立体几何八大定理，一张纸内容

三号猫讲数学，欢迎来到必修二的系统课，今天咱们正式进入到立体几何章节啦，数学启动，首先给大家看一下目录跟立体几何啊，这是一个非常重要的章节，高考也是常考的呦， 比如每年必考的这个球体积问题，基本上就是一个选择题，甚至有时候很难，有时候呢还会考这个外接球与内些球哎，这个平行和垂直呢，还会考大题， 所以这个第八章呀，可以说是必修二最重要的章节了，一方面因为它确实比较难，第二个就是考试是一个重点，按照教材的顺序呢，四号猫给大家分为了这么六大板块， 在这六大板块啊，估计会讲个九到十节课哦，因为里面有些板块，色化猫给它切成了两节课，从最开始的这个基本粒子图形到直观图，比如这个表面距离体积，里面的考点实在太多了，所以色化猫给它切成两节课。第一节呢，咱们重点讲一下多面体的这个体积，第二节讲一下旋转体的体积， 还有这个外界是用的一些球，这里面的知识点也非常碎哎，很多在学校学的也没把它总结明白， 所以呢，这个也可能分两次课的，再到最后的这个垂直，这个可是最难受的，他有什么线线线面面垂直，然后垂直的证明垂直的性质，光这都六大题型了，就是每一个的垂直证明三个题型，每一个垂直性质又是三个题型，以及空间角问题，线线角，线面角还有二面角的问题。 并且每个板块啊，似乎都给大家讲解这个基础的知识点的方法，以及每个题型适用的这个通法， 如果你是学校没有学过，是一个新课，那么直接开始看这个知识点，如果你在学校学过了，可以跳过这个知识点。知识点呢，用撒哈猫的数学笔记进行复习就 ok 了，也是讲一遍同步的呦，废话不多说，赶紧开始吧。 首先讲一下技术知识点，这个基本的图形知识点实在是太多了，给大家先欣赏一下。哇，这么长，都在撒哈猫的笔记上。 但是呢，其实刚开始只是说对每个啊立体图形有一个基本的认识，都比较简单，来咱一个说。首先何为空间几何体哦，咱是在空间里面研究的，可不是平面几何体，可不是之前的平面限量的哦， 咱只考虑这个物体的形状和大小。抽象出来的空间图形，哎，就是空间几何体了，比如足球，抽象出来就是一个球的立体几何， ok， 那 多面体呢？和旋转体是啥呢？空间几何体其实按照他的大料可以分为两个多面体以及旋转体。多面体呢，就是由多个平面图形围成的几何体，比如棱柱、棱锥、棱台，以棱开足的就是多面体， 而以这个圆开足的就是旋转体啦，圆柱，圆锥圆台，因为它相当于一个几何体啊啊，绕着一个面旋转形成一个几何体， ok， 那首先我们先说一下棱柱，比如我就以这个六棱柱为例，他有这么几个特征啊，第一个就是两个平面，两个底面平行且相等。咱棱柱其实就研究两个事情，一个就是底面，另外一个就是侧面了。而侧面呢，首先都是平行四边形，第二个就是各侧棱互相平行且相等。 侧棱是哪些？侧棱其实说白了就是这些吗？每个侧棱，然后侧面呢，就是侧面的这些面了，顾名思义，而还有个上下底面，顶点就是每个啊，这个理解和每个点就是顶点了。注意，以上特征是缺一不可的， 待会做选择题你就明白了，如果他只说两个特征，其他一个少数了，其实是错的，因为咱可以举一个反例。好，接着呢，按照这个底面的边数啊，咱给棱柱分为了三棱柱、四棱柱等等。而按照这个侧棱与底面的关系呢，分为斜棱柱还有直棱柱，这个注意了， 斜棱柱说的就是这个棱柱是斜的啊，它这个 a a 啊，它可能与底面是不垂直的，而直棱柱呢，就这个侧棱 a a 一， 这个 b b 一， 因为它们是平行的，它都和这个底面是垂直的，就叫做直棱柱了。 另外还有两个比较关键的名词，考试经常考到，比如个，比如第一个，这个正棱柱，说白了它就是底面为正多边形的直棱柱哦，首先它是个直棱柱，侧棱与底面垂直。第二个底面是正多边形，可能是正四边形，那就正方形了，也可能正五边形，正六边形等等。 第二个就是平行六面体，顾名思义就是他有六个面，然后每两个面的对面都是平行的，说白了就是底面是平行四边形的四棱柱，因为一旦底面是平行四边形，保证了，哎，这两个底面都是平行四边形， ok， 然后这个四棱柱的话，是保证每个侧面又是平行四边形，所以只要每个面是平行四边形，他总共六个面，就是平行六面体了。棱柱的表示也很简单啊，比如说这个 右楞住，咱直接楞住 a、 b、 c、 d、 e、 f， 杠， a， b， c， d， e、 f。 注意，要刚开始这个字母是对应于下底面的 a、 b、 c、 d、 f， 而后面这个字母对应的是上底面的 oh yeah。 那 继续咱再说这个楞锥了，楞锥也是三个特征的，首先是底面，底面毫无疑问是一个多边形，并且仅有一个底面的哟。第二个侧面呢，都是三角形，这个很关键， 以及各侧面尤其只有一个公共点，也是这三个特征缺一不可啊。因为如果一旦一个特征少了，你可以举出一个反例把它推翻。 比如，如果缺少了这个各侧面，尤其只有一个公共点，它公共点是不是就这个 s 顶点呢？如果没有这个只有一个公共点，那可能这个棱柱会长的非常畸形，他这边又长又长，长来长出来，你发现这个侧面有好多面，但是他并不是一个公共点，而是好几个公共冷， ok， 等会做题时候大家就感受到了，因为这个主要是大家有一个显眼的认识，其实到了真正期末考试，或者说高考的时候，也不考这些基本概念。第二个分类的话，按里面分为三棱柱啊，三棱锥，四棱锥，三棱锥就是我们平常所说的这个四面体喽， 这和棱柱是一模一样的。另外有个正棱柱，一个棱柱一样的还是这棱柱。首先第一个底面是多边形，毫无疑问，第二个他怎么才能正呀？顶点与底面中心的连线，垂直地面啥意思？顶点与底面中心的连线，你看这是顶点，这是底面中心的连线， 他这么一连的话，如果这个紫色的线和底面垂直，那才满足咱的正棱锥。所以说有两个特征呢，一个底面是多边正多边形，另外有个是就是这个连线啊，垂坠底面，这啥意思呢？其实这个我给他简称，为什么玩意？定海神针， 也就是不管这个棱锥长什么样子，他肯定是有一个高的对不对？而这个高就需要哎从顶点往底面做一个垂线，保证这个垂线和底面是垂直的， 那这个正楞锥他都说了，顶点与底面中心的连线恰好垂直了，说明他就是定海神针了。因为这个定海神针啊，在后续考试的时候非常重要，可能需要你让定海神针来算他的体积，也可能需要利用这个定海神针与底面垂直的关系来推算一些东西。 如果再再画一个反例，假如说这个楞锥长得比较歪，他不正了，你看这个顶点跑这了，我这么一画，哎，是不是也是一个楞锥？你会发现他的顶点和底面中心的连线 与底面是完全不垂直的，你看这个紫色线怎么能垂直呢？那所以它就不是正楞锥了哦，正楞锥有两个特征， 那这个表示呢？正楞锥 s 杠 a b c d nice， 接下来呢，就是咱这个棱台了，哎，棱台也很简单哦，说白了，棱锥你用一个平行这个棱锥底面的面给它截一下，把这个面一截，那就形成一个棱台的喽， 这就是棱台的形成。棱台需要满足哪些结构特征呢？首先第一个，剩下里面都是平行且相似的多边形，因为你是用平行底面去截的，那肯定是平行且相似的，这个剩下里面 各侧面都是梯形。好疑问。第三个，这个最关键的点就是各侧棱的延长线交汇一点，因为你是截出来的呀，所以这个延长线是不是就棱锥的顶点了？如果题目给了这个棱锥，你发现延长之后，比如这个延长延长这个交这了，而这个延长延长交这了， 这两个点没有交到一个点，那他就不是轮锥喽。这个注意，考试是会考的，按底面的，也分为三轮、四轮， ok， 毫无疑问。然后这个正轮台是什么东西？上下里面都是相似的正锥边形，且上下里面的中心连线与底面垂直， 这不就是正楞椎吗？相当于正楞椎切完之后，他这个地方的线还是垂直的吗？没问题。好，另外给大家汇总一下，多面体呢，就包含楞椎、楞柱、楞台这三大个东西，而楞椎里面呢，又包含这个四面体，相当于四面体，是楞椎的一个子极。另外楞柱里面注意了，他有这个直楞柱，还有平行六面体。 其中这个直角柱和平行面体的关系我给大家写的很清楚，它两个的交集呢，就是一个长方了，也就是说直角柱并不是平行的面体，平行面体也并不是直角柱，它们如果都是的话，那说明它是一个长方，只有两者的交集喽， ok， 最后一个就是棱台喽， nice， 那讲完了这个多面体，我们看一看旋转体，旋转体就比较简单，包括三大圆柱、圆锥、圆台以及还有一个比较特殊的球，何为旋转体呢？咱直接看圆柱的定义你就明白了，你看圆柱怎么形成的？我相当于这么一个矩形啊，你看，这是一个矩形，这它的旋转面 以矩形的一边所在直线为旋转轴，比如我就以这个直线为旋转轴，然后其余一边的旋转一周形成的面所围成的旋转体就是圆柱了，很明显了。所以旋转体说白了就是你找了这么一个面，一个旋转面，然后绕旋转面形成一个直线旋转一周所形成的图形叫做旋转体了，顾名思义， 而咱刚说到这个多面体啊，就是有几个封闭面围成了， ok， 圆锥呢？圆锥，刚刚咱这个圆柱的，哎，旋转面是一个矩形，而现在圆锥的旋转面是一个直角三角形，你看这个直角三角形，我给大家画一下， ok， 我 绕着这一转，那是不是就形成了一个圆锥呀？ nice， 另外这里面有些概念需要大家记住，比如像这个圆柱，哎，旋转的这个轴叫做底面，另外这个侧面也毫无疑问，侧面是一个长方形，我给它展开。 还有一个东西比较特殊，母线，母线是啥呀？就是上底面和下底面就用顶点为相连，这就是一个母线了，哎，比如这也是一个母线， ok， 它有无数个母线，圆锥是一样的，我这个任上顶点与上面任一个顶点，哎， 下底面任一个点相连的话，都是一个母线。 nice， 最后还有圆台一样的嘛，你把这个圆锥呢给它结一下，用平行于底面的面给圆锥结一下，剩余的部分呢，就是这个圆台喽， 大家注意啊，它是有上下底面的，然后还有侧面以及轴，而这个母线，注意，母线一定是上下底面相对的点，比如这个 a 对 应于 a 一， 这才是母线。如果你 a 连接了一个，这这都不对应 ab 一， 它是母线吗？不是， 别忘了这一点， ok？ 另外球就更简单了，这半圆一绕就是一个呵呵，活生生的球。哎呀，旋转一周所围成的曲面就叫做球面了。注意啊，我们外面这个面是球面，这整个就叫做一个球体了。 而咱们往后面研究球啊，我们就研究这个球面，主要研究这个面，不研究这个里面的到底是啥，你就把它当成一个空心球，就是你们经常打的这个篮球就好了，有半径、直径以及球心的。 最后呢，还有另外一个概念，叫做简单组合体，它是由简单几何体组成的。何为简单几何体啊？其实就是刚刚讲的多面体以及旋转体。多面体分为圆柱、圆锥、圆台以及球， 但有时候并不是这些简单的几何体，它是由简单几何体组合而成的。哎，也有简单组合体了，可以是这几个拼接而成的，这个很好想象吧，也可以是挖取而成的，比如你一个球里面挖取了一个圆柱或者圆锥，或者挖取了一个多面体，它是不是就是组合体了呀？ nice， 那我们赶紧开始题型的讲解。首先第一个看图识别，呃，挺简单的，顾名思义，我家毛都看得出来。比如第一题，哎，问你，判断正确的是你看这个圈一 a 选项，说它是一个棱台是吗？请在弹幕里扣一下。肯定不是吧，棱台需要上下底面处平行且相似， 这你都找不到一个上下底面是平行，斜斜的，很奇怪哎，所以不是的哎。第二个是圆台吗？第二个，虽然这是上底面这下底面，但两个平面是不不平行呀？咱刚说了，圆台是需要你拿一个平行于底面的面去截，所以截出来是不是应该是这样子的，让他这个明显斜了，那直接打错了，一和二都不对， 那这个 b 选项错了， a 选项 c 和大都说了三是棱锥，那他肯定是棱锥，不用管 这个第四个，一个说棱台，一个说棱柱，我们看一下第四个，这很明显是一个棱台吧，你看，这是这个是上底面儿，这个下底面儿，那这些是不是都是侧面，所以它是一个哦， holdennessy 马赛，它是一个棱柱哦。选大 nice， 因为棱台的话，上下里面肯定不可能是全等的，他应该是相似的，你们去结完之后，结棱锥之后，上下里面是不是相似的呀？这两个上下里面是全等的，那说明是一个棱珠了，并且每个侧面都是平行的，一个平四边形，侧棱也平行。好，第二个下来是棱台的式。来，各位小小猫自己选一下吧，小花猫马上公布答案。 ok， 四号包要公布答案了，直接选报 nice c 选错的错的，它没有。每个这个延长线交一点哦，你看这交了一个点，这交了一个点，不是一个点，而 b 角线就是一个点了。漂亮， 那接着咱再看一下这个多面体的结构特征，会有些这么判断题啊，这些小题会考大家首先第一个题先来说法正确的是， 你看他是不是都说了每个棱柱的特征呀。来，直接看题 a 选项，棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面哎，底面确实是互相平行的。那平行的面一定是底面吗？不一定哦，比如长方体，他每两个对面是不都平行啊， 也就意味着侧面也可能平行的，长方体也是一个四棱柱哦，他是一个比较特殊的四棱柱，所以 a 选项错了。 接着报选项，棱柱的侧面都是全等的平行四边形。刚刚咱讲的结构特征确实是平行四边形，没毛病，但一定全等吗？不一定，比如长方体，那肯定很明显就错了哟， 长方体可不是四个侧面都全等，他只能保证这个对面是不是全等哎，侧面并不一定哦，很明显。 ok， 那 c 选项你看他都说这么长了，正所谓选择题三短一长就选 c， 但是你们还是看一下吧啊， c 选项说了两个半平行哎， 平行面齐了，其余的面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫做棱柱。没毛病啊，他要素齐了呀， 你看两个面平行，说明这两个面呢，就是一个底面，而其余个面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边还都互相平行，这个时候保证了它的侧棱是不是 保证了侧棱的上下底边又平行？说每个侧面都是平行四边形了， 而两个面又平行的话，你测那平平行四边形又满足啥呀？剩下底面是相等的，那所以这两个面又全等了， ok， 说白了，他虽然说的比较简洁了，但其实你也可以把这个三个结构特征全正出来，剩下底面是全等的平行四边形，然后每个侧棱都是，每个侧面都是平行四边形，并且每条侧棱都平行。 c 选项一定正确。 大选项用一个平面去截棱锥棱锥底面与截面之间的部分是棱台。这不纯纯胡扯吗？你截的话，万一截斜了怎么办呢？比如说像刚刚这个选项，这个这么一截，这不就截歪了吗？那所以应该是用一个啥呀，平行于底面的界面。 接着再看一个比较奇怪的题目，已知 p m 是 长方体， q m 是 平直平行两面体。有东西看不懂这个条件，而海绵宝宝我是怕大星 则 p 是 q 的， 什么玩意？哎，又到了这个成分比较条件，说白了就是你要判断一下哪个是小方位，哪个是大方位。小推大嘛，万一都不是小，都不是大呢？非小非大，那就是都推不动了。 ok， 来咱看一下长方形，呃，它是个四棱柱，没问题。直平行的平面体也是一个四棱柱。 直平面体要求了它这个首先是直的，那说明是个直棱柱，也就是说侧棱垂垂底面， 那说明每个侧面他都是一个啥的。他垂直的话，本来这个侧面是个平行四边形，现在一垂直啊，每个侧面都是一个矩形了，没问题。而长方体是每六个面都是矩形，他的底面也是一个矩形。那直平行面体，他的底面是矩形吗？他的底面只要是一个平行四边形就好了呀， 而长方体的底面，它一定是一个矩形。那其实这个题说白了就让我判断这个矩形是平行四边形的，哎，什么条件？你想想，如果是矩形，是不是一定平行四边形？那所以前推后呢？小推大？但如果平行四边形呢，那肯定不一定是矩形呢，这个众所周知，所以后退不来前， 因为它们侧面都是一个矩形，所以侧面不用管，我就看这个底面了。 ok， 那 答案不就出来了吗？充分不必要选 a， nice， 所以 这个注意啊，有些非常特殊的这些名词，大家要知道，比如什么直平行棱面体呢？比如什么啊？直棱柱呢？什么平行棱面体呢？两个加起来不就是既直又是平行棱面体？ nice， 看完了刚刚的多面体棱柱棱台的结构特征，咱们再看一下旋转体的结构特征，也是会考一些小题的哦。那首先直接看第一题，哎，下来说法正确是哪一个？单选择题， a 选项，以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体就是圆锥了吗？这太扯了呀，万一我这个直角三角形，我是它的一条边啊，是一个斜边呢？那旋转完肯定不是一个圆锥了吧？ 所以注意啊，前面这里圆锥我一定是要一条直角边旋转的，旋转之后一定是直角边。 那接着看报选项，以直角梯形的以腰为轴旋转的一周形成的旋转体。好奇怪啊，圆台不是结出来了吗？那你这个也能旋转出来吗？当然可以旋转出来了呀，各位，比如我给大家画一个直角梯形啊，直角梯形这个初中都学过呀， ok， 山里面平，然后这有一个直角，因为这也是一个直角，他如果绕这个旋转一周，很好想象吗？那旋出来出来确实是一个圆台了啊，不就是这样一个，然后下面这么长，那一连接确实是一个圆台了， 但是呢，他说的是绕一个腰旋转，绕这旋转，这能是圆台吗？很明显不是，我肯定必须是直角边。 ok， 所以 报选项也错了，他们两个错的都一样，都是这个旋转轴搞错了啊。 那继续 c 选项，圆柱、圆锥、圆台都有两个底面，这大错特错呀，圆锥不是一个底面呀。哦， c 选项也不能选了。 b 选项，圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高。哎，这里出现了个新的玩意儿，侧面展开图， 那给大家展示一下吧，圆锥我相信大家初中应该稍微接触过，他侧面展开处长什么样子呢？确实是一个扇形哦，他说这个扇形的半径大，圆锥的高，看看对不对？ ok， 我 给他展开一下，这里我记为一个母线，长度记为 l 嘛，下面这个记为一个 r， 那 侧面展开都毫无疑问，确实就是一个扇形的。 这个圆心角多少度我也不知道，我先随便画一个这个扇形。 ok， 那 展开完之后，你会发现这个扇形的半径呀，其实是咱之前母线的这个 l， 而这个扇形的弧长呢？弧长是不是里面周长呢？那应该是二派 r。 哦，是这么回事的，人家说这个扇形的半径大于圆锥的高，半径是这个母线上圆锥的高是它哦，在这个三角形里面， l 肯定大于这个高 h 呢，因为它是直角边， l 大 于 h 没毛病，所以倒角选项是对的呦， 这个圆锥主要圆锥的侧面展开图呢，是一个扇形，这个到下面讲体表面积，表面积体积问题会给大家讲的。然后圆台侧面展开图呢，它是一个哎，这种形状的一个扇子的形状， 相当于扇形的给它又结了一部分，你想想，很好想象吧，因为它是圆台，本来就是结了一部分，这一结是圆台，那这边是不是就结了一下成这样子了？ ok， 好 了，接下来这个第二题，大家自己选一下吧，此号猫马上公布答案！此号猫要公布答案了，最后的答案就选爆 nice！ 因为首先这个一和三他确实是完全没毛病的，按母线没问题，然后一直人家说直角腰旋转轴没问题。而第二个呢，两个面平行且相似，其余个面都是梯形的多面体，就是棱材了，这不纯纯胡扯吗？ 棱材的话，是不是还需要满足每个侧能的延长线交于一点呢？你这样的话，每个侧能延长线并不一定交于一点啊，所以就错了，这是一个易错点，易考虑。 而第四个呢，用平面结圆锥得到的结面只能是圆和矩形吗？大家发挥自己的想象，发挥自己的 imagination， 我 给大家画一个圆柱啊，你看这个结网会是什么样子？ 如果你这样直着结，比如我在这结一下， ok， 那 确实是一个圆，如果这样竖着结，那确实是一个矩形，没问题， 比如我这么一结，呃，这样一结确实一个矩形呢，这是竖着结，一横着结，但有没有可能斜着结啊？万一我斜着结，你发现就出问题了，比如我这个面，我是，呃，一个斜面这么去结，我这样吧，给他斜了一下，这么一刀一切，那你觉得是个什么形呀？ 来，我这样一切 切完之后呢？这边他是一个斜的，一个圆了吧？这个圆还是圆吗？啊，并不是哦，他其实是一个椭圆， 他是椭的，可不是圆的。因为你圆柱的话，我现在是给他画了一个啥玩意呢？把这个立体图形给他画成了一个直观图，就你上面看着是圆的，但众所周知，圆柱的上下里面是不是个正儿八经的圆呢？他可不是椭圆，我给他画的虽然是椭圆，但你如果斜着这么一截， 它这个圆变歪了呀，相当于这个圆的话，它它它它它这个两边是不是变得更长了？而它中间这个长度可能是不变的，那中间这个长度本来是一个圆，它中间这个长度不变，两边变得更长了。那你们再连接一下，你发现哦，是一个椭圆了， nice， 所以 注意啊，如果你斜截的话，这个圆柱截出来是一个椭圆的。 nice， 接着题型四，给大家讲一个最短路径问题。哎，这种经常考，比如说一只蚂蚁啊，从一个点开始出发，在立体几何里面考最短路径绕了一圈呢，或者说这个从一点到一点的一个最短路径等等。最短路径呢，就一个办法，就是把展开图给人家划开两点之间，限到最短即可。 这个长开头是一定要画的呦，因为这个蚂蚁很傻啊，就像你做题的你一样，你如果考试中只看这个 a、 d， 解法上，你发现从屁眼绕一圈，好像哪个到底最小，我也看不出来对不对？那所以你一定要画了。各位来，咱们直接看第一个题，圆锥的母线长为三， ok， 底面这个半径为一，标下 这个母线和底面的半径确定了，那这个圆锥就确定了，因为他的高咱也能算出来。然后有个蚂蚁从点屁呢，他说了，必须是沿着这个圆锥侧面爬行一周，又回到点屁，则蚂蚁爬行的最短路径为。万能办法就是画展开图，你把这个侧面展开一下吗？因为这个蚂蚁呢，是在侧面爬的呦， 侧面展开图这么一画的话，他这个半径不就是三吗？就是咱的 l 母线长了， ok， 而下面这个弧长呀，是底面的周长二派二。 那首先我得算下这个角度吧，把这个扇形确定一下。各位，这个 c 叉角怎么算呢？所以你会得到一个这个啊，就是扇形展开图， 它的圆心角怎么算？ c 叉就等于，哎，是不是弧长除以半径呢？那就是二拍 r， 它的弧长再除以半径 l， 所以 这样就算出来，你把数字这么一代，你会发现呢，最后算出来是一个 三分之二拍哦，三分之二拍是一个一百二十度，所以这个 c 叉角呢，就是一个一百二十度的，它是一个一百二十度。然后这个 l 呢，是一个三的，一个哎扇形了，那这样我要算啥呀？他说从这个哎 p 沿着圆锥爬行了一周，那我假如这个点 p 就 记这里吧， 因为我是展开的，所以这里是不是也是点 p 啊？他俩是重合的，你像延一周，你是不是可以哎，这么爬，这么爬，这么爬都行，因为你要要爬一周呢。那最短的你毫无疑问，我家猫知道两点之间线段最短，所以直接这么一点，答案就出来了 哦，一百二十度三三，一百二十度的三角形，一比一，比跟三，所以答案直接是三倍跟三漂亮， 所以一定是画展开图，你不画展开图，你这个直线你往哪找呀？你找不到的呀。各位好，咱再看一下这个第二题。那第二题，各位小小猫我给大家留点时间自己做一下吧。撒谎猫，马上公布答案，大家按一个暂停键， ok， 撒谎猫要公布答案了，最后的答案就选 a， 漂亮， 方法呢？一模一样，还是画这个展开图，只不过现在我是 a 点到 e 点的这个最短距离肯定展开完之后这个，呃，他是沿着这个侧面爬的吗？那肯定是两点之间线段最短了，你可不能这么爬，你穿不过去的。 所以你得把这个画出来才知道它怎么展开的，相当于我这个展开图是啥呀？侧面的一半展开了，因为我只需要展开这一半呢， ok， 展开完之后毫无疑问还是一个矩形，然后它矩形的这个 宽呢？其实就是咱标一下嘛， bc 是 等于二的，说明这个高是 a， b 也等于二，这个直径是二，半截是一的， ok， 那 这个耗油就是二了。而下面这个多长呢？下面这个是底面周长的一半哦， 周长是二派，那这个就是一个派了哦，所以这个 a e 直接两点之间线段最短，这是一个垂直，那一高一下派方加一， nice， 选 a 漂亮，所以最短。路径问题啊，大家别去这么乱猜，这个考试真的会考，一定要把展开都画出来，答案就出来了。 本视频的最后再给大家讲一个组合题问题，哎，这个组合题其实是最简单的了，各位，它只是在表面，你提那一块有点难，如果其他的板块考砸了，非常的简单，因为它不会给你出的很难的 组合题。说白了就是说你这个简单的几何题啊，给它拼接或者挖去而成的，你像这个第一题是不是正方题，给它干嘛呀？哎，挖去了这么几个正三轮锥， 那第二个呢，也是一样的一个圆柱呢，给他挖去了一个圆锥。好，咱直接看题。那首先第一个哎，广场上设置了一些石凳供大家学习。哇，这个石凳设置的挺独特的， 你考数学题干嘛呢？你独特就独特了呗。 ok， 继续啊。每个石头呢，是由正方形截取八个正方形下来，结论不正确的是哪一个？靠 a 选项该几何体的面呢，是等边三角形或正方形，这很明显了吧，你看上面是一个正方形哦，他每个这个是一样的，你通过平面几何知识， 因为他画的是一个立体图形啊，他画出来看着很丑，比如这个上，哎，上底面就长这样子，然后你一截的话，是不是相当于这个一连，这个中点全部一连， 连完之后，你会发现他一定还是一个正方形的。各位，因为你是中点相连，所以这些线段长度都相等，你还能证明出来的都是垂直的，所以是正方形，没毛病。 a 选项一定要选 啊，一定不选，因为他是不正确的， a 选项是正确的呀，然后其他面的都是一个等边三角形，你看都看得出来了吧？啊，因为这三个都相等，等边三角形没问题，我可以报选项该几何底恰有十二个面，这面咋数呢？难不成我一个数吗？ 其实咱可以发现一下规律啊，你看这个正方形哪有几个面，他无非就正方形和等边三角形嘛。正方形一二三四，然后前额后五六。正方形是不是总共有六个面？那等边三角形有几个面呢？ 你看下面等边三角形一二三四，下面四个，那就等于上面是不是也是四个？总共是八个等边三角形应该是八加六等于十四要他。所以说十二直接错了，报不正确，选报。 nice， 如果你足够自信答案就出来了。不够自信我们还可以往下看，一看就说这个数的，也不是盲目的去数，你可以给他一个分类嘛，没有无缘无故的爱与恨呀。他 a 选项都出现了，等边三角形或正方形，你就按这个等边三角形正方形给他数，答案就出来了。 c 选该几何题二十四条棱。呃， 反正这个几何题是上下对称的，我直接数上面或者下面再乘二不就好了。上面几个棱呢？一二三四四个。好，这有几个？一二三四五。 哎，不用数啊各位，上面一二三四四个，那你上半部分另外这个侧面是多少个呢？你看这个侧面是有两个的，他有几个侧面？有六个侧面，每个侧面都是两个 啊，不好意思，红豆泥思密玛塞有四个侧面的，你看这有两个吗？然后这是不是有两个？这有两个，这有两个，那四个侧面二十四得八八，加上上面这个四就是二十四条零了吗？ nice， ok， 这是个数问题啊各位大选项该集合题有十二个顶点，这顶点是最好数的了呦，你看上面的顶点一二三四，那中间的顶点一二三四，然后下面顶点一二三四，总共是不是就十二个？四加四加四。 nice， 好，这个看完了，我们再看这个第二题，哎，洁面问题，这个有时候我也会考，需要发挥自己的想象力啊，一方面想象力不行，这个很正常，想当年高三花猫上高中的时候，想象力也是很差，但是这并没想我考到这个，哎，学校第一以及全年级第一，还有全线第一哦， 因为当时我这理解，其实我真的想不出来啊，但是你这个题刷多了，自然就熟悉了，比如你看这个第二题，这种洁面可能刚开始遇到时候原来长这样子。好，我们直接看题， 他说这个几何体啊，是用一个圆柱挖出了一个圆锥子到的，你看相当于中间这个虚线挖掉了，人家说用一个竖直的平面去截这个几何体截面图形可能是哪一个呢？ 那首先你看这个第一个，第一个毫无疑问。呃，很可能截出来吧，我直接这么一截，这么一截，那是不是第一个就截出来了？ 因为这个圆锥的轴结面，这个结面很明显是一个直的吗？三角形哎，是一个三角形，正正正的三角形。那么一结完之后，是不是相当于一个 长方形挖去了一个三角形？ nice， 而这个第二个呢？第二个就错了吧，你刚说这三角形结出来，怎么可能是这种抛物线的形状呢？啊，错了，再看这个第三个，第三个有可能结出来吗？ 他这个三四五有个很明显的特征啊，记住，说呢，他下面这个还是实心的，没有结完，那说明三四五这个结面呢？就不是在这结的不是中间这个结面，而是可能偏这了。 比如我这里去接这连接一下，这个底面呢，也连接一下。哦，这个结面，那这个结面结出来是个什么样子呢？或者说我用这个侧面接一下，本来我是这样在正中间接，对吧？那现在不是正中间了，咱拼到侧面点点了，那我去结，结完之后是个什么形状呢？ 你可以想一下，这个圆锥我截出来是个啥？那是不是走到这个侧面究竟是一个弧形还是一个三角形呀？我直接把截中给到大家，是一个弧形的，这是个抛物线了，我给大家画一个圆锥观察一下，你看这是一个圆锥， ok， 那 我这么一截， 也就是说我这里来了一个结面，那这结完之后是个什么形状呢？注意，要注意，我看画这个图形，你看现在画完就明白了吧？他结完之后确实是一种抛线的形状，可不是直的，因为直的你会画出来很奇怪。 他的侧面呢，是一个有弧度的形状，如果你画出来是一个直的，大家观察一下。这其实可以通过画画图画出来，他是一个美术问题呢。 比如说我下面结完之后啊，这个是下结面，好比是一个直线，那上面结完之后，如果你是个三角，我这么一连， 那出问题了呀，他这个侧面这个弧的，你这个点和这个点直接连的话，他是从圆柱里面穿过去了，你结完之后应该是在这个圆弧上，所以弧度的话，你要有弧度，那其实是这样子的，对不对？ ok， 那 说明了第五个才是对的，所以答案就选一和五了。漂亮 就两种情况，第一种你从正中间截，那是一个三角形了，没问题，就在这这截， ok， 中间截是一个三角形，侧面侧了一点点，那其实是一个抛物线的形状了，选大漂亮。 本节课的最后呢，给大家做个情景的总结，咱是立体几何的第一个板块，叫做基本立体图形。给大家讲了这么多的概念，多面体、旋转体，多面体分为这个棱柱、棱锥、棱台，旋转体分为圆柱、圆锥以及圆台。 ok， 然后接着咱讲的题型， 从最开始最开始，最简单的这个看图识别，再到呃，多面体的一些结构特征，是一些文字虚数啊，以及呢，这个旋转体的结构特征，注意旋转轴是直角边哦。再到最短路径问题，咱一定要画展开图，两点之间线段最短。用平面几何知识解决一下，答案就出来了。 及第五个组合起的相关知识点以及特征。咱看回这个目录，基本的题型我们就掌握了。里面这个知识点是挺多的，但题目都不难哦，难的还在后面呢。那下一课接着给大家讲这个直观图问题。 ok， 我 们下个视频再见喽。

第八张，立体几何初步立体几何复习总结，立体几何一章学完了，孩子脑子里还是一团乱麻，这张立体几何地图帮他理清所有关系。学完一张最怕什么？知识点全在脑子里，打架做题时不知道该用哪个。 今天我帮孩子画一张立体几何地图，把这一张所有知识串起来。地图中心立体几何学什么？研究空间中的点线面体。第一条路，空间几何体筑追台球的结构特征， 三式图、主式图、左式图、俯视图、口诀，长、对、正、高、平、齐、宽、向等表面几何体积公式，柱体、锥体台体求 第二条路，点、线、面的位置关系，四个公里，两点定一线，三点定一面，两面交，一线平行传递三种关系，平行相交意面线线线面关系线在面内线面平行线面相交包括垂直面面关系，平行相交包括垂直。第三条路，平行与垂直的判定与性质， 平行列线线平行线面平行面面平行垂直列线线垂直线面垂直面面垂直。核心思想转化与降维，把空间问题变成平面问题。第四条路解析方法，直接法用定律直接证，逆向法，从结论倒着推， 坐标法，高二学间隙用向量算。这张地图就是孩子复习时的导航仪，遇到题先定位这是几何体问题还是位置关系问题？再选工具，用哪个定力用哪种方法？最后动手画图，列条件，一步步推。很多孩子做题慢是因为脑子里没有地图，每道题都要从头摸索， 有了这张地图，就像开了导航，直达目的地。建议孩子把这张地图画在纸上，贴在书桌前，复习时看一遍，做题时想一遍，一周后所有知识点自动串成线。觉得这张地图有用的家长点个赞，让更多人看到！还想看哪一张的复习地图？评论区投票！

一分钟搞定空间几何体的结构特征！先分清多面体和旋转体，多面体是平面围成的棱柱，棱锥棱台式代表棱柱底面平行全等，摘楞平行相等，侧面都是平行四边形，棱锥底面是多边形，摘楞交于一点， 侧面全是三角形棱台，上下底平行相似，窄楞延长线交于一点，侧面都是梯形旋转体是绕轴旋转来的圆柱圆锥圆台求要记牢。圆柱母线平行垂直底面，轴结面是矩形，圆锥母线交于顶点， 轴结面是等幺三角形圆台母线延长线交于一点，轴结面是等幺梯形，求是半圆绕直径旋转一周形成的。最后送大家记忆口诀，多面体 平面为棱柱追台要分清旋转体轴转成筑追台球记心中。我是阿洛老师，每天进一点，记得关注点赞哦！

一口气讲完逆题集合洁面问题一共三大题型，从做洁面的两种方式，到求洁面面积和周长，带你完善逆题集合压轴小题。 其实很多高一高三的同学都在问我，唐老师如何做洁面，他要是出的话就会出单选或者多选的压轴题， 那我们来看哈，他总共是有两种方式的，第一个呢是相交法去做洁面，第二个呢是平行线法，我一般都是两个结合着来用哈。 首先呢，我们来看相交法，为什么叫做相交法来，就是因为我们现在这个界面呢，很单零的，孤零零的在这个内部，对不对？ 那么此时我们就要使得它的延长线和其他平面的展开面，延长面我们要形成焦点，那 这时候的话，我们连接这个焦点和这里的顶点，我们就会得到节点了哈，你看，我们现在已知了 e、 f 这条边，对不对？我们就延长出来，延长出来，延长出来之后你会发现啊，好，我交右边这个面，你看右边这个面我也会延长，对不对？我就延伸右边这个面， 我就交右边这一个面于这一个点了，这一个点呢，就是咱们交的一个点嘛，所以此时我们再来连接咱们的 c、 e 和咱们这一个交点，就会得到跟右边这个平面的节点，就是在这的哈，这是节点了。 ok， 那 么 此时我们连接这个节点和这一个顶点，我们就会得到这两条接线了，对不对？好，我们继续来做左边我们延伸延伸，哎，你会发现我跟上面这个平面的延伸面，我是不是交于这一个点呢？ 这个点就是咱们的焦点，那么我们继续去连接咱们的焦点和这一个顶点哈，我们就会得到这有一个节点，所以说我们就去连接这个节点和咱们这一个焦点哈，连起来，哎，你会发现我们又得到了这一条结线， 所以总共我们最后得到的结面是一个什么？是一个五边形的，然后我们再来看到平行线法做结面哈，这是我的 e、 f， 是 不是已知的，对不对？所以说我们现在就去寻找另外一条平行线，它是过其他的顶点的哈，那它肯定就是一个平面的， 那么此时呢，你看我肯定是只能去过咱们的 c、 e 做 e、 f 的 平行线，所以呢咱们就做出来哈，做出来，做出来是这个样子的， 然后你就会发现咱们交下面这个平面，你看我交下面这个平面的延伸出来这个平面交于这个交点，对不对？这个交点呢，咱们再连接下面这个 f 点，是不是我就得到了跟下底面的节点，对不对？就得到这个节点， 所以说咱们就可以连接这一条线，它就是两条截线就在这了。然后同理我们上面是不是会得到跟左边平面的一个交点， 那么跟左边平面这个焦点得到了之后呢，咱们再连接一和这个焦点，此时呢我们就会得到他跟咱们的上面这个平面的节点，在这对不对？在这，然后此时呢我们就可以去连接咱们的这个点和这一点，所以最后呢我们得到的仍然是一个结面的五边形， 所以我们现在来看到我们的三个题型，第一个题型来比较简单，就是不全结面，如图，在一个棱长为二的正方体当中， m n 嘞是两个中点， 然后在图中呢画出过底面 abcd 的 点 o 这个中心点，而且与这个 amn 平行的平面，在正方体中的结面。那你想哈， 我现在要去画跟这一个平面平行的平面，那么我只需要使得两组相交的直线平行，我们两个平面就平行了，对不对？ 那你来看我们的 n m， 它肯定是平行于 b、 d 的， 为嘛嘞？因为咱们只要去连接 b、 e， d， e， 那 么我两个中点中位线，则 m n 它是平行于 b、 d， 所以 就会有咱们的 m n， 它是平行于 b、 d 的， 所以现在我们只需要去找到另外一个平行线就可以了。找谁嘞？其实你只需要去看哈， 咱们的 a n， 它可以平行于谁？是不是可以平行于 b， 然后我在这我再去取一个中点，再取一个中点，比方说咱们的一个 g 点吧，所以我去连接了一个 b g 之后，你就会发现，哎呀我去， 我们这一条边，它是不是平行于这条边的，对不对？然后呢，我这一条边它也是平行于这一条边的，对不对？所以我们就得到了两组对边，它都是相互平行的，所以说咱们包含的这一个平面它肯定是平行的。 那么我们再接着来说，我们要过咱们这三个点的一个结面到底是什么样的嘞？你来看哈，我们就用平行线法去做哈，我们 b d 在 这， 我现在来要去找平行于 b、 d 的 线，而且呢，它是过咱们另外一个顶点的，那你直接去取另外一边的中点不就可以了吗？对吧？我再去取个 h 点，我连接起来，那么此时咱们的 h g 它是不是就平行于咱们 b d 啊？对不对？所以此时我们就得到另外一个节点了， 所以我们再去研究 d h 的 时候，你就会发现，哎，确实我每一条截线它都是直接截这个平面的表面的，所以你看我们最后就得到了这一个截面，它是一个四边形，最后来他就问这个截面多边形的周长我们就不用去算了，我们直接在第二道题里面带大家去算一下。 如果你感觉自己学数学总是很迷茫，做不起题，真诚建议你来看看我的主页置顶群聊分享的系统学习路径，我会详细拆解学数学的底层逻辑和刷题方法，让你做一道题就彻底懂一类题。也欢迎大家在评论区留下你下期想看的主题，我一定满足。记得关注我，我是教你解题程序的北大堂，我们下期再见！

hello， everybody， 我是 神奇小猪，欢迎各位来到二零二六最后时刻立体几何片，接下来我们来看今天的第四个魔幻立体几何间隙大题。 咱先讲间隙间隙法如何求角度跟距离呢？咱把刚才的线线角，线面角还有二面角间隙的方法给大家讲一下。 首先这三种角度它都有一定的范围限定线线角，我们一定取的是这两向量形成的这个锐角 r 发是在零到二分之派之间的啊。线面角它在直角三角形里面当然也是一个锐角， r 发也在零到二分之派之间， 但是唯独这二面角，你要看题目当中问的，有可能人家问的是这个角度是锐角，也有可能是钝角，所以这 r 发可锐可钝。 为啥要讲范围？因为一般来说，人家都会问这角度所形成的 sin 值或者 cosine 值。咱知道你角的范围不同，它会影响 cosine 值的正负啊！所以大家先要清楚，因为线段角线段角人家都是锐角，锐角的 cosine 值， cosine 值，你最后求完那值一定都是 正值。所以我在写的时候，我先在这先给宝贝们加上绝对值，怕大家忘了，不管你算出来那数有多千奇百怪的，你最后算出来负值那是不可以的。 但是二面角不一样啊，二面角有锐有钝，锐钝吧，他问 side 值还好， side 值一二线线角那的确那还是正的，但是 cosine 它的正负大家就得具体情况具体分析了。正负需要大家在考场上你去看那角到底是锐角还是钝角， 那具体解析法怎么做嘞？我们用线上一条线的方向向量表示这个线，用这面的法向量来表示这面。所以我在求线线角的过程当中，我会得到两个方向向量。注意哦，我们只会求这俩向量的夹角余弦值 用啥求？我们永远用的是。比如说一个向量是 a， 一个向量是 b， 咱用的是数量积的反推公式，它等于 a 点 b， b 上 a 摸长乘以 b 摸长。所以一般来说吧，方向向量大家都会求哎，法向量咱其实也会求，那把你想带的带进去，这项量假角咱是一定会做的，大家只需要找到我，算出来，这项量假角跟我最后要求的线线角也好，线面角也好，它这两种角度的关系 有啥关系？我把所有情况几乎都给它列好了。首先，对于线线角来说，咱求这俩方向这俩角，哎，非常明显，他要么完全相等，要么求出来是互补的。就这两种情况，那这角的关系会最后怎么影响我三角函数的关系呢？这就得用到诱导公式了， 咱知道哎，无论是相等还是互补，奇变偶变，符号看象限，最后的三角函数名称一定是不变的。 可千万宝贝们，别再问为啥了，这大家就当结论得背下来了啊。那这里面我其实也没有讨论这里面是正的还是负的，因为为啥呢？咱最后都是要加绝对值的，最后求出来一定是正的，你即便里面求出来是负值，大家最后也得改成正值，你只需要记住，前后名不变。 第二，线面角的咱想求的话，我们求的是方向向量跟法向量的假角，这角可跟我们的线面角完全不一样啊。如果法向量我们求的是向上的，那么向量假角跟我的二发之间应该是互余的，它俩相加等于二分之二， 但如果这个是向下的话，那这是非它，这是咱的线面角 alpha， 它俩之间，哎，还是差九十度。 phase 能写成 alpha， 再加二分之一，你会发现它总差九十度的话，二分之一派是基数，基变，哦，不变，咱函数名可是要变的。 最后求的线面角的三也好，扣三也好，我求的那假角是反过来的三。阿尔法等于 cosine f， 它的绝对值。 cosine f 等于 cosine f， 它的绝对值。这里面我也没有考虑是正还是负，因为最后是要加绝对值，一定要变成正的， 有点乱对不对？那为了怕大家记不住，我已经画上小笑脸跟小哭脸了，一会给大家解释为啥啊。咱先把第三个二面角给它讲录， 这是我要求的二面角 alpha， 但是我们真正算的时候算的啥？算的是两面法向量假角，这假角我非常明显啊，这 c 的 啊，对顶角跟 alpha 应该是正好是。呃，互补关系。你想一个四边形，它的内角和呢，应该是三百六十度，这已经有俩九十，已经是一百八了，所以 这俩角相加就一定也是一百八。所以这是第一种情况，他俩相加等于一百八。那第二种情况，如果其中一个向量哎反向了，跑下边去了，那现在我求的夹角，呃，这俩反向量夹角就在这，这俩钝角实际上平面几何，那应该是相等， 所以情况呢，其实就跟第一种这射线角是一模一样的，要么相等，要么差。派奇变偶不变，函数名是不变的。 让我求 sign， 我 就写 sign 里的。让我求 cosine， 我 就写 cosine 里的。那现在给大家解释一下，为啥有的是笑脸，有的是哭脸啊，小笑脸这仨你考试出现你就开心，啥都不用想， 正的函数名不变，但是一旦出现小窟窿了，那你就得想一想，注意，求线面角的时候，前后一定是变名的，而且只有线面角变名啊，那为啥这只小窟窿虽然它前后函数名不变，但是它的正负， cosine 的 二面角，哎，这正负啊，需要大家自己判断一下，你没判断好的，还有可能扣一分了呀。 间隙求角度给大家讲完了，那咱间隙的前提条件是不是你有细可见的，有的时候题目出的比较损，你那图形长得特别难看，你不好间隙，或者你即便好间隙了，有些某些点他织出去了，某些点的坐标他不好求。 这两类情况会给大家做题当中造成比较大的困扰。所以今天我用两道曾经给大家讲过的题目，再给大家把我们基本的方法过一遍。首先第一题，二零二一年浙江高考很经典的一道小题， 咱间隙，那就是找 x 轴、 y 轴、 z 轴，说白了就是找三对两两垂直的线段。那有些题目简单，那是因为这垂直条件是直接给我的。有些题目，那垂直需要咱们先证明你正出来，垂直了你才能间隙，或者啊，通过一些简单计算，你算出来垂直也是可以的。比如说举个例子，二零二一年浙江高考 啊，他说有个四棱锥， p、 a、 b， c， d， 底面是平行四边形，具体啥形状往后看，他说 a、 b、 c 是 一百二十度哦，呃，这是一百二，然后 a、 b、 b、 c 两条边长，一个是一，一个是四。哎，我觉得这个图形应该单独拎出来画吧，它长得太奇怪了啊。 a、 b， c， d， a， b 短一点是一， b， c 长一点哦，是四， 然后还是一百二十度的。老师真难看呢，这题出的太损了啊，边长一四，一百二十度，哎，你这是一百二，那我这个角度 a 和 c， 那 就是六十呗。 好，那这里面具体有什么隐含条件，我目前还没看出来，我继续往后看。又给我了一个值，叫 p a 的 长度是根号十五哦，所以这个上顶点 p 怎么定义的呢？它跟定义了一个根 a 点的一个距离，根号十五。 但是我心里知道，你在一个三维空间内，跟一个点距离是根号十五的，一个 p 点应该有无数个才对，对不对？你光靠这一个条件是确定不了 p 点位置的，我看看后面还有没有有关 p 的 一些条件哈。 他先说了 m、 n 分 别是 b、 c、 p、 c 的 中点，这是中点，这中点条件好像没啥用。往后看， p 点又来了，他说 p d 垂直于 d、 c， 这俩是垂直的。然后又说 p m 垂直于 md， p m 垂直 md， 那很显然，这俩垂直条件再加上一个 p a 是 根号十五这条件，那我觉得大概率，那 p 点是不是人家就可以确定了呀？但现在我面临的问题是，啥呢？这俩垂直条件咋用？ 这图形长得太难看了，咱先仔细来分析分析，两个垂直是在干嘛啊？首先呢，这个，呃，下底面有一个点， m 还没点呢，别着急， m 在 这，你中点，那就把整个四的边成分为了二和二，我先把底面研究明白了，你再去研究空间三维立体当中的这几个垂直条件啊。我发现 d c 是 一，你 c m 还是二，这还是多少？这还六十度？呵，好家伙，题目还帮我连好了，把 dm 连起来了，都不需要你自己去想这一比二的六十度三角形，这角啥角？是不是直角？ 所以我研究底面的时候，我发现题目当中隐藏了一个没告诉我的一个直角，这直角必然有用。那现在我再捋一遍题目当中这几个垂直条件啊。首先 他说 p d 垂直于 dc 这蓝色垂直于这个黄色。哎， dc 好 像挺熟的呀。我继续来看这个这个平面图形。 dc， 刚才我刚知道 人家跟 dm 也垂直，对不对啊？ dc 这黄的跟 dm 也垂直。好家伙，你这同一个黄线，题目中说既跟这个蓝的垂直，我刚才又发现跟这个蓝的也垂直，那这个黄线是不一定跟这俩蓝线所形成的蓝面是线面垂直的。线面垂直有啥用？ 它就跟这面上另外一条线 pm 是 不是也垂直了呀？所以我们经常会用到一个结论，就是说啥呢？在三维空间内，如果你一条线跟一个三角形的两条边都垂直，那它一定跟三角形第三边也垂直，因为它一定就是线面垂直的了。好，那我先把思路捋在这啊， dc， 呃，既跟 pd 垂直， dc 还跟 d m 垂直， 那它就线面垂直，它就跟第三条边 pm 也垂直。太厉害了。所以你发现没，我光由题目当中这一个垂直条件，我居然推出来了这么多， 所以大家也是一样，你别上来，因为题目当中垂直条件太多了，你就乱了，你慢慢一个一个推，不着急啊。我现在推完一个，我再往后看，他又给我了第二个，说 p m 跟 m d 垂直， m d 是 这个，他说这蓝的跟这个线又垂直了，哎，那我刚才刚推完的是谁啊？我刚推完 p m 跟 d c 垂直，你现在又告诉我 p m 跟 d m 垂直，你这同一个蓝线跟两条黄线都垂直，就跟黄线所形成的黄面就垂直了呗。 开心开心啊，我再写下来我怕一会忘了。由我推出来的，加上题目中给我的 pm， 题目说 pm 垂直于 mb， 哎，那我就能推得 pm 跟那两条线所形成的面，哎，这面是哪个面？那不就 a b c d 这个底面吗？ 我推到这出现线面垂直了。我先看第一问，他问我什么，他让我证明啊，你这个 ab 跟 pm 垂直不啊？ 呵，啊， pm 是 这条线，你 a b 是 底面上的一条线，你这一个蓝线都跟整个底面垂直了，那可不跟底面上任何一条线都垂直吗？啊？第一问，直接能推得出来？我不写过程了啊，我来看第二问，他问我了一个，哎呦，一个线面角了，他问我线面角，那我开始我就得看能不能间隙了呀。 我，间隙我要找哦，三个相互垂直的一条线，呃，那我怎么找？咱能以 a 点间隙不？你说啊，以 a b 间隙和 a d a b a d， 这不是直角，人家这是六十度对不对？你即便强行以 a 点间隙，呃，那你也得这样建在立体图形当中呢。呃，就是就是就是这样的， 然后再以 a 点支出去一个 z 轴，这是，这看起来太麻烦了对不对？咱想间隙得找垂直条件聚集的那个点。哪个点垂直条件最多呀？ 傻了，咱费尽千辛万苦都挣出来一个线面垂直了，我肯定以 p m 当 z 轴，这毋庸置疑，你选别的都不好做。 我这轴选完了，那我就在这个平面上啊，也就是以点 m 做俩垂直的 x 轴和 y 轴就行了，对不对？ 那你看立图形不好看，我看平面图形好看呀。啊，你过点 m 做俩垂直线，你说咋做？咱不能特随意的。你说啊，这，这做一个，然后这我再做一个垂直的。你，你这线啥线呢？不知道对不对？过点 m 垂直条件比较多的，哎，那我就选这个 dm 好 了，对不对？ 我把它当成一个轴，然后再以跟这个方向垂直的另外一个方向，哎，比如说以这个，这个是什么方向？这个是跟 ab 跟 dc 平行的方向呗。这我再做一个轴出来，这细咱就建好了， 我把它放在力读行当中，首先过点 m 做一个跟 ab 平行的线，然后再以 dm 为一个轴，那这里面谁是 x 轴，谁是 y 轴？要注意哦，咱见的是右手膝大拇指朝这，然后这么一扫的话，先扫到这是 x， 这个是 y 啊，这还不会的，你赶紧去看那个间隙的第一节课啊。 ok， 细减好了，那就简单了，那就变成，呃，一个求点坐标，然后把直线向量跟平面的法向量求出来，最后求一个角度的一个非常套路的问题了 来，那我把其中涉及的一些线呢，我先标出来啊，它涉及到了 a n， 所以 显然 a 点坐标， n 点坐标，我要先求出来。那你想求 n 的 话，因为 n 是 终点，我得先求一下点 p 跟点 c 是 吧？好，那来吧，我先求点 a 啊， 哈哈，这个好球，因为它在一个底面上，但大家别看错了，点 a 对 应的 x 轴的坐标啊，是这个点，它是多少？它是一个负值，这是一，这是二，那 dm 就是 根号三相应的下边跟它对称的就应该是负根号三，求着点坐标还挺恶心的啊。然后它对应 y 轴坐标在这里， 这又是几啊？这长度是一啊，相当于呢，这段长度，这段长度都是一。那我要想求整个 y 坐标的话，我把这一段求出来。这段啥呀？这三角形跟这三角形是不是全等的呀？ 一一二二刚好，三刚好三，对不对？所以 y 轴坐标应该是一加一等于二。没跟上的宝贝自己画个图好好看一看，全都是初中知识哈。我先把 a 点坐标写上，免得一会忘了 x y 零。 ok， 那 我该写 p 点了。哎， p 点这个几何体的这个高 pm 是 不是没给我，好生奇怪。哎，我还得先把这高算出来，这高怎么求呢？它给我的是这个绿色长度，这个这个 pa 是 根号十五。我如果想求这个高的话，那我们立体几何 d 接口就知道。我得是不是得连出来这个 am 来做一做呀？ 我把它放在这个绿色的直角三角形当中。为啥是直角啊，对不对？所以想求这个直角边。我先把 am 求出来。 am 在 哪啊？ 我又转化成平面图，将 am 在 这。想求 am 我 还是一样的呀，怎么求？我都放在平面直角坐标系里面了。你这刚才刚求完，是根号三长度哈，这个长度呢？是二，所以二根号三。 am 的 长度勾股定律应该是根号下四加三是根号七，对吧？ 当然有的宝贝呢，你也可以怎么做啊？你用上 ab 是 一， bm 是 二，然后这角度题目中给我的是一百二十度，我在这三角形当中两边都知道了，想求第三边，我列于弦定里，是不是 三边一角？这 a m 不 就也能求吗？是吧？啊，当然，你这个是稍微复杂了一点，咱细都建好了， a m 是 直接能求的，所以根号十五，根号七。那么 pm 的 长度，根号下十五减七就是根号八，根号八就是二倍。根号二， p 点坐标零零二为根号二。 ok， 我 还要求什么来着？我要求 n 对 吧？求 n 的 话，你 p 点要知道 c 点也得知道 c 点，我还没求呢。 c 点在 x 轴上的这个坐标应该是根号三。在 y 轴上这个坐标注意哦，指 y 的 负半轴是负一，根号三，负一零， 嘿嘿，那两点的中点，它加它除以二， y 加 y 除以二， z 加 z 除以二， n 点坐标二分之，根号三。 呃，负二分之一，呃，它俩现在除以二是根号二。哦，完，又一一啊，没地儿了，根号二写不下了。 ok， 那 a n 坐标都有了，那 a n 所形成的这个线段，这项量我用中点坐标减起点坐标 a， n 就是 它减它二分之三倍，等于三。负二分之一，减二是负二分之五，根号二减零是根号二。 ok， 马上就要大功告成了，我接下来再算一下这个 pdm 这个面的法向量，哪个面啊？ p d m 在 这呢，你 p 点在 z 轴上， m 点是圆点啊，你 d 还在 x 轴上，所以你这面相当于它就是 x o z x o z 这面对不对？ 你这面的发限量甭求了，这面发限量跟它垂直的不就 y 轴吗？所以我直接在 y 轴上找一个零一零就是发限量，不要太简单，所以两个限量都有了。我直接你甭管他问我什么，我先求一下这俩限量所形成的加角与弦值 啊，你问我别的我也不会求啊。公式默背一遍，分子是数量积，分母是俩魔长，等于 我开求 x 乘 x 加上 y 乘 y 加 z 乘 z。 哦，你这是俩零。所以呢，我最后乘完之后就应该就等于负二分之五，然后魔长再求一下哈， n 的 魔长， n 的 魔长显然就是一了是吧？我只需要求 a n 的 魔长。我列个大根号出来告诉一下，塌方，再塌方，再塌方， 四分之二十七加四分之二十五再加上二。哦，简单偷偷算一下，分母是四二七加二十五五十二再加上八，哦，四分之六十，四分之六十就是十五吧。哦，所以下面其实就是一个分母，是根号下十五二倍，根号十五再分之我。我先不化简啊，一会再化。 他问我什么？他问我的是线面角的正弦值。那如果大家知道我们之前讲过结论，你就直接写了所乘角我设为 r， f 值 sine， 而 f 九式线面角必然为正。我先加绝对值，然后第二步求线面角前后函数名是要变的， 他让我求塞我这里面，后面反而要写 cosine 是 cosine a， n 和 n 的 假角。然后我发现，哎，我刚才求的正好是 cosine a， n 和 n， 哦，那把这值，哎，刚才有个符号是吧，忘写了，加上个绝对值放进来就行了。化简完是正的，六分之根号下十五。 ok， 但是有的同学这个结论他不太熟练，怎么办呢？你就脑中想个图，或者你纸上画一画图也行。你看啊，这是一个面， 这是这个线，我要求的那个线面角是这个角，但是我刚才求的这假角是哪个角？这假角是，呃，这个线所形成的向量跟这个平面的法向量所形成的假角。 哎，所以理论上是哪个角呢？是这个角对不对啊？是这个角，那这个角呢？对顶角过来也就是它。所以你发现没，我最后要求的这个角跟我刚才刚刚求完的假角之间啊，应该正好是互余的是吧，相加等于九十度嘛。这我只是在这个草图里面分析哈。 所以两个互余的角，我想求 sine 二法，我反而利用诱导公式的话，应该求的是它的 cosine 值，所以 sine 二法等于 cosine， 它加绝对值保证是正的，没问题。 ok， 这是今天的第一道开胃小菜，大家觉得怎么样？难度其实还好，最难的点在于哪呢？在于它给我那垂直条件。有两个有点乱， 咱得先找到啊，那个 d c 跟 dm 垂直，这隐藏的垂直条件，然后一步一步去推，发现哦，你这个 pm 是 垂直于底面的一条线，咱就可以以 pm 为 c 轴，然后过点 m 做两垂直的，分别为 x 轴， y 轴就可以了，间隙有点难度。至于求这些点的坐标啊，稍微可能就墨迹一点对不对？但是呢，难度并不大， 所以接下来我们来看第二类题目不好求坐标的难题。那现在有个三棱柱，那很显然这不是直的，这斜的三棱柱哈，然后给了我一个面面垂直。又出现了今天第二道题了，面面垂直干嘛？我主动的去找跟交线垂直的线， 线线垂直，线面就垂直，线面一垂直线跟面上另外一条线，最后就线线垂直。啊，那我来看看标一标是哪两个面嘞？一个啥？ a a e c e c， 一个是 a b c 是 这个。嗯，那交线显然那就是 a c 了。我一会看看谁跟 a c 是 垂直的哈，咱继续往后先看一看， a b c 九十度爽，哎，给漏一个直角是吧？ b a c 是 三十度， b a c， 哎，这是三十度爽，相当于底面是一个三十、六十、九十的一比二，比根号三的三角形， 又过一些条件。哎呦，这三个棱长都相等谁呀？这是？ a a e， 哎，然后 a e c， 然后 a c。 好 家伙，你这啥玩意？你这不就是三角形的三条边吗？那这意味着他是一个等边三角形。等边三角形垂直小妙招又来了，出现等腰或者等边干嘛？ 三线合一。所以他下面说了， e f 啊，都是终点，他即便不给我终点，我也得自己点出来，然后连接 a e e， 这是我必干的一件事情， 因为有了它，咱线线就垂直了。哪条线呀？哈，你这个跟底面一直，底面是交线，底面一旦是交线，我不是找到根交线垂直线吗？ a e 就 跟底面整个线面垂直， a e 就 跟底面上任何一个线 a b b c a c 都垂直。所以后续我一定会用上这个线 面垂直的条件的，可能利用它进行一个间隙啊，也有可能利用它呢，去证明一些东西。比如说，第一问我看，他问我什么啊？我还没看嘞，他问我这个 e f 是 不是垂直于 bc 的， 谁呀？我再画个图，大家看着可能更清晰一点啊。 e f 是 这个， bc 是 这个。哎，这个线线垂不垂直？说实话，这斜着线我不太好看啊。那让我正线线垂直，没办法硬着头皮正啊。我先来看看这里面谁是垂直条件比较多的？肯定是 bc， 因为 bc 呢？在底面上， bc 跟谁垂直啊？首先题目人家给了一个垂直 bc 第一步，人家跟 ab 是 垂直的，这我想一会可能是不是要用得上啊？ 然后， bc 还跟谁垂直啊？刚讲的那 a e e 是 垂直于交线的线，那么 a e e 就 跟整个底面垂直，整个整个底面垂直，它就跟底面上任何一条线，包括 bc 是 垂直的。 嘿嘿。所以 b c 啊，还跟 a e e 这条线垂直，那其实那不就有了吗？怎么通过两条绿线的垂直条件过度到这个蓝线呢？ 小笨蛋，你底下这个 a e b 这个绿线是不是能平移到 a e b e 上去啊？那不同一条线吗？对不对？所以，哎，这一个粉线太厉害了，跟这个绿的垂直，跟这个绿的也垂直啊，跟这俩绿的都垂直，就跟绿的所形成的面垂直了。线面一垂直，他就跟面上任何一条线，包括 e f 不是垂直的。哎，全都是套路，你只要掌握了垂直小妙招，没有你不会做的垂直题目好了，那第一问，做完之后是不是该见细了？你甭管他问我，哎，是哪条线跟哪个面细 咋见？咱得先在这个底面上是不是找到某一个点它的垂直条件最多的地方。说实话，有两种方法，你可以一点见，以一点见的好处，这个 z 轴直接就是 e、 a 一 没问题，但是 x、 y 你 怎么选呀？ 底面是一个 a、 b、 c 的 直角，呃，三十六十、九十三角形，你意识中点，你咋在这平面上选 x 轴跟 y 轴呢？哎，你如果这个其中一条线贴着这个 a、 c 长度啊，你无论是 e a 也好，还是 e、 c 也好，其实都行啊。 比如说你贴着 e、 a 键，这是 x 轴，那 y 轴可不是跟 c、 b 垂直的， y 轴得跟 x 轴垂直，你得这样。键这么做不是不能做？可以啊啊，这个 z 轴是好算的，但是你那个 b 点坐标好像没有那么好表示啊，你得通过平面图形一点一点去推它在 x y 轴 y 轴上，这这个截距是多少？ 那我换一个思路，我是不是也可以以 b 点间隙啊，对不对啊？ b 点这不也有垂直吗？啊，一个 x 轴，一个 y 轴也是可以做的呀，两种方法的难度，哎，没有差太多啊。哎，那我看这个 b 比较舒服，我今天就以 b 间隙了 啊，以 b 点，那肯定是，这是一个轴，这是一个轴，那 z 轴？是啊， z 轴是过 b 点跟整个底面垂直的线。垂直的线？谁啊？其实应该是 a、 e， 对 不对？所以，那我怎么办呢？我就过 b 点，做一个跟 a、 e、 e 平行的一条线。 哦，两条线平行的，我已经建好了，这是 x， 这个是 y， 这是 c， 我 这么精细的好处在哪？在于这个点 a 啊，点 c 啊，都在坐标轴上，对不对？好，那今天我要讲个什么呢？他让我求这个线面角，我说得把 e、 f 这项量表出来，把这平面的法向量也表示出来啊， 那我一点一点来啊，首先 a 点， c 点坐标都好求，这题目里面没有给我任何的边长条件对不对？没关系啊，我也不设 a 了，我就设呢， bc 长度是一， ab 长度是根号三， ac 长度是二，好不好？设一法，所以 c 点坐标一零零， a 点坐标零，根号三零。 那注意，这 a 一 点我怎么求？他是由一点往上平移了这么长，是吧？啊？多长呢？整个长度，这个他是一个等边三角形，等边三角的边长，这是二是吧？啊，所以这个长度呢，就是一，他这个长度应该是根号三 往上平移。根号三这么长，好，那我就先找到一点，然后找到 a 一 点就可以了。一点好求啊，一点是 a， c 的 中点，他俩先加除以二，他俩先加除以二，他俩先加除以二。所以 a 一 点的横纵坐标应该分别是二分之一，他俩先加除以二，应该是二分之。根号三，纵坐标是由零往上平移。根号三这么长， a 一 点并不难求 啊， a 一 点有了，其实谁就有了呢。这面你看啊，这面是由 a、 e、 b、 c 构成的啊，你 b 点是圆点啊， c 有 了， a， e 也有了，所以理论上这面的法向量我是可以求的，这不用我再求一遍了吧。 所以整个问题我是能做出来还是不能做出来，我就看这个 e f， 哎，这个线段的向量我能不能求喽？ e f 在 这里。那对于某些同学来说，最终的问题变成什么了？变成，哎呦，你 e 点坐标，咱刚才其实是能求的 f 点坐标，你怎么求啊？ 这个点它太淘气了，它织出去了，这个点并不在任何的 x o z 或者 y o z 的 平面上，它织出去了，这 f 点作为一个终点，你想求的话， a 点已知，你一定得求织出去的那个 b 一 点， 能不能求？说实话，可以求，求点 f 的 方法非常非常多，今天我给大家介绍两种方法，大家自己来对比，你喜欢哪种方法？ 法一应求 f 点坐标，那我就求 b 一 呗，对不对？哎， b 一 怎么求？ b 咋定义？它是三棱柱的一个底面，对不对？那三棱柱上下是不是应该是全等 图形呢？我 a e b 的 这个方向跟 a b 的 方向理论上应该是大小相等的同一个方向，对吧？换句话说，我 b a 向量跟 b e a e 向量应该是同一个向量， 嘿嘿。哎，那我 b a 向量已经有了呀。 b a 向量，呃，那不就是零杠三零吗？那意味着，哎，我 b e a 一 的这个向量也是它。哎，那我还已经把 a 点坐标求出来了啊，刚才不是说了吗，是二分之一，二分之杠三杠三。 哎，也就是说，这项量的终点我已经知道了，你整个向量知道，你终点坐标也知道，那起点坐标其实也应该知道吧。啊，所以我硬求的话，那就这样求，我设 b 点是 x y， z， 我 不知道嘛，我就设终点坐标，我已知是二分之一二分之杠三杠三。 那末这个向量我用终点减起点，它应该是二分之一减 x， 二分之杠三减 y， 根号三减 z。 嘿，这坐标跟这个零根号三零应该是完完全全相等的坐标，所以二分之一 x 等于零， x 就是 二分之一，二分之杠三减 y 是 等于杠三，所以 y 呢，应该是负二分之杠三 杠三减 z 应该正好等于零，所以 z 呢，等于杠三，这里面 x y z 这坐标咱就有了哦， b 一 点坐标有了， a 一 点坐标也有了，那我继续中点坐标公式，点 f 坐标，是不是理论上可以求？ 没问题哈，你硬求 f 点坐标能算呢？但是今天我必须要给大家介绍另外一个思路。法二，哎呀，这 f 点织出来了，他太淘气了哎，但是我为啥要求 f 点坐标来着？我为了要求 e f 这项量的坐标对不对？ 他不是让我求线面角吗？那我可不要把终点起点这么一减，把这项量求出来吗？但是我们转而一想， 既然我们最终目标是要求 e f 这个线的这个向量，我求 f 点坐标只不过是中间的一步，我可不可以略过绕过求点 f 这一步，我直接把 e f 表示出来呢？可不可以？这就是我们今天的第二个方法，我不求 f， 我 直接一步到位，我直接把 e f 求出来， 那可不就没有刚才那么一大堆运算了吗？哈，那问题来了， e f， 你 打球向量第一节课，想由 e 点走到 f 点，可不一定是走这条直线，我也可以先由 e 点走到 a 一， 再由 a 一 走到 f， 对 不对？ 所以我们运用向量的向量的向量，它等于 e a 一 向量加上 a e f 向量，谁是 e a 一 啊？我知道啊， e a 一 不就是呃跟 z 轴垂直的往上平移根号三长度的这个向量吗？所以 e a 一 我是可以求的，就是零 零根号三。哎，我只要把 a e f 这个向量求出来， a e f 啥？ a e f 是 二分之一的 a e b e 我 先记下来，我怕忘了啊，二分之一 a e b e， 那 不终点吗？那 a e b e 又是谁？ a b， 你 在看着上面，看着你看着支出去了，但是我把它平移到下面来， a b， 我会求啊，它就是二分之一倍的 ab， 那 ab 是 多少来着啊？你 b a 是 零，根号三零，你 ab 就是 零，负根号三零呗。所以 ef 向量太好求了，零加上二分之一零，括号零加上二分之一倍的负，根号三。 继续这轴是根号三，加上二分之一倍的零，就是根号三。爽，下次再遇见某些点特别淘气支出去了，你一定非得求这点坐标吗？ 咱可以绕开点的坐标，直接求向量坐标，用向量的向量的向量的向量计算，咱把它放到一个新的路径上去，你选一个路径好求的是吧？这里面因为有个垂直，所以我就选 e a e f 这新路径了。 但有些题目啊，抛开这道题有可能绕得更远，比如说我想要一点走到 f 点，我可以绕着楞走，比如说我由一点先求 e a， 再求 a a 一， 最后再加上 a e f 也是可以的。所以今天给大家讲了两个方法，对吧？大家自己去看哪个方法适合自己 哦，那我 e f 求出来了，我这个面的发现量也有了，所以呢，线面角我今天可就不给大家再算一遍喽，我直接公布答案了，这道题的答案是五分之三，这是大家今天的小作业。 间隙法，也可以解决距离问题。首先来看第一个，这所有的距离问题，咱都有两种方法，一种大家背公式法，第二种方法大家用理解，在考试的时候线推公式也是可以的。那我今天重点给大家讲理解的方法。 首先第一个问题，如果人家问某一个向量在一条直线上投影是多少？啥是投影？就做垂直呗，这就是咱想要的投影向量。我记为 ag。 那 第一个问法，人家有可能问这投影长度是多少，那长度，长度，这是一个标量，是一个数。太好求了，你就把 ap 的 长度算一下，然后再乘以一个 cosine theta 不 就行了吗？ cosine theta 怎么求啊，太简单了。那不就线线角吗？ ap 向量表示一下，方向向量表示一下，求个夹角结束了。 所以写成 a p 向量的模长斜边长度，再乘以 cosine f 的 值，这是理解的方法啊。 那第二种问题，哎，他有可能问你，这投影向量你怎么表达？咱刚才不是已经把投影长度已经算出来了吗？就这么长。所以这项量呢，你就用这长度乘以 l 方向上的一个单位向量就可以了。 a p 乘以 cosine f 一个标量，再乘以一个矢量 u。 哦，当然这 cosine theta 呢？我都用向量来表示一下。我来得到一个最终公式，让大家记一下。 cosine theta 就是 这两条小向量的夹角，我能写成 a p 点乘 u， 再除以 a p 和 u 的 摩，哎， u 的 摩长是啥？ u 的 摩长，单位向量，哎， 长度当然就是一喽，所以我可以把 cosine 的 带进去，这 a p 和 a p 就 消没了。最终答案，它就是 a p 点乘单位向量再乘，这是数量积，数量积是一个数，我用这数最后再乘一个单位向量就行了。 这公式能记就记，不能记你就到时候现推也是可以的。哦，那我还忘了说了，有的同学连单位向量都不会求嘞，单位向量就指这直线方向上的长度为一的向量， 所以你可以在直线上任意选两个点，比如说我就随便选一个 a g， 咱用这向量除以这向量，长度有可能是三，有可能是二，你就把三除以三，二除以二，把 a g 除以 a g 的 长度，得到的这东西就是单位向量。 好，这是有关投影的问题啊。那接下来我们再来看一下点到面的距离跟点到直线的距离。这里面我只讲点到什么什么的距离， 什么直线到面的距离啊，或者说两面之间距离啊。那你其实都能转化到点到面的距离，因为直线上不就是由一个一个点构成的吗？面我也能在面上选任意的一个点来做，所以归根结底，人家只要出的不是特别特别偏的话，大家只要会求点到面跟点到线也就够了。 首先，点到面的距离用什么方法？等体积法？哈哈，开个玩笑，等体积法是几何法啊？咱现在是向量法，我们就要在这面上任意啊，你任意选一个点，选个点 a， 然后连接。那无论我怎么选，形成的三角形肯定是一个直角三角形， 因此点到面这距离其实就是这直角三角形的一条边的长度。因为 p 点我是已知的， a 点是我自己选的，两点的距离我是一定能算的，而且这直角三角形当中，这角我也会。这角是啥呀？这角是我的法向量跟 ap 的 夹角吧， 挺有意思，所以他理解这做的话，先把法向量跟 a p 的 夹角大家求出来。这夹角还是用内公式 cosine， 它等于 n 乘以 a p， 再除以它俩的模长啊。因为大家算的那个法向量不一定是单位向量啊，长度不一定是一，所以这里面这个 n 呢？我没有让它等于，我直接写的就是法向量的模长。 好啊，有了这假角了，那是绿色，就是粉色，乘以勾塞，对的， a p 长度乘以勾塞。那把刚才算完这东西带进来， a p， a p 又约掉了，最后得到一个新的公式， a p 点乘发现量，再除以发现量的摩乘 啊。当然，因为我这算的是距离，距离我必须得保证是正的，对吧？所以这数量基呢？因为我不确定我算完那个假角是正还是负，所以我在写公式的时候，这里面要加上绝对值，保证它横为正， ok， 最后点到直线的距离。那也一样，咱还是构造一个直角三角形出来。刚才是在面上随便选点，现在是在这条直线上随便选一点， 搞个点 a 出来。我想求的点到直线距离在这，咋求？我还是先求角度，这角度我会求，因为他是这方向向量跟直线的方向向量的 假角啊，所以步骤跟刚才类似。我先求假角，求完之后我再来看。我想求这直角边跟斜边的关系，它是一个对边跟斜边应该是 sine 值啊，我刚才求完的是 cosine 值，我得把它转换成 sine 值，咱 pp 撇是斜边 ap 再乘以 sine， 刚才算完这角度。 哦，那由 cosine 值咋求 cosine 值？咱把这 cosine 写成根号下 e 减 cosine 方，这 cosine 带进来就行了哦。当然，我最后还是给大家整理出来一个公式，万一大家记性比较好嘞，反正我是不太会记，每次我都限推 它是 ap 模长的平方，减去 ap 向量点乘直线 l 方向上的单位向量，整体数量积的平方，最后开根号。注意这公式。这 u 是 啥？不是随便的一个方向向量，是方向向量上的单位向量长度必须得是一这公式才能用，否则这公式你就用错了。 好了，费了老半天劲把大家这个教材上的这公式啊，简单给大家梳理了一遍，那大体无非就代公式呗。那这题我觉得不用给大家做了，这是大家今天的小作业，无论你目前基础是多少分，这题都得给我搞懂喽！动笔好好做一做。

hello， everybody， 我是 神奇小猪，欢迎各位来到二零二六最后时刻立体几何片今天这个视频分为六个部分，包括空间几何体、体积表面积的简单计算、平行垂直证明、套路、空间角的考法，以及立地几个间隙大题， 外接球、内接球，还有最后的一方，另几个考压轴的压轴小题传讲。其中第一、第五还有第六个部分，我们将更新大量新题中间三个部分，因为他的考法呢，比较套路化，题目和去年大差不差。那有奖励的宝贝，翻到七十三页，我们现在马上开始。 在正式讲表面积跟体积之前，咱先对几个小名词进行一下辨析。比如说考试中经常出现的这四个东西， 什么正四棱锥、正三棱锥，这正包含两层意思，首先它底面肯定得是正多边形，比如说正四棱锥就是正四边形。哈，啥是正四边形？就正方形呗。正三棱锥，那就正三边形，就是等边三角形的意思。 但还没完，它还有第二层意思，它的上顶点在底面的投影必然落在底面的中心上，整个图形它是一个对称的图形。你四楞锥，它四个侧楞长必然相等，那正三楞锥就三个侧楞长都相等。 那在所有的正三棱锥当中，有一个特别特殊的，我们单独起了个名字叫正四面体。他在正三棱锥的基础上，人家不仅测棱长是相等的，他每个棱长都相等，相当于说每个面都是等边三角形，这个叫正四面体。 那最后平行六面体，就是说每个面都是平行四边形的四棱柱，四个侧棱平行且相等，底面对应的棱长也是平行的。好了，那讲了这么多，咱正式来看看怎么求表面积跟体 积，求体积方法特别特别多，今天甚至还会讲到大家一些从前可能还没听过的一些技巧，那咱慢慢来。首先是书上的公式法， 遇见一些常见的空间几何体，大家特别熟悉的，那肯定用公式法呗。柱体体积底面积乘以高，锥体体积三分之一，底面积乘以高，那需要给大家强调的是，这台体的体积已经连续好几年都在考了。必须得记住， 如果上下底面的面积分别是 s 一 和 s 二，那体积是三分之一倍的， s 一 加 s 二，加根号加 s 一 乘 s 二，再乘以我的高。这公式无论是棱台还是圆台，其实都适用。只不过，那如果是圆台的话，那我求面积，那我肯定求上下底面的半径。 s 一 就是 pi r 一 方， s 二就是 pi r 二方啊。咱当然可以把 pi r 方带到这个公式里面，得到新公式，但说实话，没必要，咱记这一个也就够了。那仅针对台体的话，咱除了要掌握这个公式法之外吧。台体体积也可以用割补法来做。 台体怎么来的？我是把锥体这么一切切出来的，人家上下这俩底面必然是一个相似关系，所以咱可以用大棱锥的体积减去一个小棱锥的体积，那就是台体体积。 而且咱如果用割补法来做题的话，还有个隐藏结论，那就是相似，如果上下底边的边长，他这如果是一个几比几，比如说举个例子啊，如果是二比三，那我侧棱长的比小棱锥比大棱锥也是二比三， 甚至我高的比小棱锥的高，比上大棱锥的高，同样也是二比三。 哈，那边长比都二比三了，那你上下底面的面积比还是二比三？不哦，这可不是啊，面积比应该是啊，边长的平方是四比九。那这些都懂了。最后一个问题，小棱锥比大棱锥的体积比是多少嘞？ v 一 比 v 二，应该是二比三的立方。 那直接用公式法就能做的题。哎，我今天不给大家举例子了啊，咱先来看最后一种，几何体常考的这个球表面积四 pi 二立方。 咱们先做两道题，每每练习一下，选第一个。二零二四年新高考二卷，这是书上的例二，说正三棱，它的体积告诉我了，又告诉我极边长。那我赶紧这个画个图吧。正意味着我上下都应该画成的是，呃，等边三角形， 而且上下底面。哎，中心点连线应该正好跟两个面应该是垂直关系，或者你说它三个侧棱长相等的也可以。 a b 是 六， a 一， b 一 是二，所以上下底边的比例关系应该是一个一比三的，它某 a a 一 和面 a b c 所成的角的正弦值，这里是 a a 一， 这个是底面 那线面角的角度，我就过这个点做底面，这个垂线做出来。那他是谁呀？做完这垂线我姥姥也能知道这是高啊。所以我只需要在这个三角形里面去解这个角 r 发是多少就好了。 那赶紧用起来。体积公式，上下底面都是等边三角形。等边三角形公式，我们这个初中学的边长如果是 a 的 话，高是二分之根号三 a s 等于四分之根号三 a 方，所以上底面 s 一， 四分之根号三二的平方 下底面四分之根号三六的平方是九倍根号三，所以呢，体积是三分之一。 s 一 加 s， 二加根号 s 一 s， 它乘完应该是二十七吧， 这玩意乘以高应该是人的题目给我的三分之五十二，这三根杠三 h 一 求求完了一点都不困难，关键是，哎哎，你这个三角形里面这个高，你是求完了，那我要解它的话，你要么把这个斜边给我算出来是多少，你要么把这个边给我算出来是多少，是吧？ 下面这个边说实话会更好求一点。咱们把小眼睛放在上面，由上往下看他的俯视图，那就是上面一个三角形，下面一个三角形，是吧？下面三角形边长是六，上面三角形边长是二，我要求的这个边长度就是这个长度， 也也也跟这个长度，跟这长度都相等的。你整个是六十度，那这一点点就是三十度，我放大了看，我做个垂直下来，咱整个是六，中间是二，那两边平分完两边都是二，所以小三角形里一一比根号三比二了，是吧？这长度是它的基础上，除以根号三就是 二，除以根号三，然后这个长度再把它乘以二三分之四倍根号三，用上一点点平面几何的知识，对吧？所以它的呃正切值。好嘞，刚才算完这个数，比上这个数，正切值是一。完成任务。 接下来我们再来一道更好题，所以这球的半径是一， ok， 如何呢？说四棱锥的顶点是 o o o 什么 o 正好是球球心，对吧？所以这个四棱锥它并不是内接于这个球的，这球心是它的一个顶点，那其余四个顶点在球面上，你其余四个面，那是底面，底面你得，你得先是一个面，是不是？ 所以这个图我怎么画呢？我先不直接画四个顶点，我先把你个底面底面作为一个面，你面去切球，切出来的是不？肯定是个圆啊？ 你那四个顶点就在圆的边缘啊，随便一取四个点，就是它这个四个顶点。现在他问当该四棱锥体积最大的时候，它的高是多少？所谓的高，那不就是我上顶点到这个面的这个距离吗？ 所以你可以想象整个这道题目它的动点比较多。第一，你整个面它是可以上下平移的，这个距离它是在变啊，面整个在动。而且即便你面本身固定了你上面那四个点，它有四个动点，那我想让它的体积何时最大？那我先假定啊。比如说我这个面先不动， 我先讨论一下这个固定面上哪四个点能使得它这个底面积最大？这是小学数学学的结论吧。你固定圆上取四个点，求面积，想最大最大，那你取出来一定是对称的那个正方形， 这你猜，你也猜的出来吧。在考场上，所以做到这，那就简单多了。我现在不知道这个这个高是多少，我比如说设为 h， 那 我已知圆的半径，这是半径，题目说是一，那我构造直角三角形喽，连接这俩点，这正好是直角，对吧？那这俩点连完，我在这不好看，我在这好看呢，就是这个长度， 你赶紧算吧，我赶紧把这个体积表示出来，我用 h 来表示。那么呢，首先底下这个边应该是根号下它方减它方，根号下一减 h 方， 那么我想求，我想求底面边长啊，底面边长应该正好形成的是等腰直角三角形是这个的根号二倍， 那做一个锥底，体积三分之一底面积，底面积就是，呃，这，这是平方正方形吧。二倍的一减 h 方，再乘以我们这个 h 上面化简一下，是三分之二倍的 h 减 h 立方， 所以求一些导三分之二一减去三 h 方。导函数是一个开口向下的二次函数，但作为高的话，我只要呃大于零的部分，这个根我求一下，它等于零的话，应该 h 是 三分之杠三导函数先正在负，所以原函数肯定 先增再减，你要的那个最大的就在 h 区三分之刚好三处取得。选 c 结束，大家还 ok 吗？这就是高考难度，是吧？那最后花三十秒时间给大家证明一下，那为什么在这个圆当中，我四边形正方形的时候面积最大，特别好整？你想啊， 如果说你现在这个四边形是随意的一个四边形啊，特别随意，好，那你现在你咋求面积吧？你在一个圆上，我肯定要跟圆心联系起来， 所以我连连连，我把四连形分成一二三四四个三角形，每个三角形我都用哪个面积公式呢？对吧？那四个小边长是相等的小半径，对不对？那我最后你的曲值就跟我这个顶角是多少有关，比如我记为，呃，二发一，二发二，二发三，二发四，那咱这面积就是 二分之一，两边夹一角散，二发一，散二发二，散二发三，散二发四加起来，那我们知道，哎，你散是有取值范围，它有最大值，最大值它们，这这这都是一呗，是不是所以肯定小于等于四个一加在一起啊？那四倍的二分之一，二方二二方， 那想取到这个等号何时取呢？你散想等于一的话，你的角度应该正好是九十度，所以四个角度应该正好全是九十度，你还经过我这个圆心， 那你正好你得是正方形的时候，你对角线才既经过圆心四个角，还都是九十多个。 ok， 花了一点时间给大家证明了一下，我们目前两道题目都是利用公式， 公式求体积。那有的时候考试不那么考啊，人家考割补法，你得会割会补。举两道题目经典例子啊，弟弟在直角梯形 a、 b、 c、 d 中，这是四，然后呢？中位线 e、 f 等于二，然后沿中位线 e、 f 折起来了。 哦，一折，那折出来了一个。这什么东西啊？不知道什么东西，反正我只知道中微线长度是三。我这个不知名的东西，他的这个三个侧棱分别是二、三、四， 而且你想你每一个侧棱跟我这个底面，那这这，因为这直角肯定是垂直关系，是吧？因为你这直角，所以每一个都是线面垂直关系，那折到什么程度呢？他说 你折完 a、 e、 b 是 直角， ok， 这是直角。然后问我这个，呃，几何体的体积是多少？你明显你不知道它是什么情况下，我肯定，呃，只能用割补法来做，对吧？ 那问题是你怎么割，怎么补？咱参考答案给了大家两个方法，一个是割成两个图形，一个是补成一个大的。这，这是一个什么呀？这是一个三棱柱，是吧？ 那比如说第一个来说吧，下面是一个三棱柱，上面是什么？ d、 m、 n、 f、 c， 你 要把 d、 m、 n、 f 当成底面， c 当成上定点，你去用三分之一底面积乘以高啊，高就是 c 到这个整个面的一个距离。 哎，也就是谁啊？所谓的高就是你这个面的垂线，这个面呢，其实就是整个 d、 f、 e、 a， 这大面跟这个面垂直的线一下就看出来了，那不就 b e 嘛。因为 b e 这条粉线既跟首先 f e 是 垂直的，又跟 a e 是 垂直的，那它就跟整个面是垂直的，然后慢慢一起算，对吧？没有问题。 那我今天给大家讲第三个方法，因为这个图形实际上还是比较特殊的，你会发现他三个侧棱是二三四，哎呦，二三四是等差数列，对不对？这种题高考曾经还真考过，我可以换一个思考路径来各补法。 首先我给他画一个大大的三棱柱，我让他的侧棱的高度是六，然后我再让他去取二三四这个长度去二三 四，那，因为整个侧棱的这这个长度是六。那你取完二三四之后剩的是什么呀？西西剩的是四三二，所以相当于我把两个相同的部分我错位拼起来， 拼之前体积我不会算，我拼完整个还不会算吗？他的体积是算底面积，呃，这是二，这是二，这垂直的是二分之一，二乘二，高是六，所以体积为。呃，这是棱柱，是吧？那就是底面积再乘以高。 那我这球还是上下两个，我现在问你其中一个啊，平均分，那我要除以二，答案做出来了， ok， 这是一道割补法的题目。那接下来我们再讲一个割补法，现在给了我一个三棱锥，然后呢，有好多边长相等的，那我来看一看， a， b， b， c， c， a 啥玩意啊？那不就底面吗？底面是一个等边三角形，然后 p a 和 p b 还相等，那如果你发现有一个三棱锥，他俩相等，哎，他俩也相等的时候，像一个鳄鱼张开他的小嘴，这是上嘴，这是下嘴。 那么此时我们经常要连一种辅助线，把这个三棱锥一分为二，我们取公共边 b、 d 的 中点几为 g， 连接 a， g， c， g。 哎，那我因为呢，我这个绿的部分和它底面这个粉的部分，它都是等腰三角形，所以呢，我连这个中点，它们分别既是中线，三线合一，也是高，这不就都垂直的吗？那连它有啥好处？ 你发现我这鳄鱼小嘴模型里面左右是对称的，那我这个 a， g， c 这个面其实正好是它的对称面，我沿着中间，你如果这么一切的话，一左右两个图形完全对称的，所以遇见这种题目呢，我们这一切完利用上它的对称性。 那如果人家题目问你，它的体积是多少吧，你可别三分之一底面积乘乘以以 a 点为高，我要以蓝面对称面为底， g， d 和 b g 为它的高， 所以你可以用三分之一这个蓝色面积乘以这个高加这个高。那不就是 b、 d 的 长度吗？我们经常这么练辅助线，我讲清楚了吧， 那回过来，这两边是三，下边是二，问我体积，甭说了，点个中点，这是底面， a， b 是 高。那 a b 这个题目告诉我了，是二，所以我只要把这个蓝色它的面积求出来就好了。那这个三边长是多少呢？ a b 是 二，它一半，这是一。 那你这俩都是垂直的，所以我这俩三角形都是直角三角形，我列勾股定律就好了。三，一，这是二倍根号二，一二，这是根号三。 那题目说了给了我，呃，第三条边 p c 长度，哎呦，这也是根号三嘞，所以相当于这个三角形，它应该是一个等腰三角形，那我赶紧它俩两边一样的吧，所以它的面积实际上非常非常好，算根号三，根号三二倍，根号二取一半， 这是根号二，这就是一，所以整个的体积是三分之一，底面积是二分之一，它乘它再乘以整个，把它当成高，高是二。 答案如瓮中捉鳖，三分之二倍根号二。这是这个鳄鱼小嘴模型。当我们在空间几何，你明显发现，哎，左左右右是对称的时候，往往做辅助线，你就把这个对称面做出来。 ok， 那 我刚才这道题目呢，你会发现，哎，我们在求这个中间呐，它这个三角形面积的时候，我把三边呐都做出来了，然后呢发现正好是等腰的，它比较好做。那你如果说我现在出一个题目，我我我 p c 没给你说它是根号三，我给你个别的数，它不是等腰三角形，那这个时候 你在求这个面积的时候，你因为你要涉及到两边夹一角那个求角度，三边一角，你可能就要用到预先定力了，对不对？所以难题有可能这么给你出，比如这到二零二五年河南月考，这是大家今天的作业，那我跟大家先啊，一起给大家画个图吧，先带着大家分析分析答案，最后自己算。 又是三棱锥 p a、 b、 c， 他 先给了我两个垂直 p a 垂直于 a c， 然后 p b 垂直于 b c， 还告诉我 a b、 c 啊，底面是一个等边三角形， 停，哎，你到目前为止给你俩垂直，然后底面是等腰三角形，你能看到什么呀？哎，就这俩直角三角形啊，我去看他这俩侧面，他共用了一个边，是 p c 也相等，肯定也相等，你就直接用勾股定律就能算出来，对不对？ 所以这里面隐藏条件，这俩长度一样，你要是没看出来，你就完犊子了。那既然都一样了，发没发现鳄鱼小嘴模型啊，我赶紧取 a b 的 中点连起来呗。他最后问我这个 p a、 b、 c 的 体积呢？就是，哎，我这个三角形，这个面的面积三分之一，以它为底， a b 当高，结束了是不是？ 好，那么刚才那道题目里面，他刚才那题说直接给你 p c 这个长度是多少了？那这题他没给你，他给了什么条件呢？他说 p a、 b、 c 的 外接球表面积是十二派，外接表面积四派二方，相当于说我这个半径二，就是根号三，怎么用？你要找外接球，你要找这个外接球球心呐？ where is 外接球球心？能不能看出来？哎，你想啊，你外接球球心，你要到 p a、 b、 c 四个点的，这是这个长度是相等的， 那因为整个图形它具有对称性，你俩相等，你俩也相等，所以你外接球它一定存在在我们这个对称面上，你就在这个面上找就好了，找一个点，使得它到 pbc 三点距离相等即可。那 pbc 什么玩意？ pbc 是 直角三角形，你直角三角形 哪个点到我三个顶点距离相等啊？那不斜边中点，他等于他，等于他，对吧？所以你不用真的费老大劲找外界球，那个球心在哪？球心就在这， 所以相当于告诉你了哦，你这个半径是根号三，那我这个也是半径，所以 pc 长度二倍根号三。那是不是就变成我们刚才那道一模一样的题目了？这是二，这是一，所以在这个三角形里面用一次勾股定律，它是根号七。 在这三角形里面也用一次勾股定律一，二，它是根号三，所以想求中间这个面，它的面积。我三边都有了七，根号三，二倍根号三。呃，是一个非常普通，非常非常普通的三角形求面积。你先预先定义，把其中任何一个角找到，比如我就找它设为 r 法 扣三， r 法它方它方减它方十二加三再减七，除以二倍，得里面乘积十六，所以十二分之八，也就是三分之二。 你求完 cosine 了，那三个值就是根号，下一减去九分之四，就是三分之根号五。为啥求三值？因为你的三角形面积二分之一，邻边夹一角，你夹的是它的三个值，乘以三分之根号五，所以 s 等于根号五的情况下， 我的体积三分之一底面积，底面是根号五，再乘以高，这俩高加起来是二，这就是答案 很舒服的一个做法，对吧？好了，那么以上我们讲了，直接用公式求体积，哎，用歌谱法求体积。那么接下来我们来给大家介绍一下球体积当中的一些特殊方法。你光会什么歌谱，光会用公式，那没用啊，考到特殊方法，如果你还没学过的话，那考场上那直接就是一个懵逼状态。在这个部分，我们会讲到 大家都会的转换顶点，大家或许不会的比例放缩，以及大部分同学，我相信都没那么会的平行跟倍增的转化，那咱一个一个讲。首先来看转换顶点 啊，这是一个非常常见的套路了，仅限于三棱锥啊，那三棱锥一共就四个顶点，那你说我把谁当底谁当高啊？那题目中直接给你那个，人家把 c 当成顶点， a、 b、 d 当成底，一般来说都没有那么好看，因为这高说实话不好做， 但实际上因为这四个点它的地位是等价的，我把谁当上顶点，其实都是可以的。所以我转换顶点，我换一个我看着舒服的。比如说这个图当中的点 a， 那很有可能题目中会附加一个条件，或者你能正出来， a、 d 跟底面是垂直的，咱把它当上顶点，把这当底，把这当高，三分之一底面积乘高，咱就有可能能做了。给大家举个例子， 那咱转换顶点 a 试一试。现在有个正方体啊，在正方体当中，他说 e、 f 的 长度总是一个定值，这长度总固定，那就是这两点的距离保持不变，然后这两点一起动，一起往下动，在动的过程当中，他问我 三棱锥 b、 a、 e、 f 的 体积是不是定值？那他这么写的话，那肯定是把 b 当成上顶点了。我先画一画在哪？ 我发现真的搞笑，你把 b 当上顶点，把这当底面了啊，你过这个点做那个面的垂线好做吗？你疯了，他真的没那么好做。 但是我转而一想，我换一换呗，整个就一二三四四个顶点，那因为 e、 f 在 动，你如果觉得比较麻烦的话，那 b 又不能用，那我试试用 a 喽，把 a 当成上顶点，谁当底面？ b， e、 f 是 底面了？他问我这体积是不是定值，那我看呗。首先面积是定值不？ 这说实话，真是小学数学。呃，我把这中间这面我给大家截出来，大家看一看哈。这 d， b， b， e， d， e， 它是个矩形，然后在上面呢，它有一个保持长度不变的两个动点 e、 f， 然后人家又跟 b 连起来了。那你说这三角形在动的过程当中，它面积变了吗？底没变，高也没变，那面积就总是一个定值喽。 所以现在在面积固定的情况下，我来看这高固不固定啊？过 a 点做整个面的高。说实话，这面你看着小的时候不好看，但是这小面其实跟这大面是同一个面吧，虽然小面在动，但是大面动没动，大面人家没动，人总是这面 啊，你顶点没动，面也没动，那你点到面的距离，我不管你会不会求它动不动，这距离是不是定值固定？点到固定面必然是定值啊，随体积是三分之一，底面积乘以高，你 s、 h 都是固定的，那当然体积就一定是一个定值， 所以有的时候转换顶点能达到意想不到的效果。刚才你这么写不会求，那我换一种写法，以 a 为上定点咱就会求了。 接下来来看第二个结论，叫比例放缩。啥意思呢？现在有个好好的三棱锥， a， b， c、 d， 如果它的体积现在是 v 的 话，我现在呢？在其中任何一个棱长上，我如果截一个中点出来。 b e， 我 现在截出来一个面，我沿着面一切，哎，大家想象一下，这面一切完，上面是不是就剩一个小三棱锥了？现在我的问题是，这小三棱锥体积是多少？ 原本人家这棱好好是 ab， 现在你把这棱缩短成了原来的一半喽，大家注意，它的体积相应的就会变为原来的一半。 为什么？因为先上下两个小三棱锥，它共用了一个底，它的底面积肯定是相等的，那我只看它的高的比呗。那因为这个 b 一 它是中点，所以我给大家画个图， 这界面现在虽然是三角形，我把这界面给它扩大一下， 我在这画，这是这绿色的界面。 b 一 在这个界面上经过 b 一 是什么呢？经过 b 一 有一条线，而且上下这两线段， b 一 a 跟 b 一 b 是 相等的， b 一 是中点， 那我画成这样，大家总能看出来，这 a b 到这面的距离做出来这高，那应该必然是相等的了吧？因为整个两三角形，我放大喽， 对，顶角相等，又是直角，斜边，还一样，妥妥的全等三角形。人这两高肯定是一样的，所以上下两三棱锥，你底面积一样，高也一样，那可不就把整个的大 v 大 体积变成二分之一了吗？ 那大家别高兴太早，如果现在 b 一 不是重点，他现在变成一个三等分点了。现在我问大家，上面这小三棱锥体积变成原来多少？原来是整个的一个棱长，现在缩成原来三分之一，我的体积相应的也会缩成原来的三分之一。 为什么？跟刚才原理一模一样？只不过刚才咱正的是俩三角形全等，现在怎么样？ a 点 b 点到这面的距离。哎，我现在求的话，因为 b 点不是终点，它是一个三等分点，所以如果 b a 不 变的话，这 b b、 e 它就要延长为原来的两倍。 所以相对来讲，这斜边的比例由一比一现在变成了一比二。哦，那我在画图的时候，这斜边比也变成了一比二，这图形就不再是全等三角形，而变成相似图形了。斜边比是一比二，那我高的比当然也是一 比二。那高的比因为是一比二了，那我整个的体积比也是一份跟两份的区别，那总共是三份，那我问上面这个可不就是三分之一吗？ 那如果大家觉得乱，没关系，我直接给大家结论，你把结论记住，现在我是把一个好好的冷缩短了，那如果先把三个冷都缩短，第一个测冷，我缩短为原来的三分之一，第二个冷，呃，我缩短为原来的三分之二。第三条冷，我缩短为原来的五分之一。 那我新形成的上面这一小小个的小三楞锥，他的体积为一撇，就会变成原来整个大 v 的 三分之一乘三分之二乘五分之一， 越缩越小。这在小题当中就是一个必会结论了。大家别小看他考试，曾经真的考过二零二三年天津高考 啊，他说 p a、 b c， p m 是 三分之一， p c 三等分点啊。 p n 是 三分之二的 p b 啊，是靠近 b 的 三等分点。问，三等分 p a、 m、 n 这新的小的何止刚才 p a、 b c 大 的体积比用算不 大的体积，我是乘一的话，那我现在一条棱缩成了原来的三分之一，一条棱缩成了原来的三分之二，另外一条棱没变的情况下，那我的体积就缩成原来的三分之一，乘三分之二，再乘另外一条不变的一，这比例关系直接出现，那就是二比九。结束 考试出这题，说实话，知道这结论的同学那就乐开花了呀，那我需要说明的一点是，这比例放松的结论，只能在看这三棱锥的体积才能用，别的情况下是不能用的啊。 那有的宝贝想到了考试，人家万一给了我一个四棱锥，然后啊在这几比几的截来截去，我又该怎么办呀？ 我就简单说一下思路啊，大家得把这四棱锥一分为二，这一分完，把整个底面不就分成一个三角形，这不就变成前面一个三棱锥，然后再加上后面一个三棱锥，再把一个四棱锥看成两三棱锥之合，用各步法再结合比例放缩去做。 所以万一啊，今年考试人家不考二零二三年，这么简单的三棱锥变成四棱锥了，五棱锥了，他就把这么多棱锥一个一个结成小的三棱锥去做， ok 啊，那除了这两种特殊方法转化顶点以及比例放缩之外，还有其他几个我需要给大家解释清楚。这可好多年没考了啊啊，真的非常担心，万一人家今年考了个大冷门，考这些特殊的转化方法，大家可千万别不会 有时候吧，人家给我这个三棱锥，你无论用什么方法，什么割补法了，转化顶点了，怎么求？这体积都不好求，但是你发现整个题目他有个非常明显的线面平行，尤其是在大题里面，人家第一位让你证明线面平行的时候，然后第二位让你求个体积，那这种转化就非常有可能考了 a 点在这，你怎么算都不好算。但是我发现啊， a 点所在这条直线不是跟底面平行吗？平行意味着线面平行，我每一个点到底面的距离理应都是相等的才对吧。所以该怎么转化呀？ 我想大家都会了，我们利用这种平行的转化， a 点不是不好求吗？你把它平移到另外一个点上去，比如说到这 a 撇点，咱求这新的三棱锥，很有可能好求。 哎，那具体怎么求？有的宝贝还傻乎乎的啊，我用三分之一底面积再乘以高来求，要是这高都能求出来的话，我干嘛在 a 撇点，我还平移啥？我这在第一开始我就求了呀， 我之所以平移，一定是因为这高并不好求，所以接下来我转移到 a 撇点之后，一定要注意。还有操作，我们需要转换顶点， 很多情况下光平移没用，大家得在新的这三棱锥里面这四个顶点选出合适的上顶点跟合适的底面，极大概率并不是 a 撇点作为上顶点，很有可能是下面这三个点其中的一个啊。比如说，就拿 b 点来说，可能 b 点到它底面 a、 c、 d 这个距离， 这高更好求啊。当然，我现在只是画一个示意图，一会给大家具体讲例子。所以这种球体积的题给大家启示是，如果出现了非常明显的线面平行，而且原来那体积你还不好求，赶紧平移一下，平移到一个合适的位置上去，求新的三棱锥体积。 那具体这合适的位置是一个怎样的位置呢？怎么合适？题目中其实很明显，我给大家举个例子， 建一个四棱锥， p a b c d， 他 说 p a 啊，是一个旗杆，垂直于整个底面，而且底面呢，他还说了是个菱形，底面边长，呃，是四，然后这个角，这是哪个角？ a b c 四十五度这角。我把底面啊，干脆直接画一下吧，它太复杂了啊。 好，我画完了，然后 p a 这个高，他说啊，又是等于三的，哦，那就是三四五三角形呗。然后一点 f 点都中点。第一问，让我证明一个线面平行， a e 和 p c f 线面平行怎么整？咱一会会具体讲啊，咱有三个方法。嗯，那今天这道题就给大家举两个吧。比如说，第一个， 神奇的目光，神奇的小尺子，咱把这 a e 啊，往这个绿面上去拉，你看啊，拉我，平移，平移，平移，我看看平移的过程当中会不会出现某一个地方，使得这面上有个位置跟它长度大小一模一样。 好像啊啊，这个点好像是终点类，所以我连接一下，我来正一正，试一试。 p c 上，我取个终点来，我且变 m 连接一下。我为了说明这条线跟原来的这个 e a 啊，是不是平行，大小且相等，它能不能构成平行四边形，我得怎么办？咱得连接另外两条面，这 m e 和 a f 啊，咱只要证明出来这俩新的小线段，它俩是否平行且向的，那就能说明整个是不是平行四边形了。那这俩蓝的平行且相等不，我一看就看出来了，你看 m e 是 c、 d 的 中位线， 因为我这取的都是终点， af 呢， af 是 整个 ab 的 一半， ab 又跟 cd 相等，所以相当于 af 也是这 cd 的 平行且一半。那你自然这俩小的都是我这长的一半且平行的话，那它就是平行四边形。那我就在整个面上找到我想要的 一条线，使得跟原来那条线是平行的，那由线线平行，我就推得了。原来哦，线面是平行的，这是第一个方法 哦，当然我再给大家介绍第二个方法，有的宝贝找不到那平行四边形，没关系，这是这个面，这是这条线，这线线平行，你不会正，我们也可以用面面平行来正， 咱过这条蓝线做一个面。哎，怎么做呢？一会我们会给大家详细讲这道题，我就直接做了，我们过线上任何一个端点，做这面上某条线的平行线啊，比如说我过一点，哎，你说做一 二三这三条线哪条线的平行好做？显然是 p c 平行好做嘛，因为 e p c 我 直接做个中位线是就可以了呀，所以我这么一连 c d 的 中点，呃，起个名字，起个大家喜欢的 g 好 了，一二三三点就已经能形成一个面了。 那现在的问题是，这两面是否平行呢？面面是否平行，我得找两对相交的线线平行，我刚才已经做完了。这绿的跟绿的平行，那在底面上，大家看这 a g 黑的跟 fc 黑的平不平行啊？ 咱在底面上取的，这都是重点，所以这俩平不平行，你看这是不是平行四边形？当然是了，所以黑的黑的平行，绿的绿的平行，自然面面就平行面面。一旦平行面面上其中任何一条线，包括我要证这 a e， 就 跟另外这面是线面平行关系。第一问，两个方案我讲完了 啊，那重点其实今天是想讲第二问，我们来求一下 e p c， f 的 体积是这四个点。我先连接一下 这三棱锥，说实话，长得真不是特别的漂亮，因为它体内的一个锥体，而且每个面都挺斜的，是吧？你说你用用 f 点做这个面的高，还是又过 e 点做这个面的高，还是过 c 点做那个面的高？都没那么好做。 正当你焦头烂额的时候，你的小眼睛惊奇地发现，第一位让我挣到一个线面平行是 a e 这条线跟 p f c 这个面。哎，好玩， e p c f， 我 要挣三棱锥也是 e p c f， 那 我赶紧吧，我大概率可能会用得上 a e 跟这底面平行。呃，画在 l 图形里边，大家如果看不出来，那我给它拨出来画啊。比如说这 pcf， 我 先画出来，我随便画个三角形 pcf， 然后再画一个跟它平行的一条直线 a e。 人家问的，现在这三棱锥是 e pcf 问这个刚才咱也看到了，除了间隙的话，我觉得死活是不会啊。那即便是你间隙求点到面的距离，这计算量也不小呀。 所以赶紧吧，我把 e 这上帝点揪到另外一个点上去，我平行着，平行着，我揪到哪个点？你傻呀， a e 就 这俩端点，这线上没有任何其他点。那你说除了 e 不 能用之外，还能用谁？我当然只能用 a 喽， 我求 a p c f， 求这绿的。现在我在这立体图形上再给大家画一下， a、 p、 c、 f 一 点变 a 点，再不会可就天理难容啊。这里面有没有非常明显的谁是高谁是低？有没有线面垂直啊？人 p a 不是 竖起来的一个旗杆吗？这杆肯定跟底面是垂直关系， 所以我把 p a 当成高， f， a、 c 当成底，那高。题目中给我的是三，我只需要把底面积求一下，我在平面图形里求。所以做大题的过程当中，其实大家发现呢，就是不断地把立体图形化成平面图形， f、 a、 c 在 这 最简单的求面积二分之底乘高呗，这底是整个边长四的一半啊，是二，高。在哪高？我还没做嘞，做个高出来。咱利用上题目当中四十五度这个条件，这三角形应该是等腰直角三角形斜边是二倍根号二， 所以底面积是二分之一，底再乘高等于二倍根号二，这体积就是三分之一求完的底面积再乘以高。最后答案，二倍根号二，爽！ 咱这个平行转化就讲到这，接下来我们来看最后一种转化啊，非常偶尔啊，还是像刚才一样，这 a、 b、 c、 d 咋求体积都不会求，非常难。但你发现呢，这某一个顶点跟底面上某一个点哎，它形成了一条线， 而且 a 点是这线上，它是一个特殊点，比如说是个中点，我点个 p 出来，你发现 o、 a 等于 a、 p， 那 这个时候我也可以进行转化，这 a、 b、 c、 d 我 可以转化成 p、 b、 c、 d， 那 变化前后那体积有啥关系？有啥用啊？ p 到地面的距离，应该正好是 a 点到地面距离的两倍， 因为这是相似三角形一比二，这是中位线，当然就是一半，所以从相似的角度来着，这斜边比例，即便不是一比二，他是一比三，一比四，其实都能做，我都能找到这高。他的相似的比例关系， 相当于我把大的体积求出来之后，我乘个几分之几，就是这小的。那问题是，这大的我怎么求体积？ 咱在这种比例转化之后，和刚才一模一样，你一定还是没法求出来 p 点到底面的距离，因为如果这个你能求出来，那相当于 a 点，你其实也能求。正是因为 a 求不了，我才会利用比例转化。那接下来干嘛呀？一定要注意，咱经常进行转换顶点， 别再把 p 点当成上顶点了，很有可能你换个底面，其他点当顶点另外一个面当面的时候，这点当面的距离特别好求。 那接下来我们今天再举两道新题，帮大家把这几个新方法练练熟。二零二五年重庆模拟图 a， s， a， b， a， c 两两垂直。哦，那就像一个墙角一样，图 e、 f 分 别是中点， g 是 靠近 c 的。 呃，三等分点， ok， 问我一个空间几何体，这个 e、 f、 g 和 abc 构成的啊？下面这样一个图形的体积，那我肯定用各不反，用大的体积减去小的体积，大体积我会算三分之一，底面积乘以高底面积是二分之一。呃，三乘三，高还是三？ 然后我减去的那个部分，你会发现 a 减去这部分咋来的？它是三棱锥，它是由 b 点缩到 f 点， a 点缩到 e 点， c 点缩出来的，是吧？就如果说刚才算完的整个体积是大 v 的 话，那上面的一点点小三棱锥是多少呢？ 把 b 点缩了一半， e 点也缩了一半， g 点缩了，呃，缩了，相当于是现在是三分之二，是吧？所以上面这个部分，它是整个大体级的这么多倍，也就是六分之一。 那上面是六分之一倍，下面是多少？下面是六分之五一倍，所以只有六分之五乘以刚才算完的这一大坨，约一下乘以二分之九，单蹦出来四分之五。 读题，他说有一个平行六面体啊。平行六面体呢，意味着每个面都是平行四边形， p 是 线段 a、 e、 d 上的一点，哪一点呢？ a， p 是 二分之三倍的 p d， a， p 是 二分之三倍的 p， d。 什么乱七八糟的，哎，反正就是能确定一个 p 点位置。我要看他问我什么，他问这 b、 e、 a、 c、 p 这样的一个三棱锥的体积和整个平行六面体体积之比是多少？我先把这个三棱锥画出来， b、 e、 a、 c、 p 连起来。妈耶，这三棱锥每一个面都不在我的体的表面上，都是在内部的邪不愣登的一个玩意儿。那这玩意求体积太难求了，你要割不法你，你就割去吧。所以我一定，我一定得想一个别的办法来做一做啊。我来想一想， 这是一个平行六面体。平行六面体，每个面啊都是平行的，然后你再结合一下，他让你求的是一个比较恶心的一个体积问题。为什么恶心？因为点 p 的 位置很恶心。点 p， 点 p， 点 p， 点 p 位置，使得这个这个题目变得很难。那有没有可能把点 p 转移转移呢？ 点 p， 它在 a 一 d 上。小样，我发现啊，你这个粉色这条线跟你后面这个 b、 e、 c 是 不是线线平行？哎，那你一线线平行了，那我是不是我这个粉线就跟我这个绿线所在的面，这个 a、 b、 e、 c 线面平行，对不对？ 你既然是线面平行的，我点屁在这样运动的时候，那我这个直线上每一个点到我这个面的距离应该都是是不相等的呀，所以我赶紧把点屁上下移动，移动到哪？我肯定移动到端点好算的地方，你要么移动到 a 一 点， 那我我移动到 d 点上，大家好像看着更舒服一点。所以我真正需要算的是 b， a、 c 不 动，把屁移动到 d， 变成了这个三棱锥。 所以这道题答跟你呢屁点位置在哪嘛关系都没有。这三棱锥体积是三分之一，这个底面积乘以它的高，这底面比如说是 s， 好 了啊，三分之一 s， h， 我 平行六面体，底面积是我刚才算完这个三角面的两倍吧，它是二 s 底面积乘以高，高用的是同一个高，所以比例关系，三分之一比上二，一比六选 d， 结束 是不很简单。那么以上我们讲了球体积的各种方法，有的时候用公式，有的时候用各步法，有的时候用一些特殊方法，那么在此基础上能不能哎呀，再难一点？可以的，他有可能一道题目把球体积跟结面问题结合一下，我给大家举两个例子啊。第一个例子， 长方体， e 是 中点平面， a， b， e， e， 把整个长方体分成了两个部分，问体积较小的部分，体积之比又是体积之比的问题，但这道题难点在哪？ 他就是说，哎，你这个面把长方体哎分成两个部分，但是两个部分有没有给你划全呢？你发现这三角形这个结面啊， a、 b、 e 在 我整个长方体的表面上， e、 b、 e 也在长方体的这个上面这个底面上，但是 a、 e 是 我体内的一个变，说明你这个结面还能从 a、 e 这个体内继续延展出去啊。延展，延展成什么样呢？ 这就要涉及到结面的延展问题了，我们怎么做？说白了就是你把这个面你给我扩大。扩大结面两个方法，方法一，你过你已有的这个面上呢，某一点做另外一条边的平行线，哎，你一做平行线的话，这不就把一个三角面哎给扩大了吗？这是第一个方法。 第二个方法还是一个面啊，我直接把其中一条边延长出去不就得了吗？这就把小面变成大面了。 那这道题我们用哪个方法呢？两种方法其实都可以啊，有的同学喜欢延长法，那延长，那你就要选哪条边进行延长，你如果延长 a、 e 没用，因为你这条线跟我这个题啊，不，不会有别的新的交点了。延长 a、 b 呢，也没用，你跟我这个题啊，也没有新交点了，谁呢？你选 b、 e 延长的话 有用，因为你延长着，延长着，它在上底面上，是不是上面一底面你延长出去，我把 a 第一也延长出去，这两个边都在上底面上，它既不平行，那就一定是相交有交点了。那这个交点怎么回事呢？ 我们知道一是终点，所以这两个三角形初中数学是不是全等的呀？这两条边相等，那这条边还等于这条边，所以相当于我新研究这个点就是以第一为终点的这样的这样一个新点， 这两个线段也相等。所以我现在把 e 沿着 b 一 这条直线延长到 s 了，那我原来的小三角形变成大三角形了，我需要再连接 s， a 变成大面有啥用？这个大面跟我的体会有一个，看是不是有个新交点交出来，我记为 g。 好 了，那现在 a、 b、 e、 e、 g 四个也它所形成的四条边， a， g 在 题表面上，在题表面上，在表面上，也在表面上，这个才是真正对我们做题有帮助的真正的结面。那我一会要求一下这个体积了。好，这是延长线的这样的方法。那，那我做平行线能不能做呢？其实一样的， 你过这三个顶点当中的一个顶点，做另外一条边的平行线，那你就选吧，做哪个过哪个是吧。呃，你如果选 b 一 不好做，因为 a、 e 是 邪不愣登的，你做出去呢？不好做。过 a 点做这条边的平行线也不好做，因为你也是做出去的。过谁好做？过 e 点，做这条边的平行线？好做。 这边本质上就是呃，面的对角线，说白了也就是过一点做。呃，后面这个对角线，他他这平行关系嘛？做他的这样的一个对角线，那一是终点了，我在这里面也点一个终点是不就好了呀？点完这红线跟绿线就是平行，那两个是平行的，它就形成一个梯形，这一连接 三角形，面就变成梯形面，跟刚才是其实是一个面。那现在我们问题变成了。呃，那我我分成了两个图形是吧？一个体积较小的，一个体积较大的，那我求哪个？好？求的问题， who can tell me？ 你 可不用俩都求啊，你直接用大面减去其中一个，就另外一个，是吧？好，那我来画个图啊，这个几何体长啥样的？我把这个面当成截面一截。那截完的上面的部分，你看剩的是谁啊？以谁为变？首先， a、 b 肯定是一个变， a， a， e 是 边？呃， a， d， e 也是结下来的， d， e 也是结下来的，还有谁被结下来了？ d， e， g 也被结下来了。那我现在问你，这是一个什么图形？给大家五秒钟思考时间， 有宝贝要闹了。哎，这啥玩意啊，学过吗？来，大哥我重新给你画一下啊。 d， e， g， e， 这是一个小的直角三角形 a， a， e， b， 一个大的直角三角形。这俩直角三角形之间什么关系呢？它俩平行，这俩平行，这俩也平行，它其实是一个相似关系。相似关系你把对应点，然后连起来了，那是嘛玩意啊？那不就是一个棱台吗？ 这小的是它上底面，这大的是它的下底面，两面之间距离 a， e、 d 是 它的高，对不对？所以多简单呐，比如说这题没给你这个长方体三边长是多少？那最后你就随便设啊，最后肯定消掉了。我说它是 a， 这是 b， 这是 c， 所以 下底面面积二分之一。呃，这个 c 乘以 a 上底面面积，那每个边都是大的的一半的面积是四分之一倍，就是八分之一 a、 c， 所以 用公式，体积是三分之一。上底面，下底面加根号下，两者乘积是谁呀？二八十六看成四分之一 a， c 再乘以高，高是 b， 好 通分一下啊，里面这是谁？呃，这是八分之一加四加二，八分之七乘以三分之一，二是四分之七， 都整个大体级是 a 乘 b 乘 c， 你 这占了二十四分之七，那你剩余的那个部分占的应该是二十四分之二十四减七，二十四分之十七。那你问我他俩之比是多少？七比十七选 d。 你看这种题目，人第一开始损在哪啊？第一，看人家那个结面非常小，你就要先扩大喽，你真正找到了啊，这个大结面是什么，你才能知道我这上下俩体积啊，你才能看出是啥玩意，对吧？然后你再用公式法来求。好，那么以上咱们今天的第一部分内容就讲完了。

一口气讲完逆题集合结面问题，一共三大题型，从做解面的两种方式，到求解面面积和周长，带你完胜逆题集合压轴小题。 那么我们来看到第二道题型哈，求结面的周长在一个正方题当中嘞，咱们的 ab 是 等于四的，咱们的 e 呢，是为一个中点，也是二二的，而咱们的 f 呢，是一个四等分点靠近第一的哈，所以这里为一，这里为三的。那么此时我要过 a e、 f 去做一个结面，你们观察一下哈， a、 e、 f 中咱们的 a e 和 a f 它已经是结线了，结线就是说跟这个正方体表面所结的线段哈，那我们来看其他的几个结线到底在哪里嘞？哈，我们先来用一下平行线法哈， 我们先看我们要去找 a e 的 平行线，怎么找嘞，其实就是去看呃，在咱们的上平面怎么找到这个平行线哈，你会观察发现 这里是不是一个四比二的一个关系，对不对？那么我们如果说在这找到一个点哈，假设是咱们的 m 点，那么呢它也是满足一个四比二的关系，四比二就是二比一嘛，所以这如果 m 点我们取的是中点，那么他们俩绝对就是平行的， 但是这个平行咱们要怎么去证明呢？同学们其实也非常的好证明，你们知道为什么吗？因为我不妨哈，我在上面，这，我在左边这我再去取一个中点，假设说哈，我们取的是一个什么点呢？取的是一个 h 点， 那么我们去连接一个 c e、 h 的 哈，我们连接了 c、 e、 h 之后呢，你会发现咱们的这一个 f 和 m 肯定是咱们的 d e h 和 d e c e， 它的终点，对不对？所以说咱们的 f m， 它肯定是咱们这个三角形的中位线的，所以呢，它肯定是平行于它的。而咱们这一条为什么平行于这一条嘞？因为你看我连接起来，我连接起来之后，你就会发现我这一条边是等于这条边的， 而我这一条边是等于这条边的，它绝对是平行于这条，所以同理，这里肯定是平行于这里的， 就我们就会得到了第一个平行线哈，我们得到了平行线，然后呢，我们继续来看一下，我们接下来还可以怎么去找哈，因为右边还是没找出来的， 我们继续来找平行线，哎，这里有一个多少是不是三比四的？那我们来看，我们在这一个右侧可不可以找到一个三比四的比例哈，这里为二，那么我要找到三比四的话，假设这个高度为 x， 三比四，也就是说二 以上 x， 它应该要比等于三比四，所以算出来了 x 它是等于三分之八的哈，所以呢，在这的高度应该是为三分之八。我们再去取一个点，比方说 n 点的，那我我们再连接一下 e n， 它就是平行于咱们的 a f 这一条线的哈，那么它是怎么证明的嘞？其实跟刚才的证明方式是一样的哈，我在这取一个点时的这一条边为三，那么我在连接这一条边哈，那么此时嘞，我这一条边和这一条边是平行的，而我这一个四边形，它又是一个平行四边形， 所以此时嘞，我们就会得到这条边又是平行这条边的，所以你就会得到这条边平行于这条边的哈， 对，它是同样的证明的方式，所以呢，我们再去连接一下， ok， 我 们现在就会得到这个结面的五边形，我们来算一下周长哈。我们先来算一下，咱们的 a e 是 等于多少，是不是根号下四方加二方的，而咱们的 a f 嘞，是等于根号下，这里是四 三方加四方的。而咱们的一 n 呢，它是等于根号下二方加上三分之八的平方，而咱们 m n 呢，它是等于根号下这里，是啊，四减三分之八，也就是三分之四的 三分之四的平方，再加上一个，这里是二的二的平方的。我们再来看最后一个，咱们的 h m 呢，它是等于根号下一方加二方的，所以最后把它们加总在一块， 所以答案就出来了哈。我们再来看到第三个题型，就是求结面的面积，哎，已知一个正四棱柱，他指的是说我的上下底面都是正四边形，而且是一个直角柱，我并不是说我正四棱柱，我的高和我的长宽是相等的哈，你要理解。 然后呢，咱们的 b e 等于二， b e 等于二，哈，所以这是二的，而 b b 一 是等于四分之一乘过去等于八的哈， b b 一 是等于八的，也就是说这段为六，这一整段就是为八的。 然后此时呢，四倍 a b 等于三倍 a a 一 a a 一， a a 一 在这，它是为八的，那么三倍 a a 一 就是二十四的，那么 ab 就是 等于六的哈， ab 等于六， ok， 这是六的，那么底面是一个正方形，就是六六六的。 这时候我们继续来看，则该四棱柱过咱们的 a 一， a 一 在哪？在这，然后呢？ c 在 哪？在这？然后呢？过一这三个点，它的平面所截的了截面的面积， 那你来观察一下喽，我现在只要去做两组平行线就可以了，你看这组平行线是不是平行于后面这一个，我在这也相应的去取， 这是二，这是六，对不对？我就去取，所以说这一条和这一条它也是平行的，哎，这一条和这一条它也是平行的，所以我们直接就把这个结面给它取出来了，我们不妨看拿出来看一下哈， 它不一定是一个长方形，它可能是一个平行四边形哈，所以呢，我们先画出来看一下，则此时咱们的 e、 c 是 等于多少啊？它是不是等于根号下二方加六方就等于二倍根号十的？ ok， 然后呢，咱们的 a、 e、 f， 它也是一样的二倍根号十。然后我们再来看 a、 e， 它是等于多少？六六，也就是六倍根号二的六倍根号二的。 那么此时我们要怎么去算这个平面所截得的截面面角？那么我们肯定是说，呃，把它看成是两个一模一样的三角形去计算的，但关键是咱们的 a、 e、 c 怎么去计算嘞？ a、 e、 c， 你 会发现至这个长方体的体对角线， 那么体对角形怎么算呢？根号下长宽高的平方加在一块哈，也就是为这么多。然后呢，计算出来之后，它是等于二倍根号三十四的。 ok 了，那么接下来我是不是要先在一个三角形里面，我去用一下余弦定理啊，对不对？我就可以把这个角给它算出来。 所以说，由于弦定里咱们的 cos 也角 e， 它是等于六倍根号二的平方，加上二倍根号十的平方，再减去二倍根号三十四的平方，除上二乘六倍根号二，乘上二倍根号十的解得嘞，它是等于负十分之根号五的。 现在咱们的三也 e 也已经出来了，等于根号下一减这一坨的平方的有等于十分之根号九十五的。 最后呢，咱们的这个面积是不等于二倍这个小三角形 a、 e、 e、 c 的 面积，你入二倍二分之一，乘上六倍根号二，乘上二倍根号十，再乘上撒盐角一，也是十分之根号九十五的。 算出来结果非常简单，十二倍根号十九。所以只要你听完我这节课，掌握了做结面的两种方式，你就会发现，这些题你全部会做 视频的。最后我给大家准备了三份非常重磅的干货，分别是四十页的逆袭北大借题一百招，还有两万字，说你我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的评论区置顶蓝 色链接，就可以免费领取。数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见！

宝子们，圆是初中几何的重头戏，定理多，证明难，很多同学学着学着就晕了！ 今天一个视频，从最基础的垂径定理到圆密定理三兄弟，再到托勒密定理，带你一次搞定圆的八大定理证明！我们先来看圆周角定理， ab 是 圆 o 上的点角 a、 p、 b 是 圆周角，角 a、 o、 b 是 圆心角，它们对的是同一段弧 a、 b。 现在来证明，圆周角等于圆心角的一半， 连接 p、 o 并延长交源于点 d。 先看三角形 a、 o、 p、 o， a 等于 o， p 都等于半径，是等腰三角形，角 o， a、 p 等于角 o p a。 由三角形外角定里，角 a、 o、 d。 等于二倍的角 o p a。 同理看三角形 b， o p、 o、 b。 等于 o p。 角 b、 o、 d。 等于二倍的角 o p、 b。 所以角 a、 o、 b。 等于角 a、 o、 d。 加角 b、 o、 d。 等于二倍的角 o p a。 加二倍的角 o p、 b。 等于二倍的角 a、 p、 b。 因此角 a、 p、 b。 等于二分之一角 a、 o、 b。 圆周角等于同弧圆心角的一半 圆周角定里，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。关键方法是连接直径，利用三角形外角定理来证明。接下来看垂径定理， 在圆 o 中， a、 b 是 直径， c、 d 是 弦 a、 b。 垂直于 c d。 垂足是屁。求证， c p 等于 d p 弧 bc 等于弧 b d。 弧 a c 等于弧 a、 d。 连接 o c 和 o d， o， c 等于 o， d 都等于半径。 又因为 a、 b 垂直于 c、 d， 所以 角 o、 p、 c 等于角 o、 p、 d 都等于九十度， o、 p 是 公共边，所以直角三角形 o、 p、 c。 全等于直角三角形 o p、 d。 因此 c、 p 等于 d p。 直径平分了弦。又因为全等角 c、 o、 p 等于角 d、 o、 p， 所以 角 b、 o、 c 等于弧 bc 等于弧 b、 d。 同理，角 a、 o、 c 等于角 a、 o、 d。 弧 a、 c 等于弧 a、 d。 总结一下 垂径定理，通过构造三角形全等来证明，直径垂直于弦则平分弦，并且平分弦所对的两段弧。接下来看弦切角定理， a、 b 是 圆 o 的 弦 b、 p 是 圆 o 的 切线， b 是 切点， c 是 弧 a、 b 上的一点。求正弦切角 abp 等于圆周角 c 连接 b、 o 并延长交源于点 e 连接 a、 e。 由圆周角定里，角 e 和角 c 是 同弧 a、 b 所对的圆周角，所以角 e 等于角 c。 再看三角形 a、 b、 e。 因为 b、 e 是 直径，角 b、 a、 e 等于九十度，因此角 e 加角 a、 b、 e 等于九十度。角 e 和角 a、 b、 e 互余。 又因为 b、 p 是 切线， b、 p 垂直于直径 b、 e， 所以 角 a、 b、 p 加角 a、 b、 e 也等于九十度，因此角 a、 b、 p 等于角 e 也就等于角 c。 总结一下弦切角定里，弦与切线所成的弦，切角等于弦所夹弧上的圆周角。关键方法是连直径，利用同弧所对的圆周角相等直径所对圆周角为九十度，切线垂直半径。接下来看相交弦定里，这是圆密定律之一。 在圆 o 中， ab 是 一条弦， cd 是 另一条弦，与 ab 交于圆内一点 p 求证 pa 乘以 pb 等于 pc 乘以 pd 连接 a、 c 和 b、 d。 构造两个三角形， 角 a、 p、 c 和角 d、 p、 b 是 对顶角，所以相等角 a， 也就是角 c a、 b 和角 d， 也就是角 b、 d、 c 是 同弧 bc 上的圆周角，所以相等 两角对应，相等三角形 a、 p、 c。 相似于三角形 d、 p、 b 对 应边乘比例 pa 比 pd 等于 pc 比 pb 交叉相乘得到 pa 乘以 pb 等于 pc 乘以 pd。 总结一下，相交弦定理的核心方法是通过构造相似三角形来证明。 接下来看切割线定理也是圆密定理之一。在圆 o 中，从圆外一点 p 作切线， pc 切圆，于 c 作割线交源于 b 和 a。 求证 c p 的 平方等于 b p 乘以 a p 连接 a c 和 b c。 因为 pc 是 切线，由弦切角定里角 b、 c、 p 等于圆周角角 a。 弦切角定里的证明此处不再赘述。又因为角 p 是 公共角，所以三角形 a、 c、 p 相似于三角形 c， b、 p 对 应边乘比例 a， p 比 c， p 等于 c p 交叉相乘得到 c， p 的 平方等于 b， p 乘以 a p。 切割线定律的核心方法是利用弦切角构造相似三角形。接下来看割线定律，同样是圆密定律。在圆 o 中，弦 a、 b 与弦 c、 d 的 延长线交于圆外一点 p。 求证 p b 乘以 p a 等于 p， d 乘以 p c 连接 a、 d。 因为角 a 和角 c 是 同弧 b、 d 上的圆周角，所以角 a 等于角 c。 又因为角 p 是 公共角， 所以三角形 a、 p、 d 相似于三角形 c p、 b 对 应边乘比例 p a 比 p c 等于 p d 比 p b 交叉相乘得到 p b 乘以 p a 等于 p d 乘以 p c。 割线定律的核心方法是利用同弧圆周角构造相似三角形。接下来看最大章角模型， a、 b 是 角 m d n 的 边 d n 上的两个定点， p 是 边 d m 上的动点。什么时候角 a、 p、 b 最大呢？当三角形 ab、 p 的 外接圆与边 d、 m 相切于 p 时，角 a、 p、 b 最大。接下来我们证明一下做三角形 ab、 p 的 外接圆圆 o 撇。 设屁撇是边 d、 m 上异于屁的任意一点连接屁撇 a， 屁撇 b。 角 a、 p、 b 等于角 a、 c、 b。 因为它们是同弧上的圆周角，而角 a、 c、 b 大 于角 a、 p 撇 b。 因为角 a、 c、 b 是 三角形，避免 c、 b 的 外角，所以角 a、 p、 b 大 于角 a、 p 撇 b。 总结一下最大张角模型，当三角形 a、 b、 p 的 外接圆与 dm 相切于 p 时，角 a、 p、 b 最大，此时 d、 p 的 平方等于 d， a 乘以 d、 b。 接下来看托勒密定律。 在圆 o 中， a、 b、 c、 d 是 圆，内接凸四边形，连接对角线 a、 c 和 b、 d。 托勒密定律说的是 a、 c 乘以 b、 d 等于两组对边成积之合，等于 a、 b 乘以 c、 d 加上 a、 d 乘以 b、 c。 在 对角线 b、 d 上取一点 e， 使得角 b、 a、 e 等于角 c、 a、 d。 角 a、 b、 e 和角 a、 c、 d 是 同弧 a、 d 所对的圆周角，所以它们相等， 所以三角形 a、 b、 e 相似于三角形 a、 c、 d 对 应边乘比例 a、 b、 b、 a、 c 等于 b， e 比 c、 d 交叉相乘得到 a、 b 乘以 c、 d 等于 a、 c 乘以 b、 e。 再看另一组角 b、 a、 e 等于角 c、 a、 d。 两边分别加上公共的角 e、 a、 c 得到角 b、 a、 c 等于角 e、 a、 d。 角 a、 d、 e 和角 a、 c、 b 是 同弧 a、 b 所对的圆周角，所以它们相等。所以三角形 a、 e、 d 相似于三角形 a、 c、 b 对 应边乘比例 a、 d 比 a、 c 等于 d， e 比 bc 交叉相乘得到 a、 d 乘以 b、 c 等于 a、 c 乘以 d， e 把两个等式加起来，因为 e 在 b、 d 上， b、 e 加 d， e 就 等于 b、 d， 所以 a、 b 乘以 c， d 加上 a、 d 乘以 b， c 等于 a、 c 乘以 b、 d。 托勒密定律得证总结一下，托勒密定律通过在对角线上取辅助点构造两组相似三角形来证明园内接凸四边形的乘积等于两组对边乘积之合。如果四边形不是园内接的呢？ 整体证明思路跟前面大体是类似的。构造辅助点 e 使得角 b、 a、 e 等于角 c、 a、 d。 角 a、 b、 e 等于角 a、 c、 d。 同样可以证明三角形 a、 b、 e 相似于三角形 a、 c、 d 得到 a、 b 乘以 c， d 等于 a， c 乘以 b、 e。 同理，三角形 a、 e、 d 相似于三角形 a、 c、 d 得到 a、 d 乘以 b、 c 等于 d、 e， 但此时 e 不 在 b、 d 上， b、 e 加 d， e 大 于 b、 d， 所以 a、 b 乘以 c， d 加上 a， d 乘以 b， c 等于 a， c 乘以 b， e 加 d， e 大 于 a， c 乘以 b、 d。 这就是陀勒密不等式等号当且仅当 a、 b、 c、 d 共圆时成立。

hello， everybody， 我是 神奇小猪。欢迎各位来到二零二六最后时刻立体集合篇。那接下来我们来看今天的第二个部分，有关平行垂直的证明套路。 第一个证明平行，所有的平行证明就没有不是套路的。所有题目都能用以下三个方法来做，在要么整线线平行，要么线面，要么面面。 那第一个线线平行咋正啊？咱有两个思考思路，第一个思考思路，咱所有的线线就都用平面几何来做，同一个平面里面平行关系太有可能出现了，比如说什么 平行四边形了，这对边肯定平行吧，比如三角形里面的中位线了，这相似三角形也平行吧，或者根据平行的传递性，上面这俩平行，下面这俩平行，那一三两条线平不平行，当然也平行， 这些都是平面几何的范畴，那想证明两条线平行，我们还有一个立体几何的角度，比如说我们题目已知线面平行了，那如果我经过这条线，还有一个面出现的话，那两个面的交线一定跟原来这条线是线线平行的，这是立体几何的证明方法。 当然这其实并不是作为特别重点的内容人考试能考的，最关键的是如何证明线面平行和面面平行。线面有三个方法，要么找平四边形， 就所谓的神奇的目光，这线不是在这吗？有可能在这面上你能看到或者找到跟它长度大小方向一模一样的线，它俩能形成平行四边形，那我来证明它是不是平行的，是不是平行四边形。辅助线咋连？一定要连对应的两个端点， 咱百分之九十九都是通过证明另外两条线平行且相等，然后证明住啊，他是平行四边形，是平行四边形，所以线线就平行线，线一平行，线面就平行。 第二个方法，找中位线，中位线怎么找？咱们在面的外边以及线的外面找到一个点出来，这点究竟是谁在题目当中非常好看。这是第一步，先找到合适的点，然后把这点跟两个端点进行连接，连一下，再连一下 啊，这两条斜线，那肯定跟这面吧，都有交点，交出来一个，交出来两个，这俩交点一连完，必然是线线平行的， 线线一平行，线面就平行。那问题是我如何证明？哎，他俩一定平行嘞？我们往往就是用相似三角形，但有可能这俩点都是终点，或者都是一比三，一比三，反正左右的比例是一样的。通过相似来证明。 前两种方法，我们都是在这面上找到一条合适的线，通过线线平行来着。那最后一个方法，第三个大家也是要必须掌握的，叫找面面平行。有时候这面上你无论怎么找，那线特特特别特别难找，没法做，那你就做面。 刚才其实有一道题已经稍微的教大家了，想做面很简单，这不有俩端点吗？你在任何一个端点上做这面上某条线的平行线， 做完之后，织出来这一个点，他就跟原来的两个点形成三个点了，三个点就一定能确定一个面，那么接下来你只需要证明这两面他真的是平行的就可以了。咋正平行，面面向平行，我们的核心是找两对线线平行，一会会讲啊，先在这用一下， 这俩红的是我自己做出来的，他俩肯定平行，所以你只需要找另外一对，只需要说明这蓝的我新做出来这项一定跟面上另外一条蓝线，嘿嘿，他也平行就好喽。那么两对相交的线线平行，那面面就平行，面面也难平行，面上任何一条线，包含咱第一开始想挣的那条线，一定是平行 的。好了，那最后一个如何证明面面平行啊？刚才其实已经说过了哈，咱书上以及大家书写的时候，要要求你得证明出两对线面平行， 一对线面平行，绿的绿的平行，再来一对线面平行，这是大家必须要写的书写过程。但是 咱咋正线面平行啊？回归到一开始，你还是通过线线来正线面呀。所以虽然书写咱要写 l、 m 都跟底面平行，但你真正正的那个思路咋正？咱得找两对线线平行， 你先得线线平行了好，线面平行，一对有了好，第二对线线平行了好，那线面平行，两对线面平行，那么你就能够说明面面是的确平行的， 这就是整个证明平行的一些思路。那我们扭刀小试一下，来看一道二零二二年天津高考，咱只做第一问哈，他说有个直三棱柱，啥叫直侧棱？跟底面全是垂直关系呗。 然后 a、 c、 a、 b， 哦，这两垂直底面是一个直角三角形，然后 d、 e、 f 有 三个点，每一个都是它棱上的一个中点。最后让我证明一件事情，叫线面平行，部面就是这个绿色的面线 e、 f。 在 这儿线面平行正法太多了，咱讲了三个。 首先第一个神奇的眼睛，你看看能不能在这个面上找到某一条线跟这个 e、 f 这条线长度大小又完全相等呢？你如果眼神不好， 没关系，你考试的时候就拿着这个尺子，哎，把它去往那上去移移移，移动着移动着，你发现，哎，好像平行到这的时候，我能找到一个跟它大小方向完全相等一条线，但是这个点呢？我看着好像不是在一个棱上，是吧？换句话说，这个平行四边形好像对于大多数同学们来说，好像不太好找。 这个方法我讲，但是最后讲考试的时候也一样，一个方法不行，马上换一个。咱也可以去找中卫线或者相似三角形去，这是这条线，这是这个面。然后我们在线和面之外先找到一个点出来，再跟两个端点进行连接，构造三角形。 所以在这个图形里面，你那点怎么找呢？你不能找 e， f， 也不能找 a、 b、 c， 那 剩余的点要么是 a e， 要么是 d， 要么 b， e， 要么 c e， 你 看哪一个跟我这个端点？哎呦，好连接啊，这这这好连接，我看着好像不是很好连接，太斜了，太歪了，那你换一个呗， a 行不行？ a 一 跟 e， 哦，是好连接，然后跟这个绿面交点于 a， 那 a 一 跟 f 一 连接，我发现哎呦哎呦，跑出去了，好像太难看了，难看咱就不用，咱就再换，比如说这个 d 行不行？ d 和 f 点相连，交这个绿面于一点 c， 然后再让 d 跟这个 e 相连，交交，哦，交出去，交出去。不过没关系， d 和 e 都在底面上，我观察底面这个正方形即可。有的宝贝打开看不出来，我就在大点画，这是 d， 这个是 e， 我 俩重点一连，肯定跟我下面是是有交点吧，交点大约就在这个位置，我记为 e 点 g， 那 初中数学告诉我，形成的上下两个三角形应该是全等三角形 e 点，即使这条边的终点，其实也是 d g 的 终点。 那回到立体图形当中去，我把 c g 小 小的一连接，相当于我把整个原来的小的这个绿面延展成为了一个大绿面。咱新做出来这个 c、 g 一定跟 e、 f 是 平行线，你去正就好了。 为啥平行？ f 点是 c d 终点， e 是 d g 终点，那整个这就是一个三角形 c g d 的 中位线，这辅助线咱就找到了， 关键是在线和面之外选出来那个点，跟我两个端点进行连接。那你如果觉得这个方法也太吃操作了，咱还有别的方法，比如说我主动去找面面平行去， 咱想想能不能做出来。我去构造一个经过 e、 f 的 一个面，然后呢？面面一平行，那面上任何一条线都跟另外那个面平行。方法是沿着这个线的两个端点，分别做面上某条线的平行线，去试一下 过一点或者过 f 点做这个面上某条线的平行线。比如说我过一点做谁的平行线比较好呢？你这面上一共就一二三三条边，三条线，我肯定不能过一点做 bc 的 平行线，你这做出去，这这么做那疯了，不好做，我肯定选这两个直角边来做，对不对？比如说，呃， e 跟 a、 c 平行一下， 我就过这个 e 点啊，往这个面上去延伸呗。那我延伸的是长一点哦，还是短一点嘞？我发现我这条线跟这个 ca 一 好像可以有一个交点在这里，对不对？那因为我演的是平行线，所以在 ca 一 这个三角形里，这是终点，另外一个这个点必然也得是终点， 太妙了，它好就好在 f 点是 c、 d 终点， p 点是 ca 一 终点。我把两个终点一连接的话，我放大了给大家看。 在 a、 e、 d、 c 这个三角形里面， p、 f 就是 我 a、 e、 d 的 中位线， p f 就 跟整个棱 a、 e、 b、 e 平行，那 a、 e、 b、 e 又跟 a、 e、 b 是 平行线，那我爽了，这图我好好重新研究，这里面蕴含了一对平行线， 第二对平行线，两对线线平行，我就能推出来啊。这个绿的、黄的跟我整个这个大面两对线面平行，面面它就平行，一个面是 abc， 一个面是 p、 e、 f， 咱面面都平行的情况下，面上任何一条线，包括 e、 f 都跟另外的 a、 b、 c 线面平行。这就是咱第三个方法，找面面平行。 那现在我们回到第一个方法，咱还没讲呢，这平行四边形怎么去找？这点究竟在哪？首先我不管你眼睛神不神奇，我用脚后跟都能看出来，这端点肯定不在任何的一条棱上，它在哪？哎呦，我不太知道哎，但是我发现，哎，这两条线好像挺像的， 咱上下两个面不全等关系吗？你这点中点哎，那我在这个地方我也点个中点好不好？连接 c、 m， 我 连完之后大家再来看神奇小目光用起来放大一点， 把这条线，哎，沿着 e、 a 这个方向，沿着这个棱走啊，走走走走，哎，走，这看着好像像是 c、 m 中点，是不是？哦，那我就试一下呗。就我第二条辅助线，我点 c m 中点出来，因为 f 是 c d 中点， n 是 c m 中点，所以 n f 就是 m d 的 中位线。那我为了说明这个 n a e f 真的 像我想象的那样是平行四边形，我就用两个对边平行且相等来证。那我肯定不能先证 a n 跟 e f 平行，这，这是我要证的，我要选另外两个边。 n f 跟 a e 为何平行且相等？ n f 刚才说了是中位线，是跟 m d 平行的，且是 m d 的 一半。谁是 m d？ a a e 跟 m d 方向大小完全一致，底面不是一个正方形吗？它俩大小方向当然完全相等了。所以意味着我能推出 n f 是 a a e 的 一半，那 a e 的 一半究竟是谁？那不就是 a e 吗？完美。 n f 既跟 a e 平行，又跟 a e 完全相等，那整个图形就是平行四边形，就能推出我要的 e f 和整个绿面的 a n 是 线线平行的 线线都平行了，线面自然就平行。这是这个非常经典的老题，给大家一道题，讲了三个方法，有关平行，说实话全是套路。接下来咱们给大家总结一下有关垂直证明的简单套路。 说实话，垂直的证明方法他并没有那么多啊，每一个证明他都是比较固定的。比如说，咱如何证明线线垂直啊？我们一定是通过线面垂直来做线面只要垂直的，那几乎就这一个方法。 那第二个线面垂直怎么整？想正线面垂直，一定得在这面上找到两条相交的线，如果这一条竖直的线能做到跟这两条线全都垂直的话，那线面就垂直。 这是第一个正法，我通过两对相交的线线垂直，证明线面垂直。当然，我可以采用第二个，我用面面垂直来正。如果题目当中已经说了啊，人家这两面是垂直的，那我们经常做的一个辅助线，就是你要做这交线的垂线， 我这线一旦垂直于交线了，不用说，这线肯定跟另外那面都是垂直的。好了，那最后那面面怎么垂直啊？想证明面外垂直啊，几乎就一个正法，我通过线面来正， 如果你发现其中一个面经过了另外一个面的垂线了，我们在已知 l 垂直于 beta 的 情况下，那 alpha 因为经过了这 l， 那 面面就一定垂直了 啊。你看这思路是不是都挺简单的呀，没什么花样啊。那我先给大家牛刀小试一下，然后再教大家一些常用的解题技巧。 二零二三年北京，刚好他说 pa 等于 ab 等于 bc， 一 二三这三条线长度相等哦，然后 pc 还是根号三。好吧，我标一标好了，怎么个事嘞？人说了，这 pa 跟底面是垂直的，我还没往下看嘞，我就得知道，啥呀， 线面一垂直，那这条线跟底面上任何一条线， ab 呀， bc 呀， ac， 人都是垂直的，这条线给我肯定是要用的，所以这一个垂直我发现哦，直角三角形，根号三一，那你说 a， c 是 多少？那当然就是根号二喽。 哎，你这一旦是根号二，一比一比根号二，谁也是直角啊，在底面上这角 b， 它也是直角，那我先推到这，我看他问我什么，他问我 bc 跟 pa 垂直不垂直？谁呀？ 是这条线跟这个面，首先你得知道，哎，这是线面垂直，线面垂直，咱最常用的，那就是你看这线跟不跟这面上某两条相交线都垂直呢？首先 b、 c 我 已经找到一个了，它跟 a、 b 肯定是垂直的，这肯定没错，刚才刚整完，用勾股定律算出来的， 那 b、 c 还跟谁垂直？跟这斜线，那这垂直好像不太好证明，但是它跟 pa 是 垂直的，人家这 pa 跟底面上的谁都垂直，包括 bc， 所以 bc 太厉害了，跟一条线垂直，跟两条线垂直，那它就跟这两条线所形成的面是垂直关系，线面就垂直正反了。 那当然其实还不够啊，正是正完了。但是它有个推论，因为线面是垂直的，所以这条线 b、 c 也跟 p、 b 是 垂直，这角也是直角，当然我算也是可以算出来的，你看啊，这是直角，一比一，比根号二， 一根号二，根号三啊，那因为他符合勾股定律，所以我也通过算也能算出来，他是九十度。这三楞锥太厉害了，你会发现他一共就一二三四有四个面，每个面都是直角，一个直角，两个直角，三个直角， 四个直角。这图形在中国古代特别有名啊，他叫别闹，四个面都是直角三角形的三楞锥，他的垂直信息特别特别多。 好了，第一题比较简单，我们再来看一道题，二点二二年全国乙卷各有第一个垂直角，见 a、 d， c、 d 垂直啊，这俩垂直，那直角三角形呗，哦，不，一般，他还告诉他俩相等，那就等腰直角三角形喽，挺有意思哈。然后 a、 d b 跟 b d c， 这是 a d b d， c 是 那个角。 宝贝，我看到这，你说这这这是怎么回事啊？我给大家重新画一下这个图啊，这个 d、 a、 d、 c 是 相等的，然后这样你中间又张开了一个角度，这角度也相等，那你说整个图形，那不就是左右对称的吗？ 这 c、 b 跟 ab 肯定是相等的。那关键是，哎，咱怎么具体证明呢？其实也很好证，左右俩侧面，第一个侧面 d、 a、 b 跟第二个侧面 d、 c、 b。 人家是全等三角形，因为这两三角形共用了一个边，夹角还相等，另外一条边也相等，那不就 s a、 s， 第二个也是 s， a、 s 两边夹一角，全都相等，肯定全等，因为全等了，所以 c、 b 等于 ab， 所以总而言之，这题其实还是在考我们第一开始给大家讲的那个对称，这俩相等，这俩也相等。那我看人家题目问我什么说点 e 呢？是 a、 c 的 终点，终点出来，那你说这这这这啥面啊？这是不是就是一个对称面，是一整个图形的垂面啊？他让我证明的是 b、 e、 d 跟 a、 c、 d 是 否面面垂直？面面垂直，讲了几个方法，就一个方法，你要找到其中一个面的垂线。对称面咱都找到了，今天做了好几回这样的题了，这对称面跟谁垂直啊？肯定跟左右对称的， a、 c 是 垂直的喽。 为啥这线面垂直？因为第一在这个等腰三角形当中，因为人家说了 e 是 终点，所以三线合一，它俩垂直。 那刚才证明完了，下面这也是等腰三角形，又是一个中线，又是一个三线合一，粉的跟这个蓝的 也垂直，最同样的一条粉线，跟这面上两条蓝线都垂直，那就跟整个面是垂直关系，线面一垂直，那经过这条线的另外一个面，那当之无愧就是面面垂直的。结束 二零零七年的高考题。又是天津题，天津有的题出的真的太好了，我很喜欢。现在有个四棱锥， p a、 b， c， d p a 垂直底面啊，就整个地面上立了一根棍，这根棍呢，肯定因为线面平行的。呸呸呸呸，线面垂直的是吧， 那我这根小绿线就一定跟底面的任何一条线，包括你看这个 a、 c 都应该是垂直关系， 这后续肯定会拥上，然后发现这底面是个四边形。那怎么样？四边形我得一会好好画一画。我看题目给我什么条件？首先 a、 b 跟 a、 d 垂直哦，这是一个直角，先画出来，底面复杂，一定要画平面图， a、 c、 c、 d， 哎，这俩也垂直哦，角 c 是 那个直角， 然后 a、 b、 c， 角 b 是 六十度。最后一个条件， p a a b c 这条线等于这条线等于这条线，那对于我底面来说，这个 a、 b、 b、 c 就是 一个等腰三角形哎，你既等腰还有六十度，它就是一个等边三角形，一等边啊，这就是六十。那我角 a 还是一个直角的情况下，这就是三十度。 搞懂了，原来底面是一个三十、六十、九十三角形加上一个等边三角形拼起来的。然后意识终点第一问，让我证明 c、 d 是 否垂直于 a、 e。 正的，显然是一个线线垂直，那直接正我肯定正不了。想正线线垂直，我先找线面垂直去。那我选这 a、 e 和 c、 d 哪条线跟哪个面垂直呢？ 咱意识棱的一个终点，这条线斜不楞登的啊，你看着不好看，但是 c、 d 相对来说更特殊一点，它的垂直条件比较多，你看 c、 d 在 底面上，它肯定跟 ac 这垂直的。 然后底面上又怎么样？刚才说了，你在底面上立了一根棍，这根棍因为线面垂直，跟底面上任何一条线，包括 c、 d、 j 也是垂直的。哇塞， c、 d 太厉害了，既跟这个粉线垂直，又跟这个粉线垂直，那就跟两条粉线所形成的面线面 垂直，线面都垂直了，那跟面上任何一条线，包括 a、 e 也垂直，正 b。 来，把整个过程给大家写一下。这个正垂直的时候，经常有同学蜡步骤哈，我先说明一下，那 cd pa 为何垂直？因为题目说蜡 pa 跟整个底面垂直，那我 cd 呢？又在面上，那自然第一对线线垂直，有了 cd 垂直于 p a， 那 第二对线段垂直 c d 和 a c， 这其实是题目当中的条件吧？这垂直题目中白给我的呀。所以这些写又因为 c、 d 还垂直于 a c， 那 理论上来说啊，两对线线都垂直了，那线面一定就垂直。但是 一错点来了，咱得对 j p a、 a、 c 两条线进行限定。它啥玩意儿它？人家首先是相交直线，两条线相交于点 a， 而且两条线都在我要正的那个面儿上，这一二三四四个条线才能推出来一个线面垂直。 ok， 那 线面都垂直了，那理应线线垂直了吧？写上对不对？又错了，咱每次由面推线或者反过来由线推面的过程当中，你永远要说要限定住那个线，跟那面啥关系？ a、 e 在 这个面上不写是不行的呀。 第一问做完了来看第二问，让我证明 p d 和 a b、 e 线面垂直不？这一题出的太棒了，正线面垂直，我肯定要在这个面上找任何的两条相交线都跟这条线垂直。那具体我 a e a b b 选哪个线跟 p d 垂直呢？肯定，呃，选好选的还是一样？ a e 跟 b e 都是斜着的，内部的线不好看，选 a b 多好啊， a b 是 在底面上的，观察一下它在底面上怎么事儿 哦？ a b 首先跟 a d 哦，这是垂直的，而且 a b 作为底面上的线，跟这根棍 p a 也是垂直的，所以 a b 太厉害了，它跟 a d 垂直。呃，跟 a p 垂直，就跟这两条线所形成的面垂直。你一个面一垂直，当然跟面上的任何一条线，包括 p d 线线垂直。 我找到了第一个我想要的条件， a b p d 线线垂直，接下来只需要找第二个，这个小绿面上你 a b 用完了，那你接下来用的无非就是 a e 或者 b e 跟这个小黄线垂直。选谁？ 肯定哪的条件丰富，我选哪两条线，无论是哪个，肯定是有一个点， e 是 跑不掉的，无非你就是选 a 特殊一点，还是选 b 特殊一点，你说谁特殊啊？肯定 a 集结的线更多，垂直条件更多更丰富啊。所以你得用脑子，不能碰运气。 我现在证 a e 跟 pd， 为什么垂直？哈，那又来了，你想证明线线垂直，你还是得先证是不是找线面垂直呃，去挣啊，思路永远是这个思路， 来吧，找吧。哪个面啊？经过 a e 或者说 a e 跟谁啊？是垂直的呢？ a e 跟谁垂直？ a e 跟 c d 垂直？第一，问问我的，那我是不是得先用上啊？ 好嘞， a e、 c、 d 已经是垂直，已经是确定的了，那我为了最后说明这两条线也垂直的话，那我只能逼得自己只能去找这个面线面垂直即可，对不对？ 或者你逆向思维也一样，绿的粉的已经垂直了，你要正的，绿的和黄的，不管你会不会正，反正人家是一定是一定是能正的，这垂直关系一定是成立的。所以你绿的既跟黄的垂直，也跟粉的垂直，就跟这两条线所形成的面一定是垂直的，那怎么正呢？你找这面上第三条线 a c 垂直即可呀。 最后一点点小弯弯，绿的灰的为啥垂直？ e 是 中点， p a c 是 不直角三角形啊？因为 p a 跟底面上任何一条线都垂直嘛，直角三角形，你 e 还是中点，那你这如果想垂直的话，那一定三线合一。想三线合一，那我 p a 跟 a c 就 得相等。题目中有没有说 p a、 a c 相等， 它说的是 p a a b b c 相等啊？呃， p a a b 啊， a b a c 等腰三角形哈。而真相等，这三条线每一个线段长度都一样，所以真的 p a 等于 a c 在 等腰三角形里面， a e 是 中线，也是垂直的，那我 a e 就 垂直于 p c。 那又有题目中第一问， a e 垂直于 c d？ 我 只写大致思路了啊， a e 是 交替花跟 c d 垂直啊，也跟 bc 垂直，就跟整个面线面垂直，那因为我 p d 还在这个面上，那我线线又垂直。 最后一步啊， p d 也是交替花了。我找到两条线， a e， a b 这两条小绿线都跟这个黄的 p d 垂直，那黄线就跟绿线所形成的绿面线面垂直，正 b， 重点给大家串一下思路，如果基础不太好的玩，想纠结一下过程，我把过程也贴在这，大家课后可以自己来看一下。 ok， 这么一道高考题，讲了两个垂直，一个是线线垂直，一个是线面垂直，再把这个垂直证明套路简单的给大家串了一遍。但是啊，大家需要注意， 咱刚才举的题目是不是没连辅助线呢？单纯的就是线和线呢？去找关系去，那高考题经常需要咱连辅助线对不对？有关垂直的辅助线怎么连？或者说白了，我们常用的什么线线线垂直，这个垂直关系去哪找？ 想知道这些，我们就要用上一些垂直小妙招，专门用来解决。哎，有的时候你不会连辅助线，垂直关系你找不到的情况仔细听， 有些垂直关系是不会在题目当中体现的，大家需要结合图形去把那垂直条件给他揪出来才能做。 那今天给大家讲的垂直小妙招就是帮助大家找线线垂直的，有的时候出现一些东西，比如说什么出现啊，等腰三角形了，出现面面垂直了，你都不用想，你都知道那辅助线怎么连， 比如说等腰三角形咋连辅助线哪有垂直啊？三线合一垂直出现了，这是大家要做的 辅助线。你就像刚才那道题啊，咱知道 d a 跟 d c 相等，等腰三角形了，那你看题目当中是不是已经帮我连好了 d e 是 三线合一的哦，然后下面你又判断完了， cb 跟 ab 底下也是个等腰三角形，然后怎么样了，他又帮你这三线合一 练好了。这题是已经帮我练好的，你不需要练，但是以后或者高考当中有可能出现倒数三角形，这高这三线合一是需要大家自己来做的，辅助线做完一般来说题目就会做了。 那再来出现菱形怎么办啊？哪有垂直？那这就是垂直呗。我连接对角线，这是一个隐含的垂直条件啊，当然光讲这个还不够啊。还有一类菱形是考试当中经常考的，比如说他给你其中一个角是六十度的菱形， 哪有垂直角线？当然我知道哎，对角线连完的确是垂直的，但是还有你想，因为它是六十度菱形，所以如果我这中间一割的话，这俩相等还六十度，它其实就是一个等边三角形吧。 等边三角形哎，等边三角啥东西？它是一个特殊的等腰三角形嘞。最后的时候，我们需要主动的找某个边的一个中点，中点 g 找出来有啥用 啊？你看这没用吗？我 c g 连一下在这个等边三角形里面，在这个特殊的等腰三角形里面，它俩相等，那我这中点一连完，这中线同时也是垂线，这两条线是垂直的，很多题目会用的到。 这是第二个垂直小妙招。第三个，一旦出现面面垂直，你不用想肯定只有一个考法，那就是题目中会出现或者你需要主动做这交线的垂线， 有时候这交线的垂线说实话是题目当中直接给我的，有时候是真需要大家自己做的。如果这小 m 在 r 发平面上，而且跟交线垂直的话，那咱就有线面垂直了吧。 所以做完交线垂线之后，你一定得到 m 垂直于贝塔。完了没？还没完，这套路没结束， 给我线面垂直一点用都没有。大家一定通过线面垂直，推的是 j m 和贝塔，那平面上某条线是垂直的，最终推到线线垂直，这条线才算用的完整， 用的到底，这全是套路。有同学，哎，你光知道面面垂直了啊，然后你光做垂线，然后干嘛？然后你要证明线线是垂直的，你要找到那条关键的线，一定需要自己找， 有了线线垂直了，咱才能往后正。其他的垂直条件。好了，这是前三个小妙招。当然还有最后一个， 如果出现一些底面，而且底面那图形吧，特别特别复杂，那我需要单独的把底面画出来，然后研究这底面有没有一些特殊的垂直条件。我给大家多举几个例子啊。首先第一个，如果出现一个等腰梯形，而且边长比是一比一比 一比二的，这特长考，这里面哪有垂直，大家能不能找得到啊？注意，我要连接对角线，这 d b 跟 bc 是 垂直关系，它是三十六十九十度的三角形，为什么特别好找啊？你看我取一个 d c 上的一个中点，呃，还是起个 g 好 了，连接 b g， 因为刚才咱说了啊，整个呢，这是二，所以我取中点的话， d g， g c 它都是一。哎，那这个四边形是啥？四边形啊啊，它对应的两边，这两平行且相等吧，所以它一定是平行四边形，它一定是平行四边形之后，那这是一相应的。我 b g 是 不是也是一？ 那这么多一有啥用？ b g， 首先它是这个三角形的一个中线，这中线好像正好等于斜边的一半嘞，相当于 b 点在哪？ b 点是以 g 为圆心的 g c g b g d 的 一个圆上，这半径不就是一吗？它是在圆上的。所以嘞 啊，中线等于底边一半的，这必然是直角三角形。当然大家用最笨的角度方法来来正也是可以的。这六十，这六十，这一百二啊，那一百二的等腰三角形，那就是三十三十，所以三十加六十等于九十也行。 但无论正法是什么，你得知道这是垂直的，你别不知道。那接下来我们来看第二个图形，如果现在给了我一个直角梯形，边长比是一比一比二的话，哪有垂直？能看见不，我看见了，在这嘞， b d 跟 bc 肯定垂直。为啥？因为这一比一比斜边应该是根号二，这俩都是四十五度，所以内错角的话，这四十五，这个也是四十五。这整个图形其实就是由两个等腰直角三角形拼起来的，这已经是一个了。那为啥说这个也是呢？很简单，我做过垂直， 这边是个正方形啊，上面是一，下边也是一，那一加一等于二，那说明这个点不仅是垂直点，还是中线，三线合一，那自然俩角全都是四十五度，那这就是九十度。 所以往往这种隐藏的垂直条件，会被出题人偷偷的放在底面图形当中，这线你不连这题没法正？ 再来，刚才是两个等腰三角形拼起来的，那我现在再给大家一个，这题可厉害，它是由一个三十、六十、九十以及一个等边三角形拼起来的，所以边长比的话，应该是一比根号三，再比二。我问大家这里面哪有垂直？ 这很多同学可真不一定能想得到。我取 b、 c 的 中点 g 垂直在在这 a、 g 跟 b、 d 是 垂直的，为什么？简单证明一下，我想把 d、 g 连起来，因为这是终点，而且整个图形它是一个等边三角形，所以三线合一，这角是直角， 那对应的这角也是直角。那大家有没有发现，左边这三角形跟右边这三角形，它是一个全等三角形啊？这还都是根号三，每个边都相等， a 和 g， 关于对称轴，对称自然，这就垂直整个图形其实它是一个风筝型。这确实，说实话还真不好找。 好了，加了常用的三个，那我们在初中其实还有一个在高中阶段还经常在考嘞，去年刚刚考过的，就是十字图形，有时候他给我一个矩形，然后这 e 点 f 点在这动动的时候满足一定条件，他说 af 比 a， d 等于 b， e 比 b， a 这条线有啥用？它比它啊，那其实就是这个角的探针的值呗。 再来它比它啊，那就是这个角的探针的值呗。所以整个这个问题相当于告诉我，这俩角是相等的，或者说这俩三角形一个长这样的，一个长这样的，它俩是相似的，因为这是九十度啊，所以一点一叉是九十度。哦，那这俩点刚才也说了是相等的， 因为这是九十了，所以这如果是点的话，那么这个角必然也一定是叉。然后我发现好玩在这个小三角形里面，哦，已经有一个点，又有一个叉了，你说另外一个角多少度啊？那就是九十度呗。所以这里隐含的一个条件叫 a e 垂直于 d f， 看懂了吧？ 给我不同的底面，往往我连的那个辅助线是不一样的，但是我们的目标就有一个，那就是找到其中隐含的垂直条件，给大家举个例子， 我都不给大家读完题，咱辅助线都能做出来，你相信不？线三棱锥， abc， abc 有 个四边形出现，菱形，马上想到垂直小妙招，菱形里面好像有垂直对角线垂直呗， 继续往上看，他说底面是等边三角形哎， abc 是 等边的，底面是等边三角形的话，那这三条边都相等，我都用绿线来画， 它等于它等于它等于它等于它等于它。那意思就是说这三棱柱每一个棱长都相等呗，你侧面不是说是菱形吗？菱形每条边长都相等，天经地义啊。所以 a a e 也好，上底面也好，长度全都一样。 那回到题目条件里面来，等边三角形，哎，你说我经常连什么来着？是不？三线合一？有，有垂直地面 a b c， 题目还说了 m 是 终点，那你说我连谁傻子都知道是不？你得把 c m 连起来呀，三线合一， c m 跟 ab 垂直喽。再往后看最后一个条件，角， abb 六十度 a b b， 哎，这角咱整个前面，这是侧面，本身它就已经是菱形的情况下，你又加个六十度。六十度菱形咋做辅助线来着？是不是咱左右拆成两个等边三角形，再用一次三线合一啊？ 所以把它一分为二，把它看成一个等边三角形之后， m 又出现了三线合一。我肯定，呃，大概率啊，把 b e m 再连起来，因为这样做的话，垂直条件是最多的。 题做完了，我看他问我什么啊？ b e c 垂不垂直于 a b c e b c 是 这个粉线， a b c e 是 整个这个面，我化成小蓝面，线面垂直，我肯定在这个面上找两条线啊，你可以找这三边的任何一个，找两对线线垂直即可。 那第一条线找谁呀？第一个垂直小妙招，菱形对角线垂直的呀，一条线让我找到了 b c 和 c e b 垂直。 接下来我只要找第二条线，那剩余的无非是 a c 一 或者是 ab， 你 说你挑哪个，哪个特殊？又来了，是不是 ab 在 底面上，它的垂直条件比较多？你 a c 斜着的不好看嘛？有关 ab 的 垂直有哪些 是不？刚才这有一个垂直小妙招，三线合一， ab 垂直于 m c， 这也有一个三线合一， ab 垂直于这 b e m 最小小的一个 ab 既跟底面的小黄线垂直，又跟上面这个小黄线垂直，那它就跟小黄线所形成的小黄面线面垂直。 但是推出这个线面垂直不是我的目的，线面一垂直，这条线就跟这面上任何一条线，包括我想要的那个小粉线是 垂直的。所以这个 b c 太厉害了，前后出现两回交际花来了，和 c b 垂直啊，也和 ab 垂直，它就跟整个两条蓝线所形成的蓝面是垂直的。结束太精彩了， 这几个垂直小妙招，狠狠用，大胆用。 ok， 那 目前为止，咱不连辅助线正垂直的讲完了，用垂直小妙招，连辅助线正垂直的也讲了，那还有最后一种类型，这垂直咱除了正出来之外，咱还能算出来， 比如经常出现在一些题目里面，哎，给我好多好多边长。那如果一个三角形，它能满足斜边平方等于勾股定律的话，是不是这垂直咱就算出来了呀？ 举个例子，二零二五年山西模拟会有个水平放置的正三棱台，棱台哎，底面 a b c 和底面 a e b e c e 相似关系呗。而且你还是正棱台的话，意味着哦，它上下都是一个等边三角形，每条边哦，还都相等， 让他说 a b 是 六，意味着每个小黄线的长度是六， a b 等于二，小绿线的长度是二，所以上下的相似比应该是一比三。然后非常好心的还给了我一个测龙长二倍根号二， 你会发现它给的我全都是数据啊，全都是长度嘛。然后直接就开始让我证明线面垂直， a a e 啊，跟底面线面垂直不？我发现这八杆子打不着的呀， a a e 高高在上，离底面太远了对不对？所以我想证明这个线面垂直之前我在挖掘挖掘条件啊，它是一个棱台， 棱台也好，圆台也好，咱是不想过可以给它补全了呀，补全完汇集到一个点上，这多个棱之间跟底面之间不就建立起来关系了吗？你看现在 a a 一 跟底面 o 没发生关系，但是我把它们都延长到一点上去， 考试的时候直接写延长 a a 一， 延长 c c 一， 再延长 b b， 那 肯定汇集到一点上，你都不用正，比如说设成点 o 吧，来现在观察，放大一点， 在这个侧面里面，斜边比例一比三，所以 a 一 也好， c 也好，应该是整个它棱的一个三等分点呗。那我 a a 一 是二倍根号二，那这个长度应该是根号二， 那同理，整个因为是一个正三棱台，它具有对称性， o a 一 的长度跟 o c 的 长度跟 o b 的 长度应该是相等的呀，每一个都应该是根号二。然后我惊喜的发现，根号二，根号二，二是不正好是一个勾股定律啊，它方加它方等于它方，所以我算出来了，这是一个垂直。 那你正出来一个之后，别的还用正吗？不用正了呀，比如我在这个面上，我这也都是呃，三等分点，这长度也是根号二，然后 a 一 b 一， 呃，也是二，它方加它方还等于它方，这也是垂直的。所以得到 a a 一 所在的这条整个大直线，既垂直于 o c 这条线，还垂直于 o b 这条线，那它就跟整个两条线所形成的底面大底面垂直，这底面正好是呃，我题目当中的 b c c e b 证明完毕，这垂直咱属于是算出来的。那么以上咱就把平行垂直的套路都给大家讲完了。

同学们好，咱们来看空间平行关系的避讳知识点。一个三角形非常非常的重要，是后面所有课程的一个基础中的基础，我们一定要把这些线线到线面到面面平行的性质和判定定律搞清楚，我们才能够去学习后面的课程啊。 我们先来看直线和平面平行的判定定律，也就是说如何判定一条直线和一个平面是互相平行的啊？嗯， 我们要先找到什么呢？先找到一对平行的直线，这里是 a 平行于 b， 一定要先找到平行的直线啊，那通过什么来找平行直线呢？三角形的中规线是不是互相平行了呀？还有平行四边形，这里是非常常用的两个点啊，那例如还有其他的你像啊，梯形啊，这些都可以啊。 先找到平行的直线，然后再说明一条直线不在平面内，另外一条直线在平面内，最后推出来不在平面内的直线就是 a， 是 平行于平面的。 大家要核心记住几个点呢？三个重要的点啊，第一个找到一对平行的直线，第二个说明一条直线不在平面内，第三个另外一条直线在平面内，进而可以推出来不在平面内的直线就是 a 平行于这个平面，这就是直线和平面平行判定定律的最直观解释啊。我们再来看直线与平面平行的性质定律，大家注意一下啊，这里叫做性质，上一个我们讲的叫做判定啊， 这个叫判定，他们是不一样的判定，我们已知的是线线平行，求线面，但是性质定律我们已知的是线面平行， 比如说题干中我们已经求得了或者是给出了线面平行，我们去推的叫做线线平行， 你看性质定律和判定定律是不是相反的一个关系啊？那我们来看一下右侧这个图啊，我们已知的是什么啊？已知的是 a 平行， r 已知了线面平行，并且又已知了一个新的平面 与已知的平面相交于一条线，就是被的平面和阿尔法相交于 b 这条线，还有的就是 a 要在新平面内，那么我们可以得到， 得到什么呢？得到 a 平行于 b， 我 们再通过这个图说一下啊，我们已知的是 a 平行于阿尔法，并且经过 a 的 一个平面，被它与阿尔法相交于 b 这条线交线，进而得到 a 和 b 的 互相平行啊， 那我们通过一个正方体来给大家说一下啊， 我们在这里画出来， a、 b、 c、 d、 a、 e、 b、 c、 d、 e， 那 我们已知已知什么呢？已知啊， a、 e、 b、 e 平行于平面， a、 b、 c、 d， 然后我们去证明 a 一 b 平行于 a、 b， 这怎么正呢？其实啊，你看 a 一 b 一 平行于 a、 b、 c、 d 之后，我还要找 a 一 b 一 在哪个平面内，它是不还属于平面？ a、 b、 b 一 a 一 这个平面，以及 a、 b、 b 一 a 一 平面与 a、 b、 c、 d 平面交于 ab， 所以 a、 b、 e 平行于 ab， 如果硬要正的话，是这样的一个证明方式。好，那第二个我们就说到这里， 我们来看第三个。第三个呀，我们要说的是平面与平面平行的判定定律，也就是说如何去证明面面平行，那当然我们通过的是面面平行啊， 那怎么去证明线面平行呢？是我们通的是通过的，是线线平行的。好，那这个逻辑大家一定要先清楚了啊，当然它证明它的话，也是有一个叫做性质定律，这个叫做判定定律。那么来通过右侧的图来看， a 是 r 房内的直线， ab 交于 p 点，这前面一大堆说的就是这些啊，你看 a 在 这里， b 在 这里，它们一定要相交啊， 然后 a 平行于 beta， b 平行于 beta， 则 alpha 平行于 beta。 那 到这里其实我们就比较清楚了，我们要先找的是线面平行，把线面平行去找清楚， 然后去证明线面面平行，但是重点啊，一定是这两条线要有一个交点，这个点也在后面的一些定律的判断中，会经常给大家出的啊，这个大家注意一下就行。 我们再来看第四个，第四个叫做面面平行的性质定律，也就是说我们已知了面面平行，去证明什么呢？去证明线线平行。好，那其实现线平行，我又可以证明线面平行啊， 那线面平行又可以用来证明面面平行，你会发现整个定律是一个循环的结构啊。那这里我们来看一下 alpha 平行于 beta， 看 alpha 和 beta 平行，然后一个新的平面与 alpha beta 相交于 a、 b 两条直线，那么 a 和 b 是 平行的，这个容易被大家忽略啊，大家还是要引起注意，我们还是通过一个呃正方体给大家简单说一下啊。 大家看啊，其实呢， a、 b、 c、 d 和 a、 e、 b、 e 后面不写啊， c、 e、 d， e 是 平行的， 那么 a、 a、 e、 d、 e、 d 它是不是与 a、 b、 c、 d 和 a、 b、 c、 d、 e 都相交啊？相交的叫做 a、 e、 d， e 和 a d， 那 么这两条相交线互相平行，这就是这个定力的一个应用啊。 那刚刚咱们也说了，整个这些定力是可以形成一个三角形的，你们来看啊，首先我们知道电线平行 它可以用来推什么呢？它是不可以用来推线面平行啊？我们一点点来写啊， 这个叫做判定定律，大家自己想一下是什么呀？ a 和 b 平行， a 不 在 r 法内， b 在 r 法内，则推出来 a 平行于 r 法，也就是线线平行的判定定律。 那么这里还有一个它叫做性质定律，大家还记不记得呀？这个是什么呀？是不是线面平行之后，我们可以找一下前面啊？是不是就是这个线和面平行，然后再找到 线所属的一个平面，那么可以证明出来线线平行啊？好，这个咱也说过了啊，线面平行如何证明线线平行？那么线面平行还可以证明面面平行啊？ 这个大家还有没有印象啊？是不是就刚刚说的这一个呀？两条相交直线共属于一个平面，并且这两条直线又平行于另外一个平面，那么 这两个平面是互相平行的啊，比如说线线线面平行，可以推出来面面平行，这个也是一个判定。 那其实在刚刚的视频中，我们还讲到了一个这个面面正 线线，这是哪个？是不是刚刚在这里咱们去说过的呀？两个平面阿尔法贝塔互相平行，另外一个平面和它们相交于 ab， 两条直线则 ab 互相平行啊，那这样的话，其实相比于上面的图，我们还差了两条直线。一个是这里 我们来看为什么面面平行能够证明出来线面平行 其实核心啊，也在这个定力当中。你看，阿尔法和 beta 平行，并且有了一个相交的 平面之后，得到了 a 这个交线，那么 a 是 不是也平行于 beta 呀？这个定力只是相对用的少一点点啊，或者说已知了 a 和 b 平行，那么 a 不 在 beta 内， b 在 beta 内，是不是也能够推出来 a 是 平行于 beta 呀？ 所以呢，通过面面平行，我们还可以得到线面平行啊，这是我们今天又隐身出来的。那么还有一个呢，我如何通过线线平行去证明面面平行啊？这个是一个判定， 这个在哪里呢？这个其实在这里啊，就是说，如果我在这里还有一个 d 和 c， 我 已知了 a 平行于 c， b 平行于 d， 然后 a 交 b 等于 p， c 交 d 等于 q， 那么我们还能够知道呢，这里还要再补充一下啊， c 和 d 是 在平面 beta 内， a 和 b 是 在平面 alpha 内，则通过这么一大堆，我们就知道 alpha 平行于 beta。 有 同学可能会有点懵啊，为什么能有这么个性质呢？你看啊， a 平行于 c， 这个能说明什么呀？是不是 a 平行于 beta， 这个能说明 b 平行于 beta， 这不就是上面的一个结论吗？只不过我们多写了一步啊，这就是未来，如果我们找到两个平面内 有两条相交直线互相平行，你可以知道他也一定有面面平行的啊。对，这个也就给大家讲完了啊，线面平，线线平行，如何证明？面面平行这个三角形希望大家一定要掌握清楚，非常重要的。好，那这个视频咱们就到这里。

老师好，请坐。那么我们今天要讲空间中两条直线平行，那我们在初中平行里面就讲过两条直线平行怎么定义的？ 两条直线没有交点，修平行，但是他一个大前提是什么？ 我们初中修平面几个字，平面内，平面内没有公共点就是什么呀？但到空间呢？ 到空间没有公共点有几种关系哎？ 意面的或者怎么样平行是吧？没有空点的，意面或者怎么样平行的，所以，所以在空间里面我们要证明他是平行的。根据定义，在面内没有空点，共面且没有空空点，这不就是平行的吗？ 那今天我们要继续来讲空间里面怎么来判定两条直线平行？第一个是基本四十四，我们来看一下这个长方体，第一是一个 ab 平行， ab 又跟 a 撇 b 撇平行，那这两条线呢？ d 是 一根 a 点， b 点呢？哎，这两条怎么样？有没有公点？没有，会不会在一个平面内？ 所以这两条直线也是什么呀？平行的是吧？是不是也是平行的？那看来平行在空间里面有没有传递性？有， 比如说我们这个教室空间里面，我们还可以取这样子的实力吧？你看这个黑板，黑板这边的这条，这条线 a a 点跟我们的柱子呢？ 跟我们的墙角这边的柱子呢？外平行，我说这两个是共面的，是吧？是平行的，然后呢？这两条，这个是窗户的这个这条， 那这两条数都是竖的，那这个平面里面他们竖平行的，这边是平面的，是不是可以看到他平行？那这两条呢？ a a 撇跟 c、 c 撇会平行， 可见这个平行的话具有什么呀？讲平行，你都跟 b、 b 撇平行，那你 a、 a 撇跟 c、 c 撇，他们是平行的，那么就是平行的啊。那这个就是 叫做基本事实，是不正之明的，由我们的生活经验里面抽象出来的 平行于同一直线的两直线平行，也就是用符号来表示， a 平行， b 平行，则有 a 跟 c 是 平行的， a 跟 c 是 平行的啊，那这是可以作为证明的什么呀？依据， 可以作为证明的依据，所以接下来我们来看一下课本上面的利益。已知空间四边形中， e、 f、 g、 h 是 这边的终点， 则这个四边形是平。四边形怎么正啊？我们要把空间的证明平行转化为， 哎，平面的平行，是不是？然后再利用平面的平行具有传递性，是不是可以证明他们是平行的 终点？三角形的终点，那我们想到什么线？什么线？是不是想到这个线啊？行吗？怎么写呢？啊？把谁连起来啊？ 连接 b、 d 来，我们现在是在平面的问题先解决是吧？在三角形 abd 中怎么样？ e、 h 四这两条的中点，那是平面问题吧？谁截断 这是中位线？ e、 h 平行且等于 b、 d 的 什么？ 然后另外一条数也通过它过渡，那另外一条我们就可以怎么写？那就不要了，再读，再重复一遍了。所以叫什么？同理，同理，我们的 f、 g 呢？平行写等于二分之一的 c， 根据其表示平行有传递性，那这里还有什么相等有传递性？ a 点 b 的 c、 a、 c 会不会等， 所以再传递一下？所以 e、 h 怎么样？平行且等于 f、 g， 那 能不能叫平行？四边形 为什么可以对边平行相等，他们就平行四边？ 为什么？你的爸爸刚才是不是初中的内容？那就要说这四点是什么？共勉。这四点会共勉吗？ 这里为什么会共面？两条平行啊？两条平行线垂直于一个平面，这是共面的，那共面的对边平行的，所以是什么平行平行啊？这是我们就可以直接下结论了，所以它是一个平行四边形， 所以这两条线算空间的两条线吧。那我们把它分别放在 a、 b、 d 跟 b、 c、 d 数两个平面里面去证明，然后把空间的证明转换平面的利用传递性是可以证明这两条平行相等，所以它是一个菱形四边形 看见没？那如果我这个 a、 c 跟 b、 d 是 相等的呢？ 这空间四边我把 a、 c 这条对角线连起来呢？那他现在就什么形啊？我如果我加一个条件， a、 c 等于 b、 d 呢？那我这前面现在就变成什么形 啊？菱形四边，你再加这两段什么关系相等，所以它是什么形？菱形是不是菱形 啊？有朋友一直想正方形，那还站在什么条件才是正方形来？ a、 c 跟 b、 d 要怎么样垂直？ a、 c 跟 b、 d 斜，那这里是垂直的， 对吧？啊？这时候才会是什么呀？所以这两条对角线， a、 c 跟 b、 d 站在条件就可以是对称的平行边形的。 来来，大家再判断一下，把一张矩形的纸对折两次以后打开，那这里的三条折痕 都是不相同形的，对吧？为什么？ 来我看看这 怎么说对，折完得到什么图形啊？哎，得到几个矩形啊？ 就四个矩形。然后呢？啊，这 l 一 跟 l 二是平行， l 二跟 l 三平行 l， 三跟 l 四是。 你都是矩形吗？是吧，都是矩形啊，所以平行具有权利，根据基本公式。这些折函数都是什么呀？这都是平行的啊，所以你折一下就可以得到平行线， 所以我们证明两人是要平行。那现在常用方法就是平几里面的结论，什么中位线啊，平四边啊，是不是就是平行的？ 第二个的话我们该说你要说两条直线平行怎么说？没有公共点再加什么条件啊？ 没有公共点再加故面是不是它们是平行的，所以我们也可以定义来证。第三就是用刚才的基本四十四作为证明的依据。好，老铁们接下来来判断一下。 哎，闫雨轩怎么拍呢？一对吗？一对错，他很有可能一面哦，平行或者怎么样？一面。 所以两条线就三种位置关系啊。共面跟什么呢？意面共面包含平行或者三角。第二个啊，传递是吧？三 平行直线，如果我跟一条相交，那跟另外一条呢？哎，什么时候是对的？在初中时候对的，现在对吗？不对怎么举例？ 大家坐在教室里面吧，我们看这个，这个教室上沿啊，我们看黑板的上沿的这条线跟下沿这两条平行线你找一条来啊， 这边我们过墙角那点是吧，可以做多少条线？无数多条，有一些是不是会加的，有一些呢？不会加是不是可以相也可以不相交，所以找模型啊，找模型是 无论几条书一直传递过去啊，所以答案应该是二和三，选的是二和四，选的是 c， b 啊，选的是 b。 来再继续来看一下。 哎，万事万，怎么证明它是梯形呢？连一下 a c 啊，连一下 a， c， 通过 a c 去过渡，然后 mn 是 a， 就是 平行于 a c， 然后啊，那就讲交代一下，在哪个三角形里面，在 d a c 中 d， a， c 中， 因为谁谁谁是中点，所以什么呀？中位线，所以它平行写，等于二分之一呢？ a c 平行二分之 a c， 然后 a c 跟 ac 呢？是平行的，平行的且相等，这相乘怎么乘？ 据目测他们会平行写，这样确实，但是我们说根据正方形的这个定义有没有得到这阶段没有，那通过谁去实现呢？ 来， a a， e 跟谁 c， c e， 那 就在正方体，正方体，那么我们正方体可以简单一点记，叫做 a e， c， 用体积来表示成正方体吧。然后呢， 通过哪两条来说啊？ a a a 也不能直接到 c， c， e a 应该过渡到谁 b， b e 啊，对吧？然后 b b e 又 跟谁？ c c e， 所以， 所以 a a e 平行且等于 c c e， 所以 四边形 a， a e c e c 为平行四边形。结论， 所以 ac 平行且等于谁 ac， 所以 啊，所以我们来传递过来是吧？ m a 平行且等于二分之一呢？ ac， 所以 可能可以下结论了， 四边形和 a c 是 梯形哎，是梯形啊，这边平行且不等，那是不是就梯形了？那这是一个什么梯形啊？等腰梯形不等腰梯形，那两边还有什么性质？ 两腰跟 d d 有 什么关系？来，先交一，怎么样一点，是不是想要一点加一点，先延长 a 一 n 和 b 一 d， 然后这两个是延长这两条吗？我们都刚才赢，证明他的前提延长哪两条？这个两条，这两条会不会交？会 加个 p， 然后证明什么？接下来证明什么？然后证明 p 一 d p 是 贡献，贡献呢？因为那个 p 在 面， a， e， a， d， d， e 和啊，点 p 是 左边跟背面的什么呀？公共点右左边跟背面 交界，交界是这两个面交界是 d， d， e， 所以 点 p 就 在一 b 以上，所以三线就终点啊，很好，回忆一下，我们上节课是不是证明三线终点是站正，三线终点站正，所以通过 空间里面，通过一条辅助的直线把它变成平面的问题吧，然后再利用传递信息可以证明空间的问题啊。 第二个棱角定律，那初中的时候我们讲过，一个角的两边跟另外一个角两边是平行的，那两个 角的两边跟另外一个角两边是平行的，那两个角呢？可能相等，也可能互补，那空间里面会吗？ 啊？我们把弧形画一下空间里面，那如果是这样子呢？朝向是一样的，平行且方向是一样的，那这两个角就， 哎，是相等，那如果朝下平行，他朝向是反的呢？有一条是反的，那这两个角就，哎，是不？不，那现在问题是我们怎么证明这种图形，你让他们相等呢？怎么证明两个角相 等呢？对， 那我就把这两个角放在三角形里面，是吧？就放在三角形里面，然后证明这两个角也是旋转，那我现在要勾上两个三角形啊，旋转的三角形我只能勾上 a、 b 点，上面，我们能不能找一点 b 点，然后这边找一点，使得这两段这样子，那就啊去啊， 点 d 撇在哪里？取？在 a b 撇上， a b 撇上，取点 d 撇，然后呢，在 a、 b 上取 b， 使得呢？使得 a 撇 d 撇等于零，那把它连起来，是不是 啊？连接，连接这个 a、 a 撇跟 d、 d 撇怎么样？ 我们再连起来啊，这两个数字的平行写怎么样？相等，然后呢？再想一，我还要勾线另外一个点，所以我们在这里给他写一个什么，一根一撇跟谁 一样的写一遍啊？那这次把它连起来，然后再把这呢连起来， 现在这两个对应的边是不是相等？这两个呢也相等，能不能证明他们学的还少一个条件，是吧？所以现在，现在要做什么工作啊？ 哎呦，让我们猜一猜。什么？这说明这两段怎么样平行写相等，怎么证明这两平行相等呢？ 那就通过证明这两段平行写什么呀？这两段平行写的通过谁的过渡？ a a 点去过渡，是吧？所以这样我们怎么写？ 因为，因为什么 a 撇 b 撇平行于谁？ ab， 所以 四边形，四边形。 a 撇 a d 撇是什么？四边形来平行四边形， 所以呢， a 撇 a 就 会平行且等于 b b 撇，是吧？接下来呢， 这两条一一撇，跟 a、 a 撇怎么正？同理是吧？同理可正， a、 a 撇也平行，且等于谁一一撇。所以呢啊， b、 b 撇就平行且等于谁一一撇，所以四边形是平行四边形。结论 来，我们要的是不是第一等于谁啊？第一点明白了吧？第一点，第一点，然后呢？所以两个三角形就全等，所以角度就三角， 我要证明角度相等，现在没有谁别的依据的，谁能够算什么呀？绝对的三角形， 那如果他是反过来，那这就互补了，所以我们得到一个定律啊，这个就可以作为证明两个角相等的证据了。一起了， 一个角的两边跟另外一个角的两边是相等的，折这两个角平行了，那这两个角就相等或者什么呀？相等或者互补 来。那有没有在空间中脚 a 跟脚 b 的 两边分别平行 折角 b 等于多少啊？就直接用结论就好了。谁是几度？四十五度或者一百三十？一百三十 没看见没？那如果我有两条直线，一条是 l， 一 条是 m， 然后呢？ l 跟角 a 的 角 a 的 这条边是平行的啊，然后呢？ m 也跟它是平行的， 那 m 跟 a 所乘角多少呢？ m a 锁成角是多少呢？我有两条直线跟你这个角的两边都平行，那我这两条直线锁成角是多少呢？啊？ 四十五度或者一百三十五，对吗？ 哎，那么两条之间锁成角范围一到九十，是不是锁成的四个角里面叫小，是不是小点九十？那正确准确的回答应该几度？四十五度啊，四十五度，要小心啊，范围 啊。那行，那我们继续来看一下刚才的平行就相的。那如果两个角相的其中有一一组的对边是平行的，那另外一组的对边呢？ 另外一种对边一定要平行，对吗？可以不可以平行？那一定要平行呢？不一定啊，不一定，所以，所以这个是不一定的。那另外一种对边一定不平行，那肯定也是吧。 那另一种对边也可能是垂直的，对吗？啊？ 可以不可以啊？有没有可能垂直啊？以上皆有可能，这这些事都有可能吧。所以答案应该选谁？ 像这种题目怎么想的呢？那我们应该把我们的模型就召唤出来放到哪一个模型里面召唤你吧。来，那你这个角就选哪个角就好了。我选这个角行不行？ 那另外一个角的两边有一边跟他平行，那另外一边有可能平，我就选谁。这这两个角是两边是都平行的，再来一组平行，一组不平行，我选哪个选哪个角一组平行一组不平行。哎，我选这个行吗？ 你看我这条路跟他平行这条会平行吗？不会，而且他们是相交的，是成几度九十，所以你们可能垂直。 那意面也不可能。我选这个呢。一条是跟他是平行的，另外这条跟他是什么关系啊？意面的意面的是不是也可能， 当然这意念数还是成九十六啊，所以意念的垂直的还是这一条就跟他是啊，也是是吧。啊，不对不对的哈。所以我们找出模型来，这想往里正往里或者我们所处的这个教室空间是做古语。 第三几何体的洁面问题。如果两个面是平行的，那这两个面里面线有没有公点？ 如果两个平面是平行的，这面里面的线有没有公点，那没有公点那这些线什么关系？ 不是意面的就是什么呀？平行的，那什么算是平行呢？ 如果在一个面里面竖平行了，在一个面里面他就会平行了，所以我们经常利用平行的传递性来找啊，洁面啊，来找这个洁面 来。这是一个人才为一的正方顶点， m 是 中点，那现在过 a 点， m 点以及 c 一 做一个结面， 请问这个结面的面积是多少呢？ 啊也不能说简单吧。那这前面不就三角形。谁啊？ amc 了对吗？啊？对不对啊？ 我们讲前面是一个平面，平面是无限的延伸的，是无限延伸的，那我们讲正方比，什么叫正方比？ 由这个六个面围起来的几何体是不是叫正方形？是围起来的，整个整体是不是叫正方形？包括它什么呀？内部是不是正方形？所以你这面是无限延展的，所以我要把它长延展过去，是不是？ 那我要做到前面就是跟每个面的交界处都把它找出来围起来。这个多边形是不是你要找的？ 那怎么办？那现在我们已经完成了什么？里面的那条胶线都出来了，哎，右边是不是也出来了？今天我们做哪一边 来？左边？左边怎么做平行？左边要跟谁平行，他又过 a 点，跟 c m 平行，谁取谁 a d 的 终点。哈，看我们把这里贴到 a。 为什么这两条平行？为什么这两条是平行呢？空间的平行，我们通过平面去过渡，是吧？所以这两条平行线好说，不好说，不好说。先把这条移到哪里来， 把 mc 移到哪点来，然后等一下它跟 a a 平行就好说啊，比我们把这个除以一下。这两条平行好说吗？ 然后这两条平易好说，不好说也好说，是吧？因为这点一点是终点，所以 a 一 跟 a 一 b 一 是平行相等，所以这个平易是这样过渡过来的啊。所以利用应用什么传递性？ 你前面的是共面，没有空点，所以左右两面的交线应该是平行的，是不是左右两边交平，所以通过这个从前面的这两个出来了？接下来呢？先把谁连起来， 用上里面的交线出 n， 所以 切完了没？哎，整个几个，你被我这三这个平面切完了没？ 所以得到的是一个什么图形？哎，所以得到的我们这个结面是什么形？哎？ 菱形，四边形是吧？有没有更特殊的菱四边形？菱形，菱形的面积怎么求？ 对角线，这条对角线是谁？这条对角线等于几？ m？ i 等于几根号二，还有一条对角线是谁？ a， c， a， c 等于几根号？三，他们什么关系？垂直的是吧？一定要垂直，所以答案应该选择谁啊？ 利用平行来做斜面，利用平行来做斜面，两个面平行，被我截折的胶线是平行的，我们抓住这点，当然我们也可以怎么做啊， 那么我们还可以怎么做？ 里面的性质嘛？要找线，去找什么点？去找点来，我这个前面数过 am， am 背面数一个写 c， 那 还有个点是谁啊？ 再找一个公共点是谁啊？那我把 am 给啊。延长跟 d， c 有 没有一个交点？ 跟 d， c 也没个交点，这个点既在我洁面上，也在背面，是不是？所以这一条是不跟我背面的什么呀？交线？ 那这条交线跟 d， d， e 也没个空点，这个点既在我洁面上，也在哪里？也在左边吧，所以左边的交线是谁啊？ 我们注意到这两段是相等的，所以这点是中卫线，因此这个两段是不是相等的，所以这点是什么点？ 中点，哦，那有的时候连起来好了没？所以利用平面的性质，利用平面的性质来，我要找交线，去找交点，交点就把线延长一下的公共点 啊，所以我们现在呢，做前面有这两种办法来做。来，同学们再继续来看一下，这是正方体中 e、 f 分 别为 a、 a e 和 c c e 的 中点， 请问我 b e f d e 是 什么形呢？ 是空间四边形吗？你说这四点一定共面吗？会不会共面？这四点会不会共面啊？ 各位，这四点会不会共面？这条跟这条什么关系？会不会平行？会相等？所以它是什么形？ 准确点？对呢？是不是空间是边形？不是，是平面，是边形是吧？那是平面的，而且什么形啊？哎，零边呢？这两个零边什么关系？相等？ 零边相等的平行于谁？是菱形？那么更特殊呢？是更特殊。菱形呢？会是正方形吗？ 哎，比菱形各部分还一个正方形，它不是正方形吗？不会。为什么不会啊？对角线会相等啊，是不是跟刚才是一样的图形？所以答案应该是是一个什么形？菱形啊，这四个点，它是一个菱形， 来让我增加难度啊，各位，现在我们来看一下，我过 m 点， f 点， e 点， 我过这三个点，他洁面长什么样呢？各位，也就是说，哎，那次洁面不就是一个三角形吗？就是刚才同样的错误啊，是三角形吗？不是要延展开来是吧？哎，怎么做洁面呢？ 现在做洁面我们有几张两张画形好画，先画出来， e f 在 体内部， e m 数也在内部，就谁在外面， 那 m f， m f 在 在右侧，那我们去坐哪一边呢？左边，左边呢？应该要跟 m f 平行，是吧？那就找谁啊？ a d 的 什么点？重点，我们把这里记个记哦，左右两个面就好了，接下来， 哎，接下来怎么办？跟上里面呢？跟上里面是一个焦点，记的再来一点就好了，是吧？怎么再来一点啊？ 哎，把 m f 要怎么样？或者把 em em 在 里面啊？ em 在 里面把，把 m f 怎么样 啊？眼球把仪器拿来怎么样？延长行吗？那这个有没有一个焦点？这个点在哪里？这点在我洁面上还在哪里 啊？在我洁面上也在哪里？也在背面嘛。那背面下有几个点？哎，背面画好了啊，那上底面画好了没？ 接下来呢？接下来呢？下里面呢？下里面要跟它平行，所以取它什么点？中点， 所以前面是不是这个图形？这是什么图形呢？啊？正的六边形。是不是正的六边形 啊？所以做前面找公共点连起来就是你的交线 啊。那我们今天要讲的就是这些啊，那我们再看一下几个跟球有关的问题。这是啊，前面的每条门都镶嵌的球，叫做他的门切球， 那已知正四面体有这些东西，请问长度是多少呢？ 已知 abbc 都是六， abbc 都是六，再来 cd 跟 da 都是六， 然后 b、 d 等于一半，这条 a c 不知道这个几何比赛可以怎么看，哎，从动态来看呢？是我可以把它看作是 b、 c、 d 绕着谁， b、 d 是 不是绕着这转一圈过去的？转过去的啊，所以这个图形是这样对称的，因此我们 a、 c 跟 b、 d 是 会垂直的。 你比例先来这么久啊，这不对称的吗？切进去的，所以一要动态来看他，第二你是能切球，是不是这边是一个缺点，这边是一个缺点，这边是一个缺点， 那这三点是在这个球面上，那相当于我是过 a 点就做球的。什么线切线，过圆外一点做圆的切线什么性质？ 切线长是相等的，那空间里面做球的切线切线长呢？所以我这三段都可以记住谁啊？ 那同样呢，这边有没有三个点？这些是不是 b 点出发的三个点，那这三段什么关系啊？这三段数也是一样的，这三段也是一样的，对吧？ 那再来，那 c 点出发的三个缺点是不是在这里啊？那这三个缺点有什么性质要不要一样呢？我把这三段都记在这里好不好？ 那还有呢，剩下来的是不是都是地点出发的？所以有什么结论？ s 加 y 等于几啊？六是吧？ s 加 y 等于六，这里呢？ y 加 z 等于几，是不是也等于六，这里呢？ y 加 k 是 不等于八，那我们要求的是谁的长度？ a c a c 是 什么？ x 加 c 是 吧？嗯，来，再有一个方程， x 加 t 数也等于六，可以吗？来把这两个方一加呢？ 来， x 加 y 加二， t 数等于等于八加六，所以 t 等于几？ 哎，哎， t 数等于四，那 t 等于四的话， y 等于几？哎， d 等于四， y 就 等于四， s 等于几啊，那 g 就 等于几啊，所以 h 加 g 就 等于几啊，搞定了啊， 那可线对人是吧？这两条加加一是谁啊？ 说 a、 y、 j、 t 都齐了，那这两条呢？这两条加在一起呢？说 a、 y、 j、 t 是 不也都齐了？ 所以这个对人什么关系？哎，对人的和怎么样？是不是相等啊？你看这对面的人相加是不是相等的 啊？所以，所以他有这颗星对人的和相等，那你这个 b d 加 c 加 a， c 要等于谁跟谁相加？ 对蓝的和跟谁跟 a b 加 b， c 数相等啊？十二减去八是吧？ 我们来看一下限时十六的底板，这是一个正的三轮锥，车轮长度是更换六， 然后里面的边长是二，根号三。我现在呢，以点 p 为球心，半径为二的球面跟它表面积的交线长， 对吗？那我这个球被 pbc 所截得到的是什么度？ 被平面 p、 b、 c 所截得到什么东西？哎， 你这球数以 p 为球心，半径为二球吧。所以我这平面所截得到是什么？是大圆，是大圆， 但是，但是我的半径是几啊？二，二的话，这里是一个焦点，这里是一个焦点，但是这边的距离是几？ 这里到这里距离是几？根号三，根号三够不够说明有一部分。怎么样，是不是到外面去了？ 哎，这个角度刚好是几度？九十度，那有多少在外面呢？三度，几度。哎，这数恰好是半径几二，你这里是垂直，这是根号三。谁最大等于几一？谁这角度几度 三十，所以这对称一下，几度六十就六十度。所以你得到的弧数这两段，这两段不对的平在一起是几度 三十。我有几个面，三个圈面都一样的，是几度九十是吧？是九十的圆弧，半径为几？大圆，半径二。 还有呢？里面里面 a、 b、 c 切过去得到是什么圆？小圆是不小圆，里面是不小圆啊，这半径是啊，所以高是几？ 哎，高是多少？二根二根高数连三，所以这段是一，这段是。那同学们，那 p、 q 的 长度是多少啊？哎， p q 长度是多少？ 我的半径是不等于二，是不等于二， 所以我们先来看这条等于根号六，这条等于几？二，所以这条等于几？根号二。所以 d 如果等于根号二，那小二等于几啊？哎， d 等于根号二，小二等于几？半径平方减去什么？ d 的 平方开根号是不是你小二 啊？刚才第一次等于根号二，那这里等于几啊？所以我这应该以根号二为半径，是不是？而这是一，我要根号二为半径， 所以对应的数有一部分在哪里？外面，在外面这个半径是根号二，这是一，所以这角度几度。哎，所以这个是几度？在外面 有九十度弧度，在外面这边呢也有九十，这边呢也有九十，所以剩下的部分几度？九十，剩下来的圆心角数九十，半径 半径为几，最小圆半径为几。根号二，所以弧长等于这么多啊？弧长等于这么多，所以我们得到的应该是这两个加在一起啊， 这底下有三段弧，然后每个层面是两段弧，这些夹在一起啊，夹在一起，这是球外接球以及球跟他的关系啊。那我们讲到这。

二六届高考考生注意了，碰见立体几何体积最值体就用求导秒！今天贤哥两分钟带你彻底拿捏，看完再也不丢分！这道题是全国卷高考原题，一字不差，一零年左右是差不多的，所以这套试卷说实话和高考题感觉很像。 正四棱锥，他的侧棱长为三根三，体积最大值的时候就这样画了啊，这段是虚线。那我们读一读这道题，他说体积最大的时候，其实你想到这个地方，假设你没做过这道题，求最值的时候，你得想求最值，要么基本不等式，要么二次函数，要么求倒，这是最常用的方法。 他由于侧棱长是三根三，他让我们求体积最大的时候，高是多少，所以我得把高扯出来，我得把高扯出来的话，那你想想，这就是提高了。是不是相当于这个长度，他就应该等于根号下二十七减去 h 的 平方， 也说对角线的一半，那所以体积就应该等于个三分之一，底面积乘以高。底面积是对角线相乘乘二分之一，因为底面是正方形，对角线相乘就是两倍的。根号下 二十七减去 h 的 平方，再来个平方，听明白了吗？对角线相乘是两倍的，它相乘乘二分之一，底面积乘以高，高是 h， 所以 这道题的答案，这就是 四的话，约掉一个二，那就是三分之二喽。这辆是二十七减去 h 的 平方乘以个 h， 大家想，这显然是三次函数，三次函数求最值，我们当然想到了求导了。道题正好没让你求体积最大值。问，体积最大值的时候，这个 h 是 多少？当然就是极值点，我只要对它求到就可以了， 所以二十七 h 再减去 h 的 三 h 的 平方，我只要找到这个极大值点就 ok， 这呢就是三没错吧。所以取最大值的时候 a 是 取三。大家思考一下，这道题是高考考的原题，求导三次函数，所以在零到三上是单调递增的，三到正无穷上是单调递减的，所以这道题选四 d 比较简单啊。

这本书把高中数学中的立体几何问题讲透了，不焦虑的立体几何。作者是浙江大学数学系博士，他把自己多年的教学和高考阅卷的经验都放进了这本书里。 这本书没有一上来就讲复杂的难题，而是先帮孩子梳理清楚立体几何的基本概念、位置关系以及空间向量这些核心内容， 还特意讲透了平面几何和立体几何的区别，帮助刚升高中的孩子顺利过渡，把初中的几何知识衔接上来。 他不像别的教辅扔给孩子一些真题，而是从添加辅助线的几何直观法开始，一步步过渡到注重计算的向量法，带着孩子拆解每道题的思考路径，从根源上学会立体几何的解析逻辑。 书中精选了大量的高考真题和典型例题，每一道例题都帮孩子把难点讲透，把思路理清楚，孩子不用再盲目的刷题浪费时间了。 不管是孩子自己用来自学，把例题几何的短板补上来，还是家长帮助孩子查漏补缺，这本书啊，都特别适合，强烈推荐！