图形的面积，就是平面图形的大小，接着我们来整理一下常用的面积单位，平面， 他是平方厘米、平方分米、平方米公顷，还有平方千米。他们的净率也很有意思，相邻两个面积单位之间的净率，除了平方米和公顷外，别的净率都是一百，平方米和公顷之间的净率是一万。接着我们又按， 接着我们又按依次的顺序来来梳理了长方这些平面图形的它的面积公式，比如长方形，它就是 s 等于 ab， 正方形 s 等于 a 的 平方。平行四边形 s 等于 a h， 三角形是 s 等于括号， a 加 b， 括号乘以 h 除以二，而圆形就是 s 等于派 r 的 平方。 同学们，他整理的这些公式对吗？对，其实刚才王雅琪也说了，你是按照怎样的方式整理 的？是按照一次的顺序来整理的，也就是按照咱们学习的顺序同不同意？同意，咱们读三年级的时候就已经学习了有关长方形和正方形的面积吧。 随后到了五年级，咱们又依次学习了这些图形的练习，你看他整理的多细致啊，咱们掌声请回。 好，孩子们，咱们接着来看下一位同学的作品，同学们，你看明白了吗？哎，有哪些同学整理的方式和他差不多的举举手呢？ 这么多啊，那你们是按照什么样的思路整理的呀？来，女孩， 呃，我跟他整理的差不多，我是按照，呃。由长方形可以推理出正方形的面积公式，平行四边形的面积公式，还有圆形的面积公式，而且由平行四边形的面积公式又可以推导出三角形的面积公式和梯形的面积公式，你们听明白吗？ 明白了，也就是说他想表达的是按照这些图形的推导过程整理的吧。 对，那从这一组作品中能不能看出这些图形的推导过程？能，这样，咱们任选一个图形，同桌之间先互相说一说好不好？来，开始开始 来。 好了，孩子们，差不多了吧，谁来先选择其中一个图形来说一说 来。男孩，你选择的是我选，我选择的图形是三角形。 三角形，我们可以用两个相同的三角形拼成一个平行四边形，因此三角形的高就相当于平行四边形的高，三角形的长底就相当于平行四边形的面积公式是底乘以高，所以我们 可以知道，三角形的面积公式就等于底乘以高，再除以二。通过他的描述，你想起来没有？想起来了，好，请坐，咱们一起来看 是不是这样？是，咱们就得到了三角形的面积计算方法， 谁还想接着选一选来这一排？女孩，你来 我选择的图形，我选择的图形是平行四边形，我们可以将平行四边形沿高剪剪出一个直角三角形， 将这个直角三角形拼到平行四边形的另一侧，可以将它填补成一个长方形，此时长方形的长、方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。因此，我们可以得出平行四边形的面积公式是底乘高。说的有理有据， 同学们来看，是不是这样子，是吧，是咱们就能得到了平行四边形的面。 好，那还有一些图形，谁想接着选就选，快点来。男孩，嗯，我选择的是梯形，嗯，梯形的面积公式我是这样推导的，用两个完全相同的梯形能拼成一个平行四边形。 然后通过拼完了后，我们可以发现，梯形的上底加上下底也就等于平行四边形的底，梯形的高也就等于平行四边形的高，但他是用两个完全相同的梯形拼成的，所以面积公式要再除以二。 根据我们以前所学的平行四边形的面积公式底乘高，我们可以推测出梯形的面积公式是上底加下底，括号乘高除以二。是不是如他所说的这样？是的，来，我们快速地看一看， 的确如此，是吧？ 那还剩下几个图形，谁来把握机会呢？还剩下来，女孩， 我想选择的是圆形，圆形的面积勾是这样，是这样推倒的，把圆沿半径解开，平均分成若干的小份，然后把这些小份 p 成一个近四长方形的图形，这样这个长，这个近四长方形的图形的长就是派 r， 它的宽就是 r。 那 我就可以得出 圆形的面积公式是派乘 r， 乘 r 就是 派 r 的 平方。经过他的描述，你想起来了没有？想起来了，说的真好， 我们看一下是这样吧？是，那拼成的是一个什么？拼四的长方形，咱们以此来背出了圆的面积计算方法。 那还剩下几个图形？两个，哎，背后总有那几个来。女孩 选择的图形是第一个，正方形、长方形，长方形，它的公式是这样推导的，首先我们用拼一拼、算一算的方法，我把这个长方形分成了， 呃，平均的小正方形。数一数里面有多少个图？小正方形。在图中我们可以看到一共是十五个小正方形，也就是说，呃，一个小正方形代表十 是一平方厘米，那十五个小正方形代表的就是十五平方厘米。通过算一算和摆一摆，我们知道了长方形的面积公式是用它的长乘以它的宽，得出来它总共的面积。 你能听明白他的意思吗？好，请坐。其实他想说的是，咱们是用，是用这样的面积单位来测量这个长方形的面积，是吗？然后用摆一摆，数一数的方法。

其实啊，线段的旋转是我们这个单元学习的一个重要的知识基础， 接下来，我们就将在线段的旋转基础之上来研究一些简单平面图形的旋转。那简单平面图形的旋转和线段的旋转有联系吗？我们紧接着往下看图形的旋转。二、 我们先从一面小旗子的旋转说起吧，请你画出图中的小旗，绕点 m， 顺时针旋转九十度后的图形， 这应该怎么画呢？我知道小旗其实就是由线段组成的，我们还可以把图形的旋转转化成线段的旋转。 你们俩真是善于学习，将新问题转化成了我们已经学过的旧知识。其实啊，这种学习方法在我们的数学学习中经常会用到， 那我们应该从哪条线段开始划起呢？ 这面小旗子是由旗杆和旗面组成的，我们只要先画出旋转后的旗杆，再画出旗面就行了， 所以我觉得旗杆是关键的线段。我也觉得旗杆是关键的线段，但我想给这位同学补充一下，小旗子绕 m 点，也就是旗杆的底端进行旋转，所以旗杆的旋转其实就是线段的旋转， 而旗面和旗杆是连在一起的，只要先确定旗杆的位置，再画旗面就简单了。 嗯，感谢这两位同学的分享。刚才这两位同学的回答中都不约而同的提到了关键线段，我们一般将与中心点连接的线段称为是关键线段， 在画图时，我们可以先画出关键线段的位置。现在就让我们一起先来画出旋转后的旗杆吧。旗杆绕着 m 点，顺时针旋转九十度就到了现在的位置， 那旗杆画出来了，旗面我们应该怎样画呢？ 同学们还是不要着急画。老师，这里有一面小旗，请你观察老师这面小旗在旋转的过程中，旗面的位置是怎样的？ 小旗绕着点 m 顺时针旋转九十度。 我知道了，棋面一直在棋杆的右侧，所以我们画出旋转后的棋面时，在棋杆顶端右侧画出一个边长为二的正方形。 你观察的可真细致，的确，图形在旋转时，图形各部分之间的位置关系是不发生改变的，图形的形状和大小也不会发生变化。 同学们，那你能通过刚才我们画小棋子的旋转过程来做一个梳理吗？我们在画图形的旋转时，应该从哪些方面入手分析呢？ 首先我们要找准中心点，紧接着要确定旋转方向和角度， 然后再找到与中心点相连的关键线段的位置。然后我们要先把关键线段按照要求旋转完成，这时再根据其他部分与关键线段的位置关系画出其他部分。 这个过程要注意，图形旋转的过程中，它的形状和大小不会发生改变， 图形各部分之间的位置关系也不变。就像刚才这面小旗子旋转的过程中，旗面一直是在旗杆的右侧一样。 那让我们来一个三角形小旗，巩固一下刚才所学的内容吧！将三角形小旗子绕点 a， 逆时针旋转九十度。 老师啊，选了四位同学的作品，你能帮助判断一下吗？哪位同学画的是正确的？ 第一幅图肯定不对，旗面应该是在旗杆的右侧，而第一幅图旗面在旗杆的左侧了。 第二幅图，旗杆绕着点 a 逆时针旋转九十度没有问题，但是小旗子看着有点别扭，应该是三角形旗面的短的那条直角边贴着旗杆的右侧才对。 第三幅图也不对，这位同学画的虽然也是短直角边贴着旗杆的右侧，但是三角旗面的直角在旗杆的中部，这个直角跑到旗杆顶部去了，所以是错的。 因为旗杆绕着点 a 逆时针旋转， a 点在旗杆的底端，所以旗杆是关键线段。旗杆绕着点 a 逆时针旋转九十度没有问题，旗面在旗杆的右侧，并且是短的直角边和旗杆贴着 直角在旗杆的中间，所以第四幅图是对的。同学们可真是火眼金睛，看来在画图形的旋转时，我们紧紧找对关键线段的位置，然后把关键线段旋转正确还远远不够， 还要注意观察与关键线段相连的图形的特特征，要把它也画对才可以。接下来，让我们再紧接着挑战一个三角形的旋转问题吧。 同学们，还是咱们先不着急画画之前呀，还是先请你在脑海中想一想，三角形小齐绕，三角形绕点 a 顺时针旋转九十度后的位置可能在哪里呢？ 想不出来也没关系，请你再次拿起你手中的笔来转一转 三角形 a、 b、 c 绕 a 顺时针旋转九十度， a 点是中心点， 那 a、 b 与 a、 c 就是 我们要找的关键线段。你可以用这支笔来表示线段 a、 b， 将它绕着点 a 顺时针旋转九十度，看一看线段 a、 b 旋转后的位置在哪里。 同理，再用这支笔表示线段 a、 c 看看将 a、 c 绕着 a 点顺时针旋转九十度，旋转后的位置又在哪里？这时你再连出斜边，那三角形就画好了。 同样，你也可以用两支笔分别表示三角形 a、 b、 c 的 两条直角边，然后按照要求再转一转 三角形 a、 b、 c 绕着点 a 顺时针旋转九十度，你看一看旋转后两条直角边的位置分别在哪里？ 这时两条直角边的位置确定了，那斜边的位置也就确定了。 这样操作之后，请你再在方格纸上画出旋转后的图形。画完图形以后，再请你观察旋转前后的三角形的对应对应边，看看它们之间有什么联系。 咱们看看同学们是怎样画的吧！ 我们也还可以通过找关键线段的办法来画出旋转后的三角形。 这个三角形要绕点 a 进行旋转，而 a 点既是这条直角边 ab 的 端点，也是这条直角边 ac 的 端点，所以这两条直角边就是画图的关键。 我们先让这条直角边 a、 b 绕 a 点顺时针旋转九十度到 a、 b 撇， 再让这条直角边 a、 c 绕 a 点顺时针旋转九十度到 a、 c 撇，这样斜边的位置也就确定了，再连线就画好了。 同学们，你画对了吗？现在再让我们一起观察旋转前后的三角形，它们对应边之间有着怎样的联系吗？你有什么发现吗？ a、 b 这条边与 a、 b 撇是一组对应边，它们互相垂直， a、 c 与 a、 c 撇也是互相垂直。将 b 撇、 c 撇延长后，也与 b、 c 互相垂直。 哦，看来旋转前后的三角形，它们的对应边是互相垂直的。 同学们，其实我们将三角形旋转多少度，那他们旋转前后对应边的夹角也就会是多少度。 通过这种方法，不仅可以帮助我们画出旋转后的图形，也可以帮助我们检查图形旋转后你画的对不对。 在画三角形 a、 b、 c 绕点 b 逆时针旋转九十度的时候，有三位同学都画出来了，但是他们画的却不一样，你能判断谁画的是正确的吗？ 通过刚才的学习，我们知道图形旋转后对应边之间的夹角也是九十度，而第一幅图，这两个三角形斜边之间的夹角并不是九十度，所以第一幅图肯定不对。 这个三角形绕点 b 进行旋转，而 b 点是短直角边和斜边的共同端点。 所以我认为这个三角形旋转过程的关键线段是 ab 和 bc。 我 们先看 ab 这条线段绕着 b 点顺时针旋转了九十度， bc 也是绕着点 b 顺时针旋转九十度。 所以第二幅图表示的是把三角形 abc 顺时针旋转九十度后的图片。我们要画的是绕点 b 逆时针旋转九十度，所以第二幅图也不对。 我又剪了一个三角形，让我手中这个三角形绕点 b 逆时针旋转九十度，发现边线上的直角边 a、 b 和 a、 c 的 位置，然后看它们的长度是几个格子，画出来再连线， 我发现三角形 a、 b、 c 绕点 b 逆时针旋转后的图形就是这样，所以第三幅图是对的。 同学们，其实呢，在画图形的旋转时，旋转的三要素依然很重要。那通过本节课的学习，你能通过画小旗和画三角形的旋转过程中 总结一下我们在画图形的旋转时应该有哪些注意事项吗？先要找准中心，明确方向和角度，确定与中心相连的关键线段，确定它们旋转之后的位置， 再根据图形其他部分与关键线段的位置关系，把旋转之后的图形补充完整。最后别忘记根据垂直关系检查旋转前后的线段是不是九十度。 感谢你的回答，你的总结真好，看来我们在画将一个图形旋转九十度以后，需要按照以下的方法来进行，最后千万要记得一定要再检查。

同学们在学习新课之前，我们先来看几幅优美的图案，欣赏一下美丽的图案。大家看一下这几幅图案美丽吗？美丽，你想一想这美丽的图案它是怎样形成的啊？经过我们以前学过的偏移啊， 旋转主要是经过了旋转。老师告诉大家，旋转在我们的日常生活中有着非常广泛的应用， 设计师呢就是利用图形的旋转设计出了许多美丽的图案。那么今天我们就来学习图形的旋转，这一刻啊，大家想想，在我们日常生活中你见过哪些旋转现象？ 现在说的时候，开旋式的方向盘旋转，开旋式方向盘旋转谁还啊？风车的转动好，请坐谁还啊？粘水龙头是水龙头的转动 车轮转啊，开车时车轮子的转动。每生在这年生色变的一些生活中转动旋转，大家欣赏一下，这是水珠 魔术师，他爱我们什么？电风扇像一片的转动，这行魔术师上面的是谁？来告诉我什么是旋转？那不操，那你们来请大家就由我们我们俩给大家说说什么是途径旋转。我认为途径的旋转是一个图形，让他的一个点进入转动这个角度旋转， 而我认为途径的旋转是沿着我一个方向旋转，也可能是这样旋转。大家非常和我们的意见不一样， 接下来我想有请龙水二班的小弟子王浩来给大家说一声，我认为同学们，学长是绕一个点，这样学长，或者是这样学长，这里是学长。在王浩技术上我还想补充，不仅是要绕一个方向，还要绕一定的动作，这个动作有大有小，所有的同学们 都有不同意见，大家还要补充吗？来，小玉， 我认为旋转以后它的大小没有变，旋转以后大小没有变，通过刚才的观察，是不是啊？我认为旋转后的形状没有变，旋转后形状也没有改变， 我认为旋转后的位置变了，旋转以后，这个同学的位置发生了变。完了，看来同学们刚才观测的都非常的仔细，好掌声送给他们。 同学们刚才总结了一下，老师在这把同学们的话也总结出来了，我们说在一个平面内加一个图形，绕着一个定格， 沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称之为旋转。看一下老师，这个首先要有一个定点，绕着某个方向，按转动了一定的角度，这样就形成 了旋转。高三同学还扶住了他们，通过旋转以后发现旋转还有哪些 特真，是不是啊，是啊，看来同学们刚才讨论的非常的认真啊，那么能不能把我们学到的旋转知识运用到生活当中去，解决一些相关的实践问题呢？ 能把我们的导览拿出来啊，用你学到的知识来完成导览上的相关内容来展示一下子，来给大家聚焦一下我们小组， 我们组是天使组，我们组给大家展示的是自学指导一的内容。我现在给大家讲一下顺时针旋转和逆时针旋转，请大家先看我的手， 这样转就是顺时针旋转，这样转就是逆时针的旋转，请大家再伸出手来帮我做一遍，先做顺时针顺时针，再做逆时针逆时针， 大家明白了吗？明白，请大家看这幅图上的这个时钟上的旋转方向就是顺时针，明白了吗？明白了，那么和它相反的方向就是逆时针。 请大家聚焦于这个桌面，这个桌面上不管是它分针的旋转还是时针的旋转，它都是围绕中心中间这个点来旋转的，所以我们就把这个点叫做旋转中心， 大家记住了吗？记住了，看一下这个桌面刚才在旋转的时候，这个点动了没有？没有竖针这样旋转的时候， 那时针这样旋转的时候，是不是啊？是围绕了一个定点，记得明白刚才咱们概念里面的定点是什么？明白，请大家一一。 我发现一些内容。风筝旋转一时是旋转了一圈，是是三百六十度，但是旋转桌面一个桌面有三百六十度，所以是三百六十度。因为桌面是什么形的？圆形？对，我们知道圆有三 百六十度。时针旋转一时是旋转了一大格，是三十度，因为一个桌面一共有三百六十度，而而一个桌面又分为十二个大格，所以是三十度。无论是时针还是分针，它都是按照竖时针方向转动的。大家对我讲解满意吗？满意， 我来给大家讲一讲足球场旋转总共有几点？足球场旋转一共有三点，第一点是足球场旋转中心，也就是桌面上这个点。第二点是旋转方向 和时针这样旋转是逆时针。第三点是旋转角度，桌面上一大格为三十度，两大格为六十度。我来给大家说明足球场旋转有什么？有关有底方向、角度。大家对我的讲解满意吗？满意 啊，你这个刚才同学刚才讲就是通过桌面上观测，我们进一步发现旋转与三个 有关系，是不是？是来第一次点上，这点指的是什么？旋转图形？方向指的是生活的意识啊，当你不知道方向时，想想桌面上时针咋样？运动 时针我们都是顺时针，和它相反的方向就是一逆时针，还和什么有关系啊？角度怎样理解啊？我们有三十度，有六十度，九十度等等，是不是？是请大家聚焦于我观察项目中的横杆分别是怎样旋转的？ 我，我先给大家来展示一下可在拉起时的旋转。在刚才的旋转中，我们应该先找出它的中心点，然后再看它是按什么方向旋转的， 我认为它是按逆时针旋转的。九十度，大家对我的讲解满意吗？满意，我发现有一个同学迟疑了， 刚才我们看的时候发现横杆先是放下了，是不是？是这样慢慢下去，是不是啊？从这个方向肯定是逆时针，而且在起的过程中，这边对了，这边怎样 没有，先要找准这个地点，旋转中心，找方向画箭头。逆时针，从这到这大家看是多少度？九十度，正好形成一个直角， 这个在我们生活中大家见过没有见过，在哪里见过？收费，收费站还有小区门上，是不是啊？我想问问大家 横杆现在是怎么样的？没有啊，仔细观察，现在呢？放下他是怎么样运作的？收执员， 三十度，大家说的都很对啊，这个旁观的运动，或者大家观察仔细，没有，通过这个动态的观察，我相信同学们，在这个旋转我们各行各业是不是啊？是第二部分内容，现在的学生是给大家聚焦于我们组，我们， 我们是阳光组，我们组来给大家展示一下自学与指导二线段的旋转，请大家举手于我八中线段 a， b 绕点 b， 顺时针旋转九十度后的线段，大家请先看这幅图，绕点 b 说明 b 就是 它的旋转中心， 然后顺时针旋转九十度，顺时针也就是这样旋转，然后九十度，它应该旋转到这。再看第二个八中线段 a， b 绕点 a， b 旋转九十度后的线， 绕点 a， a 就是 旋转中心，逆时针就是这样旋转，有时候他也应该旋转到这，大家和我画的一样吗？一样好，这样子，所所学把我们 扫描上自学词的二个内容展示的非常清楚，那么同步演练的知识是一些小组的想来展示，我们是快乐组，我们组来给大家展示一下同步演练的内容，我们讲第一个，第一个是 绕，画出线段 a， b 绕 a 点，顺时针旋转九十度，我绕旋转 a， b 是 你要先找 a， b， 现在是这个旋转中心则是 a， 顺时针中心转出来方向是顺时针，顺时针是这样， 九十九十度则变成了竖的，这里是一二三格，所以画出来也要是三格，大家对我讲解满意吗？满意， 画出旋转 ab 绕 b 点，逆时针旋转九十度的图形，绕 b 点，说明谁看的？同学们加减 绕 b 点，说明这个 b 是 旋转中心，逆时针旋转九十度，这样是逆时针旋转它这里是三格，画出来这里也是三格，画出之后它的大小不变，是位置变了。 大哥认为画血脉旋转的时候要注意什么？笔锋，我发现血脉旋转处，它的形状大小没有发生变化， 但是位置发生了变化，位置发生了，你说很好，我跟你拍呢？下面我来讲解这道题。下面两个桌面上，时针分别从几十走到了几十， 请大家看第一个轴面，时针原来指向了几十，二十，旋转后指向指向了几十、四十，那么他时针走了几个小时？两小时走了几大格？两大格。 我们知道一大格是三十度，那么两大格是多少度？六十度。嗯，我们的小老师讲的非常 清楚啊。请大家看第二个桌面，时针原来指向几十，三十，旋转后指向几十、六十，走了几小时，旋转了几大格？三大格。 因为我们知道一大格是三十度，所以我们走了三大格，就是九十度。通过这两个桌面，我发现了第二个。第二个旋转的角度大跟左一样，左一 同学看不懂。虚线的那个就是原来的时针，直线的就是旋转后的时针七线，明白了吗？明白，七线扎心。从九十到十二时，时针到中心点，顺时针方向旋转多少度？请大家看这个钟面， 可以看你的，也可以看老师设计的，他现在只下的是九十，他九十到十时旋转了一大格，到十一时旋转了两大格，到十二时旋转了三大格，一个大格是三十度，他旋转了三大格，所以是旋转九十度。对对，请大家稍作记。 从十二十到十六、十六十就是我们平常所说的四十，那么十二十到四十，他一共旋转了一大格、两大格，三大格、四大格。而我们已经知道了，一大格是三十度，那么四大格的话就是一二十度，请问你们是怎么算的？ 三十四等于一百二十度。看来大家和我想的一样，对，把，刚才刘章讲的知识已经运用到这了，是不是啊？是这中间大家看懂吗？看懂，你看这个黑色瓷砖是原来的旋转后变成了黄色的，你就说他一下子 是不是啊？那么通过刚才这些同学的讲解，老师想问一下同学们这节课你学到哪些知识来试一下。通过这节课我学到了什么？是学长，学长就是在平面内围绕一个定点，学长学长的发 旋转方向的旋转，离地的方向转，这就离地的方向转，这就行啊，知道什么？是啊，旋转啊，老师希望同学们把 我们今天学到的知识运用到我们生活当中去，解决更多有关旋转的问题，好不好？好，这节课我们就上到这下课。

好，现在我们继续来学习第四课，欣赏与设计 图形啊，是人类社认知社会最初的形态符号，那就让我们一起走进图形的世界，就看看小小的图形又将会给我们带来怎样的惊喜呢？ 大字眼中啊，有很多的数学高手，从向日葵的花旁中你读出了什么？ 你是不是解读出了旋转运动呢？勤劳的蜜蜂 精心制造的蜂巢，你是不是又能发现平移、旋转和轴对称的身影呢？ 小小的蜘蛛啊，他们知道八卦形网是一个非常美丽又复杂的 八角形几何图案，你是不是也能读出图形运动的身影？ 我们从大自然中受到启发，将其应用于数学。我们又将从数学的知识出发去服务于生活。 从大自然中我们获得了很多设计的灵感。请看，这是被评为新世界七大奇迹之一的北京大兴国际新机场。 如果用运动的视角来观察，你又能发现哪些图形运动的身影呢？让我们先来欣赏一段小视频， 你是不是被深深的吸引了？如果从图形运动的视角来观察，是不是发现了平移、旋转和轴对称的身影？ 相信通过今天的学习，掌握了设计的方法，有一天你也能设计出像新机场这么酷炫的作品。那就让我们从身边简单的几幅图开始研究吧！ 最美人间四月天，校园里的丁香花悄悄地绽放了，多想回到美丽又熟悉的校园啊！ 其实丁香花的花期并不长，我想留住这一抹芬芳，想让它绽放在方格纸上。那该怎样利用图形运动的方式呢？ 我发现丁香花是由四个一模一样的花瓣组合而成的，这是其中一个花瓣图形 a， 把它绕点 o 顺时针旋转九十度，得到了图形 b， 然后再绕点 o 顺时针旋转九十度，经过三次这样的旋转后，这个花瓣图案就得到了。 我有不同的想法，我觉得还可以利用轴对称得到。 我先画出一个花瓣 a， 再画出这个花瓣关于这条对称轴的图形，然后再以这条线作为对称轴，画出这两个花瓣关于它的轴对称图形就可以了。 我想综合你们的两种方法试试看。将 a 以大正方形对角线所在直线做对称轴，画出图形 b， 然后 a、 b 一 起再绕中心点，按逆时针旋转九十度，也画出来了。 受你们的启发，我觉得还可以试试平移花瓣图形 a， 先向右平移三格，再向下平移三格，然后一起绕中心点 o 逆时针旋转九十度，也得到了花瓣图案。 同学们可真了不起，运用了旋转、轴对称以及各种组合的方法，都设计出了丁香花瓣的图案。 虽然同学们的方法不一样，但都是先确定一个基本图形，再让基本图形经过平移旋转和轴对称运动得来的。 看如此的美丽夺目，是不是让你想到了促生的丁香花，它象征着一种团结互助的精神。 拂堤杨柳醉春烟，春风中欢快的风车为春色增添了一抹律动。那这幅风车图案又是如何得到的呢？它的基本图形又是什么呢？ 我发现它是由好多正方形和三角形组合而成，一个正方形和一个三角形组合成一个直角梯形，就像一扇风车叶，先标出右下角顶点 o， 把它向右平移一格，再绕点 o， 顺时针旋转九十度，接着向下平移一格，由这个图形继续绕点 o 顺时针旋转九十度，向左平移一格，再绕点 o， 按顺时针旋转九十度， 向上平行一格，这样就得到了一个完整的风车。嗯，有一个同学啊，选择的基本图形不一样，看他是如何设计出来的。 同样一幅图案，选择的基本图形不一样，那进行的运动也就不尽相同了。 老子在道德经中有句话，万物之始，大道至简，演化至繁。那简约的平面图形啊，其实并不简单，伟大的艺术创作中，可都是有他们的身影的。 熟练的利用平移旋转和轴对称，再加上一点想象力，相信你也可以设计出精美的作品。 笑笑迫不及待的分享他的创作，快看看我的三角形之旅，我先设计了两个对称的三角形做基本图形，像不像一个沙漏？ 我将它绕中心点 o， 顺时针旋转九十度，三次得到了一副图案。看这样的设计还不错吧！在笑笑的描述中，你是不是感觉到了设计带给他的快乐？在静止的图案中，我们也能读出图形的动态美。 还有的同学进行了不一样的创作， 只是改变了一下三角形的旋转中心，就能创作出不一样的图案。淘气啊，也带来了它的最新设计， 请你先猜一猜，这幅图形的基本图形会是什么呢？其实啊，它还是由我们最熟悉的老朋友三角形得来的，不信你快看看， 动起来了，这样的作图对你有所启发吗？ 同样是一个小小的三角形，却能设计出这么精彩作品，相信你还有更多的创作。 那在今天的图案设计中，我们先分析了基本图形，接着找到基本图形运动的方式进行设计，最后呈现精彩的作品。 那就让我们用运动的视角来欣赏其他同学的精彩设计吧。 一个圆利用旋转、平移和轴对称，可以设计出这样的作品。 其实啊，图形的设计在心理学上也有很多运用，在心理学课上，李老师就利用这样的图形对人们的心理进行过测试。 数学之美啊，处处存在，希望你用心去发现。最后老师向大家推荐一本数学书籍，学帮你学几何。