杭州二模数学圆锥几何

虽然说反射变换椭圆化圆这个方法，它在大题目里面未必会给分，但是很多时候它在小题目里面还是有非常棒的一个使用的，我们可以看一下，这是杭州二模的第八题。 这道题目我们可以用传统的方法去设 m 零这条直线去连立，然后利用平行线之间的距离，再利用弦长公式，通过算上底加下底乘以高除以二计算它的一个面积，然后再求它面积的最值，但是呢，它的计算量就会比较大，我们可以用更为简的一种方法叫反射变换， 那么在这里我们可以把整个图形的横坐标缩为原来的一半，那么这时候它就由椭圆变成了这样的一个单位圆，那么我们只需要去看这个梯形它面积的一个最大值就可以了，那么它变化完的面积实际上是原来面积的一半，因为它纵向不变，横向缩为原来一半，所以整个面积会缩为原来的一半， 这时候我们再去表达他就会比较简单。在这里我们可以设这段长度为根号二 t， 那 么我们就可以得到这段长度就等于 t 好， 然后这段长度是等于二分之根号二，这段长度是等于根号二。 接下来我们可以用垂径定底连接他，那么这段长就等于一，那么这一段长就等于两倍的根号下一减 t 平方，所以我们可以得到它的面积就等于二分之一个上底根号二，下底二倍的一减 t 平方好，然后再乘以一个高 t 加上一个二分之根号二 好，所以我们这时候只要计算他的一个最值就可以了，这个二分之一我们先不管，先看后面，后面他就变成根号二倍的一个 t， 再加上一个一，再加上二 t 加上一个根号二，乘以一个根号加一减去 t 平方。 接下来我们可以利用三角换元，我们可以设 t 等于 cosine 阿法，那么我们就可以得到根号加一减 t 方就等于 cosine 阿法，所以它就变成根号二倍的一个 cosine 阿法，加上一个一，再加上一个两倍的一个 cosine 阿法， cosine 阿法， 再加上一个根号二倍的一个 sine 阿法，那么我们可以看得出来啊，这里是完全平方，对不对？所以它就变成根号二倍的一个 sine 阿法，加上一个 cosine 阿法。把这两个提出来，然后后面写成 sine 阿法，加上一个 cosine 阿法的平方。 好，再来，我们可以令他为 m， 那 么这个也是 m， 所以 我们就相当于在求根号二倍的一个 m 加上一个 m 平方的一个最大值， 它是一个开口向上的一个二次函数，它的对称轴是负二 a 分 之 b 是 m， 等于负的二分之根号二。那么我们要确定一下 m 的 一个取值范围，我们知道 m 是 等于根号二倍的一个 sine 阿法，加上一个四分之 pi， 那 么就要看阿法的一个取值范围 好，因为我们设的是长度嘛啊，当然你这个 m 肯定不可能在上面，对吧？你在上面他就没有办法说取到最大值，这很显然，那么他在下面的过程中，我们知道他最多最多就到这种位置，那么这种相切的位置的话，我们就可以得到这段长度是不是应该是等于根号二，所以我们就可以得到 t 的 一个取值范围应该是大于等于零，小于 一，所以我们就大于零，小于等于二分之派， 所以我们就可以得到 m 的 范围是大于等于一，小于等于根号二。那你肯定是要越远离对称轴越好，所以我们把根号二 m 等于根号二带进去，就可以得到它的一个最大值，等于二，加上一个二就等于四，别忘了前面还要乘一个二分之一，所以 s 就 等于二， 但是这个算的是反射过后的面积的最大值，所以你原来的面积还要再乘一次二，所以我们就可以得到这题的答案是选 boy。

到底是哪些大聪明还不会反射？同学们，我们来看到杭州二模的这道题啊，也就是前天或者大前天考的。 然后这个第八题，题干告诉了我们椭圆和椭圆上的两个点，毫无疑问，椭圆的方程是 x 方，除以四加 y 方等于一，那么题干给到了 m 和 ab 平行，而且问的是面积。所以我们首先用反射 把这个椭圆的长轴变成原来的一半，那么缩短，缩短之后他就变成了一个圆， 变成了一个圆之后，这个圆他就是个单位圆。 x 方加外方等于一，那么圆内接四边形面积的最大值。我们都知道是正方形，那么这个正方形 s 应该是等于二 r 的 平方，这个 r 等于一就等于二，那我们再放射回去， s 等于二倍， s 一 撇等于四，好选 b 带走了。

我蔡徐坤讲二零二六届杭州二模的圆锥曲线大题。第一问，把点 a 坐标带至抛物线加码方程，即可求出加码方程。 第二问，第一小问，我分别写出 n、 q 和 a 标点，此时我可以求出 n 坐标，再根据向量 n 二小问，我继续设点 n 坐标， 根据 o p 与加码另一交点 n， 我 可以将以用 t 表示。接下来我可以推导出 m n 方程，其中该方程系数均可只用 t 表示。 但如果直接求 f 到 m n， 距离计算量特别大。为此我还是大胆猜测 m n 过定点。 在草稿纸上分析后可以发现 m n 确实过点 t， 这样即可验证点 f 到 m n 距离最大值就是 ft。

各位同学大家好，我是研发过老师呃，今天呢给大家分享一下这个杭州二模的第十四题啊， 啊，这个，因为前几天呢，刚刚讲过一道这个丹德林双球模型啊，然后跟这个题目呢有点类似，所以我们，所以呢，我们把这个题目呢先给大家去讲一下，他说呢，这个机场为旅客提供的圆锥形纸杯呢，如图所示啊，就是一个圆锥哈， 然后呢，母线长为十二，开口直径呢为八，旅旅客使用纸杯喝水的时候呢，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆呢，经过母线的这个终点的时候呢，问你椭圆的离心率啊，那这个题目呢，我们大家呢，可以把这个图片，把这个图呢给它放正一下啊，我们画一个 洁面图啊，画个洁面图，再画一个圆小一点哈， 好，然后呢，嗯，这个呃，标一下 s a b 啊，做一个高，这个呢是 o 啊，这个是 o， 然后按照这个题目的意思呢，应该是取一边的这个终点啊，我们取终点， 然后呢，他这边呢，能够形成一个什么？形成一个椭圆啊，形成一个椭圆，那么这个点呢，我们记做呃， c 啊，记做 c， 好，那么首先呢，我们大家应该能清楚，这个 bc 呢就是什么，这个 bc 呢就是他的 ra， 对吧，所以呢，我们上来呢，先抓住这个 b c， 那 b c 呢，就等于二 a， 然后上面呢，这是六，这是六，这个呢是四，这个是四，所以呢， s o 呢等于多少呢？ s o 呢？就等于八倍根号二，我们先把这个先写好啊，然后呢，呃，立刻就知道一个角度啊，这个角度呢，口三 a c， 它呢？ 呃，口三 a c， 它呢等于多少呢？等于这个四除以十二，等于三分之一。然后我们在三角形 a、 b、 c 中，由什么呢？由余弦地理，对吧？有余弦地理，我们能够知道 这个，呃， b、 c， b、 c， 呃，就算出 b、 c 的长度，我们写一下哈， 就是口三 a、 c， 它等于什么呢？等于三十六加八八六十四，减去一个 b、 c 的平方除以一个二乘六乘八等于多少呢？ 等于三分之一。所以呢，我们能够推出呢， b、 c 呢等于多少呢？呃，这个算一下哈，应该比较好算， b、 c 呢，应该等于二倍根号十七 啊，二倍根号十七，所以呢，我们知道这个 a 呢就等于根号十七啊，这是一个信息，接下来呢，我们大家注意哈，我们取一下它的一边的这个终点，比如说啊，取一下这个长轴的终点，那么这个时候呢， 这个时候呢，根据是，呃，它的这个蓝色的线呢？根据是它的二 b， 这个是 b， 这个是 b， 关键我们想求这个 b 呢，我们怎么办呢？大家要知道，这个终点所在的这个平面呢，我们可以它是一个什么呢？ 它的平面呢？应该是一个圆，那关键呢，我们需要知道这一个圆的 这一个半径啊，大家会发现 s、 o 呢，你看啊， s、 o 呢等于八倍根号二，那么过做垂线 c、 d 呢就等于什么呢？则 则这个 c、 d 呢，就等于四倍根号二啊，那么这一边呢，我们记做 o e 撇啊，垂下来 这个呢，我们记作 e 啊，那么 o e 撇 e 呢，就等于什么呢？二倍根号二，可对也就高度呢，是二倍根号二。那么这个时候呢，我们大家就要注意了，我们把它的洁面呢画一下， 嗯，画一下它的洁面，那大家知道这个是 s o b， 这边是多少呢？ 这边是这个，呃，四啊，然后呢你的这个底面的高度呢是多少呢？这是二倍根号二，这是多少呢？六倍根号二，总长度是八倍根号二吗？所以呢，这个长度就是三了，所以呢，我们得出它的这个洁面圆的半径呢， r 就等于几了， r 就等于三了，那 r 等于三的话呢？我们画一个图，就是就是这个蓝色面的这个，然后呢 r 等于三，然后你的这个二 b 的长度呢？就是这样的， 这个呢就是什么呢？这个就是他所在的这个圆面啊，所在这个圆面，这这边是三啊，然后又因为又因为这个长度是，我看一下啊，这个是四，对吧？我们接下来关注 注这个的距离啊，关注这个的距离，那么这个点呢？这边终点垂下来了，这个是二，可，对啊，这边是三，这应该是一，所以呢，这个长度呢对应的是一，所以呢，我们知道这个 b 呢就等于多少呢？二倍根号二 可。对啊，那么知道 b 等于二倍根号二，那么 c 呢？就等于 a 方减， b 方开根号就等于多少呢？ 呃，十七减八就等于九开根号三，所以呢 e 呢，等于 i 分之 c 就等于根号十七分之三，就等于十七分之三倍根号十七。 那么这一题呢，答案就出来了，三倍根号十七除以十七，可。对啊，有一点意思哈，但是我觉得难度呢，不是 m 的大啊，希望这个呃题目的分享呢，对大家理解这道题有所启发和帮助。好，感谢大家的点赞关注，谢谢大家。

高考只剩两个月不到的时间了，数学的原理、曲线大题决定你能不能上本科，冲一本，连理复杂，计算易错，题型不会扣分严重。那么今天全是高考的原题思路，最简单的解题方法，高三孩子们抓紧收藏，考前每天看一遍 椭圆双曲线的两个斜率基结论啊，其中包含了一个知识点叫点叉法，我们一起来讲一讲点叉法。什么叫点叉法？它跟这个斜率基结论又有什么关系 啊？斜率基结论的话，是在这个椭圆和双曲线中啊，两个斜率的乘积是一个定值，它跟这个 圆锥曲线的这个 a、 b 它有一个关联性啊，这个关联性的话，其实同学们可能在一些做题中也遇到过了啊，就是两个斜率乘积在椭圆中是等于负的， a 方分之 b 方，然后在这个双曲线中呢，它是等于 a 方分至 b 方，也就是椭圆带负号，双曲线不带负号，那它这个斜率机的话，有很多这个内容，它是用了同样一个公式，那么我们今天就先从第一个啊， 这些公式的话，都跟椭圆的第三定义相关啊。同学们该问了，什么是椭圆的第三定义啊？我们书上讲的这个动点到两个定点的距离之和是定值，它大于两个定点之间的距离所形成的轨迹是椭圆之的第一定义。 而第二定义的话，是以这个动点到一个定点以及一条定直线的距离的比是一个定值啊，这是第二定义。而椭圆到第三定义的话啊，其实是指的是椭圆 啊，就是平面内一个动点，他到两个定点 a 和 b， 他的斜率基是一个定值啊，那么其实这两个定点的话，是这个椭圆的长轴的两个顶点啊，而我们这个 所有的这些公式里面的话，它都跟椭圆的这个第三定义是很像的，这个斜率积是等于负的 a 方分之 b 方，那么这里的话，我们从这个钟点弦这个结论开始引入 中点弦，弦中点就只要跟这个弦中点相关的内容，其实都是这个结论，我们用的方法其实叫点叉法，通过点叉法去证明这个斜率极，那么点叉法的话，其实在这个圆锥曲线的这个大题中啊，也是会考察的， 它涉及到这个斜率乘积的时候，我们要用这个方法去证明它，所以说这个知识点的话，我们不光要记住它的二阶结论，我们还要记住它的推导过程。接下来我们看一下这个中点弦的结论， 中点弦的结论的话是指的是在一个椭圆啊，在一个椭圆中，那么我们有一条弦 ab， 然后 m 呢是 ab 的 中点， m 是 ab 的 中点，就像图三这个样子，然后那么直线 o m， 也就是说这个中点与原点的这个连线与这个直线 ab 的 斜率乘积呢是一个定值，这个定值呢是负的 a 方分之 b 方， 那么接下来我们去推导一下，我们就假设什么，我们就假设这个弦的两个点 a 点的坐标是 x 一 y 一， 然后 b 点的是 x 二 y 二，那么这个推导的过程叫什么？叫点叉 点叉法，那么两个字，一个是点叉，那么什么叫点叉啊？就是 a 和 b 都是椭圆上的点，所以说 a 和 b 都满足椭圆的方程，我们都可以直接代入 a 方分之 x 一 方，加上 b 方分之外一方等于一， 然后 a 方分之 x 二方，加上这个 b 方分之 y 二方也等于一，然后我们一连立啊，这叫点代入椭圆方程，然后接下来呢，就是做叉啊，这两个方程的话，我们用一式去减二式，那么这个叉就是点叉的意思了， 那么左边减左边，右边减右边，我们会得到这个 a 方分之 x 一 方，减 x 二方， 加上 b 方分之外一方，减外二方等于零。哎，我们做一个这个分配啊，就是我们把这个啊， x 方外方放在一侧，把 ab 放在另一侧， 那我们可以直接移项，那么把这个比方说，我们把这个 x 方这一项，然后移到这个右侧，它会变成一个负的，那么也就是 b 方分至 y 一 方减 y 二方等于负的 a 方分至 x 一 方，减 x 二方。 然后呢我们再把这个式子呢，把它从纵比改成横比，把它变成 y 一 方减 y 二方，去比上 x 一 方减 x 二方，它是不是就等于负的 a 方分之 b 方，然后我们会把这个这个左侧进行一个什么平方差公式的一个转换，把它分子变成 y 一 减 y 二，去乘上 y 一 加 y 二，然后呢分母是 x 一 减 x 二，去乘上 x 一 加 x r， 那 么右侧就是负的 a 方分之 b 方了。我们来看看这个左侧啊，左侧的这个比值的话，我把它分成两部分啊，前面这一部分， 那我用红圈圈上，后面这一部分呢，我用蓝圈圈上，我们来观察观察，那么这两个比值像什么？ 是不是有点像那个什么斜率啊？当然前面把红圈更像，那么 y 一 减 y 二比上 x 一 减 x 二，纵减，纵比上横减横，这实际上是不是就是这个 a b 两点的斜率啊？ 那么再看后面这个 y 一 加 y 二， x 一 加 x 二，那我们知道，我们说两个点，它纵坐标相加除以二，是不是就是终点的纵坐标？那么横坐标相加除以二是不是也就是终点的横坐标？实际上 y 一 加 y 二去比上 x 一 减加 x 二，那么它就相当于 m 这个中点的纵比横，哎，它就是 m 点的纵坐标去比上 m 点的横坐标。 那么当然了，我们也可以把这个 m 点的纵坐标比横坐标看作是，哎，纵坐标减零去比上横坐标减什么？减零？哎，那零零是什么？零零是不是就是原点？所以说我们也可以把后面这部分看作是 它是直线 ab 的 斜率去乘上直线 m 与 o m o 这条直线的斜率，那么这条两个直线的斜率是不就等于负的 a 方分之 b 方，哎，这个呢，那么就是两个斜率积的一个结论 啊。弦的斜率与中点与圆点连线的斜率乘积等于负的 a 方分之 b 方。那么同样的这个结论的话，我们也可以再去延伸一下。 那么与它相近的有一个什么与它相近的第三个定义。那我们看图一 啊，椭圆上一个动点 p 与它长轴的两个顶点 a b 连线的斜率，也就是 k pa 去乘上 k p b， 它的斜率乘积也等于负的 a 方分之 b 方，那么这个是直接是第三定义啊， 那么我们也很简单就可以推一推这个，就是因为我们也有这个什么，我们也有 ab 的 这个坐标嘛，一个是负 a 零，一个是 a 零。其实我们也可以把这个 p 点的坐标设成什么 x 逗号 y， 直接用什么，直接用斜率的公式去代入就可以了，就很容易能推出来。 就是 p a， 实际上就是 y 减零去比上 x 减负 a， 也就是 x 加 a， 然后 k b b p b， 也就是 y 减零去比上 x 减去 a， 然后它的乘积的话，我们这里的 x y 呢？我们用这个椭圆的方程直接去做一个代入，比方说我把 y 方这个分子的 y 方我替换成 x 部分， 然后进行一约分，就会刚好能约出来这个部分。那这是我简单去讲，那么这是它的一个推导过程啊，我不会完全写出来了，但它这个结论是不是跟前面这个弦中点的这个结论是一致的？ 那么同样在图二中的话，我们也可以再把这个第三定义再做一个延伸。什么样？就是如果这个弦 a b 是 经过圆点的，是经过圆点的， 然后也就说 a b 两点是关于圆点对称的，那么 p 是 椭圆上任意一点，那么同样 p a p b 这两个连线的斜率乘积也是等于负的 a 方分之啊， b 方的。 那其实这里面还有一个，还有一个什么样的结论呢？那我再再再画一个椭圆， 是跟切线有关的一个结论，那么一个椭圆它上面我们任取一个点 p， 那 么过点 p， 我 去做这个椭圆的切线 啊，那么这个切线的话，切点就是 p， 那 么我们把这个切点 p 与圆点相连， 哎，那这个 l 的 斜率 k l 与这个 p o 的 斜率 k p o， 它们两个的斜率乘积也是等于负的 a 方分之 b 方的，也就说它们都是什么？它们都是斜率积 在椭圆中都是等于负的 a 方分之 b 方。哎，所以我们可以一起去记啊，一共几个内容啊？一共是四个内容 啊，一个是第三定义，一个是图二中第三定义的一个延伸，然后一个是图三中的这个弦中点。结论，一个是图四中的这个切线与连接切线的这个与圆点的这个， 呃，连线的斜率乘积，它们都是等于负的 a 方分之 b 方的啊，这是在椭圆中的结论。双曲线的话，我们说跟椭圆有些结论是可以联系起来去记嘛，在双曲线中的话，实际上，呃，我们也很容易去记啊。你看这画的这四个图啊， 斜率是不是一个是正的，一个是负的，一个是正的，一个是负的，一个是正的，一个是负的，一个是正的，一个是负的。哎，也就说椭圆中的话，很明显它斜斜率相乘一定是个负值。 而在双曲线中呢，我们看在双曲线中的话，这个我们双曲线上任意一点与两个与十轴的两个顶点相连，是不？两个斜率要么都为正，是不是啊？哎，都为正， 那么这个也是一个正的，另外一个也是正的，要么都为负，是吧？那么两个斜率的话，同号那么相乘的话，那么得到这个值应该是一个正值，那么它就没有符号是 a 方分之 b 方， 那么同样的话，我们也可以把这个 a 方分之 b 方做一个转换，那么都可以转化成一方减一啊。这是关于斜率积的一个例题应用， 那我们来看看椭圆左右顶点是 a b， 然后 p 是 椭圆上不与 a b 重合的任意一点，那么这个 p a 与 p b 的 斜率之积直接就是考的椭圆的第三定义。那么我们就直接去， 因为是在椭圆嘛，这个斜率乘积就是负的 a 方分之 b 方，也就等于负的二分之一。哎，这就直接套出来答案了，我们再看看例二， 不与坐标轴垂直且不过原点的直线 l 与椭圆交于 ab 两点，那 m 是 ab 的 中点，哎，那么这里面就有一个很明确的一个信息，什么 弦中点，那么跟弦中点相关的，那么就是这个斜率计的结论。这里直接是直线 o m 的 斜率啊，直线 o m 与直线 l 的 斜率之积，是吧？那么这两个斜率之积，它依然是在椭圆中，依然是等于负的 a 方分之 b 方依然是负的二分之一， 那么它的这个推导过程就是点差法。我们如果是技术结论呢？小题就直接出结果， 那我们再来看看例三，例三的话是 左右顶点 p 于左右顶点啊，这是一个双曲线， p a 的 倾斜角是三分之二，那么 p b 的 倾斜角是多， 哎，那么倾斜角的这个 是不是？那我们直接 k p a 去点乘 k p b 在 双曲线中是不是等于一方分之方，也就是等于一的， 那么 k p a 的 话，它这个三分之二还是负的根三，那么我们就得到了这个 k p b， 它就等于负的三分之三，那负的三分之三的话，是不是就是切角时的一个平方啊？哎，那就选 c 了。那么这三个例题的话，我们对应的就是我们对这个形径的一个应用，好，那我们今天的这个是一样的。

然后我们来看一下第八题，这个网上其实有很多的说法了，就是用这个仿生变换，那我们就来具体的讲一下怎么去用这个题，其实就是说的很简单的一个事情， 一个平行直线，然后呢？摁，一对平行直线，他俩之间夹的这个四边形的面积什么时候最大？然后 a 是 右顶点， b 是 上顶点，所以说他这个方程很容易写出来 这个，然后呢 ab 这个直线就定好了，他说 m n 是 平行于 ab 的， 然后呢问我们这个四边形的面积什么时候最大？那因为它是平行的嘛，所以说我们很容易想到用这个梯形的面积，对吧？这就是个梯形的面积吗？ 然后呢，因为他这个在椭圆里边的话，我们不好解，所以说我们这道题就可以通过放射变换，也就是把 x 二分之 x 给它设成 m， 然后 n 呢就是 y， 那 如果说对于一般的话， 对于一般的这个椭圆的话，我们应该怎么设呢？ 就是 m 等于 a 分 之 x， n 等于 b 分 之 y 啊，这就是一般的这个方程平方，其实你设其他的也可以，这个这个设法的话对应的就是单位元，那如果说，比如说，嗯 嗯，比如说这个题我设的是 m 等于 x， 然后 n 等于二倍 啊，这样也行，但是它就是半径为二的圆，对吧？所以说就是怎么设都一样，都是一个圆，只不过它半径不一样。 好，那我们看现在 m n 就是 新的两个变量，那这个椭圆就变成什么了呢？原来是这个方程，那现在我们把 x 和 y 用 m n 表示的话，你就发现它就其实是一个单位圆， 也就是说把这个上面的这个图像呢，给他横向的压缩了原来的二分之一， 那么现在 b 点就不动了，因为 b 点是在 y 轴上嘛，所以说，所以说他没压缩，然后 a 点呢？原来是二零，所以说现在压缩成一零啊。然后这样，那我们想一想这个四边形的面积前后之间是什么变化？ 因为它是横向压缩的，所以说这个面积竖着的不变，横着的变为原来的二分之一，那就面积变成原来的二分之一呗， 对吧？所以说我们最后求通过圆求出来的这个面积最大值再乘以二，那就是它这个椭圆的面积最大值就 ok 了。那接下来就转换成这个圆圆中平行于这个 ab 这条直线的 m n 和它什么时候最大？ 就转换成这个事情，那这个就我们就可以想了啊，这个它这个 ab 现在就可以写出来是 y 等于负 x 加一。 呃，其实也不用写这个方程，我们通过圆的这个关系性质就可以把这个面积给它表示出来了。首先它还是个梯形，因为它是平行的，那么 ab 的 长度就是根号二。 然后 m n 的 长度跟什么有关系？跟圆的圆心到这个直线的距离有关系，那么当然不可能在这块的时候最大， 对吧？不可能和 ab 同测的时候最大，肯定是异测的时候最大。那我们就直接设这个 h 就 好了啊，就是圆心到 m n 的 距离是 h， 那 么上底 s 就 可以表示成二分之一，上底加下底乘高， 上底是根号二。然后下底呢，是我们通过圆半径平方勾股定律，半径平方减 h， 平方乘以二， 表示下底，然后乘以高，高位就是 h 加上这一段，那也就是 h 加上，嗯，二分之杠二， 然后我们化简一下，就得到根号下一减 h 方加上二分之二，然后乘以 h 加上二分之二。哎，那我们现在发现 h 它以两种形式存在， 那这两个正好就是正弦跟弦，正好就是某一个角的正弦跟弦，然后我们说这个 h 是 大于零的，对吧？零到一的，因为 m n 它最多，最多就是相切呗，相切的时候 h 正好等于一，所以说它正好就是零到一，那我们就设这个 h 是 sine， 根号加减 h 就是 cosine 给它变成三角函数，那这样就简单了，它就变成了 sin 乘以口三加上二分之二，提出来 sin 加上口三，然后再加上二分之一， 那这个接下来就不用我讲了吧？这是和，这是乘积，所以说我们三角函数有一个天然的平方和等于一，我们就可以把这两个变量换成一个变量了。你比如说它是 t， 那 它就是这个 t 方减二。 啊，不是不是，不是， t 方减一除以二，对吧？然后就转换成二次函数，你就可以求了它这个答案，最后就是选 b， 因为你这个面积最后求完是二，但是我们说你仿设变换的时候，面积变成了原来二分之一，那你还要乘以二再变回去。这就是第八题啊，我给了三颗星，其实它也不难，但是这个仿设变换要想到，要不然确实计算量有点大，这个题啊。

然后是一个十一题，这个题我觉得是这道卷子比较新颖的地方啊，但是也不难，我就给三颗星。首先我们先画一个正方体， 就是有些数学问题呢，就看你怎么去分析， 可能不好的分析方式，你这个思考的时间就少，而且它还简单。 那我们看，首先我们审一下题目，他说这个定义 d k 次操作是这个套 k c 塔 为将这个旋绕着这个 p q 直线 p q 旋转 c 塔角。但这个题目我觉得有点不太严谨，因为他也没说是同一个时针转啊，对吧？也没说是不是同一个时间时针转。 那比如说要不是一个同一个时针转的话，这个导选项就明显是对的吗？你七十五等于六十加十五，你转来转去又转回来了，那肯定是重合的呀， 对吧？这个导肯定是对的，都不用看。然后这道题乍一看，哎呀，这转的挺难的，想不出来，但是实际上来说，你只需要学会就想明白这个最简单的几种转法就完事了。 呃，你比如说数值的，这最简单，对吧？然后我再说一个，刚就是我做 c l 题的时候，我是怎么想的这个事情， 就我们要判断他转多少角度能转回来，你就这样去想，你比如说就是像我画的这种情况，现在就是他过这两个上下底面两个中心啊，这是 p q， 他 转的话，我们在同一平面内，就看这个顶点就好了，你就看这八个顶点， 那么这个平面内是不就是这四个顶点在同一个平面内啊？我再把这个图像画出来啊？对，这个四个顶点在同一个平面内，而且我们画一个俯视图，他其实就是个正方形， 然后呢这个转轴是中心，所以说他就转九十度呗，这都九十度， 九十度一百八、二百七、三百六都能转过来，所以说 a 是 对的， 对吧？然后我们再想一个，比如说现在，是啊，沿着这个端点，这两个端点我们再换个颜色啊，我这棕色的 这两个端点是 p q， 这样转的话还是一样的考虑这个平面，那么现在但是考虑这个平面不是随便一个平面，肯定是和这个转轴要垂直的啊， 对吧？因为你想想我垂直于这个转轴，我去转转，如果说他能和原来重合的话，他这个，你比如说我现在 这个平面，假如说和这个转轴是垂直的，那这个平面和这个正方体的焦点一定是重合的， 一定是重合的，因为不重合的话，你不可能和原来本身是重合的，对吧？你最起码得让这几个焦点是重合的，他才有可能重合， 那应该是一定重合的，对吧？所以说我们就看如果说沿着这个体对角线去转的话，有一个很重要的面，就是这个 他是和这个旋转面冲垂直的，然后呢这个就涉及到三个焦点，那三个顶点，那这三个顶点如果画俯视图的话是啥？ 他是不是就是一个等边三角形？因为这三条，三条，这个三条线，这条这条和这条 啊，这条和这这条、这条和这条他们仨是两两夹角相等的，并且长度也相等，所以说我画这个俯视图就是从这个角度去看的话，他就是个等边三角形，并且他这个转轴是中心， 所以说他夹角就是一百二十度，那么这四十加加四十加四十就是一百二嘛，正好他就是对的。 然后这个 c 选项就是怎么都转，都怎么转都转不回来，因为它涉及到要不然你就是三十度，要不然就一百五十度， 嗯，这个，这个应该是转不出来，所以说这道题就选 a、 b 道了，嗯，这个是十一题。

保姆级教学，手写证明圆锥曲线，三分钟带你全面了解圆锥曲线第三定义。今天我们来学一下圆锥曲线第三定义和点叉法。证明圆锥曲线的第三定义是什么意思呢？它只是平面内的动点到两个定点的斜率乘积等于一个常数， e 的 平方减一。这两个定点它是关于圆点对称的话， 那么他们的轨迹就是椭圆。当 e 的 平方大于一为椭圆，当 e 的 平方大于一为双曲线，那我们可以得到什么结论呢？ ab 两点关于圆点对称的话， 那么一定有 k p a 乘 k p b 等于 e 的 平方减一。对于椭圆和双曲线都是成立的， e 的 平方减一。对于抛物线，若 m 是 这个 l a b 的 一个中点，那么就有 k o m 等于 p 比上 y 零。我们想假设 p 点的 坐标是 x 一 y 一 b 点坐标是 x 二 y， 而 m 是 p b， 两个点的中点和坐标是 x 零 y 零，那就有什么成立呢？ k p a 乘以 k p b， 它是等于一方减一等于负的， a 方分之 b 方。好，这是第一个结论。第二个结论是 k o m 乘以 k p b， 它也是等于一方减一等于负的， a 方分之 b 方。我们现在先来证一下第二个证明的方法，就是用到了点差法， 那就有什么呢？把 p 点和 b 点的坐标带到这个椭圆的方程里面，就有 a 方分之 x 的 平方加上 b 方分之 y， 一 的平方等于一，就是一式。 a 方分之 x， 二的平方加 b 方分之 y， 二的平方等于一，就是二式。那一式减掉二式，我们就可以得到 a 方分之 x 一 减 x 二的平方就是等于 x 一 加 x 二乘以 x 一 减 x 二，那么同样的道理，右边就是 b 方分之 y 一 加 y 二乘以 y 一 减 y 二。 那我们再处理一下就可以得到， y 一 加 y 二比上 x 一 加 x 二乘以 y 一 减 y 二比上 x 一 减 x 二，就等于负的 a 方分之立方。那我们看这里 y 一 加 y 二是不等于两倍的 y 零啊。 x 一 加 x 等于两倍的 x 零，那这边就变成了 y 零比上 x 零， 那 y 零比上 x 零，其实上它就是等于 k o m， 那 这里 y 一 减 y 二乘以 x 一 减 x 二，是不是 k p b p b 这条直线的斜率？第一，那第一个怎么证呢？第一个我们来看一下 o 点 o 是 ab 的 终点 m， 它是 p b 的 终点，那 o m 是 不是这个 pa 的 这个中位线，那么就有 k o m， 它是等于 k pa 的 吧，所以第一个就证出来了。好，第一个如果是双曲线证明方法，只要把 b 方全部换成负 b 方就可以证出来了。好， 这个部分建议大家手写，做好笔记。我们来看一下抛物线的证明，那么就有 y 方等于二 p x。 同样的道理，把这个 a 点设成 x 一 y 一 b 点 x 二 y， 那 又有点查法，我们就知道， y 一 的平方等于两倍 p x 一 y 二的平方就等于二 p 倍的 x 二， 那 y 一 加 y 二乘以 y 一 减 y 二，这就是一式和二式相减，它就等于二 p 倍的 x 一 减 x 二。处理一下，那就有 y 一 减 y 二比上 x 一 减 x 二等于二 p 倍的 y 一 加 y 二。那左边 这个是不是 k a b 的 斜率？那右边 y 一 加 y 二是等于两倍的 y 零，那就有 k a b， 它的斜率是等于 p 除以 y 零的。 接下来我们来看一下这道题，他说椭圆的左右顶点分别是 a 一、 a 二，然后 p 是 在 c 上，且直线 p a 二的斜率是负二到负一，让我们求 p a 一 的斜率，那我们来画个图看一下。那我们知道 a 一 a 二是关于圆点对称， 那么就有什么 k p a 一 乘以 k p a 二，它除以一的平方减一，等于负的 a 方分之， b 方等于负四分之三。那你当 k p a 二等于负二的时候， 那这时候 kpa 一 就应该等于八分之三取到最小值吧。当 kpa 二等于负一的时候，那 kpa 一 就等于四分之三，取到最大值吧。所以这道题的答案应该就是选 d。 好， 如果我们知道了这个第三定义，对于做这些斜率的问题还是非常快的。

求直线的截距，别再傻乎乎递解方程令 x 等于零了！一招搞定截距坐标公式来看，怎么用？ 核心就两个公式，分子一模一样，都是 x 一， y 二减 x 二， y 一 就是面积公式里那个交叉相减分母呢？想求横截距就遮住横，坐标分母是 y 二减 y， 坐标分母是 x 一 减 x 二。 记住口诀，分子交叉减分母遮谁减谁。定点问题，截距定值问题通吃。那实战怎么用呢？ 看到题目说直线交 x 轴于某点，或者让你证明横过坐标轴上的定点，直接上截距坐标公式，最长踩的坑硬算直线方程，再令 x 等于零，中间过程又臭又长。 正确做法，设出两点坐标，带入横截句公式结合条件一化简，长竖直接出来定点就正完了，收藏备用，下一招更精彩！

圆锥曲线作为高考必去榜榜首，每年都会有无数考生被他感动落泪，如果你也在为他而困惑，那么这期视频将成为你高考前的最后一根稻草。首先我们要明白高考圆锥曲线考的是什么？一题圆锥曲线，很多同学都能想到一个词，连力。但是为什么要连力？ 究竟是设点还是设限？如果你想做好这道题，那么弄清楚这些必不可少。首先，圆锥曲线常见的题目主要是以下几类，轨迹、面积、定点、弦长。那么如何把一个抽象的式子转化成我们想要的结果？这就是我们要做的工作。圆锥曲线解体固定为三步，一是构图，也就是设点，射线找出关系。二是翻译， 也就是进行几何图形和代数计算之间的互相转化。三是计算，通过计算得出我们想要的结果，反映在一个题目中，这三步都直观重要。来到第一步，构图。 有很多同学在这一幅困惑，什么是拿到一个图，但不知道是设点还是设线？首先遇线、设线、遇点、设点，这些老生常谈的方法我们不过多讨论，难的是那些设点设线看起来都能做的题目。比如成都二诊的这道题，因为直线过焦点，而且是平行线，斜率相同，可能很多同学会设过焦点的点斜式，但是这样会导致什么 计算量太大了，因为你需要手动连力计算出 b 点和 d 点的坐标，再使用两点间距离公式计算长度。那么这时候我们要学会反推。这道题要干什么？求线段长度来算面积比例对不对？那么线段长度怎么算？ 是不是可以用投影定力只去计算横纵坐标？那么很显然，我们要的是坐标而不是斜率，要的是点而不是线。所以我们要什么就去设什么，避免多次翻译和计算。如果你还是搞不清楚，那就把需要设点的这些情况记下来，设点比设限的情况要少，除此之外的题目设限往往更好做。那么第二步翻译。 什么是翻译？就是把题目中和你第一步画出来的图像用数学语言表达出来。用更通俗的话来说二级结论，比如你见到这种形式，就要自动想到垂尽定力，把斜率关系写出来。我在这里准备了一些常用的二级结论，在考试时如果要用，需要先把这些结论描述一遍，然后再去使用， 否则会因过程不严谨而扣分。其次，我们也要在这一步把解析思路描述出来，尤其是对于需要分布讨论的题目。最后一步计算。在这里我不讲怎么计算，因为每道题计算量不一样，计算难度也不一样，每个人的计算水平也不一样，我只说一种套路，计算格式观察高考圆锥曲线题标准答案， 很多题目都是分不得分，也就是说这道题给出的评分标准很细很细。那么不管说你是一演出答案的学霸，还是只会硬憋的普通学子，都需要注重计算步骤。高考答题卡在这道题给你的空间很大，尽情的把你能想到的所有步骤和计算过程都表现在上面， 当你思路正确，但是计算结果有误，这个习惯会救你一命。总结下来，圆锥曲线是解答过程很固定的题目，在一众创新题目中，这道题可以说是三五年内不会做出太大变化，所以也是很多中等生冲击高分的必吃榜榜首。这只是一期概括视频，本人所能做到的有限， 只是给你们提出建议和解答。如果你想要进阶和具体的学习，那么可以去隔壁看一束的解析几何合集，里面分不同情况做出了具体讲解。最后感谢各位的支持，祝各位高考顺利，金榜题名！

来看长方体的切割和拼接问题，用三个完全一样的正方体拼成这样的一个长方体，这个长方体的棱长总和是一百六十厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 想要求这个长方体的表面积，我们需要知道它的长宽高，因为它是由三个完全一样的正方体组成的，所以这个长方体的长就等于原来这个正方体棱长的三倍， 它的宽和高呢，就等于原来这个正方体的棱长，所以我们只需要把正方体的棱长求出来。正方体的棱长如果我们都给他记作 a 的 话，那这个长方体的长对应的就是三个 a， 那 宽呢？就是一个 a， 高就是一个 a 长，四条宽和四条高。所以啊，它对应的棱长总和就是长加宽加高，扩起来再去乘四，等于二十 a， 也就是二十个正方体的棱长这么长。 二十个棱长等于一百六十厘米，正方体的棱长等于一百六十。除以二十等于八厘米，那这个长方体的长等于三个棱长这么长，那他就等于八乘三，等于二十四厘米。 长是二十四，宽是八，高是八。求这样一个长方体的表面积，只需要带入表面积公式，长乘宽加宽乘高，括号乘二，可以求出这个长方体的表面积是八百九十六平方厘米， 这是长方体正方体常见的切割和拼接题型。小学阶段几何图形，这里经常丢分的可以用这个小学几何训练营方法教程跟着去学起来。 它包含了从小一到小六一共九十六讲的内容，六百零八节视频讲解从小一的数线段角的认识，图形规律，一笔画等等。小三阶段图形技术，各类周长面积的求法，方中方、方中长等等。小五阶段，组合图形的割补法，平移法、融彻法等等六大方法的解法， 长方体、正方体的棱长，它的展开图挖洞一类问题的解法，长方体、正方体的体积等等级变化问题，以及表面积和体积的综合问题。每一讲，所有的母题和练习题全都给大家做了详细的视频讲解。 像六阶段呢就更多了，像鱼尾形啊，曲线图形啊，方中圆，圆中方圆柱的表面积，圆柱的拼接等等。 小学所有几何类型的讲解全都包含在这里面了，这本书里面还总结了小学几何的八大模型，像风筝模型，蝴蝶模型，鸟头模型，向内不会总结，但是呢，对于孩子上了初中之后帮助特别大。除了包含这一本方法教程之外，还有一本超能练习册， 这本里边的每一讲跟方法教程是完全对应的，而且里面都有视频讲解，整个的这两本啊，从小一用到小六，可以去给孩子们准备起来。

好，同学们，我们来看一下最后一道题，三式题 啊，这是一道圆锥曲线的题目，已知椭圆 c， 已知椭圆 c 啊，这个啊，这个解析式，然后 a 大 于 b， 显然啊，这个椭圆的焦点是在 x 轴上，它的短轴长是二，根号三， 短轴产生二，根号三就是什么？就是二， b 等于二，根号三，对不对？所以呢？ 所以我这个 b 就是 等于根号三，没错吧，焦距，焦距是二，所以二 c 等于二，所以我的 c 是 等于一 啊，斜率为一的一个，且过零二这样的一个直线 l， 那 我们这里的直线是不是可以直接就写出来了？ 所以说我们就直线用我们的，你看这个正好是一个截距式，所以我们可以写成 y 等于 k， x， 那 就 x 了，因为斜率是一嘛，所以 x 加二 相交于直线 l 啊，这个 l 与椭圆相交于 ab 两点啊，这道题它整体的个题干还是比较简单的，有没有比较简单的， 我们来看一下，求椭圆的方程。那么说，你看在这个位置， b 和 c 知道，那 a 不 就知道了吗？ a 是 什么？ a 不 就是我们椭圆里面 a 是 最大的吗？对吧？应该 a 方应该是等于 b 方加 c 方，是吧， 所以应该是根号三的平方加上一个榜，一二等于四，对不对？这个解数不就出来了吗？好，我们写一下啊，解第一题啊，我们说，我们说可以说有提一 啊，其得到我们的 b 等于什么？你可以说二 b 等于二，根号三啊，所以 b 就 等于根号三，因为二 c 等于二，所以 c 就 等于一喽，对不对？就等于一，那如果，所以呢，我这个 a 方就是等于 b 方加 c 方是等于 根号三的方加上一的方等于四，对不对？好的都有了嘛？所以解析式 椭圆啊， c 就是 什么？就是 x 方除以 a 方， a 是 等于四啊，加上 b 方， b 方是三， y 方等于一，是吧？这不好了吗？是不是好第二道题啊，它讲的是我们的弦 a b 的 长，那弦 a b 的 长。这道题我们的直角点定位肯定就是在 我们的什么那个弦长公式那里是不是弦长公式，所以弦长公式在这里。同学们我们的知识点，我们可以稍微来复习一下 弦长公式知识点。弦长，我们弦长公式里面啊，应该它涉及的有两种，对不对？你比如说我们的弦长，第一种是我们 a b 啊，它是用我们的根号一加 k 方，用我的 x 二减 x 一 的绝对值去表示，对不对？是不是这种， 对吧？但是就是你 x 二减 x 一， 有时候你可以直接把它解出来，把它简化成。另外一种就是根号一加 k 方，这个把它变成 a 的 绝对值，根号得了它啊，这个是很多的老师都已经把这个公式印成一个， 就说知识点啊，发给同学去背的。但至于这个推导过程，老师这里不不做推导啊，你就把这个记住就可以了，把它记住，这里的 k 就是 我们的直线的 k， 这里的德，它就是我们把直线带入 圆锥曲线之后所化成的一元二次方程之后，它所得出的德。它那 a 嘛，当然是二次项系数，对不对？还有一个叫什么？还有一种就是 y 作为 好，就是消 x 留 y 的 那种，就是一加什么 k 平方分之一这种 乘以 a 的 绝对值，根号点它，那这个根号点它也是一样的，是吧？好，或者说还有种就是一加什么 k 平方分之一乘以谁乘以 y 二减 y 一 啊，是这种 啊，是这种，这点，这俩，那这个这个公式怎么用呢？哎，我们来看一下，我们来一起来用一下，好不好？第二题那说求求弦 a b， 那 首先我们把直线弄出来，直线 l 我 们刚才用过了啊，就说是斜截式吗？ y 等于什么？ x 加二。好， 你可以编个式，比如一式啊，或者说把直线都可以把 e 带入哪里带入椭圆 啊？知道椭圆带入啊，那就说我们把 e 带入椭圆，什么意思？就是把这个 y 带到这里的 y 这里 好，把它处理一下，就变成了四分之 x 方加上三分之 y， 让 x， y 就 变成这个，对吧？等于一是吧？那在这的话，我们是不是对这个进行一个化解 啊？这化解就考察我们的计算能力，对不对？我们在这化一下啊，所以我们首先是可以是两边同时乘上十二，对不对？那这样子的话，前面就变成了三 x 方加上四 x 加二啊，很多同学是计算不过关的啊，所以这题目很难很难做下来，所以你在计算上就是我们初中的一些就是代数式的运算，以及合并同类项，类似这样东西啊啊，自己要去加强的。 好，三 x 放这里，首先你在这个位置，有的同学是会吗？不会，对吧？然后呢，就是拼很快，那首先你是四先放着前面先出来 加四，对吧？等于十二，这样就不容易错了。等于四 x 方加上十六去括号吗？等于十六啊，十二呀，然后这儿不是合并吗？七 x 方，然后加上十六 x， 接着 啊，这移过来不就是四吗？对吧？对，就这么结果说这个好，所以， 所以那就是七 x 方加上十六 x 加上四，等于对不对？好，画剪好了是吧？把擦掉擦掉好，继续。那这样子的话，我们在这儿 就可以有，我们带哪个公式？我们是不是在我准备带这个啊？因为我一般情况下我都会带这个啊，都记这个啊。这里 首先我们的 k 是 有了，对吧？ k 是 有了，那是不是求这个德尔纳就可以了啊？所以这个德尔纳是等于 b 平方减 c d， 对 吧？ 那 b 平方就是十六呢？平方，对吧？减去四乘七乘四，对吧？算出来正好是一百四十四啊，一百四十四自己算去啊，我已经算过了一百四十四，所以我们的 a b 的 弦长就是什么？ 就是等于什么？就是等于根号一加 k 方，一般情况下这个绝对值乘以根号加它，那好，一加 k， k 多少？ k 不是 一吗？一点平方对吧？乘以 a， a 是 谁？ a 是 不是七 七分之根号幺四四，对不对？所以这个就等于根号二，乘以七分之十二，这答案就是 七分之十二根号十二，七分之根号十二，七分七分之十二根号二 啊，这就是我们的答案。第二题啊，其实同学们，我们在这里你可以怎么样？你可以，第一步， 我们的第一步是什么？是把直线跟椭圆进行连力，就是把它带入在这。第一步，第一步啊，然后第二步就是说 把这俩这俩方程罗列出来啊，就是直线跟椭圆罗列出来，然后再把第二步把这个弄出来，就是把外带入进去，去削外啊，削外，削掉之后，第三步我们就是去代公式， 是不是这样子？一般是这三步就可以了，不管是在这的话，用闲产公式啊，这个东西不仅是适用于这个椭圆，同时是适用于双曲线、抛物线，甚至是圆，对吧？甚至是圆，所以这些东西是一种代数的处理方式，都是可以的， 处理方式一模一样三步骤。好吧，所以题目会了之后，你这个题目好好的去再刷一下题，练一下，一定要自己一定要自己重新做一遍，你没做的话自己没有感觉的，好吧？好，这是第二、 三题。那第三题同学们怎么去理解？他说若 y 轴上存在一个点 m， 使得直线 m a 与直线 m b， 关于 y 轴对称。好，我们在这要看一下，就说两条直线关于 y 轴对称，会有什么特点？ 会有什么特点？你说一条直线这样对吧？一条直线这样， 这俩是不对称，这样对称拐弯，那就说你这俩角应该相等的，对不对？是不是相等？那好，那这样角的话，这个角是我们的这个直线的起斜角，那这个是起斜角在这是不是？所以这两个用这个叫 alpha， 这叫 beta， 那 这两个起斜角是不是要互补啊？ 是不是等于 pi？ 是 不是互补？那互补的话，那就说你这个直线这条直线的斜率不是 ten alpha 吗？ 那这个斜率的不是 ten beta 吗？那 ten alpha 跟 ten beta 之间是不存在这个后位相反式的关系，是不是啊？你 ten beta 不 就是等于什么 ten i 减 alpha， 对 吧？那派减 alpha 不 就是等于负 ten 吗？ alpha 吗？是吧？也就它们是，就是 up， 就是 ten， beta 跟 ten up 是 互为相反数，那也就是说你这个关于 y 轴对称的这两条直线，它是关它的斜率是互为相反数的，这是我们解决这道题的一个关键， 是不是？是不是？那好，我们在这应该怎么去做？那好，我们就知道。射，我把 m 射出来啊，射 m， m 是 在外轴上，对不对？你就可以射成零小 m 把 m 射出来，然后把 ma 和 mb 都表示出来，所以 ma 啊， m a， 你 可以说 m a， m b 都没事啊，椭圆交于 a b 两点，椭圆交 a b， 那 就说我们现在是不是有个它已经过这个，过这个零二，对不对？是过零二，那过零二的话，你看这个直线， 你要过零二就过这个，然后斜率又是一，是不是？是不是这样？所以它必定是过这个点，对不对？那这个点叫什么？叫二负二零，是不是这样的？因为它这个直线是这样的呀？ 啊？你可以说这样，你可以说 m a， 把它弄出来啊， m a， 你 先把这个 a 点，你不是这个，是 a 点，那这里是不是还有个 b 点 啊？把这个图画一下啊，这个图案这个图画一下，那就是说我们这个图画出来，应该是这个椭圆，应该是因为它 a 是 什么？ a 是 二呀？ a 是 二，对不对？对，这是二，那是二，这里呢？这是一，是吧？它 b 不是 刚好三吗？刚好咱就过去一点啊，那这它在这个位置左右，那好，它应该是这个， 嗯，这个样子啊，因为我这个是没有画图工具啊，我就大手画一下，大啊，然后我们这斜率，它是要过什么？它是要过这个点，然后要过这个点，对不对？所以这个直线弄过来是不是长这样？ 长这样。好，我们可以把这个设成 a 点，我们再把这个 b 到时候把它弄出来，这个 b 在 这也在这啊，这俩不一样的啊，这个 b 跟这个不一样，这个点是什么？这个点叫零二，这个叫 b。 所以你在这是首先就说我们要把那 m 点肯定是在哪？ n 点肯定是 y 轴上的一个点，对吧？这样子，我们说这两条线，你把 m a 和 b 求出来。好，我的 m a 先把，你可以把 a 求出来先 啊，你可以把 a 求出来，因为你可以说令啊，令这个直线啊，直线，令这个直线，令这个直线。什么？ x 等于零， 那 y 应该是等于什么？直线在哪里？直线？直线直线在这啊， x 等于零 啊，不对啊，应该是另外等于零， y 等于零， y 等于零，之后你看，再如这里说 x 数等于负二呀， 对吧？所以呢？这个 a 点应该是负二零，是吧？所以 m a 求出来， 所以 m a 求出来。 m a 的 话，就说我们 m a 看这儿 斜率求出来，我们的斜率应该是 y 减去 y 减零吧，顶点点斜式嘛，对不对？斜率求出来，斜率是不是我们的 y 一 减 y 二， m 是， 这个是不是？ m 减零，是吧？ m 减零， 两点 m 减零啊，那这个还有个呢？零减去负二，是不是这二喽？这就是它斜率嘛，然后 a 给四，要减谁数？加二数，这样 啊，加二啊，实际上我们在这里啊，不需要去弄这个啊，因为因为只要考虑到斜率是或相反数就可以了，对不对？所以我们只要把这两个斜率求出来就可以了啊， k m a 等于 k m a 是 等于什么？ m 减零，然后零减二 是二分之 m， 对 吧？我们关键是现在要把这个 mb 求出来， mb 求出来 mb， 我 们刚才是不是已经利用了这个，这个一元二次方程已经出来了，对不对？一元二次方程求出来，我们要把这个 b 点的 b 点的坐标求出来啊，因为 我们把这里写一下啊，写正好，这里补充一下好不好？所以这个 x 一 应该是等于就是点的这个嘛，是吧？数负二是吧？负二是 a 点 x 二求出来，负二求出来负二，然后算出来应该是等于，我们算一下哈，这个减一下应该是等于 二乘七负十六，正负什么？十二是吧？因为得它是等于一百四十四嘛，所以这个东西应该是等于负的啊，应该还是负的值，应该是等于 啊，没错，就取这个加啊，加应该是负十六加十二，应该是负四，负四除以这个啊，应该是负的七分之二，是不是是负的七分之二 啊？你看解负的性质，这个实际上就是什么？就是我这个 b 点的横坐标，对不对？ b 的 横坐标啊，所以我们呢， 在解出来之后啊，啊，因为啊， b 点的横坐标啊， x b 是 等于负的七分之二， 所以那 b 点的纵坐标就是七分之二。负的七分之二带哪去？带直线这里去，对吧？然后是负的七分之二加上二，应该是七分之十四， 七分之十四减二，七分之二，应该是七分之十二，对不对？七分之十二，所以我这个 b 点是负的七分之二，七分之十二啊， b 点，那所以呢，我们在这 这个 m k m b 就 可以知道了啊？ k m b 同样用斜率公式，应该是 m 减去七分之十二， 是吧？然后这个零减去负的七分之二，是吧？零减去负的七分之二，应该是等于下面是七分之二，然后上面是 m 减七分之十二，对不对？ 好，我们把这个擦一下，差一点点啊，空间差一点好，我们就可以，怎么样？因为来了 啊，因为 m a m b 关于 y 轴对称， 所以呢， k m a 加上 k m b 应该是互为相反数之 列，是吧？所以呢，我们这里这个是二分之 m， 对 不对？二分之 m 加上， 把这个带进去啊，你这里可以化解，化解也可以啊，把化解化解，下面七约一下啊，把二分之这里七弄上去，减十二啊，就写成二分之七， m 减十二等于零， 对吧？那把这个减一下，我们这里打草稿打一下啊，那就是变成了二分之 m 加上七 m 减十二等于零， 那就是八。 m 应该是等于什么？上面等于零啊？等于十二， m 就 等于四四，除下点啊，就除以四点二，就除以二分之三，对吧？那就是 m 啊，所以 m 等于二分之三，所以我们的 m 点坐标就是零动化二分之三，对吧？啊，这个题目就是说我们在这要抓到啊，我们要抓一个，就说我们 两条直线关于 y 轴对称，它的斜率之间的关系啊，它的斜率之间的关系 就是互为相反数，然后再把这个点射起来，知道吧？射起来， 那这道题啊，就是这么去解释，好吧。

同学们好，今天我们来讲解一下杭州二模昨天刚考的这个试卷，嗯，这个试卷总体来说我觉得比较简单，尤其是这个压轴题，十八个十九感觉压不住。然后前面的呢？比如说这个第十题， 这个三次函数，这都是之前我们讲过很多次的一个就是他直接考的这些结论，然后十四题，十三题也都不也，都不难。 然后，嗯，我打算讲七八十、十一，十三十四，十八十九啊，因为就是也不知道，其实也不想讲这些题，但是如果不讲的话，也不知道讲点啥，所以说我们就是讲一讲这几个简单题啊。 首先我们来看一下这个第七题，呃，这是一个平面向量的题，然后呢，但是他比较简单，所以说给两颗星，我们讲三种方法吧。第一种方法就是用几何法， 嗯，首先我们发现它这个 x c 向量啊，这个打错了， c 向量可以用 a 向量和 b 向量去表示，对吧？首先它给了这个 a 向量和 b 向量这个摩长，以及它们俩这个夹角通过这个点成给的。那么首先 我们就他说 c 向量是表示成 x 倍的 a 向量加 y 的 b 向量，然后因为 i 二 x 加 y 等于一，所以说我们看到这个相加之和等于一的话，你就会想到三点共线这个事情，那么 因为它是二 x， 所以 说呢，我们就把这个 c 向量写成二 x， 然后二分之 a 向量，或者我们把这个换一下，比如说这个 d 向量，然后呢 d 向量和 a 向量的方向是相同的，并且这个长度呢是二倍的关系， 那么因为 a 向量的模长是 b 向量的模长的二倍，所以说 d 向量 啊，直接写这个啊， d 向量等于二倍的， d 向量等于 a 向量，所以 d 向量的摩场就和 b 向量的摩场相等， 然后夹角呢？ d 向量和 a 向量和 b 向量的夹角和 a， a 与 b 夹角是一样的，那么这个我们求一下 这个口三 a c， 它是等于呃，点乘是负一比上魔乘，魔乘是二乘以一，它就是负的二分之一，那也就是说 c 它是等于三分之二。 pi 啊，我们直接画这个 a 向量和啊，我们直接画这个 d 向量和 b 向量，假角是一百二，并且它俩的魔长都是三，所以说 c 向量就是在这个直线上， 就是在这个直线上。那么什么时候最短呢？很明显是做高的时候最短，然后这是一一，这个是一百二十度，所以说明显他是二分之一，所以说选刀 啊，这个是通过这个几何法做的。然后第二个方法我们就 a a 啊，第二个方法我们 刚才说完了，这个 a 向量， b 向量的模长以及夹角都给了，所以说对于向量来说，它就相当于完全已知了啊，因为我们说向量的所有运算都可以通过夹角和模长表示出来， 而且由平面向量基本定律我们也可以知道任何一个向量，那么 c 向量就可以呃，求它的模的话，就可以直接平方预模平方， 它就等于 x 方， a 向量的平方加上 y 方， b 向量的平方加上二倍的 x 乘以 y 乘以 a 点乘 b， 那 么往里一代就是四 x 方加上 呃外方，然后减掉二倍的 x y， 然后因为二 x 加 y 是 等于一的，让我们求这个它的最小值， 那这个也很简单，因为我们发现这个四 x 方和外方，它和它有啥关系呢？给它平方一下，你就发现它这个四 x 方加上外方，就等于一减去四倍的 x 乘以外， 那么他就变成了一减去六倍的 x 乘以外啊，然后也就相当于求这个的最小值，那也就是相当于求 x 乘以外最大值。那么我们因为 x 乘以外，根号下是大于是小于等于二分之， 然后这个这么写啊，这个是根号下二倍的 x y， 因为它是二 x， 它就是二 x 加 y 等于二分之一， 嗯，然后所以说呢， x 乘以 y 就 小于等于平方以下四分之一，再除以二，就是八分之一，所以说呢，它就大于，它就大于等于一减掉八分之六，也就是四分之三， 然后等于四分之一，然后因为这个是平方，所以说呢，最后再开个根号，那就是选到了这是第二种方法，然后第三种方法，那就是间隙， 还是因为这个 a 向量， b 向量的模长和夹角。都知道了，刚才求完了这个 c， 它是等于一百二十度的， 所以说呢，我们把这个 b 向量放在 x 轴上，它是一零，然后 a 向量夹角是一百二，所以说它的坐标也很好写，就是负一二分之个，刚好三，刚好三，所以说 c 向量 就写出来了啊，它是负 x 加 y， 然后是刚好三 x， 那么他求这个魔长的话，剩下的这个方法就和这个方法二是一样的， 就是三 x 方加上 y 减 x 的 平方，这是平方，然后呢，在其的过程和方法二一样 啊，那这个就往下细说了，反正就是三种角度这道题就都可以用。那有些题呢？可能几何法不是那么明显的话，就是要用解析法，或者用那个平面向量基本定律的方法。 然后有一些题呢，就是几何法快的话就直接用几何法就好了啊，这个就是给大家提供三种思路，那这个就是第七题的讲解。