唐山一模数学23题几何画板第一问2

今天刚刚考完了中考一模的数学，不知道大家感受如何啊？这个老师看题发现非常的难，现在答案还没有公布，有些其他的老师问我这道题怎么做，说网上的答案千奇百怪，乱七八糟，但是感觉着没一个对，那么我也花了一些时间来仔细研究了一下这道题，嗯，给大家来分享一下。那么这道题的难点在哪？ 题没有读明白，主要是从这个第一问的第二小问开始。当线段 a b 在 g 的 内部时，不含边界，那么确定为它的一个曲值范围。什么叫线段 a b 在 g 的 内部还不含边界？那么老师在这呢做了一个动图啊，比较一目了然 来看这个图 m 在 a c 上边动动动，那么这个上面这个 u 弧 m 搭随着 m 的 动啊，会发生一些个变化，这种情况下啊，叫叫不叫？线段 a b 在 g 的 内部不叫， 这种呢？也不叫，为什么？因为右边的这一部分和这一块，他没有完全在这个黄色的这个半饼形的内部啊，也就是我们的阴影 g 的 部分。那么什么情况下线段 a b 才会在这个黄色的这一个小半圆的内部？我们来看 来我们看第一个临界点，第一个临界点是当这个弧 m 搭翻上来的这个弧和原来的弧重合的时候，那么线段 a b 刚刚就在边界上，对不对 啊？这个时候 m 搭就与原来的圆的直径重合了，那么什么时候线段 a b 会移出 这个弧的内部？我们来看下一个临界点，是不是当 m a 重合的时候，就是啊？ ab 线段 ab 在 阴影 g 内部的最后一个点对不对？那么第二种情况就是 m 和 a 重合的时候，好，情况分析完了，那么我们就可以根据我们所分析出来的情况来解一下题。 好，现在这两幅图就是线段 ab 的 入点和出点的情况，我们逐一来分析一下。那么在 ab 刚刚进入这个这个阴影 g 的 时候， m 搭与直径重合， 这个 mc 搭这个角是一个直角，因为 mc 搭是直径的一个圆周角，所以它是九十度啊，呃，直径是半径是四四，所以 m 搭等于八，然后呢？呃， c 搭 c 搭给了是等于四倍的根号二， mc 搭等于九十度，根据勾股定理， mc 等于 mc 方等于 m 搭方，减去 c 搭方，所以解得 m 搭等于四倍根号，所以我们就可以知道，这个情况下啊，角 角 m 搭 c 等于四十五，所以 b 它的最小值是四十五度，而且说不含边际，所以是 四十五度小于 b 的， 那么我们再来看一下最大值，最大值啊，最大值怎么看？这时候我们就要翻回头来看第一问了，好，我们做 o e 垂直于 mb， 做 o f 垂直于 c 搭啊，那么 o e 就 等于 m， o 方减去 m e 方开根号十六，减去七，开根号 o 一 等于三，那么同理， o f 我 们可以得出来等于二倍根号二，二倍根号二啊，那么所以 这个，那么所以 e f 就 等于三，加上二倍根号二，那么下边如何去求？有些人看到了啊， cosine 四十一度等于四分之三，就去乱猜啊，说什么，呃，大于四十一度，小于 四十九度，那，那纯属是乱猜呢啊，那这个四十一度怎么用啊？四分之三怎么用？我们看这里刚刚求出来， o e 是 等于三的，那么这个角啊，那么 cosine 角 m o e 是 不是等于三比四，所以角 m o e 就 等于四十一度，这角等于四十一度， 那么这 o f 等于二倍根号二，同时我们知道 c 搭是四倍根号二，所以 c f e 也是二倍根号二，那么所以角 c o f 这个就是四十五度， 那么好， eof 三点共线，那么 moc 这个角就是一百八十度，减去四十一度，减去四十五度，就等于九十四度，九十四度啊， 九十四度是裂弧 mc 的 圆周角 m 搭 c 就 等于二分之一 moc， 那 么此时角 m 搭 c 就 等于二分之一，角 moc 等于 四十七度，那么所以综上为它的取值范围就是大于四十五度，小于四十七度。好，我们再来看一下下一问，那么此时是一个怎么样的情况？我们再来看动图， 此时当哎弧 m 搭和 ab 相切的时候啊，是这么一种情况。好，所以我们就根据这个图继续来往下做啊。 o 二是新翻上来的 m 搭所在的圆的圆心，那么设这个圆心是 o 二，好连接切点啊，切点为 h 连接 o 二， h 是不是 o 二 h 是 垂直于 ab 的，是吧？那么我们再做， 我们再做 o g 垂直于 ab， 那 么是不是此时 h g 就 等于一等于一，那么再做， ok 啊， ok， 垂直于 h o 二，此时这个四边形是不是一个矩形，所以 ok， 就 等于 h g 就 等于一连接 o o 二，连接 o o 二，那么因为 m 搭是它的对称轴，所以 我们就可以知道 o o 二就等于一乘以根号二就等于根号二，对不对？好，此时 m 搭是 o o 二的对称轴，那么同时呢， o o 二也是 m 搭的对称轴，那么这个时候我们就连接 o 搭， o 搭就是半径就是四，那么这个点 o o 一， 我们再设一个， 这个点是 p 点啊，那么所以 o p 就 等于二分之一， o o 二等于二分之根号，那么根据勾股定律， p 搭就等于 o 搭方减去 o p 方这个号，所以就等于 二分之三十一，那么也就是二分之根号六十二， p 搭等于二分之根号下六十二，那么所以 m 搭就等于 二， p 答就等于根号六十二。好，那最难的倒数第二题几何题就讲到了这，这道题呢，可以说是整套卷子最难的题，也完美符合了我们河北中考最难的题，往往出在几何上的这么一个特点。那么后续呢，老师会把一模的卷子全篇的分析一下，大家敬请期待。

今天我要分享的是操作类按钮制作中的隐藏显示。操作类按钮在编辑菜单里一共有五种，最常用的就是隐藏显示动画和移动。因为操作必须要有对象，所以这时的选项都是灰色的。 接下来我们会制一个三角形框，选整个三角形，点击编辑操作类按钮，隐藏显示， 这时右上角就生成了隐藏对象按钮，按钮默认为隐藏和显示来回切换，如果想改为只隐藏或者显示，可以右键按钮在属性里进行更改，重复刚才的操作，再生成一个按钮， 右键按钮选择属性改为总是显示对象。

好，这条视频，我们来这条视频，我们来讲一下从母子型相似到二十元问题几何画本课间设计讲解二，也就是 这节课一共有十三个页面，呃，加上课题一共是十四个页面，其中具体的内容是十三个。那么今天我们来讲解一下第二个页面，也就是引力这个这个页面， 刚才之前一个页面呢，已经讲解了母子形相似的形成过程，那么就是从母这个三角形中 得到他的一个公共角和剩下的两个角当中呢，从一个较大的角中截取一个较小的角，与第三个角相等。 那么对于三角形 a、 b、 c 而言，它有三个角，我可以以角 a 作为公共角， 那么剩下两个角当中，一个是六十度，一个是四十五度。你总不能说我从四十五度的角当中截取一个六十度的角，与角 c 相等，这是不可能的，所以剩下两个角中是角 c 较为较大，因此呢，我们可以 截角 a、 c、 b， 截出一个四十五度的角，让这个角 a、 c、 d 与角 b 相等。 嗯，这就是标一个角标，注意，这个角标不是几何画板自带的那个角标，因为几何画板自带的角标没这么大，它最多只能这么大，所以其实这个角标呢， 是画的一个扇形，你看看它可以，这个弧是可以选被选中的，而这个是不可以的，它是这个脚标，嗯，在工具 工具栏里面是这个，这个啊，只要按住顶壁，然后向上一拖啊，就是会形成一个脚标，然后把它隐藏。 呃，等，估计等等。初三毕业，我会有很多的时间，也就暑假期间，我会把一些这节课，这这节课 呃的几何画本课间当中的细节的技术再来讲解一下。这个呢，其实是我画的一个扇形，画的一个扇，一段弧，然后呢在构造弧的内部 三角形，这个几个画面有构造弧的内部这个功能。这这样看起来跟刚才那个脚标是看起来是一样的，我选的颜色包括这个，嗯，透明度啊，都选的是一样的，所以 它效果是一样的。当然为了给学生上课呢，你这个脚标要显得大一点， 然后这边也有个角标也比较大啊，这边再把它显示一下，四十五度。好，第二个哦，这样我们就得到三角形 a、 c、 d 与圆三角形有一个公共角，角 a 是 七十五度，然后又结了一个角 a、 c、 d。 四十五度跟角 b 相等，有两个角相等，三角形是相似的，并且呢是 a、 c 为公共边， 那么我们会发现公共角和所结的等角较小的等角的夹边就是公共边。 作为一道题目，他肯定有三种选择。我先刚才是抓住角 a 作为公共角，那我也可以以角 b 作为公共角， 那剩下两个角当中就是七十五度和六十度，七十五度比六十度要大，所以可以在七十五度角中截一个六十度的较小的角，把截线画出来。那同样的，我们这时候就标蓝色的了， 这个按钮一按，同时这边显示六十度，这边角 c 这个角标也显示出来。 嗯，这个按钮呢？嗯，是两个按钮，它是两个子按钮的共同操作，只显示一个按钮。 好，下面这样呢，角，三角形 b、 a、 e 与三角形 呃， b、 c、 a 就 相似，它们也是形成一个母子形。相似呃，角 b 作为公共角， 然后角 b、 a、 e 作为较所截的较小的角，与角 c 相等， ab 作为公共边。 第三，我也可以选择角 c 作为公共角啊，注意这个颜色，它是蓝色的。然后七十五度和四十五度，显然七十五要七十五度要大一点。那可以在七十五度的角中截取四十五度的角， 然后我又切换成红颜色的啊，标一下等角关系，这是四十五度，标一个四十五度，同时角臂呢？这个角标也出来了。 好了，这个页面的几何画板刻件设计啊，就讲到这里。

八年级的同学们注意了，今天给大家拆解一道菱形压轴大题，这道题把菱形等边三角形全等对称勾股定律全考透了，我会用几个画板一步步给大家讲明白，看完你也能轻松搞定这类题。先看第一问的第一小问，要证明 c 一 垂之垂一定。 首先它告诉我们 a、 b、 c、 d 为菱形。其次， a、 b、 c 为六十度，那么就可以证明 a、 b、 c 和 a、 c、 d 它都是等边三角形。其次，它又告诉我们 a、 p、 e 为等边三角形，且 a、 b、 c 和 a、 p、 e 共顶点，所以我们很快就可以得出三角形 a、 p、 b、 p、 b、 a、 p 是 全等于三角形 c、 a、 e 的 手拉手 s、 a、 s 全等。根据这个全等，我们可以得出角 a、 b、 p 等于角， a、 c、 e 等于三十度。 然后又因为 a、 c 钉为等边三角形，角 c、 a 钉为六十度，所以 a、 t、 c 它就是九十度， c、 e 就 垂直于 a 钉了。 然后题目告诉我们的是， p 是 必定延长线上一点，我们可以来，我们可以来用这个动画来验证一下，它是否永远都 c、 e 是 否永远都垂直于 a 定呢？ 我们可以发现这个 atc 它永远都是九十度，所以 c、 e 垂直于 a 定，它是永远不会变的。 接下来第二小问，题目告诉我们 a、 b 等于根号三，因为它是等边三角形，所以 b、 c 等于 a、 c、 e 也是根号三。然后 b 一 是根号十九。 我们刚才已经知道了 a、 c、 t 它是三十度，然后 a、 c、 b 就是 六十度，所以三角形 e、 c、 b 就是 九十度。这里可以使用购物定律，知道了 b、 e 知道了 b、 c， 那 么直接可以求出来 c e， 它的长度是四， 那么再来看它让我们求的是 a e 的 长， a e 的 长。我们需要把 a t 和 e t 都求出来，那这怎么求呢？我们可以来先来看 a t 的 长度， c t 是 六十度， ac 等于根号三，那么所以 a t 就是 二分之根号三，然后 e t 的 话， e t 的 话是 c e 减去 c t， c t 是 二分之三，因为就是二分之根号三，乘根号三，就是二倍的二分之根号三。 然后刚才已经求出来了 a c e c e 是 四，那么直接减去 e t 就是 二分之五。那么这里也使用个物定比 求出来 a 一 是等于根号七的。这里给大家提个醒，一定要注意点的位置，不要算错线段的长度。下文来了，我们来看下条件，它说点一，关于 a p 的 对称点为一，那么一看到它的对称点，我们就想到把 a e 连起来， a e 连起来，那么就相当于这个 a f 是 丁 e 的 垂直平分线， a e 等于九十度， 那么我们再来看他说 b 一 等于十一，丁 e 等于五，让我们求 a n、 f 的 面积，我们刚才已经知道了 它是对称来的，那么所以这就可以看成一个反折形的全等。 a n f 是 全等于 a e、 f 的。 让我们求 a n、 f 的 面积，其实就是让我们把 a e、 f 的 面积求出来。 a e f 怎么求呢？要求的是 要乘是 e f 加上乘以这个边上的这个高，我们就往从 a 往 b f 放垂 a t， 它的面积就是 a t 乘以 e f 再乘二分之一。 那现在我们怎么求呢？我们可以先设设参照角，看看能不能找出什么。 我们设角 a、 b 一 等于角 a、 e、 b 等于 x， 那 么所以角 b、 a、 e 就是 一百八十度。减二 x， 因为它是菱形，然后 b、 a、 c a、 b、 c 是 六十度，所以角 a、 b、 a 丁就是一百二十度。 这样子我们就可以得出角 a、 b、 a 丁等于二 x 减六十。角 e、 a、 p， 它是它的一半，就是 x 减三十。 然后又因为角 a、 o、 e 是 九十度，所以角 a、 e、 o 就是 一百二十度。减 x， 所以 角 b、 e、 d 就是 一百二十度。得出 b、 e、 d 是 一百二十度，所以角 d、 e、 f 是 六十度。又因为 d、 f 等于 e、 f， 所以 d、 e、 f， 这是个等边三角形， 它是等边三角形。然后 a、 f 又是定义的中垂线，所以角 a、 f、 t 是 三十度，这是垂，这是三十度，那么 a、 t、 f 就是 个三六九三角形。由此我们可以得出根号三倍的 a、 t 是 等于 f t 的， 我们知道它是等边三角形，所以定义就等于 e、 f 等于五。好，那么 e、 f 就 求出来了。我们还差一个 a、 t 要求出来 b， e 是 b， e 是 十一。刚才我们以轴对称，轴对称， a 丁等于 a e， 因为它是菱形，所以 a、 b 等于 a 丁。那么这里就可以得出 a、 b 等于 a、 e， 它就是个等腰三角形，它又是垂三线合一，所以 b t 等于 e t， 所以 e t 就是 e t 等于二分之十一。要求出 tf， 就是 再加上五二分之二十一 a t 再除以根号三嘛，那就是二分之七倍的根号三，那么 a、 t 也求出来了， e、 f 也求出来了，直接得出三角形 a、 e、 f 的 面积 就是四倍的四分之三十五倍的根号三，那么这里 a、 e、 f 就是 a、 n、 f 的 面积了， 所以 a 丁、 f 的 面积也就是四分之三十五倍的。根号三，这里的核心技巧，抓住对称的性质，构造等边三角形，用等腰三角形将三线合一求高，最后再用面积法求解，那么这道题就讲解完了。

哎，几何画板是初中数学研究动态几何非常有用的一个工具，我们在初中数学当中最难的就是图形的变换， 对吧？动点轨迹分析，动点轨迹分数函数的变换，旋转，图形的折叠，这些都需要用到借助到几何画板这个工具。所以说对数学老师而言，你要给孩子讲明白，讲清楚这些，那你自己自身就要对这个 几何画板要掌握好，特别是应用到教学过程当中，让孩子更直观的去理解我们给他讲的一些数学原理的深层逻辑。所以说这一次呢，我们就特别邀请了严栋老师来给大家分享几何画板的常用方法。

好，大家好，各位老师好，本节课呢，我们借助以几何板来去构造轨迹啊，做一个椭圆。上节课呢，我们呃做的曲线呢是抛物线，这节课呢，我们来去绘一次椭圆。 本节课呢啊，我们给大家讲解两种形式，好，我们先把这个标题打出来啊，利用 轨迹构造椭圆，那么构造椭圆，我们要利用椭圆的几何定义，就是平面内到两个不重合的啊，定点的距离之合呢，这个定值 我们讲的是平面啊，以我们的几何画板主要来去绘制平面图形，平面内 到两定点定点的距离，那距离之合等于等于定值。 好，也就是我们要在平面内找到这样一个点到两个定点的距离之合呢，是一个定值 啊，我们先构建两个点，这两个点呢，我们要是最好要是水平方向的，我们可以啊，这样可以呢，就是这一条水平方向的线段，就是这两个 定点一定点二。 嗯，然后呢，我们以这个点为圆心，来去做一个圆啊，做一个圆， 好，这两个定点的距离我们小一点， 我们这个圆呢先放在这里，最后呢我们来去探求一下这个圆的半径的大小与这个椭圆之间的关系。 然后呢我们在啊这个上面呢，再做一条线段 啊，这一个点呢就是一个洞点， 再把这两点连接好，接下来呢我们要选中这条线段构造它的终点， 然后呢再选中这条线段构造垂线，哎，这样以来呢，就是垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端的距离是相等的，所以这一个啊，这两边， 这一边和这一边是相等，那么我们来看这一个动点，这个动点到这两点的距离之和，其实它就等于半径。 主动点在哪里？主动点在这里，我们把这个线呢改成细线， 改善虚线，这是主动点，这个点呢就是我们在平面内找到的这个点，所以选中这两点构造轨迹。哎，让这个就是一个椭圆， 让我们现行改成实线，好，这就是椭圆的基本绘制方式， 那么下一节课我们就在这个基础之上呢。嗯，和抛物线缓慢绘制来去做一个对比，怎样能去让 这个椭圆也逐步的绘制出，而不是一次性的构造出来啊？这个我们在下一节课为大家讲解。

咱们唐山一摸出的题出的特别好，该难的地方就是得难，要不然以后上高中有很多的时候都是高中背过， 现在你觉得一摸很难，但是如果说咱们高中的物理任何一道计算题，或者是稍微难一点的计算题，都比你整张物理卷子计算量要大，计算难度要高。 数学任何一个函数题，或者叫导数题，或者叫几何题， 都比你现在做的这两道题难度系数要大的多，甚至你连题都看不懂， 那你还会再抱怨一模题难吗？也就是说咱们现在就是应该培养数学和物理的高阶思维，而不是为了粉饰太平，把题出的简单， 出题出的简单，筛选不出来优质的孩子，只会让一些逻辑一般的孩子靠文科冲上去，然后到高中直接给你刷下来，真正的好孩子上不去，上去的能力又不行。所以说现在咱们出高分， 或者是说在某一个地区，你想出高分是很难的。通过咱们这次一模二的考试，一定要告诉孩子认真的反思自己， 因为咱们初中只是起点，高中才是冲刺的三年，你现在的逻辑上不去的话，到高中势必要被甩下来。 与其现代，有时间咱们多研究一点高阶的逻辑思维，高阶的解析方式，在未来你会学的很轻松，但是如果现在就躺平到高中的话，你会痛苦三年。

这些是集合画板，课间是平时上课用的，这边可以选联集。 我今天要讲刮豆模型，找到它，在这里打开， 这上面是模型解读。这三个是线形的主动点， a 在 直线上运动，我们拖着 a 动起来，可以看到 b 的 轨迹是一条直线，这条红线就是 b 的 轨迹， 这个是圆形的，纵圆得圆。这是武汉的一道中考题，主动点在圆弧上运动，我们可以看到重动点的轨迹，也是一道圆弧。我们这样演示一下，学生理解起来也快一些，教学效果也好一些。 初中的几何模型都在这里呢，扩展的、培优的、基础的都在这里。非常好的一个资料， 做一个课间要花很多时间的，能一劳永逸，花点小钱解决再好不过了。你收到货是一本书，一本答案，一个 u 盘和一份安装说明，操作很简单的，如果你电脑上装了几盒画板， u 盘插上去就可以用了。 这本书里面所有例题，所有题型都是有画板课件的，课件是不能复制粘贴的，不能编辑的。这个我跟你讲清楚了哈。

中考数学挑战压轴题精讲解读这本资料对二零二五年全国各地典型的中考数学压轴真题进行了细致的分类剖析。它有一个很大的亮点，就是它的每个题都配有几何画板的原文件，借助几何画板的动态演示，有助同学们深刻体会压轴题的精髓。 全书一共包括了四大模块，十四个小节，题型梳理全面详细。借助分专题的系统讲解，有助同学们循序渐进掌握中考数学压轴长考的题型解法，逐步提升解决压轴题的能力。 每道题的解析也都非常详细，通过动感体验、思路点拨、满分解答以及考点延伸等模块进行剖析拆解，助力同学们深刻理解函数与几何变换的深层逻辑，掌握处理压轴题的解析技巧，非常经典优质的一本好书，希望拿下中考压轴题的同学选用。

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现在的数学呢，有多难？获线一百天第六页的这道题，圆通是这个样子，这是我做的几何画板， 以前的将军引马呢，它是两个固定的点，就是一点和地点呢是固定的，现在呢是地点固定而一点不固定， 所以呢，一点呢，就是在一个隐形的圆上，这一点对学生来说都是一个非常大的困难，就是一点，在这个隐形圆上就是一个困难， 当地照相到记点的时候，这个记点呢进行固定了，但是一点呢还不固定，我们要求呢是 p e 加 pd 最小，也就是说 g e 最小， 那最小的点应该是过圆心，下面我们来看看。来，下面我们看看异点的运动轨迹， 异动的时候会带动屁点在动，大家看异点呢，在这个上面他会动，那么最短的应该是过圆心的 好，现在呢就是 g p e 呢，在一条线上都通过了圆心。当然呢，就是在计算的过程中也需要一些的技巧，与要需要相似的技巧， 够固定力等，所以这个题呢，是非常非常的难。记得一位同行说，如果十五题看一眼，如果没有思路的话，就直接 pass 掉了，但是呢，我不想， 因为我有几个孩子呢，他是能够懂这些题的，如果我把方法教给他，他们应该是能够做下来的，所以哪怕有一个同学懂，我就要把它讲下来。