人教版八年级下册数学矩形基础练习题

我们在举行这节课学习的过程中呢，有个非常重要的小结论，也就是直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半啊。首先它的证明呢，是利用了矩形的性质和判定来证明的，那我们看一下，这是一个直角三角形，它斜边的中线，也就是已知的，是 这个定角的已知角 a、 b、 c 等于九十度，然后呢， o 为 a、 c 中点。 好，那咱们证明的过程是这样的，倍长 b o 倍长 b， o 有 延长 b， o 把它的使这个 o、 d 等于 o， b。 好， 这是辅助线，然后连接 cd 和连接 ad， 这两个一连，连完之后，我们发现这两个三角形呢，很容易能够挣出来全等， 用被乘的话，这两边相等啊，对顶角也是相等的，加上这个 o a 和 o、 c 相等，边角边全等，这个全等之后呢，我们就可以得到这个 ab 和 cd 之间是相等的，而且由于这个角呢存在一个角相等，所以就是平行斜等， a、 b 和 c、 d 平行且相等，所以这个四边形 a、 b、 c、 d 呢，就是个平四边形啊，推导出四边形 a、 b、 c、 d 是 平四边形，再加一个九十度的内角，推导出 a、 b、 c、 d 呢是矩形 啊，矩形呢，我们就能推导出 b、 d 和 a、 c 相等，就等于二倍的 o b。 好，最后证出来这个我们的结论就是 a c 的 二倍的 o b。 那 这个考试中呢，我们可以直接写出他的定力的逻辑，也就是不需要咱们去证明啊，可以直接用的。这咱们课本上的一个定力叫做直角三角形的一个性质， 也就是因为角 a、 b、 c 等于九十度， o 为 a、 c 中点，或者是 b、 o 为三角形， a、 b、 c 的 中线，斜边上中线，所以 a c 就 等于二倍的 o b， 这就可以了啊，那下面我们来说一下关于这个图形的另外的两个考试方向。 第二条，也就是它给咱们呢，只有 o b 等 o c 等 o a 这三个东西，让证明角 a、 b、 c 等于九十度啊，类似于这几个条件啊， o a、 o c， o b 相等，三边相等，让证明角 a、 b、 c 等于九十度。这里我们可以参考的是把这些角分开， 因为 o b 等 o a， 所以 角 e 等角 a， 又因为 o b 等 o c， 所以 角二等角 c， 那 我们可以得到角一加角二，其实等于整个内角的一半，是等于九十度的，所以角 a、 b、 c 呢，等于九十度。 这是第二个，这个考试过程中呢，咱们要用的时候要写过程啊，因为过程简单，所以考试是要写出来的。第三个，我们知道九十度就是角 abc 等于九十度，知道一组 o a 等 o b， 我 们来证明 o 为 a c 中点。这个， 那我们也是因为 o a 等于 o b， 所以 角一等角 a， 又因为角 a、 b、 c 呢，等于九十度。这个时候我们同时可以得到两个角一加角二等于九十度，角 a 加角 c 等于九十度。 你看角一和角 a 相等了，所以我们在这个情况的基础上，所以可以得到角二等角 c， o a 和 o b 和 o c 就 能够全部相等，所以 o a 等于 o c， 所以 o 为 a， c 中点。 也就这个一个直角三角形写成中线啊，等于斜边的一半。这句话呢，看似课本上只写了这么一个定律，是因为他特别的难证明啊，咱们给他编成一个定律了，后边两个也是常用的一些技巧，角度的转换，由于比较好证明，但是同学们呢？有一部分同学可能会想不到，或者是在使用过程中呢？会想不到这个方向，可以认真总结一下。

两位同学走进城市建筑展区，眼前的一栋栋规整建筑引起了他们的好奇，这些方方正正的图形正是我们今天要认识的举行，你们好，欢迎参观举行建筑展区，我是这里的设计师， 看你们对这些建筑很感兴趣，接下来我就带你们深入了解大家。请看眼前这扇窗户，这就是举行最直观的样子，没有圆润的弧度，规整又大气，一眼就能分辨。 矩形的外在特征十分鲜明。它拥有四条边，四个角，两组对边，整齐对称。四个角方方正正，无论是门窗、墙面还是地砖， 这样的形态都能让人一眼识别出它是矩形。大家可别小看这个简单的图形，它是特殊的平行四边形，既保留了平行四边形的性质，还有自己独有的特点，这些特点也让它在建筑中拥有诸多优势。 作为特殊的平行四边形，矩形的核心特点尤为突出，两组对边不仅平行，长度还完全相等，四个角都是标准的九十度直角，保证了结构的稳固。两条对角线长度相等且焦点能将每条对角线平分，让它间距规整与对称之美。 矩形的实用优点都源于它的核心特点，平整光滑的表面让施工更便捷高效，规整的形态让拼接更整齐，不易松动，宽大的平面能保证采光均匀，这些优点让它成为建筑设计中不可或缺的图形。从建筑的整体结构到细微的装饰细节， 矩形无处不在。它用简洁的形态承载着实用的价值，也藏着丰富的数学知识。这些特点与优点背后的数学奥秘，等着我们走进课堂，深入探索，解锁它更多的用途。 上节课我们学习了矩形的定义和性质，谁能说一说？有一个角是直角的平行四边形是矩形，对边平行且相等。 四个角都是直角，对角线相等且互相平分。我们研究几何图形，通常会从性质出发研究它的判定，也就是反过来满足什么条件的图形是矩形。 与研究平行四边形的判定类似，我们研究矩形的性质定律的逆命题，看一看它们是否成立。 有矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形可以判定是矩形。除了这个方法，还有没有其他判定方法呢？ 上节课我们认识了矩形的特征与特点。今天两位同学再次走进建筑展区，要探索一个新问题，什么样的图形才能被称作矩形？同学们， 上节课我们认识了矩形的性质，今天我们就来聊聊怎么判定一个图形是不是矩形，这也是建筑施工中最核心的问题。 我们知道矩形是对角线相等的平行四边形，反过来对角线相等的平行四边形就是矩形，这是建筑中检验门窗的核心方法。 对角线相等的平行四边形是矩形，工人师傅测量门窗对角线，就是用这个原理保证形状规整。除了对角线，我们还可以用角来判定，有三个角是直角的四边形就是矩形，这也是检验建筑墙面的常用方法。 有三个角是直角的四边形为三百六十度，三个直角确定后，第四个角必然是直角，自然形成矩形。 建筑施工中，工人师傅用这两个判定定例检验门窗、墙面、地砖的形状，确保每一个矩形都规整、稳固，让建筑既美观又安全。从性质到判定，矩形的几何知识支撑着每一栋建筑的诞生。 今天就让我们走进数学课堂，深入学习矩形的判定，用几何知识解决实际问题。你还有其他判定方法吗？ 根据判定定律，对角线相等的平行四边形是矩形，测量对角线相等，就能保证门窗是标准矩形，不会变形。

今天这节课，我们大家一起来探讨矩形的判例，那么谁呀？先回顾一下矩形的定义与限制， 什么叫做举旗啊？你来举旗，是有一个直角的平行线，行，很好，坐下就是指一起有一个角一号，有一个角是指导 是变形，叫做矩形。但是矩形又有哪些性质呢？想一想有哪些性质？谁来回答，都有 矩形的对角线相等，矩形的四个角都是直角，还有呢？ ok， 向下，好，你来俯卧撑，还有这边是吗？是 来一，怎么做？对边平行四个脚都是直角， 对对条件相等且互相平分。由这一三条，我们又可以推出哪条性质的？一， ok， 回答，很好， 直角三角形，写边上的中线等于写边的一半。好，接着大家来看这有一张图片，我给他做了一个平行四边形的相框， 但综合各种因素决定把这个皮鞋是耶形改成矩形，且要如何判断它是一个矩形？想一想， 好，你来说，对侧方有一个动词，我想知道一去势，听明白了吗？听明白了，好，坐下要坐直去看一下 是否有九十度的角，依据是有一个角是直角的平行四边形受做矩形，依据它的定义，对吧？十，可知 第一，矩形的第一可以成为判定啊，用数学符号怎么说你的？因为在平行四边形 a、 b， c、 d 中角 a 等于九十度，所以四边形 a、 b， c、 d 是 如何？ ok， 好， 那么大家想一下，如果我把平行四边形改为四边形，那么请问对吗？ 想一下，对，想清楚，然后把你的想法 好，佳丽， ok， 佳丽，请问是吗？不是，为什么？因为有一个角是平行四边形的，比如说来看， 请，看来这个角是五十度，请问他是逆行吗？不是，只说这句话没错。 ok， 记下来。如果两个角是直角，二、四边形是 角，我们说有一个角是直角，两个角它有时候直角倾斜，有有两个直角 开始说，比如直角梯形里面，它有几个直角两个，可以，这句话正确不正确？好，所以我们一定要注意是几个直角， 一个是什么？平行四边形，三个角是直角的四边形是雨形吗？先思考，思考完后你和五个一相对交流，想一下，能开始是， 若不是形，说明你有 a， 你 的，对吧？是雨形，那是 因为角 a 等于角 a， 因为时间是知道内角是哪个的。弧角 a、 b、 c。 角 a 和角 b、 角 c 都等于九十度，所以得到角 a 等于 零九十度，所以它是一个矩形 a、 b、 t 的是有四个角是直角的，四边形是矩形， 这是根据小学长方形的定义来说明的，对吧？那小学的长方形的哪个叫做理性？ ok， 好， 谁能用我们这几个学的知识点来说明呢？你来， 因为角 a 等于角 b 等于角积度，所以 a。 角 b 等于角积， 所以 a、 d 是 平行四边形。因为角等于九十度，所以必须判定一，有一个角是直角的，平行四边形是平 行。 ok， 好， 坐下我们来复述，我们来回顾一下他说的，他说的角 a 等于角 b 的 九十度，可以知道这两个角五，所以 a、 d 平行 b、 d。 接着他说角 a 等于角 c， 所以 他不平行， 有这句话对吗？不对，同旁内角相等，能判断他的平行吗？不能说， 因为角 b 等于角 c 等于九十度，所以角 b 加角 c 等于一百八十度，所以 a 平行 p、 e， 所以 四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。因为考 a 等于九十度，所以四边形 a。 第一式矩形，它标示我们又可以得到另一个判定。怎么来？将你刚才的方线用一点概括出来，你来有三个角是平行四边形 的，有三个角是直角的，平行四边形是矩形。别紧张，太过于紧张，保证下去，看谁来帮他。从 写明你来，有三个角是四边形的，有三个直角的，有三个直角的四边形是平行， 是吗？是，那你三个角都是直角的四边形 啊，显明用数学符号来表示，因为 a 等于九， b 等于九， c 等于九十度，所以四边 a、 b、 c、 d 是 整数，用数学符号来量它做下去。好，你们再想一下， 用别的方法来判断一个四边形是矩形吗？还有别的方法？我们大家先来看一下这个问题。 好，这个问题可以同桌交流，可以小组讨论，再把你的结果内容都写出来，在草稿上写 出来。哪个小组开课代表上来把你的思考过程写出来呢？哪个小组来开课代表好？雨菲，你来。 ok， 你 也能整天站在草稿纸上教你的过程写出来， 那思维比较敏捷。你们写好了吗？有，那我们来看一下这位同学的 来，你们看底下两个同学，你们觉得有哪些问题？第一个要先干嘛？先判断，先回答，先判断是 行吗？是，是。接着再来，比如说平面啊，一起来看。在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， 平行写等于一，先写等于一，先写等于一先。 所以 a 等于 b、 c， 对 吗？对不对？对，我看错了， a、 b 等于 b、 c， 这里一定会相等吗？ 不一定会相等的。斜，要不要？ a、 b 平行且等于平 一一，还有一个一次表，是谁等于一一对， a、 c 等于 b， b 等于 b， 所以 三角形 a、 b、 c 全等于三角形 b、 b、 b。 一句来自 s、 s， 所以 角 a， b、 c 等于角 a、 t、 b， 是 吗？对， 好， a。 行，那你们用小一些写能不能？那应该怎么写？ 九、等于角一厘米，因为它的角是角一百八十度，一百八十度，那么你干嘛香？所以 才可以得到它们的是多少度？九十度，九十度，所以这平行是 a 型， a， b 型是矩形，要注意那个过程，书写它。 好，大家看一下，这位同学啊，来做一下怎么样？好，非常好。 ok， 好， 因为是由这道题，我们可以和他省钱了呢。如何用语言来描述？ 特别特别， ok， 你 来。平行四边形式体型，这一边相等的平行四边形式对角建立相等的平行四边形式体型 a。 三小青手来站车，好，把他的话吐出来。 对角相等的平行四边形式体型。 看第三，也就是说对角线相等的平行四边形是与 对角线相等。对，一定要注意这两处。好，还，这句话还可以讲，同时在你对角线相等的角又相等于分的四边形是几级，你是怎么想的？ 因为会表现互相评判，就是彼此之间。是吗？这个回答非常好，我来冲一下，一个月五号，我们来。好，你来。因为在同时 c、 b、 c、 d 中 a、 b、 c、 d 等于一，所以 c、 b、 c、 d 是 平行。 ok， 那 好，还可以怎么说啊？你继续怎么说？ 因为 a、 o 等于， 所以是边形， a、 b、 c、 d 是 矩形，思考一下，对角线上的是边形，是矩形吗？ 我说不是的，你可以通过画图举出法例，也可以用自己截，或者是 那个则出一个读起来。苏明，你的写法啊，可以用写的方式，可以的方式，也可以多画百度的百例，但 谁呢？可以把这句话写错了。好，还有你来说这个词，为什么这个百例真形，比如真形，这是什么？ 光在这个方向，那么还有吗？还能举出来啊？是从等腰 d 型，我来看，要是从他折身一个等腰 d 型，那这个小熊可以干嘛？想表现相当的，但是它是 d 形吗？不是，由此可知被表现伤了，而且还要吃什么 一个点才能说明他是矩形，否则一定吗？不一定。好，接着我们来回复一下这节课。好，请来回复我一下。 一个角是直角的，平行，四边形是梯形，有三个角是直角的，四边形是平行。来看。定啊， 第三个是高的，一边是一，是五十一。 ok， 好， 说下去，正巧我们再给他们写三个举行的太极方。

我们来看一下矩形的性质，矩形呢，首先它是一种特殊的平行四边形，那它的第一个啊，就是通过边的角度来分析的话，它的性质是平行四边形。关于边的性质，存在的它都存在，也就是 a、 d 平行且等于 bc， 那 a、 b 呢？平行且等于 dc， 这是关于边的，它的一些性质，对边平行相等。第二个关于角的角的就更直接一点，对角相等，菱角互补，这是平行四边形的。那矩形呢，它是定义上讲的，是有一个角为九十度的四边平行四边形，所以呢，它的四角 都是九十度啊，四个角都是九十度。那对角线呢？比较特殊，对角线除了对角线互相平分， o， a 等 o c， o b 等 o d 以外， 对角线还是相等的， a， c 还等于 b， d， 那 其实这里我们可以建立等号，也就是 o， a 等于 b， 等于 c 等于 d， 这是矩形的边角对角线它的特殊性质。

矩形、菱形、正方形三、怎样判断一个平行四边形是否为矩形？可以由定语入手。 有一个角是直角的平行四边形是矩形， 有一个角是直角的平行四边形是矩形，用几何语言这样表示？ 我们知道矩形的四个角都是直角，反过来四个角或三个角都是直角的四边形是矩形吗？ 在四边形 a、 b、 c、 d 中，角 a、 角 b、 角 c 都是九十度。求证四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形。 因为角 a 等于角 b 等于九十度，所以角 a 与角 b 互补，所以 a、 d 平行于 b、 c。 同理可证， a、 b、 c、 d 平行于 c、 d。 这样四边形 a、 b、 c、 d 就是 平行四边形了。而有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形。你们说得真好，证明过程。 从而有三个角是直角的，四边形是矩形，用几何一元这样表示。 我们知道矩形的对角线相等，反过来对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 c 等于 b、 d。 求证。平行四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形。因为平行四边形的对边相等，所以 a、 b 等于 c、 d。 又因为已知条件 a、 c 等于 b、 d， 所以 在三角形 a、 b、 c 与三角形 d、 c、 b 中有两组对应边相等，再加上公共边 b、 c。 可以 证明这两个三角形全等， 所以角 a、 b、 c 等于角 d、 c、 b。 因为 ab 平行于 cd， 所以同旁内角互补，则角 a、 b、 c 等于九十度，所以平行四边形是矩形。从而证明了对角线相等的平行四边形是矩形，用几何一元这样表示。 现在我们来实践怎样判断平行四边形的窗框是否为矩形？有一个角是直角的平行四边形是矩形。 还可以判断对角线是否相等，对角线相等的平行四边形是矩形。如果没有平行四边形的条件，那么怎样判断四边形的窗框是否为矩形？ 如果能验证三个角为九十度，三个角是直角的，四边形是矩形。 小杰，这节课你学了矩形的判定方法，一、有一个角是直角的，平行四边形是矩形。 二、对角线相等的平行四边形是矩形。三、三个角是直角的四边形是矩形。

矩形、菱形、正方形十有一组菱边相等的平行四边形是菱形。 四边相等的四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 已知平行四边形 a、 b、 c、 d 的 两条对角线 a、 c、 b、 d 相交于点 o、 a、 b 等于五， a、 c 等于八， d、 b 等于六。求证四边形 a、 b、 c、 d 是 菱形。 由于平行四边形的对角线互相平分，所以 a、 o 等于四， b、 o 等于三。已知 a、 b 等于五。你发现三角形 a、 o、 b 的 边长有什么特点？ 三的平方加上四的平方等于五的平方，符合勾股定律的逆定律，这样三角形 a、 o、 b 就是 直角三角形 对角线 a、 c 垂直于 b、 d， 所以 平行四边形 a、 b、 c、 d 是 菱形。你们说的很好，证明过程， 已知 a、 e 平行于 b、 f 角 b、 a、 e 的 平分线交 b、 f 于点 c。 角 a、 b、 f 的 平分线交 a、 e 于点 d 连接 c、 d。 求证四边形 a、 b、 c、 d 是 菱形。 因为 a 一 平行于 b、 f， 所以 角一等于角二，又因为 b、 d 平分角 a、 b、 f， 所以 角二等于角。三则角一等于角三，所以 a、 d 等于 a、 b。 同理可证， b、 a 等于 b、 c， 所以 b、 c 等于 a、 d。 又因为 b、 c 平行于 a、 d， 所以 四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。 由于邻边相等，所以平行四边形 a、 b、 c、 d 是 菱形。你们说得真好，证明过程 现在请你练一练。 现在我们来做一个实验，将两张等宽的矩形纸片叠合在一起，得到四边形 a、 b、 c、 d。 你 认为它是什么特殊的四边形？四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。 因为这是两张矩形纸片，所以 a、 d 平行于 bc， a、 b 平行于 dc， 有 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 那么题目中的等宽怎样理解？两个矩形的宽度相等作 a e 垂直于 bc， a f 垂直于 c d， 则 a e 等于 af。 在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 e 和 af 是 什么呢？ a、 e 和 af 分 别是 bc 和 cd 上的高。利用平行四边形的面积等于底层高，可以证得 bc 等于 cd。 我 知道了，这样四边形 a、 b、 c、 d 不 仅仅是平行四边形，还是菱形。你们分析的不错，现在我们来证明。

矩形菱形正方形十二、有一组菱边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。有一组菱边相等的矩形是正方形。有一个角为直角的菱形是正方形。 正方形的判定方法一、定义法二、矩形法三、菱形法 已知如图，在正方形 a、 b、 c、 d 中点 a 撇、 b 撇、 c 撇、 d 撇分别在 a、 b、 b、 c、 c、 d、 d、 a 上，且 a、 a 撇等于 b、 b 撇等于 cc 撇等于 d、 d 撇。 求证四边形 a 撇、 b 撇、 c 撇、 d 撇是正方形。因为四边形 a、 b、 c、 d 是 正方形，所以四个角为直角，四条边相等。 又因为 a、 a 撇等于 b、 b 撇等于 c、 c 撇等于 d、 d 撇，所以 a 撇、 d 等于 b 撇， c 等于 c 撇、 d 等于 d 撇 a。 所以 图中这四个直角三角形全等。 由全等三角形的对应斜边相等，可以得到四边形 a 撇、 b 撇、 c 撇、 d 撇是菱形。 那么怎么证明这个菱形是正方形呢？因为角 a 等于九十度，所以角一加角二等于九十度。由全等三角形的对应角相等，可以得到角二等于角三， 所以角一加角三等于九十度，则角 d 撇、 a 撇、 b 撇等于九十度。这样，菱形 a 撇、 b 撇、 c 撇、 d 撇就是正方形。你们说得真好，证明过程 已知如图，在正方形 a、 b、 c、 d 中， a、 c 是 对角线， a、 e 平分角 b、 a、 c。 求证 a、 b 加 b、 e 等于 a、 c。 你发现线段 a、 b、 e、 a、 c 不 在同一条直线上。遇到这种情况，我们常常用割补法，不妨在线段 a、 c 上截取 a、 f 等于 a、 b 连接 ef 有已知角一等于角二，因为 a 一 是公共边。根据边角边定义，可以证明三角形 a、 b、 e 全等于三角形 a f、 e 从而 e f 等于 e b。 这样要证 a、 b 加 b， e 等于 a c。 可以 转化为证明 a、 f 加 f， e 等于 a c。 也就是要乘 f c 等于 f。 一、 在正方形 a、 b、 c d 中，角 b 为直角角， a、 c、 b 等于四十五度。由全等三角形的对应角相等角 a、 f、 e 等于角 b 等于九十度， 从而三角形 e、 f、 c 为等腰直角三角形，所以 f c 等于 f e。 你 说的真好，从而实现了 a、 b 加 b， e 等于 a c。 易老师，我还有一个方法，既然可以截长，那么也可以补短，不妨延长 a b 到 j， 使得 b g 等于 b e。 这样 a、 b 加 b e 就 等于线段 a g 连接 e g。 显然，三角形 b、 e、 g 为等腰直角三角形，所以角 g 等于四十五度。 根据角角边定律，可以证明三角形 a、 g、 e 全等于三角形 a、 c 从而 a、 g 等于 a c。 所以 a、 b 加 b， e 等于 a c。 小胖你真棒！遇到这种情形，我们常常有不同的切入，或截长，或补短，从而化难为易达到目的。

矩形 a、 b、 c、 d 的 两条对角线， a、 c、 b、 d 交于点 o 题目中给了一个条件叫矩形。我们知道矩形有个特点，它的对角线相等呢，所以我们的 a、 c 啊，应该等于 b、 d。 由于 a、 c 加 b、 d 等于八，所以 a、 c 占四， b、 d 也是四角， a、 o、 d 等于一百二度， a、 o、 d 一 百二，那求 ab 的 长 角 a、 o、 d 是 一百二，它的补角用一百八减一百二是六十。 两个对角线长度的和是八，每一条边 a、 c 和 b、 d 应该各占四，而矩形对角线互相平分，所以 a、 o 是 二， b、 o 也是二。 a、 o 和 b、 o 相等，说明三角形 a、 o、 b 是 等腰三角形，等腰三角形外加一个角， a、 o、 b 是 六十度， 所以它从等腰三角形变成等边三角形。那么等边三角形、三角边都相等呀！ a、 b、 b、 o、 a、 o 三角边的长都是二，则 a、 b 的 长为两厘米。

好，我们今天再看一个题目啊，我们今天再把这个第四题讲一下，这道题是一个证明题，然后再求一个向量的长度啊，非常好，我们看一下，在平行四边形 a、 b、 c、 d 当中啊，这是一个往下做了一个垂线啊， a、 e 垂直于 b、 c 于 e， 然后延长 b、 c 至点 f， 使得什么？使得这个 c、 f 等于 b、 e， 再连接 d f， a、 f 与 d e 呢？就是这两条对角线啊，我们相交于点 o， 那 么第一个求证四边形 a、 e、 f、 d 为矩形，就是这样一个四边形为矩形， 对吧？好了，怎么证呢？我说下思路啊。首先我们先证它是平行四边形， 先正平四，然后他这个角是往下做个垂线，这个角是九十，所以我们就利用有一个角是九十度的平行四边形就可以了。 那么最关键的是这个平四怎么整？我们观察条件啊，发现上下是平行的，就首先他有一个平行四边 a、 b、 c、 d， 那 我这里 ad 和 ef 是 不是平行啊？ a、 d 平行于 e、 f 平行，那么平行我们就想到平行且相等行不行？如果 a、 d 和 e、 f 也相等就行了吗？ 就能不能相等了？我们看看给的条件够不够，他给了一个 c、 f 等于 b、 e， 主要是这个条件怎么用？ c、 f 等于 b e， 如果 c、 f 等于 b e 的 话，我们想他们同时加上 ec 是 不是也相等？所以这个条件我们稍微变一下， 我们 b、 e 加上 ec 是 不是 bc 啊？ cf 加上 ec 是 不是 ef 啊？所以这个条件就相当于告诉我们什么相当于告诉我们 bc 等于 ef。 好， 我们知道 bc 啊，它是等于什么 a、 d 的， 因为平行四边， a、 b、 c、 d 对 边相等， 那我们现在 ef 等于 bc， 等量代换一下，是不是 ef 就 等于 ad 啊？所以这个 ef 等于 ad， 是 不是证明了先证它等于 bc， 对 吧？整个思路就通了，然后再利用这个角等于九十度，是不是就是矩形啊？所以第一问解决啊，没问题吧？那第二问，我们再来看一下，这个 ab 是 等于六的， o、 e 是 等于四的， 那么角 b， a、 e 等于角 d、 e、 f， 那 这里面就涉及到矩形那些性质了， b、 a、 e 是 这个角等于角， d、 e、 f 等于这个角。 好来看啊，我们说这是一个矩形，我们就要利用到矩形的性质，这个是六，这个是，呃，这个是四， o、 e 等于四，那不就相当于 a、 f 等于八的意思吗？ 呃， af 等于八，这个思路要能想到啊，因为什么？因为 d、 e 它就等于八啊。 af 是 等于 d、 e 的， 对吧？我们看到这个是六，这个是八，于是乎我们怀疑这个角的直角，对吧？往这个上面直角上面去，正不就行了？怎么正呢？给的角也是 比较关键的。角 b、 a、 e 啊，刚好等于什么角 d、 e、 f， 哎，这两个角相等的，我们知道角，这，这个是角一吧，这个是角二吧，这个角三吧，我们标写角， 然后这里是角四，我们这个三和一是互余的，对吧？那二和一是相等的， 三和四是相等的，那通过一些等式的性质，我们是不是能得到什么 二加四等于九十度啊？为什么？因为一加三等于九十度，所以二加四也等于九十度，一等于二，三等于四，对不对？所以这个角等于九十等于九十的话， 那这个十的猜想不就有了吗？利用勾股定律 b f 等于四，这个就出来好， d f 怎么求？这个 d f 再利用平四的性质或者矩形的性质，它等于 a e， 它就是这个三角形 a b f 的 高，高的话，利用等级法就可以求了。六乘以八除以十 是等于四点八的，对不对啊？所以这道题啊，这个最终的两个都求出来了啊。好了，这道题就说到这里。

矩形、菱形、正方形。五、矩形是特殊的平行四边形，除了拥有平行四边形的所有性质外，还具有自身特殊的性质。现在我们就边角、对角线三方面加以对比。 在矩形 a、 b、 c、 d 中，由于对角线平分且相等，所以 a、 o 等于 c、 o 等于 b、 o 等于 d， o 等于二分之一， a、 c 等于二分之一 b、 d。 现在我们只观察矩形的一半。显然三角形 a、 b、 c 为直角三角形。在二 t 三角形 a、 b、 c、 中， b、 o 是 斜边 a、 c 的 中线。由上面 b、 o 等于二分之一 a、 c。 可知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 现在我们利用矩形的性质证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 证明延长 b、 o 到点 d， 使 d、 o 等于 b、 o。 连接 a、 d、 c、 d。 因为 a、 o 等于 c、 o、 b、 o 等于 d、 o。 所以 四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。因为角 abc 等于九十度， 所以平行四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形，所以 b、 d 等于 a、 c。 所以 b、 o 等于二分之一 b、 d 等于二分之一 a、 c。 已知在三角形 a、 b、 c。 中角 a、 c、 b 等于九十度， d 是 a、 b 的 中点 d、 e、 d、 f 分 别是三角形 b、 d、 c。 三角形 a、 d、 c 的 角平分线 求证四边形 d、 e、 c、 f 是 矩形，因为角 a、 c、 d 等于九十度，所以三角形 a、 b、 c 是 直角三角形。又因为 d 是 a、 d 的 中点，所以 c、 d 是 斜边上的中线， 所以 c、 d 等于 d， a 等于 d、 b。 这样三角形 a、 d、 c 是 等腰三角形 d、 f 是 它的角平分线。根据等腰三角形三线合一， d、 f 垂直于 a、 c。 同理可证角 d、 e、 c 也是直角，所以有三个直角的四边形 d、 e、 c、 f 是 矩形。你们说的很好，证明过程， 现在我们进行拓展与延伸，请按暂停键仔细审题。 因为点 o 是 a、 c、 b、 d 的 中点，所以 o、 a 等于 o， c、 o、 b 等于 o， d 则四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。因为角 a、 e、 c 为直角， 所以三角形 a、 e、 c 是 直角三角形。角比一底为直角，则三角形比一底也是直角三角形。那么这两个直角三角形与平行四边形 a、 b、 c、 d 有 什么联系？ 这两个直角三角形的斜边 a、 b、 c、 d 的 两条对角线 要正。平行四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形。只需要证明对角线 a、 c 与 b、 d 相等，能否找到这两个直角三角形之间的桥梁 连接？ e、 o、 e、 o 是 直角三角形 a、 e、 c。 斜边上的中线 e、 o 等于二分之一 a、 c、 e、 o 又是直角三角形 b、 e、 d。 斜边上的中线 e、 o。 等于二分之一 b、 d。 所以 a、 c 等于 b、 d。 从而对角线相等的平行四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形。证明过程。

第一题，矩形翻折问题 求的是 m n 的 长，因为 m n 比较靠中间，需要借助辅助线。由翻折的特性可知，辅助线我们连接 ac。 在这里，首先根据勾股定律，在直角三角形 abc 中可以算出 ac 的 长为二倍根号五。又因为翻折的特征可以得到 m a 和 m c 是 相等的， 你的 m n 垂直平分线段 a c， 所以 b m 可以 用一个四减 ma 表示出来。在 a， b， m 直角三角形中，通过勾股定律可以算出 a m 的 长为二分之根号五。 又因为它的一个垂直平分的特征 a， f 跟 f c 相等，等于二分之一的 a， c， 得到答案为根号五。在直角三角形 a， f， m 中，通过勾股定律可以将我们的 m， f 算出来， 再通过一个八字形全等得到三角形 a， n， f 和 c， m， f 角角边全等，那么就可以得到 m， f 和 n， f 相等，都等于二分之根号五，所以 m n 等于根号五。 下一道题，矩形背景有角平分线还有一个中点。首先依然是看到我们有一个八字形全等 三角形 m， d， o 和三角形 n， b， o 全等八字形。通过角角边全等 就可以得到 m， d 和 b， n 相等，所以设 m d 为 x， 所以 d， n 也为 x， 从而表示出来 n， c 等于四角 x。 根据角平分线还有平行可以得到三角形 c， n， m 为等腰三角形， 从而你的 m， c 就 等于 c， n 等于四减 x。 在 r t 三角形 c， d， m 中，根据勾股定律可以列出关于 x 的 一个方程，从而把 x 解出来， b dm 得解。 下一道题，关于矩形的一个翻折问题，翻折问题我们需要将折叠后的图自己将原图补充完整。 根据翻折的特性可以得到 d、 a、 e 三角形和 d， a 撇 e 三角形是全等三角形， 所以 a、 e 和 a 撇 e 是 相等的。根据体干给的 bc 等于根号二，所以它也等于根号二。 又由我们在这里知道 a、 d 也是根号二。在直角三角形 a、 d、 e 中，可以通过勾股定律将 d、 e 得出 是二，又因为 d、 c、 f 向下翻折，所以得到 d， c 和 d、 e 相等就等于二。外围 a、 b、 c、 d 为矩形， a、 b 和 cd 相等就等于二。得答案 来。下一个题型给的背景是一个等腰三角形尺，放在一个矩形的图中，知道了我们的角 e、 f、 c 等于七十度，求的是角 a、 g、 e 的 一个度数。 在这里的话呢，知道 afc 等于七十度。矩形的特征，直角三角形，所以我们的角 fec 等于二十度， 这是九十度平角，所以得到角 b、 e、 g 等于七十度。我们平行线同旁内角互补，就可以得到 a、 g、 e 等于我们的一百一十度。 来，下一个题干，给出 a、 b、 c、 d 背景为矩形二倍角啊，在这里做一个简单的标记，题干告诉我们说角 a、 e、 d 等于二倍的角 c、 e、 d， 所以 我们标记的时候呢，小角画一条线，二倍的角画两条线。 又给出 g 是 一个 d、 f 的 中点直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半，所以我们的 g、 d、 g、 a、 g、 f 都是相等的。 体干给出 b、 e 等于一， c、 d 等于三，求 d、 f 的 长。通过转换我们会发现，只要求出我的一条单线的长即可。矩形特征 c、 d 等于三，所以 ab 也等于三，勾股定律可以算出 a、 e 的 长为根号十。 那么在这里的话呢，根据刚才的推导可以知道三角形 a、 e、 g 在这里为等腰三角形，为什么呢？首先在这里我们内错角相等，都表示一条横线 等腰，一条横线相等，看我们的角 a、 g、 e 为外角，所以是两个小角加起来两个横线的标记，所以就可以得到 a、 g、 e 为等腰三角形。 那么我们的 a、 g 就是 根号十的 d， f 就是 二倍根号十的答案， 下一个动点问题，动点问题，我们关心的是动点从哪里出发，到哪里结束啊？在整个过程中去研究。根据题干，我们知道 我们的一个运动情况是点屁到达点 d 时停止运动，因为 a、 d 的 长在这里是十二，我们点屁的一个运动的速度在这里给的是 一厘米每秒，所以根据这个条件可以知道我们最长的一个运动时间为十二秒，所以 t 的 范围是零到十二秒。动点问题，先确定时间范围， 然后在这里的话呢， p 到达地点是停止运动， q 也不动了，运动时间为 t， 所以 我们会发现在这里 q 的 运动速度比较快，在这十二秒的过程中，从 c 到 b 单向所需的时间只需要三秒，所以十二秒他是在做一个不停的往返运动， 那么我们从 c 到 b 就是 一个时间节点，零到三秒，从 b 到三返回来是一个六秒，从 c 再去 b 是 一个九秒，从 b 再回 c 是 一个十二秒，所以我们在这里分为一、二、三、四四种情况。 题干要求 p、 q、 c、 d 所构成的四边形为矩形，我们已经知道，在这里啊，要想成为矩形，就需要满足我们的 d p 和我们的 c q 是 相等的， 因为 dp 和 c q 本来就是平行，如果相等以后，我们成为平行四边形，题干已经有一个直角，所以就成为矩形。 dp 和 c q 在 不同的时间段，它表示的式子是不一样的， 所以分别列出来对应的式子以后，解出来对应的时间，即为答案。 好来周长最小，也就是路径最短。问题结合在我们八上的一个将军引马题干中，给出矩形 a， b c， d， a b 在 这里的长是给出的， b， c 的 长也是给出的， e， f， g， h 是 不确定位置的点，只知道我们的 a e 和 c g 相等做标记， a e 等于 c g， 那 么对应的在这里 b f 和你的 d h 也是相等的，从而可以确定，根据矩形的特征，我们的 e b f 和我们的 g d h 两个三角形全等，可以得到我们的 e f 和我们的 g h 相等，同理可得对面的这两个三角形也是全等的， 那么就可以得到我的 e h 跟 g f 全等。所以中间这个四边形 e h， g f 一定是一个平行四边形，那么平行四边形的周长就可以表示为我们的 e f 加上 f g。 二倍的 e f 加上一个 f g 来表示要周长最小，即为这两条线段的和最小。我们来看一下 e f 跟 f g 这两个线段它的和。 因为 f， e g 三点都不确定，所以在这里的话呢，我会想到做对称，过点 e， 做我们的 e e b 和我们的 b e 撇是相等的啊，也就是过点 e 做 b c 的 一个对称点 e 撇，那么连接记 e 撇就可以得到我们此时的 e 撇， g 这条长就是对应的这个是最短的，那这个长怎么求呢？我们过点 g 做 ab 的 垂线，可以得到我们对应的 垂足，设为 k， 我 们会得到 g， k 的 长和 ad 的 长相等，就是我们的一个六。 又根据刚刚啊来看一下我们刚才得到的一个这条长 和下面这条长是相等的，所以我们就是将下面这条长进行一个转移，得到的 k 一 撇就一定是我们的最终的 a b 的 长是三，所以三六直角边就是多少呢？ 三倍根号五，所以最终答案就是六倍根号五。

矩形、菱形、正方形。五、矩形是特殊的平行四边形，除了拥有平行四边形的所有性质外，还具有自身特殊的性质。现在我们就边角、对角线三方面加以对比。 在矩形 a、 b、 c、 d 中，由于对角线平分且相等，所以 a、 o 等于 c、 o 等于 b、 o 等于 d， o 等于二分之一， a、 c 等于二分之一 b、 d。 现在我们只观察矩形的一半。显然三角形 a、 b、 c 为直角三角形。在二 t 三角形 a、 b、 c、 中， b、 o 是 斜边 a、 c 的 中线。由上面 b、 o 等于二分之一 a、 c。 可知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 现在我们利用矩形的性质证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 证明延长 b、 o 到点 d， 使 d、 o 等于 b、 o。 连接 a、 d、 c、 d。 因为 a、 o 等于 c、 o、 b、 o 等于 d、 o。 所以 四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。因为角 abc 等于九十度， 所以平行四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形，所以 b、 d 等于 a、 c。 所以 b、 o 等于二分之一 b、 d 等于二分之一 a、 c。 已知在三角形 a、 b、 c。 中角 a、 c、 b 等于九十度， d 是 a、 b 的 中点 d、 e、 d、 f 分 别是三角形 b、 d、 c。 三角形 a、 d、 c 的 角平分线 求证四边形 d、 e、 c、 f 是 矩形，因为角 a、 c、 d 等于九十度，所以三角形 a、 b、 c 是 直角三角形。又因为 d 是 a、 d 的 中点，所以 c、 d 是 斜边上的中线， 所以 c、 d 等于 d， a 等于 d、 b。 这样三角形 a、 d、 c 是 等腰三角形 d、 f 是 它的角平分线。根据等腰三角形三线合一， d、 f 垂直于 a、 c。 同理可证角 d、 e、 c 也是直角，所以有三个直角的四边形 d、 e、 c、 f 是 矩形。你们说的很好，证明过程， 现在我们进行拓展与延伸，请按暂停键仔细审题。 因为点 o 是 a、 c、 b、 d 的 中点，所以 o、 a 等于 o， c、 o、 b 等于 o， d 则四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。因为角 a、 e、 c 为直角， 所以三角形 a、 e、 c 是 直角三角形。角比一底为直角，则三角形比一底也是直角三角形。那么这两个直角三角形与平行四边形 a、 b、 c、 d 有 什么联系？ 这两个直角三角形的斜边 a、 b、 c、 d 的 两条对角线 要正。平行四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形。只需要证明对角线 a、 c 与 b、 d 相等，能否找到这两个直角三角形之间的桥梁 连接？ e、 o、 e、 o 是 直角三角形 a、 e、 c。 斜边上的中线 e、 o 等于二分之一 a、 c、 e、 o 又是直角三角形 b、 e、 d。 斜边上的中线 e、 o。 等于二分之一 b、 d。 所以 a、 c 等于 b、 d。 从而对角线相等的平行四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形。证明过程。

各位八年级的小伙伴们大家好，今天我们继续更新矩形折叠用勾股这类题型，同学们是不是矩形折叠总不会全等，勾股定律用不上？别慌，老师今天用一道题讲透折叠核心折叠，即对称对应边角全相等。学会这个万能思路，期末折的题直接拿满分。 好，我们看，他告诉我们 ab 等于八， bc 等于六，并且 o e 是 等于 o d 的， 那么我们我们很容易得到这两个三角形全等的，因为这个角，这个角是对顶角，这里是直角，这里是翻着折过来也是直角，所以哪两个角全等，我们选三角形， e o 每一起全等三角形 一定以 o p。 好 好好，在这个题中我们肯定要用到勾股定律，我们可以设这个 a p 为 x， 设这个 a p 为 x， 那 么这个 d p 就是 六减 x。 好， 我们来看一看，这里包含了一个重要的隐含信息，我们看这个 o d 加上这个 o h， 你 看 o d 是 等于 o e， 所以 o d 加上 o e 去，它其实就等于 o p 加上 o e， 所以 这个 o d 加上 o e， 就 等于这个 o p 加上这个 o e， 而 o p 加 o e 是 等于 p 等于几，我们翻译过来，这里是不是等于 x r 啊？好，所以这个 o d 加上 o h 等于 x， 所以 得要倒划，这个 c a h 算什么？ 八减 x。 好， 我们表演 c h 是 八减 x。 好， 我们一定要把这个含有未知数的这个 x 放在一个直角三角形里面看，这里是一个直角，这条边是六，这条边是八减 x， 那 么我们现在需要这这条边啊。好，我们来看一看，这里是六减 x， 这里根据全等，这里也是六减 x， 好， 根据翻折的同步信息， ab 等于八，那么 b e 也等于八，那么 b h 就 等于八减去括号，六减去 x 就 等于多少， 是不是二加 x 啊？ y 加 x， 所以 我们就得到一个勾股方程，就是六的平方加上八减 x 的 平方，等个弧，把这化简一下，就是二加 x， 括号的平方好，就得到什么，我们把它展开一下， 三十六加上六十四减去十六， x 加上 x 的 平方，好，右边等于 x 平方加上四， x 加四，好，我发现一下， x 平方跟 x 平方抵消了， 好，移过，移过来就得到二十 x， 就 等于这边移过去三十六加六十四是一百，一百就是九十六，那 x 就 等于哦， 除一个四就是五分之二十四。好，我们来总结一下，首先矩形折叠我们一定要包含着勾股方程，我们在前面的视频，二零二四年这个中考压轴题里面讲矩形折叠，大家一定要学会用勾股方程，然后找到关系列格，记得点赞关注哦！

同学们好，欢迎来到初中数学同步讲练课程，今天我们继续讲八年级的内容，四边形。本节课我们将学习特殊的平行四边形、 矩形、菱形和正方形，研究矩形、菱形、正方形的性质和判定方法。我们还会讲解例题，并复习和巩固上述知识点。矩形它指的是有一个角是直角的平行四边形。矩形也叫做长方形 矩形，它具有如下性质，首先，矩形的四个角都是直角。要证明这个结论其实很容易，因为矩形它首先是平行四边形， 平行四边形相邻的角是互补的，然后对角是相等的。如果它有一个角是直角，那么很容易证明其他的三个角那都是直角，所以矩形的四个角就都是直角。 矩形的第二个性质，它的对角线是相等的。要证明这个结论，我们把矩形的对角线连接，比方说图中所示的矩形 a、 b、 c、 d， 那 么我们连接 a、 c 和 b、 d， 因为 a、 d 是 等于 bc 的， 这个是矩形的性质， 然后 ab 是 公共边，同时角 abc 和角 b、 a、 d 这两个角都是直角，它们是相等的，所以就有三角形 abc 就是 这个三角形 和三角形 b、 a、 d 这个三角形，它们是全等的，那么当然就有 ac 等于 b、 d， 这样我们就证明了矩形的对角线是相等的。 利用矩形的性质，我们能够证明直角三角形的一个重要定律就是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 如图所示的直角三角形 a、 b、 d， 其中角 a 是 直角，然后 o 点是斜边 b、 d 的 中点。我们连接 ao， 现在要证明的是 ao 的 长度是斜边 b、 d 的 长度的一半。 我们延长 a、 o 到 c 点，使得 o、 a 等于 o、 c， 然后再连接 cd 和 bc。 因为角一等于角二，这是对等角相等， o、 a 等于 o、 c， o、 b 等于 o、 d， 所以 这个三角形 o、 a、 d， 它是全等于三角形 o、 c、 b 的， 所以 a、 d 的 长度它是等于 c、 b 的 长度的。 又因为角三等于角四，这是全等三角形对应角相等，所以就有 a、 d 和 b、 c 是 平行的四边形 a、 b、 c、 d， 它的一组对边 a、 d 和 b、 c 平行，而且相等，所以四边形 a、 b、 c、 d， 它就是平行四边形。 又因为角 b、 a、 d 这个角是直角，所以平行四边形 a、 b、 c、 d， 它就是矩形，所以 a、 c 和 b、 d 相等， o、 a， 它等于 a、 c 的 一半，当然它就等于 b、 d 的 一半。这样我们就证明了 o、 a， 它是等于二分之一 b、 d 的， 这样我们就得到了直角三角形。斜边上的中线等于斜边的一半，这个定力。要判定一个四边形它是否是矩形，有如下的判定定理， 首先对角线相等的平行四边形是矩形。要证明这一点，我们来看平行四边形 a、 b、 c、 d， 它的对角线 a、 c 是 等于 b、 d 的。 那么对于平行四边形来说，因为 a、 d 和 b、 c 相等， a、 b 作为公共边，并且 a、 c 等于 b、 d， 那 么当然就有三角形 abc 和三角形 b、 a、 d 这两个三角形是全等的， 所以角 a、 b、 c 和角 b、 a、 d， 它们也是相等的。而且由于平行四边形相邻的角是互补的，所以这两个角都是直角。那么对于平行四边形来说，它有一个角是直角，那么当然它就是矩形。这样我们就证明了对角线相等的平行四边形是矩形的这个结论。 第二个判定定律，有三个角是直角的，四边形是矩形。如果一个四边形，他有三个角都是直角，那么我们很容易得到结论，就是他的两组对边分别是平行的，那么这个四边形他就是平行四边形， 而这个四边形又有一个角是直角，那么他当然就是矩形。这样我们就证明了有三个角是直角的，四边形是矩形的这个定律。 菱形它指的是有一组菱边相等的平行四边形。比方说如下的平行四边形 abcd， 如果 ab 等于 ad， 那 么它就是一个菱形。 菱形具有如下性质，第一，菱形的四条边都相等。因为菱形它首先是一个平行四边形，它的菱边相等，而对于平行四边形来说，它们的对边也都相等，所以我们很容易就得出结论，菱形的四条边都相等。 菱形的第二个性质就是它的两条对角线互相垂直。我们观察三角形 a、 b、 d， 因为 ab 是 等于 ad 的， 所以三角形 abd， 它是等腰三角形。 又由于平行四边形的对角线互相平分，所以 a、 c 和 b、 d 的 交点 o 点，他肯定是 b、 d 的 中点，那么当然就有 a、 o 垂直于 b、 d， 所以 我们就证明了菱形的两条对角线互相垂直。菱形的第三个性质就是每一条对角线平分一组对角。 我们仍然观察三角形 a、 b、 d， 因为它是一个等腰三角形， a、 o 是 底边， b、 d 上的高，所以 a、 o 肯定也是角 b、 a、 d 这个角它的平分线，所以角一等于角二。这样我们就证明了对角线 a、 c， 它是平分角 b、 a、 d 的。 同理，我们也可以证明对角线 a、 c， 它是平分角 b、 c、 d 的。 当然我们也可以证明对角线 b、 d 它平分了一组对角。这样我们就可以得到结论， 就是菱形的每一条对角线平分一组对角。如何判定一个四边形它是否是菱形？有如下的判定定律。第一，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 我们假设四边形 a、 b、 c、 d 是 一个平行四边形，并且它的对角线 a、 c 和 b、 d 是 垂直的。 因为平行四边形的对角线互相平分，所以就有 o、 b 和 o、 d 相等， o、 a 作为公共边， 并且角 a、 o、 b 和角 a、 o、 d 相等，都是直角，那么当然就有三角形 a、 o、 b 这个三角形和三角形 a、 o、 d 这个三角形它是全等的。这样我们就证明了 ab 这条边和 ad 这条边它也是相等的，那么当然这个平行四边形就是菱形。 菱形的第二个判定定律就是四条边都相等的，四边形是菱形。我们假设有一个四边形 a、 b、 c、 d， 它的四条边都相等，我们连接它其中的一条对角线 a、 c， 因为 a、 b 和 c、 d 是 相等的， bc 和 d、 a 相等。 对角线 a、 c 这条边作为一条公共边，所以我们就可以得出结论，即三角形 abc 和三角形 c、 d、 a 这两个三角形是全等的， 所以角一和角二作为这两个三角形的对应角，它也是相等的。我们就能够得到 ab 这条边和 cd 这条边是平行的，并且由于 ab 的 长度和 cd 的 长度相等，那么当然四边形 abcd， 它就是平行四边形。 对于平行四边形 abcd 来说，它的四条边都相等，那么它相邻的边，比方说 ab 和 ad 肯定也是相等的，那么这个四边形它肯定就是菱形。这样我们就证明了四条边都相等的四边形是菱形的这个结论。 正方形它指的是有一组邻边相等，而且有一个角是直角的平行四边形有一组邻边相等，从而正方形它也是菱形，而有一个角是直角，所以正方形它既是菱形也是矩形。 既然正方形它是特殊的矩形，也是特殊的菱形，所以它具有平行四边形矩形的所有性质。 我们举个例，比方说正方形他的对角线，因为他是菱形，所以他的对角线肯定是互相垂直的，而同时他又是矩形，所以他的对角线又是相等的。 因为正方形它既是矩形又是菱形。所以如果我们要判定一个四边形它是正方形，我们可以先判定它是矩形，再判定它同时也是菱形。当然我们也可以先判定它是菱形，然后再判定它也是矩形。 接下来看例题，如图，平行四边形 a、 b、 c、 d， 它的对角线 a、 c、 b、 d 相交于点 o， 而 o、 a、 b 就是 这个三角形，是等边三角形 ab 的 长度为四。第一个问，让我们求证平行四边形 abcd， 它是矩形。 因为平行四边形的对角线互相平分，所以 o a 是 等于 o c 的， o b 是 等于 o d 的。 又因为三角形 o、 a、 b 是 等边三角形，所以 o a 和 o b 相等，那么我们就能够得到 o a 等于 oc， 它同时等于 o、 b 等于 o、 d， 那 这样的话，对角线 a、 c 和 b、 d 就是 相等的， 那平行四边形的对角线相等，所以平行四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形。那第一个问我们就正 b。 第二个问，求 a、 d 的 长，因为 ab 等于四三角形 o、 a、 b 是 等边三角形，所以 o、 b 也等于四，那么当然 o、 d 也等于四，同时 b、 a、 d 这个角是直角， 根据勾股定律， a、 d 的 长，它就是根号下面八的平方减去四的平方，化简之后等于四倍的根号三。所以正确的答案 a、 d 的 长为四倍的根号三。这个题目考察了我们对于矩形的判定和性质的理解，以及使用到了等边三角形的性质。 第二个例题，如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 b 的 度数是五十度， c、 d 垂直于 ab， 垂足为 d， 角 b、 c、 d 和角 b、 d、 c 的 角平分线相交于点 e 而 f 它是 a、 c 的 中点，并且 c、 d 等于 c、 f 就 这一段和这一段相等， 求角 a、 c、 d 就是 这个角，加上角 c、 e、 d 就是 这个角，这两个角的角度之合。 我们首先来看角 a、 c、 d。 因为题目告诉我们 c、 f 和 c、 d 相等，所以我们把 df 连接，我们发现 df 它是直角三角形 斜边上的中线，所以它和 c、 f 也相等。这样的话，三角形 c、 d、 f 就 这个三角形，它是一个等边三角形，所以我们就可以得到第一个角，它的角度，也就是角 a、 c、 d 这个角它是等于六十度。 我们来看第二个角，因为角 b 等于五十度，而 bdc 这是一个直角，那么 bcd， 那 这个角它就是四十度，而 c、 e 和 d、 e 是 各自的角平分线， 那当然就有角一等于角二是等于二十度的，而角三和角四都是四十五度，所以角 c、 e、 d， 他 等于一百八十度。减去角一，再减去角四，那么当然他就等于一百一十五度，所以这两个角之合就等于一百七十五度。 这个题目考察了我们对于直角三角形斜边上的中线这个性质的认识，而且还利用到了角平分线的性质。 第三个例题，如图，在三角形 a、 b、 c 中， ab 和 bc 相等， d、 e、 f 分 别是三条边的中点， 让我们求证四边形 b、 d、 e、 f 也就是这个四边形，它是菱形。根据三角形的中位线定力，那 b、 f 和 d、 e 肯定是平行的， e、 f 和 b、 d、 e、 f 也是平行的，所以四边形 b、 d、 e、 f 首先它是一个平行四边形， 又因为 ab 和 bc 相等， f 点和 d 点分别是这两条边上的中点，那么 b、 f 和 b、 d 肯定也相等，那一个平行四边形，它相连的两边相等，所以这个四边形 b、 d、 e、 f， 它是菱形。 第二哥们，如果 ab 的 长度，它是等于一，让我们求菱形 b、 d、 e、 f， 它的周长 ab 等于一，那么 b、 f 就 等于二分之一。因为菱形的四条边都相等，所以菱形的周长就应该是二。所以正确的答案，菱形 b、 d、 e、 f 的 周长等于二。 这个题目考察到了我们对于菱形的判定和性质的认识，以及使用到了三角形的中位线定律。 第四个例题，如图，在直角三角形 c、 e、 f 中角 c 等于九十度，然后 c、 e、 f 和 c、 f、 e 两个外角平分线相交于点 a 过点 a 分 别做直线， c、 e、 c、 f 的 垂线， b、 d 为垂足。让我们求证四边形 abcd 就是 这个大的四边形，它是正方形。 首先，对于四边形 abcd 来说，角 b、 角 c、 角 d 都是直角，所以四边形 abcd 它肯定是矩形。 接下来我们只需要判定矩形 abcd， 它的一组邻边相等就可以。我们过 a 做 e、 f 的 垂线，垂足为 g。 因为 af， 它是角 e、 f、 d 的 角平分线，所以角一是等于角二的，而角 adf 和角 agf 它们相等，都是直角， af 为公共边，所以三角形 adf 和三角形 agf 它们就是全等的。那么当然就有 ad 的 长度和 ag 的 长度相等。 同理，我们也可以证明 ab 的 长度和 ag 的 长度相等，所以 ab 的 长度它是等于 ad 的 长度。这样我们就证明了四边形 abcd 它是正方形。 这个题目考察了我们对于正方形的判定和性质的认识，以及使用到了角平分线的性质。 本期视频我们讲解了矩形、菱形、正方形的性质和判定方法。最后讲解了例题。 下期视频我们将学习函数，我们将了解函数的概念，研究函数的表示方法，最后通过讲解例题去复习和巩固上述知识点。 以上内容是初中数学同步讲练系列课程，本课程紧扣人教版教材，帮你系统梳理并掌握中考数学重难点，每一期都是提分干货，掌握方法。数学并不难，行有界思维界，这里是无界数学，我是康老师，我们下期再见！

下面我们看八年级奥数，每周一题，矩形综合问题给了一个六八，所以 a、 c 是 十啊， o a 跟 o d 都是五。好。这样一个矩形， 然后过点 p， 做了对角线的两条垂线，他说 pm 加上 p， n 是 多少啊？这里 pm 加上 p n， 它是一个定值。嗯，这里怎么做呢？啊？垂直想到了什么？垂直想到了高 啊。我们先把这个 a、 o、 d 这个三角形画一下，也就是我们过点 p 啊，做了两条垂线， 分别是 m 跟 n， 垂直就想到高，高就想到面积，所以我们这里连接 o p， 用一个等面积法， o a 是 五， o d 也是五。 三角形 a、 o、 d 的 面积，它可以看成左边的面积加上右边的面积。 o p a， 它的底看成五 高就是 p m， o p d， 它的抵抗成五高，就是 p n， 所以 也就是二分之五，括号 p m 加上 p n。 好。 也就是说，如果我们将这个 a、 o、 d 的 面积啊给它求出来，这个 p m 加上 p n 肯定是能求的，那么 a、 o、 d 的 面积能求吗？可以的，大家看下这一幅图， 这个的面积是不应该是矩形面积的四分之一， 对吧？中心对称性好，我们知道矩形的宽是六，长是八，所以矩形的面积就是四十八，所以我们这里这四个区域，它的面积都是一十二， 一十二，所以 a、 o、 d 的 面积就是一十二，那么我们就有 a、 o、 d 的 面积是一十二，就会等于二分之五， pm 加上 pm， 所以 pm 加上 pm 就 可以求出来了，这是五分之二十四。 这里我们就用等面积法将 pm 加上 pm 的 值求了出来。好。