六下冀教版基本功圆锥练习二

别再让孩子死记公式了，六下数学圆锥沙堆铺路体，一步一步拆解，看完就会来看题。一个圆锥形沙堆，高一点八米，底面半径是十分米，用这堆沙铺宽一米，厚两厘米的路，可以铺多少米？ 看完题目，首先大家发现的问题是，这题的单位很多，有米分米厘米，所以要先统一单位。这种沙滩铺路的问题，其实核心就是等体积变换，即沙滩体积等于铺路的长方体体积。先将所有单位统一为米，底面半径十分米等于一米，铺路厚度两厘米等于零点零二米。现在计算云锥体积， 因为沙堆体积等于长方体铺路的体积，而长方体积公式为，长乘以宽乘以高， 此处高即为铺路厚度，则长等于微。除宽乘以高的积等于一点八八四，除一除零点零二等于九十四点二米。至此，答案已求出 一错点。提醒，一、单位不统一会导致计算错误。二、圆锥体积需乘三分之一，切勿遗漏。三、铺路的厚度对应长方体的高，避免混淆长宽高。

八点二二，圆锥及其侧面展开图首先我们来回顾一下圆锥它的相关公式，圆锥的侧面积应该等于 二分之一，个底面的周长乘以母线长，那圆锥的体积等于三分之一 s， 底面积乘以高。那圆锥它有一个特性是母线长和高 数量不相等，高对应的是顶点到下底面这个圆心的距离，这里是 h， 而它的母线长是它的侧边的长度是 l。 第一题，如果一个圆锥母线长为六厘米，底面半径为三厘米，那么这个圆锥它的表面积，表面积是侧面积加上底面积，那底面积是 pi 乘以 r 的 平方是三的平方加上表面积是二分之一，个 底面周长乘以母线长乘以二， pi 乘以 r 是 三，再乘以母线长是六，所以最后算出来应该是二十七 pi 答案，选择 b 选项第二题，如果一个圆锥，它的体积是三百一十四立方厘米， 底面积是六十二点八平方厘米，那么高是多少？根据体积公式，三分之一 s 底再乘以高 h 等于 三百一十四，那现在我把底面积六十二点八带进来高，算出来应该是十五厘米。答案，选择 b 选项第三题，如果一个圆柱与一个圆锥等底等高，它们的体积之和是 六十立方厘米，那么圆锥的体积是多少？等底又等高？根据体积公式，圆锥它的体积应该是 等于三分之一个 s 底是 pi， r 的 平方乘以高是 h， 而圆柱呢，是等于 pi， r 的 平方 h 分 别都相等， 那也就是说圆锥的体积它是圆柱的三分之一。现在求圆锥的体积，那设圆锥的体积是 v 的 话，那么圆柱的体积应该等于三倍的 v， 那 现在两个体积之合是六十，也就是 v 加上三倍的 v 等于六十，那 v 算出来应该等于十五。答案，选择 c 选项。

八点二一圆锥及其侧面展开图首先我们来看一个圆锥，它是一个锥形的，下底是一个圆面， 那这样的图形，我们把它叫做是圆锥，这个圆形它下面的底面，我们把它叫做圆锥的底面， 顶点叫做圆锥的顶点，那顶点到底面这个圆圆心的距离，我们把它叫做圆锥的高，而这个时候它的母线跟高就不是同一个长度了，那母线它是圆锥的这个侧面， 顶点到这个侧边 o 一 这段，我们把它叫做圆锥的母线，那高和母线这时候长度不一样的。那圆锥的展开图，它是一个扇形， 是一个这样的扇形。圆心角的度数，根据题目所给圆心角的度数，那它的侧面积现在变成了是 s 测，等于二分之一个底面的周长乘以母线的长。我们之前圆柱它的侧面是底面，周长乘以高，或者是母线长长度是 一样的，那现在变成了二分之一，底面的周长乘以母线的长，那圆锥它的表面积就变成是 s。 底面底面这个圆的面积，再加上侧面的面积体积，它就等于三分之一 s 底面积 再乘以它的高是 h。 圆柱我们直接是底面积乘以高。圆锥这里多了一个三分之一。 第一题，已知圆锥底面圆的半径是三厘米，母线长为五厘米，那么这个圆锥的侧面积， 根据侧面积公式，它是二分之一个底面的周长乘以 l 是 母线的长，那等于二分之一乘以二 pi 再乘以 r 是 三， 再乘以某线长是五，所以最后算出来应该是十五 pi。 答案，选择 c 选项。第二题已知一个圆锥的侧面展开图是半径为八厘米的半圆，我们看 展开图是一个半圆，它的半径是八厘米，也就这里是八厘米。那么这个圆锥的侧面积 展开图当中的半径正好是这个圆锥的母线长等于八厘米。那现在算圆锥的侧面积，它是二分之一个，底面的 周长乘以 l， 底面的周长正好是这个半圆长的弧长，所以应该是等于二分之一乘以 二分之一乘以二。 pi r r 是 八，再乘以母线长是八，所以最后算出来是三十二 pi。 答案，选择 b 选项。

这个视频我们来看一下六下同步拓展里头的关于圆柱圆锥的重难点题型，底面直径是十厘米的圆柱形容器，放入等底等高的圆柱和圆锥形的铁块，问题是圆柱形铁块的体积是多少？ 那首先在第一句话中很明确知道它的底面半径是五厘米，所以我们现在就可以根据这个信息快速得到圆周的底面半径是五厘米， 那得到他有什么用呢？来看一下，那本来人家呀是好好的，里面装着水，静悄悄的，但是你非得给人家放入一个圆柱和圆锥，这样的时候大家想一想会发生什么现象，特别好，水面会上升，那我们根据之前讲过的支点，我们知道 此时此刻属于的是完全寂寞的情况，所以你会发现放入物体的体积就等于上升水的体积，对不对？那现在大家看一下，我们能不能找见从一开始的水面到最后的水面，能不能找见上升水的部分呢？ 非常好，我们现在给它画出来，所以早此此刻此刻你会发现这个红颜色的圆柱形就是上升的水，那要想求出这个上升水的体积，它是圆柱，所以我能不能根据圆柱的体积公式来算出上升水的体积， 从而求出放入物体体积，能懂了吗？好，接下来怎么去算呢？由于圆柱的体公式是太二的平方乘上 h， 所以 开始代数据，三点一四乘上半径的平方，也就是五的平方，再乘上它上升的高度， 本来是五厘米，现在变成九厘米，所以上升了四厘米。列式子，三点一四乘上二十五，再乘上四 啊，这个时候可以巧算，根据我们的乘法结合率，他两先算是一百，所以很明显知道三百一十四单位是立方厘米，就是放入物体的体积。 而此时此刻大家要知道放入物体的体积，他现在是有一个圆柱和一个圆锥。人家已经告诉你圆柱和圆锥有什么特点是等底等高，在咱们的同步拓展里头专门讲过，等底等高的圆柱和圆锥有什么关系？

快要高考了，这个视频用五十分钟和大家一起复习圆锥曲线。首先来看一下这个椭圆最基本的定义，椭圆定义就是说平面上的一个点到两个点的距离，这个是定值它所形成的一个轨迹， 然后这两个点，这两个定点就是椭圆的焦点，焦点的焦距就是两个定点之间的距离是二 c， 然后定值是二 a。 这个地方要注意椭圆的标准方程，当他的两个焦点如果在坐标轴上的时候，假如是在 x 轴上，那标准方程就是 a 方分之 x 平方加 b 方分之 y 平方等于一， 其中 a 大 于 b 大 于零。如果焦点在 y 轴上的话，那就是 a 方分之 y 方加上 b 方分之 x 方等于一，这边 a 大 于 b 大 于 b 大 于零。 然后来看一下，如果说大题第一问想要把分数拿到的话，一定要知道一个关系，在椭圆里面的 a、 b、 c 之间一定有一个关系，就是 a 方等于 b 方加 c 方。其中要注意几个最基本的定义， 我们说长轴的它的长度是二 a， 短轴的长度是二 b， 但是如果题目中出现半长轴长，半长轴长，它它的值对应的是 b， 这个一定要和长轴和短轴注意区分。 然后椭圆还有一个定义，这椭圆里面还有一个心角的离心率，离心率等于 a 分 之 c， 而对于椭圆而言，离心率的范围是离在零到一之间的。下面来看双曲线， 双曲线的定义就是平面上的一个点到两个点距离之差的绝对值是定值的点形的轨迹，它的标准方程就是这样的一个形式，跟椭圆是非常类似的， 然后我们对比一下椭圆双曲线的焦距也是二 c， 实轴长是二 a， 虚轴长是二 b， 这里双曲线他没有长轴和短轴，他只有实轴和虚轴。然后在 ab 呃，然后在双曲线中 abc 的 关系， c 方等于 a 方加二 b， 这个也是必须要记住，这个在大学求第一问方程的时候是一定会用到的。 在双曲线里面，离心率 e 依然等于 a 分 之 c， 它的范围是一到正无穷啊。然后在双曲线中还有一个定义是渐近线，渐近线的方程就是 y 等于正负 a 分 之 b x。 如果说这个方程记不住的话，你只需要把椭圆方程里面 等号后面等于一把一改成零，把一改写成零，然后再把这个方程进行化简，依然可以得到 y 等于正负 a 分 之 b x。 这个这个方呃就是这个渐近线的方程，它仅仅适用于当交点在 x 轴上，如果交点在 y 轴上的话， 我们就需要进行这个重新去计算。当然计算的方法也是可以一样的，就是把标准方程中 a 方分之 y 平方减去， b 方分之 x 平方等于一，它后面的一给它换成零 好，然后这样就依然可以去求出当焦点在 y 轴上的时候的这个双曲线它的渐近线方程好。然后最后再来看一下抛物线， 抛物线的定义是说一个定点到，就是说一个点到一个定点与到一条定直线的距离相等，然后这个点的这个轨迹， 然后抛平的标准方程有两种，一个是 y 方等于二 p x， 一个是 x 平方等于二 p y。 其中如果是 y 方等于什么的话，那就是开口向右啊，或或者是向左，但我们一般默认 p 大 于零的话，那它开口就是向右的。 然后如果是 x 平方等于什么的话，那那那它的这个开口呢？就是向上的。这个时候在做题的时候一定要注意区分啊，因为因为我们一般认真情况下，他这个目都是默认他开口向右的， 所以有的时候题目出现 x 平方等于什么的时候，他他实际上是开口向上的，但这个时候就很容易搞错。然后抛物线呢？呃，他还有这个基本的定义就是焦点 f 是 二分之屁零，然后准线方程是负的二分之屁。 如果说这个大题第一问，大题第一问一般都是求这个椭圆双曲线，就是椭圆双曲线和抛物线的方程。我们这边先用椭圆和双曲线来举例子，我们刚刚提到在椭圆里面有一个恒等式， a 方等于 b 方加 c 方，在双曲线里面是 c 方等于 a 方加 b 方。 然后去求方程的时候，肯定要把这三个未知量全部给求出来。然后现在我们剩下还需要， 因为一共有三个位置量，就必须要用三个方程来进行求解。现在我们已经有了一个方程，所以说往往在题目里面的条件会给到我们还有另外两个，还有有另外两个方程的一些信息。而信息的种类首先比较简单的有四种，第一个他直接给出了这个取这个曲线上的某一点的坐标， 第二个他给出了长轴、短轴或者是顶点焦点的坐标，而这两个呢都是非常明显的，直接带入到方程里面就行。 然后还有另外两个，一个是离心率或者是双曲线里面，它会给出的渐近线的方程或者是渐近线的倾斜角，这个离心率和渐近线它往往是给出了在 a、 b、 c 中的某一种关系，然后同样也要把这 a、 b、 c 的 关系给带入到方程里面进行纠解。 这四种信息处理上面是比较容易的，然后后面，然后下面还有几种是比较难处理的，一方面就是 有一个是顶点或者焦点到间距线的距离，就是在双曲线中经常会出现的。还有就是在图形中特殊三角形的面积和周长，他会给到你面积和周长的数据，然后你要用，呃，然后你要用方法去把这个面积和周长给表示出来，表示出来以后 再把它这个当成一个方程放到题目里面去求解。然后还有比如说特殊的一些弦长，比如说就是过焦点，然后垂直于这个坐标轴的一个弦，你， 你同样是需要用 abc 去把这个弦的长度表示出来，然后进再进行求弦，然后然后最难的一个就是他有的时候会给你 这个他某一个点，他会用文字给你叙述，他是符合某一就是符合某一个条件，或者是还需要进行一些几何变换才可以得到，就是某点的轨迹，他让你求某点的轨迹，然后这个轨迹呢？他最后求出来依然是椭圆抛物线或者是双曲线里面一种， 然后抛物线的求解方法，它也是比较类似的，但是抛物线它更多的会利用到点的距离，等于到准线的距离，也就是说抛物线往往更多会考察你的几个关系。现在我们来看下面的例题。 第一个已知椭圆方程， a 方分成 x 平方加 b 方分成 y 方等于一， a 大 于 b 大 于等于零，然后告诉你椭圆的半长度长是二，一个焦点为负一零，然后求这个椭圆的方程， 我们说半长轴长，它就是 a， 也就说我们现在已经知道 a 等于二，而一个焦点为负一零，说明 c 等于一，那么现在就已经满足了两个条件，然后再加上 a 方等于 b 方加 c 方，这个是椭圆自身就符合的条件，就可以解得 a 方等于四， b 方等于三，所以方程就是四分之 x 平方加三分之 y 方等于一。 好，下一题。他现在说椭圆的焦点在 y 轴上，那么这个时候如果焦点在 y 轴上的话，我们就要把方程设为 a 方分之 y 方，加上 b 方分之 x 方等于一，然后 a 大 于 b 大 于零。然后又说了椭圆的这个离心率是二分之一，那么离心率是二分之一，就意味着 a 分 之 c 等于二分之一， 这个就是第一个方程。然后又因为它过点二分之三一，所以把这个这个点二分之三一代入到 a 方分之 y 方，加上 b 方分之 x 方等于一。里面 这个就是第二个方程。再加上它本身就有一个方程， a 方等于 b 方加 c 方，把这三个方程连立，就可以求得 a 方等于四，平方等于三，所以方程就是四分之 y 方加三分之 x 平方等于一。 好，下一题，现在说双曲线的一个焦点是三零，它既然已经告诉你双曲线的一个焦点是三零了，那就意味着这个焦点它应该就是它这个，因为我们默认它这个双曲线， 它的这个焦点一般都是在坐标轴上的，所以这个双曲线它的两个焦点都是在 x， 都是在 x 轴上，所以我们可以设它的这个方程是 a 方分之 x 平方减 b 方分之 y 平方等于一。然后又说 交点到其中一条渐近线的距离为二倍根号二，这个地方我们来详细讲解一下这个交点到渐近线的距离。我们首先表示出渐近线是 y 等于 a 分 之 b， 呃等于正负 a 分 之 b x。 这个地方我们不妨就取其中一条，就是 y 等于 a 分 之 b x， 然后把它写成一般式形式，就是 b x 减 a， y 等于零， 那么这个就是进一线的一般式方程。然后再用点到距离的直呃点点到直线的距离公式，就可以求得我们这个二倍根号二，就是这个距离应该等于 bc， 呃，除以根号下 a 方加 b 方，也就等于 b， c 除以 c 就 等于 b。 所以 这个其实是一个结论，就是头双曲线的一个焦点到它其中一条渐近线的距离为 b， 这个是恒成立的。然后或者我们也可以直接利用直线的倾斜角，因为双曲线的渐近线的斜率是 a 分 之 b， 所以 我们不妨假设的倾斜角是 c 塔，那么也那么也就满足贪婪的 c 塔等于 a 分 之 b。 然后因为在双曲线中横有 c 方等于 a 方加 b 方， 所以就可以得到三 x theta 等于 c 分 之 b， 也就说二倍根号，也就是这个距离，它是等于 c 乘上三 x theta 也等于 b， 所以 我们就得到了这个双曲线中的一个焦点到其中一条渐近线的距离，它的长度是 b， 那也就是说 b 等于二倍，根号二，然后又结合 c 等于三，再加上 c 方等于 a 方加 b 方，我们最终就可以求得这个 a 方等于一， b 方等于八，所以这个方程就是 x 方减八分之 y 方等于一。好，大家看第四题。 好，这边说已知双曲线 a 方分之 x 平方减 b 方之 y 方等于一的右交点啊，是二零，还有左交点是负二零。 然后呢，有一条过 f 一 且垂直于 x 轴的直线与双曲线在第一项交点为 p， 然后呢，三角形 p f 一 f 二的面积是三分之二倍，根号三。求这个双曲线的方程。好，那我们先写出过 f 一 并且垂直于 x 轴的这个直线是 x 等于 c， 现在将 x 等于 c 带入到方程中， 你就可以得到呃，这个 y 方，把它解出来，因为这个点 p 呢，它是在第一象限的，所以它的纵坐标肯定是正的，所以这个 y 就 等于 a 分 之 b 方。然后呢，再利用这个三角形面积公式，因为此时这个这个 它这个 x 等于 c 是 垂直于这个 x 轴的，所以直接用底乘高除以二这个面积就可以算到这个三角形的面积应该是 a 分 之 c 乘上 b 方，它是等于三分之二倍到三的，这就是第一个方程。 然后再结合 c 等于二和 c 方的 a 方加 b 方，就可以求得 a 方等于三， b 方等于一。所以这个双曲线的方程就是三分之 x 平方减掉 y 平方等于一。 好，下一题说这个，以说这个等轴双曲线的焦距是四，那么我们说等轴双曲线，它就默认了这个双曲线的实轴和虚轴是相等的，也就是说 a 是 等于 b 的 好。然后还说这个双曲线的交点在 x 轴上，然后求它的方程好。现在我们已经有了 a 等于 b 的 第一个方程 好，然后还再结合这个，呃，它的焦距是四也是二， c 等于四，二 c 等于四，就可以求得这个 c 是 等于二的，那么这就是第二个方程。再结合 c 方等于 a 方加 b 方，这样一共三个方程，就可以求得 a 方和 b 方都等于二。所以这个双这个等轴双曲线方程就是二分之 x 平方减二分之 y 方等于一 好。然后再看下面这个题，他说呢，他现在就这个题目，只是说椭圆啊，他的这个对称轴是在坐标轴，但并没有具体说他的焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上，然后他过这，然后他过了这两个点。 所以说我们这个地方呢，你可以去分类讨论这个他是在在焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上啊？但是我们这个时候其实也可以直接去假设他的方程是 a x， 呃，是大 a x 平方加上大 b x 平方加上大 y 平方等于一，那么如果它的焦点是在 x 轴上，那么这个时候呢，我们就可以满足这个大 a 是 等于 a 分 之 a 方分之一的，然后大 b 是 等于 b 方分之一的。 如果说它的焦点在 y 轴上，那就有大 a 是 等于这个 b 方分之一，然后大 b 是 等于 a 方分之一啊。所以说我们这个时候这样假设，它的好处就是避免了分界讨论的情况，然后直接去把这两个点坐标给它带到这个方程里面， 然后就可以求得 a 是 等于九分之一， b 是 等于一的，所以呢，它的方程就是九分之 x 平方加上 y 平方等于一啊。但这个时候可能会有个问题，就是说它明明是有两种情况，但为什么就会解出来只有一种解呢？其实是可以去分类讨论，然后把它代入计算的 啊，就是你去分它这个是 a 分， 是 a 方分之 x 平方加 b 方分之 y 平方等于一， a 大 于 b 大 于零，还是说是 a 方分之 y 平方加上 b 方分之 x 平方等于一啊？就是去分类讨论，然后你根据这两种不同情况，你把点坐标带进去其中，当这个它的焦点是在 x 轴上的时候呢，是可以解到 啊，他他的方程是九分之 x 平方加上 y 方等于一，但是如果说你把他带入到他的那个焦点是在 y 轴上的这个方程的话，他实际上去算一下，他应该是无解的啊。 所以说虽然呢，就是他明确给出两两，就是给出了两个点啊，但是这两个点他是不可能去同时在一个焦点是在这个 y 轴上的，这个 在 y 轴上这样一个椭圆。好，当然这个仅仅是这个题目的数据，如果换成另外的另外两个数据的话，他有就有可能满足的是，就恰好是满足这个焦点是在 y 轴上，但是在当焦点在 x 轴上的时候，他是不存在的，这个这个都是有可能的。 好，然后下一题，下一题这边强调了说这个双曲线的一个顶点到了他一条间距的距离为七分之二倍，根号二十一。 好，然后还说了一个到左焦点距离与到右焦点距离的差呢，是四。那么我们首先根据定义可以得到二， a 等于四，就可以得到 a 等于二。第一个方程， 然后这边强调是顶点，我们注意区分这个顶点和焦点它到这个渐近线的距离，顶点到渐近线的距离，我们依旧是把它带入到这个点到直线的距离。公式可以求得 ab 除以根号加 b 方就等于了 c 分 之 a， b 等于七分之二十一。 然后再结合 c 方等于 a 方加 b 方，还有 a 等于二，就可以求得 a 方等于四， b 方等于三。那么它的方程呢？就是四分之 x 平方减到三分之 y 平方等于一。好，下面再来看这个抛物线。 好，然后再来看一个抛物线的题目，说已知 y 平方等于二 p x p 叉零。这边强调 y 平方等于二 p x， 那 就说明这个抛物线的开口是向右的，满足起到呃，满足它的焦点到准线的距离为四，那么焦点到准线的距离就根据双，根据这个抛物线的定义， 焦点到准线的距离就是 p， 所以 p 就 等于四，那么求的方程就是 y 方等于八 x。 好， 然后说如果说已知抛物线 x 平方等于二 p y， 这个时候是 x 平方， x 平方是二 p y 的 话，那么就说明这个抛物线的开口是向上的，然后这上面的一个点 p 四 t 满足该点到焦点的距离为五。呃，那么这个时候因为它开口向上，那么这个点到焦点的距离，我们利用抛物线的几何性质，这个点到焦点的距离就等于这个点到 准呃，到准线的距离，而准线是 y 等于负二分之 p， 因为它开口向上，所以准线是 y 等于负二分之 p， 而不是这个 x 等于负二分之 p， 那 么准线是 y 等于负二分之 p， 那 么我们就有 t 加上一个负二分之 p 等于五啊，这是一个方程。 呃，然后并且因为这个点它本身是在是满足这个抛物线方程的，就是十六等于二 p t， 然后就可以进一步解得 t 等于四， p 等于二，然后所以它的方程呢，就是 y 方等于四 x 啊，就是 x 平方等于四 y。 好， 然后看下一题，已知平面直角坐标系中一点 p 到点 a 二零和到点 b 负二零，满足这两个斜率，它的成绩是二分之一。 好，那么说，那么我们设这个点 p 是 x 零和 y 零，然后就把它的斜率表示出来，一个是 y 零除以 x 零减二，一个是 y 零除以 x 零加二，然后它们俩相乘于二分之一，我们进行化减，化减以后，就得到了四分之 x 零平方，减掉二分之 y 零平方等于一， 那么这个 p 的 轨迹方程就是四分之 x 平方以内的 y 分 要去减掉，减掉二分之 y 平方等于一。但是因为我们这个这个地方要注意一个事情，就是说，所以因为他题目中给出这个斜率，说明这个斜率他至少是肯，就这个斜率肯定是存在，那么无论如何这个点 p 呢，他肯定是不可能跟这个 点 a 和点 b 重合的，所以这个点 p 呢？他的这个横坐标，他重坐标肯定是不能等于零的，所以得加上一个限制条件，就是 y 不 等于零。 好，然后我们下面再来看一个，就是要需要根据这个几何关系，几何关系去求出这个点点的这个轨迹方程的一个题目。 好，下面一个题目已知点 m 四二零，然后有这样一个圆 x 减二的平方加八平方等于十二，然后说点 q， 是 这样一个是圆 n 上的一点点。 p 呢，是坐标系中随便的一个点， 当 p q 取到最大值的时候，有 m p 等于 p q， 求这个 p 的 轨迹方程，那我们先来探讨这个 p q 它什么时候取到最大值啊？ 那么根据这个这个这个，因为这个圆 n 它是一个定的圆，然后 q 是 上面的一个点，如果说我们，那么那么当这个 p 他如果说能够取得大于的时候，我们就有 p n 等于 p， 呃，就是 p q 等于 p n 加 n q， 因为我们知道三角形，就如果说这 p q n 这三点他不贡献的话，他如果不贡献的话，那么他就是满足一个三角形，那么三角形就一定会有两边，这个大于三边 啊，那么只有当他贡献的时候才可以取到 p q 等于 p n 加 n q 就 等于 p n 加上二倍根号三等于 mp， 也就是我们再进行把它处理一下，就变成 mp 减 p n 等于二倍高三，那么这个时候我们追到因为 m n 点，它都是定点 啊，那么这个时候根据双曲线的定义，双曲线定义，我们就可以得到这个点 p 的 一个轨迹方程是三分之 x 平方减 y 平方等于一，但是因为我们这个地方已经强调了是 mp 减 p n 等于二倍高三，那么它实际上它的轨迹方程只能是 m， p n 等于二倍高三，那么它实际上它的轨迹方程只能是这个双曲线的右值，就要必须要满足这个 x 大 于零的 好。然后我们先简单的小结一下，我们求这个标准方程往往是要寻求 abc 之间的关系 啊，或者是抛物线中就是利用其他的一些东西来求解。我们说如果说要求方程的话， abc 它一共三个未知量，要把三个未知量全部给求出来，其中双曲线和椭圆里面已经它本身就有一个，一个是椭圆里面的 a 方等于 b 方加 c 方，一个是双曲线里面的 c 方等于 a 方加 b 方，它本身就有这样一个方程，那么再根据题目信息还要求出另外两个方程才可以求解。但是部分题目它并不会让你去求它的方程，有可能会让你求它的离心率。而对于离心率而言，因为离心率我们知道的是 e 等于 a 分 之 c， 所以， 所以有的时候离心率是不需要用到三个方程的， 你只需要求出 f， a 和 c 的 比值，所以很多时候离心率它只需要用到两个方程就行。我们这里再来看两个，看两个有关离那个离心率的题目啊。首先来看这个 说在平面直角坐标系中有椭圆， a 方分之 x 平方加 b 方分之 y 平方等于一，它的上下顶点是 a 和 b， 右顶点是 c 右，呃，不对，呃，这个右顶点是 c 右交点为 f， 然后说 弦 b， f 和 ac 交于点 p， 如果 o f p a 四点共圆，那么椭圆的离心率是多少？好，我们这边可以先画个图来看一下，因为它题目中说了 a、 o f p 四点共圆， 又因为平面直角坐标系里面 a、 o、 f 肯定是九十度， a o f 是 直角，又又因为这四点共圆，那么就可以得到 af， p 也是直角， 那么就可以进一步得到，就是 ac 和 b f 的 斜率之机，应该是负一。然后我们利用这个 abc 去把这个直线 ac 和直线 b、 f 的 斜率表示出来，就是 ac 的 斜率是等于 c 分 之 b 的， 那么它们俩相乘等于负一，就进一步化简 得到 a， c 分 之 b 方等于一，也就是 a， c 分 之 a 方，减 c 方等于一，也就是 a 方啊，减 a， c 减 c 方等于零， 那么我们现在要求的是离心率，离心率是等于是 e 等于 a 分 之 c， 那 么既然 e 等于 a 分 之 c 的 话，我们就要想办法去把这个式子给它构造一个 e， 这个 a 分 之 c 出来。 我们观察到 a 方减 ac 减 c 方，这个是它是一个奇次的，就是每一项都是二次，那么我们就上下同时，就是把这个啊，不是上下，就是两边同时除以一个，同时除以一个 a 平方 就得到了一减去，这边应该是 a 分 之 c， 再减掉一个 a 方分之 c 方，也就是一减一，减掉一平方等于零， 然后把这个方程解出来，就得到了 e 等于二分之根号五减一啊。当然这个地方是要把另外一个负的值给舍掉的，所以这个题就是算到它的离奇率，就是二分之根号五减一。 然后再来看最后一个，最后一个题目，最后一个题目，呃，这个题目他实际上是同一时间段南，同一时间段南通一模的这个填空最后一道题，但他虽然放在填空最后一道题，但但但他这个题目实际上他本身是非常简单的。我们说说这个题目是， 好，那这个题目就是已知双曲线 a 方分之 x 平方减 b 方分之 y 平方等于一的右角点为 f， a 是 c 右上的一点 a。 关于圆点和 x 对 呃和 x 轴的对称点分别是 d 和 e， e、 f 平行于 a d， 角 a、 f， e 等于一百二十度。求 c 的 离心率，为 这个地方先画一个草图，说角 a、 f、 e 等于一百二十度，那么利用对称关系，我们就可以得到角 a、 f、 o 等于角 e、 f、 o 都等于六十度。又因为 ef 平行于 a、 d， 那 么根据这个平行线的这个内错角相等，可以得到角 a、 o、 f， 它也是六十度。 那么在三角形 a、 o、 f 中，此时已经出现了两个六十度，就可以判定三角形 a、 o、 f 是 一个等边三角形，那么这个时候就可以直接写出点 a 的 坐标， 因为 o、 f 长度呢是 c， 那 么点 a 的 坐标是二分之 c， 二分之根号三 c。 然后再把点 a 的 坐标给代入到这个双曲线方程中，可以得到 a 方分之四分之 c 方，减掉 b 方分之四分之三四，四分之三 c 方等于一。 好，然后再把它进行进行这个化简。这个化简过程他虽然看上去比较复杂，但实际上算一遍的话，他其实没有，其实并不是特别难算，最后就化简到了 c 的 四次方，减掉八倍的 a 方， c 方加上四倍的 a， 四次方等于零， 然后因为这个地方我们依旧需要去构造这个离心率，就是 a 分 之 c 啊， a 分 之 c， 那 么肯定就要在等式两边同时去除以一个 a 的 四次方，就可以得到 e 的 四次方，减八亿的平方加上四等于零， 然后这边直接利用求根公式把一平方解出来，然后因为我们有双曲线，双曲线的离心率是大于一的，双曲线的离心率大于一啊，所以其中有一个根是要舍掉的，那么保利泰的那个根呢，就是一方，他就等于 四加上二倍根号三，然后再把这个 e 开根号，就得到了 e 等于根号三加 e。 那 么这个题就是我们这一时间段南通一模的这个填空。最后一题，它实际上看上去就比较复杂，但是呢它本身的这个题目还是非常常规，非常就是经典的一个题啊，就是比较常规做法一个题目。 好，那么我们这个视频所讲解的这个求这个椭，这个椭圆抛物线，还有双曲线的这个标准方程，以及它的离心率啊，就是怎么去求这样一个东西，就基本上讲到这里。 好，这个视频讲解一下圆锥曲线的一些呃，常用的方法，以及一些这个比较比较有用的结论。首先来看这个大题，这个大题必用的解法，说这个解法呢，它是一个非常非常常规的一个解法啊，我们就用椭圆来举例子， 他就是说，他就是说一件事情，就是说如果说一条直线 y 等于 k， x 加 m 与椭圆啊， a 方分之 x， 平方加 b 方分之 y 平方交于 ab 两个点，那么一般出现这种问题的时候呢，我们都会采用这个连力消圆判别式伟大定力的方法来处理，来处理这样一个问题。 首先我们把它进行连连力消圆啊，连力消圆就是就是一个死，这边就是一个死算啊，他因为这个椭圆方程呢，可以先给它 这个把这个分母乘过去，就是 b 方 x 平方加上 a 方 y 平方减掉 a 方 b 平方等于零啊，然后把这个 y 带进去，带进去以后再进一步化简，就化简到了这个这样的一个式子 啊，这样的一个式子。然后呢我们接下来要算判别式判别式的话就是德尔塔等于这个 b 方减 c a c 啊，但是这个 b 方减 c a c， 它说的就是说是这个关于这个二次方程的这个相应的系数，然后给它算到最后就是这个东西在计算的时候可以注意到它其实是中间是有一项是可以消掉的， 所以如果你在考试的时候去算那个德尔塔，有的时候比较难算啊，但是你算完以后发现它依然是一个非常复杂的一个式子的话，那多半就是你这个地方算错了，在算德尔塔的时候，它中间前两项一定是可以消掉的啊， 算到最后就是一定要强调这个德尔塔是大于零，然后才有下一步的伟大定力，就是把点 a 和点 b 的 坐标给设出来， 测出来以后呢，就有这个 x 一 加 x 二等于这样的东西，然后，哎，然后 x 一 乘 x 二等于这样的东西，然后当你的大题写到这一步的时候，一般都是有两到三分可以得的啊，就是把 x 一 加 x 二，还有 x 一 乘 x 二，就是写到伟大定律到这一步一般都是有分数可得的。 然后在下面两步的时候呢，这边这个一般来说啊，一般大题就就是会很少用，要继续去算 y 加 y 和 y 乘 y 二啊，一般会比较少用，但是也有一些进这个计算比较繁杂的时候，我们会先把 y 加 y 和 y 乘 y 给它算出来， 就是给它带回到直线方程里面， y 等于 k， x 一 加 m， y 等于 k x 二加 m， 先把它带回相应的直线方程啊，把直线方程带进去，然后再用这个之前算到的伟大定律把它化简出来， 就写到这样的一个形式好，然后进一步我们来讲这个弦长公式，弦长公式就是 ab 等于根号下一加 k 方乘上 x 一 减 x 二绝对值，这个 x 一 减 x 二绝对值，你可以画个图理解一下 它实际上什么呢？你可以把它看，你可以从这个勾股定的角度去理解，你想两个弦它有一定的斜率，那么呢你当这个 x 一 减 x 二呢，就是它们在横坐在横这个方向上的它们的差值。 然后呢你要想得到这个弦长，因为弦长一般是斜的嘛，那么你往往就是相当于要去除以一个什么呢？就相当于要去就，就如果你设这个直线的倾斜角是 c 叉的话啊，它一般就是这条线，你要去除以一个口上 c 叉，那么这个时候它实际上你可以直接通通过这个勾股定律来理解，你把这个横着的这个叉值看成是一， 那么这个你有这个斜率是 k 的 话，那么你中的那一条边中的那一条边呢？它就是 k 乘上这个叉值，对吧？因为斜率代表就是贪婊的 c 叉， 所以它数值的那个方向就是 y 一 减二的绝对值，它实际上就是 k 乘上这个 x 一 减 x 二绝对值啊。那么那，那么你的弦长实际上就是斜的那条边， 斜的那条边呢？就是根号下的这个两条直角边相加啊，然后把它化简出来，就是根号下一加 k 方乘上这个 x 一 减 x 二绝对值， 然后这个 x 减二减 x 二绝对值。你在计算的时候你要先带一步，就是先带一步把它带上根号下 x 一 加 x 二平方减掉四倍的 x 一 x 二这个地方你要先这样写一下，这样更加严谨一点，但是，但，但是这个时候呢，你没有必要再把它带到伟大定律里面去算一遍，没有必要，因为这个东西化简出来的结果 就是对于任何一个二次方程， a 方分呃， a 方， x 平方加 b， x 加 c 等于零， 你的两个根的这个绝差的绝对值，它实际上就是，就是，呃，分母就是 a 的 绝对值，就是二次项的绝对值，分之根号下逮到它这个东西，它就是一个成熟的结论，就是相当于后面这个东西，后面这个东西就是像这个方程，我们得，我们刚才得到那个方程，它的二次项系数是 a 方 k 平方加上 b 方， 那么这个东西呢？它的这个绝对值 x 一 减 x 二，就等于 a 方， k 平方加 b 平方分之根号下德尔塔，然后再把这个德尔塔带进去啊，把这个德尔塔带进去 啊，当然我这个地方应该这个地方少算了一个地方啊，它这个德尔塔应该是，呃，它这个德尔塔原，它那个原本前面应该还有一个四倍的 a 方 b 方，那个四倍的 a 方 b 方，前面这个地方应该还有一个，就还要再写上一个二 a b 在 前面，还要写一个二 a b 在 前面。 好，这这个地方还这个这个前面还有个二 a b 在 这个前面要乘上去，然后我们再进一步进一步去看的话，如果说这个平面中有一个点 p x 零 y 零， p x 零 y 零啊，那我们就可以得到这个三角形 p a b 的 面积公式就是这个三角形 啊，这个三角形的面积公式呢，就是二分之一底层高，相当于就是把弦长 a b 当做是底，那么高呢？就是这个点 p 到这条直线的距离，就用点到直线的距离公式把它给写出来啊，然后再进一步化简，就得到这样一个形式。 好了，现在我们再来把这次考试的那个第十八题给他看一下，就是说已知抛物线 y 方等于二， p x p 大 于零的交点是 f， 然后上面有一个点是四， t 到 f 的 距离是五。然后第一问，求 p 和 t 的 值，这个第一问它实际上就和求方程是差不多的。然后第二问呢，让你去证明这个有一条直线 啊，有一个直线，它的重心是在这条直线上，然后让你证明这条直线的斜率是个定值。 好了，看一下第一问，我们就有这个二分之 p 应该等于五减四等于一啊，因为它到那个点到那个焦点的距离就等于它到准线的距离，所以就可以把 p 求出来，是 p 等于二，然后再把它带回到原方程里面，得到 t， t 就 等于四了。这是第一问， 然后第二问呢？我们就说，首先我们可以知道他，虽然题目让你证明他的斜率是个定值，但是你现在他是，你现在是不知道他的斜率是是否是存在，就是虽然他让你证明斜率定值，但是你在做这个题的时候，你并不知道他的斜率是否存在，所以你就交代这样一句话 啊，就是 k 就是 由题得到这个 ab 的 斜率是存在啊，当然它不能等于零，因为你任何一条直线和抛物线如果有交点，有两个交点的话，它一定是不可能是斜率，是横就是等于零，就这条直线它不可能是横着的话，你就你这头只有一个交点啊，这个抛物线的开口是向右的，你 这条直线如果是横着的话，它这头与抛物线就有一个交点啊，所以它或者是当然也有可能这个直线的斜率它本身就是不存在的啊。那么对于这个，对于这种题目啊，就是当你判断出它这个斜率 不能为零的时候，你就可以这样设一条直线，就是反过来设，就 x 等于 m， y 加人。我们平时你可以去设这条直线，它是 k 等于呃，呃，就是 y 等于 k， x 加 m， 但现在你可以把它反过来，用 m 来表示，呃，用 x 作为前面这个东西就可以得到，就去设它应该是 x 等于 m， y 加 n， 然后连立啊，这个这个连立是比较简单的，连立完以后就变成了 y 方减四 m， y 减四等于零，然后把加它算好，加它这边算到它的大于零，所以 m 方加 n 是 大于零的，然后再把 a 和 b 这个点给设出来 好，然后把这个点设出来以后，再用这个伟大定律啊，这边用一个伟大定律，就可以用 y 一 加 y 二等于四 m 就 用这一个就够了，因为他说那个那个就是那个伟大定律，就可以用 y 一 加 y 二等于四 m， 就 用这一个就够了，因为他说那个那个就是那个重心的重心，三角形的重心，三角形重心的坐标就是三分之 x 一 加 x 二加 x 三，三分之 y 一 加 y 二加 y 三，这个这个东西它就是个结论，你把它记住就行了。当然想要证明也是很简单的，所以你就可以得到这个三角形重心的重坐标就是三分之 y 一 加 y 二，再加上那个点 p 的 重心标是四，就再加，就再加上一个四， 它应该等于是负的三分之四，所以就可以得到 y 一 加二等于负八啊， y 加二等于负八以后，那么就是四 m 等于负八，所以 m 等于负二。但是因为你这个地方求出来是 x 等于什么东西，是 x 等于 m， y 加 n， 而 m 等于负二，它让你证明是斜率是定值，所以你一定要把斜率再给它给写出来，而它的斜率是什么呢？ 对吧？你看 x 等于 m 加 n 除以一 x， 也就是说它的斜率就是 m 分 之一，当你这样设一条直线的时候，它的斜率就是 m 分 之一 啊，所以这个它的斜率就是定值 m 分 之一等于负二分之一。好，现在我们再回到这个，继续往下讲，还有其余的几个方法， 一个呢就是这个叫叫倒角公式，它就是说有一条直线的 l 一， 它的斜率是 k 一， 还有一条直线 l 的 斜率是 k 二，然后我们如何去表示这两条直线的夹角 这个东西呢？你可以直接去利用这个正切公式，用正切公式的用正切两脚叉公式就可以去证明，因为 k 一 实际上就等于什么 k 一， 如果你设 l 一 的设 l 一 的倾斜角为 l 法， l 二的倾斜角为贝塔的话，那么 k 一 就等于贪婪的 l 法， k 二就等于贪婪的贝塔 啊，所以你用这个这个东西，就所以你在用这个正确的两脚叉公式就可以得到贪婪的 c 二等于 k 一 减 k 二，除以一个一加 k 一 加 k 二啊。这个东西在通常情况下你直接用的话，它是不会扣你分数，这个这个大体通常情况下是可以直接用的啊。 当然这种就这个方法一般都会让你去，就是去求一些明确告诉你角相等或者去角平分线的一些问题，就可以用这个方法。然后再看下面一个，就是平面中三个点的面积公式， 它就是三个点呢， x 一， x 二， x 二，呃呃，这个 x 一， y 一， x 二， y 二和 x 三， y 三面积公式就二分之一绝对值， x 一 减 x 三乘上 y 二，减 y 三减去 x 二减 x 三乘上 y 一 减 y 三。 这个东西你在大体里面节约的话，它它肯定是扣分的，而且而且扣的会很多。但是我们想要证明这个公式，它其实也非常简单。我们先把这个 ab 的 一般式方程，这个一般式方程它是有局限的， 它不能表示垂直于一个标准的直线，但是你把它化简成一般式以后，你再去检验它，实际上是可以的。这个一般式方程呢，你在考试的时候，你可以直接写，你给出这样一个方程啊，然后就说明 点 a x 一 y 和点 b x 二 y 呢，你把它的坐标带进去，它恰好是符合这个方程的，因为两点已经确定一条直线了啊，所以那么这个方程它就指的这条直线的方，这这这就是这条直线 ab 的 直线方程了。 好，然后你就再去计算一下点 c 到 ab 的 距离， d 就是 这样一个东西，就这样一个尺子， 把这个东西算好以后呢，你再就可以去继续去算这个三角形，这个面积就是二分之一底乘高二分之一 d 乘上绝对是 ab 啊，就等于把就把它画成这样。然后然后我们有个特别的啊，如果说你当这个就是其中有一个点是圆点的话，那么它的这个面积呢，就是二分之一 x 一 y 减 x 二 y 的 绝对值 好，然后再第三个呢，也是比较常用的一个呢，叫做非对称回答。那么那么这个问题呢，我们主要利用 x 一 加 x 二与 y 加与 x 一 加 x 二的关系来进行解题啊，这边可以看一道例题， 好了，这个例题它实际上是当时去年暑假的时候，江苏省的这个一个一个大题，它一个大题啊，当时它有三个大题，但是我当时只只做出来这一个大题，它这个题目主要就是有它，其中就是有一部分呢，它就是涉及了这个非对称表达的一个东西在里面， 好，我们主要就来看一下非对称表达的步骤啊，它这个前面呢，前面就是主要还是就是非常常规的去联立，然后算算到最后把那个点 q 的 坐标可以算算出来， 然后我们来看下用了非对称伟大的这个步骤啊，就是我们主要把握这样一个信息，我们题目中刚刚用这个伟大定义算到 y 一 加 y 二等于 m 方加四分之负二 m， 然后 y 一 乘 y 等于 m 方加四分之负三， 然后这个时候呢，因为我们要求的 k 一 除以 k 二，这边算到了，这边算到呢是分子是 m 乘上 y 一 减 y 二减 y 一， 然后分母是 m 乘上 y 一 加呃， y 一 乘二加三倍的 y 二。但是这个式子你很明显你是没有办法去凑出，可以直接使用尾答定的一个形式的，这边只有 y 一 y 二，它没有 y 一 加 y 二，那么这个时候怎么办呢？我们就用这个观察到这个 y 一 加 y 二和 y 一 y 二之间有关系，就是 m 乘上 y 一 加 y 二 啊，它就等于 m 方加四分之负三 m， 在 这个题目里面它就继续等于二分之二分之三倍的 y 一 加 y 二，那么有了这样一个东西，就可以把它进一步带到这个原来的式子里面去，表示就是 k 一 除以 k 二， 它就等于 m y 一 y 减 y 除以 m y y 一 y 加三 y 加三倍的 y 二，它就等于把这个 m y y 一 y 给它换掉，换成二分之三倍的 y y 一 加 y 二，把它带进去以后啊，然后再化简 就得到了分子是二分之一的 y 加上二分之三倍的 y 二分母是二分之三倍的 y 加上二分之九倍的 y 二，那么这个值刚好就看出来，就这个值它它就是上下可以约就约掉一个 y 一 加上三倍的 y 二，它就等于三分之一，就不需要再用 y 进去算了，直接就得到它，这个值就出来了，它就三分之一。 那我们说我们去寻求这个 y 一 加 y 二和 y 一 乘 y 的 一个关系呢，它本它就它就是一个非常经典的一个非对称 y 的 一个做法。 然后我们继续看圆锥曲线的一些实用结论以及方法，这些结论你在大题里面直接直接使用的话，是必然是要扣分的，除非他给你的明确的这个，他已经把这些公式给你了，就可以用啊。这些题目一般都是用来做小题的，比较好做。 首先第一个是切线公式，椭圆上 p x 零 y 处的切线啊，这个点 p 就 就是已经明确在椭圆上了，它的切线方程是 a 方分之 x 零 x 加上 b 方分之 y 零 y 等于一。 这个东西他他你要想，你要想去证明的话，说实话还不是很容易的，所以一般大体里面他也大体里面要你求切线的话，一般都是用连力，连力消怨以后用那个判别式等于零，因为判别式等于零头，他就他他就只有一个焦点，有一个焦点呢就是相切，一般来说他就是就是就是相切了啊，在椭圆双曲线里面都是这样， 然后双，然后双曲线的这个切线也是一样， a 有 a 方分之 x 零 x 减 b 方分之 y 零 y 等于一啊，然后抛物线有，就是当你求抛物线的方程的时候有，有的时候你要注意，如果你算那个刁大等于零啊，但他有可能那条直线他恰好就是一条横着的截线，就是一条横着的，就恰好是斜率等于零的这样一条线， 那么它这个时候肯定也是与这个抛物线只有一个焦点的，但是它很明显不是切线嘛，所以这个时候你有的时候在大型里面做的时候也需要注意，好像我们直接有这个结论的话，就是 y 零， y 等于 p 乘 x 加 x 零，这个就是抛物线在这个的一个切线方程， 这个东西呢，它一般呃，你可以记着还是有用处的。然后第二个再来看光源性质这个东西，它确实是有的时候很多题目里面都会有这样的一个背景呢，椭圆上面啊，以 p 点处的切线 啊，就是这个角，就是 f 一 和 f 二，是焦点，就是角 f 一 p f 二外角的角平分线 啊，然后是双曲线呢，它其实是类似的双曲线呢，就是点 p 处的这条切线，点 p 处的这条切线它就是，它就直接就是角 f 一 p f 二的这个角平分线 啊，然后在抛物线里面，抛物线里面呢，就是说从点，从它的焦点出发的一个呃，出发的一条光线，经过这个抛物线它反射以后得到的反射光线是与 x 轴平行的 啊，那实际上它也是经过的这个，因为你经过这个抛物线反射，实际上也是经过的点 p 处的一条切线的反射光线以后呢，它就是反射的这条线，它是与 x 轴是平行的啊，一般来说用的比较多的是抛物线里面的这个结论， 所以说这个东西，呃，记住这小弟也是有一定好处，当然很当然很多小弟也会把它当成是一个定义的形式来告诉你。好，然后第第三个， 第三个呢，是课本上有一个东西，就是圆锥曲线统一定义，也就是说你所有的椭圆创曲线和抛物线，他都有一个统一的定义，就是说平面中啊，满满足这个到一个点的距离与到一条直线的距离的比值是为定值 e 的 这个点的轨迹， 当然这个 e 就是 离心率啊，在 e 等，在 e 属于零到一的时候，它的这个点的轨迹呢，就是椭圆，在 e 等于一的时候就是抛物线，在 e 大 于的时候就是双曲线， 然后呢它到的这个定点就是 f， 就是 它的焦点啊，就是它的焦点，在椭圆和双曲线里面，它的焦点坐标就是 c 零，那么这一条定直线呢，就被称为准线，那抛物线里面我们准线那个准线是很明确的嘛，但是在椭圆和双曲线里面，它也有准线，它的准线的这个 方程是 x 等于 c 分 之一方，或者是 x 等于负的 c 分 之一方。也可以啊，一般来说你就是一个焦点，它对应的一个准线。好，那么我们进一步就可以得到这样的一个结论啊，就是当如果说你这个在这个 ab 交直线，它过这个点 f， 然后 a 和 b 都是同样这样一个点， 那么我们如何去求这个 ab 的 长度？我们可以先求 af 的 长度，我们知道根据定义我们有这个 d 一 呢，就是点 a 到这条准线的距离，那么 af 就 等于 e 乘上 d 啊，根据定义可有 e 乘上 d， 然后 d 可以 怎么写？我们现在假设这条直线的倾斜角是 c 叉角。 好，然后呢，这个我们再规定这个 p 就是 它的交准距，在椭圆里面 p 就 等于 c 分 之 a 方，这个 p 呢，它实际上和椭在那个抛物线里面是一是一个意思。 好，然后呢，我们根据这个图就可以得到这个，因为在这个图里面这个口三 a c 它是负的嘛，所以刚好就把第一这个这个多出来这一段给减掉了，所以第一呢，就等于 a f 三口三 a c 加一个 p， 然后就可以截，然后就可以得到这个 a f 是 等于 ep 除以一减 e 口三 a c 塔，同理就可以得到 b f 是 等于 ep 除以一个一加 e 口三 a c 塔 啊，这个是一样的。然后 ab 呢？ ab 就 等于 a f 加 bf 等于二 ep 除以一减一方口算平方 c 塔，这个 c 塔就是这条 ab 这条直线的倾斜角。当然这个时候其实你发现，因为这个 就是这个时候，其实 c 塔角到底是大于九十度还是小于九十度都无所谓，因为你口算方， c 塔本身平方一下它也没有什么，它也没有什么区别在这上面，所以你就可以得到这个 a f， 呃，这个 ab 的 这个这样表示，然后根据这个东西我们可以来看一道题目。 好，那这个题目他就是二零二二年新高考一卷的填空最后一道题啊，就是这个题目呢，如果你用常规做法，实际上是可以做的，但是如果你你知道刚才那个公式的话，做起来就会非常快，他就是说椭圆上面的这个离心率二分之一， 然后过一个焦点，并且垂直于 a f 二的直线呢，交于第一两点，第一等于六，然后去求这个三角形的周长。 好的，这个题根据离心率是二分之一，可以先求得这个三角形， a f e f 二，它是个等边三角形，因为 d e 是 垂直于 f 二的 啊，所以就可以知道它这个图形呢，就是这个图形，它应该是实际上是以 d e 为轴的一个对称的，上下对称的，因为它是个等边，因为它有个等边角形在那边，所以它是个对称的，然后就可以得到那个 a e 呢，等于 e f 二，然后 d f 二等于 ad， 然后所以你这个三角形的周长就可以给，直接就可以直接给它转化为啊，就是就进行这样一步转化，就是 a， e 加 e， d 加 a， d 就 等于 e f 二加 d 加 e， d 加 d， f 二就等于 e f 二加 e f 一， 再加上 d f 一 加 d， f 二等于四 a 啊，因为你这两个括号里面，它根据椭圆定义它都是二 a， 所以 这个东西它就变成了四 a， 然后再根据刚刚讲那个公式， 有这个倾斜角是三十度，那么根据这个公式把它带进去，就 d e 等于二， e p 除以一减一方口算一方 c 塔 啊，这个值 d， e 是 给到你是六的，所以你通过这样一步划点，就可以把 b 直接给求出来， b 就 等于八倍，根号三分之三十九，然后再根据那个 abc 的 关系，就是 a 等于根号三分之二， b 就 等于四分之十三，那所以四 a 就 等于十三，也就是说这个题的周长就是十三，那么如果用这个公式的话，就很快就可以做出来。 呃，接下来讲的是在椭圆中焦点三角形的面积公式，就是说如果说点 p 是 椭圆上的一个点，然后角 f 一 p f 二的这个角是设为 c 叉角的话，那么我们就可以直接得到这个三角形 p f 一 f 二的面积公式是这个椭圆的 b 方程上参量的二分之 c 塔， 呃，然后呢，双曲线中的同时是 b 方除以它的最大。今天我们证明方法就是很简单的，就只需要把这个用先用余弦定理 啊，就是结合这个椭圆的定义，如果设 f 呃， p f 二是 m 的 话，那么 p f 一 就是二 a 减 m， 然后再利用余弦定理去把它计算，算到最后可以有一个整体贷款， 就是 p f 一 乘 p f 二这个整体它等于二 a m 减 m 平方，它的整体代换为二 b 方除以口上 a c 加一，嗯，然后再把它带回到面积公式里面，就可以求到这个，它这边要用一下它这个两这个半角公式， 或者说一道二倍角公式吧，这个地方就可以，最后就会可以化简成 b 方乘上探针的二分之 c 塔啊，这个结论你只需要记一下就行了，大体一般都是不会考的，只有小题的时候记住结论就行。 然后双曲线就是 b 方除以探针的二分之 c 塔，然后下面一个是点差法，这个方法呢在小题里面经常是经常会出现的，在大体里面也会偶尔出现，就是他这个方法主要就是针对于如果说你现在以已知这个椭圆的一个弦， 它的终点，然后呢就直接让你去求它的这个斜率的话，我们的方法可以是先设出点 a 和点 b 的 坐标， 然后把它带入到椭圆方程中，然后呢在两边同时相减，就是两边同时上下相减，相减以后呢，再把它移过去以后，然后两边因式分解，然后利用这个终点的坐标可以算到 x 一 加 x 二 以及 y 一 加 y 二的值，然后再把它带回去，然后呢又因为它的斜率恰好就是 y 一 减 y 二，除以 x 一 减 x 二，那所以这个 k 的 这个就是这个直线的斜率 k 二 a b 就 可以算出来了。 好，然后这边再来看，再来看两道题目。呃，这个是南通一模的第十道，第十题，我认为这个题目它的这个题出的还是非常的全面，几乎包含了非常多的这个抛物线 啊。抛物线这边要注意到它是 x， 它是 x 平方等于什么东西，所以它的开口是向上的，然后焦点和准线，然后又说这个过 f 的 直线交， 就和这个抛物线交于 ab 两点，然后过 a 做 l 的 垂线，垂直于 p p f， x 轴交于点 q 啊，然后我们这边先画一个草图，然后来看 a 选项 a 选项 a f， 呃， ap 等于 af 啊，这个就是根据抛物线的定义，就是很显然是成立的，然后 b 选项 b 选项，他说 这个 p f 垂直于 a q。 好， 那我们来看啊，因为这个点 o 呢，它是 f m 的 中点，这个也是抛物线定义保证的，因为因为 l， 它这个准线肯定是与 x 轴平行的，所以就可以得到 q o， 它应该是三角形 f p m 的 中位线， 从而就可以得到这个点， q 呢是 p f 的 中点，又因为 a f 等于 ap， 然后再加上中点的话，那么就一定有 a q 是 垂直于 p f 的 啊。这个是可以直接根据几何关系看出来， 然后这个 c 选项 c 选项，他说呃，角 a o b 可能是锐角，那我们可以采用这个向量 o a 和向量 o b 的 数量积，如果它是可以大于零的话，那就可能是个锐角。所以我们这边直接把 lab 给设出来， 因为 lab 它是过 y 轴上一点的，所以我们就设它是 y 等于 k， x 加上一个二分之 p， 然后连立，连立完以后就有效元，效元。最后算到这个地方啊，算到尾，它定义是 x 一 加 x 二等于二 p k， 然后 x 一 乘 x 二等于负 p 方，然后就把那个向量 o a 和向量 o b 用坐标表示，就是 x 一 乘 x 二，加上 y 一 乘 y 二，给它带进去。 好，带进去以后就可以算到它的结果是负的四分之三， p 方小于零，所以这个角它只能是个钝角，它不可能是个锐角。 然后最后一个选项需要算 p o b 是 三点共线的，那我们这个地方就可以考虑它们的斜率，如果 p o 和 b o 的 斜率是相等的话，那么它们三点就肯定是共线的，所以这边直接算 p o 的 斜率是负的二 x c 一 分之 p， 然后呢， o b o 的 斜率是二， p 分 之 x 二，然后这个地方把它们俩进行作差，作差以后再化减，就可以算到负的 二 x 一 p 分 之 p 方加上 x 一 x 二，然后因为刚才那个伟大定律的时候算到了 x 一 乘 x 二是负 p 方，所以这个结果就是等于零的，也就是说这两个斜率和这两之间的斜率相等，所以是共线的。 好，然后最后再来看一下二零二四年的这道高考题，他是高考，就是新高考医院的题，然后呢，这个这个准确选项他是放在大题的第二本的，所以我们来看一下他实际上并不是特别复杂，他说以这个已知有两个点在椭圆 c 上，然后第一问是求他的离心率， 第二问呢是过点 p 的 直线 l 与 c 交于另一点 b， 并且三角形 ab 的 面积为九，然后求这条直线的方程， 先来算这个第一问，这个第一问的话，就把这两就是过的这两个点的这个点坐标直接带到方程里面，可以解得 a 方和 b 方， 然后有了 a 方和 b 方呢，我们可以进一步写这个离这个离心率 e 就 等于根号下 a 方，分之 c 方，就等于根号下 a 方分之 a 方减 b 方，然后带入数据，可以算到离心率是二分之一，这个是比较简单的。 然后第二个呢，我们先进行一份这个分类讨论，如果说这条直线的斜率它不存在，就是 x 等于三，那么你把它带进去的时候，就可以很容易检验到这个三角形的面积是二分之九，它是不符合它的面积是九的。 然后让它斜率存在时，我们有第一个，我们有方法一啊，第一个方法就是去强行去把这条直线给设出来，就 y 等于 k 倍的 x 减三，加上二分之三，然后这个方程把它带进去点力的话，其实可以发现这个计算是非常复杂的， 我们把它连立消元以后算德奥塔，德奥塔这边也是比较难算，最后就可以算到它的 x 一 加 x 二，就是伟大定律 啊，我们这边就先把那个点 p 也给它当成这个 x 一 和 y 一， 虽然这边坐标已经直接给出来了，然后带进去以后就可以继续算到这个伟大定律，这个形式也比较复杂，然后最后算到这个三角形的面积， 这样算面积表示出来等于九，然后再去解这个 k 啊，这个这个 k 解出来以后就是这两个数啊，然后就起了这个方程，一个是 y 等于二分之一 x， 或者是 y 等于二分之三 x 减三，那我们现在可以来看一下方法二， 方法二的话，你就需要可以先把因为它这个三角形已经有一条边是确定的，就是 apap 的 这个长度，你给它算出来就是二分之三倍根号五， 然后在这个根据它的面积已经有了嘛，所以这条边上的高，也就是点 b 到 a p 的 距离是可以算的，就是 d 等于就是等于十二除以根号五，这个是距离可以算的，那也就是说呢，实际上这个点 b 啊，它应该是在 在在与这个 a p 这条直线平行，并且距离是根号五分之十二的这这样的直线上面，那么那么我们可以把这个直线给写出来，就是有这样两条直线， 你想象一下，就是在 ap 这条直线的两侧啊，都有分别有一条与它平行，并且距离是根号五分之十二的这个直线，一个它的一般式方程就是 x 加二， y 加六等于零，或者是 x 加二， y 减十八等于零，并且点 b 呢，就是在这样这样的两条直线上，然后我们分别去连力 啊，一个连力在先，连力第一个就是 x 加二， y 加六这条直线，其实这个地方根本不需要去解，因为你其实很容易就可以看到一个事情， 就是这个可以注意到这个三角形 a o p， 三角形 a o p 呢，它的这个三角形的面积本身就是二分之九，所以你其实可以很容易的就去猜到这两个点，符合条件的这两个点 b 的 位置，一个就是点 p， 关于点 o 的 对称点在这个椭圆上面，另外一个还有就是这个椭圆的下顶点，这个其实很好就可以猜到了，所以就可以直接就不需要去解， 然后直接把这个坐标给他写出来就行了。然后另外一组，另外一组的话你给他带进去，带进去以后其实你也没有必要去解，因为你可以在图上面稍微画一下，你就可以看出来，他是显然是不可能有解的啊，他是这个方程，他显然是不能有解， 所以最后呢点 b 就是 这样的两个坐标，一个是零负三，一个是负三二分之三啊，然后再把直线写出来就可以了，这个题就是二四年的高考题，它放在大题第二题的位置啊，所以如果想不到好方法的话，这个题做起来还是非常的麻烦。好，那么我们现在关于这就关于这一期的视频就讲到这里。

八点二二，圆锥及其侧面展开图首先我们来回顾一下圆锥它的相关公式，圆锥的侧面积应该等于 二分之一，个底面的周长乘以母线长，那圆锥的体积等于三分之一 s， 底面积乘以高。那圆锥它有一个特性是母线长和高 数量不相等，高对应的是顶点到下底面这个圆心的距离，这里是 h， 而它的母线长是它的侧边的长度是 l。 第一题，如果一个圆锥母线长为六厘米，底面半径为三厘米，那么这个圆锥它的表面积，表面积是侧面积加上底面积，那底面积是 pi 乘以 r 的 平方是三的平方加上表面积是二分之一，个 底面周长乘以母线长乘以二， pi 乘以 r 是 三，再乘以母线长是六，所以最后算出来应该是二十七 pi 答案，选择 b 选项第二题，如果一个圆锥，它的体积是三百一十四立方厘米， 底面积是六十二点八平方厘米，那么高是多少？根据体积公式，三分之一 s 底再乘以高 h 等于 三百一十四，那现在我把底面积六十二点八带进来高，算出来应该是十五厘米。答案，选择 b 选项第三题，如果一个圆柱与一个圆锥等底等高，它们的体积之和是 六十立方厘米，那么圆锥的体积是多少？等底又等高？根据体积公式，圆锥它的体积应该是 等于三分之一个 s 底是 pi， r 的 平方乘以高是 h， 而圆柱呢，是等于 pi， r 的 平方 h 分 别都相等， 那也就是说圆锥的体积它是圆柱的三分之一。现在求圆锥的体积，那设圆锥的体积是 v 的 话，那么圆柱的体积应该等于三倍的 v， 那 现在两个体积之合是六十，也就是 v 加上三倍的 v 等于六十，那 v 算出来应该等于十五。答案，选择 c 选项。

下面我们来看一下六年级下册数学练习册第二十七页第五题。先读一个圆柱和一个圆锥的底面直径是四分米，高三分米，他们的体积一共是多少立方分？直径 四分，那么半径就是两分米，高是三分，那么圆柱的体积就是开乘二的平方乘三， 圆锥的体积也是拍乘二的平方。乘三再乘三分之一等于多少呢？等于十二拍，加上 四拍等十六拍等于十六。乘三点一四，又乘三点一四，等于幺八八四。 然后呢，三幺四等于多少呢？五零二四，然后呢，两个小数点五十点二四一方分米，那么它的门的体积一共是五十点二四立方分。

下面我们来看一下六年级下册数学练习册第二十四页，整理于练习的拓展应用。先读题，一个圆柱与一个圆锥底面半径之比是四比三，高相等， 它们的体积之比是多少？首先呢，啊，这个题考的就是我们体积公式，嗯，圆柱与圆锥的体积公式， 如果你比较熟练，那么我们可以用第一个方法，这个方法呢啊，是思考方向的不同，或者思考方式的不同。我们先想，同样高时体积与什么有关呢？ 如果我们对体积公式非常熟练的话，那我们就知道体积与什么有关呢？与我们的底面积，但是圆锥呢，特殊一些，还要乘个什么？三分之一？ 首先我们的半径比，半径比是四比三对不对？我们可以这里就不用去考虑高对不对。 底面积里面又跟谁有关呢？半径有对吧？里面我们的面积公式是什么呢？拍而方，一个是跟拍有关，另一个是变谁啊？跟半径的平方有关，所以我们 底面积比就是半径的平方比，半径的平方比 四个平方比三个平方，这个十六比九。 这个时候我们可以扩展一下，如果是圆柱与圆柱的底面积比是四比三，高相等两个圆柱的话，我们直接就什么了， 二 d 的 平方就是它的底，但是因为我们这是圆柱于圆锥，对吧？所以呢，我们圆锥还得乘个三分之一，所以得就少的十六比三， 也就这就是十六比三，有这几个结，下面我们来试一下方法二，方法二就是什么呢？ b 公式就行。首先我们圆柱的公式是什么？底面积乘高对不对？圆锥的公式呢？然后我们把相同的给划掉，然后就等于什么？ 我们来看一下列公式的话，是不是一样到达这的上面把半径给它，下面把半径给它，等于多少？ 这道题列公式呢也是非常快的做出来，因为它的这个什么呢？它的问题比较直接， 这个题呢主要就让大家熟练掌握圆柱与圆锥的公式，然后不要忘了圆锥有一个三分之一。

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六下数学第三单元测试卷，圆柱与圆锥练完单元考试不丢分，数学不管啥分段，老子三句话让你暴涨五十分！练透一张比盲刷十张管用！专治各种疑难杂题 压箱底的邪修秘籍，今天全给你抖出来！假如你从四月八号开始努力死磕圆柱与圆锥，牢记知识点，吃透每一个题型，拒绝无效题海伤脑又费力。记好了，跟着我七中考试稳稳九十五加，需要电子版的扣六八六八领取吧！

六下数学最难的圆柱与圆锥，就这十四大题型练完稳进班级前三，可打印六年级下册数学必考公式，圆柱和圆锥圆柱侧面积圆柱表面积圆柱的体积 圆柱的切割圆柱横切圆柱纵切圆柱纵切专项训练一、剪铁皮为圆柱二、圆柱表面积实际应用三、不规则图形表面积四、圆柱切拼 五、圆柱中的贝比倍分比六、圆柱圆锥的体积关系七、圆锥中的倍分比八、圆锥侧面展开九、墙角里的圆柱圆锥切圆锥胶带展开长度等机变形水中进物，这是重点旋转成型。以上均有垫子板。

正解，数学，一起探索正确解答，那和老师一起来探索一下咱们在上节课留下的课堂练习一的这个问题的正确解答吧。说下图中圆锥的体积于哪个 圆柱的体积是相等的呢？哎，圆锥在这啊，注意与哪个圆柱是不是给了我们四个圆柱，让我们来想一想他们谁的体积是相等的？我相信大家在课后已经有去思考了，那就和老师一起来看一看吧。我们先看一下啊， 这个圆锥的底面直径给了咱是六，高给了是十五，对吧？那它的半径就应该是三。好， 那老师直接展示一下老师的思考过程哈！说圆锥啊与咱们的第三个圆柱的体积，来找一下，这是咱们的一号、二号、三号、四号 体积是相等的，因为它与圆锥体等底，并且圆锥的高是圆柱高的三倍。 ok， 首先来判断一下是否等底啊，你看他的直径是六，那很明显他的半径也是三呗，没问题。那咱们在想之前是不是学过同底等高的情况下， 圆柱的体积是圆锥的三倍，那现在等底了。但是我们发现如果圆锥的高高好是圆柱高三倍时候，他们的体积也是相等的啊，这个我就不再细讲，同学们可以带入一下他给的我们的这个高啊底面积啊，半径啊的数据，你可以自己去带进去算一下。好吧， 包括你有别的方法可以在后面给老师投稿啊，留言呢，就包括任何解题的方法，都可以 在后台上和老师来沟通一下，咱们可以交流交流，或者在下面留言哈，或者跟老师说一说你有什么特殊的解题的，或者，哎，更有更简单更新奇的解题办法。好， 那还是一样。这是咱们留下的第二个问题，说请大家计算一下下面各圆锥的体积。老师先带着大家做第一个吧，第一个，然后剩下的大家就可以自己来做一下了。 我们先来看一下第一个圆锥的，他告诉我们什么？这道题比较简单对不对？他直接把底面积告诉我们了，并且把高也告诉我们了。那我们直接 v 等于三分之一的 s h， 直接就是三分之一乘九乘三点六，对吧？那就是三乘三点六。好， 三六十八，三三得九十点八，注意单位立方米。好，那第一个问题我们就做出来了是不是？好，那第二个第三个就留给大家，咱们下个视频，再见。

六下数学最难的圆柱与圆锥知道四类母题考试等于抄答案，这是六下圆柱圆锥应用题母题的归类复习篇目一，圆柱的表面积基础篇篇目二，圆柱表面积的提高篇圆柱常见的四种旋转构成法为最常考类型， 第一种旋转方法，以宽为轴进行旋转。第二是以长为轴进行旋转。第三，以两条长中点的连线为轴，最后是以两条宽的中点的连线为轴进行旋转。 二、中圆柱表面肌的三种增减变化，第一是高的变化引起表面肌的变化。第二，横切引起的表面肌变化。第三是竖切引起的表面肌变化。这是相应的典型例题。篇目三，圆柱的体积篇知识总览分为圆柱的体积 在圆柱中的三种应用方式。最后是圆柱表面肌的三种增减变化方式在体积中的应用，第一，圆柱的高变化引起的表面肌变化。二，横切引起的表面肌变化。三、竖切引起的表面肌变化篇目三的第四点，圆柱与长方体的拼接转化问题。第五点，排水法求不规则物体的体积，具体排水法的公式和例题都在这里。 篇目四是圆锥篇从圆锥的认识开始，接下来是圆锥的体积以及圆锥的旋转构成法和圆锥的切面积问题。第五是笔在圆锥中的应用。六、圆柱与圆锥的等级变化最后是排水法在圆锥体积中的应用。有完整版，含答案，解析过程可打印。

各位同学你们好，本节课老师要给大家讲的是我们在日常生活当中做题常常会遇到的一类 圆锥等体积变形的问题，他常常会在六下的考试当中遇到，所以遇到这个问题我们怎么解决呢？我们一起来看一下。首先看一下这道题给的已知条件，说是一个圆锥形的沙滩，那我们就知道了，先定位它是一个什么图形圆锥对吧？ 那给了圆锥的什么条件呢？我们往后来读说底面周长是二十五点一二米，然后高是三米，那给了我们圆锥的高度是三米，对吧？ 然后他的底面周长有了。后面第一问让我们求的是，如果每平方米的重量是一点五吨，问我们这堆沙子的重量是多少吨？ 我们先来看一下，你想求这堆沙子的重量，你得先知道他的什么，这堆沙子是多少立方，那你要知道这堆沙子是多少立方的话，其实是让我们求这个圆锥形沙滩的什么？ 是不是让我们求他的体积啊？所以第一问，我们重点要求圆锥形沙滩的体积是多少，通过体积我们再去求他的重量。 那好，我们先来一步一步来求，那体积怎么求呢？来应用题，我们先写解冒号， 那体积，我们知道圆锥的体积公式是什么？老师写在这边，圆锥的体积公式，它是等于三分之一派 r 方 h， 在 这里 r 是 半径， h 是 圆锥的高，那好，我们代入公式当中，我们会发现题目给了圆锥的高了是三， 那差一个什么？差一个半径，那半径怎么求呢？我们来看一下，其中有一个条件我们还没有用到，就是圆锥的底面周长，我们怎么通过圆锥的底面周长去求半径呢？在这里啊，给大家一个新的知识点，已知圆的周长， 让我们去求半径的话，注意公式是半径等于周长。 我们一般用 c 来表示，周长除以派再除以二，因为我们知道周长是等于二派二。反过来，我们要求半径的话，已知周长求半径，那我们就应该用周长除以派再除以二。这道题就利用了这个公式，所以我们先把半径求一下， 半径是不是应该用周长是多少？二十五点一二去除以派。我们现在在六下的做题过程当中，由于每个班的要求是不一样，有的班的要求可能是 没有提到派是多少的时候，我们要保留派，有的班可能要求的是没有说派多少的时候，我们进四取三点一四。但对于这题而言的话，如果你派不取三点一四算的话，你根本求不出来具体半径的数值是多少，只能含有派对吧。所以我们按照常规来讲，我们进四取三点一四来计算啊。 所以派取三点一四再除以二，得到半径的值应该等于的是四米， 这里单位是四米啊，好，我们半径都有了，接下来有了半径，我换一个颜色来，半径有了高，题目当中也给了是三，我们能不能求出圆锥的体积啊？好，下一步我们就去求圆锥的体积，体积等于三分之一乘派， 再乘上半径，刚刚求出四的平方，再乘上高是三，那我们派往里带等于三点一四十六乘上三点一四， 是不是对应我们就能求出体积的值啊？体积的值是五十点二四，单位是立方米，单位又写在这里了，立方米。 好了，我们现在第一步体积已经求出来了，我们是不是要根据这个体积去求重量？ 每立方米沙子的重量是一点五吨，现在我们这堆沙子是五十点二四立方米，那五十点二四去乘上一立方米的重量是一点五，是不是就求出来总共这个圆锥形沙堆的重量是多少了？那算出来结果是七十五点三六吨。 这第一问还好一点啊。第一问没有考察太多的知识点，只是让你通过周长去求半径，再通过半径和高套入到我们圆锥形的体积公式当中去求体积，体积，求重量，一步一步我们去求出最终他想要的答案。第一问其实没有什么太多的知识点， 重点在于哪呢？来，老师把第二文写在这里啊。第二文他主要考察的是一个等体积变形的问题，什么叫等体积？前后的体积没有发生变化，这叫做等体积。我们来看一下第一问当中是一个圆锥形的沙堆，对吧？然后第二问，要用这堆沙子怎么样 给他铺成路，那给了这个路的什么？他的宽是十米，路的宽是十米，还给了这个路的厚度。路的厚度我们可不可以理解成是路的高是两厘米啊？那在这啊，老师给你画一个图，这是他现在要铺的路， 给了他的宽度啊，我换一个颜色，这是代表他的宽是十米，鹿的厚度也就是高，我再换一个颜色，用黄色来表示他的高，高是几米呢？高是两厘米， 那你看一个单位是米，一个单位是厘米，在这就出现了一点区别了，那单位我们最后一定是要统一的，那到底是都统一成米还是都统一成厘米呢？关键在于这第二问的问题，我们看一下后面他问的是这条路到底能铺多少米？ 最后既然问题是米，那我们可不可以把所有的单位都统一成是以米做单位的呀？接下来我们就把这两厘米给他统一成是以米做单位。那两厘米等于多少米啊？一厘米等于零点零一米，那两厘米就等于零点零二米。 好，第一步我们单位统一了，然后我们看一下，既然前后体积是不变的，我们一开始是圆锥形沙堆铺成了这个长方体，那前后既然体积不变，说明长方体的体积也是多少。 长方体的体积等于我们第一问求的圆锥的体积等于五十点二四立方米。 那在这很多孩子都出现了一个误区，我说一下，包括我的孩子在内，他们都是用 七十五点三六去除，以对应这个长方体的宽和高去求了他的长。大家都知道问能铺多少米，肯定是求这个路铺的长度，但是为什么不能用重量去求呢？因为我们知道长方体的体积公式是什么， 长方体的体积公式，它等于长乘宽再乘高。现在我们知道了长方体的体积是五十点二四，那长方体的宽和高我们也知道，是不是你只能通过体积反过来除以宽除以高，才能求出我们要得到的这个路面的长是多少啊？ 所以你们一定不能进入一个误区，就是靠重量去求，把它混淆了，一定靠的是体积五十点二四去求。那好，我们用体积五十点二四 反过来去除以这个长方体的宽是十，再除以长方体的高是零点零二，我们刚才刚统一单位是零点零二，是不是就求出来这个长方体，也就是这个路面他的长是多少了？那最终我们求出他的长是二百五十一点二米。 所以这道题第二问主要考察的就是一个等体积变形的问题，通过圆锥给他等等，等体积变化成了一个长方体，前后体积没有发生变化，再反过来根据长方体的体积去求他的长。 所以这块同学们一定要注意一下这类问题啊。这是一个比较基础偏简单一点的等体积变形问题，我们后续还会讲到更多有关于等体积变形的问题啊。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆锥的第二课是圆锥的体积。 上一节课我们认识了圆锥，知道圆锥它是由一个底面和一个侧面组成的，还知道它的底面是个圆形，它的侧面是一个曲面，并且它只有一条高。那么圆锥的体积又该怎么计算呢？ 前面我们学习过了圆柱的体积，那么圆锥的体积和圆柱的体积有没有关系呢？ 哎，我们发现呐，圆柱和圆锥的底面它都是圆形，那他们的体积应该有关系，那么究竟有什么样的关系呢？接下来我们通过一组实验来探究圆锥和圆柱体积之间的关系。 那孩子们，请你们准备好沙子或水，还有等底等高的圆柱和圆锥形容器，然后用倒沙子或水的方法 试一试吧。老师也来做一次实验，这是等底等高的圆柱和圆锥，我往圆锥里边装满水，然后倒入圆柱里边，咱看一看，倒几次正好装满。为了让大家看的更清晰，王老师往水里边加了点墨水， 我先倒入第一杯装满，倒到等底等高的圆柱里面，再往圆锥里边倒入第二杯倒满，然后倒到等底等高的圆柱里面，接着倒往圆锥里边装入第三杯，然后倒到等底等高的圆柱里面， 正好倒满。通过这样的实验，我们发现，圆锥的体积就是等底等高圆柱体积的三分之一。当然，也可以把水先装到圆柱里装满，然后倒入等底等高的圆锥里边。 大家猜一猜，应该能够倒几次呢？是的，也是三次。那通过刚才的实验呢，我们发现等底等高的圆柱和圆锥，我们发现圆柱的体积是圆锥体积的三倍，那圆锥的体积等于圆柱体积的三分之一， 前提条件一定是等底等高。在实验的过程当中，我们会发现可能有误差，并且这种实验来推导公式并不严谨， 但是由于我们目前所学的知识有限，我们只能通过实验的方法来探求圆柱、圆锥体积之间的关系。 到了初中以后啊，孩子们，你们学了更多的知识，我们会用更严谨的方法来推导出圆柱和圆锥体积之间的关系。我们知道圆柱的体积等于底面积乘高，那所以圆锥的体积呢，就等于圆柱体积的三分之一，所以用字母表示就是三分之一 s h。 那 要想求圆锥的体积，需要知道什么条件呢？对，我们可以知道底面积和高，然后为圆锥就等于三分之一 s h， 但是有的时候不告诉底面积，比如告诉底面半径和高，怎么求圆锥的体积呢？对，那我们就可以根据底面积等于 pi r 的 平方，所以我们就可以推导出为圆锥等于三分之一 pi r 的 平方 h。 那如果告诉底面直径和高呢？那同样根据直径我们可以求出底面积，所以为圆锥等于三分之一 pi 二分之 d 的 平方乘 h。 那 如果告诉底面周长和高呢？同样先求出底面积，再根据为等于三分之一 s h 求出圆锥的体积。 这些公式呀，孩子们不需要你都去背，你只要记住我们的母题公式，圆锥的体积等于三分之一 s h， 然后把圆的半径、直径、周长、面积它们之间的关系灵活应用就可以了。 知道了怎么计算圆锥的体积，我们来解决一道实际问题。例三，工地上有一堆沙子，其形状近似于一个圆锥，如下图， 这堆沙子的体积大约是多少？如果每平方米沙子大约重一点五吨，这堆沙子大约重多少吨？ 图中告诉了这个圆锥的底面直径和高，你能计算圆锥的体积吗？对，我们就要根据圆锥的体积等于三分之一 s h， 那 告诉的底面直径，我们是不是要先求出圆锥的底面积？ 沙堆的底面积根据 pi r 的 平方直径除以二的平方等于十二点五六平方米，再根据圆锥的体积公式，那么沙堆的体积就等于三分之一，底面积乘高。注意，孩子们在这里计算的时候啊，我们不一定按照从左往右的顺序计算， 只要能约分的，我们都可以先约分再计算，比如说三和一点五有同时除以三 等于零点五，这样计算起来就比较简单。最后结果等于六点二八平方米，因为每立方米重一点五吨，那么六点二八平方米一共重多少吨呢？所以沙堆的重就用六点二八乘一点五等于九点四二吨 啊。这堆沙子的体积大约是六点二八立方米，这堆沙子大约重九点四二吨。好了，孩子们，那我们来总结一下，通过这节课的学习，你有哪些收获呢？ 首先，我们学会了利用公式能够计算圆锥的体积。另外，我们还有知道，根据我们目前所掌握的知识，通过实验的方法来探求问题是一个好办法。 第三，计算圆锥的体积的过程中啊，可以先化简再计算，就是能约分的，我们先约分，使计算变得更加简单。如果这节课你也有很大的收获，请给自己点个赞吧！

大家好，我是小鹿老师，今天我们一起来看一道圆锥练习题，请看题。斗笠碗是我国传统陶瓷器型之一，因其倒置似斗笠而得名。 一款斗笠碗的造型可近似看作是一个大圆锥截去其中一个小圆锥后剩下的几何体。这款斗笠碗的容积是多少？ 我们先来看图，图上这个图形的体积我们没学过，但是观察一下它可以变成我们学过的什么图形呢？ 是的，它是一个大圆锥减去一个小圆锥。我们先来看大圆锥的信息，大圆锥的底面直径是二十厘米，高是十二厘米。求圆锥的容积，要知道底面半径和高 底面半径是直径的一半，也就是二十除以二等于十厘米。接着套圆锥的体积公式，也就是 v 等于三分之一 pi r 平方 h 也就是三分之一乘三点一四乘十的平方乘十二等于一千二百五十六立方厘米。 再来看小圆锥，小圆锥的底面半径是五厘米，高是六厘米，那体积就是三分之一乘三点一四乘五的平方乘六等于一百五十七立方厘米。 斗笠碗的容积就是大圆锥的体积，减去小圆锥的体积，也就是一千二百五十六减一百五十七等于一千零九十九立方厘米。 然后换成容积单位就等于一千零九十九毫升，所以这款斗笠碗的容积是一千零九十九毫升。好啦，今天的题我们就讲到这里，小朋友们你们听懂了吗？

六下数学最难的圆柱与圆锥排水法求体积枝头稳进年级前十六年级下册数学圆柱与圆锥排水法求体积专项训练老师给同学们整理好了 这类题型是考试的重点，也是考试难点，有一定难度，在小升初考试中出题率较高，占据分数较多。家长可以给孩子打印出来，让孩子开学多练一练，避免丢分。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元第二个章节圆锥的第一课是圆锥的认识，来看一下老师给大家带来的这幅图，认识吗？认真观察上面这些物体的形状，它们有什么共同点呢？ 都有一个圆圆的底面，还有一个尖尖的顶点，像这些物体的形状都是圆锥体， 简称圆锥。那生活中你还见过哪些圆锥形的物体呢？请打在评论区。 今天呢，王老师也给大家带来了一些生活中的圆锥，来看孩子们是不是经常见到这些圆锥，它有什么特点？今天我们对圆锥进一步的认识 好了，孩子们拿出你课前准备的圆锥形物体看一看，摸一摸，它有哪些特征呢？首先它有一个尖尖的点，这个尖尖的点呢叫顶点，它还有一个底面，并且这个底面是个圆形， 所以圆锥的底面是一个圆圆锥的，它的侧面是一个曲面。如果我们沿着圆锥的顶点和底边上的任意点沿直线剪开，我们发现它的侧边展开以后是一个扇形， 所以它的侧面是一个曲面，展开以后是个扇形，就会发现圆锥是由两部分组成，一个底面是圆形，一个侧面是曲面，两部分围成的立体图形。大家继续回忆一下圆柱体，它有高， 并且它有无数条圆锥，它有高吗？什么叫圆锥的高呢？来一起看。 从圆锥的顶点到底面圆心的距离就是圆锥的高，用 h 表示，那圆锥只有一个顶点，所以你们猜圆锥它有多少条高呢？对，圆锥只有一条高，那圆锥的高 摸不着，看不见，又该怎么测量它的高呢？孩子们，你有方法吗？书中告诉我们了， 测量时，圆锥的底面要放水平，需要一幅三角尺。首先要放 如图所示，各放一把三角尺，并使右方的三角尺的零刻度与平板的上边缘对齐。 第二量，圆锥顶点紧挨着直角边，与平板之间的距离就是圆锥的高， 从零刻度到七点五之间，那么所以这个圆锥的高就是七点五厘米。这里需要注意的是，三角尺的零刻度一定要和平板的上边缘对齐，并且这两个三角尺要紧紧地挨在一起。 在学习圆柱的时候，我们知道把木棒粘在长方形的一条边上，然后快速旋转，我们得到一个圆柱。那么圆锥能不能通过平面图形旋转能得到呢？来，请你动手做一做，如下图所示，把一张直角三角形的硬纸 贴在木棒上，快速转动木棒，看看转出来是什么形状。王老师也做了一个这样的三角形木棒，粘在了比较长的这个直角边上 快速旋转，我们会发现形成的是一个圆锥。一起来看，我们发现转起来像一个圆锥。如果我把木棒粘在比较长的这条直角边上， 那形成的这个圆锥都是高高的，那么这条直角边就是圆锥的底面半径，所以就得到一个高高的瘦瘦的圆锥。 如果王老师把木棒粘在直角三角形这条短的直角边上，快速旋转，仍然得到一个圆锥，那也就是以长直角边为轴，它就是圆锥的高。短的直角边就是圆锥的底面半径。 如果以短边为轴，那么它就是形成圆锥的高长的直角边就是形成圆锥的底面半径。孩子们，你也动手做一下实验吧！我们不仅认识了圆锥的表面特征，还要对它进一步的认识来。孩子们， 如图所示，将下面的圆锥切成两部分，切开后的结面分别是什么形状？连一连，请你先想一想，然后动手操作验证一下。王老师给大家带来一根胡萝卜， 如果我从下面切开，它的结面是一个圆形，越往上，我们发现它的结面的圆会越来越小，所以第一幅图 它的结面是一个小圆，如果往下结，它的横结面得到的是一个大圆，所以第一幅图它的结面连小圆，第三幅图它的结面连大圆。那第二幅图是沿着圆锥的顶点切下去，平均分成两份。 我们发现它的横截面是一个等腰三角形，并且它的表面积增加了两个这样的等腰三角形，所以第二幅图的横截面是等腰三角形。孩子们，下课以后，你也像这样动手操作验证一下。 我们认识了圆柱，认识了圆锥，来比较一下圆柱和圆锥它们有什么相同点和不同点。首先来看它们的相同点，圆柱和圆锥的底面都是圆形，侧面都是曲面。它们的不同点呢？圆柱有两个底面，圆锥有一个底面， 圆锥的侧面展开是一个扇形。圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 这些概念的理解可以帮你进一步认识圆柱和圆锥。好了，孩子们来回忆一下今天这节课的学习，你有了什么收获呢？ 我们认识了圆锥的特征，并且知道了圆柱和圆锥的相同点和不同点，还知道了面动成体。如果这节课你觉得自己有收获，给自己点个赞吧！

六下数学最难的圆柱与圆锥，就这十六大题型练完稳进班级前三！圆柱圆锥各部分名称及特征，侧面积和表面积特殊的圆柱表面积以及捆扎问题。 圆柱切割带来的表面积变化以及体积推导问题。圆柱切割问题和铁皮问题。半径、直径、表面积体积关系以及不规则容器的容积排水法以及立方体中切割最大圆柱圆锥问题，圆柱圆锥关系以及熔柱问题。电子版找我领取吧！