深圳一模数学立体几何第一问

好，同学们，讲完了关于长方体和正方体的基本概念，以及它们的表面积和体积公式之后呢？那接下来我们来看今天的第一这道题，这道题呢是一个填空题，有很多个小题，首先同学们先填前四道小题的空格。 好，同学们，填完了没有？首先第一道小题说一个长方体有多少个顶点，多少个面和多少条棱，这个咱们是不是之前讲过呀？对吧？挨个来，首先多少个顶点？八个顶点， 多少个面？六个面，然后十二条棱吧，是吧？就记六面八点十二棱啊，跟我咱们一起说一遍，就是六面八点十二棱，记住没有？好，你再复述一遍， 六面八点十二棱，复述完了吧？好，那继续。接下来说一眼，最多可以看到长方体的几个顶点、几个面和几条棱。这道题有点拿不准，那怎么办呢？咱们就画一个长方体看一看吧，对吧？那咱们回到之前，这个长方体最多可以看到多少个顶点呢？ 这个这个这个这个这个这个这个，这七个顶点，因为一共八个顶点，是吧？上面可以看到四个，下面可以看到三个，一共可以看到七个顶点，但是哪个顶点是看不见的？ 这个顶点看不见吧，对吧？咱们又没有这种特异功能，也没有透视眼，所以这个顶点是隐藏的，那最多是七个点， 没问题吧？好，那继续，最多可以看到多少个面呢？这个也很简单，只要有图的话，前面可以看到，后面看不到，右边可以看到，左边看不到，上面可以看到，下面看不到吧？所以最多可以仅能看到三个面。 好，那最多可以看到多少条人呢？这个就更简单了，刚才我就说过画虚线的人，什么意思？其实是我看不见的吧，是吧？一共有十二条人，这三条人看不见，那剩下的九条人，哪九条人呢？ 一二三四五六七八九，这九条人是可以看到的吧，所以最多可以看到 九条了。 ok， 好， 那回过头去填空，那么这是七个顶点，三个面以及九条棱吧。好，把它 记一记。好吧，那我们在做一些例题几何题的时候，如果说你实答不准，一定要画图，是吧？那画图的这个基本功底就得在平时把它 练好了。如果有同学现在已经画的非常的好了，那不错，很棒。但是如果你发现你现在画的依然是一个四不像的形状，那平时就得多练习了。好吧，好，那继续来。第三小题，正方体。啊，这个打错一个字，是吧？正方体 是特殊的长方体，他特殊在什么都相同，什么都相同，什么都相同呢？第一，人长都相同是吧？第二，每个面也是完全一样的。 ok， 好， 同学们可以自己写一下，这个写人长都相同，这是每个面都相同。 ok， 好， 这是第三小题。那么接下来第四小题说一个长方体的长宽高分 分别为三厘米、两厘米和一厘米。若他的冷场总和等于另一个什么正方体的冷场总和， 则长方体与正方体的表面积分别是多少和多少？平方厘米，长方体的体积和正方体的体积分别是多少和多少？这我要稍微说一下 单位名称，之前我们讲面积是吧？面积单位就是平方厘米吧，长度单位是厘米，为什么会出现平方厘米呢？因为你是长度乘长度，厘米乘厘米，所以相当于平方一样， 平方厘米对不对？而体积的单位名称我们观察一下，它是立方厘米吧，那为什么会出现立方呢？其实也很简单，你看这体积是 a 乘 b 乘 c， 是 吧？ a， 比如说三厘米， b 两厘米， c 一 厘米，那你三乘二乘一，就是厘米乘厘米乘厘米吧，几个厘米相乘，是不是三个厘米相乘，所以叫做立方厘米。 ok， 那 这是厘米出现的一个体积单位立方厘米，那以此类它当然还有立方分米，还有立方米吧。 ok， 其实跟之前讲的都差不多。好吧，好，那么回到这道题， 首先长方体的表面积，我觉得直接套用公式就可以了，因为长方体的长宽高都知道了吧，是吧？套用公式就是三乘二加上三乘一，加上二乘一，然后整体在干嘛？乘二吧， 是吧？长乘宽加上长乘高，再加上宽乘高，整体乘二，那算一下，这个是六，六加三是九十一，十一乘二，这是二十二，没有问题吧？ 对，长方体的表面积求出来 o 了，那么长方体的体积刚才其实也算了，就三乘二乘一，那就是六 立方厘米，这都很简单。那么接下来就正方体，正方体要求表面积也好，要求体积也好，都需要知道棱长吧。那怎么样去求它的棱长呢？就得根据这个条件。 长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和。长方体棱长总和是多少？有几条长？ 我们之前讲过有，还记得吧？来，回过头看一下图，一条长，两条长，三条长，四条长，是吧？有四条长，每条长长度是三厘米，所以三乘四， 同样几条宽，是不是有四条宽啊？二乘四。好，那继续。这是，哎，一乘四吧。一乘四啊，这个算一下。呃，大家都有四，所以提取四了，就是三加二加一，六再乘四，这是二十四厘米， 这是长方体的轮长总和，因为之前同学们都做过，所以我讲起来会稍微快一点。好吧，好，那继续。那正方体的轮长总和同样也应该是二十四厘米， 那正方体的十二条棱是完全相同，所以每条棱就应该是二十四，去除以十二，应该是两厘米吧。 ok， 那 知道他的每条棱的长度是两厘米了，那表面积还记得什么公式吗？还记得吗？六乘 a 方的，那六乘二的平方，那这个是 多少？二十四平方厘米吧，然后体积是多少？二乘二乘二，这是八立方厘米。好，前四道题同学们都填对了没有？好，那继续。后面还有两道题，第五题和第六题。那依然同学们暂停视频，自己先去填一填。 好，同学们听完了没有？首先我们来看第五小题，说一个正方体的棱长呢，是四厘米，则表面积是多少平方厘米。那其实这道题就很简单了，是吧？表面积是多少？直接套用公式就是六乘四再乘四吧。这个别算错了，应该是九十六平方厘米， 没有问题吧？好，那体积也直接套用公式就是 a 乘 a 乘 a， 那 就是四乘四吧，应该是六十四 立方厘米。 ok， 好， 这是第五小题的前面两个空。那后面两个空，我们来看一下，若每条轮长扩大到原来的两倍，原来轮长呢？是每条轮长是四，那现在应该是四乘二，每条轮长就变成了 八厘米，这个没有问题吧？那么表面积扩大多少倍？体积扩大多少倍？那首先可以先算表面积，就应该是六乘新的轮长的平方呗。 乘八，这个咱们来算一下，首先八八六十四，然后六十四去乘六，这个等于多少？三百八十四 平方厘米吧，那扩大多少倍呢？原来是九十六，现在变成三八四，三八四是九十六的几倍啊？你除一除嘛，他除以他这是几倍？四倍，但是这是不是前四呢？其实还并不是，对吧？因为这是扩大 几倍，而不是变成原来的几倍。是变成原来的四倍，但是扩大了三倍， 这个能跟上吧，所以这填几填三？好，那继续体积扩大多少倍呢？那先算体积，现在周长是八，那就是八乘八，再乘八吧。那咱们算一下，八八六十四，然后六十四再乘八，这是多少？ 五百一十二立方厘米吧。那跟原来体积相比，原来体积是六十四，现在是五幺二五幺二，是六十四的几倍呢？这个是八倍，对不对？变成原来的八倍，那么增加了七倍， 好吧，这道题千万不要填错了，看清题目的问题，到底是扩大多少倍，还是扩大到原来的多少倍？注意，这个是有差别的 好吧？好，这是第五小题。那么接下来第六小题说一个长方体，它的长是五厘米，然后高是宽的两倍，宽是长的两倍，那么根据这些条件，是不是可以求出长宽高个是多少？首先长 五厘米，是吧？然后知道呢，宽是长的两倍，所以这个宽应该是十厘米， 是吧？然后高又是宽的两倍，最高就应该是二十厘米。那知道长宽高了，那表面积和体积还不是非常简单吗？首先表面积就它乘它，加上它乘它，再加上它乘它吧。好，列个算式，就五乘十， 加上五乘二十，再加上十乘二十，然后整体再去乘二百。 ok， 这个是五十，这是一百一百五，一百五再加两百三百五，三百五再乘二，这是七百。 ok， 那 体积呢？五乘十，再乘二十，这就简单一点了。五乘十是五十，五十乘二十，这是一千立方厘米吧。 ok， 那 么立一的这些小题呢，实际上都是在考我们之前的基本概念以及基本公式，你都熟练了没有呢？好，立一我们就。

主播，主播，都说立体几何简单，但是我第一问证明总没思路，后面的二面角也不知道怎么求，能不能出个视频教教我？没问题，同学，本期视频将选出两个最新高考题，带你体悟做题思路。 好，今天我们看到这个立体几何的题型梳理部分，我们先讲大题啊，因为大题他的套路话是比较明显的，基本上你学了之后呢，下一次考试再遇到你就能够拿分。那至于小题部分呢，我们等把这个大题讲完之后再去分析啊。 行，我们先看第一题。第一题先看一下他让我们证明什么？第一问，永远的证明题，他让我们证明面 p a、 b 和面 p a、 d 是 垂直的。好，那是什么？面面垂直吧。我们想到怎么样能够推出来面面垂直呢？ 是不是啊？线面垂直啊，那画个图来表示一下，如果说我们有一个线垂直于一个平面，那是不就有过这个线所存在的一个平面会跟这个平面是垂直的呀， 对不对？同学们想一下，在这个知识点梳理课有讲到的好。然后我们回到这个题目，他想要这个面和这个面垂直，那我们看一下有什么条件吧。 第一个， pa 垂直于底面 a、 b、 c、 d。 好， 那也就是说我们通过这个可以得到 pa 垂直于底面 a、 b、 c、 d， 那 它就会有 pa 垂直于 ab 以及 pa 垂直于 a、 d。 那 为什么我要写这两条边呢？我写这两条边不一定是说我这个全都要用到啊，我写它的原因是因为我下一个条件出现了 ab 和 ad。 同学们看一下，下一个出现了 ab 和 ad， 所以 我写它们是为了把两个条件联系起来，看能不能帮助我们解析。 好的，看第二个。我们现在假如说你选择这一个吧，撇垂直于 ab， 好， 这一个是垂直于 ab 啊， 那我们现在发现了你 ab 这条线，它既垂直于 appa， 又垂直于 ad， 那 不就会垂直于这两个相交直线所构成的平面吗？对不对？你看我 pa 垂直于 ab， 然后右边这个就不用了。然后又因为 ab 垂直于 ad， 这俩它们是相交直线，那我们就会有 pa 垂直于面啊，不是，是 ab 啊， ab 垂直于面， p a， d 吧。然后又因为 ab 它是属于这个面 p a， b 的， 所以就会有面 p a， b， 然后会垂直于这个面 p a， d。 好，写到这里答案就出来了。但你考试不能像我这么写啊，我这个是帮你进行思路分析的，我待会再给你把标准答案写一下。考试不能这么写啊，这么写是零分的好吧，零分行。然后我们看一下第二问，第二问先把这个擦一下， 第二问，他说了什么？给了我们各个边的边长。好，我们看一下。 pa 是 等于 b， a 等于 ab 等于根号二啊，根号二，根号二，然后 bc 等于二啊，这个等于二， ad 又等于 ad 在 哪？ ad 在 这里一加根号三。然后他问我们，且啊，他告诉我们，且， p， b， c、 d 这四个点都在求 o 的 球面上。 好，出现了一个球了，外接球，这四个点都在球面上，那说明什么？同学们，说明什么？是不？说明球心到这四个点的距离都相等啊，你想一下，画出一个球，然后告诉你， 球心，你是不是有这个球心到球上的各个点的距离都相等啊，都等于半径啊。好，我们这里可以理解，然后他第一位让我们证明点 o 在 平面 a， b， c， d 内，那你现在就知道这个，证明一下这个点 o 在 这里面，那咋办呀？ 其实你就直接间隙嘛，对不对？间隙，假设间隙完之后，你假设这个点 o， 假设这个点 o 是 x， y， z， 然后你利用哪一个条件利用这个？ 呃，这，利用这个 o， b， o， p， o， d， o， c， 这四个点的距离都等于 r， 利用这个条件，然后解出 o 的 坐标，然后你会发现你这个 o 的 坐标啊，它的，它的这个解轴的坐标一定是为零的啊，一定是为零的。好，然后我们具体再分析一下，看一下怎么接啊。 刚刚我们通过第一问是不证明出来了，这一个垂直于啊，不对，是这一个垂直于这两条线呐，对不对？然后又有这一个是垂直于这两个的吧，然后我们会发现，其实这就是一个两两垂直的，两两垂直的三条线吧，那你就可以直接间系了啊，由一可 得啊，不用，由一得也行，直接就来以，还是写一下吧，由一之 a， b， a， p， a， d 两两垂直。 好，那么我们就会有以 a 为圆心，以 a 为坐标原点，不是圆心啊，坐标原点， 然后 ab 为 x 轴， ad 为 y 轴， ap 为这个， 呃，画的不是很标准啊。好，这样子， a， p 为 z 轴啊， z 轴 x， y， z。 好， 然后 ab， 那 这个这个箭头方向要写好啊，你不能说 b a 啊，你不能说 b， a， 那 就不对了啊， ab 为 x 轴， 再来 a， p 为 z 轴。 行，我们写到这个形式之后呢，然后你开始写坐标了，看一下你需要用到什么坐标，你再写什么坐标点 a 是 不是零零零啊，对吧？因为它在坐标原点嘛，在坐标原点。好，我们再下一个，我们刚刚说了，你要表示出来哪几个呀？ o p， o， b， o， c 以及 o d 啊，这四个，四个长度，然后我们看一下 b 点， p 点，那 p 点坐标在哪里？它是不在，因为你 p a 是 垂直于这个底面的嘛，所以 p 点坐标肯定是在 a 点坐标的正上方，所以 p 点坐标，它的 x 轴和 y 轴的值为零。 零零。好，那它有多高呢？多高？就是这段长嘛，这段，这段长是不是根号二啊？题目说的 好，再来下一个 b 点坐标， b 点坐标，它出现在这个 x 轴上，它在 x 轴上的话，说明它的 z 轴啊，以及这个 y 轴的值为零啊，同学们看一下，因为它都没有往上飞嘛，对不对？它也没有往右边走嘛， 所以它的 x 轴坐标应该是根号二，然后零零。好，下一个写 c 点坐标， 我们看 c 点坐标。 c 点坐标，因为因为 bc 平行于 ad 嘛，对不对？你 bc 平行 ad 的 话，而我们刚刚第一问，证明了它是，它俩是垂直的， ab 垂直于 ad， 所以 ab 也会垂直于 bc 吧， ab 也会垂直于 bc 吧。好，那会垂直的话，我们就可以得到你这个 c 点，它在 x 轴上的坐标应该就是这一段了吧。 c 点在根号二。好，那他的 y 轴上坐标呢？是这个吗？不对啊，是这一个啊，因为这俩才是垂直的啊， c 点到 x 轴的距离就是他的 y 轴，就是他在 y 轴上的长度。好， c 点到 x 轴的距离就是他在 y 轴上的长度，那应该是二，然后这轴是零，根号二零。然后我们再看这个 d 点坐标， d 点坐标的话，它在哪里？它在这里，那它的 x 轴坐标应该是零吧，然后 z 轴也是零，那就是 y 轴是一加根号三， 那我们写零，一加根号三零。那现在我们这五个点坐标都出来了，那我们再表示一下这个各个各一个值吧。因为我们设球心 o， 我 们讲的这个球心 o 点坐标为 x、 y、 z。 好， 然后，所以， 所以看一下 o、 p， o、 p 向量是不可以等于后减前吧？还记得吧？后减前啊，那就是负 x 负 z， 然后，啊，不对，负 y 啊，然后根号二减 z， 行，然后再下一个 o b 向量是不等于 b 减掉 b， 减掉这个 o 吧，那就是根号二减 x， 负 y， 负 z， 然后 o c 向量，它就会等于 c 减到这个 o， 根号二减 x， 二减 y， 然后负 z， 再来 o、 d 向量会等于一个 负 x， 一 加，根号三减 y， 然后负 z。 好 了，这四个向量都出来之后呢？我们下一步怎么办？是不算他们的长度啊，对不对？算他们的长度啊，也就算他们的魔长，魔长。然后我们把第一问先猜一下 魔长怎么算，你看一下我们是不是有 o、 p， 我 们正常来说，向量的魔长是不等于， 如果它的坐标是 x、 y、 z 啊，那是不是就有根号下的 x 方加 y 方加 z 方呀？那在这里是不就等于根号下啊？是不就等于 r 呀？ 对不对？因为我们说它的长度是等于 r 吗？等于半径吗？那我不如直接把两边都平方了，这个平方不就可以把这个根号去掉吗？对不对？好，这个向量的计算问题，那就是由 x 的 平方加上 y 的 平方，加上 根号二减 z 的 平方，然后会等于这个 r 的 方，然后下一步就是根号二减 x 的 平方加上 y 的 平方，加上 z 的 平方会等于 r 方。 根号二减 x 的 平方加上二减 y 的 平方，加上 z 的 平方会等于 r 方。 因为虽然我这里是负 z 啊，但是你平方后他肯定跟这个是一样的嘛，对不对？你平方把那个符号就去掉了嘛？所以我直接写这个 z 的 平方啊，然后在下下面这个就是 x 的 平方， 再加上一加根号三减 y， 一 加根号三减 y 的 差的平方，再加上 z 的 平方等于 r 方。好，接下来我们这样子有一二三四，你通过这四个试试了，想要把这个 x、 y、 z 解出来肯定是很容易的嘛，我们先观察，先观察一下要先连累哪些。 呃，我们先看，先看这个第二和第三吧，对不对？你看第二和第三，为什么呢？你第二和第三去相减，这个是和这个减没了， z 和 z 也减没了吧， r 和 r 也减没了吧，对不对？那我们是不是就可以得到 y 方会等于二减 y 的 差的平方？ 好，二三可以得到 y 方会等于二减 y 的 差的平方，对不对？那很明显得到什么 y 等于一吧。好，再来，我们有 y 等于一，再看一下，还要连哪一个呢？ 我们看一下二四啊，二四连立一下二四的话能得到什么？阿方，阿方没了，这个和这个没了。行，我们要化简一下啊，化简一下二四就比较麻烦一点了，我们把这个啊也不会啊，我看插一下。哪里，这里插了吧， 这里插了，我们看一下二二四连立。连立之后，你可以把这个 y 等于一带进去的啊， 那就变成了根号二减 x 的 差的平方，再加上一会等于根号二啊，不是就等于 x 的 平方再加上 三，然后好，没了，没了，那我们选这个形式呢，然后我们观察一下怎么化解这里减一减一变成加二了，左边开，开，左边把这个平方开出来，他会变成了一个 二减掉二倍根号二， x 加上 x 方，那两左右两边的 x 方都给他约掉，那就变成等于二等于二。之后呢，又把这个二和二又约了，那变成负的二倍根号 x 等于零，那很明显说明什么？ x 等于零吧，你一个数乘以一个负倍二倍根号二，怎么样才能等于零啊？ 那只能为只能是这个 x 等于零嘛。所以连立这个二四啊，我们可以得到 x 等于零，然后再来，再来。 哎，这个牌子不差了吧，保留一下计算数据啊，然后再再下一步呢，我们看一下连立哪一个，把这个往下面移一点。 好，我们现在已经有了 x， 有 了 y， 那 我们再需要求一个 z， 其实直接我看一下 好连的这一条吧，这一条和这一条啊，这两条来我们看一下，有 x 方都没了，那 y 方左边变成 y 方，加上根号二减 z 的 平方，然后这个一和四。我现在连的是一四啊，然后右边是 一加根号三减 y 的 平方。行，好，这两个是相等的，我们再哦还要加一个 z 的 平方。对，好的，我们现在进行一个化解， 看一下 y， y 刚刚说了 y 等于几啊？ y 等于一吧，对不对？ y 等于一，那就是一加上这一个给它开出来。二减掉二，二减掉二倍。根号二的 z 加上 z 的 平方会等于， 会等于一减一枚啊，那就是三加上 z 的 平方，然后这俩都约了，这俩都约了，那就会变成负二倍高。二， z 也等于 零吧，对不对？那这个不就化简了吗？等于零，所以连立一四，我们会发现 z 也是等于零的，这里可能会过得比较快啊，同学们算一下就行了，这是纯计算的纯计算问题，相加相减。好，那我们先就得出来，所以 这个也差了，所以这个点 o 坐标为 零幺零，那不就可以说明出来吗？ g， 你 还没去说 g 点 o 在 这个面 a、 b， c、 d 内嘛，可以了吧？因为你这个 z 都等于零了嘛，它就在这个面内在运动了嘛，它都没有高度了。 行，然后我们第一问，就第二题的第一问就结束，我们准备擦一下啊，擦一下，那核心思想就是说，你假设一个点 o 出来，然后要使得你，因为你这个是点 o， 是 球心嘛，对不对？那你肯定到球上的各个点的距离都等于半径， 所以我们把这个坐标作列，列出来之后再相加相减连立，就可以得到最后的答案。行，我们把这些擦了啊， 然后我们讲一下第二，第二问的第二问好就是这个，这个来看，求 a c 与 p o 所成角的余弦值。那这个很简单了，线，线角，我们之前讲过，你怎么去求 a c， 怎么去求这个两个异面之间所成的角啊？ 哎，刚刚那个 o 点坐标是是几啊？我们看一下。是哦，零幺零啊，零幺零。行，零幺零，因为这一问要用的啊，要用的。好， o 是 零幺零。行。我们是不是可以把这两个向量写出来？你向量写出来之后， a c 向量等于什么？ p o 向量等于什么？写出来之后你再假设这两个角所。呃，假设这两个线所成的角为 theta， 然后 cosine theta， 它就会等于 cosine 的 a c 与 p o 的 所成的角好于线直行，然后再往下面写，这为向量的运算呐，对不对？向量的运算， a c 向量乘以 p o 向量，再除以它们各自模的乘积嘛， 对吧？那这个就是纯计算问题啊，这个我就不细算了，不细算了，把这个坐标自己算出来就好了。在这里坐标都有了嘛， a 点、 p 点、 c 点和 o 点 四个点坐标都有了，你后减前，然后得到这个向量坐标，再进行一个运算就可以了。好，这项量这一节的内容啊。行，我们这个就结束。 好，我刚才讲讲了要把这个第一问的内容啊。行，我们这个就结束。好，我刚才讲了要把这个第一问了啊， 看一下啊，我们先把后面讲完吧。后面讲完先看这个第二问第二道题。好，他让我们证明线面平行啊。线面平行，那我们想一下，你要证明线面平行有哪些方法呀？是不是可以想到线线平行啊？ 或者说面面平行吧，对不对？你线面平行，那就是一个线平行面内的一条直线，那么就可以得到这个线是平行这个面的， 然后面面平行，就是如果你已经两个面平行了，那么就会有其中一条面的任意一条直线一定会平行另外一个平面。好，我们先看一下这一条，这这一道题要用到哪一个式子啊？首先我们看它要的是 a 撇 b 来平行于这个 a 撇 b， 想要平行于这个平面，那不就是。如果说你要利用线线的话，那我们看应该是这个平行这一条吧， 但你看这个好像不太可能平行吧，对不对？那你就找一下能不能面面平行。如果说你要利用面面平行，那很明显过这个线处存在的一个平面就是这个面了。面 a 撇一 b 要平行，面 d 撇 c f。 好，我们看一下能不能，能不能正得平行，先看有什么条件。题目给了 ab 平行于 cd， 哎， ab 平行于 cd， 那 不是很好的用吗？那我们就有 b、 e 会平行于 c、 f 吗？ 好， b e 平行于 c、 f 能够得到什么？是不是能够得到 b e？ 它是属于啊，不是？不是属于啊，那是不可以得到 b、 e， 它会平行于这个面 c、 f、 d 撇啊，对不对？好，再来，我们这个图形是怎么来的？是不是原来这个这个四边形给它翻折翻上来的呀？ 对不对？你翻上来的话，那我们是不可以得到原来原来我们这个边是平行的，你翻上去之后，他肯定这两条边依旧平行啊， 那就是 a 撇 e 会平行于这个 d 撇 f 啊， a 撇 e 平行于 d 撇 f， 那 同样的，你是不是可以得到 a 撇 e， 它会平行于这个面 c、 f、 d 撇啊，对不对？你光看字母也知道啊，这个 d、 f 肯定是属于这个面内的嘛，你看它这个字母都一样。好，接着我们来看 b e 有 了， a 撇 e 有 了，它们是不是有共同点？ e， 对 不对？所以它们一定是属于这个平面 a、 b、 e 撇的啊？不对，属于哪个平面？呃， a 撇 b e 啊， a 撇 b， e， 把这三个字母混在一起就行了， a 撇 b、 e， 那 你放在左边来看，也就是这样子， a 撇 b， e， 对 不对？那你现在题目要求的这个边，它不是 a 撇 b， e， 对 不对？那你现在题目要求的这个边，它不是 a 撇 b， e， 对 不对？那你就可以得到面 a 撇 b， e 会平行于面 c、 f、 d 撇，并且 a 撇 b 是 属于这个面的，所所以说 a 撇 b， 它就会平行于这个面， c、 f、 d 撇。好，这个具体过程我就不写了啊，因为时间还是有点紧啊，我们要讲的题目比较多。行，然后写到这一步，我们重要的是把这个思路，思路讲出来，我们再看第二问。 第二问，让我们求这个二面角的正弦值，那肯定先想间隙吗？间隙的话，你要的是 x、 y、 z， 他 们三个互互相垂直吧，两两垂直吧。那你就要考虑到九十度吗？看题目有没有说，有没有说到垂直，或者说九十度来看一下。 看我们这个第二个条件，不就说九十度吗？ d， a、 b 等于九十度。好，这个是九十度，再来还有什么条件？嗯？ ef 平行 a， d， ef 平行 a， d 好， 说明这个也是九十度哦，刚刚的 ab 平行于 cd 啊，说明这两个角它也是九十度。那我们就可以做题了吧，对不对？你这个九十度，我们就可以以 f 为坐标原点， f、 e 为 x 轴，然后 f、 c 为 y 轴，好连，然后再再再说。再说明一下啊，做一个 z 轴，做一个 z 轴， 做 z 轴，分别垂直于 x、 y、 x 轴 和 y 轴啊，那当然，你考试不能像我这么写啊，我这是为了减少时间，你就写坐标轴，分别垂直于 x 轴、 y 轴。行，这样你把 x、 y 这三个都给他表示出来之后，我们就可以写坐标了，看下你需要哪些点坐标啊？ 好，需要哪点坐标？那我们先讲一下你这个二面角计算的方法是什么？是不是找出两个面它们之间的法向量啊？对不对？法向量，那法向量又怎么找呢？ 如果是 b、 c、 d 撇，我们是不是要找出里面的两条相交直线？比如说，呃， b、 c 吧，然后 c、 d 撇吧，这两个相交直线吧， 然后法向量是什么？法向量，刚才那节课上一节课讲过，它是垂直于面内的，法向量所在的直线是垂直于这条面的，那不就会有法向量垂直于面内的任意一条直线吗？所以 b、 c 垂直这个法向量 m， 这是 n， 法向量 m 应该是等于零的。 c、 d 垂直法向量 m 也等于零，然后右边就是这里面再找出两条相交直线啊，我们可以写 f 一， 它垂直于这个 m 啊，不是 m 了，右边这个是 n 啊， 等于零，然后 f、 d 垂直于这个 n 等于零。好，先把这个大字思路写出来啊，然后最后你再去计算计算就好了。然后开始我们写坐标，干脆就按照这这四条边的形式吧，把这四条边的坐标写出来，先看 b 点坐标，看他有没有给我们具体数值啊。 哎，没有给我们具体数值，但是他给了我们各自边的比例吧，对不对？还给了各自边的比例，我们怎么办？ a、 b 等于三 a d， a， b 等于三 a d， 那 我们假设 a d 为 x 了，这个也是 x， 为什么？因为这两条两两边互相平行嘛，那很明显一个平行四边形的，所以这样出来之后，我们还有 还有什么 ab 等于三 a d， 所以 ab 应该是三 x。 哦，这个不是这么写的啊，这个是它的 x 轴，所以 ab 是 三 x。 好， 再下一步 还有没有给什么 cd 等于两倍的 ad cd， 那 cd 就是 二 x 了，所以这是 x， 这是 x， 那 很明显这个也是 x 吧，这个就是二 x 了吧。 行啊，那我们这么写 x 写那么多，肯定是会影响我们判断的，那我们怎么办呢？直接令 x 等于一啊。来，我们写令 a d 等于一。好，你这么写就可以得到，则我们一个坐标来写，先写 b 点坐标， b 点在哪？ 在这里。那他的 x 轴坐标应该是这一条吧，对不对？那应该是一个 x， 那 也是 也就是一了啊。一，然后他的 y 轴坐标呢？ y 轴坐标肯定是这一条嘛，这垂直的嘛，对不对？那就是二了，这头坐标是零啊。好，我们 b 点坐标出来之后，再看一下，一个 c 点坐标， c 点坐标看一下啊， c 在 哪？ c 在 这里， x 轴为零了吧，然后 y 轴为一了，那就是零。一，然后零。再来一个地撇坐标，地撇坐标的话，地撇在哪？ 地在这里，那地撇应该是这个啊，应该是这个可能被我这个盖住了，被这个字盖住了，地撇在这里。我们看一下怎么写它的坐标啊？ 嗯，先看它的 x y x y 上的位置吧， x 上它在坐标原点嘛，坐标原点的上方，所以它 x 值肯定是为零的 零。那 y 值呢？你看它是不是偏了一点啊？它往右边偏了一点吧，那偏了多少？偏了多少取决于你这个角度是多少了。看，我们说了，这两个面所成的二面角是六十度，也就是这个面和这个面所成的二面角是六十度。 那你就可以简单的理解为啊，如果说这个是，我们看这个垂不垂直啊？刚好这里是垂直的吗？对不对？我们正常来说，你要求二面角，是不是两个面，两个面各做一条垂线，并且都垂直于这个交线，然后这两条垂线所成的角就是你的二面角，那我们在这里呢， 好，不是二面角啊，对，是二面角，然后在这里就是这条线和这条线吧，对不对？知道为什么吗？因为你看啊，我们这一颗不是垂直的吗？对吧？你这个垂直之后，然后我们再看，你翻过来之后， 翻过来之后啊，翻过来之后，哎，另一条线去哪了呀？怎么看的有点晕，这个线画的有点多啊，我再看一下 两条交线，哪两个平面？这一个平面和。哦，在下面啊，在下面。行，没问题啊，刚刚我们是不是说这一条，这一条，对，以及这一条他们都是垂直于这一条线的吧， 看一下有没有问题啊？因为这个九十度，这个九十度嘛，这个也是九十度嘛，因为你是翻上去的嘛，所以这个线肯定垂直这个线的。好，这个线也垂直于这个线，所以你要求的那个二面角六十度，他给了六十度，就是这个角 d f c 啊， d f c， 它是等于六十度的。好，现在你有这个角是六十度了，再来这个角是六十， 画的有点乱啊，这一个角是六十度的话，我们看还有什么条件。我们得到 d f 是 几啊？ d f 是 d p， f 应该是等于 x 等于一的吧。好，这个是一，你想要求得它在 y 轴上的距离是不就是这个斜边一再乘以口三的六十度呀，是不是？这一段 对不对？好，一乘以口上六十度等于多少？二分之一吧，所以它的 y 轴上距离应该是二分之一啊，那它在 z 轴上的距离呢？也就是它的高吧， 对不对？是它的高，你看我这里是六十度，你做一条高，这个是一，你要求这个高的话，不就是，呃，这个长度一再乘以一个三六十度吗？三六十度不就是二分之二三吗？ 好，这是二分之一到三啊。那我们的撇坐标也出来了，接下来看一下。还需要什么啊？这个是撇啊，还需要 f 以及 e。 好， 行，看一下 f， 还要看一下 e f。 哦， f 太容易了，零零零，再看一下 e 点坐标。 e 点坐标也很容易啊，他直接就在 f 的 这个 x 轴， e 点坐标是在 x 轴上呀，对不对？那你 y 轴和 z 轴的坐标值都不用考虑了，零零。然后又因为 f 一 是等于一的，所以 e 点坐标是幺零零。 好，接下来我们这些点坐标都有了，按照这个所需要的形式把坐标写出来， 我们写一下啊。 bc 向量应该是等于后减前负一负一零。好，再来 cd 撇向量应该是等于一个后减前零负二分之一二分之二三吧。好啊，然后 这样子。行，然后再来，我们要 f e f e， 它应该是等于一个后减前 e 减掉 f 幺零零，然后 f d 撇 d 撇减 f。 好 啊，就是零二分之一，二分之根号三。好，写成这个形式啊，所以我们现在这四个点坐标都有了，然后我们准备查一下啊，查一下，不然太急了。 好，那这里形式来我们看一下。刚刚，呃，刚刚是一个 b、 c， 我 们来假设，假设 面 b， c， d 撇的法向量为 m， 然后 x， y、 z 写清楚，然后下一个 e、 f、 d， 这，这里前面照照啊， e， f， e， f， d 撇 a 撇的法向量 n 为。这里我不建议你以什么 x 一 啊， y 一 啊， z 一 啊，然后下面就 x 二啊， y 二啊，因为你这样其实是容易写混的啊，你可以选不不同的字母嘛，刚刚是 x、 y、 z， 你 这里就 abc 嘛，对不对？好，然后我们就会有 bc 向量再乘以 m 向量等于零，然后 c、 d 撇向量乘 m 向量等于零，以及这里是 f， e 向量乘以 n 向量等于零， f， d 撇向量乘以 n 向量等于零，即坐标给它乘进去啊，乘进去，那就是负 x 减 y 等于零， 负二分之 y 加上二分之根号三 z 等于零，这怎么来的啊？你就是坐标给他乘进去嘛，向量的相乘嘛，乘到这个结果，然后到右边 f， e， f， e 是 a 等于零，然后下面是二分之一 b 加上二分之根号三 c 等于零。好，来到这一步， 到这一步怎么办？我们令啊，令，令 x 等于一啊，那你令 x 等于一的话，我把它等于几啊？这里我们在前面知识点梳理课已经讲过了啊，就是你，你这到这里要计算的话，你就是令其中一个值等于一等于二，或者括号三，具体是哪个，看你计算怎么样方便 好。这个等于一的话啊，其实这样子不太方便啊，我们要考虑下一个 看，我们要考虑这个好计算才行啊。这个好计算啊，其实也可以。行，我们另 y 吧，另 y 等于根号三。好，另， y 等于根号三，则 x 等于 z 等于。你看 y 等于根号三的话，这不就是负二分之根号三吗？加上二分之根号三就等于零嘛，所以 z 等于一。好，再来， y 等于根号三，你 x 就 等于 负的根号三吧，对不对？好，其实刚刚另一也可以啊，刚刚另一也可以，可能比现在还要好算。再来， a 等于零。 好，不用考虑下面 b， b 和 c 那 一样的嘛， b 等于负根号三，然后 c 等于一嘛。好，写到这个形式我们就出来了，然后到这里的话，我准备把这些擦一下啊，把这些擦一下。 行，那我们就会得到 m 向量是什么？ n 向量是什么。到这里我们写下负根号三， 根号三一，这个就是零，负根号三一。好，先，这个形式呢，来，重点来了，我们要假设啊， 令令这个角，这句话照抄下来，照，照抄下来，令这两个面所成的二面角为 sita， 则口上以 sita 就 会等于 m 向量。 你这个写写或者不写都行啊，这个写不写都行啊，等于 m 向量乘以 n 向量， 再除以 m 向量乘以 n 向量的模。好，计算。我就不讲了，你这样一算的话，答案不就算出来了吗？啊，你现在算的是余弦值啊，然后你要正弦值在三，以 c t 就 等于一个根号下的 e 减这个的平方嘛，就可以了啊。 行，然后我们这一问就讲完了，我们再强调一下这个二面角的计算方法，把这个擦了啊，同学们，一下子考试一定要拿分的。二、面角计算方法，也就是说你找出两个面， 找出这两个面之后，你再各自设它们为 m， 为 n， 这是它们各自的法向量啊。设出来之后呢，然后你就可以算 m 向量乘以这条边等于零，乘以这条边等于零。 n 向量乘以这条边，乘这条边等于零。然后两个向量算出来之后，再利用它们之间的，再利用向量之间的关系得到 cosine theta 会等于 向量相乘，再除以模的乘积啊。好，然后我们这道题就讲这里，今天花的时间比较久啊，我们先讲两道题吧。先讲两道题，然后同学们看一下后面的题目能不能做好吧。

这是一道高中立体几何的经典题型，并且覆盖了多个高频考点。很多同学看到这种题，第一反应就是找线，题目给了两个终点，看似零散，其实只要做两条辅助线，就能把隐藏的平行关系彻底暴露。 看完这个视频，教你如何秒杀这类现面平行证明题。我今天讲的所有这类的证明题都给大家放到了粉丝群当中，大家自行取用。那咱们呢，去感受一下这种题那个脑细胞运作思考的过程。你看啊，三棱柱， 宝子们，以后我希望你每每看到三棱柱哦，你是有概念的，什么叫三棱柱呢？如果他不是斜歪的，他是指三棱柱呢？他的这个 侧棱是垂直于底面的，包含上底面，也包含下底面，这都有可能在未来更难的证明题当中用的到的。这道题我不知道，我还没读完呢，但是我提醒给各位的就是，这往往也是已知信息。 第二，这是终点，这是终点，你看，我画出来了，所以每每我看到终点的时候，我的第一反应都是中位线。 可是这道题有点遗憾的是啥呢？那我画一个三角形这出去了呀，不像简单的题，给俩终点，那他就是中卫线。初中吗？这是终点，这是终点，这是中卫线。然后呢，他和他就是平行嘛，他好像不像是那个模样 好，但是终点肯定也是重要一致，一会再用。紧接着他就让我证明这个东西。那我因为实在是从前边往后看啊，没思路。为啥？因为他也不是中卫线，这个三棱柱我也不知道用啥，所以我没有办法。 你们猜，我没有办法，我就怎么着？拿出红色笔，这是不是一条直线叫做第 e， 然后这是不是一个平面？那你要做到的就是平面外的这条直线，平行平面内条直线，因为 只要你认真听课，你是听过欢老师给你讲的，请问如何证明一条直线平行于一个平面？就在刚刚我是不是还给大家复习了？所以我们再来一遍啊，我就不再写了。怎么样来证明线面？平行 平面外的一条直线，平行于平面内的一条直线。最关键的，我再给你画一个红色圈子，因为平面外还是平面内，这件事情可以讲不言而喻，基本上有眼就行， 啥子都会，所以说我们的焦点历来都是在这个区域。好，翻过来看着我的眼睛，我要给你催眠了，你超厉害， 你能上高中就证明这件事。你有一个神奇的直觉，你看，这是平面外的那条直线，请问平面内的那条直线你真的找不到吗？你看啊，小心试探看啊，这个地点往上窜，窜窜窜， 这个一点往上窜，窜窜窜，你真的找不到吗？这不就来了吗？你感觉，哎， 平行四边形？是的，把你这个灵感当下给我记住，然后我为了让你形成深刻印象，我给你用蓝色笔再画一遍啊，这个点嘟嘟嘟嘟嘟往上凑，然后呢？这个点也是嘟嘟嘟嘟往上凑，然后就成了， 看看是不是就是思维过程。所以我们刚才复盘一下啊，从前往后推，不好意思，我没思路，我可以怎么着？直果所因，我可以看到这个结果， 它这个一定是成立的，那我去寻找原因。而理论是，如果平面外的一条直线平行，平面内的一条直线，那么它就与这个平面平行了，那么现在平面外这条直线就是 de， 我 只需要去找一个平面内的直线，而这个平面内的直线我找到了来，依然给它起名叫 m， 那 么写完这条就叫做 c m 点，所以呢，你要是详细去写过程的话，你就要写说 c m 属于面， a b e c e 不 在 面这个之内。又与此同时，我再来证明一下，第一个哥们，平行于 c e m。 好， 然后我的当务之急就是这个小蓝色怎么得出来？显然就要从这块出发了，就这块 你看着啊，从这块出发，那我怎么能够得出来它呢？宝子们，你想， d e 在 这， c e m 在 这，你不觉得它是一个什么平行四边形？好说，四边形？ c e d e m 为平行四边形？好，那你怎么说明它是平行四边形？你想，你得到这平行四边形，你是为了用这一对的平行，对吧？ d e 和 c e m。 你 把它给我悄悄用蓝色笔给我写个圈圈一，你为了得到的是这圈圈一，这一对它俩是平行，那么你现在想要得到这玩意是平行边形，你是不是得用这一对来得出？所以这个圈圈二的平行是谁？ c e d 平行且相等 m e 那 我就请问了，这玩意咱是咋得出来的？那还不是因为这是一个三棱柱，对棱平行， 与此同时，您是终点，我也是终点，所以说对棱平行且相等。所以宝子们就完事了，结束战斗，看这个地我就不再抄一遍了。所以呢，你看感受一下啊，他推出来他， 他推出来他，他得到这个，然后呢？再加上这两个就得出结论。所以你看我一以贯之的是我今天讲的所有的这类的证明题，包括我在说计算题，我也是这样子，就是无非是有个头有个尾， 头有思路就从头出发，尾有思路就从尾出发，如果这边实在没有就从另外出发，总有办法，方法总比困难多。所以，哎，就可以得出来了，这叫逻辑。而他背后用的原理呢？你要比较熟练的去记线面平行咋得出来的，什么什么咋得出来的，而这件事情实话讲是我们之前讲过的。

首先恭喜二零二六年六月丰富高考考场的你们！说到这条视频，那真是找到了数学逆袭的捷径。今天给大家分享的都是学校老师绝对不会透露的偷分技巧，哪怕你数学基础差， 啥都不会，也能轻松白拿。二三十分的内容很可能被平台限流，建议你赶紧收藏，千万别让同桌看到悄悄偷分逆袭。 去年我带过一位河南的艺考生，上高中三年基本没怎么学过数学，完全是零基础起步。跟着我系统学习后，高考数学直接考到了一百一十八分。今天我只给大家筛选过去五年高三大考中 选择题最常用最实用的五十五条秒选绝招，每一条都是网接落榜生用经验和泪水总结的精华。为了防止你们认为我在吹牛，咱们直接上整体实操验证。第一，外界求求体积。这类题目根本不用看题干，主要题目要求求 外界球体积。我们直接令每个选项等于三分之四， pi r 的 三次方，返回后半径需要开三次方的选项直接排除，直接选 a 够不够快？ 第二，圆椭圆双曲线的切线方程，学长教大家五秒钟秒减，去掉 x、 y 的 平方，把 p 点数字二和三写在前面，切线方程就是二， x 加三， y 等于五。我们再来一道题，去掉 x、 y 的 平方，把 p 点、数字一和三写在前面，化简得到切线方程 x、 y 等于四。第三秒求法向量。记住这个口诀，向量横着写两遍， 叉头去尾曲，中间交叉相乘纳结撇。学生以这道题为例，手把手教大家怎么用每个向量写两遍，九八五九八五二幺幺二幺幺，叉头去尾曲，中间交叉相乘，纳结撇得三，纳结撇得一纳结撇得负七，轻松搞定。这样其实比我们连力方程快的太多太多。最后，学生深入研究了近十 十年的高考数学正题卷，提炼出五十多种核心模型和四百多道典型题目。需要的同学不要犹豫，后台告诉我你的年纪。例如高三加数学，你累计帮助上万名高中生逆袭九八五二幺幺。但凡你想数学逆袭，必须要好好背一下。

很多同学立体几何学不好，第一反应就是自己的空间感不行，但是郑老师说句实话，高中的立体几何考察你的空间感少之又少，他重点考察的思想并不是空间感，考察的更多的是同学们的推理能力。今天郑老师利用五分钟的时间， 重塑你立体几何的学习思路。关于立体几何的视频，赵老师已经给同学们准备了十七节的一个资料评论六六六，抓紧拿回去下载打印，相信你的立体几何绝对能够学明白。立体几何到底怎么学。第一部分一定是和初中有关系的一些内容，但这个内容只局限于什么呢？认识几何图形 不用考虑太多，我初中不会，怎么办？没关系，不影响，所以第一部分啊，就是认识图形。第二部分我们会写空间一些图形的什么的体积表面积公式，所以我们会学到表面积啊，体积的一些公式， 尤其是像球呀，设棱台啊，像这样没学过的一些内容，他的一些体积表面积公式我们需要单独学一下，其他以前学过的照用就可以了。第三个哈，是什么呢？ 强调同学们的一个画图能力，我们会画一些简单的一些几何图形，像圆柱啊，圆锥啊，棱锥啊，棱锥啊，像这样的图形球啊，我们都要会画，哎，这是非常重要的一点， 那这些的话，整体上就可以认为是什么呢？就是认识一些几何图形与初中有关系，或者说作为一个简单的了解就行。 像这个体积表面积公式里边可能比较难的一点就是什么呢？我们的内切球以及外接球问题，像这个是一个最难的一个点啊，那除了认识几何图形第一部分以外，第二个部分就是我们立体几何高中最重要的一个环节了，就是空间里的点线面的位置关系， 其中包含什么呢？比如说平行关系，然后呢？第三种垂直关系，像这个平行的话，比如说线和线的平行，线和面的平行以及面和面的平行。像这些线线线面面面，他们的一些什么呢？性质定力、判定定力都是我们需要掌握的一些重点， 好，包括垂直，垂直也是包括线线垂直，线面垂直包括面和面的垂直，所以同学们会学一些全新的证明的一些定力，包括性质定力和判定定力，这两点都会学。 那除了这样平行垂直语言进行的下一个内容就是夹角问题，但是这个夹角问题的话，包含的比如说线与线的一个夹角，线与面的一个夹角，两个面的一个夹角这三个问题， 间线先变以及二变这三个问题的话，在高二上学期的时候，我们会学到间线的方法去解决，但是对于高一的学生，反而这一块的话难度比较大，只能用 纯纯的几何法去证明。那历低几何这地方哈，周老师说他考察的并不是空间感，而是同学们的推理能力。为什么这样说？比如说我们看一下这两个证明题， 重点哈就是平行垂直的证明，这是我们高一的学生最需要学会的一些东西。那推理思路讲的是什么？比如说拿线面垂直的证明来说，我们需要用到线面垂直的性质定力，也就是说一个线如果和一个面垂直， 然后呢？ m 呢？恰巧在这个面里，那么我们这个线就会和这个线垂直，那根据定力的话同一位思考一下问题，我们想要解决这个线下垂直，我们就得需要用到线面，那我什么东西能整为线面呢？我们去想我们就需要找线面垂直的判定力理， 而线面垂直的判定定律呢，就是 l 必须要垂直于这个面里的两条相交直线，也就是说你必须要找到 l 垂直 b 就 行，而它俩垂直又变成了线线，再去找它们成立的原因， 也就说推背要体会，慢慢哈。想要证明一个东西，我们需要用到怎么去推理，把它给推出来，而不是看出来。至于例例题和的推理能力怎么去计算，下节课我们结合具体的例子，然后一起来提升一下你的推理水平。关注我，带你看更多更好方法！

大家好，我是葛军，从本周起，我将持续邀请优秀老师为大家奉上优质数学学习视频，大家可以多样化的吸收每个老师的思想精华，上抖音精选看葛老师以数学编团 本期邀请的是加速老师为大家带来直观的高中地理几何辅助线思路的教学 来欣赏吧。在整个高中三年，立体几何的辅助线你一定见过，这样的，这样的五花八门，种类繁多，动不动就在大体第一问，把人恶心半天。那么像这一类的问题，有没有一个相对而言比较通用的本质思路呢？ 好像在许多年前，就有一位数学界的巨星给出过相应的答案。你好，我是佳树，如果你愿意的话，不妨花上几分钟时间听一段故事。今天咱们把这一类问题的基本思路都简单的梳理一遍。 当然呢，这个许多年前得追溯到公元前三百多年，这位数学家的名字我想你很难没有听过， 在几何学的领域，无人能出其右。并且呀，在如今欧几里德留下的几何原本中仍有清晰记载。他当年写道，直线两两相交构成的三角形必然在同一个平面内。 而此时屏幕前早已将各种平面几何知识烂熟于心的你，距离撬开立体几何这扇大门只有一步之遥，那就是把所有的立体问题全部转化为平面问题。 就比如咱们看这样一道二四年北京高考的立体几何大题，乍一看呢，说要证明红色的直线 b f 平行于黄色的平面 p c d， 聪明的你一下子就反应了过来，这是一道立体几何的实体，所以思路就会非常的明确，把所有的立体问题转化为平面问题，这里就请大家进行一个三选一的判断。 第一种，我先给黄色平面拓宽一下，然后在蓝色三角平面 t、 p 一 中做文章。第二种，取 b、 f、 d、 c 这个蓝色平面进行下一步。 第三种呢，取 p、 d 中点为 q， 构造出 b、 c、 q、 f 这个蓝色平面。那么聪明的你更倾向于把问题放入哪个平面当中呢？ 其实只要你选择的是一号或者三号都是可以的，因为呀，二号它甚至都不是一个平面。 以三号平面为例子，在这样一个蓝色平面当中，找红色的 b、 f 和黄色的 p、 c、 d 之间的关系，是不是就是找 b、 f 和 c、 q 之间的关系啊？ 需要证明红色的 b、 f 平行于黄色的 c、 q 彻底转化为一个平面问题， 这样一道初中证明题，相信你一定可以。并且啊，这样的立体转平面思想在哪里都是可行的。 就比如这第二道题中，需要证明红色的直线 m、 n 平行于黄色的背板平面，又应该如何把它转化为一个平面问题呢？ 这里还是希望屏幕前的你来做一个三选一的选择题。这是一号平面 r 和 t 分 别是 d、 d 一 和 d， c 边的中点，这是二号平面。三角形 a， d， e、 c， 这是三号 m、 n， c、 c 一。 这一道题，我们的正确答案还是两个一和二，因为三号并不是平面。 以二号为例子，你会发现呀，只要这个平面覆盖了红色直线 m、 n， 并且和黄色平面有交汇，他就是完全可行的。 接着把立体中的证明问题全部甩给蓝色平面 a、 d、 e、 c， 证明红色的 m、 n 平行于， 没错，正是蓝色与黄色之交直线 c、 d、 e。 那 你说剩下这个平面中的证明问题，你会了吗？相信你一定可以。 并且呀，这样一个立体转平面的思想，绝对不止于线面平行，线面垂直同样可行。这是一道二三年的高考真题， 他说呀，需要证明直线 bc 垂直于平面 p a、 b。 那咱们还是遵循立体转平面的原则，直接去找与红色、黄色都挂钩的平面。显然，平面 pbc 可以 选择 在这个平面中证明红色的 bc 垂直于黄色的 p b。 当然，线面垂直只有一个条件是显然不够的，那还有哪个平面是同时与黄色、红色都挂钩的呢？ 哎，这个底板 abc， 它也可以。那么在平面 abc 中，是不是就可以证明红色的 bc 垂直于黄色的 ab 呀？ 证明完毕以后，可以发现，红色的 bc 垂直于黄色平面中的 p b 和 ab， p b、 a、 b 还互不平行。 那么这样一个证明也就搞定了。当然呢，线面平行与线面垂直可能还是不够。我们来看一看相对而言难度最高的面面垂直问题。 在这样一个四棱锥里边，需要证明红色的平面 p a、 c 垂直于蓝色的平面 b、 d、 e。 好 像确实有点不好搞，但别着急，我们再简单借用一下古人的智慧， 在几何原本中还有这样一个著名的应用，说平面与平面相交会形成一条直线，而这条直线呢，它是天然的辅助线。 那么带着这个思想回到题目当中，这里的天然辅助线是哪一条呀？没错，就是 o、 e。 如果要证明蓝色平面垂直红色平面，那我就得在蓝色平面里边找一条垂直于红色平面的线吧。 那找谁呢？没错，直接锁定 b、 d， 接下来就变成了一个线面垂直问题了。可是又应该怎么证明 b、 d 垂直平面 a、 p、 c 呢？ 首先， b、 d 垂直于 a、 c， 这比较明显，因为底面就是一个正方形对角线， a、 c、 b、 d 相互垂直。 可除此之外， b、 d 还可以垂直于红色平面里边的谁呢？没错，这个时候天然辅助线就该发力了， b、 d 还可以垂直于 o、 e。 那 么简单版书就是蓝色平面里边的 b、 d 垂直于天然辅助线作为一个条件，再就是垂直于 a、 c， 这是摆在明面上的。 接着交代 b、 d 包含于平面 b、 d、 e 证明就完全搞定了。我是佳树，我们在抖音精选为大家应援，期待与你再会。

刚考完的深圳异模数学立体几何，有多少人被这立体图给震撼住了？如果是你坐在考场上去做，你认为自己需要多久才能拿下？

好，今天我们讲一下我们例题几何的知识点，那我们常见的大题是不是第一问就是考证明啊？那第二问就求角的一个余弦、正弦嘛？二面角啊，线面角之类的，对不对？好，那我们今天主要讲的是第一小问，那第一小问常考的证明有哪些证明呢？ 证明的是垂直吧？还有什么证明？平行吧，是不是？那垂直有什么？是不是有我们线线垂直啊？ 还有什么？还有我们的线面垂直，还有什么？还有我们的面面垂直， 那同理平行也是一样的，那我们今天主要讲的是我们一个垂直，那垂直，我们要知道我们要证明的时候，我们要用什么？用我们的一个判定定律，对吧？ 是吧？要用我们判断力来证明吧。那我们知道的是线线垂直，他一般要我们求的是什么？是我们一个意面直线的一个垂直， 他一般是求的是一面之线，不会让你去求在同一个面上。举个例子，比如说我们这个题吧，他是不是就是一个线线垂直啊？他是要我们求什么？ b d 和 pa， 他 是不是两是不是异面的？他一般不会让你去求什么？求 b d 垂直于我们一个 p d 啊，他不就在同一个面上了吗？能理解吧？ 好，那一般求的是我们的意面直线的垂直，那我们知道我们求意面直线的时候，我们常用的是什么？是不要把它转换为去求线面垂直啊， 对吧？要去转换为求线面垂直吧。那线面垂直，为什么呢？因为你这条线，比如说我 b d 垂直于 pa 所在的面，所在的面， 是不是就可以推出我们 b d 垂直于 pa 了，这是由什么？是由我们线面垂直的性质性质来推出的吧？ 对吧？那也就说我们知道判定定律之后，我们还要了解我们性质吧，要把性质掌握清楚吧？那线面垂直的性质，不就是说我这个线垂直于这个面垂直，那这个线就会垂直于这个面内的任意直线吗？对不对？那也就说他们两者之间其实常常常就是互相 转换的吧，比如说我要求线面垂直，那怎么办？现在转换为求线面垂直，那求线面垂直的判定定力是什么？我要去这个面内面内找两相交直线吧？ 是不要去面内找两相交直线与这个线平与这个线垂直啊，对不对？那这是我们判定定力吧，那 是不是又转回去找线线垂直啊？对不对？当然这个线所找的这些线就是所谓的同一个平面上的了，因为这个已知条件会给你提示嘛？所以我们这里又多了一个点，就是什么利用已知条件条件的一个提示作用。 为什么有这么一个说法呢？你看我们是不是有两条线，那究竟是找谁去垂直于谁所在的面呢？是不是？我们第一个第一个 思路就是什么？看图谁长得比较像，看图谁会比较像？去垂直那个面，是不是 p d 会比较像去垂直 p a、 d 这个面， 是吧？直观看上去对不对？你看如果你 b d 会垂直 p a 所在的面，他有哪些面呢？是不是 p a、 d 这个面？还有什么 p a、 b 这个面吧？那 p a、 b 这个面像吗？不像吧？那如果我换过来，我去找 p a 垂直 p a、 d 所在的面， p a 所在面， 那 b、 d 所这面是什么？是不是这里面啊？ a、 b、 c、 d 啊？那还有什么？还有 p、 b、 d 这个面吧，它两者看起来都没有 b、 d 更直观吧？ b、 d 垂直， p a、 d 更直观吧？好，那这是第一个思路，看图，对吧？那还有什么？利用已知条件，那已知条件它给了什么？ 他给了我们 p d 垂直于里面 a、 b、 c、 d， 那 也就可以推出我们 p d 垂直于我们 b、 d 由性质吧，对吧？ p d 就 会垂直里面任何一条直线吗？那 b、 d 是 不是在锁在平面里面上？那 b、 p、 d 是 不是垂直这个平面？这个这个直线？ b 点好，那是不是找到一条线了？ 我们目的是干嘛？是不是提示我们要去找 b、 d 或者 pa 去垂直于另另外一条线他所在的平面？那这里题目已经给了一条吧？他是不是给你提示说我们已经有 b、 d 垂直于 pa 了？那是不是去找 b、 d 垂直于 pa 和 pa 是 共同的面就可以了？ 那 b、 d 和 p p d 和 pa 所在共同面，不就是我们的面 p a、 d 吗？对不对？所以我们只需要再去找什么，再去找出我们 p d、 b、 d 垂直我们的 a、 d 就 可以了，对不对？ 是吧？那这是我们的一个解析的一个思路，怎么来的就怎么来的。好，那我们接下来这个题就先不讲，我们继续讲我们的一个 三垂直的一个互相转换的一个关系。那我们刚才讲了线线垂直，线面垂直的关系了吧？那我们接下来讲线面面垂直，那线面垂直，那我们线面垂直 可以干嘛？可以推出我们的面面垂直，对不对？怎么推出呢？是由面面垂直判定定律吧？你已知线，比如说我们这个线 l 垂直我们面阿法，你已知这个，那我们过 l 的 任意面， 过 l 的 任意面，是不是会跟任意面？我们命为贝塔吧，是不是可以推出我们面 贝塔会垂直我们面阿法，是不是？那这个就是一个面面垂直的判定定律吗？就是在这个面内找一条线与这个面垂直，那就可以证明这个面跟他垂直，或者你从这个面去找一条线跟这个面垂直 一样的，也就是说面面垂直其实本质上就要回归到我们一个线面垂直吧，对不对？那面面垂直又可以推出什么呢？那我们面面垂直是不是有个信字啊？ 面面垂直有什么性感？比如说我一个平面跟这个平面，我阿法平面跟贝塔平面，阿法是垂直贝塔的，对不对？那我在阿法上有一条线 l l 属于我们一个阿法的，对不对？那我们可以推出什么 l 还要垂直什么？还要垂直？我们一个公共交线的，他们垂直于 l 一， 那也就是说我们 l 垂直于 l 一， 就可以推出这两个，就可以推出我们什么 l 是 垂直，我们面被他的，对吧？也就是说两条两个平面互相垂直， 呃，其中一个面上有一条线垂直于我们公共的交线，那这个线就会垂直另一个面，对吧？这就是我们的信字吧？那是不是他可以由面面垂直可以推导出我们一个线面垂直啊？ 是不是？那这就是他们三指之间的一个互相转换吧？好，那这些就是一个垂直常要用到的一些性质和定判定定律的一个运用，这个要掌握好。然后做题，我们就来看到具体的题目上， 那么看到这个题吧，我们刚才是不是讲了怎么去识别出，我们要去找 b d 垂直于平面 p a d 啊？是不是？他是不是等价于求证这个？那求证这个是不是等价于求 b d 垂直于面 p a d 内的两条相交直线， 对吧？那你看，我们从直观上从这个表示符号，因为我们一般用三角形来表示， pa 表示有一个面的符号吗？对吧？当然也有四边形的，那我们居多的是用三角形吗？对吧？那我们从三角形我们是不是可以看到三条边啊？ pa， pd 还有 ad 三条边吗？那我们去找哪两条呢？ 除了这两条，你看除了第一个，他给了我们一个 pa， 他 是我们求的吧，你不可能直接让你从提议找到他吧，从提议是找不到他的吧？他肯定要让你去通过求证线面垂直才能够得出他的能理解吧，所以我们只能去找这两条吧，那如果这两条 有其中一条不满足，我们要怎么办？所以还要有一个什么辅助线，如果不满足就要去考虑辅助线的一个问题了，那这道题就没有涉及，没有涉及说在这个面内做一条辅助线跟他垂直的，我们这里就不细讲，好吧，就不扩展了。 好，那我们看到这个题 p p d 跟 b d 会垂直吧，因为这一个已知条件已经给了吗？对不对？提示了吗？好，那我们是不是找到一条了？是不是 b d 会垂直，我们一个 p d 啊，找到一条了吧？是不是再找 a d 跟我们的一个 b d 垂直就可以了，是不是？那我们看已知条件还有什么？ 我们一般做这种题就是要把已知条件都给利用起来吗？对不对？只要你把它利用起来，基本就是解， 就是一个解析的思路就出现了，你这一个已经利用完了吧，因为他推出来的是什么？推出来的是 b d， 所以 p d 垂直于 b d 吧，那这一个还没利用吧？这后面这一块一长串还没利用吧？那我们要看一下，他说 c d 平行，我们 a d b 吧，好， c d 垂直平行于 ab， 好， 还有什么 a d 等于 bc， 等于 bc 等于一，他们三都是一，好，那我们看一下下面这个图形是什么？他不就是一个等腰梯形吗？对不对？他跟他是平行的对不对？好，他还告诉我什么他是一，他是一，他也是一， 然后还说什么 ab 是 二吧， abcd 还是 ab 还是二吧，对不对？那我们目的是什么？目的是不要去证明我们一个 bd 垂直我们的 ad 啊，是不是就证明这个是直角啊？对不对？ 好，那我们怎么办？他是不是给了我们具体的值啊？那我们看一下值能不能利用上喽，对不对？好，那我们看，我们知道这个跟这个平行， 然后这一个跟他是二倍的关系，我们就要考虑到什么终点吧，出现倍数关系的时候就要考虑终点吧， 或者是三等分点之类的，对不对？那这里是二倍，我们就考虑我们的终点吧，那取谁的终点？那肯定选 a b 的 终点吧，那我们取它为一吧，可以吧？那取完干嘛呢？要连线吧，那我们连接我们的 c、 e 吧，对不对？那 c、 e， 你 观察一下，那 c、 e， 你 这个 a、 e 是不是会等于我二分之一 ab 啊？那 c、 d 等于二分之 ab 吧？ 然后 a、 e 是 不是会平行于 c、 d 啊？那也就是什么 a、 e 会平行且等于 c、 d 吧？那由这个不就是我们一个平行四边形的一个判定的一个规则吗？对吧？那他是不是就可以推出我们是四边形？哎？四边形 a、 e， c、 d 是 平行四边形，平行四边形吧，对吧？那也就是说我们一个 c、 e 是 不是要平行且等于 a、 d 等于 e 啊？那你再观察这个三角形， 观察这个 v、 c、 e 这个三角形，它是不是又一个正？呃，正三角形，也就是我们的一个等边三角形， 是吧？因为这是终点吗？那 b 一 也等于 b， c 也等于，这个也等于，那他是等边三角形吧？那这个角是不是六十度啊？ 这角是不是六十度？是不是就是六十度？那你看这一个跟这个平行，也就是我们 a、 d 平行，我们 c、 e 用初中的知识，这是什么角？这是不是同位角啊？同位角是不是要相等啊？这是不是要六十度啊？ 对不对？所以我们这个六十度，知道了这条边是二，对不对？这条边是不是二？那这个呢？ 这个是多少？这个是一，那我们是不是可以利用什么？利用我们一个余弦定力吧。已知两边一角是不是可以用余弦定力？那 cosine 角 a 是 不等于我们一个 a、 d 边，加上我们的 a、 b 边，减去我们一个 b、 d 边的平方除以二倍 a、 d 乘以我们的 a b， 是 吧？那解出来会是什么？会是一个根号三吧，对吧？我们就不细解， 你通过图，其实你可以直观看出来的，他这是一，这是二，这是六十度，不就是我们的一个正常用到的一根号三二这个直角三角形吗？对不对？好，那也就是我们可以推出我们一个 b、 d 会垂直于我们 a、 d 的， 是不是？ 可以吧？可以推出他了吧？那也就是我们两个相交直线已经找到了吧？那也就是我们两个相交直线已经找到了吧？那也就是可以证明我们 b、 d 会垂直于 pa d 这个面吧？ 那通过证明这个面是不等价已经证明他了，因为 pa 属于这个面吗？ pa 地吗？对不对？那是不是就可以得证了？好，那这就是我们基本的一个 证明题的一个思路，思路由来是什么呢？第一个就是我们先看题，你做题肯定要先看题吧？ 看完题然后看证明，那证明我们就要去看判断他是求证什么？他求证的线线，那线线我们第一个反应就要干嘛呢？反应出我们要去求证我们线面垂直吧，那线面垂直要找什么？找两条交叉直线吗？那究竟找谁的面呢？好，我们去看图， 直观一点，看起来就是 b、 d 垂直这个面，对不对？好，那看完这一个之后，我们是不是要去验证我们通过已知的条件给我们的一个提示作用，我们是不是可以去判定我们究竟要找哪一个面， 对吧？好，那找到之后是不是就利用已知条件去证明，找到另外两条边就可以了，如果其中一条没有给出来，那一般他会让你做辅助线的时候就会考虑到一个终点， 对吧？去终点连线做中位线呢？或者说中线呢之类的，能理解吧？好，那今天就讲到这里。

大家好，今天我们要讲一下立体几何当中的一个综合性问题，今天讲的知识点，关于空间角的这个知识以及它的应用。好，我们看一下， ok， 我 们看一下纽扣，纽扣是这么一个四轮锥当中 p， a、 b， c、 d 当中一些条件，我们看一下有哪些条件。在这个例题几何体当中的一些线段，或者直线平面之间的一些位置关系。这道题涉及到一个 垂直、平行等等的一系列的知识点，而以及空间思维能力，还有计算求解的推导能力。我们看鲁都所示的四轮锥当中， p a， b， c， d， p a， b， c， d 当中以这为顶点，以这为底面，那我们现在来看，顺着这个思路往下看， p、 d 是 垂直于下底面， ok， 然后呢？ c、 d 跟 ab 是 平行，并且我们知道 a、 d， d， c， c、 b 都等于一，这么一个等腰梯形 对不对？ ok， 那 么还有一个 a、 b 等于二，所以它是个等腰梯形，对不对？这 c、 d 跟 a、 b 是 平行并且不相等啊，平行并且不相等，还有一个 d， p 等于根号三 d， p， 这等等于根号三 d， b， t， 你 看我像那我们这样看，第一小问，还有证明 b、 d 是 垂直，以 p a， 我 们看这个是求直线与直线之间的位置关系啊，是垂直关系，垂直关系，我们知道要证明线线平行垂直我们会转化成什么？线面平行，这是一个常用的一个思维， 那么因为他们涉及到的知识点，我们看有 p d 垂直下底面。好，我们想想能不能先从 p d 垂直下底面来推出线线垂直，所以说我们第一步啊，第一步，因为 p d 垂直于面 a、 b、 c、 d， 所以 p d 就 垂直于下地面当中的任意一条直线 b、 d。 那 为什么会写出这个呢？很显然，我们的主节是不是要证明 b、 d， 所以 b、 d 肯定要找找出它的一些数量关系。 那么现在来想要证明 b、 d 垂直于 p a， 这是两条异面直线，两条异面直线要互相垂直，那肯定得通过面面垂直或者线面垂直之间的关系，对不对？ ok， 那 么现在要证明 b、 d 能够垂直于 p a， 我 们能不能大胆去猜想，如果 b、 d 能够垂直于 p a 所在的平面 p a、 d， 也就是说我可以知道 p d 垂直是个平面 p a、 d， 那 么 b、 d 就 垂直于这个平面 p a、 d 当中的任意一条直线。 ok， 那 接下来我们已经知道 b、 d 垂直于 p a， 我 是不是要再找出一条跟 p a 互相有交点的一条线段，能够跟 p d 垂直就 ok 了啊？我证明一条直线垂直于一个平面，我只要证明这条直线垂直于该平面内的两条相交直线即可。 ok， 我 们现在要 挑选哪一条？我们来选 a、 d。 这条有没有可能呢？我们看一下，要证明 b、 d 能够垂直 ab， 说明说，要知道 a、 b、 d 这个三角形的形状特征，它有可能是一个直角三角形，所以要判断一个三角形的形状特征，我们是不是引诱用到 解三角形，对不对啊？购物定力啊，或者正弦定力，一弦定力等等一系列的引诱， ok， 那 么现在来找这些数量关系好， ok。 第五， a、 d、 d、 c、 c、 b 都等于一，那我们就把这个 梯形的形状，我大概给它画出来，是不是？哦，大概画出来这么个样子，是这么个样子， a、 b、 c、 d 一一一，这段是等于二。 ok， 那 现在连接 b、 d， 在 图当中，我们连接 b、 d， 连接 b、 d 之后，我们知道证明这个角是直角，什么时候证明一些勾股数即可。好，那找哪些勾股数？这段是一，这段二，那么这个勾股数应该多少？根号三，那这段能不能跟根号三呢？ 不难，是不是？不难？好，我们把这个等腰体形的形状特征进行一些。 ok， 那 么 通过这个点向下沿垂线，我们可以发现什么呢？这段等一，这段等一，所以这一段加上这一段是不是等于一啊？所以过低点向 a、 b 沿垂线垂出，假设是一点 过细点相， a、 b 沿垂线角就垂直于 f、 d， 我 们可以知道 a 一 加上一， f、 b 是 等于一， a 一 跟 f、 b 也相等，所以 a 一 乘二分之一，这种的二分之一在 r、 d 上等于 d， a 一 当中， a 一 乘二分之一，斜边等于一，所以这个角几度？六十度，所以说这个角有多少 跟他互补的角， a、 d、 c 就 等于一百二十度，那 d、 c、 b 也等于多少，这个角就多少一百二十度。所以我们 b、 d 是 不是可以求出来啊？不难对不对？好，所以根据一弦定律啊。那又因为在什么三角形 d、 c、 b 当中， 我们由一弦定律可以马上测出来， b、 d 的 平方等于多少呢？等于 d、 c 的 平方加上一的平方减去两倍的多少，一乘上一，乘上 cosine 的 一百二十度，对不对？好，所以就等于多少。一加一加上 cosine 一 百二十度等多少？负的二分之一，所以加上一等于多少三？ ok？ b、 d 平方就等三好，所以说 在三角形 a、 d、 b 当中，我们马上就可以写出购物数，是不是可以马上写出购物数啊？ 那个购物数就是 a、 d 的 平方加上 d、 d 的 平方是不等于一的平方，加上刚好三的平方加三，对不对？那它是不是等于四啊？那四是不等于 a、 d 的 平方啊？所以 b、 d 就 垂直于 a、 d。 那又因为 a、 d 在 哪个平面？在面 p a、 d 当中对不对？还有呢？ pa 那 个 p d 也在包含于面 p a、 d， 所以 b、 d 就 垂直于 p a、 d。 哦，那又有什么呢？ p a 包含于 p a， d 可以 得到 b， d 就 垂直于 p a， 问题是不是得到解决了？ ok， 这就这么一个推导分析的过程。

立体几何难，其实超简单！同学们好，今天我们带来的是一道立体几何相关的问题，我们起来读题。 已知正四面体 abcd 的 棱长是一，也说各个边的边长都是一。过 b 点做一个结面，阿勒法分别交这个 ac 于点 e、 ad 于点 f， 并且四面体 abef 这个是现在上面这个面的这个体积是整个四面体 a、 b、 c、 d 大 的的三分之一，第一个为 a、 e、 f 的 一个面积，第二个为 e、 f 的 一个最小值。 嗯，我们先是吧通过题干转换一下 a、 b、 e、 f 这个体积，它可以写成以 b 为底。嗯， a、 e、 f 为底的，而 a、 b、 c、 d 这个体积我们也可以写成以 b 为底， a、 c、 d、 b、 b 为顶点， a、 c、 d 为底，也就是相当于他现在说这个面积 a、 b、 e、 f 是 三分之一倍的 a、 b、 c、 d， 它们俩都是以 b 点为顶点，这个面为底，面都是 b 点到这个面的高，相当高相等，也就是我们能由这推出来三角形。 a、 e、 f 的 这个面积等于三分之一的三角形 a、 c、 d 的 这个面积。 acd 可以 写成二分之一，边长都是一乘乘，一乘，一乘乘以 c 的 这个夹角乘二分之根三，也就相当于是十二分之根三。第一个空是十二分之根三。 接下来我们来看第二个空，它让求 e、 f 的 最小值。我们不妨设 e、 f 为小 a， a， e 为小 b， a、 f 为小 c， 则二分之一。 b 乘 c 乘以 c 呢？六十度等于十二分之根三， 就像 a、 e、 f 的 面积得出来的能得出来 b 乘 c 等于三分之一，然后由 a 方等于 b 方加 c 方减去二， b、 c 乘以 二 bc 乘以 cosine a 就 能得到的是大于等于二 b 二 bc 减去一个二 bc 乘以二分之一，就等于 bc 等于三分之一。当前紧当 啊，用的基本不能是吗？得想当前紧。当 b 等于 c 时取等 b 等 c 时取等号。 所以 a 的 最小值就是三分之一， a 就是 e f 嘛。要是 e f 的 最小值就就啊 a 的 平方最小值三分之一，所以 a 就是 三分之根三，也就是 e f 就是 三分之根三。 好，今天的分享到此结束。

高考题目中的立体几何大题应该怎么做？大家好，我是小李老师，继续今天的分享。今天小李老师想分享一下，呃，高考的前两题，也就是说立体几何应该去怎么做？ 呃，近几年来说，像其他的题目，其他大题多多少少都会有一点改变，像竖列啊，圆锥曲线啊，截三角形，但是例题几何近几年来考的都是都是一样的内容，第一问求的是证明，第二问求的是二面角。那么我们 对于那些数学二三十分的孩子，如果想提分，想下功夫的话，可以着重去研究立体几何大题。因为立体几何大题我们只要会间系求二面角，这个题目大部分就会了， 没有其他的，就第一步要学会间系，第二步能把所有点的坐标写出来，第三步就是去求二面角， 然后第一问，其实我也建议去解析，就不要去思考，不要去证明。嗯，因为节省时间嘛，提升咱们的效率。所以呢，如果大家现在很焦虑的话，不妨去多做一下这个题目。

立体几何大题没有得满分的同学注意了，今天一次性把立体几何大题的所有得分步骤和所有扣分点全部讲透，这节课至少让你多达三到五分！立体几何里头的扣分重灾区一定要记死了！第一个，不写点线线面面面的一个符号关系扣一分，不正明线面垂直而间隙的扣一到三分。第三个，不写公式直接进行计算的扣一分。 第四个，坐标里边如果有算错的，就算后边写对了，也最多只能得一到三分，好吧，最后一个漏写结论的扣一分。 这些小细节一定要注意到，立体几何最少再多拿三到五分！立体几何大题的评分标准我给各位同学已经罗列出来了，第一问，怎么去写，第二问，每步怎么去写。你最近去练立体几何大题，就按这个步骤去写，一步一步去写，把分得满！

立体几何的选填有多少类型？最大值最小值取出来的问题，轨迹问题，内切球外接球问题，翻折问题，旋转问题，哪些类型题还是咱们不会的？那今天我们来看一道立体几何中轨迹问题和最值问题。 如图，圆台的上下底面半径分别五和十，母线 ab 的 长告我们了得，二十。现在从圆台母线 ab 中点 好这个 m， 拉一条绳绕圆台侧面转到点 a， 转回到点 a， 求绳子最短。 好，那我们先来画什么？看到圆台问题啊，我们第一反应是不是都想圆锥啊，然后把它放到圆锥的侧面，展开图里啊， 画一下啊，上顶点，上顶点 o， 左下 a， 中间是 b， 那 么 m 我 们从这边画呗，对不对？这个各位都知道，两点之间线段最短，接下来我们来开始算长度，他说了，上面半径等于五，下面半径等于十， 那就在告诉我们下边等于二十派，好，那对于点 b， 这这块等于十派，又因为 ab 等于二十，所以 ob 等于二十，按照相似比一比二的形式去看的，没问题吧？那么假角呢？按照公式，弧长等于假角乘以半径 好，整个大半径的四十，弧长的二十， pi 等于 r 法乘四十，所以 r 法等于二分之 pi。 那 就在告诉我们顶角角 o 是 一个直角三角形， ok 吧，是个直角。然后再来接下来我们想求 am 的 长度， m 是 中点二十十， 四十，三十，所以 am 的 长度等于五十，根据勾股定律去算算定 am 长度等于五十厘米， ok 吧，那第一问就完事了，重点是这道题的第二问 在绳子最短时，那现在现在是状态呗，求上底面圆周上的点。好，那不就在说 b p 撇上的点吗？到绳子的最短距离，请问这最短距离咋看呢？各位， 这怎么看？那上面是不是延长之后变成了一个圆的形式啊？那 o 是 上面圆的圆心，那其实他在考的是圆上的点到圆外的直线最短距离呗，对不对？那不就是圆心到直线的距离吗？ 好，那咱们看一下吧，圆心到直线的距离，然后把上面的半径二十减掉，即为最短， ok 吧？好，那咱们算一下吧。拿什么算？面积桥呗，四十乘三十就是 o a 乘 o m 等于 am， 五十乘以我们整体的高 h， 所以 h 等于 五，约掉约掉五分之一百二等于二十四，再减去半径，半径的多少，半径等于二十，刚才算的，所以整体最最短距离为二十四，减二十等于四， ok 了吧。好，那今天视频就到到这里。

具体做法呢，分三步，第一步，回归基本概念，用自问自讲加默写的方式过关，先把课本啃干净，每天十来分钟，第一件事就是对着定理自己讲出来，写出来。比如问自己，线面平行怎么正，线面垂直怎么正， 你能讲清楚才叫真会讲不出来，就是概念夹上每天默写一遍，平行四条，垂直四条，判定加性质，把文字语言、符号语言、图形语言都写对。这一步啊，是立体几何不丢分的根。 第二步，画思维导图，把必考题型锁死。例题几何大题呢，三年只考这几类，你把框架呀梳理出来。第一问，考两类，平行线面平行面，面平行垂直，线线垂直垂直。 第二问，考这几种二面角线面角点到面的距离。新高考二卷呢，最常考的是二面角，你把这个思维导图啊画在错题本的第一页，看到平行，要想中位线平行四边形，看到垂直呢？要想勾股等腰 面面垂直推线面垂直，看到球角直接间隙，用法向量框架一清啊，做题就不慌了。那第三步是回归错题，只做溯源复盘。把最近的月考模拟卷的例题，几何错题啊，全都拿出来，只做三件事，第一， 错在哪一步，是概念不会证明跳步坐标写错，还是法向量算错？第二，对应哪个知识点补回去，重新默写定律。第三，同类型的题呢，再做两道，直到不再错。 错题呀，不是用来抄的，是用来堵漏洞的。例题几何错一次就要堵死一个坑。 四步，每天针对性的精练，不搞题海战术。每天咱就练三道题，一道 证明题，练第一问一道间隙求角，主要是练第二，问一道选填主要是关于体积表面积或切接问题。 每道题都要限定时间，只练常考模型，能追十三棱柱啊，折叠问题啊，不求多，一定要做一道会一类。 最后建议每周再给数学加一个现实的综合卷，训练一模前还有三次机会，把握速度，规范，计算准确率。 你要记住啊！立体几何最容易丢分呐！不是不会，是坐标写错法，向量算错证明少写条件，知道常见问题，再针对性练习，上考场啊，就稳了。立体几何不是只靠空间，想象也要靠规范，靠步骤，靠套路。 一毛钱把概念讲清楚，题型锁死，错题复盘，每天精练，每周限时。那这二十分你一定能稳稳拿住！三周复习时间，给大家一些实用的复习建议。

哈喽，同学们好，每天一道数学题，中考高考没问题，咱们今天来看这个高考大题。第二种题型主要立体几何，这种题的话也基本上是可以得满分的一个高考数学大题之一哈。然后的话，它分成了这个几何法 和这个向量法，有坐标，坐标坐标，然后的话如果能看出来，用几何法相对来说证明是比较简单一点的，如果看不出来的话，用坐标去计算 是相对来说就是计算量会大一些，但是他对这个立体几何的空间感要求不是特别高，然后所以这一个用这个间隙坐标， 间隙坐标的话，应该是能够很好的弥补这个空间立体感的这一块的缺陷啊。好的，来看一下题吧。来看二零二五年全国一卷高考难题，如图所示，四棱锥， 然后 p a， b， c、 d， 然后 p a 是 垂直于平面 a、 b， c、 d 的， p a 是 垂直于平面 a、 b、 c、 d 的， 然后 b、 c 平行于 a、 d 的， 然后 a、 b 垂直于 a、 d。 好 的，已知条件，这把图给了啊。平行，然后 p a 垂直于平面，然后 a、 b 垂直于 a、 d， 然后第一位，来看一下第一位，第一位是正平面 p a， b， p a、 b， 这平面 是垂直于平面 p a、 d 的， 垂直于平面 p a、 d 啊，就是这一个左面，垂直于这一个后面啊，这背面。好的，来看下这两个面的关系，然后已知的话，这个 p a 是 垂直于平面 a、 b、 c、 d 的， 所以的话垂直于平面就垂直于平面那个任意直线，所以这个 pa 是 垂直于 a、 b， pa 也是垂直于 a、 d 的 啊，这个是直接可以得出来的，然后它垂直于 pa， 垂直于任意啊，垂直 b， c 也垂直 c， d， 然后如果和这个面相关呢？这个 pa 垂直于 a、 b。 好 的，然后的话又又有这一个本身已知 a、 b 垂直于 a、 d 的 p a 垂直于 ab， 然后 ab 垂直于 ad， 说明什么？什么叫 ab 垂直于 pa 垂直于 ad 啊？就够了啊。然后的话，又因为 垂直于两条相交直线，所以垂直于面，所以这个 ab 啊，又因为这个 a， p a 和这一个 ad 相交在 a 点，相交于 a 点， 所以这个 a、 b 垂直于两条相交直线，它就垂直于面 p d。 然后又因为 a、 b 是 这一个 p a、 b 上的直线，有一条面上的直线垂直于这个平面，那么这两个面互相垂直，直接就这样，所以平面 p d， p a， b 垂直于平面 p d。 好 的，这一个就考察的这一个立体几何里边的这个关系，对吧？立体几何里边的一个线面关系， 他没有给长度的话，是没有办法进行间隙坐标求计算的，所以只能用几何法来证明。好的，咱已经第一位已经证明他是垂直的了，那第二位的话，这个给数了。 p a 等于 ab 等于根二，标一下，根二根二，然后 ab 等于一加根三， bc 等于二， bc 等于二。 p b， c、 d 在 同一个球面上， p， b、 c、 d 四个点在同一个球面上，色球心为 o， 然后第一问，第二题的第一问证明 o 在 平面 a， b， c， d 上， o 在 平面 a， b， c， d 上啊，这肯定需要计算了，对吧？以 a 为圆点， ab 为 x 轴，然后这个 ad 为 y 轴， ap 为 z 轴间隙， 然后的话，这个求圆 o 在 a、 b、 c、 d 上，它肯定就是求圆 o 的 坐标， 求圆 o 的 坐标上，那我要求圆 o 的 坐标的话，这个圆 o 具备什么特点？然后它们在球面上，那么这个球心 o 的 话，肯定是 到 p 点的长度，等于到 b 点的长度，等于到 c 点的长度，等于到 地点程度，对吧？这是一定的。然后这个就是球心所具备的到球面上任意一点都相等，那肯定就是用这个等式了， 然后可以设出球心来。那有一个问题的话，它到这个 bc 和 cd 的 距离相等，特别是它到 bc 的 距离相等，实际上是可以减减算一点的。为什么？因为 b 和 c 这条线这个线段比较特殊，它是平行于外周的， 所以的话，它的垂线到 b 和到 c 点的距离的话，肯定在这个垂直平面上， 在这个垂直平面上啊，在它中垂线这个垂直平面上，所以的话，那这一个可以设，就简单一点，可以设为 x 度 o 点坐标为 e 度 c， 那 它一定在这个平面上，对吧？在这个垂直平面上啊，这个 b c 的 垂直平面上， 好的，可以算一下了，就是这一个的话，这个一得来的话，就是 o b 等 o c， o b 等 o c 的 话，能得出来这个 y 坐标的话，是能得出来，然后再利用其他的来算一下， 然后来写一下坐标，然后这时候这个 a 的 话，肯定是零到零到零圆点嘛，然后这个 b 点坐标的话，是根二到零到零， 然后 c 点 c 点可以不用了，因为已经用了这个 o b 的 o c， 然后这个 d 点 d 点坐标的话，是零豆一加根三豆零， p 点坐标，零豆，零豆根二。 好的，先利用这一个做简单的向量，应该等于啊， o p 向量应该等于负 x 度负一度 n 二减 z， 二减 z， 然后这个 o b， 下面是 n 二减 x 到负一到负 z， 然后还有这个 o b， o b， o d， o d 相等，应该等于负 x 度，根三度负 z。 好 的来 o b 等 o d， 根二减 x 的 平方加负一的平方加负， z 的 平方等于 x 的 平方加根三的平方加负 z 的 平方减没了，就 x 被算，然后二减二，根二， x 加 x 方加一等于 x 方加三，约掉 x 方， 三没了二倍的根二， x 等于零， x 等于零。 那同样的道理可以表示一下。这一个咱用完了啥？用完了 o b 等 o c 了，用完了 o b 等 o d 了，就差这个 o p 的 关系是吧？ o p， o p 和 根二减 z， 根二减 z， 根 o p 的 o d 可以 用 a， o p 等 o d。 我 算一下合照来 o p 等 o d 可以 得到什么？ x 平方加上负一的平方加上 a， 二减 z 的 平方等于负， x 平方 加三加 z 的 平方，能够得到的是， x 方干掉 一，加上二减二倍的根二， z 加 z 方等于三加 z 方， z 方干掉三，干掉孩子。二倍的根二， z 等于零，所以 z 等于零 求出来 x 求出来了， z 求出了 y， y 也是，对吧？ y 是 e， 然后就是用这一个相等关系。相等关系，这主要这个 o b 等 o c 的 话它比较好用，射出来了之后的话，呃，就不用建方阵图了，然后剪完之后就是一个关于 x 或关于 g 的 过程就比较好。这一个能看出来 o b 等 o c 的 话就比较好用啊，还是应用圆心到圆上的距离相等。好的，那这个 o 点坐标的话是求出来的，就是零到一到零， 因为这个 z 等零，所以 o 点在平面儿配比 c d 上算完了。第二问，计算量比较大一点， 就射出圆心来，然后到四个点的距离相等，好的，然后来看一下下一位 这个直线 a c 到与直线 o c 的 夹角啊，垂向量 a c 的 话，之前的时候咱已经把这几个点求出来了，对吧？ o 点第一位求出来的是零，豆一豆零，然后的话这个 c 点 c 点 c 点 c 二，根二，根二一加根三， c 点坐标的话是 根二到二到零，然后这个 p 点坐标 零逗零逗，根二直接写就可以了。那这一个叉位两个的直线夹角应该就是向上夹角的平方对向下加角余弦的平方， a c 乘 p o 比上 a c 的 膜乘 p o 的 膜向量有可能是负的，但是直线加角的余弦只能是正，就这个问题加，别忘了取正就可以了。嗯，好的，直接算就行，然后还是要单独求一下，对吧？然后这个 a c 向量， 那就是根二到二到零，因为 a 是 零到零嘛，然后这个 p o 向量 p o 零斗去减勾负一斗减二，好的，直接可以乘了 负二，因为这全是零了。 x 乘 x 加 y 乘 y 加 z 乘 z， 然后比上 a c 的 长度， a c 的 毛印号下 它的平方加它的平方加它的平方，然后就是根二的平方加上二的平方根六，然后这一个 p o 的 长度零的平方加负一的平方加根二的平方，等于， 你看根二乘啊，根六，根六乘根三等于三倍的 三分之二取正。好的给大家分析一下， 第一位的话，正平面垂直的话，它其实用到的是线面关系，对吧？线面关系，然后的话垂直于平面，就垂直于平面里的两条直线 pa， 然后用利用了这个 pa 垂直于平面，所以 pa 就 垂直于 b a， 然后这个 ab 的 话又垂直于这个 ab， 所以 ab 是 垂直于相交直线，所以 ab 是 垂直于面的， 然后这个 p a b 的 话是属于这一个 p a b 的， 所以的话两个面垂直啊，可以直接导出来两个面垂直，它利利用的就是这个线面关系啊，线面关系， 几何线 d t 几何的线面关系，然后像后边的第二根的话，正常情况下都要用这一个大体的计算，对吧？做坐标，所以这个几何关系加这个间隙，间隙计算 是用来解立体几何的一个比较重要的方法，这是一个咱能够得到满分的一个大体，希望对大家有所帮助。祝大家中考各科成绩再见！

嗨嗨嗨，大家好，我是老谢，我接下来给大家讲一下啊，二零二六啊，高考我们双题一摸，也就是危机摸，就帮你们排查一些危机的一道啊，解析大题。 哎，这道大题呢，我觉得出的挺好的啊，首先第一问就稍微有一点点心啊，我相信呢，同学们应该没问题，主要是第二问，他看第二问这题是不是太乱套了？嗯，给了几条直线，给了多少个点啊， 这时候咋办呢？哎，你知道我的导数吐实的第一句话也是时刻看透有何要？其实你在高考考场上，不管是多陌生的题，你看透有什么要什么， 你比如说咱们倒着看啊，咱们看要什么，是不是看直线 l 二过定点啊，这个直线 l 二是过 m 和点 t 的 一个点啊，那么你知道一条直线过定点，你可以把它写成，比如 y 等于 k， x 加 n 吧， 那你知道要么可以直接求出来 n 等于几，比如说 n 等于二，那它就过零。逗号二，这是初二的知识。要么最后得到 n 和 k 的 一个关联方程，比如说 n 就 等于 k， 那 么这个方程就变成了 y 等于 k， x 加 k， 你 是不是就知道它过 负一零了？所以就是说这道题还没做呢，我们不管条件多复杂，我们就知道， 哎，反正最后我们只要把 l 设出来以后，得到一个 k 和 n 的 一个方程，要么直接求出来 n， 要么求出来 n 和 k 的 一个关联式， 是吧，那就来呗。啊，其实没啥啊， ok， 第一问呢，各位，你们可以简单看一看啊，因为这个椭圆的啊，这样一个面积，就是当点 i 在 这的时候，是不是啊，也就是二分之一乘以二， c 再乘以 b 的 时候 啊，也就是 b 乘以 c 啊，它的面积是四，然后呢，包括它的 f 一 f 二的距离最大的差，哎，就是这个点，到这的时候，这个减这个也就是二， c 就 等于四， c 等于二，很简单就出来了啊，来，咱们看第二问，第二问呢，首先 各位啊，来个往上挪一挪，也就是说我们哎，可以先把 l 二的直线射出来，刚才说了 y 等于 k x 加 n， 我 们就虽然这个条件比较多，咱们一点点的用， 各位啊，咱们一点点用，把这条件都用上，化点化点，答案就出来了啊，但是中间啊，待会会有点困难，我慢慢给你剖析剖析啊。首先呢，各位， 咱们先看一看，然后呢啊，直线 l 二，也就是说和椭圆的焦点是 mt， 咱们可以设 mx 一 y 一 t 是 x 二 y 二，是吧，然后标准的解答形式，然后呢得到解答，包括判别式也要说一下， 然后到这以后呢，各位啊，咱们把前三分算达到了，然后接下来我们就要想办法哎，得到 k 和 n 的 一个关联式， 然后呢，这个时候大家看一看，我们有哪些限制条件呢？是吧？比如说 这里边有个关键 b t n 三点共线，那么咱们就有义务去表示点 n， 对 不对？咱们就得表示点 n 啊，然后表示点 n 的 话呢，哎，各位请看啊，咱们这里边哎，我把这个这个这个图给你们剪下来啊，带着你们一块看啊， 好，咱们一直看着这个图啊，那么大家看一看， 首先 m p， 它首先都在 l e 上啊，大家还记得 l e 的 方程吗？是二分之根号二 x 加 m 啊，然后呢，所以 m 和 p 都在这个上边，所以带进去用上条件，我不管直这个条件，这里边直线有多少有多乱，反正既然点在直线上，就带入呗。 另外呢，因为 p 是 m n 的 中点，各位，所以二倍的 x p 减去 x m 是 不是等于 x x n 啊？二倍的 y p 减去 y m 是 不是等于 y n 呢？哎，所以咱们这样的话呢，把点 n x 横坐标，纵坐标就表示出来了，对不对？好到这有同学可能就迷茫了 啊，这里边我们会发现里边有 k 是 吧，然后呢，还有 m， 还有 n， 乱七八糟啊。对，那么这个时候啊，你看这里边 k 是 吧？ n， 然后 m， 那这个时候我们应该怎么办呢？各位，记住一点，只要你迷茫了，你马上确认，就是说你想干什么，你要什么，你到底要什么？时刻明确有何用 啊？时刻看透有何用啊？各位，然后呢，那么咱们就知道，咱们是要求 k 和 n 的， 所以咱们只需要把 m 给削了。 各位啊，咱们只需要把 m 给消了。哎，你比如说，因为这个点 m 在 l 一 上，同时呢，点 m 还在 l 二上，咱们都会发现，哎， y 等于 y， 所以 这个式子等于这个式子，这样的话， m 就 等于它了 啊，虽然看上去有点长，但是抄就行呗啊，每个字母都挺好抄的，这样的话，我们就把 m 等于这个代入到 y n 里边，把 m 啊，等于，哎，这个带到 y n 里边以后，就变成这个式子了。好，那么最后一步我们就是什么呢？我们就是因为 b t n 三点共线啊， b， t， n 三点共线，然后呢，我们就是，哎，列出来一个最基本的这样一个斜率 是吧？ k b t 等于 k b n 啊，那么这个时候我们就可以接下来整理这个式子就行了，当然这里边呢，这道题锻炼大家的抄写啊，耐心专注的抄写，其实你只要自己不着急，你会发现每个字母都挺好抄的，每个数字都挺好抄的 啊，然后呢，你就抄写，然后整理到一定程度，大家看 x 一 乘以 x， x 一 加 x， 整理成尾答形式了，然后我们就代入尾答， 然后呢，就得到这样一个很长的式子，各位，因为我们这次模拟考试叫微几何，就是想摸摸你的性子，想提高一下你解析的计算的韧性，你看啊，那么这种情况下，我们这么长的式子，你要有耐心的抄，整理完以后，各位，我们呢这道题出的还特别的恶心， 就是你会发现这里边有 n， 有 k， 对 不对？一个二元二次方程，这个时候你可以把 n 当成主元，然后用 k 去表示 n， 然后这样的话呢，因为这个方程咋解啊， 有的时候不好看，这分解因式就可以应用求根公式，先求来判别式，然后用求根公式，然后得出来。哎，这个这个时候有一个很重要的点，你能不能想到前提确认 啊？你要能够写到这来这么麻烦，你还能想到前提确认是吧？因为人家说了 m 和 t 均异于 ab， 也就是说直线 l 二根本不过 a 也不过 b 啊。那么如果你这时候还能想着前提确认，各位，我们这次微积分就是想帮你排除各种危机 啊，那么你会发现，这样的话，等它的时候我们还要想一想，看看是不是过点 b， 所以 这样不行，然后呢， n 等于负四， k 的 时候，它就是 y 等于 k 倍的 x 减四，直线过定点四的号零。各位啊， 那么这道题是不是危机重重啊？第一个看上去这个题直线好多好乱，这个危机老谢是怎么帮你排除的呀？ 不纠结于这个题目有多乱，而就看他不就过定点吗？直线过定点是吧，主要有两种情况，一种是常数项是吧，定值求出来，要么就是他俩之间有关联性 啊。然后呢，我们，哎，设餐啊，设出来现餐以后该往下坐，该往下坐，然后呢，中间又一个危机，这里边有仨字母，各位，我们这个危机啊，这次危机帮你排除，万一有好多个参数，你知道怎么办吗？永远知道， 始终看透啊，就是有何要你要什么，你要得到 k 和 n 的 m 是 个第三者，把它给删了，然后再用 这样一个简单的啊，就是这个三点弓箭，然后我们就化简化，简化简，然后这个式子虽然这么长，但是老谢说那句话了，抄起来并不难呀， 之所以觉得长长是一个纯粹的主观啊，你如果相对于更长的，你还觉得它短呢，所以一定要让自己 突破那种心魔啊。然后呢，到这以后再帮你排除一个危机，如果二元二次方程很麻烦怎么办啊？有的时候就别那死抠分解一式了，你可能看五分钟都抠不出来，你不如直接判别是两分钟搞定了 啊。最后一个危机就是咱们顶级高手才能做到的，写了那么长的式子了， 下边还有两道题，可能导数跟新一还在后面呢，你这时候还能想着再回到题目中看一看有没有什么前提的限制，发现 mt 都异于 ab， 你 然后排除一种情况，你拿满分，你告诉我你厉害不厉害？ 好啦，各位要想在高考前排除各种危机，可以来双题找老谢。

这本高中数学题型全解立体几何篇一共七大章节，包括点线面、平行垂直空间角、洁面、动态球与多面体、空间向量， 覆盖高考立体几何所有考点。全书采用五步分析法，包括审题思路探寻、解析步骤 辨识训练、一题多解，每道例题拆解透彻。书中配有典型例题思路探寻，名师点拨辨识练习，搭配三 d 动画与名师视频讲解，空间想象能力弱也能轻松看懂， 适合高一打基础，高二补缺，高三冲刺，尤其是立体几何总丢分解析没思路的同学。这本书题型全，方法细，步骤规范，自学就能提分，拿下这本立体几何，稳稳提分不绕路，强烈推荐！