胶板相交线与平行线思维导图怎么画

这个视频给大家说一下相交线与平行线里面的辅助线的原理，那么把这个辅助线的原理搞清楚之后，你再去做辅助线，其实怎么做他都可以去做。 那么这里面有六个图啊，其实呢，就两个图啊，就最左边那两个图，那这两个图呢，相信大家也比较熟悉啊，这是我们呃，四个模型中的两个嘛， 一个是拐角形，一个是猪角形，当然还有两个，一个是铅笔形，一个是靴子形嘛， 那这里面的结论我也不说啊，大家都知道，那么大家平时啊，在遇到这两个图形的时候， 所做的辅助线啊，都叫做与拐点做平行啊，都是过一点去做平行的。那其实除了这两种辅助线之外呢，还有另外的两种啊，但这两种呢，它不是与拐点做平行，你比如说，呃，我这个图啊，我是过 d 做 d f 平行 b， 其实这样做也是可以的，那这里呢，给大家简单的证明一下。那我做了 d f 平行 b 之后，第一个呢，有内错角相等，还有同位角相等，这个角 b 等于这个角， 这个字母的话呢，我就定为 p 点啊，另外再利用 a b 跟 c d 平行啊，这个角 a p f 呢， 还等于角 c d f， 所以 这样的话呢，这个角一加角 b 就 等于角 e d f 加角 c d f 就 等于角 c d e 啊，这也是可以证的。 呃，这个图呢，我也说一下啊，第三个图我就不说了，原理是一样的，那这里面我是过 b 点啊，做 b f 平行，第一，交 c d 延长线于 f， 我 做的是 b f 平行第一。 好，那这个怎么证呢？原理也给大家简单解释一下啊，那么做的 b f 平行，呃，第一周第一个呢，有同位角相等， 角 c d 等于角 f， 然后呢， ab 跟 cd 平行嘛，那么角 f 呢，也等于这个角，那这个字母就定为 p 啊，就等于角 abp。 那 么其次啊， 这个 p f 跟 d e 平行，我是做的嘛，那就有一个内错角相等，就这个角 b e d 还等于角 p b， 那这样的话呢，你这个角 a b 加上角 c d 啊，就等于角 a b 加角 a b p 就 等于角 e b p， 而 e b p 呢，它跟这个 b d 是 一个内错角的关系吗？结合平行的话，它是相等的啊，所以这样也可以整 好。那这样的话呢，其实我们辅助线的话，就不是非要与拐点去做平行的，对吧？但其实呢，这些辅助线它的原理啊，基本上是一样的， 所以接下来我们把，呃，这两个图吗，每个图对应的三种辅助线做法，那么他的原理或者我们在做的时候呢，他的一个相同点，把他给总结出来，那这样的话，你就搞清楚这个题，我到底怎么去做辅助线啊，这样这样这样做，他都是可以做的。 那么我们做辅助线啊，一般呢是做平行，那做平行呢，其实第一个目的呢，是为了去构造三线八角啊，就是有两个平行线 加一个接线，当然三线八角的话呢，这两个线它不一定是平行的，对不对？但其实我们在做题的时候呢，一般这两条线是平行的嘛，所以有两个平行线加一条斜线， 所以你看第一个，我做 e f 的 话呢， e f 跟 ab 平行， b 一 是结线啊，有一个三线八角， e f 跟 cd 平行，第一是结线，也有个三线八角啊。第二个图也是一样啊， b 一 跟 d f 平行得一是一个结线， 这个 ab 跟 cd 平行， pd 是 一个结线嘛？这下面也一样啊，这个 p f 跟 d 一 平行， b、 d 是 结线， a、 b、 c、 d 平行， b、 f 是 角线，所以我们做的辅助线都是为了去构造这个三线八角，因为只有三线八角，它才会带来同位角、内错角以及同旁内角的关系，才能实现角的转移。那为什么要实现角的转移呢？ 因为我们要去证明角的一个数量关系啊，不管是角的和差关系啊，还是这个辈分关系啊，都是角的关系。那么角的关系呢？目前在七年级，他只有共顶点就角共顶点，他才能会有 和差以及辈分关系。当然到了八年级，你学了三角形的内角和定角性质，对吧？那么共形也会产生角的一个数量关系。 所以呢，我们构造三线八角的目的呢，都是将角转移至共顶点。你比如说啊，我们第一个结论是证明这个 c 角 c、 d 等于角 a、 b 加上角 d、 b， 那 么角的顶点分别是 d 点、 b 点，还有这个 e 点，可以显然 d、 b 一 不是同一个顶点吗？所以我们做俯卧撑的目的呢，都是将这个 b 点、 d 点以及 e 点呢，转移至同一个点。那第一个图我们是过呃过一做 e、 f 对 吧？平行 ab 和 cd 吧。那么我们就是将角 c、 d 和角 ab 转移到 e 点， 你看 e、 f 跟 ab 平行之后呢，这个角 ab 就 等于角 b、 e、 f 了，所以这个角 b 的 顶点 b 就 转移到 角 b、 e、 f 的 顶点一出来了，同样的，这个角 c、 d 等于角 d、 e、 f 嘛，对吧？这两个角相等，你看这个角 c、 d、 e 的 顶点 d 是 不是也转移到 e 点出来了？ 所以你看，我们可以把角 b、 角 d 的 顶点转移到一点，那我能不能把角 d 和角 e 的 顶点转移到这个 b 点呢？能不能转移到 d 点呢？也可以，所以我过 d 做平行，就是把角 e 和角 b 的 顶点转移到 d 点来， 对吧？你看我做 d、 f、 p 行吗？这个角 e 就 等于角 e、 d、 f 是 不是转移到低点来了？那么角 b 等于角 a、 b、 p 又等于角 c、 d、 f 是 不是也转移到低点了？又转移到同一个低点之后，我就能实现角的一个， 呃，和差辈分关系了啊。那第三个图，我过 b 做 b 型，就是要把角一和角 d 的 顶点转移到 b 点处啊，实现一个角的和差关系，那下面的原理跟上面的也是一样的。 所以最后我们来总结一下，就是我们，呃，下限平线里面我们去做辅助线啊，你的目的是干嘛呢？第一个去勾到三千八角，第二个呢，一定是将角转移至共零点，才能实现这个角的和差辈分关系。 那么，呃，你要把角往哪个点处去转，对吧？就过哪个点去做平行。 那这个地方，也就是说你过这个地点怎么做平行呢？你比如说你想把这个角 b 转移到 这个地点出来，对吧？那你过 d 做平做这个角 b 的 一边的平行，那么角 b 的 一边一个是 ab， 一个是 e、 b 嘛？那么 ab 很 显然跟 c、 d 平行的嘛，你只要过 d 做另外一个边的平行就行了 啊。所以这就是我们啊，象牙线与平线里面的辅助线的一个基本原理啊，希望对大家呢有所帮助。

到底有多少同学还不懂猪蹄模型啊，那么什么意思啊？在数学平行线与相交线这一章节呢？猪蹄模型是一个热门的考点， 考试必出，那么因因长相似猪蹄，因此而得名猪蹄模型。那么遇见猪蹄模型，大家牢记一个万能公式，考试直接稳拿分，那么我们来看哈，猪蹄 突出的部分，突出的部分和凹进去的部分，他们是有一个等量关系的，叫 突出部分，角度是和，等于凹进去部分，角度是和，所以说这两个模型我们来看啊，凹进去部分是不是角 e 啊，所以说角 e， 他 就等于突出部分，所有角的角度是和， 突出部分在这个图里是不是一个角 b 和一个角 d， 对 不对？所以说他就等于角 b 加角 d， 那么这个关系式啊，很关键，大家一定一定要去记好，任何时候我们考到出这个公式，直接想这个公式就可以了，突出的部分等于凹进去部分，所有角度相加之和啊，他们是等量关系，那么我们再来看啊，为什么？那么这里涉及到一个画辅注线， 大家记好，猪蹄模型有两种辅助线画法，第一种就是说我通过一点怎么样，我做一条平行于 ab 和 cd 的 个这样的一个直线，这个 e f， 那 么我来看角 b， 这个角是不等于角一啊，那么角 d， 这个角是不等于角二， 所以说角 b 加角 d 是 不是等于角一，加角二正好是角一吧，满足它吧。那么第二种遇见猪蹄模型辅助线的画法，还有一种就什么我可以这样斜着画延长过来啊，交于点 g， 也可以把 e d 反向延长交于这个点啊，都可以。那么再来看，因为 ab 平行 c d 是 不是角 b 就 等于角一啊，对不对？ 好，那么这个角我们称为角二，那么角二是不是三角形 e g d 的 外角啊， 对不对？三角形外角等于与它不相邻两个内角的和，所以角二等于角一等于角 b， 所以 角二就等于角 b 加角 d 吧，那么这个式子依然成立。好了，那么万能解法很简单，所以说啊，大家以后碰到这种猪蹄模模型啊，一定要万般开心。

hello， 大家好，今天我们来讲一个相建于平行线的高频考点，总共有十二类，那么对于这种高频考点的话呢，难度并不是说特别大 啊，比较适合于中等级中等偏下的同学啊，但是对于啊优等生来说的话呢，对于这些高频考点是必须百分百的要掌握住的，那么由于这部分的高频考点啊比较多，所以呢，我们共分为三讲来去讲。 首先我们来看那十二类的啊高频考点，第一个呢是利用对零角和零补角去求啊度数，那么这个里需要强调的是，对零角和零补角呢，都是一些隐含的条件， 也就是需要大家呢通过图形去看 哪些是对顶角，哪些是零步脚，所以呢，对于这部分来说的话呢，刚开始学几何的同学呢啊，非常容易掉到坑里面啊，找不准什么是对顶角和零步脚 好类型二呢，就是三线八角，尤其是平行线的三线八角类型三啊，点到直线的距离类型四呢是垂线段。今天我们来讲前四角，前四个类型题 好，第一个类型呢是利用对零角和零步角去求啊度数，我们来看第一个题，直线 ab 和 cd 呢，相交于点 o， 若角一等于七十度，角二等于三十度，角二等于三十度，求角 c o e 的 啊度数， 那么因为在这里角一是七十度，很容易呢，我们就可以找到它的对角是 aoc， 那 么角 aoc 呢，就是七十度，那么要想求这个角 c o e 呢， 那么就用角 a o c 减去角二就行了，那么这里也是用到了角的和差辈分， 因此来说呢，首先因为角一与角 a o c 等于角一等于七十度，又因为 这个角 a、 o c 等于角二加角 c o e， 所以呢，角二那有已知条件呢，是三十度，所以角 c、 o e 就 等于七十度，减去三十度等于四十度。 那么这个就是需要通过这个图去找到他的对顶角和零度角，所以呢，在这里一定要去会看这个图，找到他的引含的条件。 然后第二题，已知直线 ab 和 cd 呢，相交于点 o o c 呢，是平分角 b o e 了，那么角 a o e 等于四十度， 那么我们看一看，前边告诉你的是平分角 b o e， 因此呢，通过这个四十度，我们就可以把 e o b 求出来，因为角 e、 o b 呢，就是一百四十度。 那么注意边分析这个题目，边去把一些条件的结论啊找出来，那么求的是角 a、 o d 的 度数，角 a o d， 那 么角 a o d 呢和角 b o c 呢，就是对顶角，因此这个是七十度，这个呢，也就是七十度， 所以我们看一下过程，因为角 a、 o e 等于四十度，且角 a o e 和角 e o b 呢，是互为零步角的，所以很容易去求出来。角 b o e 等于一百四十度，因因为 o c 呢平分角 b o e， 所以 角 c o d 就 等于二分之一，角 b o e 等于七十度， 那么再加上这两个角 a o d 和角 c o d 呢，是互为对等角的，所以角 a o d 就 等于角 c o b 等于七十度。 那么同样这个题目呢，也是用既用到了零步角，又用到了对零角，那么这个就是啊高频考点的类型一 啊，利用对对零角和零步角去求这个度数，那么注意要学会去看图，再次强调一遍，看图好，我们来看类型二，这个类型二呢，主要是存在三线八角的判断， 通常出的就是选择题或者是填空题，那么注意呢，同旁内角，同位角，这个呢，三线八角不单单是平行线，那么相交的线也是可以的，只要说是有两条直线被第三条直线所截， 那么抓住这一句话，只要是两条直线被第三条线所截的这个位置都是构成了这八个角， 那么如图，角 b 的 同旁内角，注意是同旁内角，角 b 呢，注意是两条线，一条线是 bc， 一 条线是 ab， 所以 一定要围绕着 ab 和 bc 去看。 首先是在 ab 的 同旁的话，那么角 b a， c 就是 同旁的，还有角 b a， e 也是同旁的，然后再去围绕着 bc， 同旁的话， bc 同旁的话呢，就是这个角 c， 所以 在这里与角 b 是 同旁内角的，应该是由角 bc 和角 c 一 共是三个，所以答案选的应该是啊 c， 这里呢，就是说两条线，一个是 ab， 一个是 bc， 那 么 d 这条线和 bc 呢，就是这两条线被 ab 所截， 而 ab 和 ac 呢，这两条线也可以被 bc 所截，所以呢，就构成了不同位置的同旁内角。 同样的道理，我们来看第二个角一的同位角，首先角一的构成，一个是直线 ab， 一个是直线 ef， 所以呢，我们就抓住这两条线，首先呢， ef 肯定是截 ab 的， 然后我们来再来看截另外一条线段，截另外一条线段的截 cd 的 话，与角一是同位的话，应该就是角 e m d 或者就是 d m e 这个 这是一个。另外还有一条线呢，是 m n 啊，这个 m n 呢，是最容易忽略掉的， m n 被这条线，那么这条线所截出来呢，就是角二，角二和角一就是同一角，所以呢，答案应该选的是 b， 这个是三线八角的判断，一定要注意，就是根据它的概念去判断它的构成，就是这样两条直线被第三条直线所截好，这个是类型二， 接下来是类型三，点到直线的距离，这样一个概念啊，这个呢，很容易刚开始学的时候出现错误， 那么如果说你判断上错误，你最终去求值的时候，那么也就错误了，一定要根据他的定义，点到直线的距离，也就是直线外一点， 过直线外一点去做这条直线的垂线段，那么这个垂线段呢，就是点 a 点到直线的这个距离。我们来看第一个题，如图，点 ad 在 直线 m 上， 点 bc 呢，在直线 n n 上， abab 垂直于 nac 垂直于 m， 这个是垂直的，还有 bd b d 垂直于 m。 问，点 a 到直线 b、 d 的 距离，注意我们要找好啊，是找到 b d 的 距离，因此呢，就需要过点 a 去做 ad 这条直线的一个垂线，那么因为 b d 垂直于 m， 所以 ad 就 垂直于 b d， 那 么垂直的话呢，又经过这个点 a， 所以线段 a d 的 长度就是点 a 到直线 b d 的 距离，所以答案应该选的是 a， 那 么对于这里的垂线段，一定要判断清楚的啊，那么不容易判断的是第二个这种题目呢，尤其是涉及到三角形高的时候， 非常非常容易出现错误，尤其是有一些啊中等程度的同学啊啊，这个很容易去忽略这这一部分的概念， 没有通过这个图形去看，更没有去抓住这个概念的本质，也就是它定义的本质一定是垂线段，垂线段点到直线的距离，那么所以对于线段 a、 d 的 长度呢，表示啊点 a 到 b、 c 的 距离， 那么就 a、 b、 c、 d 这四个选项里边，线段 a、 d， 我 们也就是说过点 a 去做 b、 c 的 垂线， 那么点选项 a 的 话呢，是过点 a 做了谁的垂线呢？是做 b a 的 垂线了，应该我们是做 bc 的 垂线，过点 a 去做这个垂线，那么这个才是点 a 到 bc 的 距离，所以 a 呢，是错误的。 选项 b 过点 a 做 bc 的 距离，过点 a 是 做 bc 的 距离，那这里呢是 b、 d 的 距离，那这个肯定也是错的。那么就这个图形上来说，做 bc 的 垂线的话呢，应该是过点 a 去做 a， e 垂直于直线， bc 啊交线段 bc 的 延长线于点 e， 垂足就是 e， 那 么这个段 a、 e 呢，才是表示的图选项 b 的 点 a 到 bc 的 距离，所以这个也是错误的。 弦线 c 过点 a 做啊做 b、 c 的 垂线，注意这里给到的垂直符号是 d， a 垂直于 ab 了，那么这个肯定也就是错误的，应该必须是垂直于 bc 的， 也就是过点 a 去做 bc 的 垂线，那么这里做的是 ab 的 垂线，因此 c 也是错误的。那么答案 d 的 话呢，就是过点 a 去做 bc 的 垂线，那么在这里是垂垂线。交线段 bc 的 延长线与点 d， 也就是垂足式 d， 所以呢答案 d 是 对的， 所以对于这个第四个图形来说，这个是个重要的一个知识点，尤其是以后我们在学习三角形的高以及做垂线的时候，求垂线段的距离是非常啊，容易考到一个知识点。 好，接下来我们看类型四，类型四呢，就是这个垂线段，我们来看垂线段的定义啊，过直线外一点，一定是过直线外一点，做 已知直线的垂线，点到垂足之间的线段，注意，是点到垂足之间的线段，我们称为是垂线段，那么他的重要的性质呢，就是简单的说就是垂线段最短， 那么直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。那么根据这些定义呢，去判断下列说法，正确的是个数有几个？ 第一个，两点之间所有的连线中线段最短，那么当然这个是对的啊，两点之间线段最短。 第二，在同一个平面内过一点，尤其只有一条直线与一只直线垂直，那么在这里只要是一个，呃，同一平面内的，不管这个点点 o 啊，是在这个直线上的，还是在这个直线外的，只有一条 直线与一只直线垂直的啊，所以这个是正确的。第三，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中啊，垂线段啊最短。 好，第四个，直线外一点到这条直线的垂线呢啊，我们称为是线段的这个距离啊，这个是也是对的啊，所以呢，正确答案应该是选 a， 有 四个选项。好，接下来我们看啊。第二题，垂线段的一个计算的东西， 已知直线 ab 与 c d 呢，相交于点， o o m， o m 垂直于 ab， 角一和角二是相等的，求角 n o d 的 度数， n o d 的 度数，我们来看一看怎么去求 n o d。 首先呢，题中的条件呢，是 o m 垂直于 ab， 那 么也就是这个角是九十度，那么 它的零步角，也就是九十度。角一和角二相等的，角一和角二相等，那么这个角是角三的话，那么角一加角三就应该等于九十度。 角一和角二相等的话，那么角二加角三我们也可以推出来啊，也是等于九十度，也就是角 c、 o、 n 应该等于九十度， 而这里的角 n、 o、 d 呢，它和角 c、 o、 n 刚好就构成了一个平角，也就是邻布角，所以呢，这个角 n、 o、 d 也就等于九十度。这个是第一问，来看一下这个过程。 因为 o m 垂直与 ab， 先说是因为垂直，然后它是九十度，也就是垂直的定义，所以角一加角 a、 o、 c 就 等于九十度 啊，九十度，那么是零步角，因为角一等于角二，所以呢，角二加角 a、 o、 c 也就是九十度，因此角 c、 o、 n 就是 九十度，所以角 n、 o、 d 就 应该应该等于一百八十度。减去角 c、 o、 n 是 零步角的一个概念。 好第二问，若角 a、 o、 d 等于三倍的角一，角 a、 o、 d 等于三倍的角一，既然是三倍的角一的话呢，也就是三倍的角二，三倍的角二，而这里的角 n、 o、 d 呢，是等于九十度的， 那么既然是三倍的角二的话，那么这个角 a、 o、 d 中，这个角 n、 o、 d 呢，就占了两份，所以九十度呢，去除以二，也就是每份呢就是四十五度，那么所以角二和角一就是四十五度， 那么这里呢，也可以大家可以去用这个方程的思想去做，那么这里呢，直接去求，因为角 a、 o、 d 等于三倍的角一，所以呢，角 b o m b o m 这一个啊，就等于二倍的这个角一， 所以呢，求出来角一等于角二，都等于四十五度。进而呢，还可以去求出来角 aoc 等于 a o m 是 九十度，减去角一就等于九十度，减去四十五度， 因此也是四十五度。这是先去求角 a o c， 然后求的是角 m o d 的 这个度数， m o d 呢，是等于角 m o b 加上角 b o d， 而这个角 b o d 和角 a o c 呢，是对顶角，因此这个角也是四十五度，那么这里呢，就是对顶角的一个概念， 所以呢，是四十五度加上九十度，也就是一百三十五度。那么这个题目来说呢，就利用到了啊，垂直的定义， 还有啊，对零角，零度角等等这样一些求角的一个度数啊，这个都是高频考点中必考的内容，不管是期中考试还是期末考试啊，都是必考的 好。关于啊，相交线与平行线的十二大类的高频考点啊，第一讲我们就讲到这里，后续我们会讲第二讲和第三讲。好，谢谢大家。

香蕉线与平行线的复习没时间细坑，知识点太杂，抓不住核心。今天这个视频全章浓缩复习，只讲十五个必考题型，覆盖香蕉线、平行线、平移三大模块， 从基础到压轴，一站式梳理，帮你在短时间内吃透重点，高效完成复习。需要电子版刷题的可以免费分享。话不多说，我们直接开始 相交线与平行线这一招，我们主要学了三个内容，其中最重要的就是平行线这个知识点，尤其是它的性质，还有它的判定。当然其他的这些知识点我们也一定要非常熟练。下面看第一个内容，相交线，这里我们首先学了两线四角，两条线相交形成的四个角， 它包含了对顶角还有零补角，那对顶角的性质呢，就是对顶角相等，零补角呢，就是他们俩加起来是一百八十度。第二个内容呢，我们学了垂直的定义， 两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，那么这两条直线就是垂直的垂线。这里我们还要知道这样一句话，在同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，这个是垂线， 那另外一个概念就是垂线段。首先看一下什么叫做垂线段呢？假如这是一个直线 l 外面有一个点 p， 过点 p， 我 们做一条垂线出来，假如这里是 o， 那 p o 这一个线段呢？它就叫做垂线段。另外垂线段有一个性质，那就是垂线段最短，经过点 p， 你 会连出来很多条线，那这些所有的线段中，只有这一个垂线段，它是最短的。下面一个知识点呢，就是点到直线的距离， 那这里他考察的是这三个字。垂线段的长度叫做点到直线 l 的 距离，它是 p、 o 的 长度，一定要加上这个字。 如果你说 p、 o 是 点到直线的距离，那就不对，因为 p、 o 它是一个垂线段，距离呢，它应该是一个长度，所以你要加上这三个字。下面一个知识点呢，就是三线八角。这里我们可以用字母快速的记忆。同位角呢，你可以用英文字母 f 来记忆。 内错角呢，它就是 z 或者是 n 同胞内角，它类似于这样的一个 c 或者是一个 u， 这个是三线八角。下面我们做题理解一下。第一种题型呢，它考察的是对顶角。这道题说两条直线相交于点， o、 o、 a 平分， e、 o、 c， 这是 o、 a 平分这个角，所以它们俩相等。 第一小问，如果 e、 o、 c 等于八十六度，这个角是八十六度，那他们俩相等。你可以求出来，这里应该是四十三度，他让你求 b、 o、 d 的 度数， b、 o、 d 在 图里看一下，他就是这么一个角，所以你直接利用对顶角，他是四十三度，所以他也是四十三度。这里第一问应该很好算，因为 o、 a 是 一个角平分线， 并且他告诉你 e、 o、 c 是 等于八十六度，所以这个角呢，就是他的一半角。 a、 o、 c 等于二分之一的角， e、 o、 c 算一下，他就是四十三度。 又因为 b、 o、 d 它们俩是对顶角，所以角 b、 o、 d 等于角， a、 o、 c 等于四十三度。再看下面第二小问，若它们俩的比值是四比五，求 b、 o、 d 的 度数。这里 e、 o、 c 看一下，那就是这个角它占了四份， e、 o、 d 呢，占了五份。知道它们俩的比例关系，我们可以设未知数，计算方便一点。假如你设它是四 x， 那 它就是五 x， 这两个角加起来，你发现刚好是一个平角，一百八十度，所以九个 x 等于一百八 x 解出来它就是二十度。所以你计算完你这个角，算出来应该是八十度。现在让你求 b、 o、 d 的 度数，它还是这个角啊，所以这里是四十，这里是四十，那对顶角它还是等于四十度。 因为题目告诉你这么一个比值，所以你就设一下，设它是等于四 x， 另外这个角它就是五 x， 那 它们俩的和加起来刚好就是一百八十度啊。所以你这个 x 解一下， x 应该是等于二十度，所以这一个 e、 o、 c 呢？它应该是等于八十度。又因为题目有个条件，它是角平分线，所以这个角 a、 o、 c 啊， 等于二分之一的 e、 o、 c 等于四十度，所以最后的角 b、 o、 d， 它就是四十度。这里用的就是对顶角相等，这类题还是比较简单的计算就行了。下面再看这道题，他考察的是对顶角的概念。对顶角呢，它是有一个公共顶点，角的两边是互为反向延长线的，所以这里你直接选 c。 对顶角就有点类似于剪刀。下面看第二种题型，用垂直来求角度。这道题说 o、 a 垂直于 o、 c， 它们俩的比值是四比五，求 b、 o、 c 的 度数。 这有点类似于我们刚刚做的题，但是这里是没有图的，需要你自己画图做这种题呢，你一定要小心了，因为它是无图题，无图题呢，它就有可能有多个解。我们先把这个 o a 垂直 oc 画一下，假如这里是 o， 那 这个是 a， 这个是 c， 它们俩是垂直关系， a o b 比上 a o c 等于四比五， 那这里你 aoc 你 是知道的呀，它刚好就是九十度，那这里九十度，你是占了五份，那这个 aob 呢？它有四份，所以你这个 aob 你 可以怎么画呢？它要小一点，所以 b 有 可能在这里。这里我们可以口算一下 aoc， 它是九十度，九十度占了五份，那一份你可以算出来 一份应该是等于多少？九十除以五，一份应该是等于十八，它占了四份呢？那就是拿十八乘以四等于七十二度， 所以这种情况下，它是等于七十二度的。题目问你 boc， 那 boc 就是 这个角九十度减去七十二度，那这个角就是十八度。那另外一种情况大家可以想一下，你可以怎么画呢？这个 aob 你 刚刚算出来它是七十二度， 那这个 b 点它也有可能在这里，所以这道题它是有坑的。这个 b 的 位置你是不确定的，它有可能是在 aoc 的 这个内部， 也有可能在他的外部。如果是这种情况，他是等于七十二度。现在问你 boc 的 度数，那 boc 就是 这么一个角，这种情况呢，就是九十度加上七十二度， 一百六十二度，刚刚是九十度，减去七十二度等于十八度。所以这道题他是有两个答案。做无图题的时候一定要考虑全面。下面我们再看一道变式，那这道题应该简单了，他告诉你角一等于十二度， 这里是十二度，这里有个垂直，所以你这个可以求出来九十度减去十二度，你这个应该是七十八度。题目说这三点是共线的，问你角二的度数，用一百八十度去掉这个就可以了，所以你计算一下，他应该就是一百零二度。 这道题很简单，下面再看第三种题型，就是垂线的画法。这道题它的问题是同学们在练习过点 b 做线段 a、 c 的 垂线。 他问，请你数一数错误的个数有几个？这里就有点类似于一个钝角三角形，让你做他的高，所以你这个应该是正确的。其他的呢？这个你肯定不对， 他都不是垂直的。这个呢，他是没有经过点 b 啊，你的 b 点在这里，没有经过点 b， 这一个呢？你经过点 b， 你 是要做 a、 c 的 垂线，你要与他垂直，所以他也不对， 所以这里错误的有三个。正确的就是这个，这个一定要学会啊，钝角三角形做高。下面再看这个变式，让你用三角板来做垂线，他问正确的是哪个？ 那首先他们俩肯定不对，你这三角板放的都歪了。题目让你是过点批做垂线，这里呢，他没有经过点批，所以你正确的只有第一个，他刚好是经过了点批，做了一个垂线。接着看后面第四种题型，利用垂线和垂线段的性质来解题。这道题他问你，下列说法正确的是 a 选项过线段外一点，不一定能做出他的垂线。我们刚刚说了有这样一句话，过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，所以这里 a 选项肯定不对。你经过线段外一点，你一定可以做出来一条垂线，我们可以随便画一下，他说线段，我们随便画一个线段 外面的一点，假如说你这里有个点 p， 那 你要做他的垂线，你只能怎么办？只能把它延长，然后从 p 点做一个垂直下来， 那这个就是垂直的 b 选项。过直线 m y 一 点 a 和直线 m 上的一点 b， 可以 画一条直线与 m 垂直。这个 b 选项呢？它不一定 过直线 m y 的 一点，画一个直线，这个是 m， 它的外面有一点 a， 假如说 a 在 这里和直线 m 上的一点，假如说你 m 上随便取一个点，这是点 b， 经过这两个点， a 和 b 可以 画一条直线与它垂直，这种情况下你画不出来垂直。 如果你想让它垂直，那你这个 b 点应该刚好在这里才行。只有当 a 点， b 点还有这个垂足，他们三点共线的时候，你才可以画出来，所以这个不一定。 c 选项 只能过直线外一点，画一条直线和这条直线垂直，这里说必须是过直线外。你也可以随便举一个反例，假如说这是一条直线， 你在它的上面随便取一个点，假如说是 q 点，你过这个点 q， 你 也是可以做出一个垂线的，所以他说只能过直线外一点，你这个点在直线上也可以。所以这道题正确呢，就是最后一个过任意一点，均可以做一条直线的垂线。这道题考察的是我们对概念的理解， 那下面看这一个，便是这道题说体育课上测立定跳远成绩的示意图，如图所示，他说 p n 为这个同学的跳远成绩，他的依据是什么？这个是起跳线，那么你现在站在起跳线上，现在开始跳远，假如说你跳到这里， 你的脚呢？落在了这个位置，这个成绩就是测量你的脚后跟到这个起跳线这一段的长度，这里一定要垂直，为什么呢？他的依据就是垂线段最短，这个跳远的成绩测的是这一个垂线段的长度。下面再看一个，便是这道题，他考察的是点到直线的距离， 它告诉你几个长度关系， m a 是 等于五厘米，这一段是五，这个呢是等于四厘米，这个等于二，这个等于三厘米。现在问的是点 m 到直线 l 的 距离，点到直线的距离，这个是点，这个是直线。 你可以在图里画出来点 m， 那 这是一个点直线 l， 你 把它画出来，它是这样一条直线，点到直线的距离是这一个垂线段的长度，所以它的长度就是两厘米， 就是这一个 mc 的 长度。接着往后面看第五种题型，三线八角在英文字母中存在这些角，它的问题是，下列字母中含同旁内角最多的是哪个？这个同旁内角是有点类似于什么？有点类似于 c 或者是 u。 我 们在图里看一下，这一个字母，它同旁内角有几个呢？首先我们可以随便写一下，那这呢是一组同旁内角，所以你可以这么写， 他们俩呢是一组。另外这样呢，也是一组同胞内角，所以这已经是两组了。下面第三组，你可以这样写，他们俩是一组同胞内角，所以现在已经是三组了。最后一组呢，你可以在这里，这是第四组同胞内角，所以这个图里面有四组同胞内角 b 选项，这个图里面你只能找到这样一组，所以他的同胞内角只能有一组 c 选项呢？你好像找不到这样一个 c 或者是 u 字形的，所以他这里面是零组。 最后这一个呢，你也找不到，所以这里存在同旁内角最多的，那就是 a 选项，他这里总共含有四组同旁内角。这里考察的是三线八角的识别，下面看一道辨识。这里问的是角一和角二是哪两条直线被谁所截得到的什么角？ 做这种题呢，你就描边就可以了，角一的两条边是这里，角二的两条边他是这里，那他们的公共边他就是截线， 那这两条呢，就是被截的直线，所以是这个直线 a， 直线 c 被谁截了呢？被这一个直线 d 截了，所以是直线 a 与直线 c 被直线 d 所截得到的内错角。下面他又问了角一的内错角总共有几个 内错角呢？有点类似于这种，所以在图里找一下。刚刚我们的角一和角二，它就是一组内错角，那除了这个角二， 他的内错角还有这么一个角，这个角呢，也是他的内错角，所以角一的内错角应该是有两个的。最后他问的是角三的同位角，同位角呢，有点类似于这样，你在图里看一下角三，在这里把它的边描出来， 那这里呢，有点类似于 f， 所以 这个是它的同位角。除了这个角，角三的同位角，那还有这个，它也是类似于一个 f， 所以 这个角呢，也是它的同位角。其他的，你在图里看一下，这里它也是一个同位角，所以这是第三个， 把他的边都描出来，你就看出来了，所以现在已经找了三个了，那最后一个也很容易看，这一个角也是他的同位角，所以角三的同位角应该是有四个的，这个三线八角的识别一定要仔细找，你描边就可以了。下面再看第六种题型，就是相交线的规律探讨。 这道题说两条直线相交有一个交点，三条直线相交最多啊，最多有三个交点，怎么样才能最多呢？你第三条直线你只能这么画， 这样子话他会与之前的两条直线都有交点，所以你在前面的基础上，你会多出来两个交点，所以他就是三个交点。现在四条直线相交，最多有六个交点。这里的第四条直线，你要想让交点个数最多，那肯定是与前面的三条都相交， 与他们三条都相交，你就会多出来三个交点，所以你就在这个的基础上又多了三个交点，那就是多了这三个，所以把规律整理一下，这种情况是一个交点，这种情况呢？交点个数是三个， 你可以写成一加二，就是我们刚刚画的这种情况，你会多出来两个交点，这种情况你是有六个交点，你可以写成一加二加三，就是在上一个的基础上又多出来了三个交点，就是与他们每一个都相交。现在我们先求一下 n 条直线相交， 它的交点个数应该是一加二加三，算一下应该是加到几四条的时候，你是加到三，三条的时候加到了二，所以 n 条的时候应该加到 n 减一， 这个数应该是 n 减一，把它计算一下，用等差数列求和公式，首项加上尾项，它们俩加起来就是 n 乘以项数，总共有 n， 减一项再除以二，所以 n 条直线相交，它交点的个数最多就是有这么多。现在题目说 n 条直线相交，交点最多有二十八个，求 n 的 值，直接把公式带进去运算，交点的个数等于二十八个， 把它解一下，它应该是等于五十六，这里你算一下七八五十六，所以这个 n 你 很容易解出来， n 应该是等于八的，所以这里 n 的 值它就是八条，这个规律你可以记一下啊， n 条直线相交，交点个数最多有这么多个，你遇到选择填空，你可以直接用下面第二部分内容，就是平行线 最重要的就是他的判定，判定我们都学过了啊，同位角相等，内错角相等，还有同旁内角互补，两直线平行。除了这些之外呢，还有这么两条，这个就是平行线的传递线， 两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行，这是平行线的传递线。最后一个呢，就是垂直于同一条直线的，两直线平行，他们俩都垂直于同一条直线， 所以判定两直线平行，你总共有这五种思路。下面平行线的性质，那这些就简单了，总共是这样三句话，两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互驳。这里的判定和性质千万不要搞混， 判定是给你两条直线，让你证明他俩是平行关系，而这个性质呢，是告诉你了，这两条直线是平行的，那么你可以得到结论就是同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。下面我们可以做题理解一下。首先就是平行线的画法。 这个第一小问，让你过点 a， 画 l 二的垂线段 ab 过点 a， 这是点 a 画 l 二的垂线，这个是 l 二，所以你直接错个垂线过去就行了，那这一个就是垂线段，这里就是 b。 点画完了之后，我们再写一下，如图所示。 第二小问，他让你过点 a 画直线 a、 c 垂直于 l 一， 这个是点 a， 过点 a 画谁呢？画 a、 c 垂直于 l 一， 这个是 l 一， 那你的垂直你只能这么画了，经过这个点 a， 所以 这个就是 a、 c， 这个地方呢，它就是 c 点写一下，如图所示。下面第三问，他让你过点 a 画直线 a、 d 平行于 l 二， 也是经过点 a 平行 l 二平行于它，所以你只能这么画，这个就是直线 a、 d。 最后再把这个如图所示写一下，最后一问，他说 ab 等于十二，你在图里看一下，这个是十二， ac 等于十三，这一段等于十三，则点 a 到直线 l 二的距离，他考察的是点到直线的距离。 点 a， 你 在图里看一下，它是这样一个点到直线 l 二，直线 l 二是这条直线点到直线的距离，应该是这么一个垂线段的长度，所以这一个长度等于十二，所以这个距离它就是十二，这个是平行线的画法。下面再看一个选择题， 这里让你用三角尺来画平行线，他问正确的顺序应该是哪个，他告诉你四个步骤，看一下 a、 b、 c、 d， 那 这里你发现都是四开头，所以第一步肯定是这个做直线 ab， 并用三角尺的一条边贴住直线 ab， 我 们可以画一个 ab， 然后三角尺的一条边贴住 ab， 那 你的三角尺应该是在这里，这是第一步。那第二步呢，肯定是把你的直尺拿出来，这是你的直尺 让它贴住三角板的这一条边。下一步呢，就是把这个三角板往下推，把它推到了这个位置。最后呢你在这里再画一条平行线就可以了，所以这个是第一步。第二步呢是把这个直尺拿出来，所以这是第二步。第三步把它往下推。 第四步呢就是划直线 c、 d， 所以 这里的顺序他应该是这个顺序。接着往下面看第八种题型就是平行线的判定。这道题说两个三角板均是直角三角形，这两个角都等于九十度。在图里看一下，他们俩都是九十度， 这个是四十五度，另外这个是六十度，所以他其实就是我们的两个三角板，这个是等腰直角的那个三角板点 d， 在 这个边上 a、 d、 f 等于十五度，在图里看一下，这个角十五度。现在让你判断两条斜边的位置关系，并证明。首先判断一下它们俩肯定是平行的，怎么证明呢？你肯定要用到这个十五度。在这个三角形里面，你看一下， 他是十五度，这个角呢，他是三十度，所以你可以求出来，这个角他应该就是四十五度。三角形的外角等于与他不相邻的两个内角和，或者你不知道你直接用三角形内角和吗？用一百八十度减去这一个是三十度，减去这一个是十五度， 那剩下的这个角你可以求出来，它应该就是一百三十五度，那最后再求它的零补角，它就是四十五度，得到它是四十五度。因为你这个三角板这里也是四十五度，所以它们俩刚好是一组同位角，同位角相等，两直线平行。所以先回答人家的问题， ef 肯定是平行于 ab。 让你说明理由，你就写。理由如下， 因为这个是九十度，这个是六十度，所以你可以求出来这个角 a 呢，它应该是等于三十度，又因为题目告诉你它是十五度， 所以你可以把这个角求出来。假如这里标一个字母 m 角 b、 m、 d， 它是等于四十五度的，又因为这个角是四十五度，所以同位角相等的。两直线平行，所以它们两个角相等，所以 a、 b 平行于 e、 f。 这里考察的是平行线的判定，比较简单，下面看一个辨识，这里说 a、 b 垂直于它，这里是垂直的， c、 d 也垂直于它，所以你看到两个垂直，你应该想到一个结论，他们俩肯定是平行的，垂直于同一直线的，两直线互相平行。现在告诉你角一等于角。二， 刚刚我们知道这俩都是九十度，那现在用这个九十度去掉这个，再去掉这个，剩下的这一部分和这一部分应该是相等关系，所以剩下的这两个角相等，你发现他们刚好是内错角，那内错角相等，所以两直线平行。这里还是先回答他的问题，他们俩肯定是平行的。理由如下， 因为题目里告诉你两个垂直，所以这两个角肯定是平行的。理由如下，因为题目里告诉你两个垂直，所以这两个角 b、 c、 d 等于九十度。 又因为题目告诉你角一等于角二，所以拿九十度去掉这一个角一角二，那剩下的这一个角和这一个角就相等。角 c b e 等于角 b、 c f， 所以 b e 平行于 c f。 这些比较简单的，我们就快速的过了。下面第九种题型，平行线的性质。这道题它是一杆秤， 他告诉你角一是等于一百零二度。问角二的度数，那这一个角二的度数，我们直接用内错角求一下。题目说这个角是一百零二度，所以他的零补角求出来，这里应该是七十八度，所以这个角二的度数应该就是七十八度， 这里我们选的就是 c。 下面看一道变式题，这道题目很长，但是我们的关键信息是什么呢？平行光线，所以这里是平行的，这两条光线也是平行的，并且你水的页面和这个底部应该也是平行的。现在题目告诉你角一等于四十五度，在图里看一下，这个是角一， 那他是四十五度，所以你这个角三也是四十五度，他们俩是同位角啊，所以两直线平行，同位角相等，角三也是四十五度。 角二等于一百二十度，那这个是角二，你可以利用什么呢？你可以利用这个页面和这个底是平行的，两直线平行，同旁内角互补，他是一百二十度，所以下面这个角应该是六十度，所以这个角四你求出来，他应该是六十度， 他们俩的和，那就是一百零五度。下面第十种题型，他考察的是平行线之间的距离。这道题说 l 一 平行于 l 二 点， ab 在 直线 l 一 上，这是 ab， cd 呢，它在下面，这是 cd。 这两条线的交点是 e， 它们俩相交于点 e， 它问你这两个三角形的面积相等吗？你在图里看一下，它就是这样，两个三角形，它肯定是相等的，并且这道题给了你提示，它是做了两条垂线。这里用到的知识，那就是等底等高。在图里看一下，你会得到这么两个三角形， 一个是 a、 c、 d， 另外一个呢，是这个 b、 c、 d。 这两个三角形呢，它肯定是面积相等的，为什么呢？等底等高。 这个蓝色三角形啊，它的底是 c、 d， 它的高是这样一段。这个红色三角形啊，它的底也是 c、 d， 它的高是这样一段，那这两个高肯定相等啊，所以它们俩的面积是一样的。最后你再用它们俩的面积减去这一段公共的区域， 拿蓝色的减去这么多，那等于红色的减去这么多，都是减去同样多的部分，所以剩下的这一部分面积也是相等的。我们写一下过程，先回答他的问题，面积肯定是相等的，然后理由如下，这个辅助线的做法，你把它写一下啊，就是这两条高， 因为它们俩是平行的，所以呢，你这两条高，它就相等。 a、 h 一 等于 b、 h 二，这两个高肯定一样。再看一下 a、 c、 d 的 面积，它是等于二分之一底乘以高，底就是 c、 d， 高就是 a、 h 一。 另外，这个三角形的面积， b、 c、 d 的 面积二分之一底乘以高，它的高是 b、 h。 因为这两个三角形等底等高啊，所以它们俩的面积是相等。得到它俩面积相等之后，再减去同样多的部分，拿 a、 c、 d 减去这一个公共部分，就是 c、 d、 e 的 面积 等于这个 b、 c、 d 也减去这一个 c、 d、 e 的 面积。所以剩下的这两个三角形，它们俩的面积一定是相等的，这里考察的就是等底等高模型。下面我们可以看一个变式， 这里给了你一个梯形， a、 b、 c、 d、 a、 d 平行于 b、 c。 可以 简单的画一个草图，假如这一个是 a、 b、 c、 d， 它们俩是平行关系，梯形的面积是等于十六， bdc 的 面积是等于十二。在图里看一下 bdc 呢，它应该是这样一个面积，它的面积是等于十二， 总面积是十六，所以这一部分的面积你可以求出来，它应该就等于四。最后题目问的是 a、 d、 c 的 面积，那 a、 d、 c 呢？它是这样一个三角形，这个 a、 d、 c 的 面积呢？你可以用我们刚刚那道题等底等高模型啊，这是两条平行线，那两条平行线之间， 它们的底都是 a、 d 高呢？都是这么多，所以呢， a、 d、 c 的 面积，它应该是等于 a、 d、 b 的 面积，所以这一步一定要理解，它们俩的面积都是一样的，因为等底等高啊，所以 a、 d、 c 的 面积呢，它就是等于四。接着往后面看第十一种题型，就是判定与性质的综合应用。 这道题说，在四边形中，这两个角相等。在图里看一下， h、 c、 e、 b、 c 是 这个角，所以这两个角相等。 它们俩你可以发现刚好是一组同位角，所以同位角相等。两直线平行，那这两条线是平行的，这两个角加起来等于一百八。在图里看一下， b、 h、 c， 它是这个角， b、 e、 f， 它是这个角，它们俩的和等于一百八十度。 那刚刚你得到了它们俩平行，所以两直线平行，内错角相等，那这个角它是等于这个角，所以通过转化你可以得到它们俩加起来也是一百八，那这里是同旁内角互补了，所以两直线平行，那这个 e、 f 和这个就是平行关系。所以第一问你就证明出来了。 把过程写一下，首先是因为这两个角相等，就是这一组同位角，所以两直线平行了。 be 平行于 c、 h， 它们俩平行了，两直线平行，内错角相等，所以这个角呢？它是等于这个角角 b h c 等于角 e、 b、 h。 又因为题目给了这个条件，所以下一步你等量代换一下，把这一个 b、 h、 c 呢换掉，换成这么一个东西，所以它们俩加起来等于一百八十度，它们俩同旁内角互补，所以它们俩平行。 e、 f 平行于 b、 h。 下面再看第二小问，他说 b、 h 是 一个平分线， 那这两个角相等，这里是垂直关系，那根据你上一问的结论，它们俩平行呢？所以这里应该也是垂直关系。 h c、 o 等于六十四度，这个角是六十四度，所以你这个角也是六十四度，他们俩相等，那又因为角平分线， 所以每一个应该都是三十二度。还是由上一问的结论，你知道他们俩平行的，所以这个角也是三十二度。最后问你这个角的度数，那这个角你很容易求，直接用这一个九十度去掉旁边的这一个三十二度，他就求出来了。写一下过程，这两个角他都是六十四度， 又因为他告诉你了一个角平分线，所以他们俩都是三十二度。由上一位，你知道这两条线是平行的，所以呢，这两个角相等，那他俩是三十二度，所以你内测一下，这个角也是三十二度。 你就写由 e 之 b， e 平行 c h， 所以 b、 h， c 也是三十二度。因为题目说这里垂直，并且它们俩是平行的，所以这里是九十度，那这里也是九十度。所以最后要求的这个角，那就用这个九十度去掉这个三十二度，这里计算一下，它应该是五十八度。 这道题是判定和性质的综合应用，下面再看一道题，这种题他考察的就是多折点问题，我们做这种题的思路就是过拐点做平行线解决。这里说 a、 b 平行 c、 d， 它们俩平行。点 p 为上方的一点，如图一，它等于一百度，角 d 等于一百三十度。 求角 a、 p、 d 的 度数 a、 p d 呢？就是这样一个角，那我们的思路可以通过这一个折点来做一个平行线。假如这里是点 e， 把辅助线的做法写一下，过点 p 做 p， e 平行于 ab， 它们俩平行。题目里呢，又告诉你这样一个平行，所以根据平行线的传递性，它们三个应该都是平行的。所以这里你说明一下，因为 ab 平行于 cd， 所以呢， pe 也是平行于 cd 的。 因为题目告诉你角 a 是 等于一百度，所以根据两直线平行，同旁内角互补，那上面这个角求出来应该是等于八十度，所以这个角 ape， 它是等于八十度。同理，因为这个角 d 等于一百三十度， 那根据两直线平行，内错角相等，这里一百三，所以这个角也是一百三角。 dpe 等于一百三十度。所以现在你要求这一个 ape， 那就用这一个大角一百三十度去掉这一部分，那这一部分是八十度，所以这个 a、 p、 d， 你 就可以求出来它们俩相减，你把它计算一下，应该是等于五十度。这个是第一问求 a、 p、 d 的 度数。下面第二小问，它跟第一问应该是差不多，它只是把这里换成了字母，做法应该是都一样的。 这里我们也是过点 p 做一个平行线，现在这个角呢，它是 alpha， 另外这一个角呢，它是 beta， 我们可以按照刚刚的过程把它写一下。这里需要改动的就是这些地方角 a， 他 现在是 alpha， 所以 根据两直线平行，同旁内角互补。上面这个角你可以表示出来，他应该就是一百八十度减去 alpha， 所以这个 ape， 它就是一百八十度减去 alpha。 这个角 d 呢？它现在是 beta， 所以 两直线平行内错角相等，这是 beta， 那 这里也是 beta， 所以 它也是 beta。 最后题目要求的这个角，那就是用这个大角，它是 beta 减去这一部分，这一部分你已经表示出来了，所以是 beta。 减去 一百八十度，再减去 alpha， 最后你再去括号把它化减一下，结果应该是等于 alpha， 加上贝塔再减去一百八十度。这个是第二小问。最后看一下第三小问，他说点 n 为内部的一点，这是点 n， 他 们有这样一个三倍的关系。在图里看一下，把这个条件标记一下， b、 a、 n， 它是这样一个角，等于三个它。这里为了方便表示，我们可以设一个未知数。假如我设它是 x， 那这个角呢？它可以表示为 x， 旁边这个是它的三倍，那它就是三 x。 后面这个条件， d， c， n 等于三倍的它， d， c， n 呢？是这个角等于三倍的 p， c， n 等于三倍的它，那这里你同样设一个未知数，表示一下，设它是 y， 那这个角是它的三倍，那就是三个 y。 题目问的是求这两个角的比值。在图里看一下， a、 p、 c 呢？它就是这样一个角， a、 n、 c 呢？它是这个角。这里我们的思路跟前面两位是一样的，都是通过这样一个折点来做平行线， 你要求这个 a、 n、 c 呢？你就是从这里做一个平行线，这里我们把它放大一下，首先我们过点 p 做一个平行线，我们先把这个角求出来，这里我们能够利用的，那就是这些条件。在图里看一下， 你想求这个角，你可以用这一个大角去掉这一部分。这个大角我们看一下，因为两直线平行，内错角相等，这里是四个 x， 所以 这里呢也是四个 x。 这一部分呢，也是同样的道理， 两直线平行，那内错角相等，所以把这一部分内错上去，这里是四个 y， 所以 这一部分呢，也是四个 y。 那 最后拿这个四 x 去掉这四个 y， 剩下的就是这个度数。首先是这个辅助线的做法，假如这里是 e 作 p， e 平行于 ab， 它们俩平行。又因为题目里告诉你 ab 平行于 c、 d 的， 所以根据平行线的传递性，它们三个都平行。所以这里你稍微说明一下，设这个角是 x， 则这个角呢就是三 x。 同理，你设这一个角呢，它是等于 y， 它旁边的这一个角，它就是三个 y。 下面我们先求这一个 a， p、 c， 因为这个两直线平行，所以内错角相等，这两个角就相等， p e 平行 ab， 所以 这一个角 a， p e 等于角 b， a， p 等于四个 x， 就是 这两个角是相等关系，它们俩是内错角，因为这两个平行，所以这两个角呢？内错角相等， p e 平行于 cd。 角 c， p e 等于角 d， c， p， 它是等于四个 y， 所以 最后角 a， p c， 它等于角 ape 减去角 cpe， 就是 你这个角，它是等于这个大的。减去这一部分，等于四个 x， 减去四个 y， 那现在这个角表示出来了，下面再把这一个 a、 n、 c 表示出来。这个角呢，你可以用同样的思路，过点 n 做一个平行线，在图里看一下，你想求这个角，你可以用这个角，它呢就相当于三 x， 再减去旁边这一部分， 旁边这一部分它就相当于多少呢？相当于三个 y， 所以 这个角你可以表示出来。假如这里是一个 f， 因为 n， f 平行于 ab， 所以 角 a， n， f 等于角 b， a， n 等于三个 x， 就是 这一步啊，两直线平行，内错角相等，这个是三 x， 所以 这个角也是三 x。 下一步，因为它们俩平行，所以这个是三 y， 这个角也是三 y， n， f 平行于 c d， 所以 这一个 c， n， f 等于角 d， c， n 等于三个 y， 所以 最后你这个 a、 p、 c， 它就可以求出来。这个角呢，它就是角 a、 n、 f 减去角 c， n、 f， 那 就是三个 x。 减去三个 y， 这个就是 a、 n、 c 啊，那这里写错了，把它改一下，这个是 a、 n、 c， 这两个角求出来了。再看它们的关系，这个是 a p、 c， 这个是 a、 n、 c。 题目问你这两个的比值， 你把这两部分一比，他其实就相当于四比三，这里是四倍的 x 减 y， 下面呢，他是等于三倍的 x 减 y， 所以 他们俩一比就是三分之四，所以你把他俩的比值写一下，分子应该是四，他应该是三。这道题他考察的就是平行线之间的拐点问题， 我们的思路就是通过拐点来做平行线。下面再看第三部分内容，就是平移，平移我们需要掌握的就是它的两个要素，平移方向、平移距离。还有就是平移的作图， 你需要找到平移方向和平移距离，然后画出关键点，最后把对应点做出来连接就可以了。另外平移的性质我们也经常用到，它的性质有这三个性质，第一个性质呢就是平移前后形状大小是完全一样的， 比如这里 abc 和这一个图形是一模一样的。第二个性质呢，就是对应点的连线，平行且相等， a 点的对应点就是 a 一 撇， 它们俩连接这些所有的都是平行且相等。第三个性质呢，就是平移前后对应线段平行且相等，对应角也相等，这一个的对应线段是这一个，它们俩肯定是平行且相等，对应角呢，也是相等关系。下面我们做题练习一下。 这道题非常简单，他说用一个滑轮带重物上升这么一个运动过程，他应该是什么呢？应该就是平移，他在往上平移， 这个就是送分题了。下面再看一个，便是下列图案中能够用平移来分析其形成过程的有哪些。 那第一个肯定是可以通过平移来得到，你把这一个给他向上平移，或者你把这上面这一个平移到下面来， 这一个呢就不行，这一个也不行，这一个呢应该是可以的，把一个圆圈向右平移，再向右平移，再向右平移，就得到这样一个标志，所以它是可以的。那这里总共就是有两个下面一种题型呢，就是平移的作图了，这个作图应该非常简单，他说这是一个正方形的小网格， 边长都是一格点，三角形 abc， 如图所示。这个格点要明白什么意思啊？就是这些小网格的焦点，这个就是格点每一个小网格的焦点。第一问，他让你平移，把三角形向右平移四个，向下平移三个， 让你画出来。首先我们要确定关键点呢，比如说我们先画 a 点，向右四个，这里是一二三四，再向下三个一二三，所以它的对应点在这里。这个点呢，它就是 a 一 撇， 用同样的方法把 b 也找一下，向右四个一二三四，向下三个一二三，所以这是 b 撇。最后再把 c 撇找一下，一二三四一二三，所以 c 撇，在这里， 把对应点画出来之后，再把它们顺次连接就可以了。最后呢，我们再把它的平移方向和平移距离给它确定一下，所以你直接把这个对应点一连就行了。这个就很简单，画完了之后一定要写如图所示。这个是第一小问，最后看一下第二小问，连接这两组线段， 问这两条线段的位置关系，那位置关系肯定是平行的，如果他还问你数量关系，数量关系，那肯定是相等，他们俩长度是一样的。最后一问，他让你求三角形 a、 b、 c 的 面积，正常情况我们用二分之一底层高， 但是这里底和高我们都不知道啊，所以这一个不规则三角形的面积，我们可以把它放在一个规则的图形里面，求你可以把它框在一个长方形里面， 然后去掉旁边的这些空白面积就可以了，把这三个三角形的面积减掉，所以第三小问，他的面积 应该是等于长方形，这个长方形面积应该是三，乘以四，减去三角形的面积，这一个三角形的面积二分之一底乘以高，那就是二分之一乘以三乘以二，减去这个三角形的面积，这个是二，这个是四。减去二分之一乘以二乘以四，再减去这个三角形的面积， 二分之一乘以一乘以二。最后把它算一下，这里是三，这里是四，这里是一，所以结果就等于四，它的面积就是四。这里考察的就是平移作图最后一种题型，它是利用平移的性质来解决实际问题。这里说某酒店要进行装修，把楼梯上铺上地毯， 已知楼梯的宽度是两米，这是长度，高度是六米，它侧面如图所示，这个是它的侧面。 已知地毯的价格是每平方米五十元，请你计算购买地毯需要花多少钱。这道题的意思大家要明白啊，就是把一个地毯铺在这个楼梯上，让你计算买地毯花多少钱。我们可以看一个示意图，那这是一个楼梯，它上面铺的有地毯， 楼梯的宽度是两米，那就是从这里到这里的宽度是两米，它的宽度是两米，这个图呢，是它的侧面图，我们要计算它花多少钱，你肯定要求出它的面积， 你要求出这个地毯的面积啊，它的宽是两米，已经知道了，地毯的宽肯定是两米，所以你需要把它的长度求出来。那这个地毯的长度它是褶形的呀，所以你可以先分开求，你可以先求这些，就是铺在台阶上的这些，它就相当于这一部分，它是横在台阶上的。 那这些总长度你可以通过平移把它平移到哪里去呢？你把它全部平移到这里来，所以这些横的，你可以知道它应该是多少呢？总长度应该就是八米。好，这是这样的，下面再算一下你这个竖的高度总共是多少？竖的高度你同样可以利用平移的思想啊， 你把这些数的高度全部平移到右边去啊，如果你把它全部平移到右边去，它们的总高度应该就是六米，对吧？所以地毯的长度你是可以算出来的，它的长应该是六，加上八等于十四米。这个地毯的长度一定要理解啊，因为它是铺在楼梯上的， 地毯的宽度你是知道的，它的宽度就是两米，所以这个地毯的面积你是可以算出来的，面积它就是二十八平方米。 又因为地毯的售价是每平方米五十元，所以把它的价格算一下，结果应该是一千四百，所以购买地毯你需要花一千四百元。这道题用的就是平移的思想， 把横着的平移到这条边，把竖着的平移到这条边，平移完了之后，你就可以求出地毯的长度。下面再看一道辨识题。这是一个公园，它有一个长方形的风景区， ab 长是五十米，这个是 ab 的 长， bc 的 宽等于二十五米，这是宽。为了方便观赏公园，修了一个小路，小路呢，就是这些空白的部分。小明同学假期的时候沿着小路的中间行走， 他是在中间行走，就是图中的虚线部分。小明是沿着这些虚线走，小路的宽度是一米，这些宽度都是一米的啊，每个宽度都是一米。 问小明同学所走的路径长是多少？他走的路径，那就是这些虚线的总长度啊。所以你可以用我们刚刚的思想平移， 我可以先看这些横着的这些，我可以给他平移到哪里去呢？平移到长这条边，所以我们把这些线段给他平移到长这条边，他们的总长度加起来应该刚好就等于五十米。 然后呢，你再看他所走的这一段，这两段，如果你把它平移过来，他应该是这么一个长度。把它平移过来，这两段呢，他应该就是这么长， 那这两段也是同样的道理，如果你把这两段平移到右边去呢？他们的长度之合应该是这么多。这两段的合你是可以算出来的， 因为小路的宽是一米，小明是在路中间行走，所以这一部分和这一部分他们俩合起来刚好就是路的宽度一米，又因为你总共的宽度是二十五米，所以这一段应该是二十四，那这边也是二十四。所以小明行走的路径总长度就是把他们加起来，他们加起来应该总共就是九十八米。 最后再总结一下，这一张的内容呢，整体来说应该不是很难，需要稍微理解一下的就是平行线的判定，还有性质的综合应用，以及平行线之间的拐点问题。其他的这些知识点如果忘记了，一定要及时的回头复习一下。

新年一下第一次阅卷题，我们来看一道翻折问题啊，这个图已知呢，这块 a b c， d 是 一个长方形的纸片，现在沿 e 点和 f 点翻折，翻折下来以后，这边交于 m 点， 现在我们知道的是 e g b， 它是 alpha f h g 它是 beta， 而且阿尔法加贝塔是一百二十度，现在要求 emf 的 度数。好，我们来分析这道题，那现在他要求 emf 的 度数，那这个 emf 是 不是一个三角形， 要求这个的度数，那如果我们能求这个的度数和这个的度数，就可以知道 m 了，对吧？好，那么这两个角怎么求？那我们来看一下啊。首先这块是贝塔，因为这块是个长方形，所以 a d 是 平行于 bc 的， 那这个贝塔跟这个角他是不是一个内错角，他就是贝塔，而又是翻折问题，所以这个 这个角是不是也是贝塔，对不对？那好，这边也是一样的，因为这两个直线是平行关系，内错角二法，这块也是二法，而他又是翻折过来的，所以这块是不是也是二法？ ok， 我 们现在就可以表示了， m e m f e m 他 怎么表示呢？他是不是就是一百八 减去个二二法，然后这个 e f m， 那 它是不是就是一百八减去个二背它好了，那下面我们是不是就可以求出来 e m f 了？ 那这个 e m f 是 不是就一百八减去这个角和这个角，对吧？减去一百八十度，加上二二法啊， 然后再减去一百八十度，再加上一个阿尔卑塔，就是二倍的阿尔法加贝塔，再减去一个一百八十度。 题目中给了阿尔法加贝塔是一百二十度，那所以二乘一百二十度，二百四十度减去一百八十度，等于六十度。好了，我们最后就把这个角 e、 m、 f 算出来了，它等于六十度。

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亲爱的同学大家好，这节课呢，我们就第七张相交线与平行线的一些重点题型呢，给大家去复习一下。 我们首先来看第一题，如图呢，将一张长方形纸片 a、 b、 c、 d 沿 e、 f 折叠后， 我们可以看到图中呢是原来呢是 abcd 呢，是一张长方形纸片，然后沿着 e、 f 这条呢是折是吧？折叠，折叠后呢，我们点 c 的 对应点呢是 c 撇点，点 d 的 对应点呢是 d 撇点。 若 e、 f、 c 等于一百二十五度，那我们就可以标了， e、 f、 c， 也就是这个角呢是一百二十五度，则角 a、 e、 d 漂的度数为多少？先找到它 a、 e、 d 漂，那就是求这个角。 我们呃这个思路的话呢，就是还是要回归到我们这这一章的内容，香蕉线与平行线啊，我们重点呢就是香蕉里边呢，就是特殊情况垂直的时候啊， 然后平行线的话呢，是平行线的判定和平息线的性质，那我们这里长方形纸片，他的对边呢是平行的，那我们可能就用到了平行线的知识，就是大家首先做这个题要有的那个 思路。然后我们平行线的性质呢，由这里是因为肯定有平行，所以呢肯定是用要用到平行线的性质。回顾一下，平行线的性质呢，是主要有三条， 就是两直线平行啊，也就是两条直线被第三条直线所截，同位角和内错角呢是相等的角，然后呢还有同旁内角呢，是互补，也就是 两个角同旁内角加起，同旁内角呢，加起来是一百八十度。只要利用我们平行线的性质，我们首先来想这个，这个角是一百二十度， e、 f c 是 一百二十度，那我们根据同旁内角互补，首先呢就是 我们可以把这个我们标成角一，对吧？也就是 d e、 f， 那 角一呢，我们就是根据同旁内角互补一百八十度，然后等于一百八十五减去我们这个角 e f c， 角 e f c， 那 就是等于一百八十度减去一百二十五度。刚开始做这个题呢，我们一步一步不要着急，不要给出现记上错误，我们算一下的话呢，这是一个五十五度， 所以呢我们首先把这个角 e 给算出来，现在呢我们要求 a b a， d， a， e， d 撇，接着呢我们要利用折叠的性质，我们想这个虚线的这个是不是折叠回去，折叠成这个 啊？对应点是 e， d 撇 c， 那 我们对应角呢是相等的，对吧？因为一个东西折回去，他的那个就原来那个角度是多大还是多大，那我们讲这个角折回去是不是这个 标乘它，它是不是折回去是这个角二呢？那我们现在这个角一等于也五十五度，那我们根据折叠的性质，对吧？根据 我们折叠前后，对吧？它的角是相等的，这个叫做折叠的性质，根据折叠的性质， 根据折叠的性质，那我们角二呢是角一那个折过去的，所以角二呢就等于角一，而角一刚才已经算出是五十五度，所以角二等于角一呢也是五十五度。 再来在下面的话呢，我们就要看到这个 a， d， a， e， d 撇就是我们所求的这个角呢，我们可以看到这呃是折回去，你想原来的话呢，他是在一条直线上，在一条直线上的话呢，他就是一个平角，而平角呢，是一百八十度， 所以我们角 a、 e、 d 漂呢，就是等于一百八十度，减去角一和角二，而角一和角二呢，都是五十五度， 那就是一百八十度。减去两个五十五度，那是减去一百 e， 那 就是一个七十度。 所以呢，我们就求出了这个角 a、 e、 d 漂的度数是一个七十度。 然后回顾这个题呢，我们首先根据他是一个长方形，是吧？长方形的话呢，就是引含着呃，两组对边是分别平行，所以呢，根据这个长方形呢，我们得出了对边 a、 d 和 bc 呢，是平行的吧。然后呢，再利用平行线的性质，两只线平行，首先呢是这有 同旁内角互补，我们就可以把这个角给求出来。然后再根据折叠的性质，角一和角二是相等的，然后这两个角都知道再利用一个，对吧，原来他是 a、 e、 d 呢，是在一条直线上，所以呢，他是， 呃是一个平角，对吧？平角呢，是一百八十度，减去角一和角二呢，就得出了我们所需要求的一个角。我们继续来看第二题，首先呢，读一下题目，如图呢， ab 平行于 cd， 告诉了一组平行线 ef、 e、 f 分 别是 a、 c 和 b、 d， 对 吧？ b、 d 上的延长线上的点，也就是把 a、 c 和 b d 延长，然后连接 a d， a f 和 a e， 然后告诉说 a f 与 c d， a f 与 c d 交于点记，那这个呢，就是点记下列结论， 这种题目呢，他可能出选择题，也可能出填空题，告诉了我们一二三四四个结论啊，然后问我们，其中正确的是，那我们这种题目呢，就是 难度对吧？就稍微有一些大，就是我们每一个呢都要给判断清楚，万一我们有一个给错了，那我们比如说做选择题，组合选项，或者说我们做填空题，那一个给人家写错了，那我们整个题目呢，都不得分， 所以我们需要一个一个去判断。首先呢我们来看，现在我们已知的其实只有一个平行线，让我们先写出来，他已知的呢就是 ab 平行于 cd 啊，其实就告诉了一组平行线，第一个呢就是说角 b、 a、 d 等于角 a、 d、 c， 那 我们要找到角 b、 a、 d， 那 就是这个角啊， 然后角 a、 d、 c、 a、 d、 c， 那 我们这个呢是很基础的，对吧？我们一看这个 a、 b 和 c、 d 呢被 a、 d 这条线所截，那这个这两个角呢，很明显是一个在这个 a、 d 的 左侧，一个在 a、 d 的 右侧，而且呢它都是在 a、 b 和 c、 d 的 内部，所以呢它叫做内错角，那我们第一个呢，我们就是啊， 对的，我们第一个呢就是因为 ab 平行于 cd， 对 吧？两只线平行，根据平行线的性质呢，就是内错角是相等的，所以角 b、 a、 d 就 等于角 a、 d、 c， 所以呢第一个呢是正确。 这种题目呢，一般是第一个呢，他是好判断的，第一个是好判断，下来看第二个角 b 加角 a、 c、 d 等于一百八十度，还是先去找角，角 b 的 话呢，我们是这个角，我们用了 这个两个弧来表示，然后角 a、 c、 d， a、 c、 d 呢，我们到了左边这个角，那这两个角他是两个对角，是吧？也就是在内个， 呃，这个应该是梯形吧，因为它 ab 和 cd 平行， ab cd 中呢，我们 这两个角呢，它是相对的角，所以呢叫做对角。那我们能否证明对角加起来是一百八十度呢？那我们还是要回归到平行线的性质，我们知道两只线平行呢，是 同旁，内角是互补的，那我们根据第二个，应该是，我们根据平行呢，我们应该是能得出 角 b， 我 们先看能得出啥？角 b 应该是加角 b、 d、 c， 对 吧？加角 b、 d、 c， 它俩是同环内角，它俩是互补，加起来是一百八十度。 而现在呢，它是说角 b 加角 a、 c、 d 是 一百八十度。那我们这个无形中呢，我们需要一个条件呢，就是角 a、 c、 d 呢，应该是和角 b、 d、 c 相等的时候呢，胆量代换一下，他加起来应该才是一百八十度。但是我们此时去观察途中呢，我们根据现有的条件，是不是并不能证明这两个底角是相等的，也就是并不能证明说他是一个等腰梯形， 只有 abcd， 他 是一个等腰梯形的时候，他这两个底角是不是才是相等的？所以第二个呢，我们就不能证明他是正确的。 呃，这是我们从分析的角度来说，从我们考试的角度来说呢，我们一般大家考试的时候，这个图呢，它是比较标准的，我们可以拿量角器把这两个角的度数给量一下，如果， 呃，大概率呢，它是不相等的，对吧？不相等，而且我们图中呢，我们也没有条件支撑，当然这个呢，我们也是一个灵活的一个办法， 所以第二个呢，我们不能证明他是正确的。然后再来看第三个，若角 a、 c、 g， 我 们找到它 a c g， 那 就是我们刚才这个角啊，我们可以把它标成一个角一啊，因为我们这个三个顶点的角呢，我们 如果是一下忘记的话，不好看，等于角 a e f a e f， 那 就是它没有分值的话呢，我们也可以用 单个的呃，就是一个他的顶点来表示，那这两个角相等的话，他说 ab 平行于 e f， 那 我们一看这两个角呢，是 c d 和 e f 被 a e 所截形成的什么角呢？是不是同位角啊？所以我们第三个，假如说角 e 等于角 e 的 话呢，我们可以得出什么？我们根据 我们平行线的判定，是不是就能判定出 cd 这条直线是和 ef 呢？是平行的 cd 平行于 ef， 而它题目呢，是说 ab 平行于 ef， 这样的话呢，我们就需要再结合，我们题目中是不是告诉了我们 ab 平行于 cd， 我们想 ab 平行于 cd cd， 那 这两个是不是我们是不是可以推出这个 ab 平行于 e f 呢？ 那当然是可以的，因为我们平行线里边还有一条，那个重要的结论就是如果两条平行线， 呃，平行于同一直线的两条直线是平行的，我们可以看到这呢有一个 cd， 这是也有个 cd， 这两条直线呢，跟 cd 都平行，说明这两条直线呢，也是怎么样的也是平行的， 那我们现在正确的话呢，我们第一个是正确，第三个是也是正确的，对吧？第二个呢是确定的。 然后再来看第四题，若角 c g f 等于角 e f， 再加角 e， 还是先去找到它 c g f， 那 我们是这个 比较大的这个角，是吧？等于角 e f 加角 e 等于角 e f， 也就是这个角 加角 e， 就是 这个角呢，是等于这两个角 呃，相加，最后要我们证明 c d 平行于 e f， 那 我们来看 c d 和 e f 平行的话呢？同样证明两条直线平行呢？还是我们的平行线的判定啊？同位角相等，内错角相等，或者同旁内角互补， 那我们具体来看，他为什么要告诉我们这个角等于这两个角相等呢？那我们来看这两个角分别在 在哪个三角形里面？ aef， 那 一个是 ef， 一个是角 e， 是 不是他都是在这个三角形 aef 中？好，我们知道三角形三内角和是一百八十度，这个我们小学就知道这个结论， 所以也就是对于第四题来说呢，我们即使角 a， 我 们先看这个角， 角角 e f 是 吧？角 e f 加角 e， 他如果在这个，在在这个 a e f 中呢？那他是应该是等于一百八十度。三角和一百八十度减去谁呢？减去 a f e， 是 不是减去角 a f e？ 而我们现在题目中的结论呢，是 c g f 是 等于他俩，也就是 c g f 呢，是等于他俩相加，说白了就是这个这个减这个呢，应该是现在是等于角 c g f， 那 么看这是我们要找到这个 c c c g f 呢？刚才我们说是这个角，就是我们换两杠这个角，然后 a f e 呢？是这个角， 然后一百八十度减去它，等于它，说明这两个角呢？是不是加起来是一百八十度？那这两个角是怎么样的？是不互补的？而我们一眼可能看到，是不是这两个角是这两个 acd 和 ef 被 af 所结形成的同旁内角，对吧？就是首先是在内部，其次呢都是在 af 的 左侧，所以呢，它是同旁内角，那同旁内角互补呢？是不是真证明这两条直线是平行的？这样的话呢，我们是有证明出了 cd 平行于 ef， 所以呢，我们由他互补，是吧？由角 a f e 加角 c g f 现在等于一百八十度，是不就能推出了平行啊？就能推出 c d 和 e f 呢？是平行的， 因为，所以，所以我们第四个结论呢，是不是也是正确的？所以我们正确的结论呢，就是一三、四 出现这种题目呢，他一般可能出现在填空题的，呃，最后选择题的最后一道题对吧？或者是填空题里的倒数对吧？两道题我们一定要去仔细的去甄别他， 避免我们去做一些啊，比如说我们这个，如果一个其中的一个选项我们判断错了，我们这个题目就错了。好，我们继续来看第三题，我们读一下题目，如图呢，直角三角形 abc， 那 我们可以看到角 b 呢，它是一个直角， 从点 b 出发，沿着 bc 方向匀速平移，就是我们要从他的这个直角顶点出发，沿着 bc 方向，那就是水平的方向去匀速平移，得到直角三角形 d， e f d e f， 那 我们就是说这个其实就是 abc 呢？往往过，对吧？往过走形成了 d， e、 f 这个三角形， 然后当点 e 平移至 c 点时，停止运动，就是这个点 e 到 c 点的时候，也就是我们走到这里的时候呢，他停止运动。已知 ab 等于十，那我们就可以往上标条件了， ab 等于十， h 为 d， e 与 a c 的 交点， d e 与 a c 的 交点是 h， 那 我们这里这个点呢，就是 h， 若点 h， 恰好将 d e 这个点 h 呢，将 d e 分 为二比三两部分，那就是看图中的话呢，是这个是二两份，这个是三份，当然是因为他没有具体说是哪部分是二，哪部分是三，而这个 这个 h 呢，是因为他向右移动的过程中呢，他是在变动的，所以呢，我们可能这部分是两份，这部分是三份，也可能是这部分是三份，这部分是两份。 然后说了说四边形 d h c f d h c f， 那 我们这是一个，对吧？四边形它的面积是二十八，此时平移的距离为 b e 为多少？最后求的呢，是我们 啊，这个 b e 啊，我们把它打一个问号，那我们求 b e 的 距离的话呢，我们首先这里出现了平移，那我们就要考虑平移的一个性质，是吧？我们知道平移的话呢，是 改变他的什么呢？是不是只是改变他的位置，而他的大小和形状呢？形状呢，是不是都不变？ 都不变意味着原来的角是多少度，现在还是多少度？原来的边是多长，现在的边呢还是多长？ 那我们首先 ab 呢是十， ab 是 十，那我们过来 d， 我 是不是可以求出来啊？我们根据平移的性质， d 呢，应该是等于 ab， 应该也等于几，也等于十，所以这是我们第一个能求出来的。然后我们根据我们刚才的说， h 将 d 分 为二比三两部分啊，但是他因为是向右移动过程中， h 呢，他也是一个动点， 所以这里呢就存在了两种情况，是吧？那我们就需要我们进行分类讨论，什么意思呢？就是说我们 d h 和 he 呢？可能是啊，一种情况呢，我们就是 d h 是 两份啊， he 是 三份。另一种情况呢，我们是 d h 是 三份， he 是 两份 啊，那我们回到我们小学这个比例的知识呢，我们对吧？其实很简单，二加三呢是五份，我们总共呢，我们刚才第一呢是十，那我们每份呢，应该是十除以， 总共五份呢是二，对吧？那我们要么就是 d h 是 两份的话呢，我们就二乘以二是四，那他呢就是二乘三是六，要么就是 d h 呢，他是三份是六， h e 呢是两份呢，是一个四。 所以呢我们这里呢很首先呢是一个分类讨论的思想， 这个呢我们是初中阶段，对吧？一些比较对吧有难度的题目呢，他会要贯穿的一个思想就是我们答案呢，他是不为一的，对吧？这个是考察同学们的一个 分析问题的全面性，就是我们不能说只想到一种情况，我们要把他做涉及的情况呢都给考虑出来。 下面这两种情况我们分析出来，最后我们要落脚点，这个是 d h 和 d h c f 这个四边形的面积， 那我们平移的话呢，这两条对吧？ a c 和 d f 平移过程过程中呢，它俩肯定也是平行的，那平行的话呢，我们这个 d h c f d h c f， 它就是一个梯形， 那我们梯形的面积呢，他是有公式的啊，上底加下底乘以高除以二，但是我们可以看到此时我们上底是 h c， 下底呢是 d f 啊，他这是斜着的。这两条边高的话呢，我们图中呢没有现成的，我们如果去 做的，呃，做的话呢，我们还可以做一个高，但是我们这个高呢，我们又是一个未知量，那我们求的是 b、 e 肯定与 b e 呢，这是挂不上关系啊，所以我们这种思路呢，我们肯定是解不出来的。 那我们另一种想法呢，我们就是观察途中怎么样能与这个 b、 e 挂上钩呢？ 我们想这个平移的过程中，我们想这个三角形，因为 d、 e、 f 呢是跟三角形， 呃，那个 abc 呢？是，对吧？他由他得到的平移得到的，所以他俩的那面面积呢，应该是相等的，那我们应该是有一个。什么？应该是有一个， 那我们这两个三角形的面积呢，应该就是相等的，也就是我们写一下，就是 s 三角形 abc 的 面积和三角形 d、 e、 f 的 面积呢？它是相等的，这两个面积是相等的，那我们怎样去能转化到这个 d、 h、 c、 f 呢？我们把它画成阴影部分， 那我可以把这个阴影部分的话呢？他如果，对吧？因为我们小学阶段已经涉及过，就是如果面积不能直接求的话呢，我们是不是要去转化一下？就是我们可以用我们，对吧？ 比如说对于这这个题型来说呢，我们可以用大的直角三角形 d、 e、 f 的 面积减去我们这个三角形 h、 e、 c 的 面积，对吧？就是中间这这块呢，我们把它涂白， 就是我们可以把它转化成减去这个小的这个三角形的面积，同样对于左边，对吧？因为这是 b 左边这个 abc 的 面面积减去这个这一块白的这块，呃，涂的， 呃，图白的这块面积呢？我们是不就是这个 a、 b、 e、 h 的 面积，这样的话呢，我们 a、 b、 e、 h 的 话，这两个是平行的话呢，它还是一个梯形，但是这个梯形的话呢，我们 这个上底 h、 e 呢？我们现在是不是已经跟已知条件挂上钩了？ ab 呢？我们知道高的话，因为这是垂直的话呢，我们高是不是就是 b、 e 了？所以这样的话呢，我们就把这个这些那个条件都给联系在一块， 所以我们思路是啥呢？三角形 a、 b、 c 和 d、 f， 根据平移的话呢，它是面积是相等的，它俩都去减一个，对吧？比如说这个三角形 a、 b、 c 呢，我们减去三角形 h、 e、 c， 减去三角形 h、 e、 c 的 面积， 然后给这个也减去，对吧？我们这个给它呢也减上一个 s， 三角形 h、 e、 c， 那它就剩下啥了？这个 a、 b、 c 减去这一块，呃，黑的这块这块面积的话，是不是就得到了 a、 b、 e、 h 的 面积，也就是 s 三，这就是个梯形，对吧？梯形 a、 b、 e、 h， 然后 d、 e、 f、 d、 e、 f 这个减去我们这个画线的这个阴影部分的面积，那就剩下 呃，减去这个图白的那个面积，是不就是我们 d、 h、 c、 f 的 面积啊？等于 s 四边形 d、 h、 c、 f 的 面积，这样的话呢，我们求这个 d、 f、 c、 h 面积，是不它就等于这个， 呃， a、 b、 e、 h 的 面积，所以呢，我们就是它俩的面积应该是相等的，那我们梯形 梯形 a、 b、 e、 h 的 面积，那我们就能用梯形的公式，我也可以观察到它的上底是谁了，上底是 h、 e， 对 吧？下底呢是谁？ ab 高的话呢，因为他告诉我们是直角三角形，所以这个是高，那高的话呢，我们就是乘以谁乘以 b e， 对 吧？然后去除以二，然后这样的话呢，我们就 把这个啥，把这个面积给转化过来，是吧？所以这个呢，我们另一种思，这个思路呢，我们就是一个转化的一个思路，就是我们面积不能直接求，对吧？我们要去间接的去求他，对吧？我们要去用我们已知的啊， 就是好求的。比如说我们用三角形、大三角形减去小三角形，那面积呢就是它的面积，然后我们把数据带进去就可以。第一种情况啊，我们这里给他 第一种情况，我们把 h e 是 六带进来。 ab 的 话呢，我们题目中已经告诉是一个十高， b e 的 话呢，我们是未知的，然后除以二的话呢，我们是要去把它写成乘以二分之一，然后六和十呢是 十六，对吧？十六的二分之一呢是八八倍的 b e 呢，应该是等于。他现在是已经告诉我们面积呢是二十八啊， 两个面积相等，然后八倍的 b e 等于二十八。让我们求 b e 的 话呢，就是用二十八去除以八，那就是八分之 二十八。然后我们约一下，分除以四的话呢，这是七，这是一个二，所以第一种情况 b e 是 二分之七，第二种情况呢，它是 h e 呢，它是不就等于四了？所以还是我们再带一下 代数化的话，同样二分之一 h e 呢是四， ab 呢是一个 ab 呢是一个十啊，然后再乘以高的话呢是 b e， 然后这个是二分之一，是四，是二分之一，是七倍的 b e 呢等于一个二十八，那我们 b e 呢就等于二十八，除以七呢是等于四，所以我们第一种情况 b、 e 呢是二分之七，第二种情况呢是四，那我们这个题目的答案呢，就是 四啊，两种情况，我们用或连接四或二分之七，当然我们这个二分之七写成小数三点五也是可以的。 我们来回顾一下这个题目，首先呢，他是对吧？因为我们这一张的最后一节呢是平移，对吧？他是考察了平移的知识点，我们要知道平移的他是只改变 图形的位置，图形的大小和形状呢不变，所以我们 abc 和 d e、 f 首先它的面积是相等的，然后我们 平移 a、 b 和 d e 呢也是相等的，这样的话呢，我们就 d、 e 就 得出也是十。然后用到这个比例的知识，我们把 d、 e， 对 吧？两种情况，因为他移动过程中要么他是两份，他是三份，要么他是三份，他是两份，所以我们要贯穿一个分类讨论的思想，对吧？我们这两种情况都要考虑到。然后接着是告诉我们这个梯形的面积是二十八，但是我们梯形的面积， 因为他这个上底和下底高都我们都不知道，而且也跟已知条件挂不上钩，我们就 想到了用转化的思路，对吧？也就是我们间接求面积方法，我们用大的三角形 d、 e、 f 的 面积减去小的三角形 h、 e、 c 的 面积就是这个梯形的面积，同样他转化到左边的这个三角形 abc 的 面积减去这个 三角形 h、 e、 c 的 面积是左边这个题型的面积。转化到这的话呢，我们，呃，因为他是直角三角形，所以我们上底下底高呢，就跟 b e 给挂上钩，这样的话呢，我们利用这个面积是二十八，就把这个 b e 给算出来了，这就是我们这道题的思路， 所以我们其中贯穿了两个，我们其实也是初中阶段非常重要的两个数学思想，第一个呢就是分类讨论的思想，第二个呢就是转化的思想，希望这道题呢对我们这个大家的学习有帮助，谢谢大家。

同学们，这类题辅助线只要画对了，就是白送分的题啊。我们来看铅笔头模型，还是那样，因为长相酷似铅笔，所以因此而得名叫铅笔头模型。大家来看啊，数学家们起名字啊，真的非常有意思啊，对不对？因为像什么，所以是什么？我们来看一下这个题， 那么这类题的辅助线画法啊，铅笔头模型有什么规律？它的辅助线画法有两种，大家记好第一种 啊，那么上底下底它是平行的关系，它有一个外拐点，那么这样的模型哈，我们称之为铅笔头模型。那么通过拐点处做一条平行于上底或下底的平行线，假设我们做啊，这样一条线，用虚线画啊， 画的可能不齐啊。我们做一条 c h 平行于 ab 这样一条线，是不是同样也平行于 e b 啊？因为刚才前那条线我已经给大家讲了，它的上底和下底是相互平行的，我们做 一条平行线，既平行于上底，也平行于下底即可。这是第一种辅助线画法，他们的关系是这样的，我们来看，因为上下平行，所以这个角角 b 和角 e 是 不是互为 同旁内角两直线平行，同旁内角是不是互补？所以角 b 加角一是不是一百八十度？那么同理，我们推断角 d 和角二他们也互为同旁内角吧，所以他们也是一百八十度吧。所以说我们来看 角 b 加角一，加角二加角 d， 是 不是就是两个一百八十度相加，等于三百六十度吧。那么也就是说角 b 加上角 b、 c d 加上角 d 是 不是等于三百六十度？好，那么这个等量关系我们写一下，就是角 b 加上角 d 加上角角 c， 对 不对？因为我们做了个辅助线，所以我们称之为角 b c d， 角 b c d， 它是等于两个一百八，对不对？三百六十度？ 好，这个关系式很明显是成立的，但是我们再来看啊，大家遇到铅笔头模型还有一种很常见的辅助性画法就怎么样？我把这个铅笔啊怎么样？我把它的这个 尖处给切掉，是不把这个三角形给切下来了，是不是？那么因为上底下底平行，所以这个角角一加上这个角角二是不是等于一百八十度？因为两直线平行，还是同旁内角互补吧。 那么再来看，那么我切下的是不是个三角形？所以三角形的三角形内角和这个角加这个角加这个角是不是同样是一百八十度啊？ 所以说他俩是也八，他三是也八，他们加起来是不是也三百六？所以同样满足角 b 加角 d， 加角 b c d 等于三百六十度。那么这个就是我们的铅笔头模型的辅助线画法，大家学会了吗？

那么其实前面都是做了一些铺垫，前面全都是做了一些铺垫。有没有发现，当我们学了两线四角，当我们学了三线八角，我们现在对角度关系的认知已经丰富了非常多， 所以呢，这是为什么？当你学完平行线之后，你会遇到一堆的需要你推导角度关系的题目，因为你这块丰富了吗？丰富了我们就要拿出来实践吗？所以接下来马哥要给大家去盘点一下截至目前 我们能够用到的能够掌握的导角工具，哎，就是推导角度的工具，所有的全部盘一遍， 你真正遇到的角度综合题，其实就是在考察你对这些工具的灵活使用的能力。所以现在马哥相当于我们接下来要干工程了。干工程之前，我给你盘点一下你工具箱里有什么，你必须要特别清楚你的工具箱里有什么。 在盘点你的工具箱之之前，我要给你加入一个非常非常重要的初中阶段的倒角工具，你千万不要给我说你现在还不用，不能用，你把它学了，你早早把它认识了，你以后该啥时候能用啥时候用。好吧，就是三角形的外角定律，因为实在太简单了，而且实在太好用了， 因为我们都知道三角形的内角和是一百八，这个角是阿尔法，这个角是贝塔，这个角 c 塔。那么你会发现 c 塔加阿尔法加贝塔是等于一百八十度的 对不对？而 c 塔加这个角是不是显然也是一百八，所以这个角也就是阿尔法加贝塔，也就是说，三角形的一个外角等于不相邻的两内角和看，这是外角， 这是三角形的一个外角，等于不相邻的两内角和。因为他加这两个或一百八，他加他一百八，所以这个角等于这两个或的和 c 塔加他一百八， c 塔加他一百八，他是不是等于他俩？三角形的外角定律，你爱在哪延长，在哪延长？来这个角一，这个角二，这个角三。 哎，你比如说我刚才往这延长，那我往这延长是不是一样的？那这个角是什么？角一加角二，来 这个角呢？这个角是谁加谁？几加几，这个角是不是就还是不相零？两内角和角二加角三吗？道理都是一样的嘛，你爱在哪延长在哪延长，你比如说我，我这个，我在这把把这延长出来，那这是几加几？这是不是就是角一加角三， 对吧？你把这个逻辑要懂了，就是因为他两个跟他相加一百八，他跟他相加一百八，所以他一定等于他俩合，这就是三角形的外角定律，外角，三角形的任意一个外角等于注意是不相邻两内角和与他不相邻的 两内角合。来理解一下这个什么叫不相邻，什么叫不相邻？你看这个外角，他与他不相邻的，所以是角一加角二， 那么到这呢，我们就有了，这是我们初中阶段导角非常非常好用，非常非常重要的一个工具。那么我们把外角讲完了以后，我们来整个盘点一下。初中阶段你导角就需要有基本的角度关系，基本的角度关系其实我们现在都掌握差不多了，就是等于 卜外。这个外角我们刚才已经说了，我先把这个外角给大家写上，这个是阿尔法，这个是贝塔，那么这个角就是阿尔法加贝塔，也就是说你看到了这样的图，你要想到这个角等于他俩的和，那我们一个一个来。首先什么情况下出现 等角？如果是两线四角，那么对顶角会出现等角，如果是三线八角，那么同位角和内错角都会出现等角， 对不对？哎，你看两线四角，三线八角就会有等角关系，那还有什么呢？我们之前初一学的，哎，初一之前学的角分线会有等角关系， 对不对？这就是目前能够帮助我们得到等角关系的图，是吧？你所有能够推等角的是不是就是这线？好？当然了，你还可以有等腰三角形的等腰对等角，只不过这个大多数是在学完全等以后学的。 等腰三角形的等腰对等角，只不过大多数时候是在全等以后学的，除此之外再没了，对吧？这就是你工具箱里面推等角的工具，那你工具箱里面推鱼角的工具是什么呢？工具箱里面推鱼角的工具，只要有什么就看鱼角，你只要有直角， 你就看鱼角。什么意思？你比如说你看如果是一个这九十度阿尔法，贝塔是不是虎鱼？ 如果是这九十度阿尔法贝塔是不是互约？所以只要有直角，你就看鱼角，这是你什么时候用鱼角去解决问题好？什么时候用补角解决问题呢？我们昨天是不是讲了邻补角，对吧？邻补角，如果一个平角被割开，阿尔法和贝塔互补，那么除此之外是不是就剩三线八角了？ 是不是就三千八角，这个阿尔法和这个贝塔互补，对吧？你能够出现补角的是不是就是这些最后外角，哎？外角你就画一画，你就只要看到离个三角形有一边延长出去好吗？那么这个阿尔法，这个贝塔，这个角就是阿尔法加贝塔。 来吧，兄弟们，这就是你工具箱里面所有的推导角度的工具，你但凡要推导角度，就得想办法找到利用这些工具。那么接下来我们重点会研究的是什么呢？重点会研究平行线所带来的等角， 而平行线所带来的等角。我们刚才已经说了，你单纯有平行是不足以得到角度关系的，你必须还有什么有结线，看到了结线才会有三线八角，才会有三线八角，才会有角度关系。所以接下来我们要讨论一下 如何用平行。很多情况下，我们需要构造三线八角，而构造三线八角的核心是角的一边去做截线。什么意思啊？为什么要要让角的一边去做截线？看好了，你比如说我要出现同位角，出现同位角，我们昨天说了，就会有一个 f 图， f 图这两个角是同位角，那你会发现，如果这个 l 一 和 l 二是平行的，那么截线就是什么？就是角的另外一边，一边是平行线，一边是截线。哎，你看 如果是同一角是这样，那如果内错角满不满足这个这个特点呢？你看，如果内错角相等，两只线平行，这是内错角，这内错角的一边是平行线，另外一边做结线，做结线是不就是角的另外一边？ 哎，你有没有发现？哎？再来，如果是同旁内角是不是也是一样的？这是那条截线吧？这是那条截线吧？截线是不是就是角的？哎，我研究这两个角作为同旁内角，这两个角的一边是平行线，另外一边是不是截线？ 所以如果想要在什么，如果想要在平行线里面去研究角度关系，那么你就得让你所研究的角的一边去做截线，就会出现三线八角图，看你懂没懂？咱们就试一下。你比如说你看 我这个 l 一 和 l 二平行的，我要想研究这个角，我想要找到它的等角，你目前 l 一 l 二肯定没有办法转化角度，因为没有看到截线。 怎么样才能看到结线？延长谁就行了。延长 a b 是 不是就行了？为什么要延长 a b？ 我 只要让这个角的一边去做了结线，这一条线所在直线做了结线，哎，那你会发现同一角出来了，这是阿尔法， 这就是要要让什么角的一边做结线？还有你们说的最多的什么什么猪脚模型，什么这模型那模型，不要给我去扯那些来。我现在想想要研究阿尔法、贝塔和 c 塔的关系， 这 l 一 平行于 l 二，为什么这个平行线现在没有用？因为没有看到结线。 怎么样才能看到结线？你让你的目标角的一边去做结线就行了，目标角你可以是 alpha， 可以 是 beta， 让他的一边去做结线，我可以怎么办？兄弟们， 我是不是？哎，比如说我想让阿尔法的一边去做结线，那我就让这条边做结线，我把它反向延长下来，哎，你看 l 一 l 二有了结线，有了结线，这是不是就有了内错角？这个阿尔法，这个角是不是就是阿尔法？ 然后再用一个刚才我们讲的外角，你看这个 c 塔是不是这个三角形的外角， c 塔就等于阿尔法加贝塔， 你要记它的底层逻辑，这两个线为什么导不起角度关系？没有结线嘛，让角的一边当结线，阿尔法就下来了， 然后再用一个外角定力。有的小伙伴说，那马哥你让这个阿尔法当的一边当结线来看。好了，我能不能让你看这个角是阿尔法，这个角是 beta， 这个 l 一， 这个 l 二，我要找阿尔法， beta 和 c 塔的关系 怎么办呢？那我当然也可以让 beta 的 一边去当截线啊，我让 beta 的 一边当截线，我把它延长下来，这个是不是 beta？ 哎，你看，那么这个 theta 角是不是又等于 alpha 加 beta？ theta 是 不是又是一个外角，又等于 alpha 加 beta 是 不是也可以？那你说马哥有没有第三条路呢？我知道你们老师讲的比较多的是这条路，你看这个角是 alpha， 这个角是 beta， 然后呢，我要找阿尔法，贝塔和塞塔的关系。哎，那我能不能让这个阿尔法和贝塔的一边都去做接线？那也可以，那你就需要第三条平行线了。来，我再画一条啊，这是 l 一， 这是 l 二，这是 l 三。好，那你会发现对于 l 一 和 l 三来说，这条边接线，这个角阿尔法， 对于 l 二和 l 三来说，这条边接线，这个角是贝塔，所以塞塔等于阿尔法加贝塔也 ok， 它的底层逻辑都是一样的，你要想用到这些角度，就得让这些角度的一边去做结线。做结线 看起来是三幅图，底层逻辑是统一的，所以你千万不要去背个什么猪蹄模型。哎，我背一下，背一下，背一下，只要看到这阿尔法贝塔，然后这个 c 塔， c 塔就一定等于阿尔法 c 塔，就一定等于阿尔法加贝塔。 你要是这么学，你这么学，你就不要学数学了。但凡来一个问题，你不屈膝在他的底层逻辑，你背一个模型，或者说就背个过拐点做平行。为什么过拐点做平行？ 因为你但凡要出现同一角、内错角，同行内角，你都需要让那些角的一边做结线，才能导出角的关系，这是所有问题的本质。好吧，所以最终做这记这一句话，让角的一边做结线，就可以构造三线八角图。 所以接下来我们所有的核心就是，你要知道什么呢？你要知道如果平行线不好用，平行线倒不起来。角度是因为缺什么？ 缺结线，你只要有结线，你在有平行线的情况下，只要有结线，必然有角度关系。如果没有找到角度关系，就是因为结线没有到位。结线怎么样才能到位？你可以延长，也可以再做平行，让他们去充当结线。来吧，兄弟们 来看题。我现在要证明这个阿尔法角等于这个贝塔角，然后现在我有绿的绿的平行，蓝的蓝的平行，但是这个阿尔法角和贝塔角的边都没有充当结线，阿尔法角和贝塔角的边都没有充当结线，说明这些平行线用不起来，那怎么办？ 延长就好了嘛，你比如说我想让阿尔法这条边当结线，我把它延长下来，延长下来，你看这是不是他就是结线，他是结线，这个角是阿尔法，这个角是阿尔法。 再因为这两条线本身也是平行的平行线，同位角相等，阿尔法等于贝塔结束。就这么简单。为什么一开始阿尔法和贝塔倒不起来？因为他的边没有当截线，你让他的边当截线， ok 了，来。那有的小伙伴不服气了，哎，那马哥 啊，你为啥往下延？你不不往上延，那往上延你就看能不能当截线。能当截线也可以吗？往上延，往上延不行吗？往上延没有平行线吗？怎么延都交不上吗？所以往上延不行。 那有的小伙伴说，那我能不能沿这个啊？那沿这个就可以了。你看，这是阿尔法，这是贝塔，我让贝塔角的一边当结线，那是不是也可以找到交点？好，这个角是贝塔，这个角是贝塔。再因为这两条线本身平行，平行，平行平行。什么？平行？同位角相等，阿尔法等于贝塔，是不是又完了？ 所以本质就是你要让你的目标角只要当上结线就结束了。这道题告诉我们什么？告诉我们这两个角相等？ 这里我想要用到这组等角，还想让这这组平行线发挥价值怎么办？很简单，你要让这组等角的一边去当截线，你可以让 a、 e 当截线，也可以让 c、 f 当截线。那，那当截线。截线就要跟平行线找焦点嘛，一延一找焦点，这不结束了嘛？这是阿尔法，这也是阿尔法， 对不对？好，这两个角相等，这叫同位角相等，最终两直线平行结束。同位角相等，两直线平行结束。你看关键是什么？关键是得让角的一边去延长出去，就跟它交点当截线。那有的小伙伴说 这个是 r 法，我能不能让这个角的一边当接线？那当然也可以，那就是延长 c f， 延长 c f 还是要跟平行线找到交点，一找到交点，这个 r 法角过来，这个角角也是 r 法。好了，那我得到这个，这这两个角都是 r 法了。同位角相等，两直线平行，这两条直线又平行得正结束。 所以核心是什么？核心就是你这有一个角，这有一条平行线，你怎么样能够倒起来角，让角的一边当截线？阿尔法，阿尔法，这就是基础图，你必须得让你的目标角的一边能当上截线。好，来，再看这个角 c 的 度数。 这道题叫做什么？叫做可以看到结线，这两条平行线，你只要看到了平行线，能不能看到结线？有没有结线？兄弟们，他是有结线的嘛？这这条线就是结线嘛，这条线是结线，就一定有角度关系，这个角五十四度，这个角五十四度，对不对？你放心，这个角的一边充当了结线，这个角一定导得出来， 是不是？这就是本质？好了，这个角五十四度，这个角十八度来看这个三角形五十四度，这个外角是不是就等于角 c 加十八度，所以角 c 就 等于三十六度结束。哎，你看，用一次同位角，再用一次外角， 所以你只要平行线角的一边当了结线，只要他是结线，这个角肯定导得出来。好，来，继续。下一个最简单的就是延长外角，你看现在这两条平行线为啥没有用？因为还是没有结线吗？怎么样才能有结线呢？你看，我就让二十九度角的一边当结线， 这个二十度角是不是内错下来？这是二十九度角，对吧？然后二十度九度角加这个角是不等于七十五度，所以这个角就等于七十五度减二十九度，七十五减二十五，十五减九，四十六度，打完收工， 哎，所以一次内错角，一次外角，就这么简单，所以关键就是要让角的一边去当接线，对吧？好，来，那有的小伙伴说，那，那马哥，我，我能不能不用外角？不用外角也可以，不用外角，怎么用啊？看好了， 这两个角，这两个角的这两条边你都可以让它充当结线，怎么样才能让这两条边都充当结线？这两条边的焦点就是这个拐点，你做平行， 拐点，一旦做了平行，哎，你看它是结线，这个二十九，这个二十九，它是结线，这个角阿尔法，这个角阿尔法，所以你也可以得到什么七十五等于二十九度 加阿尔法，所以阿尔法就等于四十六度，也可以。这也是一种办法，就是我同时让目标角的边去当截线，过拐点做平行。所以你不是要被那个过拐点做平行，而是你一旦过拐点做了平行，这两条线就都是截线了，这些角就都倒起来了， 这是核心，这是底层逻辑。你有了这个底层逻辑，你就不必僵化的去这么去做辅助线，好，来，继续下一个，这个底层逻辑还是一样的，我还是可以，怎么样，哎，我还是可以让这个角的一边我去做接线，我把它延长下来， 对吧？做接线，那这个角七十度，这个角也是七十度，这七十度来这个三角形，这是不是外角？外角就等于七十度加十五度就等于八十五度，你看角的一边去做接线，这个七十度就下去了。那我可以让 a c 当接线，我还可以让谁当接线？ 我还可以让谁当接线。就是让你目标角的一边，目标角的一边看七十度角，它的两边一边是平行线，另外一边就可以做接线。好吧，我还可以让 p d 非常好，这个目标角，那么这条边也可以做接线。做接线怎么？我把它延长出来， 对吧？然后把它延长过来，你看角，目标角，目标角有用的，这些角的一边，我让他去做接线，那这个角就是十五度，这个角十五度来对顶角这个角七十度，那么这个角是不是又是外角七十度加十五度， 所以就是目标角的一边去做接线。什么叫目标角？来，再感受一下。我要这个角，那么这有条平行线怎么办？让这个角的一边就是它，等接线 ok 了， 好来，还有什么办法？当然还有办法，我能不能同时让这个七十度角和十五度角的一边去，让他和他让，让他两个角的一边都去做接线？也可以的，过 p 做个平行就行了。你看他是接线七十度， 他是结线十五度也可以达到八十五度，你随便。所以你理解了角的一边当结线就可以倒角这件事，你爱怎么做怎么做，就是你会发现你，当你懂了这些东西之后，你学习才会越学越畅快，越学越自由，而不是听别人给你讲一堆这模型，那模型，你去记一堆结论， 你现在就越来越有自己的独立思想，你知道他的本质之后，你可以按照这个本质原理，你自己去决定你要怎么做。这道题 明白了吧？就学数学，一定要学出这种自由感，而不是学学一堆框架，这模型，那模型必须要怎么做，那你就脑子就学坏了。好吧，我们说目标角，什么叫目标角？就是已知和所求角度，你可以已知，也可以所求，对吧？好，来再来。你看这里面的目标角是不是就是六十六度和一百五十三度？ 所以你要让目标角的一边当接线，你可以让谁去当接线？我可以让 ab 当接线，你比如说咱们就让 ab 当接线，我让 ab 去当接线，我把它延长下来，那你会发现这个角是不是六十六度， 对不对？这个角六十六度，我要求角 b 呢？那这个角，这个角五十三度的话，呃，这个角就是二十七度，那这就是二十七度加六十六度，那我还可以怎么样呢？那我自然，你看这个角也是目标角，那我就可以让这条边去当接线，也没有问题， 对不对？让这条边去当截线，我就可以用到来。这两个线是平行线，就可以用到同旁内角互补，这个角二十七度，对不对？这个角二十七，这个六十六，这个角还是六十六加二十七？ 哎，你会发现，你只要能够让目标角的一边已知或所求角的一边去当截线，你就是可以构造出来三线八角图。你有没有发现你做题做的很自由？那当然，我还可以让什么？ 让这两条边同时当结线，让这两条边同时当结线怎么办？那就是过 b 做平行线，过拐点做平行线，这个六十六，这个六十六，这个一百五十三，这个二十七也可以，你随便怎么做，他不解，法不为一。好吧， 好了，过了啊，来下一个。那么像这种多个拐点的我们怎么办？多个拐点的我们最好就做平行了，因为多个拐点你没有办法通过延长某一条线，让他们把这些角，把这三个角都用起来，你为了把这三个角都用起来， 你就是能怎么办？做多个平行，多个角就是拐点做平行，哎，拐点做平行，然后怎么办呢？那我们已知角就标一标吗？这个角四十八，这个角就多少，这个角就是三十二， 对吧？三十二度，好，这个角五十四，那这个角也是五十四度，对不对？好了，那么最后再来，你看这还有内错角，这个角是阿尔法，这个角是阿尔法，这个角是贝塔，这个角是贝塔， 对不对？好了，你最后要求角 e 加角 f， 角 e 加角 f， 所以 角 e 加角 f， 就 等于三十二加阿尔法三十二，再加阿尔法，再加贝塔，再加五十四， 而阿尔法加贝塔是多少？阿尔法加贝塔是五十二，对不对？好了，这三个相加加起来多少就多少，一百三十八度， 多拐点延延长就不好做了。多拐点延长，你没有办法同时把他们几个的这个边通过延长做接线，因为你每次延长只能让一条边做接线，那就是怎么办？多个拐点你就可以做多条平行线，好吧？好，来。再比如说这个，你看啊， 这道题的目标角是这个角和这个角，那我要让目标角的一边做接线，我如果要让他做接线，那我就得让接线和平行线有交点，那我就把它延长出来，你会发现这个角七十五度啊，那这个角也是七十五度，对不对？然后呢？这个角三十度，看七十五减三十就是四十五， 不相邻两内角合吗？看，我让他当接线，那我自然还可以让这条边去当接线。你看一百五十度，我还可以让这条边当接线，这条边当接线，你就得往上延长了，和他去找交点，对不对？这个角一百五，那这个角也一百五， 对吧？这个角一百五，然后这个角七十五，那这个角就是这是一百零五，对不对？好，一百五十度应该等于这两个角的和，所以这个角四十五度，看这个角等于不相邻两的角和也结束了，所以你看，你让这个角的一边去当截线也可以，让这个角的一边去当截线也可以，都可以。 好吧，你只要做了结线就结束了，都是一样，一模一样的思路。好吧，所以兄弟们，你有没有发现，我们做到现在，无论是这样的图，是这样的图，还是长这样的图， 你无论哪一副图，你最终的思路都是一模一样的，就是让你的目标角度的边去当结线。好，来， 再看这个题，目标角就是已知或所求角，你比如说这个已知角，这个已知角，这叫目标角，这个所求角也叫目标角，就是已知或者所求的角度就是目标角。你会发现你前面很多题目，你背个这猪蹄模型，那模型，这模型你可能还能做。 来，你感受一下，你这个题，你再背模型，你还能做吗？就做不了了，兄弟们，就稍稍把图给你变一下，你就做不了了？让谁去做接线？兄弟们，兄弟们，这道题 cd 有 用吗？ cd 完完全全是个干扰项， cd 是 没有用的，因为 cd 为啥没用？ 不是目标角的边。我再说一遍，什么是目标角？要么是已知的角，要么是所求的角，就是你要去玩的角， 它既不是已知角的边，也不是所求角的边，这条边根本就没有用，你让它当截线，你至少是不能很顺利的把题目做出来，你至少是不能很顺利的。我也不说你最后最终能不能绕半天把它做出来，但是你至少是不能很顺利的把它做出来，因为它不是目标角的边， 这个就没有用，不要去看它，它完全是个干扰项。换句话来说，这道题有它没它都能做。我现在把这个图的 c、 d 给你删掉，我给你画一下这个图 a、 b 五十度来看，绿的和绿的是平行的，然后呢？蓝的和蓝的是平行的， 蓝的和蓝的是平行的，这个是 d， 这个是 e， 这个是 f。 我 把这个 c、 d 给你删掉， 把 cd 这条线给你删掉。这道题照作。为啥呢？因为 cd 根本就不是目标角的边，这条线有跟没有没有任何差别，这就是这道题的本质，你能够理解 cd 这条线段完全没有用，你就理解了平行线构造三线八角的本质。好了，那么接下来怎么办呢？ 这个是问号角，这个是已知角，我只需要怎么办？我只需要让已知角，比如说让已知角的这条边去当结线。怎么样才能当上结线？你把这条边再延长下来，就当上结线了，延长下来以后，那你会发现，首先因为这两条线是平行的，这个角五十，这个角五十， 对不对？好。再来。再来，因为这两个圈线段也平行，这个五十，这个也五十， 这个五十，那么这个角一百三十度结束，你看，没有 c、 d 是 一模一样的，这就是本质。你把本质给我理解透，他不是目标角的边，这些线段就没有用，这就是本质。好吧？来，我们再在这幅图上看一下， 你看是不是我要让他的一边去当截线，我把它延长下来，延长下来，来，这五十，这五十，然然后再因为蓝的，蓝的平行，这五十，这五十，这五十，这一百三，结束，就这么简单， 是吧？已知角的边当截线，对吧？好，那我们能，能不能换一下？能不能换一下？那我能不能想办法让他的一条边去当截线？也可以啊？我把它这么延长吗？我把它这么延长上来， 对不对？然后再把它延长出来，那你会发现这五十，这是不是五十，对不对？好在因为这两条线平行，在，因为这两条线也平行， 这两条线也不行，这五十，这是不是也五十？这五十，这是不是一百三十？也可以？你无论是想着让已知角的一条边去当截线，还是让所求角的一条边去当截线，你把它延长出去找焦点，都是可以做的出来的， 这就是理解了本质。你再看这道题，你去套模型，你还做的了吗？对不对？这么简单一道题，你套模型你就做不了了，你没有理解本质，你就活不成了， 好吧？好，再来，我要找这个阿尔法贝塔和 c 塔的关系核心就是什么？你看这次目标就是他们三个，他们三个你让他们的边去当截线就行了。你让哪条边当截线啊？这两条线平行，你现在之所以倒不起来，是没有边当截线吗？ 你们想让哪条边当结线？你让 pa 当结线可以吗？看我把它延长下来， pa 是 不是就当了结线了？这个时候这个角是 c， 它这个角是不是就是 c？ 这叫两直线平行，同位角相等，这有啥不能写的？延长下来有啥不能写的，对不对？然后再来一个外角等于不相邻，两内角和来这个角是 r 法，这个角是一百八十减 r 法， 对不对？所以 c 它就等于什么贝塔加一百八十减 r 法， 外角等于不相离，两内角合结束，就这么简单。好，来，继续啊。这道题我们看到了什么？我们看到了角分线啊，角分线就会有一些等角，对吧？有平行线，有角分线，你首先看，这是角分线，这两个角相等，这是角分线，这两个角相等。你看到了这些等量关系应该去干什么？ 看到了等量关系，等量关系，你一定要学会去射它，一定要把这些角射出来。等量关系，你先射出来，标好这两个角相等，这两个角相等好了。 那么接下来它要求什么？求两倍的 a q e， 两倍的 a q e 是 这个角和 ape 再加 ape 的 值，两倍的 aq e 再加 ape 的 值。那其实我们现在应该有一个目标，就是用我表示出来的阿尔法、阿尔法，贝塔，贝塔。把这些 所求角度表示出来，我已经设了阿尔法，已经设了贝塔了，那我是不是就要用阿尔法和贝塔？尽可能的用阿尔法和贝塔把问号角表示出来，这应该是我做这道题的目的。好了，那大家想一想，那我接下来你看，那我的目标角是不是就是这两个问号角？ 这两个问号角要能够用得上这两条平行线，我的现在的目的是不是还是要让什么？还是要让角的一边去做结线？让角的一边去做结线怎么办？你比如说这个角我让他的哪条边去做结线？这道题可以让 pa 做结线，让 pa 做结线，那我就让他去当结线， 让他去当接线来往下一延长，让他接线往下延长吧。那这个角是阿尔法，这个角也是阿尔法。好了，你会发现，这个角一旦是阿尔法，那么这个角屁已经可以表示了，就是两个阿尔法和两个贝塔的什么差？非常好，因为这是外角，等于他加他嘛， 对吧？二阿尔法等于他加他，所以这个角就是阿尔法减二贝塔，这就是角屁。 哎，你看，我让角屁的一边去做结线，我就把它延长下来，核心就是这个结线出来，那么他加他，等于他就出来了。好，来，再来。那么接下来我是不是还我这个角已经处理完了，因为我要两倍的 a q e 加 ape 嘛。那么接下来 ape 已经处理完了，那我现在去搞 a q e， 我要搞 a q e， 我 就得让这个角的一边其中的某一条边去当结线，你选 a q 还是选择 q e， 咱就选 a q。 可以 啊，咱就选 a q， 那 我就把 a q 延长下来， 把 a q 延长下来，我就可以得到哪个角，比如说这交于 m， 那 这个角是不就知道了？这个角你看，这个角是阿尔法，同为角相等，这个角也是阿尔法， 这个角是阿尔法，那么这个角就出来了，就是阿尔法减贝塔。你看，因为这两个角的和等于阿尔法，所以这个角就是阿尔法减贝塔，那么这个角就是一百八十度减阿尔法减贝塔好了，那么 a q e 也就搞定了。所以有没有发现再复杂的题， 和我们之前讲的简单题，它的底层逻辑一模一样。你要想处理这个角，你让这个角的某一条边去当结线，你要想处理这个角，你让这个角的某一条边去当结线。然后出现了三件八角，这里是用同位角，这里也是用同位角去倒个角，最后三角形用一个 外角定零， eq 也一样。 eq 你 往上沿一模一样。 eq 你 往上沿一模一样。看，这个角是 beta， 这个角也是 alpha 减 beta， 一模一样好了。那么最后呢？两倍的 a q e 加 a p e 我 就带进来嘛。两倍的 a q e 是 什么？就是两倍的，我把它化简一下啊，它就是一百八十度减 r 法，加倍它就是 a q e， 是 吧？所以两倍的 a q e 一 百八十度减 r 法，再加倍它，然后再加 a p e， 二 r 法减二倍它 好了，那就等于三百六十度减阿尔法加二贝塔加二阿尔法减二贝塔好了，阿尔法阿尔法约掉二贝塔，二贝塔约掉，等于三百六十度 结束。所以你会发现，这道题如果放在初一的考试里面，已经是很复杂的题目了，但是它的本质逻辑 来大家总结一下关键点。总结一下关键点是什么，你会发现有关系要设，有等量一定要设，就是阿尔法贝塔，你要先设出来，你不设出来，你没有代餐思考的这个能力， 代餐预算的能力，这道题你下不了手，这是第一步，设就非常非常的重要。然后接下来所有的辅助线构造三线八角的逻辑，就是目标角度角的边， 你去让他做结线，做了结线就可以转化，就是这一二，而这一步是我们刚才每一道题都在用的。你有没有发现，马哥从今天的第一道题讲到最后一道题，用的逻辑是一模一样的，没有牵扯到任何的模型，不需要你去背任何的结论， 就是一个逻辑怎么样用好三线八角，目标角度的边，当结线找到目标角延长他的边，找到结线结束，这就是你底层逻辑，他才能帮助你解决非常多的问题，变化的问题。 好了，我们今天最后再讲一道题吧，最后一道题，首先他告诉我们什么呢？他告诉我们这个 mg 平分，这两个角是相等的，对吧？然后又告诉我们 bmg 是 四十度，这个角是四十度， 那说明这两个角都四十度呗，对不对？这两个角都是四十度，然后又告诉我们这是角分线，那这两个角都设为 r 法呗。好，接下来让我们搞什么？搞 mgn m g n 加 m p n， 就 搞这两个角，搞这两个角，其实哪个角很简单，就这个角很简单，为什么？这就已经是截线了，这已经是截线了，所以这个角秒了。这个角多少度？八十度 对不对？四十加四十，这个角八十，所以角 p 什么？八十度减 r 法，看这个三角形，八十减 r 法的它，那么我要现在要求点进啊，点进，那我也可以延长，让他的这条边当截线，也可以让他的这条边当截线，我还可以 过拐点做个平行，这两条边现在都是结线，这个角 r 法，这个角四十，这个角四十，对不对？所以这是四十加 r 法，这是八十减 r 法，所以这两个角的和不就结束了吗？角 g 加角 p 就是 四十加 r 法，再加八十减 r 法，就等于一百二十度， 对吧？就这么简单，你看就是已经有结线了，就直接倒没有结线，你要么延长，要么做平行，就等于一百二十度，对吧？就这么简单，你看就是结线就会有角度， 好吧？这道题的第二个，这题还是一样的，你会发现人家给了你一个等量关系啊，又告诉你这里面有一些角分线，这角分线，这两个角相等，这角分线，这两个角相等，对吧？啊？这是角分线，这两个角相等，这角分线，这两个角相等，那你就把它们都射出来， 都射出来以后，最后这两个角满足这样的关系，那我肯定就是用 r 法和贝塔去表示这样的关系，那我肯定就是用 r 法就结束了。我们来看啊，首先你要处理这个角， 你要处理这个角是不需要做辅助线的。为啥说不需要做辅助线？因为这个角的哪条边已经是截线了？这个角是有两条边的，哪条边已经是截线了？他的 e n 已经是截线了，在 e n 已经是截线的情况下，我就可以直接倒角，这个角是 beta， 这个角也是 beta。 然后呢？这是三角形的外角，你看外角实在太好用了，为啥要给大家补充这个角？尽早的把外角的使用掌握起来。就是外角实在太好用了，为啥要给大家补充这个角？ 所以 m e n 就 已经搞定了，就是 beta 减二 r 法，就是 m e n， 接下来我要搞 m g n m g n 其实也很简单，因为这个角是 r 法，那么这个角也是 r 法，对吧？然后这两个角是二 beta， 那 么这个角就是一百八十度减二 beta， 对不对？好，那么你要搞定这个角，你要让它的一条边当截线啊，或者说你直接过它做平行都可以过它做平行就是让这两条边同时将当截线啊，那我们就过它做个平行，好吧？做个平行，那么这个角就是 r 法， 这个角就是多少，就是一百八十度减二倍，它这样的话，角 g n 就是 什么 m g n 就是 一百八十减二倍，它再加 r 法。 好，那接下来就结束了呗。你看，那这个式子就可以表示成两倍的。贝塔减二，阿尔法再加一百八十减二，贝塔再加阿尔法就等于一百零二度， 那么就是二贝塔减四，阿尔法再加一百八十，再减二贝塔再加阿尔法就等于一百零二度。 好，二贝塔和二贝塔消掉了，二贝塔，二贝塔消掉，这就是一百八十减四，加一减三，阿尔法就等于一百零二，那么三阿尔法就等于七十八， 阿尔法就等于二十六度，阿尔法等于二十六度。最后我要求的什么 a m e 是 两个阿尔法，就等于五十二度， 结束到这就结束了。你说这道题最终如果放到你初一的期中考试卷子里面，作为一道角度推导的压轴题，有没有问题？一点问题都没有， 但是你要说他有多难，他没有多难，你只要掌握了他的本质，就是平行线间如果有结线，可以直接到交， 如果没有结线怎么办？如果没有结线，你要么做平行，要么延长，你就可以找到结线，找到结线就可以继续倒角。然后呢，你该设的设设完了以后，通过倒角，该表示表示，表示完了以后，就会得到关系时 关系式，最终就是一个方程解这个方程，整个问题结束。所以你有了设的习惯，有了标的习惯，有了构造通过结线构造三线八角的能力。这样的题目你自己作上两遍，你会发现很简单，延长 mg， 一 点问题都没有，延长 mg， 一 点问题都没有，只不过我这图不好画了。好吧， 来吧，那我们整个的平行线的这个内容就全部讲完了，我们来感受一下。一开始的平行线的这个内容就全部搞定了， 讲讲这个综合进阶与平行线相关的倒角。好吧，那么最终呢，对角度关系的认识，两线四角的角度关系，三线八角的角度关系，包括哥给你补充的什么？哥给你补充的这个外角和不相邻内角的角度关系，是不是认识的更清楚了？ 平行线垂直各种关系以及判定，我相信你也了解到了。那么最后发展推导角度关系的能力就是四个字，会用等角与角、补角 外角。你看我们今天来来回回啊，等角与角，补角外角，就是通过这些角度关系去倒角，这是你的基本工具箱，还有一个会构造三线八角。什么叫构造三线八角？构 造三线八角就是因为你缺什么？缺结线吗？对不对？你看啊，那最终你把这个这幅图，哎，你把这幅图，你去画一画，你找找感觉，他其实就是本质。阿尔法和贝塔怎么办？你让他的一边去当结线， 或者你同时让它的两边去当结线，你做平行也可以，你延长也可以，最终的体现基本上不是做平行就是延长，但是你要知道它的本质就是目标角的一边去当结线。体会这句话，把今天我所有所讲过的题 体会着，目标角的一边去当结线，从头到尾反复串。理解了这句话，平行线这块再没有题能够难倒你，绝对没有，所有的题目都是这一个本质。

所有初一年级的家长，我用一分钟的时间把香蕉线和平行线这一张的辅助线的思路啊，辅助线的原理，以及这一张压轴题怎么样能考满分，这件事给大家讲明白，记住了啊，这张非常的简单 啊，你的所有的辅助线的思路都源于两件事，第一件事呢是平行线的性质，第二件事呢是平行线的判定。所以呢，你做辅助线的时候就是这样子的啊，如果你要用平行线的性质， 你看这不有两条平行线吗？对不对？你就做延长啊，你只要有一条线，就是既截了第一条平行线，又截了第二条平行线，那你这个时候平行线的性质就用得上，什么同位角啊，内错角啊，同旁内角，通通都用得上啊，就是平行线的性质。那第二个辅助线的思路是什么呢？就是已经有平行线了，但是呢，出现了各种各样的什么其他的点，你就在那些点 做跟原来平行线平行的线啊，就你需要的时候，你可以有几个点，做几条平行线， 你只要做完你就会发现，哎，他就会要用到平行线的判定，就是这俩平行，你再做一个和其中一个平行，其他的全部都平行，然后只要全部都平行，又出现平行的性质，同位角，内角，同旁内角就都出现了。所以我讲到这，我希望你们想透一个底层的逻辑啊，就是辅助线从哪来辅助线？ 第一一定是从书上学的知识来，那几何的知识呢？就两类，一类是性质，一类是判定。所以你做辅助线的时候，你的出发点就想两个东西啊，第一， 我是想证明他是个什么图形，那你就从判定的角度去做辅助线，你要想用哎什么图形的，什么姓氏，那你就从姓氏的角度来做辅助线，所以这学期别管有多少老师给你讲什么大招，对吧？什么平行线加拐点啊，什么猪蹄这个锯齿啊， 他的底层的逻辑都是我刚才讲了这一小段啊，一分钟之内我就讲完了，当然你说，哎，我讲到这你就能考满分，我觉得你也有点想多了啊，真正想考满分，一定要加两件事，第一件事，认认真地把这一张相关的这个压轴题啊， 一道接着一道，用我刚才的这个辅助线的思想啊，当然你也可以去听一听一些模型啊啊，然后一些这个大招啊方法呀，再去理解理解，把这些题做一做啊，这是第一个事情。那第二个事情我要强调一下啊， 就是现在的考试已经越来越叫反大招，反模型化了，所以我刚才讲的东西是希望你本质上有理解。然后另外一点想告诉你的是， 就是平行线、相交线的这部分的题，一定会越考越复杂。什么叫越考越复杂呢？在辅助线的基础之上，开始给你加东西，比如说加洞角啊啊，比如说要分类讨论呐啊等等等等啊，包括说范围啊，那这些东西共同构成了相交线和平行线这块的压轴题啊。 我不知道我讲这段，孩子家长你听完了之后感受怎么样啊？如果你觉得 a 不 错，方向有了， a 不 错，指点理解辅助线理解更深了一层了， 那接下来奔着满分去，就做专题化的训练啊，不会干的家长和孩子评论区回复集合大专题啊，周末的晚上啊，就周六晚上我们有一个讲座，再给这块带着，大家好好的来讲一讲啊，帮你剖析透彻，确保咱开学的第一章就人人拿满分！

初一下学期的相交线和平形线是我们几何当中非常重要的一个章节，而其中平行线的构造呢，又是其中的一个难点。我们来看一下这道题，如图， ab 平行于 cd 上来呢，我们已经有两条线是平行的了， g 为 c a， 延长线上的一点，这是个描述性的条件啊，角 g a b 的 平分线 a e 啊。首先我们在这把 g a、 b 给平分了，于是呢，我们在这现在是不是这两个角应该是相等的，对吧？ 呃，与角 a、 c、 f 的 平分线 a、 c f 的 平分线，那我们在这个地方，这两个角它是不是应该也是相等的？ 说这两条角平分线相交于点 e， 且角 e 等于角 b， a f 等于十五度。又给了两个具体的度数，一个是我们的角 e， 这个角呢，它是等于一个十五度的。还有一个是我们的 b a f， 也就是这个角它是等于一个十五度的。现在呢，我们题目要求我们的角 f， 那 应该也发现了，我们这依然是在平行线里边出现了拐点的问题，对吧？那通用的方法呢？都是过拐点做平行线啊。 那我们在这现在拐点有两个，一个是我们的 e 点，一个是我们的 f 点，我觉得在 f 点这呢，大家可以先不用去做这个平行线，因为我们在这呢，是有一个猪蹄模型的，对吧？我们的 b a f c d， 这是一个猪蹄模型，也就是说，我最终这个角 f， 它的求法应该是十五度，再加上下边这个角，对吧？我们依然是尖儿冲左的角的和等于尖儿冲右的角的和啊，左角和等于右角和 冲右的就是我们的 f， 冲左的一个是十五度，一个是我们下边这个角，这我们的思路呢，也现在非常明确了，我是不是就是要把下边这个 f、 c、 d 这个角度求出来，角 f 就 求出来了， 那下边怎么来求呢？呃，刚刚说了 f， 这我们不用做平行线了，但是我们的 e 点，这是需要去做一下平行线的啊。过点 e， 我 们去做这个 ab 或者 cd 的 平行线。根据平行公里的推论呢，我们这三条线是不是应该都系啊？都是互相平行的，对吧？ 都互相平行。那现在呢？呃，下边我们就开始要去表示一些角了，因为我们说过啊，当我们在题目里边出现了一些角有数量关系的时候，我们要设参数， 你比如说在这是不是有个角平分线，于是我可以得到这个地方是 alpha 啊，这个地方就也是 alpha 了。那如果我设这个地方是 beta 的 话，这个角是不是应该也是 beta？ 以及我们下边还有一个角不知道，就是我们要求那个角，干脆我在这再设一个未知数，我设这个角为伽马。哎，我把我不知道的角都表示出来了，那下边就开始要利用我们的平行，比如说我们的啊，这个点，呃，这个， 这个，我们假设它叫做 em， 好 吧，比如说我们的 em 平行于 ab 的 时候，它的作用是什么呢？我可以把这个阿尔法是不是先内错到这来，对吧？把下边那个阿尔法先内错到这来，这是利用了 em 平行于我们的 ab， 那我们的 e、 m 是 不是还平行于 c、 d 啊？而这两个平行，你明白我们又可以得到什么结论吗？在这是不是又出现了一组内错角，对吧？是一个标准的 z 型啊？那我们可以得到 alpha 加上一个十五度，它是等于 beta 加上一个伽马的，对吧？ 阿尔法加十五等于贝塔加伽玛，这是利用了第一条和第三条平行，我们已经利用了第一个和第二个，第一个和第三个，下一步我们是不是要利用第二个和第三个平行？这组平行我们又能得到什么呢？ 有没有发现我们在这有一个 f 型，对吧？那就会出现同位角，所以我们的阿尔法是等于二贝塔加伽玛的啊。我们的阿尔法它等于二贝塔再加上一个伽玛， 本质上我们在这其实是出现了一个三元依次方程组，对吧？有阿尔法、贝塔、伽马啊，这三个未知数，但是只有两个方程意味着我们不可能把阿尔法、贝塔、伽马全求出来，但我们也没有必要说把它们全都求出来，我们的目标奔着谁去呢？ 我们是不是奔着这个伽玛去？我只要这个伽玛，我就能把这个 f 求出来了。那如果奔着伽玛去的话，你应该会发现，呃，我们在这是不是有一个阿尔法等于二贝塔加伽玛，所以我们的伽玛它应该是等于阿尔法减去一个二贝塔的，对吧？ 由这个地方出现了阿尔法减二贝塔，那我们在这应该尽量的也要出现像什么阿尔法减二贝塔这样的东西，但有没有发现我们出不了二倍，但是能出一倍，我把这个贝塔移过去，你可以得到我们的阿尔法减贝塔，他应该等于一个伽玛减十五度， 把那个加十五移过来，那如果 alpha 减 beta 等于伽玛减十五度，二 alpha 减二 beta， 它是不是就是二倍的？我们的伽玛减十五度了？好的，这样我们是不是就得到了一个关于伽玛的一元一次方程？ 哦，那就可以把它嘎嘛解出来了，那我们的嘎嘛应该等于一个二嘎嘛减去一个三十，所以我们的嘎嘛应该等于个三十度。终于把我们下边这个嘎嘛这个角算出来了，它等于三十度，那我们的角 f 是 不是就出来了， 对吧？刚刚说过啊，角 f 应该等于十五度加嘎嘛，那就是十五度加三十度，所以我们最终的答案是等于一个四十五度。 所以这道题呢，倒角其实还是有点复杂的，但是基本方法大家一定要掌握啊，只要是平行线里面出现了拐点的问题，我们都是过拐点做平行线，同学们听明白了吗？那这道题呢，我们就讲到这里。

前两天说过初一下册就开始真正的几何学习，这两天就有不少的初一去问我辅助线的问题，所以今天就把辅助线一次分享完。 我是在西安高新分享数学知识点的张老师，每天三分钟，数学更轻松。初一下册的第二张虽然说是相交线与平行线，但其实认识这些东西是很简单的，难的就是对于辅助线的画法，所以一起看一下下面这几个图。 这四类图是经常会出现咱们初一下册集合里面的图形，而辅助线都该怎么画？来一个一个看。第一个 叫做猪蹄模型，我们在猪蹄模型时会发现 ab 是 平行于 cd 的， 而中间会有一个点屁，这个点屁就是我们画辅助线的地方，一般情况下我们的画法都是过点屁做 ab 和 cd 的 平行线 同理。第二个图叫做铅笔模型，铅笔模型也是同样的道理， ab 平行于 cd， 一般情况下我们的辅助线也是过这个凸出来的点屁做平行线。而第三和第四个图同理，我们看到会有两条平行线， 而凸出来的地方就是我们要做辅助线的地方，所以通常情况下会过点屁，这样子做一个平行线， 所以我们记住，看到此类图形，辅助线的画法就是在他凸出来的那个地方。好，我们接下来一起看一下这道题。 说 ab 平行于 d、 e 两条平行线，且角 abc 等于七十度，角 c、 d、 e 等于一百四十度，问角 b、 c、 d 的 度数，这个红色的地方，这个角。我们看到这种图形肯定是要做辅助线的，刚才说过从凸出来的地方 去画辅助线，所以这道题要过点 c 画 a、 b 和 d、 e 的 平行线，记作 c、 f 有 平行线了之后，因为我们这个角 abc 是 七十度，我们其实就可以得到 内错角也是七十度。我们现在知道 b、 c、 f 的 度数之后，我们要求 b、 c、 d， 我 们就还要求一个角，就是这个 d、 c、 f 的 度数，而 d、 c、 f 和角 d 其实是一组同旁内角，所以我们要知道，又因为这个同旁内角 c、 d、 e 等于一百四十度， 所以角 d、 c、 f 就 能算出来等于四十，所以最终我们的角 b、 c、 d 就 等于角 b、 c、 f 减去角 d、 c、 f 啊，所以最后的答案就是三十度。题目难度不大， 最重要的是我们如何去画出这条辅助线，所以把上面四个模型的常见辅助线的画法记住就可以。好吧，好，今天的分享就到此结束，希望各位能够继续的关注，持续的点赞，多多转发给身边有需要的人！

同学们好，我是恩恩老师。今天我们一起来学习相交线与平行线第五部分的知识点，回顾总结以及巩固上节课所学的概念。同位角、内错角、同旁内角， 看图判断两角具体是什么样的位置关系。给同学们讲几个小技巧强调一下， 如果要构成这几种位置关系，他们必须得有公共边。什么叫公共边呢？他们这个角的有一边，必须得有重叠的部分才可以。比如角一和角五， 这是角一的两条边，角五的两条边，这条边是他们的重叠部分， 当他们具有这种公共边的时候，才会有。我们讲的三种位置关系体型会怎么考呢？比如角一和角五是谁和谁被谁所截产生的什么角？ 这种题的小技巧是，要构成这几种角，必须得有公共边。公共边永远是去截别的直线， 非公共边永远是被别的直线所截的。比如角四和角五，他们的公共边是这条边， 公共边是去截别的直线，非公共边才是被截的直线。所以自己来判断一下角四和角五是什么样的位置关系。 很明显是同旁内角，所以角四和角五是直线 ab 与直线 c、 d 被直线 e、 f 所截的同旁内角。如果对于比较复杂的图形，我们该怎么做呢？ 比如三条直线 l 一、 l 二、 l 三相互相交，在这就不是三线八角了，应该是十二个角， 因为每个焦点有四个角，所以有十二个角。这些角有什么样的位置关系呢？先来看角八和角十有没有公共边呢？ 很明显是直线 l 三，被直线 l 三所截的应该是直线 l 一 和直线 l 二产生的同位角， 因为角八与角时都在直线 l 一 与 l 二里边夹着的，要么是内错角，要么是同旁内角。因为都在直线 l 三的同侧，所以是同旁内角。 再来做，角三与角八是直线 l 几与 l 几，被谁所截呢？我们发现角三和角八的公共边是直线 l 一， 角三与角八夹在了直线 l 三和 l 四的中间， 角三与角八夹在了直线 l 二与 l 三中间， 要么是内错角，要么是同旁内角。我们会发现在直线 l 一 的同旁，所以还是同旁内角。 我们能不能得到一个什么结论呢？有没有发现角十和角八、角八和角三都是同旁内角， 那角三和角十是不是也是同旁内角呢？所以一旦出现三角形，这个三角形的三个内角互为同旁内角，这是老师强调的一点。 下面再来看角九和角十是什么位？位置关系是不是跟我们刚才说的角是不一样的？那你还记得是什么关系吗？对，很明显是邻补角， 角九和角十一是什么角呢？对，是对顶角，这两两种角给我们刚才所说的同位角、内错角、同旁内角是有差别的， 如果要构成这三种类型的角，他一定没有公共的顶点。总结一下，如果有公共顶点，注意要考虑邻补角和对顶角，没有公共点，就是我们刚才讲的这三种角。 今天这一讲就讲到这里，感谢同学们的收看，下期再见！关注我，我是恩恩，一个热爱教育，热爱孩子的老师，谢谢大家关注！恩恩，成绩提高！

期末数学月考必备课本，重要公式定律给大家整理出来了！孩子复习总抓不住重点，试试这套初中数学思维导图，把零散考点串成线，逻辑清晰好理解，难点变考点，帮孩子快速查漏补缺。快给孩子准备一份吧！

今天我们讲中考常考的经典模型，相交线与平行线中的三角形模型。什么是三角形模型？三角形模型是用含四十五度的直角三角形和含三十度、六十度角的直角三角形叠放或者是拼接而成的模型。 这是一个四十五度直角三角尺，这是一个含三十度和六十度的直角三角尺。三角尺模型是初中几何的核心内容，主要涉及角度关系和边长关系。我们看常见的三角尺模型图示，第一是叠放成十五度的两个三角尺，叠一个六十度， 减去一个四十五度就等于十五度，这是一个四十五度。 点去一个三十度等于十五度。叠放成三十度的是六十度与九十度叠放，那么这个角就等于三十度。四十五度的 用九十度和四十五度叠放，那么剩下的这个是四十五度。六十度的 就用九十度和三十度叠放，剩下的这个角就是六十度。七十五度的用四十五度和三十五度直接拼接，不是叠放。一百零五度就用六十度和四十五度拼接， 一百二十度就用九十度和三十度拼接，一百三十五度就用九十度和四十五度拼接，一百五十度就用九十度 加上六十度拼接一百八十度的两种拼接方式。第三，三角形模型的特征，用一副三角形，一副三角形是一个是含四十五度和一个三十六十度的，总共成为一副啊 平接触的角度的和差均为十五度角的整数倍。十五、三十、四十五、六十七十五，这都是十五度的整数倍。三角十的内外两条边是平行的，这条边和这条边是平行的。这一条边和这条边是平行的啊，这条边和这条边是平行的，内外两条边是平行的。 第二，模型，解析常见的题型与规律，求角度。第二是判断平行，第二是三角形。作图主要是画出所有十五度的倍数角。第一是叠放的模型，求角度的，将两块三角形的顶点或者边叠在一起， 利用和差关系求未知角。第二是拼接模型，求角度，将两块三角形的边拼成直线，利用平角一百八十度或者是内角和一百八十度求角度。第二，解题的核心要诀标志已知角， 在图上标注所有的已知角，特殊角是三十四十五度、六十度。第二个是寻找那个桥梁角，利用对邻角、同位角、内错角、同角的与角相等等性质， 将位置角与已知角建立联系。第三，抓住特殊角的和差关系，以及平行线、三角形的内角和等性质来解题。第三，模型拓展直尺与三角尺的模型。 第一个模型就是角一加角二等于九十度。我们过这个点做这边的平行线，两只平行，同位角相等，那这个角等于九十度。 同位角相等，那么这个角三就等于角一。这个角等于角十度，这是个平角，那么角二加角三也等于角十度，角三等于角一的，所以角一加角二等于角十度。第二种形式，角一加三，角二 也等于角十度。我们过这一点做这边的平行线。同位角相等， 这个角二就等于这个角同个角相等，那么这个角等于这个角等于直角啊，这是个平角，那么角一加角二 就等于平角，减去这个直角就等于九十度。第三，这个角等于这个角支持的两条边是平行的，那么内侧角相等，所以角一等于角二。第四，这个角和这个角相加等于九十度。 怎么证明呢？我们过这一点做直角边的平行线做两直线平行，内侧角相等，角一等于角三。两直线平行，内侧角相等，角二等于角四， 角三加角四又等于九十度，所以角二、角一加角二等于九十度。看模型五，角一等于角二等于七十五度。 直角两边是平行的，两直线平行，同位角相等，因为这个等于四十五度，这个等于总共加着等于一百零五度， 那么剩下的这个角就是七十五度。角一等于角二等于七十五度。模型六角一等于一百零五度，因为这个等于四十五度，这个等于三十度，那总共加起来七十五度，那么一百八十度减去七十五度，那么角一就等于一百零五度。第二，直角与三角形的特征 啊，拼接处的角度啊，是可以任意角度。第二，直角的两条边是平行的。第四，模型，实战中考整体突破 例一二零二四年福建的中考题，在同一平面内角直角含三十度角的三角尺和木工角尺啊，木工角尺，这个是垂直的， ab 平行于 cd， 让我们求角一的大小。 ab 平行于 cd， 那 么同位角相等，这个角就等于六十度，因为这个垂直，那么这个等于九十度，总共就是一百八十度， 减去九十，减去六十，就等于三十度，所以选 a。 第二题，二零二四年江苏盐城的中考题， 三角板如图摆布，角一等于五十五度，问，角二等于多少度？四十的两条边是平行的，所以角一等于角三等于五十五度，这个是一个直角，所以角二就等于一百八十度。减去九十度，减去角三，角三就等于五十五度， 等于三十五度。选 b。 第三，二零二四年内蒙古赤峰中考题，小明将一副三角尺厚度的不计，如图摆放， b、 c 平行于 d、 e， 那 你求角一的度数，我们过这一点做平行线，那么这个角等于这个角， 这个等于四十五度。角一就等于一百八十度。减去四十五度，减去三十度， 等于一百零五度，所以选 b。 意是二零二五年福建的中考题。某数学兴趣小组为了探讨平行线的有关性质啊，用一副三角尺按如图方式摆放， 其中 a、 e、 c、 f 在 一条直线上，角 b、 a、 c 这个和这个都是九十度角 b 等于四十五度， 这个等于六十度。当 a、 d 和 b、 c 这两条线平行的时候，求这个角，这个角等于四十五度，那么两只线平行，内侧角相等，那么这个角也等于四十五度。 这个角与这个角互补，那么这个角等于一百二十度，那么角 a、 d、 e 就 等于一百八十度。减去一百二十度，减去四十五度，就等于十五度，所以选 b。 六、 二零二五年黑龙江齐齐哈尔的中考题，角一等于五十度，问，角二的度数过一点做他的平行线。两直线平行，同位角相等，那么角二就等于 这个角，这个角等于六十度，那么角二等于角三，角三加上六十度，加上角一就等于一百八十度，角一又等于五十度， 所以角二就等于角三等于一百八十度。减去六十度，减去五十度就等于七十度，所以选 c。 你 看思考题，角一负三角时，按如图所示的位置摆放，求角一的度数，我们看一下这个题怎么做。这个等于六十度， 这个等于四十五度，那么这整个就是一百零五度啊，这个角就等于多少度？一百八十度减去一百零五度啊，等于七十五度。这两条直线又平行，所以角一跟他是同位角，所以这个等七十五度。